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title: "Dispersión y paquetes de ondas"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas
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# Capítulo 8 — Dispersión y paquetes de ondas

Tírese una piedra a un estanque y obsérvese el anillo de ondas: nacen crestas nuevas en su borde interior, lo recorren hacia fuera y mueren en su borde exterior — el anillo entero se mueve más despacio que las crestas que lo forman. Siéntese uno en una playa después de una tormenta lejana y el mar de fondo, largo y lento, llegará un día antes que el oleaje corto: el mar clasifica las ondas por su longitud de onda. El primer cable telegráfico transatlántico, en 1858, convertía puntos y rayas nítidos en un borrón que costaba minutos leer. En los tres casos la celeridad de una onda depende de su frecuencia: el medio es *dispersivo*. Este capítulo presenta la [relación de dispersión](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), el [número de onda complejo](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) que lleva a la vez la propagación y la absorción, la [velocidad de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) a la que viaja realmente un paquete — y su energía, y su información — y la línea por la que han viajado la telegrafía, la televisión e internet: el [cable coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).

## 8.1 La relación de dispersión

**Definición 8.1 (Relación de dispersión; velocidad de fase).**

Un medio lineal, homogéneo e invariante en el tiempo admite las ondas planas monocromáticas $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ (en notación compleja; la señal física es la parte real) siempre que $\omega$ y $k$ cumplan la *relación de dispersión* del medio, $\mathcal D(\omega, k)
= 0$, resuelta como $k(\omega)$ o como $\omega(k)$. Para $k$ real la onda viaja sin deformarse a la *velocidad de fase*

$$
v_\varphi = \frac\omega k .
$$

El medio es *no dispersivo* cuando $v_\varphi$ no depende de $\omega$ (entonces $\omega = ck$ y toda señal se propaga sin deformarse — la [ecuación de d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation)), y *dispersivo* en caso contrario.

**Demostración.** Sustituir $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ en una ecuación lineal de coeficientes constantes convierte cada $\partial_t$ en $\iu\omega$ y cada $\partial_x$ en $-\iu k$, y deja una relación algebraica. La cuerda, la onda sonora y la barra dieron $\omega^2 = c^2k^2$. ∎

**Ejemplo 8.2 (Medios dispersivos y no dispersivos).**

(i) Una cuerda sobre un lecho elástico (fuerza recuperadora $-Ky$ por unidad de longitud, o una cadena de péndulos), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$: $\omega^2 = \omega_c^2
+ c^2k^2$ con $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — la relación de *Klein–Gordon*, la misma que la de un plasma y la de una guía de ondas (Capítulos [14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media) y [16](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/16-ondas-guiadas-y-cavidades#ch-b2-guided-waves)): $v_\varphi = c/\sqrt{1 -
\omega_c^2/\omega^2} > c$, y ningún $k$ real por debajo de la *frecuencia de corte* $\omega_c$. (ii) Ondas de gravedad en aguas profundas: $\omega^2 = gk$ (admitida), $v_\varphi =
\sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$: las ondas largas son más rápidas — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $100\,\mathrm{m}$ y $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $1\,\mathrm{km}$. (iii) La [cadena de átomos](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-chain), $\omega =
2\omega_0|\sin(ka/2)|$ ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#ch-b2-waves-on-strings)). (iv) La luz en el vidrio, $k = n(\omega)\omega/c$, y por eso un prisma despliega un espectro.

![A la izquierda, tres relaciones de dispersión: una recta para un medio no dispersivo, la hipérbola de Klein–Gordon con su frecuencia de corte y la parábola de las ondas en aguas profundas. A la derecha, para la relación de Klein–Gordon la velocidad de fase supera a c y la velocidad de grupo se queda por debajo, con v_ v_g = c2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-0ac45db78980.svg)

![A la izquierda, tres relaciones de dispersión: una recta para un medio no dispersivo, la hipérbola de Klein–Gordon con su frecuencia de corte y la parábola de las ondas en aguas profundas. A la derecha, para la relación de Klein–Gordon la velocidad de fase supera a c y la velocidad de grupo se queda por debajo, con v_ v_g = c2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-13ea8dd56949.svg)

*A la izquierda, tres relaciones de dispersión: una recta para un medio no dispersivo, la hipérbola de Klein–Gordon con su frecuencia de corte y la parábola de las [ondas en aguas profundas](#ex-b2-dispersion-wave-packets-examples). A la derecha, para la relación de Klein–Gordon la [velocidad de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) supera a $c$ y la [velocidad de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) se queda por debajo, con $v_\varphi v_g = c^2$.*

**Definición 8.3 (Número de onda complejo: propagación y atenuación).**

Cuando la [relación de dispersión](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) da, para $\omega$ real, un $\underline k = k' - \iu k''$ complejo, la onda vale

$$
\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :
$$

se propaga a $v_\varphi = \omega/k'$ y su amplitud decae como $\eu^{-x/\delta}$, con la *longitud de atenuación* $\delta = 1/k''$ (debe decaer en su sentido de propagación: $k'$ y $k''$ del mismo signo). Si $\underline k$ es imaginario puro, $\underline k = -\iu\kappa$, la onda es *evanescente*: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$, una oscilación estacionaria cuya amplitud muere en la distancia $1/\kappa$ sin propagar nada — el caso de un medio de Klein–Gordon por debajo de su corte, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$, y el de un metal a frecuencias ópticas.

**Ejemplo 8.4 (Una cuerda amortiguada).**

Una cuerda en un fluido viscoso, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$: $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$. Con amortiguamiento débil ($\alpha \ll \mu
\omega$), $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$: la onda conserva su celeridad y pierde amplitud en $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$, independiente de la frecuencia — una pérdida *disipativa* y no dispersiva, de $8.7\,\mathrm{dB}$ por cada longitud $\delta$.

