--- title: "معادلة شرودنغر والتوابع الموجية" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثانية" subject: physics language: ar chapter: 30 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/30-the-schrodinger-equation-and-wave-functions --- # الفصل 30 — معادلة شرودنغر والتوابع الموجية أطلق الإلكترونات واحدًا واحدًا على شقّين وسجّل أين تقع كل واحدة: نقطة هنا، ونقطة هناك، عشوائيًّا في الظاهر — وبعد عشرة آلاف نقطة، هدب تجربة يونغ، كأن كل إلكترون مرّ من الشقّين معًا وتداخل مع نفسه. وقد لقي الفصل الأخير من مجلد السنة الأولى هذه الغرابة: فالضوء يأتي في فوتونات، وللمادة طول موجة $\lambda = h/p$، ولا يمكن أن يكون الموضع و كمية الحركة حادّين معًا. وما لم يعطه هو *المعادلة* — أي القاعدة التي تقول كيف تتطور الموجة المرافقة لجسيم، كما يقول قانون نيوتن كيف يتطور مسار. وتلك المعادلة هي معادلة شرودنغر (1926)، وبها يصير الوصف الكمومي نظرية قابلة للحساب: إذ يُكتَب *[تابع موجي](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi)* $\psi(x,t)$، مربع طويلته احتمال إيجاد الجسيم، وتُحلّ معادلة تفاضلية جزئية خطية. وهذا الفصل يذكر المعادلة، ويفسّر ما تعنيه $\psi$ وما لا تعنيه، ويجد حالاتها المستقرة ورزم الموجات للجسيم الحر، ويبيّن أين يظهر ميكانيك نيوتن من جديد — من أجل كل ما هو أثقل من جزيء. ![مجهر إلكتروني نافذ: للإلكترونات المسرَّعة إلى مئة كيلوفولط طول موجة قدره بضعة بيكومترات، ويصوّر تابعها الموجي، مجمَّعًا بعدسات مغناطيسية، ذرات بلورة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/img-1442287aca04.jpg) *مجهر إلكتروني نافذ: للإلكترونات المسرَّعة إلى مئة كيلوفولط طول موجة قدره بضعة بيكومترات، ويصوّر تابعها الموجي، مجمَّعًا بعدسات مغناطيسية، ذرات بلورة.* ## 30.1 ما تركه لنا مجلد السنة الأولى **قضية 30.1 (الجسيمات أمواج).** لفوتون تواتره $\nu$ الطاقة $E = h\nu = \hbar\omega$ وكمية الحركة $p = h/\lambda = \hbar k$؛ والجسيم المادي الذي كمية حركته $p$ يتصرف موجةً طول موجتها $\lambda = h/p$ (دي برولي)، مع $E = \hbar\omega$ و $p = \hbar k$ أيضًا — [وحيود](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#def-b2-diffraction-huygens) الإلكترونات على البلورات، وقياس التداخل بالنترونات بل بالجزيئات يؤكد ذلك؛ ولا حالة تكون فيها الموضع وكمية الحركة أحدّ من $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ (هايزنبرغ). ومع $\hbar = h/2\pi = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$: لإلكترون عند $100\,\mathrm{eV}$ $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$، أي حجم ذرة؛ ولحبيبة غبار $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ عند $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ $\lambda = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$، أي أصغر من نواة — فتتصرف تصرفًا كلاسيكيًّا. **برهان.** مذكور من مجلد السنة الأولى؛ والمهمة الآن ديناميك الموجة. ∎ ![نقش حيود إلكتروني مسجَّل في مجهر إلكتروني (وهو نقش كيكوتشي من بلورة): إلكترونات طول موجتها بضعة بيكومترات، محيدة على المستويات الذرية — أي المادة تتصرف موجةً (المعهد الوطني الأمريكي للمعايير والتقانة).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/img-c37c29222fce.jpg) *نقش [حيود](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#def-b2-diffraction-huygens) إلكتروني مسجَّل في مجهر إلكتروني (وهو نقش كيكوتشي من بلورة): إلكترونات طول موجتها بضعة بيكومترات، محيدة على المستويات الذرية — أي المادة تتصرف موجةً (المعهد الوطني الأمريكي للمعايير والتقانة).* ## 30.2 التابع الموجي **تعريف 30.2 (التابع الموجي وقاعدة بورن).** تُوصَف حالة جسيم يتحرك وفق $x$ بواسطة *تابع موجي* عقدي $\psi(x,t)$ بحيث يكون $$ \dd\mathcal P = |\psi(x,t)|^2\,\dd x $$ احتمال إيجاد الجسيم بين $x$ و $x + \dd x$ عند اللحظة $t$ (وهي *قاعدة بورن*)؛ ومن ثَمّ *التنظيم* $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2\dd x = 1$، و القيم المتوقعة $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\dd x$، و $\Delta x^2 = \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2$. والتوابع الموجية تحقق *مبدأ التراكب*: فإذا كانت $\psi_1$ و $\psi_2$ حالتين ممكنتين، كانت $\alpha\psi_1 + \beta\psi_2$ كذلك (منظَّمةً)، وتحوي الاحتمالات عندئذ حدّ التداخل $2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\,\psi_1^*\psi_2)$. وعامل الطور الشامل $\eu^{\iu\theta}$ لا يغيّر شيئًا؛ أما الطور النسبي بين مركّبتين متراكبتين فيغيّر التداخل. **ملاحظة 30.3 (ما ليست ψ\psiψ).