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title: "Interférences à ondes multiples et réseaux"
book: "Physique universitaire — 2e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/21-interferences-a-ondes-multiples-et-reseaux
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# Chapitre 21 — Interférences à ondes multiples et réseaux

Inclinez un disque compact sous une lampe et il jette un arc-en-ciel : sa spirale de cuvettes, espacées d’un micromètre et demi, est un réseau — des milliers de bandelettes réfléchissantes, renvoyant chacune une copie de l’onde, toutes interférant. Deux ondes donnent les douces franges en $\cos^2$ des chapitres précédents ; mille ondes donnent des franges mille fois plus fines, assez étroites pour séparer deux longueurs d’onde qui diffèrent d’une partie sur cent mille. C’est l’instrument avec lequel on a lu la composition du Soleil et la vitesse des galaxies, et qui siège dans tout spectromètre. Ce chapitre somme $N$ ondes, en tire l’[équation des réseaux](#prop-b2-gratings-equation), sa dispersion et son pouvoir de résolution, et rencontre l’autre dispositif à ondes multiples, la cavité de Fabry–Pérot qui deviendra le résonateur du laser.

![Un disque compact au soleil : sa spirale de cuvettes, espacées de 1.6\, µ m, est un réseau par réflexion, et chaque ordre étale la lumière blanche en un spectre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/img-7c0468b08e65.jpg)

*Un disque compact au soleil : sa spirale de cuvettes, espacées de $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, est un réseau par réflexion, et chaque ordre étale la lumière blanche en un spectre.*

## 21.1 Interférence de $N$ ondes

**Théorème 21.1 (NNN ondes égales en progression arithmétique de phase).**

$N$ ondes cohérentes de même amplitude $a$, chacune en retard sur la précédente de la phase $\varphi$, se superposent en une onde d’amplitude $A(\varphi)$ et d’intensité

$$
A = a\,\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} , \qquad
I(\varphi) = I_0\,\frac{\sin^2(N\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)} :
$$

*maxima principaux* d’intensité $N^2I_0$ là où $\varphi = 2\pi p$ (toutes les ondes en phase), de demi-largeur $2\pi/N$ en $\varphi$ (les premiers zéros sont en $\varphi = 2\pi p \pm 2\pi/N$), séparés par $N - 2$ *maxima secondaires* ne dépassant pas environ $4.5\%$ des principaux pour $N$ grand. Plus il y a d’ondes, plus les pics sont fins et brillants : la largeur décroît en $1/N$, la hauteur croît en $N^2$, l’énergie (leur produit) en $N$.

**Démonstration.** Amplitudes complexes $a\eu^{\iu k\varphi}$, $k = 0, \dots, N - 1$ : une série géométrique, $a(1 - \eu^{\iu N\varphi})/(1 - \eu^{\iu\varphi}) = a\eu^{\iu(N - 1)\varphi/2}\sin(N\varphi/2)
/\sin(\varphi/2)$. Zéros là où $\sin(N\varphi/2) = 0$ mais $\sin(\varphi/2) \ne 0$ : $\varphi = 2\pi
m/N$, $m$ non multiple de $N$. Dans l’image des phaseurs les $N$ flèches se referment en un polygone régulier aux zéros et s’alignent aux maxima principaux. ∎

![À gauche : la somme phasorielle de cinq ondes égales — un éventail régulier dont la corde est la résultante ; il se referme en pentagone, et s’annule, en = 2π/5. À droite : l’intensité pour 2, 5 et 12 ondes, normalisée à son maximum : les maxima principaux s’affinent en 1/N.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-63d66c5b90cb.svg)

*À gauche : la somme phasorielle de cinq ondes égales — un éventail régulier dont la corde est la résultante ; il se referme en pentagone, et s’annule, en $\varphi = 2\pi/5$. À droite : l’intensité pour $2$, $5$ et $12$ ondes, normalisée à son maximum : les maxima principaux s’affinent en $1/N$.*

## 21.2 Le réseau de diffraction

**Proposition 21.2 (Équation des réseaux).**

Un *réseau* est un ensemble de $N$ fentes (ou traits) identiques, équidistantes et parallèles, de pas $a$. Une onde plane incidente sous l’angle $\theta_0$ par rapport à la normale est réémise par chaque fente ; dans la direction $\theta$ les ondes issues de fentes voisines ont la [différence de marche](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/19-interferences-a-deux-ondes#thm-b2-two-wave-interference-formula) $\delta = a(\sin\theta
- \sin\theta_0)$, et elles se renforcent dans les directions

$$
a\,(\sin\theta_p - \sin\theta_0) = p\lambda , \qquad p = 0, \pm1, \pm2, \dots
$$

— les *ordres* du réseau. L’ordre zéro est le faisceau non dévié pour toute longueur d’onde ; chacun des autres ordres étale les longueurs d’onde, avec la *[dispersion angulaire](#prop-b2-gratings-equation)*

$$
\frac{\dd\theta}{\dd\lambda} = \frac{p}{a\cos\theta} ,
$$

d’autant plus grande que le réseau est fin et l’ordre élevé ; l’ordre maximal est $|p| \le a(1 + |\sin\theta_0|)/\lambda$. Un *réseau par réflexion* (traits gravés sur un miroir) obéit à la même équation avec les angles réfléchis.

