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title: "Cargas, corrientes y conducción"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/10-cargas-corrientes-y-conduccion
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# Capítulo 10 — Cargas, corrientes y conducción

Acciónese el interruptor y la lámpara se enciende al instante; y sin embargo los electrones del hilo de cobre se desplazan hacia ella a una fracción de milímetro por segundo, y tardarían horas en llegar. Un rayo lleva treinta mil amperios por un canal del grosor de un dedo; el nervio que mueve ese dedo lleva picoamperios. El volumen del Año 1 trató las corrientes como números en los hilos, $I = U/R$; este capítulo las describe como un *campo* — una [densidad de corriente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) en cada punto de la materia —, escribe la ley según la cual la carga nunca se crea ni se destruye y deduce la ley de Ohm del ajetreo de los electrones en un metal: la imagen microscópica que hay detrás de la resistencia, del fusible y del sensor Hall.

![El cobre, el conductor del mundo eléctrico: en los hilos de este cable unos 1029 electrones por metro cúbico se desplazan a una fracción de milímetro por segundo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/img-46708c3f1227.jpg)

*El cobre, el conductor del mundo eléctrico: en los hilos de este cable unos $10^{29}$ electrones por metro cúbico se desplazan a una fracción de milímetro por segundo.*

## 10.1 Densidades de carga y de corriente

**Definición 10.1 (Densidad de carga; densidad de corriente).**

A la [escala mesoscópica](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-particle), la materia lleva una *densidad volumétrica de carga* $\rho(M, t)$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$): la carga $\rho\,\dd\tau$ contenida en $\dd\tau$. Una superficie puede llevar una *densidad superficial* $\sigma$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$), y un hilo una densidad lineal $\lambda$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}$). Si los portadores de la especie $i$ (carga $q_i$, densidad numérica $n_i$) se mueven con velocidad media $\vect v_i$, la *densidad de corriente* vale

$$
\vect j = \sum_in_iq_i\,\vect v_i \qquad (\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}) ,
$$

y la *intensidad* a través de una superficie orientada $S$ es el flujo $I = \iint_S\vect j\cdot\vect n\,\dd S$: la carga que atraviesa $S$ por unidad de tiempo. Para una sola especie, $\vect j = \rho_m\vect v$ con $\rho_m = nq$ la densidad de carga móvil.

**Demostración.** En $\dd t$, los portadores de la especie $i$ que atraviesan $\dd S$ son los contenidos en el cilindro oblicuo de base $\dd S$ y generatriz $\vect v_i\dd t$: en número $n_i\vect v_i\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$, con carga $q_i$ veces ese número. ∎

**Ejemplo 10.2 (Qué despacio se desplazan los electrones).**

El cobre tiene un electrón de conducción por átomo: $n = \rho_{\text{Cu}}N_A/M =
8900 \times 6.02 \times 10^{23}/0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$. Una corriente de $10\,\mathrm{A}$ en un hilo de $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ da $j = 6.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, y la *[velocidad de arrastre](#ex-b2-charges-currents-conduction-drift)* vale $v = j/ne = 6.7 \times 10^6/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times
10^{-19}) = 0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — dos horas por metro. La lámpara se enciende al instante porque el *campo* que empuja a los electrones se establece a lo largo de todo el hilo en nanosegundos (viaja a casi la velocidad de la luz, como mostró el cable de [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets)): todos los electrones arrancan a la vez, como el agua en una manguera llena.

![A la izquierda, un tubo de corriente: en régimen estacionario la misma intensidad atraviesa cada sección. A la derecha, un electrón en un metal zigzaguea entre colisiones a unos 106 m/s; el campo añade un arrastre lento, opuesto a E, de una fracción de milímetro por segundo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/fig-a1bb7e613eb3.svg)

*A la izquierda, un tubo de corriente: en régimen estacionario la misma intensidad atraviesa cada sección. A la derecha, un electrón en un metal zigzaguea entre colisiones a unos $10^6$ m/s; el campo añade un arrastre lento, opuesto a $\vect E$, de una fracción de milímetro por segundo.*

**Ejemplo 10.3 (Órdenes de magnitud).**

Un rayo, $30\,\mathrm{kA}$ por un canal de $1\,\mathrm{cm}$ de radio: $j \approx 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$. Un hilo doméstico: $10^6$–$10^7$. Un haz de electrones en un tubo de rayos catódicos, $1\,\mathrm{mA}$ sobre $1\,\mathrm{mm}^{2}$: $10^3$. Una fibra nerviosa, $1\,\mathrm{nA}$ por $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$: $10^2$. El haz de un acelerador de partículas, $1\,\mathrm{A}$ en una mancha de $0.1\,\mathrm{mm}^{2}$: $10^7$ — en vacío y sin colisión alguna.

## 10.2 La conservación de la carga

**Teorema 10.4 (Conservación local de la carga).**

En todo punto,

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect j = 0 ;
$$

integrada sobre un volumen fijo $V$ limitado por la superficie cerrada $\Sigma$, $\dd Q_V/\dd t = -I_{\text{sal}}$: la carga interior solo varía en lo que atraviesa la frontera. En *régimen estacionario* ($\partial_t\rho = 0$), $\operatorname{div}\vect j = 0$: el flujo de $\vect j$ se conserva a lo largo de un tubo de corriente, la misma intensidad atraviesa cada sección de un hilo y las corrientes que entran en un nudo igualan a las que salen (la ley de los nudos de Kirchhoff).