** ليست $\psi$ حقلًا كلاسيكيًّا منتشرًا في الفضاء مثل $\vect E$، ولا غيمة مادة: فالإلكترون يوجد دائمًا كاملًا، في نقطة واحدة. و $\psi$ *سعة احتمال*، وهي الشيء الذي يتداخل؛ ولا يُرصَد إلا $|\psi|^2$، ولا إحصائيًّا إلا، بتكرار التجربة على جسيمات محضَّرة تحضيرًا متطابقًا. ونقاط الشقّين إلكترونات مفردة؛ والهدب هي $|\psi_1 + \psi_2|^2$. ## 30.3 معادلة شرودنغر **مبرهنة 30.4 (معادلة شرودنغر).** لجسيم كتلته $m$ في طاقة كامنة $V(x)$ [تابع موجي](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) يحقق $$ \iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi . $$ وهي خطية (فالتراكب)، ومن المرتبة الأولى في الزمن ([فالتابع الموجي](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) عند لحظة يحدده في كل اللحظات التالية)، وعقدية ($\psi$ لا يمكن أن تكون حقيقية: فالوحدة التخيلية $\iu$ جوهرية). وهي *مصادرة*، تبرّرها نتائجها. **برهان.** تسويغ لا برهان. فالجسيم الحرّ ذو كمية الحركة الحادّة $p = \hbar k$ والطاقة $E = \hbar\omega$ ينبغي أن يكون موجة مستوية $\psi = A\eu^{\iu(kx - \omega t)}$، ولها $\iu\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi = E\psi$ و $-(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi = (\hbar^2k^2/2m)\psi = (p^2/2m)\psi$. فالعلاقة الكلاسيكية $E = p^2/2m$ تعيد إنتاجها المعادلة $\iu\hbar\partial_t\psi = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi$، والتعميم الطبيعي من أجل $E = p^2/2m + V$ يضيف $V\psi$. ولاحظ أن المعادلة يجب أن تكون خطية لتصحّ من أجل تراكبات الأمواج المستوية، و من المرتبة الأولى في الزمن مع $\iu$ حتى يكون $\eu^{-\iu\omega t}$ لا $\cos\omega t$ هو التعلق بالزمن — إذ كانت معادلة أمواج حقيقية تعطي $E^2 \propto p^4$. ∎ **قضية 30.5 (حفظ الاحتمال).** كثافة الاحتمال $\rho = |\psi|^2$ و*تيار الاحتمال* $$ j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big) = \frac{\hbar}{2\iu m}\Big(\psi^*\partial_x\psi - \psi\,\partial_x\psi^*\Big) $$ يحققان $\partial_t\rho + \partial_xj = 0$: فالاحتمال لا يُحدَث ولا يُتلَف، ويبقى $\int|\psi|^2\dd x$ مساويًا $1$. ومن أجل موجة مستوية $A\eu^{\iu kx}$، $j = |A|^2\hbar k/m = \rho v$: أي الكثافة في السرعة، كما في أي جريان. **برهان.** $\partial_t(\psi^*\psi) = \psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*$؛ ومن المعادلة ومرافقتها، $\partial_t\psi = (\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi - (\iu/\hbar)V\psi$، و $\partial_t\psi^* = -(\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi^* + (\iu/\hbar)V\psi^*$؛ فيُختصر حدّا $V$ والباقي هو $(\iu\hbar/2m)(\psi^* \partial_x^2\psi - \psi\,\partial_x^2\psi^*) = -\partial_xj$. ∎ **قضية 30.6 (كمية الحركة والقيم المتوقعة والحدّ الكلاسيكي).** تُنال كمية حركة حالة بالمؤثر $\hat p = -\iu\hbar\,\partial_x$ (الذي يعطي $\hbar k$ على موجة مستوية): $\langle p\rangle = \int\psi^*(-\iu\hbar\partial_x\psi)\dd x$، وتُنال الطاقة بالمؤثر $\hat H = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2 + V$. والقيم المتوقعة تحقق (إهرنفست) $$ \frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t} = -\Big\langle\frac{\dd V}{\dd x}\Big\rangle : $$ فمركز [رزمة الموجة](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-free) يتبع قانون نيوتن بالضبط حين تكون $V$ تربيعية على الأكثر، وبالتقريب متى كانت الرزمة ضيقة بالقياس إلى السلّم الذي تتغير عليه $V$ — وهو الحدّ الكلاسيكي، وهو يصحّ من أجل أي جسم عياني لأن $\hbar$ صغيرة إلى هذا الحدّ. **برهان.** اشتقّ $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2$، واستعمل $\partial_t\rho = -\partial_xj$ وكامِل بالتجزئة: $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int j\,\dd x = \langle p\rangle/m$. والعلاقة الثانية هي الحساب نفسه من مرتبة أعلى (وهو مقبول هنا). ∎ ## 30.4 الحالات المستقرة **مبرهنة 30.7 (الحالات المستقرة).** إذا لم تتعلق $V$ بالزمن، كانت للمعادلة حلول من الشكل المفصول $$ \psi(x,t) = \varphi(x)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}, \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi $$ (وهي *معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن*): أي *الحالات المستقرة*، ذات الطاقة المعيَّنة $E$، وكثافة احتمالها $|\varphi|^2$ لا تتحرك. والطاقات $E$ التي تكون $\varphi$ من أجلها مقبولة (محدودة، وقابلة للتنظيم في حالة مرتبطة) هي *مستويات الطاقة*؛ والحلّ العام تراكب $\psi = \sum_nc_n\varphi_n(x)\eu^{-\iu E_nt/\hbar}$، ولتراكب مستويين كثافة تتذبذب عند *تواتر بور* $\nu_{21} = (E_2 - E_1)/h$ — وهو تواتر الضوء الذي تصدره الذرة أو تمتصّه. **برهان.