--- title: "Le facteur de Boltzmann" book: "Physique universitaire — 2e année" subject: physics language: fr chapter: 29 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/29-le-facteur-de-boltzmann --- # Chapitre 29 — Le facteur de Boltzmann Grimpez une montagne et l’air se raréfie : à trois mille mètres la pression est tombée à $0.7\,\mathrm{bar}$, au sommet de l’Everest au tiers de sa valeur au niveau de la mer. Rien ne retient l’atmosphère par le haut ; elle est tenue par la pesanteur et étalée par l’agitation thermique, et le compromis entre les deux est une exponentielle, $n \propto \eu^{-mgz/k_BT}$ — le rapport de l’énergie potentielle d’une molécule à $k_BT$ décide de sa rareté là-haut. La même exponentielle gouverne la fraction d’atomes dans un niveau excité, le nombre de molécules assez rapides pour quitter une planète, l’aimantation d’un paramagnétique, les populations qu’un laser doit inverser, et les quanta que compte la loi de Planck : c’est le *facteur de Boltzmann*, la formule la plus utile à elle seule de la physique statistique. Ce chapitre le motive par l’atmosphère, l’énonce en général, et en tire, avec rien de plus que des sommes et des intégrales gaussiennes, le système à deux niveaux et sa capacité thermique, l’équipartition de l’énergie, la distribution des vitesses moléculaires, et la [loi de Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) du paramagnétisme — avec, en chemin, l’énergie moyenne d’un oscillateur quantique, qui est la formule de Planck. ![Depuis un sommet, la brume de la basse atmosphère et le bleu profond au-dessus : la densité de l’air baisse d’un facteur tous les 8\, km — le facteur de Boltzmann de l’énergie potentielle d’une molécule dans la pesanteur terrestre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/img-58b01b56256f.jpg) *Depuis un sommet, la brume de la basse atmosphère et le bleu profond au-dessus : la densité de l’air baisse d’un facteur $\eu$ tous les $8\,\mathrm{km}$ — le facteur de Boltzmann de l’énergie potentielle d’une molécule dans la pesanteur terrestre.* ## 29.1 L’atmosphère isotherme **Proposition 29.1 (Loi barométrique).** Dans une atmosphère de gaz parfait (masse moléculaire $m$) à température uniforme $T$ dans la pesanteur uniforme $g$, la pression et la [densité en nombre](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/24-diffusion-de-particules#def-b2-particle-diffusion-flux) décroissent exponentiellement avec l’altitude : $$ P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad n(z) = n_0\,\eu^{-mgz/k_BT}, \qquad H = \frac{k_BT}{mg} , $$ avec la *hauteur d’échelle* $H \approx 8.4\,\mathrm{km}$ pour l’air à $288\,\mathrm{K}$. L’exposant est le rapport de l’énergie potentielle $mgz$ d’une molécule à l’énergie thermique $k_BT$. **Démonstration.** Hydrostatique, $\dd P/\dd z = -\rho g = -nmg$, et loi des gaz parfaits $P = nk_BT$ : $\dd P/\dd z = -(mg/k_BT)P$, une exponentielle. L’atmosphère réelle se refroidit avec l’altitude (environ $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ dans les dix premiers kilomètres), ce qui rend la décroissance un peu plus rapide ; le modèle isotherme est bon à $20\%$ près. ∎ ![L’atmosphère isotherme : pression et densité baissent d’un facteur 1/ à chaque hauteur d’échelle H = k_BT/mg ; un gaz plus léger aurait un H plus grand — mais sous 100\, km la turbulence garde l’air mélangé, et tous les gaz partagent le H moyen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-6794326be774.svg) *L’atmosphère isotherme : pression et densité baissent d’un facteur $1/\eu$ à chaque [hauteur d’échelle](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) $H = k_BT/mg$ ; un gaz plus léger aurait un $H$ plus grand — mais sous $100\,\mathrm{km}$ la turbulence garde l’air mélangé, et tous les gaz partagent le $H$ moyen.* ## 29.2 Le facteur de Boltzmann **Théorème 29.2 (Facteur de Boltzmann).** Un système en équilibre thermique avec un thermostat à la température $T$ se trouve dans un état microscopique donné d’énergie $E$ avec une probabilité proportionnelle à $$ \eu^{-E/k_BT} . $$ D’où, pour un ensemble d’états discrets d’énergies $E_i$, $$ p_i = \frac{\eu^{-E_i/k_BT}}{Z}, \qquad Z = \sum_i\eu^{-E_i/k_BT} , $$ la somme $Z$ (la *fonction de partition*) normalisant les probabilités ; deux états (ou deux niveaux de même dégénérescence) sont peuplés dans le rapport $N_2/N_1 = \eu^{-(E_2 - E_1)/k_BT}$ ; et pour une variable continue (une position, une vitesse) la densité de probabilité est proportionnelle à $\eu^{-E/k_BT}$ en cette variable. À $300\,\mathrm{K}$, $k_BT = 4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.026\,\mathrm{eV}$ : tout ce qui coûte bien davantage est rare, tout ce qui coûte bien moins est librement excité. **Démonstration.