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title: "Ondes électromagnétiques planes et polarisation"
book: "Physique universitaire — 2e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/13-ondes-electromagnetiques-planes-et-polarisation
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# Chapitre 13 — Ondes électromagnétiques planes et polarisation

Inclinez la tête en portant des lunettes de soleil polarisantes et le reflet sur la route mouillée apparaît et disparaît ; tournez les lunettes devant l’écran d’un téléphone et l’écran devient noir. La lumière qui atteint votre œil n’est pas seulement une onde ayant une fréquence et une intensité : elle possède une *direction de vibration*, et tout polariseur, tout écran, tout verre de cinéma 3D et tout connecteur de fibre optique en joue. Ce chapitre résout les [équations de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) dans l’espace vide — l’onde plane, aux champs électrique et magnétique transversaux verrouillés à angle droit — passe en revue le spectre que ces ondes couvrent, et étudie la polarisation : comment la décrire, comment la sélectionner par un polariseur ([loi de Malus](#prop-b2-plane-waves-polarization-malus)), et comment la transformer par une lame biréfringente.

## 13.1 Ondes planes dans le vide

**Théorème 13.1 (Équation d’onde ; ondes planes progressives harmoniques).**

Dans le vide, sans charges ni courants, les [équations de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) donnent

$$
\Delta\vect E = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect E}{\partial t^2} , \qquad
\Delta\vect B = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect B}{\partial t^2} , \qquad
c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} .
$$

L’*onde plane progressive harmonique* (OPPH) $\underline{\vect E} =
\underline{\vect E}_0\,\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ en est solution pourvu que $\omega = ck$ (aucune dispersion), et les [équations de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) imposent alors

$$
\vect k\cdot\vect E = 0 , \qquad
\vect B = \frac{\vect k\wedge\vect E}\omega = \frac{\vect u\wedge\vect E}c ,
$$

$\vect u = \vect k/k$ étant la direction de propagation : l’onde est *transversale*, $(\vect E, \vect B, \vect u)$ forme un trièdre orthogonal direct, $\vect E$ et $\vect B$ sont en phase et $B = E/c$. Son intensité vaut $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ et elle transporte le [flux de quantité de mouvement](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/5-bilans-de-quantite-de-mouvement-et-denergie-dans-les-ecoulements#thm-b2-flow-balances-momentum) $I/c$ ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/12-energie-electromagnetique-et-vecteur-de-poynting#ch-b2-poynting-vector)).

**Démonstration.** L’[équation d’onde](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) a été établie à l’[Exercice 11.11](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#exo-b2-maxwell-equations-11). Pour $\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$, $\partial_t \to \iu\omega$ et $\vect\nabla \to
-\iu\vect k$ : $\Delta \to -k^2$, donc $k^2 = \omega^2/c^2$ ; Maxwell–Gauss donne $-\iu
\vect k\cdot\underline{\vect E} = 0$, Maxwell–flux $\vect k\cdot\underline{\vect B} = 0$, Maxwell–Faraday $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect E} = -\iu\omega\underline{\vect B}$, d’où $\underline{\vect B} = \vect k\wedge\underline{\vect E}/\omega$, de module $kE/\omega = E/c$ et perpendiculaire aux deux ; Maxwell–Ampère est alors satisfaite identiquement. ∎

![Une onde plane progressive harmonique à un instant donné : E et B perpendiculaires l’un à l’autre et à la direction de propagation, en phase, B = E/c ; tout le motif glisse selon u à la vitesse c.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-402199216cda.svg)

*Une onde plane progressive harmonique à un instant donné : $\vect E$ et $\vect B$ perpendiculaires l’un à l’autre et à la direction de propagation, en phase, $B = E/c$ ; tout le motif glisse selon $\vect u$ à la vitesse $c$.*

**Remarque 13.2 (Le spectre).**

Une seule équation, une seule vitesse, et vingt ordres de grandeur en fréquence. Radio : $30\,\mathrm{kHz}$ à $300\,\mathrm{MHz}$ ($\lambda$ de $10\,\mathrm{km}$ à $1\,\mathrm{m}$), antennes et circuits ([Chapitre 17](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/17-rayonnement-dipolaire-et-diffusion#ch-b2-dipole-radiation)). Micro-ondes : $300\,\mathrm{MHz}$ à $300\,\mathrm{GHz}$, radar, fours, téléphones mobiles, fond diffus cosmologique. Infrarouge : jusqu’à $400\,\mathrm{THz}$ ($750\,\mathrm{nm}$), le rayonnement thermique de tout ce qui nous entoure ([Chapitre 26](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/26-rayonnement-thermique#ch-b2-thermal-radiation)). Visible : de $400\,\mathrm{THz}$ à $750\,\mathrm{THz}$, de $750\,\mathrm{nm}$ (rouge) à $400\,\mathrm{nm}$ (violet) — une octave, des photons de $1.6$ à $3.1\,\mathrm{eV}$. Ultraviolet jusqu’à $10\,\mathrm{nm}$ ; rayons X jusqu’à $10\,\mathrm{pm}$ ($100\,\mathrm{keV}$), issus des couches atomiques internes et du freinage des électrons ; rayons gamma au-delà, issus des noyaux. Seules les sources et les détecteurs diffèrent : l’onde est la même.

