---
title: "Bilans de quantité de mouvement et d’énergie dans les écoulements"
book: "Physique universitaire — 2e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/5-bilans-de-quantite-de-mouvement-et-denergie-dans-les-ecoulements
---

# Chapitre 5 — Bilans de quantité de mouvement et d’énergie dans les écoulements

Le pompier s’arc-boute contre sa lance : l’eau qui sort à trente mètres par seconde repousse avec des centaines de newtons, alors que rien ne touche la lance que de l’eau. Un réacteur pend sous une aile et tire un avion à travers le ciel en projetant de l’air vers l’arrière. Un arroseur de jardin tourne sans moteur. Dans chaque cas un fluide entre dans une région, en sort avec une quantité de mouvement différente, et la différence est une force. Ce chapitre écrit les lois de la mécanique — quantité de mouvement, moment cinétique, énergie — non pour une masse fixée de fluide mais pour le fluide qui traverse une région fixe, un *[système ouvert](#def-b2-flow-balances-cv)* : la forme sous laquelle les ingénieurs dimensionnent turbines, fusées, pompes et conduites.

## 5.1 Bilans pour un système ouvert

**Définition 5.1 (Volume de contrôle ; système ouvert).**

Un *volume de contrôle* (ou surface de contrôle) est une région fixe de l’espace $\Sigma$ que traverse un fluide ; le fluide qui s’y trouve à un instant donné est un *système ouvert*, qui échange de la masse avec l’extérieur par les entrées et les sorties de $\Sigma$. Le système fermé auquel s’appliquent les lois de Newton est le fluide contenu dans $\Sigma$ à l’instant $t$, suivi jusqu’à $t + \dd t$ : il occupe alors $\Sigma$ moins ce qui en est sorti plus ce qui y est entré.

**Théorème 5.2 (Bilan de quantité de mouvement en écoulement stationnaire).**

Pour un [écoulement stationnaire](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#def-b2-fluid-kinematics-euler) traversant un [volume de contrôle](#def-b2-flow-balances-cv) avec une entrée (section $S_1$, vitesse uniforme $\vect v_1$) et une sortie ($S_2$, $\vect v_2$), le [débit massique](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $D_m$ étant le même aux deux,

$$
\sum\vect F_{\text{ext}} = D_m\,(\vect v_2 - \vect v_1) ,
$$

où $\sum\vect F_{\text{ext}}$ est la somme de toutes les forces extérieures appliquées au fluide contenu dans $\Sigma$ : poids, forces des parois et des corps en contact avec lui, et forces de pression sur les sections d’entrée et de sortie ($P_1S_1\vect n_1$ qui pousse vers l’intérieur, $-P_2S_2\vect n_2$ à la sortie). Avec plusieurs entrées et sorties, le second membre est la somme des flux sortants de quantité de mouvement $D_{m,i}\vect v_i$ diminuée des flux entrants.

**Démonstration.** Considérons le système fermé $\mathcal S$ formé du fluide contenu dans $\Sigma$ à l’instant $t$ et de la tranche $\delta m = D_m\dd t$ sur le point d’entrer par $S_1$. À $t + \dd t$ il est formé du fluide contenu dans $\Sigma$ et de la tranche $\delta m$ sortie par $S_2$. Sa quantité de mouvement est passée de $\vect p_\Sigma(t) +
\delta m\,\vect v_1$ à $\vect p_\Sigma(t + \dd t) + \delta m\,\vect v_2$ ; en régime stationnaire $\vect p_\Sigma$ est constante, donc $\dd\vect p_{\mathcal S} = D_m\dd t\,(\vect v_2
- \vect v_1)$. La deuxième loi de Newton pour $\mathcal S$, dont les forces extérieures sont (au premier ordre) celles qui s’exercent sur le fluide contenu dans $\Sigma$, donne le résultat. ∎

![À gauche : un volume de contrôle dans un écoulement stationnaire — la quantité de mouvement qui sort par S_2, diminuée de celle qui entre par S_1, égale la somme des forces extérieures sur le fluide intérieur, forces de pression sur les deux sections comprises. À droite : un jet arrêté par une paroi la pousse avec D_mv ; un jet renvoyé par un auget Pelton se déplaçant à u pousse avec jusqu’à 2D_m(v - u).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-c676c25719b5.svg)

![À gauche : un volume de contrôle dans un écoulement stationnaire — la quantité de mouvement qui sort par S_2, diminuée de celle qui entre par S_1, égale la somme des forces extérieures sur le fluide intérieur, forces de pression sur les deux sections comprises. À droite : un jet arrêté par une paroi la pousse avec D_mv ; un jet renvoyé par un auget Pelton se déplaçant à u pousse avec jusqu’à 2D_m(v - u).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-495443cd78e7.svg)

*À gauche : un [volume de contrôle](#def-b2-flow-balances-cv) dans un [écoulement stationnaire](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#def-b2-fluid-kinematics-euler) — la quantité de mouvement qui sort par $S_2$, diminuée de celle qui entre par $S_1$, égale la somme des forces extérieures sur le fluide intérieur, forces de pression sur les deux sections comprises. À droite : un jet arrêté par une paroi la pousse avec $D_mv$ ; un jet renvoyé par un auget Pelton se déplaçant à $u$ pousse avec jusqu’à $2D_m(v - u)$.*

**Exemple 5.3 (Jet sur une paroi ; la lance à incendie).**

Un jet de section $s$ et de vitesse $v$ frappe une paroi perpendiculairement et s’étale sur elle : la quantité de mouvement sortante selon le jet est nulle, de sorte que la paroi reçoit $F = D_mv = \rho sv^2$ — $1.1\,\mathrm{kN}$ pour un jet de $5\,\mathrm{cm}$ à $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Par le même bilan appliqué au fluide contenu dans le tuyau et la lance, la lance repousse le pompier avec $D_mv$ : $20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ à $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ donnent $600\,\mathrm{N}$, le poids d’une personne. Si la paroi recule à $u$, seul $D_m' = \rho s(v - u)$ l’atteint par unité de temps et arrive à la vitesse relative $v - u$ : $F = \rho s(v - u)^2$.

