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title: "Reflexión y transmisión en las interfaces"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces
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# Capítulo 15 — Reflexión y transmisión en las interfaces

El ecografista extiende un gel entre la sonda y la piel: sin él, el sonido rebotaría en la película de aire y nunca entraría en el cuerpo. Un objetivo fotográfico lleva una capa de un cuarto de longitud de onda de espesor, y sus superficies dejan de reflejar. Una onda de radio encuentra la ionosfera y se vuelve; la luz encuentra un espejo de plata y se vuelve; un pulso llega al extremo de un cable y regresa invertido o derecho según lo que haya conectado allí. Toda onda, al encontrar un cambio de medio, se reparte en una parte reflejada y otra transmitida, y una sola idea decide el reparto: las *condiciones de continuidad* en la interfaz, escritas con las impedancias de los dos medios. Este capítulo la aplica al sonido, a la luz entre dos dieléctricos, a un [plasma](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#def-b2-waves-in-media-plasma), a un metal y a un cable, y saca de ella las leyes de la reflexión y de la refracción y el único ángulo con el que el vidrio no refleja nada.

![Un objetivo fotográfico con tratamiento múltiple: los tenues reflejos violeta y verde son lo que queda del cuatro por ciento que devolvería cada superficie de vidrio desnuda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/img-e0299dbc1764.jpg)

*Un objetivo fotográfico con tratamiento múltiple: los tenues reflejos violeta y verde son lo que queda del cuatro por ciento que devolvería cada superficie de vidrio desnuda.*

## 15.1 Incidencia normal: la regla de las impedancias

**Teorema 15.1 (Reflexión y transmisión con incidencia normal).**

Una onda plana viaja por el medio 1 hacia la interfaz plana $x = 0$ con el medio 2; cada medio se caracteriza por una impedancia $Z_i$ (el cociente de las dos magnitudes de campo continuas en la interfaz — presión y velocidad para el sonido, $E$ y $H = B/\mu_0$ para la luz, tensión e intensidad para una línea). La continuidad de ambas magnitudes en $x = 0$ da, para la magnitud “de tipo fuerza” (presión, $E$, $v$),

$$
r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} , \qquad t = \frac{2Z_2}{Z_2 + Z_1} ,
\qquad R = r^2 , \quad T = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1 + Z_2)^2} , \quad R + T = 1 .
$$

(Para la magnitud “de tipo flujo” — velocidad, $H$, intensidad — $r$ cambia de signo.) No se refleja nada cuando $Z_1 = Z_2$ (medios *adaptados*); casi todo cuando $Z_2 \gg Z_1$ ($r \to +1$) o $Z_2 \ll Z_1$ ($r \to -1$).

**Demostración.** Incidente $p_i = A\cos(\omega t - k_1x)$, reflejada $p_r = rA\cos(\omega t + k_1x)$, transmitida $p_t = tA\cos(\omega t - k_2x)$, de la misma frecuencia. Las magnitudes de flujo asociadas son $p/Z_1$, $-p_r/Z_1$ (una onda que va hacia atrás lleva $v = -p/Z$) y $p_t/Z_2$. Continuidad en $x = 0$: $1 + r = t$ y $(1 - r)/Z_1
= t/Z_2$; se resuelve. Energías: las intensidades valen $p^2/Z$, luego $R = r^2$ y $T = t^2Z_1/Z_2$. ∎

**Ejemplo 15.2 (El sonido en tres interfaces).**

Aire ($Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$) a agua ($1.5 \times 10^6$): $r = 0.9995$, $T = 1.1 \times 10^{-3}$ — se refleja el $99.9\%$; un bañista no oye casi nada del mundo de arriba, y la sonda de ecografía necesita su gel. Tejido ($1.6 \times 10^6$) a hueso ($7 \times 10^6$): $r = 0.63$, $T = 0.6$. Grasa ($1.38 \times
10^6$) a músculo ($1.70 \times 10^6$): $r = 0.10$, $R = 1\%$ — los ecos tenues con los que se forma una imagen. Una cuerda atada a una pared ($Z_2 \to \infty$): $r = +1$ para la fuerza y $-1$ para la velocidad, y el pulso vuelve invertido ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#ch-b2-waves-on-strings)).

**Proposición 15.3 (La luz con incidencia normal; capa antirreflejante).**

Para la luz entre dos medios transparentes de índices $n_1$, $n_2$ (la impedancia de un dieléctrico es $Z = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}/n$, inversamente proporcional a $n$), para el campo eléctrico

$$
r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} , \qquad R = \Bigl(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\Bigr)^2 :
$$

el $4\%$ en cada superficie aire–vidrio, el $2\%$ para el agua y el $17\%$ para el diamante. Una capa de índice $n = \sqrt{n_1n_2}$ y espesor $\lambda/4n$ entre los medios anula la reflexión en $\lambda$ (*[capa antirreflejante](#prop-b2-wave-interfaces-optics) de cuarto de onda*): las ondas reflejadas en sus dos caras tienen amplitudes iguales y fases opuestas. La misma capa con un índice alto, o una pila de [capas de cuarto de onda](#prop-b2-wave-interfaces-optics) alternadas, hace lo contrario y construye un espejo que refleja el $99.99\%$ — los espejos de los láseres.

