--- title: "Énergie électromagnétique et vecteur de Poynting" book: "Physique universitaire — 2e année" subject: physics language: fr chapter: 12 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/12-energie-electromagnetique-et-vecteur-de-poynting --- # Chapitre 12 — Énergie électromagnétique et vecteur de Poynting Une pile allume une ampoule par deux fils de cuivre. Par où passe l’énergie ? Pas dans le cuivre, il se trouve : les électrons y dérivent à un millimètre par seconde et n’en transportent presque rien. L’énergie circule dans l’*espace autour des fils*, dans le champ électromagnétique, et entre dans le filament de l’ampoule par ses flancs. Le Soleil délivre de la même façon un kilowatt à chaque mètre carré d’un toit ensoleillé, à travers cent cinquante millions de kilomètres de vide. Ce chapitre déduit des [équations de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) le bilan de l’énergie électromagnétique — combien un champ en emmagasine, et le vecteur, celui de Poynting, qui dit où elle va — et l’applique à un fil, un condensateur, une bobine et un faisceau lumineux. ## 12.1 Le bilan d’énergie du champ **Théorème 12.1 (Théorème de Poynting).** Définissons la *[densité d’énergie électromagnétique](#thm-b2-poynting-vector-poynting)* et le *[vecteur de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting)* $$ u = \frac{\varepsilon_0E^2}2 + \frac{B^2}{2\mu_0} \quad (\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}) , \qquad \vect\Pi = \frac{\vect E\wedge\vect B}{\mu_0} \quad (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}) . $$ Les [équations de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) entraînent, en tout point, $$ \frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\Pi = -\vect j\cdot\vect E , $$ et, pour tout volume fixe $V$ limité par $\Sigma$, $$ \frac{\dd}{\dd t}\iiint_Vu\,\dd\tau = -\iint_\Sigma\vect\Pi\cdot\vect n\,\dd S - \iiint_V\vect j\cdot\vect E\,\dd\tau : $$ l’énergie du champ contenue dans $V$ diminue de ce qui sort par la frontière — le flux de $\vect\Pi$ — et de ce que le champ cède aux charges ($\vect j\cdot\vect E$, la puissance Joule dans un conducteur). $\vect\Pi$ est la densité de flux d’énergie : la puissance traversant une surface unité normale à lui. **Démonstration.** D’après Maxwell–Ampère, $\vect j = \operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \varepsilon_0\partial_t \vect E$, donc $\vect j\cdot\vect E = \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \partial_t(\varepsilon_0E^2/2)$. L’identité $\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) = \vect B \cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect E - \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B$ (à vérifier sur les composantes) et Maxwell–Faraday donnent $\vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}} \vect B = -\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) - \vect B\cdot\partial_t\vect B = -\mu_0 \operatorname{div}\vect\Pi - \partial_t(B^2/2)$. En rassemblant : $\vect j\cdot\vect E = -\operatorname{div} \vect\Pi - \partial_tu$. On intègre sur $V$ et on applique le théorème de la [divergence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators). ∎ **Remarque 12.2 (Ce qui est fixé et ce qui ne l’est pas).** Le théorème ne fixe que le flux de $\vect\Pi$ à travers des surfaces fermées et le $u$ total ; ajouter à $\vect\Pi$ un champ quelconque à [divergence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) nulle ne changerait rien d’observable. Le choix ci-dessus est le plus simple, c’est celui qui s’accorde avec la quantité de mouvement transportée par la lumière (plus bas), et il est universellement utilisé. Les densités $\varepsilon_0E^2/2$ et $B^2/2\mu_0$ sont les énergies du condensateur et de la bobine du volume de première année, désormais attribuées à chaque point de l’espace : un champ de $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (la limite de claquage de l’air) emmagasine $4.4\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, un champ de $1\,\mathrm{T}$ emmagasine $0.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — cent mille fois plus, ce qui explique que le stockage d’énergie dans les aimants, et non dans les condensateurs, atteigne le mégajoule. ## 12.2 Où passe l’énergie : trois circuits **Exemple 12.3 (Le fil résistif).