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title: "Cinemática de fluidos"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos
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# Capítulo 2 — Cinemática de fluidos

Asómese uno al pretil de un puente y mire el río. Una hoja pasa a la deriva, se acelera entre las pilas, se remansa en la poza de aguas abajo, da una vuelta en un remolino y sigue. Podría describirse el río siguiendo esa hoja — su posición y su velocidad en cada instante — o quedándose quieto y registrando, en cada punto del río, con qué rapidez pasa el agua. La segunda descripción es la del físico de fluidos: un *campo de velocidades*. Este capítulo establece las dos descripciones, aprende a calcular la aceleración de una partícula a partir del campo, escribe la conservación de la masa como una ley local y clasifica los flujos según giren o no — el vocabulario que necesitarán las ecuaciones de Euler y de Navier.

![Un río a su paso por un puente: agua rápida y lisa entre las pilas, remolinos a su abrigo — un campo de velocidades que se lee en puntos fijos, no una única trayectoria que se sigue.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-fluid-kinematics/img-6210f765eb02.jpg)

*Un río a su paso por un puente: agua rápida y lisa entre las pilas, remolinos a su abrigo — un campo de velocidades que se lee en puntos fijos, no una única [trayectoria](#def-b2-fluid-kinematics-euler) que se sigue.*

## 2.1 La descripción como medio continuo

**Definición 2.1 (Partícula de fluido; la hipótesis del medio continuo).**

Una *partícula de fluido* es un volumen de fluido lo bastante pequeño para tratarse como un punto a la escala del flujo, y a la vez lo bastante grande para contener un número enorme de moléculas, de modo que su densidad $\rho$, su presión $P$, su temperatura $T$ y su velocidad media $\vect v$ sean promedios bien definidos (la escala *mesoscópica*, típicamente el micrómetro). La *hipótesis del medio continuo* supone que tal escala existe: el recorrido libre medio $\ell$ de las moléculas debe ser mucho menor que la escala $L$ del flujo, $\ell/L \ll 1$. En el aire a presión atmosférica $\ell \approx 70\,\mathrm{nm}$; en un líquido $\ell$ es el tamaño molecular. El fluido queda entonces descrito por *campos* $\rho(M, t)$, $P(M, t)$, $\vect v(M, t)$ definidos en todo punto.

**Definición 2.2 (Descripciones lagrangiana y euleriana).**

La descripción *lagrangiana* sigue cada [partícula de fluido](#def-b2-fluid-kinematics-particle): su posición $\vect r(t)$ y su velocidad $\dd\vect r/\dd t$ como funciones del tiempo y de su posición inicial. La descripción *euleriana* da, en cada punto fijo $M$ y en cada instante $t$, la velocidad $\vect v(M, t)$ de la partícula que pasa por $M$ en ese momento. Una *trayectoria* es el camino recorrido por una partícula; una *línea de corriente* en el instante $t$ es una curva tangente en cada uno de sus puntos a $\vect v(M, t)$; un *tubo de corriente* es la superficie formada por las líneas de corriente que pasan por una curva cerrada. Un flujo es *estacionario* cuando los campos eulerianos no dependen del tiempo, $\partial\vect v/\partial t = \vect 0$; entonces las líneas de corriente y las trayectorias coinciden y son fijas.

**Ejemplo 2.3 (Dos descripciones de un mismo flujo).**

El agua de una manguera de jardín de sección $S$ con caudal $Q$ se mueve a $v = Q/S$ en todas partes: el campo euleriano es uniforme y el movimiento lagrangiano de cada partícula es uniforme. En la boquilla que se estrecha el campo euleriano sigue siendo estacionario, pero $v$ crece a lo largo del eje: cada partícula se *acelera* al pasar, aunque nada cambie con el tiempo en ningún punto fijo. Eso es lo primero que la [descripción euleriana](#def-b2-fluid-kinematics-euler) debe aprender a expresar.

![A la izquierda, un flujo convergente estacionario: las líneas de corriente son fijas, una partícula marcada sigue una de ellas y se acelera a medida que el tubo se estrecha. A la derecha, la descripción euleriana registra el vector velocidad en puntos fijos; la lagrangiana sigue una partícula a lo largo de su trayectoria.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-fluid-kinematics/fig-89df8eb81dcd.svg)

*A la izquierda, un flujo convergente estacionario: las [líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) son fijas, una partícula marcada sigue una de ellas y se acelera a medida que el tubo se estrecha. A la derecha, la [descripción euleriana](#def-b2-fluid-kinematics-euler) registra el vector velocidad en puntos fijos; la lagrangiana sigue una partícula a lo largo de su [trayectoria](#def-b2-fluid-kinematics-euler).*

## 2.2 La derivada material

**Teorema 2.4 (Derivada material (o particular)).**

La tasa de variación de una magnitud $G(M, t)$ (escalar o vectorial) *para la [partícula de fluido](#def-b2-fluid-kinematics-particle)* que pasa por $M$ en el instante $t$ es

$$
\frac{\mathrm DG}{\mathrm Dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + (\vect v\cdot
\operatorname{\vect{grad}})\,G ,
\qquad\text{en particular}\qquad
\vect a = \frac{\mathrm D\vect v}{\mathrm Dt} = \frac{\partial\vect v}{\partial t} +
(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\,\vect v ,
$$

donde $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) = v_x\partial_x + v_y\partial_y +
v_z\partial_z$. El primer término es la tasa de variación *local* (en un punto fijo) y el segundo la *convectiva* (porque la partícula se desplaza a donde $G$ es distinto). Para la velocidad, $(\vect v\cdot
\operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) +
(\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v$.