**Demostración.** Palabra por palabra el balance de masa de [Teorema 2.8](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#thm-b2-fluid-kinematics-continuity) con $\rho$ la [densidad de carga](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) y $\vect j$ su corriente: la salida neta de carga por las seis caras de una caja fija, por unidad de volumen, vale $\operatorname{div}\vect j$, y no se crea carga. La forma integral suma las cajas (las caras interiores se cancelan). Para un tubo entre dos secciones $S_1$, $S_2$ sin flujo lateral, $I_1 = I_2$; un nudo es un volumen pequeño con varios hilos: $\sum I_{\text{ent}} = \sum I_{\text{sal}}$. ∎

**Observación 10.5 (Donde la corriente se detiene: el condensador).**

Un hilo que alimenta la armadura de un condensador es un tubo de corriente que termina: el flujo de $\vect j$ hacia la armadura vale $I = \dd Q/\dd t$ y la carga se acumula — allí $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ y el régimen no es estacionario. Y sin embargo la misma corriente $I$ circula por el hilo del otro lado: algo debe llevar el relevo a través del hueco. [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations) le pone nombre — la corriente de desplazamiento — y hace de la conservación de la carga la clave de bóveda de las ecuaciones de Maxwell.

## 10.3 El modelo de Drude y la ley de Ohm

**Proposición 10.6 (Modelo de Drude; ley de Ohm local).**

Modélense los electrones de conducción de un metal como partículas libres (de masa $m$, carga $-e$ y densidad $n$) que sienten el campo $\vect E$ y que, en promedio, pierden su cantidad de movimiento de arrastre por colisiones con la red cada $\tau$ segundos — una [fuerza de rozamiento](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/1-mecanica-del-solido-rigido#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) $-m\vect v/\tau$ sobre la velocidad media:

$$
m\frac{\dd\vect v}{\dd t} = -e\vect E - \frac m\tau\vect v .
$$

En un campo constante el arrastre se estabiliza, en unos pocos $\tau$, en $\vect v = -e\tau
\vect E/m$, y la [densidad de corriente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) vale

$$
\vect j = \gamma\,\vect E , \qquad \gamma = \frac{ne^2\tau}{m} :
$$

la *ley de Ohm local*, con $\gamma$ la *conductividad* ($\mathrm{S}/\mathrm{m}$; su inversa $\rho_e = 1/\gamma$ es la *resistividad*, $\Omega\,\mathrm{m}$). El cociente $\mu = e\tau/m$ entre la celeridad de arrastre y el campo es la *movilidad* ($\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$). Para un conductor de longitud $L$ y sección uniforme $S$ que lleva un $\vect j$ uniforme, integrar $E = j/\gamma$ a lo largo de la longitud da $U = EL = (L/\gamma S)I$: la resistencia $R = L/\gamma S
= \rho_eL/S$ del volumen del Año 1.

**Demostración.** Con $\vect v = -e\tau\vect E/m$, $\vect j = -ne\vect v = (ne^2\tau/m)\vect E$. El transitorio $\vect v(t) = \vect v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ dura $\tau \sim
1 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, instantáneo a cualquier escala de tiempo de un circuito. La resistencia se sigue de $\int\vect E\cdot\dd\vect l$ entre los extremos. ∎

**Ejemplo 10.7 (El cobre, a partir de la conductividad medida).**

Cobre: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$: $\tau = m\gamma/ne^2 =
9.1 \times 10^{-31} \times 6 \times 10^7/(8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}) = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — veinticinco femtosegundos entre colisiones. La celeridad aleatoria de los electrones en un metal es de unos $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (un efecto cuántico, no la térmica $\sqrt{3k_BT/m} \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$), de modo que el recorrido libre medio vale $\ell
= v\tau \approx 40\,\mathrm{nm}$, un centenar de distancias atómicas: los electrones no chocan con los átomos mismos (un cristal perfecto es transparente para ellos), sino con sus defectos y con las vibraciones térmicas — y por eso $\gamma$ baja al calentar o alear un metal. Movilidad $e\tau/m =
4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$: $4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ por voltio y por metro.

**Proposición 10.8 (La ley de Ohm a alta frecuencia).**

Para un campo sinusoidal $\underline{\vect E}\,\eu^{\iu\omega t}$ la ecuación de Drude da $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$ con

$$
\underline\gamma(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + \iu\omega\tau} , \qquad \gamma_0 = \frac{ne^2\tau}{m} :
$$

la conductividad es real e igual a su valor en continua mientras $\omega\tau
\ll 1$, es decir, hasta unos $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ para el cobre — en todo el dominio de la radio y de las microondas; en el infrarrojo y en el visible ($\omega\tau \gg 1$) se vuelve imaginaria, $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$: los electrones oscilan libremente, en desfase con el campo, y el metal se comporta como el plasma de [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media).

