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title: "Difusión de partículas"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 24
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/24-difusion-de-particulas
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# Capítulo 24 — Difusión de partículas

Déjese caer un cristal de colorante en agua en reposo y obsérvese: se forma a su alrededor una nube coloreada, crece, se ablanda por los bordes y se extiende — en un minuto por un milímetro, en una hora por un centímetro, en una semana por todo el vaso. Nada empuja al colorante; lo lleva el incesante zarandeo de las moléculas, que envía a cada partícula a un camino aleatorio y, en promedio, de donde hay muchas a donde hay pocas. Esto es la *difusión*, el más lento y universal de los transportes: alimenta de oxígeno a cada célula, dopa con boro cada transistor, endurece el acero con carbono y deja que un perfume cruce una habitación — aunque, como veremos, no en el tiempo que uno pensaría. Este capítulo da a la difusión su ley (Fick), su ecuación (a partir de un balance de partículas), sus soluciones características y sus escalas de tiempo ($L \sim \sqrt{Dt}$), y su origen microscópico en el camino aleatorio — que también explica por qué la [ecuación de difusión](#thm-b2-particle-diffusion-equation), a diferencia de toda ecuación de la mecánica, conoce el sentido del tiempo. El capítulo siguiente reutilizará todo ello para el calor.

![Tinta soltada en agua en reposo: la nube nítida se difumina y se extiende a medida que sus moléculas difunden — milímetros en un minuto, centímetros en una hora.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-particle-diffusion/img-5f0218bb2714.jpg)

*Tinta soltada en agua en reposo: la nube nítida se difumina y se extiende a medida que sus moléculas difunden — milímetros en un minuto, centímetros en una hora.*

## 24.1 Densidad de partículas, flujo y ley de Fick

**Definición 24.1 (Densidad y corriente de partículas).**

Para una especie de partículas (moléculas, iones, átomos en un sólido), la *densidad numérica* $n(M,t)$ es el número de partículas por unidad de volumen en torno a $M$ (en $\mathrm{m}^{-3}$; la concentración molar es $c = n/N_A$). La *densidad de corriente de partículas* $\vect{j}_N$ es el vector tal que el número de partículas que cruzan un elemento de superficie orientado $\dd\vect S$ en $\dd t$ vale $\vect{j}_N\cdot\dd\vect S\,\dd t$ (en $\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$): el *flujo de partículas* a través de una superficie $S$ es $\Phi_N = \iint_S \vect{j}_N\cdot\dd\vect S$, el número de partículas por segundo a través de $S$. Para partículas arrastradas por un fluido que se mueve a $\vect v$, $\vect{j}_N = n\vect v$ (convección); la difusión es el transporte que queda en un fluido en reposo.

**Teorema 24.2 (Ley de Fick).**

En un medio en reposo, donde la densidad no es uniforme, aparece una corriente de partículas proporcional y opuesta al [gradiente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) de la densidad:

$$
\vect{j}_N = -D\,\vect{\operatorname{grad}}\,n ,
$$

donde el *coeficiente de difusión* $D > 0$ (en $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) depende de la especie que difunde, del medio y de la temperatura. Las partículas bajan *a favor* del [gradiente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) de densidad, de las regiones más densas a las más enrarecidas, a un ritmo que fija $D$.

**Demostración.** Fenomenológica (una ley de la experiencia, como la de Ohm): lineal en el [gradiente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) para [gradientes](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) pequeños, isótropa en un medio isótropo y con el signo que impone la experiencia. El modelo del camino aleatorio de [Sección 24.4](#sec-24-4) la deduce, y con ella $D$, a partir del movimiento molecular. ∎

**Ejemplo 24.3 (Órdenes de magnitud de DDD).**

Gases: $D \sim 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (vapor de agua en aire, $2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; una molécula de perfume, $5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$). Líquidos: $D \sim 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (oxígeno en agua, $2 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; azúcar, $5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; una proteína, $1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$). Sólidos: minúsculo y con crecimiento abrupto con la temperatura, $D = D_0\,\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$ (boro en silicio: $1.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, inmensurablemente pequeño a temperatura ambiente — por eso un transistor, una vez fabricado, conserva su perfil de dopado durante décadas). Cuatro órdenes de magnitud del gas al líquido, y ocho o más del líquido al sólido.

## 24.2 El balance de partículas y la ecuación de difusión

**Teorema 24.4 (Balance local de partículas).**

Si las partículas no se crean ni se destruyen,

$$
\frac{\partial n}{\partial t} + \operatorname{div}\vect{j}_N = 0 ;
$$

con una fuente que crea $\sigma$ partículas por unidad de volumen y tiempo (una reacción química, una absorción), $\partial_t n +
\operatorname{div}\vect{j}_N = \sigma$. En una dimensión (con la densidad y la corriente dependiendo solo de $x$): $\partial_t n + \partial_x j_N = 0$.

