--- title: "الطاقة الكهرمغناطيسية ومتجهة بوينتنغ" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثانية" subject: physics language: ar chapter: 12 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/12-electromagnetic-energy-and-the-poynting-vector --- # الفصل 12 — الطاقة الكهرمغناطيسية ومتجهة بوينتنغ تضيء بطارية مصباحًا عبر سلكين نحاسيين. فأين تنتقل الطاقة؟ لا داخل النحاس، كما يتبيّن: فالإلكترونات هناك تنساق بميليمتر في الثانية ولا تكاد تحمل شيئًا. بل تجري الطاقة في *الفضاء حول السلكين*، في المجال الكهرمغناطيسي، وتدخل شعيرة المصباح من جوانبها. وتسلّم الشمس كيلوواطًا لكل متر مربع من سطح مشمس بالطريقة نفسها، عبر مئة وخمسين مليون كيلومتر من الخلاء. وهذا الفصل يستخرج من [معادلات ماكسويل](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) ميزان الطاقة الكهرمغناطيسية — كم منها يُخزَّن في مجال، و المتجهة، [متجهة بوينتنغ](#thm-b2-poynting-vector-poynting)، التي تقول أين تذهب — ويطبّقه على سلك ومكثف ووشيعة وحزمة ضوء. ## 12.1 ميزان طاقة المجال **مبرهنة 12.1 (مبرهنة بوينتنغ).** لنعرّف *[كثافة الطاقة الكهرمغناطيسية](#thm-b2-poynting-vector-poynting)* و*[متجهة بوينتنغ](#thm-b2-poynting-vector-poynting)* $$ u = \frac{\varepsilon_0E^2}2 + \frac{B^2}{2\mu_0} \quad (\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}) , \qquad \vect\Pi = \frac{\vect E\wedge\vect B}{\mu_0} \quad (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}) . $$ وتستلزم [معادلات ماكسويل](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)، عند كل نقطة، $$ \frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\Pi = -\vect j\cdot\vect E , $$ ومن أجل أي حجم ثابت $V$ يحدّه $\Sigma$، $$ \frac{\dd}{\dd t}\iiint_Vu\,\dd\tau = -\iint_\Sigma\vect\Pi\cdot\vect n\,\dd S - \iiint_V\vect j\cdot\vect E\,\dd\tau : $$ أي إن طاقة المجال داخل $V$ تتناقص بما يجري خارجًا عبر الحدّ — أي تدفق $\vect\Pi$ — وبما يعطيه المجال للشحن ($\vect j\cdot\vect E$، أي استطاعة جول في ناقل). و $\vect\Pi$ هي كثافة تدفق الطاقة: أي الاستطاعة العابرة لواحدة سطح ناظمية عليها. **برهان.** من ماكسويل–أمبير، $\vect j = \operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \varepsilon_0\partial_t \vect E$، ومنه $\vect j\cdot\vect E = \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \partial_t(\varepsilon_0E^2/2)$. وتعطي المتطابقة $\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) = \vect B \cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect E - \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B$ (وتحقق منها على المركّبات) وماكسويل–فاراداي $\vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}} \vect B = -\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) - \vect B\cdot\partial_t\vect B = -\mu_0 \operatorname{div}\vect\Pi - \partial_t(B^2/2)$. ونجمع: $\vect j\cdot\vect E = -\operatorname{div} \vect\Pi - \partial_tu$. ثم نكامل على $V$ ونطبّق مبرهنة [التباعد](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#def-b2-maxwell-equations-operators). ∎ **ملاحظة 12.2 (ما يتحدد وما لا يتحدد).** لا تحدّد المبرهنة إلا تدفق $\vect\Pi$ عبر السطوح المغلقة والمقدار الكلي $u$؛ وإضافة أي مجال معدوم [التباعد](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#def-b2-maxwell-equations-operators) إلى $\vect\Pi$ لم تكن لتغير شيئًا يُرصد. والاختيار أعلاه هو الأبسط، وهو الذي يتوافق مع كمية الحركة التي يحملها الضوء (أدناه)، وهو المستعمل عالميًّا. والكثافتان $\varepsilon_0E^2/2$ و $B^2/2\mu_0$ هما طاقتا المكثف والمحرّض في كتاب السنة الأولى، منسوبتين الآن إلى كل نقطة من الفضاء: فمجال مقداره $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (وهو حدّ انهيار الهواء) يخزّن $4.4\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$، ومجال مقداره $1\,\mathrm{T}$ يخزّن $0.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — أي أكثر بمئة ألف مرة، ولهذا يبلغ تخزين الطاقة في المغانط، لا في المكثفات، الميغاجول. ## 12.2 أين تجري الطاقة: ثلاث دارات **مثال 12.3 (السلك المقاوم).