---
title: "Dispersion et paquets d’ondes"
book: "Physique universitaire — 2e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes
---

# Chapitre 8 — Dispersion et paquets d’ondes

Jetez une pierre dans un étang et observez l’anneau de rides : de nouvelles crêtes naissent à son bord intérieur, courent vers l’extérieur à travers l’anneau et meurent à son bord extérieur — l’anneau tout entier avance moins vite que les crêtes qu’il contient. Asseyez-vous sur une plage après une tempête lointaine et la houle longue et lente arrive un jour avant le clapot court : la mer trie les vagues par longueur d’onde. Le premier câble télégraphique transatlantique, en 1858, transformait des points et des traits nets en une bouillie qu’il fallait des minutes pour lire. Dans ces trois cas la vitesse d’une onde dépend de sa fréquence : le milieu est *dispersif*. Ce chapitre introduit la [relation de dispersion](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), le [nombre d’onde complexe](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) qui porte à la fois la propagation et l’absorption, la [vitesse de groupe](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) à laquelle un paquet — et son énergie, et l’information qu’il porte — se déplace réellement, et la ligne le long de laquelle la télégraphie, la télévision et l’internet ont voyagé : le [câble coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).

## 8.1 La relation de dispersion

**Définition 8.1 (Relation de dispersion ; vitesse de phase).**

Un milieu linéaire, homogène et invariant dans le temps admet les ondes planes monochromatiques $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ (notation complexe ; le signal physique en est la partie réelle) pourvu que $\omega$ et $k$ vérifient la *relation de dispersion* du milieu, $\mathcal D(\omega, k)
= 0$, résolue en $k(\omega)$ ou en $\omega(k)$. Pour $k$ réel l’onde se propage sans se déformer à la *vitesse de phase*

$$
v_\varphi = \frac\omega k .
$$

Le milieu est *non dispersif* lorsque $v_\varphi$ ne dépend pas de $\omega$ (alors $\omega = ck$ et tout signal se propage sans déformation — c’est l’[équation de d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation)) et *dispersif* sinon.

**Démonstration.** En reportant $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ dans une équation linéaire à coefficients constants, chaque $\partial_t$ devient $\iu\omega$ et chaque $\partial_x$ devient $-\iu k$, ce qui laisse une relation algébrique. La corde, l’onde sonore et la barre ont donné $\omega^2 = c^2k^2$. ∎

**Exemple 8.2 (Dispersif et non dispersif).**

(i) Une corde sur un lit élastique (force de rappel $-Ky$ par unité de longueur, ou une chaîne de pendules), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ : $\omega^2 = \omega_c^2
+ c^2k^2$ avec $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — la relation de *Klein–Gordon*, la même que celle d’un plasma et d’un guide d’ondes (Chapitres [14](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/14-ondes-electromagnetiques-dans-les-plasmas-les-conducteurs-et-les-dielectriques#ch-b2-waves-in-media) et [16](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/16-ondes-guidees-et-cavites#ch-b2-guided-waves)) : $v_\varphi = c/\sqrt{1 -
\omega_c^2/\omega^2} > c$, et aucun $k$ réel en dessous de la *pulsation de coupure* $\omega_c$. (ii) [Ondes de gravité en eau profonde](#ex-b2-dispersion-wave-packets-examples) : $\omega^2 = gk$ (admis), $v_\varphi =
\sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ : les grandes longueurs d’onde vont plus vite — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour $100\,\mathrm{m}$, $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour $1\,\mathrm{km}$. (iii) La [chaîne d’atomes](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-chain), $\omega =
2\omega_0|\sin(ka/2)|$ ([Chapitre 6](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#ch-b2-waves-on-strings)). (iv) La lumière dans le verre, $k = n(\omega)\omega/c$, d’où le spectre étalé par un prisme.

![À gauche : trois relations de dispersion — une droite pour un milieu non dispersif, l’hyperbole de Klein–Gordon avec sa coupure, la parabole des ondes en eau profonde. À droite : pour la relation de Klein–Gordon la vitesse de phase dépasse c et la vitesse de groupe reste en dessous, avec v_ v_g = c2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-0ac45db78980.svg)

![À gauche : trois relations de dispersion — une droite pour un milieu non dispersif, l’hyperbole de Klein–Gordon avec sa coupure, la parabole des ondes en eau profonde. À droite : pour la relation de Klein–Gordon la vitesse de phase dépasse c et la vitesse de groupe reste en dessous, avec v_ v_g = c2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-d3e8cb4f75b4.svg)

*À gauche : trois [relations de dispersion](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) — une droite pour un milieu non dispersif, l’hyperbole de Klein–Gordon avec sa coupure, la parabole des ondes en eau profonde. À droite : pour la relation de Klein–Gordon la [vitesse de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) dépasse $c$ et la [vitesse de groupe](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) reste en dessous, avec $v_\varphi v_g = c^2$.*

**Définition 8.3 (Nombre d’onde complexe : propagation et atténuation).**

Lorsque la [relation de dispersion](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) donne, pour $\omega$ réel, un $\underline k = k' - \iu k''$ complexe, l’onde s’écrit

$$
\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :
$$

elle se propage à $v_\varphi = \omega/k'$ et son amplitude décroît en $\eu^{-x/\delta}$ avec la *longueur d’atténuation* $\delta = 1/k''$ (elle doit décroître dans son sens de propagation : $k'$ et $k''$ de même signe). Si $\underline k$ est imaginaire pur, $\underline k = -\iu\kappa$, l’onde est *évanescente* : $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$, une oscillation stationnaire dont l’amplitude s’éteint sur la distance $1/\kappa$ sans rien propager — le cas du milieu de Klein–Gordon en dessous de sa coupure, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$, et d’un métal aux fréquences optiques.

**Exemple 8.4 (Une corde amortie).**

Une corde dans un fluide visqueux, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ : $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$. Pour un amortissement faible ($\alpha \ll \mu
\omega$), $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$ : l’onde garde sa célérité et perd de l’amplitude sur $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$, indépendante de la fréquence — une perte *dissipative* et non dispersive, de $8.7\,\mathrm{dB}$ par longueur $\delta$.