## 8.2 Paquetes de ondas y velocidad de grupo

**Proposición 8.5 (Batidos; velocidad de grupo).**

Dos ondas de igual amplitud y frecuencias vecinas $\omega \pm
\delta\omega$, con números de onda $k \pm \delta k$, se superponen dando

$$
s = 2A\cos(\delta\omega\,t - \delta k\,x)\cos(\omega t - kx) :
$$

una portadora en $(\omega, k)$ que se mueve a $v_\varphi = \omega/k$, modulada por una envolvente lenta que se mueve a $\delta\omega/\delta k$. Un *[paquete de ondas](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)* — una superposición de ondas monocromáticas con números de onda en una banda estrecha en torno a $k_0$ — viaja, en conjunto, a la *[velocidad de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)*

$$
v_g = \frac{\dd\omega}{\dd k}\Bigr|_{k_0} ,
$$

que es la velocidad de su energía y de la información que transporta. En un medio no dispersivo $v_g = v_\varphi = c$; en caso contrario el paquete se deforma al avanzar (se *ensancha*), tanto más deprisa cuanto mayor sea $\dd^2\omega/\dd k^2$ y cuanto más estrecha sea su anchura espacial, complementaria de la de su espectro.

**Demostración.** La transformación de suma en producto da los batidos. Para un paquete, escríbase $s =
\int a(k)\eu^{\iu(\omega(k)t - kx)}\dd k$ (una superposición de Fourier — la integral de Fourier se estudia en el volumen de matemáticas del Año 3; aquí solo se usa su interpretación como suma continua de sinusoides), con $a(k)$ concentrada en torno a $k_0$. Desarróllese $\omega(k) \approx \omega_0 + v_g(k - k_0)$: entonces $s \approx \eu^{\iu(\omega_0t - k_0x)}\int a(k)\eu^{\iu(k - k_0)(v_gt - x)}\dd k$, una portadora por una envolvente que es función solo de $x - v_gt$ — la envolvente se mueve a $v_g$. El término siguiente, $\tfrac12\omega''(k_0)(k - k_0)^2t$, desfasa las componentes con el tiempo y ensancha la envolvente. La energía de un paquete está donde está su envolvente; y lo mismo toda señal. ∎

![Batidos: dos frecuencias vecinas producen una portadora rápida (que se mueve a la velocidad de fase) bajo una envolvente lenta (que se mueve a la velocidad de grupo); en un medio dispersivo las dos celeridades difieren y las crestas se deslizan por dentro de la envolvente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-82cfe920136c.svg)

*Batidos: dos frecuencias vecinas producen una portadora rápida (que se mueve a la [velocidad de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation)) bajo una envolvente lenta (que se mueve a la [velocidad de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)); en un [medio dispersivo](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) las dos celeridades difieren y las crestas se deslizan por dentro de la envolvente.*

**Ejemplo 8.6 (Aguas profundas: las crestas adelantan al grupo).**

$\omega = \sqrt{gk}$: $v_g = \tfrac12\sqrt{g/k} = \tfrac12v_\varphi$. Un grupo de mar de fondo se mueve a la mitad de la celeridad de sus crestas: al mirar un tren de olas se ven crestas que aparecen por detrás del grupo, lo recorren y se desvanecen por delante — exactamente el anillo del estanque. Una tormenta a $3000\,\mathrm{km}$ manda su mar de fondo de $15\,\mathrm{s}$ ($\lambda = gT^2/2\pi = 350\,\mathrm{m}$, $v_g =
gT/4\pi = 11.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) en tres días, y sus olas de $8\,\mathrm{s}$ ($v_g =
6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) en cinco y medio: de los tiempos de llegada de los distintos periodos, los oceanógrafos localizan la tormenta.

![La estela de una lancha en un lago en calma: el dibujo en pluma se mantiene dentro de una cuña de ángulo fijo porque la energía de cada onda de agua viaja a la mitad de la celeridad de sus crestas — la dispersión hecha visible.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/img-448c85f67c55.jpg)

*La estela de una lancha en un lago en calma: el dibujo en pluma se mantiene dentro de una cuña de ángulo fijo porque la energía de cada onda de agua viaja a la mitad de la celeridad de sus crestas — la dispersión hecha visible.*

**Ejemplo 8.7 (Klein–Gordon: más rápido que la luz, y no).**

Para $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$: $v_\varphi = \omega/k$ y $v_g = c^2k/\omega$, luego $v_\varphi v_g = c^2$: la [velocidad de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) supera a $c$ (en la ionosfera, las crestas de una onda de $10\,\mathrm{MHz}$ se mueven más deprisa que la luz), pero la [velocidad de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group), que es la que lleva la señal, se queda por debajo. Una [velocidad de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) no transporta ni energía ni información — las crestas son como la mancha del haz de un faro que barre una nube lejana.

**Observación 8.8 (El ensanchamiento).**

Un paquete de anchura espacial $\Delta x$ contiene números de onda en un intervalo $\Delta k \sim
1/\Delta x$ (la reciprocidad de Fourier, admitida); las [velocidades de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) de sus componentes difieren en $\Delta v_g \approx |\omega''|\Delta k$, de modo que al cabo de un tiempo $t$ se ha ensanchado en $|\omega''|\Delta k\,t$: duplica su anchura tras $t_{\text{ens}}
\sim \Delta x^2/|\omega''|$. Un paquete de diez ondas de aguas profundas de $100\,\mathrm{m}$ ($\Delta x \approx 1\,\mathrm{km}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) se duplica en unas seis horas; un pulso de luz de $1\,\mathrm{ns}$ en una fibra óptica se ensancha decenas de picosegundos por kilómetro — el límite del caudal binario de los enlaces largos. El [paquete de ondas](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) cuántico de [Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/30-la-ecuacion-de-schrodinger-y-las-funciones-de-onda#ch-b2-schrodinger-wave-functions) se ensancha por la misma razón.