** سلك أسطواني نصف قطره $a$ يحمل التيار المستقر $I$ تحت المجال $E = j/\gamma$ على امتداد محوره؛ وخارجه مباشرةً $B = \mu_0I/2\pi a$ (سمتي). وعند السطح تشير $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ *قطريًّا نحو الداخل*، وطويلتها $EI/2\pi a$؛ وتدفقها عبر السطح الجانبي لطول $L$ هو $EI/2\pi a\times2\pi aL = (EL)I = UI = RI^2$: فحرارة جول تدخل السلك من جوانبه، يسلّمها المجال المحيط، ولا تحملها الإلكترونات نزولًا في السلك. وفي الداخل، $\Pi(r) = (E/\mu_0)(\mu_0Ir/2\pi a^2) = EIr/2\pi a^2$: فالجريان الداخل يتناقص نحو المحور كلما أُودعت الطاقة طبقةً طبقةً. **مثال 12.4 (المكثف والملف اللولبي).** مكثف بلبوسين دائريين يُشحن: $\vect E$ محوري، و $\vect B = \mu_0\varepsilon_0(r/2)\dot E\,\vect e_\theta$ ([الفصل 11](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#ch-b2-maxwell-equations))، ومنه $\vect\Pi = -\varepsilon_0(r/2)E\dot E\,\vect e_r$، نحو الداخل؛ وعبر الأسطوانة ذات نصف القطر $R$ والارتفاع $d$ يكون تدفقها $\varepsilon_0\pi R^2d\,E\dot E = \dd(\tfrac12 \varepsilon_0E^2\,\pi R^2d)/\dd t$: فالطاقة الكهربائية تدخل من الحافة. وملف لولبي ينمو تياره: $\vect B$ محوري، والمجال المحرَّض $\vect E = -(r/2) \dot B\,\vect e_\theta$، و $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$، نحو الداخل مرة أخرى، وتدفقها $\dd(B^2/2\mu_0\times\text{الحجم})/\dd t$. وفي كل حالة تبلغ الطاقة الجهازَ عبر المجال خارجه؛ ولا تفعل الأسلاك إلا أن توجّه المجال. ![على اليسار: سلك يحمل تيارًا — تشير متجهة بوينتنغ، المبنية من E المحوري و B السمتي، إلى داخل السلك في كل سطحه؛ وتدخل حرارة جول من الجوانب. وعلى اليمين: مكثف يُشحن — تجري الطاقة داخلةً قطريًّا عبر الفجوة، لا عبر اللبوسين.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-2e3a90fcb4c7.svg) *على اليسار: سلك يحمل تيارًا — تشير [متجهة بوينتنغ](#thm-b2-poynting-vector-poynting)، المبنية من $\vect E$ المحوري و $\vect B$ السمتي، إلى داخل السلك في كل سطحه؛ وتدخل حرارة جول من الجوانب. وعلى اليمين: مكثف يُشحن — تجري الطاقة داخلةً قطريًّا عبر الفجوة، لا عبر اللبوسين.* **ملاحظة 12.5 (الطاقة في مجالين متعامدين ساكنين).** مكثف مشحون موضوع في مجال مغنطيس دائم له $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0 \ne \vect 0$ في كل مكان بين لبوسيه، مع أن لا شيء يتغير ولا شيء يسخن. ولا تناقض في ذلك: إذ إن $\vect\Pi$ هناك معدومة [التباعد](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#def-b2-maxwell-equations-operators)، وخطوطها تنغلق على نفسها، وتدفقها عبر أي سطح مغلق ينعدم — ولا تقول المبرهنة شيئًا عن جريان دوّار لا يسلّم شيئًا. فالتدفقات عبر السطوح المغلقة وحدها فيزيائية. ![كابل محوري يحمل استطاعة: يصنع E القطري و B السمتي متجهةَ بوينتنغ محورية في العازل؛ وتدفقها على الحلقة بين الناقلين هو UI بالضبط — فالاستطاعة تنتقل في العازل، ولا يفعل المعدن إلا أن يوجّهها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-78f67686a465.svg) *[كابل محوري](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) يحمل استطاعة: يصنع $\vect E$ القطري و $\vect B$ السمتي متجهةَ بوينتنغ محورية في العازل؛ وتدفقها على الحلقة بين الناقلين هو $UI$ بالضبط — فالاستطاعة تنتقل في العازل، ولا يفعل المعدن إلا أن يوجّهها.* ## 12.3 الضوء: الشدة وضغط الإشعاع **قضية 12.6 (طاقة موجة مستوية).** من أجل موجة مستوية في الخلاء — وهي حلّ [الفصل 13](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/13-plane-electromagnetic-waves-and-polarization#ch-b2-plane-waves-polarization)، مع $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$، و $B = E/c$، و $\vect E \perp \vect B$ — تتساوى كثافتا الطاقة الكهربائية والمغناطيسية ويكون $$ u = \varepsilon_0E^2 , \qquad \vect\Pi = \varepsilon_0cE^2\,\vect u = cu\,\vect u , $$ حيث $\vect u$ جهة الانتشار: فالطاقة تنتقل بالسرعة $c$. ومن أجل موجة جيبية سعتها $E_0$ تكون *الشدة* (الاستضاءة) هي التدفق الوسطي، $$ I = \langle\Pi\rangle = \frac{\varepsilon_0cE_0^2}2 = \frac{E_0^2}{2\mu_0c} , $$ وتحمل الموجة كثافة كمية حركة $\vect\Pi/c^2$ (مسلَّم بها)، ومنه تؤثر على سطح تصيبه بورود ناظمي بما يسمّى *[ضغط الإشعاع](#prop-b2-poynting-vector-wave)* $P = I/c$ إذا امتُصّت و $2I/c$ إذا انعكست. **برهان.** $B^2/2\mu_0 = E^2/2\mu_0c^2 = \varepsilon_0E^2/2$؛ و $\vect E\wedge\vect B/\mu_0 = E^2/\mu_0c = \varepsilon_0cE^2$ على امتداد $\vect k$؛ و $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$. وتنتج كثافة كمية الحركة $\vect\Pi/c^2$ من قوة لورنتس على شحن السطح الماصّ (أو من النسبية: $p = E/c$ في الضوء): إذ إن كمية الحركة $\Pi S\,\dd t/c^2\times c$ الواصلة في واحدة الزمن على سطح $S$ هي قوة $\Pi S/c$. ∎ **مثال 12.7 (ضوء الشمس والليزر والموجات الصغرية).