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title: "La ecuación de Schrödinger y las funciones de onda"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 30
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/30-la-ecuacion-de-schrodinger-y-las-funciones-de-onda
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# Capítulo 30 — La ecuación de Schrödinger y las funciones de onda

Dispárense electrones de uno en uno contra un par de rendijas y regístrese dónde cae cada uno: un punto aquí, un punto allá, al parecer al azar — y tras diez mil puntos, las franjas del experimento de Young, como si cada electrón hubiera pasado por las dos rendijas e interferido consigo mismo. El último capítulo del volumen del primer año se encontró con esta rareza: la luz viene en fotones, la materia tiene una longitud de onda $\lambda = h/p$, y la posición y el momento lineal no pueden ser ambos nítidos. Lo que no dio es la *ecuación* — la regla que dice cómo evoluciona la onda asociada a una partícula, como la ley de Newton dice cómo evoluciona una trayectoria. Esa ecuación es la de Schrödinger (1926), y con ella la descripción cuántica se vuelve una teoría calculable: se escribe una *[función de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi)* $\psi(x,t)$, cuyo módulo al cuadrado es la probabilidad de encontrar la partícula, y se resuelve una ecuación en derivadas parciales lineal. Este capítulo enuncia la ecuación, explica qué significa $\psi$ y qué no, halla sus [estados estacionarios](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) y los [paquetes de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) de la partícula libre, y muestra dónde reaparece la mecánica de Newton — para todo lo que pese más que una molécula.

![Un microscopio electrónico de transmisión: los electrones acelerados a cien kilovoltios tienen una longitud de onda de unos pocos picómetros, y su función de onda, enfocada por lentes magnéticas, forma imagen de los átomos de un cristal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/img-1442287aca04.jpg)

*Un microscopio electrónico de transmisión: los electrones acelerados a cien kilovoltios tienen una longitud de onda de unos pocos picómetros, y su [función de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi), enfocada por lentes magnéticas, forma imagen de los átomos de un cristal.*

## 30.1 Lo que nos dejó el volumen del primer año

**Proposición 30.1 (Las partículas son ondas).**

Un fotón de frecuencia $\nu$ tiene la energía $E = h\nu = \hbar\omega$ y el momento lineal $p = h/\lambda = \hbar k$; una partícula material de momento $p$ se comporta como una onda de longitud de onda $\lambda = h/p$ (de Broglie), con $E =
\hbar\omega$ y $p = \hbar k$ también — la [difracción](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/22-difraccion-de-fraunhofer-y-filtrado-espacial#def-b2-diffraction-huygens) de electrones por cristales y la interferometría de neutrones e incluso de moléculas lo confirman; y ningún estado puede tener una posición y un momento más nítidos que $\Delta x\,\Delta p
\ge \hbar/2$ (Heisenberg). Con $\hbar = h/2\pi = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$: un electrón de $100\,\mathrm{eV}$ tiene $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$, el tamaño de un átomo; un grano de polvo de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ a $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ tiene $\lambda =
7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$, menor que un núcleo — se comporta clásicamente.

**Demostración.** Recordado del volumen del primer año; la tarea ahora es la dinámica de la onda. ∎

![Un patrón de difracción de electrones registrado en un microscopio electrónico (un patrón de Kikuchi de un cristal): electrones de unos picómetros de longitud de onda, difractados por los planos atómicos — la materia comportándose como una onda (NIST).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/img-c37c29222fce.jpg)

*Un patrón de [difracción](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/22-difraccion-de-fraunhofer-y-filtrado-espacial#def-b2-diffraction-huygens) de electrones registrado en un microscopio electrónico (un patrón de Kikuchi de un cristal): electrones de unos picómetros de longitud de onda, difractados por los planos atómicos — la materia comportándose como una onda (NIST).*

## 30.2 La función de onda

**Definición 30.2 (Función de onda y regla de Born).**

El estado de una partícula que se mueve según $x$ se describe con una *función de onda* compleja $\psi(x,t)$ tal que

$$
\dd\mathcal P = |\psi(x,t)|^2\,\dd x
$$

es la probabilidad de encontrar la partícula entre $x$ y $x + \dd x$ en el instante $t$ (*regla de Born*); de ahí la *normalización* $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2\dd x = 1$, y los valores medios $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\dd x$, $\Delta x^2 =
\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2$. Las funciones de onda obedecen al *principio de superposición*: si $\psi_1$ y $\psi_2$ son estados posibles, también lo es $\alpha\psi_1 +
\beta\psi_2$ (normalizado), y las probabilidades contienen entonces el término de interferencia $2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\,\psi_1^*\psi_2)$. Un factor de fase global $\eu^{\iu\theta}$ no cambia nada; una fase relativa entre dos componentes superpuestas cambia la interferencia.

