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title: "Interférences à deux ondes"
book: "Physique universitaire — 2e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/19-interferences-a-deux-ondes
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# Chapitre 19 — Interférences à deux ondes

Une bulle de savon est faite d’un liquide incolore, et pourtant elle chatoie de couleurs ; un film d’huile sur une route mouillée montre les mêmes bandes irisées ; les ailes d’une libellule jettent des éclats verts et violets. Aucune de ces couleurs ne vient d’un pigment : elles viennent de deux copies d’une même onde lumineuse, réfléchies sur les deux faces d’une lame mince, arrivant avec un retard et se renforçant ou s’annulant l’une l’autre — c’est l’*interférence* de deux ondes. Young en fit la preuve que la lumière est une onde en 1801, avec deux fentes et une bougie ; ce chapitre établit la formule, la géométrie des franges d’Young, les deux conditions — cohérences temporelle et spatiale — sous lesquelles les franges survivent, et les couleurs des lames minces.

![Un film d’huile sur une route mouillée : deux réflexions, une par face, et une épaisseur qui varie d’un endroit à l’autre — chaque couleur brillante là où 2ne prend la bonne valeur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/img-60384b2e7e32.jpg)

*Un film d’huile sur une route mouillée : deux réflexions, une par face, et une épaisseur qui varie d’un endroit à l’autre — chaque couleur brillante là où $2ne$ prend la bonne valeur.*

## 19.1 La formule des interférences

**Théorème 19.1 (Interférences à deux ondes).**

Deux [ondes monochromatiques](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#def-b2-scalar-light-model-scalar) cohérentes d’intensités $I_1$, $I_2$ et de différence de phase $\Delta\varphi$ en un point $M$ y donnent l’intensité

$$
I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\Delta\varphi(M) , \qquad
\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,\delta(M) ,
$$

où $\delta$ est la *[différence de marche](#thm-b2-two-wave-interference-formula)* optique entre les deux trajets de la source à $M$. L’intensité est maximale ($I_1 + I_2 +
2\sqrt{I_1I_2}$) là où $\delta = p\lambda_0$, $p$ entier — l’*[ordre d’interférence](#thm-b2-two-wave-interference-formula)* — et minimale ($I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$) là où $\delta = (p +
\tfrac12)\lambda_0$. Le *contraste* (ou visibilité) des franges vaut

$$
V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1 + I_2} ,
$$

égal à $1$ pour des intensités égales, cas où les minima sont parfaitement noirs : $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi) = 4I_0\cos^2(\Delta\varphi/2)$.

**Démonstration.** $s = a_1\cos(\omega t - \varphi_1) + a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ ; $\langle s^2\rangle$ comme au [Chapitre 18](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#ch-b2-scalar-light-model), avec $\Delta\varphi$ fixe pendant la détection ; $I_i = \tfrac12Ka_i^2$. La différence de phase de deux ondes parties ensemble de la source et ayant parcouru les [chemins optiques](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#def-b2-scalar-light-model-path) $L_1$, $L_2$ vaut $2\pi(L_2 - L_1)/\lambda_0$ (plus $\pi$ pour chaque réflexion qui inverse le signe, [Chapitre 15](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/15-reflexion-et-transmission-aux-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)). ∎

**Remarque 19.2 (Les trois conditions).**

Des franges n’existent que si (1) les deux ondes viennent de la *même source* (deux copies d’une même vibration, sinon $\Delta\varphi$ est aléatoire) ; (2) la [différence de marche](#thm-b2-two-wave-interference-formula) est inférieure à la [longueur de cohérence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence), $|\delta| < \ell_c$ (*cohérence temporelle* : au-delà les copies appartiennent à des [trains d’ondes](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence) différents) ; (3) la source est assez petite pour que ses différents points ne produisent pas des systèmes de franges décalés qui se brouillent mutuellement (*[cohérence spatiale](#prop-b2-two-wave-interference-spatial)*, ci-dessous). Et une quatrième, généralement satisfaite : les deux ondes ne doivent pas avoir des polarisations perpendiculaires (elles s’ajouteraient en intensité, comme les lampes de poche).

## 19.2 Les fentes d’Young

**Proposition 19.3 (Division du front d’onde : l’expérience d’Young).**

Une source ponctuelle $S$ (ou une fente) éclaire deux fentes parallèles étroites $S_1$, $S_2$ distantes de $a$, équidistantes de $S$ ; un écran est placé à la distance $D \gg a$. Au point de l’écran de hauteur $x$ (parallèlement à $a$) la [différence de marche](#thm-b2-two-wave-interference-formula) vaut

$$
\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{ax}D ,
$$

et l’écran montre des franges rectilignes équidistantes, brillantes en $x_p =
p\lambda D/a$, avec l’*interfrange*

$$
i = \frac{\lambda D}a .
$$

Les franges existent partout derrière les fentes (elles ne sont *pas localisées*) ; avec une lentille de distance focale $f$ après les fentes, on les observe dans son plan focal avec $i = \lambda f/a$ (franges « à l’infini »). L’intensité vaut $4I_0\cos^2(\pi ax/\lambda D)$.

