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title: "Filtros e funções de transferência"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/9-filtros-e-funcoes-de-transferencia
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# Capítulo 9 — Filtros e funções de transferência

Dentro de uma caixa acústica, uma bobina e um capacitor decidem, sem um único transistor, que os graves vão para o cone grande e os agudos para a cúpula pequena. O botão “AC” de um osciloscópio remove um nível contínuo que deriva devagar e conserva a ondulação sobre ele. Uma fonte de alimentação transforma uma rede retificada pulsante numa [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) estável com um único capacitor. Os três são *[filtros](#def-b1-filters-transfer-functions-H)*: [circuitos lineares](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-linear) que tratam cada frequência de modo diferente. Como todo sinal periódico é uma soma de senoides, saber o que um circuito faz com cada senoide — a sua [função de transferência](#def-b1-filters-transfer-functions-H) — é saber o que ele faz com tudo. Este capítulo define as [funções de transferência](#def-b1-filters-transfer-functions-H), traça os seus [diagramas de Bode](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) para os circuitos de primeira e segunda ordem dos capítulos anteriores e os usa para prever como uma onda quadrada sai de um [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H).

## 9.1 Função de transferência e diagrama de Bode

**Definição 9.1 (Função de transferência).**

Um [circuito linear](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-linear) com uma [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) de entrada $\underline U_e$ e uma [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) de saída $\underline U_s$ (tomada com nada ligado à saída) tem a *função de transferência*

$$
\underline H(j\omega) = \frac{\underline U_s}{\underline U_e},
\qquad G(\omega) = \abs{\underline H}, \qquad \varphi(\omega) = \arg\underline H,
$$

com o *ganho* $G$ (razão de [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal)) e a defasagem $\varphi$ da saída em relação à entrada. Um *filtro* é um circuito desses usado pela sua dependência com a frequência: uma senoide de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $E$ em $\omega$ sai como $G(\omega)E\cos(\omega t + \varphi(\omega))$.

**Definição 9.2 (Decibéis; diagrama de Bode).**

O [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) em *decibéis* vale $G_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}G$: um fator $10$ são $20\,\mathrm{dB}$, um fator $2$ são $6\,\mathrm{dB}$, e $1/\sqrt2$ são $-3\,\mathrm{dB}$. O *diagrama de Bode* traça $G_{\mathrm{dB}}$ e $\varphi$ contra $\log_{10}\omega$ (ou $f$). A *frequência de corte* é aquela em que $G$ cai a $G_{\max}/\sqrt2$ ($-3\,\mathrm{dB}$ em relação ao máximo); a *banda passante* é a faixa de frequências dentro de $3\,\mathrm{dB}$ do máximo. Uma década é um fator $10$ em frequência, e uma oitava um fator $2$.

**Método 9.3 (A natureza de um filtro num relance).**

Antes de calcular, olhe os limites: em frequência muito baixa um capacitor é um circuito aberto e uma bobina é um fio; em frequência muito alta é o contrário. Substitua cada um e veja se a saída é a entrada (passa) ou zero (bloqueada). Passa o baixo e bloqueia o alto: passa-baixa; o contrário: passa-alta; bloqueia os dois: passa-faixa; passa os dois: rejeita-faixa. Depois calcule $\underline H$ por um [divisor de tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#prop-b1-dc-circuits-dividers).

## 9.2 Filtros de primeira ordem

**Proposição 9.4 (Passa-baixa de primeira ordem).**

O divisor RC com saída em $C$ (ou o divisor RL com saída em $R$) tem

$$
\underline H = \frac{1}{1 + j\omega/\omega_c}, \qquad
\omega_c = \frac{1}{RC} \ \Big(\text{ou } \frac{R}{L}\Big),
\qquad G = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}}, \qquad
\varphi = -\arctan\frac{\omega}{\omega_c} .
$$

Assíntotas de Bode: $G_{\mathrm{dB}} = 0$ para $\omega \ll \omega_c$, e uma reta que cai $20\,\mathrm{dB}$ por década para $\omega \gg \omega_c$, encontrando-se em $\omega_c$, onde a curva verdadeira vale $-3\,\mathrm{dB}$ e $\varphi = -45^\circ$. Para $\omega \gg \omega_c$, $\underline H \approx
\omega_c/(j\omega)$: a saída é proporcional à *integral* da entrada — ali o [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) é um integrador.

**Demonstração.** [Divisor de tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#prop-b1-dc-circuits-dividers):

$$
\underline H = \frac{1/jC\omega}{R + 1/jC\omega} = \frac{1}{1 + jRC\omega} .
$$

Bem acima do corte, $1 + j\omega/\omega_c \approx j\omega/\omega_c$, e dividir uma [amplitude complexa](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) por $j\omega$ é integrar ([Proposição 8.3](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-rules)): $u_s \approx \omega_c\int u_e\,\dd t$. E $20\log(\omega_c/\omega)$ perde $20\,\mathrm{dB}$ a cada $\omega$ dez vezes maior. ∎

**Proposição 9.5 (Passa-alta de primeira ordem).**

O divisor CR com saída em $R$ (ou LR com saída em $L$) tem

$$
\underline H = \frac{j\omega/\omega_c}{1 + j\omega/\omega_c},
\qquad G = \frac{\omega/\omega_c}{\sqrt{1 + (\omega/\omega_c)^2}},
\qquad \varphi = \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{\omega}{\omega_c},
$$

subindo $20\,\mathrm{dB}$ por década abaixo de $\omega_c$, plano acima, com $-3\,\mathrm{dB}$ e $+45^\circ$ em $\omega_c$. Para $\omega \ll \omega_c$, $\underline H
\approx j\omega/\omega_c$: a saída é proporcional à *derivada* da entrada.