**Observación 30.3 (Lo que ψ\psiψ no es).**

$\psi$ no es un campo clásico repartido por el espacio como $\vect E$, ni una nube de materia: el electrón se encuentra siempre entero, en un punto. $\psi$ es una *amplitud de probabilidad*, el objeto que interfiere; solo se observa $|\psi|^2$, y solo de forma estadística, repitiendo el experimento con partículas preparadas de forma idéntica. Los puntos de la doble rendija son electrones sueltos; las franjas son $|\psi_1 +
\psi_2|^2$.

## 30.3 La ecuación de Schrödinger

**Teorema 30.4 (Ecuación de Schrödinger).**

Una partícula de masa $m$ en la energía potencial $V(x)$ tiene una [función de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) que obedece a

$$
\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi .
$$

Es lineal (superposición), de primer orden en el tiempo (la [función de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) en un instante la determina en todos los posteriores) y compleja ($\psi$ no puede ser real: la $\iu$ es esencial). Es un *postulado*, justificado por sus consecuencias.

**Demostración.** Más una motivación que una demostración. Una partícula libre de momento nítido $p = \hbar k$ y energía $E = \hbar\omega$ debería ser una onda plana $\psi =
A\eu^{\iu(kx - \omega t)}$, para la que $\iu\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi =
E\psi$ y $-(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi = (\hbar^2k^2/2m)\psi = (p^2/2m)\psi$. La relación clásica $E = p^2/2m$ queda así reproducida por la ecuación $\iu\hbar\partial_t\psi = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi$, y la generalización natural para $E = p^2/2m + V$ añade $V\psi$. Nótese que la ecuación debe ser lineal para valer con superposiciones de ondas planas, y de primer orden en el tiempo con una $\iu$ para que la dependencia temporal sea $\eu^{-\iu\omega t}$ y no $\cos\omega t$ — una [ecuación de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) real daría $E^2 \propto p^4$. ∎

**Proposición 30.5 (Conservación de la probabilidad).**

La densidad de probabilidad $\rho = |\psi|^2$ y la *corriente de probabilidad*

$$
j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big)
= \frac{\hbar}{2\iu m}\Big(\psi^*\partial_x\psi - \psi\,\partial_x\psi^*\Big)
$$

obedecen a $\partial_t\rho + \partial_xj = 0$: la probabilidad ni se crea ni se destruye, y $\int|\psi|^2\dd x$ sigue valiendo $1$. Para una onda plana $A\eu^{\iu kx}$, $j = |A|^2\hbar k/m = \rho v$: densidad por velocidad, como para cualquier flujo.

**Demostración.** $\partial_t(\psi^*\psi) = \psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*$; a partir de la ecuación y de su conjugada, $\partial_t\psi = (\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi -
(\iu/\hbar)V\psi$, $\partial_t\psi^* = -(\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi^* +
(\iu/\hbar)V\psi^*$; los términos en $V$ se cancelan y el resto vale $(\iu\hbar/2m)(\psi^*
\partial_x^2\psi - \psi\,\partial_x^2\psi^*) = -\partial_xj$. ∎

**Proposición 30.6 (Momento lineal, valores medios y límite clásico).**

El momento lineal de un estado se obtiene con el operador $\hat p =
-\iu\hbar\,\partial_x$ (que da $\hbar k$ sobre una onda plana): $\langle
p\rangle = \int\psi^*(-\iu\hbar\partial_x\psi)\dd x$, y la energía con $\hat H
= -(\hbar^2/2m)\partial_x^2 + V$. Los valores medios obedecen (Ehrenfest) a

$$
\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad
\frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t} = -\Big\langle\frac{\dd V}{\dd x}\Big\rangle :
$$

el centro del [paquete de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) sigue la ley de Newton exactamente cuando $V$ es a lo sumo cuadrático, y de forma aproximada siempre que el paquete sea estrecho frente a la escala en que varía $V$ — el límite clásico, que vale para cualquier objeto macroscópico porque $\hbar$ es tan pequeño.

**Demostración.** Derívese $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2$, úsese $\partial_t\rho =
-\partial_xj$ e intégrese por partes: $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int j\,\dd x
= \langle p\rangle/m$. La segunda relación es el mismo cálculo un orden más arriba (admitido aquí). ∎

## 30.4 Estados estacionarios

**Teorema 30.7 (Estados estacionarios).**

Si $V$ no depende del tiempo, la ecuación tiene soluciones de la forma separada

$$
\psi(x,t) = \varphi(x)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}, \qquad
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi
$$

(la *ecuación de Schrödinger independiente del tiempo*): los *estados estacionarios*, de energía $E$ bien definida, cuya densidad de probabilidad $|\varphi|^2$ no se mueve. Las energías $E$ para las que $\varphi$ es aceptable (acotada y normalizable para un estado ligado) son los *niveles de energía*; la solución general es una superposición $\psi =
\sum_nc_n\varphi_n(x)\eu^{-\iu E_nt/\hbar}$, y una superposición de dos niveles tiene una densidad que oscila a la *frecuencia de Bohr* $\nu_{21} = (E_2 - E_1)/h$ — la frecuencia de la luz que el átomo emite o absorbe.

