---
title: "الإشعاع الحراري"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثانية"
subject: physics
language: ar
chapter: 26
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/26-thermal-radiation
---

# الفصل 26 — الإشعاع الحراري

كل ما هو دافئ يتوهج. فاليد، والجدار، وكأس الماء في حرارة الغرفة تشعّ إشعاعًا غير مرئي، عند أطوال موجة قرب $10\,\text{µ}\mathrm{m}$، بمقدار بضع مئات من الواطات في المتر المربع؛ وسخّن مسعارًا فيتوهج عند $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ أحمر باهتًا، وعند $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ برتقاليًّا، وعند $2500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — وهي حرارة شعيرة المصباح — أبيض؛ وسطح الشمس عند $5800\,\mathrm{K}$ يشعّ أصفر مبيضًّا، بستين ميغاواط في المتر المربع، وذلك الضوء، بعد ثماني دقائق من السفر، هو الذي يبقي الأرض عند حرارة يكون الماء فيها سائلًا. والإشعاع هو النمط الثالث لنقل الحرارة، وهو الوحيد الذي يعبر الفضاء الخالي؛ وهو أيضًا الموضع الذي أخفقت فيه الفيزياء الكلاسيكية واضطر بلانك، عام 1900، إلى إدخال الكمّ. وهذا الفصل يذكر القانون الذي وجده، ويستخرج منه النتيجتين اللتين تُستعملان دائمًا — انزياح فين وقانون ستيفان–بولتزمان — ويطبّقهما على التبادلات بين الأجسام، وعلى الشمس والأرض، وعلى نموذج الطبقة الواحدة [لأثر الدفيئة](#prop-b2-thermal-radiation-greenhouse) الذي يثبّت مناخنا.

![الفولاذ في المسبك: لون التوهج — أحمر باهت، وبرتقالي، وأصفر، وأبيض — مقياس حرارة، لأن طيف الإشعاع الحراري يتعلق بالحرارة وحدها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/img-0a54708ce390.jpg)

*الفولاذ في المسبك: لون التوهج — أحمر باهت، وبرتقالي، وأصفر، وأبيض — مقياس حرارة، لأن طيف [الإشعاع الحراري](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) يتعلق بالحرارة وحدها.*

## 26.1 الإشعاع الحراري والجسم الأسود

**تعريف 26.1 (الإشعاع الحراري والامتصاصية والجسم الأسود).**

كل جسم عند الحرارة $T$ يصدر إشعاعًا كهرمغناطيسيًّا من الاضطراب الحراري لشحناته: وهو *إشعاعه الحراري*. ويتلقى سطحه أيضًا إشعاعًا من محيطه ويمتصّ منه الكسر $\alpha$ (وهي *الامتصاصية*، بين $0$ و $1$، وهي في العام تتعلق بطول الموجة)، فيعكس الباقي أو ينفذه. و*الجسم الأسود* يمتصّ كل شيء ($\alpha = 1$ عند كل طول موجة). وثقب صغير في جدار جوف مغلق هو الجسم الأسود العملي: فالإشعاع الداخل فيه يُمتصّ عند الجدران قبل أن يجد سبيل الخروج.

**قضية 26.2 (إشعاع التوازن وقانون كيرشوف).**

داخل جوف مغلق جدرانه عند $T$، يكون الإشعاع في توازن مع الجدران ويكون *عامًّا*: متماثل المناحي، غير مستقطب، وله كثافة طاقة طيفية $u_\nu(T)$ (أي الطاقة في وحدة الحجم ووحدة التواتر) تتعلق بالمتغيرين $T$ و $\nu$ وحدهما، لا بمادة الجوف ولا بشكله. والإشعاع الخارج من ثقب صغير في جوف كهذا هو *إشعاع [الجسم الأسود](#def-b2-thermal-radiation-blackbody)* عند $T$. والسطح الذي يمتصّ الكسر $\alpha_\nu$ من الإشعاع الذي يتلقاه عند التواتر $\nu$ يصدر، عند ذلك التواتر، الكسر $\varepsilon_\nu = \alpha_\nu$ مما كان يصدره [جسم أسود](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) عند الحرارة نفسها (وهو *إصداريته*): *فالماصّ الجيد مصدِر جيد*.

**برهان.** أما العمومية: فاصِل جوفين عند $T$ نفسها بثقب فيه مرشّح يمرّر تواترًا واحدًا؛ فلو اختلفت الكثافتان لجرت الطاقة من أحدهما إلى الآخر عند حرارتين متساويتين، وذلك ينتهك المبدأ الثاني. وأما كيرشوف: فضع السطح في الجوف عند $T$ نفسه؛ ففي التوازن يجب أن يصدر عند كل تواتر ما يمتصّه بالضبط، $\varepsilon_\nu u_\nu = \alpha_\nu u_\nu$. ∎

## 26.2 قانون بلانك

**مبرهنة 26.3 (قانون بلانك).**

كثافة الطاقة الطيفية لإشعاع [الجسم الأسود](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) عند الحرارة $T$ هي

$$
u_\nu(T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1},
$$

والاستطاعة التي يشعّها سطح أسود في وحدة المساحة ووحدة طول الموجة (وهي *خروجيته الطيفية*) هي

$$
M_\lambda(T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{\eu^{hc/\lambda k_BT} - 1}.
$$

وثمة حدّان: من أجل $h\nu \ll k_BT$، $u_\nu \approx 8\pi\nu^2 k_BT/c^3$ (وهو رايلي–جينز: إذ يحمل كل نمط من أنماط الجوف الطاقة الكلاسيكية $k_BT$ — وهو قانون تكامله لانهائي، أي “كارثة فوق البنفسجي”)؛ ومن أجل $h\nu \gg k_BT$، $u_\nu \approx (8\pi h\nu^3/c^3)
\eu^{-h\nu/k_BT}$ (وهو فين: أي عامل بولتزمان لفوتون طاقته $h\nu$، [الفصل 29](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/29-the-boltzmann-factor#ch-b2-boltzmann-factor)).

