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title: "Regime senoidal permanente e impedância"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia
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# Capítulo 8 — Regime senoidal permanente e impedância

Gire o dial de um rádio antigo e, das cem estações que chegam todas à antena ao mesmo tempo, uma se faz ouvir: uma bobina e um capacitor variável foram ajustados de modo que exatamente uma frequência os faça ressoar. A rede elétrica que zumbe em cada parede é uma senoide de $50\,\mathrm{Hz}$; a fábrica que faz girar grandes motores com ela paga uma multa se a sua corrente se atrasa demais em relação à [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage). As senoides são a linguagem natural dos [circuitos lineares](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-linear) — saem como entraram, apenas escaladas e defasadas — e este capítulo lhes dá a sua álgebra: [amplitudes complexas](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex), [impedâncias](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance), a ressonância do [circuito RLC](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#prop-b1-transient-regimes-rlc) e a potência que as correntes senoidais realmente entregam.

![Um osciloscópio mostrando uma senoide e uma onda quadrada: a senoide é o sinal de que vive este capítulo, e a onda quadrada aquele que o próximo capítulo decompõe em senoides.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/img-1d22c9099832.jpg)

*Um osciloscópio mostrando uma senoide e uma onda quadrada: a senoide é o sinal de que vive este capítulo, e a onda quadrada aquele que o próximo capítulo decompõe em senoides.*

## 8.1 O regime senoidal permanente

**Proposição 8.1 (Regime senoidal forçado).**

Num [circuito linear](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-linear) excitado por uma fonte senoidal de [frequência angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $\omega$, toda corrente e toda [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) são, uma vez extintos os transitórios, senoides de mesma [frequência angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $\omega$, cada uma com a sua própria [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) e fase: $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$.

**Demonstração.** As equações do circuito são equações diferenciais lineares com coeficientes constantes; a sua solução geral é uma solução particular mais as soluções da equação homogênea, que são os transitórios do [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#ch-b1-transient-regimes) e decaem (todo circuito real tem alguma resistência). Existe uma solução particular senoidal porque derivar uma senoide de frequência $\omega$ dá uma senoide da mesma frequência: as equações podem ser satisfeitas termo a termo — o método complexo abaixo a constrói explicitamente. ∎

**Definição 8.2 (Amplitude complexa).**

À senoide $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ associa-se o sinal complexo $\underline{x}(t) = X\eu^{j(\omega t + \varphi)}$, de modo que $x = \Rea(\underline{x})$, e a *[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) complexa*

$$
\underline{X} = X\eu^{j\varphi}, \qquad \underline{x}(t) = \underline{X}\,\eu^{j\omega t},
$$

que carrega a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $X = \abs{\underline{X}}$ e a fase $\varphi = \arg\underline{X}$. Aqui $j$ designa a unidade imaginária, $j^2 = -1$, ficando a letra $i$ reservada às correntes. Desenhada como um vetor de comprimento $X$ e ângulo $\varphi$, $\underline{X}$ é um *fasor* (vetor de Fresnel).

**Proposição 8.3 (Regras do método complexo).**

1. As operações lineares comutam com a tomada da parte real: a [amplitude complexa](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) de uma soma é a soma das [amplitudes complexas](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) .
2. Derivar em relação ao tempo multiplica a [amplitude complexa](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) por $j\omega$ ; integrar a divide por $j\omega$ .
3. As [leis de Kirchhoff](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) , por serem lineares, valem para [amplitudes complexas](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) .

**Demonstração.** $\Rea(\underline a + \underline b) = \Rea\underline a + \Rea\underline b$; $\dd(\underline X\eu^{j\omega t})/\dd t = j\omega\underline X\eu^{j\omega t}$, e $\dd x/\dd t = \Rea(\dd\underline x/\dd t)$, pois a derivação é linear sobre os reais. As somas de correntes num nó e de tensões numa malha são lineares. ∎

**Exemplo 8.4 (Somando duas senoides).**

$3\cos\omega t + 4\sin\omega t$: as [amplitudes complexas](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) são $3$ e $4\eu^{-j\pi/2} = -4j$ (pois $\sin\omega t = \cos(\omega t - \pi/2)$); a sua soma $3 - 4j$ tem módulo $5$ e argumento $-0.927\ \mathrm{rad}$: $5\cos(\omega t - 0.927)$. Nenhuma identidade trigonométrica é necessária.

