--- title: "الجريانات اللزجة" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثانية" subject: physics language: ar chapter: 4 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/4-viscous-flows --- # الفصل 4 — الجريانات اللزجة أمِل وعاء عسل فينسكب شريطًا بطيئًا كثيفًا؛ وأمِل وعاء ماء فيختفي. وحرّك ملعقة في كل منهما: فالعسل يقاوم، ويظل يقاوم عند أي سرعة؛ وأما الماء فلا يكاد يبالي حتى تسرع، فيدوّم عندئذ. والفرق هو *[اللزوجة](#def-b2-viscous-flows-viscosity)* — أي احتكاك المائع الداخلي — والصراع بين [اللزوجة](#def-b2-viscous-flows-viscosity) والعطالة، ملخَّصًا في عدد واحد هو [عدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds)، هو الذي يقرّر أيزحف الجريان في طبقات منظَّمة أم يتقلّب اضطرابًا. وهذا الفصل يضيف القوة اللزجة إلى [معادلة أويلر](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/3-perfect-fluids-euler-and-bernoulli#thm-b2-euler-bernoulli-euler)، ويحلّ الجريانين الصفائحيين اللذين يستعملهما كل مهندس، ويشرح لماذا تختبئ [اللزوجة](#def-b2-viscous-flows-viscosity)، عند [عدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) الكبير، في طبقة رقيقة عند الجدار ومع ذلك تكلّف كل سيارة وسفينة وطائرة معظم وقودها. ![ينسكب العسل شريطًا رفيعًا مستقرًّا يلتفّ حين يهبط: لزوجة تفوق لزوجة الماء عشرة آلاف مرة تجعل العطالة عديمة الشأن — أي جريانًا زاحفًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/img-529efba96899.jpg) *ينسكب العسل شريطًا رفيعًا مستقرًّا يلتفّ حين يهبط: [لزوجة](#def-b2-viscous-flows-viscosity) تفوق [لزوجة](#def-b2-viscous-flows-viscosity) الماء عشرة آلاف مرة تجعل العطالة عديمة الشأن — أي جريانًا زاحفًا.* ## 4.1 اللزوجة ومعادلة نافييه–ستوكس **تعريف 4.1 (اللزوجة النيوتنية).** في جريان قصّ مستو $\vect v = v_x(y)\,\vect e_x$، يؤثر المائع فوق سطح $y = \text{ثابت}$ في المائع تحته (عبر عنصر سطحي $\dd S$) بالقوة المماسية $$ \dd\vect F = \eta\,\frac{\dd v_x}{\dd y}\,\dd S\;\vect e_x , $$ فيجرّ الطبقةَ الأبطأ إلى الأمام ويُجرّ إلى الخلف في المقابل. و*إجهاد القصّ* هو $\tau = \eta\,\dd v_x/\dd y$؛ والمعامل $\eta$ (ووحدته $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$) هو *اللزوجة الديناميكية* للمائع، و $\nu = \eta/\rho$ ($\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) هي *لزوجته الحركية*. والمائع الذي لا تتوقف $\eta$ فيه على معدل القصّ *نيوتني*: كالماء والهواء والزيوت والكحول؛ وأما الدم والطلاء ومعجون الطماطم ومصاهر البوليمرات فليست كذلك. ورتب القدر عند $20{}^{\circ}\mathrm{C}$: الهواء $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ($\nu = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)، والماء $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ($\nu = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)، وزيت الزيتون $0.08\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، والغليسرول $1.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، والعسل $\sim10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. وتخفّ السوائل بالتسخين، وتثقل الغازات. **قضية 4.2 (كثافة القوة اللزجة؛ شرط اللاانزلاق).** في جريان القصّ المستوي، تكون القوة اللزجة الصافية على شريحة مائع بين $y$ و $y + \dd y$، في واحدة الحجم، $\eta\,\dd^2v_x/\dd y^2$: أي إن [اللزوجة](#def-b2-viscous-flows-viscosity) تؤثر ككثافة قوة حجمية $\eta\,\Delta\vect v$ (واللابلاسي مأخوذ مركّبةً مركّبةً)، وهي نتيجة صحيحة في أي [جريان لاانضغاطي](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/2-fluid-kinematics#cor-b2-fluid-kinematics-incompressible). وعند جدار صلب *يلتصق* المائع: فتساوي سرعته سرعة الجدار (وهو *[شرط اللاانزلاق](#prop-b2-viscous-flows-density)*)، ولهذا يبقى الغبار على ريشة مروحة ويحسّ الجدار إعاقة لزجة. **برهان.** تُجذب الشريحة بالقوة $\eta\,v_x'(y + \dd y)\dd S$ من الأعلى وبالقوة $-\eta\,v_x'(y)\dd S$ من الأسفل: فالصافي $\eta v_x''\,\dd y\,\dd S$. والصيغة العامة مسلَّم بها (وهي تنتج من كتابة الإجهاد دالةً خطية متناظرة في تدرجات السرعة). وأما [شرط اللاانزلاق](#prop-b2-viscous-flows-density) فتجريبي. ∎ **مبرهنة 4.3 (معادلة نافييه–ستوكس).** يحقق [مائع نيوتني](#def-b2-viscous-flows-viscosity) لاانضغاطي $$ \rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) \vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g + \eta\,\Delta\vect v , \qquad \operatorname{div}\vect v = 0 , $$ مع [شرط اللاانزلاق](#prop-b2-viscous-flows-density) على كل جدار. [ومعادلة أويلر](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/3-perfect-fluids-euler-and-bernoulli#thm-b2-euler-bernoulli-euler) هي الحالة $\eta = 0$. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ ![على اليسار: جريان كويت المستوي بين صفيحة ثابتة وصفيحة تتحرك بالسرعة U — منحني سرعات خطي، وإجهاد القصّ نفسه على كل طبقة. وعلى اليمين: القوى اللزجة على شريحة مائع؛ وهي تتلاشى ما لم يكن منحني السرعات محدَّبًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/fig-90723c162ceb.svg) *على اليسار: جريان كويت المستوي بين صفيحة ثابتة وصفيحة تتحرك بالسرعة $U$ — منحني سرعات خطي، [وإجهاد القصّ](#def-b2-viscous-flows-viscosity) نفسه على كل طبقة. وعلى اليمين: القوى اللزجة على شريحة مائع؛ وهي تتلاشى ما لم يكن منحني السرعات محدَّبًا.* **مثال 4.4 (إجهاد القصّ على طاولة).** غشاء زيت سماكته $0.1\,\mathrm{mm}$ ($\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$) بين صفيحة وطاولة، والصفيحة تنزلق بالسرعة $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\tau = \eta U/h = 1\,\mathrm{kPa}$، أي قوة $100\,\mathrm{N}$ على عُشر المتر المربع — وهو مبدأ [المحمل](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/1-rigid-body-mechanics#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot) المزيَّت، حيث تحلّ الإعاقة اللزجة محلّ احتكاك جافّ أكبر منها مئة مرة. وعسل على ملعقة، $10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، سماكته $1\,\mathrm{mm}$، يسيل بالسرعة $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$: $\tau = 10\,\mathrm{Pa}$، وهو بالضبط ثقل ميليمتر من العسل في واحدة المساحة — ولهذا يسيل بتلك السرعة. ## 4.2 عدد رينولدز **تعريف 4.5 (عدد رينولدز).