---
title: "Ondas electromagnéticas planas y polarización"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/13-ondas-electromagneticas-planas-y-polarizacion
---

# Capítulo 13 — Ondas electromagnéticas planas y polarización

Inclínese la cabeza con unas gafas de sol polarizadas puestas y el reflejo de la carretera mojada aparece y desaparece; gírense las gafas ante la pantalla de un teléfono y la pantalla se vuelve negra. La luz que llega al ojo no es solo una onda con una frecuencia y una intensidad: tiene una *dirección de vibración*, y con ella juegan todo polarizador, toda pantalla, toda lente de cine en 3D y todo conector de fibra óptica. Este capítulo resuelve las [ecuaciones de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) en el espacio vacío — la onda plana, con sus campos eléctrico y magnético transversales y trabados en ángulo recto —, recorre el espectro que abarcan esas ondas y estudia la polarización: cómo describirla, cómo seleccionarla con un polarizador ([ley de Malus](#prop-b2-plane-waves-polarization-malus)) y cómo transformarla con una lámina birrefringente.

## 13.1 Ondas planas en el vacío

**Teorema 13.1 (Ecuación de ondas; ondas planas progresivas armónicas).**

En el vacío, sin cargas ni corrientes, las [ecuaciones de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) dan

$$
\Delta\vect E = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect E}{\partial t^2} , \qquad
\Delta\vect B = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect B}{\partial t^2} , \qquad
c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} .
$$

La *onda plana progresiva armónica* (OPPA) $\underline{\vect E} =
\underline{\vect E}_0\,\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ es solución siempre que $\omega = ck$ (sin dispersión), y las [ecuaciones de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) exigen entonces

$$
\vect k\cdot\vect E = 0 , \qquad
\vect B = \frac{\vect k\wedge\vect E}\omega = \frac{\vect u\wedge\vect E}c ,
$$

siendo $\vect u = \vect k/k$ la dirección de propagación: la onda es *transversal*, $(\vect E, \vect B, \vect u)$ es un triedro ortogonal directo, $\vect E$ y $\vect B$ están en fase y $B = E/c$. Su intensidad vale $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ y transporta el [flujo de cantidad de movimiento](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/5-balances-de-cantidad-de-movimiento-y-de-energia-en-los-flujos#thm-b2-flow-balances-momentum) $I/c$ ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/12-la-energia-electromagnetica-y-el-vector-de-poynting#ch-b2-poynting-vector)).

**Demostración.** La [ecuación de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) se dedujo en [Ejercicio 11.11](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#exo-b2-maxwell-equations-11). Para $\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$, $\partial_t \to \iu\omega$ y $\vect\nabla \to
-\iu\vect k$: $\Delta \to -k^2$, luego $k^2 = \omega^2/c^2$; Maxwell–Gauss da $-\iu
\vect k\cdot\underline{\vect E} = 0$, Maxwell del flujo $\vect k\cdot\underline{\vect B} = 0$, Maxwell–Faraday $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect E} = -\iu\omega\underline{\vect B}$, de donde $\underline{\vect B} = \vect k\wedge\underline{\vect E}/\omega$, de módulo $kE/\omega = E/c$ y perpendicular a ambos; Maxwell–Ampère queda entonces satisfecha idénticamente. ∎

![Una onda plana progresiva armónica en un instante: E y B perpendiculares entre sí y a la dirección de avance, en fase, con B = E/c; todo el patrón se desliza según u a c.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-402199216cda.svg)

*Una onda plana progresiva armónica en un instante: $\vect E$ y $\vect B$ perpendiculares entre sí y a la dirección de avance, en fase, con $B = E/c$; todo el patrón se desliza según $\vect u$ a $c$.*

**Observación 13.2 (El espectro).**

Una sola ecuación, una sola celeridad y veinte órdenes de magnitud de frecuencia. Radio: $30\,\mathrm{kHz}$–$300\,\mathrm{MHz}$ ($\lambda$ de $10\,\mathrm{km}$ a $1\,\mathrm{m}$), antenas y circuitos ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/17-radiacion-dipolar-y-dispersion#ch-b2-dipole-radiation)). Microondas: $300\,\mathrm{MHz}$–$300\,\mathrm{GHz}$, radar, hornos, teléfonos móviles y el fondo cósmico. Infrarrojo: hasta $400\,\mathrm{THz}$ ($750\,\mathrm{nm}$), la radiación térmica de todo lo que nos rodea ([Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/26-radiacion-termica#ch-b2-thermal-radiation)). Visible: $400\,\mathrm{THz}$–$750\,\mathrm{THz}$, de $750\,\mathrm{nm}$ (rojo) a $400\,\mathrm{nm}$ (violeta) — una octava, con fotones de $1.6$ a $3.1\,\mathrm{eV}$. Ultravioleta hasta $10\,\mathrm{nm}$; rayos X hasta $10\,\mathrm{pm}$ ($100\,\mathrm{keV}$), procedentes de las capas atómicas internas y de electrones frenados; rayos gamma más allá, de los núcleos. Solo cambian las fuentes y los detectores: la onda es la misma.

