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title: "Ondes électromagnétiques dans les plasmas, les conducteurs et les diélectriques"
book: "Physique universitaire — 2e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/14-ondes-electromagnetiques-dans-les-plasmas-les-conducteurs-et-les-dielectriques
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# Chapitre 14 — Ondes électromagnétiques dans les plasmas, les conducteurs et les diélectriques

Une émission en ondes courtes traverse un océan en rebondissant sur la haute atmosphère, qui la réfléchit comme un miroir — et pourtant la même couche laisse passer la télévision et les signaux des satellites. Une cuillère métallique est brillante, une grille métallique dans la porte d’un four à micro-ondes retient les ondes pendant que vous regardez vos aliments au travers, et une plaque de verre est transparente à la lumière mais opaque à l’ultraviolet. Dans chaque cas une onde entre dans un matériau, les charges du matériau répondent, et leur réponse modifie l’onde : sa vitesse, son [atténuation](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex), voire son existence même. Ce chapitre traite les trois modèles usuels de milieu — un gaz d’électrons libres, un conducteur ohmique et des électrons liés — par la seule méthode qui les traite tous : ajouter le courant induit aux [équations de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) et y lire la [relation de dispersion](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation).

## 14.1 Ondes dans un plasma

**Définition 14.1 (Plasma ; le modèle de l’électron libre).**

Un *plasma* est un gaz globalement neutre d’électrons libres (densité $n$, masse $m$, charge $-e$) et d’ions positifs qui, étant des milliers de fois plus lourds, sont supposés fixes. La haute atmosphère (ionosphère, $n \sim 10^{11}$ à $10^{12}$ m$^{-3}$), un tube à décharge, la couronne solaire et — aux fréquences optiques — les électrons de conduction d’un métal sont des plasmas. Les chocs sont négligés (la période de l’onde est courte devant le temps entre deux chocs). Sa fréquence caractéristique est la *fréquence plasma*

$$
\omega_p = \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0m}} , \qquad
f_p = \frac{\omega_p}{2\pi} \approx 9\,\text{Hz}\times\sqrt{n\,[\text{m}^{-3}]} :
$$

de $3\,\mathrm{MHz}$ à $9\,\mathrm{MHz}$ pour l’ionosphère, $2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ (ultraviolet) pour un métal.

**Théorème 14.2 (Relation de dispersion d’un plasma).**

Pour une OPPH transversale $\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ dans un [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma), les électrons oscillent selon $\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}/\iu m\omega$ et portent la [densité de courant](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/10-charges-courants-et-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) $\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E}$ avec $\underline\gamma = ne^2/\iu m\omega$ ; les [équations de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) donnent alors

$$
k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} .
$$

Au-dessus de $\omega_p$ l’onde se propage, avec $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2}
> c$ et $v_g = c\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} < c$, $v_\varphi v_g = c^2$ ; en dessous de $\omega_p$, $k = -\iu\kappa$ avec $\kappa = \sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}/c$ : l’onde est *évanescente*, pénètre sur $1/\kappa$ et est totalement réfléchie ([Chapitre 15](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/15-reflexion-et-transmission-aux-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)) ; le [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) est alors un miroir. Pour $\omega
\gg \omega_p$ les électrons ne peuvent plus suivre et le [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) est transparent.

**Démonstration.** Équation du mouvement $m\,\dd\vect v/\dd t = -e\vect E$ (la force magnétique $ev B \sim evE/c$ est négligeable pour $v \ll c$, et le mouvement des ions est $m/M$ fois plus petit) : $\iu m\omega\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}$. Puis $\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}$. Le [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) reste neutre pour une onde transversale ($\vect k\cdot\vect E = 0$ donne $\rho = 0$ par Gauss), de sorte que Maxwell–Ampère s’écrit $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect B} = \mu_0\underline\gamma\underline{\vect E}
+ \iu\omega\mu_0\varepsilon_0\underline{\vect E}$ et Maxwell–Faraday $\underline{\vect B} = \vect k
\wedge\underline{\vect E}/\omega$ ; en combinant, $k^2\underline{\vect E} = \mu_0(\iu\omega\underline\gamma -
\omega^2\varepsilon_0)(-1)\underline{\vect E}$, c’est-à-dire $k^2 = \omega^2\mu_0\varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0
\underline\gamma = (\omega^2 - ne^2/\varepsilon_0m)/c^2$. Les vitesses s’en déduisent comme au [Chapitre 8](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#ch-b2-dispersion-wave-packets). ∎

**Remarque 14.3 (Où passe l’énergie).**

La conductivité est imaginaire : $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$, les électrons prennent de l’énergie à l’onde pendant une demi-période et la lui rendent pendant la suivante — un milieu sans pertes, dans lequel l’énergie de l’onde se partage entre les champs et l’énergie cinétique des électrons, et se déplace à $v_g$. Les chocs ajoutent une petite partie réelle à $\underline\gamma$ et une faible absorption : la couche D de l’ionosphère absorbe les ondes moyennes le jour, d’où les stations AM lointaines que l’on capte la nuit.

**Exemple 14.4 (L’ionosphère et la radio).**

Avec $n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ dans la couche F, $f_p = 9\,\mathrm{MHz}$ : les émissions en ondes courtes situées en dessous sont réfléchies (et peuvent faire des bonds autour de la Terre entre l’ionosphère et le sol), la FM ($100\,\mathrm{MHz}$), la télévision et les liaisons satellites passent. Une onde à $3\,\mathrm{MHz}$ ne pénètre que de $1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 6\,\mathrm{m}$ dans la couche avant de faire demi-tour. Un engin qui rentre dans l’atmosphère est enveloppé d’un [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) de $n \sim 10^{18}$ m$^{-3}$, $f_p \sim 10\,\mathrm{GHz}$ : le contact radio est perdu pendant plusieurs minutes.