**Démonstration.** $S_2M^2 - S_1M^2 = [(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2] = 2ax$ et $S_2M + S_1M \approx 2D$, donc $\delta \approx 2ax/2D$. Deux ordres diffèrent de $\lambda$, c’est-à-dire de $\Delta x = \lambda D/a$. Avec une lentille, les deux ondes qui quittent les fentes sous l’angle $\theta$ avec l’axe ont la [différence de marche](#thm-b2-two-wave-interference-formula) $a\sin\theta \approx a\theta$ et se rejoignent en $x = f\theta$. ∎

![À gauche : les fentes d’Young — deux copies de l’onde de la source se rencontrent sur l’écran avec la différence de marche ax/D ; frange brillante tous les D/a. À droite : le profil d’intensité, 4I_0 2(π x/i) pour des ondes égales (trait plein) et avec un contraste réduit (tirets).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-1e7a413a9a78.svg)

*À gauche : les [fentes d’Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) — deux copies de l’onde de la source se rencontrent sur l’écran avec la [différence de marche](#thm-b2-two-wave-interference-formula) $ax/D$ ; frange brillante tous les $\lambda D/a$. À droite : le profil d’intensité, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ pour des ondes égales (trait plein) et avec un contraste réduit (tirets).*

**Exemple 19.4 (Applications numériques, et lumière blanche).**

$a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $D = 2\,\mathrm{m}$, $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.4\,\mathrm{mm}$ — assez grand pour être vu, ce qui explique que les [fentes d’Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) doivent être proches et l’écran lointain. En lumière blanche chaque couleur fait ses propres franges, toutes coïncidant au centre ($\delta = 0$) : une frange centrale blanche, puis des franges colorées à mesure que les ordres se séparent (l’interfrange $i$ du rouge vaut $1.8$ fois celui du violet), et après quelques ordres un champ blanchâtre uniforme — la [longueur de cohérence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de la lumière blanche est le micromètre, deux ou trois longueurs d’onde. Un spectromètre braqué sur ce champ « blanc » y voit encore des bandes sombres aux longueurs d’onde pour lesquelles $\delta = (p + \tfrac12)\lambda$ : un *spectre cannelé*.

**Proposition 19.5 (Cohérence spatiale : la source doit être petite).**

Chaque point d’une [source étendue](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) produit son propre système de franges ; un point source décalé transversalement de $b$ à la distance $L$ avant les fentes décale les franges de $x = bD/L$ (la [différence de marche](#thm-b2-two-wave-interference-formula) gagne $ab/L$). Une source de largeur $b$ étale les franges sur un interfrange, et le contraste s’annule, lorsque

$$
\frac{ab}L \approx \lambda , \qquad\text{c'est-à-dire lorsque les fentes voient la source sous un angle } \frac bL \gtrsim \frac\lambda a .
$$

Les deux fentes doivent se trouver dans l’*aire de cohérence* de la lumière — la région sur laquelle l’onde issue de la source a une phase bien définie, de largeur $\lambda L/b$. La lumière solaire ($b/L = 0.5{}^{\circ} = 9\,\mathrm{mrad}$) donne une largeur de cohérence $\lambda/0.009 \approx 60\,\text{µ}\mathrm{m}$ : il fallut à Young un trou d’épingle pour l’élargir.

**Démonstration.** Pour un point source de hauteur $b$, le chemin supplémentaire $SS_2 - SS_1 \approx -ab/L$ s’ajoute à $ax/D$ : le motif se décale de $x = bD/L$. En intégrant les motifs en $\cos^2$ décalés sur une source de largeur $b$ on obtient un contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$, nul pour $ab/L = \lambda$. ∎

![Cohérence spatiale : le haut et le bas d’une source étendue envoient des systèmes de franges décalés l’un par rapport à l’autre ; quand le décalage atteint un interfrange le motif est brouillé.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-9632fd4b36aa.svg)

*[Cohérence spatiale](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) : le haut et le bas d’une [source étendue](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) envoient des systèmes de franges décalés l’un par rapport à l’autre ; quand le décalage atteint un interfrange le motif est brouillé.*

## 19.3 Lames minces : division d’amplitude

**Proposition 19.6 (Interférences dans une lame mince).**

Une lame d’indice $n$ et d’épaisseur $e$ dans l’air, éclairée sous l’incidence $i$ (angle de réfraction $r$), renvoie deux ondes réfléchies sur ses deux faces, avec la [différence de marche](#thm-b2-two-wave-interference-formula)