** La loi barométrique est le facteur pour l’énergie potentielle $mgz$ ; nous en admettons la généralité, mais voici l’argument (rendu rigoureux dans le volume de troisième année). Le thermostat $R$ est grand ; quand notre petit système est dans un état d’énergie $E$, le thermostat a l’énergie $E_{\text{tot}} - E$, et peut être dans $\Omega_R(E_{\text{tot}} - E)$ états microscopiques, tous également probables (le postulat fondamental pour un tout isolé). Donc $p(E) \propto \Omega_R(E_{\text{tot}} - E)$. Avec la définition de Boltzmann de l’entropie, $S_R = k_B\ln\Omega_R$, et $1/T = \dd S_R/\dd E_R$ pour le thermostat, $\ln\Omega_R(E_{\text{tot}} - E) \approx \ln\Omega_R(E_{\text{tot}}) - E/k_BT$ puisque $E \ll E_{\text{tot}}$ ; il reste à exponentier. ∎ **Exemple 29.3 (Populations des niveaux atomiques).** Le premier niveau excité de l’hydrogène est à $10.2\,\mathrm{eV}$ au-dessus du fondamental : à $300\,\mathrm{K}$, $\eu^{-395}$ — pas un atome dans l’univers ; à $6000\,\mathrm{K}$, la surface du Soleil, $\eu^{-19.7} \approx 3 \times 10^{-9}$ (fois une dégénérescence de $4$) : assez, dans l’énorme colonne de gaz du Soleil, pour les raies d’absorption de Balmer, les plus fortes dans les étoiles voisines de $10\,000\,\mathrm{K}$. La raie D du sodium ($2.1\,\mathrm{eV}$) dans une flamme à $2500\,\mathrm{K}$ : $\eu^{-9.8} = 6 \times 10^{-5}$ des atomes sont excités, ce qui donne la flamme jaune d’une pincée de sel. Et le milieu laser du [Chapitre 23](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/23-le-laser-emission-stimulee-et-faisceaux-gaussiens#ch-b2-laser) : le facteur dit que son niveau supérieur est vide à l’équilibre, et que le pompage doit lutter contre lui. ## 29.3 Niveaux discrets : le système à deux niveaux et l’oscillateur **Proposition 29.4 (Énergie moyenne à partir de la fonction de partition).** Avec $\beta = 1/k_BT$, $$ \langle E\rangle = \sum_ip_iE_i = -\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}, \qquad C = \frac{\dd\langle E\rangle}{\dd T} . $$ **Démonstration.** $\partial_\beta Z = -\sum E_i\eu^{-\beta E_i}$, on divise par $Z$. ∎ **Proposition 29.5 (Système à deux niveaux).** $N$ systèmes indépendants à deux niveaux $0$ et $\varepsilon$ (spins dans un champ, atomes à un seul niveau excité, défauts à deux positions) : $$ \frac{N_2}{N} = \frac{1}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad \langle E\rangle = \frac{N\varepsilon}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad C = Nk_B\,\frac{x^2\eu^x}{(\eu^x + 1)^2}, \quad x = \frac{\varepsilon}{k_BT} . $$ Le niveau supérieur est vide à basse température et au plus à moitié rempli à haute température (jamais inversé à l’équilibre) ; la capacité thermique s’annule aux deux bouts et culmine à $0.44\,Nk_B$ vers $k_BT = 0.42 \varepsilon$ — l’*anomalie de Schottky*, la signature d’un écart dans le spectre. **Démonstration.** $Z = 1 + \eu^{-x}$ ; $p_2 = \eu^{-x}/(1 + \eu^{-x})$ ; dériver $\langle E\rangle$ par rapport à $T$. ∎ ![Le système à deux niveaux : populations en fonction de la température (le niveau supérieur se remplit jusqu’à la moitié, jamais au-delà) et la capacité thermique de Schottky, une bosse là où k_BT vaut l’écart.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-7ca37b34add9.svg) *Le système à deux niveaux : populations en fonction de la température (le niveau supérieur se remplit jusqu’à la moitié, jamais au-delà) et la capacité thermique de Schottky, une bosse là où $k_BT$ vaut l’écart.* **Proposition 29.6 (L’oscillateur quantique et la formule de Planck).** Un oscillateur harmonique de fréquence $\nu$ a les niveaux $E_n = nh\nu$ (à une constante près) ; à la température $T$, $$ Z = \frac{1}{1 - \eu^{-h\nu/k_BT}}, \qquad \langle E\rangle = \frac{h\nu}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1} \ \longrightarrow\ \begin{cases} k_BT & (h\nu \ll k_BT), \\ h\nu\,\eu^{-h\nu/k_BT} & (h\nu \gg k_BT). \end{cases} $$ C’est l’énergie moyenne d’un mode du champ de rayonnement que la loi de Planck ([Chapitre 26](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/26-rayonnement-thermique#ch-b2-thermal-radiation)) multiplie par le nombre de modes, et l’énergie moyenne d’une vibration dans un solide : à haute température le $k_BT$ classique, à basse température un mode gelé. **Démonstration.** Série géométrique, puis $-\partial_\beta\ln Z$. ∎ **Exemple 29.7 (Capacité thermique des solides).