---
title: "التوصيل الحراري"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثانية"
subject: physics
language: ar
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/25-heat-conduction
---

# الفصل 25 — التوصيل الحراري

المس قضيبًا معدنيًّا ومقعدًا خشبيًّا في صباح بارد واحد: فالقضيب يبدو أبرد، وإن أعطى مقياس الحرارة كليهما درجة الحرارة نفسها. وضع مقلاة على الموقد فلا يسخن مقبضها إلا بعد حين؛ واحفر مترين في الصيف فتجد التربة باردة من الشتاء؛ ومعالج يبدد مئة واط على سنتيمتر مربع لا ينصهر لأن فوقه كتلة ألمنيوم مزعنفة. وهذا كله *توصيل حراري*، أي نقل الطاقة الداخلية عبر المادة باضطراب جزيئاتها، من دون أي جريان مادة — وهو كله يحقق قانونًا واحدًا، قانون فورييه، ومعادلة واحدة، معادلة الحرارة، وهي [معادلة الانتشار](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/24-particle-diffusion#thm-b2-particle-diffusion-equation) في الفصل السابق مع الحرارة مكان الكثافة. وهذا الفصل يقيم القانون والمعادلة من موازنة طاقية، ويحلّهما في الحالات المهمة (الجدران المستقرة [ومقاوماتها الحرارية](#prop-b2-heat-conduction-resistance)، والتسخين الدوري والموجة الحرارية، وزعانف التبريد)، ويقدّم التبادل مع مائع (قانون نيوتن [وعدد بيو](#def-b2-heat-conduction-biot))، ويحسب الإنتروبيا التي يحدثها التوصيل — فالحرارة لا تجري إلا نازلة.

![مبدد حراري مزعنف على معالج: مئة واط تُوصَّل خارج سنتيمتر مربع من السيليسيوم، وتُنشَر عبر قاعدة معدنية، وتُسلَّم إلى الهواء بزعانف تضاعف السطح ثلاثين مرة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/img-382f65b69146.jpg)

*مبدد حراري مزعنف على معالج: مئة واط تُوصَّل خارج سنتيمتر مربع من السيليسيوم، وتُنشَر عبر قاعدة معدنية، وتُسلَّم إلى الهواء بزعانف تضاعف السطح ثلاثين مرة.*

## 25.1 قانون فورييه

**تعريف 25.1 (كثافة التيار الحراري).**

*كثافة التيار الحراري* $\vect{j}_Q$ (بالوحدة $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$) هي الشعاع الذي يجعل الطاقة المنقولة بالتوصيل عبر عنصر سطح موجَّه $\dd\vect S$ خلال $\dd t$ مساويةً $\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S\,\dd t$؛ و *التدفق الحراري* (وهو استطاعة، بالواط) عبر سطح $S$ هو $\Phi = \iint_S\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S$.

**مبرهنة 25.2 (قانون فورييه).**

في وسط ساكن حرارته غير منتظمة،

$$
\vect{j}_Q = -\lambda\,\vect{\operatorname{grad}}\,T ,
$$

حيث *الناقلية الحرارية* $\lambda > 0$ (بالوحدة $\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) تتعلق بالمادة، وقليلًا بالحرارة. والحرارة تجري مع انحدار متدرج الحرارة، من الساخن إلى البارد — أي المبدأ الثاني مدمجًا في قانون خطي.

**برهان.** ظاهراتي، كقانون فيك، وله التبرير المجهري نفسه: فالجزيئات (أو إلكترونات المعدن الحرة، أو اهتزازات الشبكة) تحمل طاقتها في مسير عشوائي، ويأتي منها من الجهة الساخنة أكثر. ∎

**مثال 25.3 (الناقليات).**

المعادن (إذ تحمل الإلكترونات الحرارة كما تحمل التيار — فالناقليتان تتبع إحداهما الأخرى): النحاس $400\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$، والألمنيوم $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$، والفولاذ $50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. والعوازل: البيتون $1.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$، والزجاج $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$، والآجر $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$، والخشب $0.15\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. والسوائل: الماء $0.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. والغازات: الهواء $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ — وأحسن العوازل، كصوف الزجاج أو الرغوة عند $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$، معظمها هواء ساكن، محبوس بحيث لا يحمل. أي أربع رتب مقدار من النحاس إلى الهواء.

## 25.2 الموازنة الطاقية ومعادلة الحرارة

**مبرهنة 25.4 (الموازنة الطاقية المحلية).**

في جسم صلب (أو مائع ساكن) كثافته $\rho$ وسعته الحرارية النوعية $c$، مع استطاعة $p$ محرَّرة في وحدة الحجم (تسخين جول، أو تفاعل كيميائي أو نووي، أو إشعاع ممتصّ)،

$$
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\operatorname{div}\vect{j}_Q + p ,
\qquad\text{وفي بُعد واحد}\quad
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_Q}{\partial x} + p .
$$

**برهان.** المبدأ الأول من أجل الشريحة بين $x$ و $x + \dd x$ (والمقطع $S$، والحجم ثابت، فلا عمل): فطاقتها الداخلية $\rho c\,T\,S\,\dd x$ تتغير في $\dd t$ بالحرارة المتلقّاة، $[j_Q(x) - j_Q(x+\dd x)]S\,\dd t
= -\partial_x j_Q\,\dd x\,S\,\dd t$، زائدًا $p\,S\,\dd x\,\dd t$. وفي ثلاثة أبعاد تكون الحرارة الداخلة إلى حجم ثابت عبر سطحه المغلق هي $-\iint\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S = -\iiint\operatorname{div}\vect{j}_Q\,\dd\tau$. ∎

**مبرهنة 25.5 (معادلة الحرارة).**

من أجل $\lambda$ و $\rho$ و $c$ منتظمة،

$$
\frac{\partial T}{\partial t} = a\,\Delta T + \frac{p}{\rho c},
\qquad a = \frac{\lambda}{\rho c} \quad\text{(أي \emph{الانتشارية الحرارية}، بالوحدة $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)} .
$$

وكل ما قيل في [معادلة الانتشار](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/24-particle-diffusion#thm-b2-particle-diffusion-equation) صحيح هنا: الخطية، واللاعكوسية، والتمليس، والسلّمان $L \sim \sqrt{at}$ و $t \sim
L^2/a$.

