--- title: "الأمواج الكهرمغناطيسية في البلازما والنواقل والعوازل" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثانية" subject: physics language: ar chapter: 14 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics --- # الفصل 14 — الأمواج الكهرمغناطيسية في البلازما والنواقل والعوازل يعبر بثّ على الموجة القصيرة محيطًا بارتداده عن أعالي الجو، فيعكسه كالمرآة — ومع ذلك تمرّر الطبقة نفسها إشارات التلفزة والسواتل. وملعقة معدنية لامعة، وشبكة معدنية في باب فرن الموجات الصغرية تحبس الأمواج بينما تنظر إلى طعامك عبرها، وصفيحة زجاج شفافة للضوء وعاتمة على فوق البنفسجي. وفي كل حالة تدخل موجة مادةً، فتستجيب شحن المادة، وتغير استجابتها الموجة: سرعتها ووهنها، بل حتى أتنتشر أصلًا. وهذا الفصل يعالج النماذج الثلاثة المعيارية للوسط — أي غاز إلكترونات حرة، وناقل أومي، وإلكترونات مرتبطة — بالطريقة الواحدة التي تعالجها جميعًا: أضف التيار المحرَّض إلى [معادلات ماكسويل](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) واقرأ [علاقة التبدد](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-relation). ## 14.1 الأمواج في بلازما **تعريف 14.1 (البلازما؛ نموذج الإلكترونات الحرة).** *البلازما* غاز متعادل إجمالًا من إلكترونات حرة (كثافتها $n$، وكتلتها $m$، وشحنتها $-e$) وشوارد موجبة، وهي، لكونها أثقل بآلاف المرات، تُؤخذ ثابتة. وأعالي الجو (أي الأيونوسفير، و $n \sim 10^{11}$–$10^{12}$ m$^{-3}$)، وأنبوب تفريغ، وإكليل الشمس، و — عند التواترات الضوئية — إلكترونات ناقلية معدن، كلها بلازما. وتُهمَل التصادمات (فدور الموجة قصير بالقياس إلى الزمن بين تصادمين). وتواترها المميز هو *تواتر البلازما* $$ \omega_p = \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0m}} , \qquad f_p = \frac{\omega_p}{2\pi} \approx 9\,\text{Hz}\times\sqrt{n\,[\text{m}^{-3}]} : $$ أي $3\,\mathrm{MHz}$ إلى $9\,\mathrm{MHz}$ للأيونوسفير، و $2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ (فوق بنفسجي) في المعدن. **مبرهنة 14.2 (علاقة تبدد بلازما).** من أجل موجة مستوية متقدمة توافقية مستعرضة $\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ في [بلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma)، تتذبذب الإلكترونات بالسرعة $\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}/\iu m\omega$ وتحمل [كثافة التيار](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/10-charges-currents-and-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) $\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E}$ مع $\underline\gamma = ne^2/\iu m\omega$؛ وتعطي [معادلات ماكسويل](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) عندئذ $$ k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} . $$ وفوق $\omega_p$ تنتشر الموجة، مع $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} > c$ و $v_g = c\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} < c$، و $v_\varphi v_g = c^2$؛ ودون $\omega_p$ يكون $k = -\iu\kappa$ مع $\kappa = \sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}/c$: فالموجة *متلاشية*، تنفذ على مدى $1/\kappa$ وتنعكس انعكاسًا تامًّا ([الفصل 15](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/15-reflection-and-transmission-at-interfaces#ch-b2-wave-interfaces))؛ وتكون [البلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) عندئذ مرآة. وعند $\omega \gg \omega_p$ لا تستطيع الإلكترونات المتابعة وتكون [البلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) شفافة. **برهان.** معادلة الحركة $m\,\dd\vect v/\dd t = -e\vect E$ (فالقوة المغناطيسية $ev B \sim evE/c$ مهمَلة من أجل $v \ll c$، وحركة الشوارد أصغر بالمعامل $m/M$): ومنه $\iu m\omega\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}$. ثم $\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}$. وتبقى [البلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) متعادلة من أجل موجة مستعرضة ($\vect k\cdot\vect E = 0$ يعطي $\rho = 0$ بغاوس)، ومنه يُقرأ ماكسويل–أمبير $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect B} = \mu_0\underline\gamma\underline{\vect E} + \iu\omega\mu_0\varepsilon_0\underline{\vect E}$ ويُقرأ ماكسويل–فاراداي $\underline{\vect B} = \vect k \wedge\underline{\vect E}/\omega$؛ وبالجمع، $k^2\underline{\vect E} = \mu_0(\iu\omega\underline\gamma - \omega^2\varepsilon_0)(-1)\underline{\vect E}$، أي $k^2 = \omega^2\mu_0\varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0 \underline\gamma = (\omega^2 - ne^2/\varepsilon_0m)/c^2$. وتنتج السرعات كما في [الفصل 8](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#ch-b2-dispersion-wave-packets). ∎ **ملاحظة 14.3 (أين تذهب الطاقة).** الناقلية تخيلية: ومنه $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$، فتأخذ الإلكترونات الطاقة من الموجة نصف دورة وتعيدها في النصف التالي — أي وسطًا بلا ضياع، تتوزع فيه طاقة الموجة بين المجالات والطاقة الحركية للإلكترونات، وتنتقل بالسرعة $v_g$. وتضيف التصادمات جزءًا حقيقيًّا صغيرًا إلى $\underline\gamma$ و امتصاصًا صغيرًا: فطبقة D في الأيونوسفير تمتصّ الأمواج المتوسطة نهارًا، ولهذا تُلتقط محطات التضمين السعوي البعيدة ليلًا. **مثال 14.4 (الأيونوسفير والراديو).