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title: "Ondes sur les cordes et les barres : l’équation de d’Alembert"
book: "Physique universitaire — 2e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert
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# Chapitre 6 — Ondes sur les cordes et les barres : l’équation de d’Alembert

Pincez une corde de guitare et une forme court sur elle, rebondit sur le chevalet, revient, et s’établit en ce motif stationnaire dont la fréquence s’entend comme une note. Posez l’oreille sur un rail et vous entendez le train bien avant qu’il n’arrive : une compression descend l’acier à cinq kilomètres par seconde. Le volume de première année décrivait de telles ondes — progressives, stationnaires, superposées — sans dire pourquoi elles existent. Ce chapitre établit l’équation qui les gouverne, l’*[équation d’onde](#thm-b2-waves-on-strings-equation) de d’Alembert*, d’abord pour le mouvement transversal d’une corde, puis pour le mouvement longitudinal d’une barre construite, atome par atome, à partir de masses et de ressorts ; il calcule l’énergie que transporte une onde et l’impédance qui décide de ce qui arrive lorsqu’elle rencontre un changement de milieu.

## 6.1 La corde vibrante

**Théorème 6.1 (Équation d’onde d’une corde).**

Une corde de masse linéique $\mu$, tendue avec la tension $T$, effectue de petits déplacements transversaux $y(x, t)$ (pentes $|\partial_xy| \ll 1$). Alors

$$
\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2y}{\partial x^2} ,
\qquad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} ,
$$

l’*[équation de d’Alembert](#thm-b2-waves-on-strings-equation)*, dont la solution générale est $y = f(x - ct)
+ g(x + ct)$ : la superposition d’une forme qui se propage vers la droite et d’une autre vers la gauche à la célérité $c$, sans se déformer.

**Démonstration.** Isolons l’élément compris entre $x$ et $x + \dd x$, de masse $\mu\,\dd x$. Ses voisins le tirent selon la tangente à la corde avec la tension $T$ : horizontalement $T\cos\theta \approx T$ aux deux extrémités (aucun mouvement horizontal, donc $T$ est la même partout), verticalement $T\sin\theta \approx T\partial_xy$, ce qui donne la force résultante $T[\partial_xy(x + \dd x) - \partial_xy(x)] = T\,\partial_x^2y\,\dd x$. Newton : $\mu\,\dd x\,\partial_t^2y = T\partial_x^2y\,\dd x$. Pour la solution, posons $u = x - ct$, $v = x + ct$ : l’équation devient $\partial_u\partial_vy = 0$ (dérivation composée), donc $\partial_vy$ ne dépend que de $v$, et $y = f(u) + g(v)$ ; réciproquement tout $y$ de cette forme la vérifie. La pesanteur, négligée, l’est légitimement lorsque $T \gg \mu gL$. ∎

![À gauche : les forces sur un élément de corde — les deux tensions ne sont pas parallèles lorsque la corde est courbée, et leur résultante est transversale. À droite : une forme f(x - ct) se propage vers la droite à c sans se déformer.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-0f58b88b6000.svg)

*À gauche : les forces sur un élément de corde — les deux tensions ne sont pas parallèles lorsque la corde est courbée, et leur résultante est transversale. À droite : une forme $f(x - ct)$ se propage vers la droite à $c$ sans se déformer.*

**Exemple 6.2 (Guitare, piano, câble).**

La corde de mi grave d’une guitare ($\mu = 5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, longueur $0.65\,\mathrm{m}$, $82.4\,\mathrm{Hz}$) vibre sur son fondamental avec $\lambda = 2L$ : $c = 2Lf =
107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $T = \mu c^2 = 63\,\mathrm{N}$. La corde de la$_4$ d’un piano (acier, $1\,\mathrm{mm}$, $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, $0.38\,\mathrm{m}$, $440\,\mathrm{Hz}$) : $c = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $T = 680\,\mathrm{N}$ — et un piano compte quelque $230$ cordes, soit vingt tonnes de tension sur un cadre de fonte. Un câble de $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ tendu à $10\,\mathrm{kN}$ : $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

## 6.2 Ondes stationnaires et modes propres

**Proposition 6.3 (Modes d’une corde fixée aux deux bouts).**

Une corde fixée en $x = 0$ et $x = L$ admet les solutions sinusoïdales stationnaires (les *[modes propres](#prop-b2-waves-on-strings-modes)*)

$$
y_n(x, t) = A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_nt - \varphi_n) , \qquad
f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = n\,\frac{c}{2L} = n f_1 , \quad n = 1, 2, 3, \dots
$$

— le fondamental $f_1 = c/2L$ et ses *harmoniques*. Le mode $n$ possède $n - 1$ nœuds entre les extrémités. Tout mouvement de la corde est une superposition $y = \sum_ny_n$, les amplitudes et les phases étant fixées par la forme et la vitesse initiales (une série de Fourier, comme l’établit le volume de mathématiques de cette année) : le mélange des harmoniques est le *timbre* de la note.