** من أجل جريان سرعته المميزة $U$ وطوله المميز $L$، يكون *عدد رينولدز* $$ \mathrm{Re} = \frac{\rho UL}{\eta} = \frac{UL}{\nu} $$ هو نسبة رتبتي قدر الحدّ العطالي $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v \sim \rho U^2/L$ والحدّ اللزج $\eta\Delta\vect v \sim \eta U/L^2$ في [معادلة نافييه–ستوكس](#thm-b2-viscous-flows-ns). فعند $\mathrm{Re} \ll 1$ تكون العطالة مهمَلة ويكون الجريان *زاحفًا* (لزجًا، عكوسًا، أملس)؛ وعند $\mathrm{Re} \gg 1$ تكون [اللزوجة](#def-b2-viscous-flows-viscosity) مهمَلة إلا بجوار الجدران ويكون الجريان جريان [مائع مثالي](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/3-perfect-fluids-euler-and-bernoulli#def-b2-euler-bernoulli-perfect) — إلى أن يصير *مضطربًا* فيما وراء عتبة رتبتها $10^3$ (نحو $2000$ إلى $3000$ في أنبوب، محسوبًا على القطر): أي غير مستقر، فوضويًّا، مليئًا بالدوّامات على كل مقياس. وبين الحالين يكون الجريان *صفائحيًّا*: مستقرًّا مطبَّقًا. **مثال 4.6 (أعداد رينولدز لجريانات مألوفة).** جرثومة ($1\,\text{µ}\mathrm{m}$، $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$، في الماء): $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$ — فهي تعيش في عالم بلا عطالة، حيث يوقف إيقافُ سوطها إياها في مدى قطر ذرة. والدم في شعيرة: $10^{-3}$؛ وحبة غبار ساقطة: $10^{-2}$؛ وسمكة ذهبية: $10^3$؛ وسابح: $10^6$؛ وسيارة عند $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($4\,\mathrm{m}$): $8 \times 10^6$؛ وطائرة ركاب: $10^8$؛ وتيار الخليج: $10^{11}$. وجريانان لهما الهندسة نفسها [وعدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) نفسه *متشابهان*: وهذا ما يتيح اختبار نموذج طوله $1\,\mathrm{m}$ لسفينة في حوض جرّ، أو اختبار طائرة في نفق هوائي. ## 4.3 الجريانات الصفائحية: كويت وبوازوي وستوكس **قضية 4.7 (جريان بوازوي في أنبوب).** في أنبوب أسطواني أفقي نصف قطره $R$ وطوله $L$، يقوده فرق الضغط $\Delta P = P_1 - P_2$ بين طرفيه، يكون [الجريان الصفائحي](#def-b2-viscous-flows-reynolds) المستقر $$ v(r) = \frac{\Delta P}{4\eta L}\,(R^2 - r^2) , \qquad D_V = \frac{\pi R^4}{8\eta L}\,\Delta P : $$ أي منحني سرعات مكافئ، أعظمي على المحور، وسرعته الوسطى $\langle v\rangle = v_{\max}/2$. ويتناسب التدفق مع انخفاض الضغط (قانون بوازوي)، و*[المقاومة الهيدروليكية](#prop-b2-viscous-flows-poiseuille)* هي $R_h = \Delta P/D_V = 8\eta L/\pi R^4$ — ومع *القوة الرابعة* لنصف القطر. [وإجهاد القصّ](#def-b2-viscous-flows-viscosity) عند الجدار هو $\tau_w = \Delta P\,R/2L = 4\eta\langle v \rangle/R$. وهذا صحيح ما دام $\mathrm{Re} = 2R\langle v\rangle/\nu \lesssim 2000$. **برهان.** مستقر، و $\vect v = v(r)\vect e_z$ (ومنه ينعدم الحدّ الحملي: إذ يعمل $\vect v \cdot\operatorname{\vect{grad}}$ على امتداد $z$، ولا شيء يتغير عليه). [ومعادلة نافييه–ستوكس](#thm-b2-viscous-flows-ns) على امتداد $z$: $0 = -\partial_zP + \eta\Delta v$، و قطريًّا $\partial_rP = 0$: فلا يتوقف $P$ إلا على $z$، ولا يتوقف $\Delta v$ إلا على $r$، ومنه يساوي الطرفان ثابتًا، $\partial_zP = -\Delta P/L$. وبالإحداثيات الأسطوانية $\Delta v = \frac1r\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r\frac{\dd v}{\dd r}\bigr)$ (مذكورة هنا؛ وهي موازنة القوى اللزجة على قشرة أسطوانية، $2\pi rL\,\eta v'$ عند $r$ وعند $r + \dd r$). وبالمكاملة مرتين مع $v$ منتهية على المحور و $v(R) = 0$ نحصل على القطع المكافئ؛ و $D_V = \int_0^Rv\,2\pi r\,\dd r$. وإجهاد الجدار هو $-\eta v'(R)$؛ ومكافئًا، توازن قوة الضغط $\pi R^2\Delta P$ احتكاكَ الجدار $2\pi RL\tau_w$. ∎ ![على اليسار: جريان بوازوي — منحني السرعات المكافئ في أنبوب، يقوده انخفاض الضغط P_1 - P_2. وعلى اليمين: موازنة القوى على قشرة أسطوانية من المائع: إذ يوازن فرقُ الضغط على طرفيها إجهاداتِ اللزوجة على سطحيها الداخلي والخارجي.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/fig-fb2040971bd7.svg) *على اليسار: [جريان بوازوي](#prop-b2-viscous-flows-poiseuille) — منحني السرعات المكافئ في أنبوب، يقوده انخفاض الضغط $P_1 - P_2$. وعلى اليمين: موازنة القوى على قشرة أسطوانية من المائع: إذ يوازن فرقُ الضغط على طرفيها إجهاداتِ [اللزوجة](#def-b2-viscous-flows-viscosity) على سطحيها الداخلي والخارجي.* **مثال 4.8 (القوة الرابعة).** إبرة محقنة قطرها الداخلي $0.4\,\mathrm{mm}$ وطولها $3\,\mathrm{cm}$، والماء، وضغط الإبهام $20\,\mathrm{kPa}$: $D_V = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$؛ وإبرة أوسع مرتين تعطي ستة عشر ضعفًا. وشريان تضيّقه لويحة إلى $70\%$ من نصف قطره يقدّم $(1/0.7)^4 = 4.2$ ضعف مقاومته: فيعوّض الجسم برفع الضغط في المنبع، وهذا بعض سبب اقتران تصلّب الشرايين بارتفاع الضغط. **قضية 4.9 (إعاقة ستوكس).** كرة نصف قطرها $R$ تتحرك بالسرعة $v$ في مائع عند $\mathrm{Re} = 2\rho vR/\eta \ll 1$ تحسّ إعاقة مقدارها $$ F = 6\pi\eta Rv , $$ معاكسة لسرعتها. وكرة كثافتها $\rho_s$ تسقط في مائع كثافته $\rho$ تبلغ *[السرعة الحدّية](#prop-b2-viscous-flows-stokes)* $v_\infty = \dfrac{2R^2(\rho_s - \rho)g}{9\eta}$ — وهو قانون الترسيب، والنابذات، وقطرات زيت ميليكان. **برهان.** الإعاقة مسلَّم بها (وهي الحلّ التام لمعادلات الجريان الزاحف حول كرة، ثلثاها احتكاك لزج وثلثها ضغط). وأما [السرعة الحدّية](#prop-b2-viscous-flows-stokes): فالثقل ناقص قوة الطفو، $\tfrac43\pi R^3(\rho_s - \rho)g$، يساوي الإعاقة؛ وتحقق دائمًا من $\mathrm{Re} \ll 1$ بعد ذلك. ∎ **مثال 4.10 (الضباب والمطر والغبار).