**Demostración.** Introdúzcase $\varphi(x)f(t)$: $\iu\hbar f'/f = (-\hbar^2\varphi''/2m + V\varphi)/\varphi$, una función de $t$ igual a una función de $x$, luego una constante $E$; $f
= \eu^{-\iu Et/\hbar}$. Para dos niveles, $|c_1\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} +
c_2\varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar}|^2 = |c_1\varphi_1|^2 + |c_2\varphi_2|^2 +
2\operatorname{Re}(c_1^*c_2\varphi_1^*\varphi_2\eu^{-\iu(E_2 - E_1)t/\hbar})$. La completitud de los [estados estacionarios](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) se admite. ∎

![Un estado estacionario: el perfil espacial (x) (aquí el estado fundamental de un pozo) multiplicado por un fasor que gira al ritmo E/; las partes real e imaginaria giran una hacia la otra mientras | |2 se queda quieta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-ff1ced901c40.svg)

*Un [estado estacionario](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary): el perfil espacial $\varphi(x)$ (aquí el estado fundamental de un pozo) multiplicado por un fasor que gira al ritmo $E/\hbar$; las partes real e imaginaria giran una hacia la otra mientras $|\psi|^2$ se queda quieta.*

![Una superposición de los dos estados más bajos de un pozo: la densidad se bambolea de un lado a otro a la frecuencia de Bohr (E_2 - E_1)/h — una carga que oscila y, por tanto (), un dipolo que radia exactamente a la frecuencia de la raya espectral.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-1080615e3d33.svg)

*Una superposición de los dos estados más bajos de un pozo: la densidad se bambolea de un lado a otro a la [frecuencia de Bohr](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) $(E_2 - E_1)/h$ — una carga que oscila y, por tanto ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/17-radiacion-dipolar-y-dispersion#ch-b2-dipole-radiation)), un dipolo que radia exactamente a la frecuencia de la raya espectral.*

## 30.5 La partícula libre: ondas planas y paquetes de ondas

**Proposición 30.8 (Partícula libre).**

Para $V = 0$ los [estados estacionarios](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) son las ondas planas $\eu^{\iu(kx -
\omega t)}$ con

$$
E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad
v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}, \qquad
v_{\text{g}} = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} :
$$

las ondas de materia son *dispersivas*; la [velocidad de fase](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) no tiene sentido físico, y la *[velocidad de grupo](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)* es la velocidad de la partícula. Una onda plana no es normalizable — una partícula de momento perfectamente nítido está repartida por todo el espacio —, así que una partícula real es un *paquete de ondas*, una superposición de ondas planas en una banda $\Delta k$, localizada en $\Delta x \sim 1/\Delta k$, que se mueve a $v_{\text{g}}$ y *se ensancha*: un paquete gaussiano de anchura inicial $\sigma_0$ tiene en el instante $t$ la anchura

$$
\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \Big(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Big)^2}, \qquad
\tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar} ,
$$

y cumple $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ en $t = 0$ (el mínimo permitido) y más después.

**Demostración.** La [relación de dispersión](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) se sigue de la ecuación; $v_{\text{g}}$ como en [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets). La fórmula del ensanchamiento sale de la síntesis de Fourier del paquete — cada componente $\eu^{\iu kx}$ recoge la fase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$, y la integral gaussiana con un coeficiente complejo da una gaussiana de anchura creciente; la integral de Fourier es la herramienta del volumen de matemáticas del tercer año y admitimos el resultado. Físicamente: el paquete contiene momentos repartidos en $\Delta p
= \hbar/2\sigma_0$, luego velocidades repartidas en $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$, y tras un tiempo $t$ las componentes más rápidas han adelantado a las más lentas en $\Delta v\,t$ — la fórmula dice exactamente esto. ∎

![A la izquierda, la curva de dispersión de la partícula libre, con la velocidad de grupo (tangente) y la velocidad de fase (cuerda hasta el origen), la mitad de aquella. A la derecha, un paquete gaussiano que se mueve a v_ g y se ensancha — con su anchura √2 veces mayor tras = 2m _02/, su pico más bajo y su área constante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-53d6d05a1cfc.svg)

*A la izquierda, la curva de dispersión de la partícula libre, con la [velocidad de grupo](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) (tangente) y la [velocidad de fase](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) (cuerda hasta el origen), la mitad de aquella. A la derecha, un paquete gaussiano que se mueve a $v_{\text{g}}$ y se ensancha — con su anchura $\sqrt2$ veces mayor tras $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$, su pico más bajo y su área constante.*

**Ejemplo 30.9 (Quién se ensancha).**

Un electrón localizado en $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$: $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar
= 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — tras un nanosegundo su paquete mide $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ de ancho: un electrón dejado a solas no se queda quieto; ligado en un átomo no se ensancha porque el potencial lo sujeta (un [estado estacionario](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary)). Un grano de polvo de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ localizado en $1\,\text{µ}\mathrm{m}$: $\tau =
2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, ocho meses; una bala: más que la edad del universo. El ensanchamiento cuántico es real, e invisible para todo lo que puede verse.