## 8.2 Impedância

**Definição 8.5 (Impedância, admitância).**

Para um [dipolo linear](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-linear) em [regime senoidal permanente](#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced) ([convenção receptor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)), a *impedância* é a razão das [amplitudes complexas](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex)

$$
\underline Z = \frac{\underline U}{\underline I} = Z\eu^{j\varphi}
\quad (\text{ohms}),
$$

cujo módulo $Z = U/I$ relaciona as [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) e cujo argumento $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ é o avanço de fase da [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) sobre a corrente. O seu inverso $\underline Y = 1/\underline Z$ é a *admitância* (siemens). A parte real de $\underline Z$ é a sua resistência, e a parte imaginária a sua *reatância*.

**Proposição 8.6 (Impedâncias de R, L, C).**

$$
\underline Z_R = R, \qquad \underline Z_L = jL\omega, \qquad
\underline Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} .
$$

Um [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) mantém [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) e corrente em fase; numa bobina a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) adianta a corrente de $\pi/2$; num capacitor ela atrasa de $\pi/2$. Em baixa frequência uma bobina tende a um fio e um capacitor a um circuito aberto; em alta frequência é o contrário.

**Demonstração.** $u = Ri$; $u = L\,\dd i/\dd t \to \underline U = jL\omega\,\underline I$; $i = C\,\dd u/\dd t \to \underline I = jC\omega\,\underline U$. Os argumentos de $1$, $j$ e $-j$ valem $0$, $\pi/2$, $-\pi/2$. ∎

**Proposição 8.7 (Associação; divisores; teoremas).**

[Impedâncias](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) em série somam-se; [admitâncias](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) em paralelo somam-se; os [divisores de tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#prop-b1-dc-circuits-dividers) e de corrente, os teoremas de Thévenin e de Norton, a superposição e o teorema de Millman do [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#ch-b1-dc-circuits) valem todos com [amplitudes complexas](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) e [impedâncias](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) no lugar de tensões, correntes e resistências reais.

**Demonstração.** Toda demonstração do [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#ch-b1-dc-circuits) usou apenas as [leis de Kirchhoff](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) e a linearidade de $u = Ri$, ambas válidas em forma complexa. ∎

**Exemplo 8.8 (O divisor RC).**

Um [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ e um capacitor $C$ em série sob $\underline E$, com a saída tomada em $C$: $\underline U_C = \underline E\,\dfrac{1/jC\omega}
{R + 1/jC\omega} = \dfrac{\underline E}{1 + jRC\omega}$. [Amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $E/\sqrt{1 + (RC\omega)^2}$, fase $-\arctan(RC\omega)$: transmissão total em baixa frequência, $1/\sqrt2$ e $-45^\circ$ em $\omega = 1/RC$, e uma queda em $1/\omega$ além dali — um filtro passa-baixa, objeto do [Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/9-filtros-e-funcoes-de-transferencia#ch-b1-filters-transfer-functions).

## 8.3 O circuito RLC série: a ressonância

**Teorema 8.9 (Ressonância em corrente).**

Um [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$, uma bobina $L$ e um capacitor $C$ em série sob $e(t) = E\cos\omega t$ conduzem a corrente de [amplitude complexa](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex)

$$
\underline I = \frac{E}{R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)},
\qquad
I = \frac{E}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}},
\qquad
\varphi_i = -\arctan\frac{L\omega - 1/C\omega}{R} .
$$

A [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) é máxima, $I_{\max} = E/R$, com corrente e [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) em fase, na *ressonância* $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$. Com $Q = L\omega_0/R = 1/(RC\omega_0)$ e $x = \omega/\omega_0$,

$$
\frac{I}{I_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2\left(x - \dfrac1x\right)^2}} ,
$$

e a *[largura de banda](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance)* — o intervalo de $\omega$ em que $I \geq I_{\max}/\sqrt2$ — vale

$$
\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} .
$$

**Demonstração.** As [impedâncias](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) em série somam-se: $\underline Z = R + jL\omega + 1/jC\omega$, e $\underline I = \underline E/\underline Z$. O módulo é máximo quando a [reatância](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $L\omega - 1/C\omega$ se anula, isto é, em $\omega_0$. Fatore $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ e divida por $R$: $L\omega_0/R = Q$. Nas bordas da banda, $Q(x - 1/x) = \pm 1$, isto é, $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$, cujas raízes positivas são $x_{1,2} = \mp\frac{1}{2Q}
+ \sqrt{1 + \frac{1}{4Q^2}}$; a sua diferença vale $1/Q$. ∎

![RLC série: amplitude da corrente (à esquerda) e a sua fase em relação à fonte (à direita) contra / _0, para Q = 1, 3, 10. O pico se estreita à medida que Q cresce (= _0/Q); abaixo da ressonância o circuito é capacitivo (a corrente adianta) e, acima, indutivo (a corrente atrasa).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-74f88f6a89eb.svg)

