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title: "El factor de Boltzmann"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 29
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/29-el-factor-de-boltzmann
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# Capítulo 29 — El factor de Boltzmann

Súbase una montaña y el aire se enrarece: a tres mil metros la presión ha bajado a $0.7\,\mathrm{bar}$, y en la cima del Everest a un tercio de su valor al nivel del mar. Nada confina la atmósfera por arriba; la sujeta la gravedad y la esparce la agitación térmica, y el compromiso entre ambas es una exponencial, $n \propto
\eu^{-mgz/k_BT}$ — el cociente entre la energía potencial de una molécula y $k_BT$ decide lo rara que es allá arriba. La misma exponencial gobierna la fracción de átomos en un nivel excitado, el número de moléculas lo bastante rápidas para escapar de un planeta, la imanación de un paramagnético, las poblaciones que un láser debe invertir y los cuantos que cuenta la ley de Planck: es el *factor de Boltzmann*, la fórmula más útil de toda la física estadística. Este capítulo lo motiva con la atmósfera, lo enuncia en general y saca de él, sin más que sumas e integrales gaussianas, el sistema de dos niveles y su capacidad calorífica, la equipartición de la energía, la distribución de celeridades moleculares y la [ley de Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) del paramagnetismo — con, de paso, la energía media de un oscilador cuántico, que es la fórmula de Planck.

![Desde una cima, la calima de la atmósfera baja y el azul profundo de arriba: la densidad del aire cae en un factor cada 8\, km — el factor de Boltzmann de la energía potencial de una molécula en la gravedad terrestre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/img-58b01b56256f.jpg)

*Desde una cima, la calima de la atmósfera baja y el azul profundo de arriba: la densidad del aire cae en un factor $\eu$ cada $8\,\mathrm{km}$ — el factor de Boltzmann de la energía potencial de una molécula en la gravedad terrestre.*

## 29.1 La atmósfera isoterma

**Proposición 29.1 (Ley barométrica).**

En una atmósfera de gas perfecto (de masa molecular $m$) a temperatura uniforme $T$ en la gravedad uniforme $g$, la presión y la [densidad numérica](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/24-difusion-de-particulas#def-b2-particle-diffusion-flux) caen exponencialmente con la altitud:

$$
P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad n(z) = n_0\,\eu^{-mgz/k_BT}, \qquad
H = \frac{k_BT}{mg} ,
$$

con la *altura de escala* $H \approx 8.4\,\mathrm{km}$ para el aire a $288\,\mathrm{K}$. El exponente es el cociente entre la energía potencial $mgz$ de una molécula y la energía térmica $k_BT$.

**Demostración.** Hidrostática, $\dd P/\dd z = -\rho g = -nmg$, y la ley del gas perfecto $P
= nk_BT$: $\dd P/\dd z = -(mg/k_BT)P$, una exponencial. La atmósfera real se enfría con la altitud (unos $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ en los diez kilómetros más bajos), lo que hace la caída algo más rápida; el modelo isotermo es bueno hasta un $20\%$. ∎

![La atmósfera isoterma: la presión y la densidad caen en 1/ por cada altura de escala H = k_BT/mg; un gas más ligero tendría una H mayor — pero por debajo de 100\, km la turbulencia mantiene el aire mezclado, y todos los gases comparten la H media.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-a77d586f8758.svg)

*La atmósfera isoterma: la presión y la densidad caen en $1/\eu$ por cada [altura de escala](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) $H = k_BT/mg$; un gas más ligero tendría una $H$ mayor — pero por debajo de $100\,\mathrm{km}$ la turbulencia mantiene el aire mezclado, y todos los gases comparten la $H$ media.*

## 29.2 El factor de Boltzmann

**Teorema 29.2 (Factor de Boltzmann).**

Un sistema en equilibrio térmico con un termostato a la temperatura $T$ se encuentra en un estado microscópico dado de energía $E$ con una probabilidad proporcional a

$$
\eu^{-E/k_BT} .
$$

De ahí que, para un conjunto de estados discretos de energías $E_i$,

$$
p_i = \frac{\eu^{-E_i/k_BT}}{Z}, \qquad Z = \sum_i\eu^{-E_i/k_BT} ,
$$

donde la suma $Z$ (la *función de partición*) normaliza las probabilidades; dos estados (o dos niveles de igual degeneración) están poblados en la razón $N_2/N_1 = \eu^{-(E_2 - E_1)/k_BT}$; y para una variable continua (una posición, una velocidad) la densidad de probabilidad es proporcional a $\eu^{-E/k_BT}$ en esa variable. A $300\,\mathrm{K}$, $k_BT = 4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.026\,\mathrm{eV}$: todo lo que cuesta mucho más que esto es raro, y todo lo que cuesta mucho menos se excita libremente.