## 8.2 Paquets d’ondes et vitesse de groupe

**Proposition 8.5 (Battements ; vitesse de groupe).**

Deux ondes de même amplitude et de fréquences voisines $\omega \pm
\delta\omega$, de nombres d’onde $k \pm \delta k$, se superposent en

$$
s = 2A\cos(\delta\omega\,t - \delta k\,x)\cos(\omega t - kx) :
$$

une porteuse en $(\omega, k)$ se déplaçant à $v_\varphi = \omega/k$, modulée par une lente enveloppe se déplaçant à $\delta\omega/\delta k$. Un *[paquet d’ondes](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)* — une superposition d’ondes monochromatiques dont les nombres d’onde occupent une bande étroite autour de $k_0$ — se déplace, dans son ensemble, à la *[vitesse de groupe](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)*

$$
v_g = \frac{\dd\omega}{\dd k}\Bigr|_{k_0} ,
$$

qui est la vitesse de son énergie et de l’information qu’il porte. Dans un milieu non dispersif $v_g = v_\varphi = c$ ; sinon le paquet se déforme en chemin (il *s’étale*), d’autant plus vite que $\dd^2\omega/\dd k^2$ est grand et que sa largeur spatiale, complément de son spectre, est petite.

**Démonstration.** La formule de transformation en produit donne les battements. Pour un paquet, écrivons $s =
\int a(k)\eu^{\iu(\omega(k)t - kx)}\dd k$ (une superposition de Fourier — l’intégrale de Fourier est étudiée dans le volume de mathématiques de troisième année ; seule est utilisée ici son interprétation comme somme continue de sinusoïdes), avec $a(k)$ piqué en $k_0$. Développons $\omega(k) \approx \omega_0 + v_g(k - k_0)$ : alors $s \approx \eu^{\iu(\omega_0t - k_0x)}\int a(k)\eu^{\iu(k - k_0)(v_gt - x)}\dd k$, une porteuse multipliée par une enveloppe qui n’est fonction que de $x - v_gt$ — l’enveloppe se déplace à $v_g$. Le terme suivant, $\tfrac12\omega''(k_0)(k - k_0)^2t$, déphase les composantes au cours du temps et étale l’enveloppe. L’énergie d’un paquet se trouve là où est son enveloppe ; tout signal aussi. ∎

![Battements : deux fréquences voisines produisent une porteuse rapide (qui se déplace à la vitesse de phase) sous une enveloppe lente (qui se déplace à la vitesse de groupe) ; dans un milieu dispersif les deux vitesses diffèrent et les crêtes glissent à travers l’enveloppe.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-82cfe920136c.svg)

*Battements : deux fréquences voisines produisent une porteuse rapide (qui se déplace à la [vitesse de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation)) sous une enveloppe lente (qui se déplace à la [vitesse de groupe](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)) ; dans un [milieu dispersif](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) les deux vitesses diffèrent et les crêtes glissent à travers l’enveloppe.*

**Exemple 8.6 (Eau profonde : les crêtes devancent le groupe).**

$\omega = \sqrt{gk}$ : $v_g = \tfrac12\sqrt{g/k} = \tfrac12v_\varphi$. Un train de houle avance à la moitié de la vitesse de ses crêtes : en observant un train de vagues, on voit des crêtes apparaître à l’arrière du groupe, le traverser et disparaître à l’avant — exactement l’anneau de l’étang. Une tempête à $3000\,\mathrm{km}$ envoie sa houle de $15\,\mathrm{s}$ ($\lambda = gT^2/2\pi = 350\,\mathrm{m}$, $v_g =
gT/4\pi = 11.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) en trois jours, ses vagues de $8\,\mathrm{s}$ ($v_g =
6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) en cinq jours et demi : à partir des heures d’arrivée des différentes périodes, les océanographes localisent la tempête.

![Le sillage d’un bateau à moteur sur un lac calme : le motif en plumes reste à l’intérieur d’un dièdre d’angle fixe parce que l’énergie de chaque vague se déplace à la moitié de la vitesse de ses crêtes — la dispersion rendue visible.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/img-448c85f67c55.jpg)

*Le sillage d’un bateau à moteur sur un lac calme : le motif en plumes reste à l’intérieur d’un dièdre d’angle fixe parce que l’énergie de chaque vague se déplace à la moitié de la vitesse de ses crêtes — la dispersion rendue visible.*

**Exemple 8.7 (Klein–Gordon : plus vite que la lumière, et non).**

Pour $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ : $v_\varphi = \omega/k$ et $v_g = c^2k/\omega$, donc $v_\varphi v_g = c^2$ : la [vitesse de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) dépasse $c$ (dans l’ionosphère, les crêtes d’une onde à $10\,\mathrm{MHz}$ vont plus vite que la lumière) mais la [vitesse de groupe](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group), qui porte le signal, reste en dessous. Une [vitesse de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) ne transporte ni énergie ni information — les crêtes sont comme la tache d’un faisceau de phare balayant un nuage lointain.

**Remarque 8.8 (Étalement).**

Un paquet de largeur spatiale $\Delta x$ contient des nombres d’onde sur $\Delta k \sim
1/\Delta x$ (la réciprocité de Fourier, admise) ; les [vitesses de groupe](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) de ses composantes diffèrent de $\Delta v_g \approx |\omega''|\Delta k$, si bien qu’au bout d’un temps $t$ il s’est étalé de $|\omega''|\Delta k\,t$ : il double de largeur au bout de $t_{\text{ét}}
\sim \Delta x^2/|\omega''|$. Un paquet de dix vagues de $100\,\mathrm{m}$ en eau profonde ($\Delta x \approx 1\,\mathrm{km}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) double en six heures environ ; une impulsion lumineuse de $1\,\mathrm{ns}$ dans une fibre optique s’étale de quelques dizaines de picosecondes par kilomètre — la limite du débit des liaisons longues. Le [paquet d’ondes](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) quantique du [Chapitre 30](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/30-lequation-de-schrodinger-et-les-fonctions-donde#ch-b2-schrodinger-wave-functions) s’étale pour la même raison.