![El espectro electromagnético en escala logarítmica de frecuencias; la banda visible es una astilla — una octava de veinte décadas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-bdf0db681a83.svg)

*El [espectro electromagnético](#rem-b2-plane-waves-polarization-spectrum) en escala logarítmica de frecuencias; la banda visible es una astilla — una octava de veinte décadas.*

## 13.2 La polarización

**Definición 13.3 (Estados de polarización).**

Para una OPPA según $z$, el campo en un plano $z =$ const. vale

$$
\vect E = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\vect e_y ,
$$

y la punta de $\vect E$ describe, en general, una elipse: *polarización elíptica*. Dos casos particulares: $\varphi = 0$ o $\pi$, polarización *lineal* según una dirección fija que forma el ángulo $\arctan(\pm E_{0y}/E_{0x})$ con $x$; y $E_{0x} = E_{0y}$ con $\varphi = \pm\pi/2$, polarización *circular*, con $\vect E$ de módulo constante girando a $\omega$ (a derechas o a izquierdas según su sentido de giro, mirando de frente a la onda que llega). La luz *natural* (no polarizada), de una lámpara o del Sol, es una sucesión de trenes de onda cortos con polarizaciones aleatorias que cambian deprisa: ninguna dirección es preferente en promedio. Toda polarización se descompone en dos componentes lineales (o dos circulares).

**Demostración.** Con $X = E_x/E_{0x}$, $Y = E_y/E_{0y}$: $X = \cos\theta$, $Y = \cos(\theta - \varphi)$, luego $X^2 + Y^2 - 2XY\cos\varphi = \sin^2\varphi$, una elipse, degenerada en las rectas $Y = \pm X$ para $\varphi = 0, \pi$ y en un círculo para $E_{0x} = E_{0y}$, $\varphi = \pm\pi/2$. ∎

**Proposición 13.4 (Polarizadores y ley de Malus).**

Un *polarizador* transmite la componente de $\vect E$ según su eje de transmisión $\vect p$ y absorbe la otra (una lámina de moléculas largas alineadas, que conducen a lo largo de su longitud — la polarización transmitida es perpendicular a las moléculas). La luz polarizada linealmente de intensidad $I_0$ cuya dirección forma el ángulo $\theta$ con $\vect p$ sale polarizada linealmente según $\vect p$ con

$$
I = I_0\cos^2\theta \qquad\text{(Malus)} ;
$$

la [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states) sale con $I_0/2$, polarizada según $\vect p$. Dos polarizadores cruzados no transmiten nada; un tercero intercalado a $45{}^{\circ}$ entre ellos transmite $I_0/8$.

**Demostración.** La amplitud transmitida vale $E_0\cos\theta$ e $I \propto E_0^2$. [Luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states): promedio de $\cos^2\theta$ sobre todo $\theta$, $\tfrac12$. Tres polarizadores: $\tfrac12\cdot\cos^2 45^\circ\cdot\cos^2 45^\circ = \tfrac18$ — el polarizador central no se limita a atenuar, sino que *gira* la polarización. ∎

![A la izquierda, luz natural a través de tres polarizadores a 0, 45 y 90 — el del medio deja pasar una octava parte por una pareja que, sola, lo bloquearía todo. A la derecha, la ley de Malus.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-f0a30ed341a7.svg)

*A la izquierda, [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states) a través de tres polarizadores a $0^\circ$, $45^\circ$ y $90^\circ$ — el del medio deja pasar una octava parte por una pareja que, sola, lo bloquearía todo. A la derecha, la [ley de Malus](#prop-b2-plane-waves-polarization-malus).*

**Ejemplo 13.5 (Gafas de sol, pantallas, fotografías).**

La luz reflejada con incidencia rasante en el agua o en el asfalto está en buena parte polarizada horizontalmente (ángulo de Brewster, [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)): unas gafas de sol con eje de transmisión vertical cortan el reflejo y dejan el resto. Una pantalla de cristal líquido emite luz polarizada: a través de un polarizador a $90{}^{\circ}$ se vuelve negra. El filtro polarizador de un fotógrafo oscurece el cielo (la luz dispersada está parcialmente polarizada, [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/17-radiacion-dipolar-y-dispersion#ch-b2-dipole-radiation)) y elimina los reflejos del vidrio.

## 13.3 Birrefringencia y láminas de onda

**Proposición 13.6 (Láminas de onda).**

En un cristal *birrefringente* (calcita, cuarzo, mica; también una lámina de plástico estirada) una onda que se propaga en una dirección dada se desdobla en dos polarizaciones lineales, según los ejes *rápido* y *lento* de la lámina, que viajan con índices distintos $n_f <
n_s$ (admitido: el cristal responde de forma distinta según sus ejes). Una lámina de espesor $e$ retrasa la componente lenta en la fase

$$
\delta = \frac{2\pi}\lambda(n_s - n_f)\,e .
$$

Una *[lámina de media onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates)* ($\delta = \pi$) convierte una [polarización lineal](#def-b2-plane-waves-polarization-states) que forma el ángulo $\alpha$ con el [eje rápido](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) en una [polarización lineal](#def-b2-plane-waves-polarization-states) a $-\alpha$: la gira $2\alpha$. Una *[lámina de cuarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates)* ($\delta = \pi/2$) convierte una [polarización lineal](#def-b2-plane-waves-polarization-states) a $45{}^{\circ}$ de sus ejes en luz circular, y la luz circular de nuevo en lineal; con otros ángulos, en luz elíptica con los ejes según los de la lámina.