**Demostración.** La ley barométrica es el factor para la energía potencial $mgz$; admitimos su generalidad, pero he aquí el argumento (hecho riguroso en el volumen del tercer año). El termostato $R$ es grande; cuando nuestro sistema pequeño está en un estado de energía $E$, el termostato tiene la energía $E_{\text{tot}} -
E$, y puede estar en $\Omega_R(E_{\text{tot}} - E)$ estados microscópicos, todos igual de probables (el postulado fundamental para un conjunto aislado). Así que $p(E) \propto \Omega_R(E_{\text{tot}} - E)$. Con la definición de Boltzmann de la entropía, $S_R = k_B\ln\Omega_R$, y $1/T = \dd S_R/\dd E_R$ para el termostato, $\ln\Omega_R(E_{\text{tot}} - E) \approx \ln\Omega_R(E_{\text{tot}})
- E/k_BT$ porque $E \ll E_{\text{tot}}$; tómese la exponencial. ∎

**Ejemplo 29.3 (Poblaciones de los niveles atómicos).**

El primer nivel excitado del hidrógeno está $10.2\,\mathrm{eV}$ por encima del fundamental: a $300\,\mathrm{K}$, $\eu^{-395}$ — ni un átomo en el universo; a $6000\,\mathrm{K}$, la superficie del Sol, $\eu^{-19.7} \approx 3 \times 10^{-9}$ (por una degeneración de $4$): bastante, en la enorme columna de gas del Sol, para las rayas de absorción de Balmer, que son más intensas en estrellas cercanas a $10\,000\,\mathrm{K}$. La raya D del sodio ($2.1\,\mathrm{eV}$) en una llama a $2500\,\mathrm{K}$: $\eu^{-9.8} = 6
\times 10^{-5}$ de los átomos están excitados, lo que da la llama amarilla de una pizca de sal. Y el medio láser de [Capítulo 23](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/23-el-laser-emision-estimulada-y-haces-gaussianos#ch-b2-laser): el factor dice que su nivel superior está vacío en el equilibrio, y el bombeo debe pelear contra él.

## 29.3 Niveles discretos: el sistema de dos niveles y el oscilador

**Proposición 29.4 (Energía media a partir de la función de partición).**

Con $\beta = 1/k_BT$,

$$
\langle E\rangle = \sum_ip_iE_i = -\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}, \qquad
C = \frac{\dd\langle E\rangle}{\dd T} .
$$

**Demostración.** $\partial_\beta Z = -\sum E_i\eu^{-\beta E_i}$; divídase por $Z$. ∎

**Proposición 29.5 (Sistema de dos niveles).**

$N$ sistemas independientes con dos niveles $0$ y $\varepsilon$ (espines en un campo, átomos con un nivel excitado, defectos con dos posiciones):

$$
\frac{N_2}{N} = \frac{1}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad
\langle E\rangle = \frac{N\varepsilon}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad
C = Nk_B\,\frac{x^2\eu^x}{(\eu^x + 1)^2}, \quad x = \frac{\varepsilon}{k_BT} .
$$

El nivel superior está vacío a temperatura baja y a lo sumo medio lleno a temperatura alta (nunca invertido en el equilibrio); la capacidad calorífica se anula en ambos extremos y pasa por un máximo de $0.44\,Nk_B$ cerca de $k_BT = 0.42
\varepsilon$ — la *anomalía de Schottky*, la firma de una brecha en el espectro.

**Demostración.** $Z = 1 + \eu^{-x}$; $p_2 = \eu^{-x}/(1 + \eu^{-x})$; derívese $\langle
E\rangle$ respecto de $T$. ∎

![El sistema de dos niveles: poblaciones frente a la temperatura (el nivel superior se llena hasta la mitad, nunca más) y la capacidad calorífica de Schottky, una joroba allí donde k_BT iguala a la brecha.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-80dfba074570.svg)

*El sistema de dos niveles: poblaciones frente a la temperatura (el nivel superior se llena hasta la mitad, nunca más) y la capacidad calorífica de Schottky, una joroba allí donde $k_BT$ iguala a la brecha.*

**Proposición 29.6 (El oscilador cuántico y la fórmula de Planck).**

Un oscilador armónico de frecuencia $\nu$ tiene los niveles $E_n = nh\nu$ (más una constante); a la temperatura $T$,

$$
Z = \frac{1}{1 - \eu^{-h\nu/k_BT}}, \qquad
\langle E\rangle = \frac{h\nu}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1}
\ \longrightarrow\
\begin{cases} k_BT & (h\nu \ll k_BT), \\ h\nu\,\eu^{-h\nu/k_BT} & (h\nu \gg k_BT). \end{cases}
$$

Esta es la energía media de un modo del campo de radiación que la ley de Planck ([Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/26-radiacion-termica#ch-b2-thermal-radiation)) multiplica por el número de modos, y la energía media de una vibración en un sólido: a temperatura alta el $k_BT$ clásico, y a temperatura baja un modo congelado.

**Demostración.** Serie geométrica y después $-\partial_\beta\ln Z$. ∎

**Ejemplo 29.7 (Capacidad calorífica de los sólidos).**

Trátese cada átomo de un sólido como tres osciladores de la misma frecuencia $\nu$ (Einstein, 1907): $C = 3Nk_B\,x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$ con $x =
h\nu/k_BT$. Por encima de $\theta_{\text{E}} = h\nu/k_B$, $C \to 3Nk_B = 3R$ por mol — la ley de Dulong y Petit ($25\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$), que cumplen el plomo, el cobre y el hierro a temperatura ambiente; muy por debajo, $C$ se desploma. El diamante ($\theta_{\text{E}} \approx 1300\,\mathrm{K}$) solo tiene $6\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$ a $300\,\mathrm{K}$, lo que la física clásica no supo explicar, y la capacidad calorífica de todo sólido se anula a baja temperatura — el primer éxito del cuanto fuera de la radiación.

