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title: "Fluidos perfectos: Euler y Bernoulli"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/3-fluidos-perfectos-euler-y-bernoulli
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# Capítulo 3 — Fluidos perfectos: Euler y Bernoulli

Sujétese una hoja de papel por un borde y sóplese por encima: se levanta. Ábrase el grifo de la ducha y la cortina se mete hacia dentro. Un ala sostiene trescientas toneladas porque el aire circula más deprisa por su extradós que por su intradós. Los tres casos dicen lo mismo: *donde un fluido se mueve más deprisa, su presión es menor*. Este capítulo escribe la segunda ley de Newton para una [partícula de fluido](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-particle) en el modelo más sencillo — el fluido *perfecto*, que siente la presión pero no el rozamiento — y extrae de ella el [teorema de Bernoulli](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli), el balance energético de una [línea de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler), cuyas aplicaciones van del caudalímetro de una tubería al indicador de velocidad de un avión.

## 3.1 La ecuación de Euler

**Proposición 3.1 (Fuerza de presión sobre una partícula de fluido).**

La resultante de las fuerzas de presión que el fluido circundante ejerce sobre una partícula de volumen $\dd\tau$ vale

$$
\dd\vect F_P = -\operatorname{\vect{grad}}P\,\dd\tau :
$$

la presión actúa como una fuerza volumétrica de densidad $-\operatorname{\vect{grad}}P$, que empuja desde las presiones altas hacia las bajas.

**Demostración.** Sobre la caja de [Teorema 2.8](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#thm-b2-fluid-kinematics-continuity), las caras situadas en $x$ y en $x + \dd x$ reciben $+P(x)\dd y\dd z$ y $-P(x + \dd x)\dd y\dd z$ según $x$: en total $-\partial_xP\,\dd x\dd y\dd z$; e igual para $y$ y $z$. ∎

**Definición 3.2 (Fluido perfecto).**

Un *fluido perfecto* es aquel en el que la única fuerza de contacto entre partículas vecinas es la presión — normal a toda superficie, sin esfuerzo tangencial (viscoso). Es una idealización válida, como explica el capítulo siguiente, lejos de las paredes y a número de Reynolds elevado: el agua de una tubería lejos de la pared, el aire en torno a un ala fuera de la delgada capa límite, una ola en el mar.

**Teorema 3.3 (Ecuación de Euler).**

En un sistema galileano, un [fluido perfecto](#def-b2-euler-bernoulli-perfect) de densidad $\rho$ sometido a la gravedad obedece, en todo punto,

$$
\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})
\vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g ,
$$

al que se añade en el segundo miembro cualquier otra densidad de fuerza volumétrica $\vect f_v$ (eléctrica, o de inercia en un sistema no galileano). En reposo se reduce a la ley hidrostática $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho\vect g$ del volumen del Año 1.

**Demostración.** Segunda ley de Newton para la partícula de masa $\rho\,\dd\tau$: su aceleración es la [derivada material](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#thm-b2-fluid-kinematics-material) ([Teorema 2.4](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#thm-b2-fluid-kinematics-material)) y las fuerzas son la resultante de presión y el peso $\rho\vect g\,\dd\tau$; divídase por $\dd\tau$. ∎

**Ejemplo 3.4 (Un depósito que acelera).**

El agua de un depósito transportado por un camión que acelera con $\vect a$ está en reposo en el sistema del camión; allí, Euler con la fuerza de inercia $-\rho\vect a$ da $\operatorname{\vect{grad}}P = \rho(\vect g - \vect a)$: la presión crece en la dirección de la “gravedad efectiva” $\vect g - \vect a$, la superficie libre (una isobara) es perpendicular a ella y se inclina hacia atrás el ángulo $\arctan(a/g)$ — $11{}^{\circ}$ para $a = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. En un cubo que gira a $\Omega$, la fuerza centrífuga $\rho\Omega^2r\,\vect e_r$ da $P = P_0 + \tfrac12\rho\Omega^2r^2 - \rho gz$ y la superficie libre es el paraboloide $z = \Omega^2r^2/2g$.

![A la izquierda, las fuerzas de presión sobre las caras de una caja de fluido no se cancelan cuando P varía: su resultante vale - gradP por unidad de volumen. En el centro y a la derecha, dos fluidos en reposo en un sistema acelerado; la superficie libre es en todo punto perpendicular a la gravedad efectiva.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-euler-bernoulli/fig-099a512c8b0f.svg)

*A la izquierda, las fuerzas de presión sobre las caras de una caja de fluido no se cancelan cuando $P$ varía: su resultante vale $-\operatorname{\vect{grad}}P$ por unidad de volumen. En el centro y a la derecha, dos fluidos en reposo en un sistema acelerado; la superficie libre es en todo punto perpendicular a la gravedad efectiva.*

## 3.2 El teorema de Bernoulli

**Teorema 3.5 (Bernoulli).**

Para un fluido *perfecto* e *incompresible*, de densidad uniforme y en régimen *estacionario*, en un sistema galileano con gravedad uniforme, la magnitud

$$
P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz
$$

es constante *a lo largo de cada [línea de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler)*. Si además el flujo es *irrotacional*, la constante es la misma en todo el fluido. El término $\tfrac12\rho v^2$ es la *[presión dinámica](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli)*; $P + \tfrac12\rho v^2$ es la *[presión de estancamiento](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli)*, la presión que alcanzaría el fluido si se lo detuviera a lo largo de su [línea de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler).

