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title: "Las ecuaciones de Maxwell"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell
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# Capítulo 11 — Las ecuaciones de Maxwell

En 1865 James Clerk Maxwell escribió las leyes que Coulomb, Ampère y Faraday habían hallado una a una, añadió a la de Ampère un término que ningún experimento exigía todavía y descubrió que sus ecuaciones admitían ondas que viajaban a una celeridad calculable a partir de las constantes de la electricidad y del magnetismo — la velocidad de la luz. La electricidad, el magnetismo y la óptica eran una sola materia. El volumen del Año 1 enunció las leyes como integrales sobre superficies y sobre lazos; este capítulo las escribe como cuatro ecuaciones *locales*, válidas en todo punto y en todo instante, con los operadores vectoriales que hacen posible esa escritura, y extrae las primeras consecuencias: la [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), los potenciales, el comportamiento de los campos en una interfaz y las aproximaciones bajo las cuales los circuitos del volumen del Año 1 son exactos.

![James Clerk Maxwell (1831–1879), que escribió las cuatro ecuaciones de este capítulo y leyó en ellas la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/img-ab0c12ec0830.jpg)

*James Clerk Maxwell (1831–1879), que escribió las cuatro ecuaciones de este capítulo y leyó en ellas la existencia de ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz.*

## 11.1 Los operadores vectoriales

**Definición 11.1 (Gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano).**

Para un campo escalar $f$ y un campo vectorial $\vect A$, en coordenadas cartesianas con el vector simbólico $\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y,
\partial_z)$:

$$
\begin{align*}
\operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\
\operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\
\operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\
\Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f ,
\end{align*}
$$

y $\Delta\vect A$ es el laplaciano tomado sobre cada componente cartesiana. Su significado no depende de las coordenadas: $\operatorname{\vect{grad}}f
\cdot\dd\vect l = \dd f$ es la variación de $f$ a lo largo de $\dd\vect l$; $\operatorname{div}
\vect A$ es el flujo saliente de $\vect A$ por la superficie de un volumen pequeño, por unidad de volumen; $\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n$ es la circulación de $\vect A$ en torno a un lazo pequeño de normal $\vect n$, por unidad de área.

**Teorema 11.2 (Teoremas de la divergencia y de Stokes).**

Para una superficie cerrada $\Sigma$ que limita el volumen $V$, y una curva cerrada orientada $C$ que limita la superficie $S$ (con la normal $\vect n$ dada por la regla de la mano derecha),

$$
\iint_\Sigma\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V\operatorname{div}\vect A\,\dd\tau ,
\qquad
\oint_C\vect A\cdot\dd\vect l = \iint_S\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n\,\dd S .
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 11.3 (Qué se admite y por qué es creíble).**

Ambos teoremas se demuestran en el volumen de matemáticas del Año 3; el volumen de matemáticas de este año se detiene en su versión plana (Green–Riemann) y en las integrales múltiples. Su contenido, en cambio, es el que ya usamos en [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#ch-b2-fluid-kinematics): tesélese el volumen con cajas pequeñas (la superficie del lazo con lazos pequeños) — los flujos por las caras interiores (las circulaciones por las aristas interiores) se cancelan dos a dos y solo queda la frontera. De las definiciones se siguen dos identidades que se usan constantemente: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}f = \vect 0$, $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$, y $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}
\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A$. Para campos con una simetría, las fórmulas útiles son: para un campo radial $A_r(r)\vect e_r$, $\operatorname{div}
= \frac1{r^2}\partial_r(r^2A_r)$ (esféricas) o $\frac1r\partial_r(rA_r)$ (cilíndricas); para un campo azimutal $A_\theta(r)\vect e_\theta$ en torno a un eje, $(\operatorname{\vect{curl}})_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$; y para $f(r)$, $\Delta f = \frac1{r^2}\partial_r(r^2\partial_rf) = \frac1r\partial_r^2(rf)$ (esféricas), $\frac1r\partial_r(r\partial_rf)$ (cilíndricas).

![Los dos operadores de las ecuaciones de Maxwell, leídos geométricamente: la divergencia mide cuánto sale un campo de un volumen pequeño, y el rotacional cuánto circula en torno a un lazo pequeño.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-6c6b5f73e78c.svg)

*Los dos operadores de las [ecuaciones de Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), leídos geométricamente: la [divergencia](#def-b2-maxwell-equations-operators) mide cuánto sale un campo de un volumen pequeño, y el [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) cuánto circula en torno a un lazo pequeño.*

## 11.2 Las cuatro ecuaciones

**Teorema 11.4 (Las ecuaciones de Maxwell).**

En el vacío (y en la materia descrita por sus densidades totales de carga y de corriente $\rho$ y $\vect j$), los campos eléctrico y magnético obedecen, en todo punto y en todo instante,

$$
\begin{align*}
\operatorname{div}\vect E &= \frac\rho{\varepsilon_0} &&\text{(Maxwell--Gauss)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect E &= -\frac{\partial\vect B}{\partial t} &&\text{(Maxwell--Faraday)} ,\\
\operatorname{div}\vect B &= 0 &&\text{(Maxwell--flujo)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect B &= \mu_0\vect j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vect E}{\partial t} &&\text{(Maxwell--Ampère)} ,
\end{align*}
$$

con $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, $\mu_0 = 4\pi \times 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ (y $\varepsilon_0\mu_0 = 1/c^2$). Los campos actúan sobre las cargas mediante la fuerza de Lorentz $\vect F = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$. El término $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ es la densidad de *[corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)* de Maxwell.

