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title: "Propagação de sinais: ondas progressivas e estacionárias"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias
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# Capítulo 5 — Propagação de sinais: ondas progressivas e estacionárias

Dedilhe uma corda de violão e um salão inteiro ouve uma nota; encoste levemente um dedo no seu meio e a nota sobe uma oitava. Fique entre dois alto-falantes tocando o mesmo tom e, caminhando devagar, você atravessa pontos de quase silêncio a cada poucos decímetros. A luz de dois furos pinta listras num anteparo. Nada é levado de um lugar a outro em nenhum desses casos — nenhum ar, nenhuma corda, nenhum vidro viaja — e ainda assim algo se propaga: um *[sinal](#def-b1-wave-propagation-signal)*. Este capítulo descreve como um [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) se move, o que é uma onda senoidal e o que acontece quando duas ondas se encontram: a matemática da superposição, da interferência e das [ondas estacionárias](#thm-b1-wave-propagation-standing), que todo capítulo posterior sobre ondas — acústica, óptica e física quântica — vai reutilizar.

![Seis cordas, seis frequências fundamentais: cada uma é uma onda estacionária fixa na pestana e no cavalete, e os dedos a encurtam para elevar a altura do som.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/img-2b9e076c4256.jpg)

*Seis cordas, seis frequências fundamentais: cada uma é uma [onda estacionária](#thm-b1-wave-propagation-standing) fixa na pestana e no cavalete, e os dedos a encurtam para elevar a altura do som.*

## 5.1 Sinais

**Definição 5.1 (Sinal; sinal senoidal).**

Um *sinal* é uma [grandeza física](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#def-b1-units-dimensions-unit) que varia no tempo e carrega informação: a sobrepressão acústica num microfone, a tensão numa antena, o deslocamento transversal de um ponto de uma corda. O *sinal senoidal*

$$
s(t) = A\cos(\omega t + \varphi)
$$

tem *amplitude* $A > 0$, *frequência angular* $\omega$ ($\mathrm{rad}/\mathrm{s}$), *frequência* $f = \omega/2\pi$, *período* $T = 1/f$ e *fase inicial* $\varphi$; $\omega t + \varphi$ é a sua *fase* no instante $t$.

**Observação 5.2 (Espectro).**

Todo [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) periódico de período $T$ é uma soma de senoides de frequências $f_1 = 1/T$ (a *fundamental*) e seus múltiplos $nf_1$ (os *harmônicos*); a lista das suas [amplitudes](#def-b1-wave-propagation-signal) é o *espectro* do [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal). Uma flauta e um violino que tocam a mesma nota compartilham a fundamental e diferem no espectro — é o timbre. A decomposição (de Fourier) é enunciada e usada em [Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/9-filtros-e-funcoes-de-transferencia#ch-b1-filters-transfer-functions); aqui ela importa porque as senoides se propagam de modo simples, e o que vale para cada senoide vale, por adição, para qualquer [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal).

**Proposição 5.3 (Batimentos).**

A soma de duas senoides de mesma [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) e frequências próximas $f_1 > f_2$,

$$
A\cos(2\pi f_1 t) + A\cos(2\pi f_2 t)
= 2A\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 - f_2}{2}\,t\big)\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 + f_2}{2}\,t\big),
$$

é uma senoide na frequência média, cuja [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) $\abs{2A\cos(\pi(f_1 - f_2)t)}$ cresce e decresce na *frequência de batimento* $f_1 - f_2$.

**Demonstração.** $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$. O fator lento se anula duas vezes por período próprio $2/(f_1 - f_2)$, de modo que a envoltória $\abs{\cdot}$ tem frequência $f_1 - f_2$. ∎

![Batimentos entre 22\, Hz e 20\, Hz: uma oscilação de 21\, Hz cuja envoltória (tracejada) bate duas vezes por segundo — a diferença das frequências.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/fig-a90fcb3aab57.svg)

*Batimentos entre $22\,\mathrm{Hz}$ e $20\,\mathrm{Hz}$: uma oscilação de $21\,\mathrm{Hz}$ cuja envoltória (tracejada) bate duas vezes por segundo — a diferença das frequências.*

**Exemplo 5.4 (Afinando de ouvido).**

Um diapasão a $440\,\mathrm{Hz}$ e uma corda a $443\,\mathrm{Hz}$ soados juntos pulsam três vezes por segundo; apertar a corda torna a pulsação mais lenta, e quando ela cessa a corda está afinada. O ouvido percebe a frequência média ($441.5\,\mathrm{Hz}$) como a altura do som, e a envoltória de $3\,\mathrm{Hz}$ como uma oscilação da intensidade: os batimentos tornam audível uma diferença de frequência de menos de um por cento.

## 5.2 Ondas progressivas

**Definição 5.5 (Onda progressiva, celeridade).**

Um [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) $s(x, t)$ definido ao longo de um eixo é uma *onda progressiva* que se move no sentido $+x$ com *celeridade* $c$ se

$$
s(x, t) = f\!\left(t - \frac{x}{c}\right) = F(x - ct)
$$

para alguma função $f$ (ou $F$): a forma é transportada sem deformação, deslocada de $c\,\Delta t$ no tempo $\Delta t$. Uma onda que se move para $-x$ é $g(t + x/c)$. Um meio em que toda forma se propaga sem deformação com o mesmo $c$ é *não dispersivo*.