## 8.3 El cable coaxial

**Proposición 8.9 (Ecuaciones del telegrafista; línea sin pérdidas).**

Un [cable coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) (o cualquier línea de dos conductores) tiene, por unidad de longitud, una inductancia $\Lambda$ y una capacidad $\Gamma$. La tensión $v(x, t)$ entre los conductores y la intensidad $i(x, t)$ en el conductor interior obedecen las *[ecuaciones del telegrafista](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax)*

$$
\frac{\partial v}{\partial x} = -\Lambda\frac{\partial i}{\partial t} , \qquad
\frac{\partial i}{\partial x} = -\Gamma\frac{\partial v}{\partial t} ,
$$

de donde la [ecuación de d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) para $v$ y para $i$ con

$$
c = \frac1{\sqrt{\Lambda\Gamma}} , \qquad
v = Z_c\,i \ \text{para una onda hacia } +x, \quad Z_c = \sqrt{\frac\Lambda\Gamma} ,
$$

siendo $Z_c$ la *[impedancia característica](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax)* de la línea. Para un [cable coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) de radios $a < b$ relleno de un dieléctrico de permitividad relativa $\varepsilon_r$, $\Lambda = \dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac ba$, $\Gamma =
\dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$, luego $c = c_0/\sqrt{\varepsilon_r}$ (unos $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dos tercios de la velocidad de la luz) y $Z_c = \dfrac{60\,\Omega}
{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\dfrac ba$: $50\,\Omega$ o $75\,\Omega$ en los cables habituales.

**Demostración.** Modélese la rodaja $[x, x + \dd x]$ como una inductancia en serie $\Lambda\dd x$ y una capacidad en paralelo $\Gamma\dd x$: la caída de tensión a lo largo de la rodaja vale $\Lambda\dd x\,\partial_ti$, y la corriente que se escapa por la capacidad es $\Gamma\dd x
\,\partial_tv$. Derívense cruzadamente. Para $v = f(x - ct)$, la primera ecuación da $i = f(x - ct)/\Lambda c = v/\sqrt{\Lambda/\Gamma}$. Los valores de $\Lambda$ y de $\Gamma$ son los del condensador cilíndrico y los de la bobina coaxial calculados en el volumen del Año 1. ∎

![A la izquierda, el circuito equivalente de una rodaja x de una línea sin pérdidas — inductancia en serie, capacidad en paralelo — del que se siguen las ecuaciones del telegrafista. A la derecha, un cable coaxial en sección; su y su dependen solo del cociente de radios y del dieléctrico.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-48f299bc2ded.svg)

*A la izquierda, el circuito equivalente de una rodaja $\dd x$ de una línea sin pérdidas — inductancia en serie, capacidad en paralelo — del que se siguen las [ecuaciones del telegrafista](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax). A la derecha, un [cable coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) en sección; su $\Lambda$ y su $\Gamma$ dependen solo del cociente de radios y del dieléctrico.*

![Un cable coaxial: alma interior, dieléctrico y conductor exterior trenzado — una línea de transmisión cuya inductancia y cuya capacidad por metro fijan su celeridad y su impedancia característica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/img-865be02f9b05.jpg)

*Un [cable coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax): alma interior, dieléctrico y conductor exterior trenzado — una [línea de transmisión](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) cuya inductancia y cuya capacidad por metro fijan su celeridad y su [impedancia característica](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).*

**Proposición 8.10 (Línea con pérdidas; la condición de no distorsión).**

Con una resistencia en serie $R$ y una conductancia en paralelo $G$ por unidad de longitud, las ecuaciones pasan a ser $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$, $\partial_xi =
-\Gamma\partial_tv - Gv$, y la [relación de dispersión](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k^2 = (\Lambda\omega -
\iu R)(\Gamma\omega - \iu G)$: la línea es dispersiva y atenuante. Dos límites: (i) $R/\Lambda = G/\Gamma$ ([condición de Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy), que se alcanza añadiendo inductancia): $\underline k = \omega\sqrt{\Lambda\Gamma} - \iu\sqrt{RG}$, toda frecuencia viaja a la misma celeridad con la misma [atenuación](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) — la línea *atenúa* pero no *distorsiona*. (ii) $\Lambda \approx 0$, $G \approx 0$ (los primeros cables submarinos): $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$, una ecuación de *difusión* — un pulso no se propaga, sino que se difumina y alcanza la distancia $L$ tras un tiempo $\sim R\Gamma L^2$ (la [ley de los cuadrados de Kelvin](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy)), cien veces mayor para un cable diez veces más largo.

**Demostración.** Sustitúyase $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$: $-\iu kv = -(\iu\omega\Lambda + R)i$, $-\iu ki = -(\iu
\omega\Gamma + G)v$; multiplíquense. Bajo la [condición de Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy) el producto es un cuadrado perfecto. El límite difusivo suprime los términos $\iu\omega\Lambda$ y $G$. ∎

**Ejemplo 8.11 (Tres cables).**

El cable transatlántico de 1858: un solo hilo de cobre en gutapercha, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, $L = 3000\,\mathrm{km}$: $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ y $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ por punto: una palabra por minuto, y los intentos de los operadores de forzar la señal con $2\,\mathrm{kV}$ destruyeron el aislamiento en unas semanas. Una línea telefónica cargada con bobinas cada $2\,\mathrm{km}$ para cumplir la [condición de Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy) (1900): habla nítida a lo largo de cientos de kilómetros. Un [cable coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) moderno de $50\,\Omega$: $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$, $\Gamma =
100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, y una [atenuación](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex), debida al efecto pelicular en los conductores ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/14-ondas-electromagneticas-en-plasmas-conductores-y-dielectricos#ch-b2-waves-in-media)), que crece como $\sqrt f$: unos pocos [decibelios](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/7-ondas-sonoras-en-los-fluidos#def-b2-sound-waves-decibel) por cada cien metros a $100\,\mathrm{MHz}$.

**Método 8.12 (Cómo leer una relación de dispersión).**

(1) Escríbase la [ecuación de ondas](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) del medio en notación compleja y despéjese $\underline k(\omega)$. (2) Si $k$ es real: calcúlense $v_\varphi = \omega/k$ y $v_g = \dd\omega/\dd k$ (o $1/(\dd k/\dd\omega)$) y compárense: dispersivo o no, normal ($v_g < v_\varphi$) o anómalo. (3) Si $k$ es complejo: sepárese en propagación ($k'$) y [atenuación](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) ($k''$, de longitud $1/k''$); imaginario puro significa evanescente, sin transporte. (4) Una frecuencia de corte separa una banda propagante de otra evanescente. (5) Para una señal, razónese sobre la envolvente a $v_g$, nunca sobre las crestas.