![À gauche : la relation de dispersion d’un plasma — aucune propagation en dessous de _p, une hyperbole qui s’approche de la droite de lumière au-dessus. À droite : les ondes courtes situées sous la fréquence plasma sont réfléchies par l’ionosphère et rebondissent autour de la Terre ; les fréquences plus hautes s’échappent vers l’espace.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/fig-4750557d3042.svg)

![À gauche : la relation de dispersion d’un plasma — aucune propagation en dessous de _p, une hyperbole qui s’approche de la droite de lumière au-dessus. À droite : les ondes courtes situées sous la fréquence plasma sont réfléchies par l’ionosphère et rebondissent autour de la Terre ; les fréquences plus hautes s’échappent vers l’espace.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/fig-96b7e6c5ab89.svg)

*À gauche : la [relation de dispersion](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) d’un [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) — aucune propagation en dessous de $\omega_p$, une hyperbole qui s’approche de la droite de lumière au-dessus. À droite : les ondes courtes situées sous la [fréquence plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) sont réfléchies par l’ionosphère et rebondissent autour de la Terre ; les fréquences plus hautes s’échappent vers l’espace.*

## 14.2 Ondes dans un conducteur ohmique : l’effet de peau

**Théorème 14.5 (Effet de peau).**

Dans un conducteur ohmique ($\vect j = \gamma\vect E$, $\gamma$ réel, aux fréquences telles que $\omega\tau \ll 1$ et $\varepsilon_0\omega \ll \gamma$, c’est-à-dire en dessous de $\sim1 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ pour le cuivre) le [courant de déplacement](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) est négligeable et les champs obéissent à l’équation de diffusion $\Delta\vect E = \mu_0\gamma\,\partial_t\vect E$. Une OPPH qui entre dans le conducteur en $x = 0$ a

$$
\underline k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega , \qquad \underline k = \frac{1 - \iu}\delta , \qquad
\delta = \sqrt{\frac2{\mu_0\gamma\omega}} ,
$$

de sorte que $\underline E = E_0\,\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}$ : elle est amortie sur l’*[épaisseur de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex)* $\delta$, avec une phase qui tourne aussi d’un radian par $\delta$ — une longueur d’onde $2\pi\delta$, une [vitesse de phase](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\omega\delta \ll
c$. Le courant $\vect j = \gamma\vect E$ est confiné dans une couche d’épaisseur $\delta$ sous la surface, et $\vect B$ est en retard de $45{}^{\circ}$ sur $\vect E$ avec $|B| = |E|\sqrt2/\omega\delta$. Pour le cuivre, $\delta = 9.2\,\mathrm{mm}$ à $50\,\mathrm{Hz}$, $0.21\,\mathrm{mm}$ à $100\,\mathrm{kHz}$, $2.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ à $1\,\mathrm{GHz}$.

**Démonstration.** $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = \mu_0\gamma\vect E$ (déplacement abandonné) et $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$ : en prenant le rotationnel de la seconde, $-\Delta\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect E$ (le conducteur est neutre, $\operatorname{div}
\vect E = 0$). Pour $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega$, et $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ donne $\underline k = (1 - \iu)/\delta$ (la racine qui décroît vers l’intérieur du conducteur). Faraday : $\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu)
\underline E/\omega\delta$, de module $\sqrt2E/\omega\delta$ et de phase $-\pi/4$. ∎

![À gauche : le champ à l’intérieur d’un conducteur — une oscillation amortie, éteinte en quelques épaisseurs de peau. À droite : l’épaisseur de peau du cuivre et de l’eau de mer en fonction de la fréquence : des millimètres à la fréquence du secteur, des micromètres au gigahertz ; la mer ne laisse entrer que les ondes radio les plus longues.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/fig-6828fb2798a7.svg)

![À gauche : le champ à l’intérieur d’un conducteur — une oscillation amortie, éteinte en quelques épaisseurs de peau. À droite : l’épaisseur de peau du cuivre et de l’eau de mer en fonction de la fréquence : des millimètres à la fréquence du secteur, des micromètres au gigahertz ; la mer ne laisse entrer que les ondes radio les plus longues.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/fig-93785a38bcda.svg)

*À gauche : le champ à l’intérieur d’un conducteur — une oscillation amortie, éteinte en quelques [épaisseurs de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex). À droite : l’[épaisseur de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) du cuivre et de l’eau de mer en fonction de la fréquence : des millimètres à la fréquence du secteur, des micromètres au gigahertz ; la mer ne laisse entrer que les ondes radio les plus longues.*

**Exemple 14.6 (Conséquences de l’effet de peau).**

(i) Un fil de rayon $a \gg \delta$ transporte son courant dans une couronne d’épaisseur $\delta$ : sa résistance passe de $1/\gamma\pi a^2$ à environ $1/\gamma
2\pi a\delta$ par mètre — pour un fil de cuivre de $1\,\mathrm{mm}$, quatre fois la valeur en continu à $1\,\mathrm{MHz}$, cent fois à $1\,\mathrm{GHz}$. Les bobines haute fréquence utilisent du fil « de Litz » (de nombreux brins isolés) ou des tubes argentés ; les conducteurs du réseau électrique sont câblés avec une gaine d’aluminium. (ii) Une boîte métallique atténue une onde de $\eu^{-d/\delta}$ par épaisseur $d$ : une enceinte d’aluminium de $1\,\mathrm{mm}$ bloque $1\,\mathrm{MHz}$ de $100\,\mathrm{dB}$ mais $50\,\mathrm{Hz}$ presque pas — les champs magnétiques de basse fréquence exigent du fer. (iii) Les sous-marins ne reçoivent que la radio à très grandes ondes ($\delta = 2.3\,\mathrm{m}$ à $10\,\mathrm{kHz}$ dans l’eau de mer) ; les mines se détectent par les courants de Foucault qu’une bobine y induit ([Chapitre 11](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations), le temps de diffusion $\mu_0\gamma d^2$).

