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title: "Radiación térmica"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 26
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/26-radiacion-termica
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# Capítulo 26 — Radiación térmica

Todo lo caliente brilla. Una mano, una pared, un vaso de agua a temperatura ambiente radian de forma invisible, en longitudes de onda cercanas a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$, unos cientos de vatios por metro cuadrado; caliéntese un atizador y a $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ brilla en rojo apagado, a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en naranja y a $2500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — el filamento de una bombilla — en blanco; la superficie del Sol, a $5800\,\mathrm{K}$, radia en blanco amarillento sesenta megavatios por metro cuadrado, y esa luz, tras ocho minutos de viaje, es la que mantiene la Tierra a una temperatura en la que el agua es líquida. La radiación es el tercer modo de transferencia de calor y el único que cruza el espacio vacío; es además el lugar donde falló la física clásica y Planck, en 1900, tuvo que introducir el cuanto. Este capítulo enuncia la ley que encontró, saca de ella los dos resultados que se usan constantemente — el desplazamiento de Wien y la ley de Stefan–Boltzmann — y los aplica a los intercambios entre cuerpos, al Sol y a la Tierra, y al modelo de una capa del [efecto invernadero](#prop-b2-thermal-radiation-greenhouse) que fija nuestro clima.

![Acero en la fragua: el color del brillo — rojo apagado, naranja, amarillo, blanco — es un termómetro, porque el espectro de la radiación térmica depende solo de la temperatura.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/img-0a54708ce390.jpg)

*Acero en la fragua: el color del brillo — rojo apagado, naranja, amarillo, blanco — es un termómetro, porque el espectro de la [radiación térmica](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) depende solo de la temperatura.*

## 26.1 La radiación térmica y el cuerpo negro

**Definición 26.1 (Radiación térmica, absortividad, cuerpo negro).**

Todo cuerpo a la temperatura $T$ emite radiación electromagnética por la agitación térmica de sus cargas: su *radiación térmica*. Su superficie recibe además radiación de su entorno y absorbe una fracción $\alpha$ de ella (la *absortividad*, entre $0$ y $1$, que en general depende de la longitud de onda), reflejando o transmitiendo el resto. Un *cuerpo negro* lo absorbe todo ($\alpha = 1$ a cualquier longitud de onda). Un agujerito en la pared de una cavidad cerrada es el cuerpo negro práctico: la radiación que entra la absorben las paredes antes de que encuentre la salida.

**Proposición 26.2 (Radiación de equilibrio y ley de Kirchhoff).**

Dentro de una cavidad cerrada cuyas paredes están a $T$, la radiación está en equilibrio con las paredes y es *universal*: isótropa, no polarizada y con una densidad espectral de energía $u_\nu(T)$ (energía por unidad de volumen y de frecuencia) que depende solo de $T$ y $\nu$, no del material ni de la forma de la cavidad. La radiación que sale de un agujerito de una cavidad así es la *radiación del [cuerpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody)* a $T$. Una superficie que absorbe la fracción $\alpha_\nu$ de la radiación que recibe a la frecuencia $\nu$ emite, a esa frecuencia, la fracción $\varepsilon_\nu = \alpha_\nu$ de lo que emitiría un [cuerpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) a la misma temperatura (su *emisividad*): *los buenos absorbentes son buenos emisores*.

**Demostración.** Universalidad: conéctense dos cavidades a la misma $T$ por un agujero con un filtro que deje pasar una frecuencia; si las densidades difirieran, la energía fluiría de una a otra a temperaturas iguales, violando el segundo principio. Kirchhoff: colóquese la superficie en la cavidad a su propia $T$; en equilibrio debe emitir a cada frecuencia exactamente lo que absorbe, $\varepsilon_\nu u_\nu = \alpha_\nu u_\nu$. ∎

## 26.2 La ley de Planck

**Teorema 26.3 (Ley de Planck).**

La densidad espectral de energía de la radiación del [cuerpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) a la temperatura $T$ vale

$$
u_\nu(T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1},
$$

y la potencia radiada por una superficie negra por unidad de área y de longitud de onda (su *exitancia espectral*) es

$$
M_\lambda(T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{\eu^{hc/\lambda k_BT} - 1}.
$$

Dos límites: para $h\nu \ll k_BT$, $u_\nu \approx 8\pi\nu^2 k_BT/c^3$ (Rayleigh–Jeans: cada modo de la cavidad lleva la energía clásica $k_BT$ — una ley cuya integral es infinita, la “catástrofe ultravioleta”); para $h\nu \gg k_BT$, $u_\nu \approx (8\pi h\nu^3/c^3)
\eu^{-h\nu/k_BT}$ (Wien: el factor de Boltzmann de un fotón de energía $h\nu$, [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/29-el-factor-de-boltzmann#ch-b2-boltzmann-factor)).