**Proposição 5.6 (Atraso).**

O [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) recebido em $x_2$ é o [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) emitido em $x_1 < x_2$, atrasado de $\tau = (x_2 - x_1)/c$: $s(x_2, t) = s(x_1, t - \tau)$.

**Demonstração.** $s(x_2, t) = f(t - x_2/c) = f\big((t - \tau) - x_1/c\big) = s(x_1, t - \tau)$. ∎

**Exemplo 5.7 (Celeridades).**

O som no ar, $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: um trovão $3\,\mathrm{s}$ depois do clarão põe a descarga a $1\,\mathrm{km}$. O som na água, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; no aço, $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Ondas transversais numa corda de tensão $F$ e massa por unidade de comprimento $\mu$: $c = \sqrt{F/\mu}$, como a análise dimensional previu ([Exercício 1.5](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#exo-b1-units-dimensions-5)) — $140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para uma corda de violão. A luz no vácuo, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; no vidro, $c/n$. A [celeridade](#def-b1-wave-propagation-travelling) é uma propriedade do meio, não da fonte: um sussurro e um grito chegam juntos.

**Proposição 5.8 (Onda progressiva senoidal).**

Uma fonte senoidal $s(0, t) = A\cos(\omega t)$ lança

$$
s(x, t) = A\cos\!\big(\omega(t - x/c)\big) = A\cos(\omega t - kx),
\qquad k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda},
\qquad \lambda = cT = \frac{c}{f}.
$$

A onda é periódica no tempo (período $T$) e no espaço (período o *[comprimento de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal)* $\lambda$); $k$ é o *[número de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal)*; dois pontos separados por uma distância $d$ oscilam com uma diferença de [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) $\Delta\varphi = 2\pi d/\lambda = kd$ — em [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) se $d = n\lambda$, em oposição de [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) se $d = (n + \tfrac12)\lambda$. A velocidade com que uma crista se desloca, $v_\varphi = \omega/k$, é a *[velocidade de fase](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal)*; aqui $v_\varphi = c$.

**Demonstração.** Substitua $f(u) = A\cos(\omega u)$ em $f(t - x/c)$. Com $x$ fixo, o [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) se repete após $T = 2\pi/\omega$; com $t$ fixo, ele se repete após $\lambda$, com $k\lambda = 2\pi$. Dois pontos $x_1$, $x_2 = x_1 + d$: as [fases](#def-b1-wave-propagation-signal) diferem de $kd$. Uma crista ($\omega t - kx = \text{const}$) se move com $\dd x/\dd t = \omega/k$. ∎

![A dupla periodicidade de uma onda progressiva senoidal: um instantâneo a tempo fixo se repete a cada comprimento de onda e desliza com velocidade c; o sinal num ponto fixo se repete a cada período T, com = cT.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/fig-db278ed3c689.svg)

![A dupla periodicidade de uma onda progressiva senoidal: um instantâneo a tempo fixo se repete a cada comprimento de onda e desliza com velocidade c; o sinal num ponto fixo se repete a cada período T, com = cT.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/fig-39d2128e836b.svg)

*A [dupla periodicidade](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) de uma [onda progressiva](#def-b1-wave-propagation-travelling) senoidal: um instantâneo a tempo fixo se repete a cada [comprimento de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) $\lambda$ e desliza com velocidade $c$; o [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) num ponto fixo se repete a cada período $T$, com $\lambda = cT$.*

**Definição 5.9 (Dispersão).**

Um meio é *dispersivo* quando a [velocidade de fase](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) depende da frequência. Um [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) não senoidal, soma de senoides, deforma-se então ao viajar, com as suas componentes se separando. O som no ar e a luz no vácuo são não dispersivos; a luz no vidro ([Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/2-optica-geometrica-raios-reflexao-refracao#ch-b1-rays-reflection-refraction)) e as ondas em água profunda são dispersivas — a ondulação longa vinda de uma tempestade distante chega um dia antes da marola curta.

## 5.3 Superposição e interferência

**Teorema 5.10 (Superposição).**

Num meio linear, quando várias ondas se propagam juntas, o [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) resultante em cada ponto e em cada instante é a soma dos sinais que cada onda produziria sozinha.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 5.11 (Linearidade).**

A superposição é uma afirmação sobre as equações do meio (lineares no [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal)), verdadeira enquanto as [amplitudes](#def-b1-wave-propagation-signal) permanecem pequenas: som abaixo do limiar da dor, luz abaixo das intensidades de corte a laser, uma corda dedilhada com suavidade. Dois feixes de luz se cruzam sem se perturbar; duas ondulações atravessam uma à outra e emergem intactas. O que se observa *onde elas se superpõem* é o assunto da interferência.