**Demonstração.** $\underline H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$; multiplicar por $j\omega$ é derivar. ∎

![Diagramas de Bode do passa-baixa (azul) e do passa-alta (vermelho) de primeira ordem: ganho em decibéis com as assíntotas (tracejadas) encontrando-se na frequência de corte, onde o ganho verdadeiro vale -3\, dB, e fase, que cruza 45 na frequência de corte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-6b6f0cabccd9.svg)

![Diagramas de Bode do passa-baixa (azul) e do passa-alta (vermelho) de primeira ordem: ganho em decibéis com as assíntotas (tracejadas) encontrando-se na frequência de corte, onde o ganho verdadeiro vale -3\, dB, e fase, que cruza 45 na frequência de corte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-551e635144f9.svg)

*[Diagramas de Bode](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) do passa-baixa (azul) e do passa-alta (vermelho) de primeira ordem: [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) em decibéis com as assíntotas (tracejadas) encontrando-se na [frequência de corte](#def-b1-filters-transfer-functions-bode), onde o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) verdadeiro vale $-3\,\mathrm{dB}$, e fase, que cruza $\mp45^\circ$ na [frequência de corte](#def-b1-filters-transfer-functions-bode).*

**Exemplo 9.6 (Acoplamento AC).**

A entrada AC de um osciloscópio é um passa-alta com $f_c \approx 10\,\mathrm{Hz}$: um sinal de $1\,\mathrm{kHz}$ montado sobre um nível contínuo de $5\,\mathrm{V}$ passa com $-0.0002\,\mathrm{dB}$ e sem esse nível. Mas uma onda quadrada de $50\,\mathrm{Hz}$ sai visivelmente distorcida — os seus patamares planos afundam — porque em $50\,\mathrm{Hz}$ o [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) está apenas uma década acima do seu corte e os harmônicos baixos do sinal ficam defasados ([Exercício 9.12](#exo-b1-filters-transfer-functions-12)).

## 9.3 Filtros de segunda ordem

**Proposição 9.7 (O RLC série como três filtros).**

Com $x = \omega/\omega_0$, $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ e $Q =
\sqrt{L/C}/R$, o RLC série alimentado por $\underline U_e$ dá, conforme o lugar de onde se toma a saída:

$$
\begin{align*}
\text{em } C:&\quad \underline H = \frac{1}{1 - x^2 + jx/Q}, \\
\text{em } R:&\quad \underline H = \frac{jx/Q}{1 - x^2 + jx/Q} = \frac{1}{1 + jQ(x - 1/x)}, \\
\text{em } L:&\quad \underline H = \frac{-x^2}{1 - x^2 + jx/Q}:
\end{align*}
$$

um passa-baixa, um passa-faixa e um passa-alta de segunda ordem. Longe de $\omega_0$ o passa-baixa e o passa-alta caem $40\,\mathrm{dB}$ por década, e o passa-faixa $20\,\mathrm{dB}$ por década de cada lado; o passa-faixa tem máximo $1$ em $\omega_0$ e a [largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\Delta\omega =
\omega_0/Q$ do [Teorema 8.9](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance).

**Demonstração.** [Divisores de tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#prop-b1-dc-circuits-dividers) com a [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) total $R + j(L\omega - 1/C\omega)$; multiplique numerador e denominador por $jC\omega$ e use $LC\omega_0^2 = 1$, $RC\omega_0 = 1/Q$. O passa-faixa é a ressonância em corrente do capítulo anterior, lida como uma [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) em $R$. ∎

**Proposição 9.8 (Passa-baixa de segunda ordem: o papel de QQQ).**

Para o passa-baixa, $G = 1/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$: para $Q > 1/\sqrt2$ o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) sobe acima de $1$ perto de $\omega_0$ (ressonância, com pico $\approx Q$ para $Q$ grande); para $Q = 1/\sqrt2$ ele é “maximamente plano”, $G = 1/\sqrt{1 + x^4}$, exatamente $-3\,\mathrm{dB}$ em $\omega_0$; para $Q$ menor ele cai antes da hora. A fase vai de $0$ a $-\pi$, passando por $-\pi/2$ em $\omega_0$.

