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title: "Ondas guiadas y cavidades"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/16-ondas-guiadas-y-cavidades
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# Capítulo 16 — Ondas guiadas y cavidades

El pulso de un radar viaja del transmisor a la antena parabólica dentro de un tubo rectangular de cobre; la luz de un enlace de internet viaja diez mil kilómetros dentro de un hilo de vidrio más fino que un cabello; las microondas de un horno rebotan entre sus paredes y se asientan en un patrón de puntos calientes y fríos. Una onda confinada por paredes conductoras o refringentes ya no es una onda plana libre de ir a cualquier parte: debe satisfacer las condiciones de contorno en las paredes, y eso selecciona las formas que puede tomar — los *modos* — y se lo prohíbe por debajo de una frecuencia *de corte*. Este capítulo construye la guía más sencilla, dos placas conductoras paralelas, a partir de las reflexiones de [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#ch-b2-wave-interfaces); después, la [guía de ondas rectangular](#prop-b2-guided-waves-rectangular), la cavidad cerrada y, en la imagen de los rayos, la [fibra óptica](#prop-b2-guided-waves-fibre).

## 16.1 Ondas entre dos placas conductoras

**Proposición 16.1 (Modos de la guía de placas paralelas).**

Dos planos perfectamente conductores $y = 0$ e $y = a$ limitan un vacío. Búsquese una onda que viaja según $z$ con $\vect E = E(y)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}
\vect e_x$ (el campo paralelo a las placas y perpendicular a la propagación). Las [ecuaciones de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) en el vacío y la condición $E = 0$ en las placas imponen

$$
E(y) = E_0\sin\frac{n\pi y}a , \qquad
k_g^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \Bigl(\frac{n\pi}a\Bigr)^2 , \qquad n = 1, 2, \dots
$$

El modo $n$ solo se propaga por encima de su *frecuencia de corte* $f_n = nc/2a$; por debajo, $k_g$ es imaginario y el campo decae a lo largo de la guía. Sus [velocidades de fase](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) y de grupo valen

$$
v_\varphi = \frac c{\sqrt{1 - f_n^2/f^2}} > c , \qquad
v_g = c\sqrt{1 - f_n^2/f^2} < c , \qquad v_\varphi v_g = c^2 ,
$$

y su campo magnético tiene componentes según $y$ y según $z$: una [onda guiada](#prop-b2-guided-waves-plates) no es transversal en la dirección de propagación.

**Demostración.** Introdúzcase en $\Delta\vect E = \partial_t^2\vect E/c^2$: $E'' - k_g^2E = -(\omega^2/c^2)E$, es decir, $E'' + (\omega^2/c^2 - k_g^2)E = 0$, cuyas soluciones que se anulan en $y = 0$ e $y = a$ son los senos con $\omega^2/c^2 - k_g^2 = (n\pi/a)^2$; $\operatorname{div}
\vect E = 0$ se cumple porque $E_x$ no depende de $x$. Faraday da $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ y $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E$, esta última en cuadratura. Las velocidades se siguen de la forma de Klein–Gordon de la [relación de dispersión](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets)). ∎

**Observación 16.2 (El modo visto como dos ondas planas).**

$\sin(n\pi y/a)\eu^{-\iu k_gz}$ es la suma de dos ondas planas de vectores de onda $(0, \pm n\pi/a, k_g)$, de módulo $\omega/c$, que rebotan entre las placas con el ángulo $\theta$ respecto del eje dado por $\cos\theta = k_gc/\omega$: un modo guiado es una onda plana que zigzaguea entre las paredes, reflejada con $r = -1$ en cada una, siendo la [onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) transversal la condición de que interfiera consigo misma constructivamente. La energía viaja a lo largo del zigzag a $c$, y por tanto según el eje a $c\cos\theta = v_g$; las intersecciones de las crestas con el eje corren a $c/\cos\theta = v_\varphi$. En el corte, la onda rebota de un lado a otro de la guía y no va a ninguna parte.

![A la izquierda, un modo guiado es una onda plana que rebota entre las placas; el ángulo se abre a medida que la frecuencia se acerca al corte. A la derecha, los perfiles transversales E(y) de los dos primeros modos, que se anulan en las paredes conductoras.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/fig-6065a01ea131.svg)

*A la izquierda, un modo guiado es una onda plana que rebota entre las placas; el ángulo $\theta$ se abre a medida que la frecuencia se acerca al corte. A la derecha, los perfiles transversales $E(y)$ de los dos primeros modos, que se anulan en las paredes conductoras.*

![A la izquierda, las curvas de dispersión de los tres primeros modos de una guía, cada una una hipérbola que arranca en su corte. A la derecha, las velocidades de fase y de grupo de un modo frente a la frecuencia; la energía se arrastra cerca del corte y se acerca a c muy por encima.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/fig-d963aa069bd3.svg)

![A la izquierda, las curvas de dispersión de los tres primeros modos de una guía, cada una una hipérbola que arranca en su corte. A la derecha, las velocidades de fase y de grupo de un modo frente a la frecuencia; la energía se arrastra cerca del corte y se acerca a c muy por encima.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/fig-6e42fc7b9cb7.svg)

*A la izquierda, las curvas de dispersión de los tres primeros modos de una guía, cada una una hipérbola que arranca en su corte. A la derecha, las [velocidades de fase](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) y de grupo de un modo frente a la frecuencia; la energía se arrastra cerca del corte y se acerca a $c$ muy por encima.*