![Le spectre électromagnétique sur une échelle logarithmique de fréquence ; la bande visible n’est qu’un liseré — une octave sur vingt décades.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-2b542f858d25.svg)

*Le [spectre électromagnétique](#rem-b2-plane-waves-polarization-spectrum) sur une échelle logarithmique de fréquence ; la bande visible n’est qu’un liseré — une octave sur vingt décades.*

## 13.2 La polarisation

**Définition 13.3 (États de polarisation).**

Pour une OPPH selon $z$, le champ dans un plan $z =$ const vaut

$$
\vect E = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\vect e_y ,
$$

et l’extrémité de $\vect E$ décrit, en général, une ellipse : c’est la *polarisation elliptique*. Deux cas particuliers : $\varphi = 0$ ou $\pi$, polarisation *rectiligne* selon une direction fixe faisant l’angle $\arctan(\pm E_{0y}/E_{0x})$ avec $x$ ; $E_{0x} = E_{0y}$ et $\varphi = \pm\pi/2$, polarisation *circulaire*, $\vect E$ de module constant tournant à $\omega$ (droite ou gauche selon son sens de rotation, vu face à l’onde qui arrive). La lumière *naturelle* (non polarisée), d’une lampe ou du Soleil, est une succession de courts trains d’ondes de polarisations aléatoires et rapidement changeantes : aucune direction n’est privilégiée en moyenne. Toute polarisation se décompose en deux composantes rectilignes (ou deux circulaires).

**Démonstration.** Avec $X = E_x/E_{0x}$, $Y = E_y/E_{0y}$ : $X = \cos\theta$, $Y = \cos(\theta - \varphi)$, donc $X^2 + Y^2 - 2XY\cos\varphi = \sin^2\varphi$, une ellipse, dégénérée en les droites $Y = \pm X$ pour $\varphi = 0, \pi$ et en un cercle pour $E_{0x} = E_{0y}$, $\varphi = \pm\pi/2$. ∎

**Proposition 13.4 (Polariseurs et loi de Malus).**

Un *polariseur* transmet la composante de $\vect E$ selon son axe de transmission $\vect p$ et absorbe l’autre (une feuille de longues molécules alignées, qui conduisent selon leur longueur — la polarisation transmise est perpendiculaire aux molécules). Une lumière polarisée rectilignement d’intensité $I_0$ dont la direction fait l’angle $\theta$ avec $\vect p$ en ressort polarisée rectilignement selon $\vect p$ avec

$$
I = I_0\cos^2\theta \qquad\text{(Malus)} ;
$$

la [lumière naturelle](#def-b2-plane-waves-polarization-states) en ressort avec $I_0/2$, polarisée selon $\vect p$. Deux polariseurs croisés ne transmettent rien ; un troisième inséré à $45{}^{\circ}$ entre eux transmet $I_0/8$.

**Démonstration.** L’amplitude transmise vaut $E_0\cos\theta$ et $I \propto E_0^2$. [Lumière naturelle](#def-b2-plane-waves-polarization-states) : moyenne de $\cos^2\theta$ sur tous les $\theta$, soit $\tfrac12$. Trois polariseurs : $\tfrac12\cdot\cos^2 45^\circ\cdot\cos^2 45^\circ = \tfrac18$ — le polariseur du milieu ne fait pas qu’atténuer, il *tourne* la polarisation. ∎

![À gauche : de la lumière naturelle à travers trois polariseurs à 0, 45 et 90 — celui du milieu en laisse passer un huitième à travers une paire qui, seule, bloquerait tout. À droite : la loi de Malus.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-fdb3f1befed4.svg)

*À gauche : de la [lumière naturelle](#def-b2-plane-waves-polarization-states) à travers trois polariseurs à $0^\circ$, $45^\circ$ et $90^\circ$ — celui du milieu en laisse passer un huitième à travers une paire qui, seule, bloquerait tout. À droite : la [loi de Malus](#prop-b2-plane-waves-polarization-malus).*

**Exemple 13.5 (Lunettes de soleil, écrans, photographies).**

La lumière réfléchie sous une incidence rasante par l’eau ou l’asphalte est largement polarisée horizontalement (angle de Brewster, [Chapitre 15](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/15-reflexion-et-transmission-aux-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)) : des lunettes de soleil à axe de transmission vertical coupent le reflet et laissent le reste. Un écran à cristaux liquides émet une lumière polarisée : à travers un polariseur à $90{}^{\circ}$ il devient noir. Le filtre polarisant d’un photographe assombrit le ciel (la lumière diffusée est partiellement polarisée, [Chapitre 17](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/17-rayonnement-dipolaire-et-diffusion#ch-b2-dipole-radiation)) et supprime les reflets sur les vitres.

