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title: "El modelo escalar de la luz"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz
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# Capítulo 18 — El modelo escalar de la luz

Ilumínese una misma pared con dos linternas y la mancha es simplemente el doble de brillante; ilumínese con dos haces de un mismo láser y la mancha se rompe en franjas claras y oscuras. Las linternas suman sus intensidades y los haces del láser suman sus amplitudes — y todo interferómetro, holograma y red de difracción de los capítulos que vienen descansa en saber cuándo hace la luz cada cosa. Este capítulo prepara las herramientas: la luz como onda *escalar* con una fase, el *[camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path)* que mide esa fase a lo largo de un rayo, la manera en que emite una fuente — en [trenes de ondas](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) cortos cuya *[longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence)* decide si dos ondas pueden interferir — y la manera en que lo registra un detector: un promedio sobre miles de millones de periodos que solo conserva la intensidad.

## 18.1 La luz como onda escalar

**Definición 18.1 (Modelo escalar; onda monocromática).**

En casi toda la óptica ondulatoria la naturaleza vectorial de la luz no interviene (las ondas superpuestas comparten una polarización, o la luz no está polarizada y las polarizaciones se promedian): el campo se sustituye por una *vibración escalar* real

$$
s(M, t) = a(M)\cos\bigl(\omega t - \varphi(M)\bigr) ,
$$

con una amplitud $a(M)$ y una fase $\varphi(M)$ en cada punto, ambas de variación lenta en la escala de una longitud de onda. Una onda *monocromática* tiene un solo $\omega$: una idealización, porque una fuente real emite en una banda de frecuencias. Luz visible: $\lambda_0$ de $400$ a $750\,\mathrm{nm}$ en el vacío, $\nu = c/\lambda_0$ de $7.5 \times 10^{14}$ a $4 \times 10^{14}$ Hz, con periodos de unos $2\,\mathrm{fs}$.

**Definición 18.2 (Camino óptico y fase).**

En un medio de índice $n$ la onda viaja a $c/n$ y su longitud de onda vale $\lambda_0/n$. El *camino óptico* a lo largo de una curva de $A$ a $B$ es

$$
(AB) = \int_A^Bn\,\dd s ,
$$

y la fase acumulada por una [onda monocromática](#def-b2-scalar-light-model-scalar) que viaja a lo largo de un rayo de $A$ a $B$ vale

$$
\varphi(B) - \varphi(A) = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,(AB) = \omega\,\tau_{AB} ,
$$

siendo $\tau_{AB}$ el tiempo de viaje. Un *frente de onda* es una superficie de igual fase; en un medio isótropo los rayos de la óptica geométrica son perpendiculares a los frentes de onda (teorema de Malus–Dupin), y el camino óptico entre dos frentes de onda es el mismo por todos los rayos.

**Justificación.** La fase avanza $2\pi$ por cada longitud de onda local $\lambda_0/n$, es decir, $2\pi n\,\dd s/\lambda_0$ por elemento $\dd s$; sumado a lo largo del rayo. La onda $a\cos(\omega t - \varphi)$ es solución de la [ecuación de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) en la que la energía viaja según $\operatorname{\vect{grad}}\varphi$, perpendicular a las superficies $\varphi =$ const.: ese es el rayo, y el enunciado “el [camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path) es el mismo entre dos [frentes de onda](#def-b2-scalar-light-model-path)” es la definición de [frente de onda](#def-b2-scalar-light-model-path) leída al revés. El teorema completo (sobrevive a reflexiones y refracciones) se admite. ∎

**Ejemplo 18.3 (Estigmatismo; la lente como lámina de fase).**

Una fuente puntual $A$ de la que un instrumento perfecto (estigmático) forma la imagen $A'$: todos los rayos de $A$ a $A'$ tienen el *mismo [camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path)* — las ondas que llegan por cada rayo están en fase en $A'$, y por eso se amontonan allí en un punto brillante. Para una lente delgada de distancia focal $f$ esto es una afirmación sobre la fase: una onda plana que llega según el eje debe salir como una [onda esférica](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/7-ondas-sonoras-en-los-fluidos#prop-b2-sound-waves-spherical) que converge en el foco $F'$; como una [onda esférica](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/7-ondas-sonoras-en-los-fluidos#prop-b2-sound-waves-spherical) centrada a la distancia $f$ tiene, a la distancia $r$ del eje, una fase $2\pi r^2/2\lambda f$ adelantada respecto de su valor axial (aproximación paraxial, $\sqrt{f^2 + r^2} \approx f + r^2/2f$), la lente debe *retardar* la onda en $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$: es más gruesa en el centro exactamente en lo que hace falta para que todos los [caminos ópticos](#def-b2-scalar-light-model-path) hasta $F'$ sean iguales. Una lente es una lámina de fase; un holograma o una pantalla de cristal líquido que imponga el mismo mapa de fases es una lente.

