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title: "Interferencias de muchas ondas y redes de difracción"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/21-interferencias-de-muchas-ondas-y-redes-de-difraccion
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# Capítulo 21 — Interferencias de muchas ondas y redes de difracción

Inclínese un disco compacto bajo una lámpara y lanza un arco iris: su espiral de hoyos, separados micrómetro y medio, es una red — miles de franjas reflectantes minúsculas, cada una devolviendo una copia de la onda, todas interfiriendo. Dos ondas dan las franjas suaves en $\cos^2$ de los capítulos anteriores; mil dan franjas mil veces más estrechas, lo bastante nítidas para separar dos longitudes de onda que difieren en una parte entre cien mil. Ese es el instrumento con el que se leyeron la composición del Sol y la velocidad de las galaxias, y que está en todo espectrómetro. Este capítulo suma $N$ ondas, deduce la [ecuación de las redes](#prop-b2-gratings-equation), su dispersión y su poder resolvente, y presenta el otro dispositivo de muchas ondas, la cavidad de Fabry–Pérot que será el resonador del láser.

![Un disco compacto al sol: su espiral de hoyos, separados 1.6\, µ m, es una red de reflexión, y cada orden despliega la luz blanca en un espectro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/img-7c0468b08e65.jpg)

*Un disco compacto al sol: su espiral de hoyos, separados $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, es una red de reflexión, y cada orden despliega la luz blanca en un espectro.*

## 21.1 Interferencias de $N$ ondas

**Teorema 21.1 (NNN ondas iguales en progresión aritmética de fase).**

$N$ ondas coherentes de igual amplitud $a$, cada una retrasada respecto de la anterior la fase $\varphi$, se superponen en una onda de amplitud $A(\varphi)$ e intensidad

$$
A = a\,\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} , \qquad
I(\varphi) = I_0\,\frac{\sin^2(N\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)} :
$$

*[máximos principales](#thm-b2-gratings-nwaves)* de intensidad $N^2I_0$ donde $\varphi = 2\pi p$ (todas las ondas en fase), de semianchura angular $2\pi/N$ en $\varphi$ (los primeros ceros están en $\varphi = 2\pi p \pm 2\pi/N$), separados por $N - 2$ *[máximos secundarios](#thm-b2-gratings-nwaves)* que no superan cerca del $4.5\%$ de los principales para $N$ grande. Cuantas más ondas, más nítidos y brillantes son los picos: la anchura disminuye como $1/N$, la altura crece como $N^2$ y la energía (su producto) como $N$.

**Demostración.** Amplitudes complejas $a\eu^{\iu k\varphi}$, $k = 0, \dots, N - 1$: una serie geométrica, $a(1 - \eu^{\iu N\varphi})/(1 - \eu^{\iu\varphi}) = a\eu^{\iu(N - 1)\varphi/2}\sin(N\varphi/2)
/\sin(\varphi/2)$. Hay ceros donde $\sin(N\varphi/2) = 0$ pero $\sin(\varphi/2) \ne 0$: $\varphi = 2\pi
m/N$, con $m$ no múltiplo de $N$. En la imagen de los fasores, las $N$ flechas se cierran en un polígono regular en los ceros y se alinean en los [máximos principales](#thm-b2-gratings-nwaves). ∎

![A la izquierda, la suma de fasores de cinco ondas iguales — un abanico regular cuya cuerda es la resultante; se cierra en un pentágono, y se anula, en = 2π/5. A la derecha, la intensidad para 2, 5 y 12 ondas, normalizada a su pico: los máximos principales se afilan como 1/N.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-9a0a51785766.svg)

*A la izquierda, la suma de fasores de cinco ondas iguales — un abanico regular cuya cuerda es la resultante; se cierra en un pentágono, y se anula, en $\varphi = 2\pi/5$. A la derecha, la intensidad para $2$, $5$ y $12$ ondas, normalizada a su pico: los [máximos principales](#thm-b2-gratings-nwaves) se afilan como $1/N$.*

## 21.2 La red de difracción

**Proposición 21.2 (Ecuación de las redes).**

Una *red* es un conjunto de $N$ rendijas idénticas, equidistantes y paralelas (o de surcos) de periodo $a$. Una onda plana que incide con el ángulo $\theta_0$ respecto de la normal es reemitida por cada rendija; en la dirección $\theta$ las ondas de rendijas vecinas tienen la [diferencia de camino](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/19-interferencias-de-dos-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) $\delta = a(\sin\theta
- \sin\theta_0)$, y se refuerzan en las direcciones

$$
a\,(\sin\theta_p - \sin\theta_0) = p\lambda , \qquad p = 0, \pm1, \pm2, \dots
$$

— los *órdenes* de la red. El orden cero es el haz sin desviar para toda longitud de onda; cada uno de los demás órdenes despliega las longitudes de onda, con la *[dispersión angular](#prop-b2-gratings-equation)*

$$
\frac{\dd\theta}{\dd\lambda} = \frac{p}{a\cos\theta} ,
$$

mayor cuanto más fina es la red y más alto el orden; el orden máximo vale $|p| \le a(1 + |\sin\theta_0|)/\lambda$. Una *red de reflexión* (surcos tallados en un espejo) obedece la misma ecuación con los ángulos reflejados.