** Traitons chaque atome d’un solide comme trois oscillateurs de même fréquence $\nu$ (Einstein, 1907) : $C = 3Nk_B\,x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$ avec $x = h\nu/k_BT$. Au-dessus de $\theta_{\text{E}} = h\nu/k_B$, $C \to 3Nk_B = 3R$ par mole — la loi de Dulong et Petit ($25\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$), suivie par le plomb, le cuivre, le fer à température ambiante ; bien au-dessous, $C$ s’effondre. Le diamant ($\theta_{\text{E}} \approx 1300\,\mathrm{K}$) n’a que $6\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$ à $300\,\mathrm{K}$, ce que la physique classique ne pouvait expliquer, et la capacité thermique de tout solide s’annule à basse température — le premier succès du quantum hors du rayonnement. ## 29.4 Équipartition et distribution de Maxwell **Théorème 29.8 (Équipartition de l’énergie).** Toute variable $q$ qui entre quadratiquement dans l’énergie, $E = aq^2 + \dots$, et parcourt toutes les valeurs réelles, contribue pour $\tfrac12k_BT$ à l’énergie moyenne à l’équilibre : $$ \langle aq^2\rangle = \tfrac12k_BT . $$ Un gaz monoatomique (trois translations) a $U = \tfrac32Nk_BT$ et $C_V = \tfrac32R$ par mole ; un gaz diatomique ajoute deux rotations, $C_V = \tfrac52R$, et sa vibration (deux termes quadratiques, mais quantifiée avec $h\nu \gg k_BT$ à température ambiante) reste gelée jusqu’à quelques milliers de kelvins. **Démonstration.** La densité de probabilité en $q$ vaut $\propto\eu^{-aq^2/k_BT}$, une gaussienne : $$ \langle aq^2\rangle = \frac{\int aq^2\,\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q}{\int\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q} = \tfrac12k_BT $$ (dériver $\int\eu^{-\lambda q^2}\dd q = \sqrt{\pi/\lambda}$ par rapport à $\lambda$). Le résultat exige le continuum : quand les niveaux sont espacés de plus de $k_BT$ le facteur gèle la variable, comme pour l’oscillateur ci-dessus. ∎ **Théorème 29.9 (Distribution des vitesses de Maxwell).** Dans un gaz à $T$, les composantes de la vitesse sont des gaussiennes indépendantes de variance $k_BT/m$, et la norme $v = |\vect v|$ a la densité de probabilité $$ f(v) = 4\pi\Big(\frac{m}{2\pi k_BT}\Big)^{3/2}v^2\,\eu^{-mv^2/2k_BT} , $$ avec les vitesses la plus probable, moyenne et quadratique moyenne $$ v_{\text{p}} = \sqrt{\frac{2k_BT}{m}}, \qquad \langle v\rangle = \sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}, \qquad v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}} , $$ dans les rapports $1 : 1.13 : 1.22$. Pour l’azote à $300\,\mathrm{K}$ : $422\,$, $476\,$, $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; pour l’hydrogène, $3.7$ fois plus ; la queue de la distribution, $\propto\eu^{-mv^2/2k_BT}$, est ce qui permet aux molécules les plus rapides de s’évaporer, de réagir ou de quitter une planète. **Démonstration.** L’énergie cinétique $\tfrac12m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$ donne le facteur $$ \eu^{-mv_x^2/2k_BT}\,\eu^{-mv_y^2/2k_BT}\,\eu^{-mv_z^2/2k_BT} : $$ trois gaussiennes indépendantes, chacune normalisée par $\sqrt{m/2\pi k_BT}$. La distribution des normes rassemble toutes les vitesses dans la coquille de rayon $v$ et de volume $4\pi v^2\dd v$. Puis $v_{\text{p}}$ vient de $\dd f/\dd v = 0$, et les moments de $\int_0^\infty v^3\eu^{-av^2}\dd v = 1/2a^2$, $\int_0^\infty v^4\eu^{-av^2}\dd v = \tfrac38\sqrt{\pi/a^5}$ ; $v_{\text{rms}}$ découle aussi de l’équipartition, $\tfrac12m\langle v^2\rangle = \tfrac32k_BT$. ∎ ![La distribution des vitesses de Maxwell pour l’azote à trois températures : le maximum se déplace en √ T, la courbe s’élargit, et la queue des grandes vitesses croît le plus vite de toutes — la queue qui décide de l’échappement et des vitesses de réaction.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-96188bb66847.svg) *La distribution des vitesses de Maxwell pour l’azote à trois températures : le maximum se déplace en $\sqrt T$, la courbe s’élargit, et la queue des grandes vitesses croît le plus vite de toutes — la queue qui décide de l’échappement et des vitesses de réaction.* **Exemple 29.10 (Qui quitte la planète).** La vitesse de libération terrestre vaut $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Dans l’exosphère, vers $1000\,\mathrm{K}$, l’hélium a $v_{\text{p}} = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : la fraction d’atomes au-dessus de la vitesse de libération est de l’ordre de $\eu^{-(11.2/2.0)^2} = \eu^{-31} \approx 10^{-13}$ — petite, mais renouvelée à chaque collision pendant des milliards d’années : l’hélium fuit, et son abondance dans l’air n’est que de $5\,\mathrm{ppm}$ malgré sa production constante par désintégration radioactive. Pour l’azote l’exposant est sept fois plus grand, $\eu^{-220}$ : l’azote reste. Sur la Lune ($v_{\text{lib}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$) même l’azote à $400\,\mathrm{K}$ ($v_{\text{p}} = 490\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) a $\eu^{-24}$ par temps de collision : sur l’âge du système solaire, aucune atmosphère ne survit. ## 29.5 Paramagnétisme et loi de Curie **Proposition 29.11 (Paramagnétique de spin 1/2).