**Demostración.** $\iu\omega m\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E} - m\underline{\vect v}/\tau$, de donde $\underline{\vect v} = -e\tau\underline{\vect E}/m(1 + \iu\omega\tau)$ y $\underline{\vect j}
= -ne\underline{\vect v}$. ∎

![A la izquierda, la conductividad de Drude frente a : real y constante a baja frecuencia, imaginaria más allá de 1/. A la derecha, el efecto Hall en una banda conductora: el campo empuja los portadores hacia un lado, estos cargan los bordes y el campo Hall transversal equilibra la fuerza magnética.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/fig-2cfaecd0cb64.svg)

![A la izquierda, la conductividad de Drude frente a : real y constante a baja frecuencia, imaginaria más allá de 1/. A la derecha, el efecto Hall en una banda conductora: el campo empuja los portadores hacia un lado, estos cargan los bordes y el campo Hall transversal equilibra la fuerza magnética.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/fig-69463e2c3034.svg)

*A la izquierda, la conductividad de Drude frente a $\omega\tau$: real y constante a baja frecuencia, imaginaria más allá de $1/\tau$. A la derecha, el efecto Hall en una banda conductora: el campo empuja los portadores hacia un lado, estos cargan los bordes y el campo Hall transversal equilibra la fuerza magnética.*

**Observación 10.9 (Conductores, semiconductores, electrolitos).**

La misma ley $\vect j = \sum n_iq_i\mu_i\vect E$ vale para todo conductor; lo que cambia son $n$ y $\mu$. Metales: $n \sim 10^{29}$, $\gamma \sim 10^7$ S/m. Semiconductores: $n \sim 10^{16}$–$10^{23}$, fijado por el dopado y creciente con rapidez con la temperatura, con dos clases de portadores (electrones y huecos) — de ahí los termistores y los diodos. Electrolitos: iones de ambos signos, $\mu \sim 10^{-8}$–$10^{-7}$ m$^2$/(V s); agua de mar $\gamma \approx 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, agua del grifo $10^{-2}$, agua pura $10^{-5}$. Aislantes (vidrio, polímeros): $\gamma \lesssim 10^{-12}$ S/m. El efecto Hall del volumen del Año 1, en forma local $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B/nq$, mide $n$ y el signo de $q$: en el aluminio o en el cinc resulta que los portadores son positivos — huecos — y ningún modelo clásico lo explica.

## 10.4 La energía: la ley de Joule local

**Proposición 10.10 (Ley de Joule local).**

El campo eléctrico entrega a los portadores, por unidad de volumen y de tiempo, la potencia $\vect j\cdot\vect E$; en un conductor óhmico vale

$$
p = \vect j\cdot\vect E = \gamma E^2 = \frac{j^2}\gamma \ \ (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}) ,
$$

todo ello convertido en calor por las colisiones (la energía cinética de arrastre es despreciable y constante). Integrada sobre un hilo, $\int j^2/\gamma\,\dd\tau
= (L/\gamma S)I^2 = RI^2$.

**Demostración.** La fuerza $q\vect E$ sobre cada portador trabaja a la tasa $q\vect E\cdot\vect v$; sumada sobre los $n\,\dd\tau$ portadores: $nq\vect v\cdot\vect E\,\dd\tau = \vect j\cdot
\vect E\,\dd\tau$ (la fuerza magnética no trabaja). En el régimen estacionario de Drude esta potencia iguala a la disipada por el término de rozamiento, es decir, la transferida a la red. ∎

**Ejemplo 10.11 (Un hilo que se calienta).**

El hilo de $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ a $10\,\mathrm{A}$: $p = j^2/\gamma = (6.7 \times 10^6)^2/6 \times 10^7 =
7.4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, es decir, $1.1\,\mathrm{W}$ por metro — que el aire de alrededor evacua sin dificultad. Abandonado a sí mismo (sin refrigeración), el cobre ($c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, $\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) se calentaría a $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$. A $100\,\mathrm{A}$ en el mismo hilo el ritmo es cien veces mayor, $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$: se funde en un minuto — el principio del fusible, cuyo hilo fino está pensado para fundirse antes.

**Proposición 10.12 (Relajación de la carga en un conductor).**

En un conductor óhmico una densidad volumétrica de carga decae como $\rho(t) =
\rho_0\eu^{-t/\tau_r}$ con

$$
\tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} :
$$

$1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ para el cobre, $2 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ para el agua de mar y $10\,\mathrm{s}$ para el vidrio. Hasta frecuencias del orden de $1/\tau_r$ un conductor no lleva *ninguna carga en volumen*: todo exceso de carga corre a su superficie. La palabra “conductor” depende así de la escala de tiempo: el agua de mar es conductora para las ondas de radio y aislante para la luz visible.

**Demostración.** Conservación de la carga con $\vect j = \gamma\vect E$ y la ley de Gauss en forma local, $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)): $\partial_t\rho = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$. ∎

**Método 10.13 (De la ley local a la ley integral).**

Para hallar la resistencia de un conductor de forma arbitraria: (1) úsese la simetría para escribir $\vect j$ (en régimen estacionario su flujo se conserva, de modo que en un tubo $j \times$ sección $= I$); (2) $\vect E = \vect j/\gamma$; (3) intégrese $\vect E$ a lo largo de una línea de un electrodo al otro: $U = \int\vect E\cdot
\dd\vect l$, y $R = U/I$; (4) compruébese con la potencia de Joule $\int j^2/\gamma\,
\dd\tau = RI^2$. Los mismos pasos dan la fuga de un cable, la resistencia del terreno en torno a un pararrayos o la de un contacto cónico.

