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title: "Électronique : rétroaction, oscillateurs et acquisition du signal"
book: "Physique universitaire — 2e année"
subject: physics
language: fr
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/9-electronique-retroaction-oscillateurs-et-acquisition-du-signal
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# Chapitre 9 — Électronique : rétroaction, oscillateurs et acquisition du signal

Approchez trop un microphone du haut-parleur qu’il alimente et la salle s’emplit d’un hurlement : l’amplificateur s’entend lui-même, et un bruit minuscule croît jusqu’au cri, sur une hauteur bien précise. Domestiquée, cette même boucle est le cœur de toute horloge, de toute radio et de tout synthétiseur — un *oscillateur* qui fabrique une sinusoïde à partir d’un simple gain et d’un filtre. Le volume de première année construisait amplificateurs, filtres et comparateurs avec l’amplificateur opérationnel ; ce chapitre referme la boucle autour d’eux, demande quand une boucle est stable et quand elle oscille, construit deux oscillateurs — l’un sinusoïdal, l’autre carré — puis passe aux deux opérations par lesquelles un signal mesuré parvient à un ordinateur : l’*échantillonnage* et l’extraction hors du bruit par *[détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin)*.

![Une plaque d’essai, un générateur de fonctions et un oscilloscope : la paillasse sur laquelle on referme une boucle de rétroaction — et sur laquelle on découvre, lorsque l’amplificateur se met à chanter, qu’il est devenu un oscillateur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/img-d2db359dacd5.jpg)

*Une plaque d’essai, un générateur de fonctions et un oscilloscope : la paillasse sur laquelle on referme une boucle de [rétroaction](#def-b2-feedback-oscillators-loop) — et sur laquelle on découvre, lorsque l’amplificateur se met à chanter, qu’il est devenu un oscillateur.*

## 9.1 Rétroaction et stabilité

**Définition 9.1 (Boucle fermée ; gain de boucle).**

Un amplificateur de fonction de transfert $\underline A(\jmath\omega)$ reçoit l’entrée $\underline e$ augmentée d’une fraction $\underline\beta(\jmath\omega)\,\underline s$ de sa propre sortie $\underline s$ (rétroaction positive ; pour une rétroaction négative, changer le signe de $\beta$). La fonction de transfert en *boucle fermée* et le *gain de boucle* valent

$$
\underline H = \frac{\underline s}{\underline e} = \frac{\underline A}{1 - \underline A\,\underline\beta} ,
\qquad \underline T = \underline A\,\underline\beta .
$$

**Théorème 9.2 (Stabilité d’une boucle linéaire ; condition d’oscillation).**

En remplaçant $\jmath\omega$ par la variable complexe $p$, l’évolution libre de la boucle est gouvernée par les racines de son *[équation caractéristique](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)* $1 - \underline A(p)\underline\beta(p) = 0$ (les pôles de $\underline H$) : chaque racine $p_i$ apporte un mode $\eu^{p_it}$. La boucle est *stable* lorsque toutes les racines sont de partie réelle négative (tout mode s’éteint) ; elle *oscille*, en amplitude croissante, lorsqu’une racine a une partie réelle positive. La frontière — une paire de racines imaginaires pures $\pm\jmath
\omega_0$, c’est-à-dire une sinusoïde entretenue — est atteinte lorsque

$$
\underline A(\jmath\omega_0)\,\underline\beta(\jmath\omega_0) = 1
$$

(*[condition de Barkhausen](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)* : [gain de boucle](#def-b2-feedback-oscillators-loop) de module un et de phase nulle à $\omega_0$). Pour un dénominateur du second degré $ap^2 + bp + c$ la boucle est stable si et seulement si $a$, $b$, $c$ sont de même signe.

**Démonstration.** L’équation différentielle de la boucle s’obtient à partir de $\underline s(1 -
\underline A\underline\beta) = \underline A\underline e$ en lisant chaque puissance de $\jmath\omega$ comme une dérivée temporelle ; ses solutions homogènes sont les $\eu^{p_it}$ où les $p_i$ sont les racines du polynôme. La croissance ou la décroissance suit le signe de $\operatorname{Re}p_i$ ; pour un polynôme du second degré les racines sont de partie réelle négative exactement lorsque les coefficients sont de même signe (leur somme vaut $-b/a$ et leur produit $c/a$). La [condition de Barkhausen](#thm-b2-feedback-oscillators-stability) exprime l’existence d’une racine en $p = \jmath\omega_0$. ∎

**Remarque 9.3 (Comment un oscillateur démarre et s’arrête).**

Un oscillateur se conçoit avec un [gain de boucle](#def-b2-feedback-oscillators-loop) légèrement *supérieur* à un en $\omega_0$ : le bruit présent à la mise sous tension contient cette fréquence, qui croît exponentiellement tandis que toutes les autres s’éteignent. La théorie linéaire prévoit alors une amplitude infinie ; en réalité une *non-linéarité* — la saturation de l’amplificateur, ou un élément volontairement non linéaire — abaisse le gain effectif à mesure que l’amplitude croît, jusqu’à ce que le [gain de boucle](#def-b2-feedback-oscillators-loop) vaille en moyenne exactement un : l’amplitude se stabilise. Tout oscillateur réel est ainsi une boucle linéaire pour la fréquence et non linéaire pour l’amplitude ; plus la limitation est douce, plus la sinusoïde est pure.

## 9.2 L’oscillateur à pont de Wien

**Proposition 9.4 (Oscillateur à pont de Wien).**

Un amplificateur opérationnel monté en non-inverseur de gain $K = 1 + R_2/R_1$ ramène sa sortie sur son entrée $+$ à travers le *[réseau de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien)* : $R$ et $C$ en série, puis $R$ et $C$ en parallèle vers la masse. La fonction de transfert du réseau vaut

$$
\underline\beta(\jmath\omega) = \frac1{3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)} ,
$$

réelle et maximale ($= 1/3$) en $\omega_0 = 1/RC$. Le [gain de boucle](#def-b2-feedback-oscillators-loop) $K\underline\beta$ vaut un en $\omega_0$ lorsque $K = 3$ : le circuit entretient alors une sinusoïde à

$$
f_0 = \frac1{2\pi RC} .
$$

La tension $v$ à l’entrée $+$ obéit à

$$
\frac{\dd^2v}{\dd t^2} + \frac{3 - K}{RC}\,\frac{\dd v}{\dd t} + \frac{v}{R^2C^2} = 0 :
$$

pour $K < 3$ l’oscillation s’éteint, pour $K > 3$ elle croît (amortissement négatif) avec la constante de temps $2RC/(K - 3)$, jusqu’à ce que la saturation de l’amplificateur la limite.

