--- title: "الأمواج على الأوتار والقضبان: معادلة دالمبير" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثانية" subject: physics language: ar chapter: 6 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation --- # الفصل 6 — الأمواج على الأوتار والقضبان: معادلة دالمبير اقطف وتر قيثارة فيجري شكل على امتداده، ويرتدّ عن الفرس، ويعود، ويستقر في النقش المستقر الذي تسمع تواتره نغمةً. وضع أذنك على قضيب سكة حديدية فتسمع القطار قبل وصوله بكثير: إذ يجري انضغاط في الفولاذ بخمسة كيلومترات في الثانية. وقد وصف كتاب السنة الأولى مثل هذه الأمواج — منتقلةً ومستقرةً ومتراكبةً — دون أن يقول لماذا توجد. وهذا الفصل يشتقّ المعادلة التي تحكمها، أي *[معادلة دالمبير](#thm-b2-waves-on-strings-equation) للأمواج*، من أجل الحركة المستعرضة لوتر أولًا، ثم من أجل الحركة الطولية لقضيب مبنيّ، ذرّةً ذرّةً، من كتل ونوابض؛ ويحسب الطاقة التي تحملها الموجة والممانعة التي تقرّر ما يحدث حين تلقى تغيّرًا في الوسط. ## 6.1 الوتر المهتزّ **مبرهنة 6.1 (معادلة الأمواج في وتر).** وتر كثافته الطولية $\mu$، مشدود بتوتر $T$، يقوم بانتقالات مستعرضة صغيرة $y(x, t)$ (وميوله $|\partial_xy| \ll 1$). عندئذ $$ \frac{\partial^2y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2y}{\partial x^2} , \qquad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} , $$ وهي *[معادلة دالمبير](#thm-b2-waves-on-strings-equation)*، وحلّها العام $y = f(x - ct) + g(x + ct)$: أي تراكب شكل ينتقل نحو اليمين وشكل ينتقل نحو اليسار بالسرعة $c$، دون تشوّه. **برهان.** لنعزل العنصر بين $x$ و $x + \dd x$، وكتلته $\mu\,\dd x$. فيجذبه جاراه على امتداد مماس الوتر بالتوتر $T$: أفقيًّا $T\cos\theta \approx T$ عند الطرفين (إذ لا حركة أفقية، ومنه يكون $T$ واحدًا على امتداده)، وشاقوليًّا $T\sin\theta \approx T\partial_xy$، وهو ما يعطي القوة الصافية $T[\partial_xy(x + \dd x) - \partial_xy(x)] = T\,\partial_x^2y\,\dd x$. ونيوتن: $\mu\,\dd x\,\partial_t^2y = T\partial_x^2y\,\dd x$. وأما الحلّ، فنضع $u = x - ct$ و $v = x + ct$: فتصير المعادلة $\partial_u\partial_vy = 0$ (بقاعدة الاشتقاق المركّب)، ومنه لا يتوقف $\partial_vy$ إلا على $v$، ويكون $y = f(u) + g(v)$؛ وبالعكس يحققها كل $y$ من هذا الشكل. وأما الثقالة، وقد أُهملت، فذلك مشروع حين $T \gg \mu gL$. ∎ ![على اليسار: القوى على عنصر من الوتر — فالتوتران ليسا متوازيين حين يكون الوتر منحنيًا، ومحصّلتهما مستعرضة. وعلى اليمين: شكل f(x - ct) ينتقل نحو اليمين بالسرعة c دون تشوّه.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-0f58b88b6000.svg) *على اليسار: القوى على عنصر من الوتر — فالتوتران ليسا متوازيين حين يكون الوتر منحنيًا، ومحصّلتهما مستعرضة. وعلى اليمين: شكل $f(x - ct)$ ينتقل نحو اليمين بالسرعة $c$ دون تشوّه.* **مثال 6.2 (القيثارة والبيانو والكابل).** وتر مي الغليظ في قيثارة ($\mu = 5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$، وطوله $0.65\,\mathrm{m}$، و $82.4\,\mathrm{Hz}$) يهتزّ في نمطه الأساسي بطول موجة $\lambda = 2L$: فيكون $c = 2Lf = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $T = \mu c^2 = 63\,\mathrm{N}$. ووتر لا$_4$ في بيانو (فولاذ، $1\,\mathrm{mm}$، و $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$، و $0.38\,\mathrm{m}$، و $440\,\mathrm{Hz}$): $c = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $T = 680\,\mathrm{N}$ — وفي البيانو نحو $230$ وترًا، أي عشرون طنًّا من التوتر على إطار من الحديد الصبّ. وكابل كثافته $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ عند $10\,\mathrm{kN}$: $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ## 6.2 الأمواج المستقرة والأنماط **قضية 6.3 (أنماط وتر مثبَّت من طرفيه).** وتر مثبَّت عند $x = 0$ و $x = L$ يقبل حلول الأمواج المستقرة الجيبية (أي *[الأنماط الذاتية](#prop-b2-waves-on-strings-modes)*) $$ y_n(x, t) = A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_nt - \varphi_n) , \qquad f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = n\,\frac{c}{2L} = n f_1 , \quad n = 1, 2, 3, \dots $$ — أي النمط الأساسي $f_1 = c/2L$ و*توافقياته*. وللنمط $n$ عدد $n - 1$ من العقد بين الطرفين. وكل حركة للوتر تراكب $y = \sum_ny_n$، والسعات والأطوار تحدّدها الحالة الابتدائية شكلًا وسرعةً (وهي متسلسلة فورييه، كما يقرّر كتاب الرياضيات لهذه السنة): ومزيج التوافقيات هو *جرس* النغمة. **برهان.