## 10.5 Ejercicios

**Ejercicio 10.1 ★.**

Un hilo de cobre de $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ lleva $16\,\mathrm{A}$. [Densidad de corriente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities), celeridad de arrastre ($n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$), tiempo que tarda un electrón en recorrer los $20\,\mathrm{m}$ hasta un enchufe; campo eléctrico en el hilo ($\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$), caída de tensión en $20\,\mathrm{m}$ y potencia perdida.

**Solución de Ejercicio 10.1.**

$j = 16/2.5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $20\,\mathrm{m}$ en $4.3 \times 10^4$ s, doce horas. $E = j/\gamma = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $U = 2.1\,\mathrm{V}$; $P = UI = 34\,\mathrm{W}$.

**Ejercicio 10.2 ★.**

[Densidades de corriente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities): un rayo ($30\,\mathrm{kA}$, radio $1\,\mathrm{cm}$); un haz de electrones ($2\,\mathrm{mA}$, $0.5\,\mathrm{mm}^{2}$); un axón nervioso ($1\,\mathrm{nA}$, radio $2\,\text{µ}\mathrm{m}$); la corriente anular de la magnetosfera terrestre ($1\,\mathrm{MA}$ sobre unos $1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$). ¿Cuáles superan al hilo del ejercicio anterior?

**Solución de Ejercicio 10.2.**

Rayo, $3 \times 10^4/\pi10^{-4} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; haz, $4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; axón, $10^{-9}/1.3 \times 10^{-11} = 80\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; corriente anular, $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$. Solo el rayo supera los $6 \times 10^6$ del hilo.

**Ejercicio 10.3 ★.**

Resistividades a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$: cobre $1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$, aluminio $2.8 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$, hierro $1.0 \times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}$, nicromo $1.1 \times 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}$. Resistencia de $100\,\mathrm{m}$ de $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ en cada uno; sección de aluminio equivalente a $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ de cobre, y cociente de masas (densidades $8900$ y $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$); longitud de hilo de nicromo de $0.5\,\mathrm{mm}$ para un calefactor de $1\,\mathrm{kW}$ y $230\,\mathrm{V}$.

**Solución de Ejercicio 10.3.**

$R = \rho_eL/S$: $0.68$, $1.1$, $4.0$, $44\,\Omega$. Aluminio: $2.5 \times 2.8/1.7 =
4.1\,\mathrm{mm}^{2}$, cociente de masas $(4.1 \times 2700)/(2.5 \times 8900) = 0.50$ — la mitad de masa. Calefactor: $R = 230^2/1000 = 53\,\Omega$, $S = 0.196\,\mathrm{mm}^{2}$, $L = RS/\rho_e = 9.4\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 10.4 ★.**

Drude: $\tau$, movilidad y recorrido libre medio (celeridad aleatoria $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) para el cobre ($\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$) y la plata ($\gamma = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$); conductividad de una muestra de silicio con $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ y $\mu = 0.14\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$; celeridad de arrastre en esa muestra a $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$.

**Solución de Ejercicio 10.4.**

$\tau = m\gamma/ne^2$: cobre $2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $\mu = e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$, $\ell = 40\,\mathrm{nm}$; plata $3.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $6.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$, $61\,\mathrm{nm}$. Silicio: $\gamma = ne\mu = 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.14 = 220\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$; $v =
\mu E = 140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 10.5 ★★.**

Un condensador de armaduras $S$ se carga por un hilo con la corriente $I(t)$. (a) Aplíquese la ley de conservación en forma integral a una superficie cerrada que rodee una armadura: relaciónense $I$ y la carga $Q$ de la armadura. (b) ¿Por qué es $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ en la armadura? (c) Un electrodo esférico de radio $a$ en un medio conductor emite una corriente radial $I$: $\vect j(r)$; compruébese $\operatorname{div}
\vect j = 0$ para $r > a$ (úsese $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}\partial_r(r^2j_r)$ para un campo radial). (d) ¿Dónde “se rompe” entonces la conservación de la carga?

**Solución de Ejercicio 10.5.**

(a) Entra corriente y no sale ninguna: $\dd Q/\dd t = I$. (b) La carga se acumula: $\partial_t
\rho \ne 0$. (c) $\vect j = (I/4\pi r^2)\vect e_r$: $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}
\partial_r(I/4\pi) = 0$. (d) Solo en el electrodo, donde el hilo inyecta la corriente — una fuente del flujo.

**Ejercicio 10.6 ★★.**

*Fuga de un [cable coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).* El aislante entre los conductores (radios $a = 1\,\mathrm{mm}$, $b = 3.5\,\mathrm{mm}$) tiene $\gamma = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$; se aplica una tensión $U$ entre ellos y circula una corriente radial de fuga $I$ por cada longitud $L$. (a) $\vect j(r)$ y $\vect E(r)$. (b) Muéstrese que la resistencia de una longitud $L$ vale $R = \ln(b/a)/2\pi\gamma L$; valor por kilómetro. (c) Corriente de fuga y potencia por kilómetro a $1\,\mathrm{kV}$. (d) Compárese con la capacidad por unidad de longitud $2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$: muéstrese que $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma$ e interprétese con el tiempo de relajación.

