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title: "La energía electromagnética y el vector de Poynting"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/12-la-energia-electromagnetica-y-el-vector-de-poynting
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# Capítulo 12 — La energía electromagnética y el vector de Poynting

Una pila enciende una bombilla a través de dos hilos de cobre. ¿Por dónde viaja la energía? Resulta que no por dentro del cobre: allí los electrones se desplazan a un milímetro por segundo y no transportan casi nada. La energía fluye por el *espacio que rodea a los hilos*, en el campo electromagnético, y entra en el filamento de la bombilla por sus costados. El Sol entrega del mismo modo un kilovatio a cada metro cuadrado de un tejado soleado, a través de ciento cincuenta millones de kilómetros de vacío. Este capítulo deduce de las [ecuaciones de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) el balance de la energía electromagnética — cuánta se almacena en un campo y cuál es el vector, el de Poynting, que dice adónde va — y lo aplica a un hilo, a un condensador, a una bobina y a un haz de luz.

## 12.1 El balance de energía del campo

**Teorema 12.1 (Teorema de Poynting).**

Defínanse la *[densidad de energía electromagnética](#thm-b2-poynting-vector-poynting)* y el *[vector de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting)*

$$
u = \frac{\varepsilon_0E^2}2 + \frac{B^2}{2\mu_0} \quad (\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}) , \qquad
\vect\Pi = \frac{\vect E\wedge\vect B}{\mu_0} \quad (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}) .
$$

Las [ecuaciones de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) implican, en todo punto,

$$
\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\Pi = -\vect j\cdot\vect E ,
$$

y, para todo volumen fijo $V$ limitado por $\Sigma$,

$$
\frac{\dd}{\dd t}\iiint_Vu\,\dd\tau = -\iint_\Sigma\vect\Pi\cdot\vect n\,\dd S - \iiint_V\vect j\cdot\vect E\,\dd\tau :
$$

la energía del campo contenida en $V$ disminuye en lo que sale por la frontera — el flujo de $\vect\Pi$ — y en lo que el campo entrega a las cargas ($\vect j\cdot\vect E$, la potencia de Joule en un conductor). $\vect\Pi$ es la densidad de flujo de energía: la potencia que atraviesa una superficie unidad normal a él.

**Demostración.** De Maxwell–Ampère, $\vect j = \operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \varepsilon_0\partial_t
\vect E$, luego $\vect j\cdot\vect E = \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 -
\partial_t(\varepsilon_0E^2/2)$. La identidad $\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) = \vect B
\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect E - \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B$ (compruébese por componentes) y Maxwell–Faraday dan $\vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}
\vect B = -\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) - \vect B\cdot\partial_t\vect B = -\mu_0
\operatorname{div}\vect\Pi - \partial_t(B^2/2)$. Reuniendo: $\vect j\cdot\vect E = -\operatorname{div}
\vect\Pi - \partial_tu$. Intégrese sobre $V$ y aplíquese el [teorema de la divergencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-theorems). ∎

**Observación 12.2 (Qué queda fijado y qué no).**

El teorema solo fija el flujo de $\vect\Pi$ por superficies cerradas y el $u$ total; añadir a $\vect\Pi$ cualquier campo de [divergencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) nula no cambiaría nada observable. La elección anterior es la más simple, es la que concuerda con la cantidad de movimiento que lleva la luz (más abajo) y se usa universalmente. Las densidades $\varepsilon_0E^2/2$ y $B^2/2\mu_0$ son las energías del condensador y de la bobina del volumen del Año 1, asignadas ahora a cada punto del espacio: un campo de $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (el límite de ruptura del aire) almacena $4.4\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, y un campo de $1\,\mathrm{T}$ almacena $0.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — cien mil veces más, y por eso el almacenamiento de energía en imanes, y no en condensadores, llega al megajulio.

## 12.2 Por dónde fluye la energía: tres circuitos

**Ejemplo 12.3 (El hilo resistivo).**

Un hilo cilíndrico de radio $a$ lleva la corriente constante $I$ bajo el campo $E = j/\gamma$ según su eje; justo fuera de él, $B = \mu_0I/2\pi a$ (azimutal). En la superficie, $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ apunta *radialmente hacia dentro*, con módulo $EI/2\pi a$; su flujo por la superficie lateral de una longitud $L$ vale $EI/2\pi a\times2\pi aL = (EL)I = UI =
RI^2$: el calor de Joule entra en el hilo por sus costados, entregado por el campo circundante, y no lo llevan los electrones por dentro del hilo. Dentro, $\Pi(r) = (E/\mu_0)(\mu_0Ir/2\pi a^2) = EIr/2\pi a^2$: el flujo entrante decrece hacia el eje a medida que la energía se deposita capa a capa.

