---
title: "Les équations de Maxwell"
book: "Physique universitaire — 2e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell
---

# Chapitre 11 — Les équations de Maxwell

En 1865 James Clerk Maxwell écrivit les lois que Coulomb, Ampère et Faraday avaient trouvées une à une, ajouta à celle d’Ampère un terme qu’aucune expérience n’exigeait encore, et découvrit que ses équations admettaient des ondes se propageant à une vitesse qu’il pouvait calculer à partir des constantes de l’électricité et du magnétisme — la vitesse de la lumière. Électricité, magnétisme et optique ne faisaient qu’un. Le volume de première année énonçait les lois sous forme d’intégrales sur des surfaces et des contours ; ce chapitre les écrit sous forme de quatre équations *locales* valables en tout point et à tout instant, avec les opérateurs vectoriels qui rendent une telle écriture possible, et en tire les premières conséquences : le [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), les potentiels, le comportement des champs à une interface, et les approximations sous lesquelles les circuits du volume de première année sont exacts.

![James Clerk Maxwell (1831–1879), qui écrivit les quatre équations de ce chapitre et y lut l’existence d’ondes électromagnétiques se propageant à la vitesse de la lumière.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/img-ab0c12ec0830.jpg)

*James Clerk Maxwell (1831–1879), qui écrivit les quatre équations de ce chapitre et y lut l’existence d’ondes électromagnétiques se propageant à la vitesse de la lumière.*

## 11.1 Les opérateurs vectoriels

**Définition 11.1 (Gradient, divergence, rotationnel, laplacien).**

Pour un champ scalaire $f$ et un champ de vecteurs $\vect A$, en coordonnées cartésiennes avec le vecteur symbolique $\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y,
\partial_z)$ :

$$
\begin{align*}
\operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\
\operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\
\operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\
\Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f ,
\end{align*}
$$

et $\Delta\vect A$ est le laplacien pris sur chaque composante cartésienne. Leur sens ne dépend pas des coordonnées : $\operatorname{\vect{grad}}f
\cdot\dd\vect l = \dd f$ est la variation de $f$ selon $\dd\vect l$ ; $\operatorname{div}
\vect A$ est le flux sortant de $\vect A$ à travers la surface d’un petit volume, par unité de volume ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n$ est la circulation de $\vect A$ autour d’un petit contour de normale $\vect n$, par unité d’aire.

**Théorème 11.2 (Théorèmes de la divergence et de Stokes).**

Pour une surface fermée $\Sigma$ limitant le volume $V$, et une courbe fermée orientée $C$ limitant la surface $S$ (normale $\vect n$ donnée par la règle de la main droite),

$$
\iint_\Sigma\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V\operatorname{div}\vect A\,\dd\tau ,
\qquad
\oint_C\vect A\cdot\dd\vect l = \iint_S\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n\,\dd S .
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 11.3 (Ce qui est admis, et pourquoi c’est crédible).**

Les deux théorèmes sont démontrés dans le volume de mathématiques de troisième année ; le volume de mathématiques de cette année s’arrête à leur version plane (Green–Riemann) et aux intégrales multiples. Leur contenu, cependant, est celui que nous avons utilisé au [Chapitre 2](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#ch-b2-fluid-kinematics) : on pave le volume de petites boîtes (la surface du contour de petits contours) — les flux par les faces intérieures (les circulations sur les arêtes intérieures) se compensent deux à deux, et seule la frontière subsiste. Deux identités découlent des définitions et servent constamment : $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}f = \vect 0$, $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$, et $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}
\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A$. Pour les champs à symétrie, les formules utiles sont : pour un champ radial $A_r(r)\vect e_r$, $\operatorname{div}
= \frac1{r^2}\partial_r(r^2A_r)$ (sphérique) ou $\frac1r\partial_r(rA_r)$ (cylindrique) ; pour un champ orthoradial $A_\theta(r)\vect e_\theta$ autour d’un axe, $(\operatorname{\vect{curl}})_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$ ; et pour $f(r)$, $\Delta f = \frac1{r^2}\partial_r(r^2\partial_rf) = \frac1r\partial_r^2(rf)$ (sphérique), $\frac1r\partial_r(r\partial_rf)$ (cylindrique).

![Les deux opérateurs des équations de Maxwell, lus géométriquement : la divergence mesure combien un champ sort d’un petit volume, le rotationnel combien il circule autour d’un petit contour.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-547af2dd8312.svg)

*Les deux opérateurs des [équations de Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), lus géométriquement : la [divergence](#def-b2-maxwell-equations-operators) mesure combien un champ sort d’un petit volume, le [rotationnel](#def-b2-maxwell-equations-operators) combien il circule autour d’un petit contour.*

## 11.2 Les quatre équations

**Théorème 11.4 (Équations de Maxwell).**

Dans le vide (et dans la matière décrite par ses densités totales de charge et de courant $\rho$ et $\vect j$), les champs électrique et magnétique obéissent, en tout point et à tout instant, à

$$
\begin{align*}
\operatorname{div}\vect E &= \frac\rho{\varepsilon_0} &&\text{(Maxwell--Gauss)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect E &= -\frac{\partial\vect B}{\partial t} &&\text{(Maxwell--Faraday)} ,\\
\operatorname{div}\vect B &= 0 &&\text{(Maxwell--flux)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect B &= \mu_0\vect j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vect E}{\partial t} &&\text{(Maxwell--Ampère)} ,
\end{align*}
$$

avec $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, $\mu_0 = 4\pi \times 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ (et $\varepsilon_0\mu_0 = 1/c^2$). Les champs agissent sur les charges par la force de Lorentz $\vect F = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$. Le terme $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ est la densité de *[courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)* de Maxwell.

**Équivalence avec les lois intégrales du volume de première année.** Appliquons le théorème de la [divergence](#def-b2-maxwell-equations-operators) aux deux premières : $\iint_\Sigma\vect E\cdot
\vect n\,\dd S = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$ (Gauss) et le flux de $\vect B$ à travers toute surface fermée est nul. Appliquons Stokes aux deux dernières : $\oint_C\vect E\cdot\dd\vect l = -\dd\Phi_B/\dd t$ (Faraday, pour un contour fixe) et $\oint_C\vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0I_{\text{enl}} + \mu_0\varepsilon_0\,\dd\Phi_E/\dd t$ (Ampère, complété). Réciproquement les lois intégrales, valables pour tout volume et tout contour, entraînent les lois locales. Les équations locales sont donc les lois de première année augmentées d’un terme nouveau, justifié plus bas ; elles sont prises pour postulats de l’électromagnétisme. ∎

**Proposition 11.5 (Pourquoi le courant de déplacement est nécessaire).**

En prenant la [divergence](#def-b2-maxwell-equations-operators) de l’[équation de Maxwell–Ampère](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) et en utilisant $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}} = 0$ et Maxwell–Gauss, il vient

$$
0 = \mu_0\operatorname{div}\vect j + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\operatorname{div}\vect E
= \mu_0\Bigl(\operatorname{div}\vect j + \frac{\partial\rho}{\partial t}\Bigr) :
$$

les équations contiennent la conservation de la charge. Sans le terme de déplacement elles imposeraient $\operatorname{div}\vect j = 0$ en toutes circonstances — ce qui est faux dans un condensateur en charge, où le courant de conduction s’arrête à l’armature. Là, entre les armatures, $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ transporte exactement le courant qui arrive dans le fil, et le champ magnétique circule autour de l’intervalle comme autour d’un fil.