**Démonstration.** Diviseur de tension : la branche série $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$, la branche parallèle $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$ ; $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$, qui se simplifie sous la forme donnée. Boucle : $\underline v = \underline\beta K\underline v$, soit $[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]\underline v = K\underline v$ ; multiplions par $\jmath\omega RC$ et lisons $\jmath\omega \to \dd/\dd t$ : $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$. Son coefficient d’amortissement change de signe en $K = 3$. ∎

![À gauche : une boucle de rétroaction — la sortie est ramenée, à travers , à l’entrée de l’amplificateur. À droite : l’oscillateur à pont de Wien — un amplificateur non inverseur de gain 1 + R_2/R_1 dont la sortie revient sur son entrée + par le réseau RC série–parallèle ; il oscille à 1/2π RC lorsque le gain atteint 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-99365599f974.svg)

![À gauche : une boucle de rétroaction — la sortie est ramenée, à travers , à l’entrée de l’amplificateur. À droite : l’oscillateur à pont de Wien — un amplificateur non inverseur de gain 1 + R_2/R_1 dont la sortie revient sur son entrée + par le réseau RC série–parallèle ; il oscille à 1/2π RC lorsque le gain atteint 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-5014573f52ee.svg)

*À gauche : une boucle de [rétroaction](#def-b2-feedback-oscillators-loop) — la sortie est ramenée, à travers $\underline\beta$, à l’entrée de l’amplificateur. À droite : l’[oscillateur à pont de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) — un amplificateur non inverseur de gain $1 + R_2/R_1$ dont la sortie revient sur son entrée $+$ par le réseau $RC$ série–parallèle ; il oscille à $1/2\pi RC$ lorsque le gain atteint 3.*

**Exemple 9.5 (Une source à 1 kHz).**

$R = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$ : $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$. Avec $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$ et $R_2 = 21\,\mathrm{k}\Omega$, $K = 3.1$ : l’amplitude croît d’un facteur $\eu$ tous les $2RC/0.1 = 3.2\,\mathrm{ms}$ à partir du bruit de mise sous tension, et atteint la saturation en quelques dizaines de millisecondes ; la sinusoïde écrêtée est alors riche en harmoniques. En remplaçant $R_1$ par une petite lampe à incandescence, dont la résistance croît quand elle chauffe, on ramène $K$ exactement à $3$ pour une amplitude modérée : une sinusoïde à moins de $0.1\%$ de distorsion, le circuit des premiers générateurs de signaux de laboratoire.

## 9.3 Comparateurs à hystérésis ; le multivibrateur astable

**Proposition 9.6 (Comparateur à hystérésis).**

Un amplificateur opérationnel à [rétroaction](#def-b2-feedback-oscillators-loop) *positive* — sortie ramenée sur l’entrée $+$ par un diviseur $R_1$, $R_2$ (l’entrée $+$ est alors à $\beta s$ avec $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ lorsque le signal $e$ est appliqué à l’entrée $-$) — n’a aucun régime linéaire stable : sa sortie vaut $+V_{\text{sat}}$ ou $-V_{\text{sat}}$ et bascule

$$
\begin{align*}
&\text{de } +V_{\text{sat}} \text{ à } -V_{\text{sat}} \text{ quand } e \text{ dépasse } +\beta V_{\text{sat}} ,\\
&\text{de } -V_{\text{sat}} \text{ à } +V_{\text{sat}} \text{ quand } e \text{ passe sous } -\beta V_{\text{sat}} .
\end{align*}
$$

Les deux seuils diffèrent : l’*hystérésis* $2\beta V_{\text{sat}}$ rend le comparateur insensible à un bruit plus petit qu’elle, et son cycle dans le plan $(e, s)$ est un rectangle parcouru dans le sens horaire.

**Démonstration.** Avec $s = +V_{\text{sat}}$ l’entrée $+$ est à $+\beta V_{\text{sat}}$ ; la sortie reste positive tant que $e < \beta V_{\text{sat}}$, et bascule lorsque $e$ franchit ce seuil — après quoi l’entrée $+$ est à $-\beta V_{\text{sat}}$, de sorte que $e$ doit passer sous cette valeur pour la faire rebasculer. (En régime linéaire la [rétroaction](#def-b2-feedback-oscillators-loop) positive ferait croître tout écart : il est instable.) ∎

**Proposition 9.7 (Multivibrateur astable).**

Ramenons la sortie du [comparateur à hystérésis](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) sur sa propre entrée $-$ à travers un circuit $RC$ ($R$ de $s$ vers l’entrée $-$, $C$ de là vers la masse). Le condensateur se charge vers $\pm V_{\text{sat}}$ et fait basculer le comparateur chaque fois qu’il atteint un seuil : un signal carré en $s$, un signal quasi triangulaire sur $C$, de période

$$
T = 2RC\,\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} .
$$

Pour $\beta = 1/2$, $T = 2RC\ln3 \approx 2.2RC$. De tels *[oscillateurs à relaxation](#prop-b2-feedback-oscillators-astable)* cadencent les microcontrôleurs, font clignoter les témoins et engendrent les signaux triangulaires et carrés des générateurs de fonctions.