** Un fil cylindrique de rayon $a$ transporte le courant permanent $I$ sous le champ $E = j/\gamma$ dirigé selon son axe ; juste à l’extérieur, $B = \mu_0I/2\pi a$ (orthoradial). À la surface, $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ est dirigé *radialement vers l’intérieur*, de norme $EI/2\pi a$ ; son flux à travers la surface latérale d’une longueur $L$ vaut $EI/2\pi a\times2\pi aL = (EL)I = UI = RI^2$ : la chaleur Joule entre dans le fil par ses flancs, livrée par le champ environnant, et non transportée le long du fil par les électrons. À l’intérieur, $\Pi(r) = (E/\mu_0)(\mu_0Ir/2\pi a^2) = EIr/2\pi a^2$ : le flux entrant décroît vers l’axe à mesure que l’énergie est déposée couche par couche. **Exemple 12.4 (Le condensateur et le solénoïde).** Un condensateur à armatures circulaires en charge : $\vect E$ axial, $\vect B = \mu_0\varepsilon_0(r/2)\dot E\,\vect e_\theta$ ([Chapitre 11](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)), donc $\vect\Pi = -\varepsilon_0(r/2)E\dot E\,\vect e_r$, vers l’intérieur ; à travers le cylindre de rayon $R$ et de hauteur $d$ son flux vaut $\varepsilon_0\pi R^2d\,E\dot E = \dd(\tfrac12 \varepsilon_0E^2\,\pi R^2d)/\dd t$ : l’énergie électrique entre par le bord. Un solénoïde dont le courant croît : $\vect B$ axial, le champ induit $\vect E = -(r/2) \dot B\,\vect e_\theta$, $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$, encore vers l’intérieur, de flux $\dd(B^2/2\mu_0\times\text{volume})/\dd t$. Dans tous les cas l’énergie atteint le dispositif par le champ qui l’entoure ; les fils ne font que guider le champ. ![À gauche : un fil parcouru par un courant — le vecteur de Poynting, construit à partir du E axial et du B orthoradial, est dirigé vers l’intérieur du fil tout autour de sa surface ; la chaleur Joule entre par les flancs. À droite : un condensateur en charge — l’énergie entre radialement par l’intervalle, non par les armatures.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-312a90000551.svg) *À gauche : un fil parcouru par un courant — le [vecteur de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting), construit à partir du $\vect E$ axial et du $\vect B$ orthoradial, est dirigé vers l’intérieur du fil tout autour de sa surface ; la chaleur Joule entre par les flancs. À droite : un condensateur en charge — l’énergie entre radialement par l’intervalle, non par les armatures.* **Remarque 12.5 (Énergie dans un champ croisé statique).** Un condensateur chargé placé dans le champ d’un aimant permanent a $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0 \ne \vect 0$ partout entre ses armatures, bien que rien ne change et que rien ne chauffe. Il n’y a pas de contradiction : $\vect\Pi$ y est à [divergence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) nulle, ses lignes se referment sur elles-mêmes, et son flux à travers toute surface fermée est nul — le théorème ne dit rien d’un écoulement circulant qui ne livre rien. Seuls les flux à travers des surfaces fermées sont physiques. ![Un câble coaxial qui transporte de la puissance : un E radial et un B orthoradial font un vecteur de Poynting axial dans le diélectrique ; son flux sur la couronne comprise entre les conducteurs vaut exactement UI — la puissance voyage dans l’isolant, le métal ne fait que la guider.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-9f1697fc7795.svg) *Un [câble coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) qui transporte de la puissance : un $\vect E$ radial et un $\vect B$ orthoradial font un [vecteur de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) axial dans le diélectrique ; son flux sur la couronne comprise entre les conducteurs vaut exactement $UI$ — la puissance voyage dans l’isolant, le métal ne fait que la guider.* ## 12.3 La lumière : intensité et pression de radiation **Proposition 12.6 (Énergie d’une onde plane).** Pour une onde plane dans le vide — la solution du [Chapitre 13](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/13-ondes-electromagnetiques-planes-et-polarisation#ch-b2-plane-waves-polarization), avec $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$, $B = E/c$ et $\vect E \perp \vect B$ — les densités d’énergie électrique et magnétique sont égales et $$ u = \varepsilon_0E^2 , \qquad \vect\Pi = \varepsilon_0cE^2\,\vect u = cu\,\vect u , $$ $\vect u$ étant la direction de propagation : l’énergie se déplace à $c$. Pour une onde sinusoïdale d’amplitude $E_0$ l’*intensité* (éclairement) est le flux moyen, $$ I = \langle\Pi\rangle = \frac{\varepsilon_0cE_0^2}2 = \frac{E_0^2}{2\mu_0c} , $$ et l’onde transporte une densité de quantité de mouvement $\vect\Pi/c^2$ (admis), de sorte qu’elle exerce sur une surface qu’elle frappe sous incidence normale la *[pression de radiation](#prop-b2-poynting-vector-wave)* $P = I/c$ si elle est absorbée et $2I/c$ si elle est réfléchie. **Démonstration.