** قطرة ضباب قطرها $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ في الهواء تسقط بالسرعة $2 \times (5 \times 10^{-6})^2 \times 10^4/(9 \times 1.8 \times 10^{-5}) = 3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ (و $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$): فأدنى تيار صاعد يبقيها معلَّقة، ولهذا تطفو الغيوم. وقطرة مطر قطرها $1\,\mathrm{mm}$ تعطي $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\mathrm{Re} \approx 2000$: فلا يصلح ستوكس بعد ذلك، وتعطي الإعاقة التربيعية في القسم التالي القيمة المرصودة $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وحبة غبار قطرها $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($\rho_s = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) تترسّب بالسرعة $8\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$، أي مترًا في دقيقتين — وأما الغبار الأنعم فيعلق ساعات. ## 4.4 عدد رينولدز الكبير: الطبقات الحدّية والإعاقة **قضية 4.11 (الطبقة الحدّية).** عند [عدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) الكبير يكون الجريان حول جسم جريانَ [مائع مثالي](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/3-perfect-fluids-euler-and-bernoulli#def-b2-euler-bernoulli-perfect) في كل مكان إلا في *[طبقة حدّية](#prop-b2-viscous-flows-bl)* رقيقة على امتداد الجدار، تهبط فيها السرعة من قيمتها الخارجية $U$ إلى الصفر (لا انزلاق). وعلى امتداد صفيحة مستوية تنمو سماكتها وفق $$ \delta(x) \sim \sqrt{\frac{\nu x}{U}} = \frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} , \qquad \mathrm{Re}_x = \frac{Ux}{\nu} , $$ حيث $x$ البعد عن الحافة الأمامية؛ وتصير الطبقة نفسها مضطربة فيما وراء $\mathrm{Re}_x \sim 5 \times 10^5$. والاحتكاك اللزج على الجدار، و*انفصال* الطبقة خلف جسم كليل (وهو يترك ذيلًا مضطربًا منخفض الضغط)، هما منبعا الإعاقة. **برهان.** رتبة القدر: يمضي [جسيم مائع](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/2-fluid-kinematics#def-b2-fluid-kinematics-particle) الزمن $x/U$ في السفر على امتداد الصفيحة، وخلاله ينتشر أثر الجدار في المائع — فالحدّ اللزج $\nu\,\partial^2v/\partial y^2$ انتشار لكمية الحركة بانتشارية $\nu$، تبلغ البعد $\sqrt{\nu t}$ في الزمن $t$ ([الفصل 24](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/24-particle-diffusion#ch-b2-particle-diffusion)). ومنه $\delta \sim \sqrt{\nu x /U}$. وأما النظرية الكاملة (نظرية براندتل) فمسلَّم بها. ∎ **قضية 4.12 (الإعاقة عند عدد رينولدز الكبير).** تُكتب الإعاقة على جسم مساحته الأمامية $S$ يتحرك بالسرعة $v$ في مائع هكذا $$ F = \tfrac12\rho v^2\,S\,C_x , $$ حيث *[معامل الإعاقة](#prop-b2-viscous-flows-drag)* $C_x$ يتوقف على الشكل وعلى $\mathrm{Re}$. وفي الكرة يكون $C_x = 24/\mathrm{Re}$ عند $\mathrm{Re} \ll 1$ (ستوكس، و $\mathrm{Re}$ محسوب على القطر)، ثم نحو $0.4$–$0.5$، وهو شبه ثابت، من $\mathrm{Re} \approx 10^3$ إلى $2 \times 10^5$، حيث يهبط فجأةً إلى نحو $0.1$ (وهي *[أزمة الإعاقة](#prop-b2-viscous-flows-drag)*: إذ تصير [الطبقة الحدّية](#prop-b2-viscous-flows-bl) مضطربة فتلتصق بالسطح مدةً أطول ويتقلّص الذيل — والنقر على كرة الغولف يستثيرها باكرًا). وللأجسام الانسيابية $C_x \approx 0.05$؛ وللسيارة $0.3$؛ وللدرّاج $0.9$؛ ولصفيحة مستوية تواجه الجريان $1.2$. والاستطاعة اللازمة للتحرك بالسرعة $v$ هي $Fv \propto v^3$. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ ![على اليمين: معامل إعاقة كرة بدلالة عدد رينولدز (بسلّمين لوغاريتميين): قانون ستوكس عند Re الصغير، وهضبة قرب 0.45، وأزمة الإعاقة قرب Re = 2 × 105. وعلى اليسار: الطبقة الحدّية تثخن على امتداد صفيحة مستوية؛ وخارجها يكون الجريان جريان مائع مثالي.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/fig-d2268bfdd8f6.svg) ![على اليمين: معامل إعاقة كرة بدلالة عدد رينولدز (بسلّمين لوغاريتميين): قانون ستوكس عند Re الصغير، وهضبة قرب 0.45، وأزمة الإعاقة قرب Re = 2 × 105. وعلى اليسار: الطبقة الحدّية تثخن على امتداد صفيحة مستوية؛ وخارجها يكون الجريان جريان مائع مثالي.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/fig-0172f4b78f8a.svg) *على اليمين: معامل إعاقة كرة بدلالة [عدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) (بسلّمين لوغاريتميين): قانون ستوكس عند $\mathrm{Re}$ الصغير، وهضبة قرب $0.45$، [وأزمة الإعاقة](#prop-b2-viscous-flows-drag) قرب $\mathrm{Re} = 2 \times 10^5$. وعلى اليسار: [الطبقة الحدّية](#prop-b2-viscous-flows-bl) تثخن على امتداد صفيحة مستوية؛ وخارجها يكون الجريان جريان [مائع مثالي](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/3-perfect-fluids-euler-and-bernoulli#def-b2-euler-bernoulli-perfect).* **مثال 4.13 (درّاج وسيارة).** درّاج ($SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$) عند $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $F = 0.5 \times 1.2 \times 100 \times 0.35 = 21\,\mathrm{N}$، و $P = 210\,\mathrm{W}$ — أي جهد يمكن الاستمرار فيه؛ وعند $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (أي $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$) يلزم $710\,\mathrm{W}$، ولهذا يحتمي العدّاؤون بمن أمامهم. وسيارة ($SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$) عند $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $550\,\mathrm{N}$، و $20\,\mathrm{kW}$ ضد الهواء وحده — فاستهلاك الوقود على سرعة الطريق السريع معظمه إعاقة. **ملاحظة 4.14 (التوتر السطحي).