$$
\delta = 2ne\cos r \ (+\tfrac{\lambda_0}2) ,
$$

la demi-longueur d’onde supplémentaire comptant l’inversion de signe de la réflexion sur le milieu le plus dense à la première face et non à la seconde ([Chapitre 15](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/15-reflexion-et-transmission-aux-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)). Les franges sont brillantes pour $2ne\cos r =
(p + \tfrac12)\lambda_0$, sombres pour $2ne\cos r = p\lambda_0$ — une lame d’épaisseur nulle ne réfléchit *rien* (le sommet noir d’un film de savon qui s’écoule). Pour une lame d’épaisseur uniforme les franges ne dépendent que de $i$ et s’observent à l’infini (anneaux d’*égale inclinaison*) ; pour un coin d’épaisseur lentement variable observé sous incidence quasi normale elles suivent les lignes de niveau de $e$ et sont localisées sur la lame (franges d’*égale épaisseur*) : un coin d’air d’angle $\alpha$ montre des franges rectilignes espacées de $\lambda_0/2\alpha$ ; une lentille de rayon $R$ posée sur un plan donne les *anneaux de Newton*, sombres en $r_p = \sqrt{p\lambda_0R}$.

**Démonstration.** Géométrie : l’onde réfractée à la première face traverse deux fois la lame ($2e/\cos r$ dans le verre, [chemin optique](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#def-b2-scalar-light-model-path) $2ne/\cos r$) tandis que l’onde réfléchie sur la première face avance de $2e\tan r\sin i$ dans l’air ; la différence vaut $2ne/\cos r - 2e\tan r\sin i = 2ne\cos r$ avec $\sin i = n\sin r$. Pour le coin, $e = \alpha x$ et les franges sombres successives en $2\alpha x = p\lambda$ ; pour la lentille, $e \approx r^2/2R$. ∎

![À gauche : les deux réflexions sur une lame mince — une par face, la seconde retardée par la double traversée. À droite : un coin d’air entre deux lames montre des franges rectilignes d’égale épaisseur, une par demi-longueur d’onde d’épaisseur supplémentaire.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-9c01de9176bd.svg)

*À gauche : les deux réflexions sur une lame mince — une par face, la seconde retardée par la double traversée. À droite : un coin d’air entre deux lames montre des franges rectilignes d’égale épaisseur, une par demi-longueur d’onde d’épaisseur supplémentaire.*

**Exemple 19.7 (Savon, huile, libellules).**

Un film de savon ($n = 1.33$) de $300\,\mathrm{nm}$ d’épaisseur vu sous incidence normale : brillant pour $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$, c’est-à-dire $\lambda = 798/(p + \tfrac12)$ nm : $532\,\mathrm{nm}$ (vert, $p = 1$) dans le visible, et une bande sombre à $400\,\mathrm{nm}$ ; le film paraît vert. À mesure qu’il s’écoule et s’amincit, la couleur parcourt la séquence et finit noire. Un film d’huile ($400\,\mathrm{nm}$, $n = 1.45$) sur l’eau ($1.33$) : la seconde réflexion, vers un indice plus bas, n’inverse pas le signe, de sorte qu’ici encore $\delta = 2ne + \lambda/2$ et que le film est brillant pour $2ne =
(p + \tfrac12)\lambda$ : $464\,\mathrm{nm}$ ($p = 2$), du bleu. L’irisation d’une aile de papillon, d’une carapace de scarabée ou d’un disque compact sont des interférences de même nature (celle du disque, à ondes multiples : [Chapitre 21](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/21-interferences-a-ondes-multiples-et-reseaux#ch-b2-gratings)), ce qui explique qu’elles changent avec l’angle — $\delta$ dépend de $\cos r$ — alors que la couleur d’un pigment, non.

**Méthode 19.8 (Résoudre un problème d’interférences).**

(1) Repérer les deux trajets de la source à $M$ et calculer la [différence de marche](#thm-b2-two-wave-interference-formula) optique $\delta(M)$, en ajoutant $\lambda/2$ pour chaque réflexion avec inversion de signe. (2) $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda)$ ; brillant en $\delta = p\lambda$. (3) L’interfrange par $\delta(M + \Delta M) - \delta(M) =
\lambda$. (4) Vérifier la cohérence temporelle ($\delta_{\max} < \ell_c$, nombre de franges visibles $\sim\lambda/\Delta\lambda$) et la [cohérence spatiale](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) (angle de la source $< \lambda/a$). (5) Dire où les franges sont localisées (partout pour deux sources ponctuelles ; sur la lame pour les [franges d’égale épaisseur](#prop-b2-two-wave-interference-film) ; à l’infini pour celles d’égale inclinaison).

## 19.4 Exercices

**Exercice 19.1 ★.**

[Fentes d’Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) distantes de $a = 0.40\,\mathrm{mm}$, écran à $D = 1.5\,\mathrm{m}$, $\lambda =
633\,\mathrm{nm}$ : interfrange ; ordre de la frange en $x = 1.0\,\mathrm{cm}$ ; position de la dixième frange sombre ; interfrange avec des fentes distantes de $2\,\mathrm{mm}$, et dans l’eau ($n = 1.33$).

**Solution de Exercice 19.1.**

$i = \lambda D/a = 2.4\,\mathrm{mm}$ ; $x/i = 4.2$ ; dixième frange sombre en $9.5i = 22.5\,\mathrm{mm}$ ; $a = 2\,\mathrm{mm}$ : $0.47\,\mathrm{mm}$ ; dans l’eau $\lambda/n$ : $1.8\,\mathrm{mm}$.