## 14.3 Ondes dans un diélectrique : l’électron lié

**Proposition 14.7 (Électron élastiquement lié ; indice complexe).**

Dans un isolant chaque électron est lié à son atome : un déplacement $\vect r$ hors de l’équilibre appelle la force de rappel $-m\omega_0^2\vect r$ et un amortissement $-m\Gamma\,\dd\vect r/\dd t$ (l’énergie rayonnée ou cédée au réseau). Excité par l’onde, $m\ddot{\vect r} = -m\omega_0^2\vect r - m\Gamma\dot{\vect r}
- e\vect E$ ; les électrons déplacés donnent au milieu la *polarisation* (moment dipolaire par unité de volume) $\vect P = -ne\vect r = \varepsilon_0\underline\chi(\omega)
\underline{\vect E}$ avec la *susceptibilité*

$$
\underline\chi(\omega) = \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega} ,
\qquad \omega_p^2 = \frac{ne^2}{\varepsilon_0m} ,
$$

et le courant lié $\vect j = \partial_t\vect P$. Les [équations de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) donnent alors

$$
\underline k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}\,(1 + \underline\chi) = \frac{\omega^2}{c^2}\,\underline n^2 ,
\qquad \underline n = n' - \iu n'' ,
$$

où $n'$ est l’indice de réfraction ([vitesse de phase](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $c/n'$) et $n''$ l’extinction (l’intensité décroît en $\eu^{-2n''\omega x/c}$). Très en dessous d’une résonance ($\omega \ll \omega_0$, $\Gamma$ négligeable), $n'^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 +
\omega_p^2\omega^2/\omega_0^4$ : l’indice *croît* avec la fréquence — c’est la dispersion normale, loi de Cauchy $n \approx A + B/\lambda^2$ — et l’absorption est négligeable ; près de $\omega_0$ le milieu absorbe, et juste au-dessus $n'$ décroît avec $\omega$ (dispersion anomale).

**Démonstration.** Amplitudes complexes : $(\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega)\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E}
/m$ ; $\underline{\vect P} = -ne\underline{\vect r}$. Puis, comme pour le [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma), $k^2 = \omega^2\mu_0
\varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma$ avec $\underline{\vect j} = \iu\omega\underline{\vect P} = \iu\omega\varepsilon_0
\underline\chi\underline{\vect E}$, c’est-à-dire $\underline\gamma = \iu\omega\varepsilon_0\underline\chi$ : $k^2 = (\omega^2/c^2)
(1 + \underline\chi)$. (Le [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) est le cas $\omega_0 = 0$, $\Gamma = 0$.) Développement : $1/(\omega_0^2 - \omega^2) \approx (1 + \omega^2/\omega_0^2)/\omega_0^2$. ∎

![Le modèle de l’électron lié (Lorentz) : la partie réelle de l’indice croît avec la fréquence en dessous de la résonance (dispersion normale : le violet est plus lent que le rouge dans le verre), la partie imaginaire est maximale à la résonance (absorption), et l’indice décroît à la traversée de la résonance (dispersion anomale).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/fig-5593e29fc90a.svg)

*Le modèle de l’électron lié (Lorentz) : la partie réelle de l’indice croît avec la fréquence en dessous de la résonance (dispersion normale : le violet est plus lent que le rouge dans le verre), la partie imaginaire est maximale à la résonance (absorption), et l’indice décroît à la traversée de la résonance (dispersion anomale).*

**Exemple 14.8 (Verre, eau, air).**

Le verre a ses résonances électroniques dans l’ultraviolet ($\omega_0 \sim 10^{16}$ rad/s) : dans le visible il est transparent et dispersif, $n = 1.51$ à $700\,\mathrm{nm}$, $1.53$ à $400\,\mathrm{nm}$, assez pour qu’un prisme étale un arc-en-ciel et pour que les impulsions d’une fibre s’étalent ([Chapitre 8](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#ch-b2-dispersion-wave-packets)) ; dans l’ultraviolet il absorbe — on ne bronze pas derrière une vitre. L’eau possède en outre une résonance de rotation de ses molécules polaires vers $20\,\mathrm{GHz}$ (une relaxation de Debye plutôt qu’une raie fine) : elle absorbe fortement les micro-ondes, ce qui chauffe les aliments et aveugle les radars sous la pluie, et elle a $n'' \approx 0$ dans une étroite fenêtre visible — la fenêtre par laquelle les yeux ont évolué. L’air, avec $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$, courbe encore le Soleil couchant d’un demi-degré.

**Remarque 14.9 (Une équation, trois milieux).**

Tout milieu linéaire entre dans les [équations de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) par son courant induit $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$, et la [relation de dispersion](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) est toujours $\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma(\omega)$ :

| milieu | $\underline\gamma(\omega)$ | $\underline k^2$ |
| --- | --- | --- |
| [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) | $ne^2/\iu m\omega$ (imaginaire) | $(\omega^2 - \omega_p^2)/c^2$ : coupure |
| conducteur ohmique | $\gamma$ (réel) | $-\iu\mu_0\gamma\omega$ : [effet de peau](#thm-b2-waves-in-media-skin) |
| diélectrique | $\iu\omega\varepsilon_0\underline\chi(\omega)$ | $(\omega^2/c^2)(1 + \underline\chi)$ : indice |

Un métal est tour à tour les trois : ohmique en dessous de $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$, [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) (réfléchissant) dans le visible, transparent dans l’ultraviolet lointain.

**Méthode 14.10 (Les ondes dans un milieu).**

(1) Écrire l’équation du mouvement des charges et en tirer $\underline{\vect j} =
\underline\gamma\underline{\vect E}$. (2) Reporter dans Maxwell–Ampère avec l’hypothèse OPPH : $\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma$. (3) Prendre la racine telle que $\operatorname{Im}k \le 0$ (décroissance dans le sens de propagation), séparer en parties réelle (propagation, $v_\varphi = \omega/k'$) et imaginaire ([atténuation](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex)). (4) Repérer les régimes en fréquence — propagatif, évanescent, absorbant — et la fréquence caractéristique ($\omega_p$, $1/\mu_0\gamma\delta^2$, $\omega_0$). (5) Trouver $\vect B$ par Faraday et, s’il le faut, le flux de Poynting et la puissance dissipée.

## 14.4 Exercices

**Exercice 14.1 ★.**

[Fréquences plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) pour $n = 1 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ (ionosphère de nuit), $1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ (de jour), $1 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-3}$ (gaine de rentrée), $8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ (cuivre), $1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-3}$ (espace interstellaire). Pour chacune, laquelle des ondes suivantes passe : une station AM à $1\,\mathrm{MHz}$, une station FM à $100\,\mathrm{MHz}$, un signal GPS à $1.5\,\mathrm{GHz}$, la lumière visible ?

