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title: "Conducción del calor"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/25-conduccion-del-calor
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# Capítulo 25 — Conducción del calor

Tóquense un raíl metálico y un banco de madera una misma mañana fría: el raíl se siente más frío, aunque un termómetro dé a ambos la misma temperatura. Póngase una sartén en el fuego y su mango se calienta solo al cabo de un rato; cávese dos metros en verano y el suelo sigue frío del invierno; un procesador que disipa cien vatios en un centímetro cuadrado no se funde porque encima lleva un bloque de aluminio con aletas. Todo esto es *conducción del calor*, el transporte de energía interna por la materia gracias a la agitación de sus moléculas, sin flujo alguno de materia — y todo ello obedece a una ley, la de Fourier, y a una ecuación, la del calor, que es la [ecuación de difusión](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/24-difusion-de-particulas#thm-b2-particle-diffusion-equation) del capítulo anterior con la temperatura en lugar de la densidad. Este capítulo plantea la ley y la ecuación a partir de un balance de energía, las resuelve en los casos que importan (paredes estacionarias y sus [resistencias térmicas](#prop-b2-heat-conduction-resistance), calentamiento periódico y onda térmica, aletas de refrigeración), presenta el intercambio con un fluido (ley de Newton y [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot)) y calcula la entropía que crea la conducción — pues el calor solo fluye cuesta abajo.

![Un disipador con aletas sobre un procesador: cien vatios conducidos fuera de un centímetro cuadrado de silicio, repartidos por una base metálica y entregados al aire por unas aletas que multiplican por treinta la superficie.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/img-382f65b69146.jpg)

*Un disipador con aletas sobre un procesador: cien vatios conducidos fuera de un centímetro cuadrado de silicio, repartidos por una base metálica y entregados al aire por unas aletas que multiplican por treinta la superficie.*

## 25.1 La ley de Fourier

**Definición 25.1 (Densidad de corriente de calor).**

La *densidad de corriente de calor* $\vect{j}_Q$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$) es el vector tal que la energía transferida por conducción a través de un elemento de superficie orientado $\dd\vect S$ durante $\dd t$ vale $\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S\,\dd t$; el *flujo térmico* (una potencia, en vatios) a través de una superficie $S$ es $\Phi = \iint_S\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S$.

**Teorema 25.2 (Ley de Fourier).**

En un medio en reposo cuya temperatura no es uniforme,

$$
\vect{j}_Q = -\lambda\,\vect{\operatorname{grad}}\,T ,
$$

donde la *conductividad térmica* $\lambda > 0$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) depende del material y, débilmente, de la temperatura. El calor fluye a favor del [gradiente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) de temperatura, de lo caliente a lo frío — el segundo principio incorporado a una ley lineal.

**Demostración.** Fenomenológica, como la ley de Fick, y con la misma justificación microscópica: las moléculas (o los electrones libres de un metal, o las vibraciones de la red) llevan su energía en un camino aleatorio, y llega más de ella del lado caliente. ∎

**Ejemplo 25.3 (Conductividades).**

Metales (los electrones llevan el calor igual que la corriente — las conductividades van a la par): cobre $400\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, aluminio $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, acero $50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. Sólidos aislantes: hormigón $1.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, vidrio $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, ladrillo $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, madera $0.15\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. Líquidos: agua $0.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. Gases: aire $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ — y los mejores aislantes, la lana de vidrio o la espuma a $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, son en su mayor parte aire quieto, atrapado para que no pueda convectar. Cuatro órdenes de magnitud del cobre al aire.

## 25.2 El balance de energía y la ecuación del calor

**Teorema 25.4 (Balance local de energía).**

En un sólido (o un fluido en reposo) de densidad $\rho$ y calor específico $c$, con una potencia $p$ liberada por unidad de volumen (efecto Joule, una reacción química o nuclear, radiación absorbida),

$$
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\operatorname{div}\vect{j}_Q + p ,
\qquad\text{en una dimensión}\quad
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_Q}{\partial x} + p .
$$

**Demostración.** Primer principio para la rodaja entre $x$ y $x + \dd x$ (de sección $S$ y volumen fijo, así que sin trabajo): su energía interna $\rho c\,T\,S\,\dd x$ cambia en $\dd t$ por el calor recibido, $[j_Q(x) - j_Q(x+\dd x)]S\,\dd t
= -\partial_x j_Q\,\dd x\,S\,\dd t$, más $p\,S\,\dd x\,\dd t$. En tres dimensiones, el calor que entra en un volumen fijo por su superficie cerrada vale $-\iint\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S = -\iiint\operatorname{div}\vect{j}_Q\,\dd\tau$. ∎

**Teorema 25.5 (Ecuación del calor).**

Para $\lambda$, $\rho$ y $c$ uniformes,

$$
\frac{\partial T}{\partial t} = a\,\Delta T + \frac{p}{\rho c},
\qquad a = \frac{\lambda}{\rho c} \quad\text{(la \emph{difusividad térmica}, en $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)} .
$$

Vale todo lo dicho de la [ecuación de difusión](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/24-difusion-de-particulas#thm-b2-particle-diffusion-equation): linealidad, irreversibilidad, suavizado y las escalas $L \sim \sqrt{at}$, $t \sim
L^2/a$.

