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title: "Electrónica: realimentación, osciladores y adquisición de señales"
book: "Física universitaria — segundo año"
subject: physics
language: es
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/9-electronica-realimentacion-osciladores-y-adquisicion-de-senales
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# Capítulo 9 — Electrónica: realimentación, osciladores y adquisición de señales

Acérquese demasiado un micrófono al altavoz que alimenta y la sala se llena de un aullido: el amplificador se oye a sí mismo, y un ruido minúsculo crece hasta convertirse en un chillido a un tono muy concreto. Domado, ese mismo lazo es el corazón de todo reloj, de toda radio y de todo sintetizador — un *oscilador* que fabrica una sinusoide con nada más que ganancia y un filtro. El volumen del Año 1 construyó amplificadores, filtros y comparadores con el amplificador operacional; este capítulo cierra el lazo en torno a ellos, se pregunta cuándo un lazo es estable y cuándo oscila, construye dos osciladores — uno sinusoidal y otro cuadrado — y pasa después a las dos operaciones con las que una señal medida llega a un ordenador: *muestrearla* y sacarla del ruido mediante la *[detección síncrona](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin)*.

![Una placa de prototipos, un generador de funciones y un osciloscopio: el banco en el que se cierra un lazo de realimentación — y en el que se descubre, cuando el amplificador se pone a cantar, que se ha convertido en un oscilador.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/img-d2db359dacd5.jpg)

*Una placa de prototipos, un generador de funciones y un osciloscopio: el banco en el que se cierra un lazo de [realimentación](#def-b2-feedback-oscillators-loop) — y en el que se descubre, cuando el amplificador se pone a cantar, que se ha convertido en un oscilador.*

## 9.1 Realimentación y estabilidad

**Definición 9.1 (Lazo cerrado; ganancia de lazo).**

Un amplificador de función de transferencia $\underline A(\jmath\omega)$ recibe la entrada $\underline e$ más una fracción $\underline\beta(\jmath\omega)\,\underline s$ de su propia salida $\underline s$ (realimentación positiva; para la negativa, cámbiese el signo de $\beta$). La función de transferencia en *lazo cerrado* y la *ganancia de lazo* valen

$$
\underline H = \frac{\underline s}{\underline e} = \frac{\underline A}{1 - \underline A\,\underline\beta} ,
\qquad \underline T = \underline A\,\underline\beta .
$$

**Teorema 9.2 (Estabilidad de un lazo lineal; condición de oscilación).**

Sustituyendo $\jmath\omega$ por la variable compleja $p$, la evolución libre del lazo la gobiernan las raíces de su *[ecuación característica](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)* $1 - \underline A(p)\underline\beta(p) = 0$ (los polos de $\underline H$): cada raíz $p_i$ aporta un modo $\eu^{p_it}$. El lazo es *estable* cuando todas las raíces tienen parte real negativa (todo modo se extingue), y *oscila*, con amplitud creciente, cuando una raíz tiene parte real positiva. La frontera — un par de raíces imaginarias puras $\pm\jmath
\omega_0$, es decir, una sinusoide mantenida — se alcanza cuando

$$
\underline A(\jmath\omega_0)\,\underline\beta(\jmath\omega_0) = 1
$$

(*[condición de Barkhausen](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)*: [ganancia de lazo](#def-b2-feedback-oscillators-loop) de módulo uno y fase nula en $\omega_0$). Para un denominador de segundo grado $ap^2 + bp + c$ el lazo es estable si y solo si $a$, $b$ y $c$ tienen el mismo signo.

**Demostración.** La ecuación diferencial del lazo se obtiene de $\underline s(1 -
\underline A\underline\beta) = \underline A\underline e$ leyendo cada potencia de $\jmath\omega$ como una derivada temporal; sus soluciones homogéneas son las $\eu^{p_it}$ con $p_i$ las raíces del polinomio. El crecimiento o la extinción sigue al signo de $\operatorname{Re}p_i$; para un polinomio de segundo grado las raíces tienen parte real negativa exactamente cuando los coeficientes comparten signo (su suma vale $-b/a$ y su producto $c/a$). La [condición de Barkhausen](#thm-b2-feedback-oscillators-stability) es la existencia de una raíz en $p = \jmath\omega_0$. ∎

**Observación 9.3 (Cómo arranca y cómo se detiene un oscilador).**

Un oscilador se diseña con una [ganancia de lazo](#def-b2-feedback-oscillators-loop) algo *mayor* que uno en $\omega_0$: el ruido presente al encender contiene esa frecuencia, que crece exponencialmente mientras todas las demás se extinguen. La teoría lineal predice entonces amplitud infinita; en realidad alguna *no linealidad* — la saturación del amplificador, o un elemento deliberadamente no lineal — baja la ganancia efectiva a medida que crece la amplitud, hasta que la [ganancia de lazo](#def-b2-feedback-oscillators-loop) vale en promedio exactamente uno: la amplitud se estabiliza. Todo oscilador real es así un lazo lineal para la frecuencia y no lineal para la amplitud; cuanto más suave sea la limitación, más pura será la sinusoide.

## 9.2 El oscilador de puente de Wien

**Proposición 9.4 (Oscilador de puente de Wien).**

Un amplificador operacional en configuración no inversora de ganancia $K = 1 + R_2/R_1$ devuelve su salida a su entrada $+$ a través de la *[red de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien)*: $R$ y $C$ en serie, y luego $R$ y $C$ en paralelo a masa. La función de transferencia de la red vale

$$
\underline\beta(\jmath\omega) = \frac1{3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)} ,
$$

real y máxima ($= 1/3$) en $\omega_0 = 1/RC$. La [ganancia de lazo](#def-b2-feedback-oscillators-loop) $K\underline\beta$ vale uno en $\omega_0$ cuando $K = 3$: el circuito mantiene entonces una sinusoide a

$$
f_0 = \frac1{2\pi RC} .
$$

La tensión $v$ en la entrada $+$ obedece

$$
\frac{\dd^2v}{\dd t^2} + \frac{3 - K}{RC}\,\frac{\dd v}{\dd t} + \frac{v}{R^2C^2} = 0 :
$$

para $K < 3$ la oscilación se extingue y para $K > 3$ crece (amortiguamiento negativo) con la constante de tiempo $2RC/(K - 3)$, hasta que la saturación del operacional la limita.