**Demostración.** Tómese la rodaja entre $x$ y $x + \dd x$, de sección $S$: contiene $n\,S\,\dd x$ partículas; en $\dd t$ entran $j_N(x)S\,\dd t$ por la cara izquierda y salen $j_N(x + \dd x)S\,\dd t$ por la derecha, luego $\partial_t n\,S\,\dd x\,\dd t = -(j_N(x+\dd x) - j_N(x))S\,\dd t =
-\partial_x j_N\,\dd x\,S\,\dd t$. En tres dimensiones, el mismo recuento en una caja pequeña da la [divergencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) (el flujo que sale de una superficie cerrada por unidad de volumen, [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)), o directamente: para todo volumen fijo $V$, $\dd/\dd t \iiint_V n\,\dd\tau = -\iint_{\partial V}
\vect{j}_N\cdot\dd\vect S = -\iiint_V \operatorname{div}\vect{j}_N\,\dd\tau$ por el [teorema de Ostrogradski](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-theorems). ∎

![El balance unidimensional: la rodaja entre x y x + x gana lo que entra por la izquierda y pierde lo que sale por la derecha; la diferencia es el cambio de n en su interior.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-particle-diffusion/fig-e782723ea95b.svg)

*El balance unidimensional: la rodaja entre $x$ y $x + \dd
x$ gana lo que entra por la izquierda y pierde lo que sale por la derecha; la diferencia es el cambio de $n$ en su interior.*

**Teorema 24.5 (Ecuación de difusión).**

Combinando la ley de Fick y el balance, para $D$ uniforme,

$$
\frac{\partial n}{\partial t} = D\,\Delta n + \sigma ,
\qquad\text{en una dimensión}\quad
\frac{\partial n}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 n}{\partial x^2} + \sigma .
$$

Esta *ecuación de difusión* es lineal (las soluciones se superponen), de primer orden en el tiempo y de segundo en el espacio — no es una [ecuación de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation): no tiene celeridad de propagación, sino una relación característica entre longitud y tiempo,

$$
L \sim \sqrt{D t}, \qquad t \sim \frac{L^2}{D} :
$$

difundir el doble de distancia lleva cuatro veces más tiempo.

**Demostración.** $\partial_t n = -\operatorname{div}(-D\,\vect{\operatorname{grad}}\,n) +
\sigma = D\operatorname{div}\vect{\operatorname{grad}}\,n + \sigma = D\Delta
n + \sigma$. Para las escalas, compárese $n/t$ con $Dn/L^2$. ∎

**Observación 24.6 (La difusión es irreversible).**

Cámbiese $t$ por $-t$ en la [ecuación de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation), $\partial_t^2 u = c^2
\partial_x^2 u$, y no cambia: una película de una onda pasada al revés es una onda posible. Hágase lo mismo en la [ecuación de difusión](#thm-b2-particle-diffusion-equation) y el signo del miembro izquierdo se invierte: $n(x,-t)$ *no* es solución. Una nube que se extiende es natural; una nube que se reúne espontáneamente en un cristal no lo es — la difusión tiene una flecha del tiempo, la del segundo principio ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/25-conduccion-del-calor#ch-b2-heat-conduction) calcula la entropía que crea). La ecuación muestra además que la difusión suaviza: donde $n$ es localmente un máximo ($\partial_x^2 n < 0$) disminuye, y donde es un mínimo, aumenta.

**Ejemplo 24.7 (¿Cuánto tarda?).**

$t \sim L^2/D$. Oxígeno a través de una célula, $L = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ en agua: $10^{-10}/2 \times 10^{-9} = 0.05\,\mathrm{s}$ — la difusión alimenta una célula con holgura; a través de $1\,\mathrm{mm}$ de tejido: $500\,\mathrm{s}$ — demasiado lento, por lo que nada vivo es más grueso que una fracción de milímetro sin vasos sanguíneos. Azúcar por una taza de té sin remover, $L = 5\,\mathrm{cm}$: $2.5 \times 10^{-3}/5 \times 10^{-10} = 5 \times 10^6\,\mathrm{s}$, dos meses — remuévase. Un perfume por una habitación solo por difusión, $5\,\mathrm{m}$ en aire: $25/10^{-5} = 3 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, un mes; se huele en un minuto porque el aire se mueve: la *convección* transporta y la difusión solo completa los últimos milímetros.

## 24.3 Soluciones características

**Proposición 24.8 (Régimen estacionario: la membrana).**

Entre dos depósitos mantenidos a $n_1$ y $n_2$, a través de una membrana de espesor $e$ y área $S$, la densidad estacionaria es lineal,

$$
n(x) = n_1 + (n_2 - n_1)\frac{x}{e}, \qquad
j_N = D\,\frac{n_1 - n_2}{e}, \qquad
\Phi_N = \frac{n_1 - n_2}{R_{\text{d}}}, \quad R_{\text{d}} = \frac{e}{DS}:
$$

la membrana tiene una *resistencia difusiva* $e/DS$, exactamente igual que un hilo tiene $\ell/\gamma S$ — las resistencias en serie se suman, y una membrana fina de $D$ pequeño puede dominar aun así.

**Demostración.** Estacionario, unidimensional y sin fuente: $\partial_x^2 n = 0$, luego $n$ es afín; $j_N = -D\,\dd n/\dd x$ es uniforme. ∎

**Proposición 24.9 (Régimen estacionario: geometría esférica).**

En torno a una esfera de radio $a$ cuya superficie se mantiene a $n_0$, en un medio donde $n \to 0$ lejos, la densidad estacionaria vale

$$
n(r) = n_0\,\frac{a}{r}, \qquad
\Phi_N = 4\pi D a\,n_0 :
$$

la corriente total liberada (o absorbida, con los signos invertidos) crece con el *radio*, no con la superficie, de la esfera — la geometría de un sumidero difusivo es la de una capacidad electrostática.