**Demostración.** Introdúzcase la ley de Fourier en el balance: $\rho c\,\partial_t T =
\lambda\Delta T + p$. ∎

**Ejemplo 25.6 (Difusividades y tiempos).**

Cobre $a = 1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, aire $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, hormigón y ladrillo $\approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, agua $1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, madera $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. El calor cruza un centímetro de cobre en un segundo, un centímetro de ladrillo en tres minutos, una pared de $20\,\mathrm{cm}$ en un día (por eso los muros gruesos suavizan el ciclo día–noche), el semiespesor de $1.5\,\mathrm{cm}$ de un filete en un cuarto de hora (los tiempos de cocción escalan como el cuadrado del espesor) y un kilómetro de roca en $10^{12}\,\mathrm{s}$, treinta mil años — la Tierra sigue enfriándose desde su formación.

## 25.3 Régimen estacionario: resistencias térmicas

**Proposición 25.7 (Resistencia térmica de una lámina).**

En régimen estacionario y sin fuentes, una lámina de espesor $e$, área $S$ y conductividad $\lambda$, entre las temperaturas $T_1$ y $T_2$, tiene un perfil lineal y transporta el flujo

$$
\Phi = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{t}}}, \qquad
R_{\text{t}} = \frac{e}{\lambda S}\quad\text{(en $\mathrm{K}/\mathrm{W}$)} :
$$

su *resistencia térmica*. La temperatura hace el papel del potencial y el flujo el de la corriente: las resistencias en serie (capas de un muro) se suman, y las resistencias en paralelo (muro y ventana) suman sus inversas. Para una envoltura cilíndrica (el aislamiento de una tubería) entre los radios $r_1 < r_2$ y de longitud $\ell$, $R_{\text{t}} = \ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$; para una envoltura esférica, $(1/r_1 - 1/r_2)/4\pi\lambda$.

**Demostración.** $\dd^2T/\dd x^2 = 0$: perfil afín, $j_Q = \lambda(T_1 - T_2)/e$ uniforme, $\Phi = j_QS$. En geometría cilíndrica, $\Phi = -\lambda\,2\pi
r\ell\,\dd T/\dd r$ es el mismo para todo $r$ (sin acumulación), luego $T = A - (\Phi/2\pi\lambda\ell)\ln r$; en geometría esférica, $\Phi =
-4\pi r^2\lambda\,\dd T/\dd r$ da $T = A + \Phi/4\pi\lambda r$. ∎

**Proposición 25.8 (Intercambio con un fluido: la ley de Newton).**

Una superficie sólida a $T_{\text{sup}}$ en contacto con un fluido a $T_{\text{fl}}$ (lejos de la superficie) pierde la densidad de flujo

$$
j_Q = h\,(T_{\text{sup}} - T_{\text{fl}}) ,
$$

donde el *coeficiente de transferencia de calor* $h$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$) resume la conducción a través de la fina capa de fluido que se pega a la pared y la convección que la renueva: $h \approx 5$–$25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ para el aire en convección natural o ligera, $50$–$500\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ para aire forzado y de $10^3$ a $10^4$ para el agua. La superficie añade entonces una *resistencia de película* $1/hS$ en serie con la pared.

**Demostración.** Fenomenológica: el movimiento del fluido no se calcula, se resume en $h$ (medido, o dado por las correlaciones de la mecánica de fluidos). ∎

![Un muro compuesto y su circuito térmico: película, ladrillo, lana y película en serie. A la derecha, el perfil de temperatura — casi toda la caída se produce en la capa de mayor resistencia, la lana, aunque sea la más fina.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-bb606b3fc4ad.svg)

*Un muro compuesto y su circuito térmico: película, ladrillo, lana y película en serie. A la derecha, el perfil de temperatura — casi toda la caída se produce en la capa de mayor resistencia, la lana, aunque sea la más fina.*

**Ejemplo 25.9 (Un muro y una ventana).**

Por metro cuadrado: ladrillo de $20\,\mathrm{cm}$ a $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $R =
0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; las dos películas, $1/8 + 1/25 = 0.165\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: total $0.415$, es decir, $U = 1/R = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ y, para una diferencia de $20\,\mathrm{K}$, $48\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Añádanse $10\,\mathrm{cm}$ de lana de vidrio, $R =
2.5\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: el total es $2.9$, $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ — siete veces menos. Un vidrio simple de $4\,\mathrm{mm}$ a $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ es todo película: $R = 0.004 + 0.165$, $U \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; una capa de $12\,\mathrm{mm}$ de aire quieto entre dos vidrios añade $0.012/0.026 =
0.46\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ y divide la pérdida por más de tres.