![A la izquierda, una lente delgada convierte los frentes de onda planos en esféricos que convergen en el foco — todos los caminos ópticos hasta F' son iguales. A la derecha, dentro del vidrio la longitud de onda se encoge a _0/n y la fase avanza más deprisa: el camino óptico cuenta n veces la longitud geométrica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-scalar-light-model/fig-4f272f442ba7.svg)

*A la izquierda, una lente delgada convierte los [frentes de onda](#def-b2-scalar-light-model-path) planos en esféricos que convergen en el foco — todos los [caminos ópticos](#def-b2-scalar-light-model-path) hasta $F'$ son iguales. A la derecha, dentro del vidrio la longitud de onda se encoge a $\lambda_0/n$ y la fase avanza más deprisa: el [camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path) cuenta $n$ veces la longitud geométrica.*

## 18.2 Cómo se emite la luz: la coherencia

**Proposición 18.4 (Trenes de ondas; tiempo y longitud de coherencia).**

Una fuente clásica (una llama, una lámpara, una estrella) es un conjunto de átomos que emiten, en instantes al azar y con fases al azar, *[trenes de ondas](#prop-b2-scalar-light-model-coherence)* cortos de duración $\tau_c$: la vibración que produce en un punto mantiene una fase estable solo durante $\tau_c$ y luego salta. Un tren de duración $\tau_c$ no es monocromático: su espectro abarca una banda de frecuencias $\Delta\nu \approx 1/\tau_c$ (una reciprocidad de Fourier, admitida: una sinusoide finita no puede tener una sola frecuencia). El *[tiempo de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence)* $\tau_c$ y la *[longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence)*

$$
\ell_c = c\,\tau_c \approx \frac c{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}
$$

caracterizan la fuente: luz blanca, $\Delta\lambda \approx 300\,\mathrm{nm}$, $\ell_c
\approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$; una lámpara espectral ($\Delta\lambda \sim 0.01\,\mathrm{nm}$), $\ell_c \sim
3\,\mathrm{cm}$; un láser, de metros a kilómetros. Dos ondas procedentes de la misma fuente solo pueden interferir si su diferencia de camino es menor que $\ell_c$ — más allá pertenecen a trenes distintos, con fases sin relación.

**Demostración.** $\ell_c = c/\Delta\nu$ y $|\Delta\nu/\nu| = |\Delta\lambda/\lambda|$ con $\nu = c/\lambda$ dan $\ell_c =
\lambda^2/\Delta\lambda$. La [anchura espectral](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) tiene a su vez causas físicas: la anchura natural (amortiguamiento por radiación, [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/17-radiacion-dipolar-y-dispersion#ch-b2-dipole-radiation)), el ensanchamiento Doppler por el movimiento térmico de los átomos, las colisiones — cada uno acorta el tren. ∎

![La vibración de una fuente clásica: una sucesión de trenes de ondas de duración _c con saltos de fase al azar entre ellos; dos copias suyas solo pueden interferir si su retardo es menor que _c.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-scalar-light-model/fig-96f0c5384d58.svg)

*La vibración de una fuente clásica: una sucesión de [trenes de ondas](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de duración $\tau_c$ con saltos de fase al azar entre ellos; dos copias suyas solo pueden interferir si su retardo es menor que $\tau_c$.*

**Observación 18.5 (Dos fuentes, una fuente).**

Dos lámparas distintas (o dos átomos distintos) emiten trenes con fases al azar independientes: su fase relativa cambia cada $\tau_c
\sim 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}$, un millón de veces más deprisa de lo que responde cualquier ojo o cámara — el término de interferencia promedia cero y las intensidades se suman. La interferencia necesita dos ondas que *recuerden los mismos saltos de fase*: dos copias de una misma onda, obtenidas al desdoblarla (dos rendijas, dos espejos, las dos caras de una lámina) y recombinadas con un retardo menor que $\tau_c$. Un láser, cuyos trenes duran microsegundos o más, relaja enormemente esta exigencia; nunca la suprime.

## 18.3 Detectores e intensidad

**Proposición 18.6 (Lo que mide un detector).**

Todo detector de luz — el ojo (tiempo de respuesta $\sim0.1\,\mathrm{s}$), una película fotográfica, un píxel de CCD ($1\,\mathrm{ms}$), un fotodiodo ($1\,\mathrm{ns}$) — responde en un tiempo largo frente al periodo ($10^{-15}$ s) y entrega la *intensidad*, el promedio temporal del cuadrado de la vibración,

$$
I = K\,\langle s^2\rangle = \tfrac12K\,a^2 ,
$$

($K$ una constante, a menudo omitida; $I$ es proporcional a la irradiancia en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$). El nivel absoluto importa en un solo aspecto: la luz llega en fotones de energía $h\nu$, y un detector cuenta en promedio $I/h\nu$ fotones por unidad de área y de tiempo.