**Démonstration.** Cherchons $y = F(x)\cos(\omega t - \varphi)$ : $F'' + (\omega/c)^2F = 0$, $F(0) = 0$ donne $F = A\sin(\omega x/c)$, et $F(L) = 0$ impose $\omega L/c = n\pi$. Chaque mode est aussi la somme de deux ondes progressives : $\sin kx\cos\omega t = \tfrac12[\sin(kx -
\omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ — l’onde et sa réflexion. La complétude des sinus est le théorème de Fourier. ∎

![À gauche : les trois premiers modes d’une corde fixée aux deux bouts (f_n = nc/2L). À droite : une corde pincée en son milieu (triangle) et les premiers termes de sa série de Fourier — seules apparaissent les harmoniques impaires, d’amplitudes décroissant en 1/n2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-c7c67b1885ab.svg)

![À gauche : les trois premiers modes d’une corde fixée aux deux bouts (f_n = nc/2L). À droite : une corde pincée en son milieu (triangle) et les premiers termes de sa série de Fourier — seules apparaissent les harmoniques impaires, d’amplitudes décroissant en 1/n2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-b5a367f6fe27.svg)

*À gauche : les trois premiers modes d’une corde fixée aux deux bouts ($f_n = nc/2L$). À droite : une corde pincée en son milieu (triangle) et les premiers termes de sa série de Fourier — seules apparaissent les harmoniques impaires, d’amplitudes décroissant en $1/n^2$.*

**Exemple 6.4 (L’expérience de Melde).**

Une corde excitée à une extrémité par un vibreur de fréquence $f$, l’autre extrémité passant sur une poulie et supportant une masse $m$ (donc $T = mg$) : une grande [onde stationnaire](#prop-b2-waves-on-strings-modes) apparaît chaque fois que $f$ égale l’une des $f_n = (n/2L)
\sqrt{mg/\mu}$ — résonance du mode $n$. Pour $L = 1.2\,\mathrm{m}$, $\mu =
1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ et $f = 50\,\mathrm{Hz}$, les masses donnant $n = 1, 2, 3$ fuseaux valent $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 1.47/n^2$ kg : $1.47\,\mathrm{kg}$, $367\,\mathrm{g}$, $163\,\mathrm{g}$. Appuyer une corde de guitare à la douzième frette divise $L$ par deux et double $f_1$ : c’est l’octave ; l’effleurer au milieu sans appuyer tue les modes impairs et laisse la deuxième harmonique — c’est le flageolet.

## 6.3 Énergie, puissance et impédance

**Proposition 6.5 (Énergie d’une onde sur une corde).**

Une corde transporte l’énergie par unité de longueur et la puissance (flux d’énergie vers les $+x$)

$$
e = \tfrac12\mu\Bigl(\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr)^2 + \tfrac12T\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^2 ,
\qquad
\mathcal P = -T\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t} ,
$$

qui vérifient le bilan local $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$. Pour une onde progressive $y = f(x - ct)$, les densités cinétique et potentielle sont égales et $\mathcal P = Z\,(\partial_ty)^2$ avec

$$
Z = \sqrt{T\mu} = \mu c = \frac Tc ,
$$

l’*impédance* de la corde ($\mathrm{kg}/\mathrm{s}$) : le rapport de la force transversale $-T\partial_xy$ exercée par la corde sur ce qui se trouve devant à la vitesse transversale $\partial_ty$. Une onde sinusoïdale d’amplitude $A$ transporte la puissance moyenne $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2$.

**Démonstration.** Le terme potentiel est le travail de la tension qui étire l’élément : sa longueur vaut

$$
\dd x\sqrt{1 + (\partial_xy)^2} \approx \dd x\bigl(1 + \tfrac12(\partial_xy)^2\bigr) ,
$$

et l’excès de longueur multiplié par $T$ donne $\tfrac12T(\partial_xy)^2\dd x$. La puissance transmise à travers $x$ vers les $+x$ est la force transversale exercée par la partie gauche sur la partie droite, $-T\partial_xy$, multipliée par la vitesse $\partial_ty$. Bilan :

$$
\partial_te = \mu\,\partial_ty\,\partial_t^2y + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty ,
\qquad
-\partial_x\mathcal P = T\,\partial_x^2y\,\partial_ty + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty ,
$$

égaux d’après l’[équation d’onde](#thm-b2-waves-on-strings-equation). Pour $f(x - ct)$ : $\partial_xy = -\partial_ty/c$, donc $\mathcal P = (T/c)
(\partial_ty)^2$ et les deux densités valent $\tfrac12\mu(\partial_ty)^2$. ∎

**Proposition 6.6 (Réflexion et transmission à une jonction).**

Une onde d’amplitude $A_i$ arrive d’une corde d’impédance $Z_1$ sur une corde d’impédance $Z_2$ raccordée en $x = 0$. La continuité du déplacement et de la force transversale à la jonction donne les coefficients en amplitude

$$
r = \frac{A_r}{A_i} = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2} , \qquad
t = \frac{A_t}{A_i} = \frac{2Z_1}{Z_1 + Z_2} ,
$$

et les fractions d’énergie $R = r^2$, $\mathcal T = 4Z_1Z_2/(Z_1 + Z_2)^2$, avec $R + \mathcal T = 1$. Une extrémité fixe ($Z_2 \to \infty$) réfléchit avec $r = -1$ (l’impulsion revient inversée), une extrémité libre ($Z_2 = 0$) avec $r = +1$ ; des impédances égales transmettent tout.