**Demostración.** Divisor de tensión: la rama serie $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$ y la rama paralelo $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$; $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$, que se simplifica hasta la forma dada. Lazo: $\underline v = \underline\beta K\underline v$, es decir, $[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]\underline v = K\underline v$; multiplíquese por $\jmath\omega RC$ y léase $\jmath\omega \to \dd/\dd t$: $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$. Su coeficiente de amortiguamiento cambia de signo en $K = 3$. ∎

![A la izquierda, un lazo de realimentación: la salida se devuelve, a través de , a la entrada del amplificador. A la derecha, el oscilador de puente de Wien — un amplificador no inversor de ganancia 1 + R_2/R_1 cuya salida vuelve a su entrada + por la red RC serie–paralelo; oscila a 1/2π RC cuando la ganancia llega a 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-99365599f974.svg)

![A la izquierda, un lazo de realimentación: la salida se devuelve, a través de , a la entrada del amplificador. A la derecha, el oscilador de puente de Wien — un amplificador no inversor de ganancia 1 + R_2/R_1 cuya salida vuelve a su entrada + por la red RC serie–paralelo; oscila a 1/2π RC cuando la ganancia llega a 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-5014573f52ee.svg)

*A la izquierda, un lazo de [realimentación](#def-b2-feedback-oscillators-loop): la salida se devuelve, a través de $\underline\beta$, a la entrada del amplificador. A la derecha, el [oscilador de puente de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) — un amplificador no inversor de ganancia $1 + R_2/R_1$ cuya salida vuelve a su entrada $+$ por la red $RC$ serie–paralelo; oscila a $1/2\pi RC$ cuando la ganancia llega a 3.*

**Ejemplo 9.5 (Una fuente de 1 kHz).**

$R = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$: $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$. Con $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$ y $R_2 = 21\,\mathrm{k}\Omega$, $K = 3.1$: la amplitud se multiplica por $\eu$ cada $2RC/0.1 = 3.2\,\mathrm{ms}$ a partir del ruido del encendido, y alcanza la saturación en unas decenas de milisegundos; la sinusoide recortada es entonces rica en armónicos. Sustituir $R_1$ por una bombillita incandescente, cuya resistencia sube al calentarse, baja $K$ hasta exactamente $3$ con una amplitud moderada: una sinusoide con menos del $0.1\%$ de distorsión, el circuito de los primeros generadores de señal de laboratorio.

## 9.3 Comparadores con histéresis; el multivibrador astable

**Proposición 9.6 (Comparador con histéresis).**

Un operacional con [realimentación](#def-b2-feedback-oscillators-loop) *positiva* — la salida llevada a la entrada $+$ por un divisor $R_1$, $R_2$ (la entrada $+$ queda entonces a $\beta s$ con $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ cuando la señal $e$ se aplica a la entrada $-$) — no tiene régimen lineal estable: su salida se sitúa en $+V_{\text{sat}}$ o en $-V_{\text{sat}}$ y conmuta

$$
\begin{align*}
&\text{de } +V_{\text{sat}} \text{ a } -V_{\text{sat}} \text{ cuando } e \text{ sube por encima de } +\beta V_{\text{sat}} ,\\
&\text{de } -V_{\text{sat}} \text{ a } +V_{\text{sat}} \text{ cuando } e \text{ baja por debajo de } -\beta V_{\text{sat}} .
\end{align*}
$$

Los dos umbrales difieren: la *histéresis* $2\beta V_{\text{sat}}$ hace al comparador inmune al ruido menor que ella, y su ciclo en el plano $(e, s)$ es un rectángulo recorrido en el sentido de las agujas del reloj.

**Demostración.** Con $s = +V_{\text{sat}}$ la entrada $+$ está a $+\beta V_{\text{sat}}$; la salida sigue siendo positiva mientras $e < \beta V_{\text{sat}}$, y bascula cuando $e$ lo cruza — tras lo cual la entrada $+$ está a $-\beta V_{\text{sat}}$, de modo que $e$ debe bajar por debajo de ese valor para volver a hacerla bascular. (En régimen lineal la [realimentación](#def-b2-feedback-oscillators-loop) positiva haría crecer cualquier desviación: es inestable.) ∎

**Proposición 9.7 (Multivibrador astable).**

Devuélvase la salida del [comparador con histéresis](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) a su propia entrada $-$ a través de un circuito $RC$ ($R$ de $s$ a la entrada $-$, y $C$ de ahí a masa). El condensador se carga hacia $\pm V_{\text{sat}}$ y hace bascular el comparador cada vez que alcanza un umbral: una onda cuadrada en $s$ y una onda casi triangular en $C$, con el periodo

$$
T = 2RC\,\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} .
$$

Para $\beta = 1/2$, $T = 2RC\ln3 \approx 2.2RC$. Estos *[osciladores de relajación](#prop-b2-feedback-oscillators-astable)* marcan el ritmo de los microcontroladores, hacen parpadear indicadores y generan las ondas triangular y cuadrada de los generadores de funciones.