## 8.3 Le câble coaxial

**Proposition 8.9 (Équations des télégraphistes ; ligne sans pertes).**

Un [câble coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) (ou toute ligne bifilaire) possède, par unité de longueur, une inductance $\Lambda$ et une capacité $\Gamma$. La tension $v(x, t)$ entre les conducteurs et le courant $i(x, t)$ dans le conducteur intérieur obéissent aux *[équations des télégraphistes](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax)*

$$
\frac{\partial v}{\partial x} = -\Lambda\frac{\partial i}{\partial t} , \qquad
\frac{\partial i}{\partial x} = -\Gamma\frac{\partial v}{\partial t} ,
$$

d’où l’[équation de d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) pour $v$ et $i$ avec

$$
c = \frac1{\sqrt{\Lambda\Gamma}} , \qquad
v = Z_c\,i \ \text{pour une onde vers les } +x, \quad Z_c = \sqrt{\frac\Lambda\Gamma} ,
$$

$Z_c$ étant l’*[impédance caractéristique](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax)* de la ligne. Pour un [câble coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) de rayons $a < b$ rempli d’un diélectrique de permittivité relative $\varepsilon_r$, $\Lambda = \dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac ba$, $\Gamma =
\dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$, de sorte que $c = c_0/\sqrt{\varepsilon_r}$ (environ $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, les deux tiers de la vitesse de la lumière) et $Z_c = \dfrac{60\,\Omega}
{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\dfrac ba$ : $50\,\Omega$ ou $75\,\Omega$ pour les câbles usuels.

**Démonstration.** Modélisons la tranche $[x, x + \dd x]$ par une inductance série $\Lambda\dd x$ et une capacité parallèle $\Gamma\dd x$ : la chute de tension le long de la tranche vaut $\Lambda\dd x\,\partial_ti$, et le courant perdu dans la capacité vaut $\Gamma\dd x
\,\partial_tv$. On dérive croisé. Pour $v = f(x - ct)$, la première équation donne $i = f(x - ct)/\Lambda c = v/\sqrt{\Lambda/\Gamma}$. Les valeurs de $\Lambda$ et de $\Gamma$ sont celles du condensateur cylindrique et de l’inductance coaxiale calculées dans le volume de première année. ∎

![À gauche : le circuit équivalent d’une tranche x de ligne sans pertes — inductance en série, capacité en parallèle — d’où découlent les équations des télégraphistes. À droite : un câble coaxial en coupe ; ses et ne dépendent que du rapport des rayons et du diélectrique.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-76e1e3a9ab9e.svg)

*À gauche : le circuit équivalent d’une tranche $\dd x$ de ligne sans pertes — inductance en série, capacité en parallèle — d’où découlent les [équations des télégraphistes](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax). À droite : un [câble coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) en coupe ; ses $\Lambda$ et $\Gamma$ ne dépendent que du rapport des rayons et du diélectrique.*

![Un câble coaxial : âme intérieure, diélectrique, conducteur extérieur tressé — une ligne de transmission dont l’inductance et la capacité par mètre fixent la célérité et l’impédance caractéristique.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/img-865be02f9b05.jpg)

*Un [câble coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) : âme intérieure, diélectrique, conducteur extérieur tressé — une [ligne de transmission](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) dont l’inductance et la capacité par mètre fixent la célérité et l’[impédance caractéristique](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).*

**Proposition 8.10 (Ligne avec pertes ; condition de non-distorsion).**

Avec une résistance série $R$ et une conductance parallèle $G$ par unité de longueur, les équations deviennent $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$, $\partial_xi =
-\Gamma\partial_tv - Gv$, et la [relation de dispersion](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k^2 = (\Lambda\omega -
\iu R)(\Gamma\omega - \iu G)$ : la ligne est dispersive et atténuante. Deux cas limites : (i) $R/\Lambda = G/\Gamma$ ([condition de Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy), atteinte en ajoutant de l’inductance) : $\underline k = \omega\sqrt{\Lambda\Gamma} - \iu\sqrt{RG}$, toutes les fréquences se propagent à la même vitesse avec la même [atténuation](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) — la ligne *atténue* mais ne *déforme* pas. (ii) $\Lambda \approx 0$, $G \approx 0$ (les premiers câbles sous-marins) : $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$, une équation de *diffusion* — une impulsion ne se propage pas mais s’étale, atteignant la distance $L$ au bout d’un temps $\sim R\Gamma L^2$ ([loi des carrés de Kelvin](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy)), cent fois plus long pour un câble dix fois plus long.

**Démonstration.** Reportons $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $-\iu kv = -(\iu\omega\Lambda + R)i$, $-\iu ki = -(\iu
\omega\Gamma + G)v$ ; on multiplie. Sous la [condition de Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy) le produit est un carré parfait. La limite diffusive laisse tomber les termes $\iu\omega\Lambda$ et $G$. ∎

**Exemple 8.11 (Trois câbles).**

Le câble transatlantique de 1858 : un unique fil de cuivre sous gutta-percha, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, $L = 3000\,\mathrm{km}$ : $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ et $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ par point : un mot à la minute, et les tentatives des opérateurs pour forcer le signal avec $2\,\mathrm{kV}$ détruisirent l’isolant en quelques semaines. Une ligne téléphonique chargée de bobines tous les $2\,\mathrm{km}$ pour satisfaire la [condition de Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy) (1900) : une parole claire sur des centaines de kilomètres. Un [câble coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) moderne de $50\,\Omega$ : $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$, $\Gamma =
100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, et une [atténuation](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) due à l’effet de peau dans les conducteurs ([Chapitre 14](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/14-ondes-electromagnetiques-dans-les-plasmas-les-conducteurs-et-les-dielectriques#ch-b2-waves-in-media)), croissant comme $\sqrt f$ : quelques [décibels](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/7-ondes-sonores-dans-les-fluides#def-b2-sound-waves-decibel) par centaine de mètres à $100\,\mathrm{MHz}$.

**Méthode 8.12 (Lire une relation de dispersion).**

(1) Écrire l’[équation d’onde](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) du milieu en notation complexe et résoudre en $\underline k(\omega)$. (2) $k$ réel : calculer $v_\varphi = \omega/k$ et $v_g = \dd\omega/\dd k$ (ou $1/(\dd k/\dd\omega)$) ; comparer : dispersif ou non, dispersion normale ($v_g < v_\varphi$) ou anomale. (3) $k$ complexe : séparer propagation ($k'$) et [atténuation](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) ($k''$, longueur $1/k''$) ; imaginaire pur signifie évanescent, sans transport. (4) Une pulsation de coupure sépare une bande propagative d’une bande évanescente. (5) Pour un signal, raisonner sur l’enveloppe à $v_g$, jamais sur les crêtes.