## 8.4 Ejercicios

**Ejercicio 8.1 ★.**

[Ondas en aguas profundas](#ex-b2-dispersion-wave-packets-examples), $\omega^2 = gk$. (a) [Velocidad de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), [velocidad de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) y periodo de un mar de fondo de $100\,\mathrm{m}$. (b) Un mar de fondo de periodo $14\,\mathrm{s}$: longitud de onda, $v_\varphi$, $v_g$; tiempo que tarda su energía en recorrer $5000\,\mathrm{km}$. (c) ¿Por qué no llega en absoluto el oleaje corto de periodo $2\,\mathrm{s}$?

**Solución de Ejercicio 8.1.**

(a) $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\omega = \sqrt{gk} = 0.79\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 8.0\,\mathrm{s}$; $v_\varphi = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $\omega = 0.45\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $k = \omega^2
/g = 0.021\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\lambda = 310\,\mathrm{m}$; $v_\varphi = gT/2\pi = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g =
11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $5 \times 10^6/11 = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.3$ días. (c) $\lambda = 6\,\mathrm{m}$, $v_g
= 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: necesitaría cinco semanas, y las ondas cortas las amortigua la [viscosidad](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/4-flujos-viscosos#def-b2-viscous-flows-viscosity) y las rompe el viento mucho antes.

**Ejercicio 8.2 ★.**

Un medio obedece $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ con $\omega_c = 2\pi \times 1 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ y $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Para $f = 20\,\mathrm{MHz}$: $k$, $v_\varphi$, $v_g$ y su producto. Para $f = 5\,\mathrm{MHz}$: $\kappa$ y la [profundidad de penetración](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex).

**Solución de Ejercicio 8.2.**

$\omega = 1.26 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\omega_c = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $k = \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}/c =
0.36\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $v_\varphi = 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g = c^2k/\omega = 2.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, con producto $c^2$. A $5\,\mathrm{MHz}$, $\omega < \omega_c$: $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c =
0.18\,\mathrm{m}^{-1}$, profundidad $5.5\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 8.3 ★.**

Dos diapasones a $440\,\mathrm{Hz}$ y $444\,\mathrm{Hz}$: frecuencia de batido y periodo de las variaciones de intensidad sonora. Dos ondas de agua de longitudes $100\,\mathrm{m}$ y $110\,\mathrm{m}$: frecuencias, longitud de onda y celeridad de la envolvente; compárese con $v_g$ a $105\,\mathrm{m}$.

**Solución de Ejercicio 8.3.**

Batido a $4\,\mathrm{Hz}$, periodo de la sonoridad $0.25\,\mathrm{s}$. Agua: $f = 0.125$ y $0.119\,\mathrm{Hz}$; envolvente $\cos(\delta\omega t - \delta kx)$ con $\delta k = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ (batidos separados $1.1\,\mathrm{km}$) y celeridad $\delta\omega/\delta k = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — la [velocidad de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) a $105\,\mathrm{m}$, $\tfrac12\sqrt{g\lambda/2\pi} = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Ejercicio 8.4 ★.**

Un [cable coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax): conductor interior de $0.9\,\mathrm{mm}$ de diámetro y exterior de $3.0\,\mathrm{mm}$, con polietileno ($\varepsilon_r = 2.3$). $\Lambda$, $\Gamma$, celeridad de las ondas, [impedancia característica](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) y retardo por metro; longitud de cable equivalente a un retardo de $10\,\mathrm{ns}$. El mismo cable con aire en lugar de polietileno.

**Solución de Ejercicio 8.4.**

$\ln(b/a) = 1.20$: $\Lambda = 0.24\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$, $\Gamma = 106\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, $c = 1/
\sqrt{\Lambda\Gamma} = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $Z_c = 48\,\Omega$, $5.0\,\mathrm{ns}/\mathrm{m}$; $10\,\mathrm{ns}$ $\leftrightarrow$ $2.0\,\mathrm{m}$. Con aire: $\Gamma = 46\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, $c = c_0$, $Z_c = 72\,\Omega$.

**Ejercicio 8.5 ★★.**

*La cuerda rígida.* Una cuerda de piano real obedece $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y
- EI\,\partial_x^4y$ (siendo $EI$ la rigidez a flexión). (a) [Relación de dispersión](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) y [velocidades de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) y de grupo. (b) Para la cuerda la$_4$ de [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#ch-b2-waves-on-strings) ($T = 685\,\mathrm{N}$, $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, $EI =
9.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$), aumento relativo de $v_\varphi$ para el octavo armónico ($k = 8\pi/L$, $L = 0.38\,\mathrm{m}$); compruébese con la inarmonicidad hallada allí. (c) ¿Es la dispersión normal o anómala? ¿Qué aspecto tiene un pulsado seco tras unas cuantas idas y vueltas?

**Solución de Ejercicio 8.5.**

(a) $\omega^2 = c^2k^2 + (EI/\mu)k^4$; $v_\varphi = \sqrt{c^2 + (EI/\mu)k^2}$; $v_g = (c^2k +
2(EI/\mu)k^3)/\omega$. (b) $c^2 = 1.12 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$, $k = 66\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $(EI/\mu)k^2
= 7.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$: $v_\varphi/c = \sqrt{1.063} = 1.031$, $+3.1\%$ — los $53$ cents de [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/6-ondas-en-cuerdas-y-barras-la-ecuacion-de-dalembert#ch-b2-waves-on-strings). (c) $v_g > v_\varphi$: anómala; los armónicos agudos se adelantan y el ataque de un pulsado se convierte en un breve gorjeo descendente.

**Ejercicio 8.6 ★★.**

*Cuerda amortiguada.* $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$. (a) Dedúzcase la [relación de dispersión](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation). (b) Para $\alpha \ll \mu\omega$, muéstrese que $k' \approx \omega/c$ y $k'' \approx \alpha/2Z$; [atenuación](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) en [decibelios](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/7-ondas-sonoras-en-los-fluidos#def-b2-sound-waves-decibel) por metro. (c) Valores: $\mu =
5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, $T = 50\,\mathrm{N}$, $\alpha = 0.02\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f =
100\,\mathrm{Hz}$: compruébese la aproximación y dese $\delta$. (d) ¿Es dispersiva la cuerda amortiguada? ¿En qué régimen de $\alpha$ lo sería?