** عوّض $\varphi(x)f(t)$: $\iu\hbar f'/f = (-\hbar^2\varphi''/2m + V\varphi)/\varphi$، أي تابع في $t$ يساوي تابعًا في $x$، فهو ثابت $E$؛ و $f = \eu^{-\iu Et/\hbar}$. ومن أجل مستويين، $|c_1\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + c_2\varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar}|^2 = |c_1\varphi_1|^2 + |c_2\varphi_2|^2 + 2\operatorname{Re}(c_1^*c_2\varphi_1^*\varphi_2\eu^{-\iu(E_2 - E_1)t/\hbar})$. وتمام [الحالات المستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) مقبول. ∎ ![حالة مستقرة: المقطع المكاني (x) (وهو هنا الحالة الأساسية لبئر) مضروبًا في شعاع طوري يدور بالمعدل E/؛ فيدور الجزآن الحقيقي والتخيلي أحدهما في الآخر بينما يقف | |2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-a51af73ab9dc.svg) *[حالة مستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary): المقطع المكاني $\varphi(x)$ (وهو هنا الحالة الأساسية لبئر) مضروبًا في [شعاع طوري](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/21-multiple-wave-interference-and-gratings#thm-b2-gratings-nwaves) يدور بالمعدل $E/\hbar$؛ فيدور الجزآن الحقيقي والتخيلي أحدهما في الآخر بينما يقف $|\psi|^2$.* ![تراكب أدنى حالتين في بئر: تتمايل الكثافة من جهة إلى أخرى عند تواتر بور (E_2 - E_1)/h — أي شحنة متذبذبة، ومن ثَمّ () ثنائي قطب مشعّ عند تواتر الخط الطيفي بالضبط.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-1080615e3d33.svg) *تراكب أدنى حالتين في بئر: تتمايل الكثافة من جهة إلى أخرى عند [تواتر بور](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) $(E_2 - E_1)/h$ — أي شحنة متذبذبة، ومن ثَمّ ([الفصل 17](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/17-dipole-radiation-and-scattering#ch-b2-dipole-radiation)) ثنائي قطب مشعّ عند تواتر الخط الطيفي بالضبط.* ## 30.5 الجسيم الحرّ: الأمواج المستوية ورزم الموجات **قضية 30.8 (الجسيم الحرّ).** من أجل $V = 0$ تكون [الحالات المستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) هي الأمواج المستوية $\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ مع $$ E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}, \qquad v_{\text{g}} = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} : $$ فأمواج المادة *مبدِّدة*؛ وليس [لسرعة الطور](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) معنى فيزيائي، و*[سرعة المجموعة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)* هي سرعة الجسيم. والموجة المستوية غير قابلة للتنظيم — إذ الجسيم ذو كمية الحركة الحادّة تمامًا منتشر على الفضاء كله — ومن ثَمّ فالجسيم الحقيقي *رزمة موجة*، أي تراكب أمواج مستوية على نطاق $\Delta k$، موضَّعة على $\Delta x \sim 1/\Delta k$، تتحرك بالسرعة $v_{\text{g}}$ و *تنتشر*: فرزمة غاوسية عرضها الابتدائي $\sigma_0$ لها عند اللحظة $t$ العرض $$ \sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \Big(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Big)^2}, \qquad \tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar} , $$ وتحقق $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ عند $t = 0$ (وهو الأصغر المسموح) وأكثر منه لاحقًا. **برهان.** تنتج [علاقة التبدد](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) من المعادلة؛ و $v_{\text{g}}$ كما في [الفصل 8](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#ch-b2-dispersion-wave-packets). وتأتي صيغة الانتشار من تركيب فورييه للرزمة — إذ تلتقط كل مركّبة $\eu^{\iu kx}$ الطور $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$، ويعطي التكامل الغاوسي بمعامل عقدي غاوسيًّا متزايد العرض؛ وتكامل فورييه أداة مجلد رياضيات السنة الثالثة ونقبل النتيجة. وأما فيزيائيًّا: فالرزمة تحوي كميات حركة منتشرة على $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$، ومن ثَمّ سرعات منتشرة على $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$، وبعد $t$ تكون المركّبات الأسرع قد سبقت الأبطأ بالمقدار $\Delta v\,t$ — وهذا ما تقوله الصيغة بالضبط. ∎ ![على اليسار: منحني تبدد الجسيم الحرّ، مع سرعة المجموعة (وهي المماس) وسرعة الطور (وهي الوتر إلى المبدأ)، وهي نصفها. وعلى اليمين: رزمة غاوسية تتحرك بالسرعة v_ g وتنتشر — وعرضها أكبر بالعامل √2 بعد = 2m _02/، وقمتها أدنى، ومساحتها ثابتة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-4d2b3338b9cc.svg) *على اليسار: منحني تبدد الجسيم الحرّ، مع [سرعة المجموعة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) (وهي المماس) [وسرعة الطور](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) (وهي الوتر إلى المبدأ)، وهي نصفها. وعلى اليمين: رزمة غاوسية تتحرك بالسرعة $v_{\text{g}}$ وتنتشر — وعرضها أكبر بالعامل $\sqrt2$ بعد $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$، وقمتها أدنى، ومساحتها ثابتة.