## 29.4 Equipartición y distribución de Maxwell

**Teorema 29.8 (Equipartición de la energía).**

Toda variable $q$ que entra cuadráticamente en la energía, $E = aq^2 +
\dots$, y recorre todos los valores reales, aporta $\tfrac12k_BT$ a la energía media en el equilibrio:

$$
\langle aq^2\rangle = \tfrac12k_BT .
$$

Un gas monoatómico (tres traslaciones) tiene $U = \tfrac32Nk_BT$ y $C_V =
\tfrac32R$ por mol; un gas diatómico añade dos rotaciones, $C_V = \tfrac52R$, y su vibración (dos términos cuadráticos, pero cuantizada con $h\nu \gg
k_BT$ a temperatura ambiente) sigue congelada hasta unos miles de kelvin.

**Demostración.** La densidad de probabilidad en $q$ vale $\propto\eu^{-aq^2/k_BT}$, una gaussiana:

$$
\langle aq^2\rangle = \frac{\int aq^2\,\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q}{\int\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q} = \tfrac12k_BT
$$

(derívese $\int\eu^{-\lambda q^2}\dd q = \sqrt{\pi/\lambda}$ respecto de $\lambda$). El resultado necesita el continuo: cuando los niveles distan más de $k_BT$, el factor congela la variable, como para el oscilador de antes. ∎

**Teorema 29.9 (Distribución de celeridades de Maxwell).**

En un gas a $T$, las componentes de la velocidad son gaussianas independientes de varianza $k_BT/m$, y la celeridad $v = |\vect v|$ tiene la densidad de probabilidad

$$
f(v) = 4\pi\Big(\frac{m}{2\pi k_BT}\Big)^{3/2}v^2\,\eu^{-mv^2/2k_BT} ,
$$

con las celeridades más probable, media y cuadrática media

$$
v_{\text{p}} = \sqrt{\frac{2k_BT}{m}}, \qquad
\langle v\rangle = \sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}, \qquad
v_{\text{cm}} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}} ,
$$

en las razones $1 : 1.13 : 1.22$. Para el nitrógeno a $300\,\mathrm{K}$: $422\,$, $476\,$, $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; para el hidrógeno, $3.7$ veces más; la cola de la distribución, $\propto\eu^{-mv^2/2k_BT}$, es la que deja que las moléculas más rápidas se evaporen, reaccionen o abandonen un planeta.

**Demostración.** La energía cinética $\tfrac12m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$ da un factor $\eu^{-mv_x^2/2k_BT}\eu^{-mv_y^2/2k_BT}\eu^{-mv_z^2/2k_BT}$: tres gaussianas independientes, normalizada cada una por $\sqrt{m/2\pi k_BT}$. La distribución de celeridades recoge todas las velocidades de la corteza de radio $v$ y volumen $4\pi v^2\dd v$. Después, $v_{\text{p}}$ sale de $\dd f/\dd v = 0$, y los momentos de $\int_0^\infty v^3\eu^{-av^2}\dd v = 1/2a^2$, $\int_0^\infty
v^4\eu^{-av^2}\dd v = \tfrac38\sqrt{\pi/a^5}$; $v_{\text{cm}}$ se sigue también de la equipartición, $\tfrac12m\langle v^2\rangle = \tfrac32k_BT$. ∎

![La distribución de celeridades de Maxwell para el nitrógeno a tres temperaturas: el máximo se mueve como √ T, la curva se ensancha y la cola de altas celeridades es la que más crece — la cola que decide el escape y las velocidades de reacción.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-96188bb66847.svg)

*La distribución de celeridades de Maxwell para el nitrógeno a tres temperaturas: el máximo se mueve como $\sqrt T$, la curva se ensancha y la cola de altas celeridades es la que más crece — la cola que decide el escape y las velocidades de reacción.*

**Ejemplo 29.10 (Quién abandona el planeta).**

La velocidad de escape de la Tierra vale $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. En la exosfera, cerca de $1000\,\mathrm{K}$, el helio tiene $v_{\text{p}} = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: la fracción de átomos por encima de la velocidad de escape es del orden de $\eu^{-(11.2/2.0)^2} = \eu^{-31}
\approx 10^{-13}$ — pequeña, pero renovada en cada colisión durante miles de millones de años: el helio se fuga, y su abundancia en el aire es de solo $5\,\mathrm{ppm}$ pese a su producción constante por desintegración radiactiva. Para el nitrógeno el exponente es siete veces mayor, $\eu^{-220}$: el nitrógeno se queda. En la Luna ($v_{\text{esc}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$), incluso el nitrógeno a $400\,\mathrm{K}$ ($v_{\text{p}} = 490\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) tiene $\eu^{-24}$ por tiempo de colisión: en la edad del sistema solar no sobrevive atmósfera alguna.

## 29.5 Paramagnetismo y ley de Curie

**Proposición 29.11 (Paramagnético de espín 1/2).**

$N$ momentos magnéticos independientes que solo pueden apuntar a favor o en contra del campo $B$, con energías $\mp\mu B$, tienen a la temperatura $T$ el momento medio y la imanación

$$
\langle\mu_z\rangle = \mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT}, \qquad
M = n\mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT}
\ \longrightarrow\
\begin{cases} n\mu^2B/k_BT & (\mu B \ll k_BT):\ \text{ley de Curie}, \\ n\mu & (\mu B \gg k_BT):\ \text{saturación}. \end{cases}
$$

La susceptibilidad $\chi = \mu_0M/B = \mu_0n\mu^2/k_BT$ varía como $1/T$ (*ley de Curie*); con $\mu = \mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$, $\mu B/k_BT = 2.2 \times 10^{-3}$ a $1\,\mathrm{T}$ y $300\,\mathrm{K}$, así que los paramagnéticos corrientes apenas se imanan; a $1\,\mathrm{K}$ el mismo campo da $0.67$ y empieza la saturación.