**Demostración.** Continuidad de $\vect E$ y $\vect B$ tangenciales (sin [corriente superficial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary)): $E_i + E_r = E_t$ y $B_i - B_r = B_t$ con $B = nE/c$ en cada medio, es decir, la regla de las impedancias con $Z \propto 1/n$. Capa: las dos amplitudes reflejadas valen $(n_1 - n)/(n_1 + n)$ y $(n - n_2)/(n + n_2)$, iguales cuando $n^2 = n_1n_2$; una ida y vuelta en la capa añade la fase $2\times2\pi n(\lambda/4n)/\lambda = \pi$, así que se cancelan (las reflexiones múltiples, pequeñas, se incluyen en el tratamiento exacto de [Ejercicio 15.5](#exo-b2-wave-interfaces-5)). ∎

![A la izquierda, incidencia normal en una interfaz — las amplitudes se siguen de la continuidad de las dos magnitudes de campo, a través de las impedancias. A la derecha, la capa antirreflejante de cuarto de onda — las dos ondas reflejadas se cancelan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/fig-e6c30d12ba9e.svg)

*A la izquierda, incidencia normal en una interfaz — las amplitudes se siguen de la continuidad de las dos magnitudes de campo, a través de las impedancias. A la derecha, la [capa antirreflejante](#prop-b2-wave-interfaces-optics) de cuarto de onda — las dos ondas reflejadas se cancelan.*

## 15.2 Incidencia oblicua: las leyes de Descartes y el ángulo de Brewster

**Teorema 15.4 (Leyes de la reflexión y de la refracción).**

Una onda plana de vector de onda $\vect k_i$ encuentra la interfaz plana entre dos medios en los que las ondas viajan a $v_1$ y $v_2$. Las condiciones de continuidad deben cumplirse en todo punto de la interfaz y en todo instante: las ondas reflejada y transmitida han de tener la misma frecuencia y el mismo *vector de onda tangencial* que la incidente. De ahí que los tres vectores de onda sean coplanarios (el plano de incidencia), que el ángulo de reflexión sea igual al de incidencia, y que

$$
\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} \qquad (n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \text{ para la luz}) .
$$

Cuando $v_2 > v_1$ y $\sin\theta_1 > v_1/v_2$ no existe ningún $\theta_2$ real: *[reflexión total interna](#thm-b2-wave-interfaces-snell)*; el campo en el medio 2 es entonces una *[onda evanescente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex)*, $\propto\eu^{-x/\ell}\eu^{\iu(\omega t - k_ty)}$, que viaja a lo largo de la interfaz y decae al alejarse de ella en $\ell = \lambda_2/2\pi
\sqrt{\sin^2\theta_1(v_2/v_1)^2 - 1}$, una fracción de longitud de onda; no se lleva energía — reflexión total.

**Demostración.** Con $\vect k = (k_x, k_y, 0)$ y la interfaz $x = 0$, las fases $\omega t - k_yy$ de las tres ondas deben coincidir para todo $y$, $t$: mismo $\omega$, mismo $k_y = (\omega/v_1)\sin\theta_1 = (\omega/v_1)\sin\theta_r = (\omega/v_2)\sin
\theta_2$. Si $(\omega/v_2)^2 - k_y^2 < 0$, $k_{2x}$ es imaginario, $k_{2x} = -\iu/\ell$: evanescencia; su [vector de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/12-la-energia-electromagnetica-y-el-vector-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) según $x$ promedia cero. ∎

**Proposición 15.5 (Ángulo de Brewster; polarización por reflexión).**

Para la luz que incide sobre un dieléctrico, la amplitud reflejada depende de la polarización ([coeficientes de Fresnel](#prop-b2-wave-interfaces-brewster), admitidos en general): para la polarización *en* el plano de incidencia (p) se anula en el *[ángulo de Brewster](#prop-b2-wave-interfaces-brewster)*

$$
\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} ,
$$

para el cual los rayos reflejado y refractado son perpendiculares; la luz reflejada en $\theta_B$ queda entonces completamente polarizada perpendicular al plano de incidencia (s), y parcialmente polarizada en torno a él — el reflejo del agua y de las carreteras que eliminan las gafas de sol polarizadas. Para el vidrio ($n = 1.5$), $\theta_B = 56{}^{\circ}$, y para el agua, $53{}^{\circ}$.

**Demostración.** La onda reflejada la radian los dipolos del medio 2, puestos a oscilar por la onda refractada según su $\vect E$, que para la polarización p está en el plano de incidencia, perpendicular al rayo refractado. Un dipolo no radia según su propio eje ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/17-radiacion-dipolar-y-dispersion#ch-b2-dipole-radiation)); cuando la dirección reflejada es paralela a ese eje — es decir, perpendicular al rayo refractado, $\theta_1
+ \theta_2 = \pi/2$ — no se refleja nada. Entonces $\sin\theta_2 = \cos\theta_1$ y Descartes da $\tan\theta_1 = n_2/n_1$. La polarización s tiene su $\vect E$ perpendicular al plano de incidencia, nunca según el rayo reflejado: siempre se refleja en parte. ∎

![A la izquierda, el ajuste de fases a lo largo de la interfaz da las leyes de la reflexión y de la refracción. A la derecha, en el ángulo de Brewster los dipolos del segundo medio, impulsados según el campo refractado de polarización p, tendrían que radiar según su propio eje para alimentar el rayo reflejado — no pueden, y solo se refleja la polarización s.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/fig-afd335d25bf5.svg)

*A la izquierda, el ajuste de fases a lo largo de la interfaz da las leyes de la reflexión y de la refracción. A la derecha, en el [ángulo de Brewster](#prop-b2-wave-interfaces-brewster) los dipolos del segundo medio, impulsados según el campo refractado de polarización p, tendrían que radiar según su propio eje para alimentar el rayo reflejado — no pueden, y solo se refleja la polarización s.*

![A la izquierda, reflectancia de una superficie aire–vidrio (n = 1.5) para las dos polarizaciones — R_p se anula en el ángulo de Brewster y ambas suben a 1 con incidencia rasante. A la derecha, más allá del ángulo límite el campo transmitido es evanescente, pegado a la interfaz y muerto en menos de una longitud de onda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/fig-d4d0cf46b7d8.svg)

![A la izquierda, reflectancia de una superficie aire–vidrio (n = 1.5) para las dos polarizaciones — R_p se anula en el ángulo de Brewster y ambas suben a 1 con incidencia rasante. A la derecha, más allá del ángulo límite el campo transmitido es evanescente, pegado a la interfaz y muerto en menos de una longitud de onda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/fig-5cb9a689418f.svg)

*A la izquierda, reflectancia de una superficie aire–vidrio ($n = 1.5$) para las dos polarizaciones — $R_p$ se anula en el [ángulo de Brewster](#prop-b2-wave-interfaces-brewster) y ambas suben a $1$ con incidencia rasante. A la derecha, más allá del ángulo límite el campo transmitido es evanescente, pegado a la interfaz y muerto en menos de una longitud de onda.*

