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title: "मैक्सवेल के समीकरण"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2"
subject: physics
language: hi
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations
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# अध्याय 11 — मैक्सवेल के समीकरण

1865 में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने वे नियम लिख डाले जो कूलॉम, ऐंपियर और फ़ैराडे ने एक-एक करके पाए थे, ऐंपियर वाले में ऐसा पद जोड़ दिया जो अब तक किसी प्रयोग ने माँगा न था, और पाया कि उसके समीकरण ऐसी तरंगें स्वीकार करते हैं जो उस चाल से चलती हैं जिसे वह विद्युत् और चुंबकत्व के नियतांकों से निकाल सकता था — अर्थात् प्रकाश की चाल। विद्युत्, चुंबकत्व और प्रकाशिकी एक ही विषय निकले। वर्ष 1 के खंड ने वे नियम पृष्ठों और पाशों पर समाकलों के रूप में कहे थे; यह अध्याय उन्हें चार *स्थानिक* समीकरणों के रूप में लिखता है, जो हर बिंदु और हर क्षण पर सही हैं, उन सदिश संकारकों के साथ जो ऐसा लिखना संभव बनाते हैं, और उनके पहले परिणाम निकालता है: [विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), विभव, किसी अंतरापृष्ठ पर क्षेत्रों का व्यवहार, और वे सन्निकटन जिनके अंतर्गत वर्ष 1 के खंड के परिपथ यथार्थ हैं।

![जेम्स क्लर्क मैक्सवेल (1831–1879), जिन्होंने इस अध्याय के चार समीकरण लिखे और उनमें प्रकाश की चाल से चलती विद्युत्चुंबकीय तरंगों का अस्तित्व पढ़ लिया।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/img-ab0c12ec0830.jpg)

*जेम्स क्लर्क मैक्सवेल (1831–1879), जिन्होंने इस अध्याय के चार समीकरण लिखे और उनमें प्रकाश की चाल से चलती विद्युत्चुंबकीय तरंगों का अस्तित्व पढ़ लिया।*

## 11.1 सदिश संकारक

**परिभाषा 11.1 (प्रवणता, अपसरण, कर्ल, लाप्लासीय).**

किसी अदिश क्षेत्र $f$ और किसी सदिश क्षेत्र $\vect A$ के लिए, कार्तीय निर्देशांकों में, सांकेतिक सदिश $\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y,
\partial_z)$ के साथ:

$$
\begin{align*}
\operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\
\operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\
\operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\
\Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f ,
\end{align*}
$$

और $\Delta\vect A$ हर कार्तीय घटक पर लिया गया लाप्लासीय है। इनका अर्थ निर्देशांकों से स्वतंत्र है: $\operatorname{\vect{grad}}f
\cdot\dd\vect l = \dd f$ $f$ का परिवर्तन है, $\dd\vect l$ के अनुदिश; $\operatorname{div}
\vect A$ किसी छोटे आयतन के पृष्ठ से $\vect A$ का बाहर जाता अभिवाह है, प्रति एकांक आयतन; और $\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n$ $\vect A$ का परिचालन है, किसी ऐसे छोटे पाश के चारों ओर जिसका अभिलंब $\vect n$ हो, प्रति एकांक क्षेत्रफल।

**प्रमेय 11.2 (अपसरण और स्टोक्स की प्रमेयें).**

किसी बंद पृष्ठ $\Sigma$ के लिए, जो आयतन $V$ को घेरता है, और किसी दिष्ट बंद वक्र $C$ के लिए, जो पृष्ठ $S$ को घेरता है (अभिलंब $\vect n$ दक्षिण-हस्त नियम से),

$$
\iint_\Sigma\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V\operatorname{div}\vect A\,\dd\tau ,
\qquad
\oint_C\vect A\cdot\dd\vect l = \iint_S\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n\,\dd S .
$$

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 11.3 (क्या स्वीकृत है और वह विश्वसनीय क्यों है).**