**Demostración.** Euler estacionario con $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v =
\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + \vect\omega\wedge\vect v$ y $\rho\vect g =
-\operatorname{\vect{grad}}(\rho gz)$, con $\rho$ uniforme:

$$
\operatorname{\vect{grad}}\bigl(P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz\bigr) = -\rho\,
\vect\omega\wedge\vect v .
$$

El segundo miembro es perpendicular a $\vect v$, de modo que el gradiente de la magnitud de Bernoulli no tiene componente a lo largo de la [línea de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler): la magnitud es constante sobre ella. Si $\vect\omega = \vect 0$ el gradiente se anula en todas partes. ∎

**Observación 3.6 (Lo que dice y lo que no dice Bernoulli).**

Dividido por $\rho$, el teorema dice: la energía mecánica por unidad de masa, $v^2/2 + gz$, más $P/\rho$ se conserva a lo largo del camino de una partícula. El término de presión es el trabajo que realiza *sobre* la partícula la presión del fluido que la sigue, menos el que ella realiza sobre el fluido que la precede: el teorema de la energía para una partícula empujada a través de un campo de presión sin rozamiento. Cuatro condiciones: [fluido perfecto](#def-b2-euler-bernoulli-perfect) (sin pérdida viscosa), estacionario, incompresible y *a lo largo de una [línea de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler)*. Comparar dos puntos de [líneas de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler) distintas solo está permitido en [flujo irrotacional](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-vorticity). No dice que “el aire rápido succione”: dice que una partícula que ha sido *acelerada* (por una caída de presión) está ahora a menor presión — la causa es el campo de presión, la celeridad es el efecto.

**Observación 3.7 (Fluidos compresibles).**

Para un gas la densidad varía, pero si el flujo es estacionario, perfecto e isentrópico la misma demostración da la conservación de $h + v^2/2 + gz$ a lo largo de una [línea de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler), siendo $h$ la entalpía por unidad de masa ($h = c_PT$ para un gas perfecto): la forma que se usará para toberas y turbinas en [Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/27-balances-termodinamicos-y-sistemas-abiertos#ch-b2-open-systems). A celeridades muy inferiores a la del sonido ($v \lesssim 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el aire) la densidad cambia menos de un $5\%$ y el teorema incompresible es preciso.

## 3.3 Aplicaciones

**Proposición 3.8 (El tubo de Venturi).**

En una tubería horizontal que se estrecha de la sección $S_1$ a $S_2 < S_1$, la celeridad aumenta ($v_2 = v_1S_1/S_2$, conservación de la masa) y la presión baja:

$$
P_1 - P_2 = \tfrac12\rho(v_2^2 - v_1^2) = \tfrac12\rho v_1^2\Bigl(\frac{S_1^2}{S_2^2} - 1\Bigr) ,
\qquad
D_V = S_1v_1 = S_1S_2\sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho(S_1^2 - S_2^2)}} .
$$

Medir la diferencia de presión con un manómetro da el caudal: es un *[tubo de Venturi](#prop-b2-euler-bernoulli-venturi)*. El mismo efecto hace funcionar un carburador, un pulverizador de pintura, la entrada de aire de un mechero Bunsen y la “succión” de un tren que pasa.

**Demostración.** Bernoulli a lo largo de una [línea de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler) central a altura constante, con $v_2 =
v_1S_1/S_2$; despéjese $v_1$. ∎

**Proposición 3.9 (El tubo de Pitot).**

Un tubo enfrentado a la corriente y cerrado por el extremo opuesto detiene el fluido en su boca (un *punto de estancamiento*); una segunda abertura lateral, paralela a la corriente, mide la presión estática $P$. La diferencia es la [presión dinámica](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli):

$$
P_{\text{est}} - P = \tfrac12\rho v^2 , \qquad v = \sqrt{2(P_{\text{est}} - P)/\rho} .
$$

Todo avión mide así su velocidad respecto del aire.

**Demostración.** Bernoulli a lo largo de la [línea de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler) que termina en el punto de estancamiento, donde $v = 0$; los orificios laterales no perturban la corriente, que pasa con los valores $v$ y $P$ sin perturbar. ∎

**Proposición 3.10 (Fórmula de Torricelli).**

Un gran depósito abierto se vacía por un orificio pequeño situado a la profundidad $h$ bajo la superficie libre; el chorro sale con celeridad

$$
v = \sqrt{2gh} ,
$$

la celeridad de caída libre desde la superficie. El caudal vale $D_V \approx
\alpha s\sqrt{2gh}$, con $s$ el área del orificio y $\alpha \approx 0.6$ el *coeficiente de contracción* de un orificio de borde vivo (las [líneas de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler) siguen convergiendo tras el orificio).

**Demostración.** Bernoulli desde la superficie libre (en reposo, pues el depósito es grande: $v_{\text{sup}} = v\,s/S \ll v$; presión $P_0$) hasta el chorro (presión $P_0$ justo a la salida del orificio): $P_0 + \rho gh = P_0 + \tfrac12\rho v^2$. El flujo es cuasiestacionario: $h$ varía despacio. ∎

![Tres aplicaciones del teorema de Bernoulli. A la izquierda, el tubo de Venturi: el manómetro mide la caída de presión en la garganta y, con ella, el caudal. En el centro, el tubo de Pitot: la presión de estancamiento en la boca supera a la presión estática de los orificios laterales en la presión dinámica. A la derecha, el vaciado de Torricelli a la celeridad de caída libre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-euler-bernoulli/fig-13e9cda1bd51.svg)

*Tres aplicaciones del [teorema de Bernoulli](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli). A la izquierda, el [tubo de Venturi](#prop-b2-euler-bernoulli-venturi): el manómetro mide la caída de presión en la garganta y, con ella, el caudal. En el centro, el [tubo de Pitot](#prop-b2-euler-bernoulli-pitot): la [presión de estancamiento](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli) en la boca supera a la presión estática de los orificios laterales en la [presión dinámica](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli). A la derecha, el vaciado de Torricelli a la celeridad de caída libre.*

**Ejemplo 3.11 (Valores numéricos).**

Un Venturi de $5\,\mathrm{cm}$ que se estrecha a $2.5\,\mathrm{cm}$ en una tubería de agua, con $\Delta h = 20\,\mathrm{cm}$ de agua ($2.0\,\mathrm{kPa}$): $v_1 = \sqrt{2 \times 2000/
(1000 \times 15)} = 0.52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $D_V = 1.0\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$. Un avión de línea a $11\,\mathrm{km}$ ($\rho = 0.36\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) y $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: [presión dinámica](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli) $11\,\mathrm{kPa}$, el $11\%$ de la presión ambiente — el [tubo de Pitot](#prop-b2-euler-bernoulli-pitot) sigue funcionando, con una corrección de compresibilidad. Un depósito elevado $40\,\mathrm{m}$ por encima de los grifos: $4\,\mathrm{bar}$ con el grifo cerrado y un chorro a $28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ si se abre del todo (en la práctica mucho menos: las tuberías no son perfectas).