**Démonstration.** Avec $s = +V_{\text{sat}}$, la tension du condensateur $v_C$ va de $-\beta V_{\text{sat}}$ vers $+V_{\text{sat}}$ selon $v_C = V_{\text{sat}} - (1 + \beta)
V_{\text{sat}}\eu^{-t/RC}$, et atteint $+\beta V_{\text{sat}}$ au bout de $RC\ln[(1 + \beta)
/(1 - \beta)]$ ; le comparateur bascule et la demi-période symétrique suit. ∎

![À gauche : le cycle d’un comparateur à hystérésis — deux seuils, un rectangle parcouru dans le sens horaire. À droite : le multivibrateur astable — la tension du condensateur fait la navette entre les seuils et la sortie est un signal carré.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-4f7e427f42f7.svg)

![À gauche : le cycle d’un comparateur à hystérésis — deux seuils, un rectangle parcouru dans le sens horaire. À droite : le multivibrateur astable — la tension du condensateur fait la navette entre les seuils et la sortie est un signal carré.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-77c5f6b59b4d.svg)

*À gauche : le cycle d’un [comparateur à hystérésis](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) — deux seuils, un rectangle parcouru dans le sens horaire. À droite : le [multivibrateur astable](#prop-b2-feedback-oscillators-astable) — la tension du condensateur fait la navette entre les seuils et la sortie est un signal carré.*

## 9.4 Échantillonner un signal

**Théorème 9.8 (Échantillonnage ; critère de Nyquist–Shannon).**

Un signal est *échantillonné* lorsque seules ses valeurs $s(nT_s)$ aux instants $nT_s$ sont conservées, $f_s = 1/T_s$ étant la *fréquence d’échantillonnage*. Le spectre du signal échantillonné est le spectre de $s$ répété autour de chaque multiple de $f_s$. Un signal dont le spectre est confiné sous $f_{\max}$ peut être reconstruit exactement à partir de ses échantillons si et seulement si

$$
f_s > 2f_{\max} ;
$$

sinon les copies se recouvrent et une composante à $f > f_s/2$ réapparaît à la fréquence *repliée* $|f - nf_s|$ (pour l’entier $n$ qui la ramène sous $f_s/2$), indiscernable d’une véritable composante de basse fréquence. D’où le *[filtre anti-repliement](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon)* placé avant tout échantillonneur : un passe-bas qui supprime tout au-dessus de $f_s/2$.

**Démonstration.** Échantillonner, c’est multiplier $s(t)$ par un train périodique d’impulsions étroites de période $T_s$, dont la série de Fourier contient toutes les harmoniques $nf_s$ (volume de mathématiques de cette année) ; multiplier $s$ par $\cos(2\pi nf_st)$ décale son spectre de $\pm nf_s$ — d’où les copies. Elles ne se recouvrent pas si et seulement si $f_{\max} < f_s - f_{\max}$ ; un passe-bas de coupure $f_s/2$ restitue alors exactement le spectre d’origine (admis). Repliement : les échantillons de $\cos(2\pi ft)$ et de $\cos(2\pi(f - nf_s)t)$ pris en $t = mT_s$ coïncident, puisque $2\pi nf_smT_s = 2\pi nm$. ∎

**Exemple 9.9 (Roues de chariot, disques compacts et oscilloscopes).**

Un film à $24$ images par seconde échantillonne le monde à $24\,\mathrm{Hz}$ : une roue à $12$ rayons tournant à $2.1$ tours par seconde présente un rayon $25.2$ fois par seconde, soit $1.2$ au-delà de $f_s$ — elle semble tourner lentement vers l’avant, et à $1.9$ tour par seconde vers l’arrière. Un disque compact échantillonne à $44.1\,\mathrm{kHz}$ pour restituer le son jusqu’à $20\,\mathrm{kHz}$, avec un [filtre anti-repliement](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) raide entre $20$ et $22\,\mathrm{kHz}$. Un oscilloscope numérique réglé sur $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ affiche une sinusoïde de $999\,\mathrm{kHz}$ comme une sinusoïde de $1\,\mathrm{kHz}$ — le premier piège de la mesure numérique.

![Repliement : une sinusoïde à 0.9f_s et une autre à 0.1f_s passent par les mêmes échantillons ; une fois échantillonnées, on ne peut plus les distinguer — d’où le critère f_s > 2f_.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-675df4c3f3ba.svg)

*Repliement : une sinusoïde à $0.9f_s$ et une autre à $0.1f_s$ passent par les mêmes échantillons ; une fois échantillonnées, on ne peut plus les distinguer — d’où le critère $f_s > 2f_{\max}$.*

**Remarque 9.10 (Quantification).**

Le [convertisseur analogique-numérique](#rem-b2-feedback-oscillators-quantization) arrondit aussi chaque échantillon à l’un de $2^N$ niveaux ($N$ bits) : l’erreur d’arrondi, au plus la moitié d’un pas, agit comme un bruit de valeur efficace $\Delta/\sqrt{12}$ pour un pas $\Delta$, et la dynamique (la plus grande sinusoïde rapportée à ce bruit) vaut environ $6N + 2$ dB — $98\,\mathrm{dB}$ pour les $16$ bits d’un disque compact, $74\,\mathrm{dB}$ pour un oscilloscope de $12$ bits. Fréquence d’échantillonnage et résolution sont les deux nombres inscrits sur l’étiquette de tout numériseur.

## 9.5 La détection synchrone

**Proposition 9.11 (Détection synchrone).**

Un signal de fréquence connue, $s(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi)$, enfoui dans un bruit $n(t)$ d’amplitude bien plus grande étalé sur une large bande, est multiplié par une référence $r(t) = \cos\omega_0t$ de même fréquence puis passé dans un filtre passe-bas de coupure $f_c \ll f_0$ :

$$
s(t)r(t) = \tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)
\ \xrightarrow{\ \text{passe-bas}\ }\ \tfrac12A\cos\varphi .
$$

La sortie est une tension continue proportionnelle à l’amplitude du signal (et au cosinus de sa phase par rapport à la référence), tandis que le bruit se réduit à la part de son spectre située à $\pm f_c$ de $f_0$ — une bande de largeur $2f_c$ que l’on peut rendre aussi étroite qu’on veut (une fraction de hertz pour une constante de temps de filtre de quelques secondes). Les composantes à d’autres fréquences $f$ sont décalées en $f \pm f_0$ et rejetées par le filtre.