** وتسكن قوة ثانية عند حدود السائل: إذ يسلك سطحه الحرّ سلوك غشاء مشدود توتره $\gamma$ ($\mathrm{N}/\mathrm{m}$؛ وللماء $0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$)، لأن جزيئات السطح تفتقد نصف جيرانها. ويفوق الضغط داخل قطرة نصف قطرها $R$ الضغطَ الخارجي بمقدار *[ضغط لابلاس](#rem-b2-viscous-flows-capillarity)* $2\gamma/R$ (أي $1.4\,\mathrm{kPa}$ في قطرة قطرها $0.1\,\mathrm{mm}$، و $14\,\mathrm{bar}$ في قطرة قطرها $10\,\mathrm{nm}$)؛ ويغلب [التوتر السطحي](#rem-b2-viscous-flows-capillarity) الثقالة دون *[الطول الشعري](#rem-b2-viscous-flows-capillarity)* $\sqrt{\gamma/\rho g} = 2.7\,\mathrm{mm}$ للماء — وهو حجم قطرات الندى، والهلال في كأس، والارتفاع في أنبوب شعري ($h = 2\gamma/\rho gr$، جوران). ولهذا تمشي الحشرات الصغيرة على الماء، وتتلاصق شعيرات الفرشاة حين تبتلّ، وينكسر نفث سائل إلى قطرات. **طريقة 4.15 (أي نظام؟).** قبل أي حساب لجريان لزج، احسب $\mathrm{Re}$. فعند $\mathrm{Re} \ll 1$: ستوكس والجريان الزاحف، والإعاقة $\propto v$، وانخفاضات الضغط $\propto$ التدفق. وعند $\mathrm{Re}$ حتى $\sim\!2000$ في أنبوب: صفائحي، وبوازوي. وفوق ذلك: مضطرب — ويفرط بوازوي عندئذ في تقليل تقدير الضياع؛ فاستعمل القانون التجريبي $\Delta P = \lambda(L/D)\,\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ مع $\lambda \approx 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ للأنابيب الملساء، و $F = \tfrac12\rho v^2SC_x$ للأجسام. وفي كل حالة، تحقق بعد ذلك من أن $\mathrm{Re}$ المحسوب من الجواب يوافق النظام المفترض. ## 4.5 تمارين **تمرين 4.1 ★.** صفيحة مساحتها $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ تنزلق بالسرعة $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ على غشاء زيت سماكته $0.20\,\mathrm{mm}$ ($\eta = 0.25\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$). أوجد [إجهاد القصّ](#def-b2-viscous-flows-viscosity)، والقوة على الصفيحة، والاستطاعة المبدَّدة؛ وقارنها بالاحتكاك الجافّ ($f = 0.3$) إذا كانت كتلة الصفيحة $10\,\mathrm{kg}$. **حل التمرين 4.1.** $\tau = \eta U/h = 0.25 \times 2/2 \times 10^{-4} = 2.5\,\mathrm{kPa}$؛ و $F = 1.25\,\mathrm{kN}$؛ و $P = Fv = 2.5\,\mathrm{kW}$. وأما الاحتكاك الجافّ: $0.3 \times 98 = 29\,\mathrm{N}$ — فالغشاء الرقيق السريع القصّ يقاوم هنا أكثر بكثير؛ وتنمو الإعاقة اللزجة مثل $U/h$، فيكون التزييت مربحًا عند سرعات أدنى وبأغشية أسمك (ولا يعلق أبدًا). **تمرين 4.2 ★.** أعداد رينولدز في الحالات التالية: (أ) جرثومة طولها $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ عند $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في الماء؛ (ب) سابح ($1.8\,\mathrm{m}$، $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$)؛ (ج) سيارة ($4\,\mathrm{m}$، $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) في الهواء؛ (د) الدم في الأبهر ($2.5\,\mathrm{cm}$، $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $\nu = 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)؛ (ه) زيت ($\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، و $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) عند $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في أنبوب قطره $1\,\mathrm{cm}$. وأعطِ نظام كل منها. **حل التمرين 4.2.** (أ) $2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-5}/10^{-6} = 6 \times 10^{-5}$، زاحف. (ب) $1.8 \times 1.5/10^{-6} = 2.7 \times 10^6$، مضطرب. (ج) $4 \times 30/1.5 \times 10^{-5} = 8 \times 10^6$، مضطرب. (د) $0.025 \times 0.33/3.3 \times 10^{-6} = 2500$، صفائحي على الحدّ. (ه) $900 \times 0.5 \times 0.01/0.1 = 45$، صفائحي. **تمرين 4.3 ★.** يُدفع الماء عبر إبرة قطرها الداخلي $0.40\,\mathrm{mm}$ وطولها $3.0\,\mathrm{cm}$ بضغط $20\,\mathrm{kPa}$. أوجد التدفق؛ وزمن حقن $5\,\mathrm{mL}$؛ والسرعة العظمى [وعدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds)؛ [وإجهاد القصّ](#def-b2-viscous-flows-viscosity) عند الجدار. وماذا لو كانت الإبرة $0.80\,\mathrm{mm}$؟ **حل التمرين 4.3.** $D_V = \pi R^4\Delta P/8\eta L = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$؛ و $12\,\mathrm{s}$ من أجل $5\,\mathrm{mL}$. و $v_{\max} = \Delta PR^2/ 4\eta L = 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $\langle v\rangle = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $\mathrm{Re} = 2R\langle v \rangle/\nu = 1300$: صفائحي. و $\tau_w = \Delta PR/2L = 67\,\mathrm{Pa}$. وعند $0.8\,\mathrm{mm}$: ستة عشر ضعف التدفق، أي $6.7\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ — لكن $\mathrm{Re} \approx 10^4$: فيصير الجريان مضطربًا ويقلّ الكسب. **تمرين 4.4 ★.** السرعات الحدّية في الهواء ($\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$) في الحالات التالية: (أ) حبة طلع قطرها $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($\rho_s = 1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)، (ب) جسيم دخان قطره $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($\rho_s = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)، (ج) قطرة رذاذ قطرها $0.2\,\mathrm{mm}$. وتحقق من $\mathrm{Re}$ في كل حالة؛ وأوجد زمن السقوط $1\,\mathrm{m}$. **حل التمرين 4.4.** $v_\infty = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta$. (أ) $1.3\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$، و $\mathrm{Re} = 0.02$، و $75\,\mathrm{s}$ في المتر. (ب) $0.24\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$، و $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$، و $70\,\mathrm{min}$ في المتر. (ج) $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ لكن $\mathrm{Re} = 16$: فيفرط ستوكس في التقدير (والسرعة الحقيقية نحو $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$)، أي نحو ثانية في المتر. **تمرين 4.5 ★★.** أنبوب ماء رئيسي قطره $30\,\mathrm{cm}$ يحمل $0.10\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ على $1.0\,\mathrm{km}$. (أ) السرعة الوسطى [وعدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds). (ب) انخفاض الضغط لو انطبق قانون بوازوي. (ج) الانخفاض الفعلي مع $\lambda = 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$؛ ونسبته إلى (ب)؛ واستطاعة الضخّ. (د) والتدفق نفسه في أنبوبين متوازيين قطر كل منهما $21\,\mathrm{cm}$ (بالمقطع الكلي نفسه): الانخفاض والاستطاعة. **حل التمرين 4.5.