**Definición 25.10 (Número de Biot).**

Para un sólido de tamaño $L$ que intercambia con un fluido, el *número de Biot*

$$
\mathrm{Bi} = \frac{hL}{\lambda} = \frac{\text{resistencia interna } L/\lambda S}{\text{resistencia de película } 1/hS}
$$

compara ambas. Si $\mathrm{Bi} \ll 1$ el sólido tiene temperatura uniforme en cada instante y se enfría como un todo, exponencialmente con la constante de tiempo $\tau = \rho c V/hS$; si $\mathrm{Bi} \gg 1$ la superficie está a la temperatura del fluido y el interior conduce a su propio ritmo $L^2/a$.

## 25.4 Calentamiento periódico: la onda térmica

**Proposición 25.11 (Onda térmica en un semiespacio).**

Si la superficie $x = 0$ de un semiespacio se mantiene a $T(0,t) = T_0 +
\theta_0\cos\omega t$, la temperatura del interior vale, en régimen establecido,

$$
T(x,t) = T_0 + \theta_0\,\eu^{-x/\delta}\cos\Big(\omega t - \frac{x}{\delta}\Big),
\qquad \delta = \sqrt{\frac{2a}{\omega}} :
$$

una onda que se propaga hacia dentro con la celeridad $\omega\delta =
\sqrt{2a\omega}$ y se amortigua en una *[profundidad de penetración](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex)* $\delta$ por radián de fase — en $\eu^{-2\pi} = 2 \times 10^{-3}$ por cada longitud de onda. Las oscilaciones rápidas penetran menos que las lentas.

**Demostración.** Búsquese $\underline T = \theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline k x)}$: $\iu\omega = -a\underline k^2$, luego $\underline k^2 = -\iu\omega/a$, $\underline k = (1 - \iu)\sqrt{\omega/2a} = (1 - \iu)/\delta$ (la raíz que decae para $x > 0$). Tómese la parte real. ∎

![La onda térmica en tres instantes: la oscilación de la superficie penetra como una onda amortiguada, con la amplitud cayendo como -x/ (discontinua) y la fase retrasándose en x/ — en x = π la temperatura es opuesta a la de la superficie.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-544dba75d6b7.svg)

*La onda térmica en tres instantes: la oscilación de la superficie penetra como una onda amortiguada, con la amplitud cayendo como $\eu^{-x/\delta}$ (discontinua) y la fase retrasándose en $x/\delta$ — en $x = \pi\delta$ la temperatura es opuesta a la de la superficie.*

**Ejemplo 25.12 (El suelo, la bodega y el vino).**

Suelo, $a \approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Ciclo diario, $\omega = 2\pi/86\,400\,\mathrm{s}$: $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ — a medio metro de profundidad el día ha desaparecido. Ciclo anual: $\delta = 2.2\,\mathrm{m}$; a esa profundidad la oscilación de $10\,\mathrm{K}$ entre verano e invierno baja a $3.7\,\mathrm{K}$ y se retrasa un radián, dos meses: la bodega es más fría en marzo y más cálida en septiembre, y a $5\,\mathrm{m}$ está a $1\,\mathrm{K}$ de ser constante — la bodega que guarda el vino. La misma matemática da la [profundidad de penetración](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) del electromagnetismo ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media)): la misma ecuación, el mismo $\sqrt{2/(\text{difusividad}
\times\omega)}$.

## 25.5 Aletas

**Proposición 25.13 (La aleta de refrigeración).**

Una varilla o placa fina (de sección $S$, perímetro $p$ y conductividad $\lambda$) sujeta en $x = 0$ a una pared a $T_0$, en un fluido a $T_{\text{fl}}$ con el coeficiente $h$, tiene el exceso de temperatura $\theta = T - T_{\text{fl}}$ que obedece a

$$
\frac{\dd^2\theta}{\dd x^2} = m^2\theta, \qquad m = \sqrt{\frac{hp}{\lambda S}} ;
$$

para una aleta larga, $\theta = \theta_0\eu^{-mx}$ y la aleta evacúa $\Phi =
\sqrt{hp\lambda S}\,\theta_0$ — tanto como una superficie desnuda de longitud $\sqrt{\lambda
S/hp} = 1/m$, con una temperatura que ha caído a $\theta_0/\eu$ en $x = 1/m$. Para una aleta de longitud finita $L$ (con la punta adiabática), $\theta =
\theta_0\cosh m(L-x)/\cosh mL$ y su *rendimiento* — el flujo dividido por el de una aleta isoterma a $\theta_0$ — vale $\eta = \tanh(mL)/mL$.