## 8.4 Exercices

**Exercice 8.1 ★.**

Ondes en eau profonde, $\omega^2 = gk$. (a) [Vitesse de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), [vitesse de groupe](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) et période d’une houle de $100\,\mathrm{m}$. (b) Une houle de période $14\,\mathrm{s}$ : longueur d’onde, $v_\varphi$, $v_g$ ; temps mis par son énergie pour parcourir $5000\,\mathrm{km}$. (c) Pourquoi le clapot de période $2\,\mathrm{s}$ n’y parvient-il jamais ?

**Solution de Exercice 8.1.**

(a) $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\omega = \sqrt{gk} = 0.79\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 8.0\,\mathrm{s}$ ; $v_\varphi = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $\omega = 0.45\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $k = \omega^2
/g = 0.021\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\lambda = 310\,\mathrm{m}$ ; $v_\varphi = gT/2\pi = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g =
11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $5 \times 10^6/11 = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.3$ jours. (c) $\lambda = 6\,\mathrm{m}$, $v_g
= 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : il lui faudrait cinq semaines, et les vagues courtes sont amorties par la [viscosité](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/4-ecoulements-visqueux#def-b2-viscous-flows-viscosity) et brisées par le vent bien avant.

**Exercice 8.2 ★.**

Un milieu obéit à $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ avec $\omega_c = 2\pi \times 1 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ et $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Pour $f = 20\,\mathrm{MHz}$ : $k$, $v_\varphi$, $v_g$, et leur produit. Pour $f = 5\,\mathrm{MHz}$ : $\kappa$ et la profondeur de pénétration.

**Solution de Exercice 8.2.**

$\omega = 1.26 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\omega_c = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $k = \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}/c =
0.36\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $v_\varphi = 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g = c^2k/\omega = 2.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, produit $c^2$. À $5\,\mathrm{MHz}$, $\omega < \omega_c$ : $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c =
0.18\,\mathrm{m}^{-1}$, profondeur $5.5\,\mathrm{m}$.

**Exercice 8.3 ★.**

Deux diapasons à $440\,\mathrm{Hz}$ et $444\,\mathrm{Hz}$ : fréquence de battement, et période des variations d’intensité sonore. Deux vagues de longueurs d’onde $100\,\mathrm{m}$ et $110\,\mathrm{m}$ : fréquences, longueur d’onde et vitesse de l’enveloppe ; comparer à $v_g$ à $105\,\mathrm{m}$.

**Solution de Exercice 8.3.**

Battement à $4\,\mathrm{Hz}$, période des variations d’intensité $0.25\,\mathrm{s}$. Eau : $f = 0.125$ et $0.119\,\mathrm{Hz}$ ; enveloppe $\cos(\delta\omega t - \delta kx)$ avec $\delta k = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ (battements distants de $1.1\,\mathrm{km}$) et vitesse $\delta\omega/\delta k = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — la [vitesse de groupe](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) à $105\,\mathrm{m}$, $\tfrac12\sqrt{g\lambda/2\pi} = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercice 8.4 ★.**

Un [câble coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) : conducteur intérieur de $0.9\,\mathrm{mm}$ de diamètre, extérieur $3.0\,\mathrm{mm}$, polyéthylène ($\varepsilon_r = 2.3$). $\Lambda$, $\Gamma$, célérité, [impédance caractéristique](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax), retard par mètre ; longueur de câble équivalente à un retard de $10\,\mathrm{ns}$. Même câble avec de l’air à la place du polyéthylène.

**Solution de Exercice 8.4.**

$\ln(b/a) = 1.20$ : $\Lambda = 0.24\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$, $\Gamma = 106\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, $c = 1/
\sqrt{\Lambda\Gamma} = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $Z_c = 48\,\Omega$, $5.0\,\mathrm{ns}/\mathrm{m}$ ; $10\,\mathrm{ns}$ $\leftrightarrow$ $2.0\,\mathrm{m}$. Air : $\Gamma = 46\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, $c = c_0$, $Z_c = 72\,\Omega$.

**Exercice 8.5 ★★.**

*La corde raide.* Une corde de piano réelle obéit à $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y
- EI\,\partial_x^4y$ ($EI$ étant la raideur de flexion). (a) [Relation de dispersion](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), [vitesses de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) et de groupe. (b) Pour la corde de la$_4$ du [Chapitre 6](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#ch-b2-waves-on-strings) ($T = 685\,\mathrm{N}$, $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, $EI =
9.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$), augmentation relative de $v_\varphi$ pour la huitième harmonique ($k = 8\pi/L$, $L = 0.38\,\mathrm{m}$) ; vérifier avec l’inharmonicité qui y a été trouvée. (c) La dispersion est-elle normale ou anomale ? À quoi ressemble un pincement net après quelques allers-retours ?

**Solution de Exercice 8.5.**

(a) $\omega^2 = c^2k^2 + (EI/\mu)k^4$ ; $v_\varphi = \sqrt{c^2 + (EI/\mu)k^2}$ ; $v_g = (c^2k +
2(EI/\mu)k^3)/\omega$. (b) $c^2 = 1.12 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$, $k = 66\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $(EI/\mu)k^2
= 7.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ : $v_\varphi/c = \sqrt{1.063} = 1.031$, $+3.1\%$ — les $53$ cents du [Chapitre 6](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/6-ondes-sur-les-cordes-et-les-barres-lequation-de-dalembert#ch-b2-waves-on-strings). (c) $v_g > v_\varphi$ : anomale ; les harmoniques élevées prennent de l’avance et l’attaque d’un pincement devient un bref glissando descendant.

**Exercice 8.6 ★★.**

*Corde amortie.* $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$. (a) Établir la [relation de dispersion](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation). (b) Pour $\alpha \ll \mu\omega$, montrer que $k' \approx \omega/c$ et $k'' \approx \alpha/2Z$ ; [atténuation](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) en [décibels](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/7-ondes-sonores-dans-les-fluides#def-b2-sound-waves-decibel) par mètre. (c) Applications numériques : $\mu =
5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, $T = 50\,\mathrm{N}$, $\alpha = 0.02\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f =
100\,\mathrm{Hz}$ : vérifier l’approximation et donner $\delta$. (d) La corde amortie est-elle dispersive ? Dans quel régime de $\alpha$ le deviendrait-elle ?