**Solución de Ejercicio 10.6.**

(a) $j = I/2\pi rL$, $E = j/\gamma$, radiales. (b) $U = \int_a^bE\,\dd r = I\ln(b/a)/
2\pi\gamma L$: $R = \ln3.5/(2\pi \times 10^{-13} \times 10^3) = 2 \times 10^{9}\,\Omega$ por kilómetro. (c) $0.5\,\text{µ}\mathrm{A}$, $0.5\,\mathrm{mW}$. (d) $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma = 200\,\mathrm{s}$ para $\varepsilon_r = 2.3$: el cable, cargado y aislado, se descarga a través de su propio aislante con el tiempo de relajación de ese aislante.

**Ejercicio 10.7 ★★.**

[Conductividad compleja](#prop-b2-charges-currents-conduction-acdrude) del cobre ($\tau = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$). (a) $\omega\tau$ a $50\,\mathrm{Hz}$, $10\,\mathrm{GHz}$ (microondas), $30\,\mathrm{THz}$ (infrarrojo) y $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ (luz verde). (b) Módulo y fase de $\underline\gamma/\gamma_0$ en cada caso. (c) ¿Hasta qué frecuencia es buena la ley de Ohm con un $1\%$? (d) En el visible, escríbase $\underline\gamma$ y muéstrese que $\underline{\vect j}$ está en cuadratura con $\underline{\vect E}$: ¿potencia de Joule media?

**Solución de Ejercicio 10.7.**

(a) $\omega\tau$: $8 \times 10^{-12}$, $1.6 \times 10^{-3}$, $4.7$, $79$. (b) $|\underline\gamma|/\gamma_0 =
1/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$: $1$, $1$, $0.21$, $0.013$; fase $-\arctan\omega\tau$: $0$, $-0.09{}^{\circ}$, $-78{}^{\circ}$, $-89{}^{\circ}$. (c) $\omega\tau \le 0.14$: $f \le
0.9\,\mathrm{THz}$. (d) $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$: $\underline{\vect j}$ va $90{}^{\circ}$ por detrás de $\underline{\vect E}$, $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$: no hay efecto Joule — los electrones oscilan libremente, como en un plasma.

**Ejercicio 10.8 ★★.**

Un hilo fusible de cobre de $0.20\,\mathrm{mm}$ (cobre: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $\rho =
8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, funde a $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$, calor latente $205\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$). (a) [Densidad de corriente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) y potencia de Joule por unidad de volumen a $10\,\mathrm{A}$. (b) Tiempo que tarda en fundirse desde $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ si no escapa calor (ignórese el aumento de la resistividad con la temperatura). (c) Lo mismo a $30\,\mathrm{A}$. (d) En realidad el hilo cede calor al aire: ¿cómo fija eso la corriente nominal de un fusible y por qué van los fusibles sellados en un cartucho relleno de arena?

**Solución de Ejercicio 10.8.**

(a) $S = 3.1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$, $j = 3.2 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{9}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$. (b) Energía necesaria para fundirlo por unidad de volumen $\rho(c\Delta T + L_f) = 8900(4.1 \times 10^5 + 2.05 \times
10^5) = 5.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: $3.2\,\mathrm{s}$. (c) Nueve veces más rápido: $0.36\,\mathrm{s}$. (d) La corriente nominal es aquella cuyo calentamiento por efecto Joule evacua el aire justo por debajo del punto de fusión; la arena apaga el arco que, de otro modo, seguiría conduciendo por el hueco tras fundirse el hilo.

**Ejercicio 10.9 ★★.**

*Relajación.* (a) Dedúzcase $\partial_t\rho = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$ de la conservación de la carga, la ley de Ohm y $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$. (b) $\tau_r$ para el cobre, el agua de mar ($\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$), el agua del grifo ($5 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$), el vidrio ($1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) y el PTFE ($1 \times 10^{-16}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$). (c) ¿Hasta qué frecuencia es cada uno un “buen conductor” (con la carga relajándose en menos de un periodo)? (d) Una varilla de vidrio cargada conserva su carga durante minutos: ¿es eso coherente?

**Solución de Ejercicio 10.9.**

(a) $\partial_t\rho = -\operatorname{div}\vect j = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -\gamma\rho/
\varepsilon_0$. (b) $\varepsilon_0/\gamma$: $1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$, $1.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$, $1.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$, $9\,\mathrm{s}$, $9 \times 10^4$ s. (c) $f \lesssim 1/2\pi\tau_r$: $10^{18}$ Hz (el [modelo de Drude](#prop-b2-charges-currents-conduction-drude) falla mucho antes), $90\,\mathrm{GHz}$, $0.9\,\mathrm{GHz}$, $0.02\,\mathrm{Hz}$, $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{Hz}$. (d) Una varilla de vidrio perdería su carga en un minuto a través de su volumen; el vidrio seco real está más cerca de $10^{-14}$ S/m (horas), y lo que suele descargarla es la humedad superficial — coherente en orden de magnitud.