**Proposition 5.4 (Auget Pelton ; poussée d’une fusée).**

(i) Un jet de vitesse $v$ et de [débit massique](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $D_m$ est renvoyé de $180^\circ$ par un auget qui se déplace à $u$ dans la direction du jet : la force sur l’auget vaut $F = 2D_m(v - u)$ (avec $D_m$ le débit réellement intercepté par les augets mobiles d’une roue), la puissance $Fu$ est maximale pour $u = v/2$ et vaut alors $\tfrac12D_mv^2$ : toute la puissance cinétique du jet. (ii) Une fusée de masse $m(t)$ qui éjecte du gaz vers l’arrière à la vitesse relative $v_e$ et au [débit massique](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $D_m = -\dd m/\dd t$ subit la poussée $F = D_mv_e$ ; dans l’espace libre sa vitesse augmente de $\Delta v = v_e\ln(m_0/m_1)$ (équation de Tsiolkovski) ; dans un champ de pesanteur, $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$.

**Démonstration.** (i) Dans le référentiel de l’auget le jet arrive à $v - u$ et repart à $-(v - u)$ ; le bilan de quantité de mouvement donne $2D_m(v - u)$ (l’auget est parfait : aucune perte de vitesse relative). Puissance $2D_mu(v - u)$, maximale en $u = v/2$. (ii) Quantité de mouvement de la fusée et du gaz éjecté pendant $\dd t$ : $(m + \dd m)
(v + \dd v) + (-\dd m)(v - v_e) = mv$ dans l’espace libre, d’où $m\,\dd v = -\dd m\,v_e$ et $v_1 - v_0 = v_e\ln(m_0/m_1)$ ; avec la pesanteur la quantité de mouvement totale varie de $-mg\,\dd t$. ∎

**Exemple 5.5 (Un lanceur).**

Premier étage : $D_m = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ à $v_e = 3000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : poussée $7.5\,\mathrm{MN}$, qui soulève une fusée de $600\,\mathrm{t}$ à $7.5 \times 10^6/6 \times 10^5 - g
= 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ au décollage. Brûler $500\,\mathrm{t}$ en $200\,\mathrm{s}$ donne $\Delta v = 3000\ln6 - 9.81 \times 200 = 5400 - 2000 = 3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — la perte gravitationnelle explique que les lanceurs montent vite, et le logarithme qu’ils soient à étages.

**Exemple 5.6 (Force sur un coude de conduite).**

De l’eau à $P$ et $v$ dans une conduite de section $S$ tourne de $90^\circ$. Le bilan sur le fluide contenu dans le coude : $\vect F_{\text{paroi}} + PS\vect e_x - PS
\vect e_y = D_m(v\vect e_y - v\vect e_x)$, de sorte que la paroi pousse le fluide avec $\vect F_{\text{paroi}} = -(PS + \rho Sv^2)(\vect e_x - \vect e_y)$ et que le fluide pousse le coude vers l’extérieur avec $(PS + \rho Sv^2)\sqrt2$. Pour $D = 20\,\mathrm{cm}$, $P = 3\,\mathrm{bar}$, $v = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $PS = 9.4\,\mathrm{kN}$, $\rho Sv^2 = 0.28\,\mathrm{kN}$, force $13.7\,\mathrm{kN}$ selon la bissectrice — le terme de pression domine, et c’est lui que retiennent les massifs d’ancrage d’une canalisation.

## 5.2 Moment cinétique : turbines et arroseurs

**Théorème 5.7 (Bilan de moment cinétique ; équation d’Euler des turbomachines).**

En [écoulement stationnaire](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#def-b2-fluid-kinematics-euler), le moment total en un point $O$ des forces extérieures appliquées au fluide contenu dans $\Sigma$ égale le flux sortant de moment cinétique diminué du flux entrant : $\sum\vect{\mathcal M}_O = D_m(\vect r_2\wedge\vect v_2 - \vect r_1
\wedge\vect v_1)$. Pour une machine tournante (turbine ou pompe) d’axe $Oz$, le fluide entrant au rayon $r_1$ avec la vitesse azimutale $v_{\theta1}$ et sortant en $r_2$ avec $v_{\theta2}$, le couple exercé par le fluide sur le rotor et la puissance qu’il délivre valent

$$
\Gamma = D_m(r_1v_{\theta1} - r_2v_{\theta2}) , \qquad
\mathcal P = \Gamma\omega = D_m\omega(r_1v_{\theta1} - r_2v_{\theta2}) .
$$

Une turbine ôte au fluide sa giration ; une pompe la lui donne.

**Démonstration.** Même raisonnement sur un système fermé, avec $\vect r\wedge\vect v$ à la place de $\vect v$. Le couple sur le rotor est l’opposé du couple exercé par le rotor sur le fluide ; les forces de pression sur les surfaces d’entrée et de sortie (qui sont des surfaces de révolution) n’ont pas de moment par rapport à l’axe. ∎

**Exemple 5.8 (L’arroseur de jardin).**

Deux bras de longueur $R$ éjectent l’eau tangentiellement à la vitesse relative $w$ ; l’arroseur tourne à $\omega$. L’eau entre sur l’axe sans moment cinétique et sort avec $r v_\theta = R(w - R\omega)$ (vitesse azimutale absolue $w - R\omega$, opposée à la rotation) : le couple sur les bras vaut $D_mR(w - R\omega)$. À l’arrêt il vaut $D_mRw$ ; sans frottement l’arroseur accélère jusqu’à $R\omega = w$ — l’eau sort avec une vitesse absolue nulle et le couple s’annule ; avec un couple de frottement $\Gamma_f$ il se stabilise à $\omega = (w - \Gamma_f/D_mR)/R$.