** ضوء الشمس عند قمة الغلاف الجوي، $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$: $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 1.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$، و $B_0 = E_0/c = 3.4\,\text{µ}\mathrm{T}$، وكثافة الطاقة $4.5\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$، والضغط $4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ — أي قوة قدرها ثقل $0.7\,\mathrm{kg}$ على كيلومتر مربع، ومع ذلك تكفي لتوجيه شراع شمسي ول نفخ غبار مذنَّب في ذيله. ومؤشر ليزر مقداره $1\,\mathrm{mW}$ على بقعة $1\,\mathrm{mm}^{2}$: $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$، أي كالشمس؛ ومركَّزًا على $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$: $1\,\mathrm{GW}/\mathrm{m}^{2}$، و $E_0 = 0.9\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$، أي قرب انهيار الهواء. وفرن موجات صغرية مقداره $1\,\mathrm{kW}$ [بموجة مستقرة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#prop-b2-waves-on-strings-modes) تملأ $30\,\mathrm{L}$: كثافة الطاقة $\sim 10^{-7}$ J/m$^3$ و $E_0$ بضعة كيلوفولتات في المتر. ![موجة كهرمغناطيسية مستوية: تؤلف E و B و جهة الانتشار ثلاثيًّا مباشرًا؛ وتشير متجهة بوينتنغ على امتداد الانتشار وتتذبذب بضعف التواتر، ومتوسطها هو الشدة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-056abd4719f6.svg) *موجة كهرمغناطيسية مستوية: تؤلف $\vect E$ و $\vect B$ و جهة الانتشار ثلاثيًّا مباشرًا؛ وتشير [متجهة بوينتنغ](#thm-b2-poynting-vector-poynting) على امتداد الانتشار وتتذبذب بضعف التواتر، ومتوسطها هو الشدة.* **طريقة 12.8 (محاسبة الطاقة).** (1) أوجد $\vect E$ و $\vect B$ (سكونًا، أو شبه سكون، أو أمواجًا). (2) كوّن $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ و $u$. (3) اختر سطحًا مغلقًا حول الجهاز واحسب تدفق $\vect\Pi$: فيجب أن يساوي استطاعة جول مضافًا إليها معدل تغيّر الطاقة المخزَّنة في الداخل — وهو تحقق من المجالات. (4) وفي موجة، يكون متوسط $\Pi$ هو الشدة؛ فاقسمه على $c$ للحصول على الضغط، وعلى طاقة الفوتون $hf$ للحصول على تدفق الفوتونات. ## 12.4 تمارين **تمرين 12.1 ★.** ضوء الشمس عند الأرض، $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$: أوجد السعتين $E_0$ و $B_0$، وكثافة الطاقة، [وضغط الإشعاع](#prop-b2-poynting-vector-wave) على سطح أسود وعلى مرآة؛ والقوة على سطح مساحته $100\,\mathrm{m}^{2}$؛ وتدفق الفوتونات في المتر المربع من أجل طاقة فوتون وسطية $2\,\mathrm{eV}$. **حل التمرين 12.1.** $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$، و $B_0 = E_0/c = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$؛ و $u = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$؛ و $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (على الأسود)، و $6.7\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (على المرآة)؛ و $0.33\,\mathrm{mN}$ على السطح؛ و $I/hf = 1000/3.2 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. **تمرين 12.2 ★.** مؤشر ليزر مقداره $5\,\mathrm{mW}$ وقطر حزمته $1.5\,\mathrm{mm}$: أوجد الشدة و $E_0$ و $B_0$؛ والحزمة نفسها مركَّزةً على بقعة قطرها $5\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ وليزر نبضي مقداره $1\,\mathrm{PW}$ (أي $1 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$) مركَّز على $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$: أوجد $E_0$، وقارنه بالمجال الذي يربط الإلكترون في ذرة الهيدروجين ($5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$). **حل التمرين 12.2.** المساحة $1.8\,\mathrm{mm}^{2}$: $I = 2.8\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$، و $E_0 = 1.5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$، و $B_0 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{T}$. ومركَّزةً على $5\,\text{µ}\mathrm{m}$: $I = 2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، و $E_0 = 4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. وأما البيتاواط: $I = 1 \times 10^{26}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، و $E_0 = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$، أي خمسمئة ضعف المجال الذري — فتتمزق الذرة في دورة واحدة. **تمرين 12.3 ★.