**Solution de Exercice 14.1.**

$f_p \approx 9\sqrt n$ Hz : $2.8\,\mathrm{MHz}$, $9\,\mathrm{MHz}$, $9\,\mathrm{GHz}$, $2.6 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ ($\lambda_p = 115\,\mathrm{nm}$), $2.8\,\mathrm{kHz}$. L’AM à $1\,\mathrm{MHz}$ : seulement à travers l’espace interstellaire. La FM : à travers l’ionosphère, pas la gaine. Le GPS : tout sauf la gaine. La lumière : tout sauf le cuivre.

**Exercice 14.2 ★.**

[Épaisseur de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) du cuivre ($\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) à $50\,\mathrm{Hz}$, $1\,\mathrm{kHz}$, $1\,\mathrm{MHz}$, $1\,\mathrm{GHz}$ ; de l’aluminium ($3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) à $1\,\mathrm{MHz}$ ; de l’eau de mer ($5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) à $10\,\mathrm{kHz}$ et $1\,\mathrm{GHz}$ ; d’un sol humide ($1 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) à $1\,\mathrm{MHz}$. Quelles fréquences radio atteignent un sous-marin à $10\,\mathrm{m}$ ?

**Solution de Exercice 14.2.**

Cuivre : $9.2\,\mathrm{mm}$, $2.1\,\mathrm{mm}$, $65\,\text{µ}\mathrm{m}$, $2.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; aluminium à $1\,\mathrm{MHz}$ : $84\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; eau de mer : $2.3\,\mathrm{m}$ à $10\,\mathrm{kHz}$, $7\,\mathrm{mm}$ à $1\,\mathrm{GHz}$ ; sol : $5\,\mathrm{m}$ à $1\,\mathrm{MHz}$. Un sous-marin à $10\,\mathrm{m}$ demande $\delta
\gtrsim 10\,\mathrm{m}$ : en dessous de $500\,\mathrm{Hz}$ environ.

**Exercice 14.3 ★.**

Un verre suit $n = 1.50 + 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2$. Indice à $400\,\mathrm{nm}$, $550\,\mathrm{nm}$, $700\,\mathrm{nm}$ ; [vitesses de phase](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) ; indice de groupe $n_g = n -
\lambda\,\dd n/\dd\lambda$ à $550\,\mathrm{nm}$ ; étalement angulaire d’un faisceau blanc réfracté sous incidence $45{}^{\circ}$ dans le verre.

**Solution de Exercice 14.3.**

$n = 1.528$, $1.515$, $1.509$ ; $v = 1.963$, $1.980$, $1.987 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $n_g = n +
2B/\lambda^2 = 1.545$. Angles de réfraction $\arcsin(0.707/n)$ : $27.57{}^{\circ}$ et $27.93{}^{\circ}$ : un écart de $0.36{}^{\circ}$.

**Exercice 14.4 ★.**

Une onde à $5\,\mathrm{MHz}$ rencontre une couche de $n = 2 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ : est-elle réfléchie ? Profondeur de pénétration ; idem à $2\,\mathrm{MHz}$ ; fréquence minimale qui traverse une couche de $n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$. Pourquoi les bandes en ondes courtes « s’ouvrent » et « se ferment » avec l’heure et le cycle solaire ?

**Solution de Exercice 14.4.**

$f_p = 4.0\,\mathrm{MHz}$ : $5\,\mathrm{MHz}$ passe ; $2\,\mathrm{MHz}$ est réfléchie, pénétrant de $c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 14\,\mathrm{m}$. Pour $n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $11\,\mathrm{MHz}$. La densité suit le flux ionisant du Soleil — l’heure, la saison et le cycle de onze ans — de sorte que la fréquence maximale utilisable les suit.

**Exercice 14.5 ★★.**

*[Résistance en alternatif](#ex-b2-waves-in-media-skinuses).* Un fil de cuivre de rayon $a = 1.0\,\mathrm{mm}$. (a) Résistance par mètre en continu. (b) À $1\,\mathrm{MHz}$ : $\delta$ ; résistance approchée par mètre avec le courant confiné dans une couronne d’épaisseur $\delta$ ; rapport au continu. (c) À $100\,\mathrm{MHz}$. (d) Pourquoi une bobine de $N$ spires de ce fil a-t-elle un facteur de qualité qui cesse de s’améliorer avec $N$ à haute fréquence, et qu’est-ce que le fil de Litz ?

**Solution de Exercice 14.5.**

(a) $1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$. (b) $\delta = 65\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $R \approx 1/\gamma2\pi a\delta
= 41\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$, soit $7.7$ fois le continu. (c) $\delta = 6.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, $0.41\,\Omega/\mathrm{m}$, $77$ fois. (d) $R \propto \sqrt f$ croît aussi vite que $L\omega$ dès que la peau domine, et chaque spire ajoute de la résistance ; le fil de Litz assemble de nombreux brins isolés plus fins que $\delta$, de sorte que tout le cuivre conduit.

**Exercice 14.6 ★★.**

*Blindage.* Une boîte d’aluminium ($\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) de $1.0\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur. [Atténuation](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) de l’amplitude du champ à la traversée de la paroi, en dB, à $50\,\mathrm{Hz}$, $10\,\mathrm{kHz}$, $1\,\mathrm{MHz}$ (le facteur $\eu^{-d/\delta}$, réflexions aux surfaces négligées). Pourquoi blinde-t-on le champ magnétique du secteur avec du fer (haute perméabilité) plutôt qu’avec du cuivre ?

**Solution de Exercice 14.6.**

$\delta_{\text{Al}} = 11.9$, $0.84$, $0.084\,\mathrm{mm}$ : $d/\delta = 0.08$, $1.2$, $12$ : $0.7$, $10$, $103\,\mathrm{dB}$. À $50\,\mathrm{Hz}$ le conducteur est transparent ; le fer de grand $\mu_r$ détourne le flux (blindage magnétique) et réduit aussi $\delta$ d’un facteur $\sqrt{\mu_r}$.