**Démonstration.** La phase entre fentes successives vaut $\varphi = 2\pi\delta/\lambda$ ; les maxima principaux du [Théorème 21.1](#thm-b2-gratings-nwaves) sont en $\delta = p\lambda$. Différentier $a\sin\theta = p\lambda + a\sin\theta_0$ à $p$, $\theta_0$ fixés. ∎

![À gauche : le réseau — des fentes voisines réémettent avec la différence de marche a sous incidence normale. À droite : sur un écran, l’ordre zéro blanc et les spectres des ordres ±1, ±2, le violet le plus près du centre, plus larges (et finissant par se recouvrir) à mesure que p croît.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-eb6c7452f0a8.svg)

*À gauche : le réseau — des fentes voisines réémettent avec la [différence de marche](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/19-interferences-a-deux-ondes#thm-b2-two-wave-interference-formula) $a\sin\theta$ sous incidence normale. À droite : sur un écran, l’ordre zéro blanc et les spectres des ordres $\pm1$, $\pm2$, le violet le plus près du centre, plus larges (et finissant par se recouvrir) à mesure que $p$ croît.*

**Exemple 21.3 (Un réseau de classe et un CD).**

Un réseau de $600$ traits par millimètre ($a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$) sous incidence normale envoie la lumière de $500\,\mathrm{nm}$ en $\sin\theta = 0.3$, $\theta = 17.5{}^{\circ}$ au premier ordre, $36.9{}^{\circ}$ au second, et n’a pas de troisième ordre ($3 \times 0.3 > 1$) ; son spectre du premier ordre court de $13.9{}^{\circ}$ ($400\,\mathrm{nm}$) à $24.8{}^{\circ}$ ($700\,\mathrm{nm}$). Un disque compact, $a =
1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, est un tel réseau en réflexion — d’où l’arc-en-ciel, et le fait qu’un DVD ($a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$) l’étale davantage. Le rouge du second ordre ($700\,\mathrm{nm}$ en $\sin\theta = 0.84$) recouvre le violet du troisième : les ordres se recouvrent au-delà du premier, gêne que guérissent des filtres ou un prisme.

## 21.3 Pouvoir de résolution

**Proposition 21.4 (Pouvoir de résolution d’un réseau).**

Deux longueurs d’onde voisines $\lambda$ et $\lambda + \Delta\lambda$ sont tout juste résolues à l’ordre $p$ quand le [maximum principal](#thm-b2-gratings-nwaves) de l’une tombe sur le premier zéro de l’autre (critère de Rayleigh), ce qui a lieu pour

$$
\frac\lambda{\Delta\lambda} = pN :
$$

le *pouvoir de résolution* est l’ordre multiplié par le nombre de traits éclairés. Il s’écrit aussi $W(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$ avec $W = Na$ la largeur du réseau : la plus grande [différence de marche](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/19-interferences-a-deux-ondes#thm-b2-two-wave-interference-formula) à travers le réseau, en longueurs d’onde — d’où les réseaux de plusieurs dizaines de centimètres des grands spectrographes, utilisés sous incidence rasante.

**Démonstration.** Le maximum d’ordre $p$ pour $\lambda + \Delta\lambda$ est en $\varphi = 2\pi p$ pour cette longueur d’onde, c’est-à-dire en $\delta = p(\lambda + \Delta\lambda)$ ; le premier zéro du maximum pour $\lambda$ est en $\delta = p\lambda + \lambda/N$. En égalant : $p\Delta\lambda = \lambda/N$. Puis $pN =
Na(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$. ∎

**Exemple 21.5 (Séparer les raies du sodium).**

Le doublet, $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ à $589\,\mathrm{nm}$, demande $R = 1000$ : mille traits au premier ordre, $2\,\mathrm{mm}$ d’un réseau à $600\,\mathrm{traits}/\mathrm{mm}$. Sa propre largeur de raie, $0.02\,\mathrm{nm}$, demande $R = 30\,000$ : un réseau de $5\,\mathrm{cm}$ au premier ordre, ou $2.5\,\mathrm{cm}$ au second — et un réseau de $10\,\mathrm{cm}$ à $1200\,\mathrm{traits}/\mathrm{mm}$ au second ordre atteint $240\,000$, résolvant $0.0025\,\mathrm{nm}$ : la largeur d’une raie élargie par l’agitation thermique des atomes, et le décalage Doppler d’une étoile allant à $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

![Le critère de Rayleigh : le maximum d’une longueur d’onde sur le premier zéro de l’autre ; la somme (tiretée) montre un creux d’environ 20\% entre deux raies résolues.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-3d94e7d8dff0.svg)