**برهان.** عوّض قانون فورييه في الموازنة: $\rho c\,\partial_t T =
\lambda\Delta T + p$. ∎

**مثال 25.6 (الانتشاريات والأزمنة).**

النحاس $a = 1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، والهواء $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، والبيتون والآجر $\approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، والماء $1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، والخشب $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. وتعبر الحرارة سنتيمترًا من النحاس في ثانية، و سنتيمترًا من الآجر في ثلاث دقائق، وجدارًا $20\,\mathrm{cm}$ في يوم (ولهذا تملّس الجدران السميكة دورة الليل والنهار)، ونصف سماكة شريحة لحم $1.5\,\mathrm{cm}$ في ربع ساعة (فأزمنة الطهو تتبع مربع السماكة)، وكيلومترًا من الصخر في $10^{12}\,\mathrm{s}$، أي ثلاثين ألف سنة — فالأرض لا تزال تبرد منذ تكوّنها.

## 25.3 النظام المستقر: المقاومات الحرارية

**قضية 25.7 (المقاومة الحرارية لشريحة).**

في النظام المستقر بلا منابع، تكون لشريحة سماكتها $e$، ومساحتها $S$، وناقليتها $\lambda$، بين الحرارتين $T_1$ و $T_2$، مقطعٌ خطي وتحمل التدفق

$$
\Phi = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{حراري}}}, \qquad
R_{\text{حراري}} = \frac{e}{\lambda S}\quad\text{(بالوحدة $\mathrm{K}/\mathrm{W}$)} :
$$

أي *مقاومتها الحرارية*. وتؤدي الحرارة دور الكمون، ويؤدي التدفق دور التيار: فالمقاومات على التسلسل (كطبقات جدار) تتجمع، والمقاومات على التفرّع (كجدار ونافذة) تتجمع مقلوباتها. ومن أجل قشرة أسطوانية (كعازل أنبوب) بين نصفي القطرين $r_1 < r_2$ وطولها $\ell$، يكون $R_{\text{حراري}} = \ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$؛ ومن أجل قشرة كروية، $(1/r_1 - 1/r_2)/4\pi\lambda$.

**برهان.** $\dd^2T/\dd x^2 = 0$: أي مقطع تآلفي، و $j_Q = \lambda(T_1 - T_2)/e$ منتظم، و $\Phi = j_QS$. وفي الهندسة الأسطوانية يكون $\Phi = -\lambda\,2\pi
r\ell\,\dd T/\dd r$ نفسه عند كل $r$ (فلا تراكم)، ومن ثَمّ $T = A - (\Phi/2\pi\lambda\ell)\ln r$؛ وفي الهندسة الكروية، يعطي $\Phi =
-4\pi r^2\lambda\,\dd T/\dd r$ أن $T = A + \Phi/4\pi\lambda r$. ∎

**قضية 25.8 (التبادل مع مائع: قانون نيوتن).**

سطح صلب عند $T_{\text{s}}$ في تماس مع مائع عند $T_{\text{f}}$ (بعيدًا عن السطح) يفقد كثافة التدفق

$$
j_Q = h\,(T_{\text{s}} - T_{\text{f}}) ,
$$

حيث *معامل الانتقال الحراري* $h$ (بالوحدة $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$) يجمع التوصيل عبر طبقة المائع الرقيقة اللاصقة بالجدار والحمل الذي يجدّدها: $h \approx 5$–$25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ من أجل الهواء في حمل طبيعي أو خفيف، و $50$–$500\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ من أجل الهواء المدفوع، و $10^3$–$10^4$ من أجل الماء. ويضيف السطح عندئذ *مقاومة غشاء* $1/hS$ على التسلسل مع الجدار.

**برهان.** ظاهراتي: فحركة المائع لا تُحسَب، بل تُلخَّص في $h$ (مقيسًا، أو معطًى بعلاقات ميكانيك الموائع). ∎

![جدار مركّب ودارته الحرارية: غشاء، وآجر، وصوف، وغشاء على التسلسل. وعلى اليمين: مقطع الحرارة — إذ يقع كل الهبوط تقريبًا عبر الطبقة الأكبر مقاومة، وهي الصوف، وإن كانت الأرقّ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-d79d44695b00.svg)

*جدار مركّب ودارته الحرارية: غشاء، وآجر، وصوف، وغشاء على التسلسل. وعلى اليمين: مقطع الحرارة — إذ يقع كل الهبوط تقريبًا عبر الطبقة الأكبر مقاومة، وهي الصوف، وإن كانت الأرقّ.*

**مثال 25.9 (جدار ونافذة).**

في المتر المربع: الآجر $20\,\mathrm{cm}$ عند $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$، $R =
0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$؛ والغشاءان، $1/8 + 1/25 = 0.165\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: فالمجموع $0.415$، أي $U = 1/R = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ و، من أجل فرق $20\,\mathrm{K}$، $48\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. وأضف $10\,\mathrm{cm}$ من صوف الزجاج، $R =
2.5\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: فيصير المجموع $2.9$، و $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ — أي أقلّ بسبع مرات. وأما لوح زجاج مفرد، $4\,\mathrm{mm}$ عند $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$، فكله غشاء: $R = 0.004 + 0.165$، و $U \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$؛ وطبقة $12\,\mathrm{mm}$ من الهواء الساكن بين لوحين تضيف $0.012/0.026 =
0.46\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ وتقسم الضياع على أكثر من ثلاثة.