![RLC série: amplitude da corrente (à esquerda) e a sua fase em relação à fonte (à direita) contra / _0, para Q = 1, 3, 10. O pico se estreita à medida que Q cresce (= _0/Q); abaixo da ressonância o circuito é capacitivo (a corrente adianta) e, acima, indutivo (a corrente atrasa).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-9bef167671c0.svg)

*RLC série: [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da corrente (à esquerda) e a sua fase em relação à fonte (à direita) contra $\omega/\omega_0$, para $Q = 1, 3, 10$. O pico se estreita à medida que $Q$ cresce ($\Delta\omega =
\omega_0/Q$); abaixo da ressonância o circuito é capacitivo (a corrente adianta) e, acima, indutivo (a corrente atrasa).*

![Diagrama de fasores do RLC série acima da ressonância: U_R ao longo de I, U_L um quarto de volta à frente, U_C um quarto de volta atrás; a sua soma E adianta a corrente de . Na ressonância U_L e U_C se cancelam e E = U_R.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-b403cb43517d.svg)

*Diagrama de [fasores](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) do RLC série acima da ressonância: $\underline U_R$ ao longo de $\underline I$, $\underline U_L$ um quarto de volta à frente, $\underline U_C$ um quarto de volta atrás; a sua soma $\underline E$ adianta a corrente de $\varphi$. Na ressonância $\underline U_L$ e $\underline U_C$ se cancelam e $\underline E = \underline U_R$.*

**Proposição 8.10 (Sobretensão).**

Na ressonância, as tensões na bobina e no capacitor têm a mesma [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $QE$ e fases opostas: para $Q \gg 1$ o capacitor suporta uma [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) $Q$ vezes maior que a da fonte. A própria [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $U_C(\omega)$ passa por um máximo, para $Q > 1/\sqrt2$, em $\omega_r =
\omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$, ligeiramente abaixo de $\omega_0$, com $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$.

**Demonstração.** Em $\omega_0$, $\underline U_C = \underline I/jC\omega_0 = -jQE$ e $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$, pois $I = E/R$. Em geral $U_C = I/C\omega = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ (multiplique numerador e denominador por $1/C\omega_0$); o quadrado do denominador vale $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2$, um trinômio em $x^2$ mínimo em $x^2 =
1 - 1/2Q^2$ quando este é positivo, com mínimo $1/Q^2 - 1/4Q^4$. ∎

**Exemplo 8.11 (Sintonizando um rádio).**

Uma bobina $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ e um capacitor variável: $C =
127\,\mathrm{pF}$ sintoniza $f_0 = 1.00\,\mathrm{MHz}$. Com a resistência do fio da bobina $R = 12.6\,\Omega$, tem-se $L\omega_0 = 1257\,\Omega$ e $Q = 100$: [largura de banda](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\Delta f = f_0/Q = 10\,\mathrm{kHz}$ — a largura de um canal AM — e os $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ induzidos por um transmissor distante viram $QE = 1\,\mathrm{mV}$ no capacitor, de graça. O problema de fim de semana constrói esse receptor.

**Observação 8.12 (Por que QQQ de novo).**

O $Q$ deste capítulo é o $Q$ do [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#ch-b1-transient-regimes): o circuito que oscila por cerca de $Q$ períodos quando percutido é o que ressoa numa banda de largura $\omega_0/Q$ quando excitado. Ambos exprimem uma mesma razão: $2\pi$ vezes a energia armazenada dividida pela energia dissipada por período ([Exercício 8.12](#exo-b1-sinusoidal-impedance-12)). Uma ressonância aguda e uma oscilação longa são a mesma propriedade, e o mesmo vale para a resposta lenta: um filtro de [largura de banda](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\Delta\omega$ leva um tempo da ordem de $1/\Delta\omega$ para se estabelecer.

## 8.4 Potência em regime senoidal

**Definição 8.13 (Valor eficaz).**

O *valor eficaz* (ou valor RMS, da raiz da média quadrática) de um sinal periódico $x(t)$ é $X_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\langle x^2\rangle}$, a raiz quadrada da média temporal de $x^2$ sobre um período. Para uma senoide de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $X$, $X_{\mathrm{rms}} = X/\sqrt2$. Os $230\,\mathrm{V}$ da rede elétrica são um valor eficaz; a sua [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) vale $325\,\mathrm{V}$.