**Demostración.** Admitido: el recuento de los modos de la cavidad ($8\pi\nu^2/c^3$ por unidad de volumen y de frecuencia, con dos polarizaciones) corresponde al volumen del tercer año, y la energía media de un modo, $h\nu/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ en vez de la clásica $k_BT$, es la hipótesis cuántica: la energía se intercambia con el modo en cuantos $h\nu$, de modo que los modos con $h\nu \gg k_BT$ quedan congelados. La relación $M_\lambda\,\dd\lambda = (c/4)\,u_\nu\,\dd\nu$ es el factor geométrico que se calcula en [Teorema 26.5](#thm-b2-thermal-radiation-stefan). ∎

![El espectro de Planck a tres temperaturas: el máximo se desplaza hacia longitudes de onda más cortas como 1/T (Wien) y el área crece como T4 (Stefan). Solo la curva más caliente pone buena parte de su potencia en la banda visible.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-45fb6186678a.svg)

*El espectro de Planck a tres temperaturas: el máximo se desplaza hacia longitudes de onda más cortas como $1/T$ (Wien) y el área crece como $T^4$ (Stefan). Solo la curva más caliente pone buena parte de su potencia en la banda visible.*

![La función de Planck y sus dos límites: la equipartición clásica a baja frecuencia y el corte exponencial de Boltzmann a alta frecuencia; el máximo está en x = 2.82 (por unidad de frecuencia).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-70413cebf359.svg)

*La función de Planck y sus dos límites: la equipartición clásica a baja frecuencia y el corte exponencial de Boltzmann a alta frecuencia; el máximo está en $x = 2.82$ (por unidad de frecuencia).*

**Proposición 26.4 (Ley del desplazamiento de Wien).**

La [exitancia espectral](#thm-b2-thermal-radiation-planck) $M_\lambda$ tiene su máximo en

$$
\lambda_{\max}\,T = \frac{hc}{4.965\,k_B} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} .
$$

Un cuerpo a $300\,\mathrm{K}$ radia sobre todo cerca de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$; el Sol ($5800\,\mathrm{K}$), cerca de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, en el verde, donde el ojo es más sensible — y no por casualidad.

**Demostración.** Con $x = hc/\lambda k_BT$, $M_\lambda \propto x^5/(\eu^x - 1)$; $\dd/\dd x = 0$ da $5(\eu^x - 1) = x\eu^x$, es decir, $x = 5(1 - \eu^{-x})$, cuya raíz no nula es $x = 4.965$. ∎

**Teorema 26.5 (Ley de Stefan–Boltzmann).**

Una superficie negra a $T$ radia, por unidad de área, la potencia total

$$
M = \int_0^\infty M_\lambda\,\dd\lambda = \sigma T^4, \qquad
\sigma = \frac{2\pi^5k_B^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4} ;
$$

la densidad de energía de la radiación de equilibrio vale $u = (4\sigma/c)T^4$ y su presión $P = u/3$. Una superficie gris de [emisividad](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) $\varepsilon$ radia $\varepsilon\sigma T^4$.

**Demostración.** Intégrese la densidad de Planck: $u = \int u_\nu\,\dd\nu = (8\pi h/c^3)(k_BT/h)^4
\int_0^\infty x^3\,\dd x/(\eu^x - 1)$ y la integral vale $\pi^4/15$ (admitido del análisis): $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)\,T^4$. La potencia que sale de un agujero de área unidad en la pared de la cavidad es $cu/4$: la radiación es isótropa, los fotones que van hacia el agujero dentro del ángulo sólido $\dd\Omega$ con el ángulo $\theta$ respecto de su normal llevan el flujo $c\,u\,(\dd\Omega/4\pi)\cos\theta$, y $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi$ sobre el hemisferio exterior vale $1/4$. De ahí $M = cu/4 = \sigma T^4$. La presión, como para cualquier gas isótropo de partículas que se mueven a $c$, vale $u/3$. ∎

**Ejemplo 26.6 (Órdenes de magnitud).**

A $300\,\mathrm{K}$: $\sigma T^4 = 460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — una persona de $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ radia $800\,\mathrm{W}$, pero recibe casi otro tanto de las paredes a $293\,\mathrm{K}$; la pérdida neta, $\sigma A(T^4 - T_0^4) \approx
100\,\mathrm{W}$, es toda la producción metabólica del cuerpo, y por eso hace falta ropa en una habitación que parece templada. La superficie del Sol: $\sigma
(5800)^4 = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, en total $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. El filamento de una bombilla a $2800\,\mathrm{K}$: $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $60\,\mathrm{W}$ de medio centímetro cuadrado de wolframio. El fondo cósmico, a $2.7\,\mathrm{K}$: máximo en $1\,\mathrm{mm}$, $3 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ y $400$ fotones por centímetro cúbico del universo.

## 26.3 Intercambios radiativos

**Proposición 26.7 (Intercambio neto y coeficiente radiativo).**

Un cuerpo gris pequeño (de [emisividad](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) $\varepsilon$, área $S$ y temperatura $T$) dentro de un entorno amplio a $T_0$ pierde la potencia neta

$$
P = \varepsilon\sigma S\,(T^4 - T_0^4)
\ \approx\ 4\varepsilon\sigma T_0^3\,S\,(T - T_0) = h_{\text{r}}S(T - T_0)
\quad\text{para } |T - T_0| \ll T_0 ,
$$

donde $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T_0^3 \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ a temperatura ambiente — comparable a la convección natural: en una habitación, la radiación se lleva cerca de la mitad del calor que sale de un cuerpo o de un radiador. Entre dos placas negras paralelas y grandes, la densidad de flujo neta vale $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$; para placas grises de [emisividades](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) $\varepsilon_1$ y $\varepsilon_2$ vale $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(1/\varepsilon_1 + 1/\varepsilon_2
- 1)$, y cada *pantalla de radiación* fina interpuesta la divide aún más — el principio del termo y de la lámina dorada de los satélites.