**Démonstration.** [Divergence](#def-b2-maxwell-equations-operators) des deux membres, comme énoncé ; pour le condensateur, le flux de $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ à travers une surface située entre les armatures vaut $\varepsilon_0S\,\dd E/\dd t = \dd Q/\dd t = I$. ∎

**Exemple 11.6 (Le champ dans un condensateur en charge).**

Armatures circulaires de rayon $R$, distantes de $d \ll R$, chargées par un courant $I$ : entre elles $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ est uniforme et croît selon $\dd E/
\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2$. Par symétrie $\vect B = B(r)\vect e_\theta$ ; Ampère–Maxwell sur un cercle de rayon $r < R$ (qu’aucun courant de conduction ne traverse) : $2\pi rB
= \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\,\dd E/\dd t$, donc $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ — le champ d’un courant uniforme $I$ réparti sur le disque, continu en $r = R$ avec le $\mu_0I/2\pi r$ du fil à l’extérieur. Pour $I = 1\,\mathrm{A}$, $R = 5\,\mathrm{cm}$ : $B(R) =
4\,\text{µ}\mathrm{T}$, mesurable ; le terme de Maxwell est bien réel.

![Un condensateur en charge : aucune charge ne traverse l’intervalle, mais le flux électrique à travers un contour qui l’entoure croît ; le terme de Maxwell donne au contour la même circulation de B que si le fil se prolongeait — c’est le courant de déplacement.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-a5cb03976630.svg)

*Un condensateur en charge : aucune charge ne traverse l’intervalle, mais le flux électrique à travers un contour qui l’entoure croît ; le terme de Maxwell donne au contour la même circulation de $\vect B$ que si le fil se prolongeait — c’est le [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell).*

**Remarque 11.7 (Linéarité ; ce que disent les équations).**

Les équations sont linéaires en les champs et en leurs sources : les champs se superposent. Deux d’entre elles (Gauss magnétique, Maxwell–Faraday) ne portent pas de sources et expriment une structure — les lignes de champ électrique naissent et meurent sur des charges, les lignes de champ magnétique ne s’arrêtent jamais ; les deux autres disent comment les charges et les courants, et la variation de chaque champ, créent les champs. Lues ensemble, un $\vect B$ variable crée un $\vect E$ à circulation non nulle et un $\vect E$ variable crée un $\vect B$ à circulation non nulle : les deux peuvent s’entretenir mutuellement sans la moindre charge — c’est l’onde du [Chapitre 13](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/13-ondes-electromagnetiques-planes-et-polarisation#ch-b2-plane-waves-polarization), et le [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) est ce qui la rend possible.

## 11.3 Les potentiels

**Proposition 11.8 (Potentiels scalaire et vecteur).**

Puisque $\operatorname{div}\vect B = 0$ et $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t
\vect B$, les champs dérivent d’un *[potentiel vecteur](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $\vect A$ et d’un *[potentiel scalaire](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $V$ :

$$
\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A , \qquad
\vect E = -\operatorname{\vect{grad}}V - \frac{\partial\vect A}{\partial t} ,
$$

déterminés à une *transformation de jauge* près $\vect A \to \vect A +
\operatorname{\vect{grad}}\chi$, $V \to V - \partial_t\chi$, qui laisse les champs inchangés. Dans la *[jauge de Coulomb](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $\operatorname{div}\vect A = 0$, la loi de Gauss devient l’*[équation de Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)*

$$
\Delta V = -\frac\rho{\varepsilon_0} ,
$$

et en régime stationnaire la loi d’Ampère devient $\Delta\vect A = -\mu_0\vect j$. En statique $V$ est le potentiel électrostatique du volume de première année.

**Démonstration.** Un champ à [divergence](#def-b2-maxwell-equations-operators) nulle est un [rotationnel](#def-b2-maxwell-equations-operators) (admis, comme l’énoncé réciproque selon lequel un champ à [rotationnel](#def-b2-maxwell-equations-operators) nul est un [gradient](#def-b2-maxwell-equations-operators), tous deux issus du volume de mathématiques de deuxième année pour les domaines simplement connexes) ; alors $\operatorname{\vect{curl}}
(\vect E + \partial_t\vect A) = \vect 0$, donc $\vect E + \partial_t\vect A$ est un [gradient](#def-b2-maxwell-equations-operators). Jauge : $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}\chi = \vect 0$ et les termes $\partial_t\operatorname{\vect{grad}}\chi$ se compensent dans $\vect E$. Poisson : $\operatorname{div}
\vect E = -\Delta V - \partial_t\operatorname{div}\vect A$. Statique : $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A
= \mu_0\vect j$. ∎

**Exemple 11.9 (Deux potentiels vecteurs).**

Un champ uniforme $\vect B_0$ dérive de $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ (vérification : $\operatorname{\vect{curl}}(\tfrac12\vect B_0\wedge\vect r) = \vect B_0$, et $\operatorname{div}\vect A = 0$) ; à l’intérieur d’un solénoïde infini cela donne $A_\theta =
Br/2$, à l’extérieur $A_\theta = BR^2/2r$ — un potentiel qui ne s’annule pas là où le champ s’annule, et dont la circulation le long d’un contour est le flux de $\vect B$ à travers lui : $\oint\vect A\cdot\dd\vect l = \Phi_B$ (Stokes). La loi de Faraday s’écrit alors $\vect E = -\partial_t\vect A$ pour le champ induit.