**Demostración.** Con $s = +V_{\text{sat}}$, la tensión del condensador $v_C$ pasa de $-\beta V_{\text{sat}}$ hacia $+V_{\text{sat}}$ según $v_C = V_{\text{sat}} - (1 + \beta)
V_{\text{sat}}\eu^{-t/RC}$, y alcanza $+\beta V_{\text{sat}}$ al cabo de $RC\ln[(1 + \beta)
/(1 - \beta)]$; el comparador bascula y sigue el semiciclo simétrico. ∎

![A la izquierda, el ciclo de un comparador con histéresis: dos umbrales y un rectángulo recorrido en el sentido de las agujas del reloj. A la derecha, el multivibrador astable: la tensión del condensador va y viene entre los umbrales y la salida es una onda cuadrada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-4f7e427f42f7.svg)

![A la izquierda, el ciclo de un comparador con histéresis: dos umbrales y un rectángulo recorrido en el sentido de las agujas del reloj. A la derecha, el multivibrador astable: la tensión del condensador va y viene entre los umbrales y la salida es una onda cuadrada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-cbda8cefc445.svg)

*A la izquierda, el ciclo de un [comparador con histéresis](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt): dos umbrales y un rectángulo recorrido en el sentido de las agujas del reloj. A la derecha, el [multivibrador astable](#prop-b2-feedback-oscillators-astable): la tensión del condensador va y viene entre los umbrales y la salida es una onda cuadrada.*

## 9.4 El muestreo de una señal

**Teorema 9.8 (Muestreo; el criterio de Nyquist–Shannon).**

Una señal está *muestreada* cuando solo se conservan sus valores $s(nT_s)$ en los instantes $nT_s$, siendo $f_s = 1/T_s$ la *frecuencia de muestreo*. El espectro de la señal muestreada es el espectro de $s$ repetido en torno a cada múltiplo de $f_s$. Una señal cuyo espectro está confinado por debajo de $f_{\max}$ puede reconstruirse exactamente a partir de sus muestras si y solo si

$$
f_s > 2f_{\max} ;
$$

en caso contrario las copias se solapan y una componente a $f > f_s/2$ reaparece en la frecuencia *alias* $|f - nf_s|$ (para el entero $n$ que la lleva por debajo de $f_s/2$), indistinguible de una componente de baja frecuencia verdadera. De ahí el *[filtro antisolapamiento](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon)* que se coloca antes de todo muestreador: un paso bajo que elimina cuanto está por encima de $f_s/2$.

**Demostración.** Muestrear es multiplicar $s(t)$ por un tren periódico de pulsos estrechos de periodo $T_s$, cuya serie de Fourier contiene todos los armónicos $nf_s$ (volumen de matemáticas de este año); multiplicar $s$ por $\cos(2\pi nf_st)$ desplaza su espectro en $\pm nf_s$ — de ahí las copias. No se solapan si y solo si $f_{\max} < f_s - f_{\max}$; un paso bajo de corte $f_s/2$ recupera entonces exactamente el espectro original (admitido). Solapamiento: las muestras de $\cos(2\pi ft)$ y de $\cos(2\pi(f - nf_s)t)$ en $t = mT_s$ coinciden, pues $2\pi nf_smT_s = 2\pi nm$. ∎

**Ejemplo 9.9 (Ruedas de carreta, discos compactos y osciloscopios).**

Una película a $24$ imágenes por segundo muestrea el mundo a $24\,\mathrm{Hz}$: una rueda de $12$ radios que gira a $2.1$ vueltas por segundo presenta un radio $25.2$ veces por segundo, $1.2$ por encima de $f_s$ — parece girar despacio hacia delante, y hacia atrás a $1.9$ vueltas por segundo. Un disco compacto muestrea a $44.1\,\mathrm{kHz}$ para reproducir sonido hasta $20\,\mathrm{kHz}$, con un [filtro antisolapamiento](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) abrupto entre $20$ y $22\,\mathrm{kHz}$. Un osciloscopio digital puesto a $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ muestra una sinusoide de $999\,\mathrm{kHz}$ como una de $1\,\mathrm{kHz}$ — la primera trampa de la medida digital.

![Solapamiento: una sinusoide a 0.9f_s y otra a 0.1f_s pasan por las mismas muestras; una vez muestreadas no pueden distinguirse — de ahí el criterio f_s > 2f_.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-3d9188ea59aa.svg)

*Solapamiento: una sinusoide a $0.9f_s$ y otra a $0.1f_s$ pasan por las mismas muestras; una vez muestreadas no pueden distinguirse — de ahí el criterio $f_s > 2f_{\max}$.*

**Observación 9.10 (La cuantificación).**

El [convertidor analógico-digital](#rem-b2-feedback-oscillators-quantization) redondea además cada muestra a uno de $2^N$ niveles ($N$ bits): el error de redondeo, de medio escalón como mucho, actúa como un ruido de valor eficaz $\Delta/\sqrt{12}$ para un escalón $\Delta$, y el margen dinámico (la mayor sinusoide frente a ese ruido) vale unos $6N + 2$ dB — $98\,\mathrm{dB}$ para los $16$ bits de un disco compacto y $74\,\mathrm{dB}$ para un osciloscopio de $12$ bits. La frecuencia de muestreo y la resolución son las dos cifras de la etiqueta de todo digitalizador.

## 9.5 La detección síncrona

**Proposición 9.11 (Detección síncrona (lock-in)).**

Una señal de frecuencia conocida, $s(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi)$, sepultada en un ruido $n(t)$ de amplitud mucho mayor repartido sobre una banda ancha, se multiplica por una referencia $r(t) = \cos\omega_0t$ de la misma frecuencia y se pasa por un filtro paso bajo de corte $f_c \ll f_0$:

$$
s(t)r(t) = \tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)
\ \xrightarrow{\ \text{paso bajo}\ }\ \tfrac12A\cos\varphi .
$$

La salida es una tensión continua proporcional a la amplitud de la señal (y al coseno de su fase respecto de la referencia), mientras que el ruido queda reducido a la parte de su espectro comprendida en $\pm f_c$ en torno a $f_0$ — un ancho de banda $2f_c$ que puede hacerse todo lo estrecho que se quiera (una fracción de hercio para una constante de tiempo de filtro de segundos). Las componentes a otras frecuencias $f$ se desplazan a $f \pm f_0$ y el filtro las rechaza.