** مع $n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ في الطبقة F يكون $f_p = 9\,\mathrm{MHz}$: فبثوث الموجة القصيرة دونه تنعكس (ويمكن أن تقفز حول الأرض بين الأيونوسفير والأرض)، وأما التضمين الترددي ($100\,\mathrm{MHz}$) والتلفزة ووصلات السواتل فتمرّ. وموجة عند $3\,\mathrm{MHz}$ لا تنفذ إلا $1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 6\,\mathrm{m}$ في الطبقة قبل أن تعود. ومركبة فضائية تعود إلى الجو تُغلَّف [ببلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) $n \sim 10^{18}$ m$^{-3}$ و $f_p \sim 10\,\mathrm{GHz}$: فيُفقد الاتصال الراديوي دقائق. ![على اليمين: علاقة تبدد بلازما — فلا انتشار دون _p، وقطع زائد يقترب من خط الضوء فوقه. وعلى اليسار: الأمواج القصيرة دون تواتر البلازما يعكسها الأيونوسفير فتقفز حول الأرض؛ وأما التواترات الأعلى فتفلت إلى الفضاء.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/fig-6478f46d963f.svg) ![على اليمين: علاقة تبدد بلازما — فلا انتشار دون _p، وقطع زائد يقترب من خط الضوء فوقه. وعلى اليسار: الأمواج القصيرة دون تواتر البلازما يعكسها الأيونوسفير فتقفز حول الأرض؛ وأما التواترات الأعلى فتفلت إلى الفضاء.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/fig-1d3c98d43557.svg) *على اليمين: علاقة تبدد [بلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) — فلا انتشار دون $\omega_p$، وقطع زائد يقترب من خط الضوء فوقه. وعلى اليسار: الأمواج القصيرة دون [تواتر البلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) يعكسها الأيونوسفير فتقفز حول الأرض؛ وأما التواترات الأعلى فتفلت إلى الفضاء.* ## 14.2 الأمواج في ناقل أومي: الأثر القشري **مبرهنة 14.5 (الأثر القشري).** في ناقل أومي ($\vect j = \gamma\vect E$، و $\gamma$ حقيقية، عند تواترات يكون فيها $\omega\tau \ll 1$ و $\varepsilon_0\omega \ll \gamma$، أي دون $\sim1 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ في النحاس) يكون [تيار الإزاحة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) مهمَلًا وتحقق المجالات معادلة الانتشار $\Delta\vect E = \mu_0\gamma\,\partial_t\vect E$. ولموجة مستوية متقدمة توافقية تدخل الناقل عند $x = 0$ $$ \underline k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega , \qquad \underline k = \frac{1 - \iu}\delta , \qquad \delta = \sqrt{\frac2{\mu_0\gamma\omega}} , $$ ومنه $\underline E = E_0\,\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}$: فهي تخمد على *[عمق القشرة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex)* $\delta$، وطورها يدور كذلك بمقدار راديان واحد في كل $\delta$ — أي طول موجة $2\pi\delta$، وسرعة طور $\omega\delta \ll c$. وينحصر التيار $\vect j = \gamma\vect E$ في طبقة سماكتها $\delta$ تحت السطح، ويتأخر $\vect B$ عن $\vect E$ بمقدار $45{}^{\circ}$ مع $|B| = |E|\sqrt2/\omega\delta$. وفي النحاس، $\delta = 9.2\,\mathrm{mm}$ عند $50\,\mathrm{Hz}$، و $0.21\,\mathrm{mm}$ عند $100\,\mathrm{kHz}$، و $2.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ عند $1\,\mathrm{GHz}$. **برهان.** $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = \mu_0\gamma\vect E$ (بإسقاط [تيار الإزاحة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)) و $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$: وبأخذ دوّار الثانية، $-\Delta\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect E$ (فالناقل متعادل، و $\operatorname{div} \vect E = 0$). ومن أجل $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$: $k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega$، و $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ يعطي $\underline k = (1 - \iu)/\delta$ (وهو الجذر الذي يخمد داخل الناقل). وبفاراداي: $\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu) \underline E/\omega\delta$، ومقياسه $\sqrt2E/\omega\delta$ وطوره $-\pi/4$. ∎ ![على اليمين: المجال داخل ناقل — تذبذب متخامد، يموت في بضعة أعماق قشرة. وعلى اليسار: عمق قشرة النحاس و ماء البحر بدلالة التواتر: ميليمترات عند تواتر الشبكة، و ميكرومترات عند الغيغاهرتز؛ ولا يُدخِل البحر إلا أطول الأمواج الراديوية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/fig-6828fb2798a7.svg) ![على اليمين: المجال داخل ناقل — تذبذب متخامد، يموت في بضعة أعماق قشرة. وعلى اليسار: عمق قشرة النحاس و ماء البحر بدلالة التواتر: ميليمترات عند تواتر الشبكة، و ميكرومترات عند الغيغاهرتز؛ ولا يُدخِل البحر إلا أطول الأمواج الراديوية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/fig-ad1a3cd60c13.svg) *على اليمين: المجال داخل ناقل — تذبذب متخامد، يموت في بضعة أعماق قشرة. وعلى اليسار: عمق قشرة النحاس و ماء البحر بدلالة التواتر: ميليمترات عند تواتر الشبكة، و ميكرومترات عند الغيغاهرتز؛ ولا يُدخِل البحر إلا أطول الأمواج الراديوية.* **مثال 14.6 (نتائج الأثر القشري).** (1) سلك نصف قطره $a \gg \delta$ يحمل تياره في حلقة سماكتها $\delta$: فترتفع مقاومته من $1/\gamma\pi a^2$ إلى نحو $1/\gamma 2\pi a\delta$ في المتر — ومن أجل سلك نحاسي قطره $1\,\mathrm{mm}$، أربعة أضعاف القيمة المستمرة عند $1\,\mathrm{MHz}$، ومئة ضعف عند $1\,\mathrm{GHz}$. وتستعمل وشائع التواتر العالي سلك «ليتز» (وهو خيوط كثيرة معزولة) أو أنابيب مطلية بالفضة؛ وتُجدَل نواقل شبكة الكهرباء بغلاف من الألومنيوم. (2) و صندوق معدني يوهن موجة بالعامل $\eu^{-d/\delta}$ لكل سماكة $d$: فحاوية ألومنيوم سماكتها $1\,\mathrm{mm}$ تحجب $1\,\mathrm{MHz}$ بمقدار $100\,\mathrm{dB}$ لكنها لا تحجب $50\,\mathrm{Hz}$ إلا بالكاد — فالمجالات المغناطيسية المنخفضة التواتر تحتاج إلى الحديد. (3) ولا تتلقى الغواصات إلا الراديو الطويل الموجة جدًّا ($\delta = 2.3\,\mathrm{m}$ عند $10\,\mathrm{kHz}$ في ماء البحر)؛ وتُكشف الألغام بالتيارات الدوّامية التي تحرّضها وشيعة فيها ([الفصل 11](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#ch-b2-maxwell-equations)، وزمن الانتشار $\mu_0\gamma d^2$). ## 14.3 الأمواج في عازل: الإلكترون المرتبط **قضية 14.7 (الإلكترون المرتبط ارتباطًا مرنًا؛ القرينة العقدية).