** $B^2/2\mu_0 = E^2/2\mu_0c^2 = \varepsilon_0E^2/2$ ; $\vect E\wedge\vect B/\mu_0 = E^2/\mu_0c = \varepsilon_0cE^2$ selon $\vect k$ ; $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$. La densité de quantité de mouvement $\vect\Pi/c^2$ découle de la force de Lorentz sur les charges de la surface absorbante (ou de la relativité : $p = E/c$ pour la lumière) : la quantité de mouvement $\Pi S\,\dd t/c^2\times c$ qui arrive par unité de temps sur une surface $S$ est une force $\Pi S/c$. ∎ **Exemple 12.7 (Lumière solaire, laser, micro-ondes).** La lumière solaire au sommet de l’atmosphère, $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 1.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $B_0 = E_0/c = 3.4\,\text{µ}\mathrm{T}$, densité d’énergie $4.5\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, pression $4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ — $0.7\,\mathrm{kg}$ de force sur un kilomètre carré, et pourtant assez pour piloter une voile solaire et pour souffler la poussière d’une comète en une queue. Un pointeur laser de $1\,\mathrm{mW}$ sur une tache de $1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$, comme le Soleil ; focalisé sur $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $1\,\mathrm{GW}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 0.9\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$, proche du claquage de l’air. Un four à micro-ondes de $1\,\mathrm{kW}$ dont l’[onde stationnaire](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) remplit $30\,\mathrm{L}$ : densité d’énergie $\sim 10^{-7}$ J/m$^3$ et $E_0$ de quelques kilovolts par mètre. ![Une onde électromagnétique plane : E, B et la direction de propagation forment un trièdre direct ; le vecteur de Poynting est dirigé selon la propagation et oscille à deux fois la fréquence, de valeur moyenne l’intensité.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-327f2af11192.svg) *Une onde électromagnétique plane : $\vect E$, $\vect B$ et la direction de propagation forment un trièdre direct ; le [vecteur de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) est dirigé selon la propagation et oscille à deux fois la fréquence, de valeur moyenne l’intensité.* **Méthode 12.8 (Faire les comptes d’énergie).** (1) Trouver $\vect E$ et $\vect B$ (statique, quasi statique ou ondes). (2) Former $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ et $u$. (3) Choisir une surface fermée autour du dispositif et calculer le flux de $\vect\Pi$ : il doit égaler la puissance Joule augmentée du taux de variation de l’énergie emmagasinée à l’intérieur — une vérification des champs. (4) Pour une onde, la moyenne de $\Pi$ est l’intensité ; on la divise par $c$ pour la pression, par l’énergie d’un photon $hf$ pour le flux de photons. ## 12.4 Exercices **Exercice 12.1 ★.** La lumière solaire au sol, $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : amplitudes $E_0$ et $B_0$, densité d’énergie, [pression de radiation](#prop-b2-poynting-vector-wave) sur un toit noir et sur un miroir ; force sur un toit de $100\,\mathrm{m}^{2}$ ; flux de photons par mètre carré pour une énergie moyenne de photon de $2\,\mathrm{eV}$. **Solution de Exercice 12.1.** $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B_0 = E_0/c = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (toit noir), $6.7\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (miroir) ; $0.33\,\mathrm{mN}$ sur le toit ; $I/hf = 1000/3.2 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. **Exercice 12.2 ★.** Un pointeur laser de $5\,\mathrm{mW}$, de diamètre de faisceau $1.5\,\mathrm{mm}$ : intensité, $E_0$, $B_0$ ; le même faisceau focalisé sur une tache de $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; un laser impulsionnel de $1\,\mathrm{PW}$ ($1 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$) focalisé sur $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$ : $E_0$, comparé au champ qui lie l’électron dans un atome d’hydrogène ($5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$). **Solution de Exercice 12.2.** Aire $1.8\,\mathrm{mm}^{2}$ : $I = 2.8\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 1.5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $B_0 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{T}$. Focalisé sur $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $I = 2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Pétawatt : $I = 1 \times 10^{26}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, cinq cents fois le champ atomique — l’atome est déchiré en un cycle. **Exercice 12.3 ★.