**Demostración.** $\cos a\cos b = \tfrac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$; el filtro conserva el término de la diferencia para la señal, mientras que el término en $2\omega_0$ y cada componente de ruido a $f$ van a parar a $|f - f_0|$ y a $f + f_0$ — solo el ruido que estaba a menos de $f_c$ de $f_0$ cae por debajo de $f_c$. ∎

![Detección síncrona: la salida del sensor, señal más ruido de banda ancha, se multiplica por una referencia a la propia frecuencia de la señal y se filtra en paso bajo; solo sobrevive el ruido contenido en una banda estrecha en torno a f_0 (sombreada), y la señal sale como un nivel continuo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-0cdf2fef6d01.svg)

![Detección síncrona: la salida del sensor, señal más ruido de banda ancha, se multiplica por una referencia a la propia frecuencia de la señal y se filtra en paso bajo; solo sobrevive el ruido contenido en una banda estrecha en torno a f_0 (sombreada), y la señal sale como un nivel continuo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-0dadad944063.svg)

*[Detección síncrona](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin): la salida del sensor, señal más ruido de banda ancha, se multiplica por una referencia a la propia frecuencia de la señal y se filtra en paso bajo; solo sobrevive el ruido contenido en una banda estrecha en torno a $f_0$ (sombreada), y la señal sale como un nivel continuo.*

**Ejemplo 9.12 (Encontrar un microvoltio).**

Un fotodiodo entrega $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ de señal cuando su luz se trocea a $1\,\mathrm{kHz}$, por encima de $50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ de ruido blanco sobre $100\,\mathrm{kHz}$ ($16\,\text{µ}\mathrm{V}$ eficaces: más que la señal). Tras la [detección síncrona](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) con un filtro de constante de tiempo $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (ancho de banda de ruido $1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$) el ruido vale $50\,\text{nV} \times \sqrt{0.25}
= 25\,\mathrm{nV}$: una relación señal/ruido de $400$ — al precio de esperar unos segundos por punto. El mismo truco, con el nombre de *demodulación*, recupera la música de una portadora de radio de AM y los datos de un módem.

**Método 9.13 (Cómo diseñar una cadena de medida).**

(1) Modúlese la magnitud que se quiere medir a una frecuencia $f_0$ alejada del ruido (troceador, puente de alterna). (2) Amplifíquese con un ancho de banda que cubra $f_0$. (3) Detéctese de forma síncrona con un filtro cuya constante de tiempo sea la mayor que la medida pueda permitirse: el ruido cae como $1/\sqrt\tau$. (4) Muestréese la salida lenta a un ritmo superior al doble de su ancho de banda, tras un [filtro antisolapamiento](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) y con bits suficientes para la resolución requerida. (5) Compruébese la cadena con una señal conocida, y compruébese que nada en ella oscila: todo amplificador con [realimentación](#def-b2-feedback-oscillators-loop) es un oscilador en potencia.

## 9.6 Ejercicios

**Ejercicio 9.1 ★.**

Un [oscilador de puente de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) con $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ y $C = 10\,\mathrm{nF}$: frecuencia; ganancia necesaria; valores de $R_1$ y $R_2$ para $K = 3.05$ con $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$; constante de tiempo del crecimiento de la amplitud. ¿Qué componentes fijan la frecuencia y cuáles el arranque?

**Solución de Ejercicio 9.1.**

$f_0 = 1/2\pi RC = 1.59\,\mathrm{kHz}$; $K = 3$; $R_2 = 2.05R_1 = 20.5\,\mathrm{k}\Omega$; $\tau = 2RC/(K - 3) = 4\,\mathrm{ms}$. $R$ y $C$ fijan la frecuencia; $R_1$ y $R_2$, el arranque (y la limitación de la amplitud).

**Ejercicio 9.2 ★.**

[Comparador con histéresis](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) con $V_{\text{sat}} = \pm 13\,\mathrm{V}$, $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 4.0\,\mathrm{k}\Omega$: umbrales y anchura de la histéresis. Una señal ruidosa que cruza el cero con $2\,\mathrm{V}$ de ruido: ¿cuántas veces conmuta la salida por cada cruce, con histéresis y sin ella?

**Solución de Ejercicio 9.2.**

$\beta = 0.2$: umbrales $\pm2.6\,\mathrm{V}$, histéresis $5.2\,\mathrm{V}$. Un ruido de $2\,\mathrm{V}$ no puede volver a cruzar un umbral situado a $5.2\,\mathrm{V}$: una conmutación por cruce; sin histéresis la salida repiquetea muchas veces.

**Ejercicio 9.3 ★.**

[Multivibrador astable](#prop-b2-feedback-oscillators-astable) con $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $\beta = 0.5$: periodo y frecuencia; $R$ para $1.0\,\mathrm{kHz}$; amplitud de la onda triangular en el condensador; ¿qué le ocurre a $T$ si $\beta$ sube a $0.9$?

**Solución de Ejercicio 9.3.**

$T = 2RC\ln3 = 2.2\,\mathrm{ms}$, $455\,\mathrm{Hz}$; $R = 4.55\,\mathrm{k}\Omega$ para $1\,\mathrm{kHz}$; triángulo entre $\pm\beta V_{\text{sat}}$; con $\beta = 0.9$: $T = 2RC\ln19 = 5.9\,\mathrm{ms}$, $2.7$ veces más largo.

**Ejercicio 9.4 ★.**

(a) Un disco compacto muestrea a $44.1\,\mathrm{kHz}$: frecuencia máxima reproducida. (b) Un ultrasonido de $30\,\mathrm{kHz}$ se cuela en la grabación: ¿a qué frecuencia aparece? (c) Una rueda de $8$ radios filmada a veinticinco imágenes por segundo gira a $3.2$ vueltas/s: movimiento aparente. (d) Un osciloscopio a $10\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ muestra una sinusoide limpia de $100\,\mathrm{kHz}$; ¿qué otras frecuencias podría tener la señal real?

**Solución de Ejercicio 9.4.**

(a) $22.05\,\mathrm{kHz}$. (b) $|30 - 44.1| = 14.1\,\mathrm{kHz}$. (c) Radios a $8 \times 3.2 =
25.6\,\mathrm{Hz}$, alias $0.6\,\mathrm{Hz}$: la rueda parece avanzar despacio a $0.075$ vueltas/s. (d) $100\,\mathrm{kHz} + n \times 10\,\mathrm{MHz}$, o $n \times 10\,\mathrm{MHz} -
100\,\mathrm{kHz}$: $9.9$, $10.1$, $19.9$, $20.1\,\mathrm{MHz}$, …

**Ejercicio 9.5 ★★.**

Lazos con polinomios característicos (a) $p^2 + 3p + 2$, (b) $p^2 - p +
4$, (c) $p^2 + 4$, (d) $p^3 + 2p^2 + 2p + 1$, (e) $p^3 + p + 1$: hállense o discútanse las raíces; ¿qué lazos son estables, cuáles oscilan y cuáles crecen? (Para los de grado tres, razónese sobre el signo de las partes reales: por ejemplo, muéstrese que (e) tiene una raíz real negativa y dos raíces complejas con parte real positiva, usando el producto y la suma de las raíces.)