**Demonstração.** $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 + x^2(1/Q^2 - 2)$: o termo do meio se anula para $Q^2 = \tfrac12$, é negativo (pico) acima e positivo (queda) abaixo; o comportamento perto de $x = 1$ foi analisado em [Proposição 8.10](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-overvoltage). ∎

![Filtros de segunda ordem a partir do RLC série. À esquerda, o passa-baixa (saída em C) para três valores de Q: um pico de ressonância, a resposta maximamente plana ou uma queda antecipada, todos se juntando à assíntota de -40\, dB por década (tracejada). À direita, o passa-faixa (saída em R): um pico de largura _0/Q caindo 20\, dB por década de cada lado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-ca3bcba9b685.svg)

![Filtros de segunda ordem a partir do RLC série. À esquerda, o passa-baixa (saída em C) para três valores de Q: um pico de ressonância, a resposta maximamente plana ou uma queda antecipada, todos se juntando à assíntota de -40\, dB por década (tracejada). À direita, o passa-faixa (saída em R): um pico de largura _0/Q caindo 20\, dB por década de cada lado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-083103bb08c8.svg)

*[Filtros de segunda ordem](#prop-b1-filters-transfer-functions-rlc) a partir do RLC série. À esquerda, o passa-baixa (saída em $C$) para três valores de $Q$: um pico de ressonância, a resposta maximamente plana ou uma queda antecipada, todos se juntando à assíntota de $-40\,\mathrm{dB}$ por década (tracejada). À direita, o passa-faixa (saída em $R$): um pico de largura $\omega_0/Q$ caindo $20\,\mathrm{dB}$ por década de cada lado.*

**Exemplo 9.9 (Um divisor de frequências).**

O woofer e o tweeter de uma caixa acústica, cada um de $8\,\Omega$, compartilham o amplificador através de um passa-baixa (uma bobina em série) e de um passa-alta (um capacitor em série) cortados em $2\,\mathrm{kHz}$: $L = R/\omega_c = 0.64\,\mathrm{mH}$, $C = 1/R\omega_c = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$. Em $2\,\mathrm{kHz}$ cada alto-falante recebe $-3\,\mathrm{dB}$, isto é, metade da potência, e $G_L^2 + G_H^2 = 1$ em toda frequência: a potência é repartida, não perdida. O problema de fim de semana projeta uma versão mais íngreme.

## 9.4 Filtrando um sinal periódico

**Teorema 9.10 (Decomposição de Fourier).**

Um sinal periódico de período $T = 2\pi/\omega$ (razoavelmente regular) é a soma de uma constante e de senoides nos múltiplos de $\omega$:

$$
s(t) = c_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} c_n\cos(n\omega t + \varphi_n),
$$

em que $c_0 = \langle s\rangle$ é o seu valor médio; o termo $n = 1$ é a *fundamental*, os demais os *harmônicos*, e as [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $c_n$ formam o *espectro*. Uma onda quadrada de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $\pm E$ tem $c_n = 4E/(n\pi)$ para $n$ ímpar e $0$ para $n$ par; uma onda triangular de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $\pm E$ tem $c_n = 8E/(n\pi)^2$ para $n$ ímpar.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 9.11 (O que reter dela).**

O teorema e o cálculo dos $c_n$ pertencem ao curso de matemática do segundo ano. Aqui ele é uma ferramenta: cantos vivos exigem muitos harmônicos (os da onda quadrada caem apenas como $1/n$), e sinais suaves exigem poucos (os do triângulo caem como $1/n^2$). O conteúdo harmônico de um sinal é aquilo de que o timbre de um instrumento é feito, e aquilo sobre o que um [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) age.

**Proposição 9.12 (Filtragem linear de um sinal periódico).**

Através de um [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) de [função de transferência](#def-b1-filters-transfer-functions-H) $\underline H$, o sinal do teorema se torna

$$
s_{\text{saída}}(t) = G(0)\,c_0 + \sum_{n \geq 1} G(n\omega)\,c_n\cos\!\big(n\omega t + \varphi_n + \varphi(n\omega)\big):
$$

cada harmônico é escalado pelo [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) e defasado pela fase na *sua própria* frequência, e depois as partes são somadas. Daí:

- um passa-baixa com $\omega_c \ll \omega$ guarda essencialmente $c_0$ : ele *faz a média* (alisamento, remoção de ondulação) e transforma uma onda quadrada num pequeno triângulo (integração);
- um passa-alta com $\omega_c \ll \omega$ remove $c_0$ e deixa passar o resto (acoplamento AC); com $\omega_c \gg \omega$ ele deriva (picos nas bordas de uma onda quadrada);
- um passa-faixa sintonizado em $n\omega$ com $Q \gg 1$ extrai o $n$ -ésimo harmônico sozinho: uma senoide a partir de uma onda quadrada.

**Demonstração.** Superposição num [circuito linear](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-linear) ([Teorema 6.18](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-superposition)) aplicada à soma de entradas senoidais, cada uma tratada por [Definição 9.1](#def-b1-filters-transfer-functions-H). ∎

![Uma onda quadrada através de um passa-baixa de primeira ordem. À esquerda: o seu espectro (harmônicos ímpares em 1/n) e o espectro após um filtro cortado na fundamental. À direita: o sinal no tempo para _c = (vermelho, arcos exponenciais) e _c = 10 (laranja, apenas cantos arredondados); com _c a saída seria um pequeno triângulo em torno do valor médio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-5f662a6ad585.svg)

![Uma onda quadrada através de um passa-baixa de primeira ordem. À esquerda: o seu espectro (harmônicos ímpares em 1/n) e o espectro após um filtro cortado na fundamental. À direita: o sinal no tempo para _c = (vermelho, arcos exponenciais) e _c = 10 (laranja, apenas cantos arredondados); com _c a saída seria um pequeno triângulo em torno do valor médio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/fig-28451d640fd6.svg)