** لنبحث عن $y = F(x)\cos(\omega t - \varphi)$: فيكون $F'' + (\omega/c)^2F = 0$، ويعطي $F(0) = 0$ الحلّ $F = A\sin(\omega x/c)$، ويقتضي $F(L) = 0$ أن يكون $\omega L/c = n\pi$. وكل نمط مجموع موجتين منتقلتين كذلك: $\sin kx\cos\omega t = \tfrac12[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ — أي الموجة وانعكاسها. وأما تمام جملة الجيوب فمبرهنة فورييه. ∎ ![على اليمين: الأنماط الثلاثة الأولى لوتر مثبَّت من طرفيه (f_n = nc/2L). وعلى اليسار: وتر مقطوف في منتصفه (مثلث) والحدود الأولى من متسلسلة فورييه له — فلا تظهر إلا التوافقيات الفردية، وسعاتها تهبط مثل 1/n2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-c7c67b1885ab.svg) ![على اليمين: الأنماط الثلاثة الأولى لوتر مثبَّت من طرفيه (f_n = nc/2L). وعلى اليسار: وتر مقطوف في منتصفه (مثلث) والحدود الأولى من متسلسلة فورييه له — فلا تظهر إلا التوافقيات الفردية، وسعاتها تهبط مثل 1/n2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-0e1fbfb02bde.svg) *على اليمين: الأنماط الثلاثة الأولى لوتر مثبَّت من طرفيه ($f_n = nc/2L$). وعلى اليسار: وتر مقطوف في منتصفه (مثلث) والحدود الأولى من متسلسلة فورييه له — فلا تظهر إلا التوافقيات الفردية، وسعاتها تهبط مثل $1/n^2$.* **مثال 6.4 (تجربة ملد).** وتر يُهزّ من أحد طرفيه بهزّاز عند التواتر $f$، وطرفه الآخر يمرّ فوق بكرة إلى كتلة معلَّقة $m$ (ومنه $T = mg$): فتظهر [موجة مستقرة](#prop-b2-waves-on-strings-modes) كبيرة كلما ساوى $f$ أحد $f_n = (n/2L) \sqrt{mg/\mu}$ — أي رنين النمط $n$. ومن أجل $L = 1.2\,\mathrm{m}$، و $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$، و $f = 50\,\mathrm{Hz}$، تكون الكتل التي تعطي $n = 1, 2, 3$ عروة هي $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 1.47/n^2$ كيلوغرام: أي $1.47\,\mathrm{kg}$، و $367\,\mathrm{g}$، و $163\,\mathrm{g}$. والضغط على وتر قيثارة عند الدستان الثاني عشر ينصّف $L$ ويضاعف $f_1$: أي الديوان؛ ولمسه لمسًا خفيفًا في المنتصف دون ضغط يقتل الأنماط الفردية ويترك التوافقي الثاني — وهي النغمة التوافقية. ## 6.3 الطاقة والاستطاعة والممانعة **قضية 6.5 (طاقة موجة على وتر).** يحمل الوتر الطاقة في واحدة الطول والاستطاعة (أي تدفق الطاقة نحو $+x$) $$ e = \tfrac12\mu\Bigl(\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr)^2 + \tfrac12T\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^2 , \qquad \mathcal P = -T\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t} , $$ وهما تحققان الموازنة الموضعية $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$. ومن أجل موجة متقدمة $y = f(x - ct)$، تتساوى الكثافتان الحركية والكامنة ويكون $\mathcal P = Z\,(\partial_ty)^2$ حيث $$ Z = \sqrt{T\mu} = \mu c = \frac Tc , $$ وهي *ممانعة* الوتر ($\mathrm{kg}/\mathrm{s}$): أي نسبة القوة المستعرضة $-T\partial_xy$ التي يؤثر بها الوتر فيما هو أمامه إلى السرعة المستعرضة $\partial_ty$. وموجة جيبية سعتها $A$ تحمل الاستطاعة الوسطى $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2$. **برهان.** الحدّ الكامن هو شغل التوتر وهو يمطّ العنصر: إذ طوله $$ \dd x\sqrt{1 + (\partial_xy)^2} \approx \dd x\bigl(1 + \tfrac12(\partial_xy)^2\bigr) , $$ ومنه يعطي فائض الطول مضروبًا في $T$ المقدارَ $\tfrac12T(\partial_xy)^2\dd x$. والاستطاعة المنقولة عبر $x$ نحو $+x$ هي القوة المستعرضة التي يؤثر بها الجزء الأيسر في الجزء الأيمن، $-T\partial_xy$، مضروبةً في السرعة $\partial_ty$. والموازنة: $$ \partial_te = \mu\,\partial_ty\,\partial_t^2y + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty , \qquad -\partial_x\mathcal P = T\,\partial_x^2y\,\partial_ty + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty , $$ وهما متساويان [بمعادلة الأمواج](#thm-b2-waves-on-strings-equation). ومن أجل $f(x - ct)$: $\partial_xy = -\partial_ty/c$، ومنه $\mathcal P = (T/c) (\partial_ty)^2$ وتساوي الكثافتان $\tfrac12\mu(\partial_ty)^2$. ∎ **قضية 6.6 (الانعكاس والنفاذ عند وصلة).** موجة سعتها $A_i$ تصل من وتر ممانعته $Z_1$ إلى وتر ممانعته $Z_2$ موصولين عند $x = 0$. ويعطي اتصال الانتقال والقوة المستعرضة عند الوصلة معاملي السعة $$ r = \frac{A_r}{A_i} = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2} , \qquad t = \frac{A_t}{A_i} = \frac{2Z_1}{Z_1 + Z_2} , $$ والنسبتين الطاقيتين $R = r^2$ و $\mathcal T = 4Z_1Z_2/(Z_1 + Z_2)^2$، مع $R + \mathcal T = 1$. والطرف المثبَّت ($Z_2 \to \infty$) يعكس بالمعامل $r = -1$ (فتعود النبضة مقلوبة)، والطرف الحرّ ($Z_2 = 0$) بالمعامل $r = +1$؛ والممانعتان المتساويتان تنفذان كل شيء. **برهان.