**Ejercicio 10.10 ★★★.**

*Puesta a tierra.* Un electrodo hemisférico de radio $a = 0.50\,\mathrm{m}$ se entierra enrasado con la superficie de un terreno de conductividad $\gamma =
0.010\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$; una corriente $I$ entra en él y se reparte radialmente por el semiespacio. (a) $\vect j(r)$, $\vect E(r)$ y el potencial $V(r)$ con $V(\infty) = 0$. (b) Resistencia de la puesta a tierra, $R = 1/2\pi\gamma a$; valor. (c) Un rayo de $20\,\mathrm{kA}$ alcanza la pica: potencial de la pica; potencial en $r = 10\,\mathrm{m}$ y en $10.7\,\mathrm{m}$; la “tensión de paso” entre los pies de una persona allí situada (con los pies separados $0.7\,\mathrm{m}$ radialmente). (d) ¿Por qué el ganado, con sus cuatro patas muy separadas, muere por rayos cercanos más a menudo que las personas?

**Solución de Ejercicio 10.10.**

(a) $\vect j = (I/2\pi r^2)\vect e_r$, $E = I/2\pi\gamma r^2$, $V = I/2\pi\gamma r$. (b) $R = V(a)
/I = 1/2\pi\gamma a = 32\,\Omega$. (c) $V_{\text{pica}} = 640\,\mathrm{kV}$; $V(10) = 32\,\mathrm{kV}$, $V(10.7) = 30\,\mathrm{kV}$: $2.1\,\mathrm{kV}$ entre los pies. (d) Las patas delanteras y traseras distan $1.5\,\mathrm{m}$ en la dirección radial: de $4$ a $5\,\mathrm{kV}$, y el camino de la corriente pasa por el corazón.

**Ejercicio 10.11 ★★★.**

*Sensor Hall.* Una banda de espesor $t$ y anchura $w$ lleva $I$ según $x$ en un campo $B$ según $z$. (a) A partir de $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B
/nq$, muéstrese que la tensión Hall a lo ancho vale $V_H = IB/nqt$. (b) Banda de cobre, $t = 0.10\,\mathrm{mm}$, $1\,\mathrm{A}$, $1\,\mathrm{T}$: $V_H$. (c) Un semiconductor dopado con $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$, con la misma geometría: $V_H$; por qué los sensores usan semiconductores. (d) Un sensor con $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$, $t =
20\,\text{µ}\mathrm{m}$, alimentado con $1\,\mathrm{mA}$, marca $10\,\text{µ}\mathrm{V}$: campo medido. ¿Qué indica el signo de $V_H$?

**Solución de Ejercicio 10.11.**

(a) $E_H = jB/nq$ con $j = I/wt$: $V_H = E_Hw = IB/nqt$. (b) $1/(8.5 \times 10^{28}
\times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 0.7\,\text{µ}\mathrm{V}$. (c) $6.3\,\mathrm{mV}$: $V_H \propto 1/n$, y los semiconductores tienen $10^6$ veces menos portadores. (d) $B = V_Hnqt/I =
10^{-5} \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-5}/10^{-3} = 0.32\,\mathrm{T}$; el signo de $V_H$ da el signo de los portadores (para un $\vect B$ conocido) o la dirección de $\vect B$ (para un sensor conocido).

**Ejercicio 10.12 ★★★.**

*Electrolito.* En el agua, los iones Na$^+$ y Cl$^-$ tienen movilidades $\mu_+ = 5.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ y $\mu_- = 7.9 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$. (a) Muéstrese que $\gamma = ne(\mu_+ + \mu_-)$ para $n$ pares de iones por unidad de volumen. (b) Agua de mar, $0.5\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ de NaCl: $\gamma$; compárese con los $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ medidos. (c) Celeridades de arrastre a $10\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; ¿qué ion lleva más corriente? (d) Una columna de agua de mar, de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ por $10\,\mathrm{cm}$, lleva $1\,\mathrm{A}$: tensión, potencia y tiempo que tarda en calentarse $10\,\mathrm{K}$ ($c =
4.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$); por qué se refrigeran los geles de electroforesis.

**Solución de Ejercicio 10.12.**

(a) $\vect j = ne\mu_+\vect E + (-ne)(-\mu_-\vect E)$: ambas especies se desplazan en sentidos opuestos y llevan corriente en el mismo sentido. (b) $n =
0.5 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23} = 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$: $\gamma = 3 \times 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19}
\times 1.31 \times 10^{-7} = 6.3\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ (a esta concentración los iones se estorban entre sí: $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ medidos). (c) $0.52\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $0.79\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$: el Cl$^-$ lleva el $60\%$. (d) $R = L/\gamma S = 200\,\Omega$, $U = 200\,\mathrm{V}$, $P =
200\,\mathrm{W}$ sobre $10\,\mathrm{g}$ de agua: $10\,\mathrm{K}$ en $2\,\mathrm{s}$ — de ahí las placas de refrigeración de las cubetas de electroforesis.

## 10.6 Problema: el hilo de cobre, del átomo a la red eléctrica

**Problema 10.1.**

Problema de fin de semana — un metro de hilo doméstico examinado a cuatro escalas: el electrón, las leyes locales, el circuito y la línea de transporte

Cobre: masa molar $63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, densidad $8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, un electrón de conducción por átomo, conductividad $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, con resistividad creciente $\rho_e(T) = \rho_e(20)[1 +
\alpha(T - 20)]$ y $\alpha = 4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$; $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$. Hilo: sección $S = 2.5\,\mathrm{mm}^{2}$, longitud $1\,\mathrm{m}$, corriente $16\,\mathrm{A}$.