**Demostración.** $\langle\cos^2(\omega t - \varphi)\rangle = \tfrac12$ en cualquier intervalo mucho mayor que $2\pi/\omega$. Los fotones: el último capítulo del volumen del primer año; aquí es donde la onda escalar se encuentra con lo cuántico. ∎

**Ejemplo 18.7 (Órdenes de magnitud).**

Una bombilla de $60\,\mathrm{W}$ que radia $3\,\mathrm{W}$ de luz visible, a $2\,\mathrm{m}$: $I = 3/4\pi\cdot4 = 60\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, $I/h\nu = 1.6 \times 10^{17}$ fotones por metro cuadrado y segundo, $3 \times 10^{12}$ por segundo por una pupila de $5\,\mathrm{mm}$ — en los $0.1\,\mathrm{s}$ del ojo no queda rastro de la granularidad. La estrella más débil que ve el ojo envía $\sim 10^3$ fotones por segundo a la pupila; un bastón se dispara con un puñado. Luz solar: $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$, $3 \times 10^{21}$ fotones por metro cuadrado y segundo.

![Escalas de tiempo de la óptica: el periodo de la vibración, la duración de los trenes de ondas de las fuentes clásicas y de láser, y los tiempos de respuesta de los detectores — todos ellos promedian sobre muchos periodos y sobre muchos trenes de una lámpara.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-scalar-light-model/fig-f8ffc4fe06cf.svg)

*Escalas de tiempo de la óptica: el periodo de la vibración, la duración de los [trenes de ondas](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de las fuentes clásicas y de láser, y los tiempos de respuesta de los detectores — todos ellos promedian sobre muchos periodos y sobre muchos trenes de una lámpara.*

**Observación 18.8 (Superposición coherente e incoherente).**

Dos vibraciones $a_1\cos(\omega t - \varphi_1)$ y $a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ en un punto dan $s = s_1 + s_2$ y

$$
I = \tfrac12K\bigl[a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2\langle\cos(\varphi_1 - \varphi_2)\rangle\bigr] .
$$

Si la diferencia de fase es estable durante la detección (ondas *coherentes*): $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\varphi_1 - \varphi_2)$, el término de interferencia, que estudia el capítulo siguiente. Si vaga al azar (ondas *incoherentes*): $\langle\cos\rangle = 0$ e $I = I_1 +
I_2$ — las linternas.

**Método 18.9 (Cómo plantear un problema de óptica).**

(1) Escríbase cada onda como $a\cos(\omega t - \varphi)$ con $\varphi = 2\pi(\text{camino
óptico})/\lambda_0$ desde la fuente (o desde un [frente de onda](#def-b2-scalar-light-model-path) común). (2) Decídase la coherencia: ¿la misma fuente, con diferencia de camino $< \ell_c$? Entonces súmense las amplitudes (la notación compleja resulta cómoda: $\underline s = a\eu^{\iu(\omega t - \varphi)}$, $I =
\tfrac12K|\underline s|^2$); si no, súmense las intensidades. (3) Para lentes y espejos, úsese la igualdad de [caminos ópticos](#def-b2-scalar-light-model-path) entre puntos conjugados, o la imagen de la lámina de fase. (4) Conviértase a lo que se mide: intensidad, contraste, cuentas de fotones, y compruébese la resolución del detector en tiempo y en espacio.

## 18.4 Ejercicios

**Ejercicio 18.1 ★.**

Un haz de $600\,\mathrm{nm}$ cruza $1.0\,\mathrm{cm}$ de vidrio ($n = 1.5$). [Camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path); número de longitudes de onda dentro; fase y retardo suplementarios frente a $1\,\mathrm{cm}$ de aire; espesor de vidrio que retarda la onda exactamente una longitud de onda respecto del aire.

**Solución de Ejercicio 18.1.**

$(AB) = 1.5\,\mathrm{cm}$; $25\,000$ longitudes de onda; $0.5\,\mathrm{cm}$ más que el aire, $8300$ longitudes de onda, $\Delta\varphi = 2\pi \times 8300$, retardo $17\,\mathrm{ps}$; una longitud de onda de retardo para $e = \lambda/(n - 1) = 1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Ejercicio 18.2 ★.**

Tiempo y [longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de: la luz blanca ($400$–$750\,\mathrm{nm}$); una raya de lámpara de sodio de $0.02\,\mathrm{nm}$ de anchura a $589\,\mathrm{nm}$; un LED rojo ($630\,\mathrm{nm}$, $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$); un diodo láser multimodo ($\Delta\nu = 100\,\mathrm{GHz}$); un láser estabilizado ($\Delta\nu = 1\,\mathrm{kHz}$). ¿Cuáles podrían dar franjas con una diferencia de camino de $1\,\mathrm{mm}$? ¿Y de $10\,\mathrm{m}$?

**Solución de Ejercicio 18.2.**

$\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ o $c/\Delta\nu$, $\tau_c = \ell_c/c$: blanca $0.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($3\,\mathrm{fs}$); sodio $1.7\,\mathrm{cm}$ ($60\,\mathrm{ps}$); LED $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($50\,\mathrm{fs}$); diodo $3\,\mathrm{mm}$ ($10\,\mathrm{ps}$); estabilizado $300\,\mathrm{km}$ ($1\,\mathrm{ms}$). Con $1\,\mathrm{mm}$: la lámpara de sodio, el diodo y el láser; con $10\,\mathrm{m}$: solo el láser estabilizado.