**Teorema 8.14 (Potência média).**

Um dipolo com $u = U\cos\omega t$ e $i = I\cos(\omega t - \varphi)$ ([convenção receptor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)) recebe a potência instantânea $p = ui$, de média

$$
P = \tfrac12\,UI\cos\varphi = U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi
= \tfrac12\Rea\!\big(\underline U\,\underline I^{\,*}\big) = \tfrac12\Rea(\underline Z)\,I^2,
$$

em que $\cos\varphi$ é o *[fator de potência](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power)*. Um [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) recebe $\tfrac12 RI^2 = RI_{\mathrm{rms}}^2$; uma bobina ou um capacitor ideais ($\varphi = \pm\pi/2$) não recebem [potência média](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) — armazenam energia durante meio período e a devolvem durante a outra metade.

**Demonstração.** $p = UI\cos\omega t\cos(\omega t - \varphi) = \tfrac12 UI[\cos\varphi +
\cos(2\omega t - \varphi)]$; o segundo termo tem média nula. Com $\underline U = U$ e $\underline I = I\eu^{-j\varphi}$, $\underline U\,\underline I^* = UI\eu^{j\varphi}$, cuja parte real vale $UI\cos\varphi$; e $\underline U = \underline Z\,\underline I$ dá $\underline U\,\underline I^* = \underline Z I^2$. ∎

![Potência instantânea recebida por um dipolo com 60 de atraso de fase entre corrente e tensão: ela pulsa em 2, mergulha abaixo de zero (energia devolvida à fonte) e tem média 1/2 UI — aqui, metade do que seria em fase.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-eff1098ec10f.svg)

*Potência instantânea recebida por um dipolo com $60^\circ$ de atraso de fase entre corrente e [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage): ela pulsa em $2\omega$, mergulha abaixo de zero (energia devolvida à fonte) e tem média $\tfrac12 UI\cos\varphi$ — aqui, metade do que seria em fase.*

**Exemplo 8.15 (Correção do fator de potência).**

Um motor de oficina em $230\,\mathrm{V}$ eficazes consome $2.0\,\mathrm{kW}$ com $\cos\varphi = 0.70$ (indutivo): $I_{\mathrm{rms}} = 2000/(230 \times
0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$, contra $8.7\,\mathrm{A}$ se o [fator de potência](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) fosse $1$ — a corrente excedente aquece os cabos da concessionária à toa, daí a multa. Um capacitor em paralelo fornece localmente as trocas de energia de um quarto de período da bobina: a *[potência reativa](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power)* $P\tan\varphi =
2.0\,\mathrm{kvar}$ pede $C = P\tan\varphi/(\omega U_{\mathrm{rms}}^2)
\approx 120\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $50\,\mathrm{Hz}$, e a corrente de linha cai para $8.7\,\mathrm{A}$.

## 8.5 Exercícios

**Exercício 8.1 ★.**

Dê a [amplitude complexa](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) de $u = 5\cos(\omega t + \pi/3)$ (V), nas formas polar e cartesiana. Usando [amplitudes complexas](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex), escreva $3\cos\omega t
+ 4\sin\omega t$ como um único cosseno.

**Solução de Exercício 8.1.**

$\underline U = 5\eu^{j\pi/3} = 2.5 + 4.33j$ (V). $3\cos\omega t +
4\sin\omega t$: $3 + 4\eu^{-j\pi/2} = 3 - 4j$, módulo $5$, argumento $-\arctan(4/3) = -0.927\,\mathrm{rad}$: $5\cos(\omega t - 0.927)$.

**Exercício 8.2 ★.**

Calcule a [impedância](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de $R = 100\,\Omega$, $L = 0.10\,\mathrm{H}$ e $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ e a $1.0\,\mathrm{kHz}$. Dê o módulo e a fase da [impedância](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de $R$ e $L$ em série a $50\,\mathrm{Hz}$.

**Solução de Exercício 8.2.**

$R$: $100\,\Omega$ nos dois casos. $L\omega$: $31.4\,\Omega$ ($50\,\mathrm{Hz}$), $628\,\Omega$ ($1\,\mathrm{kHz}$). $1/C\omega$: $318\,\Omega$, $15.9\,\Omega$. $RL$ em série a $50\,\mathrm{Hz}$: $\abs{\underline Z} = \sqrt{100^2 + 31.4^2} =
105\,\Omega$, fase $\arctan(0.314) = 17^\circ$.

**Exercício 8.3 ★.**

A rede elétrica é de $230\,\mathrm{V}$ eficazes: qual é a sua [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal)? Um aquecedor de $2.0\,\mathrm{kW}$: corrente eficaz e de pico. Mostre que a [potência média](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) num [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) vale $RI_{\mathrm{rms}}^2$.