** كثافات الطاقة: مجال كهربائي مقداره $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (انهيار الهواء)؛ و $100\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (عازل رقيق)؛ ومجال مغناطيسي مقداره $0.1\,\mathrm{T}$، و $1.5\,\mathrm{T}$ (تصوير بالرنين المغناطيسي)، و $45\,\mathrm{T}$ (مغنطيس قياسي). وأوجد الطاقة في $1\,\mathrm{m}^{3}$ من فجوة جهاز الرنين؛ وما يعادلها بلترات البنزين ($35\,\mathrm{MJ}/\mathrm{L}$). **حل التمرين 12.3.** $\tfrac12\varepsilon_0E^2$: أي $40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ و $4.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$. و $B^2/2\mu_0$: أي $4\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{3}$ و $0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ و $8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$. وتحوي فجوة جهاز الرنين $0.9\,\mathrm{MJ}$ — أي $26\,\mathrm{mL}$ من البنزين. **تمرين 12.4 ★.** شراع شمسي $100\,\mathrm{m}$ $\times$ $100\,\mathrm{m}$، عاكس عكسًا تامًّا، على بعد الأرض ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$): أوجد القوة؛ وتسارع مركبة كتلتها $200\,\mathrm{kg}$؛ والسرعة المكتسبة في شهر؛ وقارنها بثقالة الشمس على المركبة على ذلك البعد ($5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$). **حل التمرين 12.4.** $F = 2IA/c = 0.09\,\mathrm{N}$؛ و $a = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ و $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ في شهر؛ وتجذب الشمس بقوة $1.2\,\mathrm{N}$: فلا يستطيع الشراع أن يقاوم الثقالة، بل يناور عليها في المدار. **تمرين 12.5 ★★.** سلك نحاسي نصف قطره $a = 1\,\mathrm{mm}$ يحمل $10\,\mathrm{A}$ ($\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$). (أ) أوجد $E$ في الداخل، و $B$ عند السطح، و $\vect\Pi$ عند السطح (جهةً وطويلةً). (ب) وتدفق $\vect\Pi$ إلى $1\,\mathrm{m}$ من السلك؛ وقارنه بالمقدار $RI^2$. (ج) و $\Pi(r)$ داخل السلك والاستطاعة المودَعة بين $r$ و $r + \dd r$؛ وتحقق من أنها $j^2/\gamma\cdot2\pi r\,\dd r$. (د) ومن أين تأتي الطاقة — صف المجال بين البطارية والسلك. **حل التمرين 12.5.** (أ) $j = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$، و $E = j/\gamma = 0.053\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$؛ و $B = \mu_0I/2\pi a = 2\,\mathrm{mT}$؛ و $\Pi = EB/\mu_0 = 84\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، قطريًّا نحو الداخل. (ب) $84 \times 2\pi a = 0.53\,\mathrm{W}$ في المتر؛ و $R = 1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$، و $RI^2 = 0.53\,\mathrm{W}$. (ج) $\Pi(r) = EIr/2\pi a^2$، ومنه $2\pi r\Pi = EIr^2/a^2$ وتتلقى القشرة $\dd(2\pi r\Pi) = 2EIr\,\dd r/a^2 = (j^2/\gamma)2\pi r\,\dd r$. (د) وتقيم الشحن السطحية على البطارية مجالًا كهربائيًّا على امتداد الدارة كلها، خارج الأسلاك؛ و $\vect E\wedge\vect B$ هناك تحمل الطاقة من البطارية إلى الحمل. **تمرين 12.6 ★★.** مكثف بلبوسين دائريين ($R$، و $d$) يُشحن بالتيار $I$. (أ) أوجد $\vect E$ و $\vect B$ و $\vect\Pi$ بين اللبوسين. (ب) وتدفق $\vect\Pi$ عبر الأسطوانة الجانبية؛ وبيّن أنه يساوي $\dd W_e/\dd t$. (ج) ومن أجل $R = 5\,\mathrm{cm}$ و $d = 1\,\mathrm{mm}$ و $I = 1\,\mathrm{A}$ في اللحظة التي فيها $E = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$: أوجد $\Pi$ عند الحافة والاستطاعة الداخلة. (د) وهل الطاقة المغناطيسية مهمَلة؟ **حل التمرين 12.6.** (أ) $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ محوري، و $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ سمتي، و $\vect\Pi = -\varepsilon_0 (r/2)E\dot E\,\vect e_r$. (ب) $\varepsilon_0(R/2)E\dot E\cdot2\pi Rd = \dd(\tfrac12\varepsilon_0E^2\pi R^2d)/ \dd t$. (ج) $\dot E = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.4 \times 10^{13}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ و $\Pi(R) = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$؛ مضروبًا في $2\pi Rd = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$: أي $1.0\,\mathrm{kW}$ $= UI$ مع $U = Ed = 1\,\mathrm{kV}$. (د) نعم: فهي أصغر بمعاملات من نوع $(\omega R/c)^2$ ([الفصل 11](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#ch-b2-maxwell-equations)). **تمرين 12.7 ★★.