दोनों प्रमेयें वर्ष 3 के गणित-खंड में सिद्ध हैं; इस वर्ष का गणित-खंड उनके समतल रूप (ग्रीन–रीमान) और बहु-समाकलों पर रुक जाता है। पर उनकी बात वही है जो हमने [अध्याय 2](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/2-fluid-kinematics#ch-b2-fluid-kinematics) में काम में ली: आयतन को छोटे संदूकों से भर दीजिए (और पाश के पृष्ठ को छोटे पाशों से) — तब भीतरी फलकों के अभिवाह (और भीतरी किनारों के परिचालन) जोड़े-जोड़े में कट जाते हैं, और केवल सीमा बचती है। परिभाषाओं से दो सर्वसमिकाएँ निकलती हैं जो लगातार काम आती हैं: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}f = \vect 0$, $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$, और $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}
\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A$। सममिति वाले क्षेत्रों के लिए उपयोगी सूत्र ये हैं: किसी त्रिज्यीय क्षेत्र $A_r(r)\vect e_r$ के लिए $\operatorname{div}
= \frac1{r^2}\partial_r(r^2A_r)$ (गोलीय) या $\frac1r\partial_r(rA_r)$ (बेलनाकार); किसी अक्ष के चारों ओर किसी दिगंशी क्षेत्र $A_\theta(r)\vect e_\theta$ के लिए, $(\operatorname{\vect{curl}})_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$; और $f(r)$ के लिए, $\Delta f = \frac1{r^2}\partial_r(r^2\partial_rf) = \frac1r\partial_r^2(rf)$ (गोलीय), $\frac1r\partial_r(r\partial_rf)$ (बेलनाकार)।

![मैक्सवेल के समीकरणों के दोनों संकारक, ज्यामितीय रूप से पढ़े गए: अपसरण नापता है कि कोई क्षेत्र किसी छोटे आयतन से कितना बाहर बहता है, और कर्ल यह कि वह किसी छोटे पाश के चारों ओर कितना परिचालित होता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-b0b08192e053.svg)

*[मैक्सवेल के समीकरणों](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) के दोनों संकारक, ज्यामितीय रूप से पढ़े गए: [अपसरण](#def-b2-maxwell-equations-operators) नापता है कि कोई क्षेत्र किसी छोटे आयतन से कितना बाहर बहता है, और [कर्ल](#def-b2-maxwell-equations-operators) यह कि वह किसी छोटे पाश के चारों ओर कितना परिचालित होता है।*

## 11.2 चारों समीकरण

**प्रमेय 11.4 (मैक्सवेल के समीकरण).**

निर्वात में (और ऐसे पदार्थ में जिसका वर्णन उसके कुल आवेश तथा धारा के घनत्वों $\rho$ और $\vect j$ से हो), विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र हर बिंदु और हर समय इनका पालन करते हैं:

$$
\begin{align*}
\operatorname{div}\vect E &= \frac\rho{\varepsilon_0} &&\text{(मैक्सवेल--गाउस)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect E &= -\frac{\partial\vect B}{\partial t} &&\text{(मैक्सवेल--फ़ैराडे)} ,\\
\operatorname{div}\vect B &= 0 &&\text{(मैक्सवेल--अभिवाह)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect B &= \mu_0\vect j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vect E}{\partial t} &&\text{(मैक्सवेल--ऐंपियर)} ,
\end{align*}
$$

जहाँ $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, $\mu_0 = 4\pi \times 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ (और $\varepsilon_0\mu_0 = 1/c^2$)। क्षेत्र आवेशों पर लोरेंत्ज़ बल $\vect F = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$ से काम करते हैं। पद $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ मैक्सवेल का *[विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)* घनत्व है।

**वर्ष 1 के खंड के समाकल नियमों से तुल्यता.** पहले दोनों पर [अपसरण प्रमेय](#thm-b2-maxwell-equations-theorems) लगाइए: $\iint_\Sigma\vect E\cdot
\vect n\,\dd S = Q_{\text{भीतरी}}/\varepsilon_0$ (गाउस), और किसी भी बंद पृष्ठ से $\vect B$ का अभिवाह शून्य। अंतिम दोनों पर स्टोक्स लगाइए: $\oint_C\vect E\cdot\dd\vect l = -\dd\Phi_B/\dd t$ (फ़ैराडे, किसी स्थिर पाश के लिए) और $\oint_C\vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0I_{\text{घिरी}} + \mu_0\varepsilon_0\,\dd\Phi_E/\dd t$ (ऐंपियर, पूरा किया हुआ)। और उल्टे, समाकल नियम, जो हर आयतन और पाश के लिए सही हैं, स्थानिक नियमों को दे देते हैं। इस तरह स्थानिक समीकरण वर्ष 1 के नियम और एक नया पद हैं, जिसे नीचे उचित ठहराया गया है; और उन्हें विद्युत्चुंबकत्व की मूल-कल्पना मान लिया जाता है। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 11.5 (विस्थापन धारा क्यों आवश्यक है).**