**Teorema 5.12 (Dois sinais senoidais de mesma frequência).**

Num ponto onde chegam dois sinais senoidais de mesma frequência, $s_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ e $s_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$, a soma é uma senoide de mesma frequência cuja [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) satisfaz

$$
A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi,
\qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 .
$$

Para ondas cuja intensidade (potência por unidade de área) é proporcional a $A^2$, as intensidades obedecem à *fórmula de Fresnel*

$$
I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\Delta\varphi .
$$

A interferência é *construtiva* ($A = A_1 + A_2$) quando $\Delta\varphi = 2n\pi$, e *destrutiva* ($A = \abs{A_1 - A_2}$) quando $\Delta\varphi = (2n + 1)\pi$, $n \in \Z$.

**Demonstração.** Desenvolvendo: $s_1 + s_2 = (A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2)\cos\omega t
- (A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2)\sin\omega t$, isto é, $X\cos\omega t - Y\sin\omega t = A\cos(\omega t + \varphi)$, com $A^2 = X^2 + Y^2 =
A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 + \sin\varphi_1\sin\varphi_2)$. Geometricamente: $A$ é o comprimento da soma de dois vetores de comprimentos $A_1$, $A_2$ que formam o ângulo $\Delta\varphi$ (a lei dos cossenos). ∎

**Proposição 5.13 (Duas fontes em fase; diferença de caminho).**

Duas fontes que emitem em [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) no [comprimento de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) $\lambda$, a distâncias $d_1$ e $d_2$ de um ponto $M$, chegam a $M$ com $\Delta\varphi = 2\pi\,\delta/\lambda$, em que $\delta = d_2 - d_1$ é a *[diferença de caminho](#prop-b1-wave-propagation-pathdiff)*. A interferência em $M$ é construtiva se $\delta = n\lambda$, e destrutiva se $\delta = (n + \tfrac12)\lambda$.

**Demonstração.** Cada onda chega com o atraso de [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) $kd_i = 2\pi d_i/\lambda$ do seu percurso ([Proposição 5.8](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal)); a diferença vale $2\pi(d_2 - d_1)/\lambda$. Aplique o [Teorema 5.12](#thm-b1-wave-propagation-fresnel). ∎

**Exemplo 5.14 (Dois alto-falantes).**

Dois alto-falantes a $2.0\,\mathrm{m}$ um do outro tocam em [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) o mesmo tom de $850\,\mathrm{Hz}$ ($\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$). Na mediatriz do segmento que os une, $\delta = 0$: som forte em toda parte. Ao longo do segmento que os une, $\delta$ varia de $2\lambda$ por [comprimento de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) de deslocamento, de modo que os pontos silenciosos ($\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$) se sucedem a cada $\lambda/2 = 20\,\mathrm{cm}$ — uma [onda estacionária](#thm-b1-wave-propagation-standing), assunto da próxima seção. Inverta os fios de um dos alto-falantes, para que toque em oposição de [fase](#def-b1-wave-propagation-signal), e forte e fraco trocam de lugar.

**Exemplo 5.15 (Furos de Young).**

Dois furos $S_1$, $S_2$ separados por uma distância $a$, iluminados por uma única fonte monocromática (de modo que emitam em [fase](#def-b1-wave-propagation-signal)), enviam luz a um anteparo à distância $D \gg a$. Num ponto do anteparo à altura $x$ do eixo, a [diferença de caminho](#prop-b1-wave-propagation-pathdiff) vale

$$
\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{a\,x}{D}
$$

(para $x \ll D$: $S_{1,2}M = \sqrt{D^2 + (x \mp a/2)^2} \approx D +
(x \mp a/2)^2/2D$, e subtraia). Franjas claras em $x = n\lambda D/a$: a *interfranja* é

$$
i = \frac{\lambda D}{a} .
$$

Com $a = 0.50\,\mathrm{mm}$, $D = 2.0\,\mathrm{m}$, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$: $i = 2.5\,\mathrm{mm}$ — uma régua mede o [comprimento de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) da luz. Num meio de índice $n$, a diferença a usar é a do *[caminho óptico](#ex-b1-wave-propagation-young)*, $n \times$ comprimento, já que $\lambda = \lambda_0/n$.

![Furos de Young: duas fontes em fase, separadas por a, alcançam o ponto M de um anteparo distante por caminhos que diferem de ax/D. A intensidade no anteparo, 4I_0 2(π x/i), alterna franjas claras e escuras espaçadas de i = D/a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/fig-57b90cda5484.svg)

*[Furos de Young](#ex-b1-wave-propagation-young): duas fontes em [fase](#def-b1-wave-propagation-signal), separadas por $a$, alcançam o ponto $M$ de um anteparo distante por caminhos que diferem de $\delta \approx ax/D$. A intensidade no anteparo, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$, alterna franjas claras e escuras espaçadas de $i = \lambda D/a$.*

**Observação 5.16 (Coerência).**

A fórmula de Fresnel supõe uma diferença de [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) fixa. Duas lâmpadas separadas têm [fases](#def-b1-wave-propagation-signal) que saltam ao acaso bilhões de vezes por segundo; a média de $\cos\Delta\varphi$ é nula e as intensidades simplesmente se somam: nenhuma franja. A interferência exige fontes *coerentes* — na prática, duas ondas nascidas de uma mesma fonte, por dois furos, duas fendas, as duas faces de um filme fino ou um divisor de feixe. Dois alto-falantes ligados a um mesmo gerador são coerentes; dois cantores não são.