**Equivalencia con las leyes integrales del volumen del Año 1.** Aplíquese el [teorema de la divergencia](#thm-b2-maxwell-equations-theorems) a las dos primeras: $\iint_\Sigma\vect E\cdot
\vect n\,\dd S = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$ (Gauss), y el flujo de $\vect B$ por cualquier superficie cerrada es nulo. Aplíquese Stokes a las dos últimas: $\oint_C\vect E\cdot\dd\vect l = -\dd\Phi_B/\dd t$ (Faraday, para un lazo fijo) y $\oint_C\vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0I_{\text{enl}} + \mu_0\varepsilon_0\,\dd\Phi_E/\dd t$ (Ampère, completada). Recíprocamente, las leyes integrales, válidas para todo volumen y todo lazo, implican las locales. Las ecuaciones locales son así las leyes del Año 1 más un término nuevo, justificado más abajo; se toman como postulados del electromagnetismo. ∎

**Proposición 11.5 (Por qué es necesaria la corriente de desplazamiento).**

Tomando la [divergencia](#def-b2-maxwell-equations-operators) de la [ecuación de Maxwell–Ampère](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) y usando $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}} = 0$ y Maxwell–Gauss se obtiene

$$
0 = \mu_0\operatorname{div}\vect j + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\operatorname{div}\vect E
= \mu_0\Bigl(\operatorname{div}\vect j + \frac{\partial\rho}{\partial t}\Bigr) :
$$

las ecuaciones contienen la conservación de la carga. Sin el término de desplazamiento exigirían $\operatorname{div}\vect j = 0$ siempre — falso en un condensador que se carga, donde la corriente de conducción se detiene en la armadura. Allí, entre las armaduras, $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ lleva exactamente la corriente que llega por el hilo, y el campo magnético circula en torno al hueco como en torno a un hilo.

**Demostración.** [Divergencia](#def-b2-maxwell-equations-operators) de ambos miembros, como se ha dicho; para el condensador, el flujo de $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ por una superficie situada entre las armaduras vale $\varepsilon_0S\,\dd E/\dd t = \dd Q/\dd t = I$. ∎

**Ejemplo 11.6 (El campo dentro de un condensador que se carga).**

Armaduras circulares de radio $R$, separación $d \ll R$, cargadas por una corriente $I$: entre ellas $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ es uniforme y crece a $\dd E/
\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2$. Por simetría $\vect B = B(r)\vect e_\theta$; Ampère–Maxwell sobre un círculo de radio $r < R$ (que no atraviesa ninguna corriente de conducción): $2\pi rB
= \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\,\dd E/\dd t$, luego $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ — el campo de una corriente uniforme $I$ repartida por el disco, continuo en $r = R$ con el $\mu_0I/2\pi r$ del hilo por fuera. Para $I = 1\,\mathrm{A}$, $R = 5\,\mathrm{cm}$: $B(R) =
4\,\text{µ}\mathrm{T}$, medible; el término de Maxwell es real.

![Un condensador que se carga: ninguna carga atraviesa el hueco, pero el flujo eléctrico por un lazo que lo rodea crece; el término de Maxwell da al lazo la misma circulación de B que si el hilo continuara — la corriente de desplazamiento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-a5cb03976630.svg)

*Un condensador que se carga: ninguna carga atraviesa el hueco, pero el flujo eléctrico por un lazo que lo rodea crece; el término de Maxwell da al lazo la misma circulación de $\vect B$ que si el hilo continuara — la [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell).*

**Observación 11.7 (Linealidad; qué dicen las ecuaciones).**

Las ecuaciones son lineales en los campos y en sus fuentes: los campos se superponen. Dos de ellas (Gauss del flujo magnético y Faraday) no llevan fuentes y expresan una estructura — las líneas de campo eléctrico empiezan y terminan en las cargas, las de campo magnético nunca terminan —; las otras dos dicen cómo las cargas y las corrientes, y la variación de cada campo, crean los campos. Leídas juntas: un $\vect B$ variable crea un $\vect E$ que circula, y un $\vect E$ variable crea un $\vect B$ que circula; los dos pueden sostenerse mutuamente sin carga alguna — esa es la onda de [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/13-ondas-electromagneticas-planas-y-polarizacion#ch-b2-plane-waves-polarization), y la [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) es lo que la hace posible.

## 11.3 Los potenciales

**Proposición 11.8 (Potenciales escalar y vector).**

Como $\operatorname{div}\vect B = 0$ y $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t
\vect B$, los campos derivan de un *[potencial vector](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $\vect A$ y de un *[potencial escalar](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $V$:

$$
\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A , \qquad
\vect E = -\operatorname{\vect{grad}}V - \frac{\partial\vect A}{\partial t} ,
$$

determinados salvo una *transformación gauge* $\vect A \to \vect A +
\operatorname{\vect{grad}}\chi$, $V \to V - \partial_t\chi$, que deja los campos inalterados. En el *[gauge de Coulomb](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $\operatorname{div}\vect A = 0$, la ley de Gauss se convierte en la *[ecuación de Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)*

$$
\Delta V = -\frac\rho{\varepsilon_0} ,
$$

y en régimen estacionario la ley de Ampère se convierte en $\Delta\vect A = -\mu_0\vect j$. En estática, $V$ es el potencial electrostático del volumen del Año 1.

**Demostración.** Un campo de [divergencia](#def-b2-maxwell-equations-operators) nula es un [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) (admitido, como el enunciado recíproco de que un campo de [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) nulo es un [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators), ambos del volumen de matemáticas del Año 2 para regiones simplemente conexas); entonces $\operatorname{\vect{curl}}
(\vect E + \partial_t\vect A) = \vect 0$, de modo que $\vect E + \partial_t\vect A$ es un [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators). Gauge: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}\chi = \vect 0$ y los términos $\partial_t\operatorname{\vect{grad}}\chi$ se cancelan en $\vect E$. Poisson: $\operatorname{div}
\vect E = -\Delta V - \partial_t\operatorname{div}\vect A$. Estática: $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A
= \mu_0\vect j$. ∎

**Ejemplo 11.9 (Dos potenciales vector).**

Un campo uniforme $\vect B_0$ deriva de $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ (compruébese: $\operatorname{\vect{curl}}(\tfrac12\vect B_0\wedge\vect r) = \vect B_0$, y $\operatorname{div}\vect A = 0$); dentro de un solenoide infinito esto da $A_\theta =
Br/2$, y fuera $A_\theta = BR^2/2r$ — un potencial que no se anula donde sí se anula el campo, y cuya circulación por un lazo es el flujo de $\vect B$ a través de él: $\oint\vect A\cdot\dd\vect l = \Phi_B$ (Stokes). La ley de Faraday se lee entonces $\vect E = -\partial_t\vect A$ para el campo inducido.