**برهان.** مقبول: فعدّ أنماط الجوف ($8\pi\nu^2/c^3$ في وحدة الحجم والتواتر، مع استقطابين) من مجلد السنة الثالثة، ومتوسط طاقة النمط، $h\nu/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ بدل الكلاسيكي $k_BT$، هو الفرضية الكمومية: إذ تُتبادَل الطاقة مع النمط في كمّات $h\nu$، فتتجمد الأنماط التي $h\nu \gg k_BT$ فيها. والعلاقة $M_\lambda\,\dd\lambda = (c/4)\,u_\nu\,\dd\nu$ هي العامل الهندسي المحسوب في [المبرهنة 26.5](#thm-b2-thermal-radiation-stefan). ∎

![طيف بلانك عند ثلاث حرارات: تنتقل القمة إلى أطوال موجة أقصر وفق 1/T (فين) وتنمو المساحة وفق T4 (ستيفان). ولا يضع في المجال المرئي كثيرًا من استطاعته إلا أسخن المنحنيات.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-4a97512e945e.svg)

*طيف بلانك عند ثلاث حرارات: تنتقل القمة إلى أطوال موجة أقصر وفق $1/T$ (فين) وتنمو المساحة وفق $T^4$ (ستيفان). ولا يضع في المجال المرئي كثيرًا من استطاعته إلا أسخن المنحنيات.*

![تابع بلانك وحدّاه: التوزيع المتساوي الكلاسيكي عند التواتر المنخفض، والقطع الأسّي البولتزماني عند التواتر العالي؛ والقمة عند x = 2.82 (في وحدة التواتر).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-2b3095de593b.svg)

*تابع بلانك وحدّاه: التوزيع المتساوي الكلاسيكي عند التواتر المنخفض، والقطع الأسّي البولتزماني عند التواتر العالي؛ والقمة عند $x = 2.82$ (في وحدة التواتر).*

**قضية 26.4 (قانون فين للانزياح).**

تبلغ [الخروجية الطيفية](#thm-b2-thermal-radiation-planck) $M_\lambda$ قمتها عند

$$
\lambda_{\max}\,T = \frac{hc}{4.965\,k_B} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} .
$$

فالجسم عند $300\,\mathrm{K}$ يشعّ في معظمه قرب $10\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ والشمس ($5800\,\mathrm{K}$) قرب $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$، في الأخضر، حيث تكون العين أشدّ حساسية — لا مصادفةً.

**برهان.** مع $x = hc/\lambda k_BT$، يكون $M_\lambda \propto x^5/(\eu^x - 1)$؛ و $\dd/\dd x = 0$ يعطي $5(\eu^x - 1) = x\eu^x$، أي $x = 5(1 - \eu^{-x})$، وجذره غير المعدوم $x = 4.965$. ∎

**مبرهنة 26.5 (قانون ستيفان–بولتزمان).**

سطح أسود عند $T$ يشعّ، في وحدة المساحة، الاستطاعة الكلية

$$
M = \int_0^\infty M_\lambda\,\dd\lambda = \sigma T^4, \qquad
\sigma = \frac{2\pi^5k_B^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4} ;
$$

وكثافة طاقة إشعاع التوازن هي $u = (4\sigma/c)T^4$ وضغطه $P = u/3$. والسطح الرمادي الذي [إصداريته](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) $\varepsilon$ يشعّ $\varepsilon\sigma T^4$.

**برهان.** كامِل كثافة بلانك: $u = \int u_\nu\,\dd\nu = (8\pi h/c^3)(k_BT/h)^4
\int_0^\infty x^3\,\dd x/(\eu^x - 1)$ والتكامل هو $\pi^4/15$ (وهو مقبول من التحليل): $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)\,T^4$. والاستطاعة الخارجة من ثقب مساحته الواحدة في جدار الجوف هي $cu/4$: إذ الإشعاع متماثل المناحي، والفوتونات المتجهة نحو الثقب ضمن الزاوية المجسمة $\dd\Omega$ عند الزاوية $\theta$ عن ناظمه تحمل التدفق $c\,u\,(\dd\Omega/4\pi)\cos\theta$، و $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi$ على نصف الكرة الخارجي يساوي $1/4$. ومن ثَمّ $M = cu/4 = \sigma T^4$. وأما الضغط، كما في أي غاز متماثل المناحي من جسيمات تتحرك بالسرعة $c$، فهو $u/3$. ∎

**مثال 26.6 (رتب المقادير).**

عند $300\,\mathrm{K}$: $\sigma T^4 = 460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — فالشخص الذي مساحته $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ يشعّ $800\,\mathrm{W}$، لكنه يتلقى ما يقاربها من الجدران عند $293\,\mathrm{K}$؛ والضياع الصافي، $\sigma A(T^4 - T_0^4) \approx
100\,\mathrm{W}$، هو كل خرج الجسم الاستقلابي، ولهذا يحتاج المرء إلى ثياب في غرفة تبدو معتدلة. وأما سطح الشمس: فيكون $\sigma
(5800)^4 = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، والمجموع $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. وشعيرة مصباح عند $2800\,\mathrm{K}$: $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، أي $60\,\mathrm{W}$ من نصف سنتيمتر مربع من التنغستن. والخلفية الكونية، $2.7\,\mathrm{K}$: قمتها عند $1\,\mathrm{mm}$، و $3 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، و $400$ فوتون في السنتيمتر المكعب من الكون.

## 26.3 التبادلات الإشعاعية

**قضية 26.7 (التبادل الصافي والمعامل الإشعاعي).**

جسم رمادي صغير ([إصداريته](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) $\varepsilon$، ومساحته $S$، وحرارته $T$) داخل محيط كبير عند $T_0$ يفقد الاستطاعة الصافية

$$
P = \varepsilon\sigma S\,(T^4 - T_0^4)
\ \approx\ 4\varepsilon\sigma T_0^3\,S\,(T - T_0) = h_{\text{r}}S(T - T_0)
\quad\text{من أجل } |T - T_0| \ll T_0 ,
$$

حيث $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T_0^3 \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ في حرارة الغرفة — أي مقارِن للحمل الطبيعي: ففي غرفة، يحمل الإشعاع نحو نصف الحرارة الخارجة من جسم أو مشعّ. وبين صفيحتين سوداوين كبيرتين متوازيتين تكون كثافة التدفق الصافي $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$؛ ومن أجل صفيحتين رماديتين إصداريتاهما $\varepsilon_1$ و $\varepsilon_2$ تكون $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(1/\varepsilon_1 + 1/\varepsilon_2
- 1)$، وكل *درع إشعاعي* رقيق يوضع بينهما يقسمها أكثر — وهو مبدأ ترمس الخلاء ورقاقة الذهب على الأقمار الاصطناعية.