**Ejemplo 16.3 (Números).**

Placas separadas $3\,\mathrm{cm}$: $f_1 = 5\,\mathrm{GHz}$, $f_2 = 10\,\mathrm{GHz}$; entre esas frecuencias solo se propaga un modo (funcionamiento *monomodo*, que evita que un pulso se parta en varios con distintas $v_g$). A $8\,\mathrm{GHz}$ el modo $n = 1$ tiene $v_g = 0.78c$, $v_\varphi =
1.28c$ y la longitud de onda en la guía $\lambda_g = 2\pi/k_g = 4.8\,\mathrm{cm}$ en vez de $3.75\,\mathrm{cm}$ en el espacio libre. A $4\,\mathrm{GHz}$ no pasa nada: el campo decae como $\eu^{-z/\ell}$ con $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.6\,\mathrm{cm}$ — el principio de la rejilla de la puerta de un horno, de la [guía de ondas](#prop-b2-guided-waves-plates) por debajo del corte usada como atenuador calibrado y de los conductos metálicos de ventilación que dejan pasar el aire pero no la radio.

## 16.2 La guía de ondas rectangular y la cavidad

**Proposición 16.4 (La guía rectangular; el modo TE10_{10}10​).**

Un tubo metálico hueco de sección rectangular $a \times b$ ($a > b$) lleva modos cuyas frecuencias de corte valen

$$
f_{mn} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2} ;
$$

el más bajo, el *[modo TE](#prop-b2-guided-waves-rectangular)$_{10}$* ($f_{10} = c/2a$), tiene $\vect E = E_0\sin
(\pi x/a)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\,\vect e_y$: un semiseno a lo ancho del lado grande, uniforme a lo largo del lado estrecho, que se anula en las dos paredes $x = 0$, $x = a$ — exactamente el modo de placas paralelas, pues las paredes laterales $y = 0$, $b$ son perpendiculares a $\vect E$ y no le imponen nada. La guía se usa entre $f_{10}$ y el corte siguiente; sus líneas de campo magnético se cierran en el plano $xz$ y las corrientes que inducen en las paredes son las que una ranura no debe cortar. La potencia transportada vale $\tfrac14\varepsilon_0cE_0^2\,ab
\sqrt{1 - f_{10}^2/f^2}$.

**Demostración.** El modo general son productos de $\cos$ y $\sin$ en $x$ y en $y$ con las condiciones de contorno en las cuatro paredes, que dan $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (m\pi/a)^2
- (n\pi/b)^2$ (admitido en general; el caso TE$_{10}$ es la proposición anterior). Potencia: el [vector de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/12-la-energia-electromagnetica-y-el-vector-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) medio según $z$ vale $E_0^2\sin^2(\pi x/a)
\,k_g/2\mu_0\omega$ integrado sobre la sección. ∎

![El modo TE_10 de una guía rectangular: el campo eléctrico abarca la dimensión estrecha con un perfil de semiseno a lo ancho de la grande; el campo magnético se cierra en bucles en el plano de las caras anchas, de media longitud de onda de guía.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/fig-032ba3524964.svg)

*El [modo TE](#prop-b2-guided-waves-rectangular)$_{10}$ de una guía rectangular: el campo eléctrico abarca la dimensión estrecha con un perfil de semiseno a lo ancho de la grande; el campo magnético se cierra en bucles en el plano de las caras anchas, de media longitud de onda de guía.*

**Proposición 16.5 (Cavidad resonante).**

Cerrar una guía con dos paredes conductoras separadas una longitud $d$ la convierte en una *cavidad*, en la que la [onda guiada](#prop-b2-guided-waves-plates) debe formar también una [onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) según $z$: $k_g = p\pi/d$, y las frecuencias de resonancia de una caja rectangular $a \times b \times d$ valen

$$
f_{mnp} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2 + \Bigl(\frac pd\Bigr)^2} .
$$

El número de modos de frecuencia menor que $f$ crece como $8\pi V f^3/3c^3$ para una caja de volumen $V$ (admitido: cuéntense los puntos de la red $(m/2a, n/2b, p/2d)$ en un octavo de esfera, con dos polarizaciones) — la densidad de modos que necesitará la teoría de la radiación térmica ([Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/26-radiacion-termica#ch-b2-thermal-radiation)). Cada modo tiene un factor de calidad $Q$ fijado por las pérdidas en las paredes (la resistencia superficial de [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media)), típicamente de $10^3$ a $10^4$ para el cobre en microondas y de $10^{10}$ para una cavidad superconductora.

**Demostración.** [Ondas estacionarias](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) según las tres direcciones con nodos en las seis paredes; el vector de onda $(m\pi/a, n\pi/b, p\pi/d)$ tiene módulo $\omega/c$. ∎

**Ejemplo 16.6 (Hornos, radares, relojes).**

Un horno microondas de $30 \times 30 \times 20$ cm$^3$ cerca de $2.45\,\mathrm{GHz}$ tiene decenas de modos dentro de un pequeño porcentaje de la frecuencia del magnetrón: el campo es una superposición de [ondas estacionarias](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes), con máximos separados $6\,\mathrm{cm}$, que el plato giratorio (y un “agitador de modos”) suaviza. El magnetrón de un radar es él mismo una [cavidad resonante](#prop-b2-guided-waves-cavity); un acelerador de partículas es una cadena de cavidades superconductoras cuyo modo TM empuja los paquetes; los átomos de un reloj de cesio cruzan una cavidad de microondas sintonizada a $9.19\,\mathrm{GHz}$.