* **مثال 30.9 (من ينتشر).** إلكترون موضَّع ضمن $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$: $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — فبعد نانوثانية تصير رزمته بعرض $60\,\text{µ}\mathrm{m}$: فالإلكترون المتروك وحده لا يبقى في مكانه؛ وهو مرتبطًا في ذرة لا ينتشر لأن الكمون يمسكه (أي [حالة مستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary)). وحبيبة غبار $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ موضَّعة في $1\,\text{µ}\mathrm{m}$: $\tau = 2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، أي ثمانية أشهر؛ ورصاصة: أطول من عمر الكون. فالانتشار الكمومي حقيقي، وغير مرئي في كل ما يمكن رؤيته. **ملاحظة 30.10 (الطاقة والزمن).** الحالة التي لا توجد إلا خلال $\Delta t$ — كذرة مثارة عمرها $\tau$، أو [قطار موجة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/18-the-scalar-model-of-light#prop-b2-scalar-light-model-coherence) طوله $c\tau$ — تراكب طاقات منتشرة على $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$: أي علاقة فورييه في [الفصل 18](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/18-the-scalar-model-of-light#ch-b2-scalar-light-model) بين مدة قطار وعرضه الطيفي، مطبَّقةً الآن على $E = \hbar\omega$. ولمستوٍ ذري عمره $10\,\mathrm{ns}$ عرض $\Delta E = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$، أي عرض خط طبيعي قدره $16\,\mathrm{MHz}$؛ وعرض دوبلر في [الفصل 23](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/23-the-laser-stimulated-emission-and-gaussian-beams#ch-b2-laser) ($1.5\,\mathrm{GHz}$) يخفيه في غاز، لا في ذرة باردة أو شاردة ساكنة. **طريقة 30.11 (العمل بالتوابع الموجية).** (1) نظِّم؛ والاحتمالات هي $\int|\psi|^2$ على المنطقة. (2) ومع $V$ مستقلة عن الزمن: ابحث عن $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$، وحلّ المعادلة المستقرة، وافرض الشروط الحدية — فالمستويات. (3) وتراكَب [الحالات المستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) من أجل التطور؛ ومستويان يضربان عند $(E_2 - E_1)/h$. (4) والحركة الحرة: $v_{\text{g}} = p/m$، وزمن الانتشار $2m\sigma_0^2/\hbar$. (5) والتيارات: $j = (\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$؛ ومن أجل $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$، $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (بلا حدّ متقاطع). (6) والحدّ الكلاسيكي: إهرنفست، و $\lambda$ في وجه حجم الجهاز. ## 30.6 تمارين **تمرين 30.1 ★.** أطوال موجة دي برولي: لإلكترون عند $100\,\mathrm{eV}$، و $10\,\mathrm{keV}$، و $100\,\mathrm{keV}$ (استعمل $p = \sqrt{2mE}$، ثم قل لمَ يحتاج الأخير إلى تصحيح)؛ ولنترون حراري ($25\,\mathrm{meV}$، و $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$)؛ ولجزيء C$_{60}$ ($m = 1.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}$) عند $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ ولكرة تنس. فأيّها يُظهر تداخلًا؟ **حل التمرين 30.1.** $h/\sqrt{2mE}$: $0.123\,\mathrm{nm}$، $12.3\,\mathrm{pm}$، $3.9\,\mathrm{pm}$ (وعند $100\,\mathrm{keV}$ تكون الطاقة الحركية خُمس $mc^2$؛ وكمية الحركة النسبية تعطي $3.7\,\mathrm{pm}$)؛ والنترون $0.18\,\mathrm{nm}$؛ و C$_{60}$ $2.8\,\mathrm{pm}$؛ وكرة التنس $\sim 10^{-34}\,\mathrm{m}$. وكلها إلا الكرة أظهرت تداخلًا. **تمرين 30.2 ★.** $\psi(x) = A\eu^{-x^2/2a^2}$: أوجد $A$ (استعمل $\int\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$)؛ و $\langle x\rangle$، و $\Delta x$؛ واحتمال إيجاد الجسيم في $|x| < a$ ($\operatorname{erf}(1) = 0.84$) وفي $|x| < 2a$ ($0.9995$). **حل التمرين 30.2.** $A = (\pi a^2)^{-1/4}$؛ و $\langle x\rangle = 0$، و $\Delta x = a/\sqrt2$؛ و $0.84$؛ و $0.9995$. **تمرين 30.3 ★.** تحقق من أن $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ يحلّ المعادلة حين تحلّ $\varphi$ المستقرةَ. وأوجد تواتر [الشعاع الطوري](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/21-multiple-wave-interference-and-gratings#thm-b2-gratings-nwaves) من أجل $E = 1\,\mathrm{eV}$؛ ومن أجل تراكب مستويين بينهما $2\,\mathrm{eV}$، أوجد تواتر تذبذب $|\psi|^2$ وطول موجته — وتواتر الضوء المصدَر وطوله. **حل التمرين 30.3.** التعويض يعطي $E\varphi = -(\hbar^2/2m)\varphi'' + V\varphi$. و $E/h = 2.4 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$؛ و $4.8 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$، و $620\,\mathrm{nm}$: أي الضوء الأحمر الذي يصدره الانتقال. **تمرين 30.4 ★.