--- title: "L’équation de Schrödinger et les fonctions d’onde" book: "Physique universitaire — 2e année" subject: physics language: fr chapter: 30 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/30-lequation-de-schrodinger-et-les-fonctions-donde --- # Chapitre 30 — L’équation de Schrödinger et les fonctions d’onde Envoyez des électrons un par un sur une paire de fentes et notez où chacun atterrit : un point ici, un point là, apparemment au hasard — et après dix mille points, les franges de l’expérience d’Young, comme si chaque électron était passé par les deux fentes et avait interféré avec lui-même. Le dernier chapitre du volume de première année a rencontré cette étrangeté : la lumière vient par photons, la matière a une longueur d’onde $\lambda = h/p$, et position et quantité de mouvement ne peuvent être nettes toutes deux. Ce qu’il n’a pas donné, c’est l’*équation* — la règle qui dit comment évolue l’onde associée à une particule, comme la loi de Newton dit comment évolue une [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#def-b2-fluid-kinematics-euler). Cette équation est celle de Schrödinger (1926), et avec elle la description quantique devient une théorie calculable : on écrit une *[fonction d’onde](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi)* $\psi(x,t)$, dont le module carré est la probabilité de trouver la particule, et on résout une équation aux dérivées partielles linéaire. Ce chapitre énonce l’équation, explique ce que $\psi$ signifie et ce qu’elle ne signifie pas, trouve ses [états stationnaires](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) et les [paquets d’ondes](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) de la particule libre, et montre où la mécanique de Newton réapparaît — pour tout ce qui est plus lourd qu’une molécule. ![Un microscope électronique à transmission : des électrons accélérés sous cent kilovolts ont une longueur d’onde de quelques picomètres, et leur fonction d’onde, focalisée par des lentilles magnétiques, image les atomes d’un cristal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/img-1442287aca04.jpg) *Un microscope électronique à transmission : des électrons accélérés sous cent kilovolts ont une longueur d’onde de quelques picomètres, et leur [fonction d’onde](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi), focalisée par des lentilles magnétiques, image les atomes d’un cristal.* ## 30.1 Ce que le volume de première année nous a laissé **Proposition 30.1 (Les particules sont des ondes).** Un photon de fréquence $\nu$ a l’énergie $E = h\nu = \hbar\omega$ et la quantité de mouvement $p = h/\lambda = \hbar k$ ; une particule matérielle de quantité de mouvement $p$ se comporte comme une onde de longueur d’onde $\lambda = h/p$ (de Broglie), avec $E = \hbar\omega$ et $p = \hbar k$ également — la [diffraction](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/22-diffraction-de-fraunhofer-et-filtrage-spatial#def-b2-diffraction-huygens) des électrons par les cristaux, l’interférométrie de neutrons et même de molécules le confirment ; et aucun état ne peut avoir une position et une quantité de mouvement plus nettes que $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ (Heisenberg). Avec $\hbar = h/2\pi = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : un électron à $100\,\mathrm{eV}$ a $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$, la taille d’un atome ; un grain de poussière de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ à $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ a $\lambda = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$, plus petit qu’un noyau — il se comporte classiquement. **Démonstration.** Rappelé du volume de première année ; la tâche est maintenant la dynamique de l’onde. ∎ ![Une figure de diffraction électronique enregistrée dans un microscope électronique (une figure de Kikuchi obtenue sur un cristal) : des électrons de quelques picomètres de longueur d’onde, diffractés par les plans atomiques — la matière se comportant comme une onde (NIST).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/img-c37c29222fce.jpg) *Une figure de [diffraction](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/22-diffraction-de-fraunhofer-et-filtrage-spatial#def-b2-diffraction-huygens) électronique enregistrée dans un microscope électronique (une figure de Kikuchi obtenue sur un cristal) : des électrons de quelques picomètres de longueur d’onde, diffractés par les plans atomiques — la matière se comportant comme une onde (NIST).* ## 30.2 La fonction d’onde **Définition 30.2 (Fonction d’onde et règle de Born).