**Demostración.** $\Delta n = \frac{1}{r^2}\frac{\dd}{\dd r}(r^2\,\dd n/\dd r) = 0$ da $n = A + B/r$; las condiciones de contorno fijan $A = 0$, $B = n_0 a$; entonces $\Phi_N = -4\pi r^2 D\,\dd n/\dd r = 4\pi D n_0 a$ para todo $r$ (sin acumulación en régimen estacionario). ∎

![Perfiles estacionarios. A la izquierda, a través de una membrana la densidad es lineal y la corriente uniforme. A la derecha, en torno a una esfera la densidad cae como 1/r; la corriente total 4π D a n_0 es proporcional al radio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-particle-diffusion/fig-648ab3fd0fc2.svg)

*Perfiles estacionarios. A la izquierda, a través de una membrana la densidad es lineal y la corriente uniforme. A la derecha, en torno a una esfera la densidad cae como $1/r$; la corriente total $4\pi D a n_0$ es proporcional al radio.*

**Proposición 24.10 (La gaussiana que se extiende).**

$N$ partículas por unidad de área soltadas en $t = 0$ en el plano $x = 0$ de un medio infinito se extienden como

$$
n(x,t) = \frac{N}{\sqrt{4\pi D t}}\,\exp\Big(-\frac{x^2}{4Dt}\Big) :
$$

una gaussiana de desviación típica $\sigma(t) = \sqrt{2Dt}$, de área constante $N$ (las partículas se conservan) y de pico decreciente $\propto
1/\sqrt t$. En tres dimensiones, $N$ partículas soltadas en un punto se extienden como $n = N\,(4\pi Dt)^{-3/2}\exp(-r^2/4Dt)$, con $\langle r^2
\rangle = 6Dt$. Un pulso de partículas soltado en la *superficie* de un semiespacio (del que no pueden salir) da el doble de la expresión anterior para $x > 0$.

**Demostración.** Sustitúyase: con $u = x^2/4Dt$, $\partial_t n = n\,(-1/2t + u/t)$ y $D\,\partial_x^2 n = D\,n\,(-1/2Dt + x^2/4D^2t^2) = n\,(-1/2t + u/t)$; iguales. La normalización $\int n\,\dd x = N$ se sigue de $\int
\eu^{-x^2/4Dt}\dd x = \sqrt{4\pi Dt}$, y $\int x^2 n\,\dd x/N = 2Dt$. La unicidad (dado el pulso inicial) se admite. ∎

![La solución gaussiana en tres instantes: la anchura crece como √ t, el pico cae como 1/√ t y el área (el número de partículas) no cambia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-particle-diffusion/fig-a02209e1d70a.svg)

*La solución gaussiana en tres instantes: la anchura crece como $\sqrt t$, el pico cae como $1/\sqrt t$ y el área (el número de partículas) no cambia.*

**Proposición 24.11 (Concentración superficial constante).**

Un semiespacio $x > 0$ inicialmente vacío, cuya superficie se mantiene a la densidad $n_0$ desde $t = 0$ (un gas en contacto con un sólido que lo disuelve), se llena como

$$
n(x,t) = n_0\,\operatorname{erfc}\Big(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\Big),
\qquad
\operatorname{erfc}(u) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_u^{\infty}\eu^{-s^2}\dd s,
$$

la *función error complementaria*, que cae de $1$ en $u =
0$ a $0.16$ en $u = 1$ y a $0.005$ en $u = 2$: la [profundidad de penetración](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) vale de nuevo $\sim 2\sqrt{Dt}$, y el número total de partículas absorbidas por unidad de área es $2n_0\sqrt{Dt/\pi}$.

**Demostración.** Búsquese $n = f(u)$ con $u = x/2\sqrt{Dt}$: la ecuación se vuelve $f'' + 2uf' = 0$, luego $f' \propto \eu^{-u^2}$ y $f$ es una función error; las condiciones $f(0) = n_0$, $f(\infty) = 0$ seleccionan $\operatorname{erfc}$. El número absorbido vale $\int_0^\infty n\,\dd x =
n_0\,2\sqrt{Dt}\int_0^\infty\operatorname{erfc}(u)\dd u = 2n_0\sqrt{Dt/\pi}$. ∎

**Ejemplo 24.12 (Endurecer el acero).**

Una pieza de acero mantenida a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en un gas rico en carbono absorbe carbono por su superficie; con $D = 5 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ para el carbono en hierro caliente, cuatro horas dan $2\sqrt{Dt} = 0.5\,\mathrm{mm}$: una piel dura de medio milímetro sobre un núcleo tenaz — la *cementación* de engranajes y [cojinetes](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/1-mecanica-del-solido-rigido#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot), cronometrada con el perfil de erfc.