**برهان.** يصدر الجسم $\varepsilon\sigma T^4$ ويمتصّ الكسر $\alpha =
\varepsilon$ من إشعاع [الجسم الأسود](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) $\sigma T_0^4$ الذي يملأ الحيّز (بكيرشوف). ثم خطِّ $T^4 - T_0^4 \approx 4T_0^3(T - T_0)$. وأما الصفيحتان الرماديتان: فاجمع الانعكاسات المتعددة (وهي متتالية هندسية). ∎

**مثال 26.8 (الصقيع تحت سماء صافية، وآلة التصوير الحرارية).**

في ليلة صافية تشعّ السماء كجسم عند نحو $250\,\mathrm{K}$ (أي الجوّ الأعلى الجافّ)، بينما الهواء قرب الأرض عند $278\,\mathrm{K}$. وورقة أو سقف سيارة ($\varepsilon = 0.95$) يوازن ضياعه الإشعاعي إلى السماء بالحمل من الهواء ($h =
5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$): فإن $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$ تعطي $T
\approx 266\,\mathrm{K}$ — أي صقيع عند $-7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ على العشب بينما يقرأ مقياس الحرارة $+5$. وغيمة (تشعّ عند $275\,\mathrm{K}$) ترفع $T$ إلى $277\,\mathrm{K}$: فلا صقيع. وآلة التصوير الحرارية تقيس الإشعاعية قرب $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ وتحوّلها إلى حرارة بافتراض $\varepsilon \approx 0.95$؛ والمعدن المصقول ($\varepsilon = 0.1$) يعكس الغرفة في معظمه فيبدو عند حرارة الغرفة مهما كانت حرارته — ومن هنا الشريط الأسود الذي يلصقه المصورون الحراريون على الأجزاء اللامعة.

## 26.4 الشمس والأرض والدفيئة

**قضية 26.9 (الثابت الشمسي والحرارة الفعّالة).**

تسلّم الشمس (ونصف قطرها $R_\odot$، وحرارة سطحها $T_\odot$) عند البعد $d$ كثافة التدفق $S = \sigma T_\odot^4 (R_\odot/d)^2 =
1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ فوق جوّ الأرض (وهو *الثابت الشمسي*). وكوكب بياضه $A$ (أي الكسر المنعكس) يمتصّ $(1 - A)S\pi R^2$ ويشعّه، في الحالة المستقرة، من سطحه كله $4\pi R^2$ [كجسم أسود](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) عند *حرارته الفعّالة*

$$
T_{\text{e}} = \Big(\frac{(1 - A)S}{4\sigma}\Big)^{1/4} = 255\,\mathrm{K}
\quad\text{من أجل الأرض } (A = 0.30) .
$$

**برهان.** حفظ الطاقة: الممتصّ $=$ المصدَر، [والمقطع العرضي](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/23-the-laser-stimulated-emission-and-gaussian-beams#prop-b2-laser-gain) $\pi R^2$ من أجل الحزمة المعترَضة، والكرة كاملةً من أجل الإصدار (ليلًا ونهارًا، موزَّعًا بالدوران والدوران الجوي). ∎

![دفيئة الطبقة الواحدة: ضوء الشمس يعبر الجوّ ويدفئ الأرض؛ وتحت الأحمر الصادر عن الأرض تمتصّه الطبقة، فتشعّ نصفه صاعدًا ونصفه نازلًا — فيجب أن يشعّ السطح عندئذ ضعف ما يتلقاه من الشمس.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-2718ad439810.svg)

*دفيئة الطبقة الواحدة: ضوء الشمس يعبر الجوّ ويدفئ الأرض؛ وتحت الأحمر الصادر عن الأرض تمتصّه الطبقة، فتشعّ نصفه صاعدًا ونصفه نازلًا — فيجب أن يشعّ السطح عندئذ ضعف ما يتلقاه من الشمس.*

**قضية 26.10 (نموذج الدفيئة ذي الطبقة الواحدة).**

أحِط الكوكب بطبقة جوّ رقيقة شفافة لضوء الشمس لكنها تمتصّ كل ما يصدره السطح من تحت الأحمر، وتشعّ [كجسم أسود](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) عند $T_{\text{a}}$ صاعدًا ونازلًا. وفي الحالة المستقرة،

$$
T_{\text{a}} = T_{\text{e}}, \qquad
T_{\text{s}} = 2^{1/4}\,T_{\text{e}} = 303\,\mathrm{K} .
$$

وإذا امتصّت الطبقة الكسر $\varepsilon$ من تحت الأحمر وحده، كان $T_{\text{s}}^4 = T_{\text{e}}^4/(1 - \varepsilon/2)$؛ والقيمة المرصودة $288\,\mathrm{K}$ تقابل $\varepsilon \approx 0.78$. والسطح أدفأ من [الحرارة الفعّالة](#prop-b2-thermal-radiation-earth) لأنه يتلقى، زيادةً على الشمس، تحت الأحمر الذي يعيده الجوّ نازلًا — وهو *أثر الدفيئة*، ومقداره $33\,\mathrm{K}$ على الأرض، ولولاه لتجمدت المحيطات.