** موجتان جيبيتان $y_1 = A_i\cos(\omega t - k_1x) + A_r\cos(\omega t + k_1x)$ من أجل $x < 0$، و $y_2 = A_t\cos(\omega t - k_2x)$ من أجل $x > 0$، و $\omega$ نفسها على الجانبين. وعند $x = 0$: يعطي $y_1 = y_2$ العلاقة $A_i + A_r = A_t$؛ ويعطي اتصال القوة $-T\partial_xy$ (والوصلة معدومة الكتلة) العلاقة $Z_1(A_i - A_r) = Z_2A_t$ (باستعمال $T_1k_1 = Z_1\omega$). ثم نحلّ. وأما الطاقات: فبالاستطاعات الوسطى $\tfrac12Z\omega^2A^2$. ∎ ![نبضة تلقى وصلة مع وتر أثقل (Z_2 = 4Z_1): فينفذ جزء منها، أبطأ وأضيق، وينعكس جزء مقلوبًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-23fd8cb0b269.svg) *نبضة تلقى وصلة مع وتر أثقل ($Z_2 = 4Z_1$): فينفذ جزء منها، أبطأ وأضيق، وينعكس جزء مقلوبًا.* ## 6.4 من سلسلة الذرات إلى القضيب المرن **قضية 6.7 (سلسلة الذرات؛ معامل يونغ).** خط من كتل متماثلة $m$ متباعدة بالمسافة $a$ وموصولة بنوابض صلابتها $k$: إذا كان $u_n(t)$ انتقال الكتلة $n$ على امتداد الخط، فإن $$ m\ddot u_n = k(u_{n+1} - u_n) - k(u_n - u_{n-1}) = k(u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1}) . $$ وحين يتغير الانتقال ببطء من كتلة إلى التالية (على أطوال موجة $\lambda \gg a$)، يصير $u_n(t) \to u(x, t)$ مع $u_{n\pm1} - u_n \approx \pm a\,\partial_xu + \tfrac12a^2\partial_x^2u$، وتحقق السلسلة [معادلة دالمبير](#thm-b2-waves-on-strings-equation) $$ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} , \qquad c = a\sqrt{\frac km} = \sqrt{\frac{E}{\rho}} , $$ حيث $\rho = m/a^3$ كثافة جسم صلب مصنوع من مثل هذه السلاسل في ترتيب مكعّبي و $E = k/a$ هو *[معامل يونغ](#prop-b2-waves-on-strings-chain)* له: إذ صلابة قضيب مقطعه $S$ وطوله $\ell$ هي $kS/a^2\cdot a/\ell = ES/\ell$، أي *قانون هوك* $F/S = E\,\Delta\ell/\ell$ (والإجهاد $\sigma = E\varepsilon$). **برهان.** يتمطّ كل نابض بفرق انتقالي طرفيه. ونُدخل نشري تايلور: فنجد $m\partial_t^2u = ka^2\partial_x^2u$. ويعطي مكعّب ضلعه $a$ لكل ذرة $\rho = m/a^3$؛ ويحوي قضيب مقطعه $S$ عدد $S/a^2$ سلسلة متوازية من $\ell/a$ نابضًا على التسلسل، وصلابتها الكلية $(S/a^2)(ka/\ell) = (k/a)S/\ell$. ∎ **قضية 6.8 (الأمواج الطولية في قضيب).** ومباشرةً على الوسط المتصل: عنصر من قضيب بين $x$ و $x + \dd x$، منتقل بالمقدار $u(x, t)$، يتشوّه بالمقدار $\varepsilon = \partial_xu$ ويُجذب بالإجهاد $\sigma = E\partial_xu$ على كل وجه؛ ويعطي نيوتن $\rho\,\partial_t^2u = E\,\partial_x^2u$: فتنتقل الأمواج الطولية (أمواج الانضغاط) بالسرعة $c = \sqrt{E/\rho}$ — أي $5100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في الفولاذ ($E = 200\,\mathrm{GPa}$)، و $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في الألومنيوم، و $3700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في الغرانيت، و $3500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ في الخشب على امتداد أليافه. والممانعة هي $Z = \rho c = \sqrt{E\rho}$ في واحدة المساحة، وتنطبق صيغ الوصلة نفسها — وهكذا تجد الأمواج فوق الصوتية شرخًا في قضيب سكة. **برهان.** القوة الصافية على العنصر: $S[\sigma(x + \dd x) - \sigma(x)] = SE\partial_x^2u\,\dd x$؛ وكتلته $\rho S\dd x$. ∎ ![على اليسار: سلسلة الكتل والنوابض — تحسّ كل كتلة النابضين حولها، والنهاية المتصلة هي معادلة الأمواج مع c = a√k/m. وعلى اليمين: عنصر من قضيب مرن يُجذب بالإجهاد على وجهيه.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-6529fbffabcc.svg) *على اليسار: سلسلة الكتل والنوابض — تحسّ كل كتلة النابضين حولها، والنهاية المتصلة هي [معادلة الأمواج](#thm-b2-waves-on-strings-equation) مع $c = a\sqrt{k/m}$. وعلى اليمين: عنصر من قضيب مرن يُجذب بالإجهاد على وجهيه.* **ملاحظة 6.9 (ما تعرفه السلسلة ولا يعرفه القضيب).** والبحث عن $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ في معادلة السلسلة التامة يعطي $\omega = 2\sqrt{k/m}\,|\sin(ka/2)|$: فمن أجل $ka \ll 1$ يكون ذلك $\omega = ck$، أي [معادلة الأمواج](#thm-b2-waves-on-strings-equation) غير المتبدّدة، ولكن حين يقترب طول الموجة من $2a$ يتشبّع التواتر عند $2\sqrt{k/m}$ وتختلف سرعتا الطور والمجموعة — وهي أول *علاقة تبدد* في هذا الكتاب، وموضوع [الفصل 8](https://one-course.com/books/physics/4/ar/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#ch-b2-dispersion-wave-packets). ومن أجل $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ و $c = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ يقع القطع عند $\omega_{\max} = 2c/a = 4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (أي $6\,\mathrm{THz}$): فلا يستطيع الجسم الصلب أن يهتزّ أسرع مما تسمح به نوابض ذراته. ## 6.5 تمارين **تمرين 6.1 ★.