![À gauche : l’arroseur de jardin — l’eau quitte les bras tangentiellement à la vitesse relative w ; le moment cinétique sortant fait tourner les bras en sens inverse. À droite : une turbine centripète (une roue Francis vue selon son axe) : le fluide entre à la périphérie avec une forte giration et sort près de l’axe avec peu de giration ; la différence des flux de moment cinétique est le couple sur la roue.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-5c8326b335e1.svg)

*À gauche : l’arroseur de jardin — l’eau quitte les bras tangentiellement à la vitesse relative $w$ ; le moment cinétique sortant fait tourner les bras en sens inverse. À droite : une turbine centripète (une roue Francis vue selon son axe) : le fluide entre à la périphérie avec une forte giration et sort près de l’axe avec peu de giration ; la différence des flux de moment cinétique est le couple sur la roue.*

## 5.3 Bilan d’énergie : pompes, turbines et pertes

**Théorème 5.9 (Bilan d’énergie mécanique d’un écoulement stationnaire).**

Pour un fluide incompressible en [écoulement stationnaire](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#def-b2-fluid-kinematics-euler) à travers une machine (pompe ou turbine) entre une entrée 1 et une sortie 2, avec $\mathcal P_u$ la puissance mécanique fournie au fluide par les parties mobiles (positive pour une pompe, négative pour une turbine) et $\mathcal P_{\text{diss}} \ge 0$ la puissance dissipée par la [viscosité](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/4-ecoulements-visqueux#def-b2-viscous-flows-viscosity),

$$
D_V\Bigl[\bigl(P_2 + \tfrac12\rho v_2^2 + \rho gz_2\bigr) - \bigl(P_1 + \tfrac12\rho v_1^2
+ \rho gz_1\bigr)\Bigr] = \mathcal P_u - \mathcal P_{\text{diss}} .
$$

En divisant par $\rho gD_V$ on obtient le bilan en *charges* (en mètres de fluide) : $H_2 - H_1 = H_{\text{pompe}} - H_{\text{perte}}$, avec $H = P/\rho g +
v^2/2g + z$. Pour un [fluide parfait](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/3-fluides-parfaits-euler-et-bernoulli#def-b2-euler-bernoulli-perfect) sans machine c’est Bernoulli ; la *[puissance hydraulique](#thm-b2-flow-balances-energy)* d’une pompe qui élève la charge de $H_{\text{pompe}}$ vaut $\rho gD_VH_{\text{pompe}}$.

**Démonstration.** Théorème de l’énergie cinétique pour le système fermé de la démonstration du [Théorème 5.2](#thm-b2-flow-balances-momentum) : pendant $\dd t$ son énergie cinétique varie de $D_m\dd t\,(v_2^2 - v_1^2)/2$ ; le travail reçu est celui de la pesanteur, $-D_m\dd t\,g(z_2 - z_1)$, des forces de pression sur les faces extrêmes mobiles, $(P_1S_1v_1 - P_2S_2v_2)\dd t = (P_1 - P_2)D_V\dd t$, des parties mobiles, $\mathcal P_u\dd t$, et des forces visqueuses intérieures, $-\mathcal P_{\text{diss}}\dd t$ (les parois, au repos, ne travaillent pas). On divise par $\dd t$. ∎

**Exemple 5.10 (Dimensionner une pompe).**

Il faut élever de l’eau de $30\,\mathrm{m}$ à $20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ à travers $100\,\mathrm{m}$ de conduite de $10\,\mathrm{cm}$ ($\lambda = 0.02$) : $v = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, perte de charge $\lambda(L/D)
v^2/2g = 0.02 \times 1000 \times 0.32 = 6.4\,\mathrm{m}$, charge cinétique de sortie $0.32\,\mathrm{m}$ : $H_{\text{pompe}} = 36.7\,\mathrm{m}$, [puissance hydraulique](#thm-b2-flow-balances-energy) $\rho gD_VH =
7.2\,\mathrm{kW}$, et $10\,\mathrm{kW}$ électriques pour un rendement de $70\%$. La pression au refoulement de la pompe vaut $\rho gH_{\text{pompe}} \approx 3.6\,\mathrm{bar}$ au-dessus de celle à l’aspiration.

**Proposition 5.11 (Élargissement brusque : la perte de Borda–Carnot).**

Lorsqu’une conduite de section $S_1$ débouche brusquement dans une conduite de section $S_2
> S_1$, le jet s’étale dans une zone turbulente et la pression *augmente* en aval, mais moins que ne le dirait Bernoulli : l’énergie mécanique perdue par unité de volume vaut

$$
\Delta P_{\text{perte}} = \tfrac12\rho(v_1 - v_2)^2 ,
$$

l’énergie cinétique de la vitesse relative « perdue ». Un écoulement qui sort d’une conduite dans un grand réservoir ($v_2 \to 0$) perd toute son énergie cinétique.

**Démonstration.** Bilan de quantité de mouvement sur le fluide compris entre l’élargissement et une section en aval où l’écoulement est de nouveau uniforme ; l’expérience montre que la pression sur la couronne de l’élargissement vaut $P_1$ (le jet ne s’est pas encore étalé). D’où $(P_1 - P_2)S_2 = D_m(v_2 - v_1) = \rho S_2v_2(v_2 -
v_1)$, soit $P_2 - P_1 = \rho v_2(v_1 - v_2)$. Bernoulli donnerait $\tfrac12\rho(v_1^2 - v_2^2)$ ; la différence vaut $\tfrac12\rho(v_1 - v_2)^2$. ∎

![À gauche : un élargissement brusque — le jet s’étale dans une zone morte turbulente et une partie de son énergie cinétique est dissipée. À droite : les fractions de l’énergie cinétique amont perdue et récupérée en pression, en fonction du rapport des sections ; la perte est maximale pour un jet débouchant dans un réservoir.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-03a78f9e810e.svg)

![À gauche : un élargissement brusque — le jet s’étale dans une zone morte turbulente et une partie de son énergie cinétique est dissipée. À droite : les fractions de l’énergie cinétique amont perdue et récupérée en pression, en fonction du rapport des sections ; la perte est maximale pour un jet débouchant dans un réservoir.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-50ee7c615b7e.svg)

*À gauche : un élargissement brusque — le jet s’étale dans une zone morte turbulente et une partie de son énergie cinétique est dissipée. À droite : les fractions de l’énergie cinétique amont perdue et récupérée en pression, en fonction du rapport des sections ; la perte est maximale pour un jet débouchant dans un réservoir.*

**Méthode 5.12 (Établir un bilan).**

(1) Tracer le [volume de contrôle](#def-b2-flow-balances-cv) : sa frontière ne doit couper l’écoulement que là où la vitesse et la pression sont connues ou cherchées (sections uniformes, jets libres à $P_0$, surfaces libres). (2) Recenser les forces extérieures appliquées au *fluide intérieur* : poids, forces des parois (inconnues, c’est l’objectif habituel), pression sur les sections coupées. (3) Écrire le flux sortant de quantité de mouvement diminué du flux entrant ; pour les parties mobiles, travailler dans le référentiel de la pièce si l’écoulement y est stationnaire. (4) Pour les couples, le bilan de moment cinétique ; pour les puissances, le bilan d’énergie en charges. (5) La force sur la paroi est l’opposée de la force de la paroi sur le fluide ; ajouter la pression atmosphérique qui s’exerce sur l’extérieur du dispositif si c’est la force résultante sur le dispositif qui est cherchée.