**Proposición 3.12 (Sustentación de un ala).**

En el flujo en torno a un ala el aire pasa más deprisa por el extradós que por el intradós; la presión es por tanto menor arriba que abajo, y la resultante es la *sustentación* $F_L =
\tfrac12\rho v^2SC_L$ ($S$ es la superficie alar y $C_L \approx 0.3$–$1.5$ el coeficiente de sustentación, que depende del perfil y del ángulo de ataque). La diferencia de celeridades equivale a una *circulación* $\Gamma$ de la velocidad en torno al perfil, y la sustentación por unidad de envergadura vale $F_L' =
\rho v\Gamma$ (Kutta–Joukowski, admitida). Una pelota que gira arrastra aire consigo y se desvía lateralmente por el mismo mecanismo: el *[efecto Magnus](#prop-b2-euler-bernoulli-lift)* de una pelota de tenis cortada o de un libre con comba.

**Demostración.** Bernoulli sobre las [líneas de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler) inmediatamente superior e inferior, que parten de las mismas condiciones aguas arriba: $P_{\text{intr}} - P_{\text{extr}} = \tfrac12\rho
(v_{\text{extr}}^2 - v_{\text{intr}}^2)$; intégrese a lo largo de la cuerda. Por qué el flujo del extradós es más rápido — el borde de salida afilado obliga al punto de estancamiento posterior a situarse allí y fija la circulación (la condición de Kutta) — queda fuera del modelo de [fluido perfecto](#def-b2-euler-bernoulli-perfect) por sí solo; hace falta la capa límite del capítulo siguiente. ∎

![A la izquierda, las líneas de corriente en torno a un ala: apretadas y rápidas por arriba, lentas por abajo; la diferencia de presión es la sustentación. A la derecha, una columna líquida de longitud total L que oscila en un tubo en U, la aplicación no estacionaria más sencilla de la ecuación de Euler.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-euler-bernoulli/fig-8378712a5e7b.svg)

*A la izquierda, las [líneas de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler) en torno a un ala: apretadas y rápidas por arriba, lentas por abajo; la diferencia de presión es la sustentación. A la derecha, una columna líquida de longitud total $L$ que oscila en un tubo en U, la aplicación no estacionaria más sencilla de la [ecuación de Euler](#thm-b2-euler-bernoulli-euler).*

**Proposición 3.13 (Un flujo no estacionario: el tubo en U).**

Una columna líquida de longitud total $L$ llena un tubo en U de sección uniforme; desplazada $z$ respecto del equilibrio, oscila según

$$
\ddot z + \frac{2g}{L}\,z = 0 , \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{2g}} ,
$$

como un péndulo de longitud $L/2$. Más en general, para un flujo no estacionario pero irrotacional con potencial $\varphi$, Euler se integra dando $\rho\,\partial_t\varphi + P + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz = C(t)$, con la misma constante en todo el fluido ([Bernoulli no estacionario](#prop-b2-euler-bernoulli-utube)).

**Demostración.** La celeridad $v = \dot z$ es uniforme a lo largo del tubo (incompresible, sección uniforme). Proyéctese Euler sobre el eje del tubo e intégrese a lo largo de la columna de una superficie libre a la otra: los términos de presión se cancelan ($P_0$ en ambos extremos), $\int\rho\,\partial_tv\,\dd s = \rho L\ddot z$, el término convectivo $\rho\,\Delta(v^2/2)$ se anula (misma celeridad en ambos extremos) y el término de gravedad da $\rho g\cdot2z$. Por tanto $\rho L\ddot z = -2\rho gz$. El enunciado general se sigue de $\partial_t\vect v = \operatorname{\vect{grad}}
\partial_t\varphi$ para $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$. ∎

**Ejemplo 3.14 (Puesta en marcha de una conducción).**

Una tubería horizontal de longitud $\ell$ lleva desde un embalse de carga constante $h$ hasta un extremo abierto; la válvula se abre en $t = 0$. Con $v$ uniforme a lo largo de la tubería, Euler integrado desde la superficie del embalse hasta la salida da $\ell\,\dd v/\dd t = gh - \tfrac12v^2$, cuya solución es $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ con $V = \sqrt{2gh}$: el caudal alcanza la celeridad de Torricelli con la constante de tiempo $2\ell/V$ — $13\,\mathrm{s}$ para una tubería forzada de $400\,\mathrm{m}$ bajo $200\,\mathrm{m}$ de carga.

**Método 3.15 (Cómo usar Bernoulli).**

(1) Compruébense las cuatro condiciones; decídase si el flujo es irrotacional (corriente uniforme aguas arriba en torno a un obstáculo: sí; flujo en una tubería con perfil de velocidades: no — manténgase una sola [línea de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler)). (2) Elíjanse dos puntos de una [línea de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler) donde se conozcan cuantas magnitudes sea posible: una superficie libre ($P = P_0$, $v \approx 0$ si la sección es grande), un chorro al aire libre ($P = P_0$), un punto de estancamiento ($v = 0$). (3) Añádase la conservación de la masa $vS =$ const. para relacionar las celeridades. (4) Para flujos no estacionarios, intégrese Euler a lo largo de la línea.