*Le critère de Rayleigh : le maximum d’une longueur d’onde sur le premier zéro de l’autre ; la somme (tiretée) montre un creux d’environ $20\%$ entre deux raies résolues.*

## 21.4 La cavité de Fabry–Pérot

**Proposition 21.6 (Interférences à ondes multiples par division d’amplitude).**

Deux miroirs parallèles partiellement réfléchissants (réflectance en intensité $R$) distants de $L$ ne transmettent une onde sous incidence normale que dans la mesure où les ondes ayant rebondi $0, 1, 2, \dots$ fois entre eux s’ajoutent en phase : avec $\varphi = 4\pi L/\lambda$ la phase d’un aller-retour, l’intensité transmise vaut ([fonction d’Airy](#prop-b2-gratings-fabryperot))

$$
\frac{I_t}{I_0} = \frac1{1 + F\sin^2(\varphi/2)} , \qquad F = \frac{4R}{(1 - R)^2} :
$$

des pics étroits de transmission totale en $2L = p\lambda$ (les *résonances* de la cavité, espacées en fréquence de l’*[intervalle spectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot)* $c/2L$), de largeur relative $1/\mathcal F$ avec la *finesse* $\mathcal F = \pi
\sqrt R/(1 - R)$ — $30$ pour $R = 0.9$, $300$ pour $R = 0.99$. Elle égale le réseau en pouvoir de résolution ($p\mathcal F$ avec $p = 2L/\lambda \sim 10^5$, d’où $R \sim
10^7$) et, refermée sur elle-même, devient le résonateur du laser ([Chapitre 23](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/23-le-laser-emission-stimulee-et-faisceaux-gaussiens#ch-b2-laser)).

**Démonstration.** Chaque aller-retour multiplie l’amplitude par $R\eu^{\iu\varphi}$ (à une phase constante près) ; l’amplitude transmise vaut $t^2a\sum(R\eu^{\iu\varphi})^k =
t^2a/(1 - R\eu^{\iu\varphi})$ avec $t^2 = 1 - R$ ; son module carré vaut $(1 - R)^2/
(1 - 2R\cos\varphi + R^2) = (1 - R)^2/[(1 - R)^2 + 4R\sin^2(\varphi/2)]$. Pics en $\varphi = 2\pi p$ ; mi-hauteur là où $F\sin^2(\varphi/2) = 1$, c’est-à-dire $\Delta\varphi \approx
4/\sqrt F = 2(1 - R)/\sqrt R$, à comparer aux $2\pi$ entre pics. ∎

![La transmission d’Airy d’une cavité de Fabry–Pérot : transmission totale aux résonances 2L = p, pics d’autant plus étroits que la réflectance des miroirs est grande.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-cd76e0309f1b.svg)

*La transmission d’Airy d’une cavité de Fabry–Pérot : transmission totale aux résonances $2L = p\lambda$, pics d’autant plus étroits que la réflectance des miroirs est grande.*

**Méthode 21.7 (Calculs de réseau).**

(1) Pas $a = 1/(\text{traits par mm})$ ; [équation des réseaux](#prop-b2-gratings-equation) avec les signes des angles. (2) Lister les ordres qui existent ($|\sin\theta| \le 1$) et vérifier leur recouvrement ($p\lambda_{\max}$ contre $(p + 1)\lambda_{\min}$). (3) Dispersion $p/a\cos\theta$, convertie en position sur le détecteur avec la distance focale : $\dd x = f\,\dd\theta$. (4) Pouvoir de résolution $pN$ avec $N$ le nombre de traits réellement éclairés ; comparer $\lambda/R$ à la structure à résoudre. (5) Pour un instrument réel, ajouter la largeur de la fente d’entrée (elle brouille les raies) et les pixels du détecteur.

## 21.5 Exercices

**Exercice 21.1 ★.**

Un réseau de $500$ traits par millimètre sous incidence normale, $\lambda =
550\,\mathrm{nm}$ : angles des ordres ; ordre le plus élevé ; largeur angulaire du spectre visible du premier ordre ($400$–$700\,\mathrm{nm}$) ; même réseau sous incidence de $30{}^{\circ}$ : ordres de chaque côté.

**Solution de Exercice 21.1.**

$a = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\sin\theta_p = 0.275p$ : $16.0{}^{\circ}$, $33.4{}^{\circ}$, $55.6{}^{\circ}$ ; pas de quatrième ordre. Visible du premier ordre de $11.5{}^{\circ}$ à $20.5{}^{\circ}$ : $9{}^{\circ}$. À $30{}^{\circ}$ : $\sin\theta = 0.5 + 0.275p$ : $p = +1$ ($51{}^{\circ}$) d’un côté, $p = -1$ à $-5$ ($13^\circ$, $-3^\circ$, $-19^\circ$, $-37^\circ$, $-61^\circ$) de l’autre.