**Démonstration.** $\cos a\cos b = \tfrac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$ ; le filtre garde le terme de différence pour le signal, le terme en $2\omega_0$ et toute composante de bruit à $f$ étant décalés en $|f - f_0|$ et $f + f_0$ — seul le bruit initialement à moins de $f_c$ de $f_0$ retombe sous $f_c$. ∎

![Détection synchrone : la sortie du capteur, signal plus large bruit, est multipliée par une référence à la fréquence propre du signal et filtrée en passe-bas ; seul survit le bruit contenu dans une bande étroite autour de f_0 (grisée), et le signal ressort comme un niveau continu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-7d75be32ac68.svg)

![Détection synchrone : la sortie du capteur, signal plus large bruit, est multipliée par une référence à la fréquence propre du signal et filtrée en passe-bas ; seul survit le bruit contenu dans une bande étroite autour de f_0 (grisée), et le signal ressort comme un niveau continu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-138b0b264782.svg)

*[Détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) : la sortie du capteur, signal plus large bruit, est multipliée par une référence à la fréquence propre du signal et filtrée en passe-bas ; seul survit le bruit contenu dans une bande étroite autour de $f_0$ (grisée), et le signal ressort comme un niveau continu.*

**Exemple 9.12 (Trouver un microvolt).**

Une photodiode délivre $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ de signal lorsque sa lumière est hachée à $1\,\mathrm{kHz}$, par-dessus $50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ de bruit blanc sur $100\,\mathrm{kHz}$ ($16\,\text{µ}\mathrm{V}$ efficaces : plus que le signal). Après [détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) avec un filtre de constante de temps $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (bande de bruit $1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$) le bruit tombe à $50\,\text{nV} \times \sqrt{0.25}
= 25\,\mathrm{nV}$ : un rapport signal sur bruit de $400$ — au prix de quelques secondes d’attente par point. Le même procédé, sous le nom de *démodulation*, extrait la musique d’une porteuse radio AM et les données d’un modem.

**Méthode 9.13 (Concevoir une chaîne de mesure).**

(1) Moduler la grandeur à mesurer à une fréquence $f_0$ éloignée du bruit (hacheur, pont alternatif). (2) Amplifier avec une bande passante couvrant $f_0$. (3) Détecter en synchrone avec un filtre dont la constante de temps est la plus longue que la mesure autorise : le bruit décroît en $1/\sqrt\tau$. (4) Échantillonner la sortie lente à une cadence supérieure au double de sa bande, après un [filtre anti-repliement](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon), avec assez de bits pour la résolution voulue. (5) Vérifier la chaîne avec un signal connu, et s’assurer que rien n’y oscille : tout amplificateur rebouclé est un oscillateur en puissance.

## 9.6 Exercices

**Exercice 9.1 ★.**

Un [oscillateur à pont de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) avec $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$ : fréquence ; gain nécessaire ; valeurs de $R_1$, $R_2$ pour $K = 3.05$ avec $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$ ; constante de temps de la croissance de l’amplitude. Quels composants fixent la fréquence, lesquels le démarrage ?

**Solution de Exercice 9.1.**

$f_0 = 1/2\pi RC = 1.59\,\mathrm{kHz}$ ; $K = 3$ ; $R_2 = 2.05R_1 = 20.5\,\mathrm{k}\Omega$ ; $\tau = 2RC/(K - 3) = 4\,\mathrm{ms}$. $R$ et $C$ fixent la fréquence ; $R_1$ et $R_2$ le démarrage (et la limitation d’amplitude).

**Exercice 9.2 ★.**

[Comparateur à hystérésis](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) avec $V_{\text{sat}} = \pm 13\,\mathrm{V}$, $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 4.0\,\mathrm{k}\Omega$ : seuils, largeur de l’hystérésis. Un signal bruité qui franchit zéro avec $2\,\mathrm{V}$ de bruit : combien de fois la sortie bascule-t-elle par franchissement, avec et sans hystérésis ?

**Solution de Exercice 9.2.**

$\beta = 0.2$ : seuils $\pm2.6\,\mathrm{V}$, hystérésis $5.2\,\mathrm{V}$. Un bruit de $2\,\mathrm{V}$ ne peut pas refranchir un seuil distant de $5.2\,\mathrm{V}$ : un seul basculement par franchissement ; sans hystérésis la sortie hache plusieurs fois.

**Exercice 9.3 ★.**

[Multivibrateur astable](#prop-b2-feedback-oscillators-astable) avec $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $\beta = 0.5$ : période et fréquence ; $R$ pour $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; amplitude du signal triangulaire sur le condensateur ; qu’advient-il de $T$ si l’on porte $\beta$ à $0.9$ ?

**Solution de Exercice 9.3.**

$T = 2RC\ln3 = 2.2\,\mathrm{ms}$, soit $455\,\mathrm{Hz}$ ; $R = 4.55\,\mathrm{k}\Omega$ pour $1\,\mathrm{kHz}$ ; triangle entre $\pm\beta V_{\text{sat}}$ ; $\beta = 0.9$ : $T = 2RC\ln19 = 5.9\,\mathrm{ms}$, soit $2.7$ fois plus long.

**Exercice 9.4 ★.**

(a) Un disque compact échantillonne à $44.1\,\mathrm{kHz}$ : fréquence maximale restituée. (b) Un ultrason de $30\,\mathrm{kHz}$ s’infiltre dans l’enregistrement : à quelle fréquence apparaît-il ? (c) Une roue à $8$ rayons filmée à $25\,\mathrm{images}/\mathrm{s}$ tourne à $3.2$ tours/s : mouvement apparent. (d) Un oscilloscope à $10\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ montre une belle sinusoïde à $100\,\mathrm{kHz}$ ; quelles autres fréquences le signal vrai pourrait-il avoir ?

**Solution de Exercice 9.4.**

(a) $22.05\,\mathrm{kHz}$. (b) $|30 - 44.1| = 14.1\,\mathrm{kHz}$. (c) Les rayons défilent à $8 \times 3.2 =
25.6\,\mathrm{Hz}$, alias $0.6\,\mathrm{Hz}$ : la roue semble avancer lentement à $0.075$ tour/s. (d) $100\,\mathrm{kHz} + n \times 10\,\mathrm{MHz}$, ou $n \times 10\,\mathrm{MHz} -
100\,\mathrm{kHz}$ : $9.9$, $10.1$, $19.9$, $20.1\,\mathrm{MHz}$, …

**Exercice 9.5 ★★.**

Boucles de polynômes caractéristiques (a) $p^2 + 3p + 2$, (b) $p^2 - p +
4$, (c) $p^2 + 4$, (d) $p^3 + 2p^2 + 2p + 1$, (e) $p^3 + p + 1$ : trouver ou discuter les racines ; quelles boucles sont stables, lesquelles oscillent, lesquelles divergent ? (Pour les cubiques, raisonner sur le signe des parties réelles : par exemple, montrer que (e) a une racine réelle négative et deux racines complexes de partie réelle positive, en utilisant le produit et la somme des racines.)