## 5.4 Exercices

**Exercice 5.1 ★.**

Une lance à incendie débite $25\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ par un ajutage de $3.0\,\mathrm{cm}$ de diamètre. Vitesse de sortie ; force de réaction sur la lance ; force du jet sur une paroi qu’il frappe perpendiculairement ; sur une paroi qui recule à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Solution de Exercice 5.1.**

$s = 7.1\,\mathrm{cm}^{2}$, $v = 0.025/7.1 \times 10^{-4} = 35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F = D_mv = 25
\times 35 = 880\,\mathrm{N}$ sur la lance comme sur la paroi ; paroi qui recule : $\rho s(v -
u)^2 = 1000 \times 7.1 \times 10^{-4} \times 25.4^2 = 460\,\mathrm{N}$.

**Exercice 5.2 ★.**

Un moteur-fusée éjecte $250\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ à $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Poussée ; accélération initiale d’une fusée de $60\,\mathrm{t}$ ; accélération lorsque $40\,\mathrm{t}$ d’ergols ont brûlé ; vitesse acquise après cette combustion (dans l’espace libre, puis avec la pesanteur, durée $160\,\mathrm{s}$).

**Solution de Exercice 5.2.**

$F = 250 \times 3000 = 750\,\mathrm{kN}$ ; $a_0 = 750/60 - 9.81 = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; à $20\,\mathrm{t}$ : $37.5 - 9.8 = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. $\Delta v = 3000\ln3 = 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dans l’espace libre ; moins $g\tau = 1.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $1.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Exercice 5.3 ★.**

De l’eau s’écoule à $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sous $4.0\,\mathrm{bar}$ dans une conduite de $15\,\mathrm{cm}$ qui tourne de $90{}^{\circ}$. Force exercée par l’eau sur le coude (norme et direction) ; quelle part vient de la pression, quelle part de la variation de quantité de mouvement ? Même coude, la conduite débouchant à l’air libre juste après le coude.

**Solution de Exercice 5.3.**

$S = 177\,\mathrm{cm}^{2}$ : $PS = 7.1\,\mathrm{kN}$, $\rho Sv^2 = 71\,\mathrm{N}$. Chaque composante de la force sur le coude vaut $PS + \rho Sv^2 = 7.1\,\mathrm{kN}$ : $10\,\mathrm{kN}$ selon la bissectrice extérieure, dont $99\%$ de pression. Sortie à l’air libre (pression relative nulle en ce point) : $7.1$ kN selon la direction d’entrée et $71\,\mathrm{N}$ selon celle de sortie : $7.1\,\mathrm{kN}$, presque selon l’axe d’entrée.

**Exercice 5.4 ★.**

Un réacteur au banc d’essai avale $80\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ d’air immobile et l’éjecte à $550\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (masse du carburant négligée). Poussée. En vol à $240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, à même vitesse d’éjection par rapport au moteur : poussée, puissance propulsive, et puissance cinétique donnée à l’air dans le référentiel du moteur ; rendement propulsif.

**Solution de Exercice 5.4.**

$F = 80 \times 550 = 44\,\mathrm{kN}$. En vol : $F = 80(550 - 240) = 25\,\mathrm{kN}$, $Fv =
6.0\,\mathrm{MW}$ ; $\mathcal P_{\text{cin}} = \tfrac12 \times 80 \times (550^2 - 240^2) =
9.8\,\mathrm{MW}$ ; $\eta_p = 0.61 = 2 \times 240/790$.

**Exercice 5.5 ★★.**

*Roue Pelton.* Un jet de $0.50\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ à $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ frappe les augets d’une roue de rayon $0.80\,\mathrm{m}$. (a) Force et puissance sur les augets à la vitesse d’auget $u$ (déviation parfaite de $180^\circ$) ; $u$ optimal et vitesse de rotation correspondante en tr/min. (b) Puissance et rendement à l’optimum. (c) Des augets réels dévient le jet de $165{}^{\circ}$ : force et puissance à $u = v/2$ ; rendement. (d) Couple à l’optimum ; que devient le couple à l’arrêt et à la vitesse d’emballement ?

**Solution de Exercice 5.5.**

$D_m = 500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$. (a) $F = 1000(60 - u)$ N, $\mathcal P = 1000u(60 - u)$ ; $u =
30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 37.5$ rad/s $= 360\,\mathrm{rpm}$. (b) $900\,\mathrm{kW}$ $=
\tfrac12D_mv^2$ : $100\%$. (c) $F = D_m(v - u)(1 + \cos15^\circ) = 29.5\,\mathrm{kN}$, $\mathcal P
= 885\,\mathrm{kW}$, $98\%$. (d) $\Gamma = FR = 24\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$ ; à l’arrêt la force double ($\Gamma = 48\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$) ; en $u = v$ force et couple s’annulent.

**Exercice 5.6 ★★.**

*Arroseur.* Deux bras de $15\,\mathrm{cm}$ se terminent par des ajutages de $3.0\,\mathrm{mm}$ ; le débit total vaut $0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$. (a) Vitesse relative de sortie. (b) Couple à l’arrêt. (c) Vitesse de rotation avec un couple de frottement de [palier](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/1-mecanique-du-solide#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot) de $5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ ; [vitesse limite](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/4-ecoulements-visqueux#prop-b2-viscous-flows-stokes) sans frottement. (d) Vitesse absolue de l’eau qui sort, dans chaque cas.