**Demostración.** El cuerpo emite $\varepsilon\sigma T^4$ y absorbe la fracción $\alpha =
\varepsilon$ de la radiación negra $\sigma T_0^4$ que llena el recinto (Kirchhoff). Linealícese $T^4 - T_0^4 \approx 4T_0^3(T - T_0)$. Para las placas grises, súmense las reflexiones múltiples (una serie geométrica). ∎

**Ejemplo 26.8 (Escarcha bajo un cielo despejado y la cámara térmica).**

En una noche despejada el cielo radia como un cuerpo a unos $250\,\mathrm{K}$ (la alta atmósfera seca), mientras que el aire junto al suelo está a $278\,\mathrm{K}$. Una hoja o el techo de un coche ($\varepsilon = 0.95$) equilibra su pérdida radiativa hacia el cielo con la convección del aire ($h =
5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$): $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$ da $T
\approx 266\,\mathrm{K}$ — escarcha a $-7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en la hierba mientras el termómetro marca $+5$. Una nube (que radia a $275\,\mathrm{K}$) sube $T$ a $277\,\mathrm{K}$: sin escarcha. Una cámara térmica mide la radiancia cerca de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ y la convierte en temperatura suponiendo $\varepsilon \approx 0.95$; un metal pulido ($\varepsilon = 0.1$) refleja sobre todo la habitación y aparece a la temperatura de esta, sea cual sea la suya — de ahí la cinta negra que los termógrafos pegan en las piezas brillantes.

## 26.4 El Sol, la Tierra y el invernadero

**Proposición 26.9 (Constante solar y temperatura efectiva).**

El Sol (de radio $R_\odot$ y temperatura superficial $T_\odot$) entrega a la distancia $d$ la densidad de flujo $S = \sigma T_\odot^4 (R_\odot/d)^2 =
1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ por encima de la atmósfera terrestre (la *constante solar*). Un planeta de albedo $A$ (la fracción reflejada) absorbe $(1 - A)S\pi R^2$ y, en régimen estacionario, la radia desde toda su superficie $4\pi R^2$ como un [cuerpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) a su *temperatura efectiva*

$$
T_{\text{ef}} = \Big(\frac{(1 - A)S}{4\sigma}\Big)^{1/4} = 255\,\mathrm{K}
\quad\text{para la Tierra } (A = 0.30) .
$$

**Demostración.** Conservación de la energía: absorbido $=$ emitido, con la [sección eficaz](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/23-el-laser-emision-estimulada-y-haces-gaussianos#prop-b2-laser-gain) $\pi R^2$ para el haz interceptado y la esfera completa para la emisión (día y noche, repartidos por la rotación y la circulación). ∎

![El invernadero de una capa: la luz solar cruza la atmósfera y calienta el suelo; el infrarrojo del suelo lo absorbe la capa, que radia la mitad hacia arriba y la mitad hacia abajo — la superficie debe entonces radiar el doble de lo que recibe del Sol.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-fd88b6405709.svg)

*El invernadero de una capa: la luz solar cruza la atmósfera y calienta el suelo; el infrarrojo del suelo lo absorbe la capa, que radia la mitad hacia arriba y la mitad hacia abajo — la superficie debe entonces radiar el doble de lo que recibe del Sol.*

**Proposición 26.10 (Modelo de invernadero de una capa).**

Rodéese el planeta con una capa fina de atmósfera transparente a la luz solar pero que absorbe todo el infrarrojo emitido por la superficie y radia como un [cuerpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) a $T_{\text{atm}}$ tanto hacia arriba como hacia abajo. En régimen estacionario,

$$
T_{\text{atm}} = T_{\text{ef}}, \qquad
T_{\text{sup}} = 2^{1/4}\,T_{\text{ef}} = 303\,\mathrm{K} .
$$

Si la capa solo absorbe la fracción $\varepsilon$ del infrarrojo, $T_{\text{sup}}^4 = T_{\text{ef}}^4/(1 - \varepsilon/2)$; los $288\,\mathrm{K}$ observados corresponden a $\varepsilon \approx 0.78$. La superficie está más caliente que la [temperatura efectiva](#prop-b2-thermal-radiation-earth) porque recibe, además del Sol, el infrarrojo que la atmósfera devuelve hacia abajo — el *efecto invernadero*, de $33\,\mathrm{K}$ en la Tierra, sin el cual los océanos estarían helados.