## 5.4 Ondas estacionárias

**Teorema 5.17 (Onda estacionária).**

Duas ondas senoidais de mesma [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) e frequência que viajam em sentidos opostos somam-se em

$$
A\cos(\omega t - kx) + A\cos(\omega t + kx) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t),
$$

uma *[onda estacionária](#thm-b1-wave-propagation-standing)*: cada ponto oscila em [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) (ou em oposição de [fase](#def-b1-wave-propagation-signal)) com uma [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) $2A\abs{\cos kx}$ que depende da posição — nula nos *nós* $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$, máxima nos *ventres* $x = n\lambda/2$; os nós distam $\lambda/2$. Nada se propaga: as variáveis $x$ e $t$ estão separadas.

**Demonstração.** $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ com $a = \omega t - kx$, $b = \omega t + kx$. ∎

**Proposição 5.18 (Modos de uma corda fixa nas duas extremidades).**

Uma corda de comprimento $L$ e [celeridade](#def-b1-wave-propagation-travelling) $c$, fixa em $x = 0$ e $x = L$, só pode sustentar uma [onda estacionária](#thm-b1-wave-propagation-standing) senoidal se $L$ for um número inteiro de meios [comprimentos de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal):

$$
\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = n\,\frac{c}{2L} = n f_1,
\qquad n = 1, 2, 3, \dots
$$

Esses são os seus *modos*; $f_1 = c/2L$ é a *fundamental*, e os $f_n$ os seus harmônicos. Excitada numa extremidade a uma frequência próxima de $f_n$, a corda entra em ressonância com a forma do modo $n$ ([experiência de Melde](#prop-b1-wave-propagation-modes)); dedilhada, ela vibra numa superposição de modos, e o ouvido percebe $f_1$ como a altura do som.

**Demonstração.** Uma extremidade fixa é um nó. A onda refletida em $x = L$ retorna e se superpõe à incidente, formando uma [onda estacionária](#thm-b1-wave-propagation-standing); para que o seu nó caia também em $x = 0$, é preciso trocar $\cos kx$ por $\sin kx$ (deslocando a origem) e ter $\sin kL = 0$: $kL = n\pi$, $\lambda_n = 2L/n$, e $f_n = c/\lambda_n$. ∎

![Os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas extremidades: n meios comprimentos de onda cabem em L; a corda oscila entre as duas formas extremas (escura e clara), com os nós imóveis. Frequências f_n = nf_1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/fig-e2e2d42cc782.svg)

*Os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas extremidades: $n$ meios [comprimentos de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) cabem em $L$; a corda oscila entre as duas formas extremas (escura e clara), com os nós imóveis. Frequências $f_n = nf_1$.*

**Exemplo 5.19 (Uma corda de violão).**

$L = 65\,\mathrm{cm}$, afinada em $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$: $c = 2Lf_1 =
143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; com $\mu = 5.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ a tensão vale $F = \mu c^2
= 102\,\mathrm{N}$ — dez quilogramas pendurados em cada corda. Um dedo que pressiona no décimo segundo traste reduz $L$ à metade e dobra $f_1$: a oitava. Um dedo que apenas *toca* o meio da corda impõe ali um nó e mata todos os modos ímpares: a corda soa em $2f_1$, o “harmônico” dos violonistas.

**Observação 5.20 (Tubos, e uma antecipação).**

A coluna de ar de uma flauta, aberta nas duas extremidades, tem nós de pressão nas duas pontas e os mesmos modos $f_n = nc/2L$; um tubo fechado numa extremidade tem um nó na extremidade fechada e um ventre na aberta, de modo que $L = (2n + 1)\lambda/4$ e só soam os harmônicos ímpares $f = (2n + 1)c/4L$ — o timbre cavo do clarinete. Confinar uma onda entre duas paredes *quantiza*, portanto, as suas frequências; quando a onda é a onda de matéria de um elétron num átomo, a mesma contagem de meios [comprimentos de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) quantiza a sua energia ([Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/30-introducao-a-fisica-quantica#ch-b1-quantum-introduction)).

## 5.5 Exercícios

**Exercício 5.1 ★.**

O trovão chega $6.0\,\mathrm{s}$ depois do clarão: a que distância caiu o raio? Um ping de sonar retorna após $0.40\,\mathrm{s}$ na água ($c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): qual é a profundidade do fundo do mar?

**Solução de Exercício 5.1.**

$d = 340 \times 6.0 = 2.0\,\mathrm{km}$. Ida e volta: profundidade $= 1500 \times
0.40/2 = 300\,\mathrm{m}$.