**Ejercicio 18.3 ★.**

Un puntero láser de $1\,\mathrm{mW}$ a $650\,\mathrm{nm}$: fotones por segundo; una bombilla de $100\,\mathrm{W}$ ($5\,\mathrm{W}$ visibles, $550\,\mathrm{nm}$ de media) a $3\,\mathrm{m}$: fotones por segundo por una pupila de $6\,\mathrm{mm}$; número durante los $0.1\,\mathrm{s}$ del ojo; fluctuación relativa $1/\sqrt N$ de ese número — ¿es granulosa la luz?

**Solución de Ejercicio 18.3.**

$10^{-3}/3.06 \times 10^{-19} = 3.3 \times 10^{15}\,$ por segundo. Bombilla: $I = 5/4\pi \times 9 =
44\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, pupila de $28\,\mathrm{mm}^{2}$: $1.2\,\text{µ}\mathrm{W}$, $3.5 \times 10^{12}$ fotones por segundo, $3.5 \times 10^{11}$ en $0.1\,\mathrm{s}$, fluctuación $2 \times 10^{-6}$: perfectamente lisa.

**Ejercicio 18.4 ★.**

Una fuente puntual a $1.0\,\mathrm{m}$ de una pantalla, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$. Diferencia de [camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path) entre el centro de la pantalla y un punto a $1\,\mathrm{cm}$ fuera del eje (exacta y luego con la fórmula paraxial $r^2/2d$); número de longitudes de onda; radio del [frente de onda](#def-b2-scalar-light-model-path) en la pantalla; ¿a qué distancia fuera del eje se equivoca la fórmula paraxial en una longitud de onda?

**Solución de Ejercicio 18.4.**

Exacta $\sqrt{1 + 10^{-4}} - 1 = 49.9988\,\text{µ}\mathrm{m}$, paraxial $50\,\text{µ}\mathrm{m}$: cien longitudes de onda; el [frente de onda](#def-b2-scalar-light-model-path) es una esfera de radio $1\,\mathrm{m}$; el término cuártico $r^4/8d^3$ alcanza $\lambda$ en $r = (8\lambda d^3)^{1/4} = 4.5\,\mathrm{cm}$.

**Ejercicio 18.5 ★★.**

*La lente como lámina de fase.* (a) Una onda plana según el eje tiene una fase uniforme en el plano de una lente delgada; tras la lente, la fase vale $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ respecto del centro. Muéstrese que el [frente de onda](#def-b2-scalar-light-model-path) emergente es, en la aproximación paraxial, una esfera de radio $f$ centrada en $F'$. (b) Una fuente puntual a la distancia $d$ delante de la lente envía una onda cuya fase en el plano de la lente vale $+\pi r^2/\lambda d$ (respecto del centro): muéstrese que tras la lente la onda converge en $d'$ con $1/d' = 1/f - 1/d$, la fórmula de las lentes. (c) Perfil de espesor de una lente plano-convexa de vidrio ($n = 1.5$) de $10\,\mathrm{cm}$ de distancia focal: $e(r) =
e_0 - r^2/2(n - 1)f$; flecha en $r = 1\,\mathrm{cm}$. (d) Una “lente de Fresnel” repliega el perfil cada vez que este supera $\lambda/(n - 1)$: ¿por qué sigue enfocando, y por qué solo un color a la perfección?

**Solución de Ejercicio 18.5.**

(a) Una esfera de radio $f$ centrada en $F'$ tiene, en el plano de la lente, la fase $-\pi r^2/\lambda f$ respecto del eje (paraxialmente): exactamente la de la lente. (b) Fase total $\pi r^2/\lambda\,(1/d - 1/f) = -\pi r^2/\lambda d'$: una onda que converge en $d'$ con $1/d' = 1/f - 1/d$. (c) El vidrio añade $(n - 1)e(r)
\times2\pi/\lambda$: $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$; flecha $10^{-4}/0.1 = 1\,\mathrm{mm}$. (d) Una fase definida módulo $2\pi$ es la misma fase — en la longitud de onda de diseño; en las demás los escalones ya no son longitudes de onda enteras.

**Ejercicio 18.6 ★★.**

*Estigmatismo de un espejo.* Un espejo debe enviar a un punto $F$ una onda plana que llega según su eje. (a) Escríbase la condición “[caminos ópticos](#def-b2-scalar-light-model-path) iguales desde un [frente de onda](#def-b2-scalar-light-model-path) plano hasta $F$ para todos los puntos del espejo” y muéstrese que define una parábola $y^2 = 4fx$ con $F$ en su foco. (b) ¿Por qué es un espejo esférico solo aproximadamente estigmático (compárese $y^2 = 4fx$ con la circunferencia de radio $2f$ cerca del vértice)? (c) Para un espejo de $20\,\mathrm{cm}$ con $f = 1\,\mathrm{m}$, el error de camino de la esfera en el borde, en longitudes de onda de $500\,\mathrm{nm}$. (d) ¿Por qué toleran los radiotelescopios una esfericidad que los ópticos no pueden?