**Observación 30.10 (Energía y tiempo).**

Un estado que solo existe durante $\Delta t$ — un átomo excitado de vida media $\tau$, un [tren de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de longitud $c\tau$ — es una superposición de energías repartidas en $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$: la relación de Fourier de [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#ch-b2-scalar-light-model) entre la duración de un tren y su [anchura espectral](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence), aplicada ahora a $E = \hbar\omega$. Un nivel atómico de vida media $10\,\mathrm{ns}$ tiene una anchura $\Delta E = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$, una anchura natural de raya de $16\,\mathrm{MHz}$; la anchura Doppler de [Capítulo 23](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/23-el-laser-emision-estimulada-y-haces-gaussianos#ch-b2-laser) ($1.5\,\mathrm{GHz}$) la esconde en un gas, pero no en un átomo frío o un ion en reposo.

**Método 30.11 (Cómo trabajar con funciones de onda).**

(1) Normalícese; las probabilidades son $\int|\psi|^2$ sobre la región. (2) Con $V$ independiente del tiempo: búsquese $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$, resuélvase la ecuación estacionaria e impónganse las condiciones de contorno — los niveles. (3) Superpónganse [estados estacionarios](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) para la evolución; dos niveles baten a $(E_2 - E_1)/h$. (4) Movimiento libre: $v_{\text{g}} = p/m$, tiempo de ensanchamiento $2m\sigma_0^2/\hbar$. (5) Corrientes: $j = (\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$; para $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$, $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (sin término cruzado). (6) Límite clásico: Ehrenfest, y $\lambda$ frente al tamaño del aparato.

## 30.6 Ejercicios

**Ejercicio 30.1 ★.**

Longitudes de onda de De Broglie: un electrón de $100\,\mathrm{eV}$, de $10\,\mathrm{keV}$ y de $100\,\mathrm{keV}$ (úsese $p = \sqrt{2mE}$ y dígase después por qué el último necesita una corrección); un neutrón térmico ($25\,\mathrm{meV}$, $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$); una molécula de C$_{60}$ ($m = 1.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}$) a $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; y una pelota de tenis. ¿Cuáles de ellos muestran interferencias?

**Solución de Ejercicio 30.1.**

$h/\sqrt{2mE}$: $0.123\,\mathrm{nm}$, $12.3\,\mathrm{pm}$, $3.9\,\mathrm{pm}$ (a $100\,\mathrm{keV}$ la energía cinética es un quinto de $mc^2$; el momento relativista da $3.7\,\mathrm{pm}$); neutrón $0.18\,\mathrm{nm}$; C$_{60}$ $2.8\,\mathrm{pm}$; pelota de tenis, $\sim 10^{-34}\,\mathrm{m}$. Todos salvo la pelota han mostrado interferencias.

**Ejercicio 30.2 ★.**

$\psi(x) = A\eu^{-x^2/2a^2}$: $A$ (úsese $\int\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$); $\langle x\rangle$, $\Delta x$; probabilidad de encontrar la partícula en $|x| < a$ ($\operatorname{erf}(1) = 0.84$) y en $|x| < 2a$ ($0.9995$).

**Solución de Ejercicio 30.2.**

$A = (\pi a^2)^{-1/4}$; $\langle x\rangle = 0$, $\Delta x = a/\sqrt2$; $0.84$; $0.9995$.

**Ejercicio 30.3 ★.**

Compruébese que $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ resuelve la ecuación cuando $\varphi$ resuelve la estacionaria. Frecuencia del fasor para $E = 1\,\mathrm{eV}$; para una superposición de dos niveles separados $2\,\mathrm{eV}$, frecuencia y longitud de onda de la oscilación de $|\psi|^2$ — y de la luz emitida.

**Solución de Ejercicio 30.3.**

La sustitución da $E\varphi = -(\hbar^2/2m)\varphi'' + V\varphi$. $E/h =
2.4 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $4.8 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $620\,\mathrm{nm}$: la luz roja que emite la transición.

**Ejercicio 30.4 ★.**

Tiempo de ensanchamiento $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ y anchura tras $1\,\mathrm{ns}$ y $1\,\mathrm{s}$: un electrón con $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ y con $\sigma_0 = 1\,\mathrm{mm}$; un protón con $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$; un grano de $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ con $\sigma_0 = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$. ¿Por qué se quedan las cosas donde se dejan?