**Exercício 5.2 ★.**

Uma onda sonora de $440\,\mathrm{Hz}$ viaja no ar ($340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). Calcule o seu [comprimento de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal), a diferença de [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) entre dois microfones separados por $20\,\mathrm{cm}$ ao longo da direção de propagação e as distâncias para as quais dois pontos oscilam em [fase](#def-b1-wave-propagation-signal).

**Solução de Exercício 5.2.**

$\lambda = 340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$; $\Delta\varphi = 2\pi \times
0.20/0.773 = 1.6\,\mathrm{rad}$ ($93^\circ$); em [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) para separações $n\lambda = n \times 0.77\,\mathrm{m}$.

**Exercício 5.3 ★.**

Uma corda tem tensão $80\,\mathrm{N}$ e massa por unidade de comprimento $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$: calcule $c$ e o [comprimento de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) de uma onda de $200\,\mathrm{Hz}$ nela.

**Solução de Exercício 5.3.**

$c = \sqrt{80/4.0\times10^{-3}} = 141\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\lambda = c/f =
0.71\,\mathrm{m}$.

**Exercício 5.4 ★.**

Um diapasão de $440\,\mathrm{Hz}$ e uma corda a $444\,\mathrm{Hz}$: quantos batimentos por segundo? Qual é o período da envoltória? A corda é afrouxada e os batimentos caem para $1\,\mathrm{Hz}$: qual é a sua frequência agora (em princípio duas respostas — qual delas, e como você verificaria)?

**Solução de Exercício 5.4.**

$444 - 440 = 4$ batimentos por segundo; período da envoltória $1/4 = 0.25\,\mathrm{s}$. Afrouxar abaixa a corda: $441\,\mathrm{Hz}$ (chegar a $439\,\mathrm{Hz}$ teria exigido passar pelo silêncio em $440\,\mathrm{Hz}$); verifique afrouxando um pouco mais: os batimentos devem sumir e depois voltar.

**Exercício 5.5 ★★.**

Uma corda de $0.60\,\mathrm{m}$, $c = 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, fixa nas duas extremidades. Dê as três primeiras frequências de modo e as posições dos nós do terceiro modo. Onde a corda deve ser tocada para que soe em $600\,\mathrm{Hz}$?

**Solução de Exercício 5.5.**

$f_1 = c/2L = 240/1.2 = 200\,\mathrm{Hz}$; $400$, $600\,\mathrm{Hz}$. Terceiro modo: nós em $0$, $0.20$, $0.40$, $0.60\,\mathrm{m}$. Toque a $20\,\mathrm{cm}$ (ou $40\,\mathrm{cm}$) de uma extremidade: um nó ali conserva apenas $n = 3, 6, \dots$, e a corda soa em $600\,\mathrm{Hz}$.

**Exercício 5.6 ★★.**

Dois alto-falantes a $2.0\,\mathrm{m}$ um do outro emitem $850\,\mathrm{Hz}$ em [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) ($c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). Localize os pontos silenciosos no segmento que os une e diga o que ouve um ouvinte que caminha ao longo da mediatriz desse segmento. O que muda se um dos alto-falantes for ligado em oposição de [fase](#def-b1-wave-propagation-signal)?

**Solução de Exercício 5.6.**

$\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$. No segmento, à distância $x$ do alto-falante 1, $\delta = (2.0 - x) - x = 2.0 - 2x$; silêncio para $\delta = \pm\lambda/2,
\pm 3\lambda/2, \dots$: $x = 0.1, 0.3, \dots, 1.9$ m, a cada $20\,\mathrm{cm}$; o ponto médio é forte. Na mediatriz $\delta = 0$: forte em todo o percurso (só com o decaimento em $1/r$). Em oposição de [fase](#def-b1-wave-propagation-signal): forte e fraco trocam — silêncio no ponto médio e a cada $20\,\mathrm{cm}$ a partir dele.

**Exercício 5.7 ★★.**

[Furos de Young](#ex-b1-wave-propagation-young): $a = 0.20\,\mathrm{mm}$, $D = 1.5\,\mathrm{m}$, luz de sódio $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$. Calcule a interfranja; depois para luz azul a $450\,\mathrm{nm}$; quantas franjas claras cabem em $2.0\,\mathrm{cm}$ em torno do centro com a lâmpada de sódio?

**Solução de Exercício 5.7.**

$i = \lambda D/a = 5.89\times10^{-7} \times 1.5/2.0\times10^{-4} =
4.4\,\mathrm{mm}$; azul: $3.4\,\mathrm{mm}$. Em $\pm1.0\,\mathrm{cm}$: franjas em $0$, $\pm 4.4$, $\pm 8.8$ mm — cinco.

**Exercício 5.8 ★★.**

Duas ondas coerentes de intensidades $I_0$ e $I_0$ interferem: dê $I_{\max}$ e $I_{\min}$. Mesma pergunta para $I_0$ e $I_0/4$. Defina o contraste $(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ e calcule-o nos dois casos.

**Solução de Exercício 5.8.**

Iguais: $I_{\max} = 4I_0$, $I_{\min} = 0$, contraste $1$. $I_0$ e $I_0/4$: $I_{\max} = I_0(1 + \tfrac14 + 2 \times \tfrac12) = 2.25I_0$, $I_{\min} =
I_0(1.25 - 1) = 0.25I_0$; contraste $2.0/2.5 = 0.8$.

