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title: "Balances termodinámicos y sistemas abiertos"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 27
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/27-balances-termodinamicos-y-sistemas-abiertos
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# Capítulo 27 — Balances termodinámicos y sistemas abiertos

La termodinámica del volumen del primer año trataba sistemas cerrados — una masa fija de gas en un cilindro, comprimida, calentada, expandida. Pero las máquinas que de verdad calientan nuestras casas, enfrían nuestra comida y producen nuestra electricidad están atravesadas por un *flujo*: el vapor recorre la turbina de una central a cientos de kilogramos por segundo, un refrigerante circula por el compresor, el condensador, la válvula y el evaporador de una bomba de calor, y el aire pasa por el compresor y la cámara de combustión de un reactor. Cada componente es un *[sistema abierto](#def-b2-open-systems-cv)*, una región del espacio con materia que entra y sale, y las leyes primera y segunda han de reescribirse para él. La reescritura es breve — la clave es que el fluido empujado hacia dentro del sistema lleva, además de su energía interna, el trabajo hecho para empujarlo, y por eso es la *[entalpía](#thm-b2-open-systems-firstlaw)*, y no la energía interna, la energía natural de un flujo. Este capítulo establece los balances de masa, energía y entropía para [sistemas abiertos](#def-b2-open-systems-cv) en [régimen estacionario](#def-b2-open-systems-cv), los aplica a los dispositivos elementales — [tobera](#prop-b2-open-systems-devices), [estrangulamiento](#prop-b2-open-systems-devices), compresor, turbina, [intercambiador de calor](#prop-b2-open-systems-devices) — y monta esos dispositivos en los dos ciclos que dimensiona el problema de fin de semana: una bomba de calor y una central térmica de vapor.

![La unidad exterior de una bomba de calor en una mañana de invierno: un ventilador aspira aire frío sobre el evaporador, y dentro un compresor, un condensador y una válvula llevan ese calor, multiplicado por tres o cuatro, al interior de la casa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-open-systems/img-d5fef9d3e401.jpg)

*La unidad exterior de una bomba de calor en una mañana de invierno: un ventilador aspira aire frío sobre el evaporador, y dentro un compresor, un condensador y una válvula llevan ese calor, multiplicado por tres o cuatro, al interior de la casa.*

## 27.1 Sistemas abiertos y balance de masa

**Definición 27.1 (Sistema abierto, volumen de control, régimen estacionario).**

Un *sistema abierto* es una región fija del espacio, el *volumen de control* $\Sigma$, limitado por una superficie por la que el fluido entra y sale (secciones de entrada y de salida) y a través de la cual pueden intercambiarse calor y trabajo con el exterior; el trabajo recibido por partes móviles (un eje, un pistón) distintas del propio flujo es el *trabajo útil* $W_{\text{u}}$ (trabajo en el eje). El flujo es *estacionario* cuando todos los campos dentro de $\Sigma$ son independientes del tiempo: la masa, la energía y la entropía contenidas en $\Sigma$ son entonces constantes.

**Proposición 27.2 (Balance de masa).**

Por una sección de área $S$ donde el fluido de densidad $\rho$ se mueve a la celeridad media $c$ normal a ella pasa el *caudal másico* $\dot m = \rho c S$ (en $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$). En [régimen estacionario](#def-b2-open-systems-cv), lo que entra sale: $\sum_{\text{ent}}\dot m = \sum_{\text{sal}}
\dot m$; para una sola corriente, $\dot m$ es el mismo a la entrada y a la salida, $\rho_1c_1S_1 = \rho_2c_2S_2$ — la [ecuación de continuidad](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#thm-b2-fluid-kinematics-continuity) de [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#ch-b2-fluid-kinematics) integrada sobre la sección.

**Demostración.** La masa contenida en $\Sigma$ es constante, así que los flujos se compensan. ∎

## 27.2 El primer principio para un sistema abierto

**Teorema 27.3 (Balance de energía de un flujo estacionario de una corriente).**

Para un flujo [estacionario](#def-b2-open-systems-cv) de [caudal másico](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $\dot m$ que entra en el estado 1 y sale en el estado 2, recibiendo la potencia útil (en el eje) $P_{\text{u}}$ y la potencia térmica $P_{\text{term}}$,

$$
\dot m\,\Big[(h_2 - h_1) + \tfrac12(c_2^2 - c_1^2) + g(z_2 - z_1)\Big]
= P_{\text{u}} + P_{\text{term}} ,
$$

o bien, por unidad de masa de fluido que cruza el sistema,

$$
\Delta h + \Delta\big(\tfrac12c^2\big) + g\,\Delta z = w_{\text{u}} + q .
$$

La *entalpía* $h = u + Pv$ sustituye a la energía interna: $Pv$ es el *trabajo de flujo*, el trabajo que hace el fluido de aguas arriba para meter una unidad de masa, menos el que hace para sacarla.

