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title: "Mecánica del sólido rígido"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/1-mecanica-del-solido-rigido
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# Capítulo 1 — Mecánica del sólido rígido

Obsérvese desde la acera la rueda de una bicicleta: los radios próximos al suelo se ven casi quietos y nítidos, los de arriba son una mancha borrosa que avanza al doble de la velocidad del ciclista. Cada punto de la rueda tiene una velocidad distinta y, sin embargo, la rueda es un único objeto: sus puntos conservan sus distancias, y esa sola ligadura organiza todos sus movimientos en dos vectores, una traslación y una rotación. El volumen del Año 1 trató el caso particular de un sólido que gira en torno a un eje fijo; este capítulo da la cinemática general de un [sólido rígido](#def-b2-rigid-body-mechanics-solid), su energía cinética y su momento angular, las leyes de su movimiento y la ley que gobierna toda rueda, todo neumático, todo freno y toda escalera de mano: la ley de Coulomb del rozamiento seco.

## 1.1 Cinemática del sólido rígido

**Definición 1.1 (Sólido rígido).**

Un *sólido rígido* (o simplemente sólido) es un sistema de puntos cuyas distancias mutuas permanecen constantes: $\|\vect{AB}\|$ es independiente del tiempo para toda pareja $A$, $B$ de sus puntos. Un sistema en el que todo punto del sólido está en reposo es un *sistema ligado al sólido*.

**Teorema 1.2 (Campo de velocidades de un sólido).**

En todo instante existe un vector $\vect\Omega$, el *[vector rotación](#thm-b2-rigid-body-mechanics-field)* del sólido (unidad $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$), tal que las velocidades de dos puntos cualesquiera $A$ y $M$ suyos, en un sistema $\mathcal R$, verifican

$$
\vect v_M = \vect v_A + \vect\Omega\wedge\vect{AM} .
$$

$\vect\Omega$ no depende de la elección de $A$; un vector $\vect u$ ligado al sólido evoluciona según $\dd\vect u/\dd t = \vect\Omega\wedge\vect u$.

**Demostración.** Sea $(\vect e_1, \vect e_2, \vect e_3)$ una base ortonormal ligada al sólido. De $\vect e_i\cdot\vect e_j = \delta_{ij}$ se sigue que los coeficientes $a_{ij} = \dot{\vect e}_i\cdot\vect e_j$ cumplen $a_{ij} + a_{ji} = 0$: la matriz de la aplicación $\vect u \mapsto \dot{\vect u}$ (para $\vect u$ ligado al sólido, $\vect u = \sum u_i\vect e_i$ con $u_i$ constantes) es antisimétrica, y toda matriz antisimétrica $3\times3$ es la matriz de $\vect u \mapsto \vect\Omega\wedge\vect u$ con $\Omega_1 = a_{23}$, $\Omega_2 = a_{31}$, $\Omega_3 = a_{12}$. Aplicándola a $\vect u =
\vect{AM}$ resulta $\vect v_M - \vect v_A = \vect\Omega\wedge\vect{AM}$. Si $\vect\Omega'$ hiciera lo mismo, $(\vect\Omega - \vect\Omega')\wedge
\vect{AM} = \vect 0$ para todo $M$, luego $\vect\Omega' = \vect\Omega$. ∎

**Observación 1.3 (Tres movimientos).**

*Traslación*: $\vect\Omega = \vect 0$, todos los puntos comparten una misma velocidad (no necesariamente en línea recta: la cabina de una noria se traslada sobre un círculo). *[Rotación en torno a un eje fijo](#rem-b2-rigid-body-mechanics-motions)* $\Delta$: los puntos de $\Delta$ están en reposo, $\vect\Omega = \omega\,\vect e_\Delta$, y un punto situado a distancia $r$ del eje describe un círculo con celeridad $r|\omega|$ — el caso del volumen del Año 1. El movimiento general combina ambos: $\vect v_M = \vect v_G + \vect\Omega\wedge\vect{GM}$, una traslación con la velocidad del centro de masas más una rotación en torno a $G$.

**Definición 1.4 (Rodadura sin deslizamiento).**

Dos sólidos $S_1$ y $S_2$ se tocan en un punto $I$. La *velocidad de deslizamiento* de $S_1$ sobre $S_2$ es $\vect v_{\text{desl}} = \vect v_{I \in S_1}
- \vect v_{I \in S_2}$, la diferencia de las velocidades de los dos puntos materiales que coinciden en $I$ en ese instante. $S_1$ *rueda sin deslizar* sobre $S_2$ cuando $\vect v_{\text{desl}} = \vect 0$. Para una rueda de radio $R$ que rueda sin deslizar sobre un suelo fijo, con velocidad del centro $v_G$ y velocidad angular $\omega$, la condición se escribe $v_G = R\omega$ (con los signos elegidos de modo que una rueda que avanza hacia la derecha gira en el sentido de las agujas del reloj).

**Demostración.** Aplíquese [Teorema 1.2](#thm-b2-rigid-body-mechanics-field) a la rueda entre $G$ y el punto de contacto $I$: $\vect v_{I\in S_1} = \vect v_G + \vect\Omega
\wedge\vect{GI}$; con $\vect v_G = v_G\vect e_x$, $\vect\Omega = -\omega
\vect e_z$ y $\vect{GI} = -R\vect e_y$, esto vale $(v_G - R\omega)\vect e_x$, que debe anularse. ∎

**Ejemplo 1.5 (Campo de velocidades de una rueda en rodadura).**

Para la rueda en rodadura, $\vect v_M = \vect\Omega\wedge\vect{IM}$: en cada instante la rueda *gira en torno a su punto de contacto*. El punto de contacto está en reposo, el centro avanza a $v = R\omega$, la parte alta a $2v$, y un punto de la llanta a la altura $h$ se mueve a $\omega\sqrt{2Rh}$, perpendicularmente a $\vect{IM}$. La válvula de la cámara describe una cicloide; una piedra despedida por la banda de rodadura sale con la celeridad del punto de la llanta, hasta $2v$ — por eso importan los faldones antiproyección de un camión.

![Una rueda captada con obturación lenta: los radios próximos al suelo, casi en reposo, salen nítidos; los de arriba, que avanzan al doble de la velocidad de la bicicleta, salen borrosos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/img-9c145ef67b31.jpg)

*Una rueda captada con obturación lenta: los radios próximos al suelo, casi en reposo, salen nítidos; los de arriba, que avanzan al doble de la velocidad de la bicicleta, salen borrosos.*

![Una rueda que rueda sin deslizar. A la izquierda, las velocidades de unos cuantos puntos: nula en el punto de contacto I, v_G = R en el centro, 2v_G en lo alto. A la derecha, cada velocidad es perpendicular al segmento que une el punto con I y proporcional a su longitud: en cada instante la rueda gira en torno a su punto de contacto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-5106c6fb0dc4.svg)

*Una rueda que rueda sin deslizar. A la izquierda, las velocidades de unos cuantos puntos: nula en el punto de contacto $I$, $v_G = R\omega$ en el centro, $2v_G$ en lo alto. A la derecha, cada velocidad es perpendicular al segmento que une el punto con $I$ y proporcional a su longitud: en cada instante la rueda gira en torno a su punto de contacto.*

## 1.2 Magnitudes cinéticas de un sólido

**Proposición 1.6 (Cantidad de movimiento, momento angular, energía cinética).**

Para un sólido de masa $M$, de centro de masas $G$, en un sistema $\mathcal R$:

- su cantidad de movimiento es $\vect p = M\vect v_G$ ;
- si gira en torno a un eje $\Delta$ (fijo en $\mathcal R$, o que pasa por $G$ y de dirección fija) con velocidad angular $\omega$, su momento angular *a lo largo* de ese eje vale $L_\Delta = J_\Delta\,\omega$, donde $$J_\Delta = \sum_i m_i r_i^2 = \int r^2\,\dd m$$ es su *[momento de inercia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic)* respecto de $\Delta$ ($r$ es la distancia al eje; unidad $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$);
- su energía cinética vale (Koenig) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 +  E_k^*$ , donde la energía cinética en el sistema baricéntrico es $E_k^* = \tfrac12J_{G}\omega^2$ para una rotación a $\omega$ en torno a un eje que pasa por $G$ — y $E_k = \tfrac12J_\Delta\omega^2$ para una [rotación en torno a un eje fijo](#rem-b2-rigid-body-mechanics-motions) $\Delta$ .