**Solution de Exercice 9.5.**

(a) $-1$, $-2$ : stable. (b) $(1 \pm \iu\sqrt{15})/2$ : oscillation croissante. (c) $\pm2\iu$ : oscillation entretenue. (d) $(p + 1)(p^2 + p + 1)$ : $-1$ et $(-1 \pm \iu\sqrt3)/2$ : stable. (e) Une racine réelle voisine de $-0.68$ (le polynôme est monotone) ; la somme des trois racines vaut $0$, donc la paire complexe a pour partie réelle $+0.34$ : instable.

**Exercice 9.6 ★★.**

*[Réseau de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).* (a) Établir $\underline\beta(\jmath\omega)$ à partir du diviseur. (b) Tracer (à main levée) son module et sa phase ; montrer que la phase n’est nulle qu’en $\omega_0$ et que le module y vaut $1/3$. (c) Écrire l’équation différentielle de la boucle pour un gain $K$ et discuter $K < 3$, $K = 3$, $K > 3$. (d) Avec $K = 3.2$, partant d’un bruit de $1\,\mathrm{mV}$, au bout de combien de temps l’amplitude atteint-elle $10\,\mathrm{V}$ ? Pourquoi l’amplitude finale ne dépend-elle pas du bruit initial ?

**Solution de Exercice 9.6.**

(a) $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ avec $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$, $Z_p = R/(1 +
\jmath RC\omega)$ : $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$. (b) Module $1/\sqrt{9 + (RC\omega - 1/RC\omega)^2}$, maximal à $1/3$ en $\omega_0$ ; phase $-\arctan
[(RC\omega - 1/RC\omega)/3]$, nulle seulement en $\omega_0$. (c) $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC
\dot v + v = 0$ : amortie, entretenue, croissante. (d) Constante de temps de croissance $2RC/0.2 = 10RC = 1.6\,\mathrm{ms}$ ; $\ln10^4 = 9.2$ constantes : $15\,\mathrm{ms}$. L’amplitude finale est fixée par la non-linéarité (la saturation), non par le germe, qui ne fixe que le délai.

**Exercice 9.7 ★★.**

*Générateur de triangles.* Un intégrateur (amplificateur opérationnel, $R$, $C$) est attaqué par la sortie carrée $\pm V_{\text{sat}}$ d’un [comparateur à hystérésis](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) dont l’entrée est la sortie de l’intégrateur ; les seuils du comparateur valent $\pm V_{\text{sat}}R_1/R_2$. (a) Montrer que la sortie de l’intégrateur est un triangle ; sa pente. (b) Période $T = 4RCR_1/R_2$. (c) Applications numériques : $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$, $R_1/R_2 = 0.5$. (d) Avantage sur l’astable simple pour un générateur de fonctions.

**Solution de Exercice 9.7.**

(a) La sortie de l’intégrateur a pour pente $\mp V_{\text{sat}}/RC$ : c’est un triangle. (b) Chaque rampe parcourt $2V_{\text{sat}}R_1/R_2$ à la pente $V_{\text{sat}}/RC$ : $T = 4RCR_1/R_2$. (c) $4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.2\,\mathrm{ms}$, $5\,\mathrm{kHz}$. (d) Un triangle exactement linéaire, une fréquence proportionnelle à $1/R$ (facile à balayer), et des sorties carrée et triangulaire tirées d’un seul circuit.

**Exercice 9.8 ★★.**

Quantification. (a) Un convertisseur $16$ bits sur $\pm1\,\mathrm{V}$ : pas, bruit de quantification efficace, dynamique en dB. (b) $12$ bits à $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ : débit binaire ; idem pour $8$ bits à $1\,\mathrm{GS}/\mathrm{s}$ (un oscilloscope rapide). (c) Un signal de $1\,\mathrm{mV}$ sur le convertisseur $16$ bits : combien de pas ? Que faire avant le convertisseur ? (d) Pourquoi un bon système audio ajoute-t-il un léger bruit (dither) avant de quantifier ?

**Solution de Exercice 9.8.**

(a) $\Delta = 2/65536 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, bruit $\Delta/\sqrt{12} = 8.8\,\text{µ}\mathrm{V}$, $98\,\mathrm{dB}$. (b) $12\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ; $8\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$. (c) $33$ pas : amplifier d’abord par $100$ ou plus. (d) Le dither transforme l’erreur d’arrondi, corrélée au signal (donc distorsion), en un bruit décorrélé inoffensif.

**Exercice 9.9 ★★.**

Un signal contient des composantes à $1.0\,\mathrm{kHz}$ et $9.0\,\mathrm{kHz}$ et est échantillonné à $10\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$. (a) Où apparaît chacune ? (b) On ajoute un [filtre anti-repliement](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) $RC$ du premier ordre de $f_c = 2\,\mathrm{kHz}$ : [atténuation](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) à $9\,\mathrm{kHz}$ en dB ; suffisante si l’on veut $40\,\mathrm{dB}$ ? (c) Ordre du filtre nécessaire ([atténuation](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) $\approx 20n$ dB par décade) ; ou bien, en variante, fréquence d’échantillonnage nécessaire avec le filtre du premier ordre. (d) Pourquoi les convertisseurs modernes suréchantillonnent-ils et filtrent-ils numériquement ?

**Solution de Exercice 9.9.**

(a) Toutes deux à $1\,\mathrm{kHz}$. (b) $|H| = 1/\sqrt{1 + 4.5^2} = 0.22$, $-13\,\mathrm{dB}$ : non. (c) $13\,\mathrm{dB} \times n \ge 40$ : troisième ou quatrième ordre ; ou bien une cadence telle que le filtre du premier ordre donne $40\,\mathrm{dB}$ en $f_s - 1\,\mathrm{kHz}$, c’est-à-dire en $100f_c = 200\,\mathrm{kHz}$ : $f_s \approx 400\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$. (d) Le suréchantillonnage repousse la bande repliée très haut, là où un filtre analogique doux suffit ; le filtrage raide se fait ensuite numériquement avant décimation.