**برهان.** موازنة الطبقة: تمتصّ $\sigma T_{\text{s}}^4$، وتصدر $2\sigma
T_{\text{a}}^4$. وموازنة الكوكب منظورًا إليه من الفضاء: يصدر $\sigma
T_{\text{a}}^4 = (1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{e}}^4$. وموازنة السطح: يتلقى $(1 - A)S/4 + \sigma T_{\text{a}}^4 = 2\sigma T_{\text{e}}^4$، ويصدر $\sigma T_{\text{s}}^4$. وأما الطبقة الجزئية: فاستبدل بتحت الأحمر الممتصّ والمصدَر $\varepsilon\sigma T_{\text{s}}^4$ و $\varepsilon\sigma T_{\text{a}}^4$ ودع الكسر $1 - \varepsilon$ من إشعاع السطح يفلت مباشرة. ∎

![طيفا الشمس والأرض (وكلٌّ منظَّم إلى قمته) لا يكادان يتراكبان: فيمكن للجوّ أن يكون شفافًا لأحدهما كتيمًا للآخر. والمظلَّل: أهمّ عصابات امتصاص تحت الأحمر عند بخار الماء وثنائي أكسيد الكربون؛ وبينهما نافذة 8\,–13\, µ m التي يشعّ السطح عبرها إلى الفضاء مباشرة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-365e9f360c08.svg)

*طيفا الشمس والأرض (وكلٌّ منظَّم إلى قمته) لا يكادان يتراكبان: فيمكن للجوّ أن يكون شفافًا لأحدهما كتيمًا للآخر. والمظلَّل: أهمّ عصابات امتصاص تحت الأحمر عند بخار الماء وثنائي أكسيد الكربون؛ وبينهما نافذة $8\,$–$13\,\text{µ}\mathrm{m}$ التي يشعّ السطح عبرها إلى الفضاء مباشرة.*

**ملاحظة 26.11 (لمَ تكون الدفيئة انتقائية).**

يبلغ ضوء الشمس قمته عند $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$، وإشعاع الأرض عند $10\,\text{µ}\mathrm{m}$: فالطيفان لا يكادان يتراكبان، فيمكن لغاز أن يكون شفافًا للأول ماصًّا للثاني. والآزوت والأكسجين لا يمتصّان أيًّا منهما؛ وأما بخار الماء وثنائي أكسيد الكربون والميثان والأوزون فلها عصابات اهتزاز في تحت الأحمر وهي غازات الدفيئة. والنافذة بين $8\,$ و $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ هي ما تنظر عبره آلة التصوير الحرارية، وما تشير إليه $250\,\mathrm{K}$ لسماء الليل، وما تستغله دهانات التبريد الإشعاعي. وزجاج الدفيئة الحقيقية يفعل الشيء نفسه (شفاف عند $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$، كتيم عند $10\,\text{µ}\mathrm{m}$)، لكنه يحجب الحمل في معظمه — والاسم مجحف قليلًا.

**طريقة 26.12 (تقديرات الإشعاع).**

(1) $\lambda_{\max} = 2900\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}/T$ يقول أين يقع الطيف؛ (2) و $\varepsilon\sigma T^4$ في وحدة المساحة؛ (3) وأما التبادلات: فالمصدَر ناقصًا الممتصّ، مخطَّطًا $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T^3$ قرب حرارة الغرفة؛ (4) وأما الكوكب: $(1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{e}}^4$، ثم الطبقات؛ (5) وقارن بالتوصيل والحمل — فالإشعاع يغلب عند الحرارة العالية ($T^4$) وفي الخلاء؛ (6) وانتبه للإصداريات: فالمعادن اللامعة $0.05\,$، والدهانات والجلد والماء والتربة $\approx 0.9$–$0.98$ في تحت الأحمر مهما كان لونها المرئي.

## 26.5 تمارين

**تمرين 26.1 ★.**

أوجد $\lambda_{\max}$ و $\sigma T^4$ من أجل: الشمس ($5800\,\mathrm{K}$)، وإنسان ($310\,\mathrm{K}$)، وشعيرة مصباح ($2800\,\mathrm{K}$)، والخلفية الكونية ($2.73\,\mathrm{K}$)، والآزوت السائل ($77\,\mathrm{K}$)، ومسعار محمًّى ($900\,\mathrm{K}$). فأيّها مرئي؟

**حل التمرين 26.1.**

$\lambda_{\max}$: $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$، $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$، $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$، $1.06\,\mathrm{mm}$، $38\,\text{µ}\mathrm{m}$، $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ و $\sigma T^4$: $6.4 \times 10^{7}\,$، $520\,$، $3.5 \times 10^{6}\,$، $3.1 \times 10^{-6}\,$، $2.0\,$، $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. والمرئي: الشمس والشعيرة؛ والمسعار يتوهج أحمر باهتًا بذيله القصير الموجة، وهو جزء من عشرة آلاف من استطاعته.

**تمرين 26.2 ★.**

من $T_\odot = 5772\,\mathrm{K}$، و $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$، و $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$: أوجد [الثابت الشمسي](#prop-b2-thermal-radiation-earth)، ولمعان الشمس، والاستطاعة التي تعترضها الأرض ($R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$)، والقيمة نفسها مقسومة على $8 \times 10^9$ نسمة. وقارنها باستهلاك العالم من الاستطاعة ($2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$).

**حل التمرين 26.2.**

$S = \sigma T_\odot^4(R_\odot/d)^2 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$؛ و $L = 4\pi d^2S =
3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$؛ و $\pi R^2S = 1.7 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$؛ و $2 \times 10^{7}\,\mathrm{W}$ للفرد — أي تسعة آلاف ضعف استهلاك العالم.

**تمرين 26.3 ★.**

شخص: جلده عند $306\,\mathrm{K}$، و $\varepsilon = 0.98$، و $1.7\,\mathrm{m}^{2}$، في غرفة عند $293\,\mathrm{K}$. أوجد الاستطاعة المصدَرة والممتصّة والضياع الصافي؛ و المعامل الإشعاعي $h_{\text{r}}$؛ وقارنه بمقدار $100\,\mathrm{W}$ من الاستقلاب واستنتج ما يخصّ الثياب وما يخصّ غرفة $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ جدرانها باردة.