**Demostración.** $p_\pm \propto\eu^{\pm\mu B/k_BT}$: $\langle\mu_z\rangle = \mu(\eu^x - \eu^{-x})/(\eu^x +
\eu^{-x})$ con $x = \mu B/k_BT$; $\tanh x \approx x$ para $x$ pequeña. ∎

![Imanación de un paramagnético de espín 1/2: lineal en B/T a campos pequeños (Curie) y saturada cuando B supera a k_BT — lo que se alcanza a un tesla solo por debajo de un kelvin, lo que hace de la curva un termómetro para los experimentos más fríos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-eadfdeadbd6d.svg)

*Imanación de un paramagnético de espín 1/2: lineal en $B/T$ a campos pequeños (Curie) y saturada cuando $\mu B$ supera a $k_BT$ — lo que se alcanza a un tesla solo por debajo de un kelvin, lo que hace de la curva un termómetro para los experimentos más fríos.*

**Observación 29.12 (Lo que el factor no hace).**

El factor de Boltzmann describe el *equilibrio* a una temperatura; no dice nada de las velocidades de proceso (con qué rapidez se alcanza el equilibrio — aunque una energía de activación $E_{\text{a}}$ da ritmos $\propto\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$, la ley de Arrhenius que se vio para la difusión en sólidos). Se aplica a subsistemas independientes o al conjunto; para partículas cuánticas idénticas a densidad alta (electrones en un metal, fotones, helio cerca del cero absoluto) lo sustituyen las distribuciones de Fermi–Dirac y de Bose–Einstein del volumen del tercer año, de las que es el límite diluido.

**Método 29.13 (Estimaciones de Boltzmann).**

(1) Calcúlese $E/k_BT$; $k_BT = 0.026\,\mathrm{eV}$ a $300\,\mathrm{K}$ y $1\,\mathrm{eV}$ a $11\,600\,\mathrm{K}$. (2) Razones de poblaciones: $\eu^{-\Delta E/k_BT}$ (por las degeneraciones). (3) Niveles discretos: $Z$, luego $\langle E\rangle =
-\partial_\beta\ln Z$ y después $C$. (4) Variables continuas cuadráticas: $\tfrac12k_BT$ cada una, si no están congeladas. (5) Celeridades: $v_{\text{p}} = \sqrt{2k_BT/m}$ y la cola gaussiana. (6) Espines: $\tanh(\mu B/k_BT)$, el $1/T$ de Curie.

## 29.6 Ejercicios

**Ejercicio 29.1 ★.**

[Altura de escala](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) del aire a $288\,\mathrm{K}$ ($M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$); presión a $3000\,\mathrm{m}$, a $8849\,\mathrm{m}$ y a $10\,\mathrm{km}$ (compárese con los $0.26\,\mathrm{bar}$ medidos); [altura de escala](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) del helio solo; y la de la atmósfera marciana (CO$_2$, $210\,\mathrm{K}$, $g = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

**Solución de Ejercicio 29.1.**

$H = k_BT/mg = 8.4\,\mathrm{km}$; $0.70\,$, $0.35\,$, $0.30\,\mathrm{bar}$ (los $0.26\,$ reales: el aire se enfría con la altura); helio $61\,\mathrm{km}$; Marte $10.7\,\mathrm{km}$.

**Ejercicio 29.2 ★.**

Poblaciones: el nivel $n = 2$ del hidrógeno ($10.2\,\mathrm{eV}$, degeneración $4$ frente a $1$) a $300\,\mathrm{K}$, $6000\,\mathrm{K}$ y $10\,000\,\mathrm{K}$; el nivel de $2.1\,\mathrm{eV}$ del sodio en una llama a $2500\,\mathrm{K}$; un nivel de rotación molecular a $1 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}$ a $300\,\mathrm{K}$; y un nivel de espín nuclear desdoblado $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ en un imán a $300\,\mathrm{K}$.

**Solución de Ejercicio 29.2.**

Hidrógeno: $4\eu^{-395} \approx 10^{-171}$; $4\eu^{-19.7} = 10^{-8}$; $4\eu^{-11.8} = 3 \times
10^{-5}$. Sodio: $\eu^{-9.8} = 6 \times 10^{-5}$. Rotación: $\eu^{-0.04} = 0.96$, casi iguales. Espín nuclear: $1 - 4 \times 10^{-6}$ — la polarización minúscula con la que trabaja la resonancia magnética.

**Ejercicio 29.3 ★.**

Celeridades de Maxwell ($v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{cm}}$) para N$_2$ a $300\,\mathrm{K}$ y $77\,\mathrm{K}$, para H$_2$ a $300\,\mathrm{K}$ y para una partícula de humo de $1 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}$. Fracción de moléculas más rápidas que $2v_{\text{p}}$ (cerca del $4.6\%$) y que $3v_{\text{p}}$ (cerca de $4 \times 10^{-4}$): coméntese la cola.