**تعريف 25.10 (عدد بيو).**

من أجل جسم صلب حجمه $L$ يتبادل مع مائع، يقارن *عدد بيو*

$$
\mathrm{Bi} = \frac{hL}{\lambda} = \frac{\text{المقاومة الداخلية } L/\lambda S}{\text{مقاومة الغشاء } 1/hS}
$$

بينهما. فإذا كان $\mathrm{Bi} \ll 1$ كان الجسم منتظم الحرارة في كل لحظة وبرد ككلّ، أسّيًّا، بثابت الزمن $\tau = \rho c V/hS$؛ وإذا كان $\mathrm{Bi} \gg 1$ كان السطح عند حرارة المائع وأوصل الداخل على وتيرته $L^2/a$.

## 25.4 التسخين الدوري: الموجة الحرارية

**قضية 25.11 (موجة حرارية في نصف فضاء).**

إذا حُفظ سطح نصف فضاء $x = 0$ عند $T(0,t) = T_0 +
\theta_0\cos\omega t$، كانت الحرارة في الداخل، في النظام المستقر،

$$
T(x,t) = T_0 + \theta_0\,\eu^{-x/\delta}\cos\Big(\omega t - \frac{x}{\delta}\Big),
\qquad \delta = \sqrt{\frac{2a}{\omega}} :
$$

أي موجة تنتشر إلى الداخل بالسرعة $\omega\delta =
\sqrt{2a\omega}$ وتتخامد على *عمق نفوذ* واحد $\delta$ في كل راديان من الطور — أي بالعامل $\eu^{-2\pi} = 2 \times 10^{-3}$ في كل طول موجة. والتذبذبات السريعة تنفذ أقلّ من البطيئة.

**برهان.** ابحث عن $\underline T = \theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline k x)}$: $\iu\omega = -a\underline k^2$، ومن ثَمّ $\underline k^2 = -\iu\omega/a$، و $\underline k = (1 - \iu)\sqrt{\omega/2a} = (1 - \iu)/\delta$ (وهو الجذر الذي يتخامد من أجل $x > 0$). ثم خذ الجزء الحقيقي. ∎

![الموجة الحرارية في ثلاث لحظات: تذبذب السطح ينفذ موجةً متخامدة، سعتها تهبط وفق -x/ (بالخط المتقطع) وطورها يتأخر بمقدار x/ — وعند x = π تكون الحرارة معاكسة لحرارة السطح.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-544dba75d6b7.svg)

*الموجة الحرارية في ثلاث لحظات: تذبذب السطح ينفذ موجةً متخامدة، سعتها تهبط وفق $\eu^{-x/\delta}$ (بالخط المتقطع) وطورها يتأخر بمقدار $x/\delta$ — وعند $x = \pi\delta$ تكون الحرارة معاكسة لحرارة السطح.*

**مثال 25.12 (التربة والقبو والنبيذ).**

التربة، $a \approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. والدورة اليومية، $\omega = 2\pi/86\,400\,\mathrm{s}$: $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ — فعلى نصف متر يزول النهار. والدورة السنوية: $\delta = 2.2\,\mathrm{m}$؛ وعلى ذلك العمق يهبط تأرجح $10\,\mathrm{K}$ بين الصيف والشتاء إلى $3.7\,\mathrm{K}$ ويتأخر براديان واحد، أي شهرين: فالقبو أبرد ما يكون في آذار وأدفأ ما يكون في أيلول، وعلى $5\,\mathrm{m}$ يكون على بعد $1\,\mathrm{K}$ من الثبات — وهو القبو الذي يحفظ النبيذ. والرياضيات نفسها تعطي عمق الجلد في الكهرمغناطيسية ([الفصل 14](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#ch-b2-waves-in-media)): فالمعادلة نفسها، والمقدار نفسه $\sqrt{2/(\text{الانتشارية}
\times\omega)}$.

## 25.5 الزعانف

**قضية 25.13 (زعنفة التبريد).**

قضيب رفيع أو صفيحة رفيعة (مقطعها $S$، ومحيطها $p$، وناقليتها $\lambda$) مثبَّت عند $x = 0$ بجدار عند $T_0$، في مائع عند $T_{\text{f}}$ مع المعامل $h$، له فرط الحرارة $\theta = T - T_{\text{f}}$ المحقِّق

$$
\frac{\dd^2\theta}{\dd x^2} = m^2\theta, \qquad m = \sqrt{\frac{hp}{\lambda S}} ;
$$

ومن أجل زعنفة طويلة، $\theta = \theta_0\eu^{-mx}$ وتُخرج الزعنفة $\Phi =
\sqrt{hp\lambda S}\,\theta_0$ — أي بقدر ما يخرجه سطح عارٍ طوله $\sqrt{\lambda
S/hp} = 1/m$، بحرارة هبطت إلى $\theta_0/\eu$ عند $x = 1/m$. ومن أجل زعنفة طولها منتهٍ $L$ (وطرفها كظوم)، يكون $\theta =
\theta_0\cosh m(L-x)/\cosh mL$ و*مردودها* — أي التدفق على تدفق زعنفة متساوية الحرارة عند $\theta_0$ — هو $\eta = \tanh(mL)/mL$.