**Solução de Exercício 8.3.**

$U = 230\sqrt2 = 325\,\mathrm{V}$. $I_{\mathrm{rms}} = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$, pico $12.3\,\mathrm{A}$. $\langle Ri^2\rangle = R\langle i^2\rangle =
RI_{\mathrm{rms}}^2$ pela própria definição de [valor eficaz](#def-b1-sinusoidal-impedance-rms).

**Exercício 8.4 ★.**

RLC série: $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R = 100\,\Omega$, $E = 1.0\,\mathrm{V}$. Dê $f_0$, $Q$, a [largura de banda](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) em hertz e a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da corrente na ressonância.

**Solução de Exercício 8.4.**

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 5.03\,\mathrm{kHz}$; $Q = \sqrt{L/C}/R = 3.16$; $\Delta f = f_0/Q = 1.6\,\mathrm{kHz}$; $I_{\max} = E/R = 10\,\mathrm{mA}$.

**Exercício 8.5 ★★.**

Divisor RC, saída em $C$: $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 159\,\mathrm{nF}$. Em que frequência a saída vale $1/\sqrt2$ da entrada? Dê a razão de [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) e a fase da saída a $1.0\,\mathrm{kHz}$ e a $10\,\mathrm{kHz}$.

**Solução de Exercício 8.5.**

$1/\sqrt2$ em $\omega = 1/RC$: $f_c = 1/(2\pi RC) = 1.0\,\mathrm{kHz}$. A $1.0\,\mathrm{kHz}$: razão $0.71$, fase $-45^\circ$. A $10\,\mathrm{kHz}$: $RC\omega = 10$, razão $1/\sqrt{101} = 0.10$, fase $-84^\circ$.

**Exercício 8.6 ★★.**

Em certa frequência, um RLC série tem $R = 100\,\Omega$, $L\omega =
250\,\Omega$, $1/C\omega = 100\,\Omega$ e $E = 1.0\,\mathrm{V}$. Calcule $\underline Z$, a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) e a fase da corrente e as três [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage); desenhe o diagrama de [fasores](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex). O circuito está acima ou abaixo da ressonância?

**Solução de Exercício 8.6.**

$\underline Z = 100 + j(250 - 100) = 100 + 150j$: $Z = 180\,\Omega$, $\arg = 56^\circ$. $I = 1.0/180 = 5.6\,\mathrm{mA}$, atrasada em relação à fonte de $56^\circ$. $U_R = 0.56\,\mathrm{V}$, $U_L = 1.39\,\mathrm{V}$, $U_C = 0.56\,\mathrm{V}$; [fasores](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex): $U_R$ ao longo de $I$, $U_L$ para cima, $U_C$ para baixo, resultante $1.0\,\mathrm{V}$. $L\omega > 1/C\omega$: acima da ressonância (indutivo).

**Exercício 8.7 ★★.**

Rádio: $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$, $C$ ajustável de $50\,$ a $500\,\mathrm{pF}$. Encontre a faixa de frequências, a capacitância para $1.00\,\mathrm{MHz}$ e, com $Q = 100$, a [largura de banda](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) e a atenuação (razão de [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal)) de uma estação a $9\,\mathrm{kHz}$ de distância. Com uma fem de antena de $10\,\text{µ}\mathrm{V}$: qual a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) em $C$ na ressonância?

**Solução de Exercício 8.7.**

$f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$: $1.59\,\mathrm{MHz}$ ($50\,\mathrm{pF}$) a $0.50\,\mathrm{MHz}$ ($500\,\mathrm{pF}$). Em $1.00\,\mathrm{MHz}$: $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$. $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$. Estação em $1.009\,\mathrm{MHz}$: $x = 1.009$, $Q(x - 1/x) = 1.8$, razão $1/\sqrt{1 + 3.2} = 0.49$. [Tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) no capacitor $QE = 1.0\,\mathrm{mV}$.

**Exercício 8.8 ★★.**

Deduza as duas frequências de meia potência do RLC série e mostre que a sua diferença vale $\omega_0/Q$ e o seu produto $\omega_0^2$.

**Solução de Exercício 8.8.**

$Q(x - 1/x) = \pm1 \Leftrightarrow x^2 \mp x/Q - 1 = 0$; raízes positivas $x_{1,2} = \mp 1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$. Diferença $1/Q$, logo $\Delta\omega = \omega_0/Q$; produto $(1 + 1/4Q^2) - 1/4Q^2 = 1$, logo $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$ (a banda é simétrica em escala logarítmica).

**Exercício 8.9 ★★.**

Um motor em $230\,\mathrm{V}$ eficazes, $50\,\mathrm{Hz}$, absorve $2.0\,\mathrm{kW}$ com $\cos\varphi = 0.70$. Calcule a corrente eficaz, a [potência reativa](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power), a capacitância em paralelo que leva o [fator de potência](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) a $1$ e a nova corrente. A linha de alimentação tem $0.50\,\Omega$: perdas Joule antes e depois.