**Solución de Ejercicio 18.6.**

(a) De un [frente de onda](#def-b2-scalar-light-model-path) plano en $x = -D$ a $(x, y)$ y luego a $F(f, 0)$: $D + x
+ \sqrt{(x - f)^2 + y^2} = D + f$, luego $\sqrt{(x - f)^2 + y^2} = f - x$, $y^2 = 4fx$, con $F$ en el foco. (b) La circunferencia $x = 2f - \sqrt{4f^2 - y^2} \approx y^2/4f +
y^4/64f^3$ coincide solo hasta segundo orden. (c) $y^4/64f^3 = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, duplicado por la reflexión: $3\,\text{µ}\mathrm{m}$, seis longitudes de onda — de ahí los espejos parabólicos. (d) Para $\lambda \sim 1\,\mathrm{cm}$ el mismo error es una milésima de longitud de onda.

**Ejercicio 18.7 ★★.**

*Fermat.* El [camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path) de $A$ (en el medio $n_1$) a $B$ (en $n_2$) a través de un punto $P$ de la interfaz plana vale $n_1AP + n_2PB$. (a) Muéstrese que es estacionario (mínimo) para el punto $P$ que cumple $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$. (b) Interprétese: los caminos vecinos tienen la misma fase, así que las ondas que van por ellos se suman — por eso la luz “elige” el rayo de Descartes. (c) Dedúzcase la ley de la reflexión de la misma manera. (d) ¿Por qué el camino a través de una lente de $A$ a su imagen $A'$ es el mismo por todos los rayos, y no meramente estacionario?

**Solución de Ejercicio 18.7.**

(a) $L(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}$: $L' = n_1\sin\theta_1 -
n_2\sin\theta_2 = 0$. (b) Cerca del camino estacionario, los caminos vecinos tienen fases iguales y sus ondas se suman; en otras partes se cancelan. (c) $n_1 = n_2$: $\sin\theta_1 = \sin\theta_r$. (d) El estigmatismo significa que todos los rayos de $A$ a $A'$ tienen caminos iguales: toda una familia de caminos estacionarios, no uno solo.

**Ejercicio 18.8 ★★.**

*Por qué no interfieren dos lámparas.* Dos lámparas de sodio iluminan una pantalla; en un punto, sus ondas tienen amplitudes $a$ y una fase relativa $\Delta\varphi$ que salta al azar cada $\tau_c = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$. (a) Intensidad en ese punto en función de $\Delta\varphi$; su máximo y su mínimo. (b) El detector promedia durante $\tau_d = 1\,\mathrm{ms}$: ¿cuántos valores independientes de $\Delta\varphi$? Intensidad media; tamaño relativo de la fluctuación residual del término de interferencia ($\sim 1/\sqrt N$). (c) Un fotodiodo con $\tau_d = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$: ¿qué vería? (d) ¿Cómo lo consiguió el primer experimento que mostró interferencias entre dos láseres independientes (1963)?

**Solución de Ejercicio 18.8.**

(a) $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi)$: $4I_0$ y $0$. (b) $N = 10^7$: media $2I_0$, residuo $\sim 2I_0/\sqrt N = 6 \times 10^{-4}$ de ella. (c) Durante $10\,\mathrm{ps}$ la fase está congelada: vería franjas que saltan cada $0.1\,\mathrm{ns}$. (d) Con láseres de $\tau_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ y un detector más rápido que eso: las franjas existen durante un microsegundo y se fotografiaron.

**Ejercicio 18.9 ★★.**

*Profundidad aparente.* Una moneda yace a la profundidad $h$ en agua ($n = 1.33$). (a) Con el [camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path) (o la ley de Descartes a ángulos pequeños), muéstrese que un ojo desde arriba la ve a la profundidad $h/n$. (b) $h = 1.2\,\mathrm{m}$: profundidad aparente; ¿en cuánto supera el [camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path) de la moneda al ojo su longitud geométrica? (c) ¿A qué altura aparente ve un pez a la profundidad $h$ una mosca a $1\,\mathrm{m}$ sobre la superficie? (d) ¿Por qué parece aún menos profunda una piscina vista de forma oblicua?

**Solución de Ejercicio 18.9.**

(a) A ángulos pequeños: $\tan i \approx n\tan r$, y los rayos parecen venir de $h/n$. (b) $0.90\,\mathrm{m}$; el [camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path) vale $n \times 1.2 = 1.6\,\mathrm{m}$, $0.4\,\mathrm{m}$ más. (c) $n \times 1 = 1.33\,\mathrm{m}$. (d) A ángulos grandes la refracción es más fuerte y la profundidad aparente, menor.

**Ejercicio 18.10 ★★★.**

*Contraste y coherencia.* Se superponen dos copias de una onda con una diferencia de camino $\delta$; el espectro de la fuente se reparte uniformemente en $[\nu_0 - \Delta\nu/2, \nu_0 + \Delta\nu/2]$, y cada frecuencia interfiere solo consigo misma. (a) Intensidad de una frecuencia: $2I_0
[1 + \cos(2\pi\nu\delta/c)]$. (b) Intégrese sobre la banda y muéstrese que el total vale $2I_0[1 + \operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)\cos(2\pi\nu_0\delta/c)]$ con $\operatorname{sinc}x = \sin x/x$. (c) Defínase el contraste $V = (I_{\max} -
I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ de las franjas cerca de $\delta$ y muéstrese que $V =
|\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)|$: se anula en $\delta = c/\Delta\nu = \ell_c$. (d) Valores para un LED ($\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ a $630\,\mathrm{nm}$): $\delta$ para el que el contraste se anula por primera vez.

