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title: "Interferencias de dos ondas"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/19-interferencias-de-dos-ondas
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# Capítulo 19 — Interferencias de dos ondas

Una pompa de jabón está hecha de un líquido incoloro y, sin embargo, tornasola de color; una película de aceite en una carretera mojada muestra las mismas bandas de arco iris; las alas de una libélula centellean en verde y violeta. Ninguno de esos colores viene de un pigmento: vienen de dos copias de una misma onda luminosa, reflejadas en las dos caras de una lámina delgada, que llegan con un retardo y se refuerzan o se cancelan — la *interferencia* de dos ondas. Young hizo de ella la prueba de que la luz es una onda en 1801, con dos rendijas y una vela; este capítulo expone la fórmula, la geometría de las franjas de Young, las dos condiciones — coherencia temporal y espacial — bajo las que sobreviven las franjas, y los colores de las láminas delgadas.

![Una película de aceite en una carretera mojada: dos reflexiones, una por cada cara, y un espesor que cambia de un sitio a otro — cada color brilla allí donde 2ne toma el valor adecuado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/img-60384b2e7e32.jpg)

*Una película de aceite en una carretera mojada: dos reflexiones, una por cada cara, y un espesor que cambia de un sitio a otro — cada color brilla allí donde $2ne$ toma el valor adecuado.*

## 19.1 La fórmula de las interferencias

**Teorema 19.1 (Interferencias de dos ondas).**

Dos [ondas monocromáticas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#def-b2-scalar-light-model-scalar) coherentes de intensidades $I_1$, $I_2$ y diferencia de fase $\Delta\varphi$ en un punto $M$ dan allí la intensidad

$$
I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\Delta\varphi(M) , \qquad
\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,\delta(M) ,
$$

donde $\delta$ es la *[diferencia de camino](#thm-b2-two-wave-interference-formula) óptico* entre las dos rutas de la fuente hasta $M$. La intensidad es máxima ($I_1 + I_2 +
2\sqrt{I_1I_2}$) donde $\delta = p\lambda_0$, con $p$ entero — el *[orden de interferencia](#thm-b2-two-wave-interference-formula)* — y mínima ($I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$) donde $\delta = (p +
\tfrac12)\lambda_0$. El *contraste* (visibilidad) de las franjas vale

$$
V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1 + I_2} ,
$$

igual a $1$ para intensidades iguales, caso en que los mínimos son perfectamente oscuros: $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi) = 4I_0\cos^2(\Delta\varphi/2)$.

**Demostración.** $s = a_1\cos(\omega t - \varphi_1) + a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$; $\langle s^2\rangle$ como en [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#ch-b2-scalar-light-model), con $\Delta\varphi$ fijo durante la detección; $I_i = \tfrac12Ka_i^2$. La diferencia de fase de dos ondas que salieron juntas de la fuente y recorrieron los [caminos ópticos](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#def-b2-scalar-light-model-path) $L_1$, $L_2$ vale $2\pi(L_2 - L_1)/\lambda_0$ (más $\pi$ por cada reflexión que invierte el signo, [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)). ∎

**Observación 19.2 (Las tres condiciones).**

Solo hay franjas si (1) las dos ondas vienen de la *misma fuente* (dos copias de una vibración; si no, $\Delta\varphi$ es aleatorio); (2) la [diferencia de camino](#thm-b2-two-wave-interference-formula) es menor que la [longitud de coherencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence), $|\delta| < \ell_c$ (*coherencia temporal*: más allá, las copias pertenecen a [trenes de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) distintos); (3) la fuente es lo bastante pequeña como para que sus distintos puntos no produzcan sistemas de franjas desplazados que se borren entre sí (*[coherencia espacial](#prop-b2-two-wave-interference-spatial)*, más abajo). Y una cuarta, casi siempre satisfecha: las dos ondas no deben tener polarizaciones perpendiculares (se sumarían en intensidad, como las linternas).

## 19.2 Las rendijas de Young

**Proposición 19.3 (División del frente de onda: el experimento de Young).**

Una fuente puntual $S$ (o una rendija) ilumina dos rendijas paralelas estrechas $S_1$, $S_2$ separadas una distancia $a$ y equidistantes de $S$; una pantalla está a la distancia $D \gg a$. En el punto de la pantalla de altura $x$ (paralela a $a$) la [diferencia de camino](#thm-b2-two-wave-interference-formula) vale

$$
\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{ax}D ,
$$

y la pantalla muestra franjas rectas y equidistantes, brillantes en $x_p =
p\lambda D/a$, con la *interfranja*

$$
i = \frac{\lambda D}a .
$$

Las franjas existen en todas partes detrás de las rendijas (no están *localizadas*); con una lente de distancia focal $f$ tras las rendijas, se ven en su plano focal con $i = \lambda f/a$ (franjas “en el infinito”). La intensidad vale $4I_0\cos^2(\pi ax/\lambda D)$.