**Demostración.** Balance de la capa: absorbe $\sigma T_{\text{sup}}^4$ y emite $2\sigma
T_{\text{atm}}^4$. Balance del planeta visto desde el espacio: emite $\sigma
T_{\text{atm}}^4 = (1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{ef}}^4$. Balance de la superficie: recibe $(1 - A)S/4 + \sigma T_{\text{atm}}^4 = 2\sigma T_{\text{ef}}^4$ y emite $\sigma T_{\text{sup}}^4$. Para la capa parcial, sustitúyanse el infrarrojo absorbido y el emitido por $\varepsilon\sigma T_{\text{sup}}^4$ y $\varepsilon\sigma T_{\text{atm}}^4$ y déjese escapar directamente la fracción $1 - \varepsilon$ de la radiación de la superficie. ∎

![Los espectros del Sol y de la Tierra (cada uno normalizado a su máximo) apenas se solapan: la atmósfera puede ser transparente al uno y opaca al otro. Sombreadas, las principales bandas de absorción infrarroja del vapor de agua y del dióxido de carbono; entre ellas, la ventana de 8\,–13\, µ m por la que la superficie radia directamente al espacio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-c05fa98466ef.svg)

*Los espectros del Sol y de la Tierra (cada uno normalizado a su máximo) apenas se solapan: la atmósfera puede ser transparente al uno y opaca al otro. Sombreadas, las principales bandas de absorción infrarroja del vapor de agua y del dióxido de carbono; entre ellas, la ventana de $8\,$–$13\,\text{µ}\mathrm{m}$ por la que la superficie radia directamente al espacio.*

**Observación 26.11 (Por qué es selectivo el invernadero).**

La luz solar tiene su máximo en $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ y la radiación terrestre en $10\,\text{µ}\mathrm{m}$: los dos espectros apenas se solapan, así que un gas puede ser transparente al primero y absorbente para el segundo. El nitrógeno y el oxígeno no absorben ninguno; el vapor de agua, el dióxido de carbono, el metano y el ozono tienen bandas de vibración en el infrarrojo y son los gases de [efecto invernadero](#prop-b2-thermal-radiation-greenhouse). La ventana entre $8\,$ y $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ es por donde mira la cámara térmica, a lo que se refieren los $250\,\mathrm{K}$ del cielo nocturno y lo que aprovechan las pinturas de enfriamiento radiativo. El vidrio de un invernadero real hace lo mismo (transparente a $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, opaco a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$), pero sobre todo bloquea la convección — el nombre es un poco injusto.

**Método 26.12 (Estimaciones de radiación).**

(1) $\lambda_{\max} = 2900\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}/T$ dice dónde está el espectro; (2) $\varepsilon\sigma T^4$ por unidad de área; (3) intercambios: lo emitido menos lo absorbido, linealizado como $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T^3$ cerca de la temperatura ambiente; (4) un planeta: $(1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{ef}}^4$ y luego las capas; (5) compárese con la conducción y la convección — la radiación gana a alta temperatura ($T^4$) y en el vacío; (6) cuidado con las [emisividades](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff): metales brillantes $0.05\,$; pinturas, piel, agua y suelo, $\approx 0.9$–$0.98$ en el infrarrojo, sea cual sea su color visible.

## 26.5 Ejercicios

**Ejercicio 26.1 ★.**

$\lambda_{\max}$ y $\sigma T^4$ para: el Sol ($5800\,\mathrm{K}$), un ser humano ($310\,\mathrm{K}$), el filamento de una bombilla ($2800\,\mathrm{K}$), el fondo cósmico ($2.73\,\mathrm{K}$), el nitrógeno líquido ($77\,\mathrm{K}$) y un atizador al rojo ($900\,\mathrm{K}$). ¿Cuáles son visibles?

**Solución de Ejercicio 26.1.**

$\lambda_{\max}$: $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$, $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$, $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$, $1.06\,\mathrm{mm}$, $38\,\text{µ}\mathrm{m}$, $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$; $\sigma T^4$: $6.4 \times 10^{7}\,$, $520\,$, $3.5 \times 10^{6}\,$, $3.1 \times 10^{-6}\,$, $2.0\,$, $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Visibles: el Sol y el filamento; el atizador brilla en rojo apagado con la cola de onda corta, una diezmilésima de su potencia.

**Ejercicio 26.2 ★.**

A partir de $T_\odot = 5772\,\mathrm{K}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$: la [constante solar](#prop-b2-thermal-radiation-earth), la luminosidad del Sol, la potencia que intercepta la Tierra ($R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$) y esa misma repartida entre $8 \times 10^9$ personas. Compárese con el consumo mundial de potencia ($2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$).

**Solución de Ejercicio 26.2.**

$S = \sigma T_\odot^4(R_\odot/d)^2 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $L = 4\pi d^2S =
3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$; $\pi R^2S = 1.7 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$; $2 \times 10^{7}\,\mathrm{W}$ por persona — nueve mil veces el consumo mundial.

**Ejercicio 26.3 ★.**

Una persona: piel a $306\,\mathrm{K}$, $\varepsilon = 0.98$, $1.7\,\mathrm{m}^{2}$, en una habitación a $293\,\mathrm{K}$. Potencia emitida, potencia absorbida y pérdida neta; el coeficiente radiativo $h_{\text{r}}$; compárese con los $100\,\mathrm{W}$ del metabolismo y conclúyase sobre la ropa y sobre una habitación a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ con paredes frías.

**Solución de Ejercicio 26.3.**

Emitidos $830\,\mathrm{W}$, absorbidos $700\,\mathrm{W}$, neto $130\,\mathrm{W}$; $h_{\text{r}} =
4\varepsilon\sigma T_0^3 = 5.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$. Más que el metabolismo: la ropa lo reduce; unas paredes a $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ añaden unos $50\,\mathrm{W}$ de pérdida — se siente frío en aire templado entre paredes frías.