**Ejemplo 12.4 (El condensador y el solenoide).**

Un condensador de armaduras circulares que se carga: $\vect E$ axial, $\vect B =
\mu_0\varepsilon_0(r/2)\dot E\,\vect e_\theta$ ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)), luego $\vect\Pi = -\varepsilon_0(r/2)E\dot E\,\vect e_r$, hacia dentro; por el cilindro de radio $R$ y altura $d$ su flujo vale $\varepsilon_0\pi R^2d\,E\dot E = \dd(\tfrac12
\varepsilon_0E^2\,\pi R^2d)/\dd t$: la energía eléctrica entra por el borde. Un solenoide cuya corriente crece: $\vect B$ axial, el campo inducido $\vect E = -(r/2)
\dot B\,\vect e_\theta$, $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$, de nuevo hacia dentro, con flujo $\dd(B^2/2\mu_0\times\text{volumen})/\dd t$. En todos los casos la energía llega al dispositivo por el campo exterior; los hilos solo guían el campo.

![A la izquierda, un hilo que lleva corriente: el vector de Poynting, formado por el E axial y el B azimutal, apunta hacia el interior del hilo en toda su superficie; el calor de Joule entra por los costados. A la derecha, un condensador que se carga: la energía entra radialmente por el hueco, no por las armaduras.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-e6114e7b0bc1.svg)

*A la izquierda, un hilo que lleva corriente: el [vector de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting), formado por el $\vect E$ axial y el $\vect B$ azimutal, apunta hacia el interior del hilo en toda su superficie; el calor de Joule entra por los costados. A la derecha, un condensador que se carga: la energía entra radialmente por el hueco, no por las armaduras.*

**Observación 12.5 (Energía en un campo cruzado estático).**

Un condensador cargado colocado en el campo de un imán permanente tiene $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0 \ne \vect 0$ en todo punto entre sus armaduras, aunque nada cambie y nada se caliente. No hay contradicción: allí $\vect\Pi$ tiene [divergencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) nula, sus líneas se cierran sobre sí mismas y su flujo por cualquier superficie cerrada se anula — el teorema no dice nada de un flujo que circula sin entregar nada. Solo los flujos por superficies cerradas son físicos.

![Un cable coaxial que transporta potencia: un E radial y un B azimutal dan un vector de Poynting axial en el dieléctrico; su flujo sobre la corona comprendida entre los conductores vale exactamente UI — la potencia viaja por el aislante y el metal solo la guía.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-08df84531edf.svg)

*Un [cable coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) que transporta potencia: un $\vect E$ radial y un $\vect B$ azimutal dan un [vector de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) axial en el dieléctrico; su flujo sobre la corona comprendida entre los conductores vale exactamente $UI$ — la potencia viaja por el aislante y el metal solo la guía.*

## 12.3 La luz: intensidad y presión de radiación

**Proposición 12.6 (Energía de una onda plana).**

Para una onda plana en el vacío — la solución de [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/13-ondas-electromagneticas-planas-y-polarizacion#ch-b2-plane-waves-polarization), con $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$, $B = E/c$ y $\vect E \perp \vect B$ — las densidades de energía eléctrica y magnética son iguales y

$$
u = \varepsilon_0E^2 , \qquad \vect\Pi = \varepsilon_0cE^2\,\vect u = cu\,\vect u ,
$$

siendo $\vect u$ la dirección de propagación: la energía viaja a $c$. Para una onda sinusoidal de amplitud $E_0$, la *intensidad* (irradiancia) es el flujo medio,

$$
I = \langle\Pi\rangle = \frac{\varepsilon_0cE_0^2}2 = \frac{E_0^2}{2\mu_0c} ,
$$

y la onda lleva una densidad de cantidad de movimiento $\vect\Pi/c^2$ (admitido), de modo que ejerce sobre una superficie que golpea con incidencia normal la *[presión de radiación](#prop-b2-poynting-vector-wave)* $P = I/c$ si la absorbe y $2I/c$ si la refleja.