**برهان.** الموازنة المستقرة للشريحة $[x, x + \dd x]$: الموصَّل داخلًا، $-\lambda S\theta'(x)$؛ والخارج، $-\lambda S\theta'(x + \dd x)$؛ والمفقود إلى المائع، $hp\,\theta\,\dd x$: $\lambda S\theta'' = hp\theta$. والتدفق عند القاعدة هو $-\lambda S\theta'(0)$: أي $\lambda Sm\theta_0$ من أجل الزعنفة الطويلة، و $\lambda Sm\theta_0\tanh mL$ من أجل المنتهية، ليُقارن بالمقدار $hpL\theta_0$. [وعدد بيو](#def-b2-heat-conduction-biot) عبر سماكة الزعنفة، $ht/\lambda$، يجب أن يكون صغيرًا لتصحّ المعالجة الأحادية البعد. ∎

![على اليسار: الحرارة على امتداد زعنفة، من أجل زعنفة طويلة واثنتين منتهيتين (بطرف كظوم) — فبعد mx 2 لا تضيف الزعنفة كثيرًا. وعلى اليمين: موازنة شريحة: توصيل على الامتداد، وحمل خارجًا عبر المحيط.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-48ad90a05b85.svg)

*على اليسار: الحرارة على امتداد زعنفة، من أجل زعنفة طويلة واثنتين منتهيتين (بطرف كظوم) — فبعد $mx \approx 2$ لا تضيف الزعنفة كثيرًا. وعلى اليمين: موازنة شريحة: توصيل على الامتداد، وحمل خارجًا عبر المحيط.*

**مثال 25.14 (مبدد حراري).**

زعانف ألمنيوم سماكتها $1\,\mathrm{mm}$ ($p/S \approx 2/t = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$)، وارتفاعها $30\,\mathrm{mm}$، في هواء مدفوع $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: $m =
\sqrt{2h/\lambda t} = 20\,\mathrm{m}^{-1}$، و $mL = 0.6$، و $\eta = 0.89$ — أي إن الزعانف تعمل عند $89\%$ من مساحتها. وثلاثون منها، بعرض $60\,\mathrm{mm}$، تقدّم $0.11\,\mathrm{m}^{2}$ حيث كان المربع العاري $60\,\mathrm{mm}$ يقدّم $0.0036\,\mathrm{m}^{2}$: أي مقاومة $1/\eta hA = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ بدل $5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$؛ و $100\,\mathrm{W}$ ترفع القاعدة $20\,\mathrm{K}$ بدل $560\,\mathrm{K}$. والزعانف الأطول تربح قليلًا (إذ يشبع $\tanh$)، والأرقّ تخسر مردودًا: و $mL \approx 1$ هي مساومة المهندس.

## 25.6 الإنتروبيا التي يحدثها التوصيل

**قضية 25.15 (إنتاج الإنتروبيا).**

تدفق $\Phi$ موصَّل من جسم عند $T_{\text{h}}$ إلى جسم عند $T_{\text{c}} < T_{\text{h}}$ عبر جدار مستقر يحدث إنتروبيا بالمعدل

$$
\dot S_{\text{c}} = \Phi\Big(\frac{1}{T_{\text{c}}} - \frac{1}{T_{\text{h}}}\Big) > 0 ;
$$

ومحليًّا، يحدث التوصيل $\sigma_s = \lambda\,(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2
\ge 0$ في وحدة الحجم والزمن — وهو معدوم حيث تكون الحرارة منتظمة وحدها. فالتوصيل الحراري غير عكوس: إذ إن الطاقة نفسها، مسلَّمة عند حرارة أدنى، تستطيع عملًا أقلّ.

**برهان.** لا تتغير حالة الجدار، فإنتروبياه ثابتة: فالجسم الساخن يفقد $\Phi/T_{\text{h}}$ في وحدة الزمن، ويكسب البارد $\Phi/T_{\text{c}}$؛ والفرق مُحدَث. ومحليًّا، تعطي موازنة الإنتروبيا $\partial_t(\rho s) + \operatorname{div}(\vect{j}_Q/T) = \sigma_s$ مع $\rho T\partial_t s = -\operatorname{div}\vect{j}_Q$ أن $\sigma_s =
\vect{j}_Q\cdot\vect{\operatorname{grad}}(1/T) = -\vect{j}_Q\cdot
\vect{\operatorname{grad}}\,T/T^2 = \lambda(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2$. ∎

**طريقة 25.16 (تقديرات التوصيل).**

(1) المستقر: ابنِ الدارة الحرارية — الشرائح $e/\lambda S$، والأغشية $1/hS$، والقشور $\ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$؛ على التسلسل وعلى التفرّع. (2) والعابر: $\mathrm{Bi} = hL/\lambda$؛ فإن كان صغيرًا، $\tau = \rho cV/hS$؛ وإن كان كبيرًا، $t \sim L^2/a$. (3) والدوري: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$، والتخامد $\eu^{-x/\delta}$، والتأخر $x/\delta$. (4) والمنابع: $p$ في وحدة الحجم، ومقاطع مكافئة. (5) والزعانف: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$، و $\eta = \tanh(mL)/mL$. (6) والإنتروبيا: $\Phi(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$.

## 25.7 تمارين

**تمرين 25.1 ★.**

جدار آجر سماكته $20\,\mathrm{cm}$ ($\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$)، ومساحته $100\,\mathrm{m}^{2}$، بين $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ في الداخل و $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ في الخارج (والسطحان عند هاتين الحرارتين): أوجد كثافة التدفق والتدفق الكلي؛ ومع $10\,\mathrm{cm}$ من صوف الزجاج ($0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) مضافةً.

**حل التمرين 25.1.**

$j = \lambda\Delta T/e = 80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$؛ و $8\,\mathrm{kW}$؛ ومع الصوف $R = 0.25 + 2.5 =
2.75\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $7.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، و $730\,\mathrm{W}$.

**تمرين 25.2 ★.**

الانتشاريات: النحاس ($\lambda = 400$، و $\rho = 8900$، و $c = 385\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$)، والبيتون ($1.5$، $2300$، $900$)، والخشب ($0.15$، $600$، $2500$). أوجد أزمنة عبور الحرارة $1\,\mathrm{cm}$ و $20\,\mathrm{cm}$ من كل منها؛ وقشرة الأرض $30\,\mathrm{km}$.