## 11.4 Los campos en una interfaz

**Proposición 11.10 (Relaciones de paso).**

A través de una superficie que lleva la densidad superficial de carga $\sigma$ y la densidad superficial de corriente $\vect j_s$ ($\mathrm{A}/\mathrm{m}$), siendo $\vect n_{12}$ la normal unitaria del medio 1 al medio 2,

$$
\vect E_2 - \vect E_1 = \frac\sigma{\varepsilon_0}\,\vect n_{12} , \qquad
\vect B_2 - \vect B_1 = \mu_0\,\vect j_s\wedge\vect n_{12} :
$$

la componente tangencial de $\vect E$ y la componente normal de $\vect B$ son continuas; la componente normal de $\vect E$ salta en $\sigma/\varepsilon_0$ y la componente tangencial de $\vect B$, en $\mu_0j_s$. En la superficie de un conductor perfecto ($\vect E = \vect B = \vect 0$ dentro, en los casos de [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)), $\vect E$ es normal e igual a $\sigma\vect n/
\varepsilon_0$, y $\vect B$ es tangencial e igual a $\mu_0\vect j_s\wedge\vect n$.

**Demostración.** Componentes normales: las leyes de Gauss y del flujo sobre un cilindro achatado que cabalga la superficie, de área $\dd S$ y altura tendiendo a cero: $(E_{2n}
- E_{1n})\dd S = \sigma\dd S/\varepsilon_0$, $(B_{2n} - B_{1n})\dd S = 0$. Componentes tangenciales: las leyes de Faraday y de Ampère sobre un rectángulo pequeño que cabalga la superficie, de longitud $\dd l$ y altura tendiendo a cero: los flujos de $\partial_t\vect B$ y de $\partial_t\vect E$ por el rectángulo se anulan con su área, pero lo atraviesa una [corriente superficial](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) $j_s\,\dd l$: $(E_{2t} - E_{1t})\dd l = 0$, $(B_{2t} - B_{1t})\dd l = \mu_0j_s\dd l$ para la dirección tangencial perpendicular a $\vect j_s$. ∎

![Las relaciones de paso salen de las leyes integrales aplicadas a un cilindro achatado y a un lazo delgado que cabalgan la interfaz: la carga superficial hace saltar la componente normal de E y la corriente superficial hace saltar la tangencial de B; las demás componentes son continuas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-25f1e8948383.svg)

*Las relaciones de paso salen de las leyes integrales aplicadas a un cilindro achatado y a un lazo delgado que cabalgan la interfaz: la carga superficial hace saltar la componente normal de $\vect E$ y la [corriente superficial](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) hace saltar la tangencial de $\vect B$; las demás componentes son continuas.*

**Ejemplo 11.11 (Plano cargado, lámina de corriente, solenoide).**

Un plano con solo $\sigma$ en el espacio: por simetría $\vect E = \pm E\vect n$ a sus dos lados, y el salto $2E = \sigma/\varepsilon_0$ da $E = \sigma/2\varepsilon_0$ — el resultado del Año 1 en una línea. Una lámina plana de corriente $j_s$: $B =
\mu_0j_s/2$ a cada lado, antiparalelos. Un solenoide largo de $n$ espiras por metro que lleva $I$ es una lámina cilíndrica de corriente $j_s = nI$: el salto $\mu_0nI$ a su través, con $B = 0$ fuera, da $B = \mu_0nI$ dentro.

## 11.5 Los regímenes cuasiestacionarios

**Definición 11.12 (Las aproximaciones cuasiestacionarias).**

Un sistema de tamaño $L$ excitado a la frecuencia $f$ es *cuasiestacionario* cuando $L \ll \lambda = c/f$: el tiempo $L/c$ que tardan los campos en atravesarlo es despreciable frente al periodo, y todos sus puntos “ven” las fuentes en el mismo instante. Se usan dos límites:

- el régimen cuasiestacionario *magnético* (circuitos con corrientes, bobinas, transformadores, inducción): se suprime la [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) de la ley de Ampère, $\operatorname{\vect{curl}}\vect B  = \mu_0\vect j$ (de modo que $\operatorname{div}\vect j = 0$ y las corrientes circulan por circuitos cerrados), mientras que la ley de Faraday se conserva entera;
- el régimen cuasiestacionario *eléctrico* (un condensador que se carga): se suprime el término de Faraday, $\vect E$ es el campo electrostático de las cargas instantáneas y se conserva la [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) para hallar $\vect B$ .

**Justificación.** En el régimen magnético, compárense los dos términos de la ley de Ampère en un conductor: $\mu_0\varepsilon_0\partial_t E \sim \mu_0\varepsilon_0\omega E$ frente a $\mu_0\gamma E$, un cociente $\varepsilon_0\omega/\gamma = \omega\tau_r \sim 10^{-17}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ en el cobre; fuera del conductor la [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) es del orden de $\varepsilon_0\omega E$ con $E \sim \omega AB$, es decir, menor que el efecto de la corriente de conducción en $(\omega L/c)^2 = (L/\lambda)^2 \times 4\pi^2$. En el régimen eléctrico el campo inducido $\omega BL \sim \omega^2\varepsilon_0\mu_0L^2E$ es menor que $E$ en ese mismo $(L/\lambda)^2$. ∎

**Ejemplo 11.13 (Circuitos y antenas).**

Un circuito de red a $50\,\mathrm{Hz}$ ($\lambda = 6000\,\mathrm{km}$) es cuasiestacionario hasta el tamaño de un país — por eso funcionan las leyes de Kirchhoff y el transformador. Un circuito de $10\,\mathrm{cm}$ es cuasiestacionario hasta unos $100\,\mathrm{MHz}$; a $1\,\mathrm{GHz}$ ($\lambda = 30\,\mathrm{cm}$) sus hilos son antenas, las corrientes difieren a lo largo de un hilo y el circuito radia: el dominio de [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/17-radiacion-dipolar-y-dispersion#ch-b2-dipole-radiation) y del diseño de microondas, donde una pista de un circuito impreso es una [línea de transmisión](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).