*Uma onda quadrada através de um passa-baixa de primeira ordem. À esquerda: o seu espectro (harmônicos ímpares em $1/n$) e o espectro após um [filtro](#def-b1-filters-transfer-functions-H) cortado na fundamental. À direita: o sinal no tempo para $\omega_c = \omega$ (vermelho, arcos exponenciais) e $\omega_c = 10\omega$ (laranja, apenas cantos arredondados); com $\omega_c \ll \omega$ a saída seria um pequeno triângulo em torno do valor médio.*

**Exemplo 9.13 (Números).**

Uma onda quadrada de $1\,\mathrm{kHz}$ e [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $5\,\mathrm{V}$: harmônicos de $6.37\,\mathrm{V}$ em $1\,\mathrm{kHz}$, $2.12\,\mathrm{V}$ em $3\,\mathrm{kHz}$ e $1.27\,\mathrm{V}$ em $5\,\mathrm{kHz}$. Através de um passa-baixa RC cortado em $10\,\mathrm{Hz}$ ($\tau = 16\,\mathrm{ms}$) a saída é um triângulo de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $ET/4\tau \approx 80\,\mathrm{mV}$ em torno de zero; através de um passa-faixa sintonizado em $3\,\mathrm{kHz}$ com $Q = 20$, uma senoide de $2.1\,\mathrm{V}$ em $3\,\mathrm{kHz}$ com apenas alguns por cento dos vizinhos ([Exercício 9.8](#exo-b1-filters-transfer-functions-8)).

## 9.5 Filtros em cascata

**Proposição 9.14 (Cascata e efeito de carga).**

Dois [filtros](#def-b1-filters-transfer-functions-H) em cascata têm $\underline H = \underline H_1\underline H_2$ — os [ganhos](#def-b1-filters-transfer-functions-H) se multiplicam, os decibéis e as fases se somam — *desde que o segundo não carregue o primeiro*, isto é, não drene corrente apreciável da sua saída. Caso contrário, as relações de divisor devem ser reescritas para a rede combinada. Um seguidor de [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) com amplificador operacional ([Capítulo 10](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/10-o-amplificador-operacional#ch-b1-operational-amplifier)) entre os estágios torna a regra do produto exata.

**Demonstração.** $\underline H_1$ foi definida com a saída em aberto; se a [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada do estágio seguinte for muito maior que a [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de saída do primeiro (a sua resistência de Thévenin), a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) de saída não muda e o segundo estágio recebe exatamente $\underline U_{s1}$ como entrada. ∎

**Exemplo 9.15 (Dois estágios RC).**

Dois passa-baixas RC idênticos em série *não* dão $1/(1 + j\omega/\omega_c)^2$: o $R$ do segundo estágio carrega o primeiro. O resultado exato é $\underline H = 1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 +
3j\omega/\omega_c]$, $-9.5\,\mathrm{dB}$ em $\omega_c$ em vez dos $-6\,\mathrm{dB}$ que a regra do produto promete, embora ambos acabem alcançando a mesma inclinação de $-40\,\mathrm{dB}$ por década.

## 9.6 Exercícios

**Exercício 9.1 ★.**

Converta em decibéis: os [ganhos](#def-b1-filters-transfer-functions-H) $0.5$, $10$, $1/\sqrt2$, $100$. Converta em razões: $-40\,\mathrm{dB}$, $+6\,\mathrm{dB}$. Dois [filtros](#def-b1-filters-transfer-functions-H) em cascata (sem efeito de carga) dão $-6\,\mathrm{dB}$ e $-20\,\mathrm{dB}$ em certa frequência: qual o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) total?

**Solução de Exercício 9.1.**

$0.5 \to -6.0\,\mathrm{dB}$; $10 \to 20\,\mathrm{dB}$; $1/\sqrt2 \to -3.0\,\mathrm{dB}$; $100 \to 40\,\mathrm{dB}$. $-40\,\mathrm{dB} \to 0.01$; $+6\,\mathrm{dB} \to 2.0$. Cascata: $-6 - 20 = -26\,\mathrm{dB}$, uma razão de $0.05$.

**Exercício 9.2 ★.**

Passa-baixa RC, $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 16\,\mathrm{nF}$: [frequência de corte](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) e [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) em decibéis a $100\,\mathrm{Hz}$, $1\,\mathrm{kHz}$, $10\,\mathrm{kHz}$ e $100\,\mathrm{kHz}$.

**Solução de Exercício 9.2.**

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 10^4 \times 1.6\times10^{-8}) =
1.0\,\mathrm{kHz}$. [Ganhos](#def-b1-filters-transfer-functions-H) $-10\log(1 + (f/f_c)^2)$: $100\,\mathrm{Hz}$: $-0.04\,\mathrm{dB}$; $1\,\mathrm{kHz}$: $-3\,\mathrm{dB}$; $10\,\mathrm{kHz}$: $-20\,\mathrm{dB}$; $100\,\mathrm{kHz}$: $-40\,\mathrm{dB}$.

**Exercício 9.3 ★.**

Sem calcular, dê a natureza (passa-baixa, passa-alta, passa-faixa) de: (a) $R$ em série e $C$ na saída; (b) $C$ em série e $R$ na saída; (c) $L$ em série e $C$ na saída; (d) $L$ e $C$ em série e $R$ na saída.