** L’état d’une particule se déplaçant selon $x$ est décrit par une *fonction d’onde* complexe $\psi(x,t)$ telle que $$ \dd\mathcal P = |\psi(x,t)|^2\,\dd x $$ soit la probabilité de trouver la particule entre $x$ et $x + \dd x$ à l’instant $t$ (*règle de Born*) ; d’où la *normalisation* $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2\dd x = 1$, et les valeurs moyennes $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\dd x$, $\Delta x^2 = \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2$. Les fonctions d’onde obéissent au *principe de superposition* : si $\psi_1$ et $\psi_2$ sont des états possibles, $\alpha\psi_1 + \beta\psi_2$ l’est aussi (une fois normalisé), et les probabilités contiennent alors le terme d’interférence $2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\,\psi_1^*\psi_2)$. Un facteur de phase global $\eu^{\iu\theta}$ ne change rien ; une phase relative entre deux composantes superposées change l’interférence. **Remarque 30.3 (Ce que ψ\psiψ n’est pas).** $\psi$ n’est pas un champ classique étalé dans l’espace comme $\vect E$, ni un nuage de matière : l’électron est toujours trouvé entier, en un point. $\psi$ est une *amplitude de probabilité*, l’objet qui interfère ; seul $|\psi|^2$ s’observe, et seulement statistiquement, en répétant l’expérience sur des particules préparées à l’identique. Les points des [fentes d’Young](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/19-interferences-a-deux-ondes#prop-b2-two-wave-interference-young) sont des électrons uniques ; les franges sont $|\psi_1 + \psi_2|^2$. ## 30.3 L’équation de Schrödinger **Théorème 30.4 (Équation de Schrödinger).** Une particule de masse $m$ dans l’énergie potentielle $V(x)$ a une [fonction d’onde](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) qui obéit à $$ \iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi . $$ Elle est linéaire (superposition), du premier ordre en temps (la [fonction d’onde](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) à un instant la détermine à tout instant ultérieur), et complexe ($\psi$ ne peut être réelle : le $\iu$ est essentiel). C’est un *postulat*, justifié par ses conséquences. **Démonstration.** Une motivation plutôt qu’une démonstration. Une particule libre de quantité de mouvement nette $p = \hbar k$ et d’énergie $E = \hbar\omega$ devrait être une onde plane $\psi = A\eu^{\iu(kx - \omega t)}$, pour laquelle $\iu\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi = E\psi$ et $-(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi = (\hbar^2k^2/2m)\psi = (p^2/2m)\psi$. La relation classique $E = p^2/2m$ est ainsi reproduite par l’équation $\iu\hbar\partial_t\psi = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi$, et la généralisation naturelle pour $E = p^2/2m + V$ ajoute $V\psi$. Remarquons que l’équation doit être linéaire pour valoir sur des superpositions d’ondes planes, et du premier ordre en temps avec un $\iu$ pour que $\eu^{-\iu\omega t}$ et non $\cos\omega t$ soit la dépendance temporelle — une [équation d’onde](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) réelle donnerait $E^2 \propto p^4$. ∎ **Proposition 30.5 (Conservation de la probabilité).** La densité de probabilité $\rho = |\psi|^2$ et le *courant de probabilité* $$ j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big) = \frac{\hbar}{2\iu m}\Big(\psi^*\partial_x\psi - \psi\,\partial_x\psi^*\Big) $$ obéissent à $\partial_t\rho + \partial_xj = 0$ : la probabilité n’est ni créée ni détruite, et $\int|\psi|^2\dd x$ reste égal à $1$. Pour une onde plane $A\eu^{\iu kx}$, $j = |A|^2\hbar k/m = \rho v$ : densité fois vitesse, comme pour tout écoulement. **Démonstration.** $\partial_t(\psi^*\psi) = \psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*$ ; à partir de l’équation et de sa conjuguée, $\partial_t\psi = (\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi - (\iu/\hbar)V\psi$, $\partial_t\psi^* = -(\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi^* + (\iu/\hbar)V\psi^*$ ; les termes en $V$ se compensent et le reste vaut $(\iu\hbar/2m)(\psi^* \partial_x^2\psi - \psi\,\partial_x^2\psi^*) = -\partial_xj$. ∎ **Proposition 30.6 (Quantité de mouvement, valeurs moyennes et limite classique).** La quantité de mouvement d’un état s’obtient par l’opérateur $\hat p = -\iu\hbar\,\partial_x$ (qui donne $\hbar k$ sur une onde plane) : $\langle p\rangle = \int\psi^*(-\iu\hbar\partial_x\psi)\dd x$, et l’énergie par $\hat H = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2 + V$. Les valeurs moyennes obéissent (Ehrenfest) à $$ \frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad \frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t} = -\Big\langle\frac{\dd V}{\dd x}\Big\rangle : $$ le centre du [paquet d’ondes](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) suit exactement la loi de Newton quand $V$ est au plus quadratique, et approximativement dès que le paquet est étroit devant l’échelle sur laquelle $V$ varie — la limite classique, valable pour tout objet macroscopique parce que $\hbar$ est si petit. **Démonstration.** Dériver $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2$, utiliser $\partial_t\rho = -\partial_xj$ et intégrer par parties : $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int j\,\dd x = \langle p\rangle/m$. La seconde relation est le même calcul un ordre plus haut (admis ici). ∎ ## 30.4 États stationnaires **Théorème 30.7 (États stationnaires).