** Densités d’énergie : un champ électrique de $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (claquage de l’air) ; de $100\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (un isolant mince) ; un champ magnétique de $0.1\,\mathrm{T}$, $1.5\,\mathrm{T}$ (IRM), $45\,\mathrm{T}$ (aimant record). Énergie dans un tunnel d’IRM de $1\,\mathrm{m}^{3}$ ; l’équivalent en litres d’essence ($35\,\mathrm{MJ}/\mathrm{L}$). **Solution de Exercice 12.3.** $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ : $40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, $4.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$. $B^2/2\mu_0$ : $4\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{3}$, $0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, $8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$. Le tunnel d’IRM contient $0.9\,\mathrm{MJ}$ — $26\,\mathrm{mL}$ d’essence. **Exercice 12.4 ★.** Une voile solaire de $100\,\mathrm{m}$ $\times$ $100\,\mathrm{m}$, parfaitement réfléchissante, à la distance de la Terre ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$) : force ; accélération d’un engin de $200\,\mathrm{kg}$ ; vitesse acquise en un mois ; comparer à la gravité solaire sur l’engin à cette distance ($5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$). **Solution de Exercice 12.4.** $F = 2IA/c = 0.09\,\mathrm{N}$ ; $a = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en un mois ; le Soleil attire avec $1.2\,\mathrm{N}$ : la voile ne peut pas lutter contre la gravitation, elle louvoie contre elle en orbite. **Exercice 12.5 ★★.** Un fil de cuivre de rayon $a = 1\,\mathrm{mm}$ transporte $10\,\mathrm{A}$ ($\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$). (a) $E$ à l’intérieur, $B$ à la surface, $\vect\Pi$ à la surface (direction et norme). (b) Flux de $\vect\Pi$ entrant dans $1\,\mathrm{m}$ de fil ; comparer à $RI^2$. (c) $\Pi(r)$ dans le fil et la puissance déposée entre $r$ et $r + \dd r$ ; vérifier qu’elle vaut $j^2/\gamma\cdot2\pi r\,\dd r$. (d) D’où vient l’énergie — décrire le champ entre la pile et le fil. **Solution de Exercice 12.5.** (a) $j = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $E = j/\gamma = 0.053\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $B = \mu_0I/2\pi a = 2\,\mathrm{mT}$ ; $\Pi = EB/\mu_0 = 84\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, radialement vers l’intérieur. (b) $84 \times 2\pi a = 0.53\,\mathrm{W}$ par mètre ; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$, $RI^2 = 0.53\,\mathrm{W}$. (c) $\Pi(r) = EIr/2\pi a^2$, donc $2\pi r\Pi = EIr^2/a^2$ et la couche reçoit $\dd(2\pi r\Pi) = 2EIr\,\dd r/a^2 = (j^2/\gamma)2\pi r\,\dd r$. (d) Les charges de surface de la pile établissent un champ électrique tout le long du circuit, à l’extérieur des fils ; $\vect E\wedge\vect B$ y transporte l’énergie de la pile à la charge. **Exercice 12.6 ★★.** Condensateur à armatures circulaires ($R$, $d$) chargé par $I$. (a) $\vect E$, $\vect B$, $\vect\Pi$ entre les armatures. (b) Flux de $\vect\Pi$ à travers le cylindre latéral ; montrer qu’il vaut $\dd W_e/\dd t$. (c) Pour $R = 5\,\mathrm{cm}$, $d = 1\,\mathrm{mm}$, $I = 1\,\mathrm{A}$ à l’instant où $E = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : $\Pi$ au bord et puissance entrante. (d) L’énergie magnétique est-elle négligeable ? **Solution de Exercice 12.6.** (a) $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ axial, $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ orthoradial, $\vect\Pi = -\varepsilon_0 (r/2)E\dot E\,\vect e_r$. (b) $\varepsilon_0(R/2)E\dot E\cdot2\pi Rd = \dd(\tfrac12\varepsilon_0E^2\pi R^2d)/ \dd t$. (c) $\dot E = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.4 \times 10^{13}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\Pi(R) = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; multiplié par $2\pi Rd = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $1.0\,\mathrm{kW}$ $= UI$ avec $U = Ed = 1\,\mathrm{kV}$. (d) Oui : plus petite d’un facteur du type $(\omega R/c)^2$ ([Chapitre 11](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)). **Exercice 12.7 ★★.** Un long solénoïde ($n$, rayon $R$) dont le courant $I(t)$ croît. (a) Champ $\vect E$ induit à l’intérieur ; $\vect\Pi$ ; direction. (b) Flux à travers la surface latérale par unité de longueur et $\dd(B^2/2\mu_0\cdot\pi R^2)/\dd t$. (c) Juste à l’extérieur du solénoïde (où $\vect B = \vect 0$), que vaut $\vect\Pi$ ? Comment l’énergie entre-t-elle alors ? (Penser à l’endroit où circule le courant : l’enroulement est une nappe mince ; prendre la surface juste à l’intérieur.) **Solution de Exercice 12.7.