** وتر لا في قيثارة ($110\,\mathrm{Hz}$، و $L = 65\,\mathrm{cm}$، و $\mu = 3.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$): أوجد سرعة الموجة، والتوتر، وطول موجة النمط الأساسي على الوتر وطول موجة الصوت في الهواء؛ والتواتر حين يُضغط الوتر عند الدستان الخامس (إذ ينقص $L$ بالمعامل $2^{-5/12}$). **حل التمرين 6.1.** $c = 2Lf = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $T = \mu c^2 = 61\,\mathrm{N}$؛ و $\lambda = 2L = 1.3\,\mathrm{m}$ على الوتر، و $340/110 = 3.1\,\mathrm{m}$ في الهواء؛ وعند الدستان الخامس: $110 \times 2^{5/12} = 147\,\mathrm{Hz}$. **تمرين 6.2 ★.** سرعة الأمواج الطولية في الفولاذ ($E = 200\,\mathrm{GPa}$، و $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)، والألومنيوم ($70\,\mathrm{GPa}$، و $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)، والرصاص ($16\,\mathrm{GPa}$، و $11\,300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). والزمن الذي يستغرقه الصوت في قطع $1.0\,\mathrm{km}$ على امتداد قضيب سكة وعبر الهواء ($340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$)؛ وما يسمعه سامع أذنه على القضيب. **حل التمرين 6.2.** $\sqrt{E/\rho}$: الفولاذ $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$، والألومنيوم $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$، والرصاص $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. وفي $1\,\mathrm{km}$: $0.20\,\mathrm{s}$ في القضيب، و $2.9\,\mathrm{s}$ في الهواء — أي صوتان، صوت القضيب أولًا، بينهما $2.7\,\mathrm{s}$. **تمرين 6.3 ★.** وتر نمطه الأساسي $200\,\mathrm{Hz}$: أوجد تواترات الأنماط 2 و 3 و 4 وعدد عقدها؛ ومواضع عقد النمط 3؛ وتواتر النمط الأساسي إذا تضاعف التوتر، وإذا انتصف الطول، وإذا استُبدل بالوتر وتر أثقل ثلاث مرات في المتر. **حل التمرين 6.3.** $400$ و $600$ و $800$ هرتز، وفيها $1$ و $2$ و $3$ عقد داخلية؛ وعقدتا النمط 3 عند $L/3$ و $2L/3$. ومع $T \times 2$: $200\sqrt2 = 283\,\mathrm{Hz}$؛ وعند $L/2$: $400\,\mathrm{Hz}$؛ ومع $\mu \times 3$: $200/\sqrt3 = 115\,\mathrm{Hz}$. **تمرين 6.4 ★.** حبل طوله $12\,\mathrm{m}$ ($\mu = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$) مشدود بقوة $45\,\mathrm{N}$؛ وأحد طرفيه مثبَّت إلى جدار. وتُرسل نبضة من الطرف الآخر. أوجد السرعة؛ والزمن اللازم لبلوغ الجدار والعودة؛ وشكل النبضة العائدة؛ والأمر نفسه إذا رُبط الطرف البعيد بحلقة خفيفة تنزلق بحرية على عمود. **حل التمرين 6.4.** $c = \sqrt{45/0.2} = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $24\,\mathrm{m}$ في $1.6\,\mathrm{s}$؛ وتعود النبضة مقلوبة ($r = -1$)؛ ومع الحلقة الحرّة تعود قائمة ($r = +1$). **تمرين 6.5 ★★.** وتر بيانو من أجل $440\,\mathrm{Hz}$: فولاذ ($\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)، وقطره $1.0\,\mathrm{mm}$، وطوله الناطق $38\,\mathrm{cm}$. (أ) أوجد $\mu$، وسرعة الموجة، والتوتر. (ب) الإجهاد في السلك؛ وقارنه بمقاومة سلك البيانو، وهي نحو $2\,\mathrm{GPa}$. (ج) والنغمة نفسها بسلك قطره $0.5\,\mathrm{mm}$: أوجد التوتر والإجهاد. (د) ولماذا تُلفّ أوتار الغليظ بالنحاس بدل أن تُصنع أطول أو أسمك؟ **حل التمرين 6.5.** (أ) $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$؛ و $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $T = \mu c^2 = 690\,\mathrm{N}$. (ب) $\sigma = T/A = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$، والهامش $2.3$. (ج) $T/4 = 170\,\mathrm{N}$، والإجهاد نفسه (إذ لا يتوقف إلا على $\rho c^2$). (د) والوتر الطويل لا يتّسع له الصندوق؛ والسلك الصرف السميك صلب جدًّا (شديد اللاتوافقية) ويصعب ثنيه فوق الفرس؛ ولفّ النحاس يضيف الكتلة دون الصلابة. **تمرين 6.6 ★★.** *ملد.* وتر طوله $1.5\,\mathrm{m}$ ($\mu = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$) يُهزّ عند $60\,\mathrm{Hz}$؛ وتوتره تحدّده كتلة معلَّقة. (أ) أوجد الكتل التي تعطي $1$ و $2$ و $3$ و $4$ عروات. (ب) ومع $0.50\,\mathrm{kg}$: أيقع رنين؟ وما أقرب نمط؟ (ج) والطرف المهزوز: أهو عقدة أم بطن في الواقع؟ (د) ولماذا تكبر العروات إلى هذا الحدّ عند الرنين، وما الذي يحدّها؟ **حل التمرين 6.6.