## 15.3 Plasmas, metales y el conductor perfecto

**Proposición 15.6 (Reflexión en un plasma y en un metal).**

(i) Una onda de $\omega < \omega_p$ con incidencia normal sobre un [plasma](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#def-b2-waves-in-media-plasma) se refleja totalmente: el “índice” $\underline n = -\iu\sqrt{\omega_p^2/\omega^2 - 1}$ es imaginario, $r = (1 - \underline n)/(1 + \underline n)$ tiene módulo $1$ y el campo penetra como la evanescente $\eu^{-\kappa x}$ de [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media). (ii) Un buen conductor tiene $\underline n = (1 - \iu)c/\omega\delta$, de módulo enorme: $r \approx
-1$ y la reflectancia vale $R \approx 1 - 2\omega\delta/c = 1 - \sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ (Hagen–Rubens): $0.99999$ para el cobre a $10\,\mathrm{GHz}$ y $0.99$ en el infrarrojo lejano. (iii) El *[conductor perfecto](#prop-b2-wave-interfaces-conductors)* ($\gamma \to \infty$, $\delta \to 0$): $r = -1$ exactamente para $\vect E$, el $\vect E$ tangencial total se anula en la superficie y las ondas incidente y reflejada forman la [onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes)

$$
\vect E = -2E_0\sin kx\sin\omega t\,\vect e_y , \qquad
\vect B = 2\frac{E_0}c\cos kx\cos\omega t\,\vect e_z ,
$$

con nodos de $\vect E$ (vientres de $\vect B$) en $x = 0, -\lambda/2, \dots$; el campo lo lleva una *[corriente superficial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary)* $\vect j_s = \vect n\wedge\vect B/
\mu_0 = (2E_0/\mu_0c)\cos\omega t\,\vect e_y$, y la fuerza de Laplace sobre ella es la [presión de radiación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/12-la-energia-electromagnetica-y-el-vector-de-poynting#prop-b2-poynting-vector-wave) $2I/c$.

**Demostración.** (i) y (ii): la regla de las impedancias con $Z \propto 1/\underline n$ y los [índices complejos](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#prop-b2-waves-in-media-lorentz) de [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media); para (ii), $r = (1 - \underline n)/(1 +
\underline n) \approx -1 + 2/\underline n$ y $R = |r|^2 \approx 1 - 4\operatorname{Re}(1/
\underline n) = 1 - 2\omega\delta/c$. (iii) Con $\vect E = \vect 0$ dentro, la relación de paso $\vect E_{2t} = \vect E_{1t}$ da $E_{\text{tot}}(0) = 0$, luego $r =
-1$; súmense la incidente $E_0\cos(\omega t - kx)$ y la reflejada $-E_0\cos(\omega t + kx)$; $\vect B$ sale de Faraday; el salto de $\vect B$ en la superficie vale $\mu_0\vect j_s
\wedge\vect n$; la fuerza media por unidad de área $\tfrac12\langle j_sB\rangle$ sobre la lámina es $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/12-la-energia-electromagnetica-y-el-vector-de-poynting#ch-b2-poynting-vector)). ∎

![Reflexión en un conductor perfecto: el campo eléctrico tiene un nodo en la superficie y los nodos de la onda estacionaria se repiten cada media longitud de onda; el campo magnético tiene allí un vientre, sostenido por la corriente superficial.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/fig-a5eb2e30870b.svg)

*Reflexión en un [conductor perfecto](#prop-b2-wave-interfaces-conductors): el campo eléctrico tiene un nodo en la superficie y los nodos de la [onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) se repiten cada media longitud de onda; el campo magnético tiene allí un vientre, sostenido por la [corriente superficial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary).*

**Ejemplo 15.7 (Espejos, radar, hornos microondas).**

Un espejo metálico refleja por este mecanismo: el campo que llega impulsa una corriente en una piel de unos pocos nanómetros ($23\,\mathrm{nm}$ para la plata a $500\,\mathrm{nm}$), que vuelve a radiar la onda reflejada; el $5\%$ que falta calienta el metal — por eso se refrigera el espejo de un láser de alta potencia, y por eso la pared del horno de [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media) se lleva el $6\%$ de la potencia. Un radar ve un avión por la onda que vuelve a radiar su piel; un avión furtivo sustituye el metal plano por absorbentes y por formas que reflejan lejos del radar. Los nodos de la [onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes), separados $\lambda/2 =
6\,\mathrm{cm}$ en un horno, son los puntos fríos.

## 15.4 El extremo de un cable

**Proposición 15.8 (Terminación de una línea de transmisión).**

Una línea de [impedancia característica](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) $Z_c$ termina en $x = \ell$ en una carga de impedancia $\underline Z_L$: la onda de tensión se refleja con $\underline r =
(\underline Z_L - Z_c)/(\underline Z_L + Z_c)$ — nada para una carga *adaptada* $Z_L = Z_c$, $r = -1$ para un cortocircuito, $r = +1$ para un extremo abierto. Una línea desadaptada lleva una [onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) parcial cuyo cociente entre la tensión máxima y la mínima es la *[relación de onda estacionaria](#prop-b2-wave-interfaces-coax)* $(1 + |r|)/(1 - |r|)$. Enviar un pulso corto y cronometrar el eco localiza una avería ([reflectometría en el dominio del tiempo](#prop-b2-wave-interfaces-coax)) y su naturaleza se lee en el signo del eco.