**Demostración.** Sea el campo incidente $E_0(\cos\alpha\,\vect e_f + \sin\alpha\,\vect e_s)\cos\omega t$. Tras la lámina, la componente rápida no cambia y la lenta se retrasa $\delta$, de modo que el campo vale $E_0[\cos\alpha\cos\omega t\,\vect e_f + \sin\alpha\cos(\omega t - \delta)
\vect e_s]$. Para $\delta = \pi$ la componente $\vect e_s$ cambia de signo: dirección $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$. Para $\delta = \pi/2$ y $\alpha = 45^\circ$: $(E_0/\sqrt2)(\cos
\omega t, \sin\omega t)$, un círculo. ∎

![Los estados de polarización de una onda plana, vistos de frente a la luz que llega, y una lámina birrefringente con sus ejes rápido y lento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-7254ed97c35e.svg)

*Los estados de polarización de una onda plana, vistos de frente a la luz que llega, y una lámina birrefringente con sus [ejes rápido](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) y lento.*

**Ejemplo 13.7 (Dónde se usan las láminas).**

Una [lámina de cuarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) entre un polarizador y un espejo constituye un *aislador óptico*: la luz sale circular, vuelve circular con la helicidad opuesta, la lámina la convierte en luz lineal a $90{}^{\circ}$ del polarizador y queda absorbida — ninguna reflexión regresa al láser. Las imágenes de los dos ojos de una película en 3D se proyectan con polarizaciones circulares opuestas y las separan los emparedados de [lámina de cuarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) y polarizador de las gafas, que siguen funcionando al inclinar la cabeza (unos polarizadores lineales no). Una regla transparente entre polarizadores cruzados muestra franjas de colores: la tensión mecánica vuelve birrefringente el plástico, y los ingenieros leen en el dibujo las tensiones de una maqueta.

**Método 13.8 (Cómo seguir una polarización por un montaje óptico).**

(1) Elíjanse los ejes; escríbase el campo incidente como dos componentes con su diferencia de fase. (2) Un polarizador: consérvese la proyección sobre su eje (amplitud $\times\cos$, intensidad $\times\cos^2$; la [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states), $\times\tfrac12$). (3) Una lámina: proyéctese sobre sus [ejes rápido](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) y lento, retrásese el lento en $\delta$ y recomponga. (4) Léase el resultado: una fase $0$ o $\pi$ significa lineal, y $\pm\pi/2$ con amplitudes iguales, circular. (5) Para analizar un haz desconocido: gírese un polarizador (si la intensidad varía, hay parte lineal o elíptica) y añádase después una [lámina de cuarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) (la luz circular pasa a lineal y puede extinguirse).

## 13.4 Ejercicios

**Ejercicio 13.1 ★.**

Una emisora de FM a $100\,\mathrm{MHz}$ da, en un receptor, una intensidad de $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Longitud de onda, número de onda y periodo; amplitudes $E_0$ y $B_0$; densidad de energía; fem inducida en una antena de $1\,\mathrm{m}$ alineada con $\vect E$; flujo de fotones (por metro cuadrado y segundo).

**Solución de Ejercicio 13.1.**

$\lambda = 3.0\,\mathrm{m}$, $k = 2.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $T = 10\,\mathrm{ns}$; $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c}
= 27\,\mathrm{mV}/\mathrm{m}$, $B_0 = 9 \times 10^{-11}\,\mathrm{T}$; $u = I/c = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; fem $E_0 \times 1\,\mathrm{m} = 27\,\mathrm{mV}$; $I/hf = 10^{-6}/6.6 \times 10^{-26} = 1.5 \times 10^{19}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Ejercicio 13.2 ★.**

Frecuencia y energía del fotón (en eV) para $\lambda = 1\,\mathrm{km}$, $10\,\mathrm{cm}$, $10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $550\,\mathrm{nm}$, $10\,\mathrm{nm}$, $0.1\,\mathrm{nm}$ y $1\,\mathrm{pm}$; nómbrese la banda de cada uno; longitud de onda de un rayo gamma de $1\,\mathrm{MeV}$ y del fondo cósmico a $2.7\,\mathrm{K}$ (con máximo cerca de $160\,\mathrm{GHz}$).