**Exercício 5.9 ★★.**

Um tubo de $0.50\,\mathrm{m}$ ($c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). Dê as suas três primeiras frequências de ressonância se ele for fechado numa extremidade e depois se for aberto nas duas. Qual é o clarinete e qual é a flauta?

**Solução de Exercício 5.9.**

Fechado–aberto: $f = (2n + 1)c/4L = 170$, $510$, $850\,\mathrm{Hz}$ (só harmônicos ímpares: o clarinete). Aberto–aberto: $nc/2L = 340$, $680$, $1020\,\mathrm{Hz}$ (a flauta).

**Exercício 5.10 ★★★.**

Em água profunda, a [velocidade de fase](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) de uma onda senoidal vale $v_\varphi = \sqrt{g\lambda/2\pi}$. Calcule-a para $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ e $100\,\mathrm{m}$. Uma tempestade a $1000\,\mathrm{km}$ levanta as duas: qual ondulação chega primeiro à costa, e com que antecedência? Por que isso torna o mar “dispersivo”?

**Solução de Exercício 5.10.**

$v_\varphi = \sqrt{9.81 \times 10/2\pi} = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $100\,\mathrm{m}$. A ondulação longa primeiro: $10^6/12.5 =
22\,\mathrm{h}$ contra $10^6/3.95 = 70\,\mathrm{h}$, dois dias antes. A velocidade depende do [comprimento de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal): um mar misturado se separa por [comprimento de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) enquanto viaja — é a dispersão.

**Exercício 5.11 ★★★.**

Mostre que tocar levemente uma corda num ponto a $L/3$ de uma extremidade deixa apenas os modos de frequência $3f_1, 6f_1, \dots$, e que dedilhar uma corda no seu meio não excita nenhum modo par. (Sugestão: o que um nó, ou um deslocamento máximo, nesse ponto exige do $\sin(n\pi x/L)$ de cada modo?)

**Solução de Exercício 5.11.**

O modo $n$ tem forma $\sin(n\pi x/L)$. Um nó imposto em $x = L/3$ exige $\sin(n\pi/3) = 0$, isto é, $n$ múltiplo de $3$: frequências $3f_1,
6f_1, \dots$ Dedilhar em $L/2$ dá à corda um deslocamento máximo ali, para o qual o modo $n$ só pode contribuir se $\sin(n\pi/2) \neq 0$: os modos pares, que têm um nó em $L/2$, nada recebem.

**Exercício 5.12 ★★★.**

Um receptor de rádio à distância $d$ de uma parede metálica recebe a onda direta de um transmissor distante e a onda refletida pela parede, que percorre $2d$ a mais e ganha uma [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) extra de $\pi$ na reflexão. Em $f = 100\,\mathrm{MHz}$, encontre as distâncias $d$ para as quais o [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) se anula e aquelas em que ele é mais forte. Como isso explica os “pontos mortos” de um rádio de carro num túnel?

**Solução de Exercício 5.12.**

$\lambda = c/f = 3.0\,\mathrm{m}$. Diferença de [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) $2\pi(2d)/\lambda + \pi$; destrutiva quando ela vale $(2m + 1)\pi$: $2d/\lambda = m$, $d = m\lambda/2 = 0, 1.5, 3.0, \dots$ m; construtiva quando $2d/\lambda =
m + \tfrac12$: $d = 0.75, 2.25, \dots$ m. As paredes e o teto do túnel refletem a onda: um padrão estacionário com pontos mortos a cada meio [comprimento de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) ao longo do percurso do carro.

## 5.6 Problema: a corda de Melde e o violão

**Problema 5.1.**

Problema de fim de semana — uma corda vibrante numa bancada, uma polia e alguns pesos, depois um violão: como a contagem de meios comprimentos de onda fixa cada nota do braço

Uma corda de massa por unidade de comprimento $\mu$ é esticada horizontalmente com uma tensão $F$ entre um pequeno vibrador eletromagnético em $x = L$ (que a sacode transversalmente com [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) minúscula na frequência $f$) e um ponto fixo em $x = 0$; as ondas transversais nela viajam com $c = \sqrt{F/\mu}$ (deduzido no volume do segundo ano).

**Parte I — Ondas na corda.**

1. Verifique por análise dimensional que $\sqrt{F/\mu}$ é uma velocidade.
2. O vibrador envia para $x = 0$ a onda $s_i(x, t) = A\cos(\omega t + kx)$ . Por que o [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) $+kx$ ? Dê $k$ em função de $f$ e $c$ .
3. Para $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $F = 0.90\,\mathrm{N}$ e $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , calcule $c$ , $\lambda$ e $k$ .
4. Dois pontos da corda distam $15\,\mathrm{cm}$ . Qual é a diferença de [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) entre os seus movimentos para essa [onda progressiva](#def-b1-wave-propagation-travelling) ?
5. Para $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ , qual é a velocidade transversal máxima de um ponto da corda? Compare com $c$ .