**Solución de Ejercicio 30.4.**

Electrón, $1\,\mathrm{nm}$: $\tau = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ tras $1\,\mathrm{ns}$ y $60\,\mathrm{km}$ tras $1\,\mathrm{s}$; con $1\,\mathrm{mm}$: $\tau = 17\,\mathrm{s}$, sin cambio tras $1\,\mathrm{ns}$ y $+0.2\%$ tras $1\,\mathrm{s}$; protón, $1\,\mathrm{nm}$: $\tau = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$, $30\,\mathrm{nm}$ y $30\,\mathrm{m}$; grano: $\tau = 600$ años. Para los objetos visibles $\tau$ es astronómico — y su entorno los relocaliza sin cesar.

**Ejercicio 30.5 ★★.**

*Corriente.* (a) Dedúzcase la [ecuación de continuidad](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#thm-b2-fluid-kinematics-continuity). (b) $j$ para $A\eu^{\iu kx}$, para $A\sin kx$ y para $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$. (c) ¿Por qué es la ausencia de término cruzado en el último caso la afirmación de que los flujos reflejado e incidente simplemente se restan? (d) Muéstrese que para una [función de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) real $j = 0$: un [estado estacionario](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) ligado no lleva corriente.

**Solución de Ejercicio 30.5.**

(a) [Proposición 30.5](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-current). (b) $|A|^2\hbar k/m$; $0$; $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$. (c) Los flujos incidente y reflejado se restan sin término de interferencia: los [coeficientes de transmisión](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/15-reflexion-y-transmision-en-las-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-normal) y de reflexión pueden definirse a partir de los flujos. (d) $\psi^*\psi'$ es real y su parte imaginaria, nula.

**Ejercicio 30.6 ★★.**

*Un paquete gaussiano.* $\psi(x,0) = A\eu^{\iu k_0x}\eu^{-x^2/4\sigma^2}$. (a) $A$, $\langle x\rangle$, $\Delta x$. (b) $\langle p\rangle$ con $\hat p =
-\iu\hbar\partial_x$. (c) Admitiendo $\Delta p = \hbar/2\sigma$, compruébese $\Delta x\Delta p = \hbar/2$. (d) Demuéstrese $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle
p\rangle/m$ a partir de la [ecuación de continuidad](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/2-cinematica-de-fluidos#thm-b2-fluid-kinematics-continuity).

**Solución de Ejercicio 30.6.**

(a) $A = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}$, $\langle x\rangle = 0$, $\Delta x = \sigma$. (b) $\hbar k_0$. (c) $\sigma \times \hbar/2\sigma = \hbar/2$. (d) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\,
\partial_t\rho = -\int x\,\partial_xj = \int j = (\hbar/m)\operatorname{Im}\int\psi^*
\psi' = \langle p\rangle/m$.

**Ejercicio 30.7 ★★.**

*Electrones en un tubo.* Unos electrones acelerados con $100\,\mathrm{V}$ recorren $30\,\mathrm{cm}$. (a) Celeridad, longitud de onda y tiempo de vuelo. (b) [Velocidades de fase](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) y de grupo; ¿cuál es la del electrón? (c) Un paquete inicialmente de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de ancho: tiempo de ensanchamiento y anchura a la llegada. (d) [Difracción](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/22-difraccion-de-fraunhofer-y-filtrado-espacial#def-b2-diffraction-huygens) por una abertura de $0.3\,\mathrm{mm}$ por el camino: apertura angular y mancha en la pantalla. ¿Vale la imagen de los rayos?

**Solución de Ejercicio 30.7.**

(a) $5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $0.123\,\mathrm{nm}$, $51\,\mathrm{ns}$. (b) $v_\varphi = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_{\text{g}} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: esta última. (c) $\tau = 1.7\,\text{µ}\mathrm{s} \gg
51\,\mathrm{ns}$: sin cambio. (d) $\lambda/a = 4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$, $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$: los rayos van bien.

**Ejercicio 30.8 ★★.**

*Fases.* (a) Muéstrese que $\psi$ y $\eu^{\iu\theta}\psi$ dan las mismas predicciones. (b) Para $\psi = (\psi_1 + \eu^{\iu\alpha}\psi_2)/\sqrt2$, escríbase $|\psi|^2$ y muéstrese que $\alpha$ importa. (c) En la doble rendija, ¿qué son $\psi_1$ y $\psi_2$, y qué fija su fase relativa en un punto de la pantalla? (d) ¿Por qué destruye las franjas detectar por qué rendija pasó el electrón (cualitativamente)?

**Solución de Ejercicio 30.8.**

(a) $|\psi|^2$ y todos los valores medios no cambian. (b) $\tfrac12(|\psi_1|^2
+ |\psi_2|^2) + \operatorname{Re}(\eu^{\iu\alpha}\psi_1^*\psi_2)$. (c) Las ondas de las dos rendijas; su fase relativa vale $k(r_2 - r_1)$. (d) El detector acaba en estados distintos para los dos caminos; las dos componentes ya no interfieren, y el patrón es la suma de dos patrones de una sola rendija.