**Demostración.** En $\dd t$ la partícula pasa de $M$ a $M + \vect v\,\dd t$, luego $\dd G =
G(M + \vect v\dd t, t + \dd t) - G(M, t) = \partial_tG\,\dd t + \dd t\,(v_x\partial_x
+ v_y\partial_y + v_z\partial_z)G$ a primer orden (regla de la cadena para una función de cuatro variables). La identidad vectorial se comprueba sobre la componente $x$: $[\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)]_x = v_x\partial_xv_x + v_y\partial_x
v_y + v_z\partial_xv_z$ y $[(\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v]_x =
v_y(\partial_yv_x - \partial_xv_y) + v_z(\partial_zv_x - \partial_xv_z)$ (con las componentes de $\operatorname{\vect{curl}}\vect v$ dadas más abajo en [Definición 2.12](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity)); su suma vale $v_x\partial_xv_x +
v_y\partial_yv_x + v_z\partial_zv_x$. ∎

**Ejemplo 2.5 (Aceleración en una boquilla estacionaria).**

Un [flujo estacionario](#def-b2-fluid-kinematics-euler) unidimensional $v(x) = v_0(1 + x/L)$ a lo largo de una boquilla: el término local se anula y $a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$. Una partícula que entra a $v_0 = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y sale a $2v_0$ tras un $L
= 5\,\mathrm{cm}$ soporta $a = 80$ a $160\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: de ocho a dieciséis $g$, en un flujo donde nada depende del tiempo.

**Ejemplo 2.6 (Local frente a convectivo).**

La temperatura en una estación meteorológica baja durante la noche ($\partial T/
\partial t < 0$: local), y baja también para una masa de aire arrastrada hacia el norte por el viento ($\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}T < 0$: convectiva, o *advectiva*). Un termómetro montado en un globo que va a la deriva con el viento registra la suma, $\mathrm DT/\mathrm Dt$; la estación registra solo el primer término.

## 2.3 Conservación de la masa

**Definición 2.7 (Caudal másico y caudal volumétrico).**

El *caudal másico* a través de una superficie orientada $S$ es la masa que la atraviesa por unidad de tiempo, $D_m = \sum\rho\,\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ — el flujo de la *densidad de corriente de masa* $\vect j = \rho\vect v$ (unidad $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$); el *caudal volumétrico* es $D_V = \sum\vect v
\cdot\vect n\,\dd S$ ($\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). Para una velocidad uniforme y normal a una sección plana de área $S$, $D_m = \rho vS$ y $D_V = vS$.

**Demostración.** En $\dd t$, el fluido que atraviesa el elemento $\dd S$ es el contenido en el cilindro oblicuo de base $\dd S$ y generatriz $\vect v\,\dd t$, de volumen $\vect v\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$ y masa $\rho$ veces ese volumen. ∎

**Teorema 2.8 (Conservación local de la masa).**

En todo punto de un fluido,

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vect v) = 0 ,
\qquad\text{donde}\qquad
\operatorname{div}\vect A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} +
\frac{\partial A_z}{\partial z}
$$

es la *divergencia* de un campo vectorial: el flujo neto saliente de $\vect A$ a través de la superficie de un volumen pequeño, por unidad de volumen. De forma equivalente, $\mathrm D\rho/\mathrm Dt + \rho\operatorname{div}\vect v = 0$.

**Demostración.** Tómese la caja fija $[x, x + \dd x]\times[y, y + \dd y]\times[z, z + \dd z]$. Su masa $\rho\,\dd x\dd y\dd z$ varía a la tasa $\partial_t\rho\,\dd x\dd y
\dd z$. Entra masa por la cara situada en $x$ a la tasa $j_x(x)\dd y\dd z$ y sale por la cara situada en $x + \dd x$ a la tasa $j_x(x + \dd x)\dd y\dd z$: salida neta $\partial_xj_x\,\dd x\dd y\dd z$, y análogamente para $y$ y $z$. La conservación de la masa — no se crea masa — da $\partial_t\rho = -
(\partial_xj_x + \partial_yj_y + \partial_zj_z)$. La segunda forma se sigue de $\operatorname{div}(\rho\vect v) = \vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}\rho +
\rho\operatorname{div}\vect v$. ∎

**Observación 2.9 (La divergencia, un primer encuentro).**

La deducción muestra qué mide $\operatorname{div}$: el flujo que sale de una caja pequeña por unidad de volumen. Sumando sobre las cajas que teselan un volumen finito $V$, las caras interiores se cancelan dos a dos y solo queda la superficie exterior: $\iint_{\partial V}\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V
\operatorname{div}\vect A\,\dd\tau$ — el teorema de la divergencia (de Ostrogradski), que se enunciará como es debido en [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations) y se usará en todo el electromagnetismo; se demuestra en el volumen de matemáticas del Año 3. Integrada sobre un volumen fijo, la ley local se lee $\dd m_V/\dd t = -D_m^{\text{sal}}$: la masa interior varía en lo que atraviesa la frontera.

![A la izquierda, el balance de masa de una caja fija: el flujo neto saliente por sus seis caras, por unidad de volumen, es la divergencia de v. A la derecha, en un flujo estacionario el caudal másico es el mismo a través de cada sección de un tubo de corriente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-fluid-kinematics/fig-581be42e44db.svg)

*A la izquierda, el balance de masa de una caja fija: el flujo neto saliente por sus seis caras, por unidad de volumen, es la divergencia de $\rho\vect v$. A la derecha, en un [flujo estacionario](#def-b2-fluid-kinematics-euler) el [caudal másico](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) es el mismo a través de cada sección de un tubo de corriente.*

**Corolario 2.10 (Flujo incompresible; tubos de corriente).**

Un flujo es *incompresible* cuando la densidad de cada partícula se mantiene constante, $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = 0$, lo que equivale a

$$
\operatorname{div}\vect v = 0 .
$$

Un líquido homogéneo fluye de forma incompresible, y también un gas a velocidades muy inferiores a la del sonido (véase [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/7-ondas-sonoras-en-los-fluidos#ch-b2-sound-waves)). En un [flujo estacionario](#def-b2-fluid-kinematics-euler) el [caudal másico](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $\rho vS$ es el mismo a través de cada sección de un tubo de corriente; si además el flujo es incompresible y $\rho$ uniforme, $vS$ es constante: el fluido se acelera donde el tubo se estrecha.