**Solución de Ejercicio 9.5.**

(a) $-1$, $-2$: estable. (b) $(1 \pm \iu\sqrt{15})/2$: oscilación creciente. (c) $\pm2\iu$: oscilación mantenida. (d) $(p + 1)(p^2 + p + 1)$: $-1$ y $(-1 \pm \iu\sqrt3)/2$: estable. (e) Una raíz real próxima a $-0.68$ (el polinomio es monótono); la suma de las tres raíces es $0$, de modo que el par complejo tiene parte real $+0.34$: inestable.

**Ejercicio 9.6 ★★.**

*[Red de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).* (a) Dedúzcase $\underline\beta(\jmath\omega)$ a partir del divisor. (b) Dibújense a mano alzada su módulo y su fase; muéstrese que la fase se anula solo en $\omega_0$ y que el módulo vale entonces $1/3$. (c) Escríbase la ecuación diferencial del lazo para una ganancia $K$ y discútanse $K < 3$, $K = 3$ y $K > 3$. (d) Con $K = 3.2$ y partiendo de un ruido de $1\,\mathrm{mV}$, ¿cuánto tarda la amplitud en llegar a $10\,\mathrm{V}$? ¿Por qué la amplitud final no depende del ruido inicial?

**Solución de Ejercicio 9.6.**

(a) $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ con $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$, $Z_p = R/(1 +
\jmath RC\omega)$: $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$. (b) Módulo $1/\sqrt{9 + (RC\omega - 1/RC\omega)^2}$, máximo $1/3$ en $\omega_0$; fase $-\arctan
[(RC\omega - 1/RC\omega)/3]$, nula solo en $\omega_0$. (c) $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC
\dot v + v = 0$: amortiguada, mantenida, creciente. (d) Constante de tiempo del crecimiento $2RC/0.2 = 10RC = 1.6\,\mathrm{ms}$; $\ln10^4 = 9.2$ constantes: $15\,\mathrm{ms}$. La amplitud final la fija la no linealidad (la saturación), no la semilla, que solo fija el retardo.

**Ejercicio 9.7 ★★.**

*Generador de triángulos.* Un integrador (operacional, $R$, $C$) se alimenta con la salida cuadrada $\pm V_{\text{sat}}$ de un [comparador con histéresis](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) cuya entrada es la salida del integrador; los umbrales del comparador valen $\pm V_{\text{sat}}R_1/R_2$. (a) Muéstrese que la salida del integrador es un triángulo; su pendiente. (b) Periodo $T = 4RCR_1/R_2$. (c) Valores: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$, $R_1/R_2 = 0.5$. (d) Ventaja sobre el astable simple para un generador de funciones.

**Solución de Ejercicio 9.7.**

(a) La salida del integrador tiene pendiente $\mp V_{\text{sat}}/RC$: un triángulo. (b) Cada rampa recorre $2V_{\text{sat}}R_1/R_2$ con pendiente $V_{\text{sat}}/RC$: $T = 4RCR_1/R_2$. (c) $4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.2\,\mathrm{ms}$, $5\,\mathrm{kHz}$. (d) Un triángulo exactamente lineal, una frecuencia proporcional a $1/R$ (fácil de barrer) y salidas cuadrada y triangular en un mismo circuito.

**Ejercicio 9.8 ★★.**

Cuantificación. (a) Un convertidor de $16$ bits sobre $\pm1\,\mathrm{V}$: escalón, ruido de cuantificación eficaz y margen dinámico en dB. (b) $12$ bits a $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$: caudal binario; lo mismo para $8$ bits a $1\,\mathrm{GS}/\mathrm{s}$ (un osciloscopio rápido). (c) Una señal de $1\,\mathrm{mV}$ en el convertidor de $16$ bits: ¿cuántos escalones? ¿Qué hay que hacer antes del convertidor? (d) ¿Por qué un buen equipo de audio añade un poco de ruido de difuminado antes de cuantificar?

**Solución de Ejercicio 9.8.**

(a) $\Delta = 2/65536 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, ruido $\Delta/\sqrt{12} = 8.8\,\text{µ}\mathrm{V}$, $98\,\mathrm{dB}$. (b) $12\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$; $8\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$. (c) $33$ escalones: hay que amplificar por $100$ o más antes. (d) El difuminado convierte el error de redondeo, correlacionado con la señal (distorsión), en un ruido inocuo y no correlacionado.

**Ejercicio 9.9 ★★.**

Una señal contiene componentes de $1.0\,\mathrm{kHz}$ y $9.0\,\mathrm{kHz}$ y se muestrea a $10\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$. (a) ¿Dónde aparece cada una? (b) Se añade un [filtro antisolapamiento](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) $RC$ de primer orden con $f_c = 2\,\mathrm{kHz}$: [atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) a $9\,\mathrm{kHz}$ en dB; ¿basta si se quieren $40\,\mathrm{dB}$? (c) Orden del filtro necesario ([atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) $\approx 20n$ dB por década); o, como alternativa, frecuencia de muestreo necesaria con el filtro de primer orden. (d) ¿Por qué los convertidores modernos sobremuestrean y filtran de forma digital?

**Solución de Ejercicio 9.9.**

(a) Ambas a $1\,\mathrm{kHz}$. (b) $|H| = 1/\sqrt{1 + 4.5^2} = 0.22$, $-13\,\mathrm{dB}$: no. (c) $13\,\mathrm{dB} \times n \ge 40$: tercer o cuarto orden; o una frecuencia de muestreo tal que el filtro de primer orden dé $40\,\mathrm{dB}$ en $f_s - 1\,\mathrm{kHz}$, es decir, en $100f_c = 200\,\mathrm{kHz}$: $f_s \approx 400\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$. (d) El sobremuestreo empuja la banda de alias muy arriba, donde basta un filtro analógico suave; el filtrado abrupto se hace después de forma digital, antes de diezmar.