**Demostración.** Los teoremas de la cantidad de movimiento y de Koenig se demostraron en el volumen del Año 1 para un sistema cualquiera. Para la rotación en torno a $\Delta$, que pasa por $O$, un punto situado a distancia $r_i$ del eje tiene celeridad $r_i\omega$ sobre un círculo en torno al eje; su momento angular respecto de $O$, proyectado sobre $\vect e_\Delta$, vale $m_ir_i^2\omega$ (las demás componentes, que se cancelan para un sólido simétrico, no hacen falta aquí); súmese. Energía cinética: $\sum\tfrac12m_ir_i^2
\omega^2$. ∎

**Observación 1.7 (Lo que se admite).**

Para una rotación $\vect\Omega$ arbitraria el vector completo $\vect L_G$ no es en general paralelo a $\vect\Omega$: $\vect L_G = \mathbf J\,\vect\Omega$ con $\mathbf J$ el *tensor de inercia*, una matriz simétrica cuyos vectores propios son los ejes principales. Todos los sólidos de este capítulo giran en torno a un eje fijo o a un eje de simetría que pasa por $G$, para los cuales $\vect L = J\vect\Omega$ exactamente; el caso general corresponde al volumen del Año 3.

**Proposición 1.8 (Momentos de inercia).**

Para sólidos homogéneos de masa $M$, respecto de un eje que pasa por $G$: varilla delgada de longitud $\ell$ (eje perpendicular), $J = \tfrac1{12}M\ell^2$; aro delgado o casquete cilíndrico de radio $R$ (eje propio), $J = MR^2$; disco o cilindro macizo, $J = \tfrac12MR^2$; esfera maciza, $J = \tfrac25MR^2$; casquete esférico, $J = \tfrac23MR^2$. *[Teorema de Huygens](#prop-b2-rigid-body-mechanics-inertia)* (ejes paralelos): respecto de un eje $\Delta$ paralelo a un eje $\Delta_G$ que pasa por $G$ y situado a distancia $d$,

$$
J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2 .
$$

**Demostración.** Varilla: $\int_{-\ell/2}^{\ell/2}x^2\,(M/\ell)\dd x = M\ell^2/12$. Disco: con anillos de masa $(2M/R^2)r\,\dd r$, se tiene $\int_0^R r^2(2M/R^2)r\,\dd r = MR^2/2$. Esfera: por simetría $J = \tfrac23\int r^2\dd m$ ($r$ es la distancia al centro, ya que $x^2 + y^2 = \tfrac23(x^2 + y^2 + z^2)$ en promedio sobre los tres ejes) y $\int r^2\dd m = \int_0^R r^2(3M/R^3)r^2\dd r = \tfrac35MR^2$. Huygens: con $\vect r_i$ el vector que va de $\Delta$ a $m_i$ perpendicularmente al eje y $\vect r_i = \vect d + \vect r_i^*$, se tiene $\sum m_ir_i^2 = Md^2
+ 2\vect d\cdot\sum m_i\vect r_i^* + \sum m_ir_i^{*2}$, y la suma central se anula por definición de $G$. ∎

**Ejemplo 1.9 (Un volante de inercia).**

Un disco de acero de $50\,\mathrm{kg}$ y radio $30\,\mathrm{cm}$: $J = \tfrac12 \times
50 \times 0.09 = 2.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; a $3000\,\mathrm{rpm}$ ($\omega =
314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) almacena $\tfrac12J\omega^2 = 111\,\mathrm{kJ}$, la energía cinética de un coche pequeño a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Los volantes de almacenamiento hacen girar rotores de fibra de carbono a $50\,000\,\mathrm{rpm}$, en vacío y sobre [cojinetes](#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot) magnéticos: la energía crece como $\omega^2$ y el límite lo pone la resistencia a la tracción de la llanta.

## 1.3 Dinámica del sólido

**Teorema 1.10 (Leyes del movimiento de un sólido).**

En un sistema galileano, para un sólido sometido a fuerzas exteriores $\vect F_i$ aplicadas en los puntos $A_i$:

1. (cantidad de movimiento) $M\,\dd\vect v_G/\dd t = \sum\vect F_i$ ;
2. (momento angular respecto de $G$ , o de un punto fijo $O$ ) $\dd\vect L_G/\dd t = \sum\vect{GA_i}\wedge\vect F_i$ ; proyectado sobre un eje fijo $\Delta$ o sobre un eje que pasa por $G$ y de dirección fija, en torno al cual el sólido gira a $\omega$ : $J_\Delta\,\dd\omega/\dd t = \mathcal M_\Delta$ , la suma de los momentos de las fuerzas exteriores respecto del eje;
3. (potencia) la potencia de un conjunto de fuerzas sobre un sólido es $\mathcal P = \vect R\cdot\vect v_A + \vect{\mathcal M}_A\cdot  \vect\Omega$ para cualquier punto $A$ del sólido, siendo $\vect R$ la suma de las fuerzas y $\vect{\mathcal M}_A$ su momento total respecto de $A$ ; *las fuerzas interiores de un sólido tienen potencia nula* , y $\dd E_k/\dd t = \mathcal P_{\text{ext}}$ .

**Demostración.** (1) y (2) son los teoremas del volumen del Año 1 para sistemas de puntos (el teorema del momento angular respecto de $G$ vale incluso cuando $G$ está acelerado, porque las fuerzas de inercia del sistema baricéntrico tienen momento nulo respecto de $G$). (3) Con $\vect v_{A_i} = \vect v_A + \vect\Omega
\wedge\vect{AA_i}$: $\sum\vect F_i\cdot\vect v_{A_i} = \vect R\cdot\vect v_A
+ \sum\vect F_i\cdot(\vect\Omega\wedge\vect{AA_i}) = \vect R\cdot\vect v_A +
\vect\Omega\cdot\sum\vect{AA_i}\wedge\vect F_i$ (producto mixto). Fuerzas interiores: su suma y su momento total se anulan (acción–reacción, misma recta soporte), luego potencia nula sobre un sólido — *no* sobre un sistema deformable. El teorema de la energía cinética retiene entonces solo la potencia exterior. ∎

**Definición 1.11 (Pivote perfecto).**

Un sólido gira en torno a un eje fijo $\Delta$ mediante un *pivote perfecto* (un cojinete ideal) cuando las fuerzas de contacto del cojinete tienen momento nulo respecto de $\Delta$; entonces no desarrollan potencia alguna ($\vect v_A = \vect 0$ sobre el eje, $\mathcal M_\Delta = 0$). Un cojinete real añade un par de rozamiento $-\Gamma_f\operatorname{sgn}\omega$, o uno viscoso $-h\omega$.