**Démonstration.** Ondes sinusoïdales $y_1 = A_i\cos(\omega t - k_1x) + A_r\cos(\omega t + k_1x)$ pour $x < 0$, $y_2 = A_t\cos(\omega t - k_2x)$ pour $x > 0$, de même $\omega$ des deux côtés. En $x = 0$ : $y_1 = y_2$ donne $A_i + A_r = A_t$ ; la force $-T\partial_xy$ continue (jonction sans masse) donne $Z_1(A_i - A_r) = Z_2A_t$ (en utilisant $T_1k_1 = Z_1\omega$). On résout. Énergies : les puissances moyennes $\tfrac12Z\omega^2A^2$. ∎

![Une impulsion rencontre une jonction avec une corde plus lourde (Z_2 = 4Z_1) : une partie est transmise, plus lente et plus étroite, une partie est réfléchie et inversée.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-a07aa8f57bc8.svg)

*Une impulsion rencontre une jonction avec une corde plus lourde ($Z_2 = 4Z_1$) : une partie est transmise, plus lente et plus étroite, une partie est réfléchie et inversée.*

## 6.4 De la chaîne d’atomes à la barre élastique

**Proposition 6.7 (La chaîne d’atomes ; le module d’Young).**

Une file de masses identiques $m$ espacées de $a$ et reliées par des ressorts de raideur $k$ : si $u_n(t)$ est le déplacement de la masse $n$ selon la file,

$$
m\ddot u_n = k(u_{n+1} - u_n) - k(u_n - u_{n-1}) = k(u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1}) .
$$

Lorsque le déplacement varie lentement d’une masse à la suivante (sur des longueurs d’onde $\lambda \gg a$), $u_n(t) \to u(x, t)$ avec $u_{n\pm1} - u_n \approx
\pm a\,\partial_xu + \tfrac12a^2\partial_x^2u$, et la chaîne obéit à l’[équation de d’Alembert](#thm-b2-waves-on-strings-equation)

$$
\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} , \qquad
c = a\sqrt{\frac km} = \sqrt{\frac{E}{\rho}} ,
$$

avec $\rho = m/a^3$ la masse volumique d’un solide fait de telles chaînes en réseau cubique et $E = k/a$ son *[module d’Young](#prop-b2-waves-on-strings-chain)* : la raideur d’une barre de section $S$ et de longueur $\ell$ vaut $kS/a^2\cdot a/\ell = ES/\ell$, c’est-à-dire la *[loi de Hooke](#prop-b2-waves-on-strings-chain)* $F/S = E\,\Delta\ell/\ell$ (contrainte $\sigma = E\varepsilon$).

**Démonstration.** Chaque ressort est allongé de la différence des déplacements de ses extrémités. En reportant les développements de Taylor : $m\partial_t^2u = ka^2\partial_x^2u$. Un cube d’arête $a$ par atome donne $\rho = m/a^3$ ; une barre de section $S$ contient $S/a^2$ chaînes parallèles de $\ell/a$ ressorts en série, de raideur totale $(S/a^2)(ka/\ell) = (k/a)S/\ell$. ∎

**Proposition 6.8 (Ondes longitudinales dans une barre).**

Directement sur le milieu continu : un élément de barre compris entre $x$ et $x +
\dd x$, déplacé de $u(x, t)$, subit la déformation $\varepsilon = \partial_xu$ et est tiré par la contrainte $\sigma = E\partial_xu$ sur chaque face ; Newton donne $\rho\,\partial_t^2u =
E\,\partial_x^2u$ : les [ondes longitudinales](#prop-b2-waves-on-strings-chain) (de compression) se propagent à $c = \sqrt{E/\rho}$ — $5100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’acier ($E = 200\,\mathrm{GPa}$), $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’aluminium, $3700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans le granite, $3500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans le bois selon le fil. L’impédance vaut $Z = \rho c = \sqrt{E\rho}$ par unité d’aire, et les mêmes formules de jonction s’appliquent — c’est ainsi que les ultrasons repèrent une fissure dans un rail.

**Démonstration.** Force résultante sur l’élément : $S[\sigma(x + \dd x) - \sigma(x)] = SE\partial_x^2u\,\dd x$ ; masse $\rho S\dd x$. ∎

![À gauche : la chaîne de masses et de ressorts — chaque masse subit les deux ressorts qui l’entourent, et la limite continue est l’équation d’onde avec c = a√k/m. À droite : un élément de barre élastique tiré par la contrainte sur ses deux faces.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-6529fbffabcc.svg)

*À gauche : la chaîne de masses et de ressorts — chaque masse subit les deux ressorts qui l’entourent, et la limite continue est l’[équation d’onde](#thm-b2-waves-on-strings-equation) avec $c = a\sqrt{k/m}$. À droite : un élément de barre élastique tiré par la contrainte sur ses deux faces.*

**Remarque 6.9 (Ce que la chaîne sait et que la barre ignore).**

En cherchant $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ dans l’équation exacte de la chaîne on obtient $\omega = 2\sqrt{k/m}\,|\sin(ka/2)|$ : pour $ka \ll 1$ c’est $\omega = ck$, l’[équation d’onde](#thm-b2-waves-on-strings-equation) non dispersive, mais lorsque la longueur d’onde approche $2a$ la fréquence sature à $2\sqrt{k/m}$ et les vitesses de phase et de groupe diffèrent — la première *relation de dispersion* de ce volume, sujet du [Chapitre 8](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#ch-b2-dispersion-wave-packets). Pour $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ et $c = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ la coupure se situe à $\omega_{\max} = 2c/a = 4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($6\,\mathrm{THz}$) : le solide ne peut pas vibrer plus vite que ne le permettent les ressorts de ses atomes.