**Solución de Ejercicio 13.2.**

$300\,\mathrm{kHz}$ ($1.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{eV}$, radio); $3\,\mathrm{GHz}$ ($1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$, microondas); $30\,\mathrm{THz}$ ($0.12\,\mathrm{eV}$, infrarrojo); $545\,\mathrm{THz}$ ($2.25\,\mathrm{eV}$, visible); $3 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ ($124\,\mathrm{eV}$, ultravioleta extremo); $3 \times 10^{18}\,\mathrm{Hz}$ ($12\,\mathrm{keV}$, X); $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Hz}$ ($1.2\,\mathrm{MeV}$, gamma). $1\,\mathrm{MeV}$: $1.2\,\mathrm{pm}$; $160\,\mathrm{GHz}$: $1.9\,\mathrm{mm}$.

**Ejercicio 13.3 ★.**

Luz polarizada linealmente de intensidad $I_0$ incide en un polarizador a $30{}^{\circ}$, luego en un segundo a $60{}^{\circ}$ del primero y luego en un tercero a $90{}^{\circ}$ del primero: intensidad tras cada uno. Lo mismo con [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states). Quítese el del medio: ¿qué cambia?

**Solución de Ejercicio 13.3.**

$0.75I_0$, $0.56I_0$, $0.42I_0$; con [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states): $0.375$, $0.28$, $0.21$. Sin el del medio: $0.75 \times \cos^260^\circ = 0.19I_0$ (natural, $0.125I_0$): el polarizador intermedio deja pasar *más* luz al girar la polarización.

**Ejercicio 13.4 ★.**

Compruébese que $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x$, $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t
- kz)\,\vect e_y$ satisface las cuatro [ecuaciones de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) en el vacío cuando $\omega =
kc$. ¿Qué ecuación fija la dirección de $\vect B$ y cuál su módulo? ¿Qué ocurre si se prueba con $\vect E$ según $\vect e_z$?

**Solución de Ejercicio 13.4.**

$\operatorname{div}\vect E = \partial_xE_x = 0$, $\operatorname{div}\vect B = 0$; $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = E_0k\sin(\omega t - kz)\,\vect e_y = -\partial_t\vect B$ si y solo si $\omega =
kc$ — Faraday fija tanto la dirección ($\vect e_y$) como el módulo ($E_0/c$) de $\vect B$; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(E_0k/c)\sin(\omega t - kz)\,\vect e_x
= \mu_0\varepsilon_0\partial_t\vect E$. Un $\vect E$ según $\vect e_z$ tendría $\operatorname{div}
\vect E \ne 0$ sin carga alguna: imposible — la onda es transversal.

**Ejercicio 13.5 ★★.**

*Luz circular.* (a) Escríbase el campo de una onda polarizada circularmente según $z$ y muéstrese que $|\vect E|$ es constante mientras su dirección gira a $\omega$. (b) Muéstrese que la suma de una onda circular a derechas y otra a izquierdas de igual amplitud está polarizada linealmente, según una dirección fijada por su fase relativa. (c) A través de un polarizador, ¿qué da la luz circular, y depende la intensidad del ángulo del polarizador? (d) ¿Cómo distinguir entonces la luz circular de la [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states)?

**Solución de Ejercicio 13.5.**

(a) $\vect E = E_0(\cos(\omega t - kz), \pm\sin(\omega t - kz), 0)$: módulo $E_0$, ángulo $\pm(\omega t - kz)$. (b) $(\cos, \sin) + (\cos, -\sin) = (2\cos, 0)$: lineal según $x$; una fase relativa $\varphi$ gira la dirección $\varphi/2$. (c) $I_0/2$ con cualquier ángulo. (d) Una [lámina de cuarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) convierte la luz circular en luz lineal, que un polarizador extingue después; la [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states) sigue sin polarizar.

**Ejercicio 13.6 ★★.**

El cuarzo tiene $n_s - n_f = 0.0091$ a $589\,\mathrm{nm}$. (a) Espesor de una [lámina de cuarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) del orden más bajo; y de una de media onda. (b) Una [lámina de cuarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) para $589\,\mathrm{nm}$ usada a $450\,\mathrm{nm}$: retardo de fase (despréciese la variación de los índices); ¿qué sale para luz lineal a $45{}^{\circ}$? (c) ¿Por qué son más sensibles a la longitud de onda y a la temperatura las láminas “de orden múltiple” (de espesor $e +
m\lambda/(n_s - n_f)$)? (d) ¿Por qué debe controlarse el espesor de una lámina mejor que el micrómetro?

**Solución de Ejercicio 13.6.**

(a) $e = \lambda/4(n_s - n_f) = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$; la de media onda, $32\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $\delta =
(\pi/2)(589/450) = 2.1\,\mathrm{rad}$: luz elíptica. (c) $\delta \propto e/\lambda$: una lámina de $m + \tfrac14$ ondas tiene $\dd\delta/\dd\lambda$ y $\dd\delta/\dd T$ mayores en $4m + 1$. (d) $\delta \propto e$: un micrómetro sobre $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ es el $6\%$ de $\pi/2$.