**Solución de Ejercicio 18.10.**

(a) Dos ondas iguales con diferencia de fase $2\pi\nu\delta/c$. (b) Promedio sobre la banda:

$$
\frac1{\Delta\nu}\int\cos\frac{2\pi\nu\delta}c\,\dd\nu = \cos\frac{2\pi\nu_0\delta}c\,\operatorname{sinc}\frac{\pi\Delta\nu\,\delta}c .
$$

(c) $I_{\max, \min} = 2I_0(1 \pm |\operatorname{sinc}|)$: $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\delta/c)|$, nulo en $\delta = c/\Delta\nu$. (d) $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 1.9 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$: $\delta =
16\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Ejercicio 18.11 ★★★.**

*Ver estrellas.* El ojo detecta un destello cuando unos $10$ fotones alcanzan un bastón en $0.1\,\mathrm{s}$; la pupila adaptada a la oscuridad mide $7\,\mathrm{mm}$; tómense $500\,\mathrm{nm}$. (a) [Flujo de fotones](#prop-b2-scalar-light-model-intensity) e irradiancia mínimos en el ojo. (b) El Sol da $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$; una estrella de magnitud $m$ da $10^{-0.4(m + 26.7)}$ de eso: irradiancia de una estrella de magnitud 6 (el límite a simple vista) y ritmo de fotones que entra en la pupila; ¿es coherente con (a)? (c) Un telescopio de $200\,\mathrm{mm}$ de abertura: ganancia en fotones y magnitud que alcanza. (d) ¿Por qué hablan los astrónomos del “ruido de fotones” de una imagen débil, y cómo escala con el tiempo de exposición?

**Solución de Ejercicio 18.11.**

(a) $100$ fotones por segundo sobre $38\,\mathrm{mm}^{2}$: $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\times4 \times
10^{-19}$ J: $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. (b) $10^{-13.1} \times 1000 = 8 \times 10^{-11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $2 \times 10^8$ fotones por metro cuadrado y segundo, $8000$ por segundo en la pupila — muy por encima de (a): el límite real del ojo lo fijan el fondo y el reparto entre muchos bastones. (c) $(200/7)^2 = 800$, $+7.3$ magnitudes: $m \approx
13$. (d) $N$ fotones fluctúan en $\sqrt N$: la relación señal-ruido crece como la raíz cuadrada de la exposición.

**Ejercicio 18.12 ★★★.**

*Más allá de lo paraxial.* Una [onda esférica](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/7-ondas-sonoras-en-los-fluidos#prop-b2-sound-waves-spherical) de un punto a la distancia $d$ tiene, a la distancia transversal $r$, el camino suplementario exacto $\sqrt{d^2 +
r^2} - d$. (a) Desarróllese a cuarto orden: $r^2/2d - r^4/8d^3$. (b) El término cuadrático (paraxial) se conserva y el cuártico se desprecia cuando este último queda por debajo de $\lambda/4$: muéstrese que eso exige $r^4 < 2\lambda d^3$. (c) Valores: $d = 1\,\mathrm{m}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$: $r$ máximo; $d = 1\,\mathrm{cm}$ (un microscopio): $r$ máximo y el ángulo correspondiente. (d) Coméntese: las “aberraciones” de la óptica geométrica son estos términos despreciados.

**Solución de Ejercicio 18.12.**

(a) $d(1 + r^2/2d^2 - r^4/8d^4 + \dots) - d$. (b) $r^4/8d^3 < \lambda/4$. (c) $r <
(2\lambda d^3)^{1/4}$: $3.2\,\mathrm{cm}$ para $1\,\mathrm{m}$; $1\,\mathrm{mm}$ para $1\,\mathrm{cm}$, un ángulo de $0.1\,\mathrm{rad}$. (d) La aberración esférica es este término cuártico; las demás aberraciones son sus primas fuera de eje.

![Lámparas de sodio de baja presión en la niebla: una sola raya amarilla, una longitud de coherencia de centímetros — la fuente clásica del laboratorio de óptica, y de las calles de antaño.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-scalar-light-model/img-9aab3b539316.jpg)

*Lámparas de sodio de baja presión en la niebla: una sola raya amarilla, una [longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de centímetros — la fuente clásica del laboratorio de óptica, y de las calles de antaño.*

## 18.5 Problema: una lámpara de sodio y un puntero láser

**Problema 18.1.**

Problema de fin de semana — dos fuentes de luz desmontadas: la lámpara amarilla de la calle antigua, el puntero rojo del aula y el único número que decide si cada una puede hacer franjas

**Parte I — La lámpara de sodio.** El sodio emite su doblete amarillo en $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ y $\lambda_2 =
589.6\,\mathrm{nm}$. La anchura natural de cada raya es $\Delta\nu_{\text{nat}} =
10\,\mathrm{MHz}$; en la lámpara los átomos están a $500\,\mathrm{K}$ (masa del sodio, $23\,\mathrm{u}$, $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $u = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$).