## 3.4 Ejercicios

**Ejercicio 3.1 ★.**

El agua circula por una tubería horizontal de $8\,\mathrm{cm}$ de diámetro a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y a la presión de $3.0\,\mathrm{bar}$. Pasa a una sección de $4\,\mathrm{cm}$: celeridad y presión allí; y luego a una de $2\,\mathrm{cm}$: presión — ¿qué ocurre si sale negativa?

**Solución de Ejercicio 3.1.**

$v_2 = 1.5 \times 4 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $P_2 = 3.0 \times 10^5 - 500(36 - 2.25) =
2.83\,\mathrm{bar}$. A $2\,\mathrm{cm}$: $v = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $P = 3.0 \times 10^5 - 500
(576 - 2.25) = 0.13\,\mathrm{bar}$ — cerca de la presión de vapor. Un resultado negativo significa que el caudal supuesto es imposible: el agua cavita y el flujo queda estrangulado.

**Ejercicio 3.2 ★.**

El [tubo de Pitot](#prop-b2-euler-bernoulli-pitot) de un avión a $5\,\mathrm{km}$ ($\rho = 0.74\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) mide una [presión dinámica](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli) de $15\,\mathrm{kPa}$. Velocidad verdadera respecto del aire. El indicador está calibrado para la densidad a nivel del mar ($1.22\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): ¿qué “velocidad indicada” marca y por qué los pilotos encuentran esa diferencia útil en vez de molesta?

**Solución de Ejercicio 3.2.**

$v = \sqrt{2 \times 15000/0.74} = 201\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; indicada, $\sqrt{2 \times 15000/
1.22} = 157\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La velocidad indicada mide la [presión dinámica](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli), que es lo que siente el ala: la celeridad de entrada en pérdida es una velocidad *indicada* fija a cualquier altitud.

**Ejercicio 3.3 ★.**

Un depósito contiene agua de $3.0\,\mathrm{m}$ de profundidad; se practica un orificio de $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ a $1.0\,\mathrm{m}$ del suelo. Celeridad de salida; caudal (contracción $0.6$); ¿dónde llega el chorro al suelo? ¿A qué profundidad habría que practicar un segundo orificio para alcanzar el mismo punto?

**Solución de Ejercicio 3.3.**

Profundidad $2.0\,\mathrm{m}$: $v = \sqrt{2g \times 2} = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $D_V = 0.6 \times 10^{-4}
\times 6.3 = 0.38\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$; tiempo de caída $\sqrt{2/g} = 0.45\,\mathrm{s}$, alcance $2.8\,\mathrm{m}$. El alcance $= 2\sqrt{h(H - h)}$ es simétrico en $h \leftrightarrow H -
h$: un orificio a $1.0\,\mathrm{m}$ de profundidad ($2\,\mathrm{m}$ sobre el suelo) llega al mismo punto.

**Ejercicio 3.4 ★.**

Un viento de $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sopla sobre un tejado plano de $100\,\mathrm{m}^{2}$; el aire bajo el tejado está quieto a la presión atmosférica ($\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Diferencia de presión y fuerza neta sobre el tejado; compárese con el peso del tejado ($50\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$). ¿Hacia dónde se ve empujado?

**Solución de Ejercicio 3.4.**

$\Delta P = \tfrac12 \times 1.2 \times 900 = 540\,\mathrm{Pa}$, con la presión exterior menor: fuerza neta de $54\,\mathrm{kN}$ *hacia arriba*; el tejado pesa $49\,\mathrm{kN}$: se levanta. (Los tejados reales fallan antes por los bordes, donde la corriente se desprende.)

**Ejercicio 3.5 ★★.**

Un depósito rectangular cerrado de $2.0\,\mathrm{m}$ de largo, medio lleno de agua, va sobre un camión. (a) Con una aceleración de $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: ángulo de la superficie libre y diferencia de altura del agua entre la pared trasera y la delantera. (b) Diferencia de presión entre las dos esquinas del fondo. (c) Frenando a $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: ¿llega el agua a la tapa, situada $0.8\,\mathrm{m}$ por encima del fondo? (d) El mismo camión tomando una curva de radio $40\,\mathrm{m}$ a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: inclinación de la superficie.

**Solución de Ejercicio 3.5.**

(a) $\tan\theta = 3/9.81$, $\theta = 17{}^{\circ}$; $2 \times 0.306 = 0.61\,\mathrm{m}$ (más alto atrás). (b) $\Delta P = \rho aL = 6.0\,\mathrm{kPa}$. (c) $\tan\theta =
0.61$, diferencia $1.22\,\mathrm{m}$: la parte delantera sube $0.61\,\mathrm{m}$ sobre la media de $0.40\,\mathrm{m}$: $1.01\,\mathrm{m}$ $>$ $0.8\,\mathrm{m}$, llega a la tapa. (d) $a = v^2/R =
5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $\theta = 30{}^{\circ}$, con el lado exterior más alto.

**Ejercicio 3.6 ★★.**

Un cubo de radio $15\,\mathrm{cm}$ con agua de $20\,\mathrm{cm}$ de profundidad se hace girar en torno a su eje a $2.0\,\mathrm{vueltas}/\mathrm{s}$. (a) Forma y ecuación de la superficie libre. (b) Diferencia de altura entre el borde y el centro. (c) Conservándose el volumen, altura del agua en el centro y en el borde. (d) ¿A qué velocidad de giro se seca el centro del fondo? (e) ¿Por qué ese mismo paraboloide constituye un espejo de telescopio perfecto (una cubeta de mercurio en rotación)?