**Exercice 19.2 ★.**

Deux ondes d’intensités $I_0$ et $I_0/4$ interfèrent : $I_{\max}$, $I_{\min}$, contraste. Idem pour $I_0$ et $I_0/100$ : pourquoi les franges restent-elles visibles avec des faisceaux aussi inégaux ? Une des deux [fentes d’Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) est recouverte d’un filtre gris transmettant $50\%$ : nouveau contraste.

**Solution de Exercice 19.2.**

$1.25I_0 \pm I_0$ : $V = 0.8$. $1.01I_0 \pm 0.2I_0$ : $V = 0.2$ — le terme d’interférence va comme le rapport des *amplitudes*, $1/10$, non celui des intensités. Filtre : $V = 2\sqrt{0.5}/1.5 = 0.94$.

**Exercice 19.3 ★.**

Un film de savon de $250\,\mathrm{nm}$ d’épaisseur ($n = 1.33$) vu sous incidence normale : longueurs d’onde visibles les plus et les moins réfléchies ; sa couleur. Un film de $1.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ : combien de longueurs d’onde brillantes dans le visible, et que voit l’œil ?

**Solution de Exercice 19.3.**

$2ne = 665\,\mathrm{nm}$ : brillant en $665/(p + \tfrac12)$ : $443\,\mathrm{nm}$ (bleu-violet) ; sombre en $665/p$ : $665\,\mathrm{nm}$ (rouge) : un film bleu. $e = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2ne = 2660\,\mathrm{nm}$, brillant en $760$, $591$, $484$, $409\,\mathrm{nm}$ — quatre couleurs à la fois, un blanc rosé délavé.

**Exercice 19.4 ★.**

Anneaux de Newton entre une lentille de rayon $R = 2.0\,\mathrm{m}$ et un plan, en lumière de sodium : rayons des trois premiers anneaux sombres ; nombre d’anneaux dans un rayon de $1\,\mathrm{cm}$ ; le centre est-il brillant ou sombre, et pourquoi ? Qu’est-ce qui change si l’on remplit l’intervalle d’eau ?

**Solution de Exercice 19.4.**

$r_p = \sqrt{p\lambda R}$ : $1.09$, $1.53$, $1.88\,\mathrm{mm}$ ; $p = r^2/\lambda R = 85$ anneaux dans $1\,\mathrm{cm}$ ; le centre est sombre : épaisseur nulle et une inversion de signe. Eau : rayons divisés par $\sqrt n$, $98$ anneaux.

**Exercice 19.5 ★★.**

*Lumière blanche.* [Fentes d’Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) en lumière blanche ($400$ à $700\,\mathrm{nm}$), $a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $D = 1\,\mathrm{m}$. (a) Interfrange pour le violet et pour le rouge ; position des deuxième frange brillante rouge et troisième violette. (b) Au-delà de quel ordre les franges rouge et violette d’ordres successifs se recouvrent-elles ? (c) En $x = 5\,\mathrm{mm}$, quelles longueurs d’onde manquent (spectre cannelé) ? (d) Expliquer la suite des couleurs vues du centre vers l’extérieur.

**Solution de Exercice 19.5.**

(a) $i = 0.8$ et $1.4\,\mathrm{mm}$ ; deuxième rouge $2.8\,\mathrm{mm}$, troisième violette $2.4\,\mathrm{mm}$. (b) L’ordre $p$ du rouge, en $1.4p$ mm, rencontre l’ordre $p + 1$ du violet en $0.8(p + 1)$ : dès $p = 2$ les ordres se recouvrent. (c) $\delta = ax/D = 2.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : manquent les $\lambda = \delta/(p +
\tfrac12)$ : $714$, $556$, $455\,\mathrm{nm}$. (d) Centre blanc ; puis des franges à bord intérieur bleu et bord extérieur rouge ; dès le troisième ordre les couleurs se mêlent en blanc.

**Exercice 19.6 ★★.**

*Taille de la source.* Une lampe au sodium éclaire des [fentes d’Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) ($a = 1.0\,\mathrm{mm}$) à travers une fente source placée à $L = 40\,\mathrm{cm}$. (a) Largeur maximale de la fente source pour un bon contraste (prendre $ab/L < \lambda/4$). (b) La fente source est élargie à $0.5\,\mathrm{mm}$ : contraste (utiliser $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$). (c) Pourquoi ne peut-on pas simplement utiliser la lampe nue (largeur $1\,\mathrm{cm}$) ? (d) Le Soleil comme source, de $9\,\mathrm{mrad}$ de diamètre apparent : écartement maximal des fentes qui donne des franges.