**Exercice 21.2 ★.**

Le doublet du sodium avec un réseau de $600$ traits/mm et une lentille de $f =
50\,\mathrm{cm}$ : séparation angulaire et linéaire des deux raies sur le détecteur aux premier et second ordres ; taille de pixel nécessaire pour les distinguer.

**Solution de Exercice 21.2.**

$a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$. Ordre 1 : $\theta = 20.7{}^{\circ}$, $\Delta\theta = \Delta\lambda/a\cos\theta =
3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$, $0.19\,\mathrm{mm}$ ; ordre 2 : $\theta = 45{}^{\circ}$, $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$, $0.51\,\mathrm{mm}$. Pixels de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ou moins.

**Exercice 21.3 ★.**

Pouvoir de résolution d’un réseau de $2\,\mathrm{cm}$ à $600$ traits/mm aux ordres $1$, $2$, $3$ ; plus petit $\Delta\lambda$ résolu à $550\,\mathrm{nm}$ ; sépare-t-il le doublet du sodium ? La raie H$\alpha$ de l’hydrogène de sa jumelle du deutérium (distantes de $0.18\,\mathrm{nm}$) ?

**Solution de Exercice 21.3.**

$N = 12\,000$ : $R = 12\,000$, $24\,000$, $36\,000$ ; $\Delta\lambda = 0.046$, $0.023$, $0.015\,\mathrm{nm}$ ; le doublet ($0.6\,\mathrm{nm}$) et la paire H/D ($0.18\,\mathrm{nm}$, exigeant $R = 3600$) sont aisément séparés.

**Exercice 21.4 ★.**

Un disque compact ($a = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$) et un DVD ($a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$) éclairés sous incidence normale : angles du violet et du rouge au premier ordre ; quels ordres existent pour chacun ; pourquoi le CD montre-t-il deux arcs-en-ciel et le DVD un seul ?

**Solution de Exercice 21.4.**

CD : violet $14.5{}^{\circ}$, rouge $25.9{}^{\circ}$ ; le rouge existe jusqu’à l’ordre 2, le violet jusqu’à l’ordre 4 : deux arcs-en-ciel (partiellement recouverts). DVD : violet $32.7{}^{\circ}$, rouge $71{}^{\circ}$ ; le rouge n’a que le premier ordre : un seul arc-en-ciel, plus large.

**Exercice 21.5 ★★.**

*Le motif à $N$ fentes.* (a) Montrer qu’entre deux maxima principaux il y a $N - 1$ zéros et $N - 2$ maxima secondaires. (b) Pour $N$ grand, intensité du premier [maximum secondaire](#thm-b2-gratings-nwaves) relativement au principal (en $N\varphi/2 \approx 3\pi/2$) : environ $1/22$. (c) Esquisser le motif pour $N = 3$ et $N = 6$ et donner les hauteurs des maxima secondaires pour $N = 3$. (d) Fraction de l’énergie totale dans les maxima principaux pour $N$ grand (comparer les intégrales du pic, de largeur $\propto 1/N$ et de hauteur $\propto N^2$, au reste).

**Solution de Exercice 21.5.**

(a) Zéros en $\varphi = 2\pi m/N$, $m = 1, \dots, N - 1$ : $N - 1$ zéros, $N - 2$ maxima entre eux. (b) En $N\varphi/2 = 3\pi/2$, $I \approx I_0/\sin^2(3\pi/2N) \approx I_0(2N/3\pi)^2$ : $4/9\pi^2 = 0.045$ de $N^2I_0$. (c) $N = 3$ : un seul [maximum secondaire](#thm-b2-gratings-nwaves) en $\varphi = \pi$, de hauteur $I_0$, le neuvième du principal $9I_0$ ; $N = 6$ : quatre maxima secondaires de quelques pour cent. (d) Le lobe central de $\sin^2x/x^2$ retient $90\%$ de l’énergie.

**Exercice 21.6 ★★.**

*Recouvrement des ordres.* (a) Montrer que l’ordre $p$ de $\lambda_{\max}$ recouvre l’ordre $p + 1$ de $\lambda_{\min}$ quand $p\lambda_{\max} > (p + 1)\lambda_{\min}$ ; pour $400$–$700\,\mathrm{nm}$, à partir de quel ordre ? (b) [Intervalle spectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) à l’ordre $p$ : $\Delta\lambda_{\text{ISL}}
= \lambda/p$. (c) Un spectrographe travaille à l’ordre $20$ vers $500\,\mathrm{nm}$ (un réseau échelle) : [intervalle spectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) ; comment lève-t-on le recouvrement (disperseur croisé) ? (d) L’[intervalle spectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) du Fabry–Pérot vaut $c/2L$ : l’écrire en longueur d’onde et le comparer à celui du réseau.