**Ejercicio 9.10 ★★★.**

*Lock-in.* Entrada $A\cos(\omega_0t + \varphi) + n(t)$ multiplicada por $\cos\omega_0t$ y filtrada por un paso bajo de primer orden de constante de tiempo $\tau$. (a) Salida en continua. (b) Muéstrese que una componente de ruido a $f = f_0 + \delta f$ da, tras el filtro, una amplitud reducida en $1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$; dedúzcase el ancho de banda de ruido equivalente $B = 1/4\tau$ (admítase $\int_0^\infty
\dd x/(1 + x^2) = \pi/2$). (c) Una señal de $1\,\text{µ}\mathrm{V}$ en $1\,\mathrm{mV}$ eficaces de ruido blanco sobre $10\,\mathrm{kHz}$: densidad de ruido; $\tau$ para una relación señal/ruido de $10$; tiempo de medida. (d) Una captación de red de $50\,\mathrm{Hz}$ y $1\,\mathrm{mV}$ contamina la entrada, con $f_0 = 1\,\mathrm{kHz}$: ¿adónde va y cuánto se atenúa para $\tau = 1\,\mathrm{s}$?

**Solución de Ejercicio 9.10.**

(a) $\tfrac12A\cos\varphi$. (b) La componente en $f_0 + \delta f$ cae en $\delta f$ y pasa el filtro con $|H| = 1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$; la transmisión en potencia integra a $\int_0^\infty\dd f/(1 + (2\pi f\tau)^2) = 1/4\tau$. (c) $e_n = 1\,\text{mV}/\sqrt{10^4} = 10\,\text{µ}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$; $e_n\sqrt B = 0.1\,\text{µ}\mathrm{V}$ exige $B = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz}$, $\tau = 2500\,\mathrm{s}$: una hora por punto. (d) A $950$ y $1050\,\mathrm{Hz}$, atenuada por $1/2\pi \times 950 \approx 1.7 \times 10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$).

**Ejercicio 9.11 ★★★.**

*Cuarzo.* Un cristal de cuarzo se comporta, cerca de su resonancia, como una rama serie $L$, $C$, $r$ ($L = 8000\,\mathrm{H}$, $C = 3.0\,\mathrm{fF}$, $r =
30\,\mathrm{k}\Omega$) en paralelo con $C_0 = 1.5\,\mathrm{pF}$. (a) Frecuencia de resonancia serie y factor de calidad $Q = L\omega_0/r$. (b) ¿Por qué un oscilador construido en torno a él mantiene su frecuencia con una parte en $10^6$ mientras que el puente de Wien deriva un tanto por ciento (piénsese en la pendiente de fase $\dd\varphi/\dd\omega$ de la red de [realimentación](#def-b2-feedback-oscillators-loop) cerca de la resonancia, $\sim 2Q/\omega_0$)? (c) Un cuarzo de reloj a $32\,768\,\mathrm{Hz}$ se divide entre $2^{15}$: resultado; su frecuencia varía como $-0.04\,\text{ppm}\,(T - 25{}^{\circ}\mathrm{C})^2$: error por mes a $5{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) ¿Por qué se eligen $32\,768\,\mathrm{Hz}$ y no $1\,\mathrm{MHz}$?

**Solución de Ejercicio 9.11.**

(a) $f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 32.5\,\mathrm{kHz}$; $Q = L\omega_0/r = 5.4 \times 10^{4}\,$. (b) Cerca de la resonancia la fase de la [realimentación](#def-b2-feedback-oscillators-loop) gira $2Q/\omega_0$ por unidad de $\omega$: un desfase parásito $\delta\varphi$ desplaza la frecuencia en $\delta\omega/\omega_0 =
\delta\varphi/2Q$ — $10^{-6}$ para $Q = 10^5$, y un tanto por ciento para $Q = 1/3$. (c) $1\,\mathrm{Hz}$; $-0.04 \times 400 = -16\,\mathrm{ppm}$: $16 \times 10^{-6} \times 2.6 \times 10^6 = 41\,\mathrm{s}$ de atraso al mes. (d) La frecuencia baja consume poca potencia en la lógica divisora, $2^{15}$ divide exactamente hasta $1\,\mathrm{Hz}$, y el diminuto cristal en diapasón cabe en un reloj de pulsera.

**Ejercicio 9.12 ★★★.**

*Resistencia negativa.* Un operacional lleva $R_2$ de la salida a la entrada $-$, $R_1$ de la entrada $-$ a masa y $R$ de la salida a la entrada $+$; se estudia el dipolo visto entre la entrada $+$ y masa (en régimen lineal). (a) Muéstrese que se comporta como una resistencia $-RR_1/R_2$. (b) Este dipolo se conecta en paralelo con un circuito $LC$ paralelo de resistencia de pérdidas $R_p$ (en paralelo): escríbase la ecuación de la tensión y hállense la condición de oscilación mantenida y la frecuencia. (c) Valores: $L
= 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R_p = 50\,\mathrm{k}\Omega$; elíjanse $R$ y $R_1 =
R_2$. (d) ¿Qué limita la amplitud y cómo se compara este oscilador con el puente de Wien?

**Solución de Ejercicio 9.12.**

(a) $v_- = v_+ = v$, $v_{\text{sal}} = v(1 + R_2/R_1)$; la corriente que entra en el dipolo, $i = (v - v_{\text{sal}})/R = -vR_2/RR_1$: $v/i = -RR_1/R_2$. (b) $C\dot v +
v(1/R_p - R_2/RR_1) + \frac1L\int v\,\dd t = 0$: mantenida cuando $R = R_pR_2/R_1$, a $\omega = 1/\sqrt{LC}$ (creciente para $R$ menor). (c) $f = 5.0\,\mathrm{kHz}$, $R \lesssim
50\,\mathrm{k}\Omega$ (por ejemplo $48\,\mathrm{k}\Omega$). (d) La saturación; el $Q = R_p
\sqrt{C/L} = 160$ del circuito resonante da una frecuencia mucho más estable que la [red de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).