**Solução de Exercício 9.3.**

(a) passa-baixa ($C$ curto-circuita a saída em $f$ alta); (b) passa-alta ($C$ abre em $f$ baixa); (c) passa-baixa de segunda ordem ($L$ abre em $f$ alta, $C$ curto-circuita); (d) passa-faixa ($C$ bloqueia $f$ baixa, $L$ bloqueia $f$ alta).

**Exercício 9.4 ★.**

Uma onda quadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ e [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $5.0\,\mathrm{V}$: dê as frequências e [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) dos seus três primeiros harmônicos não nulos. Por que ela não tem harmônicos pares?

**Solução de Exercício 9.4.**

$4E/n\pi$: $6.37\,\mathrm{V}$ em $1\,\mathrm{kHz}$, $2.12\,\mathrm{V}$ em $3\,\mathrm{kHz}$, $1.27\,\mathrm{V}$ em $5\,\mathrm{kHz}$. A onda quadrada é antissimétrica por um deslocamento de meio período ($s(t + T/2) = -s(t)$), o que os harmônicos pares não são.

**Exercício 9.5 ★★.**

Um passa-alta CR cortado em $10\,\mathrm{kHz}$ recebe uma onda triangular de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{V}$ a $100\,\mathrm{Hz}$. Explique por que ele se comporta como um derivador e dê a forma e a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da saída.

**Solução de Exercício 9.5.**

Em $100\,\mathrm{Hz}$ e nos seus harmônicos úteis, $\omega \ll \omega_c$: $\underline H \approx j\omega/\omega_c$, uma derivada dividida por $\omega_c$. A inclinação do triângulo vale $\pm 4Ef = \pm400\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$, de modo que a saída é uma onda quadrada de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $400/(2\pi \times 10^4) =
6.4\,\mathrm{mV}$.

**Exercício 9.6 ★★.**

Um passa-baixa RC cortado em $10\,\mathrm{Hz}$ recebe uma onda quadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ e [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $\pm1.0\,\mathrm{V}$. Mostre que a saída é um triângulo e calcule a sua [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal).

**Solução de Exercício 9.6.**

$\omega \gg \omega_c$: $u_s \approx (1/\tau)\int u_e\,\dd t$, com $\tau =
1/(2\pi \times 10) = 16\,\mathrm{ms}$. A integral de $\pm E$ é um triângulo que sobe $ET/2$ por meio período: excursão $ET/2\tau$, [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $ET/4\tau = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 0.016) = 16\,\mathrm{mV}$ em torno de zero.

**Exercício 9.7 ★★.**

Um passa-baixa RLC série com $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$: dê $f_0$; encontre $R$ para a resposta maximamente plana; dê o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) em decibéis em $f_0$ e em $10f_0$.

**Solução de Exercício 9.7.**

$f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$. $Q = \sqrt{L/C}/R = 1/\sqrt2$: $R = \sqrt2 \times
316 = 447\,\Omega$. Em $f_0$: $-3\,\mathrm{dB}$; em $10f_0$: $1/\sqrt{1 +
10^4} \to -40\,\mathrm{dB}$.

**Exercício 9.8 ★★.**

Um passa-faixa ($Q = 20$) sintonizado em $3.0\,\mathrm{kHz}$ recebe a onda quadrada de $1\,\mathrm{kHz}$ do [Exercício 9.4](#exo-b1-filters-transfer-functions-4). Calcule o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) em $1$, $3$ e $5\,\mathrm{kHz}$ e as [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de saída desses harmônicos; descreva a saída.

**Solução de Exercício 9.8.**

$G = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ com $x = f/3$: $1\,\mathrm{kHz}$: $x = 1/3$, $Q(x - 1/x) = -53$, $G = 0.019$; $3\,\mathrm{kHz}$: $G = 1$; $5\,\mathrm{kHz}$: $x = 5/3$, $21$, $G = 0.047$. Saída: $2.1\,\mathrm{V}$ em $3\,\mathrm{kHz}$, com $0.12\,\mathrm{V}$ em $1\,\mathrm{kHz}$ e $0.06\,\mathrm{V}$ em $5\,\mathrm{kHz}$ — uma senoide de $3\,\mathrm{kHz}$ quase pura.

**Exercício 9.9 ★★.**

Dois passa-baixas RC idênticos ($R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 159\,\mathrm{nF}$) em cascata. Calcule a [função de transferência](#def-b1-filters-transfer-functions-H) exata (o segundo carrega o primeiro) e o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) em $\omega_c = 1/RC$; compare com o produto dos dois [ganhos](#def-b1-filters-transfer-functions-H) separados.

**Solução de Exercício 9.9.**

Nós: com $a = jRC\omega$, o primeiro capacitor vê $R$ a montante e $R + 1/jC\omega$ a jusante: $\underline H = 1/(1 + 3a + a^2)$, isto é, $1/[1 - (\omega/\omega_c)^2 + 3j\omega/\omega_c]$. Em $\omega_c$: $1/3j$, $G = 1/3$, $-9.5\,\mathrm{dB}$; o produto dos dois [ganhos](#def-b1-filters-transfer-functions-H) separados daria $1/2$, $-6\,\mathrm{dB}$. $f_c = 1.0\,\mathrm{kHz}$.