**Demostración.** $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = -\rho\operatorname{div}\vect v$. Para el tubo, aplíquese el balance integrado al volumen comprendido entre dos secciones: no hay flujo por la superficie lateral (la velocidad es tangente) y el régimen es estacionario, luego lo que entra iguala a lo que sale. ∎

**Ejemplo 2.11 (La sangre).**

La aorta (de sección $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$) transporta $5\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ $= 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$: $v = 33\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. El mismo caudal pasa por unos $10^{10}$ capilares de sección total $2500\,\mathrm{cm}^{2}$: $v = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — bastante lento para los intercambios a través de las paredes, que son la razón de ser de la ramificación.

## 2.4 Vorticidad y flujos irrotacionales

**Definición 2.12 (Vorticidad).**

La *vorticidad* de un flujo es el campo vectorial

$$
\vect\omega = \operatorname{\vect{curl}}\vect v , \qquad
\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \Bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y} -
\frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}
{\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\Bigr) .
$$

Un flujo es *irrotacional* allí donde $\vect\omega = \vect 0$.

**Proposición 2.13 (La vorticidad mide la rotación local).**

Un elemento pequeño de fluido centrado en $M$ gira, como un todo, con la velocidad angular $\vect\Omega = \tfrac12\vect\omega(M)$. En una rotación como [sólido rígido](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/1-mecanica-del-solido-rigido#def-b2-rigid-body-mechanics-solid) $\vect v = \vect\Omega\wedge\vect{OM}$ la [vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) es uniforme, $\vect\omega = 2\vect\Omega$; en el flujo plano de cizalla $\vect v = ky\,\vect e_x$ vale $\vect\omega = -k\vect e_z$: una ruedecilla de paletas soltada en un flujo de cizalla gira aunque las [líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) sean rectas.

**Demostración.** Cerca de $M$, $\vect v(M + \vect\epsilon) = \vect v(M) + \mathbf G\vect\epsilon$ con $\mathbf G$ la matriz de $\partial_jv_i$; sepárese en su parte simétrica (una deformación pura, que estira el elemento sin girarlo en conjunto) y su parte antisimétrica, cuya matriz $\tfrac12(\partial_jv_i -
\partial_iv_j)$ es la de $\vect\epsilon \mapsto \tfrac12\vect\omega\wedge\vect\epsilon$ ([Teorema 1.2](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/1-mecanica-del-solido-rigido#thm-b2-rigid-body-mechanics-field)). Rotación como sólido en torno a $\vect e_z$: $\vect v = \Omega(-y, x, 0)$, $\omega_z = \partial_xv_y - \partial_yv_x = 2\Omega$. Cizalla: $\omega_z = -\partial_y(ky) = -k$. ∎

**Definición 2.14 (Potencial de velocidades; circulación).**

En un [flujo irrotacional](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) la velocidad deriva de un *potencial de velocidades*: $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ (la circulación de $\vect v$ a lo largo de un camino depende entonces solo de sus extremos, $\int_A^B\vect v
\cdot\dd\vect l = \varphi(B) - \varphi(A)$). Si además el flujo es incompresible, $\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}
\varphi = 0$: el potencial obedece la ecuación de Laplace, exactamente igual que el potencial electrostático en una región sin cargas — un *flujo potencial*. La *circulación* de la velocidad a lo largo de una curva cerrada $C$ es $\Gamma = \oint_C\vect v\cdot\dd\vect l$.

**Demostración.** Que un campo de [rotacional](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) nulo en una región simplemente conexa sea un gradiente, y que un gradiente tenga [rotacional](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) nulo ($\partial_y\partial_z\varphi = \partial_z\partial_y\varphi$), corresponden al volumen de matemáticas del Año 2; la ecuación de Laplace se sigue de $\operatorname{div}\vect v = 0$. ∎

**Ejemplo 2.15 (Tres flujos planos).**

(i) *[Flujo de estancamiento](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows)* $\vect v = k(x, -y)$: $\operatorname{div}\vect v =
0$, $\vect\omega = \vect 0$, $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$; [líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) $xy =$ const., hipérbolas — un chorro que choca contra una pared, cerca del eje. (ii) *[Vórtice puntual](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows)* $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (en coordenadas polares planas): incompresible e *irrotacional en todas partes salvo en $r = 0$*, $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (multivaluado), y la circulación sobre cualquier círculo en torno al centro vale $\Gamma$ — la [vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) está concentrada en el eje. (iii) *[Vórtice de Rankine](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows)*: un núcleo $r < a$ en rotación como sólido $v_\theta = \Omega r$ ([vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) $2\Omega$) empalmado con el [vórtice puntual](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows) $v_\theta = \Omega a^2/r$ en el exterior: el modelo de un tornado, del remolino de una bañera o del que queda tras la pila del puente — la velocidad es máxima en el borde del núcleo.