**Solución de Ejercicio 3.6.**

(a) Paraboloide $z = z_0 + \Omega^2r^2/2g$, $\Omega = 4\pi = 12.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (b) $\Omega^2R^2/2g = 158 \times 0.0225/19.6 = 0.18\,\mathrm{m}$. (c) La altura media de un paraboloide sobre el disco está a media altura: centro $0.20 - 0.09 = 0.11\,\mathrm{m}$, borde $0.29\,\mathrm{m}$. (d) El centro se seca cuando $\Omega^2R^2/4g = h_0$: $\Omega = \sqrt{4gh_0}/R =
18.7\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3.0$ vueltas por segundo. (e) Un paraboloide enfoca los rayos paralelos en un solo punto, a $f = g/2\Omega^2$; los telescopios de espejo líquido hacen girar mercurio.

**Ejercicio 3.7 ★★.**

*Sifón.* Un tubo lleva agua desde un depósito, por encima de una cima situada $2.0\,\mathrm{m}$ sobre la superficie libre, hasta una salida $3.0\,\mathrm{m}$ por debajo de ella. (a) Celeridad de salida y, para un tubo de $2\,\mathrm{cm}$, caudal. (b) Presión en la cima. (c) Altura máxima de la cima para que el sifón funcione (no debe alcanzarse la presión de vapor del agua, $2.3\,\mathrm{kPa}$). (d) ¿Por qué no funciona el sifón con el tubo lleno de aire?

**Solución de Ejercicio 3.7.**

(a) $v = \sqrt{2g \times 3} = 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $D_V = \pi \times 10^{-4} \times 7.7 =
2.4\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$. (b) $P = P_0 - \rho g(2) - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 19.6 - 29.4 =
51\,\mathrm{kPa}$. (c) $P_0 - \rho gh_c - \tfrac12\rho v^2 \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$: $h_c \le
7.0\,\mathrm{m}$. (d) El aire es compresible y ligero: no hay columna líquida continua que transmita la presión, y el agua de ambos lados se queda quieta.

**Ejercicio 3.8 ★★.**

Una avioneta de $1000\,\mathrm{kg}$ vuela en crucero a $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a nivel del mar con un ala de $15\,\mathrm{m}^{2}$. (a) Diferencia media de presión entre las dos caras del ala; coeficiente de sustentación. (b) Si la celeridad bajo el ala es $58\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ¿cuál es por encima (tómense las mismas condiciones aguas arriba)? (c) Circulación en torno al perfil a partir de la fórmula de Kutta–Joukowski, para una envergadura de $10\,\mathrm{m}$. (d) Celeridad de entrada en pérdida si $C_L$ no puede superar $1.4$.

**Solución de Ejercicio 3.8.**

(a) $\Delta P = mg/S = 654\,\mathrm{Pa}$; $\tfrac12\rho v^2 = 2.2\,\mathrm{kPa}$, $C_L = 0.30$. (b) $v_{\text{extr}}^2 = 58^2 + 2 \times 654/1.22$: $66.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $F_L' =
981\,\mathrm{N}/\mathrm{m} = \rho v\Gamma$: $\Gamma = 13.4\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (d) $v = \sqrt{2mg/
\rho SC_L} = \sqrt{19620/25.6} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 3.9 ★★.**

*Estenosis.* La sangre ($\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) circula a $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por una arteria de sección $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$ a $13\,\mathrm{kPa}$ por encima de la presión atmosférica. Una placa la estrecha hasta $0.10\,\mathrm{cm}^{2}$. (a) Celeridad y presión en la estenosis. (b) El tejido que rodea la arteria está a unos $1\,\mathrm{kPa}$: ¿puede colapsar la arteria? (c) Si se estrecha más, la celeridad crece aún más: explíquese la inestabilidad y por qué un estrechamiento así puede entrar en aleteo.

**Solución de Ejercicio 3.9.**

(a) $v_2 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\Delta P = \tfrac12 \times 1060 \times (6.25 - 0.25) =
3.2\,\mathrm{kPa}$, $P_2 = 9.8\,\mathrm{kPa}$. (b) Sigue por encima de $1\,\mathrm{kPa}$: no. (c) A $0.05\,\mathrm{cm}^{2}$, $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $\Delta P = 13\,\mathrm{kPa}$: $P_2 \approx 0$, por debajo de la presión del tejido — la pared colapsa, el flujo se detiene, la presión se recupera y vuelve a abrirse: un aleteo (el soplo que oye el médico).

**Ejercicio 3.10 ★★★.**

*Temperatura de estancamiento.* Para un gas perfecto en flujo isentrópico estacionario se conserva $c_PT + v^2/2$ a lo largo de una [línea de corriente](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler). (a) Muéstrese que el aire detenido en el morro de un avión alcanza $T_0 = T(1 +
\tfrac{\gamma - 1}{2}M^2)$, con $M = v/c$ el número de Mach y $c =
\sqrt{\gamma RT/M_{\text{mol}}}$ la celeridad del sonido. (b) Temperatura del morro de un avión de línea a $M = 0.85$ en aire a $220\,\mathrm{K}$; de un avión supersónico a $M = 2$; de una cápsula de reentrada a $M = 25$ (¿sigue teniendo sentido la fórmula?). (c) Muéstrese que la fórmula de Pitot incompresible sobreestima la celeridad a $M = 0.85$, y en cuánto aproximadamente (desarróllese $P_0/P = (T_0/T)^{\gamma/(\gamma - 1)}$ a segundo orden en $M^2$).

**Solución de Ejercicio 3.10.**

(a) $c_PT_0 = c_PT + v^2/2$ con $c_P = \gamma R/(\gamma - 1)M_{\text{mol}}$ y $c^2 = \gamma RT/M_{\text{mol}}$: $v^2/2c_PT = \tfrac12(\gamma - 1)M^2$. (b) $M =
0.85$: $T_0 = 220 \times 1.145 = 252\,\mathrm{K}$; $M = 2$: $220 \times 1.8 = 396\,\mathrm{K}$; $M = 25$: $220 \times 126 = 28\,000\,\mathrm{K}$ — sin sentido: el aire se disocia e ioniza y $c_P$ no es constante (las temperaturas de estancamiento reales son de varios miles de kelvin). (c) $P_0/P = (1 + \tfrac{\gamma - 1}2M^2)^{\gamma/(\gamma
- 1)} \approx 1 + \tfrac{\gamma}2M^2 + \tfrac{\gamma}8M^4$, y $\gamma PM^2 = \rho v^2$: $P_0 - P = \tfrac12\rho v^2(1 + M^2/4)$. Leer $v$ a partir de $\sqrt{2(P_0 - P)/\rho}$ lo sobreestima en $\sqrt{1 + M^2/4} - 1 \approx 9\%$ a $M = 0.85$.