** ملف لولبي طويل ($n$، ونصف قطره $R$) ينمو تياره $I(t)$. (أ) أوجد $\vect E$ المحرَّض في الداخل؛ و $\vect\Pi$؛ وجهتها. (ب) والتدفق عبر السطح الجانبي في واحدة الطول و $\dd(B^2/2\mu_0\cdot\pi R^2)/\dd t$. (ج) وخارج الملف مباشرةً (حيث $\vect B = \vect 0$)، ما $\vect\Pi$؟ فكيف تدخل الطاقة إذًا؟ (فكّر أين يجري التيار: فاللفّ صفيحة رقيقة؛ وخذ السطح داخلها مباشرةً.) **حل التمرين 12.7.** (أ) $\vect E = -(r/2)\dot B\,\vect e_\theta$، و $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$: نحو الداخل ما دام $B$ ينمو. (ب) $(RB\dot B/2\mu_0)2\pi R$ يساوي $\dd(\pi R^2B^2/2\mu_0)/\dd t$. (ج) وفي الخارج $\vect B = \vect 0$، ومنه $\vect\Pi = \vect 0$: فالطاقة تُحقن عند اللفّ، حيث يقود المولّد التيار ضد المجال المحرَّض ($\vect j\cdot\vect E < 0$ هناك)؛ وداخل الصفيحة مباشرةً تكون $\vect\Pi$ هي الجريان الداخل في (أ). **تمرين 12.8 ★★.** *أين تنتقل استطاعة كابل.* [كابل محوري](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) (نصفا قطريه $a$ و $b$) يحمل تيارًا مستقرًّا $I$ في اللبّ، عائدًا في الضفيرة، تحت التوتر $U$ بينهما (والناقلان مثاليان). (أ) أوجد $\vect E$ و $\vect B$ في العازل ($a < r < b$) من غاوس وأمبير. (ب) و $\vect\Pi$: جهةً وطويلةً. (ج) وكامِل $\vect\Pi$ على الحلقة $a < r < b$: بيّن أن النتيجة $UI$ — فالاستطاعة كلها تنتقل في العازل. (د) ومع لبّ مقاوم قليلًا، في أي جهة تميل $\vect\Pi$، وما الذي يساويه تدفقها إلى اللبّ؟ **حل التمرين 12.8.** (أ) $E = U/r\ln(b/a)$ قطري، و $B = \mu_0I/2\pi r$ سمتي. (ب) $\vect\Pi = (UI/ 2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$، على امتداد تيار اللبّ. (ج) $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI$. (د) ويكتسب $E$ مركّبة محورية $j/\gamma$؛ فتميل $\vect\Pi$ نحو اللبّ، ويكون تدفقها القطري إلى متر من اللبّ هو $RI^2$ في المتر. **تمرين 12.9 ★★.** *غبار المذنَّبات.* حبة غبار كروية نصف قطرها $a$ وكثافتها $\rho = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ على البعد $D$ من الشمس تمتصّ ضوء الشمس ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ عند $D_0 = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$، وكتلة الشمس $2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$). (أ) أوجد قوة الإشعاع وقوة الثقالة؛ وبيّن أن نسبتهما لا تتوقف على $D$. (ب) ونصف القطر الذي تُنفَخ الحبة دونه بعيدًا. (ج) ولماذا تشير ذيول المذنَّبات مبتعدةً عن الشمس، ولماذا تنحني؟ **حل التمرين 12.9.** (أ) $F_{\text{إشعاع}} = I_0(D_0/D)^2\pi a^2/c$، و $F_g = GM\cdot\tfrac43\pi a^3\rho/D^2$: والنسبة $3I_0D_0^2/4cGM\rho a$، ولا تتوقف على $D$. (ب) والنسبة $> 1$ من أجل $a < 3I_0D_0^2/ 4cGM\rho = 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$. (ج) ويُدفع الغبار الناعم بعيدًا عن الشمس بينما يحفظ سرعة المذنَّب المدارية، فيشير ذيل الغبار مبتعدًا و ينحني؛ وأما ذيل الشوارد، وتقوده الريح الشمسية، فمستقيم. **تمرين 12.10 ★★★.** *مكثف يُفرَّغ.* يُفرَّغ مكثف [التمرين 12.6](#exo-b2-poynting-vector-6) عبر سلك [التمرين 12.5](#exo-b2-poynting-vector-5) ($R = 5.3\,\mathrm{m}\Omega$ في المتر، وطوله $L$). (أ) أوجد جهة $\vect\Pi$ عند حافة المكثف الآن. (ب) والاستطاعة المغادرة للمكثف، والاستطاعة الداخلة إلى السلك؛ وماذا يحدث للفرق (إن وُجد)؟ (ج) واكتب ميزان الطاقة $\dd W_e/\dd t = -RI^2$ وتحقق منه باستعمال $Q = CU$ و $I = -\dd Q/\dd t$. (د) ولماذا لا تظهر الطاقة المغناطيسية للدارة في الميزان في البداية وفي النهاية؟ **حل التمرين 12.10.** (أ) $\dot E < 0$: فتشير $\vect\Pi$ إلى الخارج عند الحافة. (ب) ويغادر $-\dd W_e/\dd t$ المكثفَ ويدخل $RI^2$ السلكَ؛ وفي النظام شبه السكوني يتساويان — فلا شيء يتراكم بينهما. (ج) $W_e = Q^2/2C$، ومنه $\dd W_e/\dd t = (Q/C)\dd Q/\dd t = -UI = -RI^2$. (د) و $\tfrac12LI^2$ ينعدم عند الطرفين ($I = 0$) وهو مهمَل بينهما من أجل حلقة صغيرة. **تمرين 12.11 ★★★.** *المغنطيس المشحون.* بين لبوسي مكثف مشحون ($\vect E = E\vect e_z$) يوجد مجال منتظم $\vect B = B\vect e_x$ (أي مغنطيس). (أ) أوجد $\vect\Pi$؛ وتباعدها. (ب) وخذ السطح المغلق لصندوق داخل المنطقة: أوجد تدفق $\vect\Pi$. (ج) وأين تذهب خطوط $\vect\Pi$، وما الذي يغلقها؟ (د) واقتراح: نقيس جريان الطاقة بماصّ صغير يوضع في الفجوة — أيسخن؟ ولماذا لا؟ **حل التمرين 12.11.