![Tres flujos planos. A la izquierda, el flujo de estancamiento, irrotacional, con líneas de corriente hiperbólicas. En el centro, el vórtice puntual: líneas de corriente circulares y, sin embargo, vorticidad nula fuera del centro. A la derecha, el perfil del vórtice de Rankine, con rotación como sólido en el núcleo y un vórtice puntual en el exterior.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-fluid-kinematics/fig-cd6cd0aecfb7.svg)

*Tres flujos planos. A la izquierda, el [flujo de estancamiento](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows), irrotacional, con [líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) hiperbólicas. En el centro, el [vórtice puntual](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows): [líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) circulares y, sin embargo, [vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) nula fuera del centro. A la derecha, el perfil del [vórtice de Rankine](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows), con rotación como sólido en el núcleo y un [vórtice puntual](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows) en el exterior.*

**Observación 2.16 (Por qué importa la circulación).**

Para un lazo plano pequeño de área $\dd S$ y normal $\vect n$, la circulación vale $\oint\vect v\cdot\dd\vect l = \vect\omega\cdot\vect n\,\dd S$ — la [vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) es la circulación por unidad de área, exactamente como la divergencia es el flujo por unidad de volumen. (Compruébese sobre la rotación como sólido: $2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$.) Sumada sobre una superficie, esto da el teorema de Stokes, $\oint_C\vect v\cdot\dd\vect l = \iint_S
\operatorname{\vect{curl}}\vect v\cdot\vect n\,\dd S$, enunciado en [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations). Un ala genera sustentación porque lleva una circulación en torno a sí; una línea de vórtice persiste en un fluido perfecto (teorema de Kelvin) — y por eso el remolino de detrás de la pila dura tanto.

**Método 2.17 (Cómo leer un campo de velocidades).**

Dado $\vect v(M, t)$: (1) ¿es estacionario? ($\partial_t\vect v = \vect 0$); (2) ¿es incompresible? ($\operatorname{div}\vect v = 0$); (3) ¿es irrotacional? ($\operatorname{\vect{curl}}\vect v = \vect 0$; si lo es, hállese $\varphi$); (4) hállense las [líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) a partir de $\dd x/v_x = \dd y/v_y = \dd z/
v_z$ a $t$ fijo, y las [trayectorias](#def-b2-fluid-kinematics-euler) a partir de $\dd\vect r/\dd t = \vect v(\vect r,
t)$; (5) calcúlese la aceleración $\partial_t\vect v + (\vect v\cdot
\operatorname{\vect{grad}})\vect v$. En coordenadas polares planas $(r, \theta)$, $\operatorname{div}\vect v = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_r)}{\partial r} + \dfrac1r
\dfrac{\partial v_\theta}{\partial\theta}$ y $\omega_z = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_\theta)}
{\partial r} - \dfrac1r\dfrac{\partial v_r}{\partial\theta}$ (admitidas aquí; se deducen en [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)).

## 2.5 Ejercicios

**Ejercicio 2.1 ★.**

El recorrido libre medio del aire vale $70\,\mathrm{nm}$ a $1\,\mathrm{bar}$ y varía como $1/P$. ¿Es válida la descripción como medio continuo para (a) el aire en torno a un coche, (b) el aire en un microcanal de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{bar}$, (c) el aire a $100\,\mathrm{km}$ de altitud ($P \approx 3 \times 10^{-7}\,\mathrm{bar}$) en torno a un satélite de $1\,\mathrm{m}$? Dese $\ell/L$ en cada caso.

**Solución de Ejercicio 2.1.**

(a) $\ell/L \sim 7 \times 10^{-8}$: medio continuo. (b) $0.07$: caso límite — las leyes del continuo empiezan a fallar (deslizamiento en las paredes). (c) $\ell = 70 \times 10^{-9}
/3 \times 10^{-7} = 0.23\,\mathrm{m}$, $\ell/L = 0.23$: no hay medio continuo; el gas es una lluvia de moléculas independientes (régimen molecular libre).

**Ejercicio 2.2 ★.**

Flujo unidimensional estacionario $v(x) = v_0(1 + x/L)$ para $0 \le x \le L$. Aceleración de una partícula en $x$; tiempo que tarda en ir de $0$ a $L$; compárese con $L/v_0$ y $L/2v_0$.

**Solución de Ejercicio 2.2.**

$a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ (de $v_0^2/L$ a $2v_0^2/L$). $\dd x/\dd t = v_0(1 + x/L)$: $t = (L/v_0)\ln2 = 0.69\,L/v_0$, entre $L/2v_0$ y $L/v_0$.

**Ejercicio 2.3 ★.**

En una tubería de radio $R$ el perfil de velocidades es $v(r) = v_{\max}(1 -
r^2/R^2)$ a lo largo del eje. [Caudal volumétrico](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate); celeridad media $\langle v\rangle
= D_V/\pi R^2$; valores para $R = 5\,\mathrm{mm}$, $v_{\max} = 0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Solución de Ejercicio 2.3.**

$D_V = \int_0^Rv_{\max}(1 - r^2/R^2)\,2\pi r\,\dd r = \tfrac12\pi R^2v_{\max}$; $\langle v\rangle = v_{\max}/2 = 0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $D_V = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} =
16\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 2.4 ★.**

Para cada campo, dígase si el flujo es incompresible y si es irrotacional, y dese la [vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity): (a) $\vect v = (ax, -ay, 0)$; (b) $\vect v = (-\Omega y, \Omega x, 0)$; (c) $\vect v = (ax, ay, 0)$; (d) $\vect v =
(ky, 0, 0)$; (e) $\vect v = (ax, -ay, bz)$ — ¿para qué $b$ es incompresible?

**Solución de Ejercicio 2.4.**

(a) $\operatorname{div} = 0$, $\vect\omega = \vect 0$: incompresible e irrotacional. (b) $\operatorname{div} = 0$, $\omega_z = 2\Omega$: rotación como sólido. (c) $\operatorname{div} = 2a \ne 0$, irrotacional (una fuente plana). (d) $\operatorname{div} = 0$, $\omega_z = -k$: cizalla. (e) $\operatorname{div} = b$: incompresible si y solo si $b = 0$; irrotacional para todo $b$.