**Demostración.** En la carga, $v = Z_Li$ con $v = v_i + v_r$ e $i = (v_i - v_r)/Z_c$ ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets)); la regla de las impedancias una vez más. [Relación de onda estacionaria](#prop-b2-wave-interfaces-coax): $|v|$ varía entre $|v_i|(1 + |r|)$ y $|v_i|(1 -
|r|)$ a lo largo de la línea. ∎

**Método 15.9 (Cualquier interfaz).**

(1) Identifíquense las dos magnitudes continuas al atravesar la interfaz y la impedancia de cada medio como su cociente en una onda progresiva. (2) Escríbase incidente $+$ reflejada de un lado y transmitida del otro, con frecuencias iguales y vectores de onda tangenciales iguales (Descartes). (3) Impóngase la continuidad: dos ecuaciones, dos incógnitas $r$, $t$. (4) Energía: $R = |r|^2$, $T = 1 - R$ para medios sin pérdidas. (5) Compruébense los límites: impedancias iguales (sin reflexión), impedancia infinita o nula ($|r| = 1$, con el signo de $r$) y, para las capas, las fases de las reflexiones sucesivas.

## 15.5 Ejercicios

**Ejercicio 15.1 ★.**

[Impedancias acústicas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/7-ondas-sonoras-en-los-fluidos#prop-b2-sound-waves-plane): aire $410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, agua $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, acero $4.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, tejido blando $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, hueso $7 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. [Coeficientes de reflexión](#thm-b2-wave-interfaces-normal) (en presión) y fracciones de energía reflejada para aire–agua, agua–acero, tejido–hueso y tejido–aire. ¿Por qué no oye un pez lo que se le dice, y por qué oye tan bien un buceador el motor de la barca?

**Solución de Ejercicio 15.1.**

$r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$, $R = r^2$: aire–agua $0.9995$, $99.9\%$; agua–acero $0.93$, $86\%$; tejido–hueso $0.63$, $40\%$; tejido–aire $-0.9995$, $99.9\%$. La voz, en el aire, la refleja la superficie; el motor sacude el casco, que es de acero en contacto con el agua y pasa el $14\%$ de su vibración directamente adentro.

**Ejercicio 15.2 ★.**

Reflectancia con incidencia normal de aire–agua ($n = 1.33$), aire–vidrio ($1.52$), aire–diamante ($2.42$) y vidrio–agua. Un objetivo fotográfico con $10$ superficies aire–vidrio sin tratar: fracción de la luz transmitida y fracción que anda rebotando como imágenes fantasma; y con tratamientos que dejan el $0.5\%$ por superficie.

**Solución de Ejercicio 15.2.**

$R = ((n - 1)/(n + 1))^2$: $2.0\%$, $4.3\%$, $17\%$; vidrio–agua $0.44\%$. $0.957^{10} = 0.64$: un tercio de la luz perdida, buena parte como fantasmas; con tratamiento: $0.995^{10} = 0.95$.

**Ejercicio 15.3 ★.**

[Ángulo de Brewster](#prop-b2-wave-interfaces-brewster) para aire–vidrio ($1.52$), aire–agua y agua–vidrio (luz que pasa del agua al vidrio). Polarización de la luz reflejada en ese ángulo; ¿está la luz transmitida totalmente polarizada? ¿Con qué ángulo debe mirar un fotógrafo el escaparate de una tienda para matar sus reflejos, y con qué orientación del polarizador?

**Solución de Ejercicio 15.3.**

$\tan\theta_B = n_2/n_1$: $56.7{}^{\circ}$, $53.1{}^{\circ}$, $48.8{}^{\circ}$. La luz reflejada está polarizada perpendicular al plano de incidencia; la luz transmitida solo está polarizada en parte (la componente s solo se refleja en parte). Mírese el escaparate a $57{}^{\circ}$ de su normal con el eje del polarizador en el plano de incidencia (horizontal para un escaparate vertical visto de lado).

**Ejercicio 15.4 ★.**

Ángulos límite de reflexión total para vidrio–aire, agua–aire y diamante–aire; un prisma de vidrio de $45{}^{\circ}$ como espejo; profundidad de la [onda evanescente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) para vidrio–aire con incidencia de $45{}^{\circ}$ y $60{}^{\circ}$ ($\lambda = 600\,\mathrm{nm}$); ¿por qué brilla tanto un diamante?

**Solución de Ejercicio 15.4.**

$\arcsin(1/n)$: $41.1{}^{\circ}$, $48.8{}^{\circ}$, $24.4{}^{\circ}$; $45^\circ > 41^\circ$: el prisma refleja totalmente. $\ell = \lambda/2\pi\sqrt{n^2\sin^2\theta - 1}$: $270\,\mathrm{nm}$ a $45{}^{\circ}$ y $115\,\mathrm{nm}$ a $60{}^{\circ}$. El pequeño ángulo límite del diamante atrapa la luz que entra en él hasta que sale por las facetas superiores — el brillo.

**Ejercicio 15.5 ★★.**

*[Capa antirreflejante](#prop-b2-wave-interfaces-optics).* Un vidrio de $n_2 = 1.52$ se recubre con fluoruro de magnesio, $n = 1.38$. (a) Índice ideal de una sola capa; espesor para $550\,\mathrm{nm}$. (b) Reflectancia residual con MgF$_2$ a $550\,\mathrm{nm}$: la amplitud vale $r = (r_1 + r_2\eu^{-\iu\varphi})/(1 + r_1r_2
\eu^{-\iu\varphi})$ con $r_1 = (n_1 - n)/(n_1 + n)$, $r_2 = (n - n_2)/(n + n_2)$ y $\varphi = \pi$ en la longitud de onda de diseño (reflexiones múltiples incluidas): calcúlese $R$. (c) $R$ a $400\,\mathrm{nm}$ y $700\,\mathrm{nm}$ (con la misma capa): ¿de qué color es el reflejo residual de un objetivo tratado? (d) ¿Por qué usan varias capas los objetivos de alta calidad?

**Solución de Ejercicio 15.5.**

(a) $\sqrt{1.52} = 1.23$; $e = 550/4 \times 1.38 = 100\,\mathrm{nm}$. (b) $r_1 = -0.160$, $r_2 =
-0.048$, $\varphi = \pi$: $r = (r_1 - r_2)/(1 - r_1r_2) = -0.112$, $R = 1.3\%$ (frente al $4.3\%$). (c) A $400\,\mathrm{nm}$: $\varphi = 1.375\pi$, $R \approx 2.2\%$; a $700\,\mathrm{nm}$: $\varphi =
0.79\pi$, $R \approx 1.6\%$: el azul y el rojo se reflejan más que el verde — el brillo violáceo de un objetivo tratado. (d) Varias capas aplanan $R$ a lo largo del visible.