**Demostración.** $B^2/2\mu_0 = E^2/2\mu_0c^2 = \varepsilon_0E^2/2$; $\vect E\wedge\vect B/\mu_0 = E^2/\mu_0c =
\varepsilon_0cE^2$ según $\vect k$; $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$. La densidad de cantidad de movimiento $\vect\Pi/c^2$ se sigue de la fuerza de Lorentz sobre las cargas de la superficie absorbente (o de la relatividad: $p = E/c$ para la luz): la cantidad de movimiento $\Pi S\,\dd t/c^2\times c$ que llega por unidad de tiempo a una superficie $S$ es una fuerza $\Pi S/c$. ∎

**Ejemplo 12.7 (Luz solar, láser, microondas).**

La luz solar en lo alto de la atmósfera, $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$: $E_0 =
\sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 1.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $B_0 = E_0/c = 3.4\,\text{µ}\mathrm{T}$, densidad de energía $4.5\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, presión $4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ — $0.7\,\mathrm{kg}$ de fuerza sobre un kilómetro cuadrado, y aun así bastante para gobernar una vela solar y para soplar el polvo de un cometa hasta formar su cola. Un puntero láser de $1\,\mathrm{mW}$ sobre una mancha de $1\,\mathrm{mm}^{2}$: $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$, como el Sol; enfocado a $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$: $1\,\mathrm{GW}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 0.9\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$, cerca de la ruptura del aire. Un microondas de $1\,\mathrm{kW}$ con una [onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) que llena $30\,\mathrm{L}$: densidad de energía $\sim 10^{-7}$ J/m$^3$ y $E_0$ de unos pocos kilovoltios por metro.

![Una onda electromagnética plana: E, B y la dirección de propagación forman un triedro directo; el vector de Poynting apunta según la propagación y oscila al doble de la frecuencia, con valor medio igual a la intensidad.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-fda1e62f9c48.svg)

*Una onda electromagnética plana: $\vect E$, $\vect B$ y la dirección de propagación forman un triedro directo; el [vector de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) apunta según la propagación y oscila al doble de la frecuencia, con valor medio igual a la intensidad.*

**Método 12.8 (Contabilidad energética).**

(1) Hállense $\vect E$ y $\vect B$ (estática, cuasiestática u ondas). (2) Fórmense $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ y $u$. (3) Elíjase una superficie cerrada en torno al dispositivo y calcúlese el flujo de $\vect\Pi$: debe igualar a la potencia de Joule más el ritmo de variación de la energía almacenada dentro — una comprobación de los campos. (4) Para una onda, la media de $\Pi$ es la intensidad; divídase por $c$ para la presión y por la energía del fotón $hf$ para el flujo de fotones.

## 12.4 Ejercicios

**Ejercicio 12.1 ★.**

Luz solar en el suelo, $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$: amplitudes $E_0$ y $B_0$, densidad de energía, [presión de radiación](#prop-b2-poynting-vector-wave) sobre un tejado negro y sobre un espejo; fuerza sobre un tejado de $100\,\mathrm{m}^{2}$; flujo de fotones por metro cuadrado para una energía media por fotón de $2\,\mathrm{eV}$.

**Solución de Ejercicio 12.1.**

$E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B_0 = E_0/c = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$; $u = I/c
= 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (negro), $6.7\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (espejo); $0.33\,\mathrm{mN}$ sobre el tejado; $I/hf = 1000/3.2 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Ejercicio 12.2 ★.**

Un puntero láser de $5\,\mathrm{mW}$ de $1.5\,\mathrm{mm}$ de diámetro de haz: intensidad, $E_0$, $B_0$; el mismo haz enfocado a una mancha de $5\,\text{µ}\mathrm{m}$; un láser pulsado de $1\,\mathrm{PW}$ ($1 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$) enfocado a $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$: $E_0$, comparado con el campo que liga al electrón en un átomo de hidrógeno ($5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$).

**Solución de Ejercicio 12.2.**

Área $1.8\,\mathrm{mm}^{2}$: $I = 2.8\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 1.5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $B_0 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{T}$. Enfocado a $5\,\text{µ}\mathrm{m}$: $I = 2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Petavatio: $I = 1 \times 10^{26}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, quinientas veces el campo atómico — el átomo queda desgarrado en un ciclo.

**Ejercicio 12.3 ★.**

Densidades de energía: un campo eléctrico de $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (ruptura del aire); de $100\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (un aislante fino); un campo magnético de $0.1\,\mathrm{T}$, $1.5\,\mathrm{T}$ (resonancia magnética) y $45\,\mathrm{T}$ (imán récord). Energía en un $1\,\mathrm{m}^{3}$ de túnel de resonancia magnética; su equivalente en litros de gasolina ($35\,\mathrm{MJ}/\mathrm{L}$).

**Solución de Ejercicio 12.3.**

$\tfrac12\varepsilon_0E^2$: $40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, $4.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$. $B^2/2\mu_0$: $4\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{3}$, $0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, $8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$. El túnel de resonancia magnética guarda $0.9\,\mathrm{MJ}$ — $26\,\mathrm{mL}$ de gasolina.