**Demostración.** Sígase el sistema cerrado formado por el fluido que hay dentro de $\Sigma$ en $t$ más la porción $\dd m = \dot m\,\dd t$ a punto de entrar; en $t + \dd t$ consta del fluido de dentro de $\Sigma$ (en el mismo estado, por ser [estacionario](#def-b2-open-systems-cv)) más la porción $\dd m$ que ha salido. Su energía cambió en $\dd m\,[(u_2 + \tfrac12c_2^2 + gz_2) - (u_1 + \tfrac12c_1^2 + gz_1)]$. Recibió $P_{\text{u}}\dd t + P_{\text{term}}\dd t$, más el trabajo de las fuerzas de presión en la entrada, $P_1S_1 \times c_1\dd t = P_1v_1\,\dd m$ (que mete la porción), menos el de la salida, $P_2v_2\,\dd m$. El primer principio para este sistema cerrado, con $u + Pv = h$, da el resultado. ∎

![El sistema abierto estacionario: el sistema cerrado que se sigue durante t es el contenido de más la porción que entra, y luego el contenido más la porción que sale; el trabajo de presión en las dos secciones convierte u en h = u + Pv.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-open-systems/fig-f437213a91ee.svg)

*El [sistema abierto](#def-b2-open-systems-cv) [estacionario](#def-b2-open-systems-cv): el sistema cerrado que se sigue durante $\dd
t$ es el contenido de $\Sigma$ más la porción que entra, y luego el contenido más la porción que sale; el trabajo de presión en las dos secciones convierte $u$ en $h = u + Pv$.*

**Observación 27.4 (Cómo usar el primer principio).**

Para un gas ideal, $\Delta h = c_p\Delta T$; para un líquido, $\Delta h \approx
c\,\Delta T + v\,\Delta P$ (el segundo término es el trabajo de la bomba); para un vapor se lee $h$ en tablas o diagramas. El término cinético suele ser despreciable: a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $c^2/2 = 50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, frente a $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ por cada kelvin de aire — solo cuenta en [toberas](#prop-b2-open-systems-devices) y álabes de turbina, donde las celeridades llegan a cientos de metros por segundo. El término potencial, $g\Delta z \approx 10\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ por metro, cuenta para el agua de una presa, nunca en un ciclo de gas. Con varias entradas y salidas el balance se escribe $\sum_{\text{sal}}\dot m\,h - \sum_{\text{ent}}\dot m\,h =
P_{\text{u}} + P_{\text{term}}$ (despreciados los términos cinético y potencial).

## 27.3 El segundo principio para un sistema abierto

**Teorema 27.5 (Balance de entropía de un flujo estacionario).**

Para un flujo [estacionario](#def-b2-open-systems-cv) de una sola corriente que intercambia las potencias térmicas $P_{\text{term},i}$ con focos a las temperaturas $T_i$,

$$
\dot m\,(s_2 - s_1) = \sum_i\frac{P_{\text{term},i}}{T_i} + \dot S_{\text{c}},
\qquad \dot S_{\text{c}} \ge 0 ;
$$

por unidad de masa, $\Delta s = s_{\text{int}} + s_{\text{c}}$. Un flujo adiabático y reversible es *isentrópico*; un flujo adiabático real tiene $s_2 >
s_1$. El *rendimiento isentrópico* de una turbina vale $\eta_{\text{T}} = w_{\text{real}}/w_{\text{s}} = (h_1 - h_2)/(h_1
- h_{2s})$ y el de un compresor $\eta_{\text{C}} = (h_{2s} - h_1)/(h_2 -
h_1)$, donde $2s$ es el estado alcanzado isentrópicamente a la misma presión de salida; ambos valen típicamente de $0.8$ a $0.9$. El trabajo perdido por irreversibilidad, referido a la temperatura ambiente $T_0$, es $T_0\,s_{\text{c}}$ por unidad de masa.

**Demostración.** El mismo sistema cerrado que antes: su entropía cambia en $\dd m\,(s_2 -
s_1)$, recibe $\sum P_{\text{term},i}\dd t/T_i$ de los focos y el resto se crea. ∎

## 27.4 Dispositivos elementales

**Proposición 27.6 (Tobera, estrangulamiento, compresor, turbina, intercambiador).**

Todos adiabáticos salvo indicación en contra, [estacionarios](#def-b2-open-systems-cv) y con los términos cinético y potencial despreciados salvo cuando son lo esencial.

- *Tobera* (sin eje, sin calor): $\tfrac12c_2^2 -  \tfrac12c_1^2 = h_1 - h_2$ — la [entalpía](#thm-b2-open-systems-firstlaw) se vuelve celeridad; un *difusor* hace lo contrario.
- *Estrangulamiento* (válvula, tapón poroso; sin eje, sin calor, con celeridades pequeñas): $h_2 = h_1$ , *isentálpico* . Para un gas ideal, $T_2 = T_1$ ; para un gas real la temperatura suele bajar (efecto Joule–Thomson); para un líquido cerca de la saturación una fracción se evapora de golpe — la válvula de expansión de todo frigorífico.
- *Compresor, bomba, turbina* (máquinas adiabáticas): $w_{\text{u}} = h_2 - h_1$ — positivo para un compresor y negativo para una turbina; para una bomba de líquido, $w_{\text{u}} \approx  v(P_2 - P_1)$ , minúsculo porque $v$ es pequeño.
- *Intercambiador de calor* (dos corrientes, sin eje, adiabático en conjunto): $\dot m_{\text{a}}(h_{\text{a},2} -  h_{\text{a},1}) = -\dot m_{\text{b}}(h_{\text{b},2} - h_{\text{b},1})$ — lo que una pierde lo gana la otra; el intercambio crea entropía salvo que las corrientes estén a la misma temperatura en todas partes (la contracorriente la reduce).
- *Cámara de mezcla* : $\sum\dot m_{\text{ent}}h_{\text{ent}} = \dot  m_{\text{sal}}h_{\text{sal}}$ .