**Exercice 9.10 ★★★.**

*[Détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin).* Entrée $A\cos(\omega_0t + \varphi) + n(t)$ multipliée par $\cos\omega_0t$ et filtrée par un passe-bas du premier ordre de constante de temps $\tau$. (a) Sortie continue. (b) Montrer qu’une composante de bruit à $f = f_0 + \delta f$ donne, après le filtre, une amplitude réduite d’un facteur $1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ; en déduire la bande de bruit équivalente $B = 1/4\tau$ (admettre $\int_0^\infty
\dd x/(1 + x^2) = \pi/2$). (c) Un signal de $1\,\text{µ}\mathrm{V}$ dans $1\,\mathrm{mV}$ efficaces de bruit blanc sur $10\,\mathrm{kHz}$ : densité de bruit ; $\tau$ pour un rapport signal sur bruit de $10$ ; durée de la mesure. (d) Un parasite secteur à $50\,\mathrm{Hz}$ de $1\,\mathrm{mV}$ pollue l’entrée, avec $f_0 = 1\,\mathrm{kHz}$ : où va-t-il, et de combien est-il atténué pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?

**Solution de Exercice 9.10.**

(a) $\tfrac12A\cos\varphi$. (b) La composante en $f_0 + \delta f$ retombe en $\delta f$ et traverse le filtre avec $|H| = 1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ ; la transmission en puissance s’intègre en $\int_0^\infty\dd f/(1 + (2\pi f\tau)^2) = 1/4\tau$. (c) $e_n = 1\,\text{mV}/\sqrt{10^4} = 10\,\text{µ}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ ; $e_n\sqrt B = 0.1\,\text{µ}\mathrm{V}$ exige $B = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz}$, $\tau = 2500\,\mathrm{s}$ : une heure par point. (d) En $950$ et $1050\,\mathrm{Hz}$, atténué de $1/2\pi \times 950 \approx 1.7 \times 10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$).

**Exercice 9.11 ★★★.**

*Quartz.* Un cristal de quartz se comporte, au voisinage de sa résonance, comme une branche série $L$, $C$, $r$ ($L = 8000\,\mathrm{H}$, $C = 3.0\,\mathrm{fF}$, $r =
30\,\mathrm{k}\Omega$) en parallèle avec $C_0 = 1.5\,\mathrm{pF}$. (a) Fréquence de résonance série et facteur de qualité $Q = L\omega_0/r$. (b) Pourquoi un oscillateur construit autour de lui tient-il sa fréquence à une partie sur $10^6$ alors que le pont de Wien dérive de quelques pour cent (penser à la pente de phase $\dd\varphi/\dd\omega$ du réseau de [rétroaction](#def-b2-feedback-oscillators-loop) près de la résonance, $\sim 2Q/\omega_0$) ? (c) Un quartz de montre à $32\,768\,\mathrm{Hz}$ est divisé par $2^{15}$ : résultat ; sa fréquence varie en $-0.04\,\text{ppm}\,(T - 25{}^{\circ}\mathrm{C})^2$ : erreur par mois à $5{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) Pourquoi choisit-on $32\,768\,\mathrm{Hz}$ et non $1\,\mathrm{MHz}$ ?

**Solution de Exercice 9.11.**

(a) $f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 32.5\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = L\omega_0/r = 5.4 \times 10^{4}\,$. (b) Près de la résonance la phase du réseau tourne de $2Q/\omega_0$ par unité de $\omega$ : un déphasage parasite $\delta\varphi$ déplace la fréquence de $\delta\omega/\omega_0 =
\delta\varphi/2Q$ — $10^{-6}$ pour $Q = 10^5$, un pour cent pour $Q = 1/3$. (c) $1\,\mathrm{Hz}$ ; $-0.04 \times 400 = -16\,\mathrm{ppm}$ : $16 \times 10^{-6} \times 2.6 \times 10^6 = 41\,\mathrm{s}$ de retard par mois. (d) Une basse fréquence signifie une faible consommation dans la logique de division, $2^{15}$ divise exactement jusqu’à $1\,\mathrm{Hz}$, et le minuscule quartz en diapason tient dans une montre.

**Exercice 9.12 ★★★.**

*Résistance négative.* Un amplificateur opérationnel a $R_2$ de la sortie vers l’entrée $-$, $R_1$ de l’entrée $-$ vers la masse, et $R$ de la sortie vers l’entrée $+$ ; on étudie le dipôle vu entre l’entrée $+$ et la masse (régime linéaire). (a) Montrer qu’il se comporte comme une résistance $-RR_1/R_2$. (b) Ce dipôle est branché aux bornes d’un circuit $LC$ parallèle de résistance de pertes $R_p$ (en parallèle) : écrire l’équation de la tension et trouver la condition d’oscillation entretenue ainsi que la fréquence. (c) Applications numériques : $L
= 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R_p = 50\,\mathrm{k}\Omega$ ; choisir $R$, avec $R_1 =
R_2$. (d) Qu’est-ce qui limite l’amplitude, et comment cet oscillateur se compare-t-il au pont de Wien ?

**Solution de Exercice 9.12.**

(a) $v_- = v_+ = v$, $v_{\text{sortie}} = v(1 + R_2/R_1)$ ; le courant entrant dans le dipôle, $i = (v - v_{\text{sortie}})/R = -vR_2/RR_1$ : $v/i = -RR_1/R_2$. (b) $C\dot v +
v(1/R_p - R_2/RR_1) + \frac1L\int v\,\dd t = 0$ : entretenue lorsque $R = R_pR_2/R_1$, à $\omega = 1/\sqrt{LC}$ (croissante pour $R$ plus petit). (c) $f = 5.0\,\mathrm{kHz}$, $R \lesssim
50\,\mathrm{k}\Omega$ (par exemple $48\,\mathrm{k}\Omega$). (d) La saturation ; le $Q = R_p
\sqrt{C/L} = 160$ du circuit bouchon donne une fréquence bien plus stable que le [réseau de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).