**Ejercicio 12.4 ★.**

Una vela solar de $100\,\mathrm{m}$ $\times$ $100\,\mathrm{m}$, perfectamente reflectante, a la distancia de la Tierra ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$): fuerza; aceleración de una nave de $200\,\mathrm{kg}$; celeridad ganada en un mes; compárese con la gravedad del Sol sobre la nave a esa distancia ($5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$).

**Solución de Ejercicio 12.4.**

$F = 2IA/c = 0.09\,\mathrm{N}$; $a = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en un mes; el Sol tira con $1.2\,\mathrm{N}$: la vela no puede luchar contra la gravedad, sino que bordea contra ella en órbita.

**Ejercicio 12.5 ★★.**

Un hilo de cobre de radio $a = 1\,\mathrm{mm}$ lleva $10\,\mathrm{A}$ ($\gamma =
6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$). (a) $E$ dentro, $B$ en la superficie y $\vect\Pi$ en la superficie (dirección y módulo). (b) Flujo de $\vect\Pi$ hacia $1\,\mathrm{m}$ de hilo; compárese con $RI^2$. (c) $\Pi(r)$ dentro del hilo y potencia depositada entre $r$ y $r + \dd r$; compruébese que vale $j^2/\gamma\cdot2\pi r\,\dd r$. (d) ¿De dónde viene la energía? Descríbase el campo entre la pila y el hilo.

**Solución de Ejercicio 12.5.**

(a) $j = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $E = j/\gamma = 0.053\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $B = \mu_0I/2\pi a = 2\,\mathrm{mT}$; $\Pi = EB/\mu_0 = 84\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, radialmente hacia dentro. (b) $84 \times 2\pi a = 0.53\,\mathrm{W}$ por metro; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$, $RI^2 = 0.53\,\mathrm{W}$. (c) $\Pi(r)
= EIr/2\pi a^2$, luego $2\pi r\Pi = EIr^2/a^2$ y la corteza recibe $\dd(2\pi r\Pi)
= 2EIr\,\dd r/a^2 = (j^2/\gamma)2\pi r\,\dd r$. (d) Las cargas superficiales de la pila establecen un campo eléctrico a lo largo de todo el circuito, por fuera de los hilos; allí $\vect E\wedge\vect B$ lleva la energía de la pila a la carga.

**Ejercicio 12.6 ★★.**

Condensador de armaduras circulares ($R$, $d$) cargado por $I$. (a) $\vect E$, $\vect B$ y $\vect\Pi$ entre las armaduras. (b) Flujo de $\vect\Pi$ por el cilindro lateral; muéstrese que iguala a $\dd W_e/\dd t$. (c) Para $R = 5\,\mathrm{cm}$, $d =
1\,\mathrm{mm}$, $I = 1\,\mathrm{A}$ en el instante en que $E = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$: $\Pi$ en el borde y potencia entrante. (d) ¿Es despreciable la energía magnética?

**Solución de Ejercicio 12.6.**

(a) $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ axial, $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ azimutal, $\vect\Pi = -\varepsilon_0
(r/2)E\dot E\,\vect e_r$. (b) $\varepsilon_0(R/2)E\dot E\cdot2\pi Rd = \dd(\tfrac12\varepsilon_0E^2\pi R^2d)/
\dd t$. (c) $\dot E = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.4 \times 10^{13}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\Pi(R) = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; por $2\pi Rd = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$: $1.0\,\mathrm{kW}$ $= UI$ con $U = Ed = 1\,\mathrm{kV}$. (d) Sí: menor en factores del tipo $(\omega R/c)^2$ ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)).

**Ejercicio 12.7 ★★.**

Un solenoide largo ($n$, radio $R$) cuya corriente $I(t)$ crece. (a) Campo $\vect E$ inducido dentro; $\vect\Pi$; dirección. (b) Flujo por la superficie lateral por unidad de longitud y $\dd(B^2/2\mu_0\cdot\pi R^2)/\dd t$. (c) Justo fuera del solenoide (donde $\vect B = \vect 0$), ¿cuánto vale $\vect\Pi$? ¿Cómo entra entonces la energía? (Piénsese dónde circula la corriente: el devanado es una lámina delgada; tómese la superficie justo por dentro.)

**Solución de Ejercicio 12.7.**

(a) $\vect E = -(r/2)\dot B\,\vect e_\theta$, $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$: hacia dentro mientras $B$ crece. (b) $(RB\dot B/2\mu_0)2\pi R = \dd(\pi R^2B^2/2\mu_0)/\dd t$. (c) Fuera $\vect B = \vect 0$, luego $\vect\Pi = \vect 0$: la energía se inyecta en el propio devanado, donde el generador fuerza la corriente contra el campo inducido (allí $\vect j\cdot\vect E < 0$); justo por dentro de la lámina $\vect\Pi$ es ya el flujo entrante de (a).