** في عازل يرتبط كل إلكترون بذرّته: فانتقال $\vect r$ عن التوازن يستدعي قوة إرجاع $-m\omega_0^2\vect r$ و تخامدًا $-m\Gamma\,\dd\vect r/\dd t$ (وهو الطاقة المشعّة أو المسلَّمة إلى الشبكة). ومقودًا بالموجة، $m\ddot{\vect r} = -m\omega_0^2\vect r - m\Gamma\dot{\vect r} - e\vect E$؛ وتعطي الإلكترونات المنتقلة الوسطَ *استقطابًا* (أي عزم ثنائي قطب في واحدة الحجم) $\vect P = -ne\vect r = \varepsilon_0\underline\chi(\omega) \underline{\vect E}$ مع *القابلية* $$ \underline\chi(\omega) = \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega} , \qquad \omega_p^2 = \frac{ne^2}{\varepsilon_0m} , $$ والتيار المرتبط $\vect j = \partial_t\vect P$. وتعطي [معادلات ماكسويل](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) عندئذ $$ \underline k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}\,(1 + \underline\chi) = \frac{\omega^2}{c^2}\,\underline n^2 , \qquad \underline n = n' - \iu n'' , $$ حيث $n'$ قرينة الانكسار ([وسرعة الطور](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $c/n'$) و $n''$ الإخماد (وتخمد الشدة مثل $\eu^{-2n''\omega x/c}$). وبعيدًا دون رنين ($\omega \ll \omega_0$، و $\Gamma$ مهمَل)، $n'^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + \omega_p^2\omega^2/\omega_0^4$: فالقرينة *ترتفع* مع التواتر — وهو التبدد العادي، وقانون كوشي $n \approx A + B/\lambda^2$ — والامتصاص مهمَل؛ وبجوار $\omega_0$ يمتصّ الوسط، وفوقه مباشرةً تهبط $n'$ مع $\omega$ (وهو التبدد الشاذّ). **برهان.** بالسعات العقدية: $(\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega)\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E} /m$؛ و $\underline{\vect P} = -ne\underline{\vect r}$. ثم، كما في [البلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma)، $k^2 = \omega^2\mu_0 \varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma$ مع $\underline{\vect j} = \iu\omega\underline{\vect P} = \iu\omega\varepsilon_0 \underline\chi\underline{\vect E}$، أي $\underline\gamma = \iu\omega\varepsilon_0\underline\chi$: ومنه $k^2 = (\omega^2/c^2) (1 + \underline\chi)$. ([والبلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) هي الحالة $\omega_0 = 0$ و $\Gamma = 0$.) والنشر: $1/(\omega_0^2 - \omega^2) \approx (1 + \omega^2/\omega_0^2)/\omega_0^2$. ∎ ![نموذج الإلكترون المرتبط (نموذج لورنتس): يرتفع الجزء الحقيقي من القرينة مع التواتر دون الرنين (وهو التبدد العادي: فالبنفسجي أبطأ من الأحمر في الزجاج)، ويبلغ الجزء التخيلي ذروته عند الرنين (أي الامتصاص)، وتهبط القرينة عبر الرنين (وهو التبدد الشاذّ).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/fig-b4d517d47959.svg) *نموذج الإلكترون المرتبط ([نموذج لورنتس](#prop-b2-waves-in-media-lorentz)): يرتفع الجزء الحقيقي من القرينة مع التواتر دون الرنين (وهو التبدد العادي: فالبنفسجي أبطأ من الأحمر في الزجاج)، ويبلغ الجزء التخيلي ذروته عند الرنين (أي الامتصاص)، وتهبط القرينة عبر الرنين (وهو التبدد الشاذّ).* **مثال 14.8 (الزجاج والماء والهواء).** للزجاج رنيناته الإلكترونية في فوق البنفسجي ($\omega_0 \sim 10^{16}$ راديان في الثانية): فهو في المرئي شفاف ومتبدّد، و $n = 1.51$ عند $700\,\mathrm{nm}$، و $1.53$ عند $400\,\mathrm{nm}$، وهو ما يكفي لموشور كي ينشر قوس قزح ولنبضات ليف كي تتمدد ([الفصل 8](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#ch-b2-dispersion-wave-packets))؛ وفي فوق البنفسجي يمتصّ — فلا تسمرّ خلف نافذة. وللماء، فوق ذلك، رنين دوراني لجزيئاته القطبية بجوار $20\,\mathrm{GHz}$ (وهو استرخاء ديباي لا خط حادّ): فيمتصّ الموجات الصغرية بشدة، وذلك يسخّن الطعام ويعمي الرادار في المطر، وله $n'' \approx 0$ في نافذة مرئية ضيّقة — وهي النافذة التي تطوّرت العيون عبرها. وأما الهواء، و $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$، فما زال يحني الشمس الغاربة بنصف درجة. **ملاحظة 14.9 (معادلة واحدة وثلاثة أوساط).** يدخل كل وسط خطي [معادلات ماكسويل](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/11-maxwells-equations#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) عبر تياره المحرَّض $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$، وتكون [علاقة التبدد](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) دائمًا $\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma(\omega)$: | الوسط | $\underline\gamma(\omega)$ | $\underline k^2$ | | --- | --- | --- | | [بلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) | $ne^2/\iu m\omega$ (تخيلية) | $(\omega^2 - \omega_p^2)/c^2$: تواتر قطع | | ناقل أومي | $\gamma$ (حقيقية) | $-\iu\mu_0\gamma\omega$: [أثر قشري](#thm-b2-waves-in-media-skin) | | عازل | $\iu\omega\varepsilon_0\underline\chi(\omega)$ | $(\omega^2/c^2)(1 + \underline\chi)$: قرينة | والمعدن هو الثلاثة تباعًا: أومي دون $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$، [وبلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) (عاكسة) في المرئي، وشفاف في فوق البنفسجي البعيد. **طريقة 14.10 (الأمواج في وسط).