** $N$ moments magnétiques indépendants qui ne peuvent pointer que dans le sens du champ $B$ ou à son opposé, avec les énergies $\mp\mu B$, ont à la température $T$ le moment moyen et l’aimantation $$ \langle\mu_z\rangle = \mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT}, \qquad M = n\mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT} \ \longrightarrow\ \begin{cases} n\mu^2B/k_BT & (\mu B \ll k_BT):\ \text{loi de Curie}, \\ n\mu & (\mu B \gg k_BT):\ \text{saturation}. \end{cases} $$ La susceptibilité $\chi = \mu_0M/B = \mu_0n\mu^2/k_BT$ varie en $1/T$ (*loi de Curie*) ; avec $\mu = \mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$, $\mu B/k_BT = 2.2 \times 10^{-3}$ à $1\,\mathrm{T}$ et $300\,\mathrm{K}$, de sorte que les paramagnétiques ordinaires sont à peine aimantés ; à $1\,\mathrm{K}$ le même champ donne $0.67$ et la saturation commence. **Démonstration.** $p_\pm \propto\eu^{\pm\mu B/k_BT}$ : $\langle\mu_z\rangle = \mu(\eu^x - \eu^{-x})/(\eu^x + \eu^{-x})$ avec $x = \mu B/k_BT$ ; $\tanh x \approx x$ pour $x$ petit. ∎ ![Aimantation d’un paramagnétique de spin 1/2 : linéaire en B/T à faible champ (Curie), saturant quand B dépasse k_BT — ce qui n’arrive sous un tesla qu’au-dessous du kelvin, ce qui fait de la courbe un thermomètre pour les expériences les plus froides.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-633e0b458c50.svg) *Aimantation d’un paramagnétique de spin 1/2 : linéaire en $B/T$ à faible champ (Curie), saturant quand $\mu B$ dépasse $k_BT$ — ce qui n’arrive sous un tesla qu’au-dessous du kelvin, ce qui fait de la courbe un thermomètre pour les expériences les plus froides.* **Remarque 29.12 (Ce que le facteur ne fait pas).** Le facteur de Boltzmann décrit l’*équilibre* à une température ; il ne dit rien des vitesses (à quelle allure l’équilibre est atteint — quoiqu’une énergie d’activation $E_{\text{a}}$ donne des vitesses $\propto\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$, la loi d’Arrhenius rencontrée pour la diffusion dans les solides). Il s’applique à des sous-systèmes indépendants ou au tout ; pour des particules quantiques identiques à forte densité (électrons d’un métal, photons, hélium près du zéro absolu) il est remplacé par les distributions de Fermi–Dirac et de Bose–Einstein du volume de troisième année, dont il est la limite diluée. **Méthode 29.13 (Estimations de Boltzmann).** (1) Calculer $E/k_BT$ ; $k_BT = 0.026\,\mathrm{eV}$ à $300\,\mathrm{K}$, $1\,\mathrm{eV}$ à $11\,600\,\mathrm{K}$. (2) Rapports de populations : $\eu^{-\Delta E/k_BT}$ (fois les dégénérescences). (3) Niveaux discrets : $Z$, puis $\langle E\rangle = -\partial_\beta\ln Z$, puis $C$. (4) Variables continues quadratiques : $\tfrac12k_BT$ chacune, si elles ne sont pas gelées. (5) Vitesses : $v_{\text{p}} = \sqrt{2k_BT/m}$ et la queue gaussienne. (6) Spins : $\tanh(\mu B/k_BT)$, le $1/T$ de Curie. ## 29.6 Exercices **Exercice 29.1 ★.** [Hauteur d’échelle](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) de l’air à $288\,\mathrm{K}$ ($M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$) ; pression à $3000\,\mathrm{m}$, à $8849\,\mathrm{m}$, à $10\,\mathrm{km}$ (comparer aux $0.26\,\mathrm{bar}$ mesurés) ; [hauteur d’échelle](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) de l’hélium seul ; de l’atmosphère martienne (CO$_2$, $210\,\mathrm{K}$, $g = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). **Solution de Exercice 29.1.** $H = k_BT/mg = 8.4\,\mathrm{km}$ ; $0.70\,$, $0.35\,$, $0.30\,\mathrm{bar}$ (les $0.26\,$ réels : l’air se refroidit avec l’altitude) ; hélium $61\,\mathrm{km}$ ; Mars $10.7\,\mathrm{km}$. **Exercice 29.2 ★.** Populations : le niveau $n = 2$ de l’hydrogène ($10.2\,\mathrm{eV}$, dégénérescence $4$ contre $1$) à $300\,\mathrm{K}$, $6000\,\mathrm{K}$, $10\,000\,\mathrm{K}$ ; le niveau à $2.1\,\mathrm{eV}$ du sodium dans une flamme à $2500\,\mathrm{K}$ ; un niveau de rotation moléculaire à $1 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}$ à $300\,\mathrm{K}$ ; un niveau de spin nucléaire écarté de $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ dans un aimant à $300\,\mathrm{K}$. **Solution de Exercice 29.2.** Hydrogène : $4\eu^{-395} \approx 10^{-171}$ ; $4\eu^{-19.7} = 10^{-8}$ ; $4\eu^{-11.8} = 3 \times 10^{-5}$. Sodium : $\eu^{-9.8} = 6 \times 10^{-5}$. Rotation : $\eu^{-0.04} = 0.96$, presque égal. Spin nucléaire : $1 - 4 \times 10^{-6}$ — l’infime polarisation avec laquelle travaille la résonance magnétique. **Exercice 29.3 ★.