**Ejercicio 12.8 ★★.**

*Por dónde viaja la potencia de un cable.* Un [cable coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) (radios $a$ y $b$) lleva una corriente constante $I$ por el alma, de vuelta por la malla, bajo la tensión $U$ entre ambos (conductores perfectos). (a) $\vect E$ y $\vect B$ en el dieléctrico ($a < r < b$) a partir de Gauss y de Ampère. (b) $\vect\Pi$: dirección y módulo. (c) Intégrese $\vect\Pi$ sobre la corona $a < r
< b$: muéstrese que el resultado es $UI$ — toda la potencia viaja por el aislante. (d) Con un alma ligeramente resistiva, ¿en qué dirección se inclina $\vect\Pi$ y a qué es igual su flujo hacia el alma?

**Solución de Ejercicio 12.8.**

(a) $E = U/r\ln(b/a)$ radial, $B = \mu_0I/2\pi r$ azimutal. (b) $\vect\Pi = (UI/
2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$, según la corriente del alma. (c) $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r =
UI$. (d) $E$ adquiere una componente axial $j/\gamma$; $\vect\Pi$ se inclina hacia el alma, y su flujo radial hacia un metro de alma vale $RI^2$ por metro.

**Ejercicio 12.9 ★★.**

*El polvo de un cometa.* Un grano esférico de polvo de radio $a$ y densidad $\rho = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ situado a la distancia $D$ del Sol absorbe la luz solar ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ a $D_0 = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, masa solar $2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$). (a) Fuerza de radiación y fuerza gravitatoria; muéstrese que su cociente no depende de $D$. (b) Radio por debajo del cual el grano sale despedido. (c) ¿Por qué las colas de los cometas apuntan en sentido opuesto al Sol y por qué se curvan?

**Solución de Ejercicio 12.9.**

(a) $F_{\text{rad}} = I_0(D_0/D)^2\pi a^2/c$, $F_g = GM\cdot\tfrac43\pi a^3\rho/D^2$: cociente $3I_0D_0^2/4cGM\rho a$, independiente de $D$. (b) El cociente es $> 1$ para $a < 3I_0D_0^2/
4cGM\rho = 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$. (c) El polvo fino sale despedido del Sol conservando la velocidad orbital del cometa, de modo que la cola de polvo apunta en sentido opuesto y se curva; la cola de iones, empujada por el viento solar, es recta.

**Ejercicio 12.10 ★★★.**

*Un condensador que se descarga.* El condensador de [Ejercicio 12.6](#exo-b2-poynting-vector-6) se descarga por el hilo de [Ejercicio 12.5](#exo-b2-poynting-vector-5) ($R = 5.3\,\mathrm{m}\Omega$ por metro, longitud $L$). (a) Dirección de $\vect\Pi$ en el borde del condensador ahora. (b) Potencia que sale del condensador y potencia que entra en el hilo; ¿qué ocurre con la diferencia (si la hay)? (c) Escríbase el balance de energía $\dd W_e/\dd t = -RI^2$ y compruébese con $Q = CU$, $I = -\dd Q/\dd t$. (d) ¿Por qué no aparece en el balance la energía magnética del circuito al principio y al final?

**Solución de Ejercicio 12.10.**

(a) $\dot E < 0$: $\vect\Pi$ apunta hacia fuera en el borde. (b) $-\dd W_e/\dd t$ sale del condensador y $RI^2$ entra en el hilo; en régimen cuasiestático son iguales — nada se acumula entre medias. (c) $W_e =
Q^2/2C$, $\dd W_e/\dd t = (Q/C)\dd Q/\dd t = -UI = -RI^2$. (d) $\tfrac12LI^2$ se anula en ambos extremos ($I = 0$) y es despreciable entre medias para un lazo pequeño.

**Ejercicio 12.11 ★★★.**

*El imán cargado.* Entre las armaduras de un condensador cargado ($\vect E = E\vect e_z$) hay un campo uniforme $\vect B = B\vect e_x$ (un imán). (a) $\vect\Pi$; su [divergencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators). (b) Tómese la superficie cerrada de una caja interior a la región: flujo de $\vect\Pi$. (c) ¿Adónde van las líneas de $\vect\Pi$ y qué las cierra? (d) Una propuesta: medir el flujo de energía con un pequeño absorbente colocado en el hueco — ¿se calentaría? ¿Por qué no?