**Ejercicio 3.11 ★★★.**

*Transitorio de arranque.* Una tubería de longitud $\ell = 50\,\mathrm{m}$ y sección uniforme lleva desde un gran embalse (carga $h = 5.0\,\mathrm{m}$ sobre la salida) hasta una válvula situada en el extremo abierto. La válvula se abre en $t = 0$. (a) Intégrese Euler a lo largo de la tubería para obtener $\ell\,\dd v/\dd t = gh - v^2/2$. (b) Resuélvase: $v = V\tanh(Vt/2\ell)$ con $V = \sqrt{2gh}$. (c) Tiempo para alcanzar el $90\%$ de la celeridad final. (d) La válvula se cierra ahora bruscamente en $0.5\,\mathrm{s}$ desde el caudal máximo: estímense la deceleración media y la sobrepresión en la válvula a partir de $\rho\ell\,\dd v/\dd t$ — y por qué un cierre real produce mucho más (capítulos siguientes).

**Solución de Ejercicio 3.11.**

(a) Desde la superficie ($v \approx 0$, $P_0$, altura $h$) hasta la salida ($v$, $P_0$, altura $0$), con $\int\partial_tv\,\dd s = \ell\,\dd v/\dd t$. (b) $\dd v/(V^2 -
v^2) = \dd t/2\ell$, $V^2 = 2gh$: $\operatorname{artanh}(v/V) = Vt/2\ell$. (c) $V =
9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\tanh x = 0.9$ en $x = 1.47$: $t = 2\ell x/V = 15\,\mathrm{s}$. (d) $\dd v/\dd t \approx -20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $\Delta P = \rho\ell \times 20 = 9.9\,\mathrm{bar}$. El agua es ligeramente compresible: un cierre rápido lanza una onda de presión, $\Delta P = \rho c\Delta v \approx 140\,\mathrm{bar}$.

**Ejercicio 3.12 ★★★.**

*La superficie libre de un vórtice.* El agua gira como el [vórtice puntual](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows) de [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#ch-b2-fluid-kinematics), $v_\theta = \Gamma/2\pi r$, irrotacional, con una superficie libre en $z = 0$ muy lejos. (a) ¿Por qué puede aplicarse Bernoulli entre dos puntos cualesquiera? (b) Forma de la superficie libre $z(r)$. (c) Dentro de un núcleo de Rankine ($r < a$, $v_\theta = \Omega r$, rotacional) úsese en cambio Euler en el sistema giratorio, o directamente: muéstrese que $z = z(a) +
\Omega^2(r^2 - a^2)/2g$. (d) Profundidad total del embudo para un vórtice de bañera con $\Gamma = 0.03\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ y $a = 5\,\mathrm{mm}$; y para un tornado ($\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $a = 60\,\mathrm{m}$, en aire: exprésese el resultado como una caída de presión en el centro).

**Solución de Ejercicio 3.12.**

(a) Estacionario, perfecto, incompresible e irrotacional: una única constante para todo el flujo. (b) En la superficie $P = P_0$: $\tfrac12\rho v^2 + \rho gz =
0$, $z = -\Gamma^2/8\pi^2gr^2$. (c) Euler radial: $\partial_rP = \rho\Omega^2r$, e hidrostática vertical: la superficie cumple $z(r) - z(a) = \Omega^2(r^2 -
a^2)/2g$. (d) Bañera: $\Omega = \Gamma/2\pi a^2 = 191\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; $z(a) = -\Omega^2a^2/
2g = -4.7\,\mathrm{cm}$, y el núcleo añade otros $4.7\,\mathrm{cm}$: $9.3\,\mathrm{cm}$ de profundidad. Tornado: $\Delta P = \tfrac12\rho v_{\max}^2$ fuera más otro tanto dentro: $\rho v_{\max}^2 = 1.2 \times 6400 = 7.7\,\mathrm{kPa}$ por debajo de la ambiente en el centro.

![Dos tuberías forzadas llevan el agua de un embalse de montaña hasta la central: doscientos metros de desnivel que el teorema de Bernoulli convierte en un chorro a sesenta metros por segundo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-euler-bernoulli/img-fe2048b22112.jpg)

*Dos tuberías forzadas llevan el agua de un embalse de montaña hasta la central: doscientos metros de desnivel que el [teorema de Bernoulli](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli) convierte en un chorro a sesenta metros por segundo.*

## 3.5 Problema: la presa, la tubería forzada y la turbina

**Problema 3.1.**

Problema de fin de semana — una central hidroeléctrica del embalse al chorro: presiones, celeridades, potencias, pérdidas y el golpe de ariete

Un embalse retiene agua de $150\,\mathrm{m}$ de profundidad tras una presa; su superficie libre está $H = 200\,\mathrm{m}$ por encima de las toberas de una turbina. Una tubería forzada (de acero) de diámetro $D = 3.0\,\mathrm{m}$ y longitud $\ell = 400\,\mathrm{m}$ conduce el caudal de diseño $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ hasta la casa de máquinas, donde una tobera lo convierte en un chorro libre a la presión atmosférica $P_0 =
1.0\,\mathrm{bar}$ que golpea las cucharas de una rueda Pelton. $\rho =
1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; el fluido es perfecto salvo que se diga otra cosa.