** (أ) $\langle v\rangle = 0.1/0.0707 = 1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $\mathrm{Re} = 4.2 \times 10^5$. (ب) $8\eta LD_V/\pi R^4 = 500\,\mathrm{Pa}$. (ج) $\lambda = 0.3/25.5 = 0.0118$، و $\Delta P = 0.0118 \times 3333 \times 1000 = 39\,\mathrm{kPa}$: أي $80$ ضعفًا؛ و $P = \Delta PD_V = 3.9\,\mathrm{kW}$. (د) السرعة نفسها، و $\mathrm{Re} = 3 \times 10^5$، و $\lambda = 0.0128$، و $\Delta P = 0.0128 \times 4717 \times 1000 = 60\,\mathrm{kPa}$، و $6\,\mathrm{kW}$: أي جدار أكثر في واحدة التدفق، وضياع أكبر. **تمرين 4.6 ★★.** خلايا قطرها $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ وكثافتها $1050\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ في الماء. (أ) سرعة الترسيب تحت الثقالة؛ وزمن الترسيب $5\,\mathrm{cm}$. (ب) وفي نابذة عند $1000\,g$. (ج) معدل الدوران الأصغري من أجل $1000\,g$ عند نصف قطر $10\,\mathrm{cm}$. (د) ولماذا يمكن فصل أكبر الجسيمات أولًا؟ **حل التمرين 4.6.** (أ) $v = 2 \times 25 \times 10^{-12} \times 50 \times 9.81/(9 \times 10^{-3}) = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $5\,\mathrm{cm}$ في $1.8 \times 10^4$ ثانية، أي خمس ساعات. (ب) $2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$، و $18\,\mathrm{s}$. (ج) $\Omega = \sqrt{1000g/r} = 313\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3000\,\mathrm{rpm}$. (د) $v \propto R^2$: فتترسّب الجسيمات الكبيرة أولًا؛ وتفصل دورات متتالية بسرعات متزايدة الأحجام. **تمرين 4.7 ★★.** درّاج ($SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$، ومقاومة تدحرج $4\,\mathrm{N}$) يسير بالسرعة $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (أ) الإعاقة والاستطاعة الكلية. (ب) وعند $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ج) وفي ريح مقابلة سرعتها $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند سرعة أرضية $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (د) والاحتماء بمن أمامه يخفض $C_x$ بنسبة $30\%$: فما الاستطاعة الموفَّرة؟ (ه) وينحدر على ميل $5\%$ دون دوس (وكتلته $80\,\mathrm{kg}$): فما [السرعة الحدّية](#prop-b2-viscous-flows-stokes)؟ **حل التمرين 4.7.** (أ) $F = 0.6 \times 144 \times 0.35 = 30\,\mathrm{N}$، مضافًا إليها $+4\,\mathrm{N}$: فيكون $P = 34 \times 12 = 410\,\mathrm{W}$. (ب) $47 + 4 = 51\,\mathrm{N}$، و $770\,\mathrm{W}$. (ج) والسرعة النسبية $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $61 + 4 = 65\,\mathrm{N}$، مضروبةً في السرعة الأرضية: $780\,\mathrm{W}$. (د) والإعاقة $21\,\mathrm{N}$: أي $300\,\mathrm{W}$، فالموفَّر $110\,\mathrm{W}$. (ه) $mg\sin\alpha = 39\,\mathrm{N} = 4 + 0.21v^2$: ومنه $v = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، أي $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. **تمرين 4.8 ★★.** الإعاقة التربيعية. (أ) [السرعة الحدّية](#prop-b2-viscous-flows-stokes) لكرة غولف ($46\,\mathrm{g}$، $43\,\mathrm{mm}$، و $C_x = 0.25$) ولقافز مظلي ($80\,\mathrm{kg}$، و $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$، ثم $25\,\mathrm{m}^{2}$ والمظلة مفتوحة). (ب) معادلة الحركة في سقوط من السكون بإعاقة تربيعية؛ بيّن أن $v = v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$. (ج) الزمن والمسافة كي يبلغ القافز $90\%$ من $v_\infty$. **حل التمرين 4.8.** (أ) الغولف: $\tfrac12\rho C_xS = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$، و $v_\infty = \sqrt{0.45/2.2 \times 10^{-4}} = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ والقافز $\sqrt{785/0.42} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ والمظلة $\sqrt{785/15} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ب) $m\dot v = mg - kv^2$، أي $\dot v = g(1 - v^2/v_\infty^2)$، وحلّها من السكون $v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$. (ج) $\tanh x = 0.9$ عند $x = 1.47$: ومنه $t = 1.47 \times 43/9.81 = 6.5\,\mathrm{s}$؛ و $z = (v_\infty^2/g)\ln\cosh x = 190 \times 0.83 = 160\,\mathrm{m}$. **تمرين 4.9 ★★.** *مقياس [لزوجة](#def-b2-viscous-flows-viscosity) كويت.* أسطوانة نصف قطرها $5.0\,\mathrm{cm}$ وارتفاعها $10\,\mathrm{cm}$ تدور بالسرعة $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ داخل أسطوانة ثابتة، والفجوة $1.0\,\mathrm{mm}$ مملوءة بالسائل المراد اختباره؛ والعزم اللازم $2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (أ) بمعاملة الفجوة جريانَ كويت مستويًا، أوجد معدل القصّ [وإجهاد القصّ](#def-b2-viscous-flows-viscosity). (ب) [اللزوجة](#def-b2-viscous-flows-viscosity). (ج) [عدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) لجريان الفجوة؛ أيكون الجريان صفائحيًّا؟ (د) ولماذا تُصنع الفجوة رقيقة؟ **حل التمرين 4.9.** (أ) معدل القصّ $\Omega R/e = 0.5/10^{-3} = 500\,\mathrm{s}^{-1}$؛ و $\Gamma = \tau\cdot2\pi Rh \cdot R$: ومنه $\tau = 0.02/(2\pi \times 2.5 \times 10^{-3} \times 0.1) = 12.7\,\mathrm{Pa}$. (ب) $\eta = 12.7/500 = 2.5 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. (ج) $\mathrm{Re} = \rho Ue/\eta \approx 1000 \times 0.5 \times 10^{-3}/0.025 = 20$: صفائحي. (د) والفجوة الرقيقة تجعل معدل القصّ منتظمًا (وهو التقريب المستوي) وتُبقي الجريان صفائحيًّا. **تمرين 4.10 ★★★.** *شبكة وعائية.* يجري الدم ($\eta = 3.5\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$) بمعدل $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$. (أ) [المقاومة الهيدروليكية](#prop-b2-viscous-flows-poiseuille) للأبهر (نصف قطره $1.25\,\mathrm{cm}$، وطوله $40\,\mathrm{cm}$) وانخفاض الضغط عليه. (ب) والشعيرات $10^{10}$ (نصف قطرها $4\,\text{µ}\mathrm{m}$، وطولها $1\,\mathrm{mm}$) على التوازي: أوجد مقاومة الواحدة، ومقاومتها كلها، وانخفاض الضغط عبر السرير الشعري. (ج) والشرينات ($10^8$، ونصف قطرها $10\,\text{µ}\mathrm{m}$، وطولها $2\,\mathrm{mm}$): الأسئلة نفسها؛ وأين تكمن مقاومة الدورة الدموية؟ (د) والانخفاض الكلي $13\,\mathrm{kPa}$: أوجد استطاعة البطين الأيسر، وأي نسبة يمثّل ذلك من $100\,\mathrm{W}$ للجسم. (ه) ويوسّع دواء الشرينات بنسبة $10\%$: فما أثر ذلك في المقاومة الكلية؟ **حل التمرين 4.10.** $D_V = 8.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. (أ) $R_h = 8\eta L/\pi R^4 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 0.4/(\pi \times 2.4 \times 10^{-8}) = 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$، و $\Delta P = 12\,\mathrm{Pa}$. (ب) الشعيرة الواحدة $3.5 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$؛ و $10^{10}$ منها على التوازي: $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$؛ و $\Delta P = 290\,\mathrm{Pa}$ (أي $2\,\mathrm{mmHg}$). (ج) والشرين الواحد $8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-3}/(\pi \times 10^{-20}) = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$؛ والمجموعة: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$؛ و $\Delta P = 1.5\,\mathrm{kPa}$: فالشرينات تهيمن على الاثنين (فالأوعية الصغيرة، لا الكبيرة، هي حيث يهبط الضغط). (د) $P = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$، أي نحو $1\%$. (ه) $(1/1.1)^4 = 0.68$: أي إزالة ثلث مقاومة الشرينات — وبهذا تخفض موسّعات الأوعية ضغط الدم. **تمرين 4.11 ★★★.** *[الطبقة الحدّية](#prop-b2-viscous-flows-bl) وإعاقة الاحتكاك.* صفيحة مستوية طولها $L$ وعرضها $b$ تتحرك بحرفها بالسرعة $U$. وفي النظام الصفائحي يكون [إجهاد القصّ](#def-b2-viscous-flows-viscosity) عند الجدار $\tau_w = 0.332\,\rho U^2/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$ (بلازيوس). (أ) بيّن أن [قوة الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/1-rigid-body-mechanics#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) على وجه واحد هي $F = 0.664\,\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$. (ب) سماكة [الطبقة الحدّية](#prop-b2-viscous-flows-bl) عند الحافة الخلفية لصفيحة طولها $1\,\mathrm{m}$ في الماء عند $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، والقوة على صفيحة مساحتها $1\,\mathrm{m}^{2}$ (الوجهان معًا). (ج) وعند $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: أوجد $\mathrm{Re}_L$، ولماذا لا تصلح الصيغة بعد ذلك. (د) وبدن سفينة ($100\,\mathrm{m}$، $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): قدّر سماكة [الطبقة الحدّية](#prop-b2-viscous-flows-bl) عند المؤخرة بفرض القانون المضطرب $\delta \approx 0.37x/\mathrm{Re}_x^{1/5}$. **حل التمرين 4.11.** (أ) $F = b\int_0^L\tau_w\,\dd x = 0.332\rho U^2b\sqrt{\nu/U}\int_0^L\dd x/\sqrt x = 0.664\rho U^2b\sqrt{\nu L/U} = 0.664\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$. (ب) $\mathrm{Re}_L = 3 \times 10^5$ (صفائحي)؛ و $\delta \approx 5\sqrt{\nu L/U} = 9\,\mathrm{mm}$؛ و $F = 0.664 \times 1000 \times 0.09 \times 1/548 = 0.11\,\mathrm{N}$ على الوجه الواحد، أي $0.22\,\mathrm{N}$. (ج) $\mathrm{Re}_L = 10^7$: فالطبقة مضطربة فيما وراء أول بضعة سنتيمترات، وتخفق الصيغة الصفائحية (والإعاقة الحقيقية أكبر أضعافًا). (د) $\mathrm{Re}_x = 10^9$: ومنه $\delta \approx 0.37 \times 100/63 = 0.6\,\mathrm{m}$. **تمرين 4.12 ★★★.** *غشاء ينزل.* غشاء سائل سماكته $h$ ينزل على جدار شاقولي تحت الثقالة، جريانًا مستقرًّا، والهواء لا يؤثر بأي إجهاد على سطحه الحرّ. (أ) اكتب [معادلة نافييه–ستوكس](#thm-b2-viscous-flows-ns) من أجل $\vect v = v(y)\vect e_z$ (و $y$ البعد عن الجدار، و $z$ نحو الأسفل) والشروط الحدّية. (ب) بيّن أن $v(y) = \dfrac{\rho g}{2\eta}(2hy - y^2)$ واحسب التدفق في واحدة العرض $q = \rho gh^3/3\eta$. (ج) وطبقة طلاء طازجة ($\eta = 0.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، و $\rho = 1200\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) سماكتها $0.2\,\mathrm{mm}$: أوجد سرعة السطح والتدفق؛ وكم يتحرك السطح في $10\,\mathrm{min}$؟ ولماذا يتهدّل الطلاء إذا وُضع سميكًا أكثر مما ينبغي؟ (د) وعسل ($\eta = 10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$) سماكته $2\,\mathrm{mm}$ على ملعقة شاقولية: فما سرعة السطح؟ **حل التمرين 4.12.** (أ) $0 = \rho g + \eta v''(y)$، و $v(0) = 0$ (لا انزلاق)، و $v'(h) = 0$ (لا إجهاد على السطح الحرّ). (ب) وبالمكاملة مرتين: $v = (\rho g/2\eta)(2hy - y^2)$؛ و $q = \int_0^hv\,\dd y = \rho gh^3/3\eta$. (ج) $v_s = \rho gh^2/2\eta = 1200 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-8}/1 = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$؛ و $q = 6.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$؛ أي $28\,\mathrm{cm}$ في عشر دقائق — فطلاء نيوتني بتلك السماكة كان ليسيل كله؛ وأما الطلاءات الحقيقية فتخفّ بالقصّ وثيكسوتروبية، وتتهدّل مع ذلك إذا سُمّكت لأن $v_s \propto h^2$. (د) $1400 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-6}/20 = 2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$. ![شارع دوامات فون كارمان في الغيوم في مصبّ جزيرة، منظورًا من الفضاء: ذيل أسطوانة عند عدد رينولدز بضع مئات، مرسومًا على مقياس مئة كيلومتر (ناسا).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/img-e5c057789fa9.jpg) *شارع دوامات فون كارمان في الغيوم في مصبّ جزيرة، منظورًا من الفضاء: ذيل أسطوانة عند [عدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) بضع مئات، مرسومًا على مقياس مئة كيلومتر (ناسا).* ## 4.6 مسألة: الدم والنفط الخام والمطر **مسألة 4.1.** مسألة نهاية الأسبوع — القوانين اللزجة نفسها في شريان، وفي خط أنابيب طوله ألف كيلومتر، وفي قطرة ساقطة **الجزء I — الدم.