**Solution de Exercice 8.6.**

(a) $-\mu\omega^2 + \iu\alpha\omega = -Tk^2$ : $\underline k^2 = (\omega^2/c^2)(1 - \iu\alpha/\mu\omega)$. (b) $\underline k \approx (\omega/c)(1 - \iu\alpha/2\mu\omega)$ : $k' = \omega/c$, $k'' = \alpha/2\mu c =
\alpha/2Z$ ; $8.7k''$ dB/m. (c) $c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $Z = 0.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $\mu\omega = 3.1 \gg
0.02$ : $k'' = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$, $\delta = 50\,\mathrm{m}$, $0.17\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$. (d) Pas dans cette limite ($k' = \omega/c$) ; lorsque $\alpha \gtrsim \mu\omega$ la racine carrée ne se linéarise plus et $k'$ dépend non linéairement de $\omega$ : dispersive (c’est la limite diffusive du câble).

**Exercice 8.7 ★★.**

*Rides.* Les vagues courtes sont gouvernées par la [tension superficielle](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/4-ecoulements-visqueux#rem-b2-viscous-flows-capillarity) : $\omega^2 =
\gamma k^3/\rho$ ($\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$) ; la relation complète est $\omega^2 = gk +
\gamma k^3/\rho$. (a) $v_\varphi$ et $v_g$ pour des ondes capillaires pures ; laquelle est la plus grande ? (b) Montrer que la [vitesse de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) de la relation complète est minimale en $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g}$ et calculer $\lambda_m$ et $v_{\min}$. (c) Un bateau plus lent que $v_{\min}$ ne fait pas de sillage : pourquoi ? (d) Les gouttes de pluie sur un étang font des anneaux dont les crêtes sont en retard sur l’anneau : dans quel régime ?

**Solution de Exercice 8.7.**

(a) $v_\varphi = \sqrt{\gamma k/\rho}$, $v_g = \tfrac32v_\varphi$ : le groupe devance les crêtes. (b) $v_\varphi^2 = g/k + \gamma k/\rho$ est minimal en $k_m = \sqrt{\rho g/\gamma}$ : $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g} = 1.7\,\mathrm{cm}$, $v_{\min} = (4g\gamma/\rho)^{1/4} =
23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. (c) Un sillage est un motif stationnaire par rapport au bateau, fait d’ondes dont la [vitesse de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) égale sa vitesse ; aucune n’est plus lente que $23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. (d) Régime capillaire, $v_g > v_\varphi$ : les crêtes naissent à l’avant de l’anneau et meurent à l’arrière.

**Exercice 8.8 ★★.**

*Étalement.* Un paquet de largeur initiale $\Delta x_0$ double de largeur au bout de $t_{\text{ét}} \approx \Delta x_0^2/|\omega''(k_0)|$. (a) Un train de vagues en eau profonde, $\lambda = 50\,\mathrm{m}$, $\Delta x_0 = 500\,\mathrm{m}$. (b) Une impulsion lumineuse dans une fibre de verre : $\omega'' \approx -0.16\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; une impulsion de $10\,\mathrm{ps}$ ($\Delta x_0 =
2\,\mathrm{mm}$) : temps d’étalement et distance parcourue pendant ce temps ; idem pour une impulsion de $1\,\mathrm{ns}$. Pourquoi les longues liaisons optiques utilisent-elles des impulsions plus longues ou une fibre à compensation de dispersion ?

**Solution de Exercice 8.8.**

(a) $k = 0.126\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -18\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $t_{\text{ét}}
= 2.5 \times 10^5/18 = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, quatre heures. (b) $10\,\mathrm{ps}$ : $t_{\text{ét}} =
4 \times 10^{-6}/0.16 = 25\,\text{µ}\mathrm{s}$, soit $5\,\mathrm{km}$ à $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{ns}$ : $0.04/0.16 =
0.25\,\mathrm{s}$, $50\,000\,\mathrm{km}$. Les impulsions courtes (hauts débits) s’étalent en quelques kilomètres : les liaisons longues utilisent une fibre compensatrice ou des débits modérés.

**Exercice 8.9 ★★.**

*Le câble sous-marin.* $R = 3\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma = 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, $\Lambda$ et $G$ négligeables. (a) Montrer que $v$ obéit à une équation de diffusion et donner sa diffusivité. (b) [Relation de dispersion](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k(\omega)$ ; [vitesse de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) et longueur d’[atténuation](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) à $1\,\mathrm{Hz}$ et à $10\,\mathrm{Hz}$. (c) Temps mis par un signal pour « arriver » sur $3000\,\mathrm{km}$ ($\sim R\Gamma L^2$) ; mots par minute. (d) Le remède de Heaviside : l’inductance par kilomètre nécessaire pour $R/\Lambda = G/\Gamma$ si $G = 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{S}/\mathrm{km}$ ; pourquoi était-elle difficile à ajouter ?

**Solution de Exercice 8.9.**

(a) $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$, $D = 1/R\Gamma = 1.1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (b) $\underline k^2
= -\iu R\Gamma\omega$ : $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ ; à $1\,\mathrm{Hz}$ : $k = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $v_\varphi = 3.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 600\,\mathrm{km}$ ; à $10\,\mathrm{Hz}$ : $v_\varphi = 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 190\,\mathrm{km}$. (c) $R\Gamma L^2 = 9 \times 10^{-13} \times 9 \times 10^{12} = 8\,\mathrm{s}$ par point : environ un mot à la minute. (d) $\Lambda = R\Gamma/G = 9\,\mathrm{H}/\mathrm{km}$ — une inductance absurde pour un câble sous-marin ; les bobines de charge fonctionnaient sur les lignes téléphoniques terrestres, dont les $G$ et $R\Gamma$ étaient différents.

**Exercice 8.10 ★★★.**

*L’énergie voyage à la [vitesse de groupe](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group).* Corde sur un lit élastique : $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$, onde $y = A\cos(\omega t - kx)$ avec $\omega^2 =
\omega_c^2 + c^2k^2$. (a) Densité d’énergie $e = \tfrac12\mu(\partial_ty)^2 + \tfrac12T
(\partial_xy)^2 + \tfrac12Ky^2$ et flux $\mathcal P = -T\partial_xy\,\partial_ty$ : vérifier $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$. (b) Moyennes temporelles $\langle e\rangle$ et $\langle\mathcal P\rangle$ pour l’onde. (c) Montrer que $\langle\mathcal P\rangle/
\langle e\rangle = c^2k/\omega = v_g$, et non $v_\varphi$. (d) Qu’advient-il du flux d’énergie en dessous de la coupure ?