**Solución de Ejercicio 12.11.**

(a) $\vect\Pi = (EB/\mu_0)\vect e_y$, uniforme: $\operatorname{div}\vect\Pi = 0$. (b) Nulo. (c) Según $y$ por el hueco, cerrándose por los campos de borde en los extremos de las armaduras y del imán. (d) Un cuerpo en reposo en campos estáticos no lleva corriente: $\vect j\cdot\vect E = 0$, ningún calentamiento. El $\vect\Pi$ que circula es contabilidad, no un flujo que deposite energía.

**Ejercicio 12.12 ★★★.**

*[Onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes).* Dos ondas planas que se propagan en sentidos opuestos y de igual amplitud forman $\vect E = 2E_0\cos kx\cos\omega t\,\vect e_y$, $\vect B = -2(E_0/c)
\sin kx\sin\omega t\,\vect e_z$ (compruébese con Maxwell–Faraday). (a) $\vect\Pi(x, t)$; su promedio temporal. (b) Densidad de energía; ¿dónde es eléctrica, dónde magnética y cómo va y viene? (c) Un espejo perfectamente conductor en $x = 0$ refleja la onda incidente: fuerza por unidad de área sobre él a partir del argumento de la cantidad de movimiento, y a partir de la fuerza de Laplace sobre su [corriente superficial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) (úsese la relación de paso de $\vect B$). (d) Muéstrese que ambas dan $2I/c$ en promedio.

**Solución de Ejercicio 12.12.**

Faraday: $\partial_xE_y = -2E_0k\sin kx\cos\omega t$ iguala a $-\partial_tB_z$ puesto que $\omega = kc$. (a) $\vect\Pi = (E_yB_z/\mu_0)\vect e_x = -(E_0^2/\mu_0c)\sin2kx\sin2\omega t\,\vect e_x$: de media nula. (b) $u = 2\varepsilon_0E_0^2(\cos^2kx\cos^2\omega t + \sin^2kx\sin^2\omega t)$: eléctrica en $x = 0, \lambda/2, \dots$ y magnética en $\lambda/4, \dots$, yendo y viniendo entre unas y otras dos veces por periodo. (c) Cantidad de movimiento: cada onda tiene $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$, y la reflejada invierte la suya: $2I/c = \varepsilon_0E_0^2$. Laplace: en $x =
0$, $B = (2E_0/c)\sin\omega t$ justo fuera y $0$ dentro, luego $j_s = B/\mu_0$; la fuerza por unidad de área sobre la lámina vale $\tfrac12j_sB = B^2/2\mu_0 = 2\varepsilon_0E_0^2\sin^2
\omega t$. (d) Su media vale $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$.

![Un huerto solar: un kilovatio por metro cuadrado de flujo de Poynting llega del Sol a través del espacio vacío, y una quinta parte sale por los cables.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/img-e07a4b5953fa.jpg)

*Un huerto solar: un kilovatio por metro cuadrado de flujo de Poynting llega del Sol a través del espacio vacío, y una quinta parte sale por los cables.*

## 12.5 Problema: la energía de una línea, de un panel y de un horno

**Problema 12.1.**

Problema de fin de semana — siguiendo a la energía electromagnética de una línea eléctrica a una casa, del Sol a un panel solar y de un magnetrón a una taza de agua

**Parte I — La línea.** Un [cable coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) de potencia (radio del alma $a = 1.0\,\mathrm{cm}$, radio de la malla $b =
3.0\,\mathrm{cm}$, dieléctrico $\varepsilon_r = 2.3$) lleva una corriente continua $I =
500\,\mathrm{A}$ a $U = 20\,\mathrm{kV}$; el alma tiene conductividad $\gamma =
6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$.

1. Campos $\vect E(r)$ y $\vect B(r)$ en el dieléctrico (con conductores perfectos, de momento); valores en $r = a$ .
2. [Vector de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) en el dieléctrico; su flujo por la sección anular: compruébese que vale $UI$ .
3. Densidades de energía $\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2$ y $B^2/2\mu_0$ en $r = a$ (en un dieléctrico la densidad de energía eléctrica lleva $\varepsilon_r$ ); ¿cuál domina y en cuánto?
4. ¿A qué fracción de la velocidad de la luz “se mueve” la energía (tómese $\Pi/u$ en $r = a$ )? Compárese con $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ .
5. Ahora el alma es resistiva: campo $E_z$ en su interior; el [vector de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) justo fuera de su superficie adquiere una componente radial: módulo y potencia por metro que entrega al alma; compruébese frente a $RI^2$ por metro.
6. Cociente entre la componente radial y la axial de $\vect\Pi$ en $r =  a$ : ¿qué dice sobre adónde va la energía?
7. Energía magnética por metro de cable, $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ , y energía eléctrica por metro, $\int\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2\,\dd\tau$ ; recupérense como $\tfrac12\Lambda I^2$ y $\tfrac12\Gamma U^2$ con la inductancia y la capacidad por metro de [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets) .
8. Una línea de $10\,\mathrm{km}$ : potencia entregada, potencia perdida y fracción. Repítase con $U = 200\,\mathrm{kV}$ e $I = 50\,\mathrm{A}$ (la misma potencia).