**Demostración.** $S_2M^2 - S_1M^2 = [(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2] = 2ax$ y $S_2M + S_1M \approx 2D$, luego $\delta \approx 2ax/2D$. Dos órdenes difieren en $\lambda$, es decir, en $\Delta x = \lambda D/a$. Con una lente, las dos ondas que salen de las rendijas con el ángulo $\theta$ respecto del eje tienen la [diferencia de camino](#thm-b2-two-wave-interference-formula) $a\sin\theta \approx a\theta$ y se encuentran en $x = f\theta$. ∎

![A la izquierda, las rendijas de Young — dos copias de la onda de la fuente se encuentran en la pantalla con la diferencia de camino ax/D; franjas brillantes cada D/a. A la derecha, el perfil de intensidad, 4I_0 2(π x/i) para ondas iguales (línea continua) y con contraste reducido (discontinua).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-1e7a413a9a78.svg)

*A la izquierda, las [rendijas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) — dos copias de la onda de la fuente se encuentran en la pantalla con la [diferencia de camino](#thm-b2-two-wave-interference-formula) $ax/D$; franjas brillantes cada $\lambda D/a$. A la derecha, el perfil de intensidad, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ para ondas iguales (línea continua) y con contraste reducido (discontinua).*

**Ejemplo 19.4 (Números, y la luz blanca).**

$a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $D = 2\,\mathrm{m}$, $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$: $i = 2.4\,\mathrm{mm}$ — bastante grande para verse, y por eso las [rendijas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) deben estar cerca y la pantalla lejos. Con luz blanca cada color hace sus propias franjas, todas coincidentes en el centro ($\delta = 0$): una franja central blanca, luego franjas coloreadas a medida que los órdenes se separan (la $i$ del rojo es $1.8$ veces la del violeta) y, tras unos pocos órdenes, un campo blanquecino uniforme — la [longitud de coherencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de la luz blanca es de un micrómetro, dos o tres longitudes de onda. Un espectrómetro apuntado a ese campo “blanco” sigue viendo bandas oscuras en las longitudes de onda para las que $\delta = (p + \tfrac12)\lambda$: un *espectro acanalado*.

**Proposición 19.5 (Coherencia espacial: la fuente debe ser pequeña).**

Cada punto de una [fuente extensa](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) produce su propio sistema de franjas; un punto de la fuente desplazado transversalmente $b$ a la distancia $L$ antes de las rendijas desplaza las franjas $x = bD/L$ (la [diferencia de camino](#thm-b2-two-wave-interference-formula) gana $ab/L$). Una fuente de anchura $b$ reparte las franjas sobre una interfranja, y el contraste se anula cuando

$$
\frac{ab}L \approx \lambda , \qquad\text{es decir, cuando las rendijas ven la fuente bajo un ángulo } \frac bL \gtrsim \frac\lambda a .
$$

Las dos rendijas deben estar dentro del *área de coherencia* de la luz — la región en la que la onda de la fuente tiene una fase bien definida —, de anchura $\lambda L/b$. La luz solar ($b/L = 0.5{}^{\circ} = 9\,\mathrm{mrad}$) da una anchura de coherencia de $\lambda/0.009 \approx 60\,\text{µ}\mathrm{m}$: Young necesitó un agujerito para ensancharla.

**Demostración.** Para un punto de la fuente a la altura $b$, el camino suplementario $SS_2 - SS_1 \approx -ab/L$ se suma a $ax/D$: el patrón se desplaza $x = bD/L$. Integrando los patrones de $\cos^2$ desplazados sobre una fuente de anchura $b$ resulta un contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$, nulo para $ab/L = \lambda$. ∎

![Coherencia espacial: el borde superior y el inferior de una fuente extensa envían sistemas de franjas desplazados uno respecto del otro; cuando el desplazamiento alcanza una interfranja, el patrón se borra.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-e2a82acc1a1b.svg)

*[Coherencia espacial](#prop-b2-two-wave-interference-spatial): el borde superior y el inferior de una [fuente extensa](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) envían sistemas de franjas desplazados uno respecto del otro; cuando el desplazamiento alcanza una interfranja, el patrón se borra.*

## 19.3 Láminas delgadas: división de amplitud

**Proposición 19.6 (Interferencias en una lámina delgada).**

Una lámina de índice $n$ y espesor $e$ en el aire, iluminada con incidencia $i$ (ángulo de refracción $r$), devuelve dos ondas reflejadas en sus dos caras, con la [diferencia de camino](#thm-b2-two-wave-interference-formula)

$$
\delta = 2ne\cos r \ (+\tfrac{\lambda_0}2) ,
$$

donde la media longitud de onda suplementaria cuenta la inversión de signo de la reflexión en el medio más denso en la primera cara y no en la segunda ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)). Las franjas son brillantes para $2ne\cos r =
(p + \tfrac12)\lambda_0$ y oscuras para $2ne\cos r = p\lambda_0$ — una lámina de espesor que tiende a cero *no* refleja nada (la cima negra de una película de jabón que escurre). Para una lámina de espesor uniforme las franjas dependen solo de $i$ y se ven en el infinito (anillos de *igual inclinación*); para una cuña de espesor lentamente variable vista con incidencia casi normal siguen las curvas de igual $e$ y están localizadas en la lámina (franjas de *igual espesor*): una cuña de aire de ángulo $\alpha$ muestra franjas rectas separadas $\lambda_0/2\alpha$; una lente de radio $R$ sobre una placa plana da los *anillos de Newton*, oscuros en $r_p = \sqrt{p\lambda_0R}$.