**Ejercicio 30.9 ★★.**

*Ehrenfest.* (a) Para $V = \tfrac12m\omega^2x^2$, muéstrese que $\langle
x\rangle$ obedece exactamente a $\ddot{\langle x\rangle} = -\omega^2\langle x\rangle$. (b) Para $V = mgx$, $\langle x\rangle$ cae como una piedra. (c) Para un $V$ general, ¿cuándo vale $\langle V'(x)\rangle \approx V'(\langle x\rangle)$? (d) Una bolita de $1\,\mathrm{g}$ en un cuenco: estímese el tamaño de paquete que haría falta para que fuese “cuántica” y compárese con un átomo.

**Solución de Ejercicio 30.9.**

(a) $\langle V'\rangle = m\omega^2\langle x\rangle$: exacto. (b) $\langle V'\rangle
= mg$: exacto. (c) Cuando el paquete es estrecho frente a la escala en la que varía $V''$. (d) Su longitud de onda a $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vale $10^{-29}\,\mathrm{m}$; el paquete tendría que ser tan ancho como el cuenco para importar. La longitud de onda térmica de un átomo, $0.1\,\mathrm{nm}$, es su propio tamaño.

**Ejercicio 30.10 ★★★.**

*El bamboleo.* En una caja $0 < x < L$ de paredes impenetrables, los [estados estacionarios](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) son $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$, $E_n =
n^2h^2/8mL^2$ ([Capítulo 31](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/31-pozos-de-potencial-barreras-y-efecto-tunel#ch-b2-potential-wells-tunneling)). Tómese $\psi =
(\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/\sqrt2$. (a) $|\psi|^2$ en función del tiempo. (b) Muéstrese que $\langle x\rangle = L/2 -
(16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ (úsese $\int_0^L x\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\dd x
= -8L^2/9\pi^2$). (c) Electrón con $L = 1\,\mathrm{nm}$: $E_2 - E_1$, la frecuencia y la longitud de onda de la oscilación. (d) ¿Qué hace una carga que oscila ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/17-radiacion-dipolar-y-dispersion#ch-b2-dipole-radiation))? Conclúyase sobre las rayas espectrales.

**Solución de Ejercicio 30.10.**

(a) $\tfrac12(\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varphi_1\varphi_2\cos\omega_{21}t$. (b) $L/2 +
\cos\omega_{21}t\int x\varphi_1\varphi_2 = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$. (c) $3h^2/8mL^2 = 1.13\,\mathrm{eV}$, $2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) Radia a $\nu_{21}$: la raya; un [estado estacionario](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) puro no tiene [dipolo oscilante](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/17-radiacion-dipolar-y-dispersion#thm-b2-dipole-radiation-field) y no radia.

**Ejercicio 30.11 ★★★.**

*El ensanchamiento, deducido.* El paquete $\psi(x,0) \propto \eu^{-x^2/4\sigma_0^2}$ es la superposición $\int g(k)\eu^{\iu kx}\dd k$ con $g(k) \propto
\eu^{-\sigma_0^2k^2}$ (admitido: la transformada de Fourier de una gaussiana es una gaussiana, de anchura $1/2\sigma_0$ en $k$). (a) Escríbase $\psi(x,t)$ dando a cada componente su fase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$. (b) Complétese el cuadrado en el exponente y admítase $\int\eu^{-\alpha k^2 + \beta k}\dd k = \sqrt{\pi/\alpha}\,
\eu^{\beta^2/4\alpha}$ para $\alpha$ complejo de parte real positiva: muéstrese que $|\psi|^2$ es una gaussiana de anchura $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m
\sigma_0^2)^2}$. (c) Interprétese $\tau$ mediante $\Delta v = \Delta p/m$. (d) ¿Por qué no se ensancha en el vacío un paquete de fotones?

**Solución de Ejercicio 30.11.**

(a) $\psi \propto \int\eu^{-\sigma_0^2k^2}\eu^{\iu(kx - \hbar k^2t/2m)}\dd k$. (b) $\alpha =
\sigma_0^2 + \iu\hbar t/2m$, $\beta = \iu x$: $|\psi|^2 \propto \exp[-x^2/2\sigma_0^2(1 +
(\hbar t/2m\sigma_0^2)^2)]$. (c) $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$, y $\Delta v\,\tau =
\sigma_0$. (d) $\omega = ck$: sin dispersión, todas las componentes a $c$.

**Ejercicio 30.12 ★★★.**

*Energía y tiempo.* (a) Un estado que decae como $\eu^{-t/2\tau}\eu^{-\iu E_0t/\hbar}$ (con probabilidad $\eu^{-t/\tau}$) es una superposición de energías: admitiendo que su distribución de energías es una lorentziana de anchura total $\Gamma =
\hbar/\tau$, dese $\Gamma$ para $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ (un átomo), $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ y $1 \times 10^{-23}\,\mathrm{s}$ (una resonancia hadrónica, en MeV). (b) Anchura natural de raya del nivel de $10\,\mathrm{ns}$ en frecuencia; compárese con la anchura Doppler de $1.5\,\mathrm{GHz}$. (c) ¿Cómo se ve la anchura natural (átomos fríos, iones atrapados)? (d) Relaciónese con la [longitud de coherencia](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) del [tren de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/18-el-modelo-escalar-de-la-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) emitido.