**Ejercicio 2.5 ★★.**

Una manguera de jardín de diámetro interior $12\,\mathrm{mm}$ llena un cubo de $10\,\mathrm{L}$ en $50\,\mathrm{s}$. Celeridad en la manguera; celeridad en una boquilla de $3\,\mathrm{mm}$; si la boquilla se estrecha a lo largo de $4\,\mathrm{cm}$, estímese la aceleración media de una partícula que la atraviesa (en unidades de $g$); tiempo que pasa en la boquilla.

**Solución de Ejercicio 2.5.**

$D_V = 0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$. Manguera $S = 1.13\,\mathrm{cm}^{2}$: $v = 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; boquilla $S = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$: $v = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Aceleración media $\Delta(v^2/2)/L
= (28^2 - 1.8^2)/0.08 \approx 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1000\,g$. Tiempo $\approx
\int\dd x/v$: unos milisegundos ($4\,\mathrm{ms}$ para un perfil de celeridad lineal).

**Ejercicio 2.6 ★★.**

Flujo plano no estacionario $\vect v = (U, V\cos\omega t)$ con $U$, $V$, $\omega$ constantes. (a) [Líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) en el instante $t$. (b) [Trayectoria](#def-b2-fluid-kinematics-euler) de la partícula que está en el origen en $t = 0$. (c) Dibújense ambas para $V = U$ en $t = 0$ y en $t = \pi/2\omega$; ¿por qué difieren? (d) Aceleración de una partícula.

**Solución de Ejercicio 2.6.**

(a) $\dd y/\dd x = (V/U)\cos\omega t$: rectas de pendiente $(V/U)\cos\omega t$, todas paralelas, que se inclinan con el tiempo. (b) $x = Ut$, $y =
(V/\omega)\sin\omega t$: la sinusoide $y = (V/\omega)\sin(\omega x/U)$. (c) En $t = 0$ las [líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) están a $45{}^{\circ}$ y la [trayectoria](#def-b2-fluid-kinematics-euler) sale del origen a $45{}^{\circ}$; en $t = \pi/2\omega$ las [líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) son horizontales mientras que la [trayectoria](#def-b2-fluid-kinematics-euler) es una sinusoide fija. Difieren porque el flujo no es estacionario: una [línea de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) es una instantánea, una [trayectoria](#def-b2-fluid-kinematics-euler) es una historia. (d) $\vect a = \partial_t\vect v = (0, -V\omega\sin\omega t)$ — el campo es uniforme, luego el término convectivo se anula.

**Ejercicio 2.7 ★★.**

Un río de $50\,\mathrm{m}$ de ancho y $2.0\,\mathrm{m}$ de profundidad fluye a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Caudal. (b) Entra en un desfiladero de $15\,\mathrm{m}$ de ancho y $4.0\,\mathrm{m}$ de profundidad: celeridad. (c) Un afluente añade $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$; aguas abajo el río tiene $60\,\mathrm{m}$ de ancho y $2.5\,\mathrm{m}$ de profundidad: celeridad. (d) Un gas caliente fluye en régimen estacionario por una tubería de sección constante; entre dos puntos su temperatura se duplica a presión constante: ¿qué le ocurre a su celeridad?

**Solución de Ejercicio 2.7.**

(a) $D_V = 50 \times 2 \times 1.2 = 120\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. (b) $120/60 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $150/150 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) $\rho \propto 1/T$ a $P$ constante se reduce a la mitad; $\rho vS$ se conserva: la celeridad se duplica.

**Ejercicio 2.8 ★★.**

*[Vórtice de Rankine](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows).* $v_\theta = \Omega r$ para $r < a$, $v_\theta = \Omega a^2/r$ para $r > a$. (a) [Vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) en cada región (úsese la fórmula polar). (b) Circulación sobre un círculo de radio $r$ centrado en el eje, en ambas regiones; relaciónese con el flujo de la [vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity). (c) Un tornado: $a = 50\,\mathrm{m}$, $v_{\max} = 70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\Omega$, $\Gamma$ y la celeridad a $500\,\mathrm{m}$. (d) ¿Es irrotacional el flujo del núcleo? ¿Y el exterior? ¿Dónde está físicamente la “rotación”?

**Solución de Ejercicio 2.8.**

(a) $\omega_z = \frac1r\frac{\dd(rv_\theta)}{\dd r}$: $2\Omega$ dentro, $0$ fuera. (b) Dentro, $\Gamma = 2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$, el flujo de la [vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity); fuera, $\Gamma = 2\pi\Omega a^2$, constante, el flujo de todo el núcleo. (c) $\Omega = v_{\max}/a = 1.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; $\Gamma = 2\pi av_{\max}
= 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; a $500\,\mathrm{m}$: $\Omega a^2/r = 7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) El núcleo gira como un sólido; fuera, el flujo es irrotacional: las partículas dan vueltas en torno al eje sin girar sobre sí mismas. La [vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) — la rotación — vive en el núcleo.

**Ejercicio 2.9 ★★.**

*[Flujo de estancamiento](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows)* $\vect v = k(x, -y)$. (a) Potencial $\varphi$ y comprobación de $\Delta\varphi = 0$. (b) [Líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler); la función $\psi = kxy$ es constante sobre ellas — muéstrese que $v_x = \partial\psi/\partial y$, $v_y = -\partial\psi/
\partial x$ (la *función de corriente*). (c) Campo de aceleraciones; muéstrese que vale $\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)$ e interprétese. (d) [Trayectoria](#def-b2-fluid-kinematics-euler) de una partícula que parte de $(x_0, y_0)$: $x = x_0\eu^{kt}$, $y = y_0\eu^{-kt}$.