**Ejercicio 15.6 ★★.**

*La sonda de ecografía.* La cerámica del transductor tiene $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, el tejido $Z_2 = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f = 5\,\mathrm{MHz}$. (a) Energía transmitida directamente; el resto rebota dentro de la cerámica — ¿qué le hace eso a la duración del pulso? (b) Impedancia y espesor de una capa adaptadora de cuarto de onda (celeridad del sonido en la capa, $3000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). (c) Con una película de aire de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ delante de la sonda: energía transmitida (dos interfaces, sin resonancia) — de ahí el gel. (d) El gel tiene $Z \approx Z_2$: ¿qué fracción pasa ahora la interfaz gel–piel?

**Solución de Ejercicio 15.6.**

(a) $T = 4 \times 30 \times 1.6/31.6^2 = 19\%$; el resto reverbera y el pulso resuena. (b) $Z = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $e = v/4f = 0.15\,\mathrm{mm}$. (c) $T_1 = 4 \times 30 \times 10^6 \times 410/(30 \times 10^6)^2 = 5.5 \times 10^{-5}$, $T_2 = 4 \times 1.6 \times
10^6 \times 410/(1.6 \times 10^6)^2 = 1.0 \times 10^{-3}$: $5.6 \times 10^{-8}$. (d) $4 \times 1.5 \times 1.6/
3.1^2 = 0.999$.

**Ejercicio 15.7 ★★.**

*Espejo de [plasma](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#def-b2-waves-in-media-plasma).* Una onda de $3\,\mathrm{MHz}$ encuentra la ionosfera ($n_e =
1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$) con incidencia normal. (a) $\underline n$; $r$; compruébese que $|r| = 1$ y dese la fase de $r$. (b) [Profundidad de penetración](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex). (c) [Onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) por debajo de la capa: posición del primer nodo de $\vect E$. (d) La onda llega de hecho oblicuamente a una capa cuya densidad crece con la altura: explíquese cualitativamente por qué se curva de vuelta antes de alcanzar el nivel en que $\omega = \omega_p$ (úsese Descartes con un índice decreciente), y por qué una onda de frecuencia más alta escapa.

**Solución de Ejercicio 15.7.**

(a) $\omega_p/\omega = 3$: $\underline n = -\iu\sqrt8 = -2.83\iu$; $r = (1 + 2.83\iu)/(1 - 2.83
\iu)$, $|r| = 1$, fase $2\arctan2.83 = 141{}^{\circ}$. (b) $c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}
= 5.6\,\mathrm{m}$. (c) $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$: primer nodo en $kx = -(\pi + \varphi)/2$, $x \approx -45\,\mathrm{m}$ por debajo de la capa. (d) El índice cae con la altura, así que Descartes curva el rayo alejándolo de la vertical; se vuelve donde $n(z) = \sin\theta_0$, es decir, $\omega_p^2 = \omega^2\cos^2\theta_0$, por debajo del nivel $\omega = \omega_p$; una frecuencia cuyo $\omega\cos\theta_0$ supera el $\omega_p$ máximo de la capa escapa.

**Ejercicio 15.8 ★★.**

*Espejos metálicos.* Cobre ($\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$): reflectancia $1 -
\sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ a $10\,\mathrm{GHz}$, a $30\,\mathrm{THz}$ (láser de CO$_2$) y, formalmente, a $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — ¿por qué falla ahí la fórmula (compárese $\omega\tau$)? Potencia absorbida de un haz de láser de CO$_2$ de $1\,\mathrm{kW}$ sobre un espejo de cobre; por qué esos espejos se refrigeran con agua.

**Solución de Ejercicio 15.8.**

$\sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$: $2.7 \times 10^{-4}$ ($R = 0.9997$), $1.5 \times 10^{-2}$ ($0.985$), $0.06$ ($0.94$) — pero a $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ $\omega\tau = 80$: el cobre es un [plasma](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#def-b2-waves-in-media-plasma), no un conductor óhmico, y refleja alrededor del $60\%$, con color. $15\,\mathrm{W}$ absorbidos del haz de CO$_2$: unos cientos de kelvin por minuto en un espejo pequeño, de ahí el agua.

**Ejercicio 15.9 ★★.**

Una línea de $50\,\Omega$ se termina con $75$, $25$, $0$, $\infty$ y $50\,\Omega$: [coeficiente de reflexión](#thm-b2-wave-interfaces-normal), [relación de onda estacionaria](#prop-b2-wave-interfaces-coax) y fracción de la potencia reflejada. Un transmisor de $100\,\mathrm{W}$ alimenta una antena de $75\,\Omega$ a través de un cable de $50\,\Omega$: potencia que llega a la antena (en el primer paso) y a dónde va el resto. Un eco vuelve al cabo de $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ ($c_{\text{línea}}
= 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$), derecho: ¿dónde está la avería y de qué tipo es?

**Solución de Ejercicio 15.9.**

$r = 0.2$, $-1/3$, $-1$, $+1$, $0$; ROE $1.5$, $2$, $\infty$, $\infty$, $1$; reflejado $4\%$, $11\%$, $100\%$, $100\%$, $0$. $96\,\mathrm{W}$ llegan a la antena y $4\,\mathrm{W}$ vuelven al transmisor (y se vuelven a reflejar en parte). $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$: $120\,\mathrm{m}$; eco derecho: un circuito abierto — un cable cortado.

**Ejercicio 15.10 ★★★.**

*Fresnel para la polarización s.* Una onda con $\vect E$ perpendicular al plano de incidencia encuentra la interfaz $n_1 \to n_2$ con $\theta_1$. (a) Escríbanse los tres campos $\vect E$ y las componentes tangenciales de $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$. (b) Impóngase la continuidad de $\vect E$ y $\vect B$ tangenciales y dedúzcase $r_s = \dfrac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2}
{n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2}$. (c) Compruébense el límite de incidencia normal y el límite rasante. (d) Para el vidrio a $45{}^{\circ}$: $R_s$; compárese con $R_p
= \bigl(\frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_1\cos\theta_2}\bigr)^2$ (admitido) y con el $4\%$ de incidencia normal.