** أوجد زمن الانتشار $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ والعرض بعد $1\,\mathrm{ns}$ وبعد $1\,\mathrm{s}$: من أجل إلكترون مع $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ و $\sigma_0 = 1\,\mathrm{mm}$؛ وبروتون مع $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$؛ وحبيبة $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ مع $\sigma_0 = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$. ولمَ تبقى الأجسام حيث تُوضَع؟ **حل التمرين 30.4.** الإلكترون، $1\,\mathrm{nm}$: $\tau = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$، و $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ بعد $1\,\mathrm{ns}$، و $60\,\mathrm{km}$ بعد $1\,\mathrm{s}$؛ ومع $1\,\mathrm{mm}$: $\tau = 17\,\mathrm{s}$، بلا تغير بعد $1\,\mathrm{ns}$، و $+0.2\%$ بعد $1\,\mathrm{s}$؛ والبروتون، $1\,\mathrm{nm}$: $\tau = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$، و $30\,\mathrm{nm}$، و $30\,\mathrm{m}$؛ والحبيبة: $\tau = 600$ سنة. وللأجسام المرئية يكون $\tau$ فلكيًّا — ومحيطها يعيد توضيعها باستمرار. **تمرين 30.5 ★★.** *التيار.* (أ) استنتج [معادلة الاستمرار](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/2-fluid-kinematics#thm-b2-fluid-kinematics-continuity). (ب) وأوجد $j$ من أجل $A\eu^{\iu kx}$، ومن أجل $A\sin kx$، ومن أجل $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$. (ج) ولمَ يكون غياب الحدّ المتقاطع في الحالة الأخيرة قولًا بأن التدفقين المنعكس والوارد يتطارحان لا غير؟ (د) وبيّن أن $j = 0$ من أجل [تابع موجي](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) حقيقي: [فالحالة المستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) المرتبطة لا تحمل تيارًا. **حل التمرين 30.5.** (أ) [القضية 30.5](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-current). (ب) و $|A|^2\hbar k/m$؛ و $0$؛ و $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$. (ج) والتدفقان الوارد والمنعكس يتطارحان بلا حدّ تداخل: فيمكن تعريف معاملي النفاذ والانعكاس من التدفقات. (د) و $\psi^*\psi'$ حقيقي، فجزؤه التخيلي معدوم. **تمرين 30.6 ★★.** *رزمة غاوسية.* $\psi(x,0) = A\eu^{\iu k_0x}\eu^{-x^2/4\sigma^2}$. (أ) أوجد $A$، و $\langle x\rangle$، و $\Delta x$. (ب) و $\langle p\rangle$ مع $\hat p = -\iu\hbar\partial_x$. (ج) وبقبول $\Delta p = \hbar/2\sigma$، تحقق من $\Delta x\Delta p = \hbar/2$. (د) وبرهن $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ من [معادلة الاستمرار](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/2-fluid-kinematics#thm-b2-fluid-kinematics-continuity). **حل التمرين 30.6.** (أ) $A = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}$، و $\langle x\rangle = 0$، و $\Delta x = \sigma$. (ب) و $\hbar k_0$. (ج) و $\sigma \times \hbar/2\sigma = \hbar/2$. (د) و $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\, \partial_t\rho = -\int x\,\partial_xj = \int j = (\hbar/m)\operatorname{Im}\int\psi^* \psi' = \langle p\rangle/m$. **تمرين 30.7 ★★.** *إلكترونات في أنبوب.* إلكترونات مسرَّعة عبر $100\,\mathrm{V}$ تقطع $30\,\mathrm{cm}$. (أ) أوجد السرعة وطول الموجة وزمن الطيران. (ب) والسرعتين الطورية والزمرية؛ فأيّهما سرعة الإلكترون؟ (ج) ورزمة عرضها ابتداءً $10\,\text{µ}\mathrm{m}$: أوجد زمن الانتشار والعرض عند الوصول. (د) [والحيود](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#def-b2-diffraction-huygens) على فتحة $0.3\,\mathrm{mm}$ في الطريق: أوجد الانتشار الزاوي والبقعة على الشاشة. أتصحّ صورة الأشعة؟ **حل التمرين 30.7.** (أ) $5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $0.123\,\mathrm{nm}$، و $51\,\mathrm{ns}$. (ب) و $v_\varphi = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $v_{\text{g}} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: فالأخيرة. (ج) و $\tau = 1.7\,\text{µ}\mathrm{s} \gg 51\,\mathrm{ns}$: أي بلا تغير. (د) و $\lambda/a = 4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$، و $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$: فالأشعة صالحة. **تمرين 30.8 ★★.** *الأطوار.* (أ) بيّن أن $\psi$ و $\eu^{\iu\theta}\psi$ تعطيان التنبؤات نفسها. (ب) ومن أجل $\psi = (\psi_1 + \eu^{\iu\alpha}\psi_2)/\sqrt2$، اكتب $|\psi|^2$ وبيّن أن $\alpha$ يهمّ. (ج) وفي الشقّين، ما $\psi_1$ و $\psi_2$، وما الذي يثبّت طورهما النسبي عند نقطة من الشاشة؟ (د) ولمَ يهدم كشفُ الشقّ الذي عبره الإلكترون الهدبَ (نوعيًّا)؟ **حل التمرين 30.8.