** (a) $\vect E = -(r/2)\dot B\,\vect e_\theta$, $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$ : rentrant tant que $B$ croît. (b) $(RB\dot B/2\mu_0)2\pi R = \dd(\pi R^2B^2/2\mu_0)/\dd t$. (c) À l’extérieur $\vect B = \vect 0$, donc $\vect\Pi = \vect 0$ : l’énergie est injectée à l’enroulement lui-même, là où le générateur impose le courant contre le champ induit ($\vect j\cdot\vect E < 0$ en ce lieu) ; juste à l’intérieur de la nappe $\vect\Pi$ est déjà le flux entrant du (a). **Exercice 12.8 ★★.** *Où voyage la puissance d’un câble.* Un [câble coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) (rayons $a$, $b$) transporte un courant permanent $I$ dans l’âme, et de retour dans la tresse, sous la tension $U$ entre elles (conducteurs parfaits). (a) $\vect E$ et $\vect B$ dans le diélectrique ($a < r < b$) par Gauss et Ampère. (b) $\vect\Pi$ : direction et norme. (c) Intégrer $\vect\Pi$ sur la couronne $a < r < b$ : montrer que le résultat vaut $UI$ — toute la puissance voyage dans l’isolant. (d) Avec une âme légèrement résistive, dans quelle direction $\vect\Pi$ s’incline-t-il, et que vaut son flux entrant dans l’âme ? **Solution de Exercice 12.8.** (a) $E = U/r\ln(b/a)$ radial, $B = \mu_0I/2\pi r$ orthoradial. (b) $\vect\Pi = (UI/ 2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$, selon le courant de l’âme. (c) $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI$. (d) $E$ acquiert une composante axiale $j/\gamma$ ; $\vect\Pi$ s’incline vers l’âme, et son flux radial entrant dans un mètre d’âme vaut $RI^2$ par mètre. **Exercice 12.9 ★★.** *Poussière cométaire.* Un grain de poussière sphérique de rayon $a$ et de masse volumique $\rho = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ à la distance $D$ du Soleil absorbe la lumière solaire ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ à $D_0 = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, masse du Soleil $2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$). (a) Force de radiation et force gravitationnelle ; montrer que leur rapport ne dépend pas de $D$. (b) Rayon en dessous duquel le grain est chassé. (c) Pourquoi les queues de comètes s’écartent-elles du Soleil, et pourquoi sont-elles incurvées ? **Solution de Exercice 12.9.** (a) $F_{\text{ray}} = I_0(D_0/D)^2\pi a^2/c$, $F_g = GM\cdot\tfrac43\pi a^3\rho/D^2$ : rapport $3I_0D_0^2/4cGM\rho a$, indépendant de $D$. (b) Rapport $> 1$ pour $a < 3I_0D_0^2/ 4cGM\rho = 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$. (c) La poussière fine est repoussée du Soleil tout en gardant la vitesse orbitale de la comète, de sorte que la queue de poussière s’écarte et s’incurve ; la queue ionique, entraînée par le vent solaire, est rectiligne. **Exercice 12.10 ★★★.** *Un condensateur qui se décharge.* Le condensateur de l’[Exercice 12.6](#exo-b2-poynting-vector-6) se décharge dans le fil de l’[Exercice 12.5](#exo-b2-poynting-vector-5) ($R = 5.3\,\mathrm{m}\Omega$ par mètre, longueur $L$). (a) Direction de $\vect\Pi$ au bord du condensateur, désormais. (b) Puissance qui quitte le condensateur, puissance qui entre dans le fil ; qu’advient-il de la différence (s’il y en a une) ? (c) Écrire le bilan d’énergie $\dd W_e/\dd t = -RI^2$ et le vérifier avec $Q = CU$, $I = -\dd Q/\dd t$. (d) Pourquoi l’énergie magnétique du circuit n’apparaît-elle pas dans le bilan au début et à la fin ? **Solution de Exercice 12.10.** (a) $\dot E < 0$ : $\vect\Pi$ est dirigé vers l’extérieur au bord. (b) $-\dd W_e/\dd t$ quitte le condensateur et $RI^2$ entre dans le fil ; en régime quasi statique les deux sont égaux — rien ne s’accumule entre les deux. (c) $W_e = Q^2/2C$, $\dd W_e/\dd t = (Q/C)\dd Q/\dd t = -UI = -RI^2$. (d) $\tfrac12LI^2$ s’annule aux deux extrémités ($I = 0$) et est négligeable entre les deux pour une petite boucle. **Exercice 12.11 ★★★.** *L’aimant chargé.* Entre les armatures d’un condensateur chargé ($\vect E = E\vect e_z$) règne un champ uniforme $\vect B = B\vect e_x$ (un aimant). (a) $\vect\Pi$ ; sa [divergence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators). (b) Prendre la surface fermée d’une boîte intérieure à la région : flux de $\vect\Pi$. (c) Où vont les lignes de $\vect\Pi$, et qu’est-ce qui les referme ? (d) Une proposition : mesurer le flux d’énergie avec un petit absorbeur placé dans l’intervalle — chaufferait-il ? Pourquoi non ? **Solution de Exercice 12.11.