** (أ) $\vect\Pi = (EB/\mu_0)\vect e_y$، منتظمة: ومنه $\operatorname{div}\vect\Pi = 0$. (ب) معدوم. (ج) على امتداد $y$ عبر الفجوة، منغلقةً عبر المجالات الهامشية عند حواف اللبوسين والمغنطيس. (د) وجسم ساكن في مجالات سكونية لا يحمل تيارًا: ومنه $\vect j\cdot\vect E = 0$، فلا تسخين. و $\vect\Pi$ الدوّارة محاسبة، لا جريانًا يودع طاقة. **تمرين 12.12 ★★★.** *[الموجة المستقرة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#prop-b2-waves-on-strings-modes).* موجتان مستويتان متعاكستا الانتشار متساويتا السعة تؤلفان $\vect E = 2E_0\cos kx\cos\omega t\,\vect e_y$ و $\vect B = -2(E_0/c) \sin kx\sin\omega t\,\vect e_z$ (وتحقق من ذلك بماكسويل–فاراداي). (أ) أوجد $\vect\Pi(x, t)$؛ ومتوسطها الزمني. (ب) وكثافة الطاقة؛ وأين تكون كهربائية، وأين مغناطيسية، وكيف تتأرجح؟ (ج) وتعكس مرآة ناقلة عكسًا تامًّا عند $x = 0$ الموجةَ الواردة: أوجد القوة في واحدة المساحة عليها من حجة كمية الحركة، ومن قوة لابلاس على تيارها السطحي (باستعمال علاقة العبور من أجل $\vect B$). (د) وبيّن أن كليهما يعطي $2I/c$ وسطيًّا. **حل التمرين 12.12.** فاراداي: $\partial_xE_y = -2E_0k\sin kx\cos\omega t$ هو $-\partial_tB_z$، لأن $\omega = kc$. (أ) وجريان الطاقة $\vect\Pi = (E_yB_z/\mu_0)\vect e_x$، أي $-(E_0^2/\mu_0c)\sin2kx\sin2\omega t\,\vect e_x$: ومتوسطها معدوم. (ب) $u = 2\varepsilon_0E_0^2(\cos^2kx\cos^2\omega t + \sin^2kx\sin^2\omega t)$: فهي كهربائية عند $x = 0, \lambda/2, \dots$، ومغناطيسية عند $\lambda/4, \dots$، وتتأرجح بينهما مرتين في الدور. (ج) وبكمية الحركة: لكل موجة $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$، وتعكس المنعكسة كمية حركتها: ومنه $2I/c = \varepsilon_0E_0^2$. وبلابلاس: عند $x = 0$ يكون $B = (2E_0/c)\sin\omega t$ خارجًا و $0$ داخلًا، ومنه $j_s = B/\mu_0$؛ وتكون القوة في واحدة المساحة على الصفيحة $\tfrac12j_sB = B^2/2\mu_0 = 2\varepsilon_0E_0^2\sin^2 \omega t$. (د) ومتوسطها $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$. ![مزرعة شمسية: يصل كيلوواط في المتر المربع من تدفق بوينتنغ من الشمس عبر فضاء خالٍ، ويغادر خمسه عبر الكابلات.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/img-e07a4b5953fa.jpg) *مزرعة شمسية: يصل كيلوواط في المتر المربع من تدفق بوينتنغ من الشمس عبر فضاء خالٍ، ويغادر خمسه عبر الكابلات.* ## 12.5 مسألة: طاقة خط ولوح وفرن **مسألة 12.1.** مسألة نهاية الأسبوع — تتبّع الطاقة الكهرمغناطيسية من خط كهرباء إلى بيت، ومن الشمس إلى لوح شمسي، ومن مغنطرون إلى كوب ماء **الجزء I — الخط.** كابل طاقة محوري (نصف قطر لبّه $a = 1.0\,\mathrm{cm}$، ونصف قطر ضفيرته $b = 3.0\,\mathrm{cm}$، وعازله $\varepsilon_r = 2.3$) يحمل تيارًا مستمرًّا $I = 500\,\mathrm{A}$ عند $U = 20\,\mathrm{kV}$؛ وناقلية اللبّ $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$. 1. المجالان $\vect E(r)$ و $\vect B(r)$ في العازل (بناقلين مثاليين أولًا)؛ والقيمتان عند $r = a$ . 2. [متجهة بوينتنغ](#thm-b2-poynting-vector-poynting) في العازل؛ وتدفقها عبر المقطع الحلقي: تحقق من أنه يساوي $UI$ . 3. كثافتا الطاقة $\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2$ و $B^2/2\mu_0$ عند $r = a$ (وفي عازل تحمل كثافة الطاقة الكهربائية $\varepsilon_r$ )؛ وأيهما تهيمن، وبكم؟ 4. وبأي نسبة من سرعة الضوء «تتحرك» الطاقة (بأخذ $\Pi/u$ عند $r = a$ )؟ وقارنها بالسرعة $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ . 5. والآن صار اللبّ مقاومًا: أوجد المجال $E_z$ داخله؛ وتكتسب [متجهة بوينتنغ](#thm-b2-poynting-vector-poynting) خارج سطحه مباشرةً مركّبةً قطرية: أوجد طويلتها، والاستطاعة التي تسلّمها في المتر إلى اللبّ؛ وتحقق منها بالمقدار $RI^2$ في المتر. 6. نسبة المركّبة القطرية إلى المحورية من $\vect\Pi$ عند $r = a$ : فماذا تقول عن الموضع الذي تذهب إليه الطاقة؟ 7. الطاقة المغناطيسية في المتر من الكابل، $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ ، و الطاقة الكهربائية في المتر، $\int\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2\,\dd\tau$ ؛ واستعدهما في صورة $\tfrac12\Lambda I^2$ و $\tfrac12\Gamma U^2$ بمحارضة وسعة المتر في [الفصل 8](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#ch-b2-dispersion-wave-packets) . 8. وخط طوله $10\,\mathrm{km}$ : أوجد الاستطاعة المسلَّمة والاستطاعة الضائعة والنسبة. وأعد ذلك مع $U = 200\,\mathrm{kV}$ و $I = 50\,\mathrm{A}$ (والاستطاعة نفسها). **الجزء II — اللوح.