## 6.5 Exercices

**Exercice 6.1 ★.**

La corde de la d’une guitare ($110\,\mathrm{Hz}$, $L = 65\,\mathrm{cm}$, $\mu = 3.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$) : célérité, tension, longueur d’onde du fondamental sur la corde et du son dans l’air ; fréquence lorsque la corde est appuyée à la cinquième frette ($L$ réduite d’un facteur $2^{-5/12}$).

**Solution de Exercice 6.1.**

$c = 2Lf = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 61\,\mathrm{N}$ ; $\lambda = 2L = 1.3\,\mathrm{m}$ sur la corde, $340/110 = 3.1\,\mathrm{m}$ dans l’air ; cinquième frette : $110 \times 2^{5/12} =
147\,\mathrm{Hz}$.

**Exercice 6.2 ★.**

Célérité des [ondes longitudinales](#prop-b2-waves-on-strings-chain) dans l’acier ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\rho =
7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), l’aluminium ($70\,\mathrm{GPa}$, $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) et le plomb ($16\,\mathrm{GPa}$, $11\,300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Temps mis par un son pour parcourir $1.0\,\mathrm{km}$ le long d’un rail et dans l’air ($340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) ; ce qu’entend un auditeur qui a l’oreille sur le rail.

**Solution de Exercice 6.2.**

$\sqrt{E/\rho}$ : acier $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, aluminium $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, plomb $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Sur $1\,\mathrm{km}$ : $0.20\,\mathrm{s}$ dans le rail, $2.9\,\mathrm{s}$ dans l’air — deux sons, celui du rail d’abord, séparés de $2.7\,\mathrm{s}$.

**Exercice 6.3 ★.**

Une corde de fondamental $200\,\mathrm{Hz}$ : fréquences et nombre de nœuds des modes 2, 3, 4 ; positions des nœuds du mode 3 ; fréquence du fondamental si la tension est doublée, si la longueur est divisée par deux, si la corde est remplacée par une corde trois fois plus lourde au mètre.

**Solution de Exercice 6.3.**

$400$, $600$, $800$ Hz avec $1$, $2$, $3$ nœuds intérieurs ; nœuds du mode 3 en $L/3$ et $2L/3$. $T \times 2$ : $200\sqrt2 = 283\,\mathrm{Hz}$ ; $L/2$ : $400\,\mathrm{Hz}$ ; $\mu
\times 3$ : $200/\sqrt3 = 115\,\mathrm{Hz}$.

**Exercice 6.4 ★.**

Une corde de $12\,\mathrm{m}$ ($\mu = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$) est tendue à $45\,\mathrm{N}$ ; une extrémité est fixée à un mur. Une impulsion part de l’autre extrémité. Célérité ; temps pour atteindre le mur et revenir ; forme de l’impulsion de retour ; même question si l’extrémité lointaine est attachée à un anneau léger qui coulisse librement sur une tige.

**Solution de Exercice 6.4.**

$c = \sqrt{45/0.2} = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $24\,\mathrm{m}$ en $1.6\,\mathrm{s}$ ; l’impulsion revient inversée ($r = -1$) ; avec l’anneau libre, dans le même sens ($r = +1$).

**Exercice 6.5 ★★.**

Une corde de piano pour $440\,\mathrm{Hz}$ : acier ($\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), diamètre $1.0\,\mathrm{mm}$, longueur vibrante $38\,\mathrm{cm}$. (a) $\mu$, célérité, tension. (b) Contrainte dans le fil ; comparer à la résistance de la corde à piano, environ $2\,\mathrm{GPa}$. (c) La même note avec un fil de $0.5\,\mathrm{mm}$ : tension et contrainte. (d) Pourquoi les cordes graves sont-elles filées de cuivre plutôt que rendues plus longues ou plus épaisses ?

**Solution de Exercice 6.5.**

(a) $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 =
690\,\mathrm{N}$. (b) $\sigma = T/A = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$, marge $2.3$. (c) $T/4 =
170\,\mathrm{N}$, la même contrainte (elle ne dépend que de $\rho c^2$). (d) Une corde longue ne tient pas dans la caisse ; un gros fil plein est trop raide (fortement inharmonique) et se plie mal sur le chevalet ; le filage de cuivre ajoute de la masse sans raideur.

**Exercice 6.6 ★★.**

*Melde.* Une corde de $1.5\,\mathrm{m}$ ($\mu = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$) est excitée à $60\,\mathrm{Hz}$ ; sa tension est fixée par une masse suspendue. (a) Masses donnant $1$, $2$, $3$ et $4$ fuseaux. (b) Avec $0.50\,\mathrm{kg}$ : y a-t-il résonance ? Le mode le plus proche. (c) L’extrémité excitée est-elle en fait un nœud ou un ventre ? (d) Pourquoi les fuseaux deviennent-ils si grands à la résonance, et qu’est-ce qui les limite ?

**Solution de Exercice 6.6.**

(a) $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 6.6/n^2$ kg : $6.6$, $1.65$, $0.73$, $0.41\,\mathrm{kg}$. (b) $n^2 = 13.2$, $n = 3.6$ : pas de résonance, entre les modes 3 et 4 (le plus proche : 4, $0.41\,\mathrm{kg}$). (c) Pratiquement un nœud : l’amplitude du vibreur est minuscule devant celle des fuseaux. (d) L’énergie est fournie en phase à chaque période et s’accumule ; l’amortissement (air, frottement interne, fuite par la poulie) plafonne l’amplitude.