**Solução de Exercício 8.9.**

$I = P/(U\cos\varphi) = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$. [Potência reativa](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) $P\tan\varphi = 2000 \times 1.02 = 2.0\,\mathrm{kvar}$. $C = 2040/(314
\times 230^2) = 123\,\text{µ}\mathrm{F}$. Nova corrente $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$. Perdas $0.50 \times 12.4^2 = 77\,\mathrm{W}$ antes e $0.50 \times 8.7^2 =
38\,\mathrm{W}$ depois.

**Exercício 8.10 ★★★.**

RLC paralelo alimentado por uma [fonte de corrente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-sources): escreva a [admitância](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance), mostre que a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) é máxima em $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ e vale ali $RI$, e que a [largura de banda](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) é $\Delta\omega = 1/RC$, isto é, $Q =
R\sqrt{C/L}$. Números: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $L = 1.0\,\mathrm{mH}$, $C = 1.0\,\mathrm{nF}$.

**Solução de Exercício 8.10.**

$\underline Y = 1/R + j(C\omega - 1/L\omega)$; $\underline U = \underline I/
\underline Y$ é máxima quando a susceptância se anula, em $\omega_0$, onde $U = RI$. Meia potência: $\abs{C\omega - 1/L\omega} = 1/R$, isto é, $RC\omega_0(x - 1/x) = \pm1$: $\Delta\omega = \omega_0/(RC\omega_0) = 1/RC$ e $Q = RC\omega_0 = R\sqrt{C/L}$. Números: $\omega_0 = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($f_0 = 159\,\mathrm{kHz}$), $Q = 10^4\sqrt{10^{-6}} = 10$, $\Delta f =
16\,\mathrm{kHz}$.

**Exercício 8.11 ★★★.**

Mostre que a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) no capacitor de um RLC série vale $U_C = E/\sqrt{(1 -
x^2)^2 + x^2/Q^2}$, que ela passa por um máximo em $x_r = \sqrt{1 - 1/2Q^2}$ se $Q > 1/\sqrt2$, e calcule $x_r$ e $U_{C,\max}/E$ para $Q = 3.16$. O que acontece para $Q < 1/\sqrt2$?

**Solução de Exercício 8.11.**

$U_C = I/C\omega = E/[C\omega\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}]$. Multiplicando por $C\omega$ dentro da raiz, o denominador vira $\sqrt{(RC\omega)^2 + (LC\omega^2 - 1)^2} =
\sqrt{x^2/Q^2 + (1 - x^2)^2}$. Com $s = x^2$: $(1 - s)^2 + s/Q^2$ é mínimo em $s = 1 - 1/2Q^2$ (se positivo), com mínimo $1/Q^2 - 1/4Q^4$: $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$. Para $Q = 3.16$: $x_r = 0.975$, $U_{C,\max} = 3.2E$. Para $Q < 1/\sqrt2$ o mínimo fica em $s = 0$: $U_C$ decresce monotonicamente a partir de $E$, sem pico.

**Exercício 8.12 ★★★.**

Na ressonância de um RLC série, mostre que a energia total armazenada $\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2$ é constante e igual a $\tfrac12 LI^2$, calcule a energia dissipada em $R$ por período e demonstre que $2\pi\,(\text{armazenada})/(\text{dissipada por período}) = Q$.

**Solução de Exercício 8.12.**

Na ressonância $i = I\cos\omega_0 t$ e $u_C = (I/C\omega_0)\sin\omega_0 t$, de modo que, usando $1/C\omega_0^2 = L$,

$$
\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2 = \tfrac12 LI^2\cos^2\omega_0 t
+ \tfrac12 LI^2\sin^2\omega_0 t = \tfrac12 LI^2 .
$$

Dissipada por período: $\tfrac12 RI^2T$. Razão $\times 2\pi$: $2\pi L/(RT)
= L\omega_0/R = Q$.

![Sintonizando um rádio valvulado: girar o botão muda um capacitor, o capacitor fixa a frequência de ressonância de um circuito LC, e a estação cuja frequência coincide é a que se ouve — o problema de fim de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/img-9d0e0e3a0a3d.jpg)

*Sintonizando um rádio valvulado: girar o botão muda um capacitor, o capacitor fixa a frequência de ressonância de um circuito $LC$, e a estação cuja frequência coincide é a que se ouve — o problema de fim de semana.*

## 8.6 Problema: o receptor de rádio ressonante

**Problema 8.1.**

Problema de fim de semana — uma bobina, um capacitor variável e uma antena: como uma ressonância série escolhe uma estação entre cem, multiplica o seu sinal fraco por cem e por que ela não pode ser feita arbitrariamente seletiva

A antena é modelada por uma fem senoidal ideal $e(t) = E\cos\omega t$ em série com uma bobina $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$, cujo fio tem resistência $R = 12.6\,\Omega$, e um capacitor variável $C$. O receptor lê a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) em $C$. Mais adiante (Parte IV), leva-se em conta a resistência própria da antena, $R_a = 50\,\Omega$.