**Solution de Exercice 21.6.**

(a) $p > \lambda_{\min}/(\lambda_{\max} - \lambda_{\min}) = 1.33$ : à partir de $p = 2$. (b) $\lambda/p$. (c) $25\,\mathrm{nm}$ ; un prisme croisé avec le réseau empile les ordres les uns au-dessus des autres. (d) $\Delta\lambda = \lambda^2/2L$, une fraction de nanomètre — des centaines de fois moins que pour un réseau.

**Exercice 21.7 ★★.**

*Réseau blazé.* Un réseau par réflexion a ses traits inclinés de l’angle de blaze $\beta$ pour que chaque facette réfléchisse spéculairement dans la direction où l’on veut l’ordre $p$. (a) Pour le montage de Littrow ($\theta = \theta_0 = \beta$) : montrer $2a\sin\beta = p\lambda$ ; angle de blaze pour $500\,\mathrm{nm}$ au premier ordre avec $1200$ traits/mm. (b) Pourquoi le blaze envoie-t-il l’essentiel de la lumière dans un seul ordre (penser à l’enveloppe de la diffraction d’une seule facette, [Chapitre 22](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/22-diffraction-de-fraunhofer-et-filtrage-spatial#ch-b2-diffraction)) ? (c) Le même réseau est blazé pour $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : à quel ordre est-il efficace à $500\,\mathrm{nm}$ ? (d) Pouvoir de résolution d’un réseau de $10\,\mathrm{cm}$ en Littrow à $\beta = 64{}^{\circ}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ (utiliser $R = 2W\sin\beta/\lambda$).

**Solution de Exercice 21.7.**

(a) $\sin\beta = \lambda/2a = 0.3$, $\beta = 17.5{}^{\circ}$. (b) La facette seule diffracte en un large lobe centré sur sa direction spéculaire ; les ordres qui tombent dedans reçoivent la lumière. (c) Ordre 2 ($2 \times 500\,\mathrm{nm} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ sous le même angle). (d) $R = 2W\sin\beta/\lambda = 3.6 \times 10^5$.

**Exercice 21.8 ★★.**

*La fente.* La fente d’entrée d’un spectromètre, de largeur $s$, est imagée sur le détecteur au grandissement $1$ ; le réseau ($600$ traits/mm, $5\,\mathrm{cm}$, ordre $1$, $f = 50\,\mathrm{cm}$) disperse. (a) Largeur d’une raie sur le détecteur due à la seule fente pour $s = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$, en nm. (b) Largeur due au pouvoir de résolution du réseau. (c) Laquelle domine ; largeur de fente pour laquelle les deux s’égalent. (d) Pourquoi ne pas fermer la fente davantage ?

**Solution de Exercice 21.8.**

(a) $\dd\lambda/\dd x = a\cos\theta/pf = 3.1\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$ : $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ font $0.16\,\mathrm{nm}$. (b) $R = 30\,000$ : $0.018\,\mathrm{nm}$. (c) La fente, par un facteur neuf ; égalité en $s = 6\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) La diffraction à la fente et un détecteur affamé.

**Exercice 21.9 ★★.**

*Fabry–Pérot.* Miroirs $R = 0.95$, $L = 5\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$. (a) Ordre $p$, [intervalle spectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) en fréquence et en longueur d’onde. (b) Finesse ; largeur d’un pic de transmission en fréquence et en longueur d’onde. (c) Pouvoir de résolution $p\mathcal F$ ; comparer au réseau de $10\,\mathrm{cm}$. (d) Pourquoi un Fabry–Pérot est-il toujours employé avec un préfiltre ou un réseau ?

**Solution de Exercice 21.9.**

(a) $p = 2L/\lambda = 16\,700$ ; ISL $c/2L = 30\,\mathrm{GHz}$, $\lambda^2/2L = 0.036\,\mathrm{nm}$. (b) $\mathcal F
= \pi\sqrt{0.95}/0.05 = 61$ ; $0.5\,\mathrm{GHz}$, $0.6\,\mathrm{pm}$. (c) $p\mathcal F = 10^6$, quatre fois celui du réseau de $10\,\mathrm{cm}$. (d) Son [intervalle spectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) est une fraction de nanomètre : les ordres se recouvrent à moins de préfiltrer la lumière sur l’un d’eux.

**Exercice 21.10 ★★★.**

*La limite d’un réseau.* (a) Montrer que $R = pN = W(\sin\theta - \sin\theta_0)
/\lambda \le 2W/\lambda$ : le pouvoir de résolution ne peut dépasser la largeur du réseau en longueurs d’onde, multipliée par deux. (b) Interpréter : la plus grande [différence de marche](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/19-interferences-a-deux-ondes#thm-b2-two-wave-interference-formula) entre les rayons extrêmes. (c) Un réseau de $30\,\mathrm{cm}$ à $500\,\mathrm{nm}$ : $R$ ultime ; plus petite vitesse décelable par décalage Doppler ($\Delta\lambda/\lambda = v/c$). (d) Pourquoi les astronomes atteignent-ils néanmoins $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (penser à mesurer la position d’une raie à une fraction de sa largeur, sur de nombreuses raies) ?