[मैक्सवेल–ऐंपियर समीकरण](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) का [अपसरण](#def-b2-maxwell-equations-operators) लेने और $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}} = 0$ तथा मैक्सवेल–गाउस काम में लेने पर

$$
0 = \mu_0\operatorname{div}\vect j + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\operatorname{div}\vect E
= \mu_0\Bigl(\operatorname{div}\vect j + \frac{\partial\rho}{\partial t}\Bigr) :
$$

मिलता है, अर्थात् समीकरणों में आवेश-संरक्षण समाया है। विस्थापन-पद के बिना वे सदा $\operatorname{div}\vect j = 0$ माँगते — जो किसी आवेशित होते संधारित्र में झूठ है, जहाँ चालन-धारा प्लेट पर रुक जाती है। वहाँ, प्लेटों के बीच, $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ ठीक उतनी धारा ढोता है जितनी तार में आती है, और चुंबकीय क्षेत्र अंतराल के चारों ओर वैसे ही परिचालित होता है जैसे किसी तार के चारों ओर।

**उपपत्ति.** दोनों पक्षों का [अपसरण](#def-b2-maxwell-equations-operators), जैसा कहा गया; और संधारित्र के लिए, प्लेटों के बीच किसी पृष्ठ से $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ का अभिवाह $\varepsilon_0S\,\dd E/\dd t = \dd Q/\dd t = I$ है। ∎

**उदाहरण 11.6 (आवेशित होते संधारित्र के भीतर क्षेत्र).**

$R$ त्रिज्या की वृत्ताकार प्लेटें, अंतराल $d \ll R$, जो धारा $I$ से आवेशित होती हैं: उनके बीच $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ एकसमान है और $\dd E/
\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2$ से बढ़ता है। सममिति से $\vect B = B(r)\vect e_\theta$; और $r < R$ त्रिज्या के किसी वृत्त पर ऐंपियर–मैक्सवेल (उसे कोई चालन-धारा पार नहीं करती): $2\pi rB
= \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\,\dd E/\dd t$, अतः $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ — अर्थात् चक्रिका पर फैली एकसमान धारा $I$ का क्षेत्र, जो $r = R$ पर बाहर के तार के $\mu_0I/2\pi r$ से संतत मिलता है। $I = 1\,\mathrm{A}$, $R = 5\,\mathrm{cm}$ के लिए: $B(R) =
4\,\text{µ}\mathrm{T}$, जो नापा जा सकता है; अर्थात् मैक्सवेल का पद असली है।

![आवेशित होता कोई संधारित्र: अंतराल को कोई आवेश पार नहीं करता, पर उसके चारों ओर के किसी पाश से विद्युत अभिवाह बढ़ता जाता है; और मैक्सवेल का पद उस पाश को B का वही परिचालन दे देता है जो तार के जारी रहने पर मिलता — अर्थात् विस्थापन धारा।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-a5cb03976630.svg)

*आवेशित होता कोई संधारित्र: अंतराल को कोई आवेश पार नहीं करता, पर उसके चारों ओर के किसी पाश से विद्युत अभिवाह बढ़ता जाता है; और मैक्सवेल का पद उस पाश को $\vect B$ का वही परिचालन दे देता है जो तार के जारी रहने पर मिलता — अर्थात् [विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)।*

**टिप्पणी 11.7 (रैखिकता; समीकरण क्या कहते हैं).**

समीकरण क्षेत्रों और उनके स्रोतों में रैखिक हैं: अतः क्षेत्र अध्यारोपित होते हैं। इनमें से दो (गाउस, फ़ैराडे–अभिवाह) कोई स्रोत नहीं ढोते और संरचना कहते हैं — अर्थात् विद्युत क्षेत्र-रेखाएँ आवेशों पर शुरू और समाप्त होती हैं, और चुंबकीय क्षेत्र-रेखाएँ कभी समाप्त नहीं होतीं; बाक़ी दो कहते हैं कि आवेश और धाराएँ, तथा हर क्षेत्र का परिवर्तन, क्षेत्रों को कैसे बनाते हैं। और साथ पढ़ने पर: बदलता $\vect B$ परिचालित $\vect E$ बनाता है और बदलता $\vect E$ परिचालित $\vect B$: अतः दोनों बिना कहीं किसी आवेश के एक-दूसरे को थामे रख सकते हैं — यही [अध्याय 13](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/13-plane-electromagnetic-waves-and-polarization#ch-b2-plane-waves-polarization) की तरंग है, और [विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) ही उसे संभव बनाती है।