**Exercice 14.7 ★★.**

*Énergie dans un [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma).* Pour l’onde transversale du [Théorème 14.2](#thm-b2-waves-in-media-plasmadispersion) : (a) amplitude de la vitesse des électrons et densité d’énergie cinétique $\tfrac12nm\langle v^2\rangle$. (b) Densités d’énergie électrique et magnétique moyennes. (c) Montrer que la densité d’énergie totale vaut $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2(1 + \dots)$ — calculer la parenthèse — et que $\langle\Pi\rangle$ divisé par elle vaut $v_g$. (d) Quelle fraction de l’énergie est dans les électrons pour $\omega = 2\omega_p$ ?

**Solution de Exercice 14.7.**

(a) $v_0 = eE_0/m\omega$ ; $\tfrac12nm\langle v^2\rangle = ne^2E_0^2/4m\omega^2 = \tfrac14\varepsilon_0
E_0^2\,\omega_p^2/\omega^2$. (b) $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2$ et $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2(1 - \omega_p^2/
\omega^2)$. (c) La somme vaut $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ (la parenthèse vaut $1$) ; $\langle\Pi
\rangle = E_0^2k/2\mu_0\omega$, et le rapport vaut $c^2k/\omega = v_g$. (d) $\tfrac14\cdot\tfrac14
/\tfrac12 = 1/8$.

**Exercice 14.8 ★★.**

*Dispersion d’un pulsar.* Les impulsions radio d’un pulsar traversent une distance $L$ de [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) interstellaire ($n \ll$ tout le reste, $\omega \gg \omega_p$). (a) Montrer que le retard de groupe vaut $t \approx (L/c)(1 + \omega_p^2/2\omega^2)$. (b) Le retard entre les arrivées à $f_1$ et $f_2$ vaut $\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2
\varepsilon_0mc}\,nL\Bigl(\dfrac1{f_1^2} - \dfrac1{f_2^2}\Bigr)$ : calculer la constante. (c) Un pulsar à $L = 1\,\mathrm{kpc} = 3.1 \times 10^{19}\,\mathrm{m}$ à travers $n = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-3}$ : retard entre $400\,\mathrm{MHz}$ et $1.4\,\mathrm{GHz}$. (d) Les astronomes mesurent $\Delta t$ et connaissent $n$ : qu’obtiennent-ils ? (La mesure de dispersion, la jauge de distance standard des pulsars.)

**Solution de Exercice 14.8.**

(a) $1/v_g = (1/c)(1 - \omega_p^2/\omega^2)^{-1/2} \approx (1 + \omega_p^2/2\omega^2)/c$. (b) $\Delta t
= (L\omega_p^2/2c)(1/\omega_1^2 - 1/\omega_2^2)$ avec $\omega_p^2 = ne^2/\varepsilon_0m$ et $\omega =
2\pi f$ : constante $e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc = 1.34 \times 10^{-7}\,$ (SI). (c) $nL = 9.3 \times 10^{23}\,\mathrm{m}^{-2}$, $(1/f_1^2 - 1/f_2^2) = 5.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta t = 0.72\,\mathrm{s}$. (d) La colonne $nL$ (la mesure de dispersion), donc la distance pour un modèle de $n$.

**Exercice 14.9 ★★.**

*Une raie spectrale.* Dans un gaz dilué ($\underline n \approx 1 + \underline\chi/2$) le [modèle de Lorentz](#prop-b2-waves-in-media-lorentz) donne $n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi$. (a) Montrer qu’au voisinage de $\omega_0$, $n'' \approx \dfrac{\omega_p^2}{4\omega_0}\,\dfrac{\Gamma/2}{(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4}$, une lorentzienne de largeur totale $\Gamma$. (b) Coefficient d’absorption $\alpha = 2n''\omega/c$ au centre. (c) Vapeur de sodium, $n = 1 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\lambda_0 = 589\,\mathrm{nm}$, $\Gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $\alpha$ au centre et épaisseur qui absorbe $90\%$ (négliger l’élargissement Doppler, qui en réalité élargit la raie d’un facteur cent). (d) Tracer $n' - 1$ en travers de la raie ; où la dispersion est-elle anomale ?

**Solution de Exercice 14.9.**

(a) $\operatorname{Im}\underline\chi = \omega_p^2\Gamma\omega/[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2\omega^2]$ avec $\omega_0^2 - \omega^2 \approx 2\omega_0(\omega_0 - \omega)$ : $n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi$ est la lorentzienne annoncée. (b) $n''(\omega_0) = \omega_p^2/2\omega_0\Gamma$, $\alpha = 2n''\omega_0/c =
\omega_p^2/\Gamma c$. (c) $\omega_p^2 = 3.2 \times 10^{20}\,\mathrm{s}^{-2}$ : $\alpha = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\ln10/\alpha = 0.13\,\mathrm{mm}$. (d) $n' - 1 \propto (\omega_0 - \omega)/[(\omega_0 - \omega)^2 +
\Gamma^2/4]$ : positif en dessous, négatif au-dessus, décroissant à moins de $\pm\Gamma/2$ de la raie — anomale en ce domaine.

**Exercice 14.10 ★★★.**

*Échauffement Joule dans la peau.* Une onde $E_0\eu^{\iu\omega t}$ (selon $y$) entre dans un conducteur qui occupe $x > 0$. (a) Écrire $\underline E(x, t)$ et en déduire $\underline B(x, t)$ (selon $z$) par Faraday. (b) [Vecteur de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/12-energie-electromagnetique-et-vecteur-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) moyen à la surface : montrer que $\langle\Pi_x(0)\rangle = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$. (c) Puissance Joule moyenne par unité d’aire, $\int_0^\infty\tfrac12\gamma|\underline E|^2\dd x$ : montrer qu’elle vaut (b). (d) Exprimer le résultat sous la forme $\tfrac12R_sH_0^2$ avec $H_0 = B_0/\mu_0$ le champ magnétique de surface et $R_s = 1/\gamma\delta$ la *résistance de surface* ; valeur pour le cuivre à $1\,\mathrm{GHz}$, et perte d’une cavité hyperfréquence dont les parois portent $H_0 = 100\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$.