## 24.4 La imagen microscópica: el camino aleatorio

**Proposición 24.13 (Camino aleatorio y coeficiente de difusión).**

Una partícula que da un paso de longitud $\ell$ en una dirección al azar cada $\tau$ (una molécula entre dos colisiones) tiene, tras $N =
t/\tau$ pasos, un desplazamiento cuadrático medio

$$
\langle x^2\rangle = N\ell^2 = \frac{\ell^2}{\tau}\,t
\quad\text{(una dimensión)}, \qquad
\langle r^2\rangle = 3\langle x^2\rangle \quad\text{(tres dimensiones)}.
$$

Comparando con la solución gaussiana, $\langle x^2\rangle = 2Dt$:

$$
D = \frac{\ell^2}{2\tau} \quad\text{(1D)}, \qquad
D = \frac{\ell^2}{6\tau} = \frac{\ell\,v^*}{6}\ \sim\ \frac{\ell\,v^*}{3}
\quad\text{(3D, con } v^* = \ell/\tau\text{; la teoría cinética da } \tfrac13) .
$$

La distancia del caminante crece como $\sqrt t$, no como $t$: para ir el doble de lejos necesita cuatro veces más pasos.

**Demostración.** $x = \sum_i \epsilon_i\ell$ con $\epsilon_i = \pm1$ independientes (1D): $\langle x^2\rangle = \sum_{i,j}\langle\epsilon_i\epsilon_j\rangle\ell^2 =
N\ell^2$, pues los términos cruzados promedian cero. La distribución de $x$ para $N$ grande tiende a una gaussiana (el teorema central del límite, cuya demostración corresponde al curso de probabilidad) — por eso la ley macroscópica es la [ecuación de difusión](#thm-b2-particle-diffusion-equation); la propia ley de Fick se sigue de contar los caminantes que cruzan un plano por ambos lados: $j_N \approx
-\tfrac12\ell v^*\,\partial_x n$ (un promedio más cuidadoso da $1/3$ en tres dimensiones). ∎

![Un camino aleatorio de 400 pasos de longitud : el caminante solo se ha alejado unos 20 de su punto de partida — la ley del √ N que hace la difusión tan lenta en distancias largas y tan rápida en las cortas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-particle-diffusion/fig-cfa437bffac7.svg)

*Un camino aleatorio de $400$ pasos de longitud $\ell$: el caminante solo se ha alejado unos $20\ell$ de su punto de partida — la ley del $\sqrt N$ que hace la difusión tan lenta en distancias largas y tan rápida en las cortas.*

**Ejemplo 24.14 (De las moléculas a DDD).**

Aire a temperatura ambiente: recorrido libre medio $\ell \approx 70\,\mathrm{nm}$, celeridad media $v^* \approx 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $D \approx \ell v^*/3 =
1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, como se mide. Para difundir $1\,\mathrm{m}$, una molécula necesita $N = (L/\ell)^2 = 2 \times 10^{14}$ colisiones, es decir, $N\ell/v^*
\approx 3 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ — ocho horas para un trayecto que haría en $2\,\mathrm{ms}$ si volara recto. En un líquido, una esfera de radio $a$ zarandeada por las moléculas obedece la relación de Stokes–Einstein $D =
k_BT/6\pi\eta a$ (Einstein, 1905): para el azúcar, $a \approx 0.4\,\mathrm{nm}$ en agua, $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; para un grano de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$, $4 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, un desplazamiento de un micrómetro por segundo — el movimiento browniano que Perrin midió para contar el número de Avogadro. En un sólido, un átomo salta a un sitio vecino solo cuando una fluctuación térmica aporta la energía de activación: $D = D_0\,\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$, que se duplica cada pocas decenas de kelvin cerca de $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Método 24.15 (Estimaciones de difusión).**

(1) Identifíquese $D$ (gas $10^{-5}$, líquido $10^{-9}$, sólido de tipo Arrhenius). (2) Tiempo o distancia: $t \sim L^2/D$, $L \sim \sqrt{Dt}$ (con el $\sqrt{2Dt}$ exacto para la anchura gaussiana y $2\sqrt{Dt}$ para la profundidad de erfc). (3) Estacionario: lineal en una lámina ($R_{\text{d}} = e/DS$), $1/r$ en torno a una esfera ($\Phi = 4\pi D a\,\Delta n$), $\ln r$ en torno a un cilindro. (4) Transitorio: gaussiana para un pulso, erfc para una superficie mantenida; superpóngase. (5) Pregúntese si no domina la convección. (6) Comprobación microscópica: $D \sim \ell v^*/3$.

## 24.5 Ejercicios

**Ejercicio 24.1 ★.**

Tiempos de difusión $L^2/D$: un terrón de azúcar en el fondo de una taza de $5\,\mathrm{cm}$ ($D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$); perfume por una habitación de $5\,\mathrm{m}$ ($D =
5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$); oxígeno a través de $1\,\mathrm{mm}$ de tejido y de una célula de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($D = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$). ¿Cuáles de ellos hace realmente la difusión?

**Solución de Ejercicio 24.1.**

$L^2/D$: azúcar, $5 \times 10^6\,\mathrm{s}$ (dos meses); perfume, lo mismo; tejido, $500\,\mathrm{s}$; célula, $0.05\,\mathrm{s}$. La difusión hace realmente la última (y, a duras penas, la penúltima); la convección hace el resto.

**Ejercicio 24.2 ★.**

Una membrana de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espesor y $1\,\mathrm{cm}^{2}$ de área, con $D =
1 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ en su interior, separa una disolución a $1\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$ de agua pura. [Densidad de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/10-cargas-corrientes-y-conduccion#def-b2-charges-currents-conduction-densities), flujo molar y número de moléculas por segundo; resistencia difusiva; y con dos membranas así en serie.