**Solution de Exercice 19.6.**

(a) $b < \lambda L/4a = 59\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $\pi ab/\lambda L = 6.7$ : contraste $|\sin6.7|/6.7
= 0.06$. (c) Une source large d’un centimètre couvre des centaines d’interfranges de décalage : pas de franges. (d) $a < \lambda/\theta = 61\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Exercice 19.7 ★★.**

*Miroir de Lloyd.* Une source ponctuelle à la hauteur $h = 0.2\,\mathrm{mm}$ au-dessus d’un miroir plan, écran à $D = 1.0\,\mathrm{m}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ : l’onde directe interfère avec celle que réfléchit le miroir (une source virtuelle en $-h$). (a) Interfrange. (b) La frange située au bord du miroir ($x = 0$) est sombre : qu’est-ce que cela apprend sur la réflexion ? (c) Nombre de franges visibles si la [longueur de cohérence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de la source vaut $50\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) Pourquoi ce montage est-il l’« interféromètre marin » du radioastronome pour une étoile qui se lève ?

**Solution de Exercice 19.7.**

(a) $a = 2h = 0.4\,\mathrm{mm}$ : $i = \lambda D/a = 1.25\,\mathrm{mm}$. (b) En $x = 0$ les chemins sont égaux et pourtant la frange est sombre : la réflexion ajoute $\pi$ (inversion de signe en incidence rasante sur le milieu le plus dense). (c) $\delta = ax/D <
50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $100$ franges. (d) La mer est le miroir, l’antenne du haut de la falaise l’écran : à mesure que la source monte, les franges défilent et donnent son élévation.

**Exercice 19.8 ★★.**

*Coin d’air.* Deux lames de verre de $10\,\mathrm{cm}$ de long se touchent à une extrémité et sont écartées à l’autre par un cheveu de diamètre $d$ ; en lumière de sodium on compte $42$ franges sombres. (a) $d$. (b) Interfrange. (c) L’intervalle est rempli d’eau : nombre de franges. (d) On presse légèrement les lames à l’extrémité écartée : que font les franges, et quelle précision sur $d$ donne le comptage d’un quart de frange ?

**Solution de Exercice 19.8.**

(a) $2d = 42\lambda$ : $d = 12.4\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $100/42 = 2.4\,\mathrm{mm}$. (c) $2nd = p\lambda$ : $56$ franges. (d) Les franges migrent vers l’extrémité écartée et s’espacent quand $d$ diminue ; un quart de frange vaut $\lambda/8 = 74\,\mathrm{nm}$ sur $d$.

**Exercice 19.9 ★★.**

*Huile sur eau.* Un film d’huile ($n = 1.45$) d’épaisseur $e$ flotte sur de l’eau ($n = 1.33$). (a) Laquelle des deux réflexions inverse le signe ? [Différence de marche](#thm-b2-two-wave-interference-formula). (b) Pour $e = 400\,\mathrm{nm}$ sous incidence normale : longueurs d’onde réfléchies renforcées et annulées ; couleur. (c) Film le plus mince qui paraisse violet ($420\,\mathrm{nm}$). (d) Pourquoi les couleurs se déplacent-elles vers le bleu quand on regarde le film obliquement ? (e) Qu’est-ce qui change pour un film dont l’indice se situe *entre* ceux des deux milieux (un traitement sur du verre) ?

**Solution de Exercice 19.9.**

(a) Seule la première (air $\to$ huile, plus dense) ; huile $\to$ eau va vers un indice plus bas : $\delta = 2ne + \lambda/2$, brillant pour $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$. (b) $2ne =
1160\,\mathrm{nm}$ : renforcées $773$ (limite du visible), $464\,\mathrm{nm}$ (bleu) ; annulées $1160/p$ : $580\,\mathrm{nm}$ (jaune) : du bleu. (c) $2ne = \lambda/2$ : $e = 72\,\mathrm{nm}$. (d) $\delta = 2ne\cos r$ diminue avec l’angle : les longueurs d’onde renforcées se déplacent vers le bleu. (e) Les deux réflexions inversent alors le signe, sans $\lambda/2$ supplémentaire : brillant pour $2ne = p\lambda$, sombre pour $(p + \tfrac12)\lambda$ — c’est la couche antireflet quart d’onde.

**Exercice 19.10 ★★★.**

*Une lame sur une fente.* Une lame de verre d’épaisseur $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ et d’indice $1.5$ recouvre la fente $S_1$ d’une paire d’Young ($a = 1\,\mathrm{mm}$, $D =
2\,\mathrm{m}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$). (a) [Chemin optique](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#def-b2-scalar-light-model-path) supplémentaire ; de combien de franges et dans quel sens le motif se décale-t-il ? (b) En lumière blanche, où va la frange centrale blanche (désormais déplacée) — est-elle encore visible ? [Longueur de cohérence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence) $1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$. (c) Utiliser le motif en lumière blanche pour mesurer $e$ : comment ? (d) On incline la lame : le décalage croît — montrer qu’au premier ordre il croît comme $e(n - 1)\theta^2/2 \times (1 + 1/n)$ et l’estimer pour $5{}^{\circ}$.