**Solution de Exercice 14.10.**

(a) $\underline E = E_0\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}$, $\underline B = \underline k\underline E/\omega
= (1 - \iu)\underline E/\omega\delta$. (b) $\langle\Pi_x\rangle = \tfrac12\operatorname{Re}(\underline E
\underline B^*)/\mu_0 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ en $x = 0$. (c) $\int_0^\infty\tfrac12\gamma E_0^2
\eu^{-2x/\delta}\dd x = \gamma E_0^2\delta/4 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ en utilisant $\gamma = 2/\mu_0\omega\delta^2$. (d) $H_0 = \sqrt2E_0/\mu_0\omega\delta$, donc $\tfrac12R_sH_0^2 = E_0^2/\gamma\mu_0^2\omega^2\delta^3 =
E_0^2/2\mu_0\omega\delta$. Cuivre à $1\,\mathrm{GHz}$ : $R_s = 1/\gamma\delta = 8\,\mathrm{m}\Omega$ ; $\tfrac12 \times 8 \times 10^{-3} \times 10^4 = 40\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**Exercice 14.11 ★★★.**

*Pourquoi les métaux brillent.* Traiter les électrons de conduction de l’argent ($n =
5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$) comme un [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) sans chocs aux fréquences optiques. (a) $\omega_p$ et la longueur d’onde correspondante. (b) À $500\,\mathrm{nm}$ : $k$ est imaginaire — profondeur de pénétration ; l’onde est totalement réfléchie (aucune absorption dans ce modèle) : l’argent est un miroir. (c) Et à $200\,\mathrm{nm}$ ? D’où la « transparence ultraviolette » des métaux alcalins. (d) L’argent réel réfléchit $95\%$, l’or paraît jaune : qu’oublie le modèle (penser aux chocs, et aux électrons liés dont les résonances tombent dans le visible pour l’or) ?

**Solution de Exercice 14.11.**

(a) $\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\lambda_p = 2\pi c/\omega_p = 140\,\mathrm{nm}$. (b) $\omega = 3.8 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}
< \omega_p$ : $1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 23\,\mathrm{nm}$, réflexion totale. (c) Encore en dessous de $\omega_p$ : réfléchissant ; la transparence n’apparaît qu’au-delà de $140\,\mathrm{nm}$ (dans le sodium, $210\,\mathrm{nm}$). (d) Les chocs donnent une partie réelle à $\underline\gamma$ et quelques pour cent d’absorption ; les résonances d’électrons liés dans le visible (or, cuivre) absorbent le bleu et colorent le métal.

**Exercice 14.12 ★★★.**

*L’eau dans le four à micro-ondes.* L’orientation des molécules polaires de l’eau donne une susceptibilité $\underline\chi = \chi_s/(1 + \iu\omega\tau)$ (relaxation de Debye), $\chi_s \approx 80$, $\tau = 8\,\mathrm{ps}$, s’ajoutant à une constante $\chi_\infty \approx 4$. (a) Parties réelle et imaginaire de $\underline\varepsilon_r = 1 + \chi_\infty
+ \underline\chi$ à $2.45\,\mathrm{GHz}$ et à $20\,\mathrm{GHz}$. (b) [Indice complexe](#prop-b2-waves-in-media-lorentz) et longueur d’absorption $1/(2n''\omega/c)$ de l’intensité à $2.45\,\mathrm{GHz}$ : sur quelle profondeur un four cuit-il ? (c) Puissance absorbée par unité de volume pour une amplitude de champ $E_0$ dans l’eau : $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2$ ; valeur pour $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$. (d) Pourquoi utilise-t-on $2.45\,\mathrm{GHz}$ plutôt que les $20\,\mathrm{GHz}$ d’absorption maximale ?

**Solution de Exercice 14.12.**

(a) $\omega\tau = 0.12$ : $\underline\varepsilon_r = 84 - 9.7\iu$ ; à $20\,\mathrm{GHz}$, $\omega\tau = 1$ : $45 - 40\iu$. (b) $\underline n \approx 9.2 - 0.53\iu$ ; $c/2n''\omega = 1.8\,\mathrm{cm}$ : le four cuit les deux centimètres extérieurs, la conduction fait le reste. (c) $\tfrac12 \times
1.54 \times 10^{10} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 9.7 \times 4 \times 10^6 = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$. (d) À $20\,\mathrm{GHz}$ la longueur d’absorption serait d’un millimètre : seule la peau cuirait ; $2.45\,\mathrm{GHz}$ pénètre, et c’est une bande libre.

![Une station d’émission en ondes courtes au crépuscule : ses ondes, de quelques mégahertz sous la fréquence plasma de l’ionosphère, vont être renvoyées au sol mille kilomètres plus loin.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/img-460d76a3f215.jpg)

*Une station d’émission en ondes courtes au crépuscule : ses ondes, de quelques mégahertz sous la [fréquence plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) de l’ionosphère, vont être renvoyées au sol mille kilomètres plus loin.*

![L’aurore australe photographiée depuis la Station spatiale internationale : des particules venues du Soleil, guidées par le champ magnétique terrestre, excitent le plasma de la haute atmosphère — l’ionosphère dont la fréquence plasma réfléchit les ondes radio (NASA).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-in-media/img-cef765dafbe1.jpg)

*L’aurore australe photographiée depuis la Station spatiale internationale : des particules venues du Soleil, guidées par le champ magnétique terrestre, excitent le [plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) de la haute atmosphère — l’ionosphère dont la [fréquence plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) réfléchit les ondes radio (NASA).*

## 14.5 Problème : l’ionosphère, la porte du four et le prisme

**Problème 14.1.**

Problème du week-end — trois matériaux vus par une onde : le plasma qui courbe les signaux GPS, le métal qui retient les micro-ondes, et le verre qui étale la lumière blanche

**Partie I — L’ionosphère et le GPS.** Densité électronique dans la couche F $n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; la colonne totale d’électrons sur un trajet vertical vaut $N_T = \int n\,\dd z = 2 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-2}$ de jour. GPS : $f_1 = 1575\,\mathrm{MHz}$, $f_2 = 1228\,\mathrm{MHz}$.