**Solution de Exercice 5.6.**

(a) $s = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$ par ajutage, $0.10\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ chacun : $w = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $\Gamma_0 = D_mRw = 0.2 \times 0.15 \times 14 = 0.42\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (c) $D_mR(w - R\omega) =
5 \times 10^{-3}$ : $w - R\omega = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} \approx 890\,\mathrm{rpm}$ ; sans frottement $R\omega = w$ : $900\,\mathrm{rpm}$. (d) $0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vers l’arrière, puis nulle : l’eau tombe verticalement.

**Exercice 5.7 ★★.**

*Vol stationnaire.* Un hélicoptère de $2.0\,\mathrm{t}$ est en vol stationnaire avec un rotor de $10\,\mathrm{m}$ de diamètre. On modélise le rotor par un disque qui aspire de l’air immobile et le pousse vers le bas à la vitesse uniforme $v_i$ au disque, $2v_i$ loin en dessous (facteur 2 admis). (a) Poussée en fonction de $\rho$, $A$, $v_i$ ; valeur de $v_i$. (b) Puissance donnée à l’air (sa puissance cinétique loin en dessous). (c) Pourquoi un rotor plus grand demande-t-il moins de puissance ? (d) Même calcul pour un drone de $1\,\mathrm{kg}$ à quatre hélices de $25\,\mathrm{cm}$ ; comparaison des rapports puissance sur poids.

**Solution de Exercice 5.7.**

(a) $D_m = \rho Av_i$, [flux de quantité de mouvement](#thm-b2-flow-balances-momentum) $D_m\cdot2v_i$ : $T = 2\rho Av_i^2$ ; $A = 78.5\,\mathrm{m}^{2}$, $T = 19.6\,\mathrm{kN}$ : $v_i = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $\mathcal P = \tfrac12D_m(2v_i)^2 = Tv_i =
200\,\mathrm{kW}$. (c) $\mathcal P = T^{3/2}/\sqrt{2\rho A}$ : doubler l’aire divise la puissance induite par $\sqrt2$ — un rotor plus grand brasse plus d’air plus lentement. (d) $A = 0.20\,\mathrm{m}^{2}$, $v_i = \sqrt{9.81/0.47} = 4.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\mathcal P
= 45\,\mathrm{W}$ : $45\,\mathrm{W}/\mathrm{kg}$ contre $100\,\mathrm{W}/\mathrm{kg}$ — la charge de disque $T/A$ est plus faible.

**Exercice 5.8 ★★.**

*Élargissement brusque.* De l’eau à $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans une conduite de $5\,\mathrm{cm}$ entre dans une conduite de $10\,\mathrm{cm}$. (a) Vitesse en aval ; remontée de pression selon Bernoulli et selon Borda–Carnot ; perte en pascals et en mètres de charge. (b) Le même élargissement rendu progressif (un diffuseur) récupère $80\%$ de la remontée de Bernoulli : perte. (c) Perte lorsque la conduite de $5\,\mathrm{cm}$ débouche dans un grand réservoir. (d) Puissance perdue dans les cas (a) et (c) au débit donné.

**Solution de Exercice 5.8.**

(a) $v_2 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; Bernoulli $\tfrac12\rho(16 - 1) = 7.5\,\mathrm{kPa}$ ; en réalité $\rho v_2(v_1 - v_2) = 3.0\,\mathrm{kPa}$ ; perte $4.5\,\mathrm{kPa}$ $= 0.46\,\mathrm{m}$. (b) $6$ kPa récupérés, $1.5\,\mathrm{kPa}$ perdus. (c) $\tfrac12\rho v_1^2 = 8\,\mathrm{kPa}$, $0.82\,\mathrm{m}$. (d) $D_V = 7.9\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ : $35\,\mathrm{W}$ et $63\,\mathrm{W}$.

**Exercice 5.9 ★★.**

Une pompe aspire l’eau d’un puits situé $5.0\,\mathrm{m}$ au-dessous d’elle et refoule $10\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ vers un réservoir $25\,\mathrm{m}$ au-dessus d’elle à travers $60\,\mathrm{m}$ de conduite de $6\,\mathrm{cm}$ ($\lambda = 0.025$, plus une perte singulière de $2\,v^2/2g$ pour les accessoires). (a) Vitesse et pertes. (b) Charge de la pompe et [puissance hydraulique](#thm-b2-flow-balances-energy) ; puissance sur l’arbre pour un rendement de $65\%$. (c) Pression à l’aspiration et au refoulement de la pompe. (d) La pression de vapeur de l’eau vaut $2.3\,\mathrm{kPa}$ : hauteur maximale de la pompe au-dessus du puits.

**Solution de Exercice 5.9.**

(a) $v = 0.01/2.83 \times 10^{-3} = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v^2/2g = 0.64\,\mathrm{m}$ ; frottement $0.025 \times 1000 \times 0.64 = 16\,\mathrm{m}$, accessoires $1.3\,\mathrm{m}$ : $17.3\,\mathrm{m}$. (b) $H = 30 + 17.3 + 0.64 = 48\,\mathrm{m}$ ; $\rho gD_VH = 4.7\,\mathrm{kW}$ ; $7.2\,\mathrm{kW}$ à l’arbre. (c) À l’aspiration (sans pertes d’aspiration) : $P_0 - \rho g(5 + 0.64) = 45\,\mathrm{kPa}$ ; au refoulement $45 + 470 = 515\,\mathrm{kPa}$. (d) $P_{\text{asp}} \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$ : $h \le (100 -
2.3)/9.81 - 0.64 = 9.3\,\mathrm{m}$ (moins avec les pertes d’aspiration ; $7$ à $8\,\mathrm{m}$ en pratique).

**Exercice 5.10 ★★★.**

*Fusée à eau.* Une bouteille de $2.0\,\mathrm{L}$ contient $1.0\,\mathrm{L}$ d’eau et de l’air à $5.0\,\mathrm{bar}$ (en absolu) ; l’ajutage a un diamètre de $2.2\,\mathrm{cm}$ ; bouteille vide $0.10\,\mathrm{kg}$. (a) Vitesse de sortie initiale (Bernoulli, surface de l’eau au repos) et poussée ; accélération initiale. (b) À mesure que l’eau sort, l’air se détend isothermiquement : pression et vitesse de sortie quand la moitié de l’eau est partie. (c) Estimer la durée de la poussée et la vitesse atteinte (en négligeant la pesanteur et la traînée, et en prenant la poussée moyenne). (d) Que fait la bouteille vide une fois l’eau partie, et pourquoi un peu d’eau (et non beaucoup) donne-t-il la meilleure altitude ?