** Si $V$ ne dépend pas du temps, l’équation a des solutions de la forme séparée $$ \psi(x,t) = \varphi(x)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}, \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi $$ (l’*équation de Schrödinger indépendante du temps*) : les *états stationnaires*, d’énergie bien définie $E$, dont la densité de probabilité $|\varphi|^2$ ne bouge pas. Les énergies $E$ pour lesquelles $\varphi$ est acceptable (bornée, normalisable pour un état lié) sont les *niveaux d’énergie* ; la solution générale est une superposition $\psi = \sum_nc_n\varphi_n(x)\eu^{-\iu E_nt/\hbar}$, et une superposition de deux niveaux a une densité qui oscille à la *fréquence de Bohr* $\nu_{21} = (E_2 - E_1)/h$ — la fréquence de la lumière que l’atome émet ou absorbe. **Démonstration.** Insérons $\varphi(x)f(t)$ : $\iu\hbar f'/f = (-\hbar^2\varphi''/2m + V\varphi)/\varphi$, une fonction de $t$ égale à une fonction de $x$, donc une constante $E$ ; $f = \eu^{-\iu Et/\hbar}$. Pour deux niveaux, $|c_1\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + c_2\varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar}|^2 = |c_1\varphi_1|^2 + |c_2\varphi_2|^2 + 2\operatorname{Re}(c_1^*c_2\varphi_1^*\varphi_2\eu^{-\iu(E_2 - E_1)t/\hbar})$. La complétude des [états stationnaires](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) est admise. ∎ ![Un état stationnaire : le profil spatial (x) (ici l’état fondamental d’un puits) multiplié par un phaseur tournant au rythme E/ ; parties réelle et imaginaire tournent l’une dans l’autre tandis que | |2 reste immobile.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-12d33578c486.svg) *Un [état stationnaire](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) : le profil spatial $\varphi(x)$ (ici l’état fondamental d’un puits) multiplié par un phaseur tournant au rythme $E/\hbar$ ; parties réelle et imaginaire tournent l’une dans l’autre tandis que $|\psi|^2$ reste immobile.* ![Une superposition des deux états les plus bas d’un puits : la densité ballotte d’un côté à l’autre à la fréquence de Bohr (E_2 - E_1)/h — une charge oscillante, donc () un dipôle rayonnant exactement à la fréquence de la raie spectrale.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-1080615e3d33.svg) *Une superposition des deux états les plus bas d’un puits : la densité ballotte d’un côté à l’autre à la [fréquence de Bohr](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) $(E_2 - E_1)/h$ — une charge oscillante, donc ([Chapitre 17](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/17-rayonnement-dipolaire-et-diffusion#ch-b2-dipole-radiation)) un dipôle rayonnant exactement à la fréquence de la raie spectrale.* ## 30.5 La particule libre : ondes planes et paquets d’ondes **Proposition 30.8 (Particule libre).** Pour $V = 0$ les [états stationnaires](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) sont les ondes planes $\eu^{\iu(kx - \omega t)}$ avec $$ E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}, \qquad v_{\text{g}} = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} : $$ les ondes de matière sont *dispersives* ; la [vitesse de phase](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) n’a pas de sens physique, la *[vitesse de groupe](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)* est la vitesse de la particule. Une onde plane n’est pas normalisable — une particule de quantité de mouvement parfaitement nette est étalée sur tout l’espace — de sorte qu’une particule réelle est un *paquet d’ondes*, une superposition d’ondes planes sur une bande $\Delta k$, localisée sur $\Delta x \sim 1/\Delta k$, se déplaçant à $v_{\text{g}}$ et s’*étalant* : un paquet gaussien de largeur initiale $\sigma_0$ a à l’instant $t$ la largeur $$ \sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \Big(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Big)^2}, \qquad \tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar} , $$ et vérifie $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ en $t = 0$ (le minimum permis) et davantage ensuite. **Démonstration.** La [relation de dispersion](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) découle de l’équation ; $v_{\text{g}}$ comme au [Chapitre 8](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#ch-b2-dispersion-wave-packets). La formule d’étalement vient de la synthèse de Fourier du paquet — chaque composante $\eu^{\iu kx}$ prend la phase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$, et l’intégrale gaussienne à coefficient complexe donne une gaussienne de largeur croissante ; l’intégrale de Fourier est l’outil du volume de mathématiques de troisième année et nous en admettons le résultat. Physiquement : le paquet contient des quantités de mouvement étalées sur $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$, donc des vitesses étalées sur $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$, et après $t$ les composantes rapides ont distancé les lentes de $\Delta v\,t$ — la formule dit exactement