** (أ) $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 6.6/n^2$ كيلوغرام: أي $6.6$ و $1.65$ و $0.73$ و $0.41\,\mathrm{kg}$. (ب) $n^2 = 13.2$، و $n = 3.6$: فلا رنين، وهي بين النمطين 3 و 4 (وأقربهما 4، عند $0.41\,\mathrm{kg}$). (ج) عقدة عمليًّا: إذ سعة الهزّاز ضئيلة بالقياس إلى العروات. (د) وتُغذّى الطاقة في الطور نفسه في كل دور فتتراكم؛ ويحدّ التخامد السعةَ (الهواء، والاحتكاك الداخلي، والتسرّب عبر البكرة). **تمرين 6.7 ★★.** موجة $y = A\cos(\omega t - kx)$ حيث $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ و $f = 100\,\mathrm{Hz}$ تنتقل على وتر ($T = 100\,\mathrm{N}$، و $\mu = 10\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$). أوجد السرعة، و $k$، وطول الموجة؛ والسرعة والتسارع المستعرضين الأعظميين لنقطة؛ والميل الأعظمي؛ والممانعة؛ والاستطاعة الوسطى المحمولة؛ والطاقة المحتواة في طول موجة واحد. **حل التمرين 6.7.** $c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $k = 6.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$، و $\lambda = 1.0\,\mathrm{m}$؛ و $v_{\max} = \omega A = 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $a_{\max} = \omega^2A = 790\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ والميل $kA = 0.013$؛ و $Z = \sqrt{T\mu} = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$؛ و $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2 = 0.79\,\mathrm{W}$؛ وفي طول الموجة الواحد $\mathcal P/f = 7.9\,\mathrm{mJ}$. **تمرين 6.8 ★★.** وتر $\mu_1 = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ مربوط بوتر $\mu_2 = 8.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$، وكلاهما تحت $20\,\mathrm{N}$. (أ) أوجد السرعتين والممانعتين. (ب) معاملي الانعكاس والنفاذ في السعة من أجل موجة آتية من الوتر الخفيف؛ ثم من الوتر الثقيل. (ج) النسبتين الطاقيتين في الحالتين؛ وتحقق من أن مجموعهما واحد. (د) وتصل نبضة ارتفاعها $1\,\mathrm{cm}$ وعرضها $10\,\mathrm{cm}$ من الوتر الخفيف: أوجد ارتفاع النبضتين النافذة والمنعكسة وعرضهما. **حل التمرين 6.8.** (أ) $c_1 = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $c_2 = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $Z_1 = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$، و $Z_2 = 0.40\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$. (ب) من الوتر الخفيف: $r = -1/3$، و $t = 2/3$؛ ومن الثقيل: $r = +1/3$، و $t = 4/3$. (ج) $R = 1/9$، و $\mathcal T = 4 \times 0.08/0.36 = 8/9$ في الحالتين. (د) والنافذة: ارتفاعها $0.67\,\mathrm{cm}$ وعرضها $5\,\mathrm{cm}$ (المدة نفسها، ونصف السرعة)؛ والمنعكسة: $-0.33\,\mathrm{cm}$ و $10\,\mathrm{cm}$. **تمرين 6.9 ★★.** سلك فولاذي طوله $2.0\,\mathrm{m}$ وقطره $1.0\,\mathrm{mm}$ يتمطّ $1.0\,\mathrm{mm}$ تحت $80\,\mathrm{N}$. (أ) أوجد [معامل يونغ](#prop-b2-waves-on-strings-chain). (ب) سرعة الأمواج الطولية. (ج) التواتر الأساسي لاهتزاز السلك الطولي حين يُثبَّت من طرفيه، ولاهتزازه المستعرض تحت ذلك التوتر؛ ولماذا يختلفان إلى هذا الحدّ؟ (د) صلابة $k$ وكتلة $m$ «ذرّة» في نموذج السلسلة، من أجل $a = 0.25\,\mathrm{nm}$. **حل التمرين 6.9.** (أ) $E = F\ell/A\Delta\ell = 80 \times 2/(7.85 \times 10^{-7} \times 10^{-3}) = 2.0 \times 10^{11}\,\mathrm{Pa}$. (ب) $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (ج) الطولي: $c/2\ell = 1.3\,\mathrm{kHz}$؛ والمستعرض: $\sqrt{T/\mu} = 114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و $f = 29\,\mathrm{Hz}$ — إذ يجهد التوتر السلك حتى $100\,\mathrm{MPa}$، أي $5 \times 10^{-4}$ من $E$، ومنه تكون السرعة المستعرضة $\sqrt{5 \times 10^{-4}}$ من الطولية. (د) $k = Ea = 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$؛ و $m = \rho a^3 = 1.2 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ (أي نحو $70$ واحدة كتلة ذرية). **تمرين 6.10 ★★★.** *الوتر المقطوف.* وتر مثبَّت عند $0$ و $L$ يُشدّ جانبيًّا عند $x = L/2$ إلى الارتفاع $h$ (شكل مثلثي) ويُترك من السكون. (أ) اكتب الحلّ في الصورة $\sum_nb_n\sin(n\pi x/L)\cos(\omega_nt)$ وبيّن أن $b_n = \dfrac{8h}{n^2\pi^2}\sin\dfrac{n\pi}2$. (ب) وأي التوافقيات غائبة ولماذا؟ (ج) طاقة النمط $n$ ($E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2$)؛ والنسبة من الطاقة الكلية في النمط الأساسي. (د) ويُقطف الوتر عند $L/5$ بدلًا من ذلك: فأي التوافقيات تنعدم؟ ولماذا يقطف عازف القيثارة قرب الفرس ليحصل على صوت أنصع؟ **حل التمرين 6.10.