**Solución de Ejercicio 15.10.**

(a) $\vect E = E\vect e_z$; $\vect k\wedge\vect e_z = (k_y, -k_x, 0)$, luego la componente tangencial $B_y = -(n/c)\cos\theta\,E$ para las ondas incidente y transmitida y $+(n_1/c)\cos\theta_1E_r$ para la reflejada. (b) $1 + r = t$ y $n_1\cos\theta_1
(1 - r) = n_2\cos\theta_2t$: el $r_s$ enunciado. (c) $\theta = 0$: $(n_1 - n_2)/(n_1 +
n_2)$; $\theta_1 \to 90^\circ$: $r_s \to -1$. (d) $\cos\theta_2 = 0.882$: $r_s = -0.30$, $R_s =
9.2\%$; $R_p = 0.85\%$; frente al $4.3\%$ con incidencia normal.

**Ejercicio 15.11 ★★★.**

*Reflexión total frustrada.* La luz dentro de un vidrio ($n = 1.5$) se refleja totalmente en una cara vidrio–aire a $45{}^{\circ}$; se acerca una segunda superficie de vidrio a una distancia $d$ por el aire. (a) Longitud de decaimiento evanescente $\ell$ para $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$. (b) Admitiendo que la intensidad transmitida a través del hueco vale aproximadamente $\eu^{-2d/\ell}$, hállese $d$ para el $50\%$ y para el $1\%$ de transmisión. (c) ¿Qué le hace a la reflexión la yema de un dedo apoyada en el vidrio (lectores de huellas)? (d) ¿Por qué es este el análogo óptico del efecto túnel de [Capítulo 31](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/31-pozos-de-potencial-barreras-y-efecto-tunel#ch-b2-potential-wells-tunneling)?

**Solución de Ejercicio 15.11.**

(a) $270\,\mathrm{nm}$. (b) $d = 0.35\ell = 95\,\mathrm{nm}$; $2.3\ell = 620\,\mathrm{nm}$. (c) Las crestas tocan el vidrio y dejan salir la luz hacia la piel: crestas oscuras y valles claros en el detector. (d) La [onda evanescente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) es la función de onda que decae exponencialmente en la región prohibida; un segundo medio dentro de la longitud de decaimiento la recoge — efecto túnel óptico.

**Ejercicio 15.12 ★★★.**

*Dos espejos.* Dos [conductores perfectos](#prop-b2-wave-interfaces-conductors) paralelos en $x = 0$ y $x =
L$ encierran una [onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes). (a) Muéstrese que solo es posible $L = m\lambda/2$: los modos de la cavidad, $f_m = mc/2L$. (b) Para $L = 15\,\mathrm{cm}$, los tres primeros modos; ¿cuál está cerca de $2.45\,\mathrm{GHz}$? (c) [Corrientes superficiales](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) en los dos espejos y fuerza sobre cada uno (¿hacia dentro o hacia fuera?), para una amplitud de campo $E_0 = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ dentro. (d) Los espejos son ahora de cobre: usando la resistencia superficial $R_s = 1/\gamma\delta$ de [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media), la potencia perdida por unidad de área a $2.45\,\mathrm{GHz}$ con $H_0 = E_0/\mu_0c$ (el vientre magnético), y el tiempo que tarda en decaer la energía almacenada ($\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ por unidad de volumen en promedio, sobre la longitud $L$) — el factor de calidad $Q = 2\pi f\,\times$ energía almacenada / potencia perdida.

**Solución de Ejercicio 15.12.**

(a) Nodos de $\vect E$ en ambos espejos: $\sin kL = 0$, $L = m\lambda/2$, $f_m = mc/2L$. (b) $1$, $2$, $3\,\mathrm{GHz}$: ninguno a $2.45\,\mathrm{GHz}$ — los modos tridimensionales de un horno real son mucho más densos. (c) $j_s = H_0 = E_0/\mu_0c = 53\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ en cada uno, y la presión $\mu_0j_s^2/2 = 1.8\,\mathrm{mPa}$ separa los espejos. (d) $\delta = 1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$, $R_s = 12.5\,\mathrm{m}\Omega$; $\tfrac12R_sH_0^2 =
18\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ por espejo; energía almacenada media $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2 \times L = 1.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$; $Q = 2\pi f \times 1.3 \times 10^{-7}/35 \approx 6 \times 10^4$.

## 15.6 Problema: tratamientos, gel y el absorbente de radar

**Problema 15.1.**

Problema de fin de semana — cómo hacer desaparecer las interfaces: el objetivo tratado, el transductor adaptado, la pantalla que absorbe el radar y el espejo que no hay manera de borrar

**Parte I — El objetivo tratado.** Un zoom tiene $16$ superficies aire–vidrio de índice $1.52$; luz a $550\,\mathrm{nm}$.

1. Reflectancia de una superficie sin tratar; transmisión de todo el objetivo; fracción de la luz que vaga como reflejos parásitos.
2. Capa única ideal: índice y espesor; ¿por qué no hay ningún sólido común de ese índice, y cuál es la reflectancia residual con MgF $_2$ ( $1.38$ )?
3. Con $16$ superficies al $1.3\%$ cada una: transmisión; al $0.3\%$ (multicapa): transmisión. ¿Por qué dan los objetivos antiguos imágenes “planas” de bajo contraste?
4. El tratamiento está diseñado para $550\,\mathrm{nm}$ : muéstrese que a $440\,\mathrm{nm}$ la fase $\varphi$ de la ida y vuelta vale $1.25\pi$ y estímese la reflectancia allí (fórmula de dos reflexiones, $R  \approx r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2\cos\varphi$ , con $r_1 = -0.16$ , $r_2 =  -0.05$ ). ¿De qué color es el reflejo?
5. Un espejo dieléctrico apila [capas de cuarto de onda](#prop-b2-wave-interfaces-optics) de $1.38$ y $2.35$ : las amplitudes reflejadas por las interfaces sucesivas se suman ahora en fase; reflexión de un par (dos interfaces) y por qué $20$ pares llegan al $99.9\%$ .
6. En el objetivo tratado la onda reflejada queda “cancelada”: ¿a dónde ha ido su energía?
7. Un espejo así refleja una banda de longitudes de onda y transmite el resto: ¿por qué, y de qué color se ve por transmisión si refleja el verde?