** ضوء الشمس ظهرًا في يوم صافٍ: $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$؛ ولوح كهرضوئي مساحته $1.6\,\mathrm{m}^{2}$ ومردوده $20\%$؛ وطاقة الفوتون $2.0\,\mathrm{eV}$ وسطيًّا. 9. أوجد $E_0$ و $B_0$ وكثافة الطاقة وتدفق الفوتونات في الحزمة. 10. الاستطاعة الكهربائية المسلَّمة؛ والحرارة الواجب تصريفها؛ وارتفاع درجة الحرارة إذا فقد اللوح الحرارة من وجهيه عند $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ . 11. [ضغط الإشعاع](#prop-b2-poynting-vector-wave) على اللوح (وهو ماصّ)؛ والقوة؛ وقارنها بثقله ( $18\,\mathrm{kg}$ ). 12. الطاقة المتلقاة في اليوم ( $6\,\mathrm{h}$ من الشمس الكاملة المكافئة) وفي السنة؛ والمساحة اللازمة لتغطية استهلاك بيت مقداره $3500\,\mathrm{kWh}/\mathrm{a}$ . 13. ويعطي اللوح $30\,\mathrm{V}$ عند $10.7\,\mathrm{A}$ : تحقق من الاستطاعة؛ وأوجد تدفق بوينتنغ على امتداد $5\,\mathrm{m}$ من الكابل ذي السلكين إلى المموِّج — فأين تنتقل تلك الاستطاعة، في صورة المجال؟ 14. وعند مدار الأرض تشعّ الشمس $1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : أوجد استطاعة الشمس الكلية؛ والكتلة التي تحوّلها في الثانية ( $E = mc^2$ ، و $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). 15. عدد الفوتونات التي تصيب اللوح في الثانية. 16. تدفق كمية حركة الفوتونات عند الأرض: أوجد قوة إشعاع الشمس الكلية على الأرض (وقرصها نصف قطره $6400\,\mathrm{km}$ ، وهي ماصّة)؛ وقارنها بالثقالة ( $3.5 \times 10^{22}\,\mathrm{N}$ ). **الجزء III — الفرن.** يقدّم فرن موجات صغرية $800\,\mathrm{W}$ عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ إلى جوف حجمه $30\,\mathrm{L}$؛ ويمتصّ كوب فيه $250\,\mathrm{g}$ من الماء $80\%$ منها. 17. طول الموجة؛ وهل الجوف كبير بالقياس إليه؟ ولماذا تكون الجدران معدنية؟ 18. الزمن اللازم لتسخين الماء من $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ إلى $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ )؛ والاستطاعة الممتصّة في واحدة الحجم. 19. ولو جرت الاستطاعة موجةً مستوية عبر مقطع الكوب $50\,\mathrm{cm}^{2}$ ، أوجد الشدة و $E_0$ ؛ والمجالات الحقيقية أمواج مستقرة بسعة مماثلة — فكم تتباعد البقع الساخنة، ولماذا يدور الطبق؟ 20. الطاقة المخزَّنة في مجال الجوف إذا كان عامل جودته $Q = 2\pi\times\text{(الطاقة المخزَّنة)}/\text{(الطاقة الضائعة في الدور)} \approx 10^3$ وهو فارغ: أوجد الطاقة المخزَّنة، وكثافة الطاقة الوسطى، و $E_0$ — وقارنه بانهيار الهواء ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ). 21. ويمتصّ الماء لأن جزيئاته ثنائيات قطب مقودة عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ : والاستطاعة الموضعية الشبيهة بجول هي $\tfrac12\omega\varepsilon_0 \varepsilon''E_0^2$ مع $\varepsilon'' \approx 10$ للماء: فأوجد $E_0$ في الماء اللازم لكثافة الاستطاعة في السؤال 16؛ وهل هو متوافق؟ 22. طاقة الفوتون عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ بالإلكترون فولت، وعدد الفوتونات التي يمتصّها الكوب في الثانية؛ ولماذا تستطيع الموجات الصغرية أن تسخّن ولا تستطيع أن تؤيّن (فالتأيين يحتاج نحو $10\,\mathrm{eV}$ ). 23. ضغط إشعاع مجال الجوف على الجدران (وهو من رتبة كثافة الطاقة $u$ ): أيستحقّ القلق؟ 24. ولماذا يخاطر فرن فارغ (بلا حمل) بالعطب، من حيث بوينتنغ؟ 25. لخّص في جدول، من أجل الخط واللوح والفرن: حامل الطاقة، وجهة $\vect\Pi$ ، والاستطاعة، وما الذي يحوّلها. **حل المسألة 12.1.** **1.** $E = U/r\ln(b/a)$: أي $1.8\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ عند $r = a$؛ و $B = \mu_0I/2\pi r$: أي $10\,\mathrm{mT}$ عند $a$. **2.** $\vect\Pi = (UI/2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$؛ و $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI = 10\,\mathrm{MW}$. **3.** $\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon_rE^2 = 34\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$، و $B^2/2\mu_0 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: أي متقاربتان. **4.** $\Pi(a) = EB/\mu_0 = 1.45 \times 10^{10}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، و $u = 74\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: ومنه $\Pi/u = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = c/\sqrt{\varepsilon_r}$. **5.