**حل التمرين 25.2.**

$a$: $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، $7 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. وعلى $1\,\mathrm{cm}$: $0.9\,\mathrm{s}$، $140\,\mathrm{s}$، $1000\,\mathrm{s}$؛ وعلى $20\,\mathrm{cm}$: $6\,\mathrm{min}$، $15\,\mathrm{h}$، $5\,\mathrm{d}$؛ والقشرة ($a \sim 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$): $10^{15}\,\mathrm{s}$، أي ثلاثون مليون سنة.

**تمرين 25.3 ★.**

زجاج مفرد ($4\,\mathrm{mm}$، $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) مع غشاءين $h_{\text{i}}
= 8$ و $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$؛ وزجاج مزدوج بطبقة $12\,\mathrm{mm}$ من الهواء الساكن ($0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$): أوجد قيمتي $U$ والتدفقين من أجل $20\,\mathrm{K}$. ولمَ يكون الزجاج المزدوج الحقيقي أسوأ بمرتين من هذا التقدير، وماذا يفعل الأرغون والطلاءات المنخفضة الإصدارية؟

**حل التمرين 25.3.**

المفرد: $R = 0.169$، و $U = 5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$، و $118\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$؛ والمزدوج: $R =
0.63$، و $U = 1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$، و $32\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. والفجوة تحمل واللوحان يتبادلان بالإشعاع (وهو نحو نصف النقل الحقيقي)؛ والأرغون يوصل أقلّ ويحمل أقلّ، والطلاء المنخفض الإصدارية يخمد الإشعاع.

**تمرين 25.4 ★.**

الطهو: $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ للحم. أوجد الزمن اللازم لمركز شريحة $3\,\mathrm{cm}$ كي يحسّ المقلاة؛ ولقطعة مشوية $12\,\mathrm{cm}$. وديك رومي ثقله ضعف ذلك: بكم يطول الزمن (والبعد يتبع الجذر التكعيبي للكتلة)؟

**حل التمرين 25.4.**

$L^2/a$ بنصف السماكة: $27\,\mathrm{min}$؛ والمشوية: $16\times$، أي $7\,\mathrm{h}$؛ و $t \propto L^2 \propto m^{2/3}$: أي $\times 1.6$.

**تمرين 25.5 ★★.**

*منبع داخلي.* أسطوانة نصف قطرها $R$ تحرّر $p$ في وحدة الحجم؛ وسطحها عند $T_{\text{s}}$. (أ) بيّن أن $T(r) = T_{\text{s}} +
p(R^2 - r^2)/4\lambda$. (ب) وسلك نحاسي، $R = 1\,\mathrm{mm}$، و $j =
1 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$، و $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$: أوجد $p$ والفرق بين المركز والسطح. (ج) وقضيب وقود نووي، $R = 5\,\mathrm{mm}$، و $p = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$، و $\lambda = 3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$: السؤال نفسه. (د) وعلّق.

**حل التمرين 25.5.**

(أ) $(rT')'/r = -p/\lambda$ مع $T'(0) = 0$. (ب) و $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$؛ و $pR^2/4\lambda = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}$. (ج) و $625\,\mathrm{K}$. (د) فالسلك متساوي الحرارة؛ أما مركز حبيبة الوقود فيعلو سطحها بمئات الكلفنات — فكثافة استطاعة المفاعل يحدّها التوصيل في الوقود.

**تمرين 25.6 ★★.**

*الأرض.* (أ) استنتج $\delta = \sqrt{2a/\omega}$. (ب) وللتربة، $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: أوجد عمقي النفوذ اليومي والسنوي. (ج) والعمق الذي تكون عنده السعة السنوية عُشر سعة السطح؛ والتأخر الطوري هناك. (د) وأنبوب ماء يجب ألا يتجمد حيث تهبط حرارة السطح شتاءً إلى $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ حول متوسط قدره $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: أوجد أصغر عمق (بالموجة السنوية).

**حل التمرين 25.6.**

(أ) [القضية 25.11](#prop-b2-heat-conduction-wave). (ب) و $12\,\mathrm{cm}$؛ و $2.2\,\mathrm{m}$. (ج) و $\delta\ln 10 = 5.2\,\mathrm{m}$؛ والتأخر $2.3\,\mathrm{rad}$، أي $130$ يومًا. (د) ويجب أن تنتصف سعة $20\,\mathrm{K}$: $x = \delta\ln 2 = 1.5\,\mathrm{m}$.

**تمرين 25.7 ★★.**

*بيو.* (أ) كرة نحاسية نصف قطرها $1\,\mathrm{cm}$، في الهواء ($h =
10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$): أوجد [عدد بيو](#def-b2-heat-conduction-biot)، وثابت زمن تبريدها. (ب) وحبة بطاطا ($\lambda = 0.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$، و $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، ونصف قطرها $3\,\mathrm{cm}$) في فرن مع $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: أوجد [عدد بيو](#def-b2-heat-conduction-biot)؛ وأي زمن يحكم طهوها؟ (ج) ولمَ تُصنَع حبة المزدوجة الحرارية صغيرة؟ (د) ولمَ يبرد فنجان القهوة أسرع حين يُقلَّب أو يُنفَخ فيه — وأي مقاومة تتغير؟

**حل التمرين 25.7.**

(أ) $\mathrm{Bi} = hR/3\lambda \approx 10^{-4}$؛ و $\tau = \rho cR/3h = 1100\,\mathrm{s}$. (ب) و $\mathrm{Bi} = 1.2$: أي لا هذا الحدّ ولا ذاك؛ والزمن الداخلي $R^2/a \approx
6000\,\mathrm{s}$ هو الحاكم. (ج) و $R$ صغير: فيكون $\tau$ ضئيلًا [وعدد بيو](#def-b2-heat-conduction-biot) صغيرًا. (د) وتهبط مقاومة الغشاء $1/h$، وهي الغالبة.