**Solución de Ejercicio 24.2.**

$j = D\Delta n/e = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $\times 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$: $1 \times 10^{-9}\,\mathrm{mol}/\mathrm{s}$, $6 \times 10^{14}$ moléculas por segundo; $R_{\text{d}} = e/DS = 1 \times 10^{9}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$; con dos en serie, la mitad.

**Ejercicio 24.3 ★.**

Se suelta en agua una capa fina de colorante ($N = 1 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-2}$), $D = 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Anchura $\sqrt{2Dt}$ y densidad de pico tras $1\,\mathrm{s}$, $1\,\mathrm{h}$ y un día. ¿Cuándo ha caído el pico al $1\%$ de su valor a $1\,\mathrm{s}$?

**Solución de Ejercicio 24.3.**

$\sqrt{2Dt}$: $45\,\text{µ}\mathrm{m}$, $2.7\,\mathrm{mm}$, $13\,\mathrm{mm}$; pico $N/\sqrt{4\pi
Dt}$: $9 \times 10^{23}\,\mathrm{m}^{-3}$, $1.5 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$, $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$; el $1\%$ tras $10^4$ veces más tiempo: $1 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 24.4 ★.**

Moléculas del aire: $\ell = 70\,\mathrm{nm}$, $v^* = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Estímese $D$; número de colisiones y tiempo para difundir $1\,\mathrm{m}$; compárese con el vuelo recto. Lo mismo para una molécula en agua ($\ell \approx
0.1\,\mathrm{nm}$, $v^* \approx 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): ¿es correcta la estimación, y por qué no exactamente?

**Solución de Ejercicio 24.4.**

$D \approx 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $N = (L/\ell)^2 = 2 \times 10^{14}$; $N\ell/v^*
= 3 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ frente a $2\,\mathrm{ms}$. Agua: la estimación da $2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, diez veces los valores medidos — en un líquido una molécula traquetea en la jaula de sus vecinas y sus pasos sucesivos están anticorrelacionados; el paso efectivo es más corto.

**Ejercicio 24.5 ★★.**

*Oxígeno en un tejido.* Una lámina de tejido de espesor $2a$ consume oxígeno al ritmo uniforme $q$ (por unidad de volumen); sus dos caras se mantienen a $n_0$. (a) Escríbase la ecuación estacionaria con el sumidero y resuélvase. (b) Condición para que el oxígeno llegue al centro. (c) $D = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $n_0 = 0.2\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$, $q = 0.01\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$: $a$ máximo. (d) Conclúyase sobre la separación entre capilares.

**Solución de Ejercicio 24.5.**

(a) $Dn'' = q$: $n = n_0 - q(a^2 - x^2)/2D$. (b) $n(0) \ge 0$: $a \le
\sqrt{2Dn_0/q}$. (c) $0.28\,\mathrm{mm}$. (d) Ninguna célula puede estar a más de unos pocos cientos de micrómetros de un capilar (en la práctica, de $50$ a $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ en tejido activo).

**Ejercicio 24.6 ★★.**

*Un grano que se disuelve.* Una esfera de azúcar de radio $a = 1\,\mathrm{mm}$ en agua en reposo mantiene su superficie a la densidad de saturación $n_{\text{s}}
= 5800\,\mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}$; lejos, el agua es pura; $D =
5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (a) Perfil estacionario y corriente total. (b) Número de moles del grano (densidad $1590\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, masa molar $342\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$) y tiempo de disolución (tómese la corriente constante). (c) ¿Por qué es mayor el tiempo real, y por qué ayuda tanto remover? (d) Muéstrese que para un cilindro muy largo el perfil estacionario es logarítmico y el problema no tiene solución en un medio infinito.

**Solución de Ejercicio 24.6.**

(a) $n = n_{\text{s}}a/r$, $\Phi = 4\pi D a n_{\text{s}} = 3.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{mol}/\mathrm{s}$. (b) $1.95 \times 10^{-5}\,\mathrm{mol}$; $540\,\mathrm{s}$. (c) La capa en $1/r$ tarda $\sim a^2/D \approx 2000\,\mathrm{s}$ en formarse y el grano encoge; remover sustituye la capa de espesor $\sim a$ por una [capa límite](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/4-flujos-viscosos#prop-b2-viscous-flows-bl) $\delta \ll a$ y multiplica el flujo por $a/\delta$. (d) $(rn')' = 0$: $n = A + B\ln r$, que no puede anularse en el infinito: no hay estado estacionario — la nube de un cilindro sigue creciendo (logarítmicamente).

**Ejercicio 24.7 ★★.**

*Conservación e irreversibilidad.* (a) A partir de la ecuación, muéstrese que $\int n\,\dd x$ es constante y que $\dd\langle x^2\rangle/\dd t =
2D$ (intégrese por partes, con $n \to 0$ en el infinito). (b) Muéstrese que $n(x,-t)$ no satisface la ecuación. (c) ¿En qué se convierte la solución gaussiana para $t < 0$? (d) Muéstrese que $\int n^2\,\dd x$ solo puede decrecer: la difusión aplana.