**Solución de Ejercicio 2.9.**

(a) $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$, $\Delta\varphi = k - k = 0$. (b) $\dd x/
kx = \dd y/(-ky)$: $xy =$ const.; $\partial_y\psi = kx = v_x$, $-\partial_x\psi =
-ky = v_y$. (c) $\vect a = (v_x\partial_x + v_y\partial_y)\vect v = k^2(x, y) =
\operatorname{\vect{grad}}\bigl(\tfrac12k^2(x^2 + y^2)\bigr) = \operatorname{\vect{grad}}
(v^2/2)$: en un [flujo irrotacional](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) estacionario la aceleración es el gradiente de la energía cinética por unidad de masa; apunta alejándose del punto de estancamiento — una partícula se frena al acercarse a la pared según $y$ y se acelera al alejarse según $x$. (d) $\dot x = kx$, $\dot y = -ky$: $x = x_0\eu^{kt}$, $y = y_0\eu^{-kt}$ ($xy$ constante).

**Ejercicio 2.10 ★★★.**

*Un flujo en expansión.* Flujo unidimensional $v(x, t) = x/(t + \tau)$ para $t > 0$, con $\tau > 0$ constante. (a) [Trayectorias](#def-b2-fluid-kinematics-euler): muéstrese que $x(t) = x_0(1 +
t/\tau)$; aceleración de una partícula, tanto a partir de la [trayectoria](#def-b2-fluid-kinematics-euler) como de la [derivada material](#thm-b2-fluid-kinematics-material). (b) La densidad es uniforme en cada instante, $\rho(t)$: úsese la conservación de la masa para hallar $\rho(t)$. (c) Compruébese siguiendo la masa comprendida entre dos partículas. (d) ¿Por qué es este campo un modelo unidimensional de un universo en expansión uniforme?

**Solución de Ejercicio 2.10.**

(a) $\dd x/\dd t = x/(t + \tau)$ da $x = x_0(1 + t/\tau)$, $\ddot x = 0$; [derivada material](#thm-b2-fluid-kinematics-material): $\partial_tv + v\partial_xv = -x/(t + \tau)^2 + x/(t + \tau)^2
= 0$. (b) $\partial_t\rho + \partial_x(\rho v) = \dot\rho + \rho/(t + \tau) = 0$: $\rho =
\rho_0\tau/(t + \tau)$. (c) La separación de dos partículas crece como $(1 + t/\tau)$ y la masa entre ellas es fija: $\rho \propto 1/(1 + t/\tau)$. (d) $v =
Hx$ con $H = 1/(t + \tau)$: una ley de Hubble, expansión libre (sin aceleración), con la densidad decreciendo como el inverso del factor de escala.

**Ejercicio 2.11 ★★★.**

*Una fuente en una corriente.* Superpóngase un flujo uniforme $\vect v = U\vect e_x$ y una fuente plana $\vect v = \dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r$ ($q$ es el [caudal volumétrico](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) por unidad de longitud según $z$). (a) Potencial $\varphi = Ux +
(q/2\pi)\ln r$; compruébese que ambos flujos son incompresibles e irrotacionales (salvo en el origen). (b) Punto de estancamiento. (c) Función de corriente $\psi
= Uy + q\theta/2\pi$; la [línea de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) que pasa por el punto de estancamiento es $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$: dibújese. (d) Muéstrese que muy aguas abajo esa [línea de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) está en $y = \pm q/2U$: el flujo exterior a ella es el flujo alrededor de un semicuerpo romo de anchura $q/U$.

**Solución de Ejercicio 2.11.**

(a) $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi = (U + qx/2\pi r^2, qy/2\pi r^2)$; la fuente tiene $v_r = q/2\pi r$, $\operatorname{div} = \frac1r\dd(rv_r)/\dd r
= 0$ y no depende de $\theta$, luego $\omega_z = 0$; las sumas de campos así son de nuevo incompresibles e irrotacionales. (b) Sobre el semieje $x$ negativo, $U - q/2\pi r = 0$: $x_s = -q/2\pi U$. (c) En el punto de estancamiento $\theta =
\pi$, $y = 0$: $\psi = q/2$; la [línea de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) $Ur\sin\theta + q\theta/2\pi = q/2$, es decir $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ — una curva que sale de $x_s$ y se abre aguas abajo. (d) $\theta \to 0$: $y \to q/2U$; $\theta \to 2\pi$ (rama inferior): $y \to -q/2U$. El fluido interior a esa [línea de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) procede de la fuente; fuera de ella, la corriente uniforme rodea un semicuerpo de anchura asintótica $q/U$.

**Ejercicio 2.12 ★★★.**

*Vórtice y sumidero.* Flujo plano $\vect v = -\dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r +
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ para $r > a$. (a) Muéstrese que es incompresible e irrotacional. (b) [Líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler): espirales logarítmicas $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$. (c) Aceleración de una partícula: muéstrese que es puramente radial, $-v^2/r\,\vect e_r$. (d) Tiempo que tarda una partícula en describir la espiral desde $r_0$ hasta $a$; número de vueltas que da. (e) Valores: $q =
1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$, $a = 2\,\mathrm{cm}$.

**Solución de Ejercicio 2.12.**

(a) $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(-q/2\pi) = 0$; $\omega_z =
\frac1r\partial_r(\Gamma/2\pi) = 0$. (b) $\dd r/v_r = r\,\dd\theta/v_\theta$ da $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$. (c) $a_r = v_r\partial_rv_r - v_\theta^2/r =
-(q^2 + \Gamma^2)/4\pi^2r^3 = -v^2/r$; $a_\theta = v_r\partial_rv_\theta + v_rv_\theta/r
= 0$. (d) $\dd r/\dd t = -q/2\pi r$: $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q$; vueltas $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a)$. (e) $t = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$; $10$ vueltas.