cela. ∎ ![À gauche : la courbe de dispersion de la particule libre, avec la vitesse de groupe (tangente) et la vitesse de phase (corde à l’origine), sa moitié. À droite : un paquet gaussien se déplaçant à v_ g et s’étalant — sa largeur √2 fois plus grande après = 2m _02/, son sommet plus bas, son aire constante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-53d6d05a1cfc.svg) *À gauche : la courbe de dispersion de la particule libre, avec la [vitesse de groupe](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) (tangente) et la [vitesse de phase](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) (corde à l’origine), sa moitié. À droite : un paquet gaussien se déplaçant à $v_{\text{g}}$ et s’étalant — sa largeur $\sqrt2$ fois plus grande après $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$, son sommet plus bas, son aire constante.* **Exemple 30.9 (Qui s’étale).** Un électron localisé dans $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — après une nanoseconde son paquet est large de $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ : un électron laissé seul ne reste pas en place ; lié dans un atome il ne s’étale pas parce que le potentiel le retient (un [état stationnaire](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary)). Un grain de poussière de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ localisé à $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $\tau = 2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, huit mois ; une balle de fusil : plus que l’âge de l’univers. L’étalement quantique est réel, et invisible pour tout ce qu’on peut voir. **Remarque 30.10 (Énergie et temps).** Un état qui n’existe que pendant $\Delta t$ — un atome excité de durée de vie $\tau$, un [train d’ondes](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de longueur $c\tau$ — est une superposition d’énergies étalées sur $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$ : la relation de Fourier du [Chapitre 18](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#ch-b2-scalar-light-model) entre la durée d’un train et sa [largeur spectrale](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence), appliquée maintenant à $E = \hbar\omega$. Un niveau atomique de durée de vie $10\,\mathrm{ns}$ a une largeur $\Delta E = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$, une largeur naturelle de raie de $16\,\mathrm{MHz}$ ; la largeur Doppler du [Chapitre 23](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/23-le-laser-emission-stimulee-et-faisceaux-gaussiens#ch-b2-laser) ($1.5\,\mathrm{GHz}$) la masque dans un gaz, mais non dans un atome froid ou un ion au repos. **Méthode 30.11 (Travailler avec les fonctions d’onde).** (1) Normaliser ; les probabilités sont $\int|\psi|^2$ sur la région. (2) $V$ indépendant du temps : chercher $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$, résoudre l’équation stationnaire, imposer les conditions aux limites — les niveaux. (3) Superposer des [états stationnaires](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) pour l’évolution ; deux niveaux battent à $(E_2 - E_1)/h$. (4) Mouvement libre : $v_{\text{g}} = p/m$, temps d’étalement $2m\sigma_0^2/\hbar$. (5) Courants : $j = (\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$ ; pour $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$, $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (pas de terme croisé). (6) Limite classique : Ehrenfest, et $\lambda$ face à la taille du dispositif. ## 30.6 Exercices **Exercice 30.1 ★.** Longueurs d’onde de de Broglie : un électron à $100\,\mathrm{eV}$, $10\,\mathrm{keV}$, $100\,\mathrm{keV}$ (utiliser $p = \sqrt{2mE}$, puis dire pourquoi la dernière demande une correction) ; un neutron thermique ($25\,\mathrm{meV}$, $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) ; une molécule de C$_{60}$ ($m = 1.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}$) à $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; une balle de tennis. Lesquels montrent des interférences ? **Solution de Exercice 30.1.** $h/\sqrt{2mE}$ : $0.123\,\mathrm{nm}$, $12.3\,\mathrm{pm}$, $3.9\,\mathrm{pm}$ (à $100\,\mathrm{keV}$ l’énergie cinétique vaut le cinquième de $mc^2$ ; la quantité de mouvement relativiste donne $3.7\,\mathrm{pm}$) ; neutron $0.18\,\mathrm{nm}$ ; C$_{60}$ $2.8\,\mathrm{pm}$ ; balle de tennis $\sim 10^{-34}\,\mathrm{m}$. Tous sauf la balle ont montré des interférences. **Exercice 30.2 ★.** $\psi(x) = A\eu^{-x^2/2a^2}$ : $A$ (utiliser $\int\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$) ; $\langle x\rangle$, $\Delta x$ ; probabilité de trouver la particule dans $|x| < a$ ($\operatorname{erf}(1) = 0.84$) et dans $|x| < 2a$ ($0.9995$). **Solution de Exercice 30.2.** $A = (\pi a^2)^{-1/4}$ ; $\langle x\rangle = 0$, $\Delta x = a/\sqrt2$ ; $0.84$ ; $0.9995$. **Exercice 30.3 ★.