** Vitesses de Maxwell ($v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{rms}}$) pour N$_2$ à $300\,\mathrm{K}$ et $77\,\mathrm{K}$, H$_2$ à $300\,\mathrm{K}$, et pour une particule de fumée de $1 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}$. Fraction de molécules plus rapides que $2v_{\text{p}}$ (environ $4.6\%$) et que $3v_{\text{p}}$ (environ $4 \times 10^{-4}$) : commenter la queue. **Solution de Exercice 29.3.** N$_2$ à $300\,\mathrm{K}$ : $422\,$, $476\,$, $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; à $77\,\mathrm{K}$ : $214\,$, $241\,$, $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; H$_2$ : $1580\,$, $1780\,$, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; particule de fumée : $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ (son frisson brownien). Au-dessus de $2v_{\text{p}}$ une molécule sur vingt ; au-dessus de $3v_{\text{p}}$ une sur $2500$ — encore $10^{22}$ par mètre cube. **Exercice 29.4 ★.** Moments de spin 1/2, $\mu = \mu_B$, $n = 1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $B = 1\,\mathrm{T}$ : $x = \mu B/k_BT$ à $300\,\mathrm{K}$ et $1\,\mathrm{K}$ ; $M/M_{\text{sat}}$ ; $M_{\text{sat}}$ ; la susceptibilité à $300\,\mathrm{K}$. Comparer à l’aimantation à saturation du fer ($1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$). **Solution de Exercice 29.4.** $x = 2.2 \times 10^{-3}$ et $0.67$ ; $M/M_{\text{sat}} = 2.2 \times 10^{-3}$ et $0.59$ ; $M_{\text{sat}} = n\mu = 9.3 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; $\chi = \mu_0n\mu^2/k_BT = 2.6 \times 10^{-4}$. Les $1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ du fer sont coopératifs, non un effet de Boltzmann. **Exercice 29.5 ★★.** *Deux niveaux.* (a) Tirer $p_1$, $p_2$, $\langle E\rangle$ de $Z$. (b) Montrer que $N_2 < N_1$ à toute température positive ; que signifierait $N_2 > N_1$ pour $T$ ? (c) Entropie $S = -Nk_B\sum p_i\ln p_i$ du système quand $T \to 0$ et $T \to \infty$. (d) Un défaut dans un cristal peut occuper deux positions distantes de $0.05\,\mathrm{eV}$ : occupation de la plus haute à $300\,\mathrm{K}$ et à $77\,\mathrm{K}$. **Solution de Exercice 29.5.** (a) [Proposition 29.5](#prop-b2-boltzmann-factor-twolevel). (b) $\eu^{-x} < 1$ pour $T > 0$ ; $N_2 > N_1$ exigerait $T < 0$ — une [inversion de population](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/23-le-laser-emission-stimulee-et-faisceaux-gaussiens#prop-b2-laser-gain). (c) $0$ et $Nk_B\ln 2$. (d) $x = 1.93$ : $0.13$ ; à $77\,\mathrm{K}$, $x = 7.5$ : $5 \times 10^{-4}$. **Exercice 29.6 ★★.** *Schottky.* (a) Établir $C(T)$ du système à deux niveaux. (b) Localiser son maximum numériquement ($x = 2.40$) et sa valeur. (c) Limites à basse et à haute $T$, avec leur sens physique. (d) Les spins nucléaires du cuivre sous $1\,\mathrm{T}$ ont $\varepsilon \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ : à quelle température se situe leur pic de Schottky, et pourquoi cela importe-t-il pour les cryostats les plus froids ? **Solution de Exercice 29.6.** (a) Dérivée de $N\varepsilon/(\eu^x + 1)$. (b) $x = 2.40$, $C = 0.44\,Nk_B$. (c) $\propto x^2\eu^{-x} \to 0$ : gelé ; $\propto 1/T^2 \to 0$ : les deux niveaux pleins, plus rien à absorber. (d) $k_BT = 0.42\varepsilon$ : $0.5\,\mathrm{mK}$ ; sous le millikelvin les spins nucléaires détiennent l’essentiel de la capacité thermique et ralentissent tout refroidissement. **Exercice 29.7 ★★.** *Équipartition et son échec.* (a) Établir $\langle aq^2\rangle = k_BT/2$ avec l’intégrale gaussienne. (b) $C_V$ d’un gaz monoatomique et d’un gaz diatomique rigide. (c) La vibration de l’azote a $h\nu/k_B = 3400\,\mathrm{K}$ : en utilisant l’énergie moyenne de l’oscillateur, $C_V$ à $300\,\mathrm{K}$, $1000\,\mathrm{K}$, $3000\,\mathrm{K}$. (d) Solide d’Einstein : $C$ en $T = \theta_{\text{E}}$, $\theta_{\text{E}}/4$, $4\theta_{\text{E}}$ en unités de $3R$ ; le diamant à température ambiante. **Solution de Exercice 29.7.** (a) [Théorème 29.8](#thm-b2-boltzmann-factor-equipartition). (b) $\tfrac32R$, $\tfrac52R$. (c) $C_{\text{vib}}/R = x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$ : $0.002$, $0.41$, $0.90$ ; $C_V = 2.50R$, $2.91R$, $3.40R$. (d) $0.92$, $0.30$, $0.995$ ; diamant $x = 4.3$ : $0.26 \times 3R = 6.5\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$. **Exercice 29.8 ★★.** *Maxwell en détail.* (a) Montrer que les composantes de la vitesse sont des gaussiennes indépendantes et en tirer $f(v)$. (b) Calculer $v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{rms}}$. (c) Énergie cinétique moyenne : vérifier avec l’équipartition. (d) Le flux de molécules frappant une paroi vaut $\tfrac14n\langle v\rangle$ par unité d’aire et de temps (admis) : nombre de molécules de N$_2$ frappant $1\,\mathrm{cm}^{2}$ par seconde à $1\,\mathrm{bar}$, $300\,\mathrm{K}$ ; et le débit auquel un trou de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ laisse entrer l’air dans une enceinte à vide (effusion). **Solution de Exercice 29.8.