**Demostración.** Geometría: la onda refractada en la primera cara cruza la lámina dos veces ($2e/\cos r$ en el vidrio, [camino óptico](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#def-b2-scalar-light-model-path) $2ne/\cos r$) mientras que la onda reflejada en la primera cara avanza $2e\tan r\sin i$ en el aire; la diferencia vale $2ne/\cos r - 2e\tan r\sin i = 2ne\cos r$ con $\sin i = n\sin r$. Para la cuña, $e = \alpha x$ y las franjas oscuras sucesivas están en $2\alpha x = p\lambda$; para la lente, $e \approx r^2/2R$. ∎

![A la izquierda, las dos reflexiones de una lámina delgada — una por cada cara, la segunda retrasada por el doble recorrido. A la derecha, una cuña de aire entre dos placas muestra franjas rectas de igual espesor, una por cada media longitud de onda de hueco suplementario.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-f9c3e7c4280d.svg)

*A la izquierda, las dos reflexiones de una lámina delgada — una por cada cara, la segunda retrasada por el doble recorrido. A la derecha, una cuña de aire entre dos placas muestra franjas rectas de igual espesor, una por cada media longitud de onda de hueco suplementario.*

**Ejemplo 19.7 (Jabón, aceite, libélulas).**

Una película de jabón ($n = 1.33$) de $300\,\mathrm{nm}$ de espesor vista con incidencia normal: brillante para $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$, es decir, $\lambda = 798/(p + \tfrac12)$ nm: $532\,\mathrm{nm}$ (verde, $p = 1$) dentro del visible, y una banda oscura en $400\,\mathrm{nm}$; la película se ve verde. Al escurrir y adelgazar, el color recorre la secuencia y acaba en negro. Una película de aceite ($400\,\mathrm{nm}$, $n = 1.45$) sobre agua ($1.33$): la segunda reflexión, hacia un índice menor, no invierte el signo, así que de nuevo $\delta = 2ne + \lambda/2$ y la película brilla para $2ne =
(p + \tfrac12)\lambda$: $464\,\mathrm{nm}$ ($p = 2$), azul. La iridiscencia del ala de una mariposa, del caparazón de un escarabajo o de un disco compacto son interferencias del mismo tipo (las del disco, de muchas ondas: [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/21-interferencias-de-muchas-ondas-y-redes-de-difraccion#ch-b2-gratings)), y por eso cambian con el ángulo — $\delta$ depende de $\cos r$ — mientras que el color de un pigmento no.

**Método 19.8 (Cómo resolver un problema de interferencias).**

(1) Identifíquense las dos rutas de la fuente hasta $M$ y calcúlese la [diferencia de camino](#thm-b2-two-wave-interference-formula) óptico $\delta(M)$, añadiendo $\lambda/2$ por cada reflexión con inversión de signo. (2) $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda)$; brillante en $\delta = p\lambda$. (3) La separación de las franjas, con $\delta(M + \Delta M) - \delta(M) =
\lambda$. (4) Compruébense la coherencia temporal ($\delta_{\max} < \ell_c$, número de franjas visibles $\sim\lambda/\Delta\lambda$) y la [coherencia espacial](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) (ángulo de la fuente $< \lambda/a$). (5) Dígase dónde están localizadas las franjas (en todas partes para dos fuentes puntuales; en la lámina para las [franjas de igual espesor](#prop-b2-two-wave-interference-film); en el infinito para las de igual inclinación).

## 19.4 Ejercicios

**Ejercicio 19.1 ★.**

[Rendijas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) separadas $a = 0.40\,\mathrm{mm}$, pantalla a $D = 1.5\,\mathrm{m}$, $\lambda =
633\,\mathrm{nm}$: interfranja; orden de la franja en $x = 1.0\,\mathrm{cm}$; posición de la décima franja oscura; interfranja con las rendijas separadas $2\,\mathrm{mm}$, y en agua ($n = 1.33$).

**Solución de Ejercicio 19.1.**

$i = \lambda D/a = 2.4\,\mathrm{mm}$; $x/i = 4.2$; décima franja oscura en $9.5i = 22.5\,\mathrm{mm}$; con $a = 2\,\mathrm{mm}$: $0.47\,\mathrm{mm}$; en agua, $\lambda/n$: $1.8\,\mathrm{mm}$.