**تمرين 25.8 ★★.**

*زعنفة.* (أ) استنتج $\theta'' = m^2\theta$ وحلّ الزعنفة الطويلة. (ب) وزعنفة ألمنيوم، سماكتها $1\,\mathrm{mm}$، وارتفاعها $30\,\mathrm{mm}$، في حمل طبيعي $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: أوجد $m$، و $mL$، والمردود. (ج) وبأي عامل تضاعف الزعنفة مساحة تبادل موطئها، والتدفق؟ (د) ولمَ تكون زعنفة طويلة جدًّا أو رفيعة جدًّا إهدارًا للمعدن؟

**حل التمرين 25.8.**

(أ) [القضية 25.13](#prop-b2-heat-conduction-fin). (ب) و $m = \sqrt{2h/\lambda t} =
13\,\mathrm{m}^{-1}$، و $mL = 0.39$، و $\eta = 0.95$. (ج) والمساحة $\times 2L/t = 60$، والتدفق $\times 57$. (د) وبعد $mL \approx 2$ يكون الطول الزائد عند حرارة المائع؛ والزعنفة الأرقّ لها $m$ أكبر ومردود أدنى.

**تمرين 25.9 ★★.**

*الأنابيب.* (أ) استنتج مقاومة قشرة أسطوانية. (ب) وأنبوب بخار، نصف قطره الخارجي $5\,\mathrm{cm}$ عند $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، ملفوف بطبقة $5\,\mathrm{cm}$ من صوف الزجاج، والهواء عند $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ مع $h =
10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ في الخارج: أوجد الضياع في المتر، مقارنًا بالأنبوب العاري. (ج) وبيّن أن للمقاومة الكلية للعازل والغشاء أصغرًا عند *نصف القطر الحرج* $r_{\text{c}} = \lambda/h$. (د) ومن أجل سلك كهربائي نصف قطره $1\,\mathrm{mm}$ بغلاف بلاستيكي ($\lambda =
0.2\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$)، أيبرّد الغلاف النحاس أم يدفّئه؟

**حل التمرين 25.9.**

(أ) [القضية 25.7](#prop-b2-heat-conduction-resistance). (ب) والصوف $\ln 2/2\pi\lambda =
2.76\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{W}$، والغشاء الخارجي $1/2\pi r_2h = 0.16$: أي $45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$؛ وعاريًا، $2\pi r_1h\Delta T = 410\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$. (ج) و $\dd/\dd r[\ln(r/r_1)/2\pi\lambda + 1/2\pi hr]
= 0$ عند $r = \lambda/h$. (د) و $r_{\text{c}} = 2\,\mathrm{cm} > 1\,\mathrm{mm}$: فالغلاف يزيد الضياع — أي إنه يبرّد النحاس.

**تمرين 25.10 ★★★.**

*الإنتروبيا.* جدار [التمرين 25.1](#exo-b2-heat-conduction-1) (عاريًا) بين $293\,\mathrm{K}$ و $273\,\mathrm{K}$. (أ) أوجد الإنتروبيا المحدَثة في الثانية. (ب) واحسب $\int\sigma_s\,\dd V$ بالمقطع الخطي وتحقق من أنه يوافق. (ج) والإنتروبيا المحدَثة بعد العزل. (د) والعمل الذي كان محرّك عكوس يستخرجه من $8\,\mathrm{kW}$ بين هاتين الحرارتين، وما يبقى منه بعد الجدار.

**حل التمرين 25.10.**

(أ) $8000(1/273 - 1/293) = 2.0\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$. (ب) و $\sigma_s = \lambda T'^2/T^2$ مع $T' = 100\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$؛ و $\int\sigma_s\,\dd x = \lambda T'(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})
= j(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$؛ ومضروبًا في $100\,\mathrm{m}^{2}$: النتيجة نفسها. (ج) و $0.18\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$. (د) و $\Phi(1 - T_{\text{c}}/T_{\text{h}}) = 550\,\mathrm{W}$؛ ولا يبقى شيء — إذ صارت الحرارة عند $T_{\text{c}}$ ($T_{\text{c}}\dot S_{\text{c}} = 550\,\mathrm{W}$).

**تمرين 25.11 ★★★.**

*لمَ يبدو المعدن باردًا.* (أ) من أجل الموجة الحرارية، احسب تدفق السطح $j_Q(0,t)$ وبيّن أنه يتقدم حرارة السطح بمقدار $\pi/4$، وسعته $\sqrt{\lambda\rho c\,\omega}\,\theta_0$. والمقدار $b = \sqrt{\lambda\rho c}$ هو *الانبثاثية*. (ب) ونصفا فضاء عند $T_1$ و $T_2$ يوضعان في تماس: بقبول أن كلًّا منهما يتبع عندئذ مقطع تابع خطأ متمّم بحرارة سطح مشتركة $T_{\text{c}}$، وبكتابة استمرار التدفق عند التماس، بيّن أن $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$. (ج) والجلد ($b \approx 1000\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}/\mathrm{s}^{1/2}$، عند $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) يلمس النحاس ($b = 37000$) أو الخشب ($b = 400$) عند $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: أوجد حرارتي التماس. (د) ولمَ تبدو أرضية البلاط أبرد من السجادة عند الحرارة نفسها، ولمَ يكون الإحساس عابرًا لا غير؟

**حل التمرين 25.11.**

(أ) $j_Q(0,t) = -\lambda\partial_xT = \lambda\theta_0\sqrt2/\delta\,\cos(\omega t +
\pi/4) = \sqrt{\lambda\rho c\omega}\,\theta_0\cos(\omega t + \pi/4)$. (ب) وتدفق كل جهة عند التماس هو $b_i|T_i - T_{\text{c}}|/\sqrt{\pi t}$؛ فبالمساواة: $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$. (ج) والنحاس $20.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، والخشب $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (د) والبلاط $b \approx 1500$، والسجادة $\approx 100$؛ وتصحّ الصيغة ما دام الجسمان يبدوان شبه لانهائيين؛ ومتى بلغت جبهتا الحرارة إمداد الدم والوجه البعيد للجسم، صارت الحالة المستقرة تتعلق بالحرارة المزوَّدة فعلًا.