**Exercício 9.10 ★★★.**

Esboce as assíntotas de Bode de $\underline H = (1 + j\omega/\omega_1)/
(1 + j\omega/\omega_2)$ com $\omega_1 = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\omega_2 =
1 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: inclinações, quebras, o patamar de alta frequência em decibéis e a fase em $\sqrt{\omega_1\omega_2}$.

**Solução de Exercício 9.10.**

Abaixo de $\omega_1$: $0\,\mathrm{dB}$; entre $\omega_1$ e $\omega_2$: subindo $20\,\mathrm{dB}$ por década; acima de $\omega_2$: plano em $20\log(\omega_2/\omega_1) =
40\,\mathrm{dB}$. Fase $\arctan(\omega/\omega_1) - \arctan(\omega/\omega_2)$: em $\omega = 10^3$, $\arctan 10 - \arctan 0.1 = 84^\circ - 6^\circ =
78^\circ$.

**Exercício 9.11 ★★★.**

Um seno retificado em onda completa (rede de $50\,\mathrm{Hz}$) tem média $2E/\pi$ e um primeiro harmônico em $100\,\mathrm{Hz}$ de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $4E/3\pi$. Um passa-baixa RC deve reduzir a ondulação de $100\,\mathrm{Hz}$ abaixo de $1\%$ da média: encontre a [frequência de corte](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) e a [constante de tempo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder) necessárias. Por que um capacitor sozinho (com a resistência de carga) é a escolha usual?

**Solução de Exercício 9.11.**

Bem acima do corte, $G \approx f_c/f$; a razão de ondulação após a filtragem vale

$$
\frac{(4E/3\pi)(f_c/100)}{2E/\pi} = \frac{2}{3}\,\frac{f_c}{100} < 0.01,
$$

logo $f_c < 1.5\,\mathrm{Hz}$ e $\tau = 1/2\pi f_c > 0.1\,\mathrm{s}$. A própria carga faz o papel de $R$: um capacitor em paralelo com ela não custa nada em queda de [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) nem em potência, ao passo que um [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) em série desperdiçaria as duas coisas.

**Exercício 9.12 ★★★.**

O acoplamento AC de um osciloscópio é um passa-alta com $C = 0.10\,\text{µ}\mathrm{F}$ e $R = 160\,\mathrm{k}\Omega$. Calcule $f_c$. Aplica-se uma onda quadrada: mostre que cada patamar plano vira uma exponencial decrescente e calcule o afundamento (fração perdida ao longo de meio período) a $50\,\mathrm{Hz}$ e a $1\,\mathrm{kHz}$.

**Solução de Exercício 9.12.**

$f_c = 1/(2\pi RC) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^5 \times 10^{-7}) =
10\,\mathrm{Hz}$, $\tau = RC = 16\,\mathrm{ms}$. Durante um patamar plano o capacitor se carrega através de $R$: a saída decai como $\eu^{-t/\tau}$ a partir de cada borda. Afundamento em $T/2$: $1 - \eu^{-T/2\tau}$: $50\,\mathrm{Hz}$ ($T/2 = 10\,\mathrm{ms}$): $1 - \eu^{-0.63} = 47\%$; $1\,\mathrm{kHz}$ ($T/2 = 0.5\,\mathrm{ms}$): $3\%$.

![Dentro de uma caixa acústica de duas vias: as bobinas e os capacitores do divisor de frequências são os filtros passa-baixa e passa-alta que mandam os graves para o woofer e os agudos para o tweeter.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-filters-transfer-functions/img-4accfe2f09c0.jpg)

*Dentro de uma caixa acústica de duas vias: as bobinas e os capacitores do divisor de frequências são os [filtros passa-baixa](#prop-b1-filters-transfer-functions-lowpass1) e passa-alta que mandam os graves para o woofer e os agudos para o tweeter.*

## 9.7 Problema: o divisor de frequências da caixa acústica

**Problema 9.1.**

Problema de fim de semana — um woofer, um tweeter, uma bobina e um capacitor: como um divisor passivo reparte a música, por que o mais simples deles deixa vazar graves para o tweeter e o que uma bobina móvel real faz com o projeto

O woofer e o tweeter são primeiro modelados como resistências puras $R = 8.0\,\Omega$. O amplificador é uma [fonte de tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-sources) ideal $\underline U_e$. A frequência de cruzamento vale $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$.

**Parte I — Divisor de primeira ordem.** O woofer é alimentado através de uma bobina em série $L$, e o tweeter através de um capacitor em série $C$.

1. Defina a [função de transferência](#def-b1-filters-transfer-functions-H) de cada ramo ( [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) no alto-falante dividida por $\underline U_e$ ) e o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) em decibéis.
2. Mostre que o ramo do woofer é um passa-baixa de primeira ordem e dê a sua [frequência de corte](#def-b1-filters-transfer-functions-bode) $\omega_c$ em termos de $R$ e $L$ .
3. Calcule $L$ para $f_c = 2.0\,\mathrm{kHz}$ .
4. Mostre que o ramo do tweeter é um passa-alta de primeira ordem; dê $\omega_c$ e calcule $C$ .
5. Dê o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) de cada alto-falante em decibéis em $f_c$ , a $200\,\mathrm{Hz}$ e a $20\,\mathrm{kHz}$ .
6. Mostre que $G_L^2 + G_H^2 = 1$ em toda frequência. O que isso significa para a potência exigida do amplificador?
7. Dê a fase de cada ramo em $f_c$ ; de quanto diferem em fase as tensões dos dois alto-falantes ali?
8. Quais são as inclinações das duas respostas, em dB por oitava, longe de $f_c$ ?