**Parte II — El panel.** Luz solar al mediodía en un día despejado: $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$; un panel fotovoltaico de $1.6\,\mathrm{m}^{2}$ y $20\%$ de rendimiento; energía media por fotón, $2.0\,\mathrm{eV}$.

9. $E_0$ , $B_0$ , densidad de energía y flujo de fotones en el haz.
10. Potencia eléctrica entregada; calor que hay que evacuar; elevación de temperatura si el panel pierde calor por ambas caras con $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ .
11. [Presión de radiación](#prop-b2-poynting-vector-wave) sobre el panel (que absorbe); fuerza; compárese con su peso ( $18\,\mathrm{kg}$ ).
12. Energía recibida al día ( $6\,\mathrm{h}$ de sol pleno equivalente) y al año; superficie necesaria para cubrir los $3500\,\mathrm{kWh}$ anuales de una vivienda.
13. El panel produce $30\,\mathrm{V}$ a $10.7\,\mathrm{A}$ : compruébese la potencia; flujo de Poynting a lo largo de los $5\,\mathrm{m}$ de cable bifilar hasta el inversor — ¿por dónde viaja esa potencia en la imagen de campos?
14. En la órbita de la Tierra el Sol radia $1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : potencia total del Sol; masa que convierte por segundo ( $E = mc^2$ , $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).
15. Número de fotones que golpean el panel por segundo.
16. [Flujo de cantidad de movimiento](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/5-balances-de-cantidad-de-movimiento-y-de-energia-en-los-flujos#thm-b2-flow-balances-momentum) de los fotones en la Tierra: fuerza total de radiación del Sol sobre la Tierra (disco de radio $6400\,\mathrm{km}$ , absorbente); compárese con la gravedad ( $3.5 \times 10^{22}\,\mathrm{N}$ ).

**Parte III — El horno.** Un horno microondas entrega $800\,\mathrm{W}$ a $2.45\,\mathrm{GHz}$ a una cavidad de $30\,\mathrm{L}$; una taza con $250\,\mathrm{g}$ de agua absorbe el $80\%$.

17. Longitud de onda; ¿es la cavidad grande frente a ella? ¿Por qué son metálicas las paredes?
18. Tiempo para calentar el agua de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); potencia absorbida por unidad de volumen.
19. Si la potencia circulara como una onda plana por la sección de $50\,\mathrm{cm}^{2}$ de la taza, intensidad y $E_0$ ; los campos reales son [ondas estacionarias](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) de amplitud comparable — ¿a qué distancia están los puntos calientes y por qué gira el plato?
20. Energía almacenada en el campo de la cavidad si su factor de calidad vale $Q = 2\pi\times\text{(energía almacenada)}/\text{(energía perdida por periodo)}  \approx 10^3$ cuando está vacía: energía almacenada, densidad media de energía y $E_0$ — compárese con la ruptura del aire ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ).
21. El agua absorbe porque sus moléculas son dipolos excitados a $2.45\,\mathrm{GHz}$ : la potencia local, análoga a la de Joule, vale $\tfrac12\omega\varepsilon_0  \varepsilon''E_0^2$ con $\varepsilon'' \approx 10$ para el agua: $E_0$ en el agua necesario para la densidad de potencia de la pregunta 16; ¿es coherente?
22. Energía del fotón a $2.45\,\mathrm{GHz}$ en eV y número de fotones absorbidos por segundo por la taza; por qué las microondas pueden calentar pero no ionizar (ionizar exige unos $10\,\mathrm{eV}$ ).
23. [Presión de radiación](#prop-b2-poynting-vector-wave) del campo de la cavidad sobre las paredes (del orden de la densidad de energía $u$ ): ¿hay que preocuparse?
24. ¿Por qué un horno vacío (sin carga) corre riesgo de avería, en términos de Poynting?
25. Resúmase en una tabla, para la línea, el panel y el horno: el soporte de la energía, la dirección de $\vect\Pi$ , la potencia y qué la convierte.