## 11.4 Les champs à une interface

**Proposition 11.10 (Relations de passage).**

À la traversée d’une surface portant la densité surfacique de charge $\sigma$ et la densité surfacique de courant $\vect j_s$ ($\mathrm{A}/\mathrm{m}$), avec $\vect n_{12}$ la normale unitaire du milieu 1 vers le milieu 2,

$$
\vect E_2 - \vect E_1 = \frac\sigma{\varepsilon_0}\,\vect n_{12} , \qquad
\vect B_2 - \vect B_1 = \mu_0\,\vect j_s\wedge\vect n_{12} :
$$

la composante tangentielle de $\vect E$ et la composante normale de $\vect B$ sont continues ; la composante normale de $\vect E$ saute de $\sigma/\varepsilon_0$, la composante tangentielle de $\vect B$ de $\mu_0j_s$. À la surface d’un conducteur parfait ($\vect E = \vect B = \vect 0$ à l’intérieur, dans les cas du [Chapitre 15](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/15-reflexion-et-transmission-aux-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)), $\vect E$ est normal et vaut $\sigma\vect n/
\varepsilon_0$, $\vect B$ est tangentiel et vaut $\mu_0\vect j_s\wedge\vect n$.

**Démonstration.** Composantes normales : les lois de Gauss et du flux appliquées à un cylindre plat à cheval sur la surface, d’aire $\dd S$ et de hauteur tendant vers zéro : $(E_{2n}
- E_{1n})\dd S = \sigma\dd S/\varepsilon_0$, $(B_{2n} - B_{1n})\dd S = 0$. Composantes tangentielles : les lois de Faraday et d’Ampère appliquées à un petit rectangle à cheval sur la surface, de longueur $\dd l$ et de hauteur tendant vers zéro : les flux de $\partial_t\vect B$ et de $\partial_t\vect E$ à travers le rectangle s’annulent avec son aire, mais un [courant surfacique](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) $j_s\,\dd l$ le traverse : $(E_{2t} - E_{1t})\dd l = 0$, $(B_{2t} - B_{1t})\dd l = \mu_0j_s\dd l$ pour la direction tangentielle perpendiculaire à $\vect j_s$. ∎

![Les relations de passage découlent des lois intégrales appliquées à un cylindre plat et à un contour aplati à cheval sur l’interface : une charge surfacique fait sauter la composante normale de E, un courant surfacique fait sauter la composante tangentielle de B ; les autres composantes sont continues.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-b62f99d8c0ef.svg)

*Les relations de passage découlent des lois intégrales appliquées à un cylindre plat et à un contour aplati à cheval sur l’interface : une charge surfacique fait sauter la composante normale de $\vect E$, un [courant surfacique](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) fait sauter la composante tangentielle de $\vect B$ ; les autres composantes sont continues.*

**Exemple 11.11 (Plan chargé, nappe de courant, solénoïde).**

Un plan portant $\sigma$ seul dans l’espace : par symétrie $\vect E = \pm E\vect n$ de part et d’autre, et le saut $2E = \sigma/\varepsilon_0$ donne $E = \sigma/2\varepsilon_0$ — le résultat de première année en une ligne. Une nappe plane de courant $j_s$ : $B =
\mu_0j_s/2$ de chaque côté, en sens opposés. Un long solénoïde de $n$ spires par mètre parcouru par $I$ est une nappe cylindrique de courant $j_s = nI$ : le saut $\mu_0nI$ à sa traversée, avec $B = 0$ à l’extérieur, donne $B = \mu_0nI$ à l’intérieur.

## 11.5 Régimes quasi stationnaires

**Définition 11.12 (Les approximations quasi stationnaires).**

Un système de taille $L$ excité à la fréquence $f$ est *quasi stationnaire* lorsque $L \ll \lambda = c/f$ : le temps $L/c$ que mettent les champs à le traverser est négligeable devant la période, et tous ses points « voient » les sources au même instant. On utilise deux limites :

- le régime quasi stationnaire *magnétique* (circuits parcourus par des courants, bobines, transformateurs, induction) : on abandonne le [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) dans la loi d’Ampère, $\operatorname{\vect{curl}}\vect B  = \mu_0\vect j$ (d’où $\operatorname{div}\vect j = 0$ et des courants qui circulent en circuits fermés), tandis que la loi de Faraday est conservée en entier ;
- le régime quasi stationnaire *électrique* (un condensateur en charge) : on abandonne le terme de Faraday, $\vect E$ est le champ électrostatique des charges instantanées, tandis que le [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) est conservé pour trouver $\vect B$ .

**Justification.** En régime magnétique, comparons les deux termes de la loi d’Ampère dans un conducteur : $\mu_0\varepsilon_0\partial_t E \sim \mu_0\varepsilon_0\omega E$ contre $\mu_0\gamma E$, soit un rapport $\varepsilon_0\omega/\gamma = \omega\tau_r \sim 10^{-17}$ à $50\,\mathrm{Hz}$ dans le cuivre ; hors du conducteur le [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) est de l’ordre de $\varepsilon_0\omega E$ avec $E \sim \omega AB$, c’est-à-dire plus petit que l’effet du courant de conduction d’un facteur $(\omega L/c)^2 = (L/\lambda)^2 \times 4\pi^2$. En régime électrique le champ induit $\omega BL \sim \omega^2\varepsilon_0\mu_0L^2E$ est plus petit que $E$ du même $(L/\lambda)^2$. ∎

**Exemple 11.13 (Circuits et antennes).**

Un circuit du secteur à $50\,\mathrm{Hz}$ ($\lambda = 6000\,\mathrm{km}$) est quasi stationnaire jusqu’à la taille d’un pays — c’est pourquoi les lois de Kirchhoff et le transformateur fonctionnent. Un circuit de $10\,\mathrm{cm}$ est quasi stationnaire jusqu’à $100\,\mathrm{MHz}$ environ ; à $1\,\mathrm{GHz}$ ($\lambda = 30\,\mathrm{cm}$) ses fils sont des antennes, les courants diffèrent le long d’un fil, et le circuit rayonne : c’est le domaine du [Chapitre 17](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/17-rayonnement-dipolaire-et-diffusion#ch-b2-dipole-radiation) et de la conception hyperfréquence, où une piste sur une carte est une [ligne de transmission](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).

![Taille en fonction de la fréquence : sous la droite L = /10 (tirets) un dispositif est quasi stationnaire et les lois des circuits valent ; près de et au-dessus de L = les champs se propagent, et le dispositif rayonne.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-f3ed57f0632c.svg)

*Taille en fonction de la fréquence : sous la droite $L = \lambda/10$ (tirets) un dispositif est quasi stationnaire et les lois des circuits valent ; près de et au-dessus de $L = \lambda$ les champs se propagent, et le dispositif rayonne.*

**Méthode 11.14 (Utiliser les équations locales).**

(1) Utiliser les symétries et les invariances des sources pour fixer la direction et les variables des champs (comme dans le volume de première année). (2) Choisir la forme : intégrale (Gauss, Ampère sur une surface ou un contour bien choisis) quand il y a assez de symétrie ; locale quand il faut une équation différentielle (Poisson pour $V$, l’équation de diffusion ou d’onde pour les champs). (3) Dans un problème dépendant du temps, décider du régime : statique, quasi stationnaire magnétique ou électrique, ou Maxwell complet. (4) Aux interfaces, utiliser les relations de passage — c’est le seul endroit où interviennent charges et [courants surfaciques](#prop-b2-maxwell-equations-boundary). (5) Vérifier $\operatorname{div}\vect B = 0$ et les dimensions.