## 9.7 Problema: una cadena de medida con detección síncrona

**Problema 9.1.**

Problema de fin de semana — del oscilador de referencia al resultado digitalizado: medir diez microvoltios de señal luminosa bajo un milivoltio de ruido

Se quiere medir una luz débil con un fotodiodo. La luz se trocea con una rueda giratoria a $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$, de modo que la salida del fotodiodo es una sinusoide de amplitud $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ a $f_0$ (tras un primer amplificador), sobre la que cabalga un ruido blanco de densidad espectral $e_n = 50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ en un ancho de banda de $100\,\mathrm{kHz}$, más una captación de red de $50\,\mathrm{Hz}$ y $1.0\,\mathrm{mV}$. La frecuencia del propio troceador la fija un [oscilador de puente de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).

**Parte I — El oscilador de referencia.** Puente de Wien con $C = 10\,\mathrm{nF}$ y operacional que satura a $\pm12\,\mathrm{V}$.

1. $R$ para $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ .
2. Dedúzcase la función de transferencia de la [red de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) y compruébese que su fase se anula en $f_0$ con módulo $1/3$ .
3. Escríbase la ecuación diferencial del lazo para una ganancia $K$ ; para $K = 3.15$ , tiempo que tarda la amplitud en crecer en un factor $1000$ .
4. La amplitud acaba limitada por la saturación: descríbase la forma de onda y por qué importan sus armónicos en una referencia.
5. Un termistor en lugar de $R_1$ (cuya resistencia baja al calentarse) o una bombilla (que sube): ¿cuál estabiliza la ganancia en 3, y cómo?
6. Los condensadores derivan un $+1\%$ con la temperatura: nueva frecuencia. ¿Por qué sigue sirviendo entonces el troceador para la medida (qué debe hacer la referencia)?
7. La [red de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) tiene un factor de calidad de alrededor de $1/3$ : ¿qué implica eso para la pureza de la frecuencia frente a un cuarzo ( $Q \sim 10^5$ )?

**Parte II — La señal y el ruido.**

8. Valor eficaz del ruido blanco sobre los $100\,\mathrm{kHz}$ completos; relación señal/ruido a la salida del amplificador.
9. Se intercala un filtro paso banda de factor de calidad $Q = 10$ centrado en $f_0$ (ancho de banda de ruido $\approx f_0/Q$ ): ruido eficaz y relación señal/ruido. ¿Por qué no basta esto para una medida precisa (piénsese en las derivas y en los $50\,\mathrm{Hz}$ )?
10. ¿Por qué trocear la luz a $1\,\mathrm{kHz}$ en lugar de medir directamente la fotocorriente continua? (Los amplificadores tienen un ruido en “ $1/f$ ” que crece por debajo de unos cientos de hercios.)
11. Amplitud de la señal si la rueda troceadora produce una modulación cuadrada en lugar de sinusoidal: ¿qué armónico conserva el lock-in y con qué amplitud (coeficiente de Fourier $4/\pi$ para el fundamental de una onda cuadrada de amplitud unidad)?
12. El fotodiodo recibe además la luz de la sala a $100\,\mathrm{Hz}$ (tubos fluorescentes): ¿qué hace con ella la cadena?

**Parte III — La [detección síncrona](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin).** La señal amplificada se multiplica por la referencia $\cos(2\pi f_0t)$ y se filtra con un paso bajo de primer orden de constante de tiempo $\tau$.

13. Salida del multiplicador para la señal sola (con fase $\varphi$ entre señal y referencia); el término continuo.
14. [Atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) del término en $2f_0$ por el filtro para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (en dB).
15. Ancho de banda de ruido equivalente $1/4\tau$ ; ruido eficaz a la salida para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ y relación señal/ruido; lo mismo para $\tau = 10\,\mathrm{s}$ .
16. ¿Dónde acaba la captación de $50\,\mathrm{Hz}$ y con qué [atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?
17. La fase $\varphi$ es desconocida: ¿qué se pierde si $\varphi = 60{}^{\circ}$ ? Descríbase el lock-in de dos canales (en fase y en cuadratura) y cómo recupera $A$ sea cual sea $\varphi$ .
18. Tiempo de respuesta de la medida (el que tarda en llegar al $99\%$ del valor final) para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ; el compromiso que eso expresa.
19. La referencia deriva a $1001\,\mathrm{Hz}$ mientras el troceador se queda en $1000\,\mathrm{Hz}$ : salida del lock-in; por qué la referencia debe tomarse del propio troceador.

**Parte IV — La digitalización.**

20. La salida del lock-in la muestrea un ordenador: ritmo mínimo para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (tómese el ancho de banda de salida como $1/2\pi\tau$ ); una elección cómoda.
21. Como alternativa se digitaliza la señal bruta de $1\,\mathrm{kHz}$ y la detección se hace por programa: frecuencia de muestreo mínima; el ruido llega hasta $100\,\mathrm{kHz}$ — ¿qué hay que hacer antes de muestrear y qué [atenuación](https://one-course.com/books/physics/4/es/chapter/8-dispersion-y-paquetes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) a $100\,\mathrm{kHz}$ da un muestreo a $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ con un filtro de cuarto orden cortado a $5\,\mathrm{kHz}$ ( $80\,\mathrm{dB}$ por década)?
22. Un convertidor de $16$ bits sobre $\pm1\,\mathrm{V}$ : escalón; la señal de $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ amplificada por $1000$ : ¿cuántos escalones, y el ruido ayuda o estorba?
23. Lock-in digital: el ordenador multiplica cada muestra por $\cos(2\pi f_0nT_s)$ y promedia $N$ muestras. A $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ , ¿qué $N$ da un promedio de $1\,\mathrm{s}$ ?; ¿en qué factor se reduce el ruido blanco y es el mismo que el del filtro analógico?
24. Una señal de $1\,\mathrm{kHz}$ muestreada a $999\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ : ¿qué ve el ordenador? ¿Qué relación tiene esto con el principio mismo del lock-in?
25. Resúmase la cadena en una tabla: cada etapa, qué le hace a la señal y qué le hace al ruido.