** (1) اكتب معادلة حركة الشحن واحصل على $\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E}$. (2) وأدخلها في ماكسويل–أمبير مع افتراض الموجة المستوية المتقدمة التوافقية: $\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma$. (3) وخذ الجذر الذي $\operatorname{Im}k \le 0$ (أي الخمود في جهة السير)، وافصل الجزء الحقيقي (الانتشار، و $v_\varphi = \omega/k'$) عن التخيلي ([الوهن](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex)). (4) وميّز الأنظمة في التواتر — منتشر، أو متلاشٍ، أو ماصّ — والتواتر المميز ($\omega_p$، أو $1/\mu_0\gamma\delta^2$، أو $\omega_0$). (5) وأوجد $\vect B$ من فاراداي، وعند الحاجة تدفق بوينتنغ والاستطاعة المبدَّدة. ## 14.4 تمارين **تمرين 14.1 ★.** تواترات [البلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) من أجل $n = 1 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ (الأيونوسفير ليلًا)، و $1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ (نهارًا)، و $1 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-3}$ (غلاف العودة)، و $8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ (النحاس)، و $1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-3}$ (الفضاء بين النجوم). وأي مما يلي يمرّ في كل حالة: محطة تضمين سعوي عند $1\,\mathrm{MHz}$، ومحطة تضمين ترددي عند $100\,\mathrm{MHz}$، و إشارة نظام تحديد المواقع عند $1.5\,\mathrm{GHz}$، والضوء المرئي؟ **حل التمرين 14.1.** $f_p \approx 9\sqrt n$ هرتز: أي $2.8\,\mathrm{MHz}$ و $9\,\mathrm{MHz}$ و $9\,\mathrm{GHz}$ و $2.6 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ (و $\lambda_p = 115\,\mathrm{nm}$) و $2.8\,\mathrm{kHz}$. والتضمين السعوي عند $1\,\mathrm{MHz}$: لا يمرّ إلا عبر الفضاء بين النجوم. والتضمين الترددي: يمرّ عبر الأيونوسفير لا عبر غلاف العودة. وتحديد المواقع: عبر كل شيء إلا غلاف العودة. والضوء: عبر كل شيء إلا النحاس. **تمرين 14.2 ★.** [عمق القشرة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) في النحاس ($\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) عند $50\,\mathrm{Hz}$ و $1\,\mathrm{kHz}$ و $1\,\mathrm{MHz}$ و $1\,\mathrm{GHz}$؛ وفي الألومنيوم ($3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) عند $1\,\mathrm{MHz}$؛ وفي ماء البحر ($5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) عند $10\,\mathrm{kHz}$ و $1\,\mathrm{GHz}$؛ وفي تربة رطبة ($1 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) عند $1\,\mathrm{MHz}$. وأي التواترات الراديوية تبلغ غواصة على $10\,\mathrm{m}$؟ **حل التمرين 14.2.** النحاس: $9.2\,\mathrm{mm}$ و $2.1\,\mathrm{mm}$ و $65\,\text{µ}\mathrm{m}$ و $2.1\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ والألومنيوم عند $1\,\mathrm{MHz}$: $84\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ وماء البحر: $2.3\,\mathrm{m}$ عند $10\,\mathrm{kHz}$، و $7\,\mathrm{mm}$ عند $1\,\mathrm{GHz}$؛ والتربة: $5\,\mathrm{m}$ عند $1\,\mathrm{MHz}$. وغواصة على $10\,\mathrm{m}$ تحتاج $\delta \gtrsim 10\,\mathrm{m}$: أي دون نحو $500\,\mathrm{Hz}$. **تمرين 14.3 ★.** زجاج يحقق $n = 1.50 + 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2$. أوجد القرينة عند $400\,\mathrm{nm}$ و $550\,\mathrm{nm}$ و $700\,\mathrm{nm}$؛ وسرعات الطور؛ وقرينة المجموعة $n_g = n - \lambda\,\dd n/\dd\lambda$ عند $550\,\mathrm{nm}$؛ والانتشار الزاوي لحزمة بيضاء تنكسر عند ورود $45{}^{\circ}$ في الزجاج. **حل التمرين 14.3.** $n = 1.528$ و $1.515$ و $1.509$؛ و $v = 1.963$ و $1.980$ و $1.987 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $n_g = n + 2B/\lambda^2 = 1.545$. وزاويتا الانكسار $\arcsin(0.707/n)$: أي $27.57{}^{\circ}$ و $27.93{}^{\circ}$: فالانتشار $0.36{}^{\circ}$. **تمرين 14.4 ★.** موجة عند $5\,\mathrm{MHz}$ تلقى طبقة فيها $n = 2 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$: أتنعكس؟ وأوجد عمق النفوذ؛ والأمر نفسه عند $2\,\mathrm{MHz}$؛ وأصغر تواتر يعبر طبقة فيها $n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$. ولماذا «تنفتح» حزم الموجة القصيرة و«تنغلق» مع الساعة ومع الدورة الشمسية؟ **حل التمرين 14.4.** $f_p = 4.0\,\mathrm{MHz}$: فالتواتر $5\,\mathrm{MHz}$ يمرّ؛ و $2\,\mathrm{MHz}$ تنعكس، نافذةً $c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 14\,\mathrm{m}$. ومن أجل $n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$: $11\,\mathrm{MHz}$. و تتبع الكثافة تدفق الشمس المؤيِّن — الساعة والفصل و الدورة ذات الإحدى عشرة سنة — ومنه يتحرك أعلى تواتر صالح معها. **تمرين 14.5 ★★.** *[المقاومة المتناوبة](#ex-b2-waves-in-media-skinuses).* سلك نحاسي نصف قطره $a = 1.0\,\mathrm{mm}$. (أ) أوجد المقاومة المستمرة في المتر. (ب) وعند $1\,\mathrm{MHz}$: أوجد $\delta$؛ والمقاومة التقريبية في المتر مع انحصار التيار في حلقة سماكتها $\delta$؛ والنسبة إلى المستمرة. (ج) وعند $100\,\mathrm{MHz}$. (د) ولماذا يكون لوشيعة من $N$ لفة من هذا السلك عامل جودة يكفّ عن التحسن مع $N$ عند التواتر العالي، وما سلك ليتز؟ **حل التمرين 14.5.** (أ) $1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$. (ب) $\delta = 65\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ و $R \approx 1/\gamma2\pi a\delta = 41\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$، أي $7.7$ أضعاف المستمرة. (ج) $\delta = 6.5\,\text{µ}\mathrm{m}$، و $0.41\,\Omega/\mathrm{m}$، أي $77$ ضعفًا. (د) و $R \propto \sqrt f$ ينمو بسرعة $L\omega$ نفسها متى هيمنت القشرة، وكل لفة تضيف مقاومة؛ وسلك ليتز يحزم خيوطًا كثيرة معزولة أرقّ من $\delta$، فيوصّل النحاس كله. **تمرين 14.6 ★★.** *التدريع.