![Tamaño frente a frecuencia: por debajo de la línea L = /10 (a trazos) un dispositivo es cuasiestacionario y valen las leyes de circuito; cerca y por encima de L = los campos se propagan y el dispositivo radia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-08c05d79a679.svg)

*Tamaño frente a frecuencia: por debajo de la línea $L = \lambda/10$ (a trazos) un dispositivo es cuasiestacionario y valen las leyes de circuito; cerca y por encima de $L = \lambda$ los campos se propagan y el dispositivo radia.*

**Método 11.14 (Cómo usar las ecuaciones locales).**

(1) Úsense las simetrías y las invariancias de las fuentes para fijar la dirección y las variables de los campos (como en el volumen del Año 1). (2) Elíjase la forma: integral (Gauss o Ampère sobre una superficie o un lazo bien elegidos) cuando hay simetría suficiente; local cuando se necesita una ecuación diferencial (Poisson para $V$, la ecuación de difusión o la [ecuación de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) para los campos). (3) En un problema dependiente del tiempo, decídase el régimen: estático, cuasiestacionario magnético o eléctrico, o Maxwell completo. (4) En las interfaces, úsense las relaciones de paso — el único sitio por donde entran las cargas y las [corrientes superficiales](#prop-b2-maxwell-equations-boundary). (5) Compruébense $\operatorname{div}\vect B = 0$ y las dimensiones.

## 11.6 Ejercicios

**Ejercicio 11.1 ★.**

Calcúlense la [divergencia](#def-b2-maxwell-equations-operators) y el [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) de (a) $\vect A = (x, y, z)$; (b) $\vect A = (-y, x, 0)$; (c) $\vect A = (yz, zx, xy)$; (d) $\vect A = \vect r/r^3$ (úsese la fórmula radial, $r \ne 0$); (e) $\vect A = (0, 0, x^2)$. ¿Cuáles son [gradientes](#def-b2-maxwell-equations-operators), cuáles [rotacionales](#def-b2-maxwell-equations-operators) y cuáles ninguna de las dos cosas?

**Solución de Ejercicio 11.1.**

(a) $\operatorname{div} = 3$, $\operatorname{\vect{curl}} = \vect 0$: el [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators) de $r^2/2$. (b) $0$ y $(0, 0, 2)$: un [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) (de $-\tfrac12(x^2 + y^2)\vect e_z$), no un [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators). (c) $0$ y $\vect 0$: el [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators) de $xyz$ (y también un [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators)). (d) $\frac1{r^2}\partial_r(r^2/r^2) = 0$, [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) $\vect 0$: el [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators) de $-1/r$. (e) $0$ y $(0, -2x, 0)$: un [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators), no un [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators).

**Ejercicio 11.2 ★.**

(a) Compruébense las dimensiones de cada término de las cuatro [ecuaciones de Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell). (b) Calcúlese $1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$. (c) Cociente entre la densidad de [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) y la [densidad de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/10-cargas-corrientes-y-conduccion#def-b2-charges-currents-conduction-densities) de conducción en el cobre a $50\,\mathrm{Hz}$, en el agua de mar ($\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) a $1\,\mathrm{GHz}$ y en el vidrio ($\gamma =
1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, con $\varepsilon_0$ por simplicidad) a $50\,\mathrm{Hz}$: ¿cuál es “un conductor” en cada caso?

**Solución de Ejercicio 11.2.**

(a) Gauss y Faraday: los dos miembros, en $\mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}$ (carga entre $\varepsilon_0$, [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators) de campo, campo entre tiempo); Ampère: en $\mathrm{T}/\mathrm{m}$. (b) $1/\sqrt{8.85 \times 10^{-12} \times 1.257 \times 10^{-6}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Cociente $\varepsilon_0\omega/\gamma$: cobre $5 \times 10^{-20}$; agua de mar a $1\,\mathrm{GHz}$ $1 \times 10^{-2}$ (conductora todavía, por poco); vidrio a $50\,\mathrm{Hz}$ $3 \times 10^3$: un dieléctrico, donde domina la [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell).

**Ejercicio 11.3 ★.**

Un condensador de armaduras circulares ($R = 10\,\mathrm{cm}$, $d = 2\,\mathrm{mm}$) se carga con $I = 0.5\,\mathrm{A}$. Ritmo de variación de $E$; densidad de [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell); $B$ en $r = 5\,\mathrm{cm}$ y en $r = 20\,\mathrm{cm}$ (en el plano medio entre las armaduras); compárese este último con el campo del hilo de alimentación a la misma distancia.

**Solución de Ejercicio 11.3.**

$\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.8 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $j_d = I/\pi R^2 =
16\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $B(5\,\mathrm{cm}) = \mu_0Ir/2\pi R^2 = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$; $B(20\,\mathrm{cm}) =
\mu_0I/2\pi r = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ — exactamente el campo del hilo.

**Ejercicio 11.4 ★.**

(a) $\vect E = kx\,\vect e_x$ llena una región: [densidad de carga](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/10-cargas-corrientes-y-conduccion#def-b2-charges-currents-conduction-densities) allí. (b) Dentro de una bola de radio $R$, $\vect E = (\rho_0r/3\varepsilon_0)\vect e_r$: compruébese con la [divergencia](#def-b2-maxwell-equations-operators) radial que $\rho = \rho_0$, y recupérese el campo exterior con la ley de Gauss integral. (c) $\vect B = B_0(y/a)\vect e_x$: ¿es un campo magnético posible? ¿Qué [densidad de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/10-cargas-corrientes-y-conduccion#def-b2-charges-currents-conduction-densities) lo sostiene?

**Solución de Ejercicio 11.4.**

(a) $\rho = \varepsilon_0k$. (b) $\frac1{r^2}\partial_r(\rho_0r^3/3\varepsilon_0) = \rho_0/\varepsilon_0$; fuera, por Gauss: $E = \rho_0R^3/3\varepsilon_0r^2$. (c) $\operatorname{div}\vect B = 0$: sí; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(B_0/a)\vect e_z$: $\vect j = -(B_0/\mu_0a)\vect e_z$, una lámina de corriente uniforme de cierto espesor según $y$.

**Ejercicio 11.5 ★★.**

*[Potenciales vector](#prop-b2-maxwell-equations-potentials).* (a) Muéstrese que $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ da $\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \vect B_0$ y $\operatorname{div}\vect A = 0$. (b) Lo mismo hace $\vect A' = B_0x\,\vect e_y$: hállese la función gauge $\chi$ con $\vect A' = \vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$. (c) Solenoide de radio $R$ y campo $B$ dentro: compruébense $A_\theta = Br/2$ ($r < R$) y $BR^2/2r$ ($r > R$) con $(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$; continuidad en $R$. (d) Circulación de $\vect A$ sobre un círculo de radio $r > R$ y flujo de $\vect B$: ¿qué dice esto sobre la fem inducida en un lazo exterior a un solenoide cuya corriente varía?