**Solución de Problema 9.1.**

**1.** $R = 1/2\pi f_0C = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$.

**2.** $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$: real, $= 1/3$, en $\omega_0 = 1/RC$.

**3.** $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$; constante de tiempo $2RC/0.15 =
2.1\,\mathrm{ms}$; $\ln1000 = 6.9$: $15\,\mathrm{ms}$.

**4.** Una sinusoide con las crestas achatadas: armónicos impares. Una referencia rica en armónicos detecta también los armónicos de la señal (y el ruido que hay en ellos): el resultado deja de medir solo el fundamental.

**5.** La bombilla: al subir la amplitud se calienta, $R_1$ sube y $K = 1 + R_2/R_1$ baja hasta $3$. Un termistor en lugar de $R_1$ haría lo contrario (su sitio es el de $R_2$).

**6.** $f \propto 1/C$: $990\,\mathrm{Hz}$. La referencia del lock-in se toma del propio troceador (con un detector en la rueda), de modo que lo sigue.

**7.** $Q \sim 1/3$: un pequeño desfase en cualquier punto del lazo desplaza la frecuencia un tanto por ciento; el $10^5$ de un cuarzo la mantiene con una precisión de $10^{-6}$.

**8.** $50\,\text{nV} \times \sqrt{10^5} = 16\,\text{µ}\mathrm{V}$ eficaces: relación señal/ruido $0.6$.

**9.** $B = 100\,\mathrm{Hz}$: $0.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, relación $20$ — pero el centro del filtro deriva con sus componentes, y la captación de $50\,\mathrm{Hz}$ solo queda atenuada en $\sim 1/[Q(f_0/f - f/f_0)] = 0.005$: $5\,\text{µ}\mathrm{V}$, la mitad de la señal.

**10.** Por debajo de unos cientos de hercios dominan el ruido en $1/f$ del amplificador y las derivas; a $1\,\mathrm{kHz}$ el suelo de ruido es blanco y bajo, y los desplazamientos de cero no cuentan.

**11.** Una modulación cuadrada entre $0$ y $A_0$ vale $A_0/2 + (2A_0/\pi)
\cos\omega_0t + \dots$: el lock-in conserva el fundamental, $0.64A_0$.

**12.** Los $100\,\mathrm{Hz}$ se mezclan hasta $900$ y $1100\,\mathrm{Hz}$ y los elimina el paso bajo.

**13.** $\tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)$; término continuo $\tfrac12A\cos\varphi$.

**14.** $1/2\pi f\tau = 1/2\pi \times 2000 = 8 \times 10^{-5}$: $-82\,\mathrm{dB}$.

**15.** $B = 1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$: $e_n\sqrt B = 25\,\mathrm{nV}$ frente a $A =
10\,\text{µ}\mathrm{V}$: relación $400$; con $\tau = 10\,\mathrm{s}$: $7.9\,\mathrm{nV}$, relación $1300$.

**16.** A $950$ y $1050\,\mathrm{Hz}$: atenuada por $1/2\pi \times 950 = 1.7 \times
10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$): $0.17\,\text{µ}\mathrm{V}$ de rizado, una décima parte de la señal — aun así conviene un filtro de rechazo aguas arriba.

**17.** $\cos60^\circ = 0.5$: la mitad de la señal. Un segundo multiplicador con la referencia desfasada $90{}^{\circ}$ da $Y = \tfrac12A\sin\varphi$; con $X =
\tfrac12A\cos\varphi$, $A = 2\sqrt{X^2 + Y^2}$ y $\varphi = \arctan(Y/X)$, sea cual sea $\varphi$.

**18.** $\tau\ln100 = 4.6\,\mathrm{s}$; el ruido cae como $1/\sqrt\tau$ y el tiempo de medida crece como $\tau$.

**19.** El término de la diferencia vale $\tfrac12A\cos(2\pi \times 1\,\text{Hz}\,t + \varphi)$, que el filtro deja pasar con $1/\sqrt{1 + (2\pi)^2} = 0.16$: una oscilación lenta en lugar de un nivel. La referencia debe ser *coherente* con la señal: hay que tomarla del troceador.

**20.** Ancho de banda $1/2\pi\tau = 0.16\,\mathrm{Hz}$: por encima de $0.32\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$; $10\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ resulta cómodo.

**21.** Al menos $2\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$; el [filtro antisolapamiento](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) es obligatorio; de cuarto orden a $5\,\mathrm{kHz}$: $80\log_{10}(100/5) = 104\,\mathrm{dB}$ a $100\,\mathrm{kHz}$ (y $46\,\mathrm{dB}$ a $19\,\mathrm{kHz}$, el ruido que se solaparía sobre $1\,\mathrm{kHz}$).

**22.** Escalón $30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$; $10\,\mathrm{mV}$ son $330$ escalones; el ruido amplificado ($16\,\mathrm{mV}$ eficaces) abarca muchos escalones y, al promediar, permite resolver la media muy por debajo de un escalón: ayuda.

**23.** $N = 20000$; el ruido blanco cae en $\sqrt N = 140$; un promediado rectangular de $1\,\mathrm{s}$ tiene un ancho de banda de ruido $1/2T = 0.5\,\mathrm{Hz}$ — el doble que el del $RC$ analógico, comparable.

**24.** Las muestras recorren despacio la sinusoide: un alias de $1\,\mathrm{Hz}$. El lock-in hace lo mismo a propósito: muestrear a la fase de la referencia es multiplicar por la referencia.

**25.** Troceador: la señal se traslada a $1\,\mathrm{kHz}$ y el ruido no cambia (pero se evita la parte en $1/f$). Amplificador: ambos $\times$ la ganancia. Multiplicador: la señal a continua, el ruido repartido. Paso bajo: la señal se conserva, el ruido se recorta a $1/4\tau$. Muestreador y convertidor: la señal se digitaliza, y el filtro y el número de bits controlan los alias y la cuantificación.