** Vérifier que $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ résout l’équation quand $\varphi$ résout la stationnaire. Fréquence du phaseur pour $E = 1\,\mathrm{eV}$ ; pour une superposition de deux niveaux distants de $2\,\mathrm{eV}$, fréquence et longueur d’onde de l’oscillation de $|\psi|^2$ — et de la lumière émise. **Solution de Exercice 30.3.** La substitution donne $E\varphi = -(\hbar^2/2m)\varphi'' + V\varphi$. $E/h = 2.4 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $4.8 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $620\,\mathrm{nm}$ : la lumière rouge qu’émet la transition. **Exercice 30.4 ★.** Temps d’étalement $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ et largeur après $1\,\mathrm{ns}$ et $1\,\mathrm{s}$ : un électron avec $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ et $\sigma_0 = 1\,\mathrm{mm}$ ; un proton avec $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ ; un grain de $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ avec $\sigma_0 = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$. Pourquoi les objets restent-ils là où on les pose ? **Solution de Exercice 30.4.** Électron, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ après $1\,\mathrm{ns}$, $60\,\mathrm{km}$ après $1\,\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{mm}$ : $\tau = 17\,\mathrm{s}$, inchangé après $1\,\mathrm{ns}$, $+0.2\%$ après $1\,\mathrm{s}$ ; proton, $1\,\mathrm{nm}$ : $\tau = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$, $30\,\mathrm{nm}$, $30\,\mathrm{m}$ ; grain : $\tau = 600$ ans. Pour les objets visibles $\tau$ est astronomique — et leur entourage ne cesse de les localiser. **Exercice 30.5 ★★.** *Courant.* (a) Établir l’[équation de continuité](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#thm-b2-fluid-kinematics-continuity). (b) $j$ pour $A\eu^{\iu kx}$, pour $A\sin kx$, pour $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$. (c) Pourquoi l’absence de terme croisé dans le dernier cas revient-elle à dire que les flux réfléchi et incident se soustraient simplement ? (d) Montrer que pour une [fonction d’onde](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) réelle $j = 0$ : un [état stationnaire](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) lié ne porte aucun courant. **Solution de Exercice 30.5.** (a) [Proposition 30.5](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-current). (b) $|A|^2\hbar k/m$ ; $0$ ; $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$. (c) Les flux incident et réfléchi se soustraient sans terme d’interférence : les [coefficients de transmission](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/15-reflexion-et-transmission-aux-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-normal) et de réflexion se définissent à partir des flux. (d) $\psi^*\psi'$ est réel, sa partie imaginaire est nulle. **Exercice 30.6 ★★.** *Un paquet gaussien.* $\psi(x,0) = A\eu^{\iu k_0x}\eu^{-x^2/4\sigma^2}$. (a) $A$, $\langle x\rangle$, $\Delta x$. (b) $\langle p\rangle$ avec $\hat p = -\iu\hbar\partial_x$. (c) En admettant $\Delta p = \hbar/2\sigma$, vérifier $\Delta x\Delta p = \hbar/2$. (d) Démontrer $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ à partir de l’[équation de continuité](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#thm-b2-fluid-kinematics-continuity). **Solution de Exercice 30.6.** (a) $A = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}$, $\langle x\rangle = 0$, $\Delta x = \sigma$. (b) $\hbar k_0$. (c) $\sigma \times \hbar/2\sigma = \hbar/2$. (d) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\, \partial_t\rho = -\int x\,\partial_xj = \int j = (\hbar/m)\operatorname{Im}\int\psi^* \psi' = \langle p\rangle/m$. **Exercice 30.7 ★★.** *Des électrons dans un tube.* Des électrons accélérés sous $100\,\mathrm{V}$ traversent $30\,\mathrm{cm}$. (a) Vitesse, longueur d’onde, temps de vol. (b) [Vitesses de phase](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) et de groupe ; laquelle est celle de l’électron ? (c) Un paquet initialement large de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : temps d’étalement, largeur à l’arrivée. (d) [Diffraction](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/22-diffraction-de-fraunhofer-et-filtrage-spatial#def-b2-diffraction-huygens) par une ouverture de $0.3\,\mathrm{mm}$ en chemin : étalement angulaire et tache sur l’écran. L’image des rayons est-elle valable ? **Solution de Exercice 30.7.** (a) $5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $0.123\,\mathrm{nm}$, $51\,\mathrm{ns}$. (b) $v_\varphi = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_{\text{g}} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : la seconde. (c) $\tau = 1.7\,\text{µ}\mathrm{s} \gg 51\,\mathrm{ns}$ : inchangé. (d) $\lambda/a = 4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$, $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : les rayons conviennent. **Exercice 30.8 ★★.** *Phases.