* صندوق من الألومنيوم ($\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) سماكته $1.0\,\mathrm{mm}$. أوجد [وهن](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) سعة المجال عبر الجدار، [بالديسيبل](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/7-sound-waves-in-fluids#def-b2-sound-waves-decibel)، عند $50\,\mathrm{Hz}$ و $10\,\mathrm{kHz}$ و $1\,\mathrm{MHz}$ (بالعامل $\eu^{-d/\delta}$، وبإهمال الانعكاس عند السطحين). ولماذا يُدرَّع مجال الشبكة المغناطيسي بالحديد (العالي النفوذية) لا بالنحاس؟ **حل التمرين 14.6.** $\delta_{\text{الألومنيوم}} = 11.9$ و $0.84$ و $0.084\,\mathrm{mm}$: ومنه $d/\delta = 0.08$ و $1.2$ و $12$: أي $0.7$ و $10$ و $103\,\mathrm{dB}$. وعند $50\,\mathrm{Hz}$ يكون الناقل شفافًا؛ والحديد العالي $\mu_r$ يحرف التدفق (تدريعًا مغناطيسيًّا) ويقلّص $\delta$ كذلك بالمعامل $\sqrt{\mu_r}$. **تمرين 14.7 ★★.** *الطاقة في [بلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma).* من أجل الموجة المستعرضة في [المبرهنة 14.2](#thm-b2-waves-in-media-plasmadispersion): (أ) أوجد سعة سرعة الإلكترونات وكثافة الطاقة الحركية $\tfrac12nm\langle v^2\rangle$. (ب) وكثافتي الطاقة الكهربائية والمغناطيسية الوسطيتين. (ج) وبيّن أن كثافة الطاقة الكلية هي $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2(1 + \dots)$ — واحسب القوس — وأن $\langle\Pi\rangle$ مقسومًا عليها يساوي $v_g$. (د) وأي نسبة من الطاقة تكون في الإلكترونات عند $\omega = 2\omega_p$؟ **حل التمرين 14.7.** (أ) $v_0 = eE_0/m\omega$؛ و $\tfrac12nm\langle v^2\rangle = ne^2E_0^2/4m\omega^2 = \tfrac14\varepsilon_0 E_0^2\,\omega_p^2/\omega^2$. (ب) $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2$ و $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2(1 - \omega_p^2/ \omega^2)$. (ج) والمجموع $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ (فالقوس يساوي $1$)؛ و $\langle\Pi \rangle = E_0^2k/2\mu_0\omega$، والنسبة $c^2k/\omega = v_g$. (د) $\tfrac14\cdot\tfrac14 /\tfrac12 = 1/8$. **تمرين 14.8 ★★.** *تبدد النوابض.* تعبر نبضات راديوية من نابض مسافة $L$ من [بلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) بين نجمية ($n \ll$ أي شيء، و $\omega \gg \omega_p$). (أ) بيّن أن تأخّر المجموعة هو $t \approx (L/c)(1 + \omega_p^2/2\omega^2)$. (ب) والتأخّر بين الوصول عند $f_1$ و $f_2$ هو $\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2 \varepsilon_0mc}\,nL\Bigl(\dfrac1{f_1^2} - \dfrac1{f_2^2}\Bigr)$: احسب الثابت. (ج) ونابض على $L = 1\,\mathrm{kpc} = 3.1 \times 10^{19}\,\mathrm{m}$ عبر $n = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-3}$: أوجد التأخّر بين $400\,\mathrm{MHz}$ و $1.4\,\mathrm{GHz}$. (د) ويقيس الفلكيون $\Delta t$ ويعرفون $n$: فماذا يحصلون عليه؟ (وهو مقياس التبدد، وهو مقياس البعد المعياري للنوابض.) **حل التمرين 14.8.** (أ) $1/v_g = (1/c)(1 - \omega_p^2/\omega^2)^{-1/2} \approx (1 + \omega_p^2/2\omega^2)/c$. (ب) $\Delta t = (L\omega_p^2/2c)(1/\omega_1^2 - 1/\omega_2^2)$ مع $\omega_p^2 = ne^2/\varepsilon_0m$ و $\omega = 2\pi f$: فالثابت $e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc = 1.34 \times 10^{-7}\,$ بواحدات النظام الدولي. (ج) $nL = 9.3 \times 10^{23}\,\mathrm{m}^{-2}$، و $(1/f_1^2 - 1/f_2^2) = 5.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{2}$: ومنه $\Delta t = 0.72\,\mathrm{s}$. (د) العمود $nL$ (أي مقياس التبدد)، ومنه البعد إذا عُرف نموذج $n$. **تمرين 14.9 ★★.** *خط طيفي.* في غاز مخلخل ($\underline n \approx 1 + \underline\chi/2$) يعطي [نموذج لورنتس](#prop-b2-waves-in-media-lorentz) $n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi$. (أ) بيّن أنه بجوار $\omega_0$ يكون $n'' \approx \dfrac{\omega_p^2}{4\omega_0}\,\dfrac{\Gamma/2}{(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4}$، وهو منحني لورنتس عرضه الكامل $\Gamma$. (ب) وأوجد معامل الامتصاص $\alpha = 2n''\omega/c$ عند المركز. (ج) وبخار الصوديوم، $n = 1 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-3}$، و $\lambda_0 = 589\,\mathrm{nm}$، و $\Gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$: أوجد $\alpha$ عند المركز والسماكة التي تمتصّ $90\%$ (بإهمال التعريض الدوبلري، وهو في الواقع يوسّع الخط مئة ضعف). (د) وارسم تخطيطيًّا $n' - 1$ عبر الخط؛ وأين يكون التبدد شاذًّا؟ **حل التمرين 14.9.** (أ) $\operatorname{Im}\underline\chi = \omega_p^2\Gamma\omega/[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2\omega^2]$ مع $\omega_0^2 - \omega^2 \approx 2\omega_0(\omega_0 - \omega)$: ومنه $n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi$ هو منحني لورنتس المذكور. (ب) $n''(\omega_0) = \omega_p^2/2\omega_0\Gamma$، و $\alpha = 2n''\omega_0/c = \omega_p^2/\Gamma c$. (ج) $\omega_p^2 = 3.2 \times 10^{20}\,\mathrm{s}^{-2}$: ومنه $\alpha = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-1}$؛ و $\ln10/\alpha = 0.13\,\mathrm{mm}$. (د) $n' - 1 \propto (\omega_0 - \omega)/[(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4]$: فهو موجب دون الخط، وسالب فوقه، ومتناقص ضمن $\pm\Gamma/2$ منه — أي شاذّ هناك. **تمرين 14.10 ★★★.** *تسخين جول في القشرة.* موجة $E_0\eu^{\iu\omega t}$ (على امتداد $y$) تدخل ناقلًا يملأ $x > 0$. (أ) اكتب $\underline E(x, t)$ واستنتج $\underline B(x, t)$ (على امتداد $z$) من فاراداي. (ب) [ومتجهة بوينتنغ](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/12-electromagnetic-energy-and-the-poynting-vector#thm-b2-poynting-vector-poynting) الوسطية عند السطح: بيّن أن $\langle\Pi_x(0)\rangle = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$. (ج) واستطاعة جول الوسطى في واحدة المساحة، $\int_0^\infty\tfrac12\gamma|\underline E|^2\dd x$: بيّن أنها تساوي (ب). (د) وعبّر عن النتيجة في صورة $\tfrac12R_sH_0^2$ مع $H_0 = B_0/\mu_0$ المجال المغناطيسي السطحي و $R_s = 1/\gamma\delta$ *المقاومة السطحية*؛ وأعطِ القيمة للنحاس عند $1\,\mathrm{GHz}$، وضياع جوف موجات صغرية جدرانه تحمل $H_0 = 100\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. **حل التمرين 14.10.