**Demostración.** Balance estacionario de la rodaja $[x, x + \dd x]$: conducción que entra, $-\lambda S\theta'(x)$; que sale, $-\lambda S\theta'(x + \dd x)$; perdida hacia el fluido, $hp\,\theta\,\dd x$: $\lambda S\theta'' = hp\theta$. El flujo en la base vale $-\lambda S\theta'(0)$: $\lambda Sm\theta_0$ para la aleta larga y $\lambda Sm\theta_0\tanh mL$ para la finita, que hay que comparar con $hpL\theta_0$. El [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot) en el espesor de la aleta, $ht/\lambda$, debe ser pequeño para el tratamiento unidimensional. ∎

![A la izquierda, la temperatura a lo largo de una aleta, para una aleta larga y dos finitas (de punta adiabática) — más allá de mx 2 una aleta aporta poco. A la derecha, el balance de una rodaja: conducción a lo largo y convección hacia fuera por el perímetro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-89fa062ec2f8.svg)

*A la izquierda, la temperatura a lo largo de una aleta, para una aleta larga y dos finitas (de punta adiabática) — más allá de $mx \approx 2$ una aleta aporta poco. A la derecha, el balance de una rodaja: conducción a lo largo y convección hacia fuera por el perímetro.*

**Ejemplo 25.14 (Un disipador).**

Aletas de aluminio de $1\,\mathrm{mm}$ de espesor ($p/S \approx 2/t = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$) y $30\,\mathrm{mm}$ de alto, en aire forzado con $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: $m =
\sqrt{2h/\lambda t} = 20\,\mathrm{m}^{-1}$, $mL = 0.6$, $\eta = 0.89$ — las aletas trabajan al $89\%$ de su área. Treinta de ellas, de $60\,\mathrm{mm}$ de ancho, ofrecen $0.11\,\mathrm{m}^{2}$ donde el cuadrado desnudo de $60\,\mathrm{mm}$ ofrecía $0.0036\,\mathrm{m}^{2}$: una resistencia $1/\eta hA = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ en vez de $5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; $100\,\mathrm{W}$ elevan la base $20\,\mathrm{K}$ en vez de $560\,\mathrm{K}$. Alargar las aletas gana poco (la $\tanh$ satura) y afinarlas pierde rendimiento: $mL \approx 1$ es el compromiso del ingeniero.

## 25.6 Entropía creada por la conducción

**Proposición 25.15 (Producción de entropía).**

Un flujo $\Phi$ conducido de un cuerpo a $T_{\text{cal}}$ a un cuerpo a $T_{\text{fr}} < T_{\text{cal}}$ a través de una pared estacionaria crea entropía con el ritmo

$$
\dot S_{\text{c}} = \Phi\Big(\frac{1}{T_{\text{fr}}} - \frac{1}{T_{\text{cal}}}\Big) > 0 ;
$$

localmente, la conducción crea $\sigma_s = \lambda\,(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2
\ge 0$ por unidad de volumen y tiempo — nula solo donde la temperatura es uniforme. La conducción del calor es irreversible: la misma energía, entregada a temperatura menor, puede hacer menos trabajo.

**Demostración.** El estado de la pared no cambia, así que su entropía es constante: el cuerpo caliente pierde $\Phi/T_{\text{cal}}$ por unidad de tiempo y el frío gana $\Phi/T_{\text{fr}}$; la diferencia se crea. Localmente, el balance de entropía $\partial_t(\rho s) + \operatorname{div}(\vect{j}_Q/T) = \sigma_s$ con $\rho T\partial_t s = -\operatorname{div}\vect{j}_Q$ da $\sigma_s =
\vect{j}_Q\cdot\vect{\operatorname{grad}}(1/T) = -\vect{j}_Q\cdot
\vect{\operatorname{grad}}\,T/T^2 = \lambda(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2$. ∎

**Método 25.16 (Estimaciones de conducción).**

(1) Estacionario: constrúyase el circuito térmico — láminas $e/\lambda S$, películas $1/hS$, envolturas $\ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$; en serie y en paralelo. (2) Transitorio: $\mathrm{Bi} = hL/\lambda$; si es pequeño, $\tau = \rho cV/hS$; si es grande, $t \sim L^2/a$. (3) Periódico: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$, amortiguamiento $\eu^{-x/\delta}$, retraso $x/\delta$. (4) Fuentes: $p$ por unidad de volumen, perfiles parabólicos. (5) Aletas: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$, $\eta = \tanh(mL)/mL$. (6) Entropía: $\Phi(1/T_{\text{fr}} - 1/T_{\text{cal}})$.

## 25.7 Ejercicios

**Ejercicio 25.1 ★.**

Un muro de ladrillo de $20\,\mathrm{cm}$ de espesor ($\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) y $100\,\mathrm{m}^{2}$, entre $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dentro y $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ fuera (con las superficies a esas temperaturas): densidad de flujo, flujo total; y con $10\,\mathrm{cm}$ de lana de vidrio ($0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) añadidos.

**Solución de Ejercicio 25.1.**

$j = \lambda\Delta T/e = 80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $8\,\mathrm{kW}$; con lana, $R = 0.25 + 2.5 =
2.75\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $7.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $730\,\mathrm{W}$.

**Ejercicio 25.2 ★.**

Difusividades: cobre ($\lambda = 400$, $\rho = 8900$, $c = 385\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$), hormigón ($1.5$, $2300$, $900$) y madera ($0.15$, $600$, $2500$). Tiempos que tarda el calor en cruzar $1\,\mathrm{cm}$ y $20\,\mathrm{cm}$ de cada uno; y los $30\,\mathrm{km}$ de corteza de la Tierra.