**Ejercicio 19.2 ★.**

Dos ondas de intensidades $I_0$ e $I_0/4$ interfieren: $I_{\max}$, $I_{\min}$ y contraste. Lo mismo para $I_0$ e $I_0/100$: ¿por qué siguen viéndose franjas con haces tan desiguales? Una de las rendijas del par de Young se cubre con un filtro gris que transmite el $50\%$: nuevo contraste.

**Solución de Ejercicio 19.2.**

$1.25I_0 \pm I_0$: $V = 0.8$. $1.01I_0 \pm 0.2I_0$: $V = 0.2$ — el término de interferencia va como el cociente de *amplitudes*, $1/10$, no como el de intensidades. Con el filtro: $V = 2\sqrt{0.5}/1.5 = 0.94$.

**Ejercicio 19.3 ★.**

Una película de jabón de $250\,\mathrm{nm}$ de espesor ($n = 1.33$) vista con incidencia normal: longitudes de onda visibles más y menos reflejadas; su color. Una película de $1.0\,\text{µ}\mathrm{m}$: ¿cuántas longitudes de onda brillantes en el visible, y qué ve el ojo?

**Solución de Ejercicio 19.3.**

$2ne = 665\,\mathrm{nm}$: brillante en $665/(p + \tfrac12)$: $443\,\mathrm{nm}$ (azul violáceo); oscuro en $665/p$: $665\,\mathrm{nm}$ (rojo): una película azul. $e = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$: $2ne = 2660\,\mathrm{nm}$, brillante en $760$, $591$, $484$ y $409\,\mathrm{nm}$ — cuatro colores a la vez, un blanco rosado deslavado.

**Ejercicio 19.4 ★.**

Anillos de Newton entre una lente de radio $R = 2.0\,\mathrm{m}$ y una placa plana, con luz de sodio: radios de los tres primeros anillos oscuros; número de anillos dentro de un radio de $1\,\mathrm{cm}$; ¿es brillante u oscuro el centro, y por qué? ¿Qué cambia si el hueco se llena de agua?

**Solución de Ejercicio 19.4.**

$r_p = \sqrt{p\lambda R}$: $1.09$, $1.53$, $1.88\,\mathrm{mm}$; $p = r^2/\lambda R = 85$ anillos dentro de $1\,\mathrm{cm}$; el centro es oscuro: espesor nulo y una sola inversión de signo. Con agua: radios divididos por $\sqrt n$, $98$ anillos.

**Ejercicio 19.5 ★★.**

*Luz blanca.* [Rendijas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) con luz blanca ($400$–$700\,\mathrm{nm}$), $a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $D = 1\,\mathrm{m}$. (a) Interfranja del violeta y del rojo; posición de la segunda franja brillante roja y de la tercera violeta. (b) ¿A partir de qué orden se solapan las franjas roja y violeta de órdenes sucesivos? (c) En $x = 5\,\mathrm{mm}$, ¿qué longitudes de onda faltan (espectro acanalado)? (d) Explíquese la sucesión de colores vista desde el centro hacia fuera.

**Solución de Ejercicio 19.5.**

(a) $i = 0.8$ y $1.4\,\mathrm{mm}$; la segunda roja, $2.8\,\mathrm{mm}$, y la tercera violeta, $2.4\,\mathrm{mm}$. (b) El orden $p$ del rojo, en $1.4p$ mm, se encuentra con el orden $p + 1$ del violeta, en $0.8(p + 1)$: desde $p = 2$ los órdenes se solapan. (c) $\delta = ax/D = 2.5\,\text{µ}\mathrm{m}$: faltan $\lambda = \delta/(p +
\tfrac12)$: $714$, $556$ y $455\,\mathrm{nm}$. (d) Centro blanco; luego franjas con un borde interior azul y otro exterior rojo; hacia el tercer orden los colores se mezclan en blanco.

**Ejercicio 19.6 ★★.**

*Tamaño de la fuente.* Una lámpara de sodio ilumina las [rendijas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) ($a = 1.0\,\mathrm{mm}$) a través de una rendija fuente a $L = 40\,\mathrm{cm}$. (a) Anchura máxima de la rendija fuente para un buen contraste (tómese $ab/L < \lambda/4$). (b) La rendija fuente se ensancha a $0.5\,\mathrm{mm}$: contraste (úsese $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$). (c) ¿Por qué no puede usarse la lámpara desnuda (de $1\,\mathrm{cm}$ de anchura)? (d) Con el Sol como fuente, de $9\,\mathrm{mrad}$ de diámetro angular: separación máxima de las rendijas que todavía da franjas.