**Parte I — En reposo y al caudal de diseño.**

1. Presión en la base de la presa y fuerza sobre una franja vertical de la presa, de $1\,\mathrm{m}$ de ancho, de arriba abajo.
2. Con las válvulas de la turbina cerradas, presión en la tubería forzada a la altura de la casa de máquinas.
3. Celeridad en la tubería forzada al caudal de diseño; [presión dinámica](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli) allí; presión en el extremo de la tubería junto a la casa de máquinas (antes de la tobera), por Bernoulli desde la superficie del embalse.
4. Celeridad del chorro libre; sección y diámetro de la tobera.
5. Potencia cinética que transporta el chorro; muéstrese que vale $\rho gD_VH$ y calcúlese.
6. Masa y energía cinética del agua contenida en la tubería forzada al caudal de diseño; tiempo de tránsito de una partícula a lo largo de la tubería.
7. Muéstrese que la carga $H$ se reparte, al caudal de diseño, entre la presión en el fondo de la tubería y la energía cinética del agua, y que la tobera convierte la primera en la segunda: ¿cuál es la presión justo después de la tobera?
8. Un [fluido perfecto](#def-b2-euler-bernoulli-perfect) no tiene pérdida de carga, uno real sí: la pérdida en una tubería vale $\Delta P = \lambda(\ell/D)\,\tfrac12\rho v^2$ con $\lambda  \approx 0.015$ para acero liso. Pérdida de carga en metros de agua y fracción de la potencia perdida.
9. Un ingeniero propone una tubería de $2\,\mathrm{m}$ para ahorrar acero. Repítase la pregunta 7; coméntese.

**Parte II — Medir el caudal.** Se instala un Venturi en la tubería forzada, con una garganta de $2.0\,\mathrm{m}$.

10. Celeridad en la garganta y caída de presión entre la tubería y la garganta al caudal de diseño.
11. La caída se lee en un manómetro de mercurio ( $\rho_{\text{Hg}} =  13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): diferencia de alturas.
12. Muéstrese que el caudal es proporcional a la raíz cuadrada de la lectura del manómetro, y dese la lectura a la mitad del caudal de diseño.
13. ¿Por qué deben las tomas de presión quedar enrasadas con la pared y no sobresalir hacia la corriente?
14. Un tramo de la tubería pasa, por razones topográficas, por una cota $6\,\mathrm{m}$ *por encima* de la superficie del embalse. Presión allí al caudal de diseño; ¿qué ocurre y qué debe hacer el proyectista?

**Parte III — Regímenes no estacionarios.** El embalse tiene una superficie $A = 2.0\,\mathrm{km}^{2}$.

15. Velocidad a la que baja el nivel del embalse al caudal de diseño, en centímetros por hora.
16. Se para la turbina y la tobera (con la sección de la pregunta 4) se deja abierta al aire: el embalse se vacía por gravedad. Escríbase el balance de masa y hállese el nivel $h(t)$ (flujo de Torricelli cuasiestacionario).
17. Tiempo que tarda el nivel en bajar $10\,\mathrm{m}$ ; compárese con el tiempo al caudal de diseño constante.
18. Puesta en marcha de la central: la tubería está llena y la tobera se abre en $t = 0$ . Tomando la celeridad uniforme a lo largo de la tubería y despreciando la geometría de la tobera, intégrese Euler a lo largo de la conducción para obtener $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$ , resuélvase y dese la constante de tiempo.
19. Durante ese arranque, en el instante en que $v$ vale la mitad de su valor final, ¿cuál es la presión en el fondo de la tubería forzada? Explíquese el signo de la diferencia con el valor estacionario.

**Parte IV — El cierre de la válvula.**

20. La válvula de la turbina se cierra en $\tau = 10\,\mathrm{s}$ ; supóngase que el agua de la tubería forzada se decelera uniformemente. Usando Euler a lo largo de la conducción, estímese la sobrepresión en la válvula, en bares.
21. En un cierre rápido el agua no es incompresible: una onda de presión remonta la tubería a $c = 1400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (la celeridad del sonido en el agua dentro de una tubería de acero — [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/7-ondas-sonoras-en-los-fluidos#ch-b2-sound-waves) ), y la sobrepresión vale $\Delta P = \rho c\,\Delta v$ (Joukowsky). Valor para una parada súbita desde el caudal de diseño; compárese con la presión estática. ¿Cuánto tarda la onda en llegar al embalse y volver, y qué dice eso sobre el significado de “rápido”?
22. Para proteger la tubería forzada se instala una *chimenea de equilibrio* — un pozo vertical abierto de sección $A_s = 100\,\mathrm{m}^{2}$ — allí donde un túnel horizontal de longitud $L = 2000\,\mathrm{m}$ y sección $A =  7.0\,\mathrm{m}^{2}$ procedente del embalse se une a la tubería forzada. Tras un cierre súbito, el agua del túnel sigue en movimiento y el nivel $z$ del pozo sube. Escríbase la conservación de la masa entre el túnel y el pozo.
23. Intégrese Euler a lo largo del túnel ( [fluido perfecto](#def-b2-euler-bernoulli-perfect) ) para mostrar que $z$ obedece $\ddot z + \dfrac{gA}{LA_s}z = 0$ ; periodo de la oscilación.
24. Ascenso máximo del nivel en el pozo tras un cierre desde el caudal de diseño (argumento energético: la energía cinética del agua del túnel se convierte en energía potencial en el pozo).
25. Resúmase: las cinco presiones que aparecen en esta central (estática en la presa, estática en la turbina, dinámica en la tubería, golpe de ariete y oscilación en la chimenea) y la ley que da cada una.

**Solución de Problema 3.1.**

**1.** $\rho g \times 150 = 14.7\,\mathrm{bar}$ sobre la atmosférica; $\tfrac12\rho gH_d^2
\times 1\,\mathrm{m} = 1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$.