## 11.3 विभव

**प्रतिज्ञप्ति 11.8 (अदिश और सदिश विभव).**

चूँकि $\operatorname{div}\vect B = 0$ और $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t
\vect B$, अतः क्षेत्र किसी *[सदिश विभव](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $\vect A$ और किसी *[अदिश विभव](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $V$ से व्युत्पन्न होते हैं:

$$
\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A , \qquad
\vect E = -\operatorname{\vect{grad}}V - \frac{\partial\vect A}{\partial t} ,
$$

और वे किसी *गेज रूपांतरण* $\vect A \to \vect A +
\operatorname{\vect{grad}}\chi$, $V \to V - \partial_t\chi$ तक ही तय होते हैं, जो क्षेत्रों को अपरिवर्तित छोड़ देता है। *[कूलॉम गेज](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $\operatorname{div}\vect A = 0$ में गाउस का नियम *[प्वासों समीकरण](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)*

$$
\Delta V = -\frac\rho{\varepsilon_0} ,
$$

बन जाता है, और स्थायी दशा में ऐंपियर का नियम $\Delta\vect A = -\mu_0\vect j$। स्थैतिकी में $V$ वर्ष 1 के खंड का स्थिरवैद्युत विभव है।

**उपपत्ति.** कोई अपसरण-रहित क्षेत्र कोई [कर्ल](#def-b2-maxwell-equations-operators) होता है (स्वीकृत, और उसी तरह उल्टा कथन भी कि कोई कर्ल-रहित क्षेत्र कोई [प्रवणता](#def-b2-maxwell-equations-operators) होता है, दोनों सरल संबद्ध प्रदेशों के लिए वर्ष 2 के गणित-खंड से); तब $\operatorname{\vect{curl}}
(\vect E + \partial_t\vect A) = \vect 0$, अतः $\vect E + \partial_t\vect A$ कोई [प्रवणता](#def-b2-maxwell-equations-operators) है। गेज: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}\chi = \vect 0$, और $\partial_t\operatorname{\vect{grad}}\chi$ वाले पद $\vect E$ में कट जाते हैं। प्वासों: $\operatorname{div}
\vect E = -\Delta V - \partial_t\operatorname{div}\vect A$। स्थैतिकी: $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A
= \mu_0\vect j$। ∎

**उदाहरण 11.9 (दो सदिश विभव).**

कोई एकसमान क्षेत्र $\vect B_0$ $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ से व्युत्पन्न होता है (जाँचिए: $\operatorname{\vect{curl}}(\tfrac12\vect B_0\wedge\vect r) = \vect B_0$, और $\operatorname{div}\vect A = 0$); और किसी अनंत परिनालिका के भीतर यह $A_\theta =
Br/2$ है, बाहर $A_\theta = BR^2/2r$ — अर्थात् ऐसा विभव जो वहाँ लुप्त नहीं होता जहाँ क्षेत्र लुप्त होता है, और जिसका किसी पाश पर परिचालन उससे होकर $\vect B$ का अभिवाह है: $\oint\vect A\cdot\dd\vect l = \Phi_B$ (स्टोक्स)। तब फ़ैराडे का नियम प्रेरित क्षेत्र के लिए $\vect E = -\partial_t\vect A$ पढ़ा जाता है।

## 11.4 अंतरापृष्ठ पर क्षेत्र

**प्रतिज्ञप्ति 11.10 (सीमा-संबंध).**

पृष्ठ [आवेश घनत्व](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/10-charges-currents-and-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) $\sigma$ और पृष्ठ [धारा घनत्व](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/10-charges-currents-and-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) $\vect j_s$ ($\mathrm{A}/\mathrm{m}$) ढोते किसी पृष्ठ के दोनों ओर, जहाँ $\vect n_{12}$ माध्यम 1 से माध्यम 2 की ओर मात्रक अभिलंब है,

$$
\vect E_2 - \vect E_1 = \frac\sigma{\varepsilon_0}\,\vect n_{12} , \qquad
\vect B_2 - \vect B_1 = \mu_0\,\vect j_s\wedge\vect n_{12} :
$$