**Demostración.** Cada uno es el primer principio con los términos oportunos anulados. ∎

![Los sistemas abiertos elementales: cada uno es el balance de energía con los términos irrelevantes tachados — sin eje en una tobera o un estrangulamiento, sin calor en una turbina adiabática, sin calor neto para un intercambiador tomado en conjunto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-open-systems/fig-092f6b28659b.svg)

*Los [sistemas abiertos](#def-b2-open-systems-cv) elementales: cada uno es el balance de energía con los términos irrelevantes tachados — sin eje en una [tobera](#prop-b2-open-systems-devices) o un [estrangulamiento](#prop-b2-open-systems-devices), sin calor en una turbina adiabática, sin calor neto para un intercambiador tomado en conjunto.*

**Ejemplo 27.7 (Números para los dispositivos).**

Vapor que entra en la [tobera](#prop-b2-open-systems-devices) de una turbina con $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ y sale con $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ alcanza $c = \sqrt{2 \times 200 \times 10^3} =
630\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Aire comprimido adiabáticamente de $1\,\mathrm{bar}$ y $293\,\mathrm{K}$ a $8\,\mathrm{bar}$: isentrópicamente, $T_2 = 293 \times 8^{0.286} =
531\,\mathrm{K}$ y $w = c_p\Delta T = 239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; con $\eta_{\text{C}} =
0.8$, $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ y $590\,\mathrm{K}$ — por eso los compresores se refrigeran entre etapas. Un radiador de coche que evacúa $42\,\mathrm{kW}$ de agua enfriada $10\,\mathrm{K}$ ($1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$) calienta $2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de aire $20\,\mathrm{K}$. Un refrigerante líquido a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ estrangulado hasta $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ llega como una niebla con un $28\%$ de vapor: esa evaporación súbita es la que enfría el líquido hasta la temperatura del evaporador.

## 27.5 Ciclos

**Proposición 27.8 (Refrigeración por compresión de vapor y bomba de calor).**

Un refrigerante circula por: (1$\to$2) un compresor adiabático que eleva el vapor de la presión del evaporador a la presión del condensador, $w = h_2 - h_1$; (2$\to$3) un condensador donde cede $q_{\text{cond}} = h_2 - h_3$ al lado caliente (la habitación para una bomba de calor, la cocina para un frigorífico) y sale como líquido; (3$\to$4) un [estrangulamiento](#prop-b2-open-systems-devices), $h_4
= h_3$; (4$\to$1) un evaporador donde absorbe $q_{\text{evap}} = h_1 - h_4$ del lado frío. Los coeficientes de eficiencia valen

$$
\mathrm{COP}_{\text{fr}} = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}, \qquad
\mathrm{COP}_{\text{cal}} = \frac{h_2 - h_3}{h_2 - h_1} = \mathrm{COP}_{\text{fr}} + 1 ,
$$

acotados por los de Carnot, $T_{\text{fr}}/(T_{\text{cal}} - T_{\text{fr}})$ y $T_{\text{cal}}/(T_{\text{cal}} - T_{\text{fr}})$; el ciclo se lee con más facilidad en el diagrama $(\log P, h)$, donde los dos intercambios y el trabajo son segmentos horizontales.

**Demostración.** Los cuatro balances del primer principio; el balance de energía de todo el ciclo da $q_{\text{cond}} = q_{\text{evap}} + w$, de donde la relación entre los dos COP. ∎

![El ciclo de compresión de vapor en el diagrama ( P, h): el condensador y el evaporador son isobaras dentro de la campana, el estrangulamiento una isentálpica vertical y el compresor una recta inclinada; las longitudes de los segmentos horizontales son los calores y el trabajo por kilogramo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-open-systems/fig-a5491e709c7f.svg)

*El ciclo de compresión de vapor en el diagrama $(\log P, h)$: el condensador y el evaporador son isobaras dentro de la campana, el [estrangulamiento](#prop-b2-open-systems-devices) una isentálpica vertical y el compresor una recta inclinada; las longitudes de los segmentos horizontales son los calores y el trabajo por kilogramo.*