## 9.7 Problème : une chaîne de mesure à détection synchrone

**Problème 9.1.**

Problème du week-end — de l’oscillateur de référence au résultat numérisé : mesurer dix microvolts de signal lumineux sous un millivolt de bruit

On veut mesurer une lumière faible avec une photodiode. La lumière est hachée par une roue tournante à $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$, de sorte que la sortie de la photodiode est une sinusoïde d’amplitude $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ à $f_0$ (après un premier amplificateur), sur laquelle se superpose un bruit blanc de densité spectrale $e_n = 50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ sur une bande de $100\,\mathrm{kHz}$, plus un parasite secteur de $50\,\mathrm{Hz}$ et $1.0\,\mathrm{mV}$. La fréquence du hacheur est fixée par un [oscillateur à pont de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).

**Partie I — L’oscillateur de référence.** Pont de Wien avec $C = 10\,\mathrm{nF}$, amplificateur opérationnel saturant à $\pm12\,\mathrm{V}$.

1. $R$ pour $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ .
2. Établir la fonction de transfert du [réseau de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) et vérifier que sa phase s’annule en $f_0$ avec un module de $1/3$ .
3. Écrire l’équation différentielle de la boucle pour un gain $K$ ; pour $K = 3.15$ , temps mis par l’amplitude pour croître d’un facteur $1000$ .
4. L’amplitude est finalement limitée par la saturation : décrire la forme d’onde, et pourquoi ses harmoniques importent pour une référence.
5. Une thermistance à la place de $R_1$ (résistance décroissant quand elle chauffe) ou une lampe (croissant) : laquelle stabilise le gain à 3, et comment ?
6. Les condensateurs dérivent de $+1\%$ avec la température : nouvelle fréquence. Pourquoi le hacheur convient-il encore pour la mesure (que doit faire la référence) ?
7. Le [réseau de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) a un facteur de qualité voisin de $1/3$ : qu’est-ce que cela implique pour la pureté de la fréquence, comparée à celle d’un quartz ( $Q \sim 10^5$ ) ?

**Partie II — Le signal et le bruit.**

8. Valeur efficace du bruit blanc sur les $100\,\mathrm{kHz}$ entiers ; rapport signal sur bruit en sortie de l’amplificateur.
9. On insère un filtre passe-bande de facteur de qualité $Q = 10$ centré sur $f_0$ (bande de bruit $\approx f_0/Q$ ) : bruit efficace et rapport signal sur bruit. Pourquoi cela ne suffit-il pas pour une mesure précise (penser aux dérives et au $50\,\mathrm{Hz}$ ) ?
10. Pourquoi hacher la lumière à $1\,\mathrm{kHz}$ au lieu de mesurer directement le photocourant continu ? (Les amplificateurs ont un bruit « en $1/f$ » qui croît en dessous de quelques centaines de hertz.)
11. Amplitude du signal si la roue du hacheur produit une modulation carrée au lieu d’une sinusoïde : quelle harmonique la [détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) garde-t-elle, et avec quelle amplitude (coefficient de Fourier $4/\pi$ pour le fondamental d’un carré d’amplitude unité) ?
12. La photodiode reçoit aussi la lumière de la pièce à $100\,\mathrm{Hz}$ (tubes fluorescents) : qu’en fait la chaîne ?

**Partie III — La [détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin).** Le signal amplifié est multiplié par la référence $\cos(2\pi f_0t)$ et filtré par un passe-bas du premier ordre de constante de temps $\tau$.

13. Sortie du multiplieur pour le signal seul (phase $\varphi$ entre signal et référence) ; le terme continu.
14. [Atténuation](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) du terme en $2f_0$ par le filtre pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (en dB).
15. Bande de bruit équivalente $1/4\tau$ ; bruit efficace en sortie pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ et rapport signal sur bruit ; idem pour $\tau = 10\,\mathrm{s}$ .
16. Où aboutit le parasite secteur de $50\,\mathrm{Hz}$ , et avec quelle [atténuation](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?
17. La phase $\varphi$ est inconnue : que perd-on si $\varphi = 60{}^{\circ}$ ? Décrire la [détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) à deux voies (en phase et en quadrature) et comment elle restitue $A$ quel que soit $\varphi$ .
18. Temps de réponse de la mesure (temps pour atteindre $99\%$ de la valeur finale) pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ; le compromis qu’il exprime.
19. La référence dérive à $1001\,\mathrm{Hz}$ tandis que le hacheur reste à $1000\,\mathrm{Hz}$ : sortie de la [détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) ; pourquoi la référence doit être prise sur le hacheur lui-même.

**Partie IV — Numériser.**

20. La sortie de la [détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) est échantillonnée par un ordinateur : cadence minimale pour $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (prendre la bande de sortie égale à $1/2\pi\tau$ ) ; un choix confortable.
21. En variante, on numérise le signal brut à $1\,\mathrm{kHz}$ et la détection se fait par logiciel : cadence d’échantillonnage minimale ; le bruit s’étend jusqu’à $100\,\mathrm{kHz}$ — que faut-il faire avant d’échantillonner, et quelle [atténuation](https://one-course.com/books/physics/4/fr/chapter/8-dispersion-et-paquets-dondes#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) à $100\,\mathrm{kHz}$ donne un échantillonnage à $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ avec un filtre du quatrième ordre coupant à $5\,\mathrm{kHz}$ ( $80\,\mathrm{dB}$ par décade) ?
22. Un convertisseur $16$ bits sur $\pm1\,\mathrm{V}$ : pas ; le signal de $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ amplifié $1000$ fois : combien de pas, et le bruit aide-t-il ou nuit-il ?
23. [Détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) numérique : l’ordinateur multiplie chaque échantillon par $\cos(2\pi f_0nT_s)$ et moyenne $N$ échantillons. À $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ , $N$ pour une moyenne de $1\,\mathrm{s}$ ; de quel facteur le bruit blanc est-il réduit, et est-ce le même que pour le filtre analogique ?
24. Un signal de $1\,\mathrm{kHz}$ échantillonné à $999\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ : que voit l’ordinateur ? Quel rapport avec le principe même de la [détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) ?
25. Résumer la chaîne en un tableau : chaque étage, ce qu’il fait au signal, ce qu’il fait au bruit.