**تمرين 25.12 ★★★.**

*تبريد شريحة.* شريحة $-L < x < L$ عند $T_0$ تُغمَر عند $t =
0$ في حوض عند $T_{\text{f}}$ مع $h \to \infty$. (أ) بيّن أن $\theta =
T - T_{\text{f}}$ يقبل الحلول $\cos(k_nx)\,\eu^{-ak_n^2t}$ مع $k_n
= (2n+1)\pi/2L$. (ب) وانشر الشرط الابتدائي في سلسلة فورييه على هذه الأنماط واكتب الحلّ الكامل. (ج) وبعد اللحظات الأولى، أي نمط يبقى، وما ثابت الزمن؟ (د) وأوجد الزمن اللازم لمركز شريحة لحم $3\,\mathrm{cm}$ ($a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) كي يصير في حدود $1\%$ من الحوض.

**حل التمرين 25.12.**

(أ) عوّض؛ و $\theta(\pm L) = 0$ يعطي $\cos k_nL = 0$. (ب) و $a_n =
4\theta_0(-1)^n/(2n+1)\pi$؛ و $\theta = \sum a_n\cos(k_nx)\eu^{-ak_n^2t}$. (ج) و $n = 0$، و $\tau = 4L^2/\pi^2a$. (د) و $\tau = 650\,\mathrm{s}$؛ والمركز $(4/\pi)\eu^{-t/\tau} = 0.01$: $t = 4.8\tau \approx 52\,\mathrm{min}$.

## 25.8 مسألة: عزل بيت، وتبريد معالج

**مسألة 25.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — التوصيل على سلّم بناء وعلى سلّم رقاقة

المعطيات: الآجر $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$، و $\rho = 1800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، و $c =
840\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$؛ وصوف الزجاج $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$؛ والزجاج $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$؛ والهواء الساكن $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$؛ والألمنيوم $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$، و $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، و $c = 900\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$؛ والسيليسيوم $150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$؛ والمعجون الحراري $5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$؛ والتربة $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، و $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$؛ والغشاءان $h_{\text{i}} = 8$ و $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**الجزء الأول — البيت.** لبيت $100\,\mathrm{m}^{2}$ من الجدران (آجر $20\,\mathrm{cm}$) و $20\,\mathrm{m}^{2}$ من النوافذ المفردة الزجاج ($4\,\mathrm{mm}$)؛ والداخل $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، والخارج $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

1. أوجد المقاومة في المتر المربع للآجر وحده؛ وكثافة التدفق لو كان وجهاه عند الحرارتين.
2. ومع الغشاءين: أوجد $R$ و $U = 1/R$ في المتر المربع؛ وأعد ذلك مع $10\,\mathrm{cm}$ من صوف الزجاج مضافةً.
3. و $U$ للزجاج المفرد؛ وللزجاج المزدوج بطبقة $12\,\mathrm{mm}$ من الهواء الساكن.
4. والضياع الكلي للبيت قبل عزل الجدران وتزويج النوافذ وبعدهما.
5. وعلى موسم تدفئة قدره $2500$ درجة-يوم (وهو تكامل فرق الحرارة على الموسم، بالوحدة $\mathrm{K}\,\mathrm{day}$ )، أوجد الطاقة الضائعة قبل وبعد، بالكيلوواط ساعة.
6. وحرارة السطح الداخلي للجدار، عاريًا ومعزولًا؛ ولمَ يكون الجدار البارد غير مريح ويربّي العفن؟
7. وزمن الانتشار عبر الآجر؛ وماذا يفعل ذلك بدورة الليل والنهار؟

**الجزء الثاني — الأرض تحت البيت.**

8. استنتج عمق النفوذ $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ لموجة حرارية.
9. و $\delta$ اليومي والسنوي في التربة.
10. والعمق الذي يهبط عنده التأرجح اليومي إلى $1\%$ ؛ والسعة السنوية عند $2.2\,\mathrm{m}$ وعند $5\,\mathrm{m}$ من أجل تأرجح سطحي قدره $10\,\mathrm{K}$ .
11. والتأخر الطوري عند $2.2\,\mathrm{m}$ ، بالأيام: فمتى يكون القبو أبرد ما يكون؟
12. وتدفق الحرارة السطحي للموجة السنوية (سعةً وطورًا)؛ وقارن سعته بالتدفق الجوفي $0.06\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .
13. والمتدرج الجوفي $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : تحقق منه بالتدفق و $\lambda$ ، وفسّر لمَ لا يُرى في فصول القبو.

**الجزء الثالث — المعالج.** رقاقة تبدد $100\,\mathrm{W}$ في نبيطة $1\,\mathrm{cm}^{2}$، سماكتها $0.5\,\mathrm{mm}$؛ وطبقة معجون $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ على $10\,\mathrm{cm}^{2}$ تلصقها بمبدد ألمنيوم: قاعدته $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $5\,\mathrm{mm}$، وثلاثون زعنفة بعرض $60\,\mathrm{mm}$، وارتفاع $30\,\mathrm{mm}$، وسماكة $1\,\mathrm{mm}$؛ ومروحة تعطي $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$؛ والمحيط $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

14. أوجد كثافة التدفق عبر النبيطة؛ ومقاومة النبيطة.
15. ومقاومة المعجون؛ ولو حلّت محلّه فجوة هواء $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ .
16. ووسيط الزعنفة $m$ ، و $mL$ ، والمردود؛ وتحقق من [عدد بيو](#def-b2-heat-conduction-biot) عبر سماكة الزعنفة.
17. ومساحة الزعانف الكلية ومقاومتها؛ ومقاومة القاعدة (بالتوصيل عبر $5\,\mathrm{mm}$ )؛ وحرارة الوصلة.
18. وأعد ذلك بلا زعانف (بمربع $60\,\mathrm{mm}$ عارٍ): واستنتج.
19. وتتوقف المروحة ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): أوجد حرارة الوصلة؛ وماذا يفعل المعالج عند $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؟
20. وكتلة المبدد وسعته الحرارية؛ وثابت زمنه $RC$ ؛ وثابت زمن النبيطة وحدها ( $0.1\,\mathrm{g}$ ، و $700\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ).
21. ولمَ يكون للمبددات الجيدة قاعدة نحاسية أو أنابيب حرارية؟