**Demostración.** La fase entre rendijas sucesivas vale $\varphi = 2\pi\delta/\lambda$; los [máximos principales](#thm-b2-gratings-nwaves) de [Teorema 21.1](#thm-b2-gratings-nwaves) están en $\delta = p\lambda$. Derívese $a\sin\theta = p\lambda + a\sin\theta_0$ a $p$ y $\theta_0$ fijos. ∎

![A la izquierda, la red — las rendijas vecinas reemiten con la diferencia de camino a con incidencia normal. A la derecha, en una pantalla, el orden cero blanco y los espectros de los órdenes ±1, ±2, con el violeta más cerca del centro y más anchos (y al final solapados) al crecer p.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-9e40e6a363f3.svg)

*A la izquierda, la red — las rendijas vecinas reemiten con la [diferencia de camino](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/19-interferencias-de-dos-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) $a\sin\theta$ con incidencia normal. A la derecha, en una pantalla, el orden cero blanco y los espectros de los órdenes $\pm1$, $\pm2$, con el violeta más cerca del centro y más anchos (y al final solapados) al crecer $p$.*

**Ejemplo 21.3 (Una red de clase y un CD).**

Una red de $600$ líneas por milímetro ($a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$) con incidencia normal envía la luz de $500\,\mathrm{nm}$ a $\sin\theta = 0.3$, $\theta = 17.5{}^{\circ}$ en el primer orden y a $36.9{}^{\circ}$ en el segundo, y no tiene tercer orden ($3 \times 0.3 > 1$); su espectro de primer orden va de $13.9{}^{\circ}$ ($400\,\mathrm{nm}$) a $24.8{}^{\circ}$ ($700\,\mathrm{nm}$). Un disco compacto, con $a =
1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, es una red así en reflexión — de ahí el arco iris, y el hecho de que un DVD ($a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$) lo despliegue más. El rojo de segundo orden ($700\,\mathrm{nm}$ en $\sin\theta = 0.84$) se solapa con el violeta de tercer orden: los órdenes se solapan más allá del primero, una molestia que se cura con filtros o con un prisma.

## 21.3 Poder resolvente

**Proposición 21.4 (Poder resolvente de una red).**

Dos longitudes de onda próximas $\lambda$ y $\lambda + \Delta\lambda$ quedan justo resueltas en el orden $p$ cuando el [máximo principal](#thm-b2-gratings-nwaves) de una cae sobre el primer cero de la otra (criterio de Rayleigh), lo que ocurre para

$$
\frac\lambda{\Delta\lambda} = pN :
$$

el *poder resolvente* es el orden por el número de líneas iluminadas. También puede escribirse $W(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$ con $W = Na$ la anchura de la red: la mayor [diferencia de camino](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/19-interferencias-de-dos-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) a lo ancho de la red, en longitudes de onda — razón por la que los grandes espectrógrafos usan redes de decenas de centímetros de ancho y trabajan con ángulos rasantes.

**Demostración.** El máximo de orden $p$ para $\lambda + \Delta\lambda$ está en $\varphi = 2\pi p$ para esa longitud de onda, es decir, en $\delta = p(\lambda + \Delta\lambda)$; el primer cero del máximo para $\lambda$ está en $\delta = p\lambda + \lambda/N$. Igualando: $p\Delta\lambda = \lambda/N$. Entonces $pN =
Na(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$. ∎

**Ejemplo 21.5 (Separar las rayas del sodio).**

El doblete, $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ a $589\,\mathrm{nm}$, exige $R = 1000$: mil líneas en el primer orden, $2\,\mathrm{mm}$ de una red de 600 líneas por milímetro. Su propia anchura de raya, $0.02\,\mathrm{nm}$, exige $R = 30\,000$: una red de $5\,\mathrm{cm}$ en el primer orden, o de $2.5\,\mathrm{cm}$ en el segundo — y una red de $10\,\mathrm{cm}$ con 1200 líneas por milímetro en el segundo orden alcanza $240\,000$, resolviendo $0.0025\,\mathrm{nm}$: la anchura de una raya ensanchada por el movimiento térmico de los átomos, y el corrimiento Doppler de una estrella que se mueve a $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

![El criterio de Rayleigh: el pico de una longitud de onda sobre el primer cero de la otra; la suma (discontinua) muestra una caída de cerca del 20\% entre dos rayas resueltas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-42e632cd7e2d.svg)