** الدم: $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، و $\eta = 3.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (معامَلًا مائعًا نيوتنيًّا)؛ والدفق القلبي $D_V = 5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$. 1. الأبهر، ونصف قطره $1.25\,\mathrm{cm}$ : السرعة الوسطى [وعدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) والنظام. 2. ولو كان الجريان في الأبهر [جريان بوازوي](#prop-b2-viscous-flows-poiseuille) ، فما السرعة العظمى [وإجهاد القصّ](#def-b2-viscous-flows-viscosity) عند الجدار؟ (فالبطانة الغشائية تستشعر إجهادات رتبتها $1\,\mathrm{Pa}$ .) 3. وشعيرة نصف قطرها $4.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ تحمل الدم بالسرعة $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : أوجد [عدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) ؛ وانخفاض الضغط على طولها $1.0\,\mathrm{mm}$ ، بالباسكال وبميليمترات الزئبق (و $1\,\mathrm{mmHg}$ تساوي $133\,\mathrm{Pa}$ ). 4. الزمن الذي تستغرقه كرية حمراء في عبور الشعيرة؛ ولماذا تكون هذه هي الرتبة الصحيحة لتبادل الغازات؟ 5. الشرينات (نصف قطرها $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، وطولها $2.0\,\mathrm{mm}$ ، وعددها $10^8$ على التوازي): أوجد مقاومة المجموعة وانخفاض الضغط عبرها عند الدفق القلبي الكامل. 6. والانخفاض الكلي من الشرايين إلى الأوردة $13\,\mathrm{kPa}$ : أوجد الاستطاعة الميكانيكية التي يقدّمها البطين الأيسر. وقارنها بجسم استطاعته $100\,\mathrm{W}$ . 7. ويخفض تضيّق نصف قطر شريان إكليلي بنسبة $40\%$ على طول قصير: بأي معامل ترتفع مقاومته؛ ولماذا قد تبقى عضلة القلب في المصبّ مرويّة في الراحة لا في الجهد. 8. وأثناء جهد شديد يبلغ الدفق القلبي $25\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ : فما [عدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) في الأبهر، وما النظام؟ 9. والدم ليس نيوتنيًّا: إذ تهبط لزوجته الظاهرية عند معدل القصّ الكبير وترتفع عند الصغير. فأي الأوعية السابقة أشدّ تأثرًا، وفي أي اتجاه؟ **الجزء II — خط الأنابيب.** خط أنابيب نفط خام: قطره $D = 1.2\,\mathrm{m}$، وطوله $L = 1300\,\mathrm{km}$، وتدفقه $D_V = 3.0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$؛ والنفط $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، و $\eta = 2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ حين يُبقى دافئًا. والاحتكاك المضطرب: $\Delta P = \lambda (L/D)\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$، مع $\lambda = 0.316/\mathrm{Re}^{1/4}$. 10. السرعة الوسطى [وعدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) ؛ والنظام. 11. انخفاض الضغط في الكيلومتر وعلى الخط كله. 12. ويتحمل الأنبوب $80\,\mathrm{bar}$ : فما أصغر عدد لمحطات الضخّ على امتداد الخط؟ 13. الاستطاعة الكلية للضخّ؛ والطاقة في المتر المكعب من النفط المسلَّم، مقارنةً بمحتوى النفط من الطاقة ( $36\,\mathrm{GJ}/\mathrm{m}^{3}$ ). 14. وأي انخفاض يتنبأ به قانون بوازوي؟ علّق على كلفة الاضطراب (وعلى سبب حقن مضافات بوليمرية تؤخّر الاضطراب في بعض خطوط الأنابيب). 15. وفي الشتاء يبلغ النفط غير المسخَّن $\eta = 2.0\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : فما [عدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) الجديد والنظام؛ وما انخفاض الضغط على الخط بالقانون الملائم؟ وما نتيجة ذلك للتصميم (فالخط الحقيقي معزول والنفط يُبقى دافئًا)؟ 16. زمن عبور النفط من طرف إلى آخر. 17. [إجهاد القصّ](#def-b2-viscous-flows-viscosity) عند الجدار في الحالة الدافئة المضطربة، انطلاقًا من انخفاض الضغط؛ [وقوة الاحتكاك](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/1-rigid-body-mechanics#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) الكلية على جدار الأنبوب. 18. والتدفق نفسه في أنبوب قطره $1.0\,\mathrm{m}$ : بأي معامل يتغير انخفاض الضغط المضطرب؟ 19. وتُحمَل حبة رمل قطرها $0.10\,\mathrm{mm}$ ( $\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) في النفط الدافئ: أوجد سرعة ترسيب ستوكس، [وعدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) للحبة، وزمن الترسيب عبر الأنبوب. وقارن بتقلبات السرعة المضطربة، وهي بضعة بالمئة من $\langle v \rangle$ : أيترسّب الرمل في خط الأنابيب العامل؟ وفي الخط المتوقف؟ **الجزء III — القطرات.** الهواء: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، و $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$؛ والماء $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، و $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$. 20. قطرة غيم قطرها $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : أوجد سرعة ستوكس الحدّية، [وعدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) ، وزمن السقوط $1\,\mathrm{km}$ ؛ ولماذا يبقى الغيم. 21. رذاذ قطره $0.20\,\mathrm{mm}$ : سرعة ستوكس [وعدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) ؛ أيبقى ستوكس موثوقًا؟ 22. قطرة مطر قطرها $2.0\,\mathrm{mm}$ : بيّن أن ستوكس يخفق، وأوجد [السرعة الحدّية](#prop-b2-viscous-flows-stokes) مع $C_x = 0.5$ . وزمن السقوط من $1\,\mathrm{km}$ . 23. وفي تيار صاعد سرعته $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ، أترتفع قطرة الغيم أم تسقط؟ وأي تيار صاعد يحمل قطرة الرذاذ؟ 24. [ضغط لابلاس](#rem-b2-viscous-flows-capillarity) داخل القطرات الثلاث؛ وقارنه [بالضغط الديناميكي](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/3-perfect-fluids-euler-and-bernoulli#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli) $\tfrac12\rho v_\infty^2$ لكل منها، واشرح لماذا تتفلطح قطرات المطر الكبيرة وتتفكك فوق نحو $5\,\mathrm{mm}$ . 25. أعطِ في جدول واحد، لجريانات هذه المسألة الثمانية، [عدد رينولدز](#def-b2-viscous-flows-reynolds) والقانون الذي يحكمه. **حل المسألة 4.1.** **1.