## 13.3 Biréfringence et lames à retard

**Proposition 13.6 (Lames à retard).**

Dans un cristal *biréfringent* (calcite, quartz, mica ; ou encore une feuille de plastique étirée), une onde qui se propage selon une direction donnée se sépare en deux [polarisations rectilignes](#def-b2-plane-waves-polarization-states), selon les axes *rapide* et *lent* de la lame, se propageant avec des indices différents $n_f <
n_s$ (admis — le cristal répond différemment selon ses axes). Une lame d’épaisseur $e$ retarde la composante lente de la phase

$$
\delta = \frac{2\pi}\lambda(n_s - n_f)\,e .
$$

Une *[lame demi-onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates)* ($\delta = \pi$) transforme une [polarisation rectiligne](#def-b2-plane-waves-polarization-states) à l’angle $\alpha$ de l’[axe rapide](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) en une [polarisation rectiligne](#def-b2-plane-waves-polarization-states) à $-\alpha$ : elle la fait tourner de $2\alpha$. Une *[lame quart d’onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates)* ($\delta = \pi/2$) transforme une [polarisation rectiligne](#def-b2-plane-waves-polarization-states) à $45{}^{\circ}$ de ses axes en lumière circulaire, et une lumière circulaire en lumière rectiligne ; sous d’autres angles, en lumière elliptique dont les axes sont ceux de la lame.

**Démonstration.** Le champ incident vaut $E_0(\cos\alpha\,\vect e_f + \sin\alpha\,\vect e_s)\cos\omega t$ ; après la lame,

$$
E_0[\cos\alpha\cos\omega t\,\vect e_f + \sin\alpha\cos(\omega t - \delta)\,\vect e_s] .
$$

Pour $\delta = \pi$ la composante selon $\vect e_s$ change de signe : direction $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$. Pour $\delta = \pi/2$ et $\alpha = 45^\circ$ : $(E_0/\sqrt2)(\cos
\omega t, \sin\omega t)$, un cercle. ∎

![Les états de polarisation d’une onde plane, vus face à la lumière qui arrive, et une lame biréfringente avec ses axes rapide et lent.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-0e9eb65f8666.svg)

*Les états de polarisation d’une onde plane, vus face à la lumière qui arrive, et une lame biréfringente avec ses [axes rapide](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) et lent.*

**Exemple 13.7 (Où l’on emploie les lames).**

Une [lame quart d’onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) placée entre un polariseur et un miroir fait un *isolateur optique* : la lumière part circulaire, revient circulaire de sens opposé, est transformée par la lame en lumière rectiligne à $90{}^{\circ}$ du polariseur et absorbée — aucune réflexion ne revient vers le laser. Les images des deux yeux d’un film 3D sont projetées en [polarisations circulaires](#def-b2-plane-waves-polarization-states) opposées et triées par les sandwichs [lame quart d’onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) et polariseur des lunettes, qui fonctionnent encore quand on incline la tête (des polariseurs rectilignes ne le feraient pas). Une règle transparente entre polariseurs croisés montre des franges colorées : la contrainte rend le plastique biréfringent, et les ingénieurs lisent sur le motif les contraintes d’une maquette.

**Méthode 13.8 (Suivre une polarisation à travers un montage).**

(1) Choisir des axes ; écrire le champ incident comme deux composantes avec leur déphasage. (2) Un polariseur : garder la projection sur son axe (amplitude $\times\cos$, intensité $\times\cos^2$ ; [lumière naturelle](#def-b2-plane-waves-polarization-states) $\times\tfrac12$). (3) Une lame : projeter sur ses [axes rapide](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) et lent, retarder la composante lente de $\delta$, recombiner. (4) Lire le résultat : une phase $0$ ou $\pi$ signifie rectiligne, $\pm\pi/2$ avec des amplitudes égales signifie circulaire. (5) Pour analyser un faisceau inconnu : tourner un polariseur (l’intensité varie : part rectiligne ou elliptique), puis ajouter une [lame quart d’onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) (la lumière circulaire devient rectiligne et peut être éteinte).

## 13.4 Exercices

**Exercice 13.1 ★.**

Une station FM à $100\,\mathrm{MHz}$ donne, à un récepteur, une intensité de $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Longueur d’onde, nombre d’onde, période ; amplitudes $E_0$ et $B_0$ ; densité d’énergie ; force électromotrice induite dans une antenne de $1\,\mathrm{m}$ alignée sur $\vect E$ ; flux de photons (par mètre carré et par seconde).

**Solution de Exercice 13.1.**

$\lambda = 3.0\,\mathrm{m}$, $k = 2.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $T = 10\,\mathrm{ns}$ ; $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c}
= 27\,\mathrm{mV}/\mathrm{m}$, $B_0 = 9 \times 10^{-11}\,\mathrm{T}$ ; $u = I/c = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; force électromotrice $E_0 \times 1\,\mathrm{m} = 27\,\mathrm{mV}$ ; $I/hf = 10^{-6}/6.6 \times 10^{-26} = 1.5 \times 10^{19}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Exercice 13.2 ★.**

Fréquence et énergie du photon (en eV) pour $\lambda = 1\,\mathrm{km}$, $10\,\mathrm{cm}$, $10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $550\,\mathrm{nm}$, $10\,\mathrm{nm}$, $0.1\,\mathrm{nm}$, $1\,\mathrm{pm}$ ; nommer la bande de chacune ; longueur d’onde d’un rayon gamma de $1\,\mathrm{MeV}$ et du fond cosmologique à $2.7\,\mathrm{K}$ (maximum vers $160\,\mathrm{GHz}$).