**Proposición 27.9 (El ciclo de vapor (de Rankine)).**

El agua circula por: (1$\to$2) una bomba, $w_{\text{b}} \approx v(P_2 -
P_1)$, unos pocos $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; (2$\to$3) una caldera a alta presión donde se calienta, se vaporiza y se sobrecalienta, $q_{\text{ent}} = h_3 - h_2$; (3$\to$4) una turbina que expande el vapor hasta la presión del condensador, $w_{\text{t}} = h_3 - h_4$ (un millar de $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$); (4$\to$1) un condensador a baja presión donde el vapor húmedo vuelve a ser líquido y cede $q_{\text{sal}} = h_4 - h_1$ al agua de refrigeración. El rendimiento vale

$$
\eta = \frac{w_{\text{t}} - w_{\text{b}}}{q_{\text{ent}}} = 1 - \frac{q_{\text{sal}}}{q_{\text{ent}}} ,
$$

de $0.35$ a $0.45$ en la práctica; el calor se aporta a una temperatura media $\bar T = q_{\text{ent}}/(s_3 - s_2)$ muy por debajo del máximo de la caldera, y por eso el sobrecalentamiento, el recalentamiento intermedio y las presiones altas suben $\eta$, y por eso el escape debe quedar bastante seco ($x_4 \gtrsim 0.88$) para librar a los últimos álabes de la erosión por gotas.

**Demostración.** Primer principio en cada componente y luego en el ciclo: $w_{\text{t}} - w_{\text{b}}
= q_{\text{ent}} - q_{\text{sal}}$. ∎

![El ciclo de Rankine en el diagrama (T,s): bomba (invisible), calentamiento a lo largo de la línea de líquido, vaporización a la presión de la caldera, sobrecalentamiento, expansión (isentrópica discontinua, real continua, que acaba más húmeda o más seca) y condensación. Es la temperatura media de aporte de calor, y no el máximo, la que fija el rendimiento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-open-systems/fig-5a1ff5a20864.svg)

*El ciclo de Rankine en el diagrama $(T,s)$: bomba (invisible), calentamiento a lo largo de la línea de líquido, vaporización a la presión de la caldera, sobrecalentamiento, expansión (isentrópica discontinua, real continua, que acaba más húmeda o más seca) y condensación. Es la temperatura media de aporte de calor, y no el máximo, la que fija el rendimiento.*

**Observación 27.10 (Otros ciclos, y un transitorio).**

La turbina de gas (compresor, cámara de combustión, turbina: el ciclo de Brayton) tiene el rendimiento ideal $1 - r^{-(\gamma-1)/\gamma}$ para la relación de presiones $r$ y expulsa sus gases a varios cientos de grados; llevar esos gases a un ciclo de vapor (ciclo combinado) alcanza el $60\%$. Los [sistemas abiertos](#def-b2-open-systems-cv) tienen también transitorios: llenar un depósito rígido vacío desde una línea a $T_0$ termina en $T = \gamma T_0$ (el trabajo de flujo $Pv$ se convierte en energía interna), $120\,\mathrm{K}$ más caliente para el aire — la razón de que una botella de buceo se caliente al llenarse.

**Método 27.11 (Balances de sistemas abiertos).**

(1) Dibújese el [volumen de control](#def-b2-open-systems-cv); enumérense entradas, salidas, eje y calor. (2) Masa: $\sum\dot m_{\text{ent}} = \sum\dot m_{\text{sal}}$. (3) Energía por unidad de masa: $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$, con $\Delta h = c_p\Delta T$ para gases, tablas para vapores y $v\Delta P$ para bombas. (4) Entropía: $\Delta s = \sum q_i/T_i + s_{\text{c}}$, estados isentrópicos de referencia, rendimientos y $T_0s_{\text{c}}$ perdido. (5) Ciclos: léase el diagrama, súmese a lo largo del lazo y compárese con Carnot.

## 27.6 Ejercicios

**Ejercicio 27.1 ★.**

(a) Una manguera de jardín entrega $12\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ por una [tobera](#prop-b2-open-systems-devices) de $1\,\mathrm{cm}$: celeridad de salida. (b) Agua caliente a $60\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, se mezcla con agua fría a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$: temperatura de salida. (c) ¿Por qué es irreversible la mezcla? Calcúlese la entropía creada por segundo.

**Solución de Ejercicio 27.1.**

(a) $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}/7.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2} = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $(0.1 \times 60 + 0.2
\times 10)/0.3 = 26.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $\dot S_{\text{c}} = 0.1c\ln(299.8/333) +
0.2c\ln(299.8/283) = 4.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: calor pasado del agua caliente a la fría.

**Ejercicio 27.2 ★.**

El vapor entra en una [tobera](#prop-b2-open-systems-devices) a $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ y sale con $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$: celeridad de salida. Aire a $300\,\mathrm{K}$ acelerado desde el reposo hasta $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en una [tobera](#prop-b2-open-systems-devices) ($c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$): caída de temperatura. Un difusor frena aire de $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ al reposo: subida.

**Solución de Ejercicio 27.2.**

$\sqrt{2 \times 200 \times 10^3 + 50^2} = 634\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $c^2/2c_p = 45\,\mathrm{K}$; $31\,\mathrm{K}$.

**Ejercicio 27.3 ★.**

[Estrangulamiento](#prop-b2-open-systems-devices). (a) Un gas ideal: ¿qué le ocurre a $T$ y a $s$? (b) Vapor húmedo a $10\,\mathrm{bar}$ ($h_{\text{f}} = 763$, $h_{\text{fg}} = 2015\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$), de título $0.9$, estrangulado a $1\,\mathrm{bar}$ ($h_{\text{f}} = 417$, $h_{\text{fg}}
= 2258\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$): título final — el calorímetro de [estrangulamiento](#prop-b2-open-systems-devices). (c) Refrigerante líquido a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($h = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$) estrangulado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($h_{\text{f}} = 200$, $h_{\text{g}} = 399\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$): fracción de vapor.