*El criterio de Rayleigh: el pico de una longitud de onda sobre el primer cero de la otra; la suma (discontinua) muestra una caída de cerca del $20\%$ entre dos rayas resueltas.*

## 21.4 La cavidad de Fabry–Pérot

**Proposición 21.6 (Interferencias de muchas ondas por división de amplitud).**

Dos espejos paralelos parcialmente reflectantes (reflectancia en intensidad $R$) separados una distancia $L$ transmiten una onda con incidencia normal solo en la medida en que las ondas que han rebotado $0, 1, 2, \dots$ veces entre ellos se suman en fase: con $\varphi = 4\pi L/\lambda$ la fase de ida y vuelta, la intensidad transmitida vale ([función de Airy](#prop-b2-gratings-fabryperot))

$$
\frac{I_t}{I_0} = \frac1{1 + F\sin^2(\varphi/2)} , \qquad F = \frac{4R}{(1 - R)^2} :
$$

picos nítidos de transmisión total en $2L = p\lambda$ (las *resonancias* de la cavidad, separadas en frecuencia por el *[intervalo espectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot)* $c/2L$), de anchura relativa $1/\mathcal F$ con la *fineza* $\mathcal F = \pi
\sqrt R/(1 - R)$ — $30$ para $R = 0.9$ y $300$ para $R = 0.99$. Iguala a la red en poder resolvente ($p\mathcal F$ con $p = 2L/\lambda \sim 10^5$, de donde $R \sim
10^7$) y, cerrada sobre sí misma, es el resonador del láser ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/23-el-laser-emision-estimulada-y-haces-gaussianos#ch-b2-laser)).

**Demostración.** Cada ida y vuelta multiplica la amplitud por $R\eu^{\iu\varphi}$ (salvo una fase constante); la amplitud transmitida vale $t^2a\sum(R\eu^{\iu\varphi})^k =
t^2a/(1 - R\eu^{\iu\varphi})$ con $t^2 = 1 - R$; su módulo al cuadrado vale $(1 - R)^2/
(1 - 2R\cos\varphi + R^2) = (1 - R)^2/[(1 - R)^2 + 4R\sin^2(\varphi/2)]$. Picos en $\varphi = 2\pi p$; semialtura donde $F\sin^2(\varphi/2) = 1$, es decir, $\Delta\varphi \approx
4/\sqrt F = 2(1 - R)/\sqrt R$, frente a los $2\pi$ que hay entre picos. ∎

![La transmisión de Airy de una cavidad de Fabry–Pérot: transmisión total en las resonancias 2L = p, con picos que se estrechan al crecer la reflectancia de los espejos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-cd76e0309f1b.svg)

*La transmisión de Airy de una cavidad de Fabry–Pérot: transmisión total en las resonancias $2L = p\lambda$, con picos que se estrechan al crecer la reflectancia de los espejos.*

**Método 21.7 (Cálculos con redes).**

(1) Periodo $a = 1/(\text{líneas por mm})$; [ecuación de las redes](#prop-b2-gratings-equation) con los signos de los ángulos. (2) Enumérense los órdenes que existen ($|\sin\theta| \le 1$) y compruébese su solapamiento ($p\lambda_{\max}$ frente a $(p + 1)\lambda_{\min}$). (3) Dispersión $p/a\cos\theta$, convertida en una posición sobre el detector con la distancia focal: $\dd x = f\,\dd\theta$. (4) Poder resolvente $pN$ con $N$ el número de líneas realmente iluminadas; compárese $\lambda/R$ con la estructura que se quiere resolver. (5) Para instrumentos reales, añádase la anchura de la rendija de entrada (que difumina las rayas) y los píxeles del detector.

## 21.5 Ejercicios

**Ejercicio 21.1 ★.**

Una red de $500$ líneas por milímetro con incidencia normal, $\lambda =
550\,\mathrm{nm}$: ángulos de los órdenes; orden más alto; anchura angular del espectro visible de primer orden ($400$–$700\,\mathrm{nm}$); la misma red con incidencia de $30{}^{\circ}$: órdenes a cada lado.

**Solución de Ejercicio 21.1.**

$a = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\sin\theta_p = 0.275p$: $16.0{}^{\circ}$, $33.4{}^{\circ}$, $55.6{}^{\circ}$; no hay cuarto orden. El visible de primer orden va de $11.5{}^{\circ}$ a $20.5{}^{\circ}$: $9{}^{\circ}$. Con $30{}^{\circ}$: $\sin\theta = 0.5 + 0.275p$: $p = +1$ ($51{}^{\circ}$) de un lado, y $p = -1$ a $-5$ ($13^\circ$, $-3^\circ$, $-19^\circ$, $-37^\circ$, $-61^\circ$) del otro.