## 16.3 La fibra óptica en la imagen de los rayos

**Proposición 16.7 (Fibra de salto de índice).**

Un núcleo de vidrio de índice $n_1$ rodeado de un revestimiento de índice algo menor $n_2$ guía la luz por [reflexión total interna](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-snell) en el borde del núcleo. Un rayo que entra por la cara del extremo desde el aire con un ángulo $\alpha$ respecto del eje queda atrapado si $\sin\alpha < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$, la *[apertura numérica](#prop-b2-guided-waves-fibre)*; los rayos de ángulos distintos recorren longitudes distintas, y un pulso que entra en una fibra de longitud $L$ se ensancha en

$$
\Delta t = \frac{n_1L}c\Bigl(\frac{n_1}{n_2} - 1\Bigr) ,
$$

la *[dispersión modal](#prop-b2-guided-waves-fibre)* — unos $50\,\mathrm{ns}$ por kilómetro para $n_1
- n_2 = 0.01$, lo que limita una fibra multimodo a unos pocos megabits por segundo en diez kilómetros. Una fibra *monomodo* tiene un núcleo tan fino ($9\,\text{µ}\mathrm{m}$) que solo se propaga un modo, como la guía entre sus dos primeros cortes; lo que queda es la dispersión cromática del vidrio ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets)).

**Demostración.** La reflexión total en la interfaz núcleo–revestimiento exige $\sin\theta >
n_2/n_1$ para el ángulo $\theta$ respecto de la normal al borde, es decir, $\cos
\theta' > n_2/n_1$ para el ángulo $\theta'$ respecto del eje por dentro; la refracción en la entrada da $\sin\alpha = n_1\sin\theta'$, de donde $\sin\alpha < n_1\sqrt{1
- n_2^2/n_1^2}$. El rayo atrapado más inclinado recorre $L/\cos\theta' = Ln_1/n_2$ frente a $L$ del axial, a $c/n_1$. ∎

![Una fibra de salto de índice en la imagen de los rayos: los rayos dentro del cono de aceptación quedan atrapados por reflexión total interna; el rayo en zigzag llega después del axial — dispersión modal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/fig-de287df62945.svg)

*Una fibra de salto de índice en la imagen de los rayos: los rayos dentro del cono de aceptación quedan atrapados por [reflexión total interna](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-snell); el rayo en zigzag llega después del axial — [dispersión modal](#prop-b2-guided-waves-fibre).*

**Método 16.8 (Contabilidad de una onda guiada).**

(1) Identifíquense las paredes y su condición (en un conductor, $\vect E = 0$ tangencial; reflexión total para un dieléctrico). (2) Escríbase el campo como una [onda estacionaria](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) transversal por un factor progresivo a lo largo de la guía; las condiciones de contorno cuantizan el número de onda transversal. (3) La [relación de dispersión](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $k_g^2 = \omega^2/c^2 - k_\perp^2$ da el corte, $v_\varphi$, $v_g$ y $\lambda_g$. (4) Cuéntense los modos que se propagan a la frecuencia de trabajo; apúntese a uno solo. (5) Para una cavidad, añádase la condición longitudinal y hállense las frecuencias de resonancia; para las pérdidas, úsese la resistencia superficial.

## 16.4 Ejercicios

**Ejercicio 16.1 ★.**

Placas separadas $2.0\,\mathrm{cm}$: frecuencias de corte de los tres primeros modos; a $12\,\mathrm{GHz}$, qué modos se propagan y, para el primero, $k_g$, $\lambda_g$, $v_\varphi$, $v_g$; a $6\,\mathrm{GHz}$, la longitud de decaimiento del campo.

**Solución de Ejercicio 16.1.**

$f_n = nc/2a = 7.5$, $15$, $22.5\,\mathrm{GHz}$. A $12\,\mathrm{GHz}$ solo $n = 1$: $k_g =
(2\pi/c)\sqrt{f^2 - f_1^2} = 196\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\lambda_g = 3.2\,\mathrm{cm}$, $v_\varphi = c/0.78
= 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g = 2.3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A $6\,\mathrm{GHz}$: $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 -
f^2} = 1.1\,\mathrm{cm}$.

**Ejercicio 16.2 ★.**

Una [guía de ondas](#prop-b2-guided-waves-plates) normalizada de banda X tiene $a = 22.9\,\mathrm{mm}$, $b = 10.2\,\mathrm{mm}$. Corte de TE$_{10}$, de TE$_{20}$ y de TE$_{01}$; banda monomodo; a $10\,\mathrm{GHz}$: $\lambda_g$, $v_g$ y el ángulo del zigzag. ¿Por qué es $b \approx a/2$ una buena elección?

**Solución de Ejercicio 16.2.**

TE$_{10}$ $6.55\,\mathrm{GHz}$, TE$_{20}$ $13.1\,\mathrm{GHz}$, TE$_{01}$ $14.7\,\mathrm{GHz}$: monomodo de $6.55$ a $13.1\,\mathrm{GHz}$. A $10\,\mathrm{GHz}$: $\sqrt{1 - (6.55/10)^2} =
0.756$, $\lambda_g = 4.0\,\mathrm{cm}$, $v_g = 0.76c$, $\cos\theta = 0.756$, $\theta = 41{}^{\circ}$. Con $b \approx a/2$, TE$_{01}$ queda por encima de TE$_{20}$ (la banda monomodo más ancha) dejando a la vez el mayor hueco para el campo (potencia antes de la ruptura).