**Proposición 1.12 (El péndulo físico).**

Un sólido de masa $M$ oscila en torno a un eje horizontal fijo $\Delta$ mediante un pivote perfecto, con su centro de masas a distancia $d$ del eje. Siendo $\theta$ el ángulo que forma $\vect{OG}$ con la vertical descendente,

$$
J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta ,
$$

de modo que las oscilaciones pequeñas tienen el periodo $T = 2\pi\sqrt{J_\Delta/Mgd}$ — el de un péndulo simple de longitud $\ell_{\text{eq}} = J_\Delta/Md$.

**Demostración.** Teorema del momento angular respecto de $\Delta$: el momento del peso vale $-Mgd\sin\theta$ y el del pivote es nulo. Linealícese. ∎

**Ejemplo 1.13 (La regla de un metro).**

Una regla de un metro con pivote en un extremo: $J = \tfrac13M\ell^2$ (Huygens a partir de $\tfrac1{12}M\ell^2$), $d = \ell/2$, $\ell_{\text{eq}} = \tfrac23\ell =
0.667\,\mathrm{m}$ y $T = 1.64\,\mathrm{s}$ — el péndulo formado por la regla entera bate más despacio que una masa puntual colgada de su centro ($1.42\,\mathrm{s}$) y más deprisa que una colgada de su extremo ($2.0\,\mathrm{s}$).

![A la izquierda, el péndulo físico: el momento del peso respecto del pivote impulsa la rotación y la fuerza del pivote no tiene momento. A la derecha, las fuerzas sobre una rueda que rueda por un suelo horizontal: peso, reacción normal N y rozamiento tangencial T en el punto de contacto, cuyo módulo acota la ley de Coulomb.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-d4c6907e5ddf.svg)

*A la izquierda, el [péndulo físico](#prop-b2-rigid-body-mechanics-pendulum): el momento del peso respecto del pivote impulsa la rotación y la fuerza del pivote no tiene momento. A la derecha, las fuerzas sobre una rueda que rueda por un suelo horizontal: peso, [reacción normal](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) $\vect N$ y rozamiento tangencial $\vect T$ en el punto de contacto, cuyo módulo acota la ley de Coulomb.*

## 1.4 Fuerzas de contacto y rozamiento de Coulomb

**Definición 1.14 (Fuerza de contacto: componentes normal y tangencial).**

La fuerza que un soporte ejerce sobre un sólido en un punto de contacto $I$ se descompone en una *reacción normal* $\vect N$, perpendicular al plano tangente común y dirigida hacia el sólido ($N \ge 0$: un soporte solo puede empujar), y una *componente tangencial* $\vect T$ en el plano tangente, la *fuerza de rozamiento*.

**Teorema 1.15 (Leyes de Coulomb del rozamiento seco).**

Para dos sólidos secos en contacto, con un *[coeficiente de rozamiento](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb)* $f$ que depende de los materiales y del estado de sus superficies, pero no del área de contacto ni (en buena aproximación) de la velocidad:

- si los sólidos deslizan uno sobre otro ( $\vect v_{\text{desl}} \ne  \vect 0$ ), la [fuerza de rozamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) es opuesta a la [velocidad de deslizamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) y de módulo $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ ( [rozamiento cinético](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) );
- si no deslizan, $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$ ( [rozamiento estático](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) ): la [fuerza de rozamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) es entonces la que exijan las demás leyes del movimiento, dentro de esa cota, y su dirección no se conoce de antemano.

Un *contacto perfecto* es la idealización $f = 0$: $\vect T = \vect 0$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 1.16 (Cómo leer las leyes de Coulomb).**

La primera ley es una igualdad, la segunda una desigualdad — y en eso consiste toda la dificultad de los problemas de rozamiento. El *método* consiste en *suponer* que no hay deslizamiento, despejar $\vect T$ y $\vect N$ y *comprobar* que $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$; si la comprobación falla, el sólido desliza, $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ en sentido opuesto al deslizamiento, y se resuelve de nuevo el problema. Geométricamente, la fuerza de contacto debe permanecer dentro del *[cono de rozamiento](#rem-b2-rigid-body-mechanics-reading)* de semiángulo $\varphi$, con $\tan\varphi
= f$. Valores típicos: caucho sobre asfalto seco $f \approx 0.8$–$1$, sobre asfalto mojado $0.4$–$0.6$, sobre hielo $0.1$; acero sobre acero $0.15$ en seco y $0.05$ engrasado; el coeficiente estático es en realidad algo mayor que el cinético, y por eso un derrape es difícil de detener una vez iniciado.

**Proposición 1.17 (Potencia de las fuerzas de contacto; rodadura sin deslizamiento).**

La potencia de las fuerzas de contacto sobre un sólido que se mueve sobre un soporte fijo vale $\mathcal P = \vect T\cdot\vect v_{I\in S}$ (la fuerza normal es perpendicular a la velocidad del punto de contacto, que está en el plano tangente). En *[rodadura sin deslizamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling)* esa potencia es nula: el rozamiento no trabaja entonces, aunque pueda ser esencial para el movimiento. En deslizamiento vale $-f N v_{\text{desl}} < 0$: calor.

**Demostración.** $\mathcal P = (\vect N + \vect T)\cdot\vect v_{I\in S}$ y $\vect
v_{I\in S} = \vect v_{\text{desl}}$ está en el plano tangente, de modo que solo contribuye $\vect T$; es nula cuando la [velocidad de deslizamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) es nula, y vale $-fNv_{\text{desl}}$ cuando los sólidos deslizan ($\vect T$ opuesto a $\vect
v_{\text{desl}}$). La rodadura real disipa algo por la deformación del neumático y del suelo (*[rozamiento de rodadura](#prop-b2-rigid-body-mechanics-power)*, modelado por un par pequeño $\Gamma_r = \mu_rNR$ o por una fuerza equivalente $\mu_rN$, con $\mu_r \approx 0.01$ para un neumático sobre una carretera): un efecto distinto y mucho menor. ∎

**Método 1.18 (Un sólido que rueda por un plano inclinado).**

Un sólido homogéneo de radio $R$, masa $M$ y [momento de inercia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J =
kMR^2$ respecto de su eje ($k = 1$ aro, $\tfrac12$ disco, $\tfrac25$ esfera) se suelta sobre un plano inclinado de ángulo $\alpha$ con [coeficiente de rozamiento](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $f$. Supóngase [rodadura sin deslizamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling):

1. cantidad de movimiento a lo largo de la pendiente: $M\dot v = Mg\sin\alpha - T$ ; normal: $N = Mg\cos\alpha$ ;
2. momento angular respecto de $G$ : $kMR^2\dot\omega = TR$ ;
3. sin deslizamiento: $v = R\omega$, luego $T = kM\dot v$ y $$\dot v = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} , \qquad T = \frac{k}{1 + k}\,  Mg\sin\alpha ;$$
4. comprobación: $T \le fN \iff \tan\alpha \le f\,\dfrac{1 + k}{k}$ . Más allá de esa pendiente el sólido desliza, $T = fMg\cos\alpha$ , $\dot v =  g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$ y $\dot\omega = fg\cos\alpha/kR$ .