**Solución de Ejercicio 27.3.**

(a) $T$ no cambia y $s$ sube en $r\ln(P_1/P_2)$. (b) $h = 2576\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$: $x = (2576 - 417)/2258 = 0.956$ — el título se lee a partir de la temperatura de la salida sobrecalentada (o apenas seca). (c) $(256 -
200)/199 = 0.28$.

**Ejercicio 27.4 ★.**

(a) Un radiador enfría $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de agua de $90\,$ a $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; el aire ($c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$) se calienta de $20\,$ a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: [caudal másico](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) y [caudal volumétrico](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) de aire. (b) Una turbina de vapor, $10\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, con $h$ de $3400\,$ a $2400\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$: potencia. (c) Una bomba eleva el agua de $1\,$ a $60\,\mathrm{bar}$: trabajo por kilogramo y potencia para $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$.

**Solución de Ejercicio 27.4.**

(a) $41.8\,\mathrm{kW}$; $41.8 \times 10^3/(1005 \times 20) = 2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $1.7\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. (b) $10\,\mathrm{MW}$. (c) $v\Delta P = 5.9\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $3\,\mathrm{MW}$.

**Ejercicio 27.5 ★★.**

*El trabajo de flujo.* (a) Dedúzcase de nuevo el primer principio para [sistemas abiertos](#def-b2-open-systems-cv) y explíquese de dónde sale $Pv$. (b) ¿Por qué aparece la energía interna $u$ en un sistema cerrado y $h$ en un flujo? (c) Compárense $c^2/2$ a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y a $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ con $c_p\Delta T$ para $1\,\mathrm{K}$ de aire. (d) Agua que cae $100\,\mathrm{m}$ por una tubería forzada: $g\Delta z$ frente a $c\,\Delta T$ para $1\,\mathrm{K}$; conclúyase cuánto se calienta el agua si se quita la turbina.

**Solución de Ejercicio 27.5.**

(a) [Teorema 27.3](#thm-b2-open-systems-firstlaw). (b) A un flujo lo meten y lo sacan sus vecinos: ese trabajo de presión, $Pv$ por unidad de masa, va junto con $u$. (c) $50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ y $45\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ frente a $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (d) $981\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ frente a $4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$: $0.23\,\mathrm{K}$.

**Ejercicio 27.6 ★★.**

*Compresores.* Aire, $1\,\mathrm{bar}$, $293\,\mathrm{K}$, hasta $8\,\mathrm{bar}$; $\gamma =
1.4$, $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$, $r = 287\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$. (a) Temperatura y trabajo de salida isentrópicos. (b) Con $\eta_{\text{C}} = 0.8$: trabajo, temperatura de salida y entropía creada. (c) Dos etapas de relación $\sqrt8$ con enfriamiento de vuelta a $293\,\mathrm{K}$ entre ellas: trabajo ahorrado. (d) Límite isotermo $rT\ln 8$; por qué los compresores reales se le acercan con muchas etapas.

**Solución de Ejercicio 27.6.**

(a) $531\,\mathrm{K}$, $239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (b) $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $590\,\mathrm{K}$, $c_p\ln(590/531)
= 106\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$. (c) Cada etapa acaba en $393\,\mathrm{K}$: $2 \times 1005 \times 100 =
201\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, un $16\%$ ahorrado. (d) $rT\ln 8 = 175\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; con enfriamiento intermedio entre muchas etapas el camino se pega a la isoterma.

**Ejercicio 27.7 ★★.**

*Turbina.* Vapor a $60\,\mathrm{bar}$ y $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $h_3 = 3422\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $s_3 = 6.88\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; condensador a $0.05\,\mathrm{bar}$ ($33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$): $s_{\text{f}} = 0.476$, $s_{\text{g}} = 8.394\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$, $h_{\text{f}} = 138$, $h_{\text{fg}} = 2423\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (a) Título y [entalpía](#thm-b2-open-systems-firstlaw) de salida isentrópicos, y trabajo. (b) Con $\eta_{\text{T}} = 0.85$: trabajo, [entalpía](#thm-b2-open-systems-firstlaw) y título de salida. (c) Entropía creada por kilogramo y trabajo perdido a $T_0 =
306\,\mathrm{K}$. (d) Por qué es un problema un escape demasiado húmedo.

**Solución de Ejercicio 27.7.**

(a) $x = (6.88 - 0.476)/7.918 = 0.81$, $h_{4s} = 2098\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $w_{\text{s}} =
1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (b) $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $h_4 = 2297$, $x_4 = 0.89$. (c) $s_4 =
7.53\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$: $s_{\text{c}} = 0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; perdido $T_0s_{\text{c}} =
200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (d) Las gotas a cientos de metros por segundo erosionan los últimos álabes.