**Ejercicio 16.3 ★.**

Una cavidad de $30 \times 30 \times 20$ cm$^3$: frecuencias de los modos $(1,1,0)$, $(1,0,1)$, $(2,1,1)$ y $(3,2,1)$; número de modos por debajo de $2.5\,\mathrm{GHz}$ con la fórmula de recuento; el modo más bajo de una cavidad cúbica de $9.19\,\mathrm{GHz}$ — su lado.

**Solución de Ejercicio 16.3.**

$f = 1.5 \times 10^8\sqrt{(m/0.3)^2 + (n/0.3)^2 + (p/0.2)^2}$: $0.71\,\mathrm{GHz}$, $0.90\,\mathrm{GHz}$, $1.35\,\mathrm{GHz}$, $1.95\,\mathrm{GHz}$. $N = 8\pi Vf^3/3c^3 = 8\pi \times 0.018 \times 1.56 \times 10^{28}/
8.1 \times 10^{25} \approx 260$. Cubo: $f = c\sqrt2/2L$, $L = 2.3\,\mathrm{cm}$.

**Ejercicio 16.4 ★.**

Una fibra tiene $n_1 = 1.48$, $n_2 = 1.46$. [Apertura numérica](#prop-b2-guided-waves-fibre) y semiángulo de aceptación; ensanchamiento modal por kilómetro; tasa binaria máxima en $2\,\mathrm{km}$ si un bit debe durar más que el ensanchamiento; lo mismo con $n_1 - n_2 = 0.003$.

**Solución de Ejercicio 16.4.**

$\mathrm{AN} = \sqrt{1.48^2 - 1.46^2} = 0.24$, $14{}^{\circ}$; $\Delta t = (n_1L/c)(n_1/n_2
- 1) = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$; $135\,\mathrm{ns}$ en $2\,\mathrm{km}$: $7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$; con $0.003$: $10\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$, $50\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 16.5 ★★.**

Para el modo $n = 1$ de las placas paralelas: (a) hállese $\vect B$ con la ley de Faraday y muéstrese que tiene una componente $z$ en cuadratura con $E$. (b) [Corriente superficial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) en cada placa (relación de paso). (c) [Vector de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/12-la-energia-electromagnetica-y-el-vector-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) medio según $z$ y potencia por unidad de anchura; compruébese que su componente transversal promedia cero. (d) Muéstrese que la velocidad de la energía, potencia entre energía media por unidad de longitud, es igual a $v_g$.

**Solución de Ejercicio 16.5.**

(a) $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$, $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E = (\iu\pi/a\omega)
E_0\cos(\pi y/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}$: en cuadratura. (b) En $y = 0$, $B_y = 0$ y $\vect j_s = \vect e_y\wedge\vect B/\mu_0 = (B_z/\mu_0)\vect e_x$: según el campo. (c) $\langle\Pi_z\rangle = E_0^2k_g\sin^2(\pi y/a)/2\mu_0\omega$, potencia por unidad de anchura $E_0^2k_ga/4\mu_0\omega$; $\langle\Pi_y\rangle \propto \operatorname{Re}(\underline E\,\iu\underline B_z^*)
= 0$. (d) Energía media por unidad de longitud y de anchura $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2a$ (las mitades eléctrica y magnética valen $\tfrac18\varepsilon_0E_0^2a$ cada una); el cociente es $c^2k_g/\omega = v_g$.

**Ejercicio 16.6 ★★.**

*Por debajo del corte.* (a) Un agujero de $1\,\mathrm{mm}$ en la rejilla de $0.5\,\mathrm{mm}$ de una puerta de horno a $2.45\,\mathrm{GHz}$: trátese como una guía de anchura $a = 1\,\mathrm{mm}$; longitud de decaimiento y [atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) al atravesar la chapa, en dB (compárese con [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media)). (b) Un conducto de ventilación de $20\,\mathrm{cm}$ de sección en una sala apantallada: ¿hasta qué frecuencia bloquea la radio, y cuánto atenúa $100\,\mathrm{MHz}$ en $1\,\mathrm{m}$? (c) Un “atenuador de guía por debajo del corte” usa un tubo de $1\,\mathrm{cm}$ de diámetro a $1\,\mathrm{GHz}$: [atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) por centímetro (úsese la fórmula de las placas con $a =
1\,\mathrm{cm}$ como estimación). (d) ¿Por qué es la [atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) independiente de la conductividad de las paredes?

**Solución de Ejercicio 16.6.**

(a) $f_1 = 150\,\mathrm{GHz} \gg f$: $\ell \approx a/\pi = 0.32\,\mathrm{mm}$; $\eu^{-0.5/0.32}$: $-14\,\mathrm{dB}$ en amplitud, $-27$ en potencia. (b) $f_1 = 750\,\mathrm{MHz}$; a $100\,\mathrm{MHz}$, $\ell = 6.4\,\mathrm{cm}$: $-136\,\mathrm{dB}$ en un metro. (c) $f_1 = 15\,\mathrm{GHz}$, $\ell =
3.2\,\mathrm{mm}$: $27\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}$. (d) La onda no cabe; la evanescencia es geometría, no disipación.