**Solución de Ejercicio 29.3.**

N$_2$ a $300\,\mathrm{K}$: $422\,$, $476\,$, $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; a $77\,\mathrm{K}$: $214\,$, $241\,$, $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; H$_2$: $1580\,$, $1780\,$, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; partícula de humo: $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ (su tiritona browniana). Por encima de $2v_{\text{p}}$, una molécula de cada veinte; por encima de $3v_{\text{p}}$, una de cada $2500$ — todavía $10^{22}$ por metro cúbico.

**Ejercicio 29.4 ★.**

Momentos de espín 1/2 con $\mu = \mu_B$, $n = 1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $B = 1\,\mathrm{T}$: $x = \mu B/k_BT$ a $300\,\mathrm{K}$ y a $1\,\mathrm{K}$; $M/M_{\text{sat}}$; $M_{\text{sat}}$; y la susceptibilidad a $300\,\mathrm{K}$. Compárese con la imanación de saturación del hierro ($1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$).

**Solución de Ejercicio 29.4.**

$x = 2.2 \times 10^{-3}$ y $0.67$; $M/M_{\text{sat}} = 2.2 \times 10^{-3}$ y $0.59$; $M_{\text{sat}} = n\mu = 9.3 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$; $\chi = \mu_0n\mu^2/k_BT = 2.6 \times 10^{-4}$. Los $1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ del hierro son cooperativos, no un efecto de Boltzmann.

**Ejercicio 29.5 ★★.**

*Dos niveles.* (a) Dedúzcanse $p_1$, $p_2$ y $\langle E\rangle$ a partir de $Z$. (b) Muéstrese que $N_2 < N_1$ a cualquier temperatura positiva; ¿qué significaría $N_2 >
N_1$ para $T$? (c) Entropía $S = -Nk_B\sum p_i\ln p_i$ del sistema para $T \to 0$ y $T \to \infty$. (d) Un defecto de un cristal puede estar en dos posiciones separadas $0.05\,\mathrm{eV}$: ocupación de la superior a $300\,\mathrm{K}$ y a $77\,\mathrm{K}$.

**Solución de Ejercicio 29.5.**

(a) [Proposición 29.5](#prop-b2-boltzmann-factor-twolevel). (b) $\eu^{-x} < 1$ para $T > 0$; $N_2 > N_1$ exigiría $T < 0$ — una [inversión de población](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/23-el-laser-emision-estimulada-y-haces-gaussianos#prop-b2-laser-gain). (c) $0$ y $Nk_B\ln 2$. (d) $x = 1.93$: $0.13$; a $77\,\mathrm{K}$, $x = 7.5$: $5 \times 10^{-4}$.

**Ejercicio 29.6 ★★.**

*Schottky.* (a) Dedúzcase $C(T)$ del sistema de dos niveles. (b) Localícese su máximo numéricamente ($x = 2.40$) y su valor. (c) Límites a baja y a alta $T$, con su significado físico. (d) Los espines nucleares del cobre en $1\,\mathrm{T}$ tienen $\varepsilon \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$: ¿a qué temperatura queda su pico de Schottky y por qué importa para los criostatos más fríos?

**Solución de Ejercicio 29.6.**

(a) Derivada de $N\varepsilon/(\eu^x + 1)$. (b) $x = 2.40$, $C = 0.44\,Nk_B$. (c) $\propto x^2\eu^{-x} \to 0$: congelado; $\propto 1/T^2 \to 0$: ambos niveles llenos, sin nada que absorber. (d) $k_BT = 0.42\varepsilon$: $0.5\,\mathrm{mK}$; por debajo de un milikelvin los espines nucleares acaparan casi toda la capacidad calorífica y frenan cualquier enfriamiento.

**Ejercicio 29.7 ★★.**

*La equipartición y su fracaso.* (a) Dedúzcase $\langle aq^2\rangle =
k_BT/2$ con la integral gaussiana. (b) $C_V$ de un gas monoatómico y de uno diatómico rígido. (c) La vibración del nitrógeno tiene $h\nu/k_B = 3400\,\mathrm{K}$: con la energía media del oscilador, $C_V$ a $300\,\mathrm{K}$, $1000\,\mathrm{K}$ y $3000\,\mathrm{K}$. (d) Sólido de Einstein: $C$ en $T = \theta_{\text{E}}$, $\theta_{\text{E}}/4$ y $4\theta_{\text{E}}$ en unidades de $3R$; el diamante a temperatura ambiente.

**Solución de Ejercicio 29.7.**

(a) [Teorema 29.8](#thm-b2-boltzmann-factor-equipartition). (b) $\tfrac32R$ y $\tfrac52R$. (c) $C_{\text{vib}}/R = x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$: $0.002$, $0.41$, $0.90$; $C_V = 2.50R$, $2.91R$, $3.40R$. (d) $0.92$, $0.30$, $0.995$; diamante con $x = 4.3$: $0.26 \times 3R = 6.5\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$.