**Parte II — La sonda y el gel.** Cerámica $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, capa adaptadora, gel, piel $Z =
1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f = 5\,\mathrm{MHz}$.

8. Transmisión directa cerámica–tejido en energía; y con la [capa de cuarto de onda](#prop-b2-wave-interfaces-optics) de impedancia ideal (valor) a $f$ .
9. La capa es de cuarto de onda a $5\,\mathrm{MHz}$ : transmisión a $3\,\mathrm{MHz}$ y $7\,\mathrm{MHz}$ (úsese la estimación de dos reflexiones con la fase real de ida y vuelta): ¿qué le hace esto al ancho de banda de la sonda, y por qué está en conflicto con él un pulso corto (necesario para la resolución en profundidad)?
10. Una película de aire de $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ entre la sonda y la piel: transmisión en amplitud a través de las dos interfaces (multiplíquense las $t$ , despreciando la resonancia); energía transmitida; en dB.
11. Lo mismo con gel ( $Z = 1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ).
12. La reverberación propia de la cerámica: el pulso rebota dentro de la cerámica con $r \approx 0.9$ por reflexión en la cara del tejido (y $\approx 1$ en la trasera); número de idas y vueltas para que la amplitud caiga al $1\%$ , y por qué se respalda la cerámica con un absorbente.
13. Eco de una superficie de hueso de $1\,\mathrm{mm}$ a $5\,\mathrm{cm}$ de profundidad: fracción de energía que vuelve a la sonda (reflexión en el hueso, dos pasos de una [atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) de $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}/\mathrm{MHz}$ ); por qué proyecta el hueso una sombra acústica.

**Parte III — El absorbente de radar.** Un radar a $10\,\mathrm{GHz}$ ilumina una placa metálica. Para ocultarla, se coloca una fina lámina resistiva de resistencia superficial $R_s$ ($\Omega$ por cuadro) a una distancia $d$ delante de la placa, con aire entre ambas. La impedancia del vacío vale $Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 377\,\Omega$.

14. Reflectancia de la placa metálica desnuda ( [conductor perfecto](#prop-b2-wave-interfaces-conductors) ) y fase de $r$ .
15. Trátese el hueco de aire como una [línea de transmisión](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) de impedancia $Z_0$ cortocircuitada por la placa: muéstrese que la impedancia vista en la lámina, mirando hacia la placa, vale $\underline Z_{\text{in}} = \iu Z_0  \tan(2\pi d/\lambda)$ (escríbase la [onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) $v = v_i(\eu^{-\iu kx} -  \eu^{\iu kx})$ desde el cortocircuito y tómese $v/i$ en $x = -d$ ); para $d =  \lambda/4$ es infinita (un circuito abierto).
16. La lámina de resistencia $R_s$ en paralelo con ese circuito abierto presenta $R_s$ a la onda que llega: [coeficiente de reflexión](#thm-b2-wave-interfaces-normal) $(R_s - Z_0)/(R_s + Z_0)$ ; conclúyase que una lámina de $377\,\Omega$ por cuadro a $\lambda/4$ no refleja nada (la pantalla de Salisbury). Valor de $d$ a $10\,\mathrm{GHz}$ .
17. ¿A dónde va la energía? Compruébese con la potencia disipada en la lámina, $|v|^2/2R_s$ por unidad de área, frente a la intensidad incidente.
18. A $8\,\mathrm{GHz}$ y $12\,\mathrm{GHz}$ con la misma pantalla: $\underline Z_{\text{in}}$ , la impedancia total $R_s \parallel \underline Z_{\text{in}}$ y la reflectancia; ancho de banda del truco.
19. El radar ilumina ahora la pantalla a $30{}^{\circ}$ de la normal: ¿qué cambia en la fase de la ida y vuelta por el hueco, y qué le hace eso a la adaptación?
20. ¿Por qué usan los recubrimientos furtivos reales varias capas con pérdidas y superficies conformadas en vez de una sola pantalla de Salisbury?

**Parte IV — El espejo que se queda.**

21. La plata a $500\,\mathrm{nm}$ se comporta como un [plasma](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#def-b2-waves-in-media-plasma) ( $\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ): $\underline n$ , $r$ (módulo y fase), [profundidad de penetración](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) . ¿Por qué ninguna [capa de cuarto de onda](#prop-b2-wave-interfaces-optics) puede hacer que un metal deje de reflejar?
22. Un láser verde de $1\,\mathrm{kW}$ sobre un espejo de plata ( $R = 0.97$ ): potencia absorbida y ritmo de subida de temperatura de un espejo de $10\,\mathrm{g}$ ( $c = 235\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) si nada lo refrigera.
23. [Onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) delante de la plata: separación de los nodos de $\vect E$ y posición del primero (úsese la fase de $r$ ); ¿qué recibe un grano de polvo posado en un nodo?
24. El haz de la pregunta 22 tiene $1\,\mathrm{cm}^{2}$ : intensidad, amplitud del campo y [densidad de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/10-cargas-corrientes-y-conduccion#def-b2-charges-currents-conduction-densities) superficial que debe llevar el espejo (estimación de [conductor perfecto](#prop-b2-wave-interfaces-conductors) $j_s = 2E_0/\mu_0c$ ).
25. Compárense los tres “espejos” de este problema — el metal, el [plasma](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#def-b2-waves-in-media-plasma) y la pila dieléctrica — por el mecanismo que devuelve la onda, la fase de $r$ y lo que limita su reflectancia.