## 11.6 Exercices

**Exercice 11.1 ★.**

Calculer la [divergence](#def-b2-maxwell-equations-operators) et le [rotationnel](#def-b2-maxwell-equations-operators) de (a) $\vect A = (x, y, z)$ ; (b) $\vect A = (-y, x, 0)$ ; (c) $\vect A = (yz, zx, xy)$ ; (d) $\vect A = \vect r/r^3$ (utiliser la formule radiale, $r \ne 0$) ; (e) $\vect A = (0, 0, x^2)$. Lesquels sont des [gradients](#def-b2-maxwell-equations-operators), lesquels des [rotationnels](#def-b2-maxwell-equations-operators), lesquels ni l’un ni l’autre ?

**Solution de Exercice 11.1.**

(a) $\operatorname{div} = 3$, $\operatorname{\vect{curl}} = \vect 0$ : le [gradient](#def-b2-maxwell-equations-operators) de $r^2/2$. (b) $0$ et $(0, 0, 2)$ : un [rotationnel](#def-b2-maxwell-equations-operators) (de $-\tfrac12(x^2 + y^2)\vect e_z$), non un [gradient](#def-b2-maxwell-equations-operators). (c) $0$ et $\vect 0$ : le [gradient](#def-b2-maxwell-equations-operators) de $xyz$ (et aussi un [rotationnel](#def-b2-maxwell-equations-operators)). (d) $\frac1{r^2}\partial_r(r^2/r^2) = 0$, [rotationnel](#def-b2-maxwell-equations-operators) $\vect 0$ : le [gradient](#def-b2-maxwell-equations-operators) de $-1/r$. (e) $0$ et $(0, -2x, 0)$ : un [rotationnel](#def-b2-maxwell-equations-operators), non un [gradient](#def-b2-maxwell-equations-operators).

**Exercice 11.2 ★.**

(a) Vérifier les dimensions de chaque terme des quatre [équations de Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell). (b) Calculer $1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$. (c) Rapport de la densité de [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) à la [densité de courant](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/10-charges-courants-et-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) de conduction dans le cuivre à $50\,\mathrm{Hz}$, dans l’eau de mer ($\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) à $1\,\mathrm{GHz}$, dans le verre ($\gamma =
1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, avec $\varepsilon_0$ pour simplifier) à $50\,\mathrm{Hz}$ : lequel est « un conducteur » dans chaque cas ?

**Solution de Exercice 11.2.**

(a) Gauss et Faraday : les deux membres en $\mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}$ (une [densité de charge](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/10-charges-courants-et-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) divisée par $\varepsilon_0$, un [gradient](#def-b2-maxwell-equations-operators) de champ, un champ divisé par un temps) ; Ampère : les deux membres en $\mathrm{T}/\mathrm{m}$. (b) $1/\sqrt{8.85 \times 10^{-12} \times 1.257 \times 10^{-6}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Rapport $\varepsilon_0\omega/\gamma$ : cuivre $5 \times 10^{-20}$ ; eau de mer à $1\,\mathrm{GHz}$ $1 \times 10^{-2}$ (encore un conducteur, de justesse) ; verre à $50\,\mathrm{Hz}$ $3 \times 10^3$ : un diélectrique, le [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) domine.

**Exercice 11.3 ★.**

Un condensateur à armatures circulaires ($R = 10\,\mathrm{cm}$, $d = 2\,\mathrm{mm}$) est chargé par $I = 0.5\,\mathrm{A}$. Taux de variation de $E$ ; densité de [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) ; $B$ en $r = 5\,\mathrm{cm}$ et en $r = 20\,\mathrm{cm}$ (dans le plan à mi-distance des armatures) ; comparer la seconde valeur au champ du fil d’amenée à la même distance.

**Solution de Exercice 11.3.**

$\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.8 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $j_d = I/\pi R^2 =
16\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ ; $B(5\,\mathrm{cm}) = \mu_0Ir/2\pi R^2 = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $B(20\,\mathrm{cm}) =
\mu_0I/2\pi r = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ — exactement le champ du fil.

**Exercice 11.4 ★.**

(a) $\vect E = kx\,\vect e_x$ remplit une région : [densité de charge](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/10-charges-courants-et-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) en ce lieu. (b) À l’intérieur d’une boule de rayon $R$, $\vect E = (\rho_0r/3\varepsilon_0)\vect e_r$ : vérifier avec la [divergence](#def-b2-maxwell-equations-operators) radiale que $\rho = \rho_0$, et retrouver le champ à l’extérieur par la loi de Gauss intégrale. (c) $\vect B = B_0(y/a)\vect e_x$ : est-ce un champ magnétique possible ? Quelle [densité de courant](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/10-charges-courants-et-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) l’entretient ?

**Solution de Exercice 11.4.**

(a) $\rho = \varepsilon_0k$. (b) $\frac1{r^2}\partial_r(\rho_0r^3/3\varepsilon_0) = \rho_0/\varepsilon_0$ ; à l’extérieur, Gauss : $E = \rho_0R^3/3\varepsilon_0r^2$. (c) $\operatorname{div}\vect B = 0$ : oui ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(B_0/a)\vect e_z$ : $\vect j = -(B_0/\mu_0a)\vect e_z$, une nappe de courant uniforme d’épaisseur selon $y$.

**Exercice 11.5 ★★.**

*[Potentiels vecteurs](#prop-b2-maxwell-equations-potentials).* (a) Montrer que $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ donne $\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \vect B_0$ et $\operatorname{div}\vect A = 0$. (b) $\vect A' = B_0x\,\vect e_y$ convient aussi : trouver la fonction de jauge $\chi$ telle que $\vect A' = \vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$. (c) Solénoïde de rayon $R$, champ $B$ à l’intérieur : vérifier $A_\theta = Br/2$ ($r < R$) et $BR^2/2r$ ($r > R$) avec $(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$ ; continuité en $R$. (d) Circulation de $\vect A$ sur un cercle de rayon $r > R$ et flux de $\vect B$ : que cela dit-il de la force électromotrice induite dans un contour extérieur à un solénoïde dont le courant varie ?