**Exercice 6.7 ★★.**

Une onde $y = A\cos(\omega t - kx)$ avec $A = 2.0\,\mathrm{mm}$, $f = 100\,\mathrm{Hz}$ se propage sur une corde ($T = 100\,\mathrm{N}$, $\mu = 10\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$). Célérité, $k$, longueur d’onde ; vitesse et accélération transversales maximales d’un point ; pente maximale ; impédance ; puissance moyenne transportée ; énergie contenue dans une longueur d’onde.

**Solution de Exercice 6.7.**

$c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $k = 6.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\lambda = 1.0\,\mathrm{m}$ ; $v_{\max} = \omega A =
1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $a_{\max} = \omega^2A = 790\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; pente $kA = 0.013$ ; $Z =
\sqrt{T\mu} = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2 = 0.79\,\mathrm{W}$ ; par longueur d’onde $\mathcal P/f = 7.9\,\mathrm{mJ}$.

**Exercice 6.8 ★★.**

Une corde de $\mu_1 = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ est raccordée à une corde de $\mu_2 = 8.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, toutes deux tendues à $20\,\mathrm{N}$. (a) Célérités et impédances. (b) Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude pour une onde venant de la corde légère ; puis de la corde lourde. (c) Fractions d’énergie dans les deux cas ; vérifier que leur somme vaut un. (d) Une impulsion de $1\,\mathrm{cm}$ de hauteur et $10\,\mathrm{cm}$ de largeur arrive de la corde légère : hauteur et largeur des impulsions transmise et réfléchie.

**Solution de Exercice 6.8.**

(a) $c_1 = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $c_2 = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $Z_1 = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $Z_2 = 0.40\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$. (b) Depuis la corde légère : $r = -1/3$, $t = 2/3$ ; depuis la corde lourde : $r =
+1/3$, $t = 4/3$. (c) $R = 1/9$, $\mathcal T = 4 \times 0.08/0.36 = 8/9$ dans les deux cas. (d) Transmise : $0.67\,\mathrm{cm}$ de haut, $5\,\mathrm{cm}$ de large (même durée, célérité divisée par deux) ; réfléchie : $-0.33\,\mathrm{cm}$, $10\,\mathrm{cm}$.

**Exercice 6.9 ★★.**

Un fil d’acier de $2.0\,\mathrm{m}$ et de diamètre $1.0\,\mathrm{mm}$ s’allonge de $1.0\,\mathrm{mm}$ sous $80\,\mathrm{N}$. (a) [Module d’Young](#prop-b2-waves-on-strings-chain). (b) Célérité des [ondes longitudinales](#prop-b2-waves-on-strings-chain). (c) Fréquence fondamentale de la vibration longitudinale du fil lorsqu’il est encastré aux deux bouts, et de sa vibration transversale sous cette tension ; pourquoi sont-elles si différentes ? (d) Raideur $k$ et masse $m$ d’un « atome » du modèle de la chaîne, pour $a = 0.25\,\mathrm{nm}$.

**Solution de Exercice 6.9.**

(a) $E = F\ell/A\Delta\ell = 80 \times 2/(7.85 \times 10^{-7} \times 10^{-3}) = 2.0 \times 10^{11}\,\mathrm{Pa}$. (b) $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (c) Longitudinale : $c/2\ell = 1.3\,\mathrm{kHz}$ ; transversale : $\sqrt{T/\mu} = 114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $f = 29\,\mathrm{Hz}$ — la tension ne contraint le fil qu’à $100\,\mathrm{MPa}$, soit $5 \times 10^{-4}$ de $E$, de sorte que la célérité transversale vaut $\sqrt{5 \times 10^{-4}}$ fois la célérité longitudinale. (d) $k = Ea = 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $m
= \rho a^3 = 1.2 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ (environ $70$ unités de masse atomique).

**Exercice 6.10 ★★★.**

*La corde pincée.* Une corde fixée en $0$ et $L$ est écartée en $x = L/2$ jusqu’à la hauteur $h$ (forme triangulaire) puis lâchée sans vitesse. (a) Écrire la solution sous la forme $\sum_nb_n\sin(n\pi x/L)\cos(\omega_nt)$ et montrer que $b_n = \dfrac{8h}{n^2\pi^2}\sin\dfrac{n\pi}2$. (b) Quelles harmoniques sont absentes, et pourquoi ? (c) Énergie du mode $n$ ($E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2$) ; fraction du total contenue dans le fondamental. (d) La corde est pincée en $L/5$ à la place : quelles harmoniques disparaissent ? Pourquoi un guitariste pince-t-il près du chevalet pour un son plus brillant ?

**Solution de Exercice 6.10.**

(a) $b_n = \frac2L\int_0^Ly(x, 0)\sin(n\pi x/L)\dd x$ avec le triangle $y =
2hx/L$ sur $[0, L/2]$ (et symétrique) : en intégrant par parties, $b_n = 8h\sin(n\pi/2)
/n^2\pi^2$. (b) Les $n$ pairs s’annulent : le milieu, nœud de tout mode pair, est justement le point écarté. (c) $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2 \propto n^2/n^4 = 1/n^2$ ($n$ impair) : le fondamental en porte $1/\sum_{\text{impair}}n^{-2} = 8/\pi^2 = 81\%$. (d) $b_n \propto \sin(n\pi/5)/n^2$ : $n = 5, 10, \dots$ s’annulent. Près du chevalet le facteur $\sin(n\pi x_0/L)$ est petit pour les modes graves et continue de croître pour les modes aigus : relativement plus d’harmoniques élevées, donc un son plus brillant.