**Solución de Ejercicio 24.7.**

(a) $\dd/\dd t\int n = D[n']_{-\infty}^{\infty} = 0$; $\dd/\dd t\int x^2 n = D\int
x^2 n'' = 2D\int n = 2DN$. (b) $\partial_t[n(x,-t)] = -D\,\partial_x^2 n$: el signo se invierte. (c) Para $t < 0$ la “anchura” $2Dt$ es negativa: no existe tal estado — el pulso no puede desextenderse. (d) $\dd/\dd t\int n^2 = 2D\int nn''
= -2D\int n'^2 \le 0$.

**Ejercicio 24.8 ★★.**

*Cementación.* Carbono en hierro caliente, $D = 5 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ a $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; superficie mantenida a $n_0$. (a) Compruébese que $n_0
\operatorname{erfc}(x/2\sqrt{Dt})$ resuelve la ecuación. (b) Profundidad a la que $n = 0.1\,n_0$ tras $4\,\mathrm{h}$ ($\operatorname{erfc}(1.16) = 0.1$). (c) Tiempo para el doble de profundidad. (d) A $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $D$ es $2.5$ veces mayor: tiempo ahorrado.

**Solución de Ejercicio 24.8.**

(a) [Proposición 24.11](#prop-b2-particle-diffusion-erfc). (b) $x = 2 \times 1.16\sqrt{Dt}
= 0.62\,\mathrm{mm}$. (c) $4\times$: $16\,\mathrm{h}$. (d) $4/2.5 = 1.6\,\mathrm{h}$.

**Ejercicio 24.9 ★★.**

*Stokes–Einstein.* $D = k_BT/6\pi\eta a$, agua con $\eta =
1 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $300\,\mathrm{K}$. (a) $D$ para $a = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ y desplazamiento cuadrático medio en $1\,\mathrm{s}$ y en $1\,\mathrm{min}$. (b) $D$ para una proteína, $a = 3\,\mathrm{nm}$. (c) El azúcar tiene $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: radio efectivo. (d) ¿Cómo da el número de Avogadro medir $\langle x^2\rangle$ de un grano al microscopio?

**Solución de Ejercicio 24.9.**

(a) $D = 2.2 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $\sqrt{2Dt}$: $0.66\,\text{µ}\mathrm{m}$ y $5\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $7 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (c) $a = k_BT/6\pi\eta D =
0.44\,\mathrm{nm}$. (d) $\langle x^2\rangle = 2Dt = RTt/3\pi\eta a N_A$: todas las magnitudes salvo $N_A$ se miden.

**Ejercicio 24.10 ★★★.**

*Tiempo de retardo de una membrana.* Una membrana de espesor $e$, inicialmente vacía, se expone por una cara a $n_1$ en $t = 0$, con la otra cara mantenida a $0$. (a) ¿Cuál es el flujo estacionario final? (b) Arguméntese que el flujo en la cara lejana sube en un tiempo $\sim e^2/D$ (el retardo exacto vale $e^2/6D$). (c) Un parche de medicamento con $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$, $D =
1 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ a través de la capa externa de la piel: tiempo de retardo. (d) ¿Por qué es útil el retardo para medir $D$, y el flujo estacionario para medir $D \times$ solubilidad?

**Solución de Ejercicio 24.10.**

(a) $Dn_1S/e$. (b) Las partículas necesitan $\sim e^2/D$ para cruzar. (c) $e^2/6D = 670\,\mathrm{s}$, once minutos. (d) El retardo da $D$ solo; el flujo estacionario da $D \times$ (solubilidad): dos medidas, dos incógnitas.

**Ejercicio 24.11 ★★★.**

*El absorbente perfecto.* Una esfera de radio $a$ absorbe toda partícula que la toca, en un medio a $n_\infty$ lejos. (a) Perfil estacionario y corriente total capturada. (b) Una bacteria, $a =
1\,\text{µ}\mathrm{m}$, en una disolución de azúcar a $n_\infty = 6 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$, $D = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: moléculas capturadas por segundo. (c) Su superficie está cubierta por $N_{\text{r}}$ receptores absorbentes pequeños de radio $s$, siendo el resto reflectante: cada receptor por separado captura $\approx
4Ds n_\infty$ (un disco); muéstrese que la célula entera captura casi el máximo en cuanto $N_{\text{r}} s \gg a$, es decir, con una fracción minúscula de su superficie cubierta. (d) Coméntese: por qué pueden permitirse las células miles de receptores distintos.

**Solución de Ejercicio 24.11.**

(a) $n = n_\infty(1 - a/r)$, $\Phi = 4\pi D a n_\infty$. (b) $3.8 \times
10^6$ por segundo. (c) Los receptores actúan como conductancias en paralelo y luego en serie con la capa esférica: $\Phi \approx 4\pi Dan_\infty
\cdot N_{\text{r}}s/(N_{\text{r}}s + \pi a)$; la mitad del máximo para $N_{\text{r}}s = \pi a$: con $s = 1\,\mathrm{nm}$, $N_{\text{r}} \approx
3000$, que cubren $N_{\text{r}}s^2/4a^2 \approx 10^{-3}$ de la superficie. (d) Cada tipo de receptor necesita un área despreciable para una captura casi máxima: una célula puede vigilar miles de sustancias a la vez.