**Solution de Exercice 11.5.**

(a) $\vect A = \tfrac12(B_yz - B_zy, B_zx - B_xz, B_xy - B_yx)$ : $(\operatorname{\vect{curl}}
\vect A)_x = \tfrac12(B_x + B_x) = B_x$, etc. ; $\operatorname{div}\vect A = 0$. (b) $\vect A' - \vect A = \tfrac12B_0(y, x, 0) = \operatorname{\vect{grad}}(\tfrac12B_0xy)$. (c) $\frac1r\partial_r(Br^2/2) = B$ ; $\frac1r\partial_r(BR^2/2) = 0$ ; les deux valent $BR/2$ en $R$. (d) $2\pi r\cdot BR^2/2r = \pi R^2B = \Phi$ : un contour extérieur au solénoïde, là où $\vect B = \vect 0$, ressent tout de même $e = -\dd\Phi/\dd t$ — par $\vect E =
-\partial_t\vect A$, qui ne s’y annule pas.

**Exercice 11.6 ★★.**

*Relations de passage.* (a) Un conducteur en équilibre électrostatique porte $\sigma$ sur sa surface : champ juste à l’extérieur (par le saut, avec $\vect E = \vect 0$ à l’intérieur) ; pour $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$. (b) Deux plans parallèles portant $+\sigma$ et $-\sigma$ : champ partout, par les sauts. (c) Un long solénoïde ($n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$, $I = 5\,\mathrm{A}$) vu comme une nappe de courant : $j_s$, le saut de $B$, $B$ à l’intérieur. (d) Une bobine torique : pourquoi $B$ est-il nul à l’extérieur et égal à $\mu_0NI/2\pi r$ à l’intérieur, à partir du même saut ?

**Solution de Exercice 11.6.**

(a) $E = \sigma/\varepsilon_0 = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, normal. (b) $\sigma/\varepsilon_0$ entre les plans, nul à l’extérieur (chaque saut ajoute $\pm\sigma/\varepsilon_0$). (c) $j_s = nI = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, saut $\mu_0j_s = 12.6\,\mathrm{mT} = B$ à l’intérieur. (d) Un contour extérieur au tore n’enlace aucun courant net, donc $B = 0$ en ce lieu ; à l’intérieur, Ampère donne $\mu_0NI/2\pi r$, et le saut à la traversée de l’enroulement, $\mu_0j_s = \mu_0NI/2\pi r$, concorde.

**Exercice 11.7 ★★.**

*Poisson à une dimension.* Entre deux électrodes planes en $x = 0$ ($V = 0$) et $x = d$ ($V = U$), une [densité de charge](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/10-charges-courants-et-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) uniforme $\rho_0$ remplit l’espace (une charge d’espace). (a) Résoudre l’[équation de Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) pour $V(x)$. (b) Champ $E(x)$ ; où s’annule-t-il si $\rho_0 > 0$ et grand ? (c) Charges surfaciques sur les deux électrodes, par la relation de passage. (d) Avec $\rho_0 = 0$ retrouver le condensateur ; avec $U = 0$, tracer $V$.

**Solution de Exercice 11.7.**

(a) $V'' = -\rho_0/\varepsilon_0$ : $V = -\rho_0x^2/2\varepsilon_0 + (U/d + \rho_0d/2\varepsilon_0)x$. (b) $E = \rho_0x/\varepsilon_0 - U/d - \rho_0d/2\varepsilon_0$, nul en $x_0 = d/2 + \varepsilon_0U/\rho_0d$ — près du milieu pour une grande charge d’espace. (c) $\sigma(0) = \varepsilon_0E(0^+) =
-\varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$, $\sigma(d) = -\varepsilon_0E(d^-) = \varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$ : au total $-\rho_0d$, qui neutralise la charge d’espace. (d) $\rho_0 = 0$ : $V$ linéaire, $E$ uniforme ; $U = 0$ : une parabole culminant en $d/2$.

**Exercice 11.8 ★★.**

*Quasi stationnaire ou non.* (a) $\lambda$ à $50\,\mathrm{Hz}$, $1\,\mathrm{MHz}$, $100\,\mathrm{MHz}$, $2.4\,\mathrm{GHz}$. (b) Jusqu’à quelle fréquence un circuit de $10\,\mathrm{cm}$ est-il quasi stationnaire (critère $L < \lambda/10$) ? Une puce de $1\,\mathrm{cm}$ ? Un réseau électrique de $1000\,\mathrm{km}$ ? (c) Dans un condensateur de rayon $R = 5\,\mathrm{cm}$ à $1\,\mathrm{MHz}$, estimer le rapport du champ électrique induit (par le $\vect B$ variable des exercices précédents) au champ principal : $(\omega R/c)^2
/4$. (d) Pourquoi la fréquence du secteur d’un réseau à l’échelle d’un continent est-elle un problème quasi stationnaire alors que le réseau fait $1000\,\mathrm{km}$ de large ?

**Solution de Exercice 11.8.**

(a) $6000\,\mathrm{km}$, $300\,\mathrm{m}$, $3\,\mathrm{m}$, $12.5\,\mathrm{cm}$. (b) $f < c/10L$ : $300\,\mathrm{MHz}$ ; $3\,\mathrm{GHz}$ ; $30\,\mathrm{Hz}$. (c) $(2\pi \times 10^6 \times 0.05/3 \times 10^8)^2/4 =
3 \times 10^{-7}$. (d) Il ne l’est pas, à la rigueur : à $50\,\mathrm{Hz}$ un réseau de $1000\,\mathrm{km}$ vaut un sixième de longueur d’onde, les phases y diffèrent, et les longues lignes sont traitées comme des [lignes de transmission](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) — chaque circuit local, lui, est quasi stationnaire.

**Exercice 11.9 ★★.**

Montrer que la loi d’Ampère privée du [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), $\operatorname{\vect{curl}}
\vect B = \mu_0\vect j$, contredit la conservation de la charge dès que $\partial_t\rho
\ne 0$. Dans le condensateur de l’[Exercice 11.3](#exo-b2-maxwell-equations-3), évaluer $\operatorname{div}\vect j$ moyenné sur une armature d’épaisseur $e = 0.1\,\mathrm{mm}$ (là où le courant $I$ s’arrête), et le $\partial_t\rho$ correspondant.