** (a), (b) [Théorème 29.9](#thm-b2-boltzmann-factor-maxwell). (c) $\tfrac32k_BT$. (d) $\tfrac14n\langle v\rangle = 2.9 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $3 \times 10^{23}$ par centimètre carré et par seconde ; à travers $7.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}$ : $2.3 \times 10^{15}$ molécules par seconde, une fuite de $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. **Exercice 29.9 ★★.** *Échappement.* (a) Fraction d’un gaz de Maxwell plus rapide que $v$ : montrer qu’elle vaut environ $(2/\sqrt\pi)\,x\,\eu^{-x^2}$ pour $x = v/v_{\text{p}} \gg 1$. (b) L’hélium à $1000\,\mathrm{K}$ au-dessus de $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; l’azote. (c) La Lune, $v_{\text{lib}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $400\,\mathrm{K}$ : l’azote, et quelle température le retiendrait sur l’âge du système solaire (prendre $10^{17}$ temps de collision : fraction d’échappement sous $10^{-17}$). (d) Pourquoi Titan ($2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $94\,\mathrm{K}$) garde-t-il une épaisse atmosphère d’azote ? **Solution de Exercice 29.9.** (a) Intégrer $f$ par parties ; le terme dominant est $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$. (b) Hélium $x = 5.5$ : $5 \times 10^{-13}$ ; azote $x = 14.5$ : $\eu^{-211}$. (c) $x = 4.9$ : $10^{-10}$ par temps de collision — parti ; $10^{-17}$ demande $x \approx 6.6$, $T \lesssim 230\,\mathrm{K}$. (d) $x = 11$ : $\eu^{-121}$ ; assez froid. **Exercice 29.10 ★★★.** *D’autres potentiels.* (a) Dans une centrifugeuse tournant à $\omega$, l’énergie potentielle effective vaut $-\tfrac12m\omega^2r^2$ : profil de densité $n(r)$. (b) Hexafluorure d’uranium, deux isotopes $\Delta m = 3\,\mathrm{u}$, $\omega = 2\pi \times 1000\,\mathrm{Hz}$, $r = 10\,\mathrm{cm}$, $300\,\mathrm{K}$ : facteur d’enrichissement d’un étage. (c) Sphères colloïdales (masse apparente $m' = 2.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$) dans l’eau à $293\,\mathrm{K}$ : [hauteur d’échelle](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) de leur équilibre de sédimentation ; comment cela a-t-il donné le nombre d’Avogadro ? (d) Un gaz d’électrons dans un champ $E$ : pourquoi le profil de Boltzmann $\eu^{eEx/k_BT}$ est-il à la base de la longueur d’écran de Debye $\lambda_{\text{D}} = \sqrt{\varepsilon_0k_BT/ne^2}$ d’un [plasma](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/14-ondes-electromagnetiques-dans-les-plasmas-les-conducteurs-et-les-dielectriques#def-b2-waves-in-media-plasma) (esquisser l’argument) ? **Solution de Exercice 29.10.** (a) $n = n_0\eu^{m\omega^2r^2/2k_BT}$. (b) $\eu^{\Delta m\omega^2r^2/2k_BT} = \eu^{0.24} = 1.27$. (c) $H = k_BT/m'g = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; compter les sphères à plusieurs hauteurs donne $k_B$, d’où $N_A = R/k_B$. (d) Les ions suivent $\eu^{\mp e\varphi/k_BT}$ autour d’une charge ; linéarisé dans l’[équation de Poisson](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/11-les-equations-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-potentials) cela donne $\varphi'' = \varphi/\lambda_{\text{D}}^2$ : le potentiel est écranté au-delà de $\lambda_{\text{D}}$. **Exercice 29.11 ★★★.** *Planck à partir de Boltzmann.* (a) Calculer $Z$ et $\langle E\rangle$ pour des niveaux $nh\nu$. (b) Les deux limites et leur sens. (c) Multiplier par la densité de modes $8\pi\nu^2/c^3$ (donnée) et retrouver la loi de Planck ; montrer que la loi de Rayleigh–Jeans est l’équipartition appliquée à chaque mode. (d) Pourquoi le décompte classique échoue-t-il, en une phrase ? **Solution de Exercice 29.11.** (a) $Z = 1/(1 - \eu^{-x})$, $\langle E\rangle = h\nu/(\eu^x - 1)$. (b) $k_BT$ : équipartition ; $h\nu\eu^{-h\nu/k_BT}$ : gelé. (c) $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\langle E \rangle$ ; Rayleigh–Jeans donne $k_BT$ à chaque mode. (d) Un mode ne peut être excité par moins d’un quantum. **Exercice 29.12 ★★★.** *Désaimantation adiabatique.* L’entropie de $N$ spins 1/2 vaut $S = Nk_B[\ln(2\cosh x) - x\tanh x]$, $x = \mu B/k_BT$. (a) Montrer qu’elle ne dépend que de $B/T$, avec $S \to Nk_B\ln 2$ quand $B/T \to 0$ et $S \to 0$ quand $B/T \to \infty$. (b) Un sel à $1\,\mathrm{K}$ est aimanté isothermiquement de $0$ à $1\,\mathrm{T}$ : entropie retirée (par spin, avec $\mu = \mu_B$). (c) Le champ est ensuite ramené adiabatiquement à $0.01\,\mathrm{T}$ : température finale. (d) Qu’est-ce qui limite la méthode, et comment la même courbe en $\tanh$ sert-elle de thermomètre ? **Solution de Exercice 29.12.