**حل التمرين 26.3.**

المصدَر $830\,\mathrm{W}$، والممتصّ $700\,\mathrm{W}$، والصافي $130\,\mathrm{W}$؛ و $h_{\text{r}} =
4\varepsilon\sigma T_0^3 = 5.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$. وهو أكثر من الاستقلاب: فالثياب تقلّصه؛ وجدران عند $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ تضيف نحو $50\,\mathrm{W}$ من الضياع — فيحسّ المرء بالبرد في هواء دافئ بين جدران باردة.

**تمرين 26.4 ★.**

مصباح $60\,\mathrm{W}$: شعيرة تنغستن عند $2800\,\mathrm{K}$، و $\varepsilon = 0.35$. أوجد المساحة المشعّة؛ وطول سلك $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ بتلك المساحة؛ ونحو $8\%$ من الاستطاعة مرئي: أوجد الاستطاعة الضوئية؛ وثنائيًّا باعثًا للضوء يعطي الضوء نفسه بمردود $30\%$.

**حل التمرين 26.4.**

$A = P/\varepsilon\sigma T^4 = 49\,\mathrm{mm}^{2}$؛ و $\ell = A/\pi d = 31\,\mathrm{cm}$؛ و $4.8\,\mathrm{W}$ من الضوء؛ وثنائي باعث للضوء $16\,\mathrm{W}$.

**تمرين 26.5 ★★.**

*الحدّان.* (أ) انشر $u_\nu$ لبلانك من أجل $h\nu \ll k_BT$ و عيّن الطاقة في النمط. (ب) وبيّن أن قانون رايلي–جينز يعطي طاقة كلية لانهائية. (ج) وعند $300\,\mathrm{K}$، أوجد التواتر الذي عنده $h\nu = k_BT$؛ واستنتج أن [الإشعاع الحراري](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) الراديوي والميكروي كلاسيكي. (د) وفي حدّ فين، فسّر $\eu^{-h\nu/k_BT}$.

**حل التمرين 26.5.**

(أ) $\eu^x - 1 \approx x$: $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\,k_BT$ — أي $k_BT$ في النمط. (ب) و $\int\nu^2\dd\nu$ يتباعد. (ج) و $\nu = k_BT/h = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{Hz}$ ($50\,\text{µ}\mathrm{m}$): فالراديو والميكروويف عند $300\,\mathrm{K}$ في عمق النظام الكلاسيكي (إذ ضجيج المقاومة $k_BT$ في وحدة عرض النطاق). (د) وهو احتمال أن يكون الكمّ $h\nu$ مثارًا عند $T$: أي عامل بولتزمان.

**تمرين 26.6 ★★.**

*فين.* (أ) استنتج $x = 5(1 - \eu^{-x})$ وحلّها عدديًّا حتى ثلاثة أرقام. (ب) وأوجد قيمة $\lambda_{\max}T$. (ج) وبيّن أن $u_\nu$ تبلغ قمتها عند $h\nu = 2.82\,k_BT$، وأن ذلك لا يقابل $c/\lambda_{\max}$: فلماذا؟ (د) وأوجد حرارة نجم يبلغ طيفه قمته عند $290\,\mathrm{nm}$؛ ولونه في العين.

**حل التمرين 26.6.**

(أ) $x = 4.965$. (ب) و $hc/4.965k_B = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$. (ج) و $x^3/(\eu^x - 1)$ يبلغ قمته حيث $3(1 - \eu^{-x}) = x$: أي $2.82$؛ والكثافتان في وحدة التواتر وفي وحدة طول الموجة تابعان مختلفان ($\dd\nu = c\,\dd\lambda/\lambda^2$) وقمتاهما في موضعين مختلفين. (د) و $10\,000\,\mathrm{K}$؛ أبيض مزرقّ.

**تمرين 26.7 ★★.**

*ستيفان.* (أ) نفّذ مكاملة قانون بلانك، مع $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$، وأوجد قيمة $\sigma$. (ب) وبرّر العامل $c/4$ بين الكثافة والخروجية. (ج) ومع $\int_0^\infty x^2\dd x/(\eu^x - 1) = 2.404$، أوجد عدد الفوتونات في وحدة الحجم عند $T$، ومتوسط طاقة الفوتون بوحدات $k_BT$. (د) وأوجد الفوتونات في السنتيمتر المكعب عند $300\,\mathrm{K}$ وعند $2.73\,\mathrm{K}$.

**حل التمرين 26.7.**

(أ) $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)T^4$، و $\sigma = cu/4T^4 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$. (ب) وتماثل المناحي وإسقاط $\cos\theta$: $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi = 1/4$ على نصف كرة. (ج) و $n = 8\pi \times 2.404\,(k_BT/hc)^3 = 60.4\,(k_BT/hc)^3$؛ ومتوسط الطاقة $(\pi^4/15)/2.404 = 2.70\,k_BT$. (د) و $5 \times 10^8$ و $400$ في السنتيمتر المكعب.

**تمرين 26.8 ★★.**

*الدروع.* صفيحتان سوداوان كبيرتان عند $T_1$ و $T_2$. (أ) أوجد التدفق الصافي. (ب) وتوضع بينهما صفيحة سوداء رقيقة: أوجد حرارتها والتدفق الجديد. (ج) و $n$ صفيحة. (د) وصفيحتان رماديتان إصداريتهما $\varepsilon$: بيّن أن التدفق $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon - 1)$ واحسبه من أجل سطوح مصقولة ($\varepsilon = 0.05$) عند $300\,\mathrm{K}$ و $77\,\mathrm{K}$ — أي ترمس الخلاء.

**حل التمرين 26.8.**

(أ) $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$. (ب) و $T_{\text{s}}^4 = (T_1^4 + T_2^4)/2$؛ أي النصف. (ج) و $1/(n + 1)$. (د) وبجمع الانعكاسات، $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon -
1)$؛ ومن أجل $\varepsilon = 0.05$: $460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/39 = 12\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — فترمس مساحته $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ يفقد $0.6\,\mathrm{W}$، فيغلي ربع كيلوغرام من الآزوت في اليوم.