**Parte II — Divisor de segunda ordem.** O woofer passa agora a ser alimentado por uma bobina em série $L$ com um capacitor $C$ em paralelo com o alto-falante.

9. Mostre que $\underline H = 1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$ .
10. Identifique $\omega_0$ e $Q$ em termos de $L$ , $C$ , $R$ .
11. Para $Q = 1/\sqrt2$ mostre que $G = 1/\sqrt{1 + (\omega/\omega_0)^4}$ e que o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) vale $-3\,\mathrm{dB}$ em $\omega_0$ .
12. Calcule $L$ e $C$ para $f_0 = 2.0\,\mathrm{kHz}$ e $Q = 1/\sqrt2$ .
13. Calcule o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) em decibéis a $4\,\mathrm{kHz}$ e a $8\,\mathrm{kHz}$ ; deduza a inclinação em dB por oitava.
14. O ramo do tweeter troca os papéis de $L$ e $C$ ( $C$ em série, $L$ em paralelo): escreva a sua [função de transferência](#def-b1-filters-transfer-functions-H) sem novo cálculo.
15. Calcule a fase de cada ramo em $f_0$ . O que se deve fazer com a ligação do tweeter, e por quê?

**Parte III — Música através do divisor.**

16. Uma nota de violoncelo a $220\,\mathrm{Hz}$ carrega harmônicos até o 20º. Quais harmônicos vão em sua maioria para o tweeter, com o divisor de primeira ordem?
17. O que acontece com o 9º harmônico?
18. Usa-se uma onda quadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ como sinal de teste. Com o divisor de primeira ordem, dê o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) de cada ramo para a fundamental e para o terceiro e o quinto harmônicos.
19. O amplificador desenvolve por acidente um nível contínuo de $1\,\mathrm{V}$ . Que alto-falante fica protegido, e por quê?
20. Com o divisor de primeira ordem, que fração da [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) e da potência de um tom de $500\,\mathrm{Hz}$ chega ao tweeter? E com o de segunda ordem? Por que isso importa para a sobrevivência do tweeter?

**Parte IV — Uma bobina móvel real.** O woofer é, na verdade, $R = 8.0\,\Omega$ em série com uma indutância de bobina móvel $L_{vc} = 0.50\,\mathrm{mH}$.

21. Calcule a [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) (módulo) do woofer a $2\,\mathrm{kHz}$ e a $8\,\mathrm{kHz}$ .
22. Recalcule o [ganho](#def-b1-filters-transfer-functions-H) do woofer de primeira ordem a $2\,\mathrm{kHz}$ e a $8\,\mathrm{kHz}$ com essa [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) e compare com os ideais $-3\,\mathrm{dB}$ e $-12.3\,\mathrm{dB}$ . O que aconteceu com a atenuação?
23. Uma “rede de Zobel” — $R_z = R$ em série com $C_z =  L_{vc}/R^2$ — é ligada em paralelo com o woofer. Mostre que o conjunto se comporta como uma resistência pura $R$ em todas as frequências, e calcule $C_z$ .
24. O amplificador entrega $50\,\mathrm{W}$ em $8\,\Omega$ : que [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) eficaz é essa, e que potência cada alto-falante recebe em $f_c$ (divisor de primeira ordem)? A $500\,\mathrm{Hz}$ , quanto chega ao tweeter?
25. Resuma os compromissos: inclinação, fase, número de componentes, proteção do tweeter e a necessidade de uma rede de Zobel.

**Solução de Problema 9.1.**

**1.** $\underline H = \underline U_{\text{alto-falante}}/\underline U_e$; $G_{\mathrm{dB}} = 20\log\abs{\underline H}$.

**2.** $\underline H_L = R/(R + jL\omega) = 1/(1 + j\omega/\omega_c)$, $\omega_c = R/L$.

**3.** $L = R/\omega_c = 8.0/(2\pi \times 2000) = 0.64\,\mathrm{mH}$.

**4.** $\underline H_H = R/(R + 1/jC\omega) = jRC\omega/(1 + jRC\omega)$, $\omega_c = 1/RC$; $C = 1/(R\omega_c) = 9.9\,\text{µ}\mathrm{F} \approx
10\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**5.** Em $f_c$: $-3\,\mathrm{dB}$ para cada um. $200\,\mathrm{Hz}$ ($x = 0.1$): woofer $-0.04\,\mathrm{dB}$, tweeter $-20\,\mathrm{dB}$. $20\,\mathrm{kHz}$ ($x = 10$): woofer $-20\,\mathrm{dB}$, tweeter $-0.04\,\mathrm{dB}$.

**6.** $G_L^2 + G_H^2 = (1 + x^2)/(1 + x^2) = 1$: com cargas iguais, as duas potências somam a potência que um único alto-falante de $8\,\Omega$ tomaria — repartida, não perdida.

**7.** $-45^\circ$ (woofer) e $+45^\circ$ (tweeter): $90^\circ$ de diferença; em $f_c$ os dois cones não se movem juntos.