**Solution de Exercice 19.10.**

(a) $(n - 1)e = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $20$ franges, vers la fente recouverte (où le chemin géométrique doit raccourcir de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ pour rétablir $\delta = 0$) : $x = (n - 1)eD/a = 2\,\mathrm{cm}$. (b) La frange blanche s’y trouve ; la dispersion du verre ($\Delta n \approx 0.01$ sur le visible, soit $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de chemin) reste sous $\ell_c$ : encore visible, légèrement colorée. (c) Mesurer le décalage de la frange blanche : $e = (\text{décalage})\,a/(n - 1)D$. (d) $e(n - 1)\theta^2
(1 + 1/n)/2 = 63\,\mathrm{nm}$ à $5{}^{\circ}$ : un huitième de frange.

**Exercice 19.11 ★★★.**

*L’interféromètre stellaire.* Deux miroirs distants de $a$ recueillent la lumière d’une étoile et la font interférer. L’étoile est un disque uniforme de diamètre angulaire $\theta$ ; chaque point du disque décale les franges, et le contraste s’annule pour $a = 1.22\lambda/\theta$ (admis, version pour un disque de $ab/L = \lambda$). (a) Bételgeuse, $\theta = 0.047''$ (secondes d’arc), $\lambda = 570\,\mathrm{nm}$ : base pour laquelle les franges disparaissent (Michelson, 1920, au mont Wilson). (b) Pourquoi un unique télescope de $2.5\,\mathrm{m}$ ne résout-il pas le disque (sa limite vaut $1.22\lambda/d$) ? (c) Les interféromètres modernes relient des télescopes distants de $100\,\mathrm{m}$ : plus petit diamètre mesurable. (d) Pourquoi les deux trajets doivent-ils être égaux à mieux que la [longueur de cohérence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence), et combien vaut celle-ci pour un filtre de $10\,\mathrm{nm}$ ?

**Solution de Exercice 19.11.**

(a) $\theta = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ : $a = 1.22\lambda/\theta = 3.1\,\mathrm{m}$. (b) Sa limite $1.22\lambda/d =
0.057''$ dépasse le diamètre de l’étoile, et l’atmosphère brouille jusqu’à $1''$. (c) $1.22\lambda/100 = 7 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 1.4\,\mathrm{mas}$. (d) Les franges exigent $\delta < \ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 32\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Exercice 19.12 ★★★.**

*Anneaux d’égale inclinaison.* Une lame à faces parallèles d’épaisseur $e =
2.0\,\mathrm{mm}$ et d’indice $1.5$ est éclairée par une large source au sodium ; la lumière réfléchie est focalisée par une lentille de $f = 50\,\mathrm{cm}$. (a) Montrer que les anneaux se trouvent aux angles $i_p$ vérifiant $2ne\cos r_p = (p + \tfrac12)\lambda$ (brillants) et qu’au voisinage du centre $\cos r \approx 1 - i^2/2n^2$. (b) Ordre au centre ; le centre est-il brillant ? (c) Rayons des trois premiers anneaux brillants dans le plan focal. (d) Pourquoi ces anneaux s’observent-ils avec une [source étendue](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) alors que les franges d’Young exigent une source étroite ? (Localisation à l’infini.)

**Solution de Exercice 19.12.**

(a) $\delta = 2ne\cos r + \lambda/2$ ; $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2i/n^2} \approx 1 - i^2/2n^2$. (b) $2ne/\lambda = 10186.8$ : le centre, avec $p + \tfrac12$ compris entre $10186.5$ et $10187.5$, n’est ni brillant ni sombre. (c) $i_p^2 = 2n^2[1 - (p + \tfrac12)\lambda/
2ne]$ pour $p = 10186$, $10185$, $10184$ : $i = 0.011$, $0.024$, $0.032\,\mathrm{rad}$, $r = fi
= 5.4$, $11.8$, $15.8\,\mathrm{mm}$. (d) Le seul angle $i$ fixe l’ordre : chaque point source alimente le même anneau sous le même angle, de sorte que les anneaux, vus à l’infini, survivent à une source large.

![Franges d’égale épaisseur entre un plan optique et une surface d’acier à contrôler, sur une photographie d’ajusteur des années 1915 : franges rectilignes sur une surface plane, incurvées là où elle est usée — chaque frange une marche d’une demi-longueur d’onde.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/img-6d8268ebe5b4.jpg)

*[Franges d’égale épaisseur](#prop-b2-two-wave-interference-film) entre un plan optique et une surface d’acier à contrôler, sur une photographie d’ajusteur des années 1915 : franges rectilignes sur une surface plane, incurvées là où elle est usée — chaque frange une marche d’une demi-longueur d’onde.*

## 19.5 Problème : les miroirs de Fresnel et un film d’huile

**Problème 19.1.**

Problème du week-end — un interféromètre de 1816 et un arc-en-ciel sur une flaque : deux façons de diviser une onde et les deux cohérences qui limitent les deux

**Partie I — Les miroirs de Fresnel.** Deux miroirs plans se touchant selon une arête font un très petit angle $\alpha =
5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; une fente source $S$, parallèle à cette arête, est à $d =
20\,\mathrm{cm}$ de celle-ci, et l’écran à $D = 1.5\,\mathrm{m}$ au-delà. $\lambda =
589\,\mathrm{nm}$ (sodium).