**Ejercicio 21.2 ★.**

El doblete del sodio con una red de $600$ líneas/mm y una lente de $f =
50\,\mathrm{cm}$: separación angular y lineal de las dos rayas en el detector en el primer y en el segundo orden; tamaño de píxel necesario para verlas separadas.

**Solución de Ejercicio 21.2.**

$a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$. Orden 1: $\theta = 20.7{}^{\circ}$, $\Delta\theta = \Delta\lambda/a\cos\theta =
3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$, $0.19\,\mathrm{mm}$; orden 2: $\theta = 45{}^{\circ}$, $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$, $0.51\,\mathrm{mm}$. Píxeles de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ o menores.

**Ejercicio 21.3 ★.**

Poder resolvente de una red de $2\,\mathrm{cm}$ con $600$ líneas/mm en los órdenes $1$, $2$ y $3$; menor $\Delta\lambda$ resuelto a $550\,\mathrm{nm}$; ¿separa el doblete del sodio? ¿Y la raya H$\alpha$ del hidrógeno de su gemela del deuterio (separadas $0.18\,\mathrm{nm}$)?

**Solución de Ejercicio 21.3.**

$N = 12\,000$: $R = 12\,000$, $24\,000$, $36\,000$; $\Delta\lambda = 0.046$, $0.023$, $0.015\,\mathrm{nm}$; el doblete ($0.6\,\mathrm{nm}$) y el par H/D ($0.18\,\mathrm{nm}$, que exige $R = 3600$) se separan sin dificultad.

**Ejercicio 21.4 ★.**

Un disco compacto ($a = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$) y un DVD ($a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$) iluminados con incidencia normal: ángulos del violeta y del rojo de primer orden; qué órdenes existen para cada uno; ¿por qué muestra el CD dos arcos iris y el DVD uno?

**Solución de Ejercicio 21.4.**

CD: violeta $14.5{}^{\circ}$, rojo $25.9{}^{\circ}$; el rojo existe hasta el orden 2 y el violeta hasta el orden 4: dos arcos iris (parcialmente solapados). DVD: violeta $32.7{}^{\circ}$, rojo $71{}^{\circ}$; el rojo solo tiene el primer orden: un arco iris, más ancho.

**Ejercicio 21.5 ★★.**

*El patrón de $N$ rendijas.* (a) Muéstrese que entre dos [máximos principales](#thm-b2-gratings-nwaves) hay $N - 1$ ceros y $N - 2$ [máximos secundarios](#thm-b2-gratings-nwaves). (b) Para $N$ grande, intensidad del primer [máximo secundario](#thm-b2-gratings-nwaves) respecto del principal (en $N\varphi/2 \approx 3\pi/2$): alrededor de $1/22$. (c) Dibújese el patrón para $N = 3$ y $N = 6$ y dense las alturas de los [máximos secundarios](#thm-b2-gratings-nwaves) para $N = 3$. (d) Fracción de la energía total en los [máximos principales](#thm-b2-gratings-nwaves) para $N$ grande (compárense las integrales del pico, de anchura $\propto 1/N$ y altura $\propto N^2$, con el resto).

**Solución de Ejercicio 21.5.**

(a) Ceros en $\varphi = 2\pi m/N$, $m = 1, \dots, N - 1$: $N - 1$ ceros y $N - 2$ máximos entre ellos. (b) En $N\varphi/2 = 3\pi/2$, $I \approx I_0/\sin^2(3\pi/2N) \approx I_0(2N/3\pi)^2$: $4/9\pi^2 = 0.045$ de $N^2I_0$. (c) $N = 3$: un único [máximo secundario](#thm-b2-gratings-nwaves) en $\varphi = \pi$ de altura $I_0$, un noveno del principal $9I_0$; $N = 6$: cuatro [máximos secundarios](#thm-b2-gratings-nwaves) de unos pocos por ciento. (d) El lóbulo central de $\sin^2x/x^2$ contiene el $90\%$ de la energía.

**Ejercicio 21.6 ★★.**

*Órdenes solapados.* (a) Muéstrese que el orden $p$ de $\lambda_{\max}$ se solapa con el orden $p + 1$ de $\lambda_{\min}$ cuando $p\lambda_{\max} > (p + 1)\lambda_{\min}$; para $400$–$700\,\mathrm{nm}$, ¿a partir de qué orden? (b) [Intervalo espectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) en el orden $p$: $\Delta\lambda_{\text{IEL}}
= \lambda/p$. (c) Un espectrógrafo trabaja en el orden $20$ cerca de $500\,\mathrm{nm}$ (una red echelle): [intervalo espectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot); ¿cómo se elimina el solapamiento (dispersor cruzado)? (d) El [intervalo espectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) del Fabry–Pérot es $c/2L$: escríbase en longitud de onda y compárese con el de la red.