**Solution de Exercice 13.2.**

$300\,\mathrm{kHz}$ ($1.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{eV}$, radio) ; $3\,\mathrm{GHz}$ ($1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$, micro-onde) ; $30\,\mathrm{THz}$ ($0.12\,\mathrm{eV}$, infrarouge) ; $545\,\mathrm{THz}$ ($2.25\,\mathrm{eV}$, visible) ; $3 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ ($124\,\mathrm{eV}$, ultraviolet extrême) ; $3 \times 10^{18}\,\mathrm{Hz}$ ($12\,\mathrm{keV}$, X) ; $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Hz}$ ($1.2\,\mathrm{MeV}$, gamma). $1\,\mathrm{MeV}$ : $1.2\,\mathrm{pm}$ ; $160\,\mathrm{GHz}$ : $1.9\,\mathrm{mm}$.

**Exercice 13.3 ★.**

Une lumière polarisée rectilignement d’intensité $I_0$ tombe sur un polariseur à $30{}^{\circ}$, puis un deuxième à $60{}^{\circ}$ du premier, puis un troisième à $90{}^{\circ}$ du premier : intensité après chacun. Idem avec de la [lumière naturelle](#def-b2-plane-waves-polarization-states). Retirer celui du milieu : qu’est-ce qui change ?

**Solution de Exercice 13.3.**

$0.75I_0$, $0.56I_0$, $0.42I_0$ ; naturelle : $0.375$, $0.28$, $0.21$. Sans celui du milieu : $0.75 \times \cos^260^\circ = 0.19I_0$ (naturelle $0.125I_0$) : le polariseur intermédiaire en laisse passer *davantage* en tournant la polarisation.

**Exercice 13.4 ★.**

Vérifier que $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x$, $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t
- kz)\,\vect e_y$ satisfait les quatre [équations de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) dans le vide lorsque $\omega =
kc$. Quelle équation fixe la direction de $\vect B$, laquelle sa norme ? Que se passe-t-il si l’on essaie $\vect E$ selon $\vect e_z$ ?

**Solution de Exercice 13.4.**

$\operatorname{div}\vect E = \partial_xE_x = 0$, $\operatorname{div}\vect B = 0$ ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = E_0k\sin(\omega t - kz)\,\vect e_y = -\partial_t\vect B$ si et seulement si $\omega =
kc$ — Faraday fixe à la fois la direction ($\vect e_y$) et la norme ($E_0/c$) de $\vect B$ ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(E_0k/c)\sin(\omega t - kz)\,\vect e_x
= \mu_0\varepsilon_0\partial_t\vect E$. Un $\vect E$ selon $\vect e_z$ aurait $\operatorname{div}
\vect E \ne 0$ sans charge : impossible — l’onde est transversale.

**Exercice 13.5 ★★.**

*Lumière circulaire.* (a) Écrire le champ d’une onde polarisée circulairement selon $z$ et montrer que $|\vect E|$ est constant tandis que sa direction tourne à $\omega$. (b) Montrer que la somme d’une onde circulaire droite et d’une circulaire gauche de même amplitude est polarisée rectilignement, selon une direction fixée par leur phase relative. (c) À travers un polariseur, que donne la lumière circulaire, et l’intensité dépend-elle de l’angle du polariseur ? (d) Comment distinguer alors la lumière circulaire de la [lumière naturelle](#def-b2-plane-waves-polarization-states) ?

**Solution de Exercice 13.5.**

(a) $\vect E = E_0(\cos(\omega t - kz), \pm\sin(\omega t - kz), 0)$ : module $E_0$, angle $\pm(\omega t - kz)$. (b) $(\cos, \sin) + (\cos, -\sin) = (2\cos, 0)$ : rectiligne selon $x$ ; une phase relative $\varphi$ tourne la direction de $\varphi/2$. (c) $I_0/2$ sous tout angle. (d) Une [lame quart d’onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) transforme la lumière circulaire en lumière rectiligne, qu’un polariseur éteint ensuite ; la [lumière naturelle](#def-b2-plane-waves-polarization-states) reste non polarisée.

**Exercice 13.6 ★★.**

Le quartz a $n_s - n_f = 0.0091$ à $589\,\mathrm{nm}$. (a) Épaisseur d’une [lame quart d’onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) d’ordre le plus bas ; d’une [lame demi-onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates). (b) Une [lame quart d’onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) pour $589\,\mathrm{nm}$ utilisée à $450\,\mathrm{nm}$ : déphasage (négliger la variation des indices) ; que sort-il pour une lumière rectiligne à $45{}^{\circ}$ ? (c) Pourquoi les lames « d’ordre multiple » (épaisseur $e +
m\lambda/(n_s - n_f)$) sont-elles plus sensibles à la longueur d’onde et à la température ? (d) Pourquoi l’épaisseur d’une lame doit-elle être maîtrisée au micromètre près ?

**Solution de Exercice 13.6.**

(a) $e = \lambda/4(n_s - n_f) = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; demi-onde $32\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $\delta =
(\pi/2)(589/450) = 2.1\,\mathrm{rad}$ : lumière elliptique. (c) $\delta \propto e/\lambda$ : une lame de $m + \tfrac14$ ondes a des $\dd\delta/\dd\lambda$ et $\dd\delta/\dd T$ plus grands d’un facteur $4m + 1$. (d) $\delta \propto e$ : un micromètre sur $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ fait $6\%$ de $\pi/2$.