**Solución de Ejercicio 11.5.**

(a) $\vect A = \tfrac12(B_yz - B_zy, B_zx - B_xz, B_xy - B_yx)$: $(\operatorname{\vect{curl}}
\vect A)_x = \tfrac12(B_x + B_x) = B_x$, etc.; $\operatorname{div}\vect A = 0$. (b) $\vect A' - \vect A = \tfrac12B_0(y, x, 0) = \operatorname{\vect{grad}}(\tfrac12B_0xy)$. (c) $\frac1r\partial_r(Br^2/2) = B$; $\frac1r\partial_r(BR^2/2) = 0$; ambos valen $BR/2$ en $R$. (d) $2\pi r\cdot BR^2/2r = \pi R^2B = \Phi$: un lazo exterior al solenoide, donde $\vect B = \vect 0$, sigue notando $e = -\dd\Phi/\dd t$ — a través de $\vect E =
-\partial_t\vect A$, que allí no se anula.

**Ejercicio 11.6 ★★.**

*Relaciones de paso.* (a) Un conductor en equilibrio electrostático lleva $\sigma$ en su superficie: campo justo fuera (a partir del salto, con $\vect E = \vect 0$ dentro); para $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$. (b) Dos planos paralelos con $+\sigma$ y $-\sigma$: campo en todas partes, a partir de los saltos. (c) Un solenoide largo ($n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$, $I = 5\,\mathrm{A}$) como lámina de corriente: $j_s$, el salto de $B$ y $B$ dentro. (d) Una bobina toroidal: ¿por qué es $B$ nulo fuera y $\mu_0NI/2\pi r$ dentro, a partir del mismo salto?

**Solución de Ejercicio 11.6.**

(a) $E = \sigma/\varepsilon_0 = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, normal. (b) $\sigma/\varepsilon_0$ entre ellos y nulo fuera (cada salto añade $\pm\sigma/\varepsilon_0$). (c) $j_s = nI = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, salto $\mu_0j_s = 12.6\,\mathrm{mT} = B$ dentro. (d) Un lazo exterior al toro no encierra corriente neta, luego allí $B = 0$; dentro, Ampère da $\mu_0NI/2\pi r$, y el salto a través del devanado, $\mu_0j_s = \mu_0NI/2\pi r$, concuerda.

**Ejercicio 11.7 ★★.**

*Poisson en una dimensión.* Entre dos electrodos planos en $x = 0$ ($V = 0$) y $x = d$ ($V = U$), una [densidad de carga](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/10-cargas-corrientes-y-conduccion#def-b2-charges-currents-conduction-densities) uniforme $\rho_0$ llena el hueco (una carga espacial). (a) Resuélvase la [ecuación de Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) para $V(x)$. (b) Campo $E(x)$; ¿dónde se anula si $\rho_0 > 0$ y es grande? (c) Cargas superficiales en los dos electrodos, a partir de la relación de paso. (d) Con $\rho_0 = 0$ recupérese el condensador; con $U = 0$, dibújese $V$.

**Solución de Ejercicio 11.7.**

(a) $V'' = -\rho_0/\varepsilon_0$: $V = -\rho_0x^2/2\varepsilon_0 + (U/d + \rho_0d/2\varepsilon_0)x$. (b) $E = \rho_0x/\varepsilon_0 - U/d - \rho_0d/2\varepsilon_0$, nulo en $x_0 = d/2 + \varepsilon_0U/\rho_0d$ — cerca del centro para una carga espacial grande. (c) $\sigma(0) = \varepsilon_0E(0^+) =
-\varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$, $\sigma(d) = -\varepsilon_0E(d^-) = \varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$: en conjunto $-\rho_0d$, que neutraliza la carga espacial. (d) Con $\rho_0 = 0$: $V$ lineal y $E$ uniforme; con $U = 0$: una parábola con su máximo en $d/2$.

**Ejercicio 11.8 ★★.**

*¿Cuasiestacionario o no?* (a) $\lambda$ a $50\,\mathrm{Hz}$, $1\,\mathrm{MHz}$, $100\,\mathrm{MHz}$ y $2.4\,\mathrm{GHz}$. (b) ¿Hasta qué frecuencia es cuasiestacionario un circuito de $10\,\mathrm{cm}$ (criterio $L < \lambda/10$)? ¿Y un chip de $1\,\mathrm{cm}$? ¿Y una red eléctrica de $1000\,\mathrm{km}$? (c) En un condensador de radio $R = 5\,\mathrm{cm}$ a $1\,\mathrm{MHz}$, estímese el cociente entre el campo eléctrico inducido (por el $\vect B$ variable de los ejercicios anteriores) y el campo principal: $(\omega R/c)^2
/4$. (d) ¿Por qué es la frecuencia de red de una red continental un problema cuasiestacionario aunque la red mida $1000\,\mathrm{km}$?

**Solución de Ejercicio 11.8.**

(a) $6000\,\mathrm{km}$, $300\,\mathrm{m}$, $3\,\mathrm{m}$, $12.5\,\mathrm{cm}$. (b) $f < c/10L$: $300\,\mathrm{MHz}$; $3\,\mathrm{GHz}$; $30\,\mathrm{Hz}$. (c) $(2\pi \times 10^6 \times 0.05/3 \times 10^8)^2/4 =
3 \times 10^{-7}$. (d) En rigor no lo es: a $50\,\mathrm{Hz}$ una red de $1000\,\mathrm{km}$ es un sexto de longitud de onda, las fases difieren de un extremo a otro y las líneas largas se tratan como [líneas de transmisión](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) — aunque cada circuito local sí es cuasiestacionario.

**Ejercicio 11.9 ★★.**

Muéstrese que la ley de Ampère sin la [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), $\operatorname{\vect{curl}}
\vect B = \mu_0\vect j$, contradice la conservación de la carga siempre que $\partial_t\rho
\ne 0$. En el condensador de [Ejercicio 11.3](#exo-b2-maxwell-equations-3), evalúese $\operatorname{div}\vect j$ promediada sobre una armadura de espesor $e = 0.1\,\mathrm{mm}$ (donde la corriente $I$ se detiene), y el $\partial_t\rho$ correspondiente.