होता है: अर्थात् $\vect E$ का स्पर्शीय घटक और $\vect B$ का अभिलंब घटक संतत रहते हैं; $\vect E$ का अभिलंब घटक $\sigma/\varepsilon_0$ से कूदता है, और $\vect B$ का स्पर्शीय घटक $\mu_0j_s$ से। किसी पूर्ण चालक के पृष्ठ पर (भीतर $\vect E = \vect B = \vect 0$, जैसा [अध्याय 15](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/15-reflection-and-transmission-at-interfaces#ch-b2-wave-interfaces) की दशाओं में), $\vect E$ अभिलंब और $\sigma\vect n/
\varepsilon_0$ के बराबर होता है, तथा $\vect B$ स्पर्शीय और $\mu_0\vect j_s\wedge\vect n$ के बराबर।

**उपपत्ति.** अभिलंब घटक: पृष्ठ पर टिकी किसी चपटी डिबिया पर, जिसका क्षेत्रफल $\dd S$ हो और ऊँचाई लुप्त होती हो, गाउस का नियम और अभिवाह-नियम: $(E_{2n}
- E_{1n})\dd S = \sigma\dd S/\varepsilon_0$, $(B_{2n} - B_{1n})\dd S = 0$। स्पर्शीय घटक: पृष्ठ पर टिके किसी छोटे आयत पर, जिसकी लंबाई $\dd l$ हो और ऊँचाई लुप्त होती हो, फ़ैराडे और ऐंपियर के नियम: आयत से होकर $\partial_t\vect B$ और $\partial_t\vect E$ के अभिवाह उसके क्षेत्रफल के साथ लुप्त हो जाते हैं, पर कोई [पृष्ठ धारा](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) $j_s\,\dd l$ उसे पार करती है: अतः $(E_{2t} - E_{1t})\dd l = 0$, $(B_{2t} - B_{1t})\dd l = \mu_0j_s\dd l$, उस स्पर्शीय दिशा के लिए जो $\vect j_s$ के लंबवत है। ∎

![सीमा-संबंध समाकल नियमों को अंतरापृष्ठ पर टिकी किसी चपटी डिबिया और किसी पतले पाश पर लगाने से आते हैं: पृष्ठ आवेश अभिलंब E को कुदा देता है, पृष्ठ धारा स्पर्शीय B को; और शेष घटक संतत रहते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-536ef79f43d2.svg)

*सीमा-संबंध समाकल नियमों को अंतरापृष्ठ पर टिकी किसी चपटी डिबिया और किसी पतले पाश पर लगाने से आते हैं: पृष्ठ आवेश अभिलंब $\vect E$ को कुदा देता है, [पृष्ठ धारा](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) स्पर्शीय $\vect B$ को; और शेष घटक संतत रहते हैं।*

**उदाहरण 11.11 (आवेशित समतल, धारा-चादर, परिनालिका).**

आकाश में अकेला $\sigma$ वाला कोई समतल: सममिति से उसके दोनों ओर $\vect E = \pm E\vect n$, और उछाल $2E = \sigma/\varepsilon_0$ से $E = \sigma/2\varepsilon_0$ मिलता है — अर्थात् वर्ष 1 का परिणाम एक ही पंक्ति में। $j_s$ धारा की कोई समतल चादर: $B =
\mu_0j_s/2$ हर ओर, और परस्पर विपरीत। प्रति मीटर $n$ फेरों की कोई लंबी परिनालिका, जो $I$ ढोती हो, $j_s = nI$ की कोई बेलनाकार धारा-चादर है: और उसके दोनों ओर उछाल $\mu_0nI$, तथा बाहर $B = 0$, से भीतर $B = \mu_0nI$ मिलता है।

## 11.5 अर्ध-स्थायी दशाएँ

**परिभाषा 11.12 (अर्ध-स्थायी सन्निकटन).**

$L$ आकार का कोई निकाय, जो आवृत्ति $f$ पर चलाया जाए, तब *अर्ध-स्थायी* होता है जब $L \ll \lambda = c/f$: तब क्षेत्रों को उसे पार करने में जो समय $L/c$ लगता है वह आवर्तकाल के सामने नगण्य है, और उसके सारे बिंदु स्रोतों को एक ही क्षण पर “देखते” हैं। दो सीमाएँ काम आती हैं:

- *चुंबकीय* अर्ध-स्थायी दशा (धाराओं, कुंडलियों, परिणामित्रों, प्रेरण वाले परिपथ): यहाँ ऐंपियर के नियम से [विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) छोड़ दी जाती है, $\operatorname{\vect{curl}}\vect B  = \mu_0\vect j$ (अतः $\operatorname{div}\vect j = 0$ और धाराएँ बंद परिपथों में बहती हैं), जबकि फ़ैराडे का नियम पूरा रखा जाता है;
- *वैद्युत* अर्ध-स्थायी दशा (कोई आवेशित होता संधारित्र): यहाँ फ़ैराडे का पद छोड़ दिया जाता है, $\vect E$ तात्क्षणिक आवेशों का स्थिरवैद्युत क्षेत्र है, जबकि $\vect B$ निकालने के लिए [विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) रखी जाती है।

**औचित्य.** चुंबकीय दशा में किसी चालक में ऐंपियर के नियम के दोनों पदों की तुलना कीजिए: $\mu_0\varepsilon_0\partial_t E \sim \mu_0\varepsilon_0\omega E$ बनाम $\mu_0\gamma E$, अर्थात् अनुपात $\varepsilon_0\omega/\gamma = \omega\tau_r \sim 10^{-17}$, ताँबे में $50\,\mathrm{Hz}$ पर; और चालक के बाहर [विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) $\varepsilon_0\omega E$ कोटि की है, जहाँ $E \sim \omega AB$, अर्थात् चालन-धारा के प्रभाव से $(\omega L/c)^2 = (L/\lambda)^2 \times 4\pi^2$ गुना छोटी। वैद्युत दशा में प्रेरित क्षेत्र $\omega BL \sim \omega^2\varepsilon_0\mu_0L^2E$ $E$ से उसी $(L/\lambda)^2$ गुना छोटा है। ∎

**उदाहरण 11.13 (परिपथ और ऐंटेना).**

$50\,\mathrm{Hz}$ का कोई मुख्य-लाइन परिपथ ($\lambda = 6000\,\mathrm{km}$) किसी देश के आकार तक अर्ध-स्थायी रहता है — और इसी से किरखोफ़ के नियम तथा परिणामित्र चलते हैं। $10\,\mathrm{cm}$ का कोई परिपथ लगभग $100\,\mathrm{MHz}$ तक अर्ध-स्थायी है; और $1\,\mathrm{GHz}$ ($\lambda = 30\,\mathrm{cm}$) पर उसके तार ऐंटेना बन जाते हैं, धाराएँ तार के अनुदिश भिन्न हो जाती हैं, और परिपथ विकिरण करने लगता है: यही [अध्याय 17](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/17-dipole-radiation-and-scattering#ch-b2-dipole-radiation) का और सूक्ष्मतरंग-अभिकल्प का प्रदेश है, जहाँ किसी पट्ट पर कोई पथ एक [संचरण-रेखा](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) होता है।

![आवृत्ति के सामने आकार: रेखा L = /10 (बिंदुदार) से नीचे कोई उपकरण अर्ध-स्थायी है और परिपथ के नियम चलते हैं; और L = के पास तथा उससे ऊपर क्षेत्र संचरित होते हैं, और उपकरण विकिरण करता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-955308b99f10.svg)

*आवृत्ति के सामने आकार: रेखा $L = \lambda/10$ (बिंदुदार) से नीचे कोई उपकरण अर्ध-स्थायी है और परिपथ के नियम चलते हैं; और $L = \lambda$ के पास तथा उससे ऊपर क्षेत्र संचरित होते हैं, और उपकरण विकिरण करता है।*

**विधि 11.14 (स्थानिक समीकरणों का प्रयोग).**

(1) क्षेत्रों की दिशा और चर तय करने के लिए स्रोतों की सममितियाँ और अपरिवर्त्यताएँ काम में लीजिए (जैसा वर्ष 1 के खंड में)। (2) रूप चुनिए: जहाँ पर्याप्त सममिति हो वहाँ समाकल (किसी सुचुने पृष्ठ या पाश पर गाउस, ऐंपियर); और जहाँ कोई अवकल समीकरण चाहिए वहाँ स्थानिक ($V$ के लिए प्