** (a) $x = \mu B/k_BT$ seulement ; $\ln 2$ et $0$. (b) $x = 0.67$ : $S/Nk_B = 0.51$, donc $0.18\,k_B$ retiré par spin. (c) $B/T$ constant : $10\,\mathrm{mK}$. (d) Le champ propre des spins (le millitesla) remplace $B$ à la fin et plafonne le refroidissement ; mesurer $M = n\mu\tanh(\mu B/k_BT)$ donne $T$. ![Ludwig Boltzmann (1844–1906), dont le facteur -E/k_BT est le sujet de ce chapitre, et dont la formule S = k_B est gravée sur sa tombe à Vienne.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/img-5b755e943a8d.jpg) *Ludwig Boltzmann (1844–1906), dont le facteur $\eu^{-E/k_BT}$ est le sujet de ce chapitre, et dont la formule $S = k_B\ln\Omega$ est gravée sur sa tombe à Vienne.* ## 29.7 Problème : l’atmosphère isotherme, la fuite de l’hélium et un thermomètre à spins **Problème 29.1.** Problème du week-end — trois usages d’une seule exponentielle Données : $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $R_{\oplus} = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $\mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$ ; air $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, hélium $4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, azote $28\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$. **Partie I — L’atmosphère isotherme.** 1. À partir de l’hydrostatique et de la loi des gaz parfaits, établir $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ et donner $H$ pour l’air à $288\,\mathrm{K}$ . 2. Repérer le facteur de Boltzmann dans le résultat ; quelle énergie, quelle température ? 3. Pression à $3000\,\mathrm{m}$ , $5500\,\mathrm{m}$ et $8849\,\mathrm{m}$ ; l’altitude où la pression est divisée par deux. 4. Masse de l’atmosphère par mètre carré (à partir de $P_0 = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ), et masse totale ; vérifier que $\int_0^\infty \rho\,\dd z = \rho_0H$ . 5. Nombre de molécules dans l’atmosphère. 6. Si chaque gaz suivait son propre $H$ , quel serait le rapport O $_2$ /N $_2$ à $50\,\mathrm{km}$ comparé au sol ? Pourquoi la composition est-elle en fait uniforme jusqu’à $100\,\mathrm{km}$ ? 7. La troposphère réelle se refroidit de $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : la pression à $10\,\mathrm{km}$ est-elle plus haute ou plus basse que l’estimation isotherme ? Expliquer. 8. [Densité en nombre](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/24-diffusion-de-particules#def-b2-particle-diffusion-flux) au niveau de la mer et à $100\,\mathrm{km}$ (modèle isotherme, $288\,\mathrm{K}$ ) : commenter « la frontière de l’espace ». **Partie II — La fuite de l’hélium.** L’exosphère, au-dessus de $500\,\mathrm{km}$, est vers $1000\,\mathrm{K}$ et sans collisions : une molécule montant plus vite que la vitesse de libération s’en va. 9. Vitesse de libération depuis la Terre à cette altitude. 10. Vitesses la plus probable et moyenne de l’hélium et de l’azote à $1000\,\mathrm{K}$ . 11. Fraction d’atomes d’hélium avec $v > v_{\text{lib}}$ (utiliser $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$ ) ; de même pour l’azote. 12. Le flux d’hélium qui s’échappe vaut à peu près $\tfrac14n_{\text{He}}\langle v\rangle \times$ (cette fraction) $\times\tfrac12$ ; avec $n_{\text{He}} = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ à l’exobase, estimer la perte par mètre carré et par seconde, puis par an pour toute la Terre. 13. L’hélium de l’air vaut $5\,\mathrm{ppm}$ en volume : hélium total de l’atmosphère ; son temps de séjour face à la perte calculée. 14. La radioactivité de la croûte produit environ $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ d’hélium par an : l’hélium de l’atmosphère est-il en régime permanent, et qu’enseigne la comparaison avec la question 11 ? 15. Au maximum solaire l’exosphère atteint $2000\,\mathrm{K}$ : de quel facteur la fraction d’échappement de l’hélium croît-elle ? 16. Pourquoi la Lune n’a-t-elle pas d’atmosphère, et Titan (libération $2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $94\,\mathrm{K}$ ) une épaisse ? **Partie III — Un thermomètre à spins.** Un sel paramagnétique contient $n = 2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ spins 1/2 avec $\mu = \mu_B$, dans un champ $B$. 17. Populations des deux niveaux et aimantation $M(B,T)$ . 18. À $B = 0.1\,\mathrm{T}$ : $M$ à $300\,\mathrm{K}$ , $4\,\mathrm{K}$ , $0.05\,\mathrm{K}$ ; où la [loi de Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) est-elle valable ? 19. Pourquoi $M$ est-elle un thermomètre, et dans quel domaine est-elle la plus sensible ? Que mesure-t-on en pratique ? 