** (أ) $b_n = \frac2L\int_0^Ly(x, 0)\sin(n\pi x/L)\dd x$ مع المثلث $y = 2hx/L$ على $[0, L/2]$ (وبالتناظر): وبالمكاملة بالتجزئة، $b_n = 8h\sin(n\pi/2) /n^2\pi^2$. (ب) وتنعدم من أجل $n$ الزوجي: إذ المنتصف، وهو عقدة لكل نمط زوجي، هو النقطة المشدودة. (ج) $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2 \propto n^2/n^4 = 1/n^2$ (من أجل $n$ الفردي): وللنمط الأساسي $1/\sum_{\text{فردي}}n^{-2} = 8/\pi^2 = 81\%$. (د) $b_n \propto \sin(n\pi/5)/n^2$: فتنعدم $n = 5, 10, \dots$. وقرب الفرس يكون المعامل $\sin(n\pi x_0/L)$ صغيرًا في الأنماط الدنيا ويظل ينمو في العليا: أي توافقيات عالية أكثر نسبيًّا، وصوت أنصع. **تمرين 6.11 ★★★.** *تبدد السلسلة.* (أ) أدخل $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ في معادلة السلسلة واستنتج $\omega(k) = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$، حيث $\omega_0 = \sqrt{k/m}$. (ب) أوجد سرعة الطور $\omega/k$ وسرعة المجموعة $\dd\omega/\dd k$؛ ونهايتهما المشتركة عند $ka \to 0$؛ وقيمتيهما عند $ka = \pi$. (ج) وكيف تبدو الموجة عند $ka = \pi$؟ ولماذا لا توجد موجة طول موجتها أقصر من $2a$؟ (د) ومن أجل الفولاذ ($c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$، و $a = 0.25\,\mathrm{nm}$): أوجد $\omega_0$، والتواتر الأعظمي، وطول موجة تصويت فوق صوتي عند $1\,\mathrm{MHz}$ — أهو متبدّد؟ **حل التمرين 6.11.** (أ) $-m\omega^2 = k(2\cos ka - 2) = -4k\sin^2(ka/2)$. (ب) $v_\varphi = 2\omega_0\sin(ka/2) /k$، و $v_g = \omega_0a\cos(ka/2)$؛ وكلتاهما $\to \omega_0a = c$ حين $ka \to 0$؛ وعند $ka = \pi$: $v_\varphi = 2c/\pi$، و $v_g = 0$. (ج) ويتحرك الجاران في تعاكس الطور: أي [موجة مستقرة](#prop-b2-waves-on-strings-modes) لا تنقل شيئًا؛ و $k$ فيما وراء $\pi/a$ يعطي مجموعة الانتقالات نفسها التي يعطيها $k' = k - 2\pi/a$ — فلا موجة جديدة. (د) $\omega_0 = c/a = 2.0 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، و $f_{\max} = \omega_0/\pi = 6.5\,\mathrm{THz}$؛ وعند $1\,\mathrm{MHz}$: $\lambda = 5.1\,\mathrm{mm} = 2 \times 10^7a$، و $ka \sim 3 \times 10^{-7}$: أي غير متبدّد إطلاقًا. **تمرين 6.12 ★★★.** *الحبل المعلَّق والسوط الطارق.* (أ) حبل متجانس طوله $L$ يتدلى من السقف: أوجد التوتر عند الارتفاع $x$ فوق الطرف الحرّ؛ وسرعة الموجة الموضعية $c(x)$. (ب) والزمن الذي تستغرقه نبضة من الأسفل إلى الأعلى؛ والقيمة من أجل $L = 10\,\mathrm{m}$؛ ولماذا يتغير شكل النبضة. (ج) والسوط مستدقّ، و $\mu$ يتناقص نحو طرفه، عند توتر (شبه) ثابت أثناء الضربة: فكيف تتغير السرعة على امتداده؟ (د) وبتسليم أن طاقة النبضة محفوظة وأن مدتها تبقى ثابتة، بيّن أن سعة سرعتها المستعرضة تنمو مثل $\mu^{-1/4}$، وقدّر سرعة طرف سوط يهبط فيه $\mu$ بالمعامل $10^4$ من المقبض إلى الطرف إذا أعطت اليد $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (والطرقة دويّ صوتي.) **حل التمرين 6.12.** (أ) $T(x) = \mu gx$، و $c = \sqrt{gx}$. (ب) $t = \int_0^L\dd x/\sqrt{gx} = 2\sqrt{L/g} = 2.0\,\mathrm{s}$؛ ويمضي أعلى النبضة أسرع من أسفلها: فتتمطّ. (ج) و $c = \sqrt{T/\mu}$ ينمو نحو الطرف. (د) الطاقة $\approx \mathcal P\tau = ZV^2\tau = \sqrt{T\mu}V^2\tau$ ثابتة: ومنه $V \propto \mu^{-1/4}$؛ ومعامل $10^4$ في $\mu$ يعطي $\times10$: أي $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ويكسب السوط الحقيقي الباقي من العروة المنفكّة، وهي تركّز الطاقة أكثر، فيتجاوز الطرف سرعة الصوت. ![داخل بيانو ذي جناح: نحو مئتي وتر فولاذي متدرجة الطول والسماكة، كلٌّ منها موزون بتوتره على نمط أساسي c/2L؛ وأوتار الغليظ ملفوفة بالنحاس زيادةً في الكتلة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/img-f4e4ac5c0552.jpg) *داخل بيانو ذي جناح: نحو مئتي وتر فولاذي متدرجة الطول والسماكة، كلٌّ منها موزون بتوتره على نمط أساسي $c/2L$؛ وأوتار الغليظ ملفوفة بالنحاس زيادةً في الكتلة.* ## 6.6 مسألة: البيانو، من المطرقة إلى لوح الرنين **مسألة 6.1.** مسألة نهاية الأسبوع — وتر بيانو مفكَّك: توتره وصلابته، وضربة المطرقة والتوافقيات التي تصنعها، والفرس الذي يسرّب طاقته إلى لوح الرنين، وقضيب سكة يحمل المعادلة نفسها **الجزء I — الوتر.** وتر لا$_4$ في بيانو ($440\,\mathrm{Hz}$): فولاذ، و $E = 200\,\mathrm{GPa}$، و $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، وقطره $d = 1.0\,\mathrm{mm}$، وطوله الناطق $L = 38\,\mathrm{cm}$. ولكل نغمة فوق الغليظ ثلاثة أوتار كهذه؛ وفي البيانو $230$ وترًا. 1. الكثافة الطولية للكتلة، وسرعة الموجة، وتوتر الوتر. 