**Solution de Exercice 8.10.**

(a) $\partial_te = \dot y(\mu\ddot y + Ky) + Ty'\dot y' = \dot yTy'' + Ty'\dot y' = \partial_x
(Ty'\dot y) = -\partial_x\mathcal P$. (b) $\langle e\rangle = \tfrac14A^2(\mu\omega^2 + Tk^2 + K) =
\tfrac12\mu\omega^2A^2$ (en utilisant $\mu\omega^2 = Tk^2 + K$) ; $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Tk\omega
A^2$. (c) Rapport $Tk/\mu\omega = c^2k/\omega = v_g$. (d) $y = A\eu^{-\kappa x}\cos\omega t$ : $\mathcal P \propto \sin2\omega t$, de moyenne nulle — aucune énergie ne traverse le milieu.

**Exercice 8.11 ★★★.**

*Houle et tsunami.* Les vagues de longueur d’onde $\lambda$ sur une profondeur $h$ obéissent à $\omega^2 = gk\tanh kh$ (admis). (a) Retrouver les limites d’eau profonde et d’eau peu profonde ($kh \ll 1$) ; célérité des ondes en eau peu profonde ; sont-elles dispersives ? (b) Un tsunami de $\lambda = 200\,\mathrm{km}$ sur $4\,\mathrm{km}$ d’océan : quelle limite, célérité, période ; temps pour traverser $8000\,\mathrm{km}$. (c) Son amplitude au large vaut $0.5\,\mathrm{m}$ : énergie par unité de longueur de crête (admettre $E = \tfrac12\rho gA^2$ par unité d’aire) pour un front de $1000\,\mathrm{km}$ ; que se passe-t-il quand la profondeur tombe à $10\,\mathrm{m}$, si le flux d’énergie $Ev_g$ se conserve (loi de Green, $A \propto h^{-1/4}$) ? (d) Une houle de $100\,\mathrm{m}$ arrivant sur une plage : à quelle profondeur commence-t-elle à sentir le fond, et pourquoi ses crêtes deviennent-elles parallèles au rivage ?

**Solution de Exercice 8.11.**

(a) $\tanh kh \to 1$ : $\omega^2 = gk$ ; $kh \ll 1$ : $\omega = \sqrt{gh}\,k$, célérité $\sqrt{gh}$, non dispersive. (b) $kh = 0.13$ : eau peu profonde ; $c = \sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $T = 17\,\mathrm{min}$ ; $8000\,\mathrm{km}$ en $11\,\mathrm{h}$. (c) $\tfrac12\rho gA^2 = 1.2\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ sur $200 \times 1000$ km$^2$ : $2.5 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$. Green : $A \propto h^{-1/4}$, $(4000/10)^{1/4}
= 4.5$ : $2.2\,\mathrm{m}$, avant redressement et déferlement. (d) Vers $h \approx \lambda/2 =
50\,\mathrm{m}$ ; la portion de crête située en eau moins profonde ralentit, de sorte que la crête pivote parallèlement aux lignes de niveau du fond — c’est la réfraction.

**Exercice 8.12 ★★★.**

*Une impulsion sur une ligne.* Un câble de $50\,\Omega$ et de longueur $\ell = 100\,\mathrm{m}$ ($c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) est alimenté en $x = 0$ par un générateur de résistance interne $50\,\Omega$ et fermé en $x = \ell$ sur une charge $R_L$. (a) Montrer qu’une onde arrivant à l’extrémité est réfléchie avec le coefficient en tension $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ (écrire $v$ et $i$ comme somme d’une onde incidente et d’une onde réfléchie et imposer la loi d’Ohm dans la charge). (b) Valeurs pour $R_L = 50$, $0$, $\infty$, $150\,\Omega$. (c) On envoie une impulsion de $1\,\mathrm{ns}$ et $1\,\mathrm{V}$ : ce que montre l’oscilloscope placé au générateur, et à quel instant, pour chaque charge ; pourquoi les $50\,\Omega$ du générateur comptent. (d) Un défaut dans un câble enterré renvoie un écho après $1.8\,\text{µ}\mathrm{s}$ : où se trouve-t-il ? (Réflectométrie temporelle.)

**Solution de Exercice 8.12.**

(a) En $x = \ell$ : $v = v_i + v_r$, $i = (v_i - v_r)/Z_c$, $v = R_Li$ : $r = (R_L -
Z_c)/(R_L + Z_c)$. (b) $0$, $-1$, $+1$, $0.5$. (c) L’entrée de la ligne se comporte comme $Z_c$, si bien que l’oscilloscope voit $0.5\,\mathrm{V}$ en $t = 0$, puis l’écho $0.5r$ V à $2\ell/c = 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ : rien, $-0.5\,\mathrm{V}$, $+0.5\,\mathrm{V}$, $+0.25\,\mathrm{V}$ ; le générateur adapté absorbe l’écho, de sorte qu’il n’y en a pas de second. (d) $\tfrac12 \times 2 \times 10^8 \times 1.8 \times 10^{-6} = 180\,\mathrm{m}$.

## 8.5 Problème : le câble et la mer

**Problème 8.1.**

Problème du week-end — la dispersion à l’œuvre : le câble télégraphique qui brouillait les points, la houle qui annonce une tempête, le tsunami qui traverse un océan, et le paquet qui s’étale

**Partie I — Le câble télégraphique.** Le câble transatlantique de 1866 : $R = 2.0\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma = 0.25\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, $\Lambda = 0.5\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$, $G$ négligeable, longueur $L = 3500\,\mathrm{km}$.