**Ejercicio 27.8 ★★.**

*Bomba de calor.* Evaporador a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, condensador a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $h_1 = 399$ (vapor saturado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$), $h_{2s} = 426$, $h_3 = 256$, $h_4 = h_3$ ($\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$); $\eta_{\text{C}} = 0.8$. (a) $h_2$ y el trabajo. (b) Calores intercambiados y ambos COP. (c) COP de Carnot; cociente. (d) [Caudal másico](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) y potencia eléctrica para $8\,\mathrm{kW}$ de calefacción; por qué cae el COP cuando el aire exterior se enfría.

**Solución de Ejercicio 27.8.**

(a) $h_2 = 399 + 27/0.8 = 433\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $w = 34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (b) $q_{\text{evap}}
= 143$, $q_{\text{cond}} = 177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $\mathrm{COP}_{\text{fr}} = 4.2$, $\mathrm{COP}_{\text{cal}} = 5.2$. (c) $6.8$ y $7.8$; dos tercios. (d) $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $1.5\,\mathrm{kW}$; un evaporador más frío significa una presión menor, una relación de presiones mayor (más trabajo por kilogramo) y un vapor más ligero (menos masa por embolada).

**Ejercicio 27.9 ★★.**

*Entropía en un intercambiador.* Agua caliente, $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, de $90\,$ a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, calienta agua fría, $2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, desde $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Temperatura de salida de la corriente fría. (b) Entropía creada por segundo ($c = 4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$). (c) Potencia perdida a $T_0 = 293\,\mathrm{K}$, comparada con los $167\,\mathrm{kW}$ intercambiados. (d) ¿Por qué crearía más entropía una disposición en equicorriente que en contracorriente para el mismo servicio?

**Solución de Ejercicio 27.9.**

(a) $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $4180[\ln(323/363) + 2\ln(303/283)] = 83\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$. (c) $24\,\mathrm{kW}$ de $167\,\mathrm{kW}$. (d) En equicorriente los saltos de temperatura son mayores y la salida caliente no puede bajar de la salida fría: más entropía para el mismo servicio.

**Ejercicio 27.10 ★★★.**

*Llenar un depósito.* Un depósito rígido, vacío y aislado se conecta a una línea que lleva un gas ideal a $T_0$, $P_0$. (a) Escríbase el balance de energía del depósito durante el llenado (no [estacionario](#def-b2-open-systems-cv): su energía crece) y muéstrese que el gas del interior acaba a $T = \gamma T_0$. (b) Aire a $293\,\mathrm{K}$: temperatura final. (c) Si el depósito contenía inicialmente gas a $T_0$ y $P_1 < P_0$, arguméntese que la temperatura final queda entre $T_0$ y $\gamma T_0$. (d) ¿Por qué se calienta una botella de buceo al llenarse, y por qué se llena despacio dentro del agua?

**Solución de Ejercicio 27.10.**

(a) $\dd(mu)/\dd t = \dot m h_0$ se integra a $mu = mh_0$: $c_vT = c_pT_0$, $T = \gamma T_0$. (b) $410\,\mathrm{K}$. (c) El gas final es una mezcla del gas original a $T_0$ y del gas entrante calentado a $\gamma T_0$, luego queda en medio. (d) El trabajo de flujo calienta el gas; un llenado lento en un baño de agua deja salir el calor para que la presión a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sea la buscada.

**Ejercicio 27.11 ★★★.**

*Recalentamiento intermedio.* La turbina de [Ejercicio 27.7](#exo-b2-open-systems-7) se divide: expansión hasta $10\,\mathrm{bar}$ (final isentrópico: $h = 2850\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$), recalentamiento hasta $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($h = 3478$, $s = 7.76\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$) y expansión hasta $0.05\,\mathrm{bar}$, con ambas etapas isentrópicas. Trabajo de la bomba $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $h_2 =
144\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (a) Título y [entalpía](#thm-b2-open-systems-firstlaw) de salida de la segunda etapa. (b) Trabajo y calor totales; rendimiento; compárese con la expansión única ($\eta = 0.40$ isentrópico). (c) ¿Por qué ayuda el recalentamiento, en términos de la temperatura media de aporte de calor? (d) ¿Qué más arregla?

**Solución de Ejercicio 27.11.**

(a) $x = (7.76 - 0.476)/7.918 = 0.92$, $h = 2367\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (b) $w = 572 + 1111
- 6 = 1677\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $q = 3278 + 628 = 3906\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $\eta = 0.43$ frente a $0.40$. (c) El recalentamiento aporta calor a temperatura alta y sube la temperatura media de aporte de calor. (d) El escape queda más seco ($0.92$ en vez de $0.81$).

**Ejercicio 27.12 ★★★.**

*Turbina de gas y ciclo combinado.* Aire comprimido isentrópicamente de $1\,\mathrm{bar}$ y $293\,\mathrm{K}$ a $12\,\mathrm{bar}$, calentado a presión constante hasta $1500\,\mathrm{K}$ y expandido isentrópicamente hasta $1\,\mathrm{bar}$; $\gamma = 1.4$, $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$. (a) Las cuatro temperaturas. (b) Trabajos, calor y rendimiento; muéstrese que $\eta = 1 - r^{-(\gamma - 1)/\gamma}$. (c) Los gases de escape a $T_4$ producen vapor para un ciclo de Rankine de rendimiento $0.35$ que recupera el $70\%$ del calor de los gases por encima de $373\,\mathrm{K}$: rendimiento combinado. (d) ¿Por qué es el ciclo combinado la central térmica más eficiente que existe?