**Solución de Ejercicio 8.6.**

(a) $-\mu\omega^2 + \iu\alpha\omega = -Tk^2$: $\underline k^2 = (\omega^2/c^2)(1 - \iu\alpha/\mu\omega)$. (b) $\underline k \approx (\omega/c)(1 - \iu\alpha/2\mu\omega)$: $k' = \omega/c$, $k'' = \alpha/2\mu c =
\alpha/2Z$; $8.7k''$ dB/m. (c) $c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $Z = 0.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $\mu\omega = 3.1 \gg
0.02$: $k'' = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$, $\delta = 50\,\mathrm{m}$, $0.17\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$. (d) No en este límite ($k' = \omega/c$); cuando $\alpha \gtrsim \mu\omega$ la raíz ya no se linealiza y $k'$ depende de $\omega$ de forma no lineal: dispersiva (el límite difusivo del cable).

**Ejercicio 8.7 ★★.**

*Rizos.* Las ondas de agua cortas las gobierna la [tensión superficial](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/4-flujos-viscosos#rem-b2-viscous-flows-capillarity): $\omega^2 =
\gamma k^3/\rho$ ($\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$); la relación completa es $\omega^2 = gk +
\gamma k^3/\rho$. (a) $v_\varphi$ y $v_g$ para ondas capilares puras; ¿cuál es mayor? (b) Muéstrese que la [velocidad de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) de la relación completa es mínima en $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g}$ y calcúlense $\lambda_m$ y $v_{\min}$. (c) Una barca más lenta que $v_{\min}$ no deja estela: ¿por qué? (d) Las gotas de lluvia sobre un estanque forman anillos cuyas crestas van por detrás del anillo: ¿en qué régimen?

**Solución de Ejercicio 8.7.**

(a) $v_\varphi = \sqrt{\gamma k/\rho}$, $v_g = \tfrac32v_\varphi$: el grupo adelanta a las crestas. (b) $v_\varphi^2 = g/k + \gamma k/\rho$ es mínimo en $k_m = \sqrt{\rho g/\gamma}$: $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g} = 1.7\,\mathrm{cm}$, $v_{\min} = (4g\gamma/\rho)^{1/4} =
23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. (c) Una estela es un dibujo estacionario respecto de la barca, formado por ondas cuya [velocidad de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) iguala a su celeridad; ninguna es más lenta que $23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. (d) Régimen capilar, $v_g > v_\varphi$: las crestas nacen en el frente del anillo y mueren en su parte trasera.

**Ejercicio 8.8 ★★.**

*Ensanchamiento.* Un paquete de anchura inicial $\Delta x_0$ duplica su anchura tras $t_{\text{ens}} \approx \Delta x_0^2/|\omega''(k_0)|$. (a) Un grupo de [ondas en aguas profundas](#ex-b2-dispersion-wave-packets-examples), $\lambda = 50\,\mathrm{m}$, $\Delta x_0 = 500\,\mathrm{m}$. (b) Un pulso de luz en una fibra de vidrio: $\omega'' \approx -0.16\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; un pulso de $10\,\mathrm{ps}$ ($\Delta x_0 =
2\,\mathrm{mm}$): tiempo de ensanchamiento y distancia recorrida entretanto; lo mismo para un pulso de $1\,\mathrm{ns}$. ¿Por qué los enlaces ópticos largos usan pulsos más largos o fibra compensadora de dispersión?

**Solución de Ejercicio 8.8.**

(a) $k = 0.126\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -18\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: $t_{\text{ens}}
= 2.5 \times 10^5/18 = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, cuatro horas. (b) $10\,\mathrm{ps}$: $t_{\text{ens}} =
4 \times 10^{-6}/0.16 = 25\,\text{µ}\mathrm{s}$, $5\,\mathrm{km}$ a $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $1\,\mathrm{ns}$: $0.04/0.16 =
0.25\,\mathrm{s}$, $50\,000\,\mathrm{km}$. Los pulsos cortos (los caudales binarios altos) se ensanchan en unos kilómetros: los enlaces largos usan fibra compensadora o ritmos moderados.

**Ejercicio 8.9 ★★.**

*El cable submarino.* $R = 3\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma = 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, con $\Lambda$ y $G$ despreciables. (a) Muéstrese que $v$ obedece una ecuación de difusión y dese su difusividad. (b) [Relación de dispersión](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k(\omega)$; [velocidad de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) y longitud de [atenuación](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) a $1\,\mathrm{Hz}$ y a $10\,\mathrm{Hz}$. (c) Tiempo que tarda una señal en “llegar” a $3000\,\mathrm{km}$ ($\sim R\Gamma L^2$); palabras por minuto. (d) El remedio de Heaviside: inductancia por kilómetro necesaria para $R/\Lambda = G/\Gamma$ si $G = 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{S}/\mathrm{km}$; ¿por qué era difícil añadirla?

**Solución de Ejercicio 8.9.**

(a) $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$, $D = 1/R\Gamma = 1.1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (b) $\underline k^2
= -\iu R\Gamma\omega$: $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$; a $1\,\mathrm{Hz}$: $k = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $v_\varphi = 3.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 600\,\mathrm{km}$; a $10\,\mathrm{Hz}$: $v_\varphi = 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 190\,\mathrm{km}$. (c) $R\Gamma L^2 = 9 \times 10^{-13} \times 9 \times 10^{12} = 8\,\mathrm{s}$ por punto: alrededor de una palabra por minuto. (d) $\Lambda = R\Gamma/G = 9\,\mathrm{H}/\mathrm{km}$ — una inductancia absurda para un cable submarino; las bobinas de carga sí servían en las líneas telefónicas terrestres, cuyos $G$ y $R\Gamma$ eran distintos.

**Ejercicio 8.10 ★★★.**

*La energía viaja a la [velocidad de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group).* Cuerda sobre un lecho elástico: $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$, con la onda $y = A\cos(\omega t - kx)$ y $\omega^2 =
\omega_c^2 + c^2k^2$. (a) Densidad de energía $e = \tfrac12\mu(\partial_ty)^2 + \tfrac12T
(\partial_xy)^2 + \tfrac12Ky^2$ y flujo $\mathcal P = -T\partial_xy\,\partial_ty$: compruébese $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$. (b) Promedios temporales $\langle e\rangle$ y $\langle\mathcal P\rangle$ para la onda. (c) Muéstrese que $\langle\mathcal P\rangle/
\langle e\rangle = c^2k/\omega = v_g$, y no $v_\varphi$. (d) ¿Qué le ocurre al flujo de energía por debajo de la frecuencia de corte?