**Parte II — Reflexão e [onda estacionária](#thm-b1-wave-propagation-standing).** Na extremidade fixa $x = 0$ a onda é refletida com o [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) invertido: $s_r(x, t) = -A\cos(\omega t - kx)$.

6. Por que a onda refletida deve trazer $-kx$ na sua [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) , e por que a [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) é invertida (pense no que o [sinal](#def-b1-wave-propagation-signal) total precisa ser em $x = 0$ )?
7. Mostre que $s = s_i + s_r = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .
8. Localize os nós e os ventres; dê a distância entre dois nós vizinhos.
9. A [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) própria do vibrador é tão pequena que $x = L$ é praticamente um nó. Deduza a condição sobre $L$ para uma grande [onda estacionária](#thm-b1-wave-propagation-standing) (ressonância) e as frequências permitidas $f_n$ .
10. Com $L = 1.20\,\mathrm{m}$ e os dados da questão 3, quantos meios [comprimentos de onda](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) (“fusos”) aparecem? A corda está em ressonância?
11. Mantendo $f = 50\,\mathrm{Hz}$ e $L$ , que tensões dão ressonâncias com $3$ e com $6$ fusos?
12. Inversamente, contam-se os fusos para medir $\mu$ : com $F = 1.6\,\mathrm{N}$ , $3$ fusos a $50\,\mathrm{Hz}$ em $1.20\,\mathrm{m}$ , calcule $\mu$ .
13. A tensão é imposta por uma massa $m$ pendurada numa polia, $F = mg$ , com $m$ conhecida a $\pm1\,\mathrm{g}$ em $163\,\mathrm{g}$ , e $L$ a $\pm2\,\mathrm{mm}$ . Qual medida limita $\mu$ , e qual é a sua incerteza relativa?

**Parte III — O violão.** Seis cordas de comprimento vibrante $L = 650\,\mathrm{mm}$ são afinadas em $82.4\,\mathrm{Hz}$ (mi grave), $110$, $147$, $196$, $247$ e $329.6\,\mathrm{Hz}$ (mi agudo).

14. Qual modo o ouvido toma como altura do som? Exprima $c$ em cada corda a partir de $L$ e da altura, e calcule-o para as duas cordas mi.
15. A corda mi grave tem $\mu = 6.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , e a mi aguda $\mu = 0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : calcule as suas tensões. Por que as cordas graves são encapadas com metal em vez de simplesmente mais esticadas?
16. A música ocidental divide a oitava em doze semitons iguais: cada traste multiplica a frequência por $2^{1/12}$ . Mostre que o $n$ -ésimo traste deve ficar a uma distância $L(1 - 2^{-n/12})$ da pestana, e calcule as posições dos trastes $1$ , $5$ , $7$ e $12$ .
17. O espaçamento dos trastes encolhe ao subir o braço: por qual fator de um traste para o seguinte?
18. Um capotraste preso no traste $3$ encurta todas as cordas: por qual fator ele eleva cada altura, e qual é o novo comprimento vibrante?
19. Tocar (sem pressionar) a corda mi grave sobre o traste $12$ e depois sobre o traste $7$ (em $L/3$ ) dá dois “harmônicos”: quais frequências, e quais modos sobrevivem?
20. Dedilhar perto do cavalete soa mais brilhante do que dedilhar sobre a boca do instrumento. Explique com as formas dos modos.
21. Duas cordas são afinadas a uma quinta de distância ( $f_2 = 1.5f_1$ ). Tocadas juntas, um ouvinte percebe um leve batimento a $2\,\mathrm{Hz}$ entre o terceiro harmônico da corda grave e o segundo harmônico da aguda: qual é a razão real $f_2/f_1$ , se $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ ?

**Parte IV — Afinando com um diapasão.**

22. A corda lá ( $110\,\mathrm{Hz}$ ) é afinada contra o diapasão de $440\,\mathrm{Hz}$ . Qual harmônico da corda bate contra o diapasão? Se se ouvem $3\,$ batimentos por segundo, quais são as duas frequências possíveis da corda?
23. Girar a cravelha aumenta ligeiramente a tensão e os batimentos aceleram: qual das duas era, e de quanto, relativamente, a tensão deve mudar para chegar à altura correta?
24. Mostre que uma variação relativa $\dd F/F$ da tensão altera a frequência de $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .
25. Resuma a cadeia de resultados: como o comprimento, a tensão e a massa da corda fixam a sua fundamental, como os trastes fixam a escala e como os batimentos a afinam — e nomeie a única relação por trás de tudo isso.

**Solução de Problema 5.1.**

**1.** $[F/\mu] = M L T^{-2}/(M L^{-1}) = L^2 T^{-2}$: uma velocidade ao quadrado.

**2.** Uma onda que vai para $-x$ depende de $t + x/c$, isto é, de $\omega t + kx$; $k = \omega/c = 2\pi f/c$.

**3.** $c = \sqrt{0.90/1.0\times10^{-3}} = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\lambda = c/f = 0.60\,\mathrm{m}$; $k = 2\pi/\lambda = 10.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$.