**Solución de Ejercicio 19.6.**

(a) $b < \lambda L/4a = 59\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $\pi ab/\lambda L = 6.7$: contraste $|\sin6.7|/6.7
= 0.06$. (c) Una fuente de un centímetro abarca cientos de interfranjas de desplazamiento: sin franjas. (d) $a < \lambda/\theta = 61\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Ejercicio 19.7 ★★.**

*Espejo de Lloyd.* Una fuente puntual a la altura $h = 0.2\,\mathrm{mm}$ sobre un espejo plano, con la pantalla a $D = 1.0\,\mathrm{m}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$: la onda directa interfiere con la reflejada por el espejo (una fuente virtual en $-h$). (a) Interfranja. (b) La franja del borde del espejo ($x = 0$) es oscura: ¿qué dice eso de la reflexión? (c) Número de franjas visibles si la [longitud de coherencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de la fuente es de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) ¿Por qué es este montaje el “interferómetro marino” del radioastrónomo para una estrella que sale?

**Solución de Ejercicio 19.7.**

(a) $a = 2h = 0.4\,\mathrm{mm}$: $i = \lambda D/a = 1.25\,\mathrm{mm}$. (b) En $x = 0$ los caminos son iguales y sin embargo la franja es oscura: la reflexión añade $\pi$ (inversión de signo con incidencia rasante sobre el medio más denso). (c) $\delta = ax/D <
50\,\text{µ}\mathrm{m}$: $100$ franjas. (d) El mar es el espejo y la antena de lo alto del acantilado, la pantalla: al subir la fuente, las franjas desfilan y dan su elevación.

**Ejercicio 19.8 ★★.**

*Cuña de aire.* Dos placas de vidrio de $10\,\mathrm{cm}$ de largo se tocan por un extremo y están separadas en el otro por un cabello de diámetro $d$; con luz de sodio se cuentan $42$ franjas oscuras. (a) $d$. (b) Separación de las franjas. (c) El hueco se llena de agua: número de franjas. (d) Se aprieta un poco por el extremo alejado: ¿qué hacen las franjas, y qué precisión sobre $d$ da contar un cuarto de franja?

**Solución de Ejercicio 19.8.**

(a) $2d = 42\lambda$: $d = 12.4\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $100/42 = 2.4\,\mathrm{mm}$. (c) $2nd = p\lambda$: $56$ franjas. (d) Las franjas se mueven hacia el extremo alejado y se separan a medida que $d$ disminuye; un cuarto de franja son $\lambda/8 = 74\,\mathrm{nm}$ sobre $d$.

**Ejercicio 19.9 ★★.**

*Aceite sobre agua.* Una película de aceite ($n = 1.45$) de espesor $e$ flota sobre agua ($n = 1.33$). (a) ¿Cuál de las dos reflexiones invierte el signo? [Diferencia de camino](#thm-b2-two-wave-interference-formula). (b) Para $e = 400\,\mathrm{nm}$ con incidencia normal: longitudes de onda reflejadas reforzadas y canceladas; color. (c) Película más delgada que se ve violeta ($420\,\mathrm{nm}$). (d) ¿Por qué se desplazan los colores hacia el azul cuando la película se mira de forma oblicua? (e) ¿Qué cambia para una película cuyo índice queda *entre* los de los dos medios (un tratamiento sobre vidrio)?

**Solución de Ejercicio 19.9.**

(a) Solo la primera (aire $\to$ aceite, más denso); aceite $\to$ agua va hacia un índice menor: $\delta = 2ne + \lambda/2$, brillante en $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$. (b) $2ne =
1160\,\mathrm{nm}$: reforzadas $773$ (borde del visible) y $464\,\mathrm{nm}$ (azul); canceladas $1160/p$: $580\,\mathrm{nm}$ (amarillo): azul. (c) $2ne = \lambda/2$: $e = 72\,\mathrm{nm}$. (d) $\delta = 2ne\cos r$ decrece con el ángulo: las longitudes de onda reforzadas se mueven hacia el azul. (e) Entonces ambas reflexiones invierten el signo, sin $\lambda/2$ suplementaria: brillante en $2ne = p\lambda$ y oscuro en $(p + \tfrac12)\lambda$ — la [capa antirreflejante](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#prop-b2-wave-interfaces-optics) de cuarto de onda.

**Ejercicio 19.10 ★★★.**

*Una lámina en una rendija.* Una placa de vidrio de espesor $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ e índice $1.5$ cubre la rendija $S_1$ de un par de Young ($a = 1\,\mathrm{mm}$, $D =
2\,\mathrm{m}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$). (a) [Camino óptico](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#def-b2-scalar-light-model-path) suplementario; ¿cuántas franjas y en qué sentido se desplaza el patrón? (b) Con luz blanca, ¿a dónde va la franja central blanca (ya desplazada); sigue siendo visible? La [longitud de coherencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) es de $1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$. (c) Úsese el patrón de luz blanca para medir $e$: ¿cómo? (d) Se inclina la placa: el desplazamiento crece — muéstrese que a primer orden crece como $e(n - 1)\theta^2/2 \times (1 + 1/n)$ y estímese para $5{}^{\circ}$.