**Ejercicio 16.7 ★★.**

*Potencia y ruptura dieléctrica.* La guía de banda X de [Ejercicio 16.2](#exo-b2-guided-waves-2) lleva TE$_{10}$ a $10\,\mathrm{GHz}$. (a) Potencia para $E_0 = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$. (b) El aire se rompe a $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$: potencia máxima; ¿cómo llevan megavatios los radares (presurización, gases)? (c) Pérdidas en las paredes: la [corriente superficial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) en la pared ancha es del orden de $E_0/\mu_0c$; con $R_s = 0.026\,\Omega$ para el cobre a $10\,\mathrm{GHz}$, estímense la pérdida por metro y la [atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) en dB/m. (d) Compárese con los $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ de un [cable coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax): ¿por qué se usan guías a estas frecuencias?

**Solución de Ejercicio 16.7.**

(a) $P = \tfrac14\varepsilon_0cE_0^2ab\sqrt{1 - f_{10}^2/f^2} = 120\,\mathrm{kW}$. (b) $\times9$: $1\,\mathrm{MW}$; el nitrógeno a presión o el SF$_6$ elevan el campo de ruptura. (c) $j_s \approx E_0/\mu_0c = 2.7\,\mathrm{kA}/\mathrm{m}$; $\tfrac12R_sj_s^2 = 9 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $2a =
0.046\,\mathrm{m}^{2}$ por metro: $4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}$, el $3.5\%$ por metro, unos $0.15\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$. (d) Tres veces menos que el cable, y megavatios en vez de kilovatios.

**Ejercicio 16.8 ★★.**

*Calidad de una cavidad.* Una cavidad cúbica de cobre de $10\,\mathrm{cm}$ de lado en su modo más bajo. (a) Frecuencia. (b) La energía almacenada vale $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2V/4$ (admitido) y la pérdida en las paredes, $\tfrac12R_sH_0^2\times$ área con $H_0 \approx E_0/
\mu_0c$ y $R_s = 1/\gamma\delta$: factor de calidad $Q = \omega W/P$ — calcúlese. (c) Ancho de banda $f/Q$ de la resonancia; tiempo de extinción $Q/\omega$. (d) Una cavidad superconductora tiene $R_s \sim 1 \times 10^{-8}\,\Omega$: $Q$, y por qué las usan los aceleradores.

**Solución de Ejercicio 16.8.**

(a) $f = c\sqrt2/2L = 2.12\,\mathrm{GHz}$. (b) $\delta = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$, $R_s = 12\,\mathrm{m}\Omega$; $W = \varepsilon_0E_0^2V/8 = 1.1 \times 10^{-15}\,E_0^2$; $P = \tfrac12R_s(E_0/377)^2 \times 6L^2 =
2.5 \times 10^{-9}\,E_0^2$: $Q = \omega W/P \approx 6000$. (c) $360\,\mathrm{kHz}$; $0.45\,\text{µ}\mathrm{s}$. (d) $Q \sim 10^{10}$: el campo de decenas de megavoltios por metro se sostiene con kilovatios en vez de gigavatios.

**Ejercicio 16.9 ★★.**

*Recuento de modos.* (a) Muéstrese que el número de modos de una caja de volumen $V$ con frecuencia menor que $f$ vale $N(f) = 8\pi Vf^3/3c^3$ (puntos $(m, n, p)$ en el octavo de esfera de radio $2fL/c$ para un cubo, con dos polarizaciones). (b) El número de modos por unidad de volumen y de frecuencia, $\dd N/V\dd f = 8\pi f^2/c^3$. (c) Una sala de $1\,\mathrm{m}^{3}$: modos por hercio a $1\,\mathrm{GHz}$; y a $500\,\mathrm{THz}$ (luz visible). (d) ¿Por qué tiene una cavidad pequeña modos escasos mientras que una sala grande tiene un continuo — y cuál es el caso del horno a $2.45\,\mathrm{GHz}$?

**Solución de Ejercicio 16.9.**

(a) Los puntos $(m, n, p)$ con $m^2 + n^2 + p^2 \le (2fL/c)^2$ llenan un octavo de esfera: $\tfrac18\cdot\tfrac43\pi(2fL/c)^3$, por dos polarizaciones: $8\pi L^3f^3/3c^3$. (b) $8\pi f^2/c^3$. (c) $9 \times 10^{-7}$ por hercio (uno por megahercio) a $1\,\mathrm{GHz}$; $2 \times 10^5$ por hercio a $500\,\mathrm{THz}$. (d) Los modos son discretos cuando su separación supera su anchura; en el horno, un modo por cada $10\,\mathrm{MHz}$ más o menos en torno a $2.45\,\mathrm{GHz}$ — decenas dentro de unos pocos por ciento.

**Ejercicio 16.10 ★★★.**

*TE$_{10}$ al completo.* En la guía $0 < x < a$, $0 < y < b$: $\vect E =
E_0\sin(\pi x/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\vect e_y$. (a) Con Faraday, hállense $\underline B_x$ y $\underline B_z$; compruébese $\operatorname{div}\vect B = 0$. (b) Compruébese Maxwell–Ampère en el vacío y recupérese $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (\pi/a)^2$. (c) [Corrientes superficiales](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) en las cuatro paredes (las anchas $y = 0$, $b$ y las estrechas $x = 0$, $a$); ¿qué corrientes van según $z$ y cuáles transversalmente? (d) Una ranura cortada según $z$ en el centro de una pared ancha no radia, y una ranura transversal sí: explíquese.