** (a) $\vect\Pi = (EB/\mu_0)\vect e_y$, uniforme : $\operatorname{div}\vect\Pi = 0$. (b) Nul. (c) Selon $y$ à travers l’intervalle, en se refermant par les champs de bord aux extrémités des armatures et de l’aimant. (d) Un corps au repos dans des champs statiques ne porte aucun courant : $\vect j\cdot\vect E = 0$, aucun échauffement. Le $\vect\Pi$ circulant est une écriture comptable, non un flux qui dépose de l’énergie. **Exercice 12.12 ★★★.** *[Onde stationnaire](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes).* Deux ondes planes contrapropagatives de même amplitude forment $\vect E = 2E_0\cos kx\cos\omega t\,\vect e_y$, $\vect B = -2(E_0/c) \sin kx\sin\omega t\,\vect e_z$ (à vérifier avec Maxwell–Faraday). (a) $\vect\Pi(x, t)$ ; sa moyenne temporelle. (b) Densité d’énergie ; où est-elle électrique, où magnétique, et comment ballotte-t-elle ? (c) Un miroir parfaitement conducteur en $x = 0$ réfléchit l’onde incidente : force par unité d’aire sur lui par l’argument de quantité de mouvement, et par la force de Laplace sur son [courant surfacique](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) (utiliser la relation de passage pour $\vect B$). (d) Montrer que les deux donnent $2I/c$ en moyenne. **Solution de Exercice 12.12.** Faraday : $\partial_xE_y = -2E_0k\sin kx\cos\omega t$ égale $-\partial_tB_z$ puisque $\omega = kc$. (a) $\vect\Pi = (E_yB_z/\mu_0)\vect e_x = -(E_0^2/\mu_0c)\sin2kx\sin2\omega t\,\vect e_x$ : de moyenne nulle. (b) $u = 2\varepsilon_0E_0^2(\cos^2kx\cos^2\omega t + \sin^2kx\sin^2\omega t)$ : électrique en $x = 0, \lambda/2, \dots$, magnétique en $\lambda/4, \dots$, ballottant entre les deux deux fois par période. (c) Quantité de mouvement : chaque onde a $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$, l’onde réfléchie inverse la sienne : $2I/c = \varepsilon_0E_0^2$. Laplace : en $x = 0$, $B = (2E_0/c)\sin\omega t$ juste à l’extérieur et $0$ à l’intérieur, donc $j_s = B/\mu_0$ ; la force par unité d’aire sur la nappe vaut $\tfrac12j_sB = B^2/2\mu_0 = 2\varepsilon_0E_0^2\sin^2 \omega t$. (d) Sa moyenne vaut $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$. ![Une centrale solaire : un kilowatt par mètre carré de flux de Poynting arrive du Soleil à travers l’espace vide, et un cinquième en repart par les câbles.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/img-e07a4b5953fa.jpg) *Une centrale solaire : un kilowatt par mètre carré de flux de Poynting arrive du Soleil à travers l’espace vide, et un cinquième en repart par les câbles.* ## 12.5 Problème : l’énergie d’une ligne, d’un panneau et d’un four **Problème 12.1.** Problème du week-end — suivre l’énergie électromagnétique d’une ligne de transport jusque dans une maison, du Soleil jusque dans un panneau solaire, et d’un magnétron jusque dans une tasse d’eau **Partie I — La ligne.** Un [câble coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) de puissance (rayon de l’âme $a = 1.0\,\mathrm{cm}$, rayon de la tresse $b = 3.0\,\mathrm{cm}$, diélectrique $\varepsilon_r = 2.3$) transporte un courant continu $I = 500\,\mathrm{A}$ sous $U = 20\,\mathrm{kV}$ ; l’âme a pour conductivité $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$. 1. Champs $\vect E(r)$ et $\vect B(r)$ dans le diélectrique (conducteurs parfaits pour commencer) ; valeurs en $r = a$ . 2. [Vecteur de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) dans le diélectrique ; son flux à travers la section annulaire : vérifier qu’il vaut $UI$ . 3. Densités d’énergie $\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2$ et $B^2/2\mu_0$ en $r = a$ (dans un diélectrique la densité d’énergie électrique porte $\varepsilon_r$ ) ; laquelle domine, et de combien ? 4. À quelle fraction de la vitesse de la lumière l’énergie « se déplace-t-elle » (prendre $\Pi/u$ en $r = a$ ) ? Comparer à $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ . 5. L’âme est maintenant résistive : champ $E_z$ à l’intérieur ; le [vecteur de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) juste à l’extérieur de sa surface acquiert une composante radiale : norme, et puissance par mètre qu’il livre à l’âme ; vérifier avec $RI^2$ par mètre. 6. Rapport de la composante radiale à la composante axiale de $\vect\Pi$ en $r = a$ : que dit-il de l’endroit où va l’énergie ? 7. Énergie magnétique par mètre de câble, $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ , et énergie électrique par mètre, $\int\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2\,\dd\tau$ ; les retrouver sous la forme $\tfrac12\Lambda I^2$ et $\tfrac12\Gamma U^2$ avec l’inductance et la capacité linéiques du [Chapitre 8](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#ch-b2-dispersion-wave-packets) . 