20. Énergie moyenne et capacité thermique des spins (Schottky) ; température du pic à $0.1\,\mathrm{T}$ . 21. Entropie des spins à haute température et à température nulle ; quelle « mise en ordre » a lieu quand $T \to 0$ ? 22. Désaimantation adiabatique de $1\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{T}$ à $0.01\,\mathrm{T}$ : température finale ; pourquoi $B \to 0$ ne peut-il donner $T \to 0$ ? 23. Un thermomètre à spins nucléaires utilise $\mu_{\text{N}} = \mu_B/1836$ : à $1\,\mathrm{T}$ , jusqu’à quelle température la [loi de Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) tient-elle, et pourquoi un tel thermomètre sert-il dans le domaine du microkelvin ? 24. Comparer la largeur Doppler d’une raie spectrale (issue de la distribution de Maxwell) comme thermomètre pour les gaz : quelle grandeur, et comment varie-t-elle avec $T$ ? 25. Résumer : les trois systèmes et la formule unique. **Solution de Problème 29.1.** **1.** $\dd P/\dd z = -nmg = -(mg/k_BT)P$ ; $H = 8.4\,\mathrm{km}$. **2.** $\eu^{-mgz/k_BT}$ : l’énergie potentielle d’une molécule, la température de l’air. **3.** $0.70\,$, $0.52\,$, $0.35\,\mathrm{bar}$ ; $H\ln 2 = 5.8\,\mathrm{km}$. **4.** $P_0/g = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$ ; $\times 4\pi R^2$ : $5.3 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ ; $\rho_0H = 1.22 \times 8400 = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$. **5.** $5.3 \times 10^{18}/(29 \times 10^{-3}/N_A) = 1.1 \times 10^{44}$. **6.** $H_{\text{O}_2} = 7.6$, $H_{\text{N}_2} = 8.7\,\mathrm{km}$ : le rapport à $50\,\mathrm{km}$ vaudrait $\eu^{-50/7.6 + 50/8.7} = 0.44$ de sa valeur au sol ; la turbulence mélange plus vite que la diffusion ne sépare. **7.** Plus basse : un air plus froid est plus dense et la pression décroît plus vite. **8.** $2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $\eu^{-11.9}$ : $1.7 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ — pas de frontière, seulement une convention. **9.** $11.2\sqrt{6370/6870} = 10.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. **10.** Hélium $2040\,$, $2300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; azote $770\,$, $870\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **11.** $x = 5.3$ : $4 \times 10^{-12}$ ; azote $\eu^{-196}$ : aucun. **12.** $\tfrac14 \times 10^{12} \times 2300 \times 4 \times 10^{-12} \times \tfrac12 \approx 10^3$ atomes par mètre carré et par seconde ; pour toute la Terre et sur un an, $2 \times 10^{25}$ atomes — $0.1\,\mathrm{kg}$. **13.** $5 \times 10^{-6} \times 1.1 \times 10^{44} = 5.5 \times 10^{38}$ atomes, $3.7 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ ; face à $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{an}$ le temps de séjour serait absurde. **14.** Le régime permanent exige une perte de $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{an}$ : un temps de séjour d’environ un million d’années, qui est la valeur admise — donc l’estimation thermique à $1000\,\mathrm{K}$ est bien trop faible : l’échappement est dominé par des épisodes plus chauds et par des processus non thermiques (ioniques). **15.** $x = 3.75$ : $\eu^{-14}$ au lieu de $\eu^{-28}$ — un facteur $10^6$ : la perte est extraordinairement sensible à la température exosphérique. **16.** La Lune est chaude et légère : tout s’échappe en temps géologique ; Titan est froid, $x = 11$ pour l’azote. **17.** $p_\pm = \eu^{\pm x}/2\cosh x$ ; $M = n\mu\tanh x$. **18.** $x = \mu B/k_BT$ : $4.2\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, $310\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, $1.6 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ (saturation $1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$) ; Curie pour $x \ll 1$, c’est-à-dire $T \gg 70\,\mathrm{mK}$. **19.** $M$ ne dépend que de $T$ une fois $B$ connu ; la pente est la plus raide vers $x \approx 1$, $T \approx \mu B/k_B = 70\,\mathrm{mK}$ ; on mesure la susceptibilité avec une bobine. **20.** $\langle E\rangle = -N\mu B\tanh x$ ; $C = Nk_Bx^2/\cosh^2x$, culminant en $x = 1.2$ : $56\,\mathrm{mK}$. **21.** $Nk_B\ln 2$ et $0$ : tous les spins s’alignent sur le champ. **22.** $10\,\mathrm{mK}$ ; le champ propre des spins, de l’ordre du millitesla, remplace $B$ et fixe le plancher. **23.** $x = 1$ en $\mu_{\text{N}}B/k_B = 0.37\,\mathrm{mK}$ : Curie tient jusqu’au millikelvin, et le thermomètre reste utile au microkelvin. **24.** $\Delta\nu/\nu = \sqrt{8k_BT\ln2/mc^2} \propto \sqrt T$ : la largeur d’une raie mesure la température du gaz. **25.** Atmosphère, gaz qui s’échappe, spins : $\eu^{-E/k_BT}$ avec $E = mgz$, $\tfrac12mv^2$, $\mp\mu B$.