**Ejercicio 24.12 ★★★.**

*Resolverla en una malla.* Divídase el espacio en celdas de tamaño $\Delta x$ y el tiempo en pasos $\Delta t$; escríbase $n_i^{k+1} = n_i^k + \alpha\,(n_{i+1}^k
- 2n_i^k + n_{i-1}^k)$ con $\alpha = D\Delta t/\Delta x^2$. (a) Justifíquese a partir de la ecuación. (b) Interprétese como un camino aleatorio cuando $\alpha =
1/2$. (c) Muéstrese que para $\alpha > 1/2$ una densidad que alterna $+,-,+,-$ de celda en celda crece: inestabilidad. (d) Para el perfil de boro del problema siguiente ($D = 1.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\Delta x = 10\,\mathrm{nm}$), el mayor $\Delta t$ estable y el número de pasos para una hora.

**Solución de Ejercicio 24.12.**

(a) Diferencia hacia delante en $t$ y diferencia segunda centrada en $x$. (b) $\alpha = 1/2$: $n_i^{k+1} = (n_{i-1}^k + n_{i+1}^k)/2$ — cada partícula salta a izquierda o a derecha con probabilidad $1/2$. (c) Para $n_i = (-1)^i$, $n^{k+1} =
(1 - 4\alpha)n^k$: $|1 - 4\alpha| > 1$ cuando $\alpha > 1/2$. (d) $\Delta t \le
\Delta x^2/2D = 3.3\,\mathrm{s}$; unos $1100$ pasos.

## 24.6 Problema: una oblea dopada y una habitación perfumada

**Problema 24.1.**

Problema de fin de semana — difusión en un sólido y en un gas

**Parte I — Redistribución del boro en silicio.** El boro difunde en el silicio con $D = D_0\,\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$, $D_0 =
7.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $E_{\text{a}} = 3.46\,\mathrm{eV}$; $k_B =
8.62 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}/\mathrm{K}$. Una dosis $Q = 1 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-2}$ de boro se ha depositado en una capa muy fina en la superficie de una oblea cuyo dopado de fondo vale $n_B = 1 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$; después se calienta (“redistribución”) a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ durante una hora. La superficie refleja el boro (no se escapa).

1. Calcúlese $D$ a $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . ¿En qué factor cambia en esos $100\,\mathrm{K}$ ?
2. ¿Por qué es el perfil tras la redistribución $n(x,t) = (Q/\sqrt{\pi  Dt})\exp(-x^2/4Dt)$ y no la gaussiana de [Proposición 24.10](#prop-b2-particle-diffusion-gaussian) ? Compruébese que su integral sobre $x > 0$ vale $Q$ .
3. Concentración en la superficie tras una hora.
4. La *profundidad de unión* $x_j$ es donde $n = n_B$ : calcúlese.
5. ¿Cómo cambia $x_j$ si la redistribución dura cuatro horas? (Cuidado: la concentración superficial también cambia.)
6. Cambio relativo de $D$ para un error de $10\,\mathrm{K}$ en temperatura; control de temperatura necesario para tener $x_j$ al $1\,\%$ .
7. A temperatura ambiente, $D$ : estímese el tiempo que tarda el perfil en moverse una distancia atómica y conclúyase.

**Parte II — La predeposición.** La dosis misma se introdujo a $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ a partir de un gas que mantiene la superficie en el límite de solubilidad $n_0 = 2 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$ durante $30\,\mathrm{min}$.

8. $D$ a $950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $\sqrt{Dt}$ para $30\,\mathrm{min}$ .
9. Perfil al final de la predeposición; profundidad a la que $n =  n_B$ ( $\operatorname{erfc}(3.2) \approx 6 \times 10^{-6}$ ).
10. Dosis introducida; compárese con la $Q$ de la Parte I.
11. ¿Por qué se predeposita a temperatura más baja y se redistribuye a temperatura más alta?
12. Justifíquese que durante la redistribución la capa predepositada puede tratarse como infinitamente fina.

**Parte III — Un perfume en una habitación.** Una gota de perfume ($1\,\mathrm{mg}$, masa molar $150\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$) se evapora de golpe en el rincón de una habitación en calma a $300\,\mathrm{K}$ y $1\,\mathrm{bar}$. Tómese el diámetro de colisión de la molécula de perfume con el aire como $d =
0.5\,\mathrm{nm}$ y la [densidad numérica](#def-b2-particle-diffusion-flux) del aire como $n_{\text{a}} = P/k_BT$.

13. Número de moléculas liberadas; [densidad numérica](#def-b2-particle-diffusion-flux) del aire.
14. Recorrido libre medio $\ell = 1/(\sqrt2\,\pi d^2 n_{\text{a}})$ de la molécula de perfume y su celeridad media $v^* = \sqrt{8RT/\pi M}$ .
15. Estímese $D = \ell v^*/3$ .
16. Tiempo para difundir $5\,\mathrm{m}$ ; ¿y si el aire deriva a $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
17. Escríbase la gaussiana tridimensional de la nube (en un rincón: las paredes reflejan, multiplíquese por $8$ ). En un punto a $1\,\mathrm{m}$ , ¿en qué instante es máxima la concentración?
18. [Densidad numérica](#def-b2-particle-diffusion-flux) máxima allí; compárese con un umbral de percepción de $1 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{-3}$ .
19. El borde de la nube: ¿a qué distancia vale la densidad $10^{-6}$ de su valor central tras un día?
20. Número de colisiones que sufre una molécula de perfume en un día.