**Solution de Exercice 21.10.**

(a) $|\sin\theta - \sin\theta_0| \le 2$. (b) Les rayons extrêmes diffèrent en marche de $W(\sin\theta - \sin\theta_0)$, au plus $2W$. (c) $2 \times 0.3/5 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^6$ ; $c/R
= 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) Le centre d’une raie se localise au centième de sa largeur, et mille raies moyennent en $\sqrt{1000}$ : des mètres par seconde, au prix d’une stabilité héroïque.

**Exercice 21.11 ★★★.**

*Bragg.* Un cristal est un réseau à trois dimensions : des rayons X réfléchis par des plans atomiques successifs distants de $d$, sous l’angle rasant $\theta$, interfèrent constructivement quand $2d\sin\theta = p\lambda$ (Bragg). (a) L’établir à partir de la [différence de marche](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/19-interferences-a-deux-ondes#thm-b2-two-wave-interference-formula) entre deux plans. (b) Le rayonnement K$\alpha$ du cuivre ($0.154\,\mathrm{nm}$) sur le sel gemme ($d = 0.282\,\mathrm{nm}$) : les angles de Bragg. (c) Pourquoi les longueurs d’onde visibles ne donnent-elles aucune réflexion de Bragg sur les cristaux, et que dit la réciproque (aucune diffraction des rayons X par le verre) du verre ? (d) Pourquoi faut-il $\lambda < 2d$ ?

**Solution de Exercice 21.11.**

(a) L’onde réfléchie par le plan inférieur parcourt $2d\sin\theta$ de plus. (b) $\sin\theta = 0.273p$ : $15.8{}^{\circ}$, $33.1{}^{\circ}$, $55.0{}^{\circ}$. (c) $\lambda \gg 2d$ : aucun angle ne satisfait l’équation ; le verre n’a pas de plans réguliers, d’où seulement des anneaux diffus — il est amorphe. (d) $\sin\theta \le 1$.

**Exercice 21.12 ★★★.**

*Réseau phasé.* $N$ antennes identiques en ligne, espacées de $a$, alimentées avec la même amplitude et un saut de phase $\psi$ entre voisines. (a) Montrer que le champ rayonné dans la direction $\theta$ est celui de la somme de $N$ ondes avec $\varphi = 2\pi a\sin\theta/\lambda - \psi$ : le faisceau principal pointe là où $\sin\theta = \lambda\psi/2\pi a$. (b) Demi-largeur du faisceau principal, $\Delta\theta
\approx \lambda/Na\cos\theta$. (c) Pourquoi faut-il $a \le \lambda/2$ pour éviter un second faisceau principal (un lobe de réseau) lors du balayage ? (d) Un radar à $64$ éléments espacés de $\lambda/2$, $\lambda = 3\,\mathrm{cm}$ : largeur du faisceau ; temps pour balayer $90^\circ$ par pas d’une largeur de faisceau si les phases commutent en $1\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Solution de Exercice 21.12.**

(a) Les voisines diffèrent en phase de $2\pi a\sin\theta/\lambda$ par le trajet et de $-\psi$ par l’alimentation ; le [maximum principal](#thm-b2-gratings-nwaves) en $\varphi = 0$. (b) Premier zéro en $\Delta\varphi = 2\pi/N$ : $\Delta\theta = \lambda/Na\cos\theta$. (c) Un second [maximum principal](#thm-b2-gratings-nwaves) en $\varphi = \pm2\pi$ exige $|\sin\theta \pm \lambda/a| \le 1$ : impossible pour tout angle de pointage seulement si $a \le \lambda/2$. (d) $Na = 0.96\,\mathrm{m}$ : $1.8{}^{\circ}$ ; $50$ pas, $50\,\text{µ}\mathrm{s}$.

## 21.6 Problème : un spectrographe pour une étoile

**Problème 21.1.**

Problème du week-end — concevoir le spectrographe qui lit la lumière d’une étoile : le réseau, le détecteur, les raies de l’hydrogène, et le vacillement d’une planète

Un spectrographe : fente d’entrée, collimateur de distance focale $f_1 =
1.0\,\mathrm{m}$, un réseau par réflexion de $1200$ traits/mm et de largeur $W =
12\,\mathrm{cm}$, une caméra de $f_2 = 1.0\,\mathrm{m}$, un détecteur à pixels de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$. Il travaille au premier ordre, autour de $550\,\mathrm{nm}$, avec le réseau sous incidence de $20{}^{\circ}$.