**Solución de Ejercicio 8.10.**

(a) $\partial_te = \dot y(\mu\ddot y + Ky) + Ty'\dot y' = \dot yTy'' + Ty'\dot y' = \partial_x
(Ty'\dot y) = -\partial_x\mathcal P$. (b) $\langle e\rangle = \tfrac14A^2(\mu\omega^2 + Tk^2 + K) =
\tfrac12\mu\omega^2A^2$ (usando $\mu\omega^2 = Tk^2 + K$); $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Tk\omega
A^2$. (c) Cociente $Tk/\mu\omega = c^2k/\omega = v_g$. (d) $y = A\eu^{-\kappa x}\cos\omega t$: $\mathcal P \propto \sin2\omega t$, de media nula — ninguna energía atraviesa el medio.

**Ejercicio 8.11 ★★★.**

*Mar de fondo y tsunami.* Las ondas de agua de longitud de onda $\lambda$ sobre una profundidad $h$ obedecen $\omega^2 = gk\tanh kh$ (admitida). (a) Recupérense los límites de aguas profundas y de aguas someras ($kh \ll 1$); celeridad de las ondas en aguas someras; ¿son dispersivas? (b) Un tsunami de $\lambda = 200\,\mathrm{km}$ sobre $4\,\mathrm{km}$ de océano: ¿qué límite?, celeridad, periodo; tiempo para cruzar $8000\,\mathrm{km}$. (c) Su amplitud en mar abierto es $0.5\,\mathrm{m}$: energía por unidad de longitud de cresta (admítase $E = \tfrac12\rho gA^2$ por unidad de área) para un frente de $1000\,\mathrm{km}$; ¿qué ocurre cuando la profundidad baja a $10\,\mathrm{m}$, si el flujo de energía $Ev_g$ se conserva (ley de Green, $A \propto h^{-1/4}$)? (d) Un mar de fondo de $100\,\mathrm{m}$ que llega a una playa: ¿a qué profundidad empieza a sentir el fondo y por qué giran sus crestas hasta ponerse paralelas a la orilla?

**Solución de Ejercicio 8.11.**

(a) $\tanh kh \to 1$: $\omega^2 = gk$; si $kh \ll 1$: $\omega = \sqrt{gh}\,k$, celeridad $\sqrt{gh}$, no dispersiva. (b) $kh = 0.13$: aguas someras; $c = \sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $T = 17\,\mathrm{min}$; $8000\,\mathrm{km}$ en $11\,\mathrm{h}$. (c) $\tfrac12\rho gA^2 = 1.2\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $200 \times 1000$ km$^2$: $2.5 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$. Green: $A \propto h^{-1/4}$, $(4000/10)^{1/4}
= 4.5$: $2.2\,\mathrm{m}$, antes del empinamiento y del remonte. (d) A $h \approx \lambda/2 =
50\,\mathrm{m}$; la parte de la cresta que está en aguas menos profundas se frena, de modo que la cresta gira hasta ponerse paralela a las curvas de nivel del fondo — refracción.

**Ejercicio 8.12 ★★★.**

*Un pulso en una línea.* Un cable de $50\,\Omega$ y longitud $\ell = 100\,\mathrm{m}$ ($c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) se alimenta en $x = 0$ con un generador de resistencia interna $50\,\Omega$ y termina en $x = \ell$ con una carga $R_L$. (a) Muéstrese que una onda que llega al extremo se refleja con el coeficiente en tensión $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ (escríbanse $v$ e $i$ como suma de onda incidente y reflejada e impóngase la ley de Ohm en la carga). (b) Valores para $R_L = 50$, $0$, $\infty$, $150\,\Omega$. (c) Se envía un pulso de $1\,\mathrm{ns}$ y $1\,\mathrm{V}$: qué muestra el osciloscopio situado en el generador, y cuándo, para cada carga; por qué importan los $50\,\Omega$ del generador. (d) Un fallo en un cable enterrado devuelve un eco al cabo de $1.8\,\text{µ}\mathrm{s}$: ¿dónde está? (Reflectometría en el dominio del tiempo.)

**Solución de Ejercicio 8.12.**

(a) En $x = \ell$: $v = v_i + v_r$, $i = (v_i - v_r)/Z_c$, $v = R_Li$: $r = (R_L -
Z_c)/(R_L + Z_c)$. (b) $0$, $-1$, $+1$, $0.5$. (c) La entrada de la línea se ve como $Z_c$, de modo que el osciloscopio ve $0.5\,\mathrm{V}$ en $t = 0$ y luego el eco de $0.5r$ V en $2\ell/c = 1\,\text{µ}\mathrm{s}$: nada, $-0.5\,\mathrm{V}$, $+0.5\,\mathrm{V}$, $+0.25\,\mathrm{V}$; el generador adaptado absorbe el eco, así que no hay un segundo. (d) $\tfrac12 \times 2 \times 10^8 \times 1.8 \times 10^{-6} = 180\,\mathrm{m}$.

## 8.5 Problema: el cable y el mar

**Problema 8.1.**

Problema de fin de semana — la dispersión en acción: el cable telegráfico que difuminaba los puntos, el mar de fondo que anuncia una tormenta, el tsunami que cruza un océano y el paquete que se ensancha

**Parte I — El cable telegráfico.** El cable transatlántico de 1866: $R = 2.0\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma = 0.25\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, $\Lambda = 0.5\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$, $G$ despreciable, longitud $L = 3500\,\mathrm{km}$.