1. Frecuencias de las dos rayas y su diferencia.
2. [Longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de una sola raya si contara únicamente su anchura natural.
3. Ensanchamiento Doppler: un átomo que se mueve a $v$ según la línea de visión emite en $\nu(1 + v/c)$ ; con la celeridad cuadrática media térmica $\sqrt{k_BT  /m}$ según un eje, estímese $\Delta\nu_D$ y compárese con la anchura natural.
4. [Longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de una raya ensanchada por Doppler; en una lámpara real de alta presión las colisiones ensanchan la raya otras diez veces: [longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) entonces.
5. Las dos rayas juntas: ¿en qué diferencia de camino pasan sus sistemas de franjas de la coincidencia a la oposición y de vuelta (la “longitud de batido” $\lambda^2/\Delta\lambda$ )? ¿Cuántas franjas son?
6. Un estudiante monta un interferómetro de dos ondas con la lámpara y aumenta la diferencia de camino desde cero: descríbase el contraste que ve — los batidos y la extinción final — con los números hallados.
7. La lámpara radia $1\,\mathrm{W}$ de luz amarilla: fotones por segundo; energía de un fotón en eV, y por qué la luz es amarilla.
8. Dos lámparas de sodio una al lado de otra: ¿pueden interferir sus luces? ¿Por qué es distinta la pregunta para las dos rayas de una misma lámpara?

**Parte II — El puntero láser.** Un láser de diodo rojo de $1\,\mathrm{mW}$ a $650\,\mathrm{nm}$ emite, cuando es barato, varios modos longitudinales repartidos en $\Delta\lambda = 0.5\,\mathrm{nm}$; uno estabilizado monomodo tiene $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$.

9. [Longitudes de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de los dos punteros.
10. Fotones emitidos por segundo; separación media entre fotones a lo largo del haz (en metros); compárese con la [longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) — ¿qué dice eso sobre “fotones que interfieren”?
11. Conviértase el ensanchamiento de $0.5\,\mathrm{nm}$ en una anchura de frecuencias; la cavidad del diodo mide $1\,\mathrm{mm}$ con $n = 3.5$ : separación de sus modos longitudinales ( $c/2nL$ ) y número de modos en el ensanchamiento.
12. El haz (de $1\,\mathrm{mm}$ de diámetro) incide sobre un fotodiodo en el que cada fotón da un electrón: corriente.
13. El puntero barato se usa en un interferómetro de dos ondas con una diferencia de camino de $2\,\mathrm{mm}$ : ¿franjas o no? ¿Y el estabilizado con $10\,\mathrm{m}$ ?
14. La salida del diodo se enciende y se apaga de hecho en pulsos de $1\,\mathrm{ns}$ : ¿pueden interferir entre sí los pulsos de dos periodos sucesivos? ¿Qué fija aquí la coherencia, la duración del pulso o la anchura de la raya?
15. ¿Por qué se ve “moteada” en una pared la luz de un láser, y por qué no la de la lámpara?
16. Un LED rojo a $650\,\mathrm{nm}$ tiene $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ : [longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) ; ¿por qué prefieren algunos proyectores los LED a los láseres?

**Parte III — [Caminos ópticos](#def-b2-scalar-light-model-path) y detectores.**

17. Se introduce una lámina de vidrio de $2\,\mathrm{mm}$ ( $n = 1.5$ ) en un brazo del interferómetro: [camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path) suplementario y número de franjas que desfilan ante una marca.
18. La lámina se inclina $10{}^{\circ}$ : camino suplementario (úsese $e/\cos r$ para la longitud en el vidrio, menos el aire que reemplaza, en primera aproximación $e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r)$ — o sencillamente estímese con el camino geométrico más largo); orden de magnitud del desplazamiento de franjas.
19. El detector es una cámara con píxeles de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; las franjas están separadas $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : ¿cuántos píxeles por franja, y qué le ocurre al contraste medido si la separación baja a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
20. Exposición de $10\,\mathrm{ms}$ a $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ sobre un píxel: fotones por píxel; ruido de fotones relativo.
21. Dos ondas coherentes iguales de intensidad $I_0$ se encuentran con una diferencia de camino $\delta$ : escríbase la intensidad $I(\delta)$ y el periodo de las franjas en $\delta$ .
22. Las franjas desfilan ante un punto a $1\,\mathrm{kHz}$ (un espejo que vibra): ¿qué ve el ojo y qué ve el fotodiodo?
23. Los brazos del interferómetro recorren $10\,\mathrm{m}$ de aire ( $n - 1 =  2.9 \times 10^{-4}\,$ ): [camino óptico](#def-b2-scalar-light-model-path) en exceso sobre el vacío, en franjas; qué le hace al patrón un cambio del $1\,\%$ de la presión del aire.
24. La lámpara y el puntero dan el mismo $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ : ¿cuál da más fotones por segundo, y por qué no importa para las franjas?
25. Resúmase: para cada fuente, la [longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) , qué la limita y la diferencia de camino que permite en el interferómetro.