2. إجهاد الشدّ في السلك؛ وينكسر السلك عند $2.0\,\mathrm{GPa}$ : فما هامش الأمان، ولماذا تكون لفّة الموازن الأخيرة هي الخطرة؟ 3. قدّر التوتر الكلي على الإطار، بأخذ كل الأوتار عند التوتر نفسه. 4. والوتر الأخفض (لا $_0$ ، $27.5\,\mathrm{Hz}$ ) طوله $1.9\,\mathrm{m}$ ؛ فلو كان سلكًا فولاذيًّا صرفًا عند التوتر نفسه، فأي $\mu$ وأي قطر يلزمانه؟ وهو في الواقع لبّ فولاذي ملفوف بالنحاس: فسّر ذلك. 5. أنماط وتر لا $_4$ : أوجد تواترات التوافقيات الثمانية الأولى؛ وأيها يقع على بعد متآلف من النمط الأساسي (الديوان، والخماسية، والرباعية، والثالثة الكبيرة) وأيها لا يقع؟ 6. يهتزّ الوتر في نمطه الأساسي بسعة $0.50\,\mathrm{mm}$ عند البطن: أوجد الطاقة المخزَّنة (وطاقة النمط هي $\tfrac14\mu L\omega^2A^2$ ). 7. اكتب النمط الأساسي مجموعَ موجتين منتقلتين؛ وأعطِ سعتهما والاستطاعة الوسطى التي تحملها كل منهما. **الجزء II — المطرقة.** تضرب المطرقة الوتر عند $x_0 = L/8$، فتمنحه، عند $t = 0$، سرعة $v_0$ على قطعة قصيرة عرضها $w$ حول $x_0$ دون أي انتقال. 8. اكتب الحلّ العام $y = \sum_nB_n\sin(n\pi x/L)\sin(\omega_nt)$ وبيّن، باستعمال تعامد الجيوب، أن $B_n = \dfrac{2}{L\omega_n}\int_0^L\dot y(x, 0)\sin\dfrac{n\pi x}L\,\dd x$ . 9. ومن أجل ضربة ضيّقة ( $w \ll L/n$ )، بيّن أن $B_n \approx \dfrac{2v_0w} {L\omega_n}\sin\dfrac{n\pi x_0}{L}$ . 10. وأي التوافقيات غائبة من أجل $x_0 = L/8$ ؟ ولماذا يضرب صانعو البيانو قرب $L/7$ إلى $L/8$ (انظر السؤال 5)؟ 11. صف الحركة في صورة الأمواج المنتقلة: ما الذي يغادر نقطة الضرب، وماذا يحدث عند الطرفين، وبعد أي زمن تتكرر الحالة الابتدائية. 12. والوتر الحقيقي صلب قليلًا: فأنماطه $f_n = nf_1 \sqrt{1 + Bn^2}$ حيث $B = \pi^3Ed^4/(64TL^2)$ (مسلَّم بها). احسب $B$ وحدّة التوافقي الثامن، بالنسبة المئوية وبالسنت (والسنت نسبة تواتر مقدارها $2^{1/1200}$ ). 13. ولماذا «يمطّ» موازنو البيانو الديوانات (فيوزنون النغمات العالية أحدّ قليلًا)؟ **الجزء III — الفرس ولوح الرنين.** يعبر الوتر فرسًا ملصوقًا بلوح الرنين؛ ويسلك لوح الرنين، عند الفرس، سلوك وتر ممانعته $Z_b = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$. 14. ممانعة الوتر $Z_s$ ؛ ومعامل الانعكاس في السعة عند الفرس. 15. النسبة المنقولة من طاقة الموجة إلى لوح الرنين عند كل انعكاس. 16. عدد الانعكاسات في الثانية عند الفرس؛ واستنتج ثابت الزمن لتخامد الطاقة والزمن اللازم كي يهبط الصوت $60\,\mathrm{dB}$ (أي بمعامل $10^6$ في الطاقة). 17. الاستطاعة المتسرّبة إلى لوح الرنين بُعيد ضربة السؤال 6؛ وقارنها باستطاعة حديث هادئ، وهي نحو $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ من الصوت. 18. ولماذا يكاد الوتر وحده لا يُسمع، وما الذي يفعله لوح الرنين حيال ذلك؟ (فكّر في ممانعة الهواء، $\rho c \approx 400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، منظورةً عبر سطح صغير مقابل سطح كبير.) 19. وبرفع المخمّد، يبدأ وتر لا $_3$ ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) بالصوت حين يُعزف لا $_4$ : فلماذا؟ 20. ويريد صانع بيانو دوامًا أطول للصوت: أينبغي رفع $Z_b$ أم خفضها، وما الذي يُفقَد؟ **الجزء IV — قضيب السكة.** قضيب سكة فولاذي ($E = 200\,\mathrm{GPa}$، و $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، ومقطعه $70\,\mathrm{cm}^{2}$). 21. سرعة أمواج الانضغاط؛ والزمن الذي يستغرقه صوت قطار في قطع $5\,\mathrm{km}$ على امتداد القضيب وعبر الهواء. 22. وتُرسل ضربة مطرقة نبضة انضغاط في قطعة قضيب طولها $25\,\mathrm{m}$ ذات طرف حرّ: أوجد زمن الصدى؛ وهل الصدى انضغاط أم تخلخل؟ 23. ويبحث مسبار فوق صوتي عند $2\,\mathrm{MHz}$ عن الشروخ: أوجد طول الموجة في الفولاذ؛ ومعامل الانعكاس في السعة عند شرخ بين الفولاذ والهواء (وممانعة الهواء $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ )؛ ولماذا يُرى الشرخ الرقيق بهذا الوضوح. 24. الزلازل: تنتقل أمواج الانضغاط في الصخر بالسرعة $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ وأمواج القصّ بالسرعة $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . وتسجّل محطة موجة القصّ بعد موجة الانضغاط بمقدار $20\,\mathrm{s}$ : فما بعد المصدر؟ 25. اجمع في جدول واحد سرعات الأمواج الخمس في هذه المسألة (الوتر، والقضيب، والانضغاط في الصخر، والقصّ في الصخر، والهواء) مع الصلابة والعطالة اللتين تحدّدان كلًّا منها. **حل المسألة 6.1.** **1.** $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$؛ و $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $T = \mu c^2 = 685\,\mathrm{N}$. **2.