**Solución de Ejercicio 19.10.**

(a) $(n - 1)e = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $20$ franjas, hacia la rendija cubierta (donde el camino geométrico debe acortarse $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ para restaurar $\delta = 0$): $x = (n - 1)eD/a = 2\,\mathrm{cm}$. (b) La franja blanca se sitúa allí; la dispersión del vidrio ($\Delta n \approx 0.01$ en el visible, es decir, $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de camino) queda por debajo de $\ell_c$: sigue visible, algo coloreada. (c) Mídase el desplazamiento de la franja blanca: $e = (\text{desplazamiento})\,a/(n - 1)D$. (d) $e(n - 1)\theta^2
(1 + 1/n)/2 = 63\,\mathrm{nm}$ a $5{}^{\circ}$: un octavo de franja.

**Ejercicio 19.11 ★★★.**

*El interferómetro estelar.* Dos espejos separados una distancia $a$ recogen la luz de una estrella y la hacen interferir. La estrella es un disco uniforme de diámetro angular $\theta$; cada punto suyo desplaza las franjas, y el contraste se anula para $a = 1.22\lambda/\theta$ (admitido, la versión del disco de $ab/L = \lambda$). (a) Betelgeuse, $\theta = 0.047''$ (segundos de arco), $\lambda = 570\,\mathrm{nm}$: base con la que desaparecen las franjas (Michelson, 1920, Monte Wilson). (b) ¿Por qué no puede un solo telescopio de $2.5\,\mathrm{m}$ resolver el disco (su límite es $1.22\lambda/d$)? (c) Los interferómetros modernos enlazan telescopios separados $100\,\mathrm{m}$: diámetro medible más pequeño. (d) ¿Por qué deben ser iguales los dos caminos dentro de la [longitud de coherencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence), y cuánto vale esta para un filtro de $10\,\mathrm{nm}$?

**Solución de Ejercicio 19.11.**

(a) $\theta = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$: $a = 1.22\lambda/\theta = 3.1\,\mathrm{m}$. (b) Su límite $1.22\lambda/d =
0.057''$ queda por encima del diámetro de la estrella, y la atmósfera difumina hasta $1''$. (c) $1.22\lambda/100 = 7 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 1.4\,\mathrm{mas}$. (d) Las franjas exigen $\delta < \ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 32\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Ejercicio 19.12 ★★★.**

*Anillos de igual inclinación.* Una lámina de caras paralelas de espesor $e =
2.0\,\mathrm{mm}$ e índice $1.5$ se ilumina con una fuente de sodio extensa; la luz reflejada se enfoca con una lente de $f = 50\,\mathrm{cm}$. (a) Muéstrese que los anillos están en los ángulos $i_p$ con $2ne\cos r_p = (p + \tfrac12)\lambda$ (brillantes) y que, cerca del centro, $\cos r \approx 1 - i^2/2n^2$. (b) Orden en el centro; ¿es brillante el centro? (c) Radios de los tres primeros anillos brillantes en el plano focal. (d) ¿Por qué se ven estos anillos con una [fuente extensa](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) mientras que las franjas de Young necesitan una estrecha? (Localización en el infinito.)

**Solución de Ejercicio 19.12.**

(a) $\delta = 2ne\cos r + \lambda/2$; $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2i/n^2} \approx 1 - i^2/2n^2$. (b) $2ne/\lambda = 10186.8$: el centro, con $p + \tfrac12$ entre $10186.5$ y $10187.5$, no es ni brillante ni oscuro. (c) $i_p^2 = 2n^2[1 - (p + \tfrac12)\lambda/
2ne]$ para $p = 10186$, $10185$, $10184$: $i = 0.011$, $0.024$, $0.032\,\mathrm{rad}$, $r = fi
= 5.4$, $11.8$, $15.8\,\mathrm{mm}$. (d) El ángulo $i$ por sí solo fija el orden: cada punto de la fuente alimenta el mismo anillo con el mismo ángulo, así que los anillos, vistos en el infinito, sobreviven a una fuente amplia.

![Franjas de igual espesor entre un plano óptico y una superficie de acero en ensayo, en la fotografía de un mecánico de hacia 1915: franjas rectas sobre una superficie plana y curvadas donde está desgastada — cada franja, un escalón de media longitud de onda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/img-6d8268ebe5b4.jpg)

*[Franjas de igual espesor](#prop-b2-two-wave-interference-film) entre un plano óptico y una superficie de acero en ensayo, en la fotografía de un mecánico de hacia 1915: franjas rectas sobre una superficie plana y curvadas donde está desgastada — cada franja, un escalón de media longitud de onda.*

## 19.5 Problema: los espejos de Fresnel y una película de aceite

**Problema 19.1.**

Problema de fin de semana — un interferómetro de 1816 y un arco iris en un charco: dos maneras de desdoblar una onda y las dos coherencias que limitan ambas

**Parte I — Los espejos de Fresnel.** Dos espejos planos que se tocan a lo largo de una línea forman un ángulo muy pequeño $\alpha =
5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$; una rendija fuente $S$, paralela a esa línea, está a $d =
20\,\mathrm{cm}$ de ella, y la pantalla a $D = 1.5\,\mathrm{m}$ más allá. $\lambda =
589\,\mathrm{nm}$ (sodio).