**Exercice 6.11 ★★★.**

*Dispersion de la chaîne.* (a) Reporter $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ dans l’équation de la chaîne et en déduire $\omega(k) = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$, $\omega_0 =
\sqrt{k/m}$. (b) Vitesse de phase $\omega/k$ et vitesse de groupe $\dd\omega/\dd k$ ; leur limite commune pour $ka \to 0$ ; leurs valeurs en $ka = \pi$. (c) À quoi ressemble l’onde en $ka = \pi$ ? Pourquoi n’existe-t-il pas d’onde de longueur d’onde inférieure à $2a$ ? (d) Pour l’acier ($c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $a =
0.25\,\mathrm{nm}$) : $\omega_0$, la fréquence maximale, et la longueur d’onde d’un ultrason à $1\,\mathrm{MHz}$ — est-il dispersif ?

**Solution de Exercice 6.11.**

(a) $-m\omega^2 = k(2\cos ka - 2) = -4k\sin^2(ka/2)$. (b) $v_\varphi = 2\omega_0\sin(ka/2)
/k$, $v_g = \omega_0a\cos(ka/2)$ ; toutes deux $\to \omega_0a = c$ quand $ka \to 0$ ; en $ka = \pi$ : $v_\varphi = 2c/\pi$, $v_g = 0$. (c) Les voisins bougent en opposition de phase : une [onde stationnaire](#prop-b2-waves-on-strings-modes) qui ne transporte rien ; un $k$ au-delà de $\pi/a$ donne le même jeu de déplacements qu’un certain $k' = k - 2\pi/a$ — pas d’onde nouvelle. (d) $\omega_0 = c/a =
2.0 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_{\max} = \omega_0/\pi = 6.5\,\mathrm{THz}$ ; à $1\,\mathrm{MHz}$ : $\lambda =
5.1\,\mathrm{mm} = 2 \times 10^7a$, $ka \sim 3 \times 10^{-7}$ : parfaitement non dispersif.

**Exercice 6.12 ★★★.**

*Corde pendante, claquement de fouet.* (a) Une corde homogène de longueur $L$ pend du plafond : tension à la hauteur $x$ au-dessus de l’extrémité libre ; célérité locale $c(x)$. (b) Temps mis par une impulsion pour aller du bas au haut ; valeur pour $L = 10\,\mathrm{m}$ ; pourquoi la forme de l’impulsion change. (c) Un fouet s’effile, $\mu$ décroissant vers la pointe, sous une tension (presque) constante pendant le coup : comment la célérité varie-t-elle le long du fouet ? (d) En admettant que l’énergie de l’impulsion se conserve et que sa durée reste constante, montrer que l’amplitude de sa vitesse transversale croît en $\mu^{-1/4}$, et estimer la vitesse de la pointe d’un fouet dont $\mu$ décroît d’un facteur $10^4$ du manche à la pointe si la main communique $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (Le claquement est un bang supersonique.)

**Solution de Exercice 6.12.**

(a) $T(x) = \mu gx$, $c = \sqrt{gx}$. (b) $t = \int_0^L\dd x/\sqrt{gx} = 2\sqrt{L/g} =
2.0\,\mathrm{s}$ ; le haut d’une impulsion va plus vite que le bas : elle s’étire. (c) $c = \sqrt{T/\mu}$ croît vers la pointe. (d) L’énergie $\approx
\mathcal P\tau = ZV^2\tau = \sqrt{T\mu}V^2\tau$ étant constante : $V \propto \mu^{-1/4}$ ; un facteur $10^4$ sur $\mu$ donne $\times10$ : $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — un fouet réel gagne le reste par la boucle qui se déroule, laquelle concentre encore l’énergie, et la pointe dépasse la vitesse du son.

![L’intérieur d’un piano à queue : quelque deux cents cordes d’acier de longueurs et d’épaisseurs graduées, chacune accordée par sa tension sur un fondamental c/2L ; les cordes graves sont filées de cuivre pour la masse.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/img-f4e4ac5c0552.jpg)

*L’intérieur d’un piano à queue : quelque deux cents cordes d’acier de longueurs et d’épaisseurs graduées, chacune accordée par sa tension sur un fondamental $c/2L$ ; les cordes graves sont filées de cuivre pour la masse.*

## 6.6 Problème : le piano, du marteau à la table d’harmonie

**Problème 6.1.**

Problème du week-end — une corde de piano démontée : sa tension et sa raideur, le coup du marteau et les harmoniques qu’il crée, le chevalet qui fuit son énergie vers la table d’harmonie, et un rail qui porte la même équation

**Partie I — La corde.** La corde de la$_4$ d’un piano ($440\,\mathrm{Hz}$) : acier, $E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\rho =
7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, diamètre $d = 1.0\,\mathrm{mm}$, longueur vibrante $L =
38\,\mathrm{cm}$. Chaque note au-dessus du grave a trois cordes de ce type ; le piano compte $230$ cordes.