**8.** $\pm 6\,\mathrm{dB}$ por oitava ($20\,\mathrm{dB}$ por década).

**9.** Divisor entre $jL\omega$ e $R \parallel 1/jC\omega =
R/(1 + jRC\omega)$: $\underline H = R/[R + jL\omega(1 + jRC\omega)] =
1/(1 - LC\omega^2 + jL\omega/R)$.

**10.** $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$; $L\omega/R = x/Q$ dá $Q =
R/L\omega_0 = R\sqrt{C/L}$.

**11.** $\abs{\underline H}^{-2} = (1 - x^2)^2 + x^2/Q^2 = 1 + x^4 +
x^2(1/Q^2 - 2) = 1 + x^4$ para $Q^2 = \tfrac12$; em $x = 1$, $G = 1/\sqrt2$.

**12.** $L = R/(Q\omega_0) = 8\sqrt2/(1.257\times10^4) = 0.90\,\mathrm{mH}$; $C = 1/(L\omega_0^2) = 7.0\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**13.** $x = 2$: $1/\sqrt{17}$, $-12.3\,\mathrm{dB}$; $x = 4$: $1/\sqrt{257}$, $-24.1\,\mathrm{dB}$: $12\,\mathrm{dB}$ por oitava.

**14.** Trocar $L$ e $C$ troca $x \leftrightarrow 1/x$ (e $Q$ permanece): $\underline H_H = -x^2/(1 - x^2 + jx/Q)$.

**15.** Em $x = 1$: $\underline H_L = Q/j = -jQ$ ($-90^\circ$), $\underline H_H = jQ$ ($+90^\circ$): os alto-falantes ficam em oposição de fase no cruzamento e se cancelariam acusticamente; o tweeter é ligado com a polaridade invertida.

**16.** Harmônicos acima de $2\,\mathrm{kHz}$: $n \geq 10$ ($2.2\,\mathrm{kHz}$ em diante) vão em sua maioria para o tweeter.

**17.** $9 \times 220 = 1980\,\mathrm{Hz} \approx f_c$: repartido em partes iguais, $-3\,\mathrm{dB}$ para cada um.

**18.** Woofer ($G_L$): $x = 0.5$: $0.89$; $x = 1.5$: $0.55$; $x = 2.5$: $0.37$. Tweeter ($G_H$): $0.45$, $0.83$, $0.93$.

**19.** O tweeter: o seu capacitor em série bloqueia a componente contínua. O woofer é quem recebe o desvio ($1\,\mathrm{V}$ sobre $8\,\Omega$: $125\,\mathrm{mA}$, $0.125\,\mathrm{W}$ de calor e um cone deslocado).

**20.** Primeira ordem, $x = 0.25$: $G_H = 0.25/\sqrt{1.0625} = 0.24$ ($-12\,\mathrm{dB}$), fração de potência $6\%$. Segunda ordem: $0.0625/\sqrt{1 +
0.0039} = 0.06$ ($-24\,\mathrm{dB}$), $0.4\%$. Um tweeter de poucos watts recebe $6\%$ de uma nota grave forte com o projeto de primeira ordem — ele pode queimar.

**21.** $\underline Z = 8 + jL_{vc}\omega$: $2\,\mathrm{kHz}$: $8 + 6.3j$, $\abs{\underline Z} = 10.2\,\Omega$; $8\,\mathrm{kHz}$: $8 + 25.1j$, $26.3\,\Omega$.

**22.** $\underline H = \underline Z/(\underline Z + jL\omega)$: $2\,\mathrm{kHz}$: $10.2/\abs{8 + 14.3j} = 10.2/16.4 = 0.62$ ($-4.2\,\mathrm{dB}$); $8\,\mathrm{kHz}$: $26.3/\abs{8 + 57.3j} = 0.45$ ($-6.9\,\mathrm{dB}$) em vez de $-12.3\,\mathrm{dB}$: a [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) crescente da bobina móvel luta contra a bobina em série, e a atenuação achata para poucos dB por oitava.

**23.** [Admitâncias](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance): $1/(R + jL_{vc}\omega) + jC_z\omega/(1 + jRC_z\omega)$; com $C_z = L_{vc}/R^2$ o segundo termo vale $jL_{vc}\omega/[R(R +
jL_{vc}\omega)]$, e a soma vale $(R + jL_{vc}\omega)/[R(R + jL_{vc}\omega)]
= 1/R$. $C_z = 0.50\times10^{-3}/64 = 7.8\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**24.** $U = \sqrt{PR} = \sqrt{400} = 20\,\mathrm{V}$ eficazes. Em $f_c$ cada alto-falante recebe metade: $25\,\mathrm{W}$. A $500\,\mathrm{Hz}$ o tweeter recebe $6\%$: $3\,\mathrm{W}$.

**25.** Primeira ordem: duas peças, complementares em potência, inclinações suaves de $6\,\mathrm{dB}/\mathrm{oit}\,$, $90^\circ$ entre os alto-falantes e graves vazando para o tweeter. Segunda ordem: quatro peças, $12\,\mathrm{dB}/\mathrm{oit}\,$, $180^\circ$ no cruzamento (inverta o tweeter) e proteção muito melhor do tweeter. De um jeito ou de outro, a indutância do woofer precisa ser domada por uma rede de Zobel para o projeto valer.