**Solution de Exercice 5.10.**

(a) $v = \sqrt{2 \times 4 \times 10^5/1000} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $s = 3.8\,\mathrm{cm}^{2}$, $D_m =
10.8\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $F = D_mv = 2\Delta P\,s = 300\,\mathrm{N}$ ; $a = 300/1.1 - 9.8 =
260\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (b) Air à $1.5\,\mathrm{L}$ : $P = 3.3\,\mathrm{bar}$, $v = \sqrt{2 \times 2.3 \times
10^5/1000} = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Vitesse de sortie moyenne $\approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : durée $\approx 10^{-3}
/(3.8 \times 10^{-4} \times 22) = 0.12\,\mathrm{s}$ ; [équation de la fusée](#prop-b2-flow-balances-pelton) avec $v_e \approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Delta v \approx 22\ln(1.1/0.1) = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) Les $2.5\,\mathrm{bar}$ d’air restants s’échappent et ajoutent un peu ; trop d’eau laisse peu d’air et la pression s’effondre tôt, trop peu laisse peu de masse à projeter — le tiers du volume environ est optimal.

**Exercice 5.11 ★★★.**

*Turbine Francis.* L’eau entre dans une roue en $r_1 = 1.0\,\mathrm{m}$ avec $v_{\theta1} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et sort en $r_2 = 0.50\,\mathrm{m}$ sans giration ; débit $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; rotation $150\,\mathrm{rpm}$. (a) Couple et puissance. (b) Charge extraite, $H = \mathcal P/\rho gD_V$. (c) Si la roue tournait à $200\,\mathrm{rpm}$ avec la même vitesse d’entrée et une giration de sortie devenue $v_{\theta2} = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans le sens de la rotation : puissance et fraction de la charge transformée en giration de sortie inutile. (d) Pourquoi la roue Pelton sert-elle aux grandes chutes et aux faibles débits, la Francis à l’inverse ?

**Solution de Exercice 5.11.**

(a) $\Gamma = D_mr_1v_{\theta1} = 3 \times 10^4 \times 20 = 600\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$, $\omega = 15.7$ rad/s, $\mathcal P = 9.4\,\mathrm{MW}$. (b) $H = \mathcal P/\rho gD_V = 32\,\mathrm{m}$. (c) $\Gamma = 3 \times
10^4(20 - 1.5) = 555\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$, $\mathcal P = 11.6\,\mathrm{MW}$ (charge $39\,\mathrm{m}$) ; la giration de sortie emporte $v_{\theta2}^2/2g = 0.46\,\mathrm{m}$, soit $1\%$ environ. (d) Un jet Pelton est à la pression atmosphérique : il lui faut une grande chute pour être rapide, et son débit est limité par l’injecteur ; une roue Francis est noyée sous pression et laisse passer de grands débits sous des chutes modérées.

**Exercice 5.12 ★★★.**

*Ressaut hydraulique.* Dans un canal horizontal de largeur unité, une eau de profondeur $h_1$ s’écoulant à $v_1$ passe brusquement à la profondeur $h_2$ et à la vitesse $v_2$ (la marche écumante en aval d’un seuil ou dans un évier). (a) Conservation de la masse. (b) Bilan de quantité de mouvement sur le fluide compris entre les deux côtés du ressaut, la pression étant hydrostatique de part et d’autre : montrer que $\tfrac12gh_1^2 + v_1^2h_1 = \tfrac12gh_2^2 + v_2^2h_2$. (c) En déduire $h_2/h_1 =
\tfrac12\bigl(-1 + \sqrt{1 + 8\,\mathrm{Fr}_1^2}\bigr)$ avec $\mathrm{Fr}_1 =
v_1/\sqrt{gh_1}$ (le nombre de Froude) ; un ressaut exige $\mathrm{Fr}_1 > 1$. (d) Charge perdue dans le ressaut, $\Delta H = (h_2 - h_1)^3/4h_1h_2$ ; applications numériques pour $h_1 =
0.20\,\mathrm{m}$, $v_1 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et puissance dissipée par mètre de largeur.

**Solution de Exercice 5.12.**

(a) $v_1h_1 = v_2h_2 = q$. (b) Force hydrostatique par unité de largeur sur une section $\int_0^h\rho g(h - z)\dd z = \tfrac12\rho gh^2$ ; quantité de mouvement : $\tfrac12\rho g(h_1^2
- h_2^2) = \rho q(v_2 - v_1)$ ; on divise par $\rho$ et on utilise $q = v_1h_1 = v_2h_2$. (c) Avec $v_2 = v_1h_1/h_2$ et $h_1 \ne h_2$ : $\tfrac12g(h_1 + h_2)h_2 = v_1^2h_1$, soit $(h_2/h_1)^2 + h_2/h_1 - 2\mathrm{Fr}_1^2 = 0$ ; $h_2 > h_1$ exige $\mathrm{Fr}_1 > 1$. (d) $\Delta H = (h_1 + v_1^2/2g) - (h_2 + v_2^2/2g) = (h_2 - h_1)^3/4h_1h_2$. $\mathrm{Fr}_1 = 2.86$, $h_2/h_1 = 3.57$, $h_2 = 0.71\,\mathrm{m}$, $v_2 = 1.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\Delta H = 0.514^3/0.57 = 0.24\,\mathrm{m}$ ; $\rho gq\,\Delta H = 1.9\,\mathrm{kW}$ par mètre de largeur.