## 2.6 Problema: del desagüe al huracán

**Problema 2.1.**

Problema de fin de semana — la misma cinemática a tres escalas: el remolino sobre un desagüe, un tornado y un ciclón visto desde un satélite

**Parte I — La bañera.** Una bañera se vacía por un orificio de radio $a = 2\,\mathrm{cm}$; el agua, de profundidad $h = 20\,\mathrm{cm}$, sale con el [caudal volumétrico](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $D_V =
0.30\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$. Lejos del orificio el flujo se modela como plano (independiente de la profundidad): $\vect v = v_r(r)\vect e_r + v_\theta(r)\vect e_\theta$.

1. Usando la conservación de la masa a través de un cilindro de radio $r$ y altura $h$ , muéstrese que $v_r = -q/2\pi r$ con $q = D_V/h$ ; valor de $q$ .
2. Antes de quitar el tapón se había removido el agua, que giraba a $1.0\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ en $r = 50\,\mathrm{cm}$ . Admitiendo que cada anillo de agua conserva su momento angular al desplazarse hacia dentro ( $rv_\theta$ constante), hállense $v_\theta(r)$ y la circulación $\Gamma$ .
3. Compruébese que el flujo es incompresible e irrotacional para $r > a$ .
4. [Líneas de corriente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) : muéstrese que son espirales logarítmicas y hállese cuántas vueltas da una partícula entre $r = 50\,\mathrm{cm}$ y $r = a$ .
5. Tiempo que tarda una partícula en ir desde $50\,\mathrm{cm}$ hasta el orificio, y su celeridad azimutal al llegar.
6. Aceleración de una partícula en $r$ ; compárese con $g$ en $r = a$ . (La superficie libre se hunde allí donde la presión debe equilibrarla — el embudo; capítulo siguiente.)
7. La rotación de la Tierra da a todo fluido en reposo en la bañera una rotación “de fondo” a la tasa vertical local $\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . Compárese la celeridad azimutal que daría a $50\,\mathrm{cm}$ con el $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ del removido, y dígase si el hemisferio decide el sentido de giro de una bañera que se vacía.

**Parte II — El tornado como [vórtice de Rankine](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows).** Radio del núcleo $a = 60\,\mathrm{m}$, viento máximo $v_{\max} = 80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, densidad del aire $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

8. Escríbase $v_\theta(r)$ en ambas regiones y dense $\Omega$ y $\Gamma$ .
9. [Vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) en el núcleo y fuera de él; represéntense $v_\theta$ y $\omega_z$ frente a $r$ .
10. Aceleración de una partícula de aire en el borde del núcleo; compárese con $g$ .
11. Muéstrese que una ruedecilla de paletas colocada fuera del núcleo deriva alrededor del tornado sin girar sobre su propio eje, mientras que una colocada en el núcleo da una vuelta sobre sí misma por cada vuelta en torno al eje.
12. Energía cinética del núcleo, por metro de altura.
13. Energía cinética del flujo exterior por metro de altura, entre $a$ y $R = 5\,\mathrm{km}$ ; ¿por qué depende de $R$ solo logarítmicamente?
14. Con una altura de $1\,\mathrm{km}$ , energía cinética total; compárese con la energía liberada por $1\,\mathrm{t}$ de TNT ( $4.2\,\mathrm{GJ}$ ).
15. En un tornado el aire también fluye hacia dentro y hacia arriba. Si el núcleo se alimenta de una entrada radial a $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por su superficie lateral a lo largo de los primeros $300\,\mathrm{m}$ de altura, ¿qué celeridad vertical debe alcanzar el aire en lo alto de esa capa (uniforme sobre la sección del núcleo)?

**Parte III — El ciclón.** Un ciclón tropical se modela como un [vórtice de Rankine](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows) de radio de núcleo $a = 40\,\mathrm{km}$ y $v_{\max} = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La rotación de la Tierra se deja sentir a través de la *[vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) planetaria* $f = 2\Omega_\oplus\sin\lambda
\approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ a la latitud $20{}^{\circ}$: un anillo de aire en reposo respecto del suelo ya lleva, en el sistema inercial, la celeridad azimutal $fr/2$ en torno a cualquier eje vertical.

16. [Vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) del núcleo y circulación $\Gamma$ del ciclón; compárese la [vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) del núcleo con $f$ .
17. Un anillo de aire de radio $r_0 = 500\,\mathrm{km}$ , inicialmente en reposo respecto del suelo, es atraído hacia el centro por la baja presión. Admitiendo que se conserva su momento angular por unidad de masa respecto del eje, $r(v_\theta + fr/2)$ , hállese su velocidad $v_\theta$ respecto del suelo en $r = 100\,\mathrm{km}$ y en $r = 40\,\mathrm{km}$ .
18. ¿En qué sentido gira el ciclón en el hemisferio norte, y por qué? ¿Por qué el sentido está fijado en un ciclón y no en una bañera?
19. ¿Por qué no puede arrastrarse así el aire hasta el eje mismo — qué limita el viento y deja un ojo?
20. El aire converge hacia el ciclón a $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a través de un cilindro de radio $500\,\mathrm{km}$ y altura $1\,\mathrm{km}$ : [caudal másico](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) arrastrado ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ).
21. El ciclón se desplaza en bloque hacia el oeste a $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Escríbase el campo de velocidades euleriano visto desde el suelo en función del campo $\vect v_0$ del vórtice en su propio sistema; ¿es estacionario el flujo en el sistema del suelo? ¿En qué lado de la tormenta son más fuertes los vientos?