**Solución de Ejercicio 21.6.**

(a) $p > \lambda_{\min}/(\lambda_{\max} - \lambda_{\min}) = 1.33$: desde $p = 2$. (b) $\lambda/p$. (c) $25\,\mathrm{nm}$; un prisma cruzado con la red apila los órdenes uno encima de otro. (d) $\Delta\lambda = \lambda^2/2L$, una fracción de nanómetro — cientos de veces menor que el de una red.

**Ejercicio 21.7 ★★.**

*Red escalonada.* Una red de reflexión tiene sus surcos inclinados el ángulo de blaze $\beta$ de modo que cada faceta refleje especularmente en la dirección donde se quiere el orden $p$. (a) Para el montaje de Littrow ($\theta = \theta_0 = \beta$): muéstrese que $2a\sin\beta = p\lambda$; ángulo de blaze para $500\,\mathrm{nm}$ en primer orden con $1200$ líneas/mm. (b) ¿Por qué envía el blaze casi toda la luz a un solo orden (piénsese en la envolvente de la difracción de una sola faceta, [Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/22-difraccion-de-fraunhofer-y-filtrado-espacial#ch-b2-diffraction))? (c) La misma red se talla con blaze para $1\,\text{µ}\mathrm{m}$: ¿en qué orden es eficiente a $500\,\mathrm{nm}$? (d) Poder resolvente de una red de $10\,\mathrm{cm}$ en Littrow con $\beta = 64{}^{\circ}$ y $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ (úsese $R = 2W\sin\beta/\lambda$).

**Solución de Ejercicio 21.7.**

(a) $\sin\beta = \lambda/2a = 0.3$, $\beta = 17.5{}^{\circ}$. (b) La faceta aislada difracta en un lóbulo ancho centrado en su dirección especular; los órdenes que caen dentro se llevan la luz. (c) El orden 2 ($2 \times 500\,\mathrm{nm} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ con el mismo ángulo). (d) $R = 2W\sin\beta/\lambda = 3.6 \times 10^5$.

**Ejercicio 21.8 ★★.**

*La rendija.* La rendija de entrada de un espectrómetro, de anchura $s$, se imagina en el detector con aumento $1$; la red ($600$ líneas/mm, $5\,\mathrm{cm}$, orden $1$, $f = 50\,\mathrm{cm}$) dispersa. (a) Anchura de una raya en el detector debida solo a la rendija para $s = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$, en nm. (b) Anchura debida al poder resolvente de la red. (c) ¿Cuál domina? Anchura de rendija para la que ambas se igualan. (d) ¿Por qué no cerrar más la rendija?

**Solución de Ejercicio 21.8.**

(a) $\dd\lambda/\dd x = a\cos\theta/pf = 3.1\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$: $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ son $0.16\,\mathrm{nm}$. (b) $R = 30\,000$: $0.018\,\mathrm{nm}$. (c) La rendija, por un factor nueve; se igualan en $s = 6\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) La difracción en la rendija y un detector hambriento de luz.

**Ejercicio 21.9 ★★.**

*Fabry–Pérot.* Espejos con $R = 0.95$, $L = 5\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$. (a) Orden $p$, [intervalo espectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) en frecuencia y en longitud de onda. (b) Fineza; anchura de un pico de transmisión en frecuencia y en longitud de onda. (c) Poder resolvente $p\mathcal F$; compárese con la red de $10\,\mathrm{cm}$. (d) ¿Por qué se usa siempre un Fabry–Pérot con un prefiltro o una red?

**Solución de Ejercicio 21.9.**

(a) $p = 2L/\lambda = 16\,700$; IEL $c/2L = 30\,\mathrm{GHz}$, $\lambda^2/2L = 0.036\,\mathrm{nm}$. (b) $\mathcal F
= \pi\sqrt{0.95}/0.05 = 61$; $0.5\,\mathrm{GHz}$, $0.6\,\mathrm{pm}$. (c) $p\mathcal F = 10^6$, cuatro veces el de la red de $10\,\mathrm{cm}$. (d) Su [intervalo espectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) es una fracción de nanómetro: los órdenes se solapan si la luz no se prefiltra a uno de ellos.

**Ejercicio 21.10 ★★★.**

*El límite de una red.* (a) Muéstrese que $R = pN = W(\sin\theta - \sin\theta_0)
/\lambda \le 2W/\lambda$: el poder resolvente no puede superar la anchura de la red en longitudes de onda, multiplicada por dos. (b) Interprétese: la mayor [diferencia de camino](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/19-interferencias-de-dos-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) entre los rayos extremos. (c) Una red de $30\,\mathrm{cm}$ a $500\,\mathrm{nm}$: $R$ máximo; menor velocidad resoluble por corrimiento Doppler ($\Delta\lambda/\lambda = v/c$). (d) ¿Por qué alcanzan sin embargo los astrónomos $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (piénsese en medir la posición de una raya con una fracción de su anchura, y con muchas rayas)?