![La roue d’une turbine Pelton : chaque auget renvoie le jet de près de 180, et la variation de quantité de mouvement de l’eau est la force sur la roue.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/img-c02aefaf70f4.jpg)

*La roue d’une [turbine Pelton](#prop-b2-flow-balances-pelton) : chaque auget renvoie le jet de près de $180^\circ$, et la variation de quantité de mouvement de l’eau est la force sur la roue.*

![Les conduites forcées d’une centrale hydroélectrique alimentent les turbines en contrebas : le bilan de quantité de mouvement du jet sur les augets d’une roue Pelton transforme la chute d’eau en travail sur l’arbre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/img-9ac946c5e96a.jpg)

*Les conduites forcées d’une centrale hydroélectrique alimentent les turbines en contrebas : le bilan de quantité de mouvement du jet sur les augets d’une roue Pelton transforme la chute d’eau en travail sur l’arbre.*

## 5.5 Problème : jets, fusées et roues

**Problème 5.1.**

Problème du week-end — ce qui pousse un avion à réaction, ce qui soulève une fusée, ce qui fait tourner une turbine, et ce que coûte le pompage de l’eau vers l’amont

**Partie I — Le turboréacteur.** Un moteur au banc d’essai aspire $D_a = 50\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ d’air immobile, brûle $D_f = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de carburant et éjecte le mélange à $v_e =
600\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à la pression atmosphérique.

1. Poussée au banc d’essai.
2. En vol à $v = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (même $v_e$ par rapport au moteur) : poussée, et puissance propulsive $Fv$ .
3. Puissance cinétique donnée au gaz, calculée dans le référentiel du moteur. Rendement propulsif $\eta_p = Fv/\mathcal P_{\text{cin}}$ ; montrer qu’en négligeant la masse du carburant, $\eta_p = 2v/(v + v_e)$ .
4. Le carburant libère $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ : rendement thermique du moteur (puissance cinétique sur puissance thermique) et rendement global.
5. Un turboréacteur à double flux utilise la même puissance cinétique pour accélérer $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ d’air : vitesse d’éjection, poussée et $\eta_p$ à $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Pourquoi les avions de ligne ont-ils d’énormes soufflantes ?
6. Pourquoi un turboréacteur ne peut-il pas faire le travail d’une fusée, au repos, au-dessus de l’atmosphère ?
7. L’inversion de poussée à l’atterrissage dévie le flux de la soufflante vers l’avant à $45{}^{\circ}$ de l’axe : force de freinage pour le turboréacteur à double flux de la question 5 à $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , l’éjection de la soufflante étant alors de $150\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport au moteur ; comparer à la poussée vers l’avant que le même flux donnerait.

**Partie II — La fusée.** Une fusée à un étage : masse initiale $m_0 = 300\,\mathrm{t}$, ergols $200\,\mathrm{t}$, vitesse d’éjection $v_e = 3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, durée de combustion $\tau =
150\,\mathrm{s}$ à [débit massique](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) constant.

8. Appliquer le bilan de quantité de mouvement à la fusée et au gaz éjecté pendant $\dd t$ pour établir $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$ pour un vol vertical.
9. [Débit massique](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/2-cinematique-des-fluides#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) , poussée, et accélération au décollage et en fin de combustion.
10. Intégrer pour obtenir la vitesse en fin de combustion ; qu’est-ce que la « perte gravitationnelle » ?
11. Vitesse en fin de combustion avec la même fusée séparée en deux étages de $100\,\mathrm{t}$ d’ergols chacun, la masse à vide du premier étage ( $20\,\mathrm{t}$ ) étant larguée avant l’allumage du second (négliger ici la pesanteur) : comparer au monoétage.
12. Quelle vitesse d’éjection faudrait-il à un monoétage pour atteindre la vitesse orbitale ( $7.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , pesanteur négligée) avec le même rapport de masses ? Commenter le choix des ergols.
13. Au décollage le jet d’éjection ( $1333\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ à $3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) frappe le déflecteur de flammes du pas de tir et est dévié horizontalement : force sur le déflecteur.
14. L’éjection de la fusée est aussi un écoulement de fluide : pourquoi la poussée *augmente* -t-elle avec l’altitude pour une tuyère réelle (penser à la pression sur la section de sortie de la tuyère) ?

**Partie III — La roue Pelton.** Le jet de la centrale du chapitre précédent : $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ à $v =
62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, réparti sur deux roues ; chaque roue a un rayon $R =
1.5\,\mathrm{m}$ et des augets qui dévient le jet de $165{}^{\circ}$.

15. Force sur les augets d’une roue à la vitesse d’auget $u$ , et la puissance ; $u$ optimal.
16. Vitesse de rotation à l’optimum, en tr/min ; couple sur l’arbre.
17. L’alternateur doit tourner à un sous-multiple de $50\,\mathrm{Hz}$ divisé par son nombre de paires de pôles : choisir le nombre de paires de pôles.
18. Puissance d’une roue et rendement par rapport à la puissance cinétique du jet ; puissance électrique totale pour un rendement d’alternateur de $95\%$ .
19. À l’aide du bilan de moment cinétique ( [équation d’Euler des turbomachines](#thm-b2-flow-balances-angular) ) sur un auget à l’optimum : moment cinétique de l’eau entrante et sortante, par kilogramme, et vérification du couple.
20. La charge disparaît brusquement et la roue s’emballe vers $u =  v$ : qu’advient-il de la force et du couple, et pourquoi un déflecteur qui écarte le jet équipe-t-il toute centrale Pelton ?

**Partie IV — Pomper vers l’amont.** La centrale sert aussi de stockage : la nuit, $40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ sont remontés par la conduite forcée ($400\,\mathrm{m}$, $3\,\mathrm{m}$, $\lambda = 0.015$) vers le lac situé $200\,\mathrm{m}$ plus haut.

21. Pertes de charge dans la conduite à $40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; charge de pompe nécessaire.
22. [Puissance hydraulique](#thm-b2-flow-balances-energy) , et puissance électrique absorbée pour un rendement de pompe de $88\%$ .
23. Pression au bas de la conduite pendant le pompage ; comparer à sa valeur en mode turbine (chapitre précédent).
24. Énergie stockée par nuit de $8\,\mathrm{h}$ (énergie potentielle de l’eau remontée) ; rendement du cycle complet de stockage si le mode turbine récupère $90\%$ de la charge disponible et l’alternateur $95\%$ .
25. Récapituler les quatre bilans utilisés dans ce problème (quantité de mouvement, moment cinétique, énergie, masse) et le dispositif que chacun a dimensionné.