1. Écrire les [équations des télégraphistes](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) avec $R$ et en déduire la [relation de dispersion](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k^2 = \Gamma\omega(\Lambda\omega - \iu R)$ .
2. À quelle fréquence $\Lambda\omega$ égale-t-il $R$ ? En conclure que pour les fréquences télégraphiques (quelques hertz) la ligne est en régime diffusif.
3. Dans ce régime, $\underline k = \sqrt{-\iu R\Gamma\omega}$ : donner $k'$ et $k''$ (rappel : $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ ) ; [vitesse de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) et longueur d’ [atténuation](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) à $1\,\mathrm{Hz}$ ; à $4\,\mathrm{Hz}$ .
4. [Atténuation](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) en [décibels](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/7-ondes-sonores-dans-les-fluides#def-b2-sound-waves-decibel) sur tout le câble à $1\,\mathrm{Hz}$ et à $4\,\mathrm{Hz}$ . Quelle fréquence survit ? Qu’advient-il alors d’un point net ?
5. Estimation de Kelvin du temps de transit, $R\Gamma L^2$ ; débit pratique du câble en mots par minute si un mot compte environ $10$ points et traits et que les points ne doivent pas se recouvrir.
6. Heaviside proposait d’augmenter $\Lambda$ : quelle valeur rend $\Lambda\omega = R$ à $4\,\mathrm{Hz}$ , et que vaudraient alors la vitesse et l’ [atténuation](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) (prendre $G = 0$ , de sorte que la condition $R/\Lambda = G/\Gamma$ ne peut être satisfaite exactement — utiliser la relation générale à cette fréquence) ?
7. Une fibre optique moderne transporte $1 \times 10^{10}\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : comparer à la question 5, en puissances de dix.

**Partie II — La houle.** Eau profonde : $\omega^2 = gk$.

8. [Vitesses de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) et de groupe en fonction de la période $T$ .
9. Une tempête à $4000\,\mathrm{km}$ d’une côte engendre des vagues de périodes allant de $6\,\mathrm{s}$ à $18\,\mathrm{s}$ : heure d’arrivée de chaque extrême ; durée de l’épisode de houle.
10. Montrer que sur une côte située à la distance $D$ la période reçue obéit à $1/T = gt/4\pi D$ , $t$ étant compté depuis la tempête : $1/T$ croît linéairement dans le temps. Une bouée enregistre $T = 16\,\mathrm{s}$ un jour à midi et $T = 12\,\mathrm{s}$ exactement $24\,\mathrm{h}$ plus tard : distance de la tempête.
11. L’énergie par unité d’aire d’une houle d’amplitude $A$ vaut $\tfrac12\rho  gA^2$ ; puissance traversant une ligne de $1\,\mathrm{m}$ de crête, pour $A =  1.5\,\mathrm{m}$ , $T = 12\,\mathrm{s}$ . (Utiliser la [vitesse de groupe](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) — pourquoi ?)
12. Une ferme houlomotrice de $1\,\mathrm{km}$ de front, de rendement $30\%$ : puissance électrique ; comparer à une éolienne ( $3\,\mathrm{MW}$ ).
13. Un bateau à $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en eau profonde laisse derrière lui un sillage stationnaire : quelle longueur d’onde a une [vitesse de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) égale à la vitesse du bateau et le suit donc ? Pourquoi le motif traîne-t-il en V, plus étroit que ne le laisserait croire l’étalement propre des crêtes (penser à $v_g = v_\varphi/2$ ) ?
14. En observant un train de houle depuis une falaise, décrire ce que fait une crête particulière pendant que le groupe passe devant une bouée fixe ; combien de crêtes contient un groupe de durée $2\,\mathrm{min}$ à $T = 12\,\mathrm{s}$ , et combien de « vies » de crête cela représente-t-il ?

**Partie III — Le tsunami.** $\omega^2 = gk\tanh kh$ ; profondeur du Pacifique $h = 4.0\,\mathrm{km}$.

15. Un séisme soulève une portion de fond marin de $100\,\mathrm{km}$ de $2\,\mathrm{m}$ ; l’onde a $\lambda \approx 200\,\mathrm{km}$ : vérifier que c’est une onde d’eau peu profonde et donner sa célérité, sa période et le temps pour atteindre une côte à $6000\,\mathrm{km}$ .
16. Est-elle dispersive ? Comparer à la houle de la partie II : arrive-t-elle avant ou après la houle ? Laquelle arrive comme une impulsion unique ?
17. Sa hauteur au large vaut $0.6\,\mathrm{m}$ : énergie par mètre carré ; énergie totale d’un front long de $500\,\mathrm{km}$ étalé sur une longueur d’onde ; comparer à une explosion de $1\,\mathrm{Mt}$ ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
18. Loi de Green : hauteur lorsque la profondeur tombe à $20\,\mathrm{m}$ près de la côte (flux d’énergie $\tfrac12\rho gA^2v_g$ conservé, $v_g = \sqrt{gh}$ ) ; célérité et longueur d’onde en ce point ; pourquoi l’onde se redresse alors et déferle comme un mur.
19. Un navire au large ne remarque pas le passage du tsunami : pourquoi ?
20. Des marégraphes distants de $6000\,\mathrm{km}$ enregistrent l’onde : ce que donne le temps de trajet, et pourquoi la célérité mesurée est légèrement inférieure à $\sqrt{gh}$ sur un océan de profondeur variable.

**Partie IV — Le paquet qui s’étale.**

21. Pour l’eau profonde, calculer $\omega''(k) = \dd^2\omega/\dd k^2$ et sa valeur pour $\lambda = 100\,\mathrm{m}$ .
22. Un paquet de $10\,$ vagues de ce type ( $\Delta x_0 \approx 1\,\mathrm{km}$ ) est lâché : temps d’étalement $\Delta x_0^2/|\omega''|$ ; distance parcourue par le paquet pendant ce temps.
23. Expliquer avec des mots pourquoi un paquet de spectre plus étroit (train plus long) s’étale plus lentement, et pourquoi le tsunami de la partie III ne s’étale presque pas.
24. La même estimation pour un électron de longueur d’onde $0.1\,\mathrm{nm}$ localisé sur $1\,\mathrm{nm}$ , avec $\omega = \hbar k^2/2m$ ( $\hbar =  1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ) : temps d’étalement et distance parcourue — le premier contact avec le [paquet d’ondes](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) quantique du [Chapitre 30](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/30-lequation-de-schrodinger-et-les-fonctions-donde#ch-b2-schrodinger-wave-functions) .
25. Récapituler en un tableau : pour le câble, la houle, le tsunami et l’électron, la [relation de dispersion](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) , $v_\varphi$ , $v_g$ et le fait que le milieu étale ou se contente d’atténuer.