**تمرين 26.9 ★★.**

*صقيع الليل.* سطح $\varepsilon = 0.95$، والسماء عند $250\,\mathrm{K}$، والهواء عند $278\,\mathrm{K}$ مع $h = 5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$. (أ) اكتب الموازنة وحلّها من أجل حرارة السطح. (ب) وتحت غيمة عند $275\,\mathrm{K}$. (ج) ولمَ تمنع الريح الصقيع؟ (د) ولمَ تنجو منه سيارة تقف تحت شجرة؟

**حل التمرين 26.9.**

(أ) $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$: $T \approx 266\,\mathrm{K}$. (ب) و $277\,\mathrm{K}$. (ج) و $h$ أكبر يثبّت السطح على حرارة الهواء. (د) والظلّة عند $278\,\mathrm{K}$ تحلّ محلّ سماء $250\,\mathrm{K}$.

**تمرين 26.10 ★★★.**

*الكواكب.* (أ) أوجد الحرارات الفعّالة للزهرة ($S = 2600\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، و $A = 0.75$)، والأرض، والمريخ ($S = 590\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، و $A = 0.25$). (ب) وحرارات سطوحها $737\,\mathrm{K}$، و $288\,\mathrm{K}$، و $215\,\mathrm{K}$: أوجد تدفئة الدفيئة لكل منها. (ج) وفي النموذج ذي $n$ طبقة كتيمة، بيّن أن $T_{\text{s}}^4 = (n + 1)T_{\text{e}}^4$؛ وكم طبقة تلزم للزهرة؟ (د) والقمر: $A = 0.12$، بلا جوّ، وبطيء الدوران — أوجد حرارة النقطة تحت الشمس، ولمَ تهبط جهته الليلية إلى $100\,\mathrm{K}$.

**حل التمرين 26.10.**

(أ) $231\,\mathrm{K}$، $255\,\mathrm{K}$، $210\,\mathrm{K}$. (ب) و $506\,\mathrm{K}$، $33\,\mathrm{K}$، $5\,\mathrm{K}$. (ج) وكل طبقة كتيمة تشعّ صاعدًا ونازلًا؛ والموازنات تعطي $T_k^4 = (k + 1)T_{\text{e}}^4$ من الأعلى: $n \approx 100$ للزهرة. (د) و $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} = 381\,\mathrm{K}$؛ ومن دون جوّ لا شيء ينقل الحرارة إلى الجهة الليلية، والثرى يخزن قليلًا: فيشعّ السطح حرارة نهاره في نحو يوم ويستقر قرب $100\,\mathrm{K}$.

**تمرين 26.11 ★★★.**

*حساسية المناخ بلا [تغذيات راجعة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/9-electronics-feedback-oscillators-and-signal-acquisition#def-b2-feedback-oscillators-loop).* (أ) خطِّ الموازنة الكوكبية: فقسر زائد صغير $\Delta F$ (بالوحدة $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$) عند قمة الجوّ يرفع [الحرارة الفعّالة](#prop-b2-thermal-radiation-earth) بمقدار $\Delta T
= \Delta F/4\sigma T_{\text{e}}^3$. احسب $4\sigma T_{\text{e}}^3$. (ب) وتضعيف ثنائي أكسيد الكربون قسر مقداره نحو $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: أوجد $\Delta T$ في هذا النموذج. (ج) وطبقة المحيط الممزوجة ($50\,\mathrm{m}$ من الماء) تخزن الحرارة: أوجد ثابت زمن الاستجابة. (د) ولمَ تجعل التغذيتان الراجعتان لبخار الماء ولبياض الجليد الحساسية الحقيقية أكبر مما في (ب)؟

**حل التمرين 26.11.**

(أ) $4\sigma T_{\text{e}}^3 = 3.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$. (ب) و $1.0\,\mathrm{K}$. (ج) و $C =
2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$، و $\tau = C/4\sigma T_{\text{e}}^3 \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، أي سنتان. (د) والهواء الأدفأ يحمل بخار ماء أكثر (وهو غاز دفيئة) ويصهر الجليد (فينقص البياض): فكلاهما يضخّم التدفئة الأولى.

**تمرين 26.12 ★★★.**

*قياس الحرارة الإشعاعي.* (أ) في حدّ فين، بيّن أن نسبة الإشعاعيتين عند طولي موجة، $\lambda_1$ و $\lambda_2$، تعطي $T$ مستقلًّا عن إصدارية رمادية. (ب) وقضيب فولاذ: $M_{0.65}/M_{0.9}
= 0.10$: أوجد الحرارة. (ج) وآلة تصوير حرارية عند $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ تفترض $\varepsilon = 0.95$؛ وتنظر إلى ألمنيوم مصقول ($\varepsilon = 0.1$) عند $350\,\mathrm{K}$ في غرفة عند $293\,\mathrm{K}$: ففي النظام المخطَّط، أي حرارة تعلن؟ (د) ولمَ يُقرأ سطح مدهون بجوار الألمنيوم، عند $350\,\mathrm{K}$ نفسها، قراءةً صحيحة؟

**حل التمرين 26.12.**

(أ)

$$
\frac{M_1}{M_2} = \Big(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\Big)^5\exp\Big[-\frac{hc}{k_BT}\Big(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\Big)\Big] :
$$

فيُختصر $\varepsilon$. (ب) و $T = 14\,388\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K} \times 0.427/(5\ln 1.385 +
\ln 10) = 1570\,\mathrm{K}$. (ج) والمتلقَّى $\propto 0.1 \times 350 + 0.9 \times 293 =
299$؛ والمعلَن $(299 - 0.05 \times 293)/0.95 \approx 299\,\mathrm{K}$: فتخطئ $350\,\mathrm{K}$. (د) لأن [إصداريته](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) هي المفترَضة.