**Ejercicio 13.7 ★★.**

[Lámina de media onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates). (a) Muéstrese que la luz lineal que forma el ángulo $\alpha$ con el [eje rápido](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) sale lineal a $-\alpha$. (b) Por tanto, una lámina girada $\beta$ gira la polarización $2\beta$: ¿qué giro de la lámina pone horizontal una polarización vertical? (c) ¿Qué le hace una [lámina de media onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) a la luz circular? (d) Entre polarizadores cruzados se gira despacio una [lámina de media onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates): dibújese la intensidad transmitida frente a su ángulo.

**Solución de Ejercicio 13.7.**

(a) La componente lenta cambia de signo: $(\cos\alpha, \sin\alpha) \to (\cos\alpha,
-\sin\alpha)$. (b) Una polarización a un ángulo $\alpha$ de una lámina puesta a $\beta$ sale a $2\beta - \alpha$: giro de $2\beta$; $45{}^{\circ}$. (c) Invierte la helicidad. (d) $I = I_0\sin^22\beta$: cuatro máximos y cuatro extinciones por vuelta.

**Ejercicio 13.8 ★★.**

Se colocan $N$ polarizadores uno tras otro, cada uno girado $\pi/2N$ respecto del anterior, y el último a $90{}^{\circ}$ del primero. Transmisión de luz polarizada linealmente alineada con el primero para $N = 1, 2, 5, 10, 100$; límite $N \to \infty$ (úsese $\cos^{2N}(\pi/2N) \approx
1 - \pi^2/4N$). Coméntese: una polarización puede girarse $90{}^{\circ}$ sin pérdida — ¿con qué?

**Solución de Ejercicio 13.8.**

$\cos^{2N}(\pi/2N)$: $0$, $0.25$, $0.61$, $0.78$, $0.976$, $\to 1$. Un medio que se retuerce de forma continua (actividad óptica, una celda de cristal líquido) gira la polarización sin pérdida.

**Ejercicio 13.9 ★★.**

*Polarización parcial.* Un polarizador giratorio delante de un haz da una intensidad máxima $I_{\max}$ y una mínima $I_{\min}$. (a) Modélese el haz como [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states) $I_n$ más luz polarizada linealmente $I_p$: exprésense $I_{\max}$ e $I_{\min}$; el grado de polarización $p = I_p/(I_n + I_p) =
(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$. (b) Cielo azul a $90{}^{\circ}$ del Sol: $I_{\max}/I_{\min} = 5$: $p$. (c) Luz reflejada en un lago cerca del ángulo de Brewster, $p = 0.9$: ¿cuánto pueden eliminar unas gafas de sol polarizadas? (d) ¿Puede un polarizador solo distinguir la luz parcialmente polarizada linealmente de la parcialmente circular? ¿Qué hace falta?

**Solución de Ejercicio 13.9.**

(a) $I_{\max} = I_n/2 + I_p$, $I_{\min} = I_n/2$; $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} -
I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$. (b) $p = 4/6 = 0.67$. (c) El polarizador cruzado deja pasar $I_n/2 = 0.05I$: se elimina el $95\%$. (d) No — ambas dan una intensidad constante; hace falta una [lámina de cuarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates).

**Ejercicio 13.10 ★★★.**

*Dos haces cruzados.* Dos OPPA de igual amplitud y frecuencia, ambas polarizadas según $\vect e_y$, se propagan en el plano $xz$ formando ángulos $\pm\theta$ con $z$. (a) Escríbase el campo total y muéstrese que es una onda que viaja según $z$ cuya amplitud está modulada según $x$ como $\cos(kx\sin\theta)$. (b) Separación de los planos oscuros (franjas de interferencia); valores para $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, $\theta = 5{}^{\circ}$, y para $\theta = 90{}^{\circ}$ (contrapropagantes). (c) [Velocidad de fase](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) del patrón según $z$; compárese con $c$; ¿viaja algo más deprisa que la luz? (d) Calcúlese el [vector de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/12-la-energia-electromagnetica-y-el-vector-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) promediado en el tiempo y muéstrese que su componente $x$ se anula: la energía fluye según $z$ por los planos brillantes.

**Solución de Ejercicio 13.10.**

(a) Fases $\omega t - k(z\cos\theta \pm x\sin\theta)$: suma $2E_0\cos(kx\sin\theta)\cos(\omega t
- kz\cos\theta)\,\vect e_y$. (b) $\Delta x = \lambda/2\sin\theta$: $3.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $5{}^{\circ}$, y $\lambda/2 = 316\,\mathrm{nm}$ a $90{}^{\circ}$. (c) $v_\varphi = c/\cos\theta > c$: la fase de un patrón; la energía va según $z$ a $c\cos\theta$ (y cada onda a $c$). (d) $B_z = (\sin\theta/c)(E_1 - E_2)$, $E_y = E_1 + E_2$: $\langle\Pi_x\rangle \propto
\langle E_1^2 - E_2^2\rangle = 0$; $\Pi_z \propto \cos\theta(E_1 + E_2)^2$, máximo en los planos brillantes.