**Ejercicio 26.4 ★.**

Una bombilla de $60\,\mathrm{W}$: filamento de wolframio a $2800\,\mathrm{K}$, $\varepsilon = 0.35$. Área radiante; longitud de un hilo de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ con esa área; cerca del $8\%$ de la potencia es visible: potencia luminosa; y un LED que dé la misma luz con un rendimiento del $30\%$.

**Solución de Ejercicio 26.4.**

$A = P/\varepsilon\sigma T^4 = 49\,\mathrm{mm}^{2}$; $\ell = A/\pi d = 31\,\mathrm{cm}$; $4.8\,\mathrm{W}$ de luz; un LED de $16\,\mathrm{W}$.

**Ejercicio 26.5 ★★.**

*Los dos límites.* (a) Desarróllese la $u_\nu$ de Planck para $h\nu \ll k_BT$ e identifíquese la energía por modo. (b) Muéstrese que la ley de Rayleigh–Jeans da una energía total infinita. (c) A $300\,\mathrm{K}$, la frecuencia en que $h\nu = k_BT$; conclúyase que la [radiación térmica](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) de radio y microondas es clásica. (d) En el límite de Wien, interprétese $\eu^{-h\nu/k_BT}$.

**Solución de Ejercicio 26.5.**

(a) $\eu^x - 1 \approx x$: $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\,k_BT$ — $k_BT$ por modo. (b) $\int\nu^2\dd\nu$ diverge. (c) $\nu = k_BT/h = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{Hz}$ ($50\,\text{µ}\mathrm{m}$): la radio y las microondas a $300\,\mathrm{K}$ están de lleno en el régimen clásico (el ruido de una resistencia vale $k_BT$ por unidad de ancho de banda). (d) La probabilidad de encontrar excitado el cuanto $h\nu$ a $T$: un factor de Boltzmann.

**Ejercicio 26.6 ★★.**

*Wien.* (a) Dedúzcase $x = 5(1 - \eu^{-x})$ y resuélvase numéricamente con tres cifras. (b) Valor de $\lambda_{\max}T$. (c) Muéstrese que $u_\nu$ tiene su máximo en $h\nu = 2.82\,k_BT$ y que eso no corresponde a $c/\lambda_{\max}$: ¿por qué no? (d) Temperatura de una estrella cuyo espectro tiene el máximo en $290\,\mathrm{nm}$; su color a la vista.

**Solución de Ejercicio 26.6.**

(a) $x = 4.965$. (b) $hc/4.965k_B = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$. (c) $x^3/(\eu^x - 1)$ tiene su máximo donde $3(1 - \eu^{-x}) = x$: $2.82$; las densidades por unidad de frecuencia y por unidad de longitud de onda son funciones distintas ($\dd\nu = c\,\dd\lambda/\lambda^2$) y sus máximos caen en sitios distintos. (d) $10\,000\,\mathrm{K}$; blanco azulado.

**Ejercicio 26.7 ★★.**

*Stefan.* (a) Realícese la integración de la ley de Planck, dado $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$, y el valor de $\sigma$. (b) Justifíquese el factor $c/4$ entre la densidad y la exitancia. (c) Dado $\int_0^\infty x^2\dd x/(\eu^x - 1) = 2.404$, el número de fotones por unidad de volumen a $T$ y la energía media del fotón en unidades de $k_BT$. (d) Fotones por centímetro cúbico a $300\,\mathrm{K}$ y a $2.73\,\mathrm{K}$.

**Solución de Ejercicio 26.7.**

(a) $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)T^4$, $\sigma = cu/4T^4 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$. (b) La isotropía y la proyección en $\cos\theta$: $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi = 1/4$ sobre un hemisferio. (c) $n = 8\pi \times 2.404\,(k_BT/hc)^3 = 60.4\,(k_BT/hc)^3$; energía media $(\pi^4/15)/2.404 = 2.70\,k_BT$. (d) $5 \times 10^8$ y $400$ por centímetro cúbico.

**Ejercicio 26.8 ★★.**

*Pantallas.* Dos placas negras grandes a $T_1$ y $T_2$. (a) Flujo neto. (b) Se coloca entre ellas una lámina negra fina: su temperatura y el nuevo flujo. (c) Con $n$ láminas. (d) Placas grises de [emisividad](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) $\varepsilon$: muéstrese que el flujo vale $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon - 1)$ y calcúlese para superficies pulidas ($\varepsilon = 0.05$) a $300\,\mathrm{K}$ y $77\,\mathrm{K}$ — el termo.

**Solución de Ejercicio 26.8.**

(a) $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$. (b) $T_{\text{lam}}^4 = (T_1^4 + T_2^4)/2$; la mitad. (c) $1/(n + 1)$. (d) Sumando las reflexiones, $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon -
1)$; con $\varepsilon = 0.05$: $460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/39 = 12\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — un termo de $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ pierde $0.6\,\mathrm{W}$ y evapora un cuarto de kilogramo de nitrógeno al día.