**Solution de Problème 9.1.**

**1.** $R = 1/2\pi f_0C = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$.

**2.** $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$ : réel, $= 1/3$, en $\omega_0 = 1/RC$.

**3.** $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$ ; constante de temps $2RC/0.15 =
2.1\,\mathrm{ms}$ ; $\ln1000 = 6.9$ : $15\,\mathrm{ms}$.

**4.** Une sinusoïde à sommets aplatis : des harmoniques impaires. Une référence riche en harmoniques détecte aussi les harmoniques du signal (et le bruit qui s’y trouve) : le résultat ne mesure plus le seul fondamental.

**5.** La lampe : quand l’amplitude monte elle chauffe, $R_1$ croît et $K = 1 + R_2/R_1$ retombe à $3$. Une thermistance à la place de $R_1$ ferait l’inverse (sa place est celle de $R_2$).

**6.** $f \propto 1/C$ : $990\,\mathrm{Hz}$. La référence de la [détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) est prise sur le hacheur lui-même (un détecteur sur la roue), elle suit donc.

**7.** $Q \sim 1/3$ : un petit déphasage n’importe où dans la boucle déplace la fréquence de quelques pour cent ; le $10^5$ d’un quartz la tient à $10^{-6}$.

**8.** $50\,\text{nV} \times \sqrt{10^5} = 16\,\text{µ}\mathrm{V}$ efficaces : rapport signal sur bruit $0.6$.

**9.** $B = 100\,\mathrm{Hz}$ : $0.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, rapport $20$ — mais le centre du filtre dérive avec ses composants, et le parasite à $50\,\mathrm{Hz}$ n’est atténué que de $\sim 1/[Q(f_0/f - f/f_0)] = 0.005$ : $5\,\text{µ}\mathrm{V}$, la moitié du signal.

**10.** En dessous de quelques centaines de hertz le bruit en $1/f$ de l’amplificateur et les dérives dominent ; à $1\,\mathrm{kHz}$ le plancher de bruit est blanc et bas, et les décalages ne comptent pas.

**11.** Une modulation carrée entre $0$ et $A_0$ vaut $A_0/2 + (2A_0/\pi)
\cos\omega_0t + \dots$ : la [détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) garde le fondamental, $0.64A_0$.

**12.** Le $100\,\mathrm{Hz}$ est mélangé en $900$ et $1100\,\mathrm{Hz}$ et supprimé par le passe-bas.

**13.** $\tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)$ ; terme continu $\tfrac12A\cos\varphi$.

**14.** $1/2\pi f\tau = 1/2\pi \times 2000 = 8 \times 10^{-5}$ : $-82\,\mathrm{dB}$.

**15.** $B = 1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$ : $e_n\sqrt B = 25\,\mathrm{nV}$ contre $A =
10\,\text{µ}\mathrm{V}$ : rapport $400$ ; $\tau = 10\,\mathrm{s}$ : $7.9\,\mathrm{nV}$, rapport $1300$.

**16.** En $950$ et $1050\,\mathrm{Hz}$ : atténué de $1/2\pi \times 950 = 1.7 \times
10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$) : $0.17\,\text{µ}\mathrm{V}$ d’ondulation, un dixième du signal — un filtre coupe-bande en amont reste utile.

**17.** $\cos60^\circ = 0.5$ : la moitié du signal. Un second multiplieur avec la référence décalée de $90{}^{\circ}$ donne $Y = \tfrac12A\sin\varphi$ ; avec $X =
\tfrac12A\cos\varphi$, $A = 2\sqrt{X^2 + Y^2}$ et $\varphi = \arctan(Y/X)$, quel que soit $\varphi$.

**18.** $\tau\ln100 = 4.6\,\mathrm{s}$ ; le bruit décroît en $1/\sqrt\tau$, la durée de mesure croît comme $\tau$.

**19.** Le terme de différence vaut $\tfrac12A\cos(2\pi \times 1\,\text{Hz}\,t + \varphi)$, transmis par le filtre avec $1/\sqrt{1 + (2\pi)^2} = 0.16$ : une lente oscillation au lieu d’un niveau. La référence doit être *cohérente* avec le signal : on la prend sur le hacheur.

**20.** Bande passante $1/2\pi\tau = 0.16\,\mathrm{Hz}$ : au-dessus de $0.32\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ ; $10\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ est confortable.

**21.** Au moins $2\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ ; un [filtre anti-repliement](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) est obligatoire ; quatrième ordre à $5\,\mathrm{kHz}$ : $80\log_{10}(100/5) = 104\,\mathrm{dB}$ à $100\,\mathrm{kHz}$ (et $46\,\mathrm{dB}$ à $19\,\mathrm{kHz}$, le bruit qui se replierait sur $1\,\mathrm{kHz}$).

**22.** Pas de $30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$ ; $10\,\mathrm{mV}$ font $330$ pas ; le bruit amplifié ($16\,\mathrm{mV}$ efficaces) couvre de nombreux pas et, moyenné, permet de résoudre la moyenne bien en dessous d’un pas : il aide.

**23.** $N = 20000$ ; le bruit blanc décroît de $\sqrt N = 140$ ; une moyenne rectangulaire de $1\,\mathrm{s}$ a une bande de bruit $1/2T = 0.5\,\mathrm{Hz}$ — le double de celle du $RC$ analogique, donc comparable.

**24.** Les échantillons parcourent lentement la sinusoïde : un alias à $1\,\mathrm{Hz}$. La [détection synchrone](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) fait la même chose à dessein : échantillonner à la phase de la référence, c’est multiplier par la référence.

**25.** Hacheur : signal déplacé à $1\,\mathrm{kHz}$, bruit inchangé (mais la part en $1/f$ évitée). Amplificateur : les deux $\times$ le gain. Multiplieur : signal ramené au continu, bruit étalé. Passe-bas : signal gardé, bruit ramené à $1/4\tau$. Échantillonneur et convertisseur : signal numérisé, repliements et quantification maîtrisés par le filtre et le nombre de bits.