* (a) Montrer que $\psi$ et $\eu^{\iu\theta}\psi$ donnent les mêmes prédictions. (b) Pour $\psi = (\psi_1 + \eu^{\iu\alpha}\psi_2)/\sqrt2$, écrire $|\psi|^2$ et montrer que $\alpha$ compte. (c) Dans les [fentes d’Young](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/19-interferences-a-deux-ondes#prop-b2-two-wave-interference-young), que sont $\psi_1$ et $\psi_2$, et qu’est-ce qui fixe leur phase relative en un point de l’écran ? (d) Pourquoi détecter par quelle fente l’électron est passé détruit-il les franges (qualitativement) ? **Solution de Exercice 30.8.** (a) $|\psi|^2$ et toute valeur moyenne sont inchangés. (b) $\tfrac12(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2) + \operatorname{Re}(\eu^{\iu\alpha}\psi_1^*\psi_2)$. (c) Les ondes issues des deux fentes ; leur phase relative vaut $k(r_2 - r_1)$. (d) Le détecteur finit dans des états différents selon le chemin ; les deux composantes n’interfèrent plus, et la figure est la somme de deux figures de fente unique. **Exercice 30.9 ★★.** *Ehrenfest.* (a) Pour $V = \tfrac12m\omega^2x^2$, montrer que $\langle x\rangle$ obéit exactement à $\ddot{\langle x\rangle} = -\omega^2\langle x\rangle$. (b) Pour $V = mgx$, $\langle x\rangle$ tombe comme une pierre. (c) Pour un $V$ général, quand a-t-on $\langle V'(x)\rangle \approx V'(\langle x\rangle)$ ? (d) Une bille de $1\,\mathrm{g}$ dans une cuvette : estimer la taille de paquet qu’il lui faudrait pour être « quantique » et comparer à un atome. **Solution de Exercice 30.9.** (a) $\langle V'\rangle = m\omega^2\langle x\rangle$ : exact. (b) $\langle V'\rangle = mg$ : exact. (c) Quand le paquet est étroit devant l’échelle sur laquelle $V''$ varie. (d) Sa longueur d’onde à $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vaut $10^{-29}\,\mathrm{m}$ ; le paquet devrait être aussi large que la cuvette pour compter. La longueur d’onde thermique d’un atome, $0.1\,\mathrm{nm}$, est sa propre taille. **Exercice 30.10 ★★★.** *Ballottement.* Dans une boîte $0 < x < L$ à parois impénétrables les [états stationnaires](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) sont $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$, $E_n = n^2h^2/8mL^2$ ([Chapitre 31](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/31-puits-de-potentiel-barrieres-et-effet-tunnel#ch-b2-potential-wells-tunneling)). Prenons $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/\sqrt2$. (a) $|\psi|^2$ en fonction du temps. (b) Montrer $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ (utiliser $\int_0^L x\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\dd x = -8L^2/9\pi^2$). (c) Électron, $L = 1\,\mathrm{nm}$ : $E_2 - E_1$, la fréquence et la longueur d’onde de l’oscillation. (d) Que fait une charge oscillante ([Chapitre 17](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/17-rayonnement-dipolaire-et-diffusion#ch-b2-dipole-radiation)) ? Conclure sur les raies spectrales. **Solution de Exercice 30.10.** (a) $\tfrac12(\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varphi_1\varphi_2\cos\omega_{21}t$. (b) $L/2 + \cos\omega_{21}t\int x\varphi_1\varphi_2 = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$. (c) $3h^2/8mL^2 = 1.13\,\mathrm{eV}$, $2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) Il rayonne à $\nu_{21}$ : la raie ; un [état stationnaire](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) pur n’a pas de [dipôle oscillant](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/17-rayonnement-dipolaire-et-diffusion#thm-b2-dipole-radiation-field) et ne rayonne pas. **Exercice 30.11 ★★★.** *L’étalement, établi.* Le paquet $\psi(x,0) \propto \eu^{-x^2/4\sigma_0^2}$ est la superposition $\int g(k)\eu^{\iu kx}\dd k$ avec $g(k) \propto \eu^{-\sigma_0^2k^2}$ (admis : la transformée de Fourier d’une gaussienne est une gaussienne, de largeur $1/2\sigma_0$ en $k$). (a) Écrire $\psi(x,t)$ en donnant à chaque composante sa phase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$. (b) Compléter le carré dans l’exposant et admettre $\int\eu^{-\alpha k^2 + \beta k}\dd k = \sqrt{\pi/\alpha}\, \eu^{\beta^2/4\alpha}$ pour $\alpha$ complexe de partie réelle positive : montrer que $|\psi|^2$ est une gaussienne de largeur $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m \sigma_0^2)^2}$. (c) Interpréter $\tau$ par $\Delta v = \Delta p/m$. (d) Pourquoi un paquet de photons dans le vide ne s’étale-t-il pas ? **Solution de Exercice 30.11.** (a) $\psi \propto \int\eu^{-\sigma_0^2k^2}\eu^{\iu(kx - \hbar k^2t/2m)}\dd k$. (b) $\alpha = \sigma_0^2 + \iu\hbar t/2m$, $\beta = \iu x$ : $|\psi|^2 \propto \exp[-x^2/2\sigma_0^2(1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2)]$. (c) $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$, et $\Delta v\,\tau = \sigma_0$. (d) $\omega = ck$ : pas de dispersion, toutes les composantes à $c$. **Exercice 30.12 ★★★.** *Énergie–temps.