**Ejercicio 13.11 ★★★.**

*El píxel de cristal líquido.* Una celda nemática torcida entre polarizadores cruzados gira la polarización de la luz $90{}^{\circ}$ cuando no se aplica tensión (la alineación de las moléculas se retuerce a lo largo de la celda y la polarización la sigue — admitido), y nada en absoluto cuando unos pocos voltios la destuercen. (a) Transmisión en ambos estados: ¿cuál es el brillante? (b) Las celdas reales giran $90^\circ \pm 5^\circ$ a la longitud de onda de diseño: relación de contraste $I_{\text{claro}}/I_{\text{oscuro}}$ si el estado oscuro deja pasar luz por un error residual de $5{}^{\circ}$. (c) ¿Por qué una celda diseñada para $550\,\mathrm{nm}$ deja escapar algo de azul y de rojo en el estado oscuro (piénsese en el giro como una pila de muchos retardadores finos parecidos a [láminas de media onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates))? (d) Un píxel en color usa tres celdas así con filtros; ¿por qué se ve negra la pantalla a través de un polarizador con cierto ángulo, y qué indica ese ángulo?

**Solución de Ejercicio 13.11.**

(a) Sin tensión: girada $90{}^{\circ}$, pasa el polarizador cruzado: brillante; con tensión: oscuro. (b) Fuga $\sin^25^\circ = 7.6 \times 10^{-3}$: contraste $130$. (c) El giro funciona como una pila de retardadores cuyo $\delta \propto 1/\lambda$: exacto a $550\,\mathrm{nm}$, el giro se desvía en los extremos del espectro, que se cuelan — el estado oscuro se ve morado. (d) Cuando el polarizador exterior está cruzado con el polarizador de salida de la pantalla; ese ángulo es el eje de polarización de la pantalla.

**Ejercicio 13.12 ★★★.**

*Actividad óptica.* En una disolución de azúcar, las dos polarizaciones circulares viajan con índices ligeramente distintos $n_L$ y $n_R$. (a) Descompóngase una [polarización lineal](#def-b2-plane-waves-polarization-states) en componentes circulares y muéstrese que tras una longitud $\ell$ la polarización sigue siendo lineal pero girada un ángulo $\theta = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$. (b) Un tubo de $1\,\mathrm{dm}$ con una disolución de sacarosa de $0.10\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ gira la luz de sodio $6.65{}^{\circ}$: $n_L - n_R$. (c) Un sacarímetro mide $\theta$ con $0.01{}^{\circ}$: precisión sobre la concentración. (d) El mismo efecto lo produce en el vidrio un campo magnético según el haz (efecto Faraday, $\theta = VB\ell$ con $V \approx
4\,\mathrm{rad}\,\mathrm{T}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$): ¿por qué un rotador de Faraday, a diferencia de un tubo de azúcar, no cancela su giro cuando la luz se devuelve, y cómo sirve eso para hacer un aislador?

**Solución de Ejercicio 13.12.**

(a) $\vect e_x = \tfrac12[(\vect e_x + \iu\vect e_y) + (\vect e_x - \iu\vect e_y)]$; tras $\ell$ las dos componentes tienen fases $k_L\ell$ y $k_R\ell$, y se recomponen en luz lineal con el ángulo $(k_L - k_R)\ell/2 = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$. (b) $n_L -
n_R = \theta\lambda/\pi\ell = 0.116 \times 589 \times 10^{-9}/0.314 = 2.2 \times 10^{-7}\,$. (c) $0.01/6.65 \times 0.1 = 1.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$. (d) El giro de Faraday lo fija $\vect B$, no la dirección de propagación: en el viaje de vuelta se suma ($45{}^{\circ}$ $+$ $45{}^{\circ}$ $=$ $90{}^{\circ}$) y el polarizador de entrada bloquea la luz que regresa — un aislador.

![Unas gafas de sol polarizadas ante un lago: el reflejo, procedente de la superficie cerca del ángulo de Brewster y polarizado horizontalmente, lo corta el eje de transmisión vertical de las lentes, y se ve el fondo del lago.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/img-41876249925c.jpg)

*Unas gafas de sol polarizadas ante un lago: el reflejo, procedente de la superficie cerca del ángulo de Brewster y polarizado horizontalmente, lo corta el eje de transmisión vertical de las lentes, y se ve el fondo del lago.*

## 13.5 Problema: la onda, la pantalla y la vela

**Problema 13.1.**

Problema de fin de semana — un haz láser desmontado en sus campos, una pantalla que pinta con la polarización y una nave que navega sobre la luz

**Parte I — El haz.** Un láser de helio–neón emite $10\,\mathrm{mW}$ a $632.8\,\mathrm{nm}$ en un haz de $1.0\,\mathrm{mm}$ de diámetro, polarizado linealmente según $x$ y que viaja según $z$.