**Partie I — Le réseau.**

1. Pas du réseau ; nombre de traits éclairés si le faisceau couvre toute la largeur.
2. Angle de diffraction de $550\,\mathrm{nm}$ au premier ordre ; de $400\,\mathrm{nm}$ et $700\,\mathrm{nm}$ ; largeur angulaire du spectre visible.
3. [Dispersion angulaire](#prop-b2-gratings-equation) à $550\,\mathrm{nm}$ ; dispersion linéaire sur le détecteur en nm par mm et en nm par pixel.
4. Pouvoir de résolution ; plus petit $\Delta\lambda$ résolu à $550\,\mathrm{nm}$ ; en pixels.
5. Le violet du second ordre tombe-t-il sur le visible du premier ordre ? Quel filtre l’élimine ?
6. Longueur de détecteur nécessaire pour tout le spectre visible au premier ordre.
7. Le réseau est blazé à $17{}^{\circ}$ : pour quelle longueur d’onde est-il le plus efficace au premier ordre sous cette incidence (utiliser l’estimation de Littrow $2a\sin\beta = \lambda$ ) ?
8. Le réseau renvoie $80\%$ de la lumière à la longueur d’onde de blaze et le télescope plus l’optique $40\%$ : fraction des photons de l’étoile qui atteignent le détecteur.

**Partie II — Les raies.**

9. Les raies de Balmer de l’hydrogène de l’étoile : H $\alpha$ $656.3\,\mathrm{nm}$ , H $\beta$ $486.1\,\mathrm{nm}$ , H $\gamma$ $434.0\,\mathrm{nm}$ : leurs positions sur le détecteur relativement à $550\,\mathrm{nm}$ .
10. La raie H $\alpha$ d’un atome de deutérium est plus courte de $0.18\,\mathrm{nm}$ : séparées ? De combien de pixels ?
11. Le doublet du sodium dans le spectre de l’étoile : séparation en pixels ; et largeur de chaque raie si l’atmosphère de l’étoile les élargit à $0.05\,\mathrm{nm}$ .
12. La fente d’entrée fait $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ de large, imagée au grandissement $f_2/f_1$ : sa largeur sur le détecteur en pixels et en nm ; le spectrographe est-il limité par la fente ou par le réseau ?
13. La lumière du télescope arrive comme un disque de $1''$ sur le ciel, que le télescope ( $f = 20\,\mathrm{m}$ ) rend large de $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ à la fente : fraction de lumière perdue si la fente est rétrécie à $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (prendre le disque uniforme).
14. Pourquoi une fente plus étroite donne-t-elle des raies plus fines mais des spectres plus bruités ?

**Partie III — L’étoile bouge.**

15. Une étoile s’éloigne à $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : décalage Doppler de H $\alpha$ en nm et en pixels.
16. Le mouvement orbital de la Terre ajoute $\pm30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ sur l’année : pourquoi faut-il le soustraire, et à quelle précision si l’on veut $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
17. Une planète fait vaciller son étoile à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : décalage en nm et en pixels ; est-il sous la résolution ? Expliquer comment la mesure du centre d’une raie au centième de sa largeur, sur un millier de raies, le retrouve (gain statistique $\sqrt{N}$ ).
18. La température de l’instrument change de $1\,\mathrm{K}$ , et le réseau (verre, dilatation $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) se dilate : décalage des raies en pixels ; quelle stabilité faut-il pour $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
19. Une lampe d’étalonnage (thorium–argon) pose des centaines de raies connues sur le même détecteur : expliquer son rôle.

**Partie IV — Variantes.**

20. La même largeur de réseau gravée à $300$ traits/mm et utilisée au quatrième ordre (avec un disperseur croisé pour trier les ordres) : angle de diffraction, pouvoir de résolution, dispersion et [intervalle spectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) à $550\,\mathrm{nm}$ ; qu’est-ce qui change, qu’est-ce qui ne change pas ?
21. Un étalon de Fabry–Pérot ( $L = 1\,\mathrm{mm}$ , $R = 0.9$ ) placé avant la fente : [intervalle spectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) en nm, finesse, largeur des pics ; à quoi ressemble son peigne de pics de transmission sur le détecteur, et à quoi sert-il ?
22. Un prisme de $60{}^{\circ}$ en verre avec $\dd n/\dd\lambda = -1 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}^{-1}$ a la [dispersion angulaire](#prop-b2-gratings-equation) $\dd D/\dd\lambda \approx 2\,\dd n/\dd\lambda$ près du minimum de déviation : comparer à celle du réseau ; pourquoi les réseaux ont-ils remplacé les prismes ?
23. Pourquoi les plus grands spectrographes astronomiques sont-ils bâtis avec des réseaux d’un mètre de large et utilisés sous de grands angles (la limite $2W/\lambda$ ) ?
24. Une étoile de magnitude 8 délivre $1 \times 10^{4}\,$ photons par seconde et par nanomètre au télescope : photons par pixel et par seconde sur le détecteur, et rapport signal sur bruit d’une pose de $100\,\mathrm{s}$ (bruit de photons seul).
25. Résumer : les trois nombres qui décrivent un spectrographe (dispersion, pouvoir de résolution, [intervalle spectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) ) et ce qui fixe chacun.