* (a) Un état décroissant comme $\eu^{-t/2\tau}\eu^{-\iu E_0t/\hbar}$ (probabilité $\eu^{-t/\tau}$) est une superposition d’énergies : en admettant que sa distribution en énergie est une lorentzienne de largeur totale $\Gamma = \hbar/\tau$, donner $\Gamma$ pour $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ (atome), $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$, $1 \times 10^{-23}\,\mathrm{s}$ (une résonance hadronique, en MeV). (b) Largeur naturelle du niveau de $10\,\mathrm{ns}$ en fréquence ; comparer à la largeur Doppler $1.5\,\mathrm{GHz}$. (c) Comment voit-on la largeur naturelle (atomes froids, ions piégés) ? (d) La relier à la [longueur de cohérence](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence) du [train d’ondes](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/18-le-modele-scalaire-de-la-lumiere#prop-b2-scalar-light-model-coherence) émis. **Solution de Exercice 30.12.** (a) $\Gamma = \hbar/\tau$ : $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$ ; $66\,\mathrm{MeV}$. (b) $1/2\pi\tau = 16\,\mathrm{MHz}$, cent fois moins que le Doppler. (c) Dans les atomes froids et les ions piégés la largeur Doppler disparaît et la largeur naturelle est atteinte — la base des étalons de fréquence. (d) $c\tau = 3\,\mathrm{m}$, la longueur du train. ## 30.7 Problème : l’électron dans un tube et l’étalement d’un paquet d’ondes **Problème 30.1.** Problème du week-end — quand un électron est-il une particule, quand une onde Données : $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$. **Partie I — Le tube cathodique.** Des électrons quittent une cathode chaude avec une énergie négligeable, sont accélérés sous $U = 20\,\mathrm{kV}$, passent une ouverture de $0.3\,\mathrm{mm}$, et frappent un écran à $40\,\mathrm{cm}$. 1. Vitesse et quantité de mouvement (non relativistes) ; longueur d’onde de de Broglie. 2. L’énergie cinétique vaut $4\%$ de $mc^2$ : le traitement non relativiste est-il acceptable pour ce problème ? 3. Temps de vol jusqu’à l’écran. 4. [Diffraction](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/22-diffraction-de-fraunhofer-et-filtrage-spatial#def-b2-diffraction-huygens) par l’ouverture : étalement angulaire $\sim\lambda/a$ et tache produite sur l’écran ; comparer à un pixel ( $0.3\,\mathrm{mm}$ ). 5. Heisenberg à l’ouverture : $\Delta p_y \gtrsim \hbar/2a$ donne le même étalement — vérifier. 6. Un paquet large de $0.3\,\mathrm{mm}$ le long du faisceau : temps d’étalement $2m\sigma_0^2/\hbar$ et largeur à l’écran. 7. Des plaques de déviation appliquent une force transverse : d’après Ehrenfest, comment $\langle y\rangle$ se déplace-t-il ? Conclure que le tube est un dispositif classique. 8. [Vitesse de phase](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) de l’onde électronique ; pourquoi n’est-ce pas un paradoxe qu’elle diffère de la vitesse de l’électron ? **Partie II — [Paquets d’ondes](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-group).** 9. Pour un paquet gaussien de largeur $\sigma_0$ : $\Delta p$ et l’étalement en vitesse $\Delta v$ . 10. Temps d’étalement pour un électron avec $\sigma_0 = 0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; pour un proton avec $1\,\mathrm{nm}$ ; pour un virus ( $1 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) avec $10\,\mathrm{nm}$ . 11. Un électron dans un atome d’hydrogène est localisé à $0.1\,\mathrm{nm}$ et ne s’étale pas : pourquoi ? 12. Un électron libre à $1\,\mathrm{eV}$ avec $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : quelle distance parcourt-il avant que sa largeur double ? Comparer à la longueur d’onde. 13. Dans un métal, les électrons de conduction sont des ondes de $\lambda \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ sur tout le cristal : en quel sens sont-ils « délocalisés » ? 14. Un microscope électronique à $100\,\mathrm{keV}$ a $\lambda \approx 4\,\mathrm{pm}$ , et pourtant il ne résout que $0.1\,\mathrm{nm}$ : pourquoi (ses lentilles magnétiques acceptent un demi-angle d’environ $10\,\mathrm{mrad}$ ) ? 15. Donner le critère qui décide si un objet doit être traité par une [fonction d’onde](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) ou par Newton. **Partie III — [États stationnaires](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) et transitions.** Un électron est confiné dans $0 < x < L = 1\,\mathrm{nm}$ ; $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$, $E_n = n^2h^2/8mL^2$. 16. $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ en électronvolts ; les [fréquences de Bohr](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) $\nu_{21}$ , $\nu_{31}$ et les longueurs d’onde. 17. Vérifier que $|\varphi_n\eu^{-\iu E_nt/\hbar}|^2$ est indépendant du temps ; où l’électron est-il le plus probable dans l’état fondamental ? 18. Pour $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/ \sqrt2$ : $|\psi|^2$ en $t = 0$ et $t = T_{21}/2$ ; esquisser. 19. $\langle x\rangle(t)$ (avec $\int_0^Lx\varphi_1\varphi_2\dd x = -16L/9\pi^2$ ) : amplitude du ballottement. 20. Le [dipôle oscillant](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/17-rayonnement-dipolaire-et-diffusion#thm-b2-dipole-radiation-field) $e\langle x\rangle$ rayonne : à quelle fréquence, et que cela dit-il des raies spectrales et de la stabilité des [états stationnaires](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) ? 