**Exercice 13.7 ★★.**

[Lame demi-onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates). (a) Montrer qu’une lumière rectiligne à l’angle $\alpha$ de l’[axe rapide](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) en ressort rectiligne à $-\alpha$. (b) Une lame tournée de $\beta$ fait donc tourner la polarisation de $2\beta$ : quelle rotation de la lame rend horizontale une polarisation verticale ? (c) Que fait une [lame demi-onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) à une lumière circulaire ? (d) Entre polariseurs croisés, on tourne lentement une [lame demi-onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) : tracer l’intensité transmise en fonction de son angle.

**Solution de Exercice 13.7.**

(a) La composante lente change de signe : $(\cos\alpha, \sin\alpha) \to (\cos\alpha,
-\sin\alpha)$. (b) Une polarisation à l’angle $\alpha$ d’une lame placée à $\beta$ ressort à $2\beta - \alpha$ : rotation $2\beta$ ; $45{}^{\circ}$. (c) Elle inverse le sens. (d) $I = I_0\sin^22\beta$ : quatre maxima et quatre extinctions par tour.

**Exercice 13.8 ★★.**

$N$ polariseurs sont placés l’un après l’autre, chacun tourné de $\pi/2N$ par rapport au précédent, le dernier étant à $90{}^{\circ}$ du premier. Transmission d’une lumière polarisée rectilignement alignée sur le premier pour $N = 1, 2, 5, 10, 100$ ; limite $N \to \infty$ (utiliser $\cos^{2N}(\pi/2N) \approx
1 - \pi^2/4N$). Commenter : une polarisation peut être tournée de $90{}^{\circ}$ sans perte — par quoi ?

**Solution de Exercice 13.8.**

$\cos^{2N}(\pi/2N)$ : $0$, $0.25$, $0.61$, $0.78$, $0.976$, $\to 1$. Un milieu qui tourne continûment (pouvoir rotatoire, cellule à cristaux liquides) fait tourner la polarisation sans perte.

**Exercice 13.9 ★★.**

*Polarisation partielle.* Un polariseur tournant devant un faisceau donne une intensité maximale $I_{\max}$ et une intensité minimale $I_{\min}$. (a) Modéliser le faisceau comme de la [lumière naturelle](#def-b2-plane-waves-polarization-states) $I_n$ plus de la lumière polarisée rectilignement $I_p$ : exprimer $I_{\max}$ et $I_{\min}$ ; le taux de polarisation $p = I_p/(I_n + I_p) =
(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$. (b) Ciel bleu à $90{}^{\circ}$ du Soleil : $I_{\max}/I_{\min} = 5$ : $p$. (c) Lumière réfléchie par un lac près de l’angle de Brewster, $p = 0.9$ : quelle part des lunettes polarisantes peuvent-elles supprimer ? (d) Un polariseur seul peut-il distinguer une lumière partiellement polarisée rectilignement d’une lumière partiellement circulaire ? Que faut-il de plus ?

**Solution de Exercice 13.9.**

(a) $I_{\max} = I_n/2 + I_p$, $I_{\min} = I_n/2$ ; $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} -
I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$. (b) $p = 4/6 = 0.67$. (c) Le polariseur croisé laisse passer $I_n/2 = 0.05I$ : $95\%$ supprimés. (d) Non — les deux donnent une intensité constante ; il faut une [lame quart d’onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates).

**Exercice 13.10 ★★★.**

*Deux faisceaux croisés.* Deux OPPH de même amplitude et de même fréquence, toutes deux polarisées selon $\vect e_y$, se propagent dans le plan $xz$ sous les angles $\pm\theta$ avec $z$. (a) Écrire le champ total et montrer que c’est une onde se propageant selon $z$ dont l’amplitude est modulée selon $x$ en $\cos(kx\sin\theta)$. (b) Espacement des plans sombres (franges d’interférence) ; applications numériques pour $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, $\theta = 5{}^{\circ}$, et pour $\theta = 90{}^{\circ}$ (ondes contrapropagatives). (c) [Vitesse de phase](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) du motif selon $z$ ; comparer à $c$ ; quelque chose se déplace-t-il plus vite que la lumière ? (d) Calculer le [vecteur de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/12-energie-electromagnetique-et-vecteur-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) moyenné dans le temps et montrer que sa composante $x$ est nulle : l’énergie circule selon $z$ dans les plans brillants.

**Solution de Exercice 13.10.**

(a) Phases $\omega t - k(z\cos\theta \pm x\sin\theta)$ : somme $2E_0\cos(kx\sin\theta)\cos(\omega t
- kz\cos\theta)\,\vect e_y$. (b) $\Delta x = \lambda/2\sin\theta$ : $3.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ à $5{}^{\circ}$, $\lambda/2 = 316\,\mathrm{nm}$ à $90{}^{\circ}$. (c) $v_\varphi = c/\cos\theta > c$ : c’est la phase d’un motif ; l’énergie va selon $z$ à $c\cos\theta$ (et chaque onde à $c$). (d) $B_z = (\sin\theta/c)(E_1 - E_2)$, $E_y = E_1 + E_2$ : $\langle\Pi_x\rangle \propto
\langle E_1^2 - E_2^2\rangle = 0$ ; $\Pi_z \propto \cos\theta(E_1 + E_2)^2$, maximal dans les plans brillants.