1. Masse linéique, célérité et tension de la corde.
2. Contrainte de traction dans le fil ; le fil rompt à $2.0\,\mathrm{GPa}$ : la marge de sécurité, et pourquoi le dernier tour de l’accordeur est le plus dangereux.
3. Estimer la tension totale sur le cadre, en prenant toutes les cordes à la même tension.
4. La corde la plus grave (la $_0$ , $27.5\,\mathrm{Hz}$ ) mesure $1.9\,\mathrm{m}$ ; si elle était un simple fil d’acier à la même tension, quels $\mu$ et quel diamètre lui faudrait-il ? Elle est en fait faite d’une âme d’acier filée de cuivre : expliquer.
5. Modes de la corde de la $_4$ : fréquences des huit premières harmoniques ; lesquelles se trouvent à un intervalle consonant du fondamental (octave, quinte, quarte, tierce majeure) et lesquelles non ?
6. La corde vibre sur son fondamental avec une amplitude de $0.50\,\mathrm{mm}$ au ventre : énergie emmagasinée (l’énergie d’un mode vaut $\tfrac14\mu L\omega^2A^2$ ).
7. Écrire le fondamental comme la somme de deux ondes progressives ; donner leur amplitude et la puissance moyenne que chacune transporte.

**Partie II — Le marteau.** Le marteau frappe la corde en $x_0 = L/8$, lui communiquant, à $t = 0$, une vitesse $v_0$ sur un court segment de largeur $w$ autour de $x_0$ et aucun déplacement.

8. Écrire la solution générale $y = \sum_nB_n\sin(n\pi x/L)\sin(\omega_nt)$ et montrer, à l’aide de l’orthogonalité des sinus, que $B_n =  \dfrac{2}{L\omega_n}\int_0^L\dot y(x, 0)\sin\dfrac{n\pi x}L\,\dd x$ .
9. Pour une frappe étroite ( $w \ll L/n$ ), montrer que $B_n \approx \dfrac{2v_0w}  {L\omega_n}\sin\dfrac{n\pi x_0}{L}$ .
10. Quelles harmoniques sont absentes pour $x_0 = L/8$ ? Pourquoi les facteurs de piano frappent-ils entre $L/7$ et $L/8$ (voir la question 5) ?
11. Décrire le mouvement dans l’image des ondes progressives : ce qui quitte le point frappé, ce qui arrive aux extrémités, et au bout de quel temps l’état initial se reproduit.
12. Une corde réelle est légèrement raide : ses modes valent $f_n = nf_1  \sqrt{1 + Bn^2}$ avec $B = \pi^3Ed^4/(64TL^2)$ (admis). Calculer $B$ et l’élévation de la huitième harmonique, en pour cent et en cents ( $1\,\mathrm{cent}$ = un rapport de fréquences $2^{1/1200}$ ).
13. Pourquoi les accordeurs de piano « étirent » les octaves (accordent les notes aiguës un peu haut) ?

**Partie III — Le chevalet et la table d’harmonie.** La corde passe sur un chevalet collé à la table d’harmonie ; la table se comporte, au chevalet, comme une corde d’impédance $Z_b = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$.

14. Impédance $Z_s$ de la corde ; coefficient de réflexion en amplitude au chevalet.
15. Fraction de l’énergie de l’onde transmise à la table d’harmonie à chaque réflexion.
16. Nombre de réflexions par seconde au chevalet ; en déduire la constante de temps de la décroissance de l’énergie et le temps que met le son pour baisser de $60\,\mathrm{dB}$ (un facteur $10^6$ en énergie).
17. Puissance qui fuit vers la table juste après la frappe de la question 6 ; comparer à la puissance d’une conversation calme, environ $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ acoustiques.
18. Pourquoi une corde seule est-elle presque inaudible, et qu’y fait la table d’harmonie ? (Penser à l’impédance de l’air, $\rho c \approx 400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , vue à travers une petite surface puis une grande.)
19. L’étouffoir étant levé, la corde de la $_3$ ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) se met à sonner quand on joue la $_4$ : pourquoi ?
20. Un facteur de piano veut une tenue de son plus longue : faut-il augmenter ou diminuer $Z_b$ , et qu’y perd-on ?

**Partie IV — Le rail.** Un rail d’acier ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, section $70\,\mathrm{cm}^{2}$).

21. Célérité des ondes de compression ; temps que met le bruit d’un train pour parcourir $5\,\mathrm{km}$ le long du rail puis dans l’air.
22. Un coup de marteau envoie une impulsion de compression le long d’un tronçon de rail de $25\,\mathrm{m}$ à extrémité libre : temps de l’écho ; l’écho est-il une compression ou une dilatation ?
23. Une sonde à ultrasons de $2\,\mathrm{MHz}$ cherche des fissures : longueur d’onde dans l’acier ; coefficient de réflexion en amplitude sur une fissure acier–air (impédance de l’air $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) ; pourquoi une fissure mince se voit-elle si bien ?
24. Séismes : dans la roche, les ondes de compression (P) vont à $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ et les ondes de cisaillement (S) à $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Une station enregistre l’onde S $20\,\mathrm{s}$ après l’onde P : distance à la source.
25. Réunir en un tableau les cinq célérités de ce problème (corde, rail, roche P, roche S, air) avec la raideur et l’inertie qui fixent chacune.

**Solution de Problème 6.1.**

**1.** $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2
= 685\,\mathrm{N}$.

**2.** $\sigma = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$ : marge $2.3$. $T \propto f^2$ : un demi-ton trop haut ajoute $12\%$, une octave trop haut la quadruple, $3.5\,\mathrm{GPa}$ — la corde casse.