1. Escríbanse las [ecuaciones del telegrafista](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) con $R$ y dedúzcase la [relación de dispersión](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k^2 = \Gamma\omega(\Lambda\omega - \iu R)$ .
2. ¿A qué frecuencia iguala $\Lambda\omega$ a $R$ ? Conclúyase que a las frecuencias telegráficas (unos pocos hercios) la línea está en régimen difusivo.
3. En ese régimen, $\underline k = \sqrt{-\iu R\Gamma\omega}$ : dense $k'$ y $k''$ (recuérdese que $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ ); [velocidad de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) y longitud de [atenuación](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) a $1\,\mathrm{Hz}$ y a $4\,\mathrm{Hz}$ .
4. [Atenuación](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) en [decibelios](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/7-ondas-sonoras-en-los-fluidos#def-b2-sound-waves-decibel) a lo largo de todo el cable a $1\,\mathrm{Hz}$ y a $4\,\mathrm{Hz}$ . ¿Qué frecuencia sobrevive? ¿Qué le hace eso a un punto seco?
5. Estimación de Kelvin del tiempo de tránsito, $R\Gamma L^2$ ; ritmo práctico del cable en palabras por minuto si una palabra son unos $10$ puntos y rayas y los puntos no deben solaparse.
6. Heaviside propuso subir $\Lambda$ : ¿qué valor hace $\Lambda\omega = R$ a $4\,\mathrm{Hz}$ , y cuáles serían entonces la celeridad y la [atenuación](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) (tómese $G = 0$ , de modo que la condición $R/\Lambda = G/\Gamma$ no puede cumplirse exactamente: úsese la relación general a esa frecuencia)?
7. Una fibra óptica moderna transporta $1 \times 10^{10}\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : compárese con la pregunta 5, en potencias de diez.

**Parte II — El mar de fondo.** Aguas profundas: $\omega^2 = gk$.

8. [Velocidades de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) y de grupo en función del periodo $T$ .
9. Una tormenta a $4000\,\mathrm{km}$ de una costa genera olas de periodos entre $6\,\mathrm{s}$ y $18\,\mathrm{s}$ : instante de llegada de cada extremo; duración del episodio de mar de fondo.
10. Muéstrese que en una costa situada a la distancia $D$ el periodo que llega cumple $1/T = gt/4\pi D$ , contando $t$ desde la tormenta: $1/T$ crece linealmente con el tiempo. Una boya registra $T = 16\,\mathrm{s}$ un día a mediodía y $T = 12\,\mathrm{s}$ exactamente $24\,\mathrm{h}$ después: distancia de la tormenta.
11. La energía por unidad de área de un mar de fondo de amplitud $A$ vale $\tfrac12\rho  gA^2$ ; potencia que atraviesa una línea de $1\,\mathrm{m}$ de cresta, para $A =  1.5\,\mathrm{m}$ y $T = 12\,\mathrm{s}$ . (Úsese la [velocidad de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) : ¿por qué?)
12. Un parque undimotriz de $1\,\mathrm{km}$ de frente con un rendimiento del $30\%$ : potencia eléctrica; compárese con un aerogenerador ( $3\,\mathrm{MW}$ ).
13. Una barca a $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en aguas profundas deja tras de sí una estela estacionaria: ¿qué longitud de onda tiene una [velocidad de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) igual a la celeridad de la barca y la sigue por tanto? ¿Por qué el dibujo se arrastra en forma de V, más estrecha de lo que sugeriría la propia apertura de las crestas (piénsese en $v_g = v_\varphi/2$ )?
14. Observando un grupo de mar de fondo desde un acantilado, descríbase qué hace una cresta concreta mientras el grupo pasa por una boya fija; cuántas crestas contiene un grupo de duración $2\,\mathrm{min}$ con $T = 12\,\mathrm{s}$ , y a cuántas “vidas” de cresta corresponde eso.

**Parte III — El tsunami.** $\omega^2 = gk\tanh kh$; profundidad del Pacífico $h = 4.0\,\mathrm{km}$.

15. Un terremoto levanta $2\,\mathrm{m}$ una zona del fondo marino de $100\,\mathrm{km}$ ; la onda tiene $\lambda \approx 200\,\mathrm{km}$ : compruébese que es una onda de aguas someras y dense su celeridad, su periodo y el tiempo que tarda en llegar a una costa situada a $6000\,\mathrm{km}$ .
16. ¿Es dispersiva? Compárese con el mar de fondo de la parte II: ¿llega antes o después de lo que llegaría este? ¿Cuál llega como un único pulso?
17. Su altura en mar abierto es $0.6\,\mathrm{m}$ : energía por metro cuadrado; energía total de un frente de $500\,\mathrm{km}$ de largo repartida sobre una longitud de onda; compárese con una explosión de $1\,\mathrm{Mt}$ ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
18. Ley de Green: altura cuando la profundidad baja a $20\,\mathrm{m}$ cerca de la orilla (con el flujo de energía $\tfrac12\rho gA^2v_g$ conservado y $v_g = \sqrt{gh}$ ); celeridad y longitud de onda allí; por qué la onda se empina entonces y rompe como un muro.
19. Un barco en alta mar no nota el paso del tsunami: ¿por qué?
20. Dos mareógrafos separados $6000\,\mathrm{km}$ registran la onda: qué da el tiempo de viaje y por qué la celeridad medida es algo menor que $\sqrt{gh}$ sobre un océano de profundidad variable.

**Parte IV — El paquete que se ensancha.**

21. Para aguas profundas, calcúlese $\omega''(k) = \dd^2\omega/\dd k^2$ y su valor para $\lambda = 100\,\mathrm{m}$ .
22. Se suelta un paquete de $10\,$ de esas ondas ( $\Delta x_0 \approx 1\,\mathrm{km}$ ): tiempo de ensanchamiento $\Delta x_0^2/|\omega''|$ ; distancia recorrida entretanto por el paquete.
23. Explíquese con palabras por qué un paquete de espectro más estrecho (un tren más largo) se ensancha más despacio, y por qué el tsunami de la parte III apenas se ensancha.
24. La misma estimación para un electrón de longitud de onda $0.1\,\mathrm{nm}$ localizado en $1\,\mathrm{nm}$ , con $\omega = \hbar k^2/2m$ ( $\hbar =  1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ): tiempo de ensanchamiento y distancia recorrida — el primer contacto con el [paquete de ondas](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) cuántico de [Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/30-la-ecuacion-de-schrodinger-y-las-funciones-de-onda#ch-b2-schrodinger-wave-functions) .
25. Resúmase en una tabla: para el cable, el mar de fondo, el tsunami y el electrón, la [relación de dispersión](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) , $v_\varphi$ , $v_g$ y si el medio ensancha o solo atenúa.