**Solución de Ejercicio 25.2.**

$a$: $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $7 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Para $1\,\mathrm{cm}$: $0.9\,\mathrm{s}$, $140\,\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{s}$; para $20\,\mathrm{cm}$: $6\,\mathrm{min}$, $15\,\mathrm{h}$, $5\,\mathrm{d}$; corteza ($a \sim 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$): $10^{15}\,\mathrm{s}$, treinta millones de años.

**Ejercicio 25.3 ★.**

Vidrio simple ($4\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) con películas $h_{\text{int}}
= 8$, $h_{\text{ext}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; vidrio doble con una capa de $12\,\mathrm{mm}$ de aire quieto ($0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$): valores de $U$ y flujos para $20\,\mathrm{K}$. ¿Por qué es el vidrio doble real casi el doble de malo que esta estimación, y qué hacen el argón y los tratamientos de baja emisividad?

**Solución de Ejercicio 25.3.**

Simple: $R = 0.169$, $U = 5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$, $118\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; doble: $R =
0.63$, $U = 1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$, $32\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. El hueco convecta y los vidrios intercambian por radiación (cerca de la mitad de la transferencia real); el argón conduce menos y convecta menos, y un tratamiento de baja emisividad suprime la radiación.

**Ejercicio 25.4 ★.**

Cocina: $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ para la carne. Tiempo que tarda el centro de un filete de $3\,\mathrm{cm}$ en notar la sartén; y el de un asado de $12\,\mathrm{cm}$. Un pavo del doble de peso: ¿cuánto más tarda (la dimensión escala como la raíz cúbica de la masa)?

**Solución de Ejercicio 25.4.**

$L^2/a$ con el semiespesor: $27\,\mathrm{min}$; asado: $16\times$, $7\,\mathrm{h}$; $t \propto L^2 \propto m^{2/3}$: $\times 1.6$.

**Ejercicio 25.5 ★★.**

*Fuente interna.* Un cilindro de radio $R$ libera $p$ por unidad de volumen; la superficie está a $T_{\text{sup}}$. (a) Muéstrese que $T(r) = T_{\text{sup}} +
p(R^2 - r^2)/4\lambda$. (b) Hilo de cobre, $R = 1\,\mathrm{mm}$, $j =
1 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$: $p$ y la diferencia entre centro y superficie. (c) Barra de combustible nuclear, $R = 5\,\mathrm{mm}$, $p = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, $\lambda = 3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$: la misma pregunta. (d) Coméntese.

**Solución de Ejercicio 25.5.**

(a) $(rT')'/r = -p/\lambda$ con $T'(0) = 0$. (b) $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$; $pR^2/4\lambda = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}$. (c) $625\,\mathrm{K}$. (d) Un hilo es isotermo; el centro de una pastilla de combustible está cientos de kelvin por encima de su superficie — la densidad de potencia de un reactor la limita la conducción en el combustible.

**Ejercicio 25.6 ★★.**

*El suelo.* (a) Dedúzcase $\delta = \sqrt{2a/\omega}$. (b) Suelo con $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: [profundidades de penetración](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) diaria y anual. (c) Profundidad a la que la amplitud anual es la décima parte de la de la superficie; retraso de fase allí. (d) Una tubería de agua no debe helarse donde la temperatura invernal de la superficie baja a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en torno a una media de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: profundidad mínima (onda anual).

**Solución de Ejercicio 25.6.**

(a) [Proposición 25.11](#prop-b2-heat-conduction-wave). (b) $12\,\mathrm{cm}$; $2.2\,\mathrm{m}$. (c) $\delta\ln 10 = 5.2\,\mathrm{m}$; retraso $2.3\,\mathrm{rad}$, $130$ días. (d) La amplitud de $20\,\mathrm{K}$ debe reducirse a la mitad: $x = \delta\ln 2 = 1.5\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 25.7 ★★.**

*Biot.* (a) Esfera de cobre de $1\,\mathrm{cm}$ de radio, en aire ($h =
10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$): [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot) y constante de tiempo de su enfriamiento. (b) Una patata ($\lambda = 0.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, radio $3\,\mathrm{cm}$) en un horno con $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot); ¿qué tiempo gobierna su cocción? (c) ¿Por qué se hace pequeña la punta de un termopar? (d) ¿Por qué se enfría más deprisa una taza de café si se remueve o se sopla — qué resistencia cambia?

**Solución de Ejercicio 25.7.**

(a) $\mathrm{Bi} = hR/3\lambda \approx 10^{-4}$; $\tau = \rho cR/3h = 1100\,\mathrm{s}$. (b) $\mathrm{Bi} = 1.2$: ningún límite; gobierna el tiempo interno $R^2/a \approx
6000\,\mathrm{s}$. (c) $R$ pequeño: $\tau$ minúsculo y [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot) pequeño. (d) Cae la resistencia de película $1/h$, que es la dominante.

**Ejercicio 25.8 ★★.**

*Una aleta.* (a) Dedúzcanse $\theta'' = m^2\theta$ y la solución de la aleta larga. (b) Aleta de aluminio de $1\,\mathrm{mm}$ de espesor y $30\,\mathrm{mm}$ de alto, en convección natural con $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: $m$, $mL$ y rendimiento. (c) ¿En qué factor multiplica la aleta el área de intercambio de su huella, y el flujo? (d) ¿Por qué es un desperdicio de metal una aleta muy larga o muy fina?