**Solución de Ejercicio 16.10.**

(a) De $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$:

$$
\underline B_x = -\frac{k_g}\omega\underline E , \qquad
\underline B_z = \frac{\iu\pi}{a\omega}E_0\cos\frac{\pi x}a\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} ,
$$

y $\partial_xB_x + \partial_zB_z = -(k_g\pi/a\omega)E_0\cos(\pi x/a) + (k_g\pi/a\omega)E_0
\cos(\pi x/a) = 0$. (b) $(\operatorname{\vect{curl}}\vect B)_y = \partial_zB_x - \partial_xB_z =
(\iu/\omega)(k_g^2 + \pi^2/a^2)\underline E = (\iu\omega/c^2)\underline E$: $k_g^2 = \omega^2/c^2 - \pi^2/a^2$. (c) Paredes anchas: $\vect j_s = \pm(B_z\vect e_x - B_x\vect e_z)/\mu_0$ — según $z$ como $\sin(\pi x/a)$, y transversalmente como $\cos(\pi x/a)$ (nula en el centro); paredes estrechas: solo según $y$. (d) Una ranura longitudinal central corta solo corrientes transversales, que allí se anulan; una ranura transversal corta las longitudinales y radia: la antena de guía ranurada.

**Ejercicio 16.11 ★★★.**

*Guía dieléctrica.* Una lámina de índice $n_1$ y espesor $a$ en un medio $n_2 < n_1$ guía la luz por reflexión total. (a) Para un rayo con ángulo $\theta$ respecto de la normal a las caras, la condición de guiado es que la fase de ida y vuelta a través de la lámina, $2k_0n_1a\cos\theta - 2\varphi_r$ ($\varphi_r$ el desfase de la reflexión total, tomado aquí $\approx 0$), sea un múltiplo de $2\pi$: número de modos para $a = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\lambda = 1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, $n_1 = 1.48$, $n_2 = 1.46$ (admítase el recuento de modos $\approx 2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda$ por polarización). (b) Espesor para un solo modo. (c) Compárese con el núcleo de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ de una fibra monomodo. (d) ¿Por qué la guía dieléctrica, a diferencia de la metálica, no puede tener corte para su modo más bajo?

**Solución de Ejercicio 16.11.**

(a) $2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda = 2 \times 50 \times 0.242/1.5 \approx 16$ por polarización. (b) $a < \lambda/2\mathrm{AN} = 3.1\,\text{µ}\mathrm{m}$. (c) Un núcleo redondo con $\mathrm{AN} =
0.12$ es monomodo por debajo de $d = 2.405\lambda/\pi\mathrm{AN} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$: el estándar de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) Un rayo rasante siempre se refleja totalmente: el modo más bajo existe a cualquier frecuencia, y sus colas evanescentes se limitan a extenderse por el revestimiento.

**Ejercicio 16.12 ★★★.**

*Fibra de índice gradual.* Para reducir la [dispersión modal](#prop-b2-guided-waves-fibre), el índice del núcleo decrece del eje hacia fuera, $n(r) = n_1\sqrt{1 - 2\Delta(r/a)^2}$ con $\Delta \approx 0.01$. (a) Explíquese cualitativamente por qué un rayo fuera del eje, aunque más largo, puede tardar lo mismo que el axial. (b) Con la ecuación de los rayos en un medio estratificado, $n(r)\cos\theta(r) =$ const., muéstrese que un rayo lanzado desde el eje con un ángulo pequeño oscila senoidalmente en torno a él (desarróllese $n$ a segundo orden). (c) Periodo de la oscilación para $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) El ensanchamiento modal residual es del orden de $n_1L\Delta^2/2c$: valor por kilómetro, comparado con el $n_1L\Delta/c$ del salto de índice.

**Solución de Ejercicio 16.12.**

(a) El rayo fuera del eje pasa su tiempo en un índice menor, donde la luz es más rápida: el camino más largo queda compensado. (b) $n(r)\cos\theta = n_1\cos\theta_0$ con $n \approx n_1(1 - \Delta r^2/a^2)$ y $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$: $(\dd r/\dd z)^2 =
\theta_0^2 - 2\Delta r^2/a^2$, una oscilación armónica $r = r_0\sin(\sqrt{2\Delta}\,z/a)$. (c) $2\pi a/\sqrt{2\Delta} = 1.1\,\mathrm{mm}$. (d) $n_1L\Delta^2/2c = 0.25\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ frente a $49\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$: doscientas veces mejor.

![Fibras ópticas iluminadas desde sus extremos lejanos: luz atrapada por reflexión total interna en un núcleo más fino que un cabello, y guiada por cada curva suave.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/img-a4675afec71d.jpg)

*[Fibras ópticas](#prop-b2-guided-waves-fibre) iluminadas desde sus extremos lejanos: luz atrapada por [reflexión total interna](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-snell) en un núcleo más fino que un cabello, y guiada por cada curva suave.*

## 16.5 Problema: la cavidad del horno y la fibra óptica

**Problema 16.1.**

Problema de fin de semana — dos sistemas de ondas guiadas en toda cocina y toda ciudad: el horno que cocina con ondas estacionarias y la fibra que transporta internet

**Parte I — Del magnetrón a la cavidad.** Un magnetrón inyecta $800\,\mathrm{W}$ a $2.45\,\mathrm{GHz}$ en una [guía de ondas rectangular](#prop-b2-guided-waves-rectangular) ($a = 8.6\,\mathrm{cm}$, $b = 4.3\,\mathrm{cm}$) que desemboca en la cavidad del horno ($30 \times 30 \times 20$ cm$^3$); paredes de acero, $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$.