**Solución de Problema 12.1.**

**1.** $E = U/r\ln(b/a)$: $1.8\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ en $r = a$; $B = \mu_0I/2\pi r$: $10\,\mathrm{mT}$ en $a$.

**2.** $\vect\Pi = (UI/2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$; $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI =
10\,\mathrm{MW}$.

**3.** $\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon_rE^2 = 34\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, $B^2/2\mu_0 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: comparables.

**4.** $\Pi(a) = EB/\mu_0 = 1.45 \times 10^{10}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $u = 74\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: $\Pi/u =
2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = c/\sqrt{\varepsilon_r}$.

**5.** $E_z = I/\gamma\pi a^2 = 0.027\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $\Pi_r = E_zB/\mu_0 = 210\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ hacia dentro; $\times2\pi a = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 53\,\text{µ}\Omega/\mathrm{m}$, $RI^2 =
13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$.

**6.** $\Pi_r/\Pi_z = E_z/E_r = 1.5 \times 10^{-8}$: casi toda la energía corre a lo largo de la línea; solo un soplo se filtra al cobre.

**7.** $133\,\mathrm{kW}$ perdidos de $10\,\mathrm{MW}$, el $1.3\%$; a $200\,\mathrm{kV}$: $1.3\,\mathrm{kW}$, el $0.013\%$.

**8.** $\int_a^b(B^2/2\mu_0)2\pi r\,\dd r = (\mu_0I^2/4\pi)\ln(b/a) = 27\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m} =
\tfrac12\Lambda I^2$ con $\Lambda = \mu_0\ln(b/a)/2\pi = 0.22\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$; eléctrica: $\tfrac12\Gamma U^2$ con $\Gamma = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) = 117\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$: $23\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}$.

**9.** $E_0 = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B_0 = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$, $u = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**10.** $320\,\mathrm{W}$ eléctricos; $1280\,\mathrm{W}$ de calor sobre $3.2\,\mathrm{m}^{2}$ de caras: $\Delta T = 1280/32 = 40\,\mathrm{K}$.

**11.** $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$; $5.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ frente a un peso de $180\,\mathrm{N}$.

**12.** $320 \times 6 = 1.9\,\mathrm{kWh}/\mathrm{d}$, $700\,\mathrm{kWh}$ al año; cinco paneles, $8\,\mathrm{m}^{2}$.

**13.** $30 \times 10.7 = 320\,\mathrm{W}$; la potencia fluye por el campo que hay entre los dos hilos — $\vect E$ a través de los $30\,\mathrm{V}$, $\vect B$ en torno a las corrientes —, no por el cobre.

**14.** $4\pi D^2I = 3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$; $P/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$.

**15.** $5 \times 10^{21} \times 1.6 = 5 \times 10^{21}\,$ fotones por segundo.

**16.** $I\pi R_E^2/c = 5.8 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$: $10^{-14}$ de la gravedad.

**17.** $\lambda = 12.2\,\mathrm{cm}$; la cavidad de $30\,\mathrm{cm}$ mide unas pocas longitudes de onda — un resonador con modos, no un haz libre; las paredes metálicas reflejan la onda (con [profundidad de penetración](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) de micrómetros) y la retienen.

**18.** $0.25 \times 4180 \times 60 = 63\,\mathrm{kJ}$ a $640\,\mathrm{W}$: $98\,\mathrm{s}$; $640/2.5 \times 10^{-4} = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$.

**19.** $I = 640/5 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$; los puntos calientes distan $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ — de ahí el plato giratorio.

**20.** $W = QP/\omega = 10^3 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 52\,\text{µ}\mathrm{J}$; $u =
1.7\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}^{3}$; $E_0 = \sqrt{2u/\varepsilon_0} = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — cien veces por debajo de la ruptura.

**21.** $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2 = 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$: $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ dentro del agua — del orden del campo de la cavidad, reducido por la permitividad del agua: coherente.

**22.** $hf = 1.6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$; $4 \times 10^{26}$ fotones por segundo; un millón de veces poca energía por fotón para ionizar.

**23.** $\sim u = 2\,\mathrm{mPa}$: no.

**24.** Sin nada que la absorba, el flujo de $\vect\Pi$ no tiene dónde acabar salvo de vuelta en el magnetrón, que se recalienta.

**25.** Línea: el dieléctrico, $\vect\Pi$ axial, $10\,\mathrm{MW}$, con una carga al final. Panel: el haz, $\vect\Pi$ según los rayos del Sol, $1.6\,\mathrm{kW}$ de entrada y $320\,\mathrm{W}$ de salida, el semiconductor. Horno: el campo de la cavidad, $\vect\Pi$ circulando, $800\,\mathrm{W}$, los dipolos del agua.