![الجسمان الأسودان في هذا الفصل: الشمس، عند 5800\, K، منظورًا إليها من مرصد ديناميكا الشمس في فوق البنفسجي الأقصى، والأرض، عند 288\, K، مصوَّرةً من طاقم أبولو 17 — وقمتاهما عند 0.5\, µ m وعند 10\, µ m (ناسا).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/img-d1ebe2a831a9.jpg)

![الجسمان الأسودان في هذا الفصل: الشمس، عند 5800\, K، منظورًا إليها من مرصد ديناميكا الشمس في فوق البنفسجي الأقصى، والأرض، عند 288\, K، مصوَّرةً من طاقم أبولو 17 — وقمتاهما عند 0.5\, µ m وعند 10\, µ m (ناسا).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/img-6ea4b7215b88.jpg)

*الجسمان الأسودان في هذا الفصل: الشمس، عند $5800\,\mathrm{K}$، منظورًا إليها من مرصد ديناميكا الشمس في فوق البنفسجي الأقصى، والأرض، عند $288\,\mathrm{K}$، مصوَّرةً من طاقم أبولو 17 — وقمتاهما عند $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ وعند $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ (ناسا).*

## 26.6 مسألة: ميزانية طاقة الأرض والمصباح المتوهج

**مسألة 26.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — الأجسام السوداء من الشمس إلى الشعيرة

المعطيات: $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$، و $\lambda_{\max}T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$، و $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$، و $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$، و $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ والشمس: $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$، و $d = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$؛ والأرض: $R =
6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$، وبياضها $0.30$.

**الجزء الأول — الشمس جسمًا أسود.**

1. يبلغ الطيف الشمسي قمته عند $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : أوجد حرارة السطح.
2. وخروجية السطح واللمعان الكلي.
3. [والثابت الشمسي](#prop-b2-thermal-radiation-earth) عند الأرض؛ وكثافة طاقة ضوء الشمس هناك وضغطه.
4. ومتوسط طاقة الفوتون ( $\approx 2.7\,k_BT$ ) وعدد الفوتونات الشمسية في الثانية في المتر المربع عند الأرض.
5. وقد أشعّت الشمس بهذا المعدل $4.5 \times 10^9$ سنة: أوجد الطاقة المصدَرة؛ وقارنها بالمقدار $Mc^2$ من أجل $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

**الجزء الثاني — الأرض بلا جوّ.**

6. أوجد الاستطاعة الممتصّة من الأرض؛ [والحرارة الفعّالة](#prop-b2-thermal-radiation-earth) .
7. ولمَ تقسم الموازنة على $4$ ؟ وأي حرارة كانت تكون عند النقطة تحت الشمس من أرض لا تدور ولا جوّ لها ( $A = 0.30$ )؟
8. والقمر ( $A = 0.12$ ): أوجد الحرارة تحت الشمس؛ ولمَ تهبط جهته الليلية إلى $100\,\mathrm{K}$ (فكّر في الحرارة المخزونة في الثرى في أثناء النهار الذي يدوم أسبوعين، و $1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ فعّالة).
9. وطول موجة قمة إصدار الأرض؛ وقارنه بقمة الشمس.
10. ولو رفع مزيد من الجليد أو الغيوم البياضَ إلى $0.35$ ، فبكم كانت تهبط [الحرارة الفعّالة](#prop-b2-thermal-radiation-earth) ؟

**الجزء الثالث — الدفيئة.**

11. اكتب الموازنات الثلاث (الفضاء، والطبقة، والسطح) في نموذج الطبقة الواحدة واحصل على $T_{\text{s}} = 2^{1/4}T_{\text{e}}$ .
12. ومع طبقة تمتصّ الكسر $\varepsilon$ من تحت الأحمر: أوجد $T_{\text{s}}(\varepsilon)$ ؛ وقيمة $\varepsilon$ التي تعطي $288\,\mathrm{K}$ .
13. وأي الغازات يمتصّ وأيّها لا يمتصّ، وفي أي عصابة من أطوال الموجة؛ وما النافذة الجوية؟
14. وتحت الأحمر الذي يعيده الجوّ إلى الأرض، بالوحدة $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ، في نموذج $\varepsilon = 0.78$ ؛ وقارنه بضوء الشمس الممتصّ.
15. وقسر مقداره $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (بتضعيف ثنائي أكسيد الكربون): أوجد تغيّر الحرارة $\Delta T = \Delta F/4\sigma T_{\text{e}}^3$ بلا [تغذيات راجعة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/9-electronics-feedback-oscillators-and-signal-acquisition#def-b2-feedback-oscillators-loop) .
16. والسعة الحرارية لطبقة محيط ممزوجة $50\,\mathrm{m}$ في المتر المربع وثابت زمن الاستجابة.
17. ولمَ تبرّد الغيوم (بالبياض) وتدفّئ (بتحت الأحمر) السطح؛ وأي الأثرين يغلب ليلًا؟

**الجزء الرابع — المصباح المتوهج.** لمصباح $60\,\mathrm{W}$ شعيرة تنغستن عند $2800\,\mathrm{K}$، و $\varepsilon = 0.35$؛ والكسر من استطاعة [الجسم الأسود](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) الذي يقع في المرئي ($0.4$–$0.7\,\text{µ}\mathrm{m}$) هو $0.08$ عند $2800\,\mathrm{K}$ و $0.14$ عند $3200\,\mathrm{K}$.

18. أوجد المساحة المشعّة للشعيرة؛ وطول سلك $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ له تلك المساحة؛ ولمَ يكون ملفوفًا؟
19. وطول موجة القمة؛ والاستطاعة المرئية؛ والمردود الضوئي.
20. ومقاومة الشعيرة في التشغيل عند $230\,\mathrm{V}$ ؛ ومقاومية التنغستن أصغر نحو عشر مرات في حرارة الغرفة: أوجد التيار عند التشغيل، ونتيجةً لذلك.
21. وعند $3200\,\mathrm{K}$ : أوجد المساحة اللازمة للاستطاعة $60\,\mathrm{W}$ نفسها والاستطاعة المرئية؛ ولمَ لا يُشغَّل كل مصباح عند $3200\,\mathrm{K}$ (إذ يتضاعف معدل تبخر التنغستن تقريبًا كل $50\,\mathrm{K}$ )؟
22. وماذا تفعل دورة الهالوجين، ولمَ تسمح بشعيرة أسخن؟
23. وأين يذهب باقي $60\,\mathrm{W}$ ، ولمَ يبلغ زجاج المصباح $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ؟
24. وزمن تبريد الشعيرة بعد الإطفاء: قدّره من كتلتها ( $20\,\mathrm{mg}$ ، و $c = 140\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) ومن استطاعتها المشعّة.
25. ولخّص: ما الذي تثبّته حرارة [جسم أسود](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) ، وما الذي يشترك فيه الشعيرة والشمس والأرض.