Comprobación energética (sin deslizamiento, rozamiento sin potencia): $\tfrac12(1 + k)Mv^2 =
Mgh$ da $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$ — una esfera gana a un disco, que gana a un aro, con independencia de la masa y del radio.

![A la izquierda, las fuerzas sobre un sólido que rueda por un plano inclinado: el peso en G, la reacción normal y el rozamiento en el punto de contacto. A la derecha, la aceleración de un disco (k = 1/2) en función de la pendiente para f = 0.5: rueda sin deslizar mientras 3f y después desliza, con una aceleración que sigue g( - f ), siempre por debajo del valor sin rozamiento g.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-7f2675c77ed1.svg)

*A la izquierda, las fuerzas sobre un sólido que rueda por un plano inclinado: el peso en $G$, la [reacción normal](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) y el rozamiento en el punto de contacto. A la derecha, la aceleración de un disco ($k = \tfrac12$) en función de la pendiente para $f = 0.5$: rueda sin deslizar mientras $\tan\alpha \le 3f$ y después desliza, con una aceleración que sigue $g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$, siempre por debajo del valor sin rozamiento $g\sin\alpha$.*

**Ejemplo 1.19 (Por qué un coche necesita rozamiento para acelerar).**

Un coche de tracción delantera: el motor aplica un par a las ruedas delanteras; la única fuerza exterior horizontal sobre el coche es el rozamiento de la carretera sobre los neumáticos, y es esa fuerza la que lo acelera. Con todo el peso sobre las ruedas motrices, la aceleración máxima es $fg \approx 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ sobre asfalto seco — y la mitad si solo la mitad del peso descansa sobre el eje motriz; sobre hielo, $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. El trabajo del motor no lo realiza la carretera (cuyo punto de contacto está en reposo): es trabajo interior, que la transmisión convierte en energía cinética — igual que son las fuerzas interiores de los músculos de quien camina, y no el suelo, las que le suministran energía.

**Ejemplo 1.20 (La transición de deslizamiento a rodadura).**

Una bola de bolos se suelta deslizando a $v_0$ y sin giro. El [rozamiento cinético](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $fMg$ frena el centro ($\dot v = -fg$) y hace girar la bola ($\tfrac25MR^2\dot\omega = fMgR$, $\dot\omega = 5fg/2R$) hasta que $v = R\omega$: en $t_1 = 2v_0/7fg$, con $v_1 = \tfrac57v_0$. A partir de ahí rueda sin deslizar a celeridad constante. Dos séptimos de la celeridad, y $1 - (\tfrac57)^2\tfrac75 = \tfrac27$ de la energía cinética, se pierden en calor durante el deslizamiento — sea cual sea $f$; $f$ solo fija con qué rapidez.

![Una bola soltada deslizando y sin giro: el rozamiento cinético frena el centro y hace girar la bola, linealmente en el tiempo, hasta que R alcanza a v_G en 5/7v_0; a partir de ahí la bola rueda sin deslizar y el rozamiento deja de actuar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-e5d10e43f6b9.svg)

*Una bola soltada deslizando y sin giro: el [rozamiento cinético](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) frena el centro y hace girar la bola, linealmente en el tiempo, hasta que $R\omega$ alcanza a $v_G$ en $\tfrac57v_0$; a partir de ahí la bola rueda sin deslizar y el rozamiento deja de actuar.*

## 1.5 Ejercicios

**Ejercicio 1.1 ★.**

[Momentos de inercia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic): (a) una varilla de $1.0\,\mathrm{m}$ y $0.50\,\mathrm{kg}$ respecto de un eje perpendicular que pasa por su centro, y luego por un extremo; (b) un disco de $2.0\,\mathrm{kg}$ y radio $20\,\mathrm{cm}$ respecto de su eje, y luego respecto de un eje paralelo que pasa por su borde; (c) una bola de billar de $0.16\,\mathrm{kg}$ y diámetro $57\,\mathrm{mm}$. (d) Un aro delgado y un disco macizo de la misma masa y el mismo radio: ¿cuál se resiste más a ser puesto en giro, y en qué factor?

**Solución de Ejercicio 1.1.**

(a) $\tfrac1{12}M\ell^2 = 4.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; por un extremo (Huygens, $d = \ell/2$): $\tfrac13M\ell^2 = 0.167\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. (b) $\tfrac12MR^2 =
4.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; por el borde, $\tfrac32MR^2 = 0.12\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. (c) $\tfrac25 \times 0.16 \times (0.0285)^2 = 5.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. (d) El aro, $MR^2$ frente a $\tfrac12MR^2$: el doble.

**Ejercicio 1.2 ★.**

Una bicicleta circula a $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ con ruedas de $70\,\mathrm{cm}$ de diámetro. Velocidad angular de las ruedas; celeridad, en el sistema del suelo, de la válvula cuando está arriba, abajo y en la parte delantera de la rueda (a la altura del eje); celeridad de la banda de rodadura respecto del cuadro de la bicicleta. Una piedra clavada en la banda de rodadura se desprende en lo alto: ¿con qué celeridad sale despedida?

**Solución de Ejercicio 1.2.**

$v = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = v/R = 5/0.35 = 14.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Arriba: $2v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ hacia delante; abajo: $0$; delante: $\vect v_G + \vect\Omega
\wedge\vect{GM} = (v, -v)$, es decir $v\sqrt2 = 7.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ hacia abajo. Respecto de la bicicleta, la banda de rodadura se mueve a $R\omega = v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en todos sus puntos. La piedra sale a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, horizontalmente y hacia delante.

**Ejercicio 1.3 ★.**

Un volante de inercia es un disco de acero de $40\,\mathrm{kg}$ y radio $25\,\mathrm{cm}$. (a) Energía almacenada a $6000\,\mathrm{rpm}$. (b) Par constante necesario para llevarlo desde el reposo hasta esa velocidad en $2.0\,\mathrm{min}$; potencia al final del arranque. (c) En un autobús debe entregar $20\,\mathrm{kW}$ durante $10\,\mathrm{s}$: ¿hasta qué velocidad de giro baja? (d) ¿Por qué los volantes rápidos funcionan en vacío?

**Solución de Ejercicio 1.3.**

$J = \tfrac12 \times 40 \times 0.25^2 = 1.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $\omega = 628\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (a) $E = \tfrac12J\omega^2 = 246\,\mathrm{kJ}$. (b) $\Gamma = J\omega/\Delta t =
1.25 \times 628/120 = 6.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $P = \Gamma\omega = 4.1\,\mathrm{kW}$ al final. (c) Retirados $200\,\mathrm{kJ}$ quedan $46\,\mathrm{kJ}$: $\omega = \sqrt{2 \times 46\,000/1.25}
= 271\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 2600\,\mathrm{rpm}$. (d) El rozamiento del aire sobre la llanta crece como $\omega^2$ (la potencia, como $\omega^3$) y calentaría y frenaría el rotor; en vacío y sobre [cojinetes](#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot) magnéticos las pérdidas caen a unos pocos vatios.

**Ejercicio 1.4 ★.**

Un disco homogéneo de radio $R$ oscila en un plano vertical en torno a un eje horizontal que pasa por un punto de su borde. [Momento de inercia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) respecto del eje; periodo de las oscilaciones pequeñas para $R = 20\,\mathrm{cm}$; longitud del péndulo simple equivalente. Las mismas preguntas para un eje situado a distancia $R/2$ del centro. ¿Dónde debe colocarse el eje para que el periodo sea mínimo?