**Ejercicio 29.8 ★★.**

*Maxwell en detalle.* (a) Muéstrese que las componentes de la velocidad son gaussianas independientes y dedúzcase $f(v)$. (b) Calcúlense $v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$ y $v_{\text{cm}}$. (c) Energía cinética media: compruébese con la equipartición. (d) El flujo de moléculas que golpean una pared vale $\tfrac14n\langle v\rangle$ por unidad de área y de tiempo (admitido): número de moléculas de N$_2$ que golpean $1\,\mathrm{cm}^{2}$ por segundo a $1\,\mathrm{bar}$ y $300\,\mathrm{K}$; y el ritmo con que un agujerito de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ deja entrar aire en una cámara de vacío (efusión).

**Solución de Ejercicio 29.8.**

(a) y (b) [Teorema 29.9](#thm-b2-boltzmann-factor-maxwell). (c) $\tfrac32k_BT$. (d) $\tfrac14n\langle v\rangle = 2.9 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$: $3 \times 10^{23}$ por centímetro cuadrado y segundo; por $7.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}$: $2.3 \times 10^{15}$ moléculas por segundo, una fuga de $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 29.9 ★★.**

*Escape.* (a) Fracción de un gas de Maxwell más rápida que $v$: muéstrese que vale aproximadamente $(2/\sqrt\pi)\,x\,\eu^{-x^2}$ para $x = v/v_{\text{p}} \gg 1$. (b) Helio a $1000\,\mathrm{K}$ por encima de $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; y nitrógeno. (c) Luna, $v_{\text{esc}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $400\,\mathrm{K}$: nitrógeno, y qué temperatura lo retendría durante la edad del sistema solar (tómense $10^{17}$ tiempos de colisión: fracción de escape por debajo de $10^{-17}$). (d) ¿Por qué conserva Titán ($2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $94\,\mathrm{K}$) una atmósfera espesa de nitrógeno?

**Solución de Ejercicio 29.9.**

(a) Intégrese $f$ por partes; el término dominante es $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$. (b) Helio con $x = 5.5$: $5 \times 10^{-13}$; nitrógeno con $x = 14.5$: $\eu^{-211}$. (c) $x =
4.9$: $10^{-10}$ por tiempo de colisión — desaparecido; $10^{-17}$ exige $x \approx 6.6$, $T \lesssim 230\,\mathrm{K}$. (d) $x = 11$: $\eu^{-121}$; bastante frío.

**Ejercicio 29.10 ★★★.**

*Otros potenciales.* (a) En una centrifugadora que gira a $\omega$, la energía potencial efectiva vale $-\tfrac12m\omega^2r^2$: perfil de densidad $n(r)$. (b) Hexafluoruro de uranio, dos isótopos con $\Delta m = 3\,\mathrm{u}$, $\omega
= 2\pi \times 1000\,\mathrm{Hz}$, $r = 10\,\mathrm{cm}$, $300\,\mathrm{K}$: factor de enriquecimiento de una etapa. (c) Esferas coloidales (de masa aparente $m' =
2.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$) en agua a $293\,\mathrm{K}$: [altura de escala](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) de su equilibrio de sedimentación; ¿cómo dio esto el número de Avogadro? (d) Un gas de electrones en un campo $E$: ¿por qué es el perfil de Boltzmann $\eu^{eEx/k_BT}$ la base de la longitud de apantallamiento de Debye $\lambda_{\text{D}} = \sqrt{\varepsilon_0k_BT/ne^2}$ de un [plasma](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#def-b2-waves-in-media-plasma) (esbócese el argumento)?

**Solución de Ejercicio 29.10.**

(a) $n = n_0\eu^{m\omega^2r^2/2k_BT}$. (b) $\eu^{\Delta m\omega^2r^2/2k_BT} = \eu^{0.24} =
1.27$. (c) $H = k_BT/m'g = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$; contar esferas a varias alturas da $k_B$ y, con él, $N_A = R/k_B$. (d) Los iones siguen $\eu^{\mp e\varphi/k_BT}$ alrededor de una carga; linealizado en la [ecuación de Poisson](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/11-las-ecuaciones-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-potentials) esto da $\varphi'' = \varphi/\lambda_{\text{D}}^2$: el potencial queda apantallado más allá de $\lambda_{\text{D}}$.

**Ejercicio 29.11 ★★★.**

*Planck a partir de Boltzmann.* (a) Calcúlense $Z$ y $\langle E\rangle$ para los niveles $nh\nu$. (b) Los dos límites y su significado. (c) Multiplíquese por la densidad de modos $8\pi\nu^2/c^3$ (dada) y recupérese la ley de Planck; muéstrese que la ley de Rayleigh–Jeans es la equipartición aplicada a cada modo. (d) ¿Por qué falla el recuento clásico, en una frase?

**Solución de Ejercicio 29.11.**

(a) $Z = 1/(1 - \eu^{-x})$, $\langle E\rangle = h\nu/(\eu^x - 1)$. (b) $k_BT$: equipartición; $h\nu\eu^{-h\nu/k_BT}$: congelado. (c) $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\langle E
\rangle$; Rayleigh–Jeans da $k_BT$ a cada modo. (d) Un modo no puede excitarse con menos de un cuanto.

**Ejercicio 29.12 ★★★.**

*Desimanación adiabática.* La entropía de $N$ espines 1/2 vale $S =
Nk_B[\ln(2\cosh x) - x\tanh x]$, $x = \mu B/k_BT$. (a) Muéstrese que solo depende de $B/T$, con $S \to Nk_B\ln 2$ para $B/T \to 0$ y $S \to 0$ para $B/T
\to \infty$. (b) Una sal a $1\,\mathrm{K}$ se imana isotérmicamente de $0$ a $1\,\mathrm{T}$: entropía retirada (por espín, con $\mu = \mu_B$). (c) El campo se reduce después adiabáticamente hasta $0.01\,\mathrm{T}$: temperatura final. (d) ¿Qué limita el método y cómo sirve de termómetro la misma curva de $\tanh$?