**Solución de Ejercicio 21.10.**

(a) $|\sin\theta - \sin\theta_0| \le 2$. (b) Los rayos extremos difieren en camino en $W(\sin\theta - \sin\theta_0)$, a lo sumo $2W$. (c) $2 \times 0.3/5 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^6$; $c/R
= 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) El centro de una raya se localiza con una centésima de su anchura, y mil rayas promedian a la baja en $\sqrt{1000}$: metros por segundo, con una estabilidad heroica.

**Ejercicio 21.11 ★★★.**

*Bragg.* Un cristal es una red tridimensional: los rayos X reflejados por planos atómicos sucesivos separados una distancia $d$, con el ángulo rasante $\theta$, interfieren constructivamente cuando $2d\sin\theta = p\lambda$ (Bragg). (a) Dedúzcase de la [diferencia de camino](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/19-interferencias-de-dos-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) entre dos planos. (b) Radiación K$\alpha$ del cobre ($0.154\,\mathrm{nm}$) sobre sal gema ($d = 0.282\,\mathrm{nm}$): los ángulos de Bragg. (c) ¿Por qué no dan las longitudes de onda visibles ninguna reflexión de Bragg en los cristales, y qué dice lo contrario (que el vidrio no difracta los rayos X) sobre el vidrio? (d) ¿Por qué debe ser $\lambda < 2d$?

**Solución de Ejercicio 21.11.**

(a) La onda reflejada por el plano inferior recorre $2d\sin\theta$ más. (b) $\sin\theta = 0.273p$: $15.8{}^{\circ}$, $33.1{}^{\circ}$, $55.0{}^{\circ}$. (c) $\lambda \gg 2d$: ningún ángulo satisface la ecuación; el vidrio no tiene planos regulares, de ahí solo anillos difusos — es amorfo. (d) $\sin\theta \le 1$.

**Ejercicio 21.12 ★★★.**

*Agrupación en fase.* $N$ antenas idénticas en línea, separadas $a$, alimentadas con la misma amplitud y un salto de fase $\psi$ entre vecinas. (a) Muéstrese que el campo radiado en la dirección $\theta$ es el de la suma de $N$ ondas con $\varphi = 2\pi a\sin\theta/\lambda - \psi$: el haz principal apunta donde $\sin\theta = \lambda\psi/2\pi a$. (b) Semianchura del haz principal, $\Delta\theta
\approx \lambda/Na\cos\theta$. (c) ¿Por qué debe ser $a \le \lambda/2$ para evitar un segundo haz principal (un lóbulo de red) al orientarlo? (d) Un radar con $64$ elementos separados $\lambda/2$, $\lambda = 3\,\mathrm{cm}$: anchura del haz; tiempo para barrer $90^\circ$ en pasos de una anchura de haz si las fases conmutan en $1\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Solución de Ejercicio 21.12.**

(a) Las vecinas difieren en fase en $2\pi a\sin\theta/\lambda$ por el camino y en $-\psi$ por la alimentación; el [máximo principal](#thm-b2-gratings-nwaves) está en $\varphi = 0$. (b) Primer cero en $\Delta\varphi = 2\pi/N$: $\Delta\theta = \lambda/Na\cos\theta$. (c) Un segundo [máximo principal](#thm-b2-gratings-nwaves) en $\varphi = \pm2\pi$ exige $|\sin\theta \pm \lambda/a| \le 1$: imposible para cualquier ángulo de orientación solo si $a \le \lambda/2$. (d) $Na = 0.96\,\mathrm{m}$: $1.8{}^{\circ}$; $50$ pasos, $50\,\text{µ}\mathrm{s}$.

## 21.6 Problema: un espectrógrafo para una estrella

**Problema 21.1.**

Problema de fin de semana — diseñar el espectrógrafo que lee la luz de una estrella: la red, el detector, las rayas del hidrógeno y el bamboleo de un planeta

Un espectrógrafo: rendija de entrada, colimador de distancia focal $f_1 =
1.0\,\mathrm{m}$, una red de reflexión de $1200$ líneas/mm y anchura $W =
12\,\mathrm{cm}$, una cámara de $f_2 = 1.0\,\mathrm{m}$ y un detector con píxeles de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$. Trabaja en el primer orden, en torno a $550\,\mathrm{nm}$, con la red a $20{}^{\circ}$ de incidencia.