**Solution de Problème 8.1.**

**1.** $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$, $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv$ ; avec $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $\iu kv = (\iu\omega\Lambda + R)i$, $\iu ki = \iu\omega\Gamma v$, d’où $k^2 = \omega\Gamma(\omega\Lambda - \iu R)$.

**2.** $\omega = R/\Lambda = 4000\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, soit $640\,\mathrm{Hz}$ : à quelques hertz $\Lambda\omega
\ll R$, régime diffusif.

**3.** $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ avec $R\Gamma = 5 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ : à $1\,\mathrm{Hz}$ : $1.25 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $v_\varphi = 5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 800\,\mathrm{km}$ ; à $4\,\mathrm{Hz}$ : $2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $400\,\mathrm{km}$.

**4.** $8.7L/\delta$ : $38\,\mathrm{dB}$ à $1\,\mathrm{Hz}$, $76\,\mathrm{dB}$ à $4\,\mathrm{Hz}$ : seules les composantes les plus lentes survivent ; un point net arrive en une longue bosse aplatie.

**5.** $R\Gamma L^2 = 5 \times 10^{-13} \times 1.2 \times 10^{13} = 6\,\mathrm{s}$ : un point toutes les six secondes, un mot à la minute (le câble réel, avec de sensibles galvanomètres à miroir, en faisait quelques-uns).

**6.** $\Lambda = R/\omega = 80\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$. Alors $k^2 = \Gamma R\omega(1 - \iu)$, $k = \sqrt{\Gamma R\omega}
\,2^{1/4}\eu^{-\iu\pi/8}$ : $k' = 3.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $k'' = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $v_\varphi =
6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 620\,\mathrm{km}$, $49\,\mathrm{dB}$ sur le câble au lieu de $76\,\mathrm{dB}$.

**7.** Un point toutes les $6\,\mathrm{s}$ fait environ $0.2\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : la fibre est $10^{10}$ à $10^{11}$ fois plus rapide.

**8.** $v_\varphi = gT/2\pi$, $v_g = gT/4\pi$.

**9.** $18\,\mathrm{s}$ : $v_g = 14.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $4 \times 10^6/14.1 = 3.3\,\mathrm{jours}$ ; $6\,\mathrm{s}$ : $4.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $9.9\,\mathrm{jours}$ : l’épisode de houle dure plus de six jours.

**10.** $t = D/v_g = 4\pi D/gT$, donc $1/T = gt/4\pi D$. $\Delta(1/T) = 1/12 - 1/16
= 0.0208\,\mathrm{Hz}$ en $86\,400\,\mathrm{s}$ : $g/4\pi D = 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-2}$, $D = 3200\,\mathrm{km}$.

**11.** $\tfrac12\rho gA^2 = 11\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ ; l’énergie se déplace à $v_g = gT/4\pi =
9.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $103\,\mathrm{kW}$ par mètre de crête.

**12.** $10^3 \times 103 \times 0.3 = 31\,\mathrm{MW}$ : dix éoliennes.

**13.** $\lambda = 2\pi U^2/g = 16\,\mathrm{m}$. L’énergie de chaque composante se déplace à la moitié de sa [vitesse de phase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), de sorte que le motif est confiné à un dièdre derrière le bateau (de demi-angle $19.5{}^{\circ}$, quelle que soit sa vitesse).

**14.** Une crête naît à l’arrière du groupe, le dépasse (les crêtes vont à $2v_g$ par rapport à l’eau, à $v_g$ par rapport au groupe) et meurt à l’avant. Le groupe mesure $120 \times 9.4 = 1.1\,\mathrm{km}$ de long, soit cinq longueurs d’onde ($\lambda = gT^2/2\pi = 225\,\mathrm{m}$) ; dix crêtes passent devant la bouée, chacune ayant vécu environ deux minutes.

**15.** $kh = 0.13$ : eau peu profonde. $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $T = \lambda/c = 17\,\mathrm{min}$, $8.4\,\mathrm{h}$.

**16.** Non dispersive : toutes les composantes à $198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, arrivant ensemble en une seule impulsion (la houle, à $\sim10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, triée par période, mettrait une semaine).

**17.** $\tfrac12\rho gA^2 = 1.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ sur $500 \times 200$ km$^2$ : $1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$, soit $4\%$ d’une mégatonne.

**18.** $A = 0.6(4000/20)^{1/4} = 2.3\,\mathrm{m}$ ; $c = \sqrt{gh} = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda =
cT = 14\,\mathrm{km}$. La crête, en eau plus profonde que le creux qui la précède, va plus vite et le rattrape : le front se redresse en mascaret.

**19.** Une élévation de $0.6\,\mathrm{m}$ en un quart d’heure, sur une pente de $10^{-5}$ : rien de perceptible.

**20.** La célérité moyenne, $\sqrt{gh}$ pour la profondeur moyenne ; comme $\sqrt h$ est concave, les passages peu profonds freinent l’onde plus que les passages profonds ne l’accélèrent, et la moyenne le long du trajet est inférieure à $\sqrt{g\bar h}$.

**21.** $\omega' = \tfrac12\sqrt{g/k}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3}$ ; $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ : $\omega'' = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**22.** $t_{\text{ét}} = 10^6/50 = 2 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, soit $5.6\,\mathrm{h}$ ; le paquet a parcouru $v_gt = 6.25 \times 2 \times 10^4 = 125\,\mathrm{km}$.

**23.** Un train long contient une bande étroite de $k$, dont les [vitesses de groupe](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) coïncident presque : les composantes restent groupées plus longtemps. Le milieu du tsunami est non dispersif : vitesses égales, aucun étalement.

**24.** $\omega'' = \hbar/m = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $t_{\text{ét}} = 10^{-18}/1.2 \times
10^{-4} = 9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ ; $v_g = \hbar k/m = 7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $60\,\mathrm{nm}$.

**25.** Câble : $k^2 = -\iu R\Gamma\omega$, $v_\varphi = \sqrt{2\omega/R\Gamma}$, pas de $v_g$ bien défini, atténue et brouille. Houle : $\omega^2 = gk$, $v_\varphi = 2v_g$, s’étale. Tsunami : $\omega = \sqrt{gh}\,k$, $v_\varphi = v_g$, ni l’un ni l’autre. Électron : $\omega = \hbar k^2/2m$, $v_g = 2v_\varphi$, s’étale.