**3.** $230 \times 685 \approx 160\,\mathrm{kN}$, seize tonnes.

**4.** $c = 2Lf = 105\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; à $685\,\mathrm{N}$ : $\mu = T/c^2 = 63\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, c’est-à-dire une tige d’acier de $3.2\,\mathrm{mm}$ — bien trop raide pour vibrer harmoniquement ou pour se plier sur le chevalet ; une âme fine filée de cuivre donne la masse sans la raideur.

**5.** $440$, $880$, $1320$, $1760$, $2200$, $2640$, $3080$, $3520\,\mathrm{Hz}$ : $2$, $4$, $8$ sont des octaves ; $3$, $6$ une quinte au-dessus d’une octave ; $5$ une tierce majeure juste au-dessus de deux octaves ; $7$ ($3080/1760 = 1.75$) est une septième mineure basse — dissonante.

**6.** $E = \tfrac14\mu L\omega^2A^2 = 0.25 \times 6.1 \times 10^{-3} \times 0.38 \times (2\pi
\times 440)^2 \times (5 \times 10^{-4})^2 = 1.1\,\mathrm{mJ}$.

**7.** $A\sin kx\cos\omega t = \tfrac12A[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ : deux ondes d’amplitude $0.25\,\mathrm{mm}$ ; $Z = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; chacune transporte $\tfrac12Z\omega^2(A/2)^2 = 0.49\,\mathrm{W}$.

**8.** $\dot y(x, 0) = \sum_nB_n\omega_n\sin(n\pi x/L)$ ; on multiplie par $\sin(m\pi x/L)$ et on intègre, en utilisant $\int_0^L\sin\sin = \tfrac L2\delta_{mn}$.

**9.** L’intégrande vaut $v_0\sin(n\pi x/L)$ sur une largeur $w$ autour de $x_0$, où le sinus est quasiment constant.

**10.** $\sin(n\pi/8) = 0$ pour $n = 8, 16, \dots$ ; et comme $B_n/B_1 =
\sin(n\pi/8)/(n\sin(\pi/8))$, la septième harmonique est réduite à $1/7$ de la première tandis que les consonantes $2$ à $6$ gardent $0.9$ à $0.3$ : la septième dissonante est domptée.

**11.** Deux impulsions de vitesse quittent le point frappé en sens opposés, se réfléchissent inversées aux extrémités, se croisent et se recombinent ; l’état initial se reproduit au bout de $2L/c = 1/f_1 = 2.3\,\mathrm{ms}$.

**12.** $B = \pi^3 \times 2 \times 10^{11} \times 10^{-12}/(64 \times 685 \times 0.144) =
9.8 \times 10^{-4}$ ; $\sqrt{1 + 64B} = 1.031$ : $+3.1\%$, soit $1200\log_2(1.031) = 53$ cents.

**13.** Les harmoniques d’une note grave sont plus hautes que les multiples exacts ; pour les faire coïncider avec les fondamentaux des notes plus aiguës (et éviter les battements), on accorde les aiguës un peu haut.

**14.** $Z_s = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $r = (2 - 2000)/2002 = -0.998$.

**15.** $1 - r^2 \approx 4Z_s/Z_b = 4 \times 10^{-3}$.

**16.** $c/2L = 440$ réflexions par seconde : taux de décroissance $440 \times 4 \times
10^{-3} = 1.8\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau = 0.56\,\mathrm{s}$ ; $\ln10^6/1.8 = 7.7\,\mathrm{s}$ pour $60\,\mathrm{dB}$.

**17.** $1.1\,\text{mJ} \times 1.8\,\text{s}^{-1} = 2\,\mathrm{mW}$ — deux cents fois une conversation calme ; c’est ce que l’on entend.

**18.** Un fil de $1\,\mathrm{mm}$ ne pousse presque pas d’air : l’air le contourne et sa puissance rayonnée est négligeable. La table d’harmonie prend l’énergie de la corde par le chevalet et met de l’air en mouvement sur un mètre carré : une adaptation d’impédance par la surface.

**19.** $440\,\mathrm{Hz}$ est la deuxième harmonique de la$_3$ : le chevalet excite cette corde sur l’un de ses modes — résonance sympathique.

**20.** Augmenter $Z_b$ : moins d’énergie fuit à chaque réflexion, la note dure plus longtemps — et sonne moins fort.

**21.** $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $1.0\,\mathrm{s}$ dans le rail, $15\,\mathrm{s}$ dans l’air.

**22.** $50/5064 = 10\,\mathrm{ms}$ ; la contrainte doit s’annuler à une extrémité libre : une compression revient en dilatation.

**23.** $\lambda = 2.5\,\mathrm{mm}$ ; $Z_{\text{acier}} = \rho c = 4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ contre $400$ : $r \approx -1$, réflexion totale : toute fissure ouverte, si mince soit-elle, renvoie un écho.

**24.** $\Delta t = d(1/3.5 - 1/6) = d \times 0.119\,\mathrm{s}/\mathrm{km}$ : $d = 170\,\mathrm{km}$.

**25.** Corde $334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($T$, $\mu$) ; rail $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ($E$, $\rho$) ; roche P $6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (module de compression, $\rho$) ; roche S $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (module de cisaillement, $\rho$) ; air $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($\gamma P$, $\rho$ — chapitre suivant).