1. [Fréquence plasma](#def-b2-waves-in-media-plasma) de la couche F ; le GPS passe-t-il ? Et une onde courte à $5\,\mathrm{MHz}$ ?
2. Montrer que pour $\omega \gg \omega_p$ la [vitesse de groupe](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) vaut $v_g \approx c(1 -  \omega_p^2/2\omega^2)$ et la [vitesse de phase](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $c(1 + \omega_p^2/2\omega^2)$ .
3. Retard de groupe supplémentaire du signal GPS à la traversée de la couche : montrer que $\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2\varepsilon_0mc}\,\dfrac{N_T}{f^2}$ et le calculer pour $f_1$ ; erreur de distance $c\,\Delta t$ .
4. Le récepteur utilise les deux fréquences : des deux retards il élimine l’erreur. Exprimer $N_T$ en fonction de $\Delta t_1 - \Delta t_2$ ; quelle précision sur l’écart des retards donne $N_T$ à $1\%$ près ?
5. Combien de périodes de porteuse supplémentaires le retard de la question 3 représente-t-il à $f_1$ ?
6. La phase de la porteuse est *avancée* de la même quantité que le groupe est retardé : pourquoi (signes des deux corrections) ? Laquelle importe pour un récepteur qui compte les périodes de la porteuse ?
7. La nuit $N_T$ est dix fois plus faible : erreur pour un récepteur monofréquence de jour et de nuit.
8. Une éruption solaire porte $n$ dans la couche D ( $80\,\mathrm{km}$ ) à $1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$ avec de nombreux chocs : quels services radio sont touchés, et pourquoi le GPS ne se dégrade-t-il que légèrement ?

**Partie II — La porte du four.** Les parois de la cavité et la grille de la porte sont en acier ($\gamma = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) ; les trous de la grille font $1.0\,\mathrm{mm}$ de large dans une tôle de $0.5\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur ; $f = 2.45\,\mathrm{GHz}$, $P = 800\,\mathrm{W}$.

9. [Épaisseur de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) dans l’acier à $2.45\,\mathrm{GHz}$ ; la paroi est-elle « épaisse » ?
10. Résistance de surface $R_s = 1/\gamma\delta$ ; avec un champ magnétique de surface d’amplitude $H_0 = 30\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ sur les parois ( $1\,\mathrm{m}^{2}$ ), puissance perdue dans les parois, $\tfrac12R_sH_0^2$ par unité d’aire ; fraction de $P$ .
11. Dans un trou de largeur $a \ll \lambda$ le champ ne peut pas se propager (le trou est un guide d’ondes sous la coupure, [Chapitre 16](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/16-ondes-guidees-et-cavites#ch-b2-guided-waves) ) : il décroît en $\eu^{-\pi z/a}$ sur l’épaisseur $z$ . [Atténuation](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) de l’amplitude à travers la tôle de $0.5\,\mathrm{mm}$ , en dB.
12. Pourquoi voit-on à travers la grille (longueur d’onde de la lumière comparée à la taille des trous) alors que les micro-ondes ne peuvent pas sortir ?
13. La vitre est un diélectrique de $\underline\varepsilon_r = 4 - 0.02\iu$ : indice, et longueur d’ [atténuation](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) de l’intensité dans le verre ; le verre chauffe-t-il ?
14. Une fourchette métallique dans le four : le champ à ses pointes est renforcé ; avec l’ [épaisseur de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) de la question 8, estimer la [densité de courant](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/10-charges-courants-et-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) à la surface pour $H_0 = 300\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ (utiliser $j \approx H_0/\delta$ en surface) et l’échauffement local $j^2/\gamma$ — pourquoi des étincelles ?

**Partie III — Le fil à haute fréquence.** Un fil de cuivre de rayon $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ ($\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) dans une bobine de chauffage par induction à $13.56\,\mathrm{MHz}$ transporte $20\,\mathrm{A}$ efficaces.

15. [Épaisseur de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) ; section conductrice effective ; [résistance en alternatif](#ex-b2-waves-in-media-skinuses) par mètre comparée au continu.
16. Puissance dissipée par mètre de fil de bobine ; température que le fil atteindrait avec un refroidissement par convection $h = 20\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ .
17. La bobine induit des courants dans une pièce d’acier ( $\gamma =  1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $\mu_r \approx 1$ à chaud) : [épaisseur de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) en ce point ; pourquoi le chauffage par induction ne chauffe-t-il qu’une couche superficielle, et comment cela sert-il à durcir les engrenages ?
18. Pour réduire les pertes de la bobine on remplace le fil par un tube de cuivre de $3\,\mathrm{mm}$ avec de l’eau à l’intérieur : nouvelle résistance par mètre ; l’intérieur du tube transporte-t-il du courant ?
19. À quelle fréquence l’ [épaisseur de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) dans le cuivre égalerait-elle le rayon du fil ? En dessous, quelle approximation remplace la formule du « fil épais » ?

**Partie IV — Le prisme.** Un verre suit $n(\lambda) = 1.500 + 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2$, sa résonance étant en $\lambda_0 = 100\,\mathrm{nm}$.

20. Vérifier que la forme de Cauchy découle du [modèle de Lorentz](#prop-b2-waves-in-media-lorentz) très en dessous de la résonance, et que $\omega_p^2/\omega_0^2 = n^2(\infty) - 1$ : valeur de $\omega_p^2/\omega_0^2$ et du $n$ effectif de ce verre.
21. Indice et [vitesse de phase](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) à $400\,\mathrm{nm}$ et $700\,\mathrm{nm}$ ; indice de groupe à $550\,\mathrm{nm}$ ; retard entre les deux couleurs sur $1\,\mathrm{km}$ d’un tel verre dans une fibre.
22. Un prisme de $60{}^{\circ}$ au minimum de déviation pour $550\,\mathrm{nm}$ : déviation (utiliser $n\sin(A/2) = \sin((A + D)/2)$ ) ; écart angulaire entre $400\,\mathrm{nm}$ et $700\,\mathrm{nm}$ (par différentiation) ; sur un écran à $2\,\mathrm{m}$ , largeur du spectre.
23. Pourquoi le verre est-il opaque à $200\,\mathrm{nm}$ , et quelle est sa couleur si une trace de fer ajoute une faible résonance à $700\,\mathrm{nm}$ ?
24. Dans l’image de Lorentz, pourquoi le bleu est-il plus dévié que le rouge par le prisme ?
25. Donner en un tableau, pour la couche F, l’acier, le cuivre et le verre à leurs fréquences de travail, la nature de $\underline\gamma$ et le sort de l’onde.