**Ejercicio 26.9 ★★.**

*Escarcha nocturna.* Superficie con $\varepsilon = 0.95$, cielo a $250\,\mathrm{K}$, aire a $278\,\mathrm{K}$ con $h = 5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$. (a) Escríbase el balance y despéjese la temperatura de la superficie. (b) Bajo una nube a $275\,\mathrm{K}$. (c) ¿Por qué impide el viento la escarcha? (d) ¿Por qué se libra de ella un coche aparcado bajo un árbol?

**Solución de Ejercicio 26.9.**

(a) $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$: $T \approx 266\,\mathrm{K}$. (b) $277\,\mathrm{K}$. (c) Una $h$ mayor sujeta la superficie al aire. (d) La copa del árbol a $278\,\mathrm{K}$ sustituye al cielo a $250\,\mathrm{K}$.

**Ejercicio 26.10 ★★★.**

*Planetas.* (a) [Temperaturas efectivas](#prop-b2-thermal-radiation-earth) de Venus ($S = 2600\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $A = 0.75$), la Tierra y Marte ($S = 590\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $A = 0.25$). (b) Sus temperaturas superficiales son $737\,\mathrm{K}$, $288\,\mathrm{K}$ y $215\,\mathrm{K}$: calentamiento por invernadero de cada uno. (c) En el modelo de $n$ capas opacas, muéstrese que $T_{\text{sup}}^4 = (n + 1)T_{\text{ef}}^4$; ¿cuántas capas para Venus? (d) La Luna: $A = 0.12$, sin atmósfera y de rotación lenta — temperatura del punto subsolar, y por qué la cara nocturna cae a $100\,\mathrm{K}$.

**Solución de Ejercicio 26.10.**

(a) $231\,\mathrm{K}$, $255\,\mathrm{K}$, $210\,\mathrm{K}$. (b) $506\,\mathrm{K}$, $33\,\mathrm{K}$, $5\,\mathrm{K}$. (c) Cada capa opaca radia hacia arriba y hacia abajo; los balances dan $T_k^4 = (k + 1)T_{\text{ef}}^4$ desde arriba: $n \approx 100$ para Venus. (d) $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} = 381\,\mathrm{K}$; sin atmósfera nada lleva el calor a la cara nocturna y el regolito almacena poco: la superficie radia el calor del día en un día aproximadamente y se asienta cerca de $100\,\mathrm{K}$.

**Ejercicio 26.11 ★★★.**

*Sensibilidad climática sin realimentaciones.* (a) Linealícese el balance planetario: un pequeño forzamiento adicional $\Delta F$ (en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$) en lo alto de la atmósfera eleva la [temperatura efectiva](#prop-b2-thermal-radiation-earth) en $\Delta T
= \Delta F/4\sigma T_{\text{ef}}^3$. Calcúlese $4\sigma T_{\text{ef}}^3$. (b) Doblar el dióxido de carbono es un forzamiento de unos $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: $\Delta T$ en este modelo. (c) La capa de mezcla del océano ($50\,\mathrm{m}$ de agua) almacena el calor: constante de tiempo de la respuesta. (d) ¿Por qué hacen las realimentaciones del vapor de agua y del albedo del hielo que la sensibilidad real sea mayor que la de (b)?

**Solución de Ejercicio 26.11.**

(a) $4\sigma T_{\text{ef}}^3 = 3.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$. (b) $1.0\,\mathrm{K}$. (c) $C =
2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$, $\tau = C/4\sigma T_{\text{ef}}^3 \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, dos años. (d) Un aire más cálido retiene más vapor de agua (un gas de [efecto invernadero](#prop-b2-thermal-radiation-greenhouse)) y funde el hielo (menor albedo): ambas cosas amplifican el calentamiento inicial.

**Ejercicio 26.12 ★★★.**

*Pirometría.* (a) En el límite de Wien, muéstrese que el cociente de las radiancias en dos longitudes de onda, $\lambda_1$ y $\lambda_2$, da $T$ independientemente de una [emisividad](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) gris. (b) Una barra de acero: $M_{0.65}/M_{0.9}
= 0.10$: temperatura. (c) Una cámara térmica a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ supone $\varepsilon = 0.95$; mira aluminio pulido ($\varepsilon = 0.1$) a $350\,\mathrm{K}$ en una habitación a $293\,\mathrm{K}$: en régimen linealizado, ¿qué temperatura indica? (d) ¿Por qué una superficie pintada junto al aluminio, a los mismos $350\,\mathrm{K}$, se lee correctamente?

**Solución de Ejercicio 26.12.**

(a)

$$
\frac{M_1}{M_2} = \Big(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\Big)^5\exp\Big[-\frac{hc}{k_BT}\Big(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\Big)\Big] :
$$

$\varepsilon$ se cancela. (b) $T = 14\,388\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K} \times 0.427/(5\ln 1.385 +
\ln 10) = 1570\,\mathrm{K}$. (c) Recibido $\propto 0.1 \times 350 + 0.9 \times 293 =
299$; indicado $(299 - 0.05 \times 293)/0.95 \approx 299\,\mathrm{K}$: se pierde los $350\,\mathrm{K}$. (d) Su [emisividad](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) es la que se supone.