**الجزء الرابع — الإنتروبيا.**

22. أوجد الإنتروبيا المحدَثة في الثانية بغلاف البيت العاري (في السؤال 4) بين $293\,\mathrm{K}$ و $273\,\mathrm{K}$ ؛ وبعد العزل.
23. والإنتروبيا التي تحدثها $100\,\mathrm{W}$ من الرقاقة مارّةً من الوصلة إلى المحيط؛ والتي يحدثها تحويل العمل الكهربائي إلى حرارة في النبيطة.
24. وبيّن أن من أجل شريحة يكون $\int\sigma_s\,\dd V = \Phi(1/T_{\text{c}} -  1/T_{\text{h}})$ .
25. ولخّص في خمسة أسطر ما الذي يحكم جدارًا وزعنفةً وقبوًا ورقاقة.

**حل المسألة 25.1.**

**1.** $0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$؛ و $80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**2.** $R = 0.415$، و $U = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$؛ ومعزولًا $R = 2.9$، و $U =
0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**3.** $5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$؛ و $1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**4.** $4800 + 2360 = 7.2\,\mathrm{kW}$؛ و $680 + 640 = 1.3\,\mathrm{kW}$.

**5.** $UA = 358\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $358 \times 2500 \times 86400 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{J} =
21\,500\,\mathrm{kWh}$؛ وبعده، $66\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $4000\,\mathrm{kWh}$.

**6.** $20 - 48/8 = 14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$؛ و $20 - 6.8/8 = 19.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$؛ والجدار البارد يشعّ إلى الجسم أقلّ وقد يبلغ نقطة الندى.

**7.** $a = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$؛ و $e^2/a = 7.5 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 21\,\mathrm{h}$: فالجدار يتوسط النهار (إذ $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ اليومي أقلّ من سماكته).

**8.** ابحث عن $\theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline kx)}$: $\underline k = (1 - \iu)/\delta$.

**9.** $12\,\mathrm{cm}$؛ و $2.2\,\mathrm{m}$.

**10.** $4.6\delta = 54\,\mathrm{cm}$؛ و $3.7\,\mathrm{K}$؛ و $1.1\,\mathrm{K}$.

**11.** راديان واحد، أي $58$ يومًا: أي منتصف آذار (وأصغر حرارة سطحية في منتصف كانون الثاني).

**12.** السعة $\lambda\theta_0\sqrt2/\delta = 6.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، متقدمة بمقدار $\pi/4$ (أي $45$ يومًا)؛ أي مئة ضعف التدفق الجوفي.

**13.** $\lambda \times 0.03\,\mathrm{K}/\mathrm{m} \approx 0.03\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، وهي الرتبة الصحيحة؛ وهو $0.1\,\mathrm{K}$ ثابتة على ارتفاع القبو، مدفونة في التأرجح الفصلي.

**14.** $1 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$؛ و $R = 0.033\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$.

**15.** $0.01\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$؛ وأما الهواء: $1.9\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$، أي $190\,\mathrm{K}$.

**16.** $m = 20\,\mathrm{m}^{-1}$، و $mL = 0.61$، و $\eta = 0.89$؛ و $\mathrm{Bi} = ht/2\lambda
= 10^{-4}$.

**17.** $A = 0.108\,\mathrm{m}^{2}$؛ و $R_{\text{زعانف}} = 1/\eta hA = 0.21\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$؛ والقاعدة $0.006\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$؛ والمجموع $0.26\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: أي $26\,\mathrm{K}$، والوصلة عند $51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**18.** $1/hS = 5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: أي $560\,\mathrm{K}$ — وهو مستحيل.

**19.** $R_{\text{زعانف}} \approx 0.94\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$، والمجموع $\approx 1\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: أي $125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — فيخنق نفسه، ثم ينطفئ.

**20.** $V = 7.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$، و $0.19\,\mathrm{kg}$، و $C = 175\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$؛ و $\tau = RC
\approx 46\,\mathrm{s}$؛ وأما النبيطة: $C = 0.07\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$، و $\tau \approx 3\,\mathrm{ms}$.

**21.** يجب أن تنتشر الحرارة من $1\,\mathrm{cm}^{2}$ إلى $36\,\mathrm{cm}^{2}$: فالنحاس ينصّف مقاومة الانتشار تلك؛ والأنبوب الحراري ينقل الحرارة بالتبخر والتكاثف بناقلية فعّالة تبلغ مئة ضعف ناقلية النحاس.

**22.** $7200(1/273 - 1/293) = 1.8\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$؛ و $0.33\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$.

**23.** $100(1/298 - 1/324) = 0.027\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$؛ و $100/324 = 0.31\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — أي أكثر بعشر مرات: فتحويل العمل إلى حرارة هو اللاعكوسية الكبرى.

**24.** $\int\lambda T'^2/T^2\,\dd x = \lambda T'\,[-1/T] = j(1/T_{\text{c}} -
1/T_{\text{h}})$.

**25.** الجدار: مقاومات على التسلسل، وأسوأ الموصلات هو الحاكم. والزعنفة: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$، و $mL \approx 1$. والقبو: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$، والتخامد والتأخر معًا. والرقاقة: سلسلة مقاومات من النبيطة إلى الهواء، ومساحة الزعانف هي التي تعمل. وفي كل مكان: الحرارة تجري نازلة، وتحدث إنتروبيا وهي تفعل.