**Solution de Exercice 11.9.**

$\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = 0$ imposerait $\operatorname{div}\vect j =
0$, c’est-à-dire $\partial_t\rho = 0$ partout. Dans l’armature (volume $\pi R^2e$) le courant $I$ entre et rien ne sort : $\langle\operatorname{div}\vect j\rangle =
-I/\pi R^2e = -1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{3}$, $\partial_t\rho = +1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Exercice 11.10 ★★★.**

*Le bêtatron.* Un champ magnétique uniforme $B(t)\vect e_z$ remplit un cylindre de rayon $R$, croissant à $\dd B/\dd t = \dot B$. (a) Par symétrie $\vect E = E_\theta(r)\vect e_\theta$ : utiliser la loi de Faraday intégrale pour trouver $E_\theta$ pour $r < R$ et $r > R$. (b) Il n’y a de charge nulle part : commenter un champ électrique à lignes fermées. (c) Combien d’énergie un électron sur un cercle de rayon $r_0 < R$ gagne-t-il par tour ? Pour $\dot B = 10\,\mathrm{T}/\mathrm{s}$, $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ : énergie par tour en eV ; nombre de tours pour $20\,\mathrm{MeV}$. (d) Pour que le rayon de l’orbite reste constant, la quantité de mouvement $p = eBr_0$ (issue de la force magnétique) doit croître comme le prescrit l’énergie gagnée par le champ induit : montrer la condition $B(r_0) = \tfrac12\langle B\rangle_{\text{disque}}$ — la condition du bêtatron.

**Solution de Exercice 11.10.**

(a) $2\pi rE_\theta = -\pi r^2\dot B$ : $E_\theta = -r\dot B/2$ à l’intérieur, $-R^2\dot B/2r$ à l’extérieur. (b) Ses lignes sont des cercles fermés : ce n’est pas un [gradient](#def-b2-maxwell-equations-operators), il entraîne les charges le long d’un contour — un champ électromoteur. (c) $e\cdot2\pi r_0
|E_\theta| = e\pi r_0^2\dot B$ : $\pi \times 0.25 \times 10 = 7.9\,\mathrm{eV}$ par tour ; $2.5 \times 10^6$ tours. (d) $p = eB(r_0)r_0$ donne $\dot p = er_0\dot B(r_0)$, tandis que le champ induit donne $\dot p = e|E_\theta| = e\dot\Phi/2\pi r_0$ : $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 =
\tfrac12\langle B\rangle$.

**Exercice 11.11 ★★★.**

*Les ondes de Maxwell.* Dans le vide ($\rho = 0$, $\vect j = \vect 0$) : (a) prendre le [rotationnel](#def-b2-maxwell-equations-operators) de l’[équation de Maxwell–Faraday](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), utiliser $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}} = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div} - \Delta$ et les autres équations pour obtenir $\Delta\vect E = \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t^2\vect E$. (b) Idem pour $\vect B$. (c) C’est l’[équation de d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) à trois dimensions : quelle célérité ? La calculer à partir de $\varepsilon_0$ et $\mu_0$. (d) Pourquoi ce nombre a-t-il convaincu Maxwell que la lumière est électromagnétique, et quelle mesure de Weber et Kohlrausch a-t-il utilisée ?

**Solution de Exercice 11.11.**

(a) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\Delta\vect E$ (puisque $\operatorname{div}
\vect E = 0$) $= -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\vect E$. (b) De même avec les rôles échangés. (c) $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 3.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) Weber et Kohlrausch avaient mesuré le rapport des unités électrostatique et électromagnétique de charge, $3.1 \times 10^8$ m/s ; Fizeau avait mesuré la lumière à $3.15 \times 10^8$ m/s : « nous pouvons difficilement éviter d’en conclure que la lumière consiste en ondulations transversales du même milieu ».

**Exercice 11.12 ★★★.**

*Champs dans un conducteur à basse fréquence.* Dans un conducteur ohmique ($\vect j = \gamma\vect E$) en régime quasi stationnaire magnétique : (a) prendre le [rotationnel](#def-b2-maxwell-equations-operators) de la loi d’Ampère et utiliser celle de Faraday pour montrer que $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\,
\partial_t\vect B$ ; pourquoi est-ce une équation de diffusion ? (b) Temps caractéristique de pénétration de $\vect B$ sur une profondeur $d$ : $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$ ; valeurs pour une plaque de cuivre de $1\,\mathrm{cm}$ et pour le noyau terrestre ($\gamma \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $d \approx 3000\,\mathrm{km}$). (c) À la fréquence $f$, profondeur atteinte en une période : montrer qu’elle est de l’ordre de $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega}$ ; valeur pour le cuivre à $50\,\mathrm{Hz}$ et $1\,\mathrm{MHz}$ (l’[épaisseur de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/14-ondes-electromagnetiques-dans-les-plasmas-les-conducteurs-et-les-dielectriques#ch-b2-waves-in-media)). (d) Qu’implique (b) pour les variations temporelles du champ magnétique terrestre ?

**Solution de Exercice 11.12.**

(a) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\Delta\vect B = \mu_0\gamma\operatorname{\vect{curl}}
\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect B$ : $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\partial_t\vect B$, la forme de l’équation de la chaleur avec la diffusivité $1/\mu_0\gamma$. (b) $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$ : $7.5\,\mathrm{ms}$ pour la plaque ; $4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^5 \times 9 \times 10^{12} = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, deux cent mille ans, pour le noyau. (c) $\mu_0\gamma\delta^2 \sim 2/\omega$ : $\delta = \sqrt{2/\mu_0
\gamma\omega}$ : $9\,\mathrm{mm}$ à $50\,\mathrm{Hz}$, $65\,\text{µ}\mathrm{m}$ à $1\,\mathrm{MHz}$. (d) Le champ du noyau ne peut pas changer par diffusion en moins de $10^5$ ans : la variation séculaire observée et les inversions exigent le mouvement du fluide conducteur — une dynamo.

## 11.7 Problème : le condensateur, le bêtatron et les potentiels

**Problème 11.1.**

Problème du week-end — les équations de Maxwell à l’œuvre dans un condensateur en charge, dans l’accélérateur qui ne fonctionne que par la loi de Faraday, et dans les potentiels qui les résolvent

**Partie I — Le condensateur en charge.** Armatures circulaires, rayon $R = 10\,\mathrm{cm}$, distance $d = 1.0\,\mathrm{mm}$, air ; un courant $I(t) = I_0\cos\omega t$ avec $I_0 = 1.0\,\mathrm{A}$, $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$ circule dans le fil d’amenée selon l’axe. Effets de bord négligés.