**Parte I — A corrente na ressonância.**

1. Escreva a [impedância](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) complexa do circuito série.
2. Dê a [amplitude complexa](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) da corrente, depois a sua [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $I(\omega)$ e a sua fase $\varphi_i(\omega)$ em relação a $e$ .
3. Mostre que $I$ é máxima em $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ ; dê $I_{\max}$ e a fase nesse caso.
4. Que capacitância sintoniza $f_0 = 1.000\,\mathrm{MHz}$ ? Calcule $L\omega_0$ .
5. Defina $Q = L\omega_0/R$ e calcule-o.
6. Mostre que $I/I_{\max} = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ com $x = \omega/\omega_0$ .
7. Enuncie o sinal de $\varphi_i$ abaixo e acima da ressonância e interprete (comportamento capacitivo ou indutivo).

**Parte II — A seletividade.**

8. Escreva a condição que define as duas frequências em que $I = I_{\max}/\sqrt2$ .
9. Resolva-a e mostre que $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 =  \omega_0/Q$ .
10. Calcule a [largura de banda](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\Delta f$ deste receptor.
11. Uma segunda estação transmite em $1.010\,\mathrm{MHz}$ e uma terceira em $1.020\,\mathrm{MHz}$ : calcule a razão de [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $I/I_{\max}$ para cada uma e a razão de potências correspondente em decibéis.
12. As estações AM ficam a $9\,$ ou $10\,\mathrm{kHz}$ umas das outras. O receptor é suficientemente seletivo? O que o melhoraria?
13. O capacitor pode ser ajustado entre $50\,$ e $500\,\mathrm{pF}$ : que faixa de frequências o receptor cobre?

**Parte III — A sobretensão.**

14. Exprima a [amplitude complexa](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) da [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) no capacitor e mostre que na ressonância a sua [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) vale $QE$ .
15. A fem da antena vale $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : calcule $I_{\max}$ e a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) no capacitor na ressonância. Comente.
16. Mostre que a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) na bobina tem a mesma [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) e está em oposição de fase com a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) no capacitor na ressonância: o que a fonte “enxerga”?
17. Calcule a energia armazenada no circuito na ressonância e a energia dissipada por período; verifique que a razão entre elas, vezes $2\pi$ , vale $Q$ .
18. A partir do [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#ch-b1-transient-regimes) , qual é a [constante de tempo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder) $\tau = 2Q/\omega_0$ deste circuito? Por que um $Q$ muito alto acaba distorcendo a fala e a música ( [largura de banda](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) do áudio: cerca de $5\,\mathrm{kHz}$ em AM)?
19. Se a resistência do fio da bobina dobrasse (fio mais fino), como mudariam $Q$ , a [largura de banda](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) e a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) no capacitor?

**Parte IV — A resistência da antena e a potência.**

20. Com $R_a = 50\,\Omega$ em série, recalcule $Q$ , a [largura de banda](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) e a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) no capacitor para $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ . Conclua.
21. Calcule a [potência média](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) entregue pela fem da antena na ressonância e a fração dissipada em $R_a$ .
22. O teorema da máxima potência pediria uma resistência de carga igual a $R_a$ : por que esse objetivo entra em conflito com a seletividade?
23. Os receptores reais ligam a antena a uma derivação da bobina, ou através de um pequeno capacitor de acoplamento. Explique qualitativamente o que isso consegue.
24. Usando $P = \tfrac12 UI\cos\varphi$ , calcule o [fator de potência](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) nas duas frequências de meia potência e explique o nome “meia potência”.
25. Resuma o projeto: o que $Q$ traz, o que ele custa e o valor escolhido para um receptor de $1\,\mathrm{MHz}$ com canais de $10\,\mathrm{kHz}$ .

**Solução de Problema 8.1.**

**1.** $\underline Z = R + j(L\omega - 1/C\omega)$.

**2.** $\underline I = E/\underline Z$; $I = E/\sqrt{R^2 + (L\omega -
1/C\omega)^2}$; $\varphi_i = -\arctan[(L\omega - 1/C\omega)/R]$.

**3.** A [reatância](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) se anula em $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$: $I_{\max}
= E/R$, $\varphi_i = 0$.