** (أ) $\underline E = E_0\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}$، و $\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu)\underline E/\omega\delta$. (ب) $\langle\Pi_x\rangle = \tfrac12\operatorname{Re}(\underline E \underline B^*)/\mu_0 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ عند $x = 0$. (ج) $\int_0^\infty\tfrac12\gamma E_0^2 \eu^{-2x/\delta}\dd x = \gamma E_0^2\delta/4 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ باستعمال $\gamma = 2/\mu_0\omega\delta^2$. (د) $H_0 = \sqrt2E_0/\mu_0\omega\delta$، ومنه $\tfrac12R_sH_0^2 = E_0^2/\gamma\mu_0^2\omega^2\delta^3 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$. والنحاس عند $1\,\mathrm{GHz}$: $R_s = 1/\gamma\delta = 8\,\mathrm{m}\Omega$؛ و $\tfrac12 \times 8 \times 10^{-3} \times 10^4 = 40\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. **تمرين 14.11 ★★★.** *لماذا تلمع المعادن.* عامِل إلكترونات ناقلية الفضة ($n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$) [بلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) بلا تصادمات عند التواترات الضوئية. (أ) أوجد $\omega_p$ وطول الموجة الموافق. (ب) وعند $500\,\mathrm{nm}$: يكون $k$ تخيليًّا — فأوجد عمق النفوذ؛ وتنعكس الموجة انعكاسًا تامًّا (بلا امتصاص في هذا النموذج): فالفضة مرآة. (ج) وعند $200\,\mathrm{nm}$؟ ومن هنا «شفافية فوق البنفسجي» في الفلزات القلوية. (د) والفضة الحقيقية تعكس $95\%$، والذهب يبدو أصفر: فما الذي يغفله النموذج (فكّر في التصادمات، وفي الإلكترونات المرتبطة التي تقع رنيناتها في المرئي في الذهب)؟ **حل التمرين 14.11.** (أ) $\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، و $\lambda_p = 2\pi c/\omega_p = 140\,\mathrm{nm}$. (ب) $\omega = 3.8 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} < \omega_p$: ومنه $1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 23\,\mathrm{nm}$، وانعكاس تام. (ج) وما زال دون $\omega_p$: أي عاكس؛ ولا تأتي الشفافية إلا فيما وراء $140\,\mathrm{nm}$ (وفي الصوديوم، $210\,\mathrm{nm}$). (د) وتعطي التصادمات جزءًا حقيقيًّا للمقدار $\underline\gamma$ و بضعة بالمئة من الامتصاص؛ ورنينات الإلكترونات المرتبطة في المرئي (في الذهب والنحاس) تمتصّ الأزرق وتلوّن المعدن. **تمرين 14.12 ★★★.** *الماء في فرن الموجات الصغرية.* يعطي توجّه جزيئات الماء القطبية قابلية $\underline\chi = \chi_s/(1 + \iu\omega\tau)$ (وهو استرخاء ديباي)، مع $\chi_s \approx 80$ و $\tau = 8\,\mathrm{ps}$، فوق ثابت $\chi_\infty \approx 4$. (أ) أوجد الجزأين الحقيقي والتخيلي من $\underline\varepsilon_r = 1 + \chi_\infty + \underline\chi$ عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ وعند $20\,\mathrm{GHz}$. (ب) [والقرينة العقدية](#prop-b2-waves-in-media-lorentz) و طول امتصاص الشدة $1/(2n''\omega/c)$ عند $2.45\,\mathrm{GHz}$: فكم عمقًا يطبخ الفرن؟ (ج) والاستطاعة الممتصّة في واحدة الحجم من أجل سعة مجال $E_0$ في الماء: $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2$؛ وأعطِ القيمة من أجل $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$. (د) ولماذا يُستعمل $2.45\,\mathrm{GHz}$ لا $20\,\mathrm{GHz}$ حيث الامتصاص أعظمي؟ **حل التمرين 14.12.** (أ) $\omega\tau = 0.12$: ومنه $\underline\varepsilon_r = 84 - 9.7\iu$؛ وعند $20\,\mathrm{GHz}$، $\omega\tau = 1$: $45 - 40\iu$. (ب) $\underline n \approx 9.2 - 0.53\iu$؛ و $c/2n''\omega = 1.8\,\mathrm{cm}$: فيطبخ الفرن السنتيمترين الخارجيين، ويتم الباقي بالتوصيل. (ج) $\tfrac12 \times 1.54 \times 10^{10} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 9.7 \times 4 \times 10^6 = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$. (د) وعند $20\,\mathrm{GHz}$ كان طول الامتصاص ليصير ميليمترًا: فما كانت لتُطبَخ إلا القشرة؛ وأما $2.45\,\mathrm{GHz}$ فتنفذ، وهي حزمة حرة. ![محطة إرسال على الموجة القصيرة عند الغسق: أمواجها، وهي أدنى ببضعة ميغاهرتز من تواتر بلازما الأيونوسفير، توشك أن تنعكس عائدةً إلى الأرض على بعد ألف كيلومتر.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/img-460d76a3f215.jpg) *محطة إرسال على الموجة القصيرة عند الغسق: أمواجها، وهي أدنى ببضعة ميغاهرتز من تواتر [بلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) الأيونوسفير، توشك أن تنعكس عائدةً إلى الأرض على بعد ألف كيلومتر.* ![الشفق القطبي الجنوبي مصوَّرًا من محطة الفضاء الدولية: جسيمات من الشمس، تقودها المجال المغناطيسي الأرضي، تثير بلازما أعالي الجو — أي الأيونوسفير الذي يعكس تواترُ بلازماه الأمواجَ الراديوية (ناسا).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/img-cef765dafbe1.jpg) *الشفق القطبي الجنوبي مصوَّرًا من محطة الفضاء الدولية: جسيمات من الشمس، تقودها المجال المغناطيسي الأرضي، تثير [بلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) أعالي الجو — أي الأيونوسفير الذي يعكس تواترُ بلازماه الأمواجَ الراديوية (ناسا).* ## 14.5 مسألة: الأيونوسفير وباب الفرن والموشور **مسألة 14.1.** مسألة نهاية الأسبوع — ثلاث مواد كما تراها موجة: البلازما التي تحني إشارات تحديد المواقع، والمعدن الذي يحبس الموجات الصغرية، والزجاج الذي ينشر الضوء الأبيض **الجزء I — الأيونوسفير وتحديد المواقع.