**Parte I — La red.**

1. Periodo de la red; número de líneas iluminadas si el haz cubre toda la anchura.
2. Ángulo de difracción de $550\,\mathrm{nm}$ en el primer orden; el de $400\,\mathrm{nm}$ y el de $700\,\mathrm{nm}$ ; anchura angular del espectro visible.
3. [Dispersión angular](#prop-b2-gratings-equation) a $550\,\mathrm{nm}$ ; dispersión lineal en el detector, en nm por mm y en nm por píxel.
4. Poder resolvente; menor $\Delta\lambda$ resuelto a $550\,\mathrm{nm}$ ; en píxeles.
5. ¿Cae el violeta de segundo orden sobre el visible de primer orden? ¿Qué filtro lo elimina?
6. Longitud de detector necesaria para todo el espectro visible en el primer orden.
7. La red tiene un blaze de $17{}^{\circ}$ : ¿para qué longitud de onda es más eficiente en el primer orden con esta incidencia (úsese la estimación de Littrow $2a\sin\beta = \lambda$ )?
8. La red devuelve el $80\%$ de la luz en la longitud de onda de blaze y el telescopio más la óptica, el $40\%$ : fracción de los fotones de la estrella que llegan al detector.

**Parte II — Las rayas.**

9. Las rayas de Balmer del hidrógeno de la estrella: H $\alpha$ $656.3\,\mathrm{nm}$ , H $\beta$ $486.1\,\mathrm{nm}$ y H $\gamma$ $434.0\,\mathrm{nm}$ : sus posiciones en el detector respecto de $550\,\mathrm{nm}$ .
10. La H $\alpha$ de un átomo de deuterio es $0.18\,\mathrm{nm}$ más corta: ¿se separa? ¿En cuántos píxeles?
11. El doblete del sodio en el espectro de la estrella: separación en píxeles; y anchura de cada raya si la atmósfera de la estrella las ensancha hasta $0.05\,\mathrm{nm}$ .
12. La rendija de entrada mide $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ de ancho y se imagina con aumento $f_2/f_1$ : su anchura en el detector, en píxeles y en nm; ¿está el espectrógrafo limitado por la rendija o por la red?
13. La luz del telescopio llega como un disco de $1''$ en el cielo, que el telescopio ( $f = 20\,\mathrm{m}$ ) convierte en $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ de anchura en la rendija: fracción de luz perdida si la rendija se estrecha a $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (tómese el disco como uniforme).
14. ¿Por qué da una rendija más estrecha rayas más nítidas pero espectros más ruidosos?

**Parte III — La estrella se mueve.**

15. Una estrella se aleja a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : corrimiento Doppler de H $\alpha$ en nm y en píxeles.
16. El movimiento orbital de la Tierra añade $\pm30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ a lo largo del año: ¿por qué debe restarse, y con qué precisión si se quieren $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
17. Un planeta hace bambolearse a su estrella a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : corrimiento en nm y en píxeles; ¿queda por debajo de la resolución? Explíquese cómo, midiendo el centro de una raya con una centésima de su anchura, sobre mil rayas, se recupera (ganancia estadística $\sqrt{N}$ ).
18. La temperatura del instrumento cambia $1\,\mathrm{K}$ y la red (de vidrio, con dilatación $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) se dilata: corrimiento de las rayas en píxeles; ¿qué estabilidad hace falta para $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
19. Una lámpara de calibración (torio-argón) pone cientos de rayas conocidas en el mismo detector: explíquese su papel.

**Parte IV — Alternativas.**

20. La misma anchura de red tallada con $300$ líneas/mm y usada en el cuarto orden (con un dispersor cruzado para ordenar los órdenes): ángulo de difracción, poder resolvente, dispersión e [intervalo espectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) a $550\,\mathrm{nm}$ ; ¿qué ha cambiado y qué no?
21. Un etalón de Fabry–Pérot ( $L = 1\,\mathrm{mm}$ , $R = 0.9$ ) colocado antes de la rendija: [intervalo espectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) en nm, fineza, anchura de pico; ¿qué aspecto tiene su peine de picos de transmisión en el detector y para qué se usa?
22. Un prisma de $60{}^{\circ}$ de vidrio con $\dd n/\dd\lambda = -1 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}^{-1}$ tiene la [dispersión angular](#prop-b2-gratings-equation) $\dd D/\dd\lambda \approx 2\,\dd n/\dd\lambda$ cerca del mínimo de desviación: compárese con la de la red; ¿por qué sustituyeron las redes a los prismas?
23. ¿Por qué se construyen los mayores espectrógrafos astronómicos con redes de un metro de ancho y se usan con ángulos grandes (el límite $2W/\lambda$ )?
24. Una estrella de magnitud 8 entrega $1 \times 10^{4}\,$ fotones por segundo y por nanómetro en el telescopio: fotones por píxel y por segundo en el detector, y relación señal-ruido de una exposición de $100\,\mathrm{s}$ (solo ruido de fotones).
25. Resúmase: los tres números que describen un espectrógrafo (dispersión, poder resolvente e [intervalo espectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) ) y qué fija cada uno.