**Solución de Problema 8.1.**

**1.** $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$, $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv$; con $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$: $\iu kv = (\iu\omega\Lambda + R)i$, $\iu ki = \iu\omega\Gamma v$, luego $k^2 = \omega\Gamma(\omega\Lambda - \iu R)$.

**2.** $\omega = R/\Lambda = 4000\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $640\,\mathrm{Hz}$: a unos pocos hercios $\Lambda\omega
\ll R$, régimen difusivo.

**3.** $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ con $R\Gamma = 5 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$; a $1\,\mathrm{Hz}$: $1.25 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $v_\varphi = 5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 800\,\mathrm{km}$; a $4\,\mathrm{Hz}$: $2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $400\,\mathrm{km}$.

**4.** $8.7L/\delta$: $38\,\mathrm{dB}$ a $1\,\mathrm{Hz}$ y $76\,\mathrm{dB}$ a $4\,\mathrm{Hz}$: solo sobreviven las componentes más lentas; un punto seco llega como una joroba larga y baja.

**5.** $R\Gamma L^2 = 5 \times 10^{-13} \times 1.2 \times 10^{13} = 6\,\mathrm{s}$: un punto cada seis segundos, una palabra por minuto (el cable real, con galvanómetros de espejo sensibles, llegaba a unas pocas más).

**6.** $\Lambda = R/\omega = 80\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$. Entonces $k^2 = \Gamma R\omega(1 - \iu)$, $k = \sqrt{\Gamma R\omega}
\,2^{1/4}\eu^{-\iu\pi/8}$: $k' = 3.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $k'' = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$: $v_\varphi =
6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 620\,\mathrm{km}$, $49\,\mathrm{dB}$ en todo el cable en lugar de $76\,\mathrm{dB}$.

**7.** Un punto cada $6\,\mathrm{s}$ son unos $0.2\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$: la fibra es de $10^{10}$ a $10^{11}$ veces más rápida.

**8.** $v_\varphi = gT/2\pi$, $v_g = gT/4\pi$.

**9.** $18\,\mathrm{s}$: $v_g = 14.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $4 \times 10^6/14.1 = 3.3\,\mathrm{d}$; $6\,\mathrm{s}$: $4.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $9.9\,\mathrm{d}$: el episodio de mar de fondo dura más de seis días.

**10.** $t = D/v_g = 4\pi D/gT$, luego $1/T = gt/4\pi D$. $\Delta(1/T) = 1/12 - 1/16
= 0.0208\,\mathrm{Hz}$ en $86\,400\,\mathrm{s}$: $g/4\pi D = 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-2}$, $D = 3200\,\mathrm{km}$.

**11.** $\tfrac12\rho gA^2 = 11\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$; la energía se mueve a $v_g = gT/4\pi =
9.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $103\,\mathrm{kW}$ por metro de cresta.

**12.** $10^3 \times 103 \times 0.3 = 31\,\mathrm{MW}$: diez aerogeneradores.

**13.** $\lambda = 2\pi U^2/g = 16\,\mathrm{m}$. La energía de cada componente viaja a la mitad de su celeridad de fase, de modo que el dibujo queda confinado en una cuña tras la barca (de semiángulo $19.5{}^{\circ}$, sea cual sea su celeridad).

**14.** Una cresta nace en la parte trasera del grupo, lo adelanta (las crestas se mueven a $2v_g$ respecto del agua y a $v_g$ respecto del grupo) y muere en el frente. El grupo mide $120 \times 9.4 = 1.1\,\mathrm{km}$ de largo, cinco longitudes de onda ($\lambda = gT^2/2\pi = 225\,\mathrm{m}$); pasan diez crestas por la boya, cada una tras vivir unos dos minutos.

**15.** $kh = 0.13$: aguas someras. $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $T = \lambda/c = 17\,\mathrm{min}$, $8.4\,\mathrm{h}$.

**16.** No dispersiva: todas las componentes a $198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, que llegan juntas como un único pulso (el mar de fondo, a $\sim10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y clasificado por periodos, tardaría una semana).

**17.** $\tfrac12\rho gA^2 = 1.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $500 \times 200$ km$^2$: $1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$, el $4\%$ de una megatonelada.

**18.** $A = 0.6(4000/20)^{1/4} = 2.3\,\mathrm{m}$; $c = \sqrt{gh} = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda =
cT = 14\,\mathrm{km}$. La cresta, en aguas más profundas que el valle que tiene delante, viaja más deprisa y lo alcanza: el frente se empina hasta formar un muro.

**19.** Una subida de $0.6\,\mathrm{m}$ a lo largo de un cuarto de hora, con una pendiente de $10^{-5}$: nada perceptible.

**20.** La celeridad media, $\sqrt{gh}$ para la profundidad media; como $\sqrt h$ es cóncava, los tramos someros frenan la onda más de lo que la aceleran los profundos, y el promedio a lo largo del camino queda por debajo de $\sqrt{g\bar h}$.

**21.** $\omega' = \tfrac12\sqrt{g/k}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3}$; $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$: $\omega'' = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**22.** $t_{\text{ens}} = 10^6/50 = 2 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, $5.6\,\mathrm{h}$; el paquete ha recorrido $v_gt = 6.25 \times 2 \times 10^4 = 125\,\mathrm{km}$.

**23.** Un tren largo contiene una banda estrecha de $k$, cuyas [velocidades de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) casi coinciden: las componentes siguen juntas más tiempo. El medio del tsunami es no dispersivo: celeridades iguales, sin ensanchamiento.

**24.** $\omega'' = \hbar/m = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: $t_{\text{ens}} = 10^{-18}/1.2 \times
10^{-4} = 9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$; $v_g = \hbar k/m = 7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $60\,\mathrm{nm}$.

**25.** Cable: $k^2 = -\iu R\Gamma\omega$, $v_\varphi = \sqrt{2\omega/R\Gamma}$, sin $v_g$ limpia, atenúa y difumina. Mar de fondo: $\omega^2 = gk$, $v_\varphi = 2v_g$, se ensancha. Tsunami: $\omega = \sqrt{gh}\,k$, $v_\varphi = v_g$, ninguna de las dos cosas. Electrón: $\omega = \hbar k^2/2m$, $v_g = 2v_\varphi$, se ensancha.