** كثافة الإلكترونات في الطبقة F هي $n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$؛ والعمود الكلي من الإلكترونات على امتداد مسار شاقولي هو $N_T = \int n\,\dd z = 2 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-2}$ نهارًا. ونظام تحديد المواقع: $f_1 = 1575\,\mathrm{MHz}$، و $f_2 = 1228\,\mathrm{MHz}$. 1. تواتر [بلازما](#def-b2-waves-in-media-plasma) الطبقة F؛ وهل يمرّ نظام تحديد المواقع؟ وهل تمرّ موجة قصيرة عند $5\,\mathrm{MHz}$ ؟ 2. بيّن أنه من أجل $\omega \gg \omega_p$ تكون [سرعة المجموعة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) $v_g \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2)$ [وسرعة الطور](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $c(1 + \omega_p^2/2\omega^2)$ . 3. وتأخّر المجموعة الزائد لإشارة تحديد المواقع وهي تعبر الطبقة: بيّن أن $\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2\varepsilon_0mc}\,\dfrac{N_T}{f^2}$ واحسبه من أجل $f_1$ ؛ وخطأ المدى $c\,\Delta t$ . 4. ويستعمل المستقبل التواترين: فيزيل الخطأ من التأخّرين. عبّر عن $N_T$ بدلالة $\Delta t_1 - \Delta t_2$ ؛ وأي دقة على فرق التأخّرين تعطي $N_T$ حتى $1\%$ ؟ 5. وكم دورة حامل زائدة يمثّل تأخّر السؤال 3 عند $f_1$ ؟ 6. ويكون طور الحامل *متقدمًا* بالمقدار نفسه الذي تتأخر به المجموعة: فلماذا (إشارتا التصحيحين)؟ وأيهما يهمّ مستقبلًا يعدّ دورات الحامل؟ 7. وليلًا يهبط $N_T$ عشرة أضعاف: أوجد الخطأ في مستقبل وحيد التواتر نهارًا وليلًا. 8. ويرفع توهج شمسي $n$ في الطبقة D (على $80\,\mathrm{km}$ ) إلى $1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$ مع تصادمات كثيرة: فأي الخدمات الراديوية تتضرر، ولماذا لا يتدهور تحديد المواقع إلا قليلًا؟ **الجزء II — باب الفرن.** جدران الجوف وشبكة الباب من الفولاذ ($\gamma = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$)؛ وثقوب الشبكة عرضها $1.0\,\mathrm{mm}$ في صفيحة سماكتها $0.5\,\mathrm{mm}$؛ و $f = 2.45\,\mathrm{GHz}$، و $P = 800\,\mathrm{W}$. 9. [عمق القشرة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) في الفولاذ عند $2.45\,\mathrm{GHz}$ ؛ وهل الجدار «سميك»؟ 10. والمقاومة السطحية $R_s = 1/\gamma\delta$ ؛ ومع مجال مغناطيسي سطحي سعته $H_0 = 30\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ على الجدران ( $1\,\mathrm{m}^{2}$ )، أوجد الاستطاعة الضائعة في الجدران، $\tfrac12R_sH_0^2$ في واحدة المساحة؛ والنسبة من $P$ . 11. وفي ثقب عرضه $a \ll \lambda$ لا يستطيع المجال الانتشار (فالثقب دليل موجة دون القطع، [الفصل 16](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/16-guided-waves-and-cavities#ch-b2-guided-waves) ): بل يخمد مثل $\eu^{-\pi z/a}$ عبر السماكة $z$ . أوجد [وهن](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) السعة عبر الصفيحة ذات $0.5\,\mathrm{mm}$ ، [بالديسيبل](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/7-sound-waves-in-fluids#def-b2-sound-waves-decibel) . 12. ولماذا ترى عبر الشبكة (طول موجة الضوء مقابل حجم الثقب) بينما لا تستطيع الموجات الصغرية الخروج؟ 13. ونافذة الزجاج عازل $\underline\varepsilon_r = 4 - 0.02\iu$ : أوجد القرينة، وطول [وهن](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) الشدة فيه؛ وهل يسخن الزجاج؟ 14. وشوكة معدنية في الفرن: يتضخم المجال عند أطرافها؛ وبعمق القشرة في السؤال 8، قدّر [كثافة التيار](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/10-charges-currents-and-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) عند السطح من أجل $H_0 = 300\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ (باستعمال $j \approx H_0/\delta$ عند السطح) والتسخين الموضعي $j^2/\gamma$ — فلماذا الشرر؟ **الجزء III — السلك عند التواتر الراديوي.** سلك نحاسي نصف قطره $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ ($\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) في وشيعة مسخّن تحريضي عند $13.56\,\mathrm{MHz}$ يحمل $20\,\mathrm{A}$ فعّالة. 15. [عمق القشرة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) ؛ والمقطع الناقل الفعّال؛ [والمقاومة المتناوبة](#ex-b2-waves-in-media-skinuses) في المتر مقابل المستمرة. 16. الاستطاعة المبدَّدة في المتر من سلك الوشيعة؛ ودرجة الحرارة التي كان السلك ليبلغها بتبريد حملي $h = 20\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ . 17. وتحرّض الوشيعة تيارات في قطعة عمل فولاذية ( $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ، و $\mu_r \approx 1$ وهي ساخنة): أوجد [عمق القشرة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) هناك؛ ولماذا يسخّن التسخين التحريضي طبقة سطحية فقط، وكيف يُستعمل ذلك في تقسية التروس؟ 18. ولخفض ضياع الوشيعة يُستبدَل بالسلك أنبوب نحاسي قطره $3\,\mathrm{mm}$ فيه ماء: أوجد المقاومة الجديدة في المتر؛ وهل يحمل داخل الأنبوب تيارًا؟ 19. وعند أي تواتر يساوي [عمق القشرة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) في النحاس نصف قطر السلك؟ وأي تقريب يحلّ دونه محلّ صيغة «السلك السميك»؟ **الجزء IV — الموشور.** لزجاج $n(\lambda) = 1.500 + 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2$، ورنينه عند $\lambda_0 = 100\,\mathrm{nm}$. 20. تحقق من أن صيغة كوشي تنتج من [نموذج لورنتس](#prop-b2-waves-in-media-lorentz) بعيدًا دون الرنين، ومن أن $\omega_p^2/\omega_0^2 = n^2(\infty) - 1$ : وأوجد قيمة $\omega_p^2/\omega_0^2$ وقيمة $n$ الفعّالة لهذا الزجاج. 