1. Charge $Q(t)$ et champ $E(t)$ entre les armatures ; amplitude de $E$ .
2. Densité de [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) entre les armatures ; vérifier que son flux à travers une armature égale $I(t)$ .
3. Champ magnétique $B(r, t)$ entre les armatures pour $r < R$ , par la loi d’Ampère–Maxwell intégrale ; amplitude en $r = R$ .
4. Champ pour $r > R$ (toujours entre les plans des armatures) : comparer au champ du fil à même $r$ ; y a-t-il une discontinuité en $r = R$ ?
5. Le $\vect B$ variable induit, par la loi de Faraday, une correction $\vect E_1$ au champ électrique : à l’aide de $\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1  = -\partial_t\vect B$ avec $\vect E_1 = E_1(r)\vect e_z$ (axial), montrer que $E_1(r) - E_1(0) = \dfrac{\mu_0\varepsilon_0r^2}4\,\dfrac{\dd^2E}{\dd t^2}$ , et estimer $|E_1(R) - E_1(0)|/|E|$ .
6. Conclure sur la validité du traitement quasi stationnaire électrique à $1\,\mathrm{MHz}$ ; à quelle fréquence la correction atteindrait-elle $10\%$ ? (La solution exacte est une fonction de Bessel : le condensateur est devenu une cavité.)
7. Énergie : l’énergie électrique $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ emmagasinée entre les armatures, valeur maximale ; l’énergie magnétique $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ à l’instant où $E = 0$ ; leur rapport, et son lien avec l’estimation de la question 5.

**Partie II — Le bêtatron.** Un électroaimant produit un champ $\vect B = B(r, t)\vect e_z$ de symétrie axiale autour de l’axe $z$ ; des électrons circulent dans un anneau sous vide de rayon $r_0$.

8. Montrer, à partir de Maxwell–Faraday sous forme intégrale, que le champ électrique sur l’orbite vaut $E_\theta(r_0) = -\dfrac1{2\pi r_0}  \dfrac{\dd\Phi}{\dd t}$ , $\Phi$ étant le flux à travers l’orbite.
9. Équation du mouvement tangentiel d’un électron (charge $-e$ ) : $\dd p/\dd t = eE_\theta$ en norme ; l’énergie gagnée par tour vaut $e\,|\dd\Phi/\dd t|$ .
10. Équilibre radial sur le cercle : $p = eB(r_0)r_0$ . Pour que $r_0$ reste constant, montrer que $B(r_0, t) = \Phi(t)/2\pi r_0^2$ , c’est-à-dire que le champ sur l’orbite doit valoir la moitié du champ moyen à l’intérieur.
11. Pourquoi les électrons ne peuvent-ils pas être accélérés par un champ uniforme ? Comment la condition est-elle réalisée en pratique (forme des pièces polaires) ?
12. $r_0 = 0.50\,\mathrm{m}$ , $B(r_0)$ porté de $0$ à $0.40\,\mathrm{T}$ en $5\,\mathrm{ms}$ : quantité de mouvement finale ; énergie finale (prendre $E = pc$ pour ces électrons ultrarelativistes, $1\,\mathrm{MeV} = 1.6 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ ) ; énergie par tour et nombre de tours ; distance parcourue.
13. Les électrons rayonnent lorsqu’ils sont accélérés sur un cercle ( [Chapitre 17](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/17-rayonnement-dipolaire-et-diffusion#ch-b2-dipole-radiation) ) : cela limite les bêtatrons à quelques centaines de MeV. D’où vient en dernier ressort l’énergie des électrons, et par quel terme des [équations de Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) ?
14. Après accélération les électrons sont lancés sur une cible et produisent des rayons X : pourquoi le bêtatron fut-il la machine de radiothérapie des années 1950, et qu’est-ce qui l’a remplacé ?

**Partie III — Potentiels et Poisson.**

15. Écrire $\vect E$ et $\vect B$ en fonction de $V$ et $\vect A$ , et vérifier que Maxwell–Faraday et Maxwell–flux sont alors automatiquement satisfaites.
16. Une boule de rayon $a$ porte la densité uniforme $\rho_0$ : écrire l’ [équation de Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) en symétrie sphérique, la résoudre à l’intérieur et à l’extérieur ( $V \to 0$ à l’infini, $V$ et $V'$ continus en $a$ ), et retrouver les champs du volume de première année.
17. Énergie potentielle de la boule, $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau$ : valeur $3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$ ; pour un noyau d’uranium ( $Q = 92e$ , $a =  7.4\,\mathrm{fm}$ ), en MeV — l’énergie libérée lors de sa fission.
18. Pour le condensateur de la partie I en régime quasi stationnaire électrique, donner $V$ entre les armatures. Montrer qu’un [potentiel vecteur](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) *axial* $A_z(r, t)\,\vect e_z$ , pour lequel $(\operatorname{\vect{curl}}  \vect A)_\theta = -\partial_rA_z$ , reproduit le champ $B_\theta$ de la question 3, et trouver $A_z$ pour $r < R$ (prendre $A_z(0) = 0$ ).
19. Montrer que la correction $\vect E_1$ de la question 5 vaut exactement $-\partial_t\vect A$ pour ce $A_z$ , à une constante près.
20. Jauge : la condition de Coulomb $\operatorname{div}\vect A = 0$ vaut pour votre $A_z(r)$ — pourquoi ? Quel autre $\vect A$ donnerait le même $\vect B$ ?

**Partie IV — Interfaces et régimes.**

21. Charge surfacique sur les armatures de la partie I à l’instant où $E$ est maximal ; vérifier la relation de passage sur la face interne de l’armature (champ nul dans le métal).
22. Le courant se répand radialement dans l’armature de l’axe vers le bord : densité surfacique de courant $j_s(r)$ dans l’armature ; le champ magnétique juste à l’extérieur de la face externe de l’armature, par la relation de passage, comparé au champ trouvé à la question 3 du côté interne.
23. Classer : les armatures à $1\,\mathrm{MHz}$ ( [ARQS](#def-b2-maxwell-equations-arqs) électrique ?), la boucle du fil d’amenée de $20\,\mathrm{cm}$ ( [ARQS](#def-b2-maxwell-equations-arqs) magnétique ?), le même condensateur à $1\,\mathrm{GHz}$ ; justifier avec $L/\lambda$ .
24. Dans l’anneau du bêtatron, pourquoi l’ [approximation quasi stationnaire](#def-b2-maxwell-equations-arqs) magnétique est-elle excellente (dimensions, rampe à $100\,\mathrm{Hz}$ ) alors que le champ électrique y est essentiel ?
25. Résumer, en un tableau, quelle équation de Maxwell (locale ou intégrale) a répondu à chaque partie, et quel terme — [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) , Faraday, Gauss, saut à l’interface — a été décisif.