**Solución de Ejercicio 11.9.**

$\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = 0$ obligaría a $\operatorname{div}\vect j =
0$, es decir, a $\partial_t\rho = 0$ en todas partes. En la armadura (de volumen $\pi R^2e$) la corriente $I$ entra y no sale nada: $\langle\operatorname{div}\vect j\rangle =
-I/\pi R^2e = -1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{3}$, $\partial_t\rho = +1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Ejercicio 11.10 ★★★.**

*El betatrón.* Un campo magnético uniforme $B(t)\vect e_z$ llena un cilindro de radio $R$ y crece a razón de $\dd B/\dd t = \dot B$. (a) Por simetría $\vect E = E_\theta(r)\vect e_\theta$: úsese la ley de Faraday integral para hallar $E_\theta$ para $r < R$ y para $r > R$. (b) No hay carga en ninguna parte: coméntese un campo eléctrico de líneas cerradas. (c) ¿Cuánta energía gana por vuelta un electrón sobre un círculo de radio $r_0 < R$? Para $\dot B = 10\,\mathrm{T}/\mathrm{s}$, $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$: energía por vuelta en eV; vueltas necesarias para $20\,\mathrm{MeV}$. (d) Para que el radio de la órbita se mantenga constante, la cantidad de movimiento $p = eBr_0$ (por la fuerza magnética) debe crecer como prescribe la energía ganada del campo inducido: muéstrese la condición $B(r_0) = \tfrac12\langle B\rangle_{\text{disco}}$ — la condición del betatrón.

**Solución de Ejercicio 11.10.**

(a) $2\pi rE_\theta = -\pi r^2\dot B$: $E_\theta = -r\dot B/2$ dentro y $-R^2\dot B/2r$ fuera. (b) Sus líneas son círculos cerrados: no es un [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators), sino que arrastra las cargas alrededor de un lazo — un campo electromotor. (c) $e\cdot2\pi r_0
|E_\theta| = e\pi r_0^2\dot B$: $\pi \times 0.25 \times 10 = 7.9\,\mathrm{eV}$ por vuelta; $2.5 \times 10^6$ vueltas. (d) $p = eB(r_0)r_0$ da $\dot p = er_0\dot B(r_0)$, mientras que el campo inducido da $\dot p = e|E_\theta| = e\dot\Phi/2\pi r_0$: $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 =
\tfrac12\langle B\rangle$.

**Ejercicio 11.11 ★★★.**

*Las ondas de Maxwell.* En el vacío ($\rho = 0$, $\vect j = \vect 0$): (a) tómese el [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) de la [ecuación de Maxwell–Faraday](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), úsense $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}} = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div} - \Delta$ y las demás ecuaciones para obtener $\Delta\vect E = \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t^2\vect E$. (b) Lo mismo para $\vect B$. (c) Esta es la [ecuación de d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) en tres dimensiones: ¿celeridad? Calcúlese a partir de $\varepsilon_0$ y $\mu_0$. (d) ¿Por qué convenció ese número a Maxwell de que la luz es electromagnética, y qué medida de Weber y Kohlrausch utilizó?

**Solución de Ejercicio 11.11.**

(a) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\Delta\vect E$ (pues $\operatorname{div}
\vect E = 0$) $= -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\vect E$. (b) Lo mismo con los papeles intercambiados. (c) $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 3.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) Weber y Kohlrausch habían medido el cociente entre las unidades electrostática y electromagnética de carga, $3.1 \times 10^8$ m/s; Fizeau había medido la luz a $3.15 \times 10^8$ m/s: “difícilmente podemos evitar la inferencia de que la luz consiste en las ondulaciones transversales del mismo medio”.

**Ejercicio 11.12 ★★★.**

*Campos en un conductor a baja frecuencia.* En un conductor óhmico ($\vect j = \gamma\vect E$) en [régimen cuasiestacionario](#def-b2-maxwell-equations-arqs) magnético: (a) tómese el [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) de la ley de Ampère y úsese la de Faraday para mostrar que $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\,
\partial_t\vect B$; ¿por qué es una ecuación de difusión? (b) Tiempo característico para que $\vect B$ penetre una profundidad $d$: $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$; valores para una placa de cobre de $1\,\mathrm{cm}$ y para el núcleo terrestre ($\gamma \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $d \approx 3000\,\mathrm{km}$). (c) A la frecuencia $f$, profundidad alcanzada en un periodo: muéstrese que es del orden de $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega}$; valor para el cobre a $50\,\mathrm{Hz}$ y a $1\,\mathrm{MHz}$ (la [profundidad de penetración](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) de [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media)). (d) ¿Qué implica (b) para las variaciones temporales del campo magnético terrestre?

**Solución de Ejercicio 11.12.**

(a) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\Delta\vect B = \mu_0\gamma\operatorname{\vect{curl}}
\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect B$: $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\partial_t\vect B$, la forma de la ecuación del calor con difusividad $1/\mu_0\gamma$. (b) $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$: $7.5\,\mathrm{ms}$ para la placa; $4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^5 \times 9 \times 10^{12} = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, doscientos mil años, para el núcleo. (c) $\mu_0\gamma\delta^2 \sim 2/\omega$: $\delta = \sqrt{2/\mu_0
\gamma\omega}$: $9\,\mathrm{mm}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ y $65\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{MHz}$. (d) El campo del núcleo no puede cambiar por difusión en menos de $10^5$ años: la variación secular observada y las inversiones exigen el movimiento del fluido conductor — una dinamo.

## 11.7 Problema: el condensador, el betatrón y los potenciales

**Problema 11.1.**

Problema de fin de semana — las ecuaciones de Maxwell en acción en un condensador que se carga, en el acelerador que funciona solo con la ley de Faraday, y en los potenciales que las resuelven

**Parte I — El condensador que se carga.** Armaduras circulares de radio $R = 10\,\mathrm{cm}$ y separación $d = 1.0\,\mathrm{mm}$, en aire; por el hilo de alimentación, según el eje, circula una corriente $I(t) = I_0\cos\omega t$ con $I_0 = 1.0\,\mathrm{A}$ y $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$. Se desprecian los efectos de borde.