**حل المسألة 26.1.**

**1.** $5800\,\mathrm{K}$.

**2.** $6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$؛ و $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$.

**3.** $L/4\pi d^2 = 1.37 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$؛ و $u = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$؛ و $P = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ إذا امتُصّ، وضعف ذلك إذا انعكس.

**4.** $2.7k_BT = 2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ (أي $1.35\,\mathrm{eV}$)؛ و $6 \times 10^{21}$ فوتونًا في الثانية في المتر المربع.

**5.** $3.9 \times 10^{26} \times 1.4 \times 10^{17} = 5.5 \times 10^{43}\,\mathrm{J}$؛ و $Mc^2 =
1.8 \times 10^{47}\,\mathrm{J}$: أي ثلاثة أجزاء من عشرة آلاف من كتلتها.

**6.** $1.2 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$؛ و $T_{\text{e}} = 255\,\mathrm{K}$.

**7.** تُعترَض على $\pi R^2$، وتُصدَر من $4\pi R^2$ بفضل الدوران والرياح؛ وأما النقطة تحت الشمس وحدها: $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} =
360\,\mathrm{K}$.

**8.** $381\,\mathrm{K}$؛ وليلًا تنزف الحرارة المخزونة ($\sim C\Delta T$) بالإشعاع بثابت الزمن $C/4\sigma T^3 \approx 1\,\mathrm{d}$، وهو قصير في وجه أسبوعي الظلام: فتهبط الأرض إلى حيث يوازن إشعاعها ما ينساب من تحت، أي $100\,\mathrm{K}$.

**9.** $10\,\text{µ}\mathrm{m}$، أي عشرون ضعف قمة الشمس.

**10.** $(0.65/0.70)^{1/4} = 0.982$: أي أدنى بمقدار $4.7\,\mathrm{K}$، أي $250\,\mathrm{K}$.

**11.** الفضاء: $\sigma T_{\text{a}}^4 = \sigma T_{\text{e}}^4$؛ والطبقة: $\sigma
T_{\text{s}}^4 = 2\sigma T_{\text{a}}^4$؛ والسطح: $\sigma T_{\text{s}}^4 = \sigma
T_{\text{e}}^4 + \sigma T_{\text{a}}^4$. ومن ثَمّ $T_{\text{s}} = 2^{1/4}T_{\text{e}} = 303\,\mathrm{K}$.

**12.** $T_{\text{s}}^4 = T_{\text{e}}^4/(1 - \varepsilon/2)$؛ و $(288/255)^4 = 1.63$ يعطي $\varepsilon = 0.77$.

**13.** بخار الماء وثنائي أكسيد الكربون والميثان والأوزون تمتصّ في تحت الأحمر (بعصابات اهتزاز: H$_2$O حول $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ وبعد $17\,\text{µ}\mathrm{m}$، و CO$_2$ عند $15\,\text{µ}\mathrm{m}$)؛ وأما N$_2$ و O$_2$ فلا (إذ لا ثنائي قطب لهما)؛ والنافذة $8\,$–$13\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**14.** $T_{\text{a}}^4 = T_{\text{s}}^4/2$: $\varepsilon\sigma T_{\text{a}}^4 \approx
150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$، في وجه $238\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ من ضوء الشمس الممتصّ (وجوّ متعدد الطبقات يعيد أكثر، نحو $330\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$).

**15.** $3.7/3.8 \approx 1\,\mathrm{K}$.

**16.** $2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$؛ و $\tau \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، أي سنتان.

**17.** تعكس ضوء الشمس وتشعّ تحت الأحمر نازلًا؛ وليلًا لا يعمل إلا الثاني: فالليالي الغائمة أدفأ.

**18.** $49\,\mathrm{mm}^{2}$؛ و $31\,\mathrm{cm}$؛ وهي ملفوفة لتتسع وللتقليل من الضياعات الحملية إلى الغاز المالئ.

**19.** $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ و $4.8\,\mathrm{W}$؛ و $8\%$.

**20.** $R = V^2/P = 880\,\Omega$؛ وباردةً $88\,\Omega$: أي $2.6\,\mathrm{A}$ بدل $0.26\,\mathrm{A}$ — فالمصابيح تنقطع عند التشغيل.

**21.** $49 \times (2800/3200)^4 = 29\,\mathrm{mm}^{2}$؛ و $8.4\,\mathrm{W}$ مرئية؛ وثماني مضاعفات للتبخر، أي عمر أقصر $250$ مرة — أي ساعات.

**22.** يرتبط التنغستن المتبخر بالهالوجين ويعود إلى الشعيرة الساخنة بدل أن يسوّد الزجاج: فشعيرة أسخن بعمر عادي، في غلاف كوارتز صغير.

**23.** $55\,\mathrm{W}$ من تحت الأحمر والتوصيل عبر الغاز؛ والزجاج يمتصّ جزءًا من تحت الأحمر.

**24.** $C = 2.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$؛ ومع $P \propto T^4$، يكون زمن انتصاف $T$ هو $7CT_0/3P \approx 0.3\,\mathrm{s}$ — والتوهج يتبع الشبكة بتأخر $0.04\,\mathrm{s}$، ولهذا لا يكاد يومض.

**25.** تثبّت الحرارة شكل الطيف وقمته ($\lambda_{\max}T$)، والمجموع ($\sigma T^4$)؛ والشعيرة والشمس والأرض ثلاثة أجسام سوداء، عند $2800\,$ و $5800\,$ و $288\,\mathrm{K}$، وكلٌّ منها يوازن ما يتلقاه بالمقدار $\sigma T^4$.