** $\sigma = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$: فالهامش $2.3$. و $T \propto f^2$: فنصف نغمة أحدّ يضيف $12\%$، وديوان أعلى يربّعه، أي $3.5\,\mathrm{GPa}$ — فينقطع. **3.** $230 \times 685 \approx 160\,\mathrm{kN}$، أي ستة عشر طنًّا. **4.** $c = 2Lf = 105\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وعند $685\,\mathrm{N}$: $\mu = T/c^2 = 63\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$، أي قضيب فولاذي قطره $3.2\,\mathrm{mm}$ — وهو أصلب من أن يهتزّ اهتزازًا توافقيًّا أو ينثني فوق الفرس؛ ولبّ رفيع ملفوف بالنحاس يعطي الكتلة دون الصلابة. **5.** $440$ و $880$ و $1320$ و $1760$ و $2200$ و $2640$ و $3080$ و $3520\,\mathrm{Hz}$: فالتوافقيات $2$ و $4$ و $8$ ديوانات؛ و $3$ و $6$ خماسية فوق ديوان؛ و $5$ ثالثة كبيرة تامة فوق ديوانين؛ و $7$ ($3080/1760 = 1.75$) سابعة صغرى مخفوضة — أي متنافرة. **6.** $E = \tfrac14\mu L\omega^2A^2 = 0.25 \times 6.1 \times 10^{-3} \times 0.38 \times (2\pi \times 440)^2 \times (5 \times 10^{-4})^2 = 1.1\,\mathrm{mJ}$. **7.** $A\sin kx\cos\omega t = \tfrac12A[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$: أي موجتان سعة كل منهما $0.25\,\mathrm{mm}$؛ و $Z = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$؛ وتحمل كل واحدة $\tfrac12Z\omega^2(A/2)^2 = 0.49\,\mathrm{W}$. **8.** $\dot y(x, 0) = \sum_nB_n\omega_n\sin(n\pi x/L)$؛ نضرب في $\sin(m\pi x/L)$ ونكامل، مستعملين $\int_0^L\sin\sin = \tfrac L2\delta_{mn}$. **9.** المكمول هو $v_0\sin(n\pi x/L)$ على عرض $w$ حول $x_0$، حيث يكون الجيب شبه ثابت. **10.** $\sin(n\pi/8) = 0$ من أجل $n = 8, 16, \dots$؛ ولأن $B_n/B_1 = \sin(n\pi/8)/(n\sin(\pi/8))$، ينخفض التوافقي السابع إلى $1/7$ من الأول بينما تحتفظ التوافقيات المتآلفة من $2$ إلى $6$ بنسب من $0.9$ إلى $0.3$: فتُروَّض السابعة المتنافرة. **11.** تغادر نبضتا سرعة نقطةَ الضرب في جهتين متعاكستين، وتنعكسان مقلوبتين عند الطرفين، وتتقاطعان وتتراكبان من جديد؛ وتتكرر الحالة الابتدائية بعد $2L/c = 1/f_1 = 2.3\,\mathrm{ms}$. **12.** $B = \pi^3 \times 2 \times 10^{11} \times 10^{-12}/(64 \times 685 \times 0.144) = 9.8 \times 10^{-4}$؛ و $\sqrt{1 + 64B} = 1.031$: أي $+3.1\%$، و $1200\log_2(1.031) = 53$ سنتًا. **13.** توافقيات النغمة المنخفضة أحدّ من المضاعفات التامة؛ ولكي تنطبق على الأنماط الأساسية للنغمات الأعلى (وتُتجنَّب الضربات)، تُوزَن النغمات العالية أحدّ قليلًا. **14.** $Z_s = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$؛ و $r = (2 - 2000)/2002 = -0.998$. **15.** $1 - r^2 \approx 4Z_s/Z_b = 4 \times 10^{-3}$. **16.** $c/2L = 440$ انعكاسًا في الثانية: فمعدل التخامد $440 \times 4 \times 10^{-3} = 1.8\,\mathrm{s}^{-1}$، و $\tau = 0.56\,\mathrm{s}$؛ و $\ln10^6/1.8 = 7.7\,\mathrm{s}$ من أجل $60\,\mathrm{dB}$. **17.** $1.1\,\text{mJ} \times 1.8\,\text{s}^{-1} = 2\,\mathrm{mW}$ — أي مئتا ضعف حديث هادئ؛ وهو ما تسمعه. **18.** سلك قطره $1\,\mathrm{mm}$ لا يكاد يدفع هواءً: إذ ينزلق الهواء حوله وتكون استطاعته المشعّة مهمَلة. ويأخذ لوح الرنين طاقة الوتر عبر الفرس ويحرّك الهواء على متر مربع: أي مواءمة ممانعة بالمساحة. **19.** إن $440\,\mathrm{Hz}$ هي التوافقي الثاني للا$_3$: فيهزّ الفرس ذلك الوتر عند أحد أنماطه — أي رنين بالتعاطف. **20.** ترفع $Z_b$: فتتسرّب طاقة أقلّ في كل انعكاس، وتدوم النغمة أطول — وتكون أخفت. **21.** $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: أي $1.0\,\mathrm{s}$ في القضيب، و $15\,\mathrm{s}$ في الهواء. **22.** $50/5064 = 10\,\mathrm{ms}$؛ وعلى الإجهاد أن ينعدم عند طرف حرّ: فيعود الانضغاط تخلخلًا. **23.** $\lambda = 2.5\,\mathrm{mm}$؛ و $Z_{\text{فولاذ}} = \rho c = 4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ مقابل $400$: ومنه $r \approx -1$، أي انعكاس تام: فأي شرخ مفتوح، مهما رقّ، يعيد صدى. **24.** $\Delta t = d(1/3.5 - 1/6) = d \times 0.119\,\mathrm{s}/\mathrm{km}$: ومنه $d = 170\,\mathrm{km}$. **25.** الوتر $334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($T$ و $\mu$)؛ والقضيب $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ($E$ و $\rho$)؛ والانضغاط في الصخر $6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (معامل الانضغاط و $\rho$)؛ والقصّ في الصخر $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (معامل القصّ و $\rho$)؛ والهواء $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($\gamma P$ و $\rho$ — في الفصل التالي).