**Solución de Ejercicio 25.8.**

(a) [Proposición 25.13](#prop-b2-heat-conduction-fin). (b) $m = \sqrt{2h/\lambda t} =
13\,\mathrm{m}^{-1}$, $mL = 0.39$, $\eta = 0.95$. (c) Área $\times 2L/t = 60$, flujo $\times 57$. (d) Más allá de $mL \approx 2$ la longitud sobrante está a la temperatura del fluido; una aleta más fina tiene un $m$ mayor y un rendimiento menor.

**Ejercicio 25.9 ★★.**

*Tuberías.* (a) Dedúzcase la resistencia de una envoltura cilíndrica. (b) Una tubería de vapor, de radio exterior $5\,\mathrm{cm}$ a $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, envuelta en $5\,\mathrm{cm}$ de lana de vidrio, con aire a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y $h =
10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ fuera: pérdida por metro, comparada con la tubería desnuda. (c) Muéstrese que la resistencia total del aislamiento más la película tiene un mínimo en el *radio crítico* $r_{\text{cr}} = \lambda/h$. (d) Para un hilo eléctrico de $1\,\mathrm{mm}$ de radio con una funda de plástico ($\lambda =
0.2\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$), ¿enfría o calienta la funda al cobre?

**Solución de Ejercicio 25.9.**

(a) [Proposición 25.7](#prop-b2-heat-conduction-resistance). (b) Lana $\ln 2/2\pi\lambda =
2.76\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{W}$, película exterior $1/2\pi r_2h = 0.16$: $45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$; desnuda, $2\pi r_1h\Delta T = 410\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$. (c) $\dd/\dd r[\ln(r/r_1)/2\pi\lambda + 1/2\pi hr]
= 0$ en $r = \lambda/h$. (d) $r_{\text{cr}} = 2\,\mathrm{cm} > 1\,\mathrm{mm}$: la funda aumenta la pérdida — enfría el cobre.

**Ejercicio 25.10 ★★★.**

*Entropía.* El muro de [Ejercicio 25.1](#exo-b2-heat-conduction-1) (desnudo) entre $293\,\mathrm{K}$ y $273\,\mathrm{K}$. (a) Entropía creada por segundo. (b) Calcúlese $\int\sigma_s\,\dd V$ con el perfil lineal y compruébese que coincide. (c) Entropía creada una vez aislado. (d) El trabajo que una máquina reversible podría haber extraído de los $8\,\mathrm{kW}$ entre esas temperaturas, y qué queda de él tras el muro.

**Solución de Ejercicio 25.10.**

(a) $8000(1/273 - 1/293) = 2.0\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$. (b) $\sigma_s = \lambda T'^2/T^2$ con $T' = 100\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$; $\int\sigma_s\,\dd x = \lambda T'(1/T_{\text{fr}} - 1/T_{\text{cal}})
= j(1/T_{\text{fr}} - 1/T_{\text{cal}})$; por $100\,\mathrm{m}^{2}$: lo mismo. (c) $0.18\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$. (d) $\Phi(1 - T_{\text{fr}}/T_{\text{cal}}) = 550\,\mathrm{W}$; nada — el calor está ahora a $T_{\text{fr}}$ ($T_{\text{fr}}\dot S_{\text{c}} = 550\,\mathrm{W}$).

**Ejercicio 25.11 ★★★.**

*Por qué el metal se siente frío.* (a) Para la onda térmica, calcúlese el flujo en la superficie $j_Q(0,t)$ y muéstrese que adelanta a la temperatura de la superficie en $\pi/4$, con la amplitud $\sqrt{\lambda\rho c\,\omega}\,\theta_0$. La magnitud $b = \sqrt{\lambda\rho c}$ es la *efusividad*. (b) Dos semiespacios a $T_1$ y $T_2$ se ponen en contacto: admitiendo que cada uno sigue entonces un perfil de erfc con la temperatura común de la superficie $T_{\text{cont}}$, y escribiendo la continuidad del flujo en el contacto, muéstrese que $T_{\text{cont}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$. (c) Piel ($b \approx 1000\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}/\mathrm{s}^{1/2}$, $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) que toca cobre ($b = 37000$) o madera ($b = 400$) a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: temperaturas de contacto. (d) ¿Por qué se siente más frío un suelo de baldosa que una alfombra a la misma temperatura, y por qué es solo transitoria la sensación?

**Solución de Ejercicio 25.11.**

(a) $j_Q(0,t) = -\lambda\partial_xT = \lambda\theta_0\sqrt2/\delta\,\cos(\omega t +
\pi/4) = \sqrt{\lambda\rho c\omega}\,\theta_0\cos(\omega t + \pi/4)$. (b) El flujo de cada lado en el contacto vale $b_i|T_i - T_{\text{cont}}|/\sqrt{\pi t}$; igualando: $T_{\text{cont}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$. (c) Cobre $20.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, madera $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) Baldosa $b \approx 1500$, alfombra $\approx 100$; la fórmula vale mientras ambos cuerpos parecen semiinfinitos; una vez que los frentes de calor alcanzan el riego sanguíneo y la cara lejana del objeto, el estado estacionario depende del calor realmente suministrado.