**Solution de Problème 14.1.**

**1.** $f_p = 9\,\mathrm{MHz}$ : le GPS passe, l’onde courte est réfléchie.

**2.** $k = (\omega/c)\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2}$ : $v_\varphi = \omega/k \approx c(1 + \omega_p^2/
2\omega^2)$, $v_g = \dd\omega/\dd k = c^2k/\omega \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2)$.

**3.** $\Delta t = \int(1/v_g - 1/c)\dd z = \int\omega_p^2\dd z/2c\omega^2 = e^2N_T/2\varepsilon_0
mc\omega^2 = (e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc)N_T/f^2 = 1.34 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{17}/2.48 \times
10^{18} = 11\,\mathrm{ns}$ : soit $3.2\,\mathrm{m}$.

**4.** $N_T = (\Delta t_1 - \Delta t_2)/K(1/f_1^2 - 1/f_2^2)$ ; l’écart vaut $7\,\mathrm{ns}$ : $1\%$ demande $0.07\,\mathrm{ns}$.

**5.** $v_\varphi$ dépasse $c$ d’autant que $v_g$ lui est inférieure : la phase de la porteuse arrive en avance tandis que la modulation arrive en retard. Un récepteur à phase de porteuse applique la correction avec le signe opposé.

**6.** $3.2\,\mathrm{m}$ de jour, $0.3\,\mathrm{m}$ de nuit.

**7.** $f_p = 0.9\,\mathrm{MHz}$ avec des chocs : les ondes moyennes et courtes sont absorbées (une coupure radio) ; le GPS à $1.5\,\mathrm{GHz}$ subit une absorption $\propto 1/\omega^2$, négligeable.

**8.** $f_1\Delta t = 1.575 \times 10^9 \times 1.1 \times 10^{-8} = 17$ périodes.

**9.** $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : une paroi d’un millimètre fait cent [épaisseurs de peau](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex).

**10.** $R_s = 1/\gamma\delta = 0.1\,\Omega$ ; $\tfrac12R_sH_0^2 = 45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $45\,\mathrm{W}$, soit $6\%$.

**11.** $\eu^{-\pi \times 0.5} = 0.21$ : $-14\,\mathrm{dB}$ en amplitude, $-27\,\mathrm{dB}$ en puissance (et le petit trou se couple mal au départ).

**12.** La lumière, $\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, est deux mille fois plus petite que les trous et passe ; la micro-onde, $\lambda = 12\,\mathrm{cm}$, est cent fois plus grande.

**13.** $\underline n = 2 - 0.005\iu$ ; $c/2n''\omega = 1.9\,\mathrm{m}$ : le verre n’est guère chauffé.

**14.** $j \approx H_0/\delta = 3 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $j^2/\gamma = 9 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ dans une couche de dix micromètres : les pointes chauffent en quelques millisecondes, émettent des électrons, ionisent l’air — des étincelles.

**15.** $\delta = 18\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; section $2\pi a\delta = 5.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ contre $\pi a^2 = 7.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}$ : $R_{\text{ca}} = 0.30\,\Omega/\mathrm{m}$, quatorze fois le continu.

**16.** $RI^2 = 120\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; surface $\pi d = 3.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ par mètre : $\Delta T \approx 1900\,\mathrm{K}$ — il fondrait ; de telles bobines sont des tubes refroidis à l’eau.

**17.** $\delta = 0.14\,\mathrm{mm}$ : le courant induit, et la chaleur, restent dans un dixième de millimètre ; une impulsion brève suivie d’une trempe durcit la surface d’un engrenage tandis que le cœur reste tenace.

**18.** $R = 1/\gamma2\pi a\delta = 0.10\,\Omega/\mathrm{m}$, trois fois moins ; l’intérieur ne transporte rien — d’où le tube, avec le fluide de refroidissement là où le cuivre serait gaspillé.

**19.** $\delta = a$ pour $f = 1/\pi\mu_0\gamma a^2 = 17\,\mathrm{Hz}$ ; en dessous, le courant est uniforme et la formule du continu s’applique.

**20.** $n^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + (\omega_p^2/\omega_0^2)(\lambda_0/\lambda)^2$ : la forme de Cauchy avec $n(\infty)^2 - 1 = \omega_p^2/\omega_0^2 = 1.25$ pour $n(\infty) = 1.5$.

**21.** $n = 1.531$ et $1.510$, $v = 1.96$ et $1.99 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $n_g(550) =
1.550$ ; $n_g(400) - n_g(700) = 0.063$ : $210\,\mathrm{ns}$ sur un kilomètre.

**22.** $\sin((A + D)/2) = 1.5165 \times 0.5$ : $D = 38.6{}^{\circ}$ ; $\dd D = 2\sin
(A/2)\dd n/\cos((A + D)/2) = 1.53\,\dd n$ : $\Delta D = 1.85{}^{\circ}$, soit $6.5\,\mathrm{cm}$ à $2\,\mathrm{m}$.

**23.** À $200\,\mathrm{nm}$ la fréquence approche la résonance et $n''$ croît : opaque. Une faible résonance à $700\,\mathrm{nm}$ absorbe le rouge : un verre vert.

**24.** Le bleu est plus proche de la résonance ultraviolette : les électrons liés répondent davantage, $n$ est plus grand, et la déviation aussi.

**25.** Couche F à $1.5\,\mathrm{GHz}$ : $\underline\gamma$ imaginaire, propagation avec un faible retard de groupe. Acier à $2.45\,\mathrm{GHz}$ : $\underline\gamma$ réel, [effet de peau](#thm-b2-waves-in-media-skin), réflexion. Cuivre à $13.56\,\mathrm{MHz}$ : de même, une peau de $18\,\text{µ}\mathrm{m}$. Verre dans le visible : $\iu\omega\varepsilon_0\chi$, un indice réel, un milieu transparent et dispersif.