1. Carga $Q(t)$ y campo $E(t)$ entre las armaduras; amplitud de $E$ .
2. Densidad de [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) entre las armaduras; compruébese que su flujo a través de una armadura vale $I(t)$ .
3. Campo magnético $B(r, t)$ entre las armaduras para $r < R$ , por la ley de Ampère–Maxwell integral; amplitud en $r = R$ .
4. Campo para $r > R$ (todavía entre los planos de las armaduras): compárese con el campo del hilo al mismo $r$ ; ¿hay discontinuidad en $r = R$ ?
5. El $\vect B$ variable induce, por la ley de Faraday, una corrección $\vect E_1$ al campo eléctrico: usando $\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1  = -\partial_t\vect B$ con $\vect E_1 = E_1(r)\vect e_z$ (axial), muéstrese que $E_1(r) - E_1(0) = \dfrac{\mu_0\varepsilon_0r^2}4\,\dfrac{\dd^2E}{\dd t^2}$ , y estímese $|E_1(R) - E_1(0)|/|E|$ .
6. Conclúyase sobre la validez del tratamiento cuasiestacionario eléctrico a $1\,\mathrm{MHz}$ ; ¿a qué frecuencia llegaría la corrección al $10\%$ ? (La solución exacta es una función de Bessel: el condensador se ha convertido en una cavidad.)
7. Energía: la energía eléctrica $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ almacenada entre las armaduras, valor máximo; la energía magnética $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ en el instante en que $E = 0$ ; su cociente y su relación con la estimación de la pregunta 5.

**Parte II — El betatrón.** Un electroimán produce un campo $\vect B = B(r, t)\vect e_z$ simétrico respecto del eje $z$; los electrones circulan por un anillo en vacío de radio $r_0$.

8. Muéstrese, a partir de Maxwell–Faraday en forma integral, que el campo eléctrico sobre la órbita vale $E_\theta(r_0) = -\dfrac1{2\pi r_0}  \dfrac{\dd\Phi}{\dd t}$ , siendo $\Phi$ el flujo a través de la órbita.
9. Ecuación del movimiento tangencial de un electrón (de carga $-e$ ): $\dd p/\dd t = eE_\theta$ en módulo; la energía ganada por vuelta vale $e\,|\dd\Phi/\dd t|$ .
10. Equilibrio radial sobre el círculo: $p = eB(r_0)r_0$ . Para que $r_0$ se mantenga constante, muéstrese que $B(r_0, t) = \Phi(t)/2\pi r_0^2$ , es decir, que el campo sobre la órbita debe ser la mitad del campo medio interior.
11. ¿Por qué no pueden acelerarse los electrones con un campo uniforme? ¿Cómo se consigue la condición en la práctica (forma de las piezas polares)?
12. $r_0 = 0.50\,\mathrm{m}$ , con $B(r_0)$ subiendo de $0$ a $0.40\,\mathrm{T}$ en $5\,\mathrm{ms}$ : cantidad de movimiento final; energía final (úsese $E = pc$ para estos electrones ultrarrelativistas, $1\,\mathrm{MeV} = 1.6 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ ); energía por vuelta y número de vueltas; distancia recorrida.
13. Los electrones radian al ser acelerados sobre un círculo ( [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/17-radiacion-dipolar-y-dispersion#ch-b2-dipole-radiation) ): eso limita los betatrones a unos cientos de MeV. ¿De dónde procede en última instancia la energía de los electrones y a través de qué término de las [ecuaciones de Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) ?
14. Tras la aceleración los electrones se lanzan sobre un blanco y producen rayos X: ¿por qué fue el betatrón la máquina de radioterapia de los años cincuenta y qué lo sustituyó?

**Parte III — Potenciales y Poisson.**

15. Escríbanse $\vect E$ y $\vect B$ en función de $V$ y de $\vect A$ , y compruébese que Maxwell–Faraday y Maxwell del flujo quedan entonces satisfechas automáticamente.
16. Una bola de radio $a$ lleva la densidad uniforme $\rho_0$ : escríbase la [ecuación de Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) con simetría esférica, resuélvase dentro y fuera ( $V \to 0$ en el infinito, con $V$ y $V'$ continuos en $a$ ) y recupérense los campos del volumen del Año 1.
17. Energía potencial de la bola, $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau$ : valor $3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$ ; para un núcleo de uranio ( $Q = 92e$ , $a =  7.4\,\mathrm{fm}$ ), en MeV — la energía que se libera cuando se parte.
18. Para el condensador de la parte I en [régimen cuasiestacionario](#def-b2-maxwell-equations-arqs) eléctrico, dese $V$ entre las armaduras. Muéstrese que un [potencial vector](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) *axial* $A_z(r, t)\,\vect e_z$ , para el que $(\operatorname{\vect{curl}}  \vect A)_\theta = -\partial_rA_z$ , reproduce el campo $B_\theta$ de la pregunta 3, y hállese $A_z$ para $r < R$ (tómese $A_z(0) = 0$ ).
19. Muéstrese que la corrección $\vect E_1$ de la pregunta 5 es exactamente $-\partial_t\vect A$ para ese $A_z$ , salvo una constante.
20. Gauge: la condición de Coulomb $\operatorname{div}\vect A = 0$ se cumple para ese $A_z(r)$ — ¿por qué? ¿Qué otro $\vect A$ daría el mismo $\vect B$ ?

**Parte IV — Interfaces y regímenes.**

21. Carga superficial en las armaduras de la parte I en el instante de $E$ máximo; compruébese la relación de paso en la cara interior de la armadura (campo nulo dentro del metal).
22. La corriente se reparte radialmente por la armadura, del eje al borde: densidad superficial de corriente $j_s(r)$ en la armadura; campo magnético justo fuera de la cara exterior de la armadura, a partir de la relación de paso, comparado con el campo hallado en la pregunta 3 del lado interior.
23. Clasifíquense: las armaduras a $1\,\mathrm{MHz}$ (¿cuasiestacionario eléctrico?), el lazo del hilo de alimentación de $20\,\mathrm{cm}$ (¿cuasiestacionario magnético?) y el mismo condensador a $1\,\mathrm{GHz}$ ; justifíquese con $L/\lambda$ .
24. En el anillo del betatrón, ¿por qué es excelente la [aproximación cuasiestacionaria](#def-b2-maxwell-equations-arqs) magnética (tamaños, rampa de $100\,\mathrm{Hz}$ ) aunque el campo eléctrico sea allí esencial?
25. Resúmase, en una tabla, qué ecuación de Maxwell (local o integral) respondió a cada parte y qué término — [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) , Faraday, Gauss, salto de paso — fue decisivo.