21. القرينة [وسرعة الطور](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) عند $400\,\mathrm{nm}$ و $700\,\mathrm{nm}$ ؛ وقرينة المجموعة عند $550\,\mathrm{nm}$ ؛ والتأخّر بين اللونين على $1\,\mathrm{km}$ من هذا الزجاج في ليف. 22. وموشور زاويته $60{}^{\circ}$ عند أصغر انحراف من أجل $550\,\mathrm{nm}$ : أوجد الانحراف (باستعمال $n\sin(A/2) = \sin((A + D)/2)$ )؛ والبعد الزاوي بين $400\,\mathrm{nm}$ و $700\,\mathrm{nm}$ (بالاشتقاق)؛ وعلى شاشة على بعد $2\,\mathrm{m}$ ، عرض الطيف. 23. ولماذا يكون الزجاج عاتمًا عند $200\,\mathrm{nm}$ ، وما لونه إذا أضاف أثر من الحديد رنينًا ضعيفًا عند $700\,\mathrm{nm}$ ؟ 24. وفي صورة لورنتس، لماذا ينحرف الأزرق أكثر من الأحمر في الموشور؟ 25. أعطِ في جدول واحد، من أجل الطبقة F والفولاذ والنحاس و الزجاج عند تواترات عملها، طبيعةَ $\underline\gamma$ ومصيرَ الموجة. **حل المسألة 14.1.** **1.** $f_p = 9\,\mathrm{MHz}$: فتحديد المواقع يمرّ، والموجة القصيرة تنعكس. **2.** $k = (\omega/c)\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2}$: ومنه $v_\varphi = \omega/k \approx c(1 + \omega_p^2/ 2\omega^2)$، و $v_g = \dd\omega/\dd k = c^2k/\omega \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2)$. **3.** $\Delta t = \int(1/v_g - 1/c)\dd z = \int\omega_p^2\dd z/2c\omega^2 = e^2N_T/2\varepsilon_0 mc\omega^2 = (e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc)N_T/f^2 = 1.34 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{17}/2.48 \times 10^{18} = 11\,\mathrm{ns}$: أي $3.2\,\mathrm{m}$. **4.** $N_T = (\Delta t_1 - \Delta t_2)/K(1/f_1^2 - 1/f_2^2)$؛ والفرق $7\,\mathrm{ns}$: ومنه تحتاج نسبة $1\%$ إلى $0.07\,\mathrm{ns}$. **5.** تفوق $v_\varphi$ السرعةَ $c$ بالمقدار الذي تقصّر به $v_g$: ف يصل طور الحامل باكرًا بينما يصل التضمين متأخرًا. و المستقبل الذي يعوّل على طور الحامل يطبّق التصحيح بالإشارة المعاكسة. **6.** $3.2\,\mathrm{m}$ نهارًا، و $0.3\,\mathrm{m}$ ليلًا. **7.** $f_p = 0.9\,\mathrm{MHz}$ مع التصادمات: فتُمتصّ الأمواج المتوسطة والقصيرة (أي انقطاع راديوي)؛ وأما تحديد المواقع عند $1.5\,\mathrm{GHz}$ فيحسّ امتصاصًا $\propto 1/\omega^2$، وهو مهمَل. **8.** $f_1\Delta t = 1.575 \times 10^9 \times 1.1 \times 10^{-8} = 17$ دورة. **9.** $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$: فجدار بسماكة ميليمتر مئة عمق قشرة. **10.** $R_s = 1/\gamma\delta = 0.1\,\Omega$؛ و $\tfrac12R_sH_0^2 = 45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: أي $45\,\mathrm{W}$، و $6\%$. **11.** $\eu^{-\pi \times 0.5} = 0.21$: أي $-14\,\mathrm{dB}$ في السعة، و $-27\,\mathrm{dB}$ في الاستطاعة (والثقب الضئيل يقترن قليلًا أصلًا). **12.** الضوء، $\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$، أصغر ألفي مرة من الثقوب فيمرّ؛ وأما الموجة الصغرية، $\lambda = 12\,\mathrm{cm}$، فأكبر مئة مرة. **13.** $\underline n = 2 - 0.005\iu$؛ و $c/2n''\omega = 1.9\,\mathrm{m}$: فلا يكاد الزجاج يسخن. **14.** $j \approx H_0/\delta = 3 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$، و $j^2/\gamma = 9 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ في طبقة سماكتها عشرة ميكرومترات: فتسخن الأطراف في ميلي ثوانٍ، وتبثّ إلكترونات، وتؤيّن الهواء — ومن هنا الشرر. **15.** $\delta = 18\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ والمقطع $2\pi a\delta = 5.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ مقابل $\pi a^2 = 7.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}$: ومنه $R_{\text{متناوبة}} = 0.30\,\Omega/\mathrm{m}$، أي أربعة عشر ضعف المستمرة. **16.** $RI^2 = 120\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$؛ والمساحة $\pi d = 3.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ في المتر: ومنه $\Delta T \approx 1900\,\mathrm{K}$ — فينصهر؛ ولهذا تكون هذه الوشائع أنابيب مبرَّدة بالماء. **17.** $\delta = 0.14\,\mathrm{mm}$: فيبقى التيار المحرَّض، وتبقى الحرارة، في عُشر الميليمتر؛ ونبضة قصيرة يتبعها إخماد تقسّي سطح الترس بينما يبقى لبّه صلدًا. **18.** $R = 1/\gamma2\pi a\delta = 0.10\,\Omega/\mathrm{m}$، أي أقل ثلاث مرات؛ و الداخل لا يحمل شيئًا — ومن هنا الأنبوب، وفيه المبرّد حيث كان النحاس ليضيع. **19.** $\delta = a$ عند $f = 1/\pi\mu_0\gamma a^2 = 17\,\mathrm{Hz}$؛ ودونه يكون التيار منتظمًا وتصحّ صيغة التيار المستمر. **20.** $n^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + (\omega_p^2/\omega_0^2)(\lambda_0/\lambda)^2$: أي صيغة كوشي مع $n(\infty)^2 - 1 = \omega_p^2/\omega_0^2 = 1.25$ من أجل $n(\infty) = 1.5$. **21.** $n = 1.531$ و $1.510$، و $v = 1.96$ و $1.99 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $n_g(550) = 1.550$؛ و $n_g(400) - n_g(700) = 0.063$: أي $210\,\mathrm{ns}$ على الكيلومتر. **22.** $\sin((A + D)/2) = 1.5165 \times 0.5$: ومنه $D = 38.6{}^{\circ}$؛ و $\dd D = 2\sin (A/2)\dd n/\cos((A + D)/2) = 1.53\,\dd n$: ومنه $\Delta D = 1.85{}^{\circ}$، أي $6.5\,\mathrm{cm}$ على $2\,\mathrm{m}$. **23.** عند $200\,\mathrm{nm}$ يقترب التواتر من الرنين و ينمو $n''$: فيصير عاتمًا. ورنين ضعيف عند $700\,\mathrm{nm}$ يمتصّ الأحمر: فيكون الزجاج أخضر. **24.** الأزرق أقرب إلى رنين فوق البنفسجي: فتستجيب الإلكترونات المرتبطة أكثر، وتكبر $n$، ويكبر الانحراف معها. **25.** الطبقة F عند $1.5\,\mathrm{GHz}$: $\underline\gamma$ تخيلية، وانتشار بتأخّر مجموعة صغير. والفولاذ عند $2.45\,\mathrm{GHz}$: $\underline\gamma$ حقيقية، [وأثر قشري](#thm-b2-waves-in-media-skin)، وانعكاس. والنحاس عند $13.56\,\mathrm{MHz}$: الأمر نفسه، بقشرة $18\,\text{µ}\mathrm{m}$. والزجاج في المرئي: $\iu\omega\varepsilon_0\chi$، وقرينة حقيقية، ووسط شفاف متبدّد.