**Solución de Ejercicio 29.12.**

(a) Solo $x = \mu B/k_BT$; $\ln 2$ y $0$. (b) $x = 0.67$: $S/Nk_B = 0.51$, luego se retiran $0.18\,k_B$ por espín. (c) Con $B/T$ constante: $10\,\mathrm{mK}$. (d) El campo propio de los espines (milésimas de tesla) sustituye a $B$ al final y limita el enfriamiento; medir $M = n\mu\tanh(\mu B/k_BT)$ da $T$.

![Ludwig Boltzmann (1844–1906), cuyo factor -E/k_BT es el objeto de este capítulo y cuya fórmula S = k_B está grabada en su tumba de Viena.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/img-5b755e943a8d.jpg)

*Ludwig Boltzmann (1844–1906), cuyo factor $\eu^{-E/k_BT}$ es el objeto de este capítulo y cuya fórmula $S = k_B\ln\Omega$ está grabada en su tumba de Viena.*

## 29.7 Problema: la atmósfera isoterma, la fuga del helio y un termómetro de espines

**Problema 29.1.**

Problema de fin de semana — tres usos de una sola exponencial

Datos: $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $g =
9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $R_{\oplus} = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $\mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$; aire $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, helio $4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, nitrógeno $28\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$.

**Parte I — La atmósfera isoterma.**

1. A partir de la hidrostática y de la ley del gas perfecto, dedúzcase $P(z) =  P_0\eu^{-z/H}$ y dese $H$ para el aire a $288\,\mathrm{K}$ .
2. Identifíquese el factor de Boltzmann en el resultado: ¿qué energía y qué temperatura?
3. Presión a $3000\,\mathrm{m}$ , $5500\,\mathrm{m}$ y $8849\,\mathrm{m}$ ; la altitud a la que la presión se reduce a la mitad.
4. Masa de la atmósfera por metro cuadrado (a partir de $P_0 =  1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ) y masa total; compruébese que $\int_0^\infty  \rho\,\dd z = \rho_0H$ .
5. Número de moléculas de la atmósfera.
6. Si cada gas siguiera su propia $H$ , ¿cuál sería la razón O $_2$ /N $_2$ a $50\,\mathrm{km}$ comparada con la del suelo? ¿Por qué es de hecho uniforme la composición hasta $100\,\mathrm{km}$ ?
7. La troposfera real se enfría $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : ¿es la presión a $10\,\mathrm{km}$ mayor o menor que la estimación isoterma? Explíquese.
8. [Densidad numérica](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/24-difusion-de-particulas#def-b2-particle-diffusion-flux) al nivel del mar y a $100\,\mathrm{km}$ (modelo isotermo, $288\,\mathrm{K}$ ): coméntese lo del “borde del espacio”.

**Parte II — La fuga del helio.** La exosfera, por encima de $500\,\mathrm{km}$, está a unos $1000\,\mathrm{K}$ y sin colisiones: una molécula que suba más deprisa que la velocidad de escape se marcha.

9. Velocidad de escape de la Tierra a esa altitud.
10. Celeridades más probable y media del helio y del nitrógeno a $1000\,\mathrm{K}$ .
11. Fracción de átomos de helio con $v > v_{\text{esc}}$ (úsese $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$ ); lo mismo para el nitrógeno.
12. El flujo de helio que escapa vale aproximadamente $\tfrac14n_{\text{He}}\langle  v\rangle \times$ (esa fracción) $\times\tfrac12$ ; con $n_{\text{He}}  = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ en la exobase, estímese la pérdida por metro cuadrado y segundo, y por año para toda la Tierra.
13. El helio del aire son $5\,\mathrm{ppm}$ en volumen: helio total de la atmósfera y su tiempo de residencia frente a la pérdida calculada.
14. La radiactividad de la corteza produce unos $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ de helio al año: ¿está el helio atmosférico en [régimen estacionario](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/27-balances-termodinamicos-y-sistemas-abiertos#def-b2-open-systems-cv) , y qué enseña la comparación con la pregunta 11?
15. En el máximo solar la exosfera llega a $2000\,\mathrm{K}$ : ¿en qué factor sube la fracción de helio que escapa?
16. ¿Por qué no tiene atmósfera la Luna, y Titán (escape a $2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $94\,\mathrm{K}$ ) la tiene espesa?

**Parte III — Un termómetro de espines.** Una sal paramagnética contiene $n = 2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ espines 1/2 con $\mu
= \mu_B$, en un campo $B$.