**Exercice 13.11 ★★★.**

*Le pixel à cristaux liquides.* Une cellule nématique en hélice entre polariseurs croisés fait tourner la polarisation de la lumière de $90{}^{\circ}$ lorsqu’aucune tension n’est appliquée (l’orientation des molécules tourne en hélice à travers la cellule et la polarisation la suit — admis), et pas du tout lorsque quelques volts déroulent l’hélice. (a) Transmission dans les deux états : lequel est brillant ? (b) Les cellules réelles tournent de $90^\circ \pm 5^\circ$ à la longueur d’onde de conception : taux de contraste $I_{\text{clair}}/I_{\text{sombre}}$ si l’état sombre fuit par une erreur résiduelle de $5{}^{\circ}$. (c) Pourquoi une cellule conçue pour $550\,\mathrm{nm}$ laisse-t-elle fuir un peu de bleu et de rouge dans l’état sombre (voir la rotation comme un empilement de nombreux retardateurs minces analogues à des demi-ondes) ? (d) Un pixel couleur emploie trois cellules de ce type avec des filtres ; pourquoi l’écran devient-il noir à travers un polariseur sous un certain angle, et que vous apprend cet angle ?

**Solution de Exercice 13.11.**

(a) Sans tension : tournée de $90{}^{\circ}$, elle traverse le polariseur croisé : brillant ; sous tension : sombre. (b) Fuite $\sin^25^\circ = 7.6 \times 10^{-3}$ : contraste $130$. (c) L’hélice agit comme un empilement de retardateurs dont $\delta \propto 1/\lambda$ : exacte à $550\,\mathrm{nm}$, la rotation est fausse aux extrémités du spectre, qui fuient — l’état sombre paraît violacé. (d) Lorsque le polariseur extérieur est croisé avec le polariseur de sortie de l’écran ; l’angle est l’axe de polarisation de l’écran.

**Exercice 13.12 ★★★.**

*Pouvoir rotatoire.* Dans une solution sucrée les deux [polarisations circulaires](#def-b2-plane-waves-polarization-states) se propagent avec des indices légèrement différents $n_L$ et $n_R$. (a) Décomposer une [polarisation rectiligne](#def-b2-plane-waves-polarization-states) en composantes circulaires et montrer qu’après une longueur $\ell$ la polarisation est encore rectiligne mais tournée de $\theta = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$. (b) Un tube de $1\,\mathrm{dm}$ d’une solution de saccharose à $0.10\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ fait tourner la lumière du sodium de $6.65{}^{\circ}$ : $n_L - n_R$. (c) Un saccharimètre mesure $\theta$ à $0.01{}^{\circ}$ près : précision sur la concentration. (d) Le même effet est produit dans le verre par un champ magnétique parallèle au faisceau (effet Faraday, $\theta = VB\ell$ avec $V \approx
4\,\mathrm{rad}\,\mathrm{T}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$) : pourquoi un rotateur de Faraday, contrairement à un tube de sucre, n’annule-t-il pas sa rotation lorsque la lumière est renvoyée, et en quoi cela fait-il un isolateur ?

**Solution de Exercice 13.12.**

(a) $\vect e_x = \tfrac12[(\vect e_x + \iu\vect e_y) + (\vect e_x - \iu\vect e_y)]$ ; après $\ell$ les deux composantes ont les phases $k_L\ell$ et $k_R\ell$, et se recombinent en une lumière rectiligne à l’angle $(k_L - k_R)\ell/2 = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$. (b) $n_L -
n_R = \theta\lambda/\pi\ell = 0.116 \times 589 \times 10^{-9}/0.314 = 2.2 \times 10^{-7}\,$. (c) $0.01/6.65 \times 0.1 = 1.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$. (d) La rotation de Faraday est fixée par $\vect B$, non par le sens de propagation : au retour elle s’ajoute ($45{}^{\circ}$ $+$ $45{}^{\circ}$ $=$ $90{}^{\circ}$), et le polariseur d’entrée bloque la lumière de retour — c’est un isolateur.

![Des lunettes de soleil polarisantes tenues devant un lac : le reflet, réfléchi près de l’angle de Brewster et polarisé horizontalement, est coupé par l’axe de transmission vertical des verres, et le fond du lac apparaît.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/img-41876249925c.jpg)

*Des lunettes de soleil polarisantes tenues devant un lac : le reflet, réfléchi près de l’angle de Brewster et polarisé horizontalement, est coupé par l’axe de transmission vertical des verres, et le fond du lac apparaît.*

## 13.5 Problème : l’onde, l’écran et la voile

**Problème 13.1.**

Problème du week-end — un faisceau laser décomposé en ses champs, un écran qui peint avec la polarisation, et un engin spatial qui navigue à la lumière

**Partie I — Le faisceau.** Un laser hélium–néon émet $10\,\mathrm{mW}$ à $632.8\,\mathrm{nm}$ dans un faisceau de $1.0\,\mathrm{mm}$ de diamètre, polarisé rectilignement selon $x$, se propageant selon $z$.