**Solución de Problema 21.1.**

**1.** $a = 0.833\,\text{µ}\mathrm{m}$; $N = 144\,000$.

**2.** $\sin\theta = \sin20^\circ - \lambda/a$ (el orden queda al otro lado de la normal): $550\,\mathrm{nm}$ a $18.5{}^{\circ}$, $400\,\mathrm{nm}$ a $7.9{}^{\circ}$ y $700\,\mathrm{nm}$ a $29.9{}^{\circ}$: $22{}^{\circ}$ de espectro.

**3.** $1/a\cos\theta = 1.27 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$; y $f_2\times$: $1.27\,\mathrm{mm}/\mathrm{nm}$, es decir, $0.79\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$ y $0.012\,\mathrm{nm}$ por píxel.

**4.** $R = N = 144\,000$: $0.0038\,\mathrm{nm}$, un tercio de píxel.

**5.** El $400\,\mathrm{nm}$ de segundo orden cae donde caería el $800\,\mathrm{nm}$ de primer orden, más allá del rojo: no hay solapamiento en el visible; el solapamiento empezaría en $350\,\mathrm{nm}$, que un filtro de vidrio elimina.

**6.** $22{}^{\circ}$ $\times$ $1\,\mathrm{m}$ $= 38\,\mathrm{cm}$: un detector cubre una porción; la red se gira para elegirla.

**7.** $\lambda = 2a\sin17^\circ = 490\,\mathrm{nm}$.

**8.** $0.8 \times 0.4 = 32\%$.

**9.** Ángulos $26.5{}^{\circ}$, $14.0{}^{\circ}$ y $10.3{}^{\circ}$: $+14$, $-8$ y $-14\,\mathrm{cm}$ desde la posición de $550\,\mathrm{nm}$.

**10.** $0.18\,\mathrm{nm}$ son $15$ píxeles: separadas.

**11.** Separadas $50$ píxeles, cada una de $4$ píxeles de ancho.

**12.** $100\,\text{µ}\mathrm{m}$, $6.7$ píxeles, $0.08\,\mathrm{nm}$ — veinte veces el límite de la red: limitado por la rendija.

**13.** La imagen mide $97\,\text{µ}\mathrm{m}$ de ancho: una rendija de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ deja pasar la mitad de la luz.

**14.** Menos luz para la misma nitidez: el ruido de fotones crece.

**15.** $\Delta\lambda = \lambda v/c = 0.066\,\mathrm{nm}$, $5.5$ píxeles.

**16.** La velocidad de la Tierra desplaza cada raya hasta $\pm5.5$ píxeles a lo largo del año; se conoce por las efemérides con mucha mayor precisión que el $0.3\%$ que exigen los $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**17.** $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$, $0.002$ píxeles — muy por debajo de la anchura de raya. Un centroide con una centésima de una raya de $7\,\mathrm{px}$ son $0.07\,\mathrm{px}$; mil rayas dan $\sqrt{1000}$: $0.002$ píxeles — la señal, justo. Los instrumentos reales añaden poder resolvente y estabilidad.

**18.** $\Delta\sin\theta = (\lambda/a) \times 10^{-5} = 6.6 \times 10^{-6}$, $\Delta\theta = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$, $7\,\text{µ}\mathrm{m}$: medio píxel por kelvin — milikelvin para $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**19.** Sus rayas, registradas en el mismo instante sobre los mismos píxeles, dan la escala de longitudes de onda y siguen toda deriva.

**20.** $a = 3.33\,\text{µ}\mathrm{m}$, $N = 36\,000$, el mismo ángulo ($18.5{}^{\circ}$), $R = 4N
= 144\,000$, la misma dispersión, IEL $\lambda/4 = 137\,\mathrm{nm}$: el poder resolvente y la dispersión dependen solo de $W$ y del ángulo; el [intervalo espectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) se ha encogido.

**21.** IEL $\lambda^2/2L = 0.15\,\mathrm{nm}$ ($12$ píxeles); $\mathcal F = 30$; picos de $0.005\,\mathrm{nm}$ de anchura: un peine de rayas nítidas en el detector, una regla de longitudes de onda.

**22.** $2 \times 10^{-4}$ frente a $1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$: seis veces menos, y el poder resolvente de un prisma ($b\,\dd n/\dd\lambda \sim 10^4$) y su escala no lineal también pierden; además, las redes funcionan en el ultravioleta.

**23.** $R \le 2W/\lambda$: $4 \times 10^6$ para un metro a $500\,\mathrm{nm}$ — la anchura y el ángulo son las únicas vías para subir.

**24.** $10^4 \times 0.012 \times 0.32 = 38$ fotones por píxel y por segundo; $3800$ en $100\,\mathrm{s}$: SNR $\approx 60$.

**25.** La dispersión, fijada por $p/a\cos\theta$ y la distancia focal de la cámara; el poder resolvente, por la anchura iluminada y los ángulos ($pN$); el [intervalo espectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot), por el orden ($\lambda/p$).