**Solución de Ejercicio 27.12.**

(a) $293\,\mathrm{K}$, $596\,\mathrm{K}$, $1500\,\mathrm{K}$, $737\,\mathrm{K}$. (b) $w_{\text{c}} = 305$, $w_{\text{t}} = 767$, $q = 909\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $\eta = 0.51 = 1 - 12^{-0.286}$. (c) Calor de los gases por encima de $373\,\mathrm{K}$: $366\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $0.7 \times 0.35 \times 366 =
90\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$: $\eta = (462 + 90)/909 = 0.61$. (d) Toma calor a $1500\,\mathrm{K}$ y lo cede a $306\,\mathrm{K}$: el mayor intervalo que permite fluido de trabajo alguno.

## 27.7 Problema: una bomba de calor doméstica y una central de vapor

**Problema 27.1.**

Problema de fin de semana — dos máquinas dimensionadas con los balances de sistemas abiertos

**Parte I — La bomba de calor.** Datos del refrigerante ($\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$): vapor saturado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($P = 2.9\,\mathrm{bar}$): $h_1 = 399$, $s_1 = 1.727$; líquido saturado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $h_{\text{f}} = 200$, $s_{\text{f}} = 1.00$; a la presión del condensador, $10.2\,\mathrm{bar}$ ($T_{\text{sat}} = 40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$): final de compresión isentrópica $h_{2s} = 426$, líquido saturado $h_3 = 256$, $s_3 = 1.19$; el vapor sobrecalentado tiene allí $c_p \approx 1.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$. Compresor con $\eta_{\text{C}} = 0.8$; demanda de la casa $8\,\mathrm{kW}$.

1. Dibújese el ciclo en un diagrama $(\log P, h)$ y nómbrense los cuatro componentes con el proceso que realiza cada uno.
2. Estado 4 tras el [estrangulamiento](#prop-b2-open-systems-devices) : [entalpía](#thm-b2-open-systems-firstlaw) y fracción de vapor.
3. Calor absorbido por kilogramo en el evaporador.
4. Trabajo del compresor, isentrópico y real; $h_2$ y una estimación de $T_2$ .
5. Calor cedido en el condensador; ambos COP; compruébese su relación.
6. COP de Carnot entre $0\,$ y $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; ¿qué fracción alcanza la máquina?
7. [Caudal másico](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) de refrigerante y potencia eléctrica (rendimiento del motor $0.9$ ).
8. Entropía creada por kilogramo en el compresor y en el [estrangulamiento](#prop-b2-open-systems-devices) ( $s_4 = s_{\text{f}} + x\,(s_1 - s_{\text{f}})$ ); ¿cuál es peor?

**Parte II — El tiempo frío y las opciones de diseño.**

9. Con $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en el exterior, el evaporador trabaja a $-15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : COP de Carnot para calefacción; ¿por qué cae más deprisa el COP real (piénsese en la relación de presiones y en la densidad del vapor)?
10. ¿Por qué se forma escarcha en la batería exterior y qué cuesta el ciclo de desescarche?
11. Suelo radiante a $35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ frente a radiadores a $55\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : COP de Carnot con el evaporador a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; conclúyase.
12. Compárense, por cada kilovatio hora de combustible quemado en una central de rendimiento $0.40$ , el calor que entrega esta bomba de calor ( $\mathrm{COP}  = 4$ ) y el de una caldera de gas de rendimiento $0.9$ que quema el combustible directamente.

**Parte III — La central de vapor.** Caldera a $60\,\mathrm{bar}$ y $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $h_3 = 3422$, $s_3 = 6.88$; a $60\,\mathrm{bar}$, $T_{\text{sat}} = 276\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $h_{\text{f}} = 1213$, $h_{\text{g}} = 2784$; condensador a $0.05\,\mathrm{bar}$ y $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $h_{\text{f}} = 138$, $h_{\text{fg}} = 2423$, $s_{\text{f}} = 0.476$, $s_{\text{g}} =
8.394$; líquido con $v = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; turbina con $\eta_{\text{T}} = 0.85$; potencia eléctrica neta $600\,\mathrm{MW}$.

13. Dibújese el ciclo en un diagrama $(T,s)$ y nómbrense los procesos.
14. Trabajo de la bomba y $h_2$ .
15. Calor aportado en la caldera, repartido en precalentamiento, vaporización y sobrecalentamiento.
16. Expansión isentrópica: título, [entalpía](#thm-b2-open-systems-firstlaw) y trabajo de salida.
17. Expansión real: trabajo, [entalpía](#thm-b2-open-systems-firstlaw) y título de salida; por qué importa el título.
18. Rendimiento del ciclo; Carnot entre $773\,$ y $306\,\mathrm{K}$ ; la temperatura media de aporte de calor $\bar T = q_{\text{ent}}/(s_3  - s_2)$ y el rendimiento de Carnot que daría.
19. [Caudal másico](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) de vapor; calor cedido en el condensador; caudal de agua de refrigeración para una subida de $10\,\mathrm{K}$ , o masa de agua que evapora por segundo una torre de refrigeración ( $2.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ).
20. Entropía creada en la turbina por kilogramo y por segundo; el trabajo perdido a $306\,\mathrm{K}$ , como fracción del trabajo de la turbina.
21. Recalentar a $10\,\mathrm{bar}$ hasta $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sube el rendimiento hasta cerca de $0.43$ y el título de salida hasta $0.92$ : explíquense ambos efectos cualitativamente.