**4.** $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$; $L\omega_0 = 2\times10^{-4}
\times 6.28\times10^6 = 1257\,\Omega$.

**5.** $Q = 1257/12.6 = 100$.

**6.** $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$; divida por $R$.

**7.** $x < 1$: [reatância](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) negativa, $\varphi_i > 0$, a corrente adianta (capacitivo); $x > 1$: atrasa (indutivo).

**8.** $Q(x - 1/x) = \pm1$.

**9.** $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$, $x_{1,2} = \mp1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$, $x_2 - x_1 = 1/Q$: $\Delta\omega = \omega_0/Q$.

**10.** $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$.

**11.** $1.010\,\mathrm{MHz}$: $Q(x - 1/x) = 100 \times 0.0199 = 2.0$, razão $1/\sqrt{5.0} = 0.45$, potência $0.20$: $-7\,\mathrm{dB}$. $1.020\,\mathrm{MHz}$: $3.96$, razão $0.25$, potência $0.06$: $-12\,\mathrm{dB}$.

**12.** No limite: a vizinha está apenas $7\,\mathrm{dB}$ abaixo. Um $Q$ maior (um $R$ menor), ou vários estágios sintonizados em cascata, aguça a seleção.

**13.** De $0.50\,\mathrm{MHz}$ a $1.59\,\mathrm{MHz}$: a faixa AM.

**14.** $\underline U_C = \underline I/jC\omega$; em $\omega_0$, $U_C = I_{\max}/C\omega_0 = E/(RC\omega_0) = QE$.

**15.** $I_{\max} = 10^{-5}/12.6 = 0.79\,\text{µ}\mathrm{A}$; $U_C = QE =
1.0\,\mathrm{mV}$: um ganho de [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) de cem vezes, sem amplificador.

**16.** $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$, $\underline U_C
= -jQE$: iguais e opostas, elas se cancelam; a fonte enxerga apenas $R$.

**17.** Armazenada $\tfrac12 LI_{\max}^2 = 6.2 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$; dissipada por período $\tfrac12 RI_{\max}^2T = 3.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$; $2\pi \times 6.2/0.39
\approx 100 = Q$.

**18.** $\tau = 2Q/\omega_0 = 32\,\text{µ}\mathrm{s}$. O circuito não consegue acompanhar variações mais rápidas que $\sim\tau$: uma [largura de banda](#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\Delta f$ deixa passar apenas modulações mais lentas que $\Delta f$; com $Q = 1000$, $\Delta f =
1\,\mathrm{kHz}$ e os agudos do programa se perderiam.

**19.** $Q$ cai à metade, $50$, $\Delta f$ dobra para $20\,\mathrm{kHz}$ e $U_C$ cai à metade, $0.5\,\mathrm{mV}$.

**20.** $R_{\text{tot}} = 62.6\,\Omega$: $Q = 1257/62.6 = 20$, $\Delta f = 50\,\mathrm{kHz}$, $U_C = 20 \times 10\,\text{µ}\mathrm{V} = 0.2\,\mathrm{mV}$: sensibilidade e seletividade desabam juntas.

**21.** $P = E^2/(2R_{\text{tot}}) = 10^{-10}/125 = 8 \times 10^{-13}\,\mathrm{W}$; fração em $R_a$: $50/62.6 = 80\%$.

**22.** O casamento pede uma resistência de carga igual a $R_a$, isto é, uma resistência total grande; a seletividade pede a menor resistência total possível ($Q = L\omega_0/R_{\text{tot}}$). Não se pode ter as duas com uma ligação direta.

**23.** Uma derivação da bobina ou um pequeno capacitor de acoplamento apresentam à antena apenas uma fração do circuito ressonante: a resistência da antena é “vista” pelo circuito muito reduzida, o que mantém $Q$ alto, enquanto a antena continua entregando potência perto do seu ótimo.

**24.** Nas frequências de meia potência a [reatância](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) vale $\pm R$, de modo que $\varphi = \pm45^\circ$ e $\cos\varphi = 1/\sqrt2$; como também $I =
I_{\max}/\sqrt2$, a potência $P = \tfrac12 EI\cos\varphi$ vale metade do seu valor na ressonância.

**25.** $Q$ multiplica o sinal por $Q$ e estreita a banda para $f_0/Q$, ao custo de uma resposta mais lenta ($\tau = 2Q/\omega_0$) e de um acoplamento frágil com a antena; para canais de $10\,\mathrm{kHz}$ em $1\,\mathrm{MHz}$, $Q \approx 100$ é o número — e a antena precisa ser acoplada de leve para preservá-lo.