**Solution de Problème 21.1.**

**1.** $a = 0.833\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $N = 144\,000$.

**2.** $\sin\theta = \sin20^\circ - \lambda/a$ (l’ordre se trouve de l’autre côté de la normale) : $550\,\mathrm{nm}$ à $18.5{}^{\circ}$, $400\,\mathrm{nm}$ à $7.9{}^{\circ}$, $700\,\mathrm{nm}$ à $29.9{}^{\circ}$ : $22{}^{\circ}$ de spectre.

**3.** $1/a\cos\theta = 1.27 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$ ; $f_2\times$ : $1.27\,\mathrm{mm}/\mathrm{nm}$, soit $0.79\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$, $0.012\,\mathrm{nm}$ par pixel.

**4.** $R = N = 144\,000$ : $0.0038\,\mathrm{nm}$, le tiers d’un pixel.

**5.** Le $400\,\mathrm{nm}$ du second ordre tombe là où le $800\,\mathrm{nm}$ du premier tomberait, au-delà du rouge : pas de recouvrement dans le visible ; il commencerait à $350\,\mathrm{nm}$, qu’un filtre de verre élimine.

**6.** $22{}^{\circ}$ $\times$ $1\,\mathrm{m}$ $= 38\,\mathrm{cm}$ : un détecteur en couvre une tranche ; on tourne le réseau pour la choisir.

**7.** $\lambda = 2a\sin17^\circ = 490\,\mathrm{nm}$.

**8.** $0.8 \times 0.4 = 32\%$.

**9.** Angles $26.5{}^{\circ}$, $14.0{}^{\circ}$, $10.3{}^{\circ}$ : $+14$, $-8$ et $-14\,\mathrm{cm}$ de la position du $550\,\mathrm{nm}$.

**10.** $0.18\,\mathrm{nm}$ font $15$ pixels : séparées.

**11.** $50$ pixels d’écart, chacune large de $4$ pixels.

**12.** $100\,\text{µ}\mathrm{m}$, $6.7$ pixels, $0.08\,\mathrm{nm}$ — vingt fois la limite du réseau : limité par la fente.

**13.** L’image fait $97\,\text{µ}\mathrm{m}$ de large : une fente de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ laisse passer la moitié de la lumière.

**14.** Moins de lumière pour la même finesse : le bruit de photons croît.

**15.** $\Delta\lambda = \lambda v/c = 0.066\,\mathrm{nm}$, $5.5$ pixels.

**16.** La vitesse de la Terre décale chaque raie de $\pm5.5$ pixels au plus sur l’année ; les éphémérides la donnent bien mieux que les $0.3\%$ nécessaires pour $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**17.** $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$, $0.002$ pixel — très en deçà de la largeur de raie. Un centroïde au centième d’une raie de $7\,\mathrm{px}$ vaut $0.07\,\mathrm{px}$ ; mille raies donnent $\sqrt{1000}$ : $0.002$ pixel — le signal, tout juste. Les instruments réels ajoutent du pouvoir de résolution et de la stabilité.

**18.** $\Delta\sin\theta = (\lambda/a) \times 10^{-5} = 6.6 \times 10^{-6}$, $\Delta\theta = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$, $7\,\text{µ}\mathrm{m}$ : un demi-pixel par kelvin — des millikelvins pour $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**19.** Ses raies, enregistrées au même instant sur les mêmes pixels, donnent l’échelle des longueurs d’onde et suivent toute dérive.

**20.** $a = 3.33\,\text{µ}\mathrm{m}$, $N = 36\,000$, même angle ($18.5{}^{\circ}$), $R = 4N
= 144\,000$, même dispersion, ISL $\lambda/4 = 137\,\mathrm{nm}$ : pouvoir de résolution et dispersion ne dépendent que de $W$ et de l’angle ; l’[intervalle spectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot) a rétréci.

**21.** ISL $\lambda^2/2L = 0.15\,\mathrm{nm}$ ($12$ pixels) ; $\mathcal F = 30$ ; pics larges de $0.005\,\mathrm{nm}$ : un peigne de raies fines en travers du détecteur, une règle à longueurs d’onde.

**22.** $2 \times 10^{-4}$ contre $1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$ : six fois moins, et le pouvoir de résolution d’un prisme ($b\,\dd n/\dd\lambda \sim 10^4$) comme son échelle non linéaire sont perdants aussi ; les réseaux fonctionnent en outre dans l’ultraviolet.

**23.** $R \le 2W/\lambda$ : $4 \times 10^6$ pour un mètre à $500\,\mathrm{nm}$ — largeur et angle sont les seules voies vers le haut.

**24.** $10^4 \times 0.012 \times 0.32 = 38$ photons par pixel et par seconde ; $3800$ en $100\,\mathrm{s}$ : RSB $\approx 60$.

**25.** La dispersion, fixée par $p/a\cos\theta$ et la distance focale de la caméra ; le pouvoir de résolution, par la largeur éclairée et les angles ($pN$) ; l’[intervalle spectral libre](#prop-b2-gratings-fabryperot), par l’ordre ($\lambda/p$).