**2.** $\rho gH = 19.6\,\mathrm{bar}$ manométricos, $20.6\,\mathrm{bar}$ absolutos.

**3.** $v = 60/7.07 = 8.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\tfrac12\rho v^2 = 0.36\,\mathrm{bar}$; $P =
P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 = 20.3\,\mathrm{bar}$ absolutos.

**4.** $v_j = \sqrt{2gH} = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $s = 60/62.6 = 0.96\,\mathrm{m}^{2}$, $d =
1.1\,\mathrm{m}$.

**5.** $\tfrac12\rho D_Vv_j^2 = \tfrac12\rho D_V(2gH) = \rho gD_VH = 118\,\mathrm{MW}$.

**6.** $m = \rho S\ell = 2.8 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$, $E_k = \tfrac12mv^2 = 1.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}$; tránsito $\ell/v = 47\,\mathrm{s}$.

**7.** $\rho gH = (P - P_0) + \tfrac12\rho v^2$: $19.3\,\mathrm{bar}$ de presión y $0.36\,\mathrm{bar}$ de energía cinética; en la tobera la presión cae hasta $P_0$ mientras $\tfrac12\rho v^2$ sube hasta $\rho gH$: justo después, $P = P_0$.

**8.** $\Delta h = \lambda(\ell/D)v^2/2g = 0.015 \times 133 \times 3.67 = 7.3\,\mathrm{m}$, el $3.7\%$ de la potencia.

**9.** $v = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v^2/2g = 18.6\,\mathrm{m}$, $\Delta h = 0.015 \times 200 \times
18.6 = 56\,\mathrm{m}$: se pierde el $28\%$ — el ahorro en acero se paga cada segundo en energía.

**10.** $v_t = 60/\pi = 19.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\Delta P = 500(19.1^2 - 8.49^2) =
146\,\mathrm{kPa}$.

**11.** $\Delta P = (\rho_{\text{Hg}} - \rho)g\,\Delta h$: $\Delta h = 146000/(12600
\times 9.81) = 1.18\,\mathrm{m}$.

**12.** $\Delta P \propto v^2 \propto D_V^2$: $D_V \propto \sqrt{\Delta h}$; la mitad del caudal da la cuarta parte, $0.30\,\mathrm{m}$.

**13.** Una toma que sobresale se enfrenta a la corriente o la perturba, y mide parte de la [presión dinámica](#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli) (es un Pitot), no la presión estática.

**14.** $P = P_0 - \rho g \times 6 - \tfrac12\rho v^2 = 100 - 59 - 36 = 5\,\mathrm{kPa}$: cerca de la presión de vapor; el aire disuelto se libera y el agua puede hervir (cavitación), rompiendo la columna. Hay que bajar la cota, o instalar una ventosa y una bomba de vacío, o reducir el caudal.

**15.** $D_V/A = 60/2 \times 10^6 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11\,\mathrm{cm}/\mathrm{h}$.

**16.** $A\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$: $\sqrt h = \sqrt{h_0} - (s/A)\sqrt{g/2}\,t$.

**17.** $\Delta t = (A/s)\sqrt{2/g}(\sqrt{200} - \sqrt{190}) = 2.09 \times 10^6 \times
0.45 \times 0.36 = 3.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, es decir $3.9$ días; al caudal de diseño constante, $10A/D_V = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: casi lo mismo, pues la tobera se dimensionó para el caudal de Torricelli con $h \approx H$.

**18.** $\ell\,\dd v/\dd t = gH - v^2/2$: $v = V\tanh(Vt/2\ell)$, $V = 62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, constante de tiempo $2\ell/V = 13\,\mathrm{s}$.

**19.** En $v = V/2$: $\dd v/\dd t = (gH - V^2/8)/\ell = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $P = P_0 + \rho gH - \tfrac12\rho v^2 - \rho\ell\,\dd v/\dd t = 1.0 + 19.6 - 4.9 - 14.7
= 1.0\,\mathrm{bar}$: casi toda la carga está ocupada en acelerar la columna, de modo que la presión en el fondo queda muy por debajo de su valor estacionario.

**20.** $|\dd v/\dd t| = 8.49/10 = 0.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $\Delta P = \rho\ell \times 0.85 =
3.4\,\mathrm{bar}$.

**21.** $\Delta P = 1000 \times 1400 \times 8.49 = 119\,\mathrm{bar}$, seis veces la presión estática. El viaje de ida y vuelta de la onda dura $2\ell/c = 0.57\,\mathrm{s}$: un cierre más rápido que eso es “súbito” y recibe toda la sobrepresión de Joukowsky; los cierres más lentos reciben menos.

**22.** $Av = A_s\,\dd z/\dd t$.

**23.** Euler a lo largo del túnel, desde el embalse (presión $P_0 + \rho g\times$profundidad) hasta el pie del pozo (presión $P_0 + \rho g
(\text{profundidad} + z)$): $\rho L\,\dd v/\dd t = -\rho gz$; con $v = (A_s/A)\dot z$: $\ddot z + (gA/LA_s)z = 0$; $T = 2\pi\sqrt{LA_s/gA} = 2\pi\sqrt{2000 \times 100/
68.7} = 340\,\mathrm{s} \approx 5.7\,\mathrm{min}$.

**24.** $\tfrac12\rho ALv^2 = \tfrac12\rho gA_sz_{\max}^2$ con $v = 60/7 =
8.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $z_{\max} = v\sqrt{AL/gA_s} = 32\,\mathrm{m}$.

**25.** Presa: hidrostática, $\rho gh$. Turbina con las válvulas cerradas: lo mismo, $\rho gH$. Tubería forzada en servicio: Bernoulli, $\tfrac12\rho v^2$ tomado de la carga estática. Golpe de ariete: compresibilidad, $\rho c\Delta v$. Chimenea: Euler no estacionario a lo largo del túnel, una oscilación de periodo $2\pi\sqrt{LA_s/gA}$.