1. Fréquence, nombre d’onde, énergie d’un photon ; photons émis par seconde.
2. Intensité ; amplitudes $E_0$ et $B_0$ ; écrire $\vect E(z, t)$ et $\vect B(z, t)$ .
3. Densité d’énergie (moyenne) et énergie contenue dans $1\,\mathrm{m}$ de faisceau ; quelle est la longueur du faisceau émis en $1\,\mathrm{ns}$ , et combien de longueurs d’onde contient-il ?
4. [Vecteur de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/12-energie-electromagnetique-et-vecteur-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) : valeur moyenne et oscillation ; quantité de mouvement transportée par seconde ; force sur une cible noire et sur un miroir.
5. Comparer $E_0$ au champ qui lie l’électron dans un atome d’hydrogène ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ) et $B_0$ au champ terrestre ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ).
6. [Pression de radiation](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/12-energie-electromagnetique-et-vecteur-de-poynting#prop-b2-poynting-vector-wave) sur un piège à faisceau noir, en pascals.
7. Un électron libre placé dans le faisceau : amplitude de l’oscillation de sa vitesse dans le champ électrique (négliger d’abord la force magnétique) ; rapport de la force magnétique à la force électrique sur lui — pourquoi la force magnétique est-elle négligeable pour la matière dans une lumière ordinaire ?
8. Écrire les champs du même faisceau s’il était polarisé circulairement ; qu’est-ce qui change dans l’intensité, dans le [vecteur de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/12-energie-electromagnetique-et-vecteur-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) et dans sa dépendance temporelle ?
9. Le faisceau traverse un polariseur dont l’axe fait $30{}^{\circ}$ avec $x$ : puissance transmise ; puis un second croisé avec le premier : puissance ; insérer entre eux un troisième à $45{}^{\circ}$ du premier : puissance.

**Partie II — L’écran.** Un écran à cristaux liquides : rétroéclairage ([lumière naturelle](#def-b2-plane-waves-polarization-states)), un polariseur, la cellule, un polariseur croisé. Sans tension la cellule fait tourner la polarisation de $90{}^{\circ}$ ; sous tension elle ne fait rien.

10. Fraction de l’intensité du rétroéclairage transmise dans l’état brillant (polariseurs parfaits) ; dans l’état sombre.
11. Une tension intermédiaire fait se comporter la cellule comme un retardateur de phase $\delta$ entre ses axes, placés à $45{}^{\circ}$ des polariseurs (sans rotation) : montrer que la transmission vaut $\sin^2(\delta/2)$ — l’échelle des gris.
12. Regardé à travers un polariseur tourné de $90{}^{\circ}$ par rapport au polariseur de sortie de l’écran, que voit-on ? Et à $45{}^{\circ}$ ?
13. Une [lame quart d’onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) collée sur l’écran à $45{}^{\circ}$ de son polariseur rend la sortie circulaire : avantage pour un spectateur portant des lunettes de soleil polarisantes ?
14. Des polariseurs parfaits laisseraient passer la moitié du rétroéclairage dans l’état brillant ; les feuilles réelles transmettent $85\%$ de l’idéal chacune, et les filtres colorés d’un pixel laissent passer le tiers de la lumière : fraction de la puissance du rétroéclairage qui atteint le spectateur en blanc ; nommer les deux endroits où l’essentiel de la lumière se perd.
15. Des feuilles croisées réelles laissent fuir $0.1\%$ de la lumière : taux de contraste de l’écran (brillant sur sombre) dans une pièce sombre.
16. Les « polariseurs circulaires » des photographes sont un polariseur rectiligne suivi d’une [lame quart d’onde](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) à $45{}^{\circ}$ : que reçoit l’appareil, et pourquoi est-ce préférable pour la lame séparatrice sensible à la polarisation de son autofocus qu’une lumière rectiligne ?
17. Pourquoi les lunettes de cinéma 3D utilisent-elles une [polarisation circulaire](#def-b2-plane-waves-polarization-states) plutôt que rectiligne ? Qu’advient-il de la diaphonie entre les yeux si le spectateur incline la tête de $20{}^{\circ}$ avec des lunettes rectilignes (intensité qui fuit vers le mauvais œil) ?

**Partie III — La voile.** Une voile solaire d’aire $S = 1000\,\mathrm{m}^{2}$ et de masse totale $m = 50\,\mathrm{kg}$, parfaitement réfléchissante, à $D = 1.0\,\mathrm{au} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ du Soleil ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ; gravité solaire $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en ce point).