8. Une ligne de $10\,\mathrm{km}$ : puissance délivrée, puissance perdue, fraction. Recommencer avec $U = 200\,\mathrm{kV}$ et $I = 50\,\mathrm{A}$ (même puissance). **Partie II — Le panneau.** Lumière solaire à midi par temps clair : $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; un panneau photovoltaïque de $1.6\,\mathrm{m}^{2}$ et de rendement $20\%$ ; énergie de photon $2.0\,\mathrm{eV}$ en moyenne. 9. $E_0$ , $B_0$ , densité d’énergie et flux de photons dans le faisceau. 10. Puissance électrique délivrée ; chaleur à évacuer ; élévation de température si le panneau cède de la chaleur par ses deux faces avec $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ . 11. [Pression de radiation](#prop-b2-poynting-vector-wave) sur le panneau (absorbant) ; force ; comparer à son poids ( $18\,\mathrm{kg}$ ). 12. Énergie reçue par jour ( $6\,\mathrm{h}$ de plein soleil équivalent) et par an ; surface nécessaire pour fournir les $3500\,\mathrm{kWh}/\mathrm{an}$ d’un foyer. 13. Le panneau produit $30\,\mathrm{V}$ sous $10.7\,\mathrm{A}$ : vérifier la puissance ; flux de Poynting le long des $5\,\mathrm{m}$ de câble bifilaire jusqu’à l’onduleur — par où, dans l’image des champs, cette puissance voyage-t-elle ? 14. À l’orbite terrestre le Soleil rayonne $1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : puissance totale du Soleil ; masse qu’il convertit par seconde ( $E = mc^2$ , $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). 15. Nombre de photons frappant le panneau par seconde. 16. [Flux de quantité de mouvement](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/5-bilans-de-quantite-de-mouvement-et-denergie-dans-les-ecoulements#thm-b2-flow-balances-momentum) des photons à la Terre : force de radiation totale du Soleil sur la Terre (disque de rayon $6400\,\mathrm{km}$ , absorbant) ; comparer à la gravitation ( $3.5 \times 10^{22}\,\mathrm{N}$ ). **Partie III — Le four.** Un four à micro-ondes délivre $800\,\mathrm{W}$ à $2.45\,\mathrm{GHz}$ dans une cavité de $30\,\mathrm{L}$ ; une tasse de $250\,\mathrm{g}$ d’eau en absorbe $80\%$. 17. Longueur d’onde ; la cavité est-elle grande devant elle ? Pourquoi les parois sont-elles métalliques ? 18. Temps pour chauffer l’eau de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ à $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) ; puissance absorbée par unité de volume. 19. Si la puissance traversait, en onde plane, la section de $50\,\mathrm{cm}^{2}$ de la tasse : intensité et $E_0$ ; les champs réels sont des [ondes stationnaires](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) d’amplitude comparable — de combien les points chauds sont-ils distants, et pourquoi le plateau tourne-t-il ? 20. Énergie emmagasinée dans le champ de la cavité si son facteur de qualité vaut $Q = 2\pi\times\text{(énergie emmagasinée)}/\text{(énergie perdue par période)} \approx 10^3$ à vide : énergie emmagasinée, densité d’énergie moyenne, $E_0$ — comparer au claquage de l’air ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ). 21. L’eau absorbe parce que ses molécules sont des dipôles excités à $2.45\,\mathrm{GHz}$ : la puissance locale, analogue à l’effet Joule, vaut $\tfrac12\omega\varepsilon_0 \varepsilon''E_0^2$ avec $\varepsilon'' \approx 10$ pour l’eau : $E_0$ dans l’eau nécessaire à la densité de puissance de la question 16 ; est-ce cohérent ? 22. Énergie d’un photon à $2.45\,\mathrm{GHz}$ en eV, et nombre de photons absorbés par seconde par la tasse ; pourquoi les micro-ondes peuvent chauffer mais non ioniser (l’ionisation demande quelque $10\,\mathrm{eV}$ ) ? 23. [Pression de radiation](#prop-b2-poynting-vector-wave) du champ de la cavité sur les parois (de l’ordre de la densité d’énergie $u$ ) : faut-il s’en préoccuper ? 24. Pourquoi un four vide (sans charge) risque-t-il d’être endommagé, en termes de Poynting ? 25. Récapituler en un tableau, pour la ligne, le panneau et le four : le porteur de l’énergie, la direction de $\vect\Pi$ , la puissance, et ce qui la convertit. **Solution de Problème 12.1.** **1.** $E = U/r\ln(b/a)$ : $1.8\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ en $r = a$ ; $B = \mu_0I/2\pi r$ : $10\,\mathrm{mT}$ en $a$. **2.** $\vect\Pi = (UI/2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$ ; $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI = 10\,\mathrm{MW}$. **3.