**Parte IV — La cadena completa.**

22. El hogar transfiere su calor al vapor desde los gases de combustión a unos $1500\,\mathrm{K}$ : entropía creada por segundo en esa transferencia (calor a $1500\,\mathrm{K}$ hacia vapor a $\bar T$ ); compárese con la de la turbina.
23. El condensador cede su calor al agua a $306\,\mathrm{K}$ — que acaba llegando al ambiente a $293\,\mathrm{K}$ : entropía creada por segundo ahí.
24. Ordénense las tres fuentes de irreversibilidad (hogar, turbina, condensador) y dígase a dónde va el esfuerzo de los ingenieros.
25. Resúmase el método de los [sistemas abiertos](#def-b2-open-systems-cv) en cinco líneas.

**Solución de Problema 27.1.**

**1.** Compresor (adiabático, $w = \Delta h$), condensador (isobárico, calor cedido), [estrangulamiento](#prop-b2-open-systems-devices) (isentálpico), evaporador (isobárico, calor absorbido).

**2.** $h_4 = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $x_4 = 0.28$.

**3.** $143\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$.

**4.** $27\,$ y $34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $h_2 = 433$; $T_2 \approx 45 + 7 \approx
52\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**5.** $177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $\mathrm{COP}_{\text{cal}} = 5.2$, $\mathrm{COP}_{\text{fr}} = 4.2$; $5.2 = 4.2 + 1$.

**6.** $7.8$ y $6.8$; dos tercios.

**7.** $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $1.5\,\mathrm{kW}$ y $1.7\,\mathrm{kW}$ en el enchufe.

**8.** Compresor: $c_p\ln(325/318) \approx 0.022\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; [estrangulamiento](#prop-b2-open-systems-devices): $s_4 - s_3 = 1.204 - 1.19 = 0.014\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ — el compresor.

**9.** $313/55 = 5.7$; la relación de presiones casi se dobla (más trabajo por kilogramo) y la densidad del vapor se reduce a la mitad (menos masa por embolada): la capacidad cae justo cuando la casa necesita más.

**10.** La batería está por debajo de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en aire húmedo; la escarcha la aísla; el desescarche invierte el ciclo unos minutos cada hora y cuesta un pequeño porcentaje.

**11.** $308/35 = 8.8$ frente a $328/55 = 6.0$: cuanto menor es la temperatura del condensador, mejor — el suelo radiante.

**12.** $1\,\mathrm{kWh}$ de combustible $\to$ $0.4\,\mathrm{kWh}$ de electricidad $\to$ $1.6\,\mathrm{kWh}$ de calor, frente a $0.9\,\mathrm{kWh}$ de la caldera.

**13.** Bomba, caldera (calentamiento isobárico, vaporización, sobrecalentamiento), turbina y condensador.

**14.** $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $h_2 = 144$.

**15.** $3278 = 1069 + 1571 + 638$ ($\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$).

**16.** $x = 0.81$, $h_{4s} = 2098$, $w_{\text{s}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$.

**17.** $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $h_4 = 2297$, $x_4 = 0.89$; un vapor más húmedo erosiona los álabes y baja el rendimiento.

**18.** $\eta = 1119/3278 = 0.34$; Carnot $0.60$; $\bar T = 3278/6.40 =
512\,\mathrm{K}$, que da $0.40$.

**19.** $536\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $1160\,\mathrm{MW}$; $28\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ de agua de río, o $480\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ evaporados.

**20.** $0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$, $350\,\mathrm{kW}/\mathrm{K}$; $200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, el $18\%$ del trabajo de la turbina.

**21.** El segundo aporte de calor es a temperatura alta (mayor $\bar T$), y la segunda expansión empieza sobrecalentada y acaba más seca.

**22.** $1757\,\mathrm{MW} \times (1/512 - 1/1500) = 2.3\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ — seis veces la de la turbina.

**23.** $1160\,\mathrm{MW} \times (1/293 - 1/306) = 0.17\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$.

**24.** Hogar $\gg$ turbina $>$ condensador: de ahí las temperaturas y presiones de vapor más altas, el recalentamiento y la regeneración; luego, mejores álabes; el condensador viene el último.

**25.** Dibújese el [volumen de control](#def-b2-open-systems-cv); la masa que entra iguala a la que sale; $\Delta h +
\Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$ con $h$ a partir de $c_p$, de tablas o de $v\Delta P$; $\Delta s = \sum q/T + s_{\text{c}}$ con referencias isentrópicas y rendimientos; móntense los componentes y compárese con Carnot.