**Solución de Problema 18.1.**

**1.** $\nu_1 = 5.0934 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $\nu_2 = 5.0882 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$: $\Delta\nu = 5.2 \times 10^{11}\,\mathrm{Hz}$.

**2.** $c/\Delta\nu_{\text{nat}} = 30\,\mathrm{m}$.

**3.** $\sqrt{k_BT/m} = 425\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\Delta\nu_D \approx 2\nu v/c \approx 1.4\,\mathrm{GHz}$, cien veces la anchura natural.

**4.** $c/\Delta\nu_D \approx 20\,\mathrm{cm}$; con las colisiones, unos $2\,\mathrm{cm}$.

**5.** $\lambda^2/\Delta\lambda = 589^2/0.6$ nm $= 0.58\,\mathrm{mm}$: de la coincidencia a la oposición cada $0.29\,\mathrm{mm}$; unas $1000$ franjas por batido.

**6.** El contraste oscila con un periodo de $0.58\,\mathrm{mm}$ en diferencia de camino (nulo en $0.29$, $0.87$, $1.45\,\mathrm{mm}$, …) dentro de una envolvente que se apaga en unos pocos centímetros: unos cincuenta batidos y luego nada.

**7.** $3 \times 10^{18}\,$ fotones por segundo; $2.1\,\mathrm{eV}$, el amarillo del espectro.

**8.** No: átomos independientes, fases al azar. Las dos rayas de una lámpara vienen también de átomos distintos y no interfieren entre sí: los batidos son dos sistemas de franjas que se suman en *intensidad*.

**9.** $\lambda^2/\Delta\lambda = 0.85\,\mathrm{mm}$; $c/\Delta\nu = 300\,\mathrm{m}$.

**10.** $3.3 \times 10^{15}\,$ por segundo, separados $c/N = 90\,\mathrm{nm}$ a lo largo del haz: diez mil fotones dentro de una [longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence). La interferencia no es que se encuentren fotones: cada fotón interfiere consigo mismo.

**11.** $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 360\,\mathrm{GHz}$; separación de modos $c/2nL = 43\,\mathrm{GHz}$: unos ocho modos.

**12.** $e \times 3.3 \times 10^{15} = 0.5\,\mathrm{mA}$.

**13.** $2\,\mathrm{mm}$ $>$ $0.85\,\mathrm{mm}$: no hay franjas; $10\,\mathrm{m}$ $<$ $300\,\mathrm{m}$: sí las hay.

**14.** Un pulso de un nanosegundo mide $30\,\mathrm{cm}$, mucho más que los $0.85\,\mathrm{mm}$ de [longitud de coherencia](#prop-b2-scalar-light-model-coherence): la coherencia la fija la anchura de la raya, no el pulso; los pulsos sucesivos solo interfieren si la fase del láser sobrevive al periodo apagado — y no lo hace.

**15.** La luz coherente dispersada por la pared rugosa interfiere en la retina con diferencias de camino al azar: moteado. La coherencia micrométrica de la lámpara lo promedia todo.

**16.** $\lambda^2/\Delta\lambda = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$: demasiado corta para el moteado en una pared rugosa — sin moteado, una imagen más suave.

**17.** $(n - 1)e = 1\,\mathrm{mm}$: $1540$ franjas.

**18.** $r = 6.65{}^{\circ}$; camino suplementario $\approx e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r)
= 3.021 - 2.010 = 1.011\,\mathrm{mm}$, $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ más que sin inclinar: unas veinte franjas más.

**19.** Cinco píxeles por franja; con un píxel por franja, el píxel integra un periodo entero y el contraste se hunde.

**20.** $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}$ en el píxel $\times$ $10\,\mathrm{ms}$ $= 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$: $3 \times 10^4$ fotones, ruido del $0.6\%$.

**21.** $I = 2I_0[1 + \cos(2\pi\delta/\lambda)]$: una franja por longitud de onda de diferencia de camino.

**22.** El ojo promedia el movimiento de kilohercios en un campo uniforme; el fotodiodo lo sigue.

**23.** $(n - 1) \times 10 = 2.9\,\mathrm{mm}$: $4500$ franjas; un cambio del $1\%$ de la presión las mueve $45$ franjas — el interferómetro es un barómetro si no se hace el vacío.

**24.** Casi el mismo ritmo de fotones ($2.1\,\mathrm{eV}$ frente a $1.9\,\mathrm{eV}$); las franjas dependen de las amplitudes y las fases, y la cuenta de fotones solo del ruido.

**25.** Lámpara: centímetros, limitada por el ensanchamiento Doppler y por colisiones, con franjas hasta cerca de $1\,\mathrm{cm}$; puntero barato: $0.85\,\mathrm{mm}$, limitado por sus varios modos; láser estabilizado: $300\,\mathrm{m}$, limitado por su anchura de raya.