1. Frecuencia, número de onda y energía del fotón; fotones emitidos por segundo.
2. Intensidad; amplitudes $E_0$ y $B_0$ ; escríbanse $\vect E(z, t)$ y $\vect B(z, t)$ .
3. Densidad de energía (media) y energía contenida en $1\,\mathrm{m}$ de haz; ¿cuánto mide el haz emitido en $1\,\mathrm{ns}$ y cuántas longitudes de onda contiene?
4. [Vector de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/12-la-energia-electromagnetica-y-el-vector-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) : valor medio y su oscilación; cantidad de movimiento transportada por segundo; fuerza sobre un blanco negro y sobre un espejo.
5. Compárese $E_0$ con el campo que liga al electrón en un átomo de hidrógeno ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ) y $B_0$ con el campo terrestre ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ).
6. [Presión de radiación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/12-la-energia-electromagnetica-y-el-vector-de-poynting#prop-b2-poynting-vector-wave) sobre un absorbente de haz negro, en pascales.
7. Un electrón libre colocado en el haz: amplitud de su oscilación de velocidad en el campo eléctrico (despréciese primero la fuerza magnética); cociente entre la fuerza magnética y la eléctrica sobre él — ¿por qué es despreciable la fuerza magnética para la materia en la luz ordinaria?
8. Escríbanse los campos del mismo haz si estuviera polarizado circularmente; ¿qué cambia en la intensidad, en el [vector de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/12-la-energia-electromagnetica-y-el-vector-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) y en su dependencia temporal?
9. El haz atraviesa un polarizador cuyo eje forma $30{}^{\circ}$ con $x$ : potencia transmitida; luego un segundo cruzado con el primero: potencia; intercálese entre ambos un tercero a $45{}^{\circ}$ del primero: potencia.

**Parte II — La pantalla.** Una pantalla de cristal líquido: retroiluminación ([luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states)), un polarizador, la celda y un polarizador cruzado. Sin tensión la celda gira la polarización $90{}^{\circ}$; con tensión no hace nada.

10. Fracción de la intensidad de la retroiluminación transmitida en el estado brillante (con polarizadores perfectos); y en el oscuro.
11. Una tensión intermedia hace que la celda se comporte como un retardador de fase $\delta$ entre sus ejes, que están a $45{}^{\circ}$ de los polarizadores (sin giro): muéstrese que la transmisión vale $\sin^2(\delta/2)$ — la escala de grises.
12. Vista a través de un polarizador girado $90{}^{\circ}$ respecto del polarizador de salida de la pantalla, ¿qué se ve? ¿Y a $45{}^{\circ}$ ?
13. Una [lámina de cuarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) pegada a la pantalla a $45{}^{\circ}$ de su polarizador hace circular la salida: ¿ventaja para un espectador con gafas de sol polarizadas?
14. Unos polarizadores perfectos dejarían pasar la mitad de la retroiluminación en el estado brillante; las láminas reales transmiten el $85\%$ de lo ideal cada una, y los filtros de color de un píxel dejan pasar un tercio de la luz: fracción de la potencia de la retroiluminación que llega al espectador en blanco; nómbrense los dos puntos donde se pierde casi toda la luz.
15. Unas láminas cruzadas reales dejan escapar el $0.1\%$ de la luz: relación de contraste de la pantalla (brillante entre oscuro) en una sala a oscuras.
16. Los “polarizadores circulares” de los fotógrafos son un polarizador lineal seguido de una [lámina de cuarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) a $45{}^{\circ}$ : ¿qué recibe la cámara y por qué es eso mejor, para el divisor de haz sensible a la polarización de su enfoque automático, que la luz lineal?
17. ¿Por qué usan las gafas de cine en 3D [polarización circular](#def-b2-plane-waves-polarization-states) y no lineal? ¿Qué le ocurre a la diafonía entre los ojos si el espectador inclina la cabeza $20{}^{\circ}$ con gafas lineales (intensidad que se cuela en el ojo equivocado)?

**Parte III — La vela.** Una vela solar de área $S = 1000\,\mathrm{m}^{2}$ y masa total $m = 50\,\mathrm{kg}$, perfectamente reflectante, a $D = 1.0\,\mathrm{au} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ del Sol ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$; gravedad solar allí, $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

18. Fuerza de radiación cuando la vela mira al Sol; aceleración; cociente con la gravedad solar.
19. La vela se inclina un ángulo $\theta$ respecto de mirar al Sol: muéstrese que la fuerza es normal a la vela y proporcional a $\cos^2\theta$ (potencia interceptada $\times\cos\theta$ , cambio de cantidad de movimiento según la normal $\times\cos\theta$ ).
20. Para ir en espiral hacia fuera, la vela mantiene una componente de fuerza según su velocidad orbital: para $\theta = 35{}^{\circ}$ , aceleración tangencial; celeridad ganada por año; compárese con la celeridad orbital de la Tierra ( $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ).
21. ¿Por qué la misma vela, cerca de Mercurio ( $D = 0.39\,\mathrm{au}$ ), recibe $6.6$ veces la fuerza, y por qué no cambia el cociente con la gravedad?
22. La película de la vela son $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de plástico aluminizado: temperatura que alcanza al sol si absorbe el $10\%$ y radia por ambas caras como un cuerpo negro ( $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ ).
23. Tiempo necesario para ganar $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ mirando al Sol; ¿qué conseguiría una vela absorbente (negra) del mismo tamaño?
24. Compruébese la cantidad de movimiento de la luz con fotones: número de fotones que golpean la vela por segundo ( $2\,\mathrm{eV}$ de media) y cantidad de movimiento $hf/c$ de cada uno; recupérese la fuerza.
25. Resúmase: las tres magnitudes que transporta la onda (energía, cantidad de movimiento, polarización) y el dispositivo de este problema que explota cada una.