** (أ) $|\psi|^2$ وكل قيمة متوقعة لا تتغير. (ب) و $\tfrac12(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2) + \operatorname{Re}(\eu^{\iu\alpha}\psi_1^*\psi_2)$. (ج) وهما الموجتان الآتيتان من الشقّين؛ وطورهما النسبي $k(r_2 - r_1)$. (د) وينتهي الكاشف إلى حالتين مختلفتين من أجل المسارين؛ فلا تتداخل المركّبتان بعد ذلك، ويكون النقش مجموع نقشي شقّ واحد. **تمرين 30.9 ★★.** *إهرنفست.* (أ) من أجل $V = \tfrac12m\omega^2x^2$، بيّن أن $\langle x\rangle$ يحقق بالضبط $\ddot{\langle x\rangle} = -\omega^2\langle x\rangle$. (ب) ومن أجل $V = mgx$، تسقط $\langle x\rangle$ كحجر. (ج) ومن أجل $V$ عامة، متى يكون $\langle V'(x)\rangle \approx V'(\langle x\rangle)$؟ (د) وخرزة $1\,\mathrm{g}$ في وعاء: قدّر حجم رزمتها اللازم لتكون “كمومية” وقارنه بذرة. **حل التمرين 30.9.** (أ) $\langle V'\rangle = m\omega^2\langle x\rangle$: أي بالضبط. (ب) و $\langle V'\rangle = mg$: أي بالضبط. (ج) وحين تكون الرزمة ضيقة في وجه السلّم الذي تتغير عليه $V''$. (د) وطول موجتها عند $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ هو $10^{-29}\,\mathrm{m}$؛ وكانت الرزمة يجب أن تكون بعرض الوعاء لتهمّ. وطول موجة الذرة الحراري، $0.1\,\mathrm{nm}$، هو حجمها نفسه. **تمرين 30.10 ★★★.** *التمايل.* في صندوق $0 < x < L$ بجدران لا تُخترَق تكون [الحالات المستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$، و $E_n = n^2h^2/8mL^2$ ([الفصل 31](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/31-potential-wells-barriers-and-tunnelling#ch-b2-potential-wells-tunneling)). خذ $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/\sqrt2$. (أ) أوجد $|\psi|^2$ بدلالة الزمن. (ب) وبيّن $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ (استعمل $\int_0^L x\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\dd x = -8L^2/9\pi^2$). (ج) ومن أجل إلكترون، $L = 1\,\mathrm{nm}$: أوجد $E_2 - E_1$، و تواتر التذبذب وطول موجته. (د) وماذا تفعل شحنة متذبذبة ([الفصل 17](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/17-dipole-radiation-and-scattering#ch-b2-dipole-radiation))؟ واستنتج ما يخصّ الخطوط الطيفية. **حل التمرين 30.10.** (أ) $\tfrac12(\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varphi_1\varphi_2\cos\omega_{21}t$. (ب) و $L/2 + \cos\omega_{21}t\int x\varphi_1\varphi_2 = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$. (ج) و $3h^2/8mL^2 = 1.13\,\mathrm{eV}$، و $2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$، و $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$. (د) وهي تشعّ عند $\nu_{21}$: أي الخط؛ وللحالة المستقرة الصرفة لا [ثنائي قطب متذبذب](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/17-dipole-radiation-and-scattering#thm-b2-dipole-radiation-field) فلا تشعّ. **تمرين 30.11 ★★★.** *الانتشار، مستنتَجًا.* الرزمة $\psi(x,0) \propto \eu^{-x^2/4\sigma_0^2}$ هي التراكب $\int g(k)\eu^{\iu kx}\dd k$ مع $g(k) \propto \eu^{-\sigma_0^2k^2}$ (وهو مقبول: فتحويل فورييه لغاوسي غاوسيٌّ، عرضه $1/2\sigma_0$ في $k$). (أ) اكتب $\psi(x,t)$ بإعطاء كل مركّبة طورها $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$. (ب) وأتمّ المربع في الأسّ واقبل $\int\eu^{-\alpha k^2 + \beta k}\dd k = \sqrt{\pi/\alpha}\, \eu^{\beta^2/4\alpha}$ من أجل $\alpha$ عقدية جزؤها الحقيقي موجب: بيّن أن $|\psi|^2$ غاوسي عرضه $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m \sigma_0^2)^2}$. (ج) وفسّر $\tau$ بالمقدار $\Delta v = \Delta p/m$. (د) ولمَ لا تنتشر رزمة فوتونات في الخلاء؟ **حل التمرين 30.11.** (أ) $\psi \propto \int\eu^{-\sigma_0^2k^2}\eu^{\iu(kx - \hbar k^2t/2m)}\dd k$. (ب) و $\alpha = \sigma_0^2 + \iu\hbar t/2m$، و $\beta = \iu x$: $|\psi|^2 \propto \exp[-x^2/2\sigma_0^2(1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2)]$. (ج) و $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$، و $\Delta v\,\tau = \sigma_0$. (د) و $\omega = ck$: فلا تبدد، وكل المركّبات عند $c$. **تمرين 30.12 ★★★.** *الطاقة والزمن.* (أ) الحالة المتحللة وفق $\eu^{-t/2\tau}\eu^{-\iu E_0t/\hbar}$ (واحتمالها $\eu^{-t/\tau}$) تراكب طاقات: وبقبول أن توزيع طاقتها لورنتزي عرضه الكامل $\Gamma = \hbar/\tau$، أعطِ $\Gamma$ من أجل $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ (ذرة)، و $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$، و $1 \times 10^{-23}\,\mathrm{s}$ (رنين هادروني، بالميغا إلكترون فولت). (ب) وعرض الخط الطبيعي للمستوي $10\,\mathrm{ns}$ بالتواتر؛ وقارنه بعرض دوبلر $1.5\,\mathrm{GHz}$. (ج) وكيف يُرى العرض الطبيعي (بالذرات الباردة، والشوارد المحبوسة)؟ (د) واربطه بطول ترابط [قطار الموجة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/18-the-scalar-model-of-light#prop-b2-scalar-light-model-coherence) المصدَر. **حل التمرين 30.12.** (أ) $\Gamma = \hbar/\tau$: $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$؛ و $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$؛ و $66\,\mathrm{MeV}$. (ب) و $1/2\pi\tau = 16\,\mathrm{MHz}$، أي أقلّ بمئة مرة من دوبلر. (ج) وفي الذرات الباردة والشوارد المحبوسة يزول عرض دوبلر ويُبلَغ العرض الطبيعي — وهو أساس معايير التواتر. (د) و $c\tau = 3\,\mathrm{m}$، أي طول القطار. ## 30.7 مسألة: الإلكترون في أنبوب وانتشار رزمة موجية **مسألة 30.1.** مسألة نهاية الأسبوع — متى يكون الإلكترون جسيمًا، ومتى موجة المعطيات: $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$، و $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$، و $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$، و $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$، و $m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$. **الجزء الأول — أنبوب الأشعة المهبطية.** تغادر الإلكترونات مهبطًا ساخنًا بطاقة مهمَلة، وتُسرَّع عبر $U = 20\,\mathrm{kV}$، وتعبر فتحة $0.3\,\mathrm{mm}$، وتصدم شاشة على بعد $40\,\mathrm{cm}$. 1. أوجد السرعة وكمية الحركة (لانسبيًّا)؛ وطول موجة دي برولي. 2. والطاقة الحركية $4\%$ من $mc^2$ : أتكون المعالجة اللانسبية مقبولة في هذه المسألة؟ 3. وزمن الطيران إلى الشاشة. 4. [والحيود](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#def-b2-diffraction-huygens) على الفتحة: أوجد الانتشار الزاوي $\sim\lambda/a$ و البقعة التي يعطيها على الشاشة؛ وقارنها ببكسل ( $0.3\,\mathrm{mm}$ ). 5. وهايزنبرغ عند الفتحة: $\Delta p_y \gtrsim \hbar/2a$ يعطي الانتشار نفسه — تحقق. 6. ورزمة عرضها $0.3\,\mathrm{mm}$ على امتداد الحزمة: أوجد زمن الانتشار $2m\sigma_0^2/\hbar$ والعرض عند الشاشة. 7. وتطبّق صفيحتا الانحراف قوة مستعرضة: فبإهرنفست، كيف تتحرك $\langle y\rangle$ ؟ واستنتج أن الأنبوب جهاز كلاسيكي. 8. [وسرعة الطور](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) لموجة الإلكترون؛ ولمَ لا يكون اختلافها عن سرعة الإلكترون مفارقة؟ **الجزء الثاني — رزم الموجات.** 9. من أجل رزمة غاوسية عرضها $\sigma_0$ : أوجد $\Delta p$ و انتشار السرعة $\Delta v$ . 10. وزمن الانتشار من أجل إلكترون مع $\sigma_0 = 0.1\,\mathrm{nm}$ ، و $1\,\mathrm{nm}$ ، و $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ؛ ومن أجل بروتون مع $1\,\mathrm{nm}$ ؛ ومن أجل فيروس ( $1 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) مع $10\,\mathrm{nm}$ . 11. والإلكترون في ذرة الهدروجين موضَّع في $0.1\,\mathrm{nm}$ ولا ينتشر: فلماذا؟ 12. وإلكترون حرّ عند $1\,\mathrm{eV}$ مع $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : كم يقطع قبل أن يتضاعف عرضه؟ وقارن ذلك بطول الموجة. 13. وفي معدن تكون إلكترونات النقل أمواجًا $\lambda \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ على البلورة كلها: فبأي معنى تكون “غير موضَّعة”؟ 14. ولمجهر إلكتروني عند $100\,\mathrm{keV}$ $\lambda \approx 4\,\mathrm{pm}$ ، ومع ذلك لا يميّز إلا $0.1\,\mathrm{nm}$ : فلماذا (إذ تقبل عدساته المغناطيسية نصف زاوية نحو $10\,\mathrm{mrad}$ )؟ 15. وأعطِ المعيار الذي يقرر أيجب أن يُعالَج جسم [بتابع موجي](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) أم بنيوتن. **الجزء الثالث — [الحالات المستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) والانتقالات.** إلكترون محبوس في $0 < x < L = 1\,\mathrm{nm}$؛ و $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$، و $E_n = n^2h^2/8mL^2$. 16. أوجد $E_1$ ، و $E_2$ ، و $E_3$ بالإلكترون فولت؛ وتواترات بور $\nu_{21}$ و $\nu_{31}$ وأطوال الموجة. 17. وتحقق من أن $|\varphi_n\eu^{-\iu E_nt/\hbar}|^2$ مستقلّ عن الزمن؛ وأين يرجَّح وجود الإلكترون في الحالة الأساسية؟ 18. ومن أجل $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/ \sqrt2$ : أوجد $|\psi|^2$ عند $t = 0$ و $t = T_{21}/2$ ؛ وارسم. 19. و $\langle x\rangle(t)$ (بمعلومية $\int_0^Lx\varphi_1\varphi_2\dd x = -16L/9\pi^2$ ): أوجد سعة التمايل. 20. [وثنائي القطب المتذبذب](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/17-dipole-radiation-and-scattering#thm-b2-dipole-radiation-field) $e\langle x\rangle$ يشعّ: فعند أي تواتر، وماذا يقول ذلك في الخطوط الطيفية وفي استقرار [الحالات المستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) ؟ 21. وطاقة الحالة $\psi$ : أهي $E_1$ أم $E_2$ أم شيء آخر؟ وماذا يعطي قياس؟ **الجزء الرابع — التأويل.