**Parte IV — Caudales y un resumen.**

22. Llueve a $50\,\mathrm{mm}/\mathrm{h}$ sobre una cuenca de $10\,\mathrm{km}^{2}$ y toda el agua llega a un río de sección $40\,\mathrm{m}^{2}$ : celeridad media del río en crecida.
23. La sangre: la aorta ( $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) transporta $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ ; los capilares tienen una sección total de $0.25\,\mathrm{m}^{2}$ : celeridades en cada caso; tiempo que tarda la sangre en recorrer un capilar de $1\,\mathrm{mm}$ .
24. Un depósito de sección $S$ se vacía por un orificio de sección $s$ en el fondo; la celeridad de salida es $\sqrt{2gh}$ ( $h$ es el nivel del agua — admitido, se deduce en el capítulo siguiente). Escríbase la conservación de la masa y hállense $h(t)$ y el tiempo de vaciado para $S = 1\,\mathrm{m}^{2}$ , $s = 1\,\mathrm{cm}^{2}$ , $h_0 = 1\,\mathrm{m}$ .
25. Reúnanse los tres flujos de las partes I–III en una tabla: radio, celeridad, [vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) del núcleo, circulación — y la magnitud que, conservada durante la convergencia, los pone a girar.

**Solución de Problema 2.1.**

**1.** A través de un cilindro de radio $r$: $2\pi rh|v_r| = D_V$, luego $v_r = -q/2\pi r$, $q = D_V/h = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**2.** $rv_\theta = 0.5 \times 0.01 = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ con $\Gamma = 3.1 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**3.** $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(rv_r) = 0$, $\omega_z =
\frac1r\partial_r(rv_\theta) = 0$.

**4.** $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$: $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$; vueltas $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a) = 3.3 \times 3.2 \approx 11$.

**5.** $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$; $v_\theta(a) =
0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**6.** $\vect a = -(v^2/r)\vect e_r$; en $r = a$: $v^2 = 0.25^2 + 0.012^2$, $a = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.3g$.

**7.** $\Omega_\oplus\sin\lambda\,r = 5 \times 10^{-5} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, cuatrocientas veces menos que el removido: el hemisferio no decide nada en una bañera corriente (sí lo hace en un depósito dejado quieto un día).

**8.** $v_\theta = \Omega r$ ($r < a$), $\Omega a^2/r$ ($r > a$); $\Omega = 80/60
= 1.33\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**9.** $\omega_z = 2\Omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ en el núcleo, $0$ fuera; $v_\theta$ crece linealmente hasta $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y luego cae como $1/r$; $\omega_z$ es un escalón.

**10.** $a = v_{\max}^2/a = 6400/60 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 11g$, hacia dentro.

**11.** Fuera, la [vorticidad](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) es nula: un elemento pequeño se traslada a lo largo de su círculo sin girar sobre sí mismo — la ruedecilla de paletas conserva su orientación. En el núcleo (rotación como sólido) gira con el fluido, una vuelta por revolución.

**12.** $E_{\text{núcleo}} = \int_0^a\tfrac12\rho\Omega^2r^2\,2\pi r\,\dd r =
\tfrac14\pi\rho\Omega^2a^4 = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$.

**13.** $E_{\text{ext}} = \int_a^R\tfrac12\rho(\Omega a^2/r)^2\,2\pi r\,\dd r =
\pi\rho\Omega^2a^4\ln(R/a) = 8.7 \times 10^7 \times 4.4 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$; el integrando $\rho v^2r \propto 1/r$, de ahí el logaritmo.

**14.** $4.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m} \times 1000\,\mathrm{m} = 4 \times 10^{11}\,\mathrm{J}$: unas $100\,\mathrm{t}$ de TNT.

**15.** Entrada $2\pi a \times 300 \times 5 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ a través de $\pi a^2 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$: $v_z = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**16.** $\omega = 2v_{\max}/a = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 50f$; $\Gamma = 2\pi av_{\max}
= 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**17.** $r_0\cdot fr_0/2 = r(v_\theta + fr/2)$: $v_\theta = f(r_0^2 - r^2)/2r$; $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $100\,\mathrm{km}$ y $155\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $40\,\mathrm{km}$.

**18.** $f > 0$ en el hemisferio norte da $v_\theta > 0$: sentido antihorario visto desde arriba (ciclónico). Sobre $500\,\mathrm{km}$ la rotación planetaria es la rotación inicial dominante; en una bañera lo es el removido.

**19.** El rozamiento con el mar retira momento angular, y el gradiente de presión no puede equilibrar la aceleración centrípeta de un anillo cada vez más rápido: el aire asciende antes de llegar al eje, en la pared del ojo, y deja un ojo en calma.

**20.** $\rho\,2\pi rHv = 1.2 \times 2\pi \times 5 \times 10^5 \times 10^3 \times 5 =
1.9 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$.

**21.** $\vect v(M, t) = -U\vect e_x + \vect v_0(M + Ut\,\vect e_x)$: el patrón es advectado y el campo no es estacionario en el sistema del suelo. La traslación se suma al remolino en el lado donde $v_\theta$ apunta hacia el oeste — el lado norte (el de la derecha) de una [trayectoria](#def-b2-fluid-kinematics-euler) hacia el oeste.

**22.** $0.05 \times 10^7/3600 = 139\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$; $v = 139/40 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**23.** $D_V = 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$: aorta $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; capilares $0.33\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $3\,\mathrm{s}$ por milímetro.

**24.** $S\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$: $\sqrt h = \sqrt{h_0} -
\frac sS\sqrt{g/2}\,t$, vacío en $T = (S/s)\sqrt{2h_0/g} = 10^4 \times 0.45 =
4500\,\mathrm{s} \approx 75\,\mathrm{min}$.

**25.** Bañera: $r \sim 0.5\,\mathrm{m}$, $v \sim 1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$, $\Gamma =
3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; tornado: $60\,\mathrm{m}$, $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$, $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; ciclón: $40\,\mathrm{km}$, $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega =
2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\Gamma = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. En los tres, el momento angular por unidad de masa $rv_\theta$ del fluido que converge se conserva: la convergencia los pone a girar.