1. Montrer que les deux miroirs donnent deux images virtuelles $S_1$ , $S_2$ de $S$ sur un cercle de rayon $d$ centré sur l’arête de contact, distantes de $a = 2\alpha d$ ; valeur.
2. Pourquoi les ondes issues de $S_1$ et $S_2$ interfèrent-elles, alors que celles de deux lampes distinctes ne le feraient pas ?
3. Interfrange sur l’écran (distance des sources à l’écran $\approx d + D$ ) ; nombre de franges sur la zone large de $5\,\mathrm{mm}$ où les deux faisceaux réfléchis se recouvrent.
4. [Ordre d’interférence](#thm-b2-two-wave-interference-formula) au bord de cette zone ; est-il en deçà de la limite fixée par la [longueur de cohérence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de la lampe ( $2\,\mathrm{cm}$ ) ?
5. La fente source fait $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de large : décalage des franges produites par ses deux bords (chaque point source est imagé en deux points virtuels ; le système de franges se décale de $bD'/d$ avec $D' =  d + D$ ) ; le contraste est-il conservé (comparer à $i$ ) ?
6. La fente est élargie à $0.1\,\mathrm{mm}$ : contraste, à l’aide de $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)|$ .
7. Les deux miroirs réfléchissent $90\%$ et $80\%$ de la lumière : contraste des franges.
8. Une lame de verre de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’épaisseur ( $n = 1.5$ ) est placée devant un des miroirs : décalage du motif, en franges ; peut-on le suivre en lumière de sodium ? En lumière blanche ?
9. On remplace la lampe au sodium par de la lumière blanche : décrire l’écran ; combien de franges colorées de chaque côté du centre ?

**Partie II — Le film d’huile.** Un film d’huile ($n = 1.45$) s’étale sur une route mouillée ($n_{\text{eau}} = 1.33$), éclairé par un ciel couvert et observé sous incidence quasi normale.

10. Réflexions sur les deux faces : laquelle inverse le signe ? [Différence de marche](#thm-b2-two-wave-interference-formula) ; condition pour une couleur brillante.
11. Épaisseur de la région la plus mince qui paraisse rouge ( $\lambda =  650\,\mathrm{nm}$ ) ; verte ( $550\,\mathrm{nm}$ ) ; violette ( $420\,\mathrm{nm}$ ).
12. Une région de $600\,\mathrm{nm}$ d’épaisseur : quelles longueurs d’onde visibles sont renforcées, lesquelles annulées ; sa couleur.
13. Pourquoi le film montre-t-il des bandes colorées (qu’est-ce qui varie le long de la route), et pourquoi les bandes suivent-elles les lignes de niveau d’épaisseur ?
14. Le film s’amincit par évaporation : décrire l’évolution de la couleur en un point donné ; que voit-on quand $e \to 0$ ici — brillant ou sombre ? Comparer avec un film de savon dans l’air.
15. Le sommet d’un film de savon qui s’écoule devient noir juste avant d’éclater : épaisseur en ce point (quelques nanomètres) et pourquoi noir.
16. Vu sous $60{}^{\circ}$ d’incidence : angle de réfraction dans l’huile, et décalage des longueurs d’onde brillantes de la question 11.
17. Au-delà de quelle épaisseur les couleurs s’estompent-elles en un gris uniforme, pour une lumière du jour de [longueur de cohérence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence) voisine de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
18. La lumière du ciel n’est pas polarisée et arrive de nombreuses directions : pourquoi le motif ne se brouille-t-il pas comme une [source étendue](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) brouille les franges d’Young ? (Localisation sur la lame.)

**Partie III — Les deux cohérences.**

19. Cohérence temporelle : pour les miroirs de Fresnel en lumière de sodium, l’ordre maximal visible ; avec un laser ( $\ell_c = 10\,\mathrm{m}$ ).
20. [Cohérence spatiale](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) : la largeur maximale de source pour les miroirs (d’après $ab/d < \lambda/4$ ) et pour les [fentes d’Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) avec $a = 1\,\mathrm{mm}$ à $L = 40\,\mathrm{cm}$ .
21. Expliquer pourquoi la lame mince tolère une [source étendue](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) alors que les [fentes d’Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) ne le font pas : tracer les deux rayons de la lame pour deux points sources différents et montrer qu’ils se rejoignent encore sur la lame.
22. La raie du sodium fait elle-même $0.02\,\mathrm{nm}$ de large : combien de franges les miroirs peuvent-ils montrer au plus (utiliser $N \approx \lambda/\Delta\lambda$ ) ?
23. Un étudiant remplace la lampe au sodium par une DEL verte ( $\Delta\lambda =  30\,\mathrm{nm}$ ) : nombre de franges visibles avec les miroirs.
24. Avec un laser les franges couvrent toute la zone de recouvrement avec un contraste maximal, mais l’écran est « granuleux » : pourquoi ?
25. En un tableau, pour les miroirs et la lame : comment l’onde est divisée, où les franges sont localisées, ce qui limite leur nombre, et ce que fait une source plus large.