**Solution de Problème 5.1.**

**1.** $F = (D_a + D_f)v_e = 51 \times 600 = 30.6\,\mathrm{kN}$.

**2.** $F = 51 \times 600 - 50 \times 250 = 18.1\,\mathrm{kN}$ ; $Fv = 4.5\,\mathrm{MW}$.

**3.** $\mathcal P_{\text{cin}} = \tfrac12 \times 51 \times 600^2 - \tfrac12 \times 50 \times 250^2 =
7.6\,\mathrm{MW}$ ; $\eta_p = 0.59$. Avec $D_f = 0$ : $\eta_p = 2v(v_e - v)/(v_e^2 - v^2)
= 2v/(v_e + v) = 500/850$.

**4.** Chaleur $43\,\mathrm{MW}$ : rendement thermique $7.6/43 = 18\%$ ; global $4.5/43 = 10\%$.

**5.** $\tfrac12 \times 500(v_e'^2 - 250^2) = 7.6 \times 10^6$ : $v_e' = 305\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F = 500 \times 55 = 27.5\,\mathrm{kN}$ ; $\eta_p = 500/555 = 0.90$. Brasser plus d’air plus lentement donne plus de poussée à puissance égale : d’où les soufflantes.

**6.** Il lui faut l’air extérieur à la fois comme fluide de travail et comme comburant ; une fusée emporte les deux.

**7.** L’air entre à $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (vers l’arrière dans le référentiel du moteur) et repart avec une composante vers l’avant $150\cos45^\circ = 106\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : la quantité de mouvement donnée à l’air est dirigée vers l’avant, $500(106 + 70) = 88\,\mathrm{kN}$ de freinage ; le même flux éjecté vers l’arrière donnerait $500(150 - 70) =
40\,\mathrm{kN}$ de poussée.

**8.** Pendant $\dd t$ le système (fusée $m$ + gaz $D_m\dd t$ éjecté à $v - v_e$) : $(m - D_m\dd t)(v + \dd v) + D_m\dd t(v - v_e) - mv = -mg\,\dd t$, d’où $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$.

**9.** $D_m = 1333\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $F = 4.0\,\mathrm{MN}$ ; $a = 13.3 - 9.8 =
3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ au décollage, $40 - 9.8 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en fin de combustion.

**10.** $v = v_e\ln(m_0/m) - gt$ : $3000\ln3 - 9.81 \times 150 = 3296 - 1472 =
1.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; la perte gravitationnelle vaut $1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**11.** Étage 1 : $3000\ln(300/200) = 1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; largage de $20\,\mathrm{t}$ ; étage 2 : $3000\ln(180/80) = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ contre $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ pour le monoétage (avec la pesanteur l’écart se creuse).

**12.** $v_e = 7800/\ln3 = 7.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : aucun ergol chimique ne l’atteint (hydrogène–oxygène donne $4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$) ; les étages sont obligatoires.

**13.** Le flux vertical de quantité de mouvement du jet $D_mv = 4.0\,\mathrm{MN}$ est annulé et un flux horizontal égal est créé : une force de $4\,\mathrm{MN}$ vers le bas et $4\,\mathrm{MN}$ latéralement, soit $5.7\,\mathrm{MN}$ en tout.

**14.** Le bilan sur le moteur comporte $(P_e - P_0)S_e$ sur la section de sortie ; comme $P_0$ décroît avec l’altitude ce terme grandit : la poussée augmente de $10$ à $15\%$ dans le vide.

**15.** $D_m = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ par roue : $F = D_m(v - u)(1 + \cos15^\circ) =
1.97 \times 3 \times 10^4(62.6 - u)$ ; $\mathcal P = Fu$, maximale en $u = v/2 = 31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**16.** $\omega = u/R = 20.9$ rad/s $= 199\,\mathrm{rpm}$ ; $F = 1.85\,\mathrm{MN}$, $\Gamma = FR
= 2.8\,\mathrm{MN}\,\mathrm{m}$.

**17.** $f = pn/60$ : $p = 3000/199 \approx 15$ paires de pôles, $n = 200\,\mathrm{rpm}$.

**18.** $\mathcal P = Fu = 58\,\mathrm{MW}$ ; puissance du jet $\tfrac12D_mv^2 = 59\,\mathrm{MW}$ : $98\%$ ; $2 \times 58 \times 0.95 = 110\,\mathrm{MW}$.

**19.** À l’entrée : $Rv = 94\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ par kilogramme. À la sortie : vitesse azimutale absolue $u - (v - u)\cos15^\circ = 1.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, soit $1.6\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. $\Gamma = D_m(94 -
1.6) = 2.8\,\mathrm{MN}\,\mathrm{m}$ — comme en 16.

**20.** Quand $u \to v$ la vitesse relative, la force et le couple s’annulent : plus rien ne freine la roue, qui s’emballe ; le déflecteur écarte le jet des augets en moins d’une seconde tandis que le pointeau se ferme assez lentement pour éviter le coup de bélier.

**21.** $v = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v^2/2g = 1.6\,\mathrm{m}$ ; perte $0.015 \times 133 \times 1.6 =
3.3\,\mathrm{m}$ ; charge de pompe $200 + 3.3 + 1.6 = 205\,\mathrm{m}$.

**22.** $\rho gD_VH = 9810 \times 40 \times 205 = 80\,\mathrm{MW}$ ; $91\,\mathrm{MW}$ électriques.

**23.** $P = P_0 + \rho g(200 + 3.3) + \tfrac12\rho v^2 \approx 21\,\mathrm{bar}$ en absolu, contre $20.3\,\mathrm{bar}$ en mode turbine : les pertes s’ajoutent désormais à la charge statique au lieu de s’en retrancher.

**24.** $V = 40 \times 28800 = 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, $E = \rho gV \times 200 = 2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{J}
= 630\,\mathrm{MWh}$ ; consommé $91 \times 8 = 730\,\mathrm{MWh}$ ; récupéré $630 \times 0.9 \times
0.95 = 540\,\mathrm{MWh}$ : rendement du cycle $74\%$.

**25.** Quantité de mouvement : la poussée du réacteur et celle de la fusée, la force sur la roue Pelton. Moment cinétique : le couple de la turbine (Euler). Énergie : la charge et la puissance de la pompe, le rendement du stockage. Masse : tous les débits, la perte de masse de la fusée.