**Parte I — Los electrones.**

1. Densidad numérica $n$ de electrones de conducción.
2. [Densidad de corriente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) y [velocidad de arrastre](#ex-b2-charges-currents-conduction-drift) ; cuánto tarda un electrón en recorrer el metro.
3. El $\tau$ de Drude y la movilidad; recorrido libre medio con una celeridad aleatoria de $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; a cuántas distancias atómicas ( $0.26\,\mathrm{nm}$ ) equivale y qué dice eso sobre con qué chocan los electrones.
4. Las vibraciones térmicas crecen con $T$ , de modo que aproximadamente $\tau \propto 1/T$ : compruébese frente a $\alpha$ cerca de la temperatura ambiente ( $\dd\rho_e/\rho_e =  \dd T/T$ daría $\alpha = 1/293$ ).
5. Campo eléctrico en el hilo; tensión total en el metro; energía cinética de arrastre por electrón comparada con $k_BT$ — ¿altera la corriente al gas de electrones?
6. Número de electrones que atraviesan una sección del hilo por segundo.
7. Carga de los electrones de conducción del metro de hilo; fuerza que ejerce el campo sobre todos ellos juntos; compárese con el peso del hilo. ¿Dónde acaba esa fuerza (piénsese en las colisiones)?

**Parte II — Las leyes locales.**

8. Potencia de Joule por unidad de volumen y por metro.
9. El hilo, al aire, pierde calor a razón de $h(T - T_a)$ por unidad de superficie con $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ (convección): elevación de temperatura de equilibrio; compruébese si importa la corrección de resistividad.
10. El mismo hilo enterrado en un aislamiento que solo deja pasar $h =  2\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ : nueva elevación de temperatura, con la corrección de resistividad incluida (resuélvase el balance).
11. Sin refrigeración alguna, ritmo de subida de temperatura a $16\,\mathrm{A}$ y a $160\,\mathrm{A}$ (un cortocircuito); tiempo para alcanzar el punto de fusión ( $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) en el segundo caso; ¿qué protege la instalación?
12. A $50\,\mathrm{Hz}$ , $\omega\tau = ?$ ¿Se ve afectada la ley de Ohm? (El efecto pelicular de [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media) es otra cuestión.)
13. Escríbase el tiempo de relajación $\varepsilon_0/\gamma$ del cobre; ¿qué implica para la [densidad de carga](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) dentro del hilo y dónde se aloja la carga que produce el campo $E$ dentro del hilo?

**Parte III — La conservación de la carga en el circuito.** El hilo alimenta un condensador $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ a través de un interruptor; la corriente vale $I(t) = I_0\eu^{-t/\tau_c}$ con $I_0 = 16\,\mathrm{A}$, $\tau_c = 1\,\mathrm{ms}$.

14. Carga que llega a la armadura; tensión final.
15. Aplíquese $\dd Q/\dd t = -I_{\text{sal}}$ a una superficie cerrada que rodee la armadura: ¿qué lado lleva una corriente de conducción y cuál no? ¿Qué magnitud debe entonces variar en el hueco?
16. En $t = 0.5\,\mathrm{ms}$ , ritmo de variación de la carga de la armadura; si las armaduras son de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ y están separadas $0.1\,\mathrm{mm}$ en aire, ritmo de variación del campo entre ellas.
17. Muéstrese que $\varepsilon_0\,\dd E/\dd t \times$ el área de la armadura iguala a la corriente del hilo — la magnitud que [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations) añade a la ley de Ampère.
18. Se corta el hilo y los dos extremos quedan a $1\,\mathrm{mm}$ en aire: ¿qué corriente circula (aire $\gamma \approx 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )? ¿A qué campo se rompe el aire ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ) y qué tensión entre los extremos produce una chispa?

**Parte IV — La línea.** Una línea de $230\,\mathrm{V}$ de cobre de $10\,\mathrm{mm}^{2}$ y $500\,\mathrm{m}$ de longitud (ida y vuelta: $1\,\mathrm{km}$ de hilo) alimenta una granja que consume $40\,\mathrm{A}$.

19. Resistencia, caída de tensión y potencia perdida en la línea; fracción de la potencia entregada.
20. La misma potencia a $20\,\mathrm{kV}$ con un transformador en cada extremo: corriente, caída y pérdida; conclúyase por qué el transporte se hace a alta tensión.
21. En las torres se usa aluminio ( $\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): sección para la misma resistencia que $10\,\mathrm{mm}^{2}$ de cobre; masa por kilómetro de ambos; por qué gana el aluminio allí arriba y el cobre en la pared.
22. Una pinza con sensor Hall abrazada a la línea lee su campo: para una pinza amperimétrica con $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $t = 0.1\,\mathrm{mm}$ , alimentada con $5\,\mathrm{mA}$ en un campo de $0.1\,\mathrm{T}$ concentrado por un núcleo de hierro, tensión Hall.
23. Tras un día caluroso de carga el hilo está a $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ : su resistencia entonces y la pérdida adicional.
24. Un rayo alcanza la línea: $20\,\mathrm{kA}$ durante $100\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Energía disipada en el $1\,\mathrm{km}$ de hilo; elevación de temperatura si no escapa nada; [densidad de corriente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) — compárese con la parte I.
25. Resúmase: las cinco magnitudes ( $n$ , $\tau$ , $\gamma$ , $j$ , $E$ ) que describen el hilo a cada escala, y la ley que enlaza cada par.