1. Frecuencias de corte de los [modos TE](#prop-b2-guided-waves-rectangular) $_{10}$ , TE $_{20}$ y TE $_{01}$ de la guía; compruébese que a $2.45\,\mathrm{GHz}$ solo se propaga TE $_{10}$ .
2. Longitud de onda de guía y [velocidades de fase](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) y de grupo a $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
3. Amplitud del campo $E_0$ en la guía para $800\,\mathrm{W}$ (fórmula de la potencia del TE $_{10}$ ); compárese con el campo de ruptura del aire.
4. Amplitud de la [corriente superficial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) en la pared ancha (del orden de $E_0/\mu_0c$ ); [profundidad de penetración](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) y resistencia superficial del acero; pérdida por metro de guía.
5. Modos de la cavidad: enumérense los de frecuencia dentro del $3\%$ de $2.45\,\mathrm{GHz}$ (pruébese con $(m, n, p)$ hasta $4$ ); ¿cuántos hay?
6. Distancia entre los puntos calientes de uno de esos modos según cada eje; ¿por qué gira el plato y qué es un “agitador de modos”?
7. El factor de calidad de la cavidad cargada con comida vale unos $200$ : ancho de banda de su respuesta; por qué no importa mucho un desajuste entre la frecuencia del magnetrón y los modos.
8. La cavidad vacía tiene $Q \approx 3000$ : energía almacenada con $800\,\mathrm{W}$ de entrada, densidad media de energía y amplitud del campo; compárese con la pregunta 3 y con la ruptura. ¿Qué protege al magnetrón cuando el horno funciona vacío?
9. Tiempo que tarda la energía en recorrer los $20\,\mathrm{cm}$ de guía desde el magnetrón hasta la cavidad.
10. El magnetrón se alimenta con una fuente rectificada de media onda y emite solo durante medio ciclo de la red: potencia de pico durante los pulsos para una media de $800\,\mathrm{W}$ ; ¿qué hace la cavidad entre pulsos (úsese $Q \approx 200$ )?

**Parte II — La puerta y el corte.**

11. La rejilla de la puerta tiene agujeros de $1.5\,\mathrm{mm}$ en una chapa de $1\,\mathrm{mm}$ : longitud de decaimiento en un agujero y [atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) en dB al atravesar la chapa.
12. El borde de la puerta lo sella una “trampa” de cuarto de onda: una ranura de $\lambda/4$ de profundidad alrededor del marco, que presenta un circuito abierto en la rendija (recuérdese [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#ch-b2-wave-interfaces) ): profundidad de la ranura a $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
13. La fuga legal es de $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ a $5\,\mathrm{cm}$ : ¿a qué fracción de los $800\,\mathrm{W}$ a través de una puerta de $100\,\mathrm{cm}^{2}$ corresponde?
14. Un conducto de $30\,\mathrm{cm}$ y $4\,\mathrm{cm}$ de diámetro ventila la cavidad: ¿está por debajo del corte a $2.45\,\mathrm{GHz}$ ? [Atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) en toda su longitud.
15. ¿Por qué debe estar la rejilla unida eléctricamente al marco de la puerta en todo su contorno (a qué se parecería una interrupción de esa unión)?

**Parte III — La fibra.** Una fibra de salto de índice: núcleo $n_1 = 1.465$, revestimiento $n_2 = 1.460$, diámetro del núcleo $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (multimodo) o $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ (monomodo); $\lambda = 1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$; [atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$.

16. [Apertura numérica](#prop-b2-guided-waves-fibre) y ángulo de aceptación; ¿es fácil acoplar la luz dentro?
17. Ensanchamiento modal por kilómetro de la fibra multimodo; tasa binaria máxima en $10\,\mathrm{km}$ (un bit por tiempo de ensanchamiento).
18. Número de modos de la fibra multimodo (admítase $N \approx  \tfrac12(\pi d\,\mathrm{AN}/\lambda)^2$ ); y de la monomodo ( $d =  9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : muéstrese que la misma fórmula da alrededor de $1$ ).
19. En la fibra monomodo el ensanchamiento que queda es cromático: con $\omega'' \approx -0.2\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ( [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets) ) y pulsos de $50\,\mathrm{ps}$ , distancia en la que un pulso se duplica; tasa binaria en $100\,\mathrm{km}$ .
20. [Atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) en $100\,\mathrm{km}$ en dB y como cociente de potencias; con $1\,\mathrm{mW}$ de entrada: potencia de salida; con amplificadores cada $80\,\mathrm{km}$ , ¿cuántos hacen falta para un enlace transatlántico de $6000\,\mathrm{km}$ ?
21. Frecuencia y energía del fotón a $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; fotones por segundo en $1\,\mathrm{mW}$ , y por bit a $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ , a la entrada y tras $100\,\mathrm{km}$ .
22. ¿Por qué $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ (piénsese en los dos mecanismos de pérdida de la sílice: la dispersión Rayleigh, que cae como $1/\lambda^4$ , y la absorción infrarroja, que crece más allá de $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ )?
23. Reflexión de Fresnel en un extremo de fibra cortado frente al aire: pérdida en dB; por qué los conectores usan gel adaptador de índice o contacto físico pulido.
24. ¿Por qué no radia una fibra en una curva suave, y por qué pierde luz en una brusca (piénsese en el ángulo del rayo sobre el borde del núcleo)?
25. Compárense las dos guías de este problema: qué confina la onda, qué limita el ancho de banda y cuáles son las pérdidas.