** $\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon_rE^2 = 34\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, $B^2/2\mu_0 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : comparables. **4.** $\Pi(a) = EB/\mu_0 = 1.45 \times 10^{10}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $u = 74\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : $\Pi/u = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = c/\sqrt{\varepsilon_r}$. **5.** $E_z = I/\gamma\pi a^2 = 0.027\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $\Pi_r = E_zB/\mu_0 = 210\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ vers l’intérieur ; $\times2\pi a = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 53\,\text{µ}\Omega/\mathrm{m}$, $RI^2 = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$. **6.** $\Pi_r/\Pi_z = E_z/E_r = 1.5 \times 10^{-8}$ : presque toute l’énergie file le long de la ligne ; un filet s’infiltre dans le cuivre. **7.** $133\,\mathrm{kW}$ perdus sur $10\,\mathrm{MW}$, soit $1.3\%$ ; à $200\,\mathrm{kV}$ : $1.3\,\mathrm{kW}$, soit $0.013\%$. **8.** $\int_a^b(B^2/2\mu_0)2\pi r\,\dd r = (\mu_0I^2/4\pi)\ln(b/a) = 27\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m} = \tfrac12\Lambda I^2$ avec $\Lambda = \mu_0\ln(b/a)/2\pi = 0.22\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ ; électrique : $\tfrac12\Gamma U^2$ avec $\Gamma = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) = 117\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ : $23\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}$. **9.** $E_0 = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B_0 = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$, $u = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. **10.** $320\,\mathrm{W}$ électriques ; $1280\,\mathrm{W}$ de chaleur sur $3.2\,\mathrm{m}^{2}$ de faces : $\Delta T = 1280/32 = 40\,\mathrm{K}$. **11.** $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ ; $5.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ contre un poids de $180\,\mathrm{N}$. **12.** $320 \times 6 = 1.9\,\mathrm{kWh}/\mathrm{jour}$, $700\,\mathrm{kWh}/\mathrm{an}$ ; cinq panneaux, $8\,\mathrm{m}^{2}$. **13.** $30 \times 10.7 = 320\,\mathrm{W}$ ; la puissance circule dans le champ compris entre les deux fils — $\vect E$ à travers les $30\,\mathrm{V}$, $\vect B$ autour des courants — et non dans le cuivre. **14.** $4\pi D^2I = 3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ ; $P/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$. **15.** $5 \times 10^{21} \times 1.6 = 5 \times 10^{21}\,$ photons par seconde. **16.** $I\pi R_E^2/c = 5.8 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ : $10^{-14}$ de la gravitation. **17.** $\lambda = 12.2\,\mathrm{cm}$ ; la cavité de $30\,\mathrm{cm}$ fait quelques longueurs d’onde — un résonateur à modes, non un faisceau libre ; les parois métalliques réfléchissent l’onde ([épaisseur de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) de quelques micromètres) et la retiennent. **18.** $0.25 \times 4180 \times 60 = 63\,\mathrm{kJ}$ à $640\,\mathrm{W}$ : $98\,\mathrm{s}$ ; $640/2.5 \times 10^{-4} = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$. **19.** $I = 640/5 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ ; points chauds distants de $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ — d’où le plateau tournant. **20.** $W = QP/\omega = 10^3 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 52\,\text{µ}\mathrm{J}$ ; $u = 1.7\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}^{3}$ ; $E_0 = \sqrt{2u/\varepsilon_0} = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — cent fois sous le seuil de claquage. **21.** $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2 = 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ : $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ dans l’eau — de l’ordre du champ de la cavité, réduit par la permittivité de l’eau : cohérent. **22.** $hf = 1.6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$ ; $4 \times 10^{26}$ photons par seconde ; un million de fois trop peu d’énergie par photon pour ioniser. **23.** $\sim u = 2\,\mathrm{mPa}$ : non. **24.** N’ayant rien pour l’absorber, le flux de $\vect\Pi$ n’a d’autre issue que de revenir dans le magnétron, qui surchauffe. **25.** Ligne : le diélectrique, $\vect\Pi$ axial, $10\,\mathrm{MW}$, une charge en bout. Panneau : le faisceau, $\vect\Pi$ selon les rayons du Soleil, $1.6\,\mathrm{kW}$ en entrée, $320\,\mathrm{W}$ en sortie, le semi-conducteur. Four : le champ de la cavité, $\vect\Pi$ circulant, $800\,\mathrm{W}$, les dipôles de l’eau.