**Solución de Ejercicio 1.4.**

$J = \tfrac12MR^2 + MR^2 = \tfrac32MR^2$, $d = R$: $\ell_{\text{eq}} = \tfrac32R
= 0.30\,\mathrm{m}$, $T = 2\pi\sqrt{0.30/9.81} = 1.10\,\mathrm{s}$. A $R/2$: $J =
\tfrac12MR^2 + \tfrac14MR^2 = \tfrac34MR^2$, $d = R/2$, $\ell_{\text{eq}} =
\tfrac32R$ de nuevo, y el mismo periodo. En general $\ell_{\text{eq}}(d) = (R^2/2 +
d^2)/d$, mínimo en $d = R/\sqrt2$: $\ell_{\text{eq}} = R\sqrt2 = 0.283\,\mathrm{m}$, $T = 1.07\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 1.5 ★★.**

Un aro, un disco y una esfera del mismo radio se sueltan a la vez en lo alto de un plano inclinado de $2.0\,\mathrm{m}$ de altura y pendiente $20{}^{\circ}$, con $f =
0.30$. (a) Compruébese que los tres ruedan sin deslizar. (b) Celeridad de cada uno al pie del plano; orden de llegada. (c) Tiempo empleado por cada uno. (d) Muéstrese que la [fuerza de rozamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) sobre la esfera vale $\tfrac27Mg\sin\alpha$ y que no trabaja. (e) ¿A partir de qué pendiente empezaría a deslizar el aro? ¿Y la esfera?

**Solución de Ejercicio 1.5.**

(a) $\tan20^\circ = 0.36 \le f(1 + k)/k$, es decir $\le 0.6$ (aro), $0.9$ (disco), $1.05$ (esfera): los tres ruedan. (b) $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$: aro $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, disco $5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, esfera $5.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; llega primero la esfera y el último el aro. (c) Longitud $h/\sin\alpha = 5.85\,\mathrm{m}$, $a = g\sin\alpha/(1 + k) =
1.68$, $2.24$, $2.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $t = \sqrt{2d/a} = 2.6$, $2.3$, $2.2\,\mathrm{s}$. (d) $T = \dfrac{k}{1 + k}Mg\sin\alpha = \tfrac27Mg\sin\alpha$; el punto de contacto está en reposo, luego $\vect T\cdot\vect v_I = 0$. (e) Aro: $\tan\alpha >
2f = 0.6$, $\alpha > 31{}^{\circ}$; esfera: $\tan\alpha > 3.5f = 1.05$, $\alpha > 46{}^{\circ}$.

**Ejercicio 1.6 ★★.**

*Freno de disco.* Una rueda y su disco de freno tienen $J = 1.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ y giran a $900\,\mathrm{rpm}$; dos pastillas aprietan el disco a un radio medio de $12\,\mathrm{cm}$, cada una con una fuerza normal de $800\,\mathrm{N}$, con $f = 0.40$. Par de frenado; deceleración angular; tiempo y número de vueltas hasta detenerse; calor liberado y elevación de temperatura del disco de acero de $1.5\,\mathrm{kg}$ ($c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$) si lo retiene todo.

**Solución de Ejercicio 1.6.**

$\Gamma = 2fNr = 2 \times 0.4 \times 800 \times 0.12 = 77\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $\dot\omega =
\Gamma/J = 64\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$; $\omega_0 = 94\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $t = 1.5\,\mathrm{s}$; $\theta = \omega_0^2/2\dot\omega = 69\,\mathrm{rad} = 11$ vueltas; calor $= \tfrac12J
\omega_0^2 = 5.3\,\mathrm{kJ}$, $\Delta T = 5300/(1.5 \times 470) = 7.6\,\mathrm{K}$.

**Ejercicio 1.7 ★★.**

*Máquina de Atwood con una polea real.* Las masas $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ y $m_2 = 1.5\,\mathrm{kg}$ cuelgan de una cuerda que pasa por una polea de radio $R =
10\,\mathrm{cm}$ y [momento de inercia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ montada sobre un pivote perfecto; la cuerda no desliza sobre la polea. (a) ¿Por qué son distintas las dos tensiones de la cuerda? (b) Ecuaciones de las dos masas y de la polea; aceleración. (c) Las dos tensiones. (d) Compárese con la polea sin masa; recupérese la aceleración por consideraciones energéticas.

**Solución de Ejercicio 1.7.**

(a) La cuerda debe ejercer un par neto para poner en giro la polea: $T_1 \ne T_2$. (b) $m_1a = m_1g - T_1$, $m_2a = T_2 - m_2g$, $J\dot\omega = (T_1 - T_2)R$ con $a = R\dot\omega$: $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2 + J/R^2) = 0.5 \times 9.81/4.0 =
1.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) $T_1 = m_1(g - a) = 17.2\,\mathrm{N}$, $T_2 = m_2(g + a) =
16.6\,\mathrm{N}$. (d) Con polea sin masa: $1.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Energía: $(m_1 - m_2)gx =
\tfrac12(m_1 + m_2 + J/R^2)v^2$; derívese.

**Ejercicio 1.8 ★★.**

*La escalera de mano.* Una escalera homogénea de longitud $\ell$ y masa $m$ se apoya, formando un ángulo $\theta$ con la horizontal, contra una pared vertical lisa; el suelo tiene [coeficiente de rozamiento](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $f$. (a) Fuerzas y sus momentos respecto del pie; ecuaciones de equilibrio. (b) Muéstrese que el equilibrio exige $\tan\theta \ge 1/2f$. (c) Ángulo mínimo para $f = 0.40$. (d) Una persona de masa $3m$ sube por la escalera colocada a $60{}^{\circ}$: ¿hasta qué altura (fracción de $\ell$) puede llegar?

**Solución de Ejercicio 1.8.**

(a) Peso $mg$ en el punto medio; pared: componente horizontal $N_w$ arriba; suelo: componente vertical $N = mg$ y rozamiento horizontal $T = N_w$. Momentos respecto del pie: $mg\,\tfrac{\ell}2\cos\theta = N_w\ell\sin\theta$. (b) $T = N_w =
mg/(2\tan\theta) \le fmg \iff \tan\theta \ge 1/2f$. (c) $\tan\theta \ge
1.25$, $\theta \ge 51{}^{\circ}$. (d) Persona en $x$: $N = 4mg$, $N_w =
mg(\tfrac12 + 3x/\ell)/\tan60^\circ \le 4fmg = 1.6mg$: $x/\ell \le (2.77 -
0.5)/3 = 0.76$.

**Ejercicio 1.9 ★★.**

*Efecto de retroceso.* Se golpea una bola de billar de modo que sale con celeridad del centro $v_0$ y giro hacia atrás $\omega_0$ (rotación opuesta a la rodadura). [Coeficiente de rozamiento](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $f$. (a) Ecuaciones de $v$ y $\omega$ mientras desliza. (b) Instante en que empieza a rodar sin deslizar y su celeridad entonces, en función de $v_0$ y $R\omega_0$. (c) Condición sobre $R\omega_0$ para que la bola vuelva hacia el jugador. (d) Valores numéricos: $v_0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $R\omega_0 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $f = 0.2$, $R = 2.9\,\mathrm{cm}$.