**Solución de Problema 13.1.**

**1.** $f = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $k = 9.9 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $hf = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} =
1.96\,\mathrm{eV}$; $3.2 \times 10^{16}$ fotones por segundo.

**2.** $I = 0.01/\pi(0.5 \times 10^{-3})^2 = 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $E_0 = 3.1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $B_0 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$; $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\vect e_x$, $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t
- kz)\vect e_y$.

**3.** $u = I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ por metro de haz; $30\,\mathrm{cm}$ y $4.7 \times 10^5$ longitudes de onda.

**4.** $\langle\Pi\rangle = I$ según $z$, oscilando como $\cos^2$ a $2f$; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ sobre negro y $6.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ sobre un espejo.

**5.** $E_0/5 \times 10^{11} = 6 \times 10^{-9}$; $B_0$ es una quinta parte del campo terrestre.

**6.** $I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$.

**7.** $v_0 = eE_0/m\omega = 0.18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $F_m/F_e = v_0B_0/E_0 = v_0/c = 6 \times
10^{-10}$: la fuerza magnética sobre cargas lentas es despreciable.

**8.** $\vect E = E_0[\cos(\omega t - kz)\vect e_x \pm \sin(\omega t - kz)\vect e_y]$ con $E_0 = 2.2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ (la misma potencia), $\vect B = \vect e_z\wedge\vect E/c$: la intensidad no cambia, pero $\Pi = \varepsilon_0cE_0^2$ es ahora *constante* en el tiempo — el flujo de energía deja de pulsar.

**9.** $10\cos^230^\circ = 7.5\,\mathrm{mW}$; $0$; $7.5 \times \cos^445^\circ = 1.9\,\mathrm{mW}$.

**10.** Brillante: $\tfrac12$; oscuro: $0$.

**11.** Tras el primer polarizador, componentes iguales sobre los ejes; tras el retardador, una fase $\delta$ entre ellas; la proyección sobre la dirección cruzada vale $\propto(1 - \eu^{\iu\delta})/2$: $I \propto \sin^2(\delta/2)$.

**12.** Negro; media intensidad.

**13.** La salida circular se ve igual de brillante a través de unas gafas de sol polarizadas sea cual sea la inclinación de la cabeza.

**14.** $\tfrac12 \times 0.85 \times 0.85 \times \tfrac13 = 12\%$; el primer polarizador (la mitad absorbida) y los filtros de color (dos tercios).

**15.** Brillante $0.36$, oscuro $\tfrac12 \times 10^{-3}$: contraste $\approx 700$.

**16.** Luz circular, sea cual sea el giro del filtro: el divisor sensible a la polarización recibe la misma potencia se gire como se gire el filtro.

**17.** La [polarización circular](#def-b2-plane-waves-polarization-states) conserva su helicidad cuando la cabeza se inclina; unas gafas lineales inclinadas $20{}^{\circ}$ dejan colarse $\sin^220^\circ = 12\%$ en el ojo equivocado.

**18.** $F = 2IS/c = 9.1\,\mathrm{mN}$; $a = 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; el $3\%$ de la gravedad solar.

**19.** Potencia interceptada $\propto\cos\theta$, cambio de cantidad de movimiento reflejada según la normal $2p\cos\theta$: $F = (2IS/c)\cos^2\theta$ según la normal.

**20.** $F = 9.1 \times \cos^235^\circ = 6.1\,\mathrm{mN}$, parte tangencial $F\sin35^\circ
= 3.5\,\mathrm{mN}$: $a_t = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ por año — el $7\%$ de la celeridad orbital.

**21.** $(1/0.39)^2 = 6.6$; la gravedad escala igual.

**22.** $0.1 \times 1360 = 2\sigma T^4$: $T = 190\,\mathrm{K}$ — el espejo se mantiene frío.

**23.** $1000/1.8 \times 10^{-4} = 5.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, dos meses; una vela negra recibe la mitad de la fuerza.

**24.** $1.36 \times 10^6/3.2 \times 10^{-19} = 4.3 \times 10^{21}\,$ fotones por segundo, cada uno con $hf/c = 1.1 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; al reflejarse: $2Np = 9.1\,\mathrm{mN}$.

**25.** Energía ($u$, $I$): el absorbente de haz y el fotodiodo. Cantidad de movimiento ($I/c$): la vela. Polarización (Malus, las láminas): la pantalla y sus polarizadores.