**Ejercicio 25.12 ★★★.**

*Enfriar una lámina.* Una lámina $-L < x < L$ a $T_0$ se sumerge en $t =
0$ en un baño a $T_{\text{fl}}$ con $h \to \infty$. (a) Muéstrese que $\theta =
T - T_{\text{fl}}$ admite las soluciones $\cos(k_nx)\,\eu^{-ak_n^2t}$ con $k_n
= (2n+1)\pi/2L$. (b) Desarróllese la condición inicial en serie de Fourier sobre esos modos y escríbase la solución completa. (c) Tras los primeros instantes, ¿qué modo sobrevive y cuál es la constante de tiempo? (d) Tiempo que tarda el centro de un filete de $3\,\mathrm{cm}$ ($a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) en quedar dentro del $1\%$ del baño.

**Solución de Ejercicio 25.12.**

(a) Sustitúyase; $\theta(\pm L) = 0$ da $\cos k_nL = 0$. (b) $a_n =
4\theta_0(-1)^n/(2n+1)\pi$; $\theta = \sum a_n\cos(k_nx)\eu^{-ak_n^2t}$. (c) $n = 0$, $\tau = 4L^2/\pi^2a$. (d) $\tau = 650\,\mathrm{s}$; centro $(4/\pi)\eu^{-t/\tau} = 0.01$: $t = 4.8\tau \approx 52\,\mathrm{min}$.

## 25.8 Problema: aislar una casa, refrigerar un procesador

**Problema 25.1.**

Problema de fin de semana — la conducción a la escala de un edificio y de un chip

Datos: ladrillo $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $\rho = 1800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c =
840\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; lana de vidrio $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; vidrio $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; aire quieto $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; aluminio $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c = 900\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; silicio $150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; pasta térmica $5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; suelo $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; películas $h_{\text{int}} = 8$, $h_{\text{ext}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**Parte I — La casa.** Una casa tiene $100\,\mathrm{m}^{2}$ de muros (ladrillo de $20\,\mathrm{cm}$) y $20\,\mathrm{m}^{2}$ de ventanas de vidrio simple ($4\,\mathrm{mm}$); dentro $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ y fuera $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

1. Resistencia por metro cuadrado del ladrillo solo; densidad de flujo si sus caras estuvieran a las dos temperaturas.
2. Con las dos películas: $R$ y $U = 1/R$ por metro cuadrado; lo mismo con $10\,\mathrm{cm}$ de lana de vidrio añadidos.
3. $U$ del vidrio simple; y de un vidrio doble con $12\,\mathrm{mm}$ de aire quieto.
4. Pérdida total de la casa antes y después de aislar los muros y doblar las ventanas.
5. En una temporada de calefacción de $2500$ grados-día (la integral de la diferencia de temperatura a lo largo de la temporada, en $\mathrm{K}\,\mathrm{d}$ ), energía perdida antes y después, en kilovatios hora.
6. Temperatura de la superficie interior del muro, desnudo y aislado; ¿por qué resulta incómodo un muro frío y le sale moho?
7. Tiempo de difusión a través del ladrillo; ¿qué le hace al ciclo día–noche?

**Parte II — El suelo bajo la casa.**

8. Dedúzcase la [profundidad de penetración](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ de una onda térmica.
9. $\delta$ diaria y anual en el suelo.
10. Profundidad a la que la oscilación diaria baja al $1\%$ ; amplitud anual a $2.2\,\mathrm{m}$ y a $5\,\mathrm{m}$ para una oscilación superficial de $10\,\mathrm{K}$ .
11. Retraso de fase a $2.2\,\mathrm{m}$ , en días: ¿cuándo está más fría la bodega?
12. Flujo de calor en la superficie de la onda anual (amplitud y fase); compárese su amplitud con el flujo geotérmico de $0.06\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .
13. El [gradiente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) geotérmico es de $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : compruébese con el flujo y $\lambda$ , y explíquese por qué es invisible en las estaciones de la bodega.

**Parte III — El procesador.** Un chip disipa $100\,\mathrm{W}$ en una pastilla de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ y $0.5\,\mathrm{mm}$ de espesor; una capa de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ de pasta sobre $10\,\mathrm{cm}^{2}$ lo une a un disipador de aluminio: base de $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $5\,\mathrm{mm}$, con treinta aletas de $60\,\mathrm{mm}$ de ancho, $30\,\mathrm{mm}$ de alto y $1\,\mathrm{mm}$ de espesor; un ventilador da $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; ambiente a $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

14. Densidad de flujo a través de la pastilla; resistencia de la pastilla.
15. Resistencia de la pasta; y si la sustituyera un hueco de aire de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ .
16. Parámetro de aleta $m$ , $mL$ y rendimiento; compruébese el [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot) en el espesor de la aleta.
17. Área total de las aletas y resistencia de las aletas; resistencia de la base (conducción por $5\,\mathrm{mm}$ ); temperatura de unión.
18. Lo mismo sin aletas (cuadrado desnudo de $60\,\mathrm{mm}$ ): conclusión.
19. El ventilador se para ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): temperatura de unión; ¿qué hace el procesador a $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
20. Masa y capacidad calorífica del disipador; su constante de tiempo $RC$ ; y la de la pastilla sola ( $0.1\,\mathrm{g}$ , $700\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ).
21. ¿Por qué tienen los buenos disipadores una base de cobre o caloductos?