**Solution de Problème 11.1.**

**1.** $Q = (I_0/\omega)\sin\omega t$, $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ : amplitude $I_0/\omega\varepsilon_0
\pi R^2 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**2.** $j_d = \varepsilon_0\partial_tE = I(t)/\pi R^2 = 32\cos\omega t$ A/m$^2$ ; son flux à travers l’armature vaut $I(t)$.

**3.** $2\pi rB = \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\partial_tE$ : $B = \mu_0I(t)r/2\pi R^2$ ; en $R$ : $\mu_0I_0/2\pi R = 2\,\text{µ}\mathrm{T}$.

**4.** Pour $r > R$ tout le [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) est enlacé : $B =
\mu_0I/2\pi r$, le champ du fil ; continu en $R$.

**5.** $(\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1)_\theta = -\partial_rE_1 = -\partial_tB_\theta$, donc $\partial_rE_1
= \mu_0\varepsilon_0(r/2)\ddot E$ et $E_1(r) - E_1(0) = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$ ; avec $\ddot E = -\omega^2E$ : $|E_1(R) - E_1(0)|/|E| = (\omega R/c)^2/4 = 1 \times 10^{-6}$.

**6.** Excellent. $10\%$ exigerait $(\omega R/c)^2 = 0.4$, $f \approx 300\,\mathrm{MHz}$ — une cavité, et non plus un condensateur.

**7.** $W_e = \tfrac12\varepsilon_0E_0^2\pi R^2d = 4.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; $W_m = \int_0^R(\mu_0I_0r/
2\pi R^2)^2/2\mu_0\cdot2\pi rd\,\dd r = \mu_0I_0^2d/16\pi = 2.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ ; rapport $6 \times
10^{-7} \approx (\omega R/c)^2/8$ : le même petit paramètre.

**8.** $\oint\vect E\cdot\dd\vect l = 2\pi r_0E_\theta = -\dd\Phi/\dd t$.

**9.** $\dd p/\dd t = e|E_\theta| = (e/2\pi r_0)|\dd\Phi/\dd t|$ ; par tour, $2\pi r_0\cdot e|E_\theta| = e|\dd\Phi/\dd t|$.

**10.** $p = eB(r_0)r_0$ donne $\dot p = er_0\dot B(r_0)$ ; en égalant avec 9 : $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 = \tfrac12\langle B\rangle$.

**11.** Un champ uniforme a $B(r_0) = \langle B\rangle$, deux fois trop : la force magnétique croît plus vite que la quantité de mouvement et l’orbite se resserre. Les pôles sont profilés pour que le champ soit fort près de l’axe et deux fois plus faible sur l’orbite.

**12.** $p = eBr_0 = 3.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E = pc = 9.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 60\,\mathrm{MeV}$ ; $\Phi = 2\pi r_0^2B = 0.63\,\mathrm{Wb}$ en $5\,\mathrm{ms}$ : $126\,\mathrm{eV}$ par tour, $4.8 \times
10^5$ tours, $1500\,\mathrm{km}$ — à $c$ en $5\,\mathrm{ms}$ : cohérent.

**13.** De l’alimentation de l’électroaimant, transmise aux électrons par le terme de Faraday : le flux variable crée le champ accélérateur.

**14.** Des dizaines de MeV d’électrons freinés dans une cible lourde donnent des rayons X pénétrants ; l’accélérateur linéaire compact, de débit de dose plus élevé, l’a remplacé.

**15.** $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$ ; $\operatorname{\vect{curl}}(-\operatorname{\vect{grad}}
V - \partial_t\vect A) = -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect A = -\partial_t\vect B$.

**16.** $\frac1{r^2}(r^2V')' = -\rho_0/\varepsilon_0$ : $V = \rho_0(3a^2 - r^2)/6\varepsilon_0$ à l’intérieur, $\rho_0a^3/3\varepsilon_0r = Q/4\pi\varepsilon_0r$ à l’extérieur ; $E = \rho_0r/3\varepsilon_0$ et $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$.

**17.** $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau = 2\pi\rho_0^2(a^5/6 - a^5/30)/\varepsilon_0 = 4\pi\rho_0^2a^5/
15\varepsilon_0 = 3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$ ; uranium : $1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J}$ $\approx 1000\,\mathrm{MeV}$ (la fission libère les $200\,\mathrm{MeV}$ dont deux boules plus petites coûtent moins cher).

**18.** $V = -E(t)z$ (à une constante près). Avec $\vect A = A_z(r, t)\vect e_z$, $B_\theta = -\partial_rA_z = \mu_0Ir/2\pi R^2$ donne $A_z = -\mu_0I(t)r^2/4\pi R^2$.

**19.** $-\partial_tA_z = \mu_0\dot Ir^2/4\pi R^2 = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$ (puisque $\dot I =
\varepsilon_0\pi R^2\ddot E$) : la correction de la question 5, à une constante près.

**20.** $\operatorname{div}\vect A = \partial_zA_z = 0$ parce que $A_z$ ne dépend que de $r$ ; n’importe quel $\vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$.

**21.** $\sigma = \varepsilon_0E_0 = 5\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ ; dans le métal $\vect E =
\vect 0$, de sorte que le saut $\sigma/\varepsilon_0$ est exactement le champ de l’intervalle.

**22.** Le courant $I(t)$ alimente l’armature depuis l’axe ; la part restant à livrer au-delà de $r$ vaut $I(1 - r^2/R^2)$, donc $j_s = I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r$. Sur la face externe Ampère donne le champ du fil $\mu_0I/
2\pi r$ ; sur la face interne $\mu_0Ir/2\pi R^2$ ; la différence, $\mu_0I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r = \mu_0j_s$, est le saut de la relation de passage.

**23.** Armatures : $R/\lambda = 3 \times 10^{-4}$, [ARQS](#def-b2-maxwell-equations-arqs) électrique. Boucle : $7 \times 10^{-4}$, [ARQS](#def-b2-maxwell-equations-arqs) magnétique. À $1\,\mathrm{GHz}$ : $R/\lambda = 0.3$ — une cavité et une antenne.

**24.** $\lambda = 3000\,\mathrm{km}$ pour un anneau de l’ordre du mètre : le [courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) est parfaitement négligeable ; le champ électrique essentiel est celui de Faraday, que l’[ARQS](#def-b2-maxwell-equations-arqs) magnétique conserve en entier.

**25.** I : Ampère–Maxwell ([courant de déplacement](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)), Faraday pour la correction, densités d’énergie. II : Faraday intégrale, force de Lorentz. III : les potentiels, Poisson (Gauss). IV : les sauts de $\vect E$ et de $\vect B$ aux interfaces ; le rapport taille sur longueur d’onde pour le régime.