1. Muéstrese que los dos espejos dan dos imágenes virtuales $S_1$ , $S_2$ de $S$ sobre una circunferencia de radio $d$ centrada en la línea de contacto, separadas $a = 2\alpha d$ ; valor.
2. ¿Por qué interfieren las ondas de $S_1$ y $S_2$ , mientras que las de dos lámparas separadas no lo harían?
3. Interfranja en la pantalla (distancia de las fuentes a la pantalla $\approx d + D$ ); número de franjas en la región de $5\,\mathrm{mm}$ de ancho donde se solapan los dos haces reflejados.
4. [Orden de interferencia](#thm-b2-two-wave-interference-formula) en el borde de esa región; ¿queda por debajo del límite que fija la [longitud de coherencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de la lámpara ( $2\,\mathrm{cm}$ )?
5. La rendija fuente mide $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de ancho: desplazamiento de las franjas que producen sus dos bordes (cada punto de la fuente se imagina en dos puntos virtuales; el sistema de franjas se desplaza $bD'/d$ con $D' =  d + D$ ); ¿se conserva el contraste (compárese con $i$ )?
6. La rendija se ensancha a $0.1\,\mathrm{mm}$ : contraste, usando $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)|$ .
7. Los dos espejos reflejan el $90\%$ y el $80\%$ de la luz: contraste de las franjas.
8. Se coloca una placa de vidrio de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espesor ( $n = 1.5$ ) delante de uno de los espejos: desplazamiento del patrón, en franjas; ¿puede seguirse con luz de sodio? ¿Y con luz blanca?
9. Sustitúyase la lámpara de sodio por luz blanca: descríbase la pantalla; ¿cuántas franjas coloreadas a cada lado del centro?

**Parte II — La película de aceite.** Una película de aceite ($n = 1.45$) se extiende sobre una carretera mojada ($n_{\text{agua}} = 1.33$), iluminada por el cielo cubierto y vista con incidencia casi normal.

10. Reflexiones en las dos caras: ¿cuáles invierten el signo? [Diferencia de camino](#thm-b2-two-wave-interference-formula) ; condición para un color brillante.
11. Espesor de la región más delgada que se ve roja ( $\lambda =  650\,\mathrm{nm}$ ); verde ( $550\,\mathrm{nm}$ ); violeta ( $420\,\mathrm{nm}$ ).
12. Una región de $600\,\mathrm{nm}$ de espesor: qué longitudes de onda visibles se refuerzan y cuáles se cancelan; su color.
13. ¿Por qué muestra la película bandas de color (qué varía a lo largo de la carretera), y por qué siguen las bandas las curvas de igual espesor?
14. La película adelgaza por evaporación: descríbase el cambio de la secuencia de colores en un punto dado; ¿qué se ve cuando $e \to 0$ aquí, claro u oscuro? Compárese con una película de jabón en el aire.
15. La cima de una película de jabón que escurre se vuelve negra justo antes de romperse: espesor allí (unos pocos nanómetros) y por qué es negra.
16. Vista con incidencia de $60{}^{\circ}$ : ángulo de refracción en el aceite y desplazamiento de las longitudes de onda brillantes de la pregunta 11.
17. ¿A partir de qué espesor se desvanecen los colores en un gris uniforme, para una luz diurna de [longitud de coherencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de aproximadamente $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
18. La luz del cielo no está polarizada y llega de muchas direcciones: ¿por qué no se borra el patrón como borra una [fuente extensa](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) las franjas de Young? (Localización en la lámina.)

**Parte III — Las dos coherencias.**

19. Coherencia temporal: para los espejos de Fresnel con luz de sodio, el orden máximo visible; y con un láser ( $\ell_c = 10\,\mathrm{m}$ ).
20. [Coherencia espacial](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) : la anchura máxima de la fuente para los espejos (a partir de $ab/d < \lambda/4$ ) y para las [rendijas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) con $a = 1\,\mathrm{mm}$ a $L = 40\,\mathrm{cm}$ .
21. Explíquese por qué la lámina delgada tolera una [fuente extensa](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) mientras que las [rendijas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) no: dibújense los dos rayos de la lámina para dos puntos distintos de la fuente y muéstrese que siguen encontrándose en la lámina.
22. La propia raya del sodio mide $0.02\,\mathrm{nm}$ de anchura: ¿cuántas franjas pueden mostrar los espejos como mucho (úsese $N \approx \lambda/\Delta\lambda$ )?
23. Un estudiante sustituye la lámpara de sodio por un LED verde ( $\Delta\lambda =  30\,\mathrm{nm}$ ): número de franjas visibles con los espejos.
24. Con un láser, las franjas se extienden por toda la región de solapamiento con contraste pleno, pero la pantalla queda “moteada”: ¿por qué?
25. En una tabla, para los espejos y para la lámina: cómo se desdobla la onda, dónde están localizadas las franjas, qué limita su número y qué hace una fuente más ancha.