**Solución de Problema 16.1.**

**1.** $c/2a = 1.74\,\mathrm{GHz}$; TE$_{20}$ y TE$_{01}$: $3.49\,\mathrm{GHz}$: a $2.45\,\mathrm{GHz}$, solo TE$_{10}$.

**2.** $\sqrt{1 - (1.74/2.45)^2} = 0.70$: $\lambda_g = 17.4\,\mathrm{cm}$, $v_\varphi = 1.42c$, $v_g = 0.70c = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**3.** $E_0^2 = 4P/\varepsilon_0c\,ab\sqrt{\cdot} = 3200/6.9 \times 10^{-6}$: $E_0 = 21\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, una centésima de la ruptura.

**4.** $j_s \approx E_0/\mu_0c = 57\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$; $\delta = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $R_s = 0.1\,\Omega$; $\tfrac12R_sj_s^2 \times 2a = 28\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$: el $3.5\%$ por metro — el acero tiene pérdidas, pero la guía es corta.

**5.** $f = 1.5 \times 10^8\sqrt{11.1(m^2 + n^2) + 25p^2}$ dentro del $\pm3\%$ de $2.45\,\mathrm{GHz}$: $(1, 2, 3)$, $(2, 1, 3)$ a $2.51\,\mathrm{GHz}$, $(4, 0, 2)$, $(0, 4, 2)$, $(4, 3, 0)$, $(3, 4, 0)$ a $2.50\,\mathrm{GHz}$ — unos seis.

**6.** Semilongitudes de onda $a/m$, $b/n$, $d/p$: de $7$ a $10\,\mathrm{cm}$ de separación. El plato giratorio arrastra la comida por máximos y mínimos; un agitador (un ventilador metálico giratorio) rebaraja los modos.

**7.** $f/Q = 12\,\mathrm{MHz}$: las resonancias cargadas se solapan en un continuo; el magnetrón siempre encuentra un modo al que alimentar.

**8.** $W = QP/\omega = 3000 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 0.16\,\mathrm{J}$; $u = 8.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; $E_0 \approx \sqrt{4u/\varepsilon_0} = 2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ — cerca de la ruptura: arcos; la potencia reflejada vuelve al magnetrón, protegido (un poco) por una carga falsa o un circulador — de ahí lo de “nunca lo pongas en marcha vacío”.

**9.** $0.2/2.1 \times 10^8 = 1\,\mathrm{ns}$.

**10.** $1.6\,\mathrm{kW}$ de pico; entre pulsos el campo se extingue en $Q/\omega = 13\,\mathrm{ns}$: la cavidad está vacía casi todo el tiempo.

**11.** $\ell \approx a/\pi = 0.48\,\mathrm{mm}$; $\eu^{-1/0.48}$: $-18\,\mathrm{dB}$ en amplitud y $-36\,\mathrm{dB}$ en potencia.

**12.** $\lambda/4 = 3.1\,\mathrm{cm}$.

**13.** $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ $\times$ $100\,\mathrm{cm}^{2}$ = $0.5\,\mathrm{W}$: el $0.06\%$.

**14.** $f_1 \approx c/2d = 3.75\,\mathrm{GHz} > 2.45\,\mathrm{GHz}$: por debajo del corte; $\ell =
1.7\,\mathrm{cm}$, $\eu^{-30/1.7}$: $-150\,\mathrm{dB}$.

**15.** Las corrientes de pared deben pasar de forma continua a la rejilla; una interrupción de la unión es una ranura que las corta — una antena de ranura que radia hacia fuera.

**16.** $\mathrm{AN} = \sqrt{1.465^2 - 1.460^2} = 0.12$, $7{}^{\circ}$: un cono estrecho, que exige un láser y una lente.

**17.** $(n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 17\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$; $170\,\mathrm{ns}$ en $10\,\mathrm{km}$: $6\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$.

**18.** $\tfrac12(\pi d\,\mathrm{AN}/\lambda)^2 = 75$; para $9\,\text{µ}\mathrm{m}$: $2.4$ — el régimen monomodo ($V = \pi d\,\mathrm{AN}/\lambda = 2.2 < 2.4$).

**19.** $\Delta x_0 = (c/n)\tau = 1\,\mathrm{cm}$: $t_{\text{ens}} = 10^{-4}/0.2 = 0.5\,\mathrm{ms}$, $100\,\mathrm{km}$: $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ en esa distancia antes de compensar.

**20.** $20\,\mathrm{dB}$, un factor $100$: $10\,\text{µ}\mathrm{W}$; $6000/80 = 75$ amplificadores.

**21.** $f = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $hf = 0.8\,\mathrm{eV}$; $8 \times 10^{15}$ fotones por segundo; $8 \times 10^5$ por bit a la entrada y $8 \times 10^3$ tras $100\,\mathrm{km}$.

**22.** La suma de las dos pérdidas es mínima cerca de $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$).

**23.** $R = ((1.465 - 1)/2.465)^2 = 3.6\%$: $0.16\,\mathrm{dB}$ por cara, dos veces en un conector más la interferencia de la rendija; el gel o el contacto físico quitan el aire.

**24.** En una curva suave el rayo sigue encontrando el borde más allá del ángulo límite; en una brusca, la incidencia en la pared exterior cae por debajo de él y la luz se escapa.

**25.** Horno: paredes metálicas, reflexión con $r = -1$; ancho de banda fijado por los modos de la cavidad; pérdidas en la piel del acero. Fibra: [reflexión total interna](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-snell) en un borde vidrio–vidrio; ancho de banda fijado por la [dispersión modal](#prop-b2-guided-waves-fibre) y la cromática; pérdidas por dispersión y absorción, $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$.