**Solución de Problema 15.1.**

**1.** $R = 4.3\%$; $0.957^{16} = 0.50$; la mitad de la luz se pierde por ahí.

**2.** $n = 1.23$, $e = 112\,\mathrm{nm}$; ningún sólido duradero tiene un índice tan bajo (el MgF$_2$, $1.38$, es el menor): residual $1.3\%$.

**3.** $0.987^{16} = 0.81$; $0.997^{16} = 0.95$. Los reflejos parásitos velan la imagen: luz difusa y bajo contraste.

**4.** $\varphi = \pi \times 550/440 = 1.25\pi$: $R \approx 0.0256 + 0.0025 + 2 \times 0.008 \times
\cos1.25\pi = 1.7\%$ — más que a $550\,\mathrm{nm}$, como en el extremo rojo: un reflejo magenta.

**5.** Cada interfaz refleja $|r| = 0.97/3.73 = 0.26$; el espaciado de cuarto de onda pone en fase las reflexiones sucesivas, de modo que las amplitudes se suman en vez de cancelarse; la reflectancia de la pila vale $1 - 4(n_L/n_H)^{2N}
\approx 1 - 10^{-9}$ para $N = 20$.

**6.** La condición de fase solo se cumple cerca de la longitud de onda de diseño (una banda de un $\pm15\%$); el resto pasa: un espejo verde se ve magenta por transmisión.

**7.** A la onda transmitida: la interferencia redistribuye, $R + T = 1$.

**8.** $19\%$; con $Z_m = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$: $100\%$ a $5\,\mathrm{MHz}$.

**9.** $r_1 = 0.63$, $r_2 = 0.62$; a $3\,\mathrm{MHz}$ la fase de ida y vuelta vale $0.6\pi$, y a $7\,\mathrm{MHz}$, $1.4\pi$: $R \approx 0.39 + 0.39 - 0.24 = 0.54$, $T \approx 0.46$ en ambos casos: la adaptación solo vale en una banda en torno a $5\,\mathrm{MHz}$, mientras que un pulso corto necesita una banda ancha — un compromiso.

**10.** $t_1 = 2 \times 410/30 \times 10^6 = 2.7 \times 10^{-5}$, $t_2 = 2.0$: $t = 5.5 \times 10^{-5}$, $T = t^2Z_1/Z_3 = 5.6 \times 10^{-8}$: $-72\,\mathrm{dB}$.

**11.** $t = 0.095 \times 1.03 = 0.098$, $T = 0.098^2 \times 30/1.6 = 0.18$: el gel se limita a quitar el aire.

**12.** $0.9^N = 0.01$: $N = 44$ idas y vueltas — una cola larga; el respaldo absorbe la onda hacia atrás y la mata.

**13.** $R = 0.40$ en el hueso; $2 \times 5 \times 0.5 \times 5 = 25\,\mathrm{dB}$ de [atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex): $0.40 \times 3.2 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{-3}$ ($-29\,\mathrm{dB}$); el hueso absorbe lo que no refleja: no vuelve nada de detrás de él.

**14.** $R = 1$, $r = -1$.

**15.** Cortocircuito en $x = 0$: $v = -2\iu v_i\sin kx$, $i = (2v_i/Z_0)\cos kx$; en $x = -d$: $v/i = \iu Z_0\tan kd$; infinita para $d = \lambda/4$.

**16.** $R_s \parallel \infty = R_s$: $r = (R_s - Z_0)/(R_s + Z_0) = 0$ para $377\,\Omega$; $d = 7.5\,\mathrm{mm}$.

**17.** La lámina ve el campo incidente completo: $|v|^2/2R_s =
E_0^2/2Z_0$, la intensidad incidente — todo absorbido.

**18.** A $8\,\mathrm{GHz}$: $kd = 72^\circ$, $Z_{\text{in}} = \iu1160\,\Omega$, $R_s \parallel
Z_{\text{in}} = (340 + 111\iu)\,\Omega$, $R = |r|^2 = 2.6\%$ ($-16\,\mathrm{dB}$); a $12\,\mathrm{GHz}$: $kd = 108^\circ$, el mismo módulo: $-16\,\mathrm{dB}$. Útil en un $\pm20\%$ aproximadamente.

**19.** La incidencia oblicua acorta el cuarto de onda efectivo ($d\cos\theta$) y cambia la impedancia de onda con el ángulo: se pierde la adaptación.

**20.** Una pantalla funciona a una frecuencia y un ángulo; unas capas con pérdidas graduadas y unas superficies conformadas absorben y desvían en una banda ancha.

**21.** $\underline n = -\iu\sqrt{(\omega_p/\omega)^2 - 1} = -3.6\iu$; $|r| = 1$, fase $2\arctan3.6 = 149{}^{\circ}$; profundidad $c/3.6\omega = 22\,\mathrm{nm}$. La onda nunca entra en el metal para partirse en dos reflexiones comparables: no hay nada contra lo que una [capa de cuarto de onda](#prop-b2-wave-interfaces-optics) pueda cancelar una reflexión de módulo uno.

**22.** $30\,\mathrm{W}$; $30/(0.01 \times 235) = 13\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$.

**23.** Nodos cada $\lambda/2 = 250\,\mathrm{nm}$; $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$ con $\varphi =
149^\circ$: primer nodo en $x = -(90^\circ + 74.5^\circ)\lambda/360^\circ = -230\,\mathrm{nm}$; un grano posado ahí queda a oscuras.

**24.** $I = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 87\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $j_s =
2E_0/\mu_0c = 460\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$.

**25.** Metal: [corrientes superficiales](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) en una [profundidad de penetración](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex), $r \approx -1$, limitado por la pérdida Joule de esas corrientes. [Plasma](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#def-b2-waves-in-media-plasma): penetración evanescente, $|r| = 1$ con una fase que depende de la frecuencia, limitado por las colisiones. Pila dieléctrica: muchas reflexiones débiles sumadas en fase, $r \to 1$ en una banda, limitada por el número de capas y por el ancho de banda.