**Solución de Ejercicio 1.9.**

(a) El punto de contacto avanza a $v + R\omega$ ($\omega > 0$ para el efecto de retroceso): rozamiento $-fmg$ sobre el centro, $\dot v = -fg$; par $-fmgR$ sobre el giro: $\dot\omega = -5fg/2R$. (b) El deslizamiento $v + R\omega = v_0 +
R\omega_0 - \tfrac72fgt$ se anula en $t_1 = 2(v_0 + R\omega_0)/7fg$, y entonces $v_1
= v_0 - fgt_1 = (5v_0 - 2R\omega_0)/7$. (c) $v_1 < 0 \iff R\omega_0 > \tfrac52v_0$. (d) $t_1 = 16/(7 \times 1.96) = 1.2\,\mathrm{s}$; $v_1 = (10 - 12)/7 = -0.29\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: la bola vuelve.

**Ejercicio 1.10 ★★★.**

*El carrete.* Un carrete (masa $M$, [momento de inercia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J = kMR^2$ respecto de su eje, radio exterior $R$) descansa sobre una mesa horizontal; de un hilo enrollado en su cubo interior de radio $r < R$ se tira horizontalmente con una fuerza $F$, saliendo el hilo por la parte *inferior* del cubo. (a) Suponiendo [rodadura sin deslizamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling), escríbanse las ecuaciones de la cantidad de movimiento y del momento angular y hállese la aceleración del centro; ¿hacia dónde rueda el carrete? (b) [Fuerza de rozamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) necesaria y condición sobre $F$ para que no deslice. (c) Las mismas preguntas si se tira del hilo formando un ángulo $\beta$ por encima de la horizontal; muéstrese que el carrete permanece inmóvil cuando $\cos\beta = r/R$ y explíquese geométricamente (eje instantáneo por el punto de contacto). (d) ¿Qué ocurre si $\cos\beta < r/R$?

**Solución de Ejercicio 1.10.**

(a) Con $x$ en el sentido del tirón y el rozamiento $T$ según $x$: $Ma = F + T$; momentos respecto de $G$ (sentido antihorario): $rF + RT = -kMRa$ (rodadura, $\omega_z
= -a/R$). Luego $a = F(R - r)/(1 + k)MR > 0$: el carrete rueda *hacia* el tirón y enrolla el hilo. (b) $T = -F(kR + r)/(1 +
k)R$ (hacia atrás); no desliza si $F \le fMg(1 + k)R/(kR + r)$. (c) La recta soporte del hilo es tangente al cubo; su momento respecto del punto de contacto $I$ vale $F(r - R\cos\beta)$, horario (rodadura hacia delante) si $\cos\beta >
r/R$, y nulo cuando esa recta pasa por $I$ — el eje instantáneo —; se tiene entonces $a = F(R\cos\beta - r)/(1 + k)MR$, $T = -F(kR\cos\beta + r)/(1 + k)R$, $N = Mg - F\sin\beta$. (d) Para $\cos\beta < r/R$ el momento respecto de $I$ es antihorario: el carrete rueda *alejándose* de quien tira.

**Ejercicio 1.11 ★★★.**

*Dónde golpear una bola de billar.* Un taco comunica un impulso horizontal $P$ (fuerza muy breve) a una bola de radio $R$ en reposo, a la altura $h$ sobre la mesa. (a) Cantidad de movimiento y momento angular justo después del golpe (rozamiento despreciable durante el golpe). (b) Muéstrese que la bola rueda sin deslizar de inmediato si $h = \tfrac75R$, con efecto hacia delante por encima y efecto de retroceso por debajo. (c) Para $h = R$ (golpe en el centro), ¿qué distancia desliza la bola antes de rodar, con $f = 0.2$ y $v_0 = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$? (d) ¿Por qué la banda de una mesa de billar se construye a la altura $\tfrac75R$?

**Solución de Ejercicio 1.11.**

(a) $Mv_0 = P$; respecto de $G$: $\tfrac25MR^2\omega_0 = P(h - R)$ (efecto hacia delante si $h > R$). (b) $v_0 = R\omega_0 \iff 2R = 5(h - R) \iff h = \tfrac75R$; por encima, $R\omega_0 > v_0$ (efecto hacia delante); por debajo, efecto de retroceso. (c) $\omega_0 = 0$: desliza durante $t_1 = 2v_0/7fg = 0.44\,\mathrm{s}$, y recorre $v_0t_1 -
\tfrac12fgt_1^2 = 1.1\,\mathrm{m}$. (d) Una banda situada a $\tfrac75R$ devuelve la bola rodando sin deslizar: sin fase de deslizamiento, sin celeridad perdida en el paño y con un rebote predecible.

**Ejercicio 1.12 ★★★.**

*Cilindro en un cuenco.* Un cilindro macizo de radio $r$ rueda sin deslizar dentro de una superficie cilíndrica fija de radio $R > r$, con los ejes horizontales y paralelos. Sea $\theta$ el ángulo que forma la línea de los centros con la vertical. (a) Exprésese la velocidad angular del cilindro en torno a su propio eje en función de $\dot\theta$ (indicación: el punto de contacto está en reposo). (b) Energía cinética y energía potencial; muéstrese que el periodo de las oscilaciones pequeñas vale $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$. (c) Compárese con un punto que desliza sin rozamiento por el cuenco. (d) [Coeficiente de rozamiento](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) mínimo para que haya [rodadura sin deslizamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) con amplitud $\theta_0$ (ángulos pequeños).

**Solución de Ejercicio 1.12.**

(a) $v_G = (R - r)\dot\theta$; el punto de contacto está en reposo, de modo que el cilindro gira a $\omega = v_G/r = (R - r)\dot\theta/r$ en torno a su eje. (b) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 + \tfrac12\cdot\tfrac12Mr^2\omega^2 = \tfrac34M(R - r)^2
\dot\theta^2$, $E_p = -Mg(R - r)\cos\theta$; $\dd E/\dd t = 0$ da $\ddot\theta
+ \dfrac{2g}{3(R - r)}\sin\theta = 0$, $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$. (c) Un punto que desliza: $2\pi\sqrt{(R - r)/g}$ — la rodadura es más lenta en un factor $\sqrt{3/2}$, pues un tercio de la energía es de rotación. (d) Proyección tangencial: $M(R - r)\ddot\theta =
-Mg\sin\theta + T$, luego $T = \tfrac13Mg\sin\theta$; en el punto de retorno $N = Mg\cos\theta_0$: $f \ge \tfrac13\tan\theta_0 \approx \theta_0/3$.