![Los dos cuerpos negros de este capítulo: el Sol, a 5800\, K, visto por el Solar Dynamics Observatory en el ultravioleta extremo, y la Tierra, a 288\, K, fotografiada por la tripulación del Apolo 17 — con máximos en 0.5\, µ m y en 10\, µ m (NASA).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/img-d1ebe2a831a9.jpg)

![Los dos cuerpos negros de este capítulo: el Sol, a 5800\, K, visto por el Solar Dynamics Observatory en el ultravioleta extremo, y la Tierra, a 288\, K, fotografiada por la tripulación del Apolo 17 — con máximos en 0.5\, µ m y en 10\, µ m (NASA).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/img-6ea4b7215b88.jpg)

*Los dos [cuerpos negros](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) de este capítulo: el Sol, a $5800\,\mathrm{K}$, visto por el Solar Dynamics Observatory en el ultravioleta extremo, y la Tierra, a $288\,\mathrm{K}$, fotografiada por la tripulación del Apolo 17 — con máximos en $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ y en $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ (NASA).*

## 26.6 Problema: el balance energético de la Tierra y la bombilla incandescente

**Problema 26.1.**

Problema de fin de semana — cuerpos negros del Sol al filamento

Datos: $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$, $\lambda_{\max}T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; Sol: $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $d = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$; Tierra: $R =
6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, albedo $0.30$.

**Parte I — El Sol como [cuerpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody).**

1. El espectro solar tiene su máximo en $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : temperatura superficial.
2. Exitancia de la superficie y luminosidad total.
3. [Constante solar](#prop-b2-thermal-radiation-earth) en la Tierra; densidad de energía y presión de la luz solar allí.
4. Energía media del fotón ( $\approx 2.7\,k_BT$ ) y número de fotones solares por segundo y por metro cuadrado en la Tierra.
5. El Sol lleva radiando a este ritmo $4.5 \times 10^9$ años: energía emitida; compárese con $Mc^2$ para $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

**Parte II — La Tierra sin atmósfera.**

6. Potencia absorbida por la Tierra; [temperatura efectiva](#prop-b2-thermal-radiation-earth) .
7. ¿Por qué divide el balance entre $4$ ? ¿Cuál sería la temperatura en el punto subsolar de una Tierra sin rotación ni aire ( $A = 0.30$ )?
8. La Luna ( $A = 0.12$ ): temperatura subsolar; y por qué su cara nocturna baja a $100\,\mathrm{K}$ (piénsese en el calor almacenado en el regolito durante el día de dos semanas, $1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ efectivos).
9. Longitud de onda del máximo de emisión de la Tierra; compárese con la del Sol.
10. Si más hielo o más nubes elevaran el albedo a $0.35$ , ¿cuánto bajaría la [temperatura efectiva](#prop-b2-thermal-radiation-earth) ?

**Parte III — El invernadero.**

11. Escríbanse los tres balances (espacio, capa, superficie) del modelo de una capa y obténgase $T_{\text{sup}} = 2^{1/4}T_{\text{ef}}$ .
12. Con una capa que absorbe la fracción $\varepsilon$ del infrarrojo: $T_{\text{sup}}(\varepsilon)$ ; el valor de $\varepsilon$ que da $288\,\mathrm{K}$ .
13. Qué gases absorben, cuáles no y en qué banda de longitudes de onda; ¿qué es la ventana atmosférica?
14. El infrarrojo que la atmósfera devuelve al suelo, en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , en el modelo con $\varepsilon = 0.78$ ; compárese con la luz solar absorbida.
15. Un forzamiento de $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (dióxido de carbono duplicado): cambio de temperatura $\Delta T = \Delta F/4\sigma T_{\text{ef}}^3$ sin realimentaciones.
16. Capacidad calorífica de una capa de mezcla oceánica de $50\,\mathrm{m}$ por metro cuadrado y constante de tiempo de la respuesta.
17. ¿Por qué enfrían las nubes (albedo) y calientan a la vez (infrarrojo) la superficie? ¿Qué efecto gana de noche?

**Parte IV — La bombilla incandescente.** Una bombilla de $60\,\mathrm{W}$ tiene un filamento de wolframio a $2800\,\mathrm{K}$, $\varepsilon = 0.35$; la fracción de la potencia de un [cuerpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) que cae en el visible ($0.4$–$0.7\,\text{µ}\mathrm{m}$) vale $0.08$ a $2800\,\mathrm{K}$ y $0.14$ a $3200\,\mathrm{K}$.

18. Área radiante del filamento; longitud de un hilo de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ que la tenga; ¿por qué está arrollado?
19. Longitud de onda del máximo; potencia visible; rendimiento luminoso.
20. Resistencia del filamento en funcionamiento a $230\,\mathrm{V}$ ; la resistividad del wolframio es unas diez veces menor a temperatura ambiente: corriente al encender y una consecuencia.
21. A $3200\,\mathrm{K}$ : área necesaria para los mismos $60\,\mathrm{W}$ y potencia visible; ¿por qué no hacer funcionar toda bombilla a $3200\,\mathrm{K}$ (el ritmo de evaporación del wolframio se duplica aproximadamente cada $50\,\mathrm{K}$ )?
22. ¿Qué hace el ciclo del halógeno y por qué permite un filamento más caliente?
23. ¿A dónde va el resto de los $60\,\mathrm{W}$ y por qué alcanza el vidrio de la bombilla $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
24. Tiempo de enfriamiento del filamento tras apagarlo: estímese a partir de su masa ( $20\,\mathrm{mg}$ , $c = 140\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) y de su potencia radiada.
25. Resúmase: qué fija la temperatura de un [cuerpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) y qué tienen en común el filamento, el Sol y la Tierra.