**Solución de Problema 19.1.**

**1.** Cada espejo forma de $S$ una imagen por simetría a la distancia $d$ de la línea de contacto; las dos imágenes están sobre la circunferencia de radio $d$, separadas por el ángulo $2\alpha$: $a = 2\alpha d = 2\,\mathrm{mm}$.

**2.** $S_1$ y $S_2$ son dos imágenes de la misma vibración: sus saltos de fase son los mismos.

**3.** $i = \lambda(d + D)/a = 589 \times 10^{-9} \times 1.7/2 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{mm}$: diez franjas en $5\,\mathrm{mm}$.

**4.** $\delta = ax/(d + D) = 2.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ en el borde, $p = 5$: muy por debajo de $\ell_c/\lambda = 34\,000$.

**5.** Desplazamiento $bD'/d = 20 \times 10^{-6} \times 1.7/0.2 = 0.17\,\mathrm{mm}$, un tercio de $i$: contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)| = \operatorname{sinc}(1.07) = 0.82$.

**6.** $\pi ab/\lambda d = 5.3$: $|\sin5.3|/5.3 = 0.16$.

**7.** Amplitudes $\sqrt{0.9}$, $\sqrt{0.8}$: $V = 2\sqrt{0.72}/1.7 = 0.998$.

**8.** $(n - 1)e = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$: $8.5$ franjas; se sigue sin dificultad con luz de sodio; con luz blanca la franja blanca se mueve $8.5i = 4.2\,\mathrm{mm}$ y sigue ahí (la dispersión del vidrio cuesta una fracción de micrómetro).

**9.** Una franja central blanca, dos o tres franjas coloreadas a cada lado y luego un blanco uniforme.

**10.** Aire $\to$ aceite invierte, aceite $\to$ agua (índice menor) no: $\delta = 2ne + \lambda/2$; brillante para $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$.

**11.** $e = \lambda/4n$: rojo $112\,\mathrm{nm}$, verde $95\,\mathrm{nm}$, violeta $72\,\mathrm{nm}$.

**12.** $2ne = 1740\,\mathrm{nm}$: reforzadas $1740/(p + \tfrac12)$: $696$ (rojo), $497$ (azul verdoso), $387\,\mathrm{nm}$; canceladas $1740/p$: $580$ (amarillo), $435\,\mathrm{nm}$: una mezcla púrpura de rojo y azul verdoso.

**13.** El espesor varía a lo largo de la carretera; cada color es brillante allí donde $2ne$ toma el valor adecuado, así que las bandas son curvas de igual espesor.

**14.** Los órdenes bajan: los colores recorren la secuencia hacia el extremo delgado; cuando $e \to 0$, la única inversión de signo deja $\delta = \lambda/2$ para todos los colores: oscuro — como para una película de jabón en el aire.

**15.** Unos pocos nanómetros: $2ne \ll \lambda$ para todos los colores, las dos reflexiones están en antifase y se cancelan: negro.

**16.** $\sin r = \sin60^\circ/1.45$, $r = 37{}^{\circ}$, $\cos r = 0.80$: $2ne\cos r
= 1390\,\mathrm{nm}$, brillante en $928$, $557$ y $398\,\mathrm{nm}$: el rojo de la pregunta 12 se ha vuelto verde amarillento — hacia el azul.

**17.** Cuando $2ne$ supera $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$, es decir, más allá de unos $0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ de aceite, los órdenes se solapan y los colores se apagan en gris.

**18.** Los dos rayos reflejados por la lámina para cualquier dirección de la fuente se reencuentran en la lámina: las franjas están localizadas allí y una fuente amplia y multidireccional se limita a añadir patrones idénticos.

**19.** $\ell_c/\lambda$: $34\,000$ con sodio, $1.7 \times 10^7$ con el láser.

**20.** $b < \lambda d/4a$: $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ para los espejos y $59\,\text{µ}\mathrm{m}$ para las rendijas.

**21.** Dibújense dos puntos de la fuente: para cada uno, los dos rayos reflejados se recombinan en el mismo punto de la lámina, con la misma $\delta = 2ne\cos r$ con incidencia casi normal; el patrón de la lámina no se mueve, y el de Young sí.

**22.** $\lambda/\Delta\lambda = 589/0.02 \approx 30\,000$.

**23.** $550/30 \approx 18$ franjas.

**24.** La luz coherente dispersada por los granos de la pantalla interfiere con fases al azar en el ojo: moteado.

**25.** Espejos: [división del frente de onda](#prop-b2-two-wave-interference-young), franjas en todas partes (no localizadas), número limitado por $\ell_c/\lambda$, y una fuente ancha las borra. Lámina: [división de amplitud](#prop-b2-two-wave-interference-film), franjas en la lámina, colores limitados por $\ell_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{m}$, y una fuente ancha es inocua.