**Solución de Ejercicio 30.12.**

(a) $\Gamma = \hbar/\tau$: $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$; $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$; $66\,\mathrm{MeV}$. (b) $1/2\pi\tau = 16\,\mathrm{MHz}$, cien veces menos que la Doppler. (c) En los átomos fríos y los iones atrapados la anchura Doppler desaparece y se alcanza la anchura natural — la base de los patrones de frecuencia. (d) $c\tau =
3\,\mathrm{m}$, la longitud del tren.

## 30.7 Problema: el electrón en un tubo y el ensanchamiento de un paquete de ondas

**Problema 30.1.**

Problema de fin de semana — cuándo es partícula un electrón y cuándo onda

Datos: $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $m_{\text{e}} =
9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$.

**Parte I — El tubo de rayos catódicos.** Los electrones salen de un cátodo caliente con energía despreciable, se aceleran con $U = 20\,\mathrm{kV}$, pasan por una abertura de $0.3\,\mathrm{mm}$ y golpean una pantalla a $40\,\mathrm{cm}$.

1. Celeridad y momento lineal (no relativistas); longitud de onda de De Broglie.
2. La energía cinética es el $4\%$ de $mc^2$ : ¿es aceptable el tratamiento no relativista para este problema?
3. Tiempo de vuelo hasta la pantalla.
4. [Difracción](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/22-difraccion-de-fraunhofer-y-filtrado-espacial#def-b2-diffraction-huygens) por la abertura: apertura angular $\sim\lambda/a$ y la mancha que produce en la pantalla; compárese con un píxel ( $0.3\,\mathrm{mm}$ ).
5. Heisenberg en la abertura: $\Delta p_y \gtrsim \hbar/2a$ da la misma apertura — compruébese.
6. Un paquete de $0.3\,\mathrm{mm}$ de ancho a lo largo del haz: tiempo de ensanchamiento $2m\sigma_0^2/\hbar$ y anchura en la pantalla.
7. Unas placas deflectoras aplican una fuerza transversal: por Ehrenfest, ¿cómo se mueve $\langle y\rangle$ ? Conclúyase que el tubo es un aparato clásico.
8. [Velocidad de fase](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) de la onda del electrón; ¿por qué no es paradójico que difiera de la celeridad del electrón?

**Parte II — [Paquetes de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-group).**

9. Para un paquete gaussiano de anchura $\sigma_0$ : $\Delta p$ y la dispersión de velocidades $\Delta v$ .
10. Tiempo de ensanchamiento de un electrón con $\sigma_0 = 0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{nm}$ y $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; de un protón con $1\,\mathrm{nm}$ ; y de un virus ( $1 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) con $10\,\mathrm{nm}$ .
11. Un electrón de un átomo de hidrógeno está localizado en $0.1\,\mathrm{nm}$ y no se ensancha: ¿por qué?
12. Un electrón libre de $1\,\mathrm{eV}$ con $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : ¿cuánto recorre antes de duplicar su anchura? Compárese con la longitud de onda.
13. En un metal, los electrones de conducción son ondas de $\lambda \approx  0.5\,\mathrm{nm}$ por todo el cristal: ¿en qué sentido están “deslocalizados”?
14. Un microscopio electrónico a $100\,\mathrm{keV}$ tiene $\lambda \approx  4\,\mathrm{pm}$ y sin embargo solo resuelve $0.1\,\mathrm{nm}$ : ¿por qué (sus lentes magnéticas admiten un semiángulo de unos $10\,\mathrm{mrad}$ )?
15. Dese el criterio que decide si un objeto debe tratarse con una [función de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) o con Newton.

**Parte III — [Estados estacionarios](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) y transiciones.** Un electrón está confinado en $0 < x < L = 1\,\mathrm{nm}$; $\varphi_n =
\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$, $E_n = n^2h^2/8mL^2$.

16. $E_1$ , $E_2$ y $E_3$ en electronvoltios; las [frecuencias de Bohr](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) $\nu_{21}$ y $\nu_{31}$ y las longitudes de onda.
17. Compruébese que $|\varphi_n\eu^{-\iu E_nt/\hbar}|^2$ no depende del tiempo; ¿dónde es más probable encontrar el electrón en el estado fundamental?
18. Para $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/  \sqrt2$ : $|\psi|^2$ en $t = 0$ y en $t = T_{21}/2$ ; dibújese.
19. $\langle x\rangle(t)$ (dado $\int_0^Lx\varphi_1\varphi_2\dd x = -16L/9\pi^2$ ): amplitud del bamboleo.
20. El [dipolo oscilante](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/17-radiacion-dipolar-y-dispersion#thm-b2-dipole-radiation-field) $e\langle x\rangle$ radia: ¿a qué frecuencia, y qué dice eso sobre las rayas espectrales y sobre la estabilidad de los [estados estacionarios](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) ?
21. Energía del estado $\psi$ : ¿es $E_1$ , $E_2$ u otra cosa? ¿Qué da una medida?