## 1.6 Problema: un vehículo sobre ruedas

**Problema 1.1.**

Problema de fin de semana — lo que un coche pide a sus neumáticos: rodar, acelerar, frenar y la única fuerza que lo hace todo

Un coche de masa $M = 1200\,\mathrm{kg}$ tiene una distancia entre ejes $L = 2.6\,\mathrm{m}$; su centro de masas está a la altura $h = 0.55\,\mathrm{m}$ y a las distancias horizontales $a = 1.1\,\mathrm{m}$ del eje delantero y $b = 1.5\,\mathrm{m}$ del eje trasero. Cada una de las cuatro ruedas tiene radio $R = 0.31\,\mathrm{m}$, masa $m =
15\,\mathrm{kg}$ y [momento de inercia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J = 1.0\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ respecto de su eje. [Coeficiente de rozamiento](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) neumático–carretera $f = 0.80$ (en seco); coeficiente de resistencia a la rodadura $\mu_r = 0.012$. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Parte I — Rodar.**

1. El coche circula a $v = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Velocidad angular de las ruedas; velocidad, en el sistema de la carretera, de los puntos superior, inferior y delantero de un neumático.
2. Energía cinética total del coche, separando la traslación del conjunto y la rotación de las cuatro ruedas; ¿qué fracción representan las rotaciones de las ruedas?
3. En reposo sobre suelo horizontal, fuerzas normales $N_f$ (las dos ruedas delanteras juntas) y $N_r$ (las dos traseras) mediante las ecuaciones de la cantidad de movimiento y del momento angular: ¿qué eje soporta más?
4. El par de resistencia a la rodadura sobre cada rueda vale $\mu_rNR$ . Potencia disipada por la resistencia a la rodadura a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; compárese con la resistencia aerodinámica $\tfrac12\rho C_xSv^2$ con $C_xS =  0.70\,\mathrm{m}^{2}$ y $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .
5. Se corta el motor y el coche rueda por inercia en llano: escríbase la ecuación de $v(t)$ (inclúyase la inercia de las ruedas como una masa efectiva) y estímese la distancia necesaria para pasar de $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ a $45\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , primero despreciando la resistencia del aire y luego teniendo en cuenta solo esta.

**Parte II — Acelerar.** El coche es de tracción delantera; el motor aplica un par $\Gamma$ al conjunto de las dos ruedas delanteras. Despréciense aquí la resistencia del aire y la de rodadura.

6. Dibújense las fuerzas exteriores sobre el coche entero. ¿Qué fuerza lo acelera? ¿Cuál es la potencia de la carretera sobre el coche y de dónde procede la energía cinética?
7. Escríbanse la ecuación de la cantidad de movimiento del coche, la del momento angular de las ruedas delanteras respecto de su eje y la condición de no deslizamiento; muéstrese que la aceleración vale $\dot v =  \Gamma/R\,/\,(M + 4J/R^2)$ y calcúlese la masa efectiva.
8. Momento angular respecto del centro de masas para el coche entero (los momentos angulares de las ruedas se consideran despreciables): muéstrese que la transferencia de carga bajo la aceleración $\dot v$ vale $N_r - N_r^0 =  Mh\dot v/L$ — el eje delantero se descarga y el trasero se carga.
9. Aceleración máxima sin que patinen las ruedas motrices (las delanteras): muéstrese que $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh)$ y calcúlese; hágase lo mismo para un coche de tracción trasera, $\dot v_{\max} =  fga/(L - fh)$ . ¿Qué disposición acelera más y por qué los dragsters llevan el peso atrás?
10. Par del motor en las ruedas necesario para $\dot v_{\max}$ ; la potencia correspondiente a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
11. El mismo coche sobre hielo ( $f = 0.10$ ): aceleración máxima y tiempo para alcanzar $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
12. ¿Qué le hace al neumático la [fuerza de rozamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) sobre las ruedas delanteras — ¿desliza o no? — y por qué una rueda que patina sobre hielo acelera el coche *menos* que una que agarra?

**Parte III — Frenar.**

13. Los frenos aplican un par a cada rueda. Muéstrese que, para una rueda que sigue rodando, la fuerza de frenado sobre el coche es el rozamiento de la carretera sobre el neumático, y que el par de frenado está limitado por $fN_iR$ en cada rueda.
14. Transferencia de carga bajo la deceleración $\gamma$ : carga del eje delantero $N_f = Mg\,b/L + Mh\gamma/L$ ; valores numéricos para $\gamma = fg$ .
15. Deceleración máxima con las cuatro ruedas en el límite del deslizamiento; distancia de parada desde $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en carretera seca y en carretera mojada ( $f = 0.45$ ).
16. Si los frenos se ajustan de modo que los pares delantero y trasero sean iguales, ¿qué eje se bloquea primero en una frenada fuerte? ¿Por qué es peligroso un eje trasero bloqueado (piénsese en la dirección de la [fuerza de rozamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) sobre un neumático que desliza)?
17. Una rueda se bloquea y desliza: deceleración debida a la carretera y qué fracción de la frenada máxima se pierde con $f_{\text{cinético}} =  0.7$ frente a $f_{\text{estático}} = 0.8$ . Explíquese qué hace un sistema antibloqueo y por qué actúa sobre los frenos a impulsos.
18. Calor liberado en los frenos desde $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; elevación de temperatura de cuatro discos de acero de $6\,\mathrm{kg}$ ( $c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); ¿por qué hay rampas de frenado en las carreteras de montaña?
19. Un coche eléctrico recupera la energía de frenado a través de su motor con un rendimiento del $70\,\%$ : energía recuperada por cada parada desde $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; número de paradas así que vale una batería de $50\,\mathrm{kWh}$ .

**Parte IV — Tomar una curva y una rueda en el aire.**

20. El coche toma una curva en carretera llana sobre un círculo de radio $\rho = 50\,\mathrm{m}$ a la celeridad $v$ : las [fuerzas de rozamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) deben suministrar $Mv^2/\rho$ . Celeridad máxima en curva en seco y en mojado.
21. Momento angular respecto del centro de masas a lo largo de la dirección del movimiento: muéstrese que las ruedas exteriores se cargan con $\Delta N =  Mv^2h/\rho w$ , siendo $w = 1.5\,\mathrm{m}$ la vía; celeridad a la que se levantan las ruedas interiores ( $\Delta N = Mg/2$ ), y compárese con la celeridad de derrape: ¿vuelca este coche o derrapa antes?
22. La curva está peraltada con un ángulo $\beta$ . Muéstrese que a la celeridad $v = \sqrt{g\rho\tan\beta}$ no hace falta rozamiento alguno; valor para $\beta = 10{}^{\circ}$ .
23. Se levanta una rueda con un gato y se la hace girar a mano hasta $60\,\mathrm{rpm}$ ; su [cojinete](#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot) ejerce un par de rozamiento de $0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . ¿Cuánto tiempo gira? Energía cinética perdida.
24. La rueda en giro se posa sobre la carretera (coche en reposo, rueda a $60\,\mathrm{rpm}$ , $N = 3\,\mathrm{kN}$ ): tiempo de deslizamiento hasta que se detiene y distancia que recorrería el coche si pudiera rodar libremente (trátese el coche como una masa $M$ sobre ruedas libres y despréciese la inercia de las demás ruedas).
25. Resúmase todo en una tabla: los cuatro regímenes (rodar, acelerar, frenar, tomar una curva), la fuerza que actúa en cada uno y la cota de Coulomb que debe respetar.

**Solución de Problema 1.1.**

**1.** $v = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 80.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; arriba $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, abajo $0$, delante $(25, -25)$: $35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ hacia abajo.

**2.** $\tfrac12Mv^2 = 375\,\mathrm{kJ}$; $4 \times \tfrac12J\omega^2 = 13\,\mathrm{kJ}$; en total $388\,\mathrm{kJ}$, de los que las ruedas aportan un $3.3\%$.

**3.** $N_f + N_r = Mg = 11.8\,\mathrm{kN}$, $N_fa = N_rb$: $N_f = Mgb/L =
6.8\,\mathrm{kN}$, $N_r = Mga/L = 5.0\,\mathrm{kN}$ — el eje delantero, el motriz.

**4.** $P_r = \sum\mu_rN_iR\omega = \mu_rMgv = 0.012 \times 11772 \times 25 =
3.5\,\mathrm{kW}$; resistencia del aire $\tfrac12 \times 1.2 \times 0.7 \times 625 = 262\,\mathrm{N}$, $6.6\,\mathrm{kW}$.