17. Poblaciones de los dos niveles e imanación $M(B,T)$ .
18. Con $B = 0.1\,\mathrm{T}$ : $M$ a $300\,\mathrm{K}$ , $4\,\mathrm{K}$ y $0.05\,\mathrm{K}$ ; ¿dónde vale la [ley de Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) ?
19. ¿Por qué es $M$ un termómetro y en qué intervalo es más sensible? ¿Qué se mide en la práctica?
20. Energía media y capacidad calorífica de los espines (Schottky); temperatura del pico con $0.1\,\mathrm{T}$ .
21. Entropía de los espines a temperatura alta y a temperatura nula; ¿qué “orden” aparece cuando $T \to 0$ ?
22. Desimanación adiabática de $1\,\mathrm{K}$ y $1\,\mathrm{T}$ hasta $0.01\,\mathrm{T}$ : temperatura final; ¿por qué hacer $B \to 0$ no puede dar $T \to 0$ ?
23. Un termómetro de espines nucleares usa $\mu_{\text{N}} = \mu_B/1836$ : a $1\,\mathrm{T}$ , ¿hasta qué temperatura vale la [ley de Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) y por qué se usa un termómetro así en el intervalo de los microkelvin?
24. Compárese con la anchura Doppler de una raya espectral (a partir de la distribución de Maxwell) como termómetro de gases: ¿qué magnitud y cómo escala con $T$ ?
25. Resúmase: los tres sistemas y la única fórmula.

**Solución de Problema 29.1.**

**1.** $\dd P/\dd z = -nmg = -(mg/k_BT)P$; $H = 8.4\,\mathrm{km}$.

**2.** $\eu^{-mgz/k_BT}$: la energía potencial de una molécula y la temperatura del aire.

**3.** $0.70\,$, $0.52\,$, $0.35\,\mathrm{bar}$; $H\ln 2 = 5.8\,\mathrm{km}$.

**4.** $P_0/g = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$; $\times 4\pi R^2$: $5.3 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$; $\rho_0H =
1.22 \times 8400 = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$.

**5.** $5.3 \times 10^{18}/(29 \times 10^{-3}/N_A) = 1.1 \times 10^{44}$.

**6.** $H_{\text{O}_2} = 7.6$, $H_{\text{N}_2} = 8.7\,\mathrm{km}$: la razón a $50\,\mathrm{km}$ sería $\eu^{-50/7.6 + 50/8.7} = 0.44$ de su valor en el suelo; la turbulencia mezcla más deprisa de lo que separa la difusión.

**7.** Menor: el aire frío es más denso y la presión cae más deprisa.

**8.** $2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$; $\eu^{-11.9}$: $1.7 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ — no hay borde, solo un convenio.

**9.** $11.2\sqrt{6370/6870} = 10.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**10.** Helio $2040\,$ y $2300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; nitrógeno $770\,$ y $870\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**11.** $x = 5.3$: $4 \times 10^{-12}$; nitrógeno $\eu^{-196}$: ninguno.

**12.** $\tfrac14 \times 10^{12} \times 2300 \times 4 \times 10^{-12} \times \tfrac12 \approx
10^3$ átomos por metro cuadrado y segundo; para toda la Tierra y un año, $2 \times 10^{25}$ átomos — $0.1\,\mathrm{kg}$.

**13.** $5 \times 10^{-6} \times 1.1 \times 10^{44} = 5.5 \times 10^{38}$ átomos, $3.7 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$; frente a $0.1\,\mathrm{kg}$ al año, el tiempo de residencia sería absurdo.

**14.** El [régimen estacionario](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/27-balances-termodinamicos-y-sistemas-abiertos#def-b2-open-systems-cv) exige una pérdida de $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ al año: un tiempo de residencia de cerca de un millón de años, que es el valor aceptado — así que la estimación térmica a $1000\,\mathrm{K}$ se queda muy corta: la fuga la dominan los episodios más calientes y los procesos no térmicos (iónicos).

**15.** $x = 3.75$: $\eu^{-14}$ en vez de $\eu^{-28}$ — un factor $10^6$: la pérdida es extraordinariamente sensible a la temperatura de la exosfera.

**16.** La Luna es caliente y ligera: todo escapa en tiempo geológico; Titán es frío, con $x = 11$ para el nitrógeno.

**17.** $p_\pm = \eu^{\pm x}/2\cosh x$; $M = n\mu\tanh x$.

**18.** $x = \mu B/k_BT$: $4.2\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, $310\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, $1.6 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ (saturación $1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$); Curie para $x \ll 1$, es decir, $T \gg 70\,\mathrm{mK}$.

**19.** $M$ depende solo de $T$ una vez conocido $B$; con la mayor pendiente cerca de $x \approx 1$, $T \approx \mu B/k_B = 70\,\mathrm{mK}$; se mide la susceptibilidad con una bobina.

**20.** $\langle E\rangle = -N\mu B\tanh x$; $C = Nk_Bx^2/\cosh^2x$, con el máximo en $x = 1.2$: $56\,\mathrm{mK}$.

**21.** $Nk_B\ln 2$ y $0$: todos los espines se alinean con el campo.

**22.** $10\,\mathrm{mK}$; el campo propio de los espines, de una milésima de tesla, sustituye a $B$ y fija el suelo.

**23.** $x = 1$ para $\mu_{\text{N}}B/k_B = 0.37\,\mathrm{mK}$: Curie vale hasta un milikelvin, y el termómetro es útil hasta los microkelvin.

**24.** $\Delta\nu/\nu = \sqrt{8k_BT\ln2/mc^2} \propto \sqrt T$: la anchura de una raya mide la temperatura del gas.

**25.** Atmósfera, gas que escapa y espines: $\eu^{-E/k_BT}$ con $E = mgz$, $\tfrac12mv^2$ y $\mp\mu B$.