**4.** $\Delta\varphi = kd = 10.5 \times 0.15 = 1.6\,\mathrm{rad} = \pi/2$.

**5.** $v_{\max} = A\omega = 2.0\times10^{-3} \times 2\pi \times 50 =
0.63\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, cinquenta vezes menor que $c$: os pontos da corda se movem devagar enquanto a forma corre.

**6.** Ela viaja para $+x$: [fase](#def-b1-wave-propagation-signal) $\omega t - kx$. Na extremidade fixa o deslocamento total se anula em todo instante: $s_i(0, t) + s_r(0, t)
= A\cos\omega t + (-A)\cos\omega t = 0$.

**7.** $\cos(\omega t + kx) - \cos(\omega t - kx) =
-2\sin(\omega t)\sin(kx)$, logo $s = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$.

**8.** Nós: $\sin kx = 0$, $x = n\lambda/2$; ventres $x = (n +
\tfrac12)\lambda/2$; nós vizinhos separados por $\lambda/2$.

**9.** $\sin kL = 0$: $L = n\lambda/2$, isto é, $f_n = nc/2L$.

**10.** $n = 2L/\lambda = 2.4/0.60 = 4$: quatro fusos, um inteiro — ressonância.

**11.** $3$ fusos: $\lambda = 2L/3 = 0.80\,\mathrm{m}$, $c = \lambda f
= 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $F = \mu c^2 = 1.6\,\mathrm{N}$. $6$ fusos: $\lambda =
0.40\,\mathrm{m}$, $c = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $F = 0.40\,\mathrm{N}$.

**12.** $c = 2Lf/n = 2 \times 1.20 \times 50/3 = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\mu = F/c^2 = 1.6/1600 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m} = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$.

**13.** $\mu = mgn^2/(4L^2f^2)$: $u(\mu)/\mu = \sqrt{(u_m/m)^2 +
(2u_L/L)^2} = \sqrt{0.61^2 + 0.33^2}\,\% = 0.7\%$; a massa é o que limita.

**14.** A fundamental. $c = 2Lf_1$: mi grave $2 \times 0.650 \times
82.4 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; mi agudo $428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**15.** $F = \mu c^2$: mi grave $6.0\times10^{-3} \times 107^2 =
69\,\mathrm{N}$; mi agudo $4.0\times10^{-4} \times 428^2 = 73\,\mathrm{N}$ — tensões comparáveis. Baixar $f$ por um fator $4$ com $L$ e $\mu$ fixos exigiria $16$ vezes menos tensão: uma corda mole e trepidante. Encapar aumenta $\mu$ em vez disso.

**16.** $f_n = 2^{n/12}f_1$ e $f \propto 1/L$: $L_n = 2^{-n/12}L$, distância da pestana $L - L_n = L(1 - 2^{-n/12})$: traste 1 $36.5\,\mathrm{mm}$, traste 5 $163\,\mathrm{mm}$, traste 7 $216\,\mathrm{mm}$, traste 12 $325\,\mathrm{mm}$.

**17.** Cada espaçamento vale $2^{-1/12} = 0.944$ vezes o anterior.

**18.** Fator $2^{3/12} = 1.19$ (três semitons); comprimento $650 \times 2^{-3/12} = 547\,\mathrm{mm}$.

**19.** Tocando em $L/2$: só modos pares, altura $2f_1 =
165\,\mathrm{Hz}$; em $L/3$: múltiplos de $3$, altura $3f_1 = 247\,\mathrm{Hz}$.

**20.** Perto de uma extremidade, $\sin(n\pi x/L) \approx n\pi x/L$ cresce com $n$: os modos altos são relativamente mais excitados — som brilhante. Sobre a boca (perto do meio) os modos pares são fracos e a fundamental domina — som doce.

**21.** $3f_1 = 330\,\mathrm{Hz}$ bate a $2\,\mathrm{Hz}$ com $2f_2$: $f_2 = 166$ ou $164\,\mathrm{Hz}$, razão $1.509$ ou $1.491$ (a quinta temperada vale $2^{7/12} = 1.498$).

**22.** O quarto harmônico, $4f$. Três batimentos: $4f = 437$ ou $443\,\mathrm{Hz}$, $f = 109.25$ ou $110.75\,\mathrm{Hz}$.

**23.** Os batimentos aceleram ao apertar, logo a corda estava alta: $110.75\,\mathrm{Hz}$. Ela deve baixar $0.75/110.75 = 0.68\%$, isto é, a tensão deve cair $1.4\%$.

**24.** $f = (n/2L)\sqrt{F/\mu}$, logo $\ln f = \tfrac12\ln F + \text{const}$ e $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$.

**25.** $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$: o comprimento fixa $\lambda_1 = 2L$, a tensão e a massa fixam $c$, os trastes escalam $L$ por $2^{-n/12}$, e os batimentos revelam $f - f_{\text{ref}}$. Por trás de tudo, uma relação: $\lambda f = c$, com a condição de [onda estacionária](#thm-b1-wave-propagation-standing) $L = n\lambda/2$.