21. Énergie de l’état $\psi$ : est-ce $E_1$ , $E_2$ , ou autre chose ? Que donne une mesure ? **Partie IV — Interprétation.** 22. Dans l’expérience des [fentes d’Young](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/19-interferences-a-deux-ondes#prop-b2-two-wave-interference-young) à un électron, qu’y a-t-il d’aléatoire et qu’y a-t-il qui ne l’est pas ? 23. Écrire le [courant de probabilité](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-current) de $A\eu^{\iu kx}$ et le relier à un faisceau de $n$ électrons par unité de longueur à la vitesse $v$ . 24. Pourquoi l’équation de Schrödinger doit-elle être complexe et du premier ordre en temps (deux raisons) ? 25. Résumer en cinq lignes : la [fonction d’onde](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) , l’équation, les [états stationnaires](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) , le paquet, la limite classique. **Solution de Problème 30.1.** **1.** $v = \sqrt{2eU/m} = 8.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $p = 7.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = 8.7\,\mathrm{pm}$. **2.** Des erreurs de quelques pour cent : acceptable pour des estimations ($\lambda = 8.6\,\mathrm{pm}$ exactement). **3.** $4.8\,\mathrm{ns}$. **4.** $\lambda/a = 3 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$ : $12\,\mathrm{nm}$ — $10^4$ fois plus petit qu’un pixel. **5.** $\Delta\theta = \Delta p_y/p \sim \hbar/2ap = \lambda/4\pi a$ : le même ordre. **6.** $\tau = 1.6\,\mathrm{ms} \gg 4.8\,\mathrm{ns}$ : inchangé. **7.** $\dd\langle p_y\rangle/\dd t = eE$ exactement pour un champ uniforme : $\langle y\rangle$ suit la parabole classique ; le tube est un instrument classique. **8.** $v/2 = 4.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; seule la [vitesse de groupe](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) est observable ; la phase d’une onde plane ne porte aucun signal (et dépend du zéro arbitraire de l’énergie). **9.** $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$, $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$. **10.** $1.7 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}$, $1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ ; proton $3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ ; virus $20\,\mathrm{s}$. **11.** Il est dans un [état stationnaire](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) : le potentiel retient le paquet ; $|\varphi|^2$ ne bouge pas. **12.** $v = 5.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; doublement en $t = \sqrt3\tau = 2.9 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ : $17\,\mathrm{nm}$, quelque quatorze longueurs d’onde. **13.** Leurs [fonctions d’onde](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) s’étendent sur tout le cristal : une quantité de mouvement définie, aucune position définie. **14.** Résolution $\sim\lambda/\alpha = 4\,\mathrm{pm}/0.01 = 0.4\,\mathrm{nm}$ : ce sont les aberrations des lentilles magnétiques qui limitent l’ouverture, non la longueur d’onde. **15.** Comparer $\lambda$ aux dimensions en jeu (ouvertures, échelle de $V$), et le temps d’étalement au temps d’observation. **16.** $0.38\,$, $1.50\,$, $3.38\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_{21} = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ($1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$), $\nu_{31} = 7.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ($410\,\mathrm{nm}$). **17.** Le phaseur a pour module un ; en $x = L/2$. **18.** En $t = 0$ la densité s’entasse dans la moitié gauche, en $T_{21}/2$ dans la droite. **19.** $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ : amplitude $0.18L = 0.18\,\mathrm{nm}$. **20.** À $\nu_{21}$ : la raie spectrale ; un [état stationnaire](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) n’a pas de [dipôle oscillant](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/17-rayonnement-dipolaire-et-diffusion#thm-b2-dipole-radiation-field) et est stable ; la superposition rayonne et redescend jusqu’à $\varphi_1$. **21.** Pas définie : $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2 = 0.94\,\mathrm{eV}$ ; une mesure donne $E_1$ ou $E_2$, chacun avec la probabilité un demi. **22.** Aléatoire : le point où atterrit chaque électron ; non aléatoire : la figure $|\psi|^2$ que les impacts construisent. **23.** $j = |A|^2\hbar k/m$ : avec $|A|^2 = n$ électrons par unité de longueur, $nv$ électrons par seconde. **24.** Du premier ordre pour que $\psi(x,0)$ soit une description complète qui fixe l’avenir ; complexe pour qu’une énergie définie ait la seule dépendance temporelle $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ et que $E = p^2/2m$ en sorte. **25.** $\psi$ est l’amplitude dont le carré est la probabilité ; elle obéit à l’équation linéaire de Schrödinger ; les [états stationnaires](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) portent un phaseur et des densités fixes ; un paquet libre se déplace à $p/m$ et s’étale en $2m\sigma_0^2/\hbar$ ; Ehrenfest rend Newton pour les grands objets.