**Parte IV — Interpretación.**

22. En el experimento de la doble rendija con un electrón cada vez, ¿qué es aleatorio y qué no?
23. Escríbase la [corriente de probabilidad](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-current) de $A\eu^{\iu kx}$ y relaciónese con un haz de $n$ electrones por unidad de longitud a la celeridad $v$ .
24. ¿Por qué debe ser compleja y de primer orden en el tiempo la ecuación de Schrödinger (dos razones)?
25. Resúmase en cinco líneas: la [función de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) , la ecuación, los [estados estacionarios](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) , el paquete y el límite clásico.

**Solución de Problema 30.1.**

**1.** $v = \sqrt{2eU/m} = 8.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $p = 7.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\lambda =
8.7\,\mathrm{pm}$.

**2.** Errores de un pequeño porcentaje: aceptable para estimaciones ($\lambda =
8.6\,\mathrm{pm}$ exactamente).

**3.** $4.8\,\mathrm{ns}$.

**4.** $\lambda/a = 3 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$: $12\,\mathrm{nm}$ — $10^4$ veces menor que un píxel.

**5.** $\Delta\theta = \Delta p_y/p \sim \hbar/2ap = \lambda/4\pi a$: el mismo orden.

**6.** $\tau = 1.6\,\mathrm{ms} \gg 4.8\,\mathrm{ns}$: sin cambio.

**7.** $\dd\langle p_y\rangle/\dd t = eE$ exactamente para un campo uniforme: $\langle y\rangle$ sigue la parábola clásica; el tubo es un instrumento clásico.

**8.** $v/2 = 4.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; solo la [velocidad de grupo](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) es observable; la fase de una onda plana no lleva señal (y depende del cero arbitrario de energías).

**9.** $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$, $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$.

**10.** $1.7 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}$, $1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$; protón $3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$; virus $20\,\mathrm{s}$.

**11.** Está en un [estado estacionario](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary): el potencial sujeta el paquete y $|\varphi|^2$ no se mueve.

**12.** $v = 5.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; se duplica en $t = \sqrt3\tau = 2.9 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$: $17\,\mathrm{nm}$, unas catorce longitudes de onda.

**13.** Sus funciones de onda se extienden por todo el cristal: un momento definido y ninguna posición definida.

**14.** Resolución $\sim\lambda/\alpha = 4\,\mathrm{pm}/0.01 = 0.4\,\mathrm{nm}$: lo que limita es la abertura por las aberraciones de las lentes magnéticas, no la longitud de onda.

**15.** Compárese $\lambda$ con los tamaños en juego (aberturas, la escala de $V$), y el tiempo de ensanchamiento con el tiempo de observación.

**16.** $0.38\,$, $1.50\,$, $3.38\,\mathrm{eV}$; $\nu_{21} = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ($1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$), $\nu_{31} = 7.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ($410\,\mathrm{nm}$).

**17.** El fasor tiene módulo uno; en $x = L/2$.

**18.** En $t = 0$ la densidad se amontona en la mitad izquierda, y en $T_{21}/2$ en la derecha.

**19.** $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$: amplitud $0.18L = 0.18\,\mathrm{nm}$.

**20.** A $\nu_{21}$: la raya espectral; un [estado estacionario](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) no tiene [dipolo oscilante](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/17-radiacion-dipolar-y-dispersion#thm-b2-dipole-radiation-field) y es estable; la superposición radia hasta caer a $\varphi_1$.

**21.** No es definida: $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2 = 0.94\,\mathrm{eV}$; una medida da $E_1$ o $E_2$, cada uno con probabilidad un medio.

**22.** Aleatorio: dónde cae cada electrón; no aleatorio: el patrón $|\psi|^2$ que construyen las caídas.

**23.** $j = |A|^2\hbar k/m$: con $|A|^2 = n$ electrones por unidad de longitud, $nv$ electrones por segundo.

**24.** De primer orden para que $\psi(x,0)$ sea una descripción completa que fija el futuro; compleja para que una energía definida tenga la única dependencia temporal $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ y salga $E = p^2/2m$.

**25.** $\psi$ es la amplitud cuyo cuadrado es la probabilidad; obedece a la ecuación lineal de Schrödinger; los [estados estacionarios](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) llevan un fasor y densidades fijas; un paquete libre se mueve a $p/m$ y se ensancha en $2m\sigma_0^2/\hbar$; y Ehrenfest devuelve a Newton para lo grande.