** $S = 4.9\,\mathrm{cm}^{2}$، و $\langle v\rangle = 83/4.9 = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $\mathrm{Re} = 1060 \times 0.17 \times 0.025/3.5 \times 10^{-3} = 1300$: صفائحي (وتبلغ ذرى النبض $\sim 5000$). **2.** $v_{\max} = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $\tau_w = 4\eta\langle v\rangle/R = 0.19\,\mathrm{Pa}$. **3.** $\mathrm{Re} = 1060 \times 3 \times 10^{-4} \times 8 \times 10^{-6}/3.5 \times 10^{-3} = 7 \times 10^{-4}$؛ و $\Delta P = 8\eta L\langle v\rangle/R^2 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-4}/1.6 \times 10^{-11} = 525\,\mathrm{Pa} = 3.9\,\mathrm{mmHg}$. **4.** $1/0.3 = 3.3\,\mathrm{s}$: وهو زمن يكفي كي ينتشر الأكسجين بضعة ميكرومترات إلى النسيج ([الفصل 24](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/24-particle-diffusion#ch-b2-particle-diffusion)). **5.** الشرين الواحد $8\eta L/\pi R^4 = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$؛ و $10^8$ منها على التوازي: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$؛ و $\Delta P = 1.8 \times 10^7 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.5\,\mathrm{kPa} = 11\,\mathrm{mmHg}$. **6.** $P = \Delta P\,D_V = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$، أي نحو $1\%$ من استطاعة الجسم. **7.** $(1/0.6)^4 = 7.7$. وفي الراحة تتوسّع الأوعية في المصبّ فتعوّض؛ وفي الجهد يرتفع الطلب أربعة أو خمسة أضعاف ولا يستطيع الشريان المتضيّق تلبيته: وتلك هي الذبحة. **8.** خمسة أضعاف السرعة: $\mathrm{Re} \approx 6500$، مضطرب — وهي اللغطات التي تسمعها السماعة أثناء التمرين. **9.** في الجريان البطيء القليل القصّ في الأوردة الصغيرة والشعيرات تتكتل الكريات الحمراء فترتفع [اللزوجة](#def-b2-viscous-flows-viscosity) الظاهرية (والعكس في الأبهر السريع)؛ فكل تقديرات انخفاض الضغط للأوعية الصغيرة حدود دنيا. **10.** $\langle v\rangle = 3/1.13 = 2.65\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $\mathrm{Re} = 850 \times 2.65 \times 1.2/0.02 = 1.35 \times 10^5$: مضطرب. **11.** $\lambda = 0.316/19.2 = 0.0165$؛ و $\Delta P/L = (0.0165/1.2) \times \tfrac12 \times 850 \times 7.0 = 41\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m} = 41\,\mathrm{kPa}/\mathrm{km}$؛ أي $534\,\mathrm{bar}$ على الخط. **12.** $534/80 = 6.7$: أي سبع محطات على الأقل. **13.** $P = \Delta P\,D_V = 5.34 \times 10^7 \times 3 = 160\,\mathrm{MW}$؛ و $53\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$، أي $0.15\%$ من طاقة النفط. **14.** $\Delta P = 32\eta L\langle v\rangle/D^2 = 32 \times 0.02 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 15\,\mathrm{bar}$: أي أقل بخمسة وثلاثين مرة. فالاضطراب مكلف؛ وبضعة أجزاء من المليون من بوليمرات طويلة تؤخّره وتخفض الانخفاض بعشرات في المئة. **15.** $\mathrm{Re} = 1350$: صفائحي؛ وببوازوي: $\Delta P = 32 \times 2 \times 1.3 \times 10^6 \times 2.65/1.44 = 1500\,\mathrm{bar}$ — وهو مستحيل؛ فلا بدّ من إبقاء النفط دافئًا، ومن هنا العزل والتسخين. **16.** $1.3 \times 10^6/2.65 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.7\,\mathrm{d}$. **17.** $\tau_w = (\Delta P/L)D/4 = 41 \times 0.3 = 12\,\mathrm{Pa}$؛ و $F = \tau_w\pi DL = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{N}$. **18.** $\Delta P \propto \lambda\langle v\rangle^2/D \propto D^{-4.75}$: أي $1.2^{4.75} = 2.4$. **19.** $v = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta = 2 \times 2.5 \times 10^{-9} \times 1800 \times 9.81/ 0.18 = 0.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$؛ و $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$؛ و $41\,\mathrm{min}$ لعبور $1.2\,\mathrm{m}$. وتقلّبات الاضطراب، وهي بضعة سنتيمترات في الثانية، تُبقيها معلَّقة ما دام النفط يجري؛ وفي خط متوقف تترسّب في أقل من ساعة. **20.** $v = 2 \times 2.5 \times 10^{-11} \times 1000 \times 9.81/1.62 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$؛ و $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$؛ و $1\,\mathrm{km}$ في $3.3 \times 10^5$ ثانية، أي أربعة أيام: فأي تيار صاعد يفوق بضعة ميليمترات في الثانية يحملها. **21.** $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $\mathrm{Re} = 16$: فيفرط ستوكس في التقدير بنحو الضعف (والحقيقي $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). **22.** كان ستوكس ليعطي $120\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $\mathrm{Re} \sim 10^4$: وهو عبث. وبالإعاقة التربيعية، $\tfrac43\pi R^3\rho_wg = \tfrac12\rho v^2\pi R^2C_x$: ومنه $v = \sqrt{8R \rho_wg/3\rho C_x} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (و $\mathrm{Re} = 900$، وهو متوافق)؛ و $150\,\mathrm{s}$ من $1\,\mathrm{km}$. **23.** $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ $>$ $3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$: فترتفع القطرة؛ وأما قطرة الرذاذ فتحتاج نحو $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، وهو ما توفّره الغيوم الحملية. **24.** $2\gamma/R$: أي $29\,\mathrm{kPa}$، و $1.4\,\mathrm{kPa}$، و $144\,\mathrm{Pa}$؛ والضغوط الديناميكية $\tfrac12\rho v^2$: $5 \times 10^{-6}$، و $0.3$، و $26\,\mathrm{Pa}$. وتبلغ النسبة $0.2$ عند $2\,\mathrm{mm}$؛ وعند $5\,\mathrm{mm}$ ($v \approx 9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $\tfrac12\rho v^2 = 49\,\mathrm{Pa}$ مقابل $58\,\mathrm{Pa}$) يفلطح الضغط الهوائي القطرة ويفكّكها: فلا تتجاوز قطرة مطر نحو $5\,\mathrm{mm}$. **25.** الأبهر $10^3$ (صفائحي، قرب الانتقال)؛ والشعيرة $10^{-3}$ (بوازوي)؛ والشرين $10^{-2}$ (بوازوي)؛ وخط الأنابيب الدافئ $10^5$ (مضطرب، $\lambda(\mathrm{Re})$)؛ وخط الأنابيب البارد $10^3$ (بوازوي)؛ والرمل في النفط $10^{-3}$ (ستوكس)؛ وقطرة الغيم $10^{-3}$ (ستوكس)؛ وقطرة المطر $10^3$ (إعاقة تربيعية، $C_x \approx 0.5$).