**Parte IV — La entropía.**

22. Entropía creada por segundo por la envolvente desnuda de la casa (pregunta 4) entre $293\,\mathrm{K}$ y $273\,\mathrm{K}$ ; y tras el aislamiento.
23. Entropía creada por los $100\,\mathrm{W}$ del chip al pasar de la unión al ambiente; y por la conversión de trabajo eléctrico en calor en la pastilla.
24. Muéstrese que para una lámina $\int\sigma_s\,\dd V = \Phi(1/T_{\text{fr}} -  1/T_{\text{cal}})$ .
25. Resúmase en cinco líneas qué gobierna un muro, una aleta, una bodega y un chip.

**Solución de Problema 25.1.**

**1.** $0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; $80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**2.** $R = 0.415$, $U = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; aislado, $R = 2.9$, $U =
0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**3.** $5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; $1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**4.** $4800 + 2360 = 7.2\,\mathrm{kW}$; $680 + 640 = 1.3\,\mathrm{kW}$.

**5.** $UA = 358\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $358 \times 2500 \times 86400 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{J} =
21\,500\,\mathrm{kWh}$; después, $66\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $4000\,\mathrm{kWh}$.

**6.** $20 - 48/8 = 14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $20 - 6.8/8 = 19.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; un muro frío radia menos hacia el cuerpo y puede alcanzar el punto de rocío.

**7.** $a = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $e^2/a = 7.5 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 21\,\mathrm{h}$: el muro promedia el día (la $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ diaria es menor que su espesor).

**8.** Búsquese $\theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline kx)}$: $\underline k = (1 - \iu)/\delta$.

**9.** $12\,\mathrm{cm}$; $2.2\,\mathrm{m}$.

**10.** $4.6\delta = 54\,\mathrm{cm}$; $3.7\,\mathrm{K}$; $1.1\,\mathrm{K}$.

**11.** Un radián, $58$ días: mediados de marzo (siendo el mínimo de la superficie a mediados de enero).

**12.** Amplitud $\lambda\theta_0\sqrt2/\delta = 6.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, adelantada $\pi/4$ ($45$ días); cien veces el flujo geotérmico.

**13.** $\lambda \times 0.03\,\mathrm{K}/\mathrm{m} \approx 0.03\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, el orden correcto; son $0.1\,\mathrm{K}$ constantes en la altura de la bodega, sepultados en la oscilación estacional.

**14.** $1 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $R = 0.033\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$.

**15.** $0.01\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; con aire: $1.9\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$, $190\,\mathrm{K}$.

**16.** $m = 20\,\mathrm{m}^{-1}$, $mL = 0.61$, $\eta = 0.89$; $\mathrm{Bi} = ht/2\lambda
= 10^{-4}$.

**17.** $A = 0.108\,\mathrm{m}^{2}$; $R_{\text{aletas}} = 1/\eta hA = 0.21\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; base $0.006\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; total $0.26\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $26\,\mathrm{K}$, unión a $51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**18.** $1/hS = 5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $560\,\mathrm{K}$ — imposible.

**19.** $R_{\text{aletas}} \approx 0.94\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$, total $\approx 1\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — se ralentiza y luego se apaga.

**20.** $V = 7.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, $0.19\,\mathrm{kg}$, $C = 175\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$; $\tau = RC
\approx 46\,\mathrm{s}$; pastilla: $C = 0.07\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $\tau \approx 3\,\mathrm{ms}$.

**21.** El calor debe repartirse de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ a $36\,\mathrm{cm}^{2}$: el cobre reduce a la mitad esa resistencia de reparto; un caloducto mueve el calor por evaporación y condensación con una conductividad efectiva cien veces la del cobre.

**22.** $7200(1/273 - 1/293) = 1.8\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; $0.33\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$.

**23.** $100(1/298 - 1/324) = 0.027\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; $100/324 = 0.31\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — diez veces más: convertir trabajo en calor es la gran irreversibilidad.

**24.** $\int\lambda T'^2/T^2\,\dd x = \lambda T'\,[-1/T] = j(1/T_{\text{fr}} -
1/T_{\text{cal}})$.

**25.** Muro: resistencias en serie, manda el peor conductor. Aleta: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$, $mL \approx 1$. Bodega: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$, amortiguamiento y retraso a la vez. Chip: una cadena de resistencias de la pastilla al aire, con el área de las aletas haciendo el trabajo. En todas partes: el calor fluye cuesta abajo y crea entropía al hacerlo.