**5.** $(M + 4J/R^2)\dot v = -\mu_rMg - \tfrac12\rho C_xSv^2$, $M_{\text{ef}} =
1200 + 41.6 = 1242\,\mathrm{kg}$. Solo rodadura: $\dot v = -0.114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $d = (25^2 - 12.5^2)/0.228 = 2.1\,\mathrm{km}$. Solo aire: $v = v_0\eu^{-x/\lambda}$, $\lambda = M_{\text{ef}}/\tfrac12\rho C_xS = 2.96\,\mathrm{km}$, $d = \lambda\ln2 =
2.0\,\mathrm{km}$ (con ambas cosas a la vez: $1.0\,\mathrm{km}$).

**6.** El peso, las reacciones normales y el rozamiento de la carretera sobre los neumáticos. El rozamiento hacia delante sobre los neumáticos delanteros es la única fuerza exterior horizontal, de modo que es la que acelera el coche; su potencia es nula (el punto de contacto está en reposo); la energía cinética procede del motor — trabajo interior.

**7.** $M\dot v = T_f - T_r$; ruedas delanteras $2J\dot v/R = \Gamma - T_fR$; ruedas traseras $2J\dot v/R = T_rR$. Sumando: $(M + 4J/R^2)\dot v = \Gamma/R$; $M_{\text{ef}} = 1242\,\mathrm{kg}$.

**8.** Momentos respecto de $G$ (las fuerzas horizontales del suelo actúan a la profundidad $h$ y suman $M\dot v$): $aN_f - bN_r + hM\dot v = 0$ con $N_f + N_r = Mg$, luego $N_r = Mga/L + Mh\dot v/L$: el eje trasero gana $Mh\dot v/L$ y el delantero lo pierde.

**9.** Tracción delantera: $M\dot v \le fN_f = f(Mgb/L - Mh\dot v/L)$, luego $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh) = 11.77/3.04 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Tracción trasera: $M\dot v \le f(Mga/L + Mh\dot v/L)$, $\dot v_{\max} = fga/(L - fh) = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. La transferencia de carga favorece al eje trasero: la tracción trasera, y el peso atrás, aceleran más.

**10.** $\Gamma = RM_{\text{ef}}\dot v_{\max} = 0.31 \times 1242 \times 3.87 =
1.5\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$; $P = \Gamma v/R = 1490 \times 13.9/0.31 = 67\,\mathrm{kW}$.

**11.** $\dot v_{\max} = 0.1 \times 9.81 \times 1.5/2.655 = 0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $25\,\mathrm{s}$ hasta $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**12.** Con agarre: [rozamiento estático](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb), sin deslizamiento y sin disipación en el contacto. Patinando: [rozamiento cinético](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) (de coeficiente algo menor), cuyo trabajo calienta el neumático y pule o funde el hielo, y la potencia del motor se va en hacer girar la rueda, no en mover el coche.

**13.** El par de frenado es interior (rueda–carrocería); al coche solo lo frena el rozamiento hacia atrás de la carretera sobre el neumático. Para la rueda (con $J\dot\omega$ despreciable): $\Gamma_b \approx T_iR \le fN_iR$.

**14.** El mismo balance con $\dot v = -\gamma$: $N_f = Mgb/L + Mh\gamma/L$; para $\gamma = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $N_f = 6792 + 1992 = 8.8\,\mathrm{kN}$, $N_r =
3.0\,\mathrm{kN}$.

**15.** $\gamma_{\max} = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $d = v^2/2\gamma = 40\,\mathrm{m}$; en mojado, con $f = 0.45$: $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $71\,\mathrm{m}$.

**16.** Pares iguales dan fuerzas iguales, pero el eje trasero solo soporta $3.0\,\mathrm{kN}$: se bloquea primero. El rozamiento de un neumático que desliza es opuesto a su [velocidad de deslizamiento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) y ya no puede suministrar fuerza lateral: un eje trasero bloqueado pierde la estabilidad direccional y el coche trompea.

**17.** Bloqueada: $\gamma = 0.7g = 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, un $12\%$ menos, con una distancia de parada de $45\,\mathrm{m}$ en lugar de $40\,\mathrm{m}$ — y sin gobierno de la dirección. Un sistema antibloqueo detecta que una rueda se decelera hacia el bloqueo, suelta y vuelve a aplicar el freno muchas veces por segundo y mantiene el neumático cerca del máximo estático y rodando.

**18.** $388\,\mathrm{kJ}$ repartidos en $4 \times 6 \times 470 = 11.3\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$: $\Delta T =
34\,\mathrm{K}$ por parada. Un camión de $40\,\mathrm{t}$ que baja $1000\,\mathrm{m}$ debe disipar $Mgh = 390\,\mathrm{MJ}$: los frenos se recalientan y pierden eficacia; una rampa de grava detiene al camión por el rozamiento de la grava.

**19.** $0.7 \times 388 = 272\,\mathrm{kJ} = 0.075\,\mathrm{kWh}$; una batería de $50\,\mathrm{kWh}$ equivale a unas $660$ paradas de esas.

**20.** $Mv^2/\rho \le fMg$: $v \le \sqrt{fg\rho} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; en mojado, $53\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**21.** Rozamiento lateral $Mv^2/\rho$ a la profundidad $h$, fuerzas normales en $\pm w/2$: $(N_{\text{ext}} - N_{\text{int}})\,w/2 = Mv^2h/\rho$, luego $\Delta N =
Mv^2h/\rho w$. Las ruedas interiores se levantan cuando $\Delta N = Mg/2$: $v = \sqrt{g\rho w/2h} =
25.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 93\,\mathrm{km}/\mathrm{h} > 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: derrapa antes de volcar (ya que $f <
w/2h = 1.36$).

**22.** En un peralte de ángulo $\beta$ y sin rozamiento, $N\sin\beta =
Mv^2/\rho$ y $N\cos\beta = Mg$: $v = \sqrt{g\rho\tan\beta} = 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ para $10{}^{\circ}$.

**23.** $\omega_0 = 6.28\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $J\dot\omega = -0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$: $t =
126\,\mathrm{s}$; se pierden $\tfrac12J\omega_0^2 = 20\,\mathrm{J}$.

**24.** El [rozamiento cinético](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $fN = 2.4\,\mathrm{kN}$ empuja el coche hacia delante: $\dot v = 2400/1200 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; sobre la rueda $J\dot\omega = -fNR$, $\dot\omega = -744\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$. El deslizamiento $R\omega - v$ parte de $1.95\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y decrece a $233\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: se anula en $8.4\,\mathrm{ms}$, habiendo ganado el coche $1.7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ y avanzado $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ — una sacudida, no un empujón.

**25.** Rodadura: rozamiento $\approx 0$, resistencia a la rodadura $\mu_rN$, con $|T| \le fN$ cumplido trivialmente. Aceleración: rozamiento hacia delante sobre los neumáticos motrices, $T \le fN_{\text{mot}}$, $\dot v \le fgb/(L + fh)$. Frenada: rozamiento hacia atrás sobre todos los neumáticos, $T_i \le fN_i$, $\gamma \le fg$. Curva: rozamiento lateral $Mv^2/\rho \le fMg$. En todos los casos una única fuerza — el rozamiento de la carretera, acotado por la ley de Coulomb — hace todo el trabajo.