**Solución de Problema 11.1.**

**1.** $Q = (I_0/\omega)\sin\omega t$, $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$: amplitud $I_0/\omega\varepsilon_0
\pi R^2 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**2.** $j_d = \varepsilon_0\partial_tE = I(t)/\pi R^2 = 32\cos\omega t$ A/m$^2$; su flujo por la armadura vale $I(t)$.

**3.** $2\pi rB = \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\partial_tE$: $B = \mu_0I(t)r/2\pi R^2$; en $R$: $\mu_0I_0/2\pi R = 2\,\text{µ}\mathrm{T}$.

**4.** Para $r > R$ queda encerrada toda la [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell): $B =
\mu_0I/2\pi r$, el campo del hilo; continuo en $R$.

**5.** $(\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1)_\theta = -\partial_rE_1 = -\partial_tB_\theta$, luego $\partial_rE_1
= \mu_0\varepsilon_0(r/2)\ddot E$ y $E_1(r) - E_1(0) = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$; con $\ddot E = -\omega^2E$: $|E_1(R) - E_1(0)|/|E| = (\omega R/c)^2/4 = 1 \times 10^{-6}$.

**6.** Excelente. Para el $10\%$ hace falta $(\omega R/c)^2 = 0.4$, $f \approx 300\,\mathrm{MHz}$ — una cavidad, ya no un condensador.

**7.** $W_e = \tfrac12\varepsilon_0E_0^2\pi R^2d = 4.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; $W_m = \int_0^R(\mu_0I_0r/
2\pi R^2)^2/2\mu_0\cdot2\pi rd\,\dd r = \mu_0I_0^2d/16\pi = 2.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$; cociente $6 \times
10^{-7} \approx (\omega R/c)^2/8$: el mismo parámetro pequeño.

**8.** $\oint\vect E\cdot\dd\vect l = 2\pi r_0E_\theta = -\dd\Phi/\dd t$.

**9.** $\dd p/\dd t = e|E_\theta| = (e/2\pi r_0)|\dd\Phi/\dd t|$; por vuelta, $2\pi r_0\cdot e|E_\theta| = e|\dd\Phi/\dd t|$.

**10.** $p = eB(r_0)r_0$ da $\dot p = er_0\dot B(r_0)$; igualando con la 9: $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 = \tfrac12\langle B\rangle$.

**11.** Un campo uniforme tiene $B(r_0) = \langle B\rangle$, el doble de lo debido: la fuerza magnética crece más deprisa que la cantidad de movimiento y la órbita se encoge. Las piezas polares se moldean para que el campo sea intenso cerca del eje y la mitad de intenso sobre la órbita.

**12.** $p = eBr_0 = 3.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $E = pc = 9.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 60\,\mathrm{MeV}$; $\Phi = 2\pi r_0^2B = 0.63\,\mathrm{Wb}$ en $5\,\mathrm{ms}$: $126\,\mathrm{eV}$ por vuelta, $4.8 \times
10^5$ vueltas, $1500\,\mathrm{km}$ — a $c$ en $5\,\mathrm{ms}$: coherente.

**13.** De la fuente de alimentación del imán, entregada a los electrones por el término de Faraday: el flujo variable crea el campo acelerador.

**14.** Decenas de MeV de electrones frenados en un blanco pesado dan rayos X penetrantes; lo sustituyó el acelerador lineal compacto, de mayor tasa de dosis.

**15.** $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$; $\operatorname{\vect{curl}}(-\operatorname{\vect{grad}}
V - \partial_t\vect A) = -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect A = -\partial_t\vect B$.

**16.** $\frac1{r^2}(r^2V')' = -\rho_0/\varepsilon_0$: $V = \rho_0(3a^2 - r^2)/6\varepsilon_0$ dentro y $\rho_0a^3/3\varepsilon_0r = Q/4\pi\varepsilon_0r$ fuera; $E = \rho_0r/3\varepsilon_0$ y $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$.

**17.** $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau = 2\pi\rho_0^2(a^5/6 - a^5/30)/\varepsilon_0 = 4\pi\rho_0^2a^5/
15\varepsilon_0 = 3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$; uranio: $1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J}$ $\approx 1000\,\mathrm{MeV}$ (la fisión libera los $200\,\mathrm{MeV}$ en que dos bolas menores salen más baratas).

**18.** $V = -E(t)z$ (más una constante). Con $\vect A = A_z(r, t)\vect e_z$, $B_\theta = -\partial_rA_z = \mu_0Ir/2\pi R^2$ da $A_z = -\mu_0I(t)r^2/4\pi R^2$.

**19.** $-\partial_tA_z = \mu_0\dot Ir^2/4\pi R^2 = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$ (pues $\dot I =
\varepsilon_0\pi R^2\ddot E$): la corrección de la pregunta 5, salvo una constante.

**20.** $\operatorname{div}\vect A = \partial_zA_z = 0$ porque $A_z$ depende solo de $r$; cualquier $\vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$.

**21.** $\sigma = \varepsilon_0E_0 = 5\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$; dentro del metal $\vect E =
\vect 0$, de modo que el salto $\sigma/\varepsilon_0$ es exactamente el campo del hueco.

**22.** La corriente $I(t)$ alimenta la armadura desde el eje; la parte que aún queda por entregar más allá de $r$ vale $I(1 - r^2/R^2)$, luego $j_s = I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r$. En la cara exterior Ampère da el campo del hilo, $\mu_0I/
2\pi r$; en la interior, $\mu_0Ir/2\pi R^2$; la diferencia, $\mu_0I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r = \mu_0j_s$, es el salto de paso.

**23.** Armaduras: $R/\lambda = 3 \times 10^{-4}$, cuasiestacionario eléctrico. Lazo: $7 \times 10^{-4}$, cuasiestacionario magnético. A $1\,\mathrm{GHz}$: $R/\lambda = 0.3$ — una cavidad y una antena.

**24.** $\lambda = 3000\,\mathrm{km}$ para un anillo de tamaño métrico: la [corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) es del todo despreciable; el campo eléctrico esencial es el de Faraday, que el [régimen cuasiestacionario](#def-b2-maxwell-equations-arqs) magnético conserva entero.

**25.** I: Ampère–Maxwell ([corriente de desplazamiento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)), Faraday para la corrección, densidades de energía. II: Faraday integral, fuerza de Lorentz. III: los potenciales, Poisson (Gauss). IV: los saltos de paso de $\vect E$ y de $\vect B$; el cociente tamaño/longitud de onda para el régimen.