** $E_z = I/\gamma\pi a^2 = 0.027\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$؛ و $\Pi_r = E_zB/\mu_0 = 210\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ نحو الداخل؛ ومضروبًا في $\times2\pi a = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$؛ و $R = 1/\gamma\pi a^2 = 53\,\text{µ}\Omega/\mathrm{m}$، و $RI^2 = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$. **6.** $\Pi_r/\Pi_z = E_z/E_r = 1.5 \times 10^{-8}$: فكل الطاقة تقريبًا تجري نزولًا في الخط؛ ويتسرّب نَفَس منها إلى النحاس. **7.** $133\,\mathrm{kW}$ ضائعة من $10\,\mathrm{MW}$، أي $1.3\%$؛ وعند $200\,\mathrm{kV}$: $1.3\,\mathrm{kW}$، أي $0.013\%$. **8.** $\int_a^b(B^2/2\mu_0)2\pi r\,\dd r$ يساوي $(\mu_0I^2/4\pi)\ln(b/a) = 27\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m} = \tfrac12\Lambda I^2$ مع $\Lambda = \mu_0\ln(b/a)/2\pi = 0.22\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$؛ وكهربائيًّا: $\tfrac12\Gamma U^2$ مع $\Gamma = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) = 117\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$: أي $23\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}$. **9.** $E_0 = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$، و $B_0 = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$، و $u = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$، و $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. **10.** $320\,\mathrm{W}$ كهربائية؛ و $1280\,\mathrm{W}$ من الحرارة على $3.2\,\mathrm{m}^{2}$ من الوجهين: ومنه $\Delta T = 1280/32 = 40\,\mathrm{K}$. **11.** $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$؛ أي $5.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ مقابل ثقل مقداره $180\,\mathrm{N}$. **12.** $320 \times 6 = 1.9\,\mathrm{kWh}/\mathrm{d}$، و $700\,\mathrm{kWh}/\mathrm{a}$؛ أي خمسة ألواح، و $8\,\mathrm{m}^{2}$. **13.** $30 \times 10.7 = 320\,\mathrm{W}$؛ وتجري الاستطاعة في المجال بين السلكين — $\vect E$ عبر $30\,\mathrm{V}$، و $\vect B$ حول التيارين — لا في النحاس. **14.** $4\pi D^2I = 3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$؛ و $P/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$. **15.** $5 \times 10^{21} \times 1.6 = 5 \times 10^{21}\,$ فوتون في الثانية. **16.** $I\pi R_E^2/c = 5.8 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$: أي $10^{-14}$ من الثقالة. **17.** $\lambda = 12.2\,\mathrm{cm}$؛ والجوف ذو $30\,\mathrm{cm}$ بضعة أطوال موجة — أي مرنان بأنماط، لا حزمة حرة؛ والجدران المعدنية تعكس الموجة (وعمق قشرتها ميكرومترات) وتحبسها فيه. **18.** $0.25 \times 4180 \times 60 = 63\,\mathrm{kJ}$ عند $640\,\mathrm{W}$: أي $98\,\mathrm{s}$؛ و $640/2.5 \times 10^{-4} = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$. **19.** $I = 640/5 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، و $E_0 = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$؛ وتتباعد البقع الساخنة $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ — ومن هنا الطبق الدوّار. **20.** $W = QP/\omega = 10^3 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 52\,\text{µ}\mathrm{J}$؛ و $u = 1.7\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}^{3}$؛ و $E_0 = \sqrt{2u/\varepsilon_0} = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — أي أدنى من الانهيار بمئة مرة. **21.** $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2 = 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$: ومنه $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ داخل الماء — أي من رتبة مجال الجوف، مخفَّضًا بنفوذية الماء: وهو متوافق. **22.** $hf = 1.6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$؛ و $4 \times 10^{26}$ فوتون في الثانية؛ وطاقة الفوتون أقل من طاقة التأيين بمليون مرة. **23.** $\sim u = 2\,\mathrm{mPa}$: لا. **24.** إذ لا شيء يمتصّه، فليس لتدفق $\vect\Pi$ من منتهًى إلا العودة إلى المغنطرون، فيفرط في السخونة. **25.** الخط: العازل، و $\vect\Pi$ محورية، و $10\,\mathrm{MW}$، وحمل عند الطرف. واللوح: الحزمة، و $\vect\Pi$ على امتداد أشعة الشمس، و $1.6\,\mathrm{kW}$ داخلة، و $320\,\mathrm{W}$ خارجة، [ونصف الناقل](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/10-charges-currents-and-conduction#rem-b2-charges-currents-conduction-materials). والفرن: مجال الجوف، و $\vect\Pi$ دوّارة، و $800\,\mathrm{W}$، وثنائيات قطب الماء.