**Solución de Problema 10.1.**

**1.** $n = \rho N_A/M = 8.4 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**2.** $j = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $35\,\mathrm{min}$ por metro.

**3.** $\tau = m\gamma/ne^2 = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $\mu = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$, $\ell =
40\,\mathrm{nm}$, $150$ distancias atómicas: los electrones chocan con defectos y vibraciones térmicas, no con los átomos.

**4.** $\rho_e \propto T$ da $\alpha = 1/293 = 3.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$, cercano al $4 \times 10^{-3}$ medido.

**5.** $E = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $U = 0.11\,\mathrm{V}$; $\tfrac12mv^2 = 1 \times 10^{-37}\,\mathrm{J}$ frente a $k_BT = 4 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$: el gas de electrones no nota la corriente.

**6.** $I/e = 1 \times 10^{20}\,$ electrones por segundo.

**7.** $Q = neSL = 3.4 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$; $QE = 3.6\,\mathrm{kN}$, frente a un peso de $0.2\,\mathrm{N}$. El campo tira de la red positiva con la fuerza opuesta; los electrones ceden su cantidad de movimiento a la red por colisiones: el hilo en conjunto no siente nada.

**8.** $p = j^2/\gamma = 6.8 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, $1.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$.

**9.** Superficie $\pi d = 5.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ por metro: $\Delta T = 1.7/(10 \times 5.6 \times
10^{-3}) = 30\,\mathrm{K}$; la resistividad sube un $12\%$ y la potencia a $1.9\,\mathrm{W}$: $\Delta T \approx 35\,\mathrm{K}$.

**10.** $\Delta T = 1.7(1 + 0.004\Delta T)/(2 \times 5.6 \times 10^{-3})$: $\Delta T(1 - 0.6) = 150$, $\Delta T \approx 400\,\mathrm{K}$ — cerca del embalamiento térmico: los cables enterrados deben usarse por debajo de su corriente nominal.

**11.** $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$; a $160\,\mathrm{A}$, $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$: se funde en un minuto aproximadamente (menos, según sube $\rho_e$); el interruptor automático abre en milisegundos.

**12.** $\omega\tau = 8 \times 10^{-12}$: la ley de Ohm no se altera.

**13.** $\varepsilon_0/\gamma = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$: ninguna carga en el interior; el campo del hilo lo crean cargas de su *superficie*, cuya densidad varía a lo largo del hilo.

**14.** $Q = I_0\tau_c = 16\,\mathrm{mC}$, $V = Q/C = 160\,\mathrm{V}$.

**15.** El lado del hilo lleva $I$ y el lado del hueco no lleva corriente de conducción: la carga crece, y con ella el campo eléctrico del hueco.

**16.** $I = 16\eu^{-0.5} = 9.7\,\mathrm{A}$; $E = Q/\varepsilon_0A$, $\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0A
= 9.7/(8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4}) = 1.1 \times 10^{16}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**17.** $\varepsilon_0A\,\dd E/\dd t = I$: la corriente de desplazamiento.

**18.** $j = \gamma E = 10^{-14} \times 2.3 \times 10^5 = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $10^{-14}$ A por la sección: nada; ruptura a $3\,\mathrm{kV}$ en el milímetro.

**19.** $R = 1000/(6 \times 10^7 \times 10^{-5}) = 1.7\,\Omega$; $\Delta U = 67\,\mathrm{V}$; $P =
2.7\,\mathrm{kW}$, el $29\%$ de los $9.2\,\mathrm{kW}$ entregados.

**20.** $I = 0.46\,\mathrm{A}$, $\Delta U = 0.8\,\mathrm{V}$, $0.35\,\mathrm{W}$: transportar a alta tensión divide la pérdida por $(U_2/U_1)^2$.

**21.** $10 \times 6/3.6 = 17\,\mathrm{mm}^{2}$; $89\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ de cobre frente a $45\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ de aluminio: más ligero y más barato en las torres; en la pared, la sección menor del cobre cabe en los tubos y en los bornes.

**22.** $V_H = IB/nqt = 5 \times 10^{-3} \times 0.1/(10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) =
3.1\,\mathrm{mV}$.

**23.** $+24\%$: $2.1\,\Omega$, $3.3\,\mathrm{kW}$ perdidos.

**24.** $RI^2t = 1.7 \times 4 \times 10^8 \times 10^{-4} = 67\,\mathrm{kJ}$ sobre $89\,\mathrm{kg}$: $2\,\mathrm{K}$. $j = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, trescientas veces el valor doméstico.

**25.** $n$ (la materia) y $\tau$ (las colisiones) dan $\gamma = ne^2\tau/m$; $\gamma$ enlaza $j$ y $E$ (Ohm); $j$ se integra hasta $I$ y $E$ hasta $U$ (el circuito); $j^2/\gamma$ es el calor.