**Solution de Problème 19.1.**

**1.** Chaque miroir image $S$ par symétrie à la distance $d$ de l’arête de contact ; les deux images sont sur le cercle de rayon $d$, à l’angle $2\alpha$ l’une de l’autre : $a = 2\alpha d = 2\,\mathrm{mm}$.

**2.** $S_1$ et $S_2$ sont deux images de la même vibration : leurs sauts de phase sont les mêmes.

**3.** $i = \lambda(d + D)/a = 589 \times 10^{-9} \times 1.7/2 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{mm}$ : dix franges sur $5\,\mathrm{mm}$.

**4.** $\delta = ax/(d + D) = 2.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ au bord, $p = 5$ : très en deçà de $\ell_c/\lambda = 34\,000$.

**5.** Décalage $bD'/d = 20 \times 10^{-6} \times 1.7/0.2 = 0.17\,\mathrm{mm}$, soit un tiers de $i$ : contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)| = \operatorname{sinc}(1.07) = 0.82$.

**6.** $\pi ab/\lambda d = 5.3$ : $|\sin5.3|/5.3 = 0.16$.

**7.** Amplitudes $\sqrt{0.9}$, $\sqrt{0.8}$ : $V = 2\sqrt{0.72}/1.7 = 0.998$.

**8.** $(n - 1)e = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $8.5$ franges ; suivies sans peine en lumière de sodium ; en lumière blanche la frange blanche se déplace de $8.5i = 4.2\,\mathrm{mm}$ et reste visible (la dispersion du verre ne coûte qu’une fraction de micromètre).

**9.** Une frange centrale blanche, deux ou trois franges colorées de chaque côté, puis un blanc uniforme.

**10.** Air $\to$ huile inverse, huile $\to$ eau (indice plus bas) non : $\delta = 2ne + \lambda/2$ ; brillant pour $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$.

**11.** $e = \lambda/4n$ : rouge $112\,\mathrm{nm}$, vert $95\,\mathrm{nm}$, violet $72\,\mathrm{nm}$.

**12.** $2ne = 1740\,\mathrm{nm}$ : renforcées $1740/(p + \tfrac12)$ : $696$ (rouge), $497$ (bleu-vert), $387\,\mathrm{nm}$ ; annulées $1740/p$ : $580$ (jaune), $435\,\mathrm{nm}$ : un mélange pourpre de rouge et de bleu-vert.

**13.** L’épaisseur varie le long de la route ; chaque couleur est brillante là où $2ne$ prend la bonne valeur, si bien que les bandes sont des lignes de niveau d’épaisseur.

**14.** Les ordres diminuent : les couleurs parcourent la séquence vers le bord mince ; quand $e \to 0$ l’unique inversion de signe laisse $\delta = \lambda/2$ pour toutes les couleurs : sombre — comme pour un film de savon dans l’air.

**15.** Quelques nanomètres : $2ne \ll \lambda$ pour toutes les couleurs, les deux réflexions sont en opposition de phase et s’annulent : noir.

**16.** $\sin r = \sin60^\circ/1.45$, $r = 37{}^{\circ}$, $\cos r = 0.80$ : $2ne\cos r
= 1390\,\mathrm{nm}$, brillant en $928$, $557$, $398\,\mathrm{nm}$ : le rouge de la question 12 a viré au vert-jaune — vers le bleu.

**17.** Lorsque $2ne$ dépasse $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$, c’est-à-dire au-delà de $0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ d’huile environ, les ordres se recouvrent et les couleurs virent au gris.

**18.** Les deux rayons réfléchis par la lame se rejoignent sur la lame quelle que soit la direction de la source : les franges y sont localisées et une source large et multidirectionnelle ne fait qu’ajouter des motifs identiques.

**19.** $\ell_c/\lambda$ : $34\,000$ avec le sodium, $1.7 \times 10^7$ avec le laser.

**20.** $b < \lambda d/4a$ : $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ pour les miroirs, $59\,\text{µ}\mathrm{m}$ pour les fentes.

**21.** Tracer deux points sources : pour chacun, les deux rayons réfléchis se recombinent au même point de la lame, avec le même $\delta = 2ne\cos r$ sous incidence quasi normale ; le motif de la lame ne bouge pas, celui d’Young si.

**22.** $\lambda/\Delta\lambda = 589/0.02 \approx 30\,000$.

**23.** $550/30 \approx 18$ franges.

**24.** La lumière cohérente diffusée par les grains de l’écran interfère avec des phases aléatoires à l’œil : c’est le tavelage.

**25.** Miroirs : [division du front d’onde](#prop-b2-two-wave-interference-young), franges partout (non localisées), nombre limité par $\ell_c/\lambda$, une source large les brouille. Lame : [division d’amplitude](#prop-b2-two-wave-interference-film), franges sur la lame, couleurs limitées par $\ell_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{m}$, une source large est sans effet.