** 22. في تجربة الشقّين بإلكترون واحد، ما العشوائي وما ليس بعشوائي؟ 23. واكتب [تيار الاحتمال](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-current) للموجة $A\eu^{\iu kx}$ واربطه بحزمة فيها $n$ إلكترونًا في وحدة الطول بالسرعة $v$ . 24. ولمَ يجب أن تكون معادلة شرودنغر عقدية ومن المرتبة الأولى في الزمن (لسببين)؟ 25. ولخّص في خمسة أسطر: [التابع الموجي](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) ، والمعادلة، [والحالات المستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) ، والرزمة، والحدّ الكلاسيكي. **حل المسألة 30.1.** **1.** $v = \sqrt{2eU/m} = 8.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $p = 7.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $\lambda = 8.7\,\mathrm{pm}$. **2.** أخطاء بضعة في المئة: أي مقبولة في التقديرات (و $\lambda = 8.6\,\mathrm{pm}$ بالضبط). **3.** $4.8\,\mathrm{ns}$. **4.** $\lambda/a = 3 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$: أي $12\,\mathrm{nm}$ — أصغر $10^4$ مرة من بكسل. **5.** $\Delta\theta = \Delta p_y/p \sim \hbar/2ap = \lambda/4\pi a$: أي الرتبة نفسها. **6.** $\tau = 1.6\,\mathrm{ms} \gg 4.8\,\mathrm{ns}$: أي بلا تغير. **7.** $\dd\langle p_y\rangle/\dd t = eE$ بالضبط من أجل حقل منتظم: فتتبع $\langle y\rangle$ القطع المكافئ الكلاسيكي؛ والأنبوب أداة كلاسيكية. **8.** $v/2 = 4.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ ولا تُرصَد إلا [سرعة المجموعة](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)؛ وطور الموجة المستوية لا يحمل إشارة (ويتعلق بالصفر الاعتباطي للطاقة). **9.** $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$، و $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$. **10.** $1.7 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}$، $1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$، $1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$؛ والبروتون $3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$؛ والفيروس $20\,\mathrm{s}$. **11.** لأنه في [حالة مستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary): فالكمون يمسك الرزمة؛ و $|\varphi|^2$ لا يتحرك. **12.** $v = 5.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ والتضاعف عند $t = \sqrt3\tau = 2.9 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$: أي $17\,\mathrm{nm}$، ونحو أربعة عشر طول موجة. **13.** توابعها الموجية تمتد على البلورة كلها: أي كمية حركة معيّنة، ولا موضع معيّن. **14.** التمييز $\sim\lambda/\alpha = 4\,\mathrm{pm}/0.01 = 0.4\,\mathrm{nm}$: فزيغانات العدسات المغناطيسية تحدّ الفتحة، لا طول الموجة. **15.** قارن $\lambda$ بالأحجام الداخلة في اللعب (كالفتحات، وسلّم $V$)، وقارن زمن الانتشار بزمن الرصد. **16.** $0.38\,$، $1.50\,$، $3.38\,\mathrm{eV}$؛ و $\nu_{21} = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ($1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$)، و $\nu_{31} = 7.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ($410\,\mathrm{nm}$). **17.** [للشعاع الطوري](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/21-multiple-wave-interference-and-gratings#thm-b2-gratings-nwaves) طويلة واحدة؛ وعند $x = L/2$. **18.** عند $t = 0$ تتكدس الكثافة في النصف الأيسر، وعند $T_{21}/2$ في الأيمن. **19.** $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$: أي سعة $0.18L = 0.18\,\mathrm{nm}$. **20.** عند $\nu_{21}$: أي الخط الطيفي؛ وللحالة المستقرة لا [ثنائي قطب متذبذب](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/17-dipole-radiation-and-scattering#thm-b2-dipole-radiation-field) فهي مستقرة؛ والتراكب يشعّ حتى ينزل إلى $\varphi_1$. **21.** ليست معيّنة: $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2 = 0.94\,\mathrm{eV}$؛ و القياس يعطي $E_1$ أو $E_2$، وكلٌّ باحتمال النصف. **22.** العشوائي: أين تقع كل إلكترون؛ وغير العشوائي: النقش $|\psi|^2$ الذي تبنيه المواقع. **23.** $j = |A|^2\hbar k/m$: فمع $|A|^2 = n$ إلكترونًا في وحدة الطول، يكون $nv$ إلكترونًا في الثانية. **24.** من المرتبة الأولى حتى يكون $\psi(x,0)$ وصفًا كاملًا يثبّت المستقبل؛ وعقدية حتى يكون للطاقة المعيّنة التعلق الزمني الوحيد $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ وحتى يخرج $E = p^2/2m$. **25.** $\psi$ هي السعة التي مربعها الاحتمال؛ وهي تحقق معادلة شرودنغر الخطية؛ [والحالات المستقرة](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) تحمل شعاعًا طوريًّا وكثافات ثابتة؛ والرزمة الحرة تتحرك بالسرعة $p/m$ وتنتشر في $2m\sigma_0^2/\hbar$؛ وإهرنفست يعيد نيوتن من أجل الكبير.