18. Force de radiation lorsque la voile fait face au Soleil ; accélération ; rapport à la gravité solaire.
19. La voile est inclinée de $\theta$ par rapport à la face au Soleil : montrer que la force est normale à la voile et proportionnelle à $\cos^2\theta$ (puissance interceptée $\times\cos\theta$ , variation de quantité de mouvement selon la normale $\times\cos\theta$ ).
20. Pour spiraler vers l’extérieur la voile garde une composante de force selon sa vitesse orbitale : pour $\theta = 35{}^{\circ}$ , accélération tangentielle ; vitesse acquise par an ; comparer à la vitesse orbitale de la Terre ( $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ).
21. Pourquoi la même voile, près de Mercure ( $D = 0.39\,\mathrm{au}$ ), reçoit-elle $6.6$ fois la force, et pourquoi le rapport à la gravité est-il inchangé ?
22. Le film de la voile est $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de plastique aluminisé : sa température au Soleil si elle en absorbe $10\%$ et rayonne par ses deux faces comme un corps noir ( $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ ).
23. Temps nécessaire pour gagner $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ face au Soleil ; que donnerait une voile absorbante (noire) de même taille ?
24. Vérifier la quantité de mouvement de la lumière avec les photons : nombre de photons frappant la voile par seconde ( $2\,\mathrm{eV}$ en moyenne) et quantité de mouvement $hf/c$ de chacun ; retrouver la force.
25. Récapituler : les trois grandeurs transportées par l’onde (énergie, quantité de mouvement, polarisation) et le dispositif de ce problème qui exploite chacune.

**Solution de Problème 13.1.**

**1.** $f = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $k = 9.9 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $hf = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} =
1.96\,\mathrm{eV}$ ; $3.2 \times 10^{16}$ photons par seconde.

**2.** $I = 0.01/\pi(0.5 \times 10^{-3})^2 = 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $E_0 = 3.1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $B_0 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\vect e_x$, $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t
- kz)\vect e_y$.

**3.** $u = I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ par mètre de faisceau ; $30\,\mathrm{cm}$, soit $4.7 \times 10^5$ longueurs d’onde.

**4.** $\langle\Pi\rangle = I$ selon $z$, oscillant en $\cos^2$ à $2f$ ; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ sur une cible noire, $6.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ sur un miroir.

**5.** $E_0/5 \times 10^{11} = 6 \times 10^{-9}$ ; $B_0$ vaut le cinquième du champ terrestre.

**6.** $I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$.

**7.** $v_0 = eE_0/m\omega = 0.18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F_m/F_e = v_0B_0/E_0 = v_0/c = 6 \times
10^{-10}$ : la force magnétique sur des charges lentes est négligeable.

**8.** $\vect E = E_0[\cos(\omega t - kz)\vect e_x \pm \sin(\omega t - kz)\vect e_y]$ avec $E_0 = 2.2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ (même puissance), $\vect B = \vect e_z\wedge\vect E/c$ : l’intensité est inchangée mais $\Pi = \varepsilon_0cE_0^2$ est désormais *constant* dans le temps — le flux d’énergie ne bat plus.

**9.** $10\cos^230^\circ = 7.5\,\mathrm{mW}$ ; $0$ ; $7.5 \times \cos^445^\circ = 1.9\,\mathrm{mW}$.

**10.** Brillant : $\tfrac12$ ; sombre : $0$.

**11.** Après le premier polariseur, des composantes égales sur les axes ; après le retardateur, une phase $\delta$ entre elles ; la projection sur la direction croisée vaut $\propto(1 - \eu^{\iu\delta})/2$ : $I \propto \sin^2(\delta/2)$.

**12.** Noir ; moitié de l’intensité.

**13.** Une sortie circulaire paraît également brillante à travers des lunettes de soleil polarisantes, quel que soit l’angle de la tête.

**14.** $\tfrac12 \times 0.85 \times 0.85 \times \tfrac13 = 12\%$ ; le premier polariseur (moitié absorbée) et les filtres colorés (deux tiers).

**15.** Brillant $0.36$, sombre $\tfrac12 \times 10^{-3}$ : contraste $\approx 700$.

**16.** Une lumière circulaire, quelle que soit la rotation du filtre : la lame séparatrice sensible à la polarisation reçoit la même puissance quelle que soit l’orientation du filtre.

**17.** La [polarisation circulaire](#def-b2-plane-waves-polarization-states) garde son sens quand la tête s’incline ; des lunettes rectilignes inclinées de $20{}^{\circ}$ laissent fuir $\sin^220^\circ = 12\%$ vers le mauvais œil.

**18.** $F = 2IS/c = 9.1\,\mathrm{mN}$ ; $a = 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $3\%$ de la gravité solaire.

**19.** Puissance interceptée $\propto\cos\theta$, variation de quantité de mouvement réfléchie selon la normale $2p\cos\theta$ : $F = (2IS/c)\cos^2\theta$ selon la normale.

**20.** $F = 9.1 \times \cos^235^\circ = 6.1\,\mathrm{mN}$, part tangentielle $F\sin35^\circ
= 3.5\,\mathrm{mN}$ : $a_t = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ par an — $7\%$ de la vitesse orbitale.

**21.** $(1/0.39)^2 = 6.6$ ; la gravité varie de la même façon.

**22.** $0.1 \times 1360 = 2\sigma T^4$ : $T = 190\,\mathrm{K}$ — le miroir reste froid.

**23.** $1000/1.8 \times 10^{-4} = 5.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, deux mois ; une voile noire reçoit la moitié de la force.

**24.** $1.36 \times 10^6/3.2 \times 10^{-19} = 4.3 \times 10^{21}\,$ photons par seconde, chacun avec $hf/c = 1.1 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; réfléchis : $2Np = 9.1\,\mathrm{mN}$.

**25.** Énergie ($u$, $I$) : le piège à faisceau et la photodiode. Quantité de mouvement ($I/c$) : la voile. Polarisation (Malus, les lames) : l’écran et ses polariseurs.