**Solución de Problema 26.1.**

**1.** $5800\,\mathrm{K}$.

**2.** $6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$.

**3.** $L/4\pi d^2 = 1.37 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $u = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; $P = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ si se absorbe, el doble si se refleja.

**4.** $2.7k_BT = 2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ($1.35\,\mathrm{eV}$); $6 \times 10^{21}$ fotones por segundo y por metro cuadrado.

**5.** $3.9 \times 10^{26} \times 1.4 \times 10^{17} = 5.5 \times 10^{43}\,\mathrm{J}$; $Mc^2 =
1.8 \times 10^{47}\,\mathrm{J}$: tres diezmilésimas de su masa.

**6.** $1.2 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$; $T_{\text{ef}} = 255\,\mathrm{K}$.

**7.** Interceptada en $\pi R^2$ y emitida desde $4\pi R^2$ gracias a la rotación y a los vientos; solo en el punto subsolar: $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} =
360\,\mathrm{K}$.

**8.** $381\,\mathrm{K}$; de noche el calor almacenado ($\sim C\Delta T$) se drena por radiación con la constante de tiempo $C/4\sigma T^3 \approx 1\,\mathrm{d}$, corta frente a las dos semanas de oscuridad: el suelo cae hasta donde su radiación iguala el hilo de calor que llega de abajo, $100\,\mathrm{K}$.

**9.** $10\,\text{µ}\mathrm{m}$, veinte veces la del Sol.

**10.** $(0.65/0.70)^{1/4} = 0.982$: $4.7\,\mathrm{K}$ menos, $250\,\mathrm{K}$.

**11.** Espacio: $\sigma T_{\text{atm}}^4 = \sigma T_{\text{ef}}^4$; capa: $\sigma
T_{\text{sup}}^4 = 2\sigma T_{\text{atm}}^4$; superficie: $\sigma T_{\text{sup}}^4 = \sigma
T_{\text{ef}}^4 + \sigma T_{\text{atm}}^4$. De ahí $T_{\text{sup}} = 2^{1/4}T_{\text{ef}} = 303\,\mathrm{K}$.

**12.** $T_{\text{sup}}^4 = T_{\text{ef}}^4/(1 - \varepsilon/2)$; $(288/255)^4 = 1.63$ da $\varepsilon = 0.77$.

**13.** El vapor de agua, el dióxido de carbono, el metano y el ozono absorben en el infrarrojo (bandas de vibración: H$_2$O en torno a $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ y más allá de $17\,\text{µ}\mathrm{m}$, CO$_2$ en $15\,\text{µ}\mathrm{m}$); N$_2$ y O$_2$ no (sin dipolo); la ventana es de $8\,$–$13\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**14.** $T_{\text{atm}}^4 = T_{\text{sup}}^4/2$: $\varepsilon\sigma T_{\text{atm}}^4 \approx
150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, frente a los $238\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de luz solar absorbida (una atmósfera de varias capas devuelve más, unos $330\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$).

**15.** $3.7/3.8 \approx 1\,\mathrm{K}$.

**16.** $2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; $\tau \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, dos años.

**17.** Reflejan la luz solar y radian infrarrojo hacia abajo; de noche solo actúa lo segundo: las noches nubladas son más cálidas.

**18.** $49\,\mathrm{mm}^{2}$; $31\,\mathrm{cm}$; arrollado para caber y para reducir las pérdidas por convección hacia el gas de relleno.

**19.** $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$; $4.8\,\mathrm{W}$; el $8\%$.

**20.** $R = V^2/P = 880\,\Omega$; en frío $88\,\Omega$: $2.6\,\mathrm{A}$ en vez de $0.26\,\mathrm{A}$ — las bombillas se funden al encenderlas.

**21.** $49 \times (2800/3200)^4 = 29\,\mathrm{mm}^{2}$; $8.4\,\mathrm{W}$ visibles; ocho duplicaciones de la evaporación, una vida $250$ veces más corta — horas.

**22.** El wolframio evaporado se une al halógeno y vuelve al filamento caliente en vez de ennegrecer el vidrio: un filamento más caliente con una vida normal, en una ampolla pequeña de cuarzo.

**23.** $55\,\mathrm{W}$ de infrarrojo y de conducción por el gas; el vidrio absorbe parte del infrarrojo.

**24.** $C = 2.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$; con $P \propto T^4$, el tiempo que tarda $T$ en reducirse a la mitad vale $7CT_0/3P \approx 0.3\,\mathrm{s}$ — y el brillo sigue a la red con un retraso de $0.04\,\mathrm{s}$, por lo que apenas parpadea.

**25.** La temperatura fija la forma y el máximo del espectro ($\lambda_{\max}T$) y el total ($\sigma T^4$); filamento, Sol y Tierra son tres [cuerpos negros](#def-b2-thermal-radiation-blackbody), a $2800\,$, $5800\,$ y $288\,\mathrm{K}$, cada uno equilibrando lo que recibe con $\sigma T^4$.