**Parte IV — El caminante y la flecha del tiempo.**

21. Un caminante da $N$ pasos $\pm\ell$ sobre una recta: desplazamiento medio y cuadrático medio; muéstrese que $\langle x^2\rangle = 2Dt$ identifica $D = \ell^2/2\tau$ .
22. Probabilidad de que el caminante vuelva exactamente a su punto de partida tras $N = 2$ , $4$ y $6$ pasos; coméntese la tendencia.
23. Fílmese una nube que difunde y pásese la película al revés: ¿qué se ve y qué ecuación se viola?
24. Explíquese en un párrafo cómo el movimiento reversible de las moléculas produce la [ecuación de difusión](#thm-b2-particle-diffusion-equation) irreversible.
25. Resúmase: la escala de longitud, la escala de tiempo y la única magnitud que distingue un gas, un líquido y un sólido caliente.

**Solución de Problema 24.1.**

**1.** $k_BT = 0.118\,\mathrm{eV}$, $E_{\text{a}}/k_BT = 29.2$: $D =
1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $1.6 \times 10^{-18}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ — un factor $10$.

**2.** La superficie reflectante se trata con la imagen especular del pulso, que duplica la amplitud en $x > 0$; $\int_0^\infty = (Q/\sqrt{\pi Dt})
\cdot \tfrac12\sqrt{4\pi Dt} = Q$.

**3.** $Dt = 5.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}^{2}$; $\sqrt{\pi Dt} = 0.43\,\text{µ}\mathrm{m}$; $n_{\text{s}}
= 2.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**4.** $\eu^{-x^2/4Dt} = 4.3 \times 10^{-4}$: $x_j^2 = 4Dt \times 7.75$, $x_j =
1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**5.** $n_{\text{s}}$ se reduce a la mitad, el logaritmo baja a $7.05$ y $4Dt$ se cuadruplica: $x_j = 2.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ — menos del doble.

**6.** $\delta D/D = (E_{\text{a}}/k_BT)\,\delta T/T = 21\%$; $x_j \propto
\sqrt{Dt}$ aproximadamente, así que un $1\%$ en $x_j$ exige un $2\%$ en $D$: $1\,\mathrm{K}$.

**7.** $E_{\text{a}}/k_BT = 134$: $D \approx 10^{-62}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; una distancia atómica ($0.25\,\mathrm{nm}$) en $a^2/D \sim 10^{43}\,\mathrm{s}$: congelado.

**8.** $E_{\text{a}}/k_BT = 32.8$: $D = 4.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $\sqrt{Dt} =
28\,\mathrm{nm}$.

**9.** $n_0\operatorname{erfc}(x/2\sqrt{Dt})$; $n_B/n_0 = 5 \times 10^{-6}$: $x \approx 6.4\sqrt{Dt} = 0.18\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**10.** $2n_0\sqrt{Dt/\pi} = 6.3 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-2}$: seis veces $Q$ — la dosis crece como $\sqrt t$ y la fija el tiempo.

**11.** Temperatura baja: $D$ pequeño, dosis controlada por el tiempo, poco profunda; temperatura alta: la dosis fija se lleva deprisa a lo hondo.

**12.** $0.18\,\text{µ}\mathrm{m}$ frente a $1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$: fina.

**13.** $4 \times 10^{18}$ moléculas; $n_{\text{a}} = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**14.** $\ell = 37\,\mathrm{nm}$; $v^* = 206\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**15.** $D \approx 2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**16.** $L^2/D = 10^7\,\mathrm{s}$, meses; con deriva: $50\,\mathrm{s}$.

**17.** $n = 8N(4\pi Dt)^{-3/2}\eu^{-r^2/4Dt}$; máxima en $t^* = r^2/6D =
6.7 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, dieciocho horas.

**18.** $n_{\max} = 8N(4\pi Dt^*)^{-3/2}\eu^{-3/2} \approx 2 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-3}$, muy por encima del umbral: se huele, al final.

**19.** $r^2 = 4Dt\ln 10^6 = 12\,\mathrm{m}^{2}$: $3.5\,\mathrm{m}$.

**20.** $v^*t/\ell \approx 5 \times 10^{14}$.

**21.** $\langle x\rangle = 0$, $\langle x^2\rangle = N\ell^2 = \ell^2 t/\tau$; $D = \ell^2/2\tau$.

**22.** $\binom{N}{N/2}/2^N$: $1/2$, $3/8$, $5/16$ — decreciente (como $1/\sqrt{\pi N/2}$): el caminante se aleja como $\sqrt N$.

**23.** La nube se reúne en un punto — jamás visto; viola la [ecuación de difusión](#thm-b2-particle-diffusion-equation), no las leyes de la mecánica.

**24.** Cada colisión es reversible, pero el estado inicial (todas las partículas juntas) es excepcional: casi toda historia microscópica que parta de él se extiende, y la inversa exige una conspiración de todas las velocidades. El promedio del camino aleatorio conserva solo lo típico y descarta esa información; la irreversibilidad es estadística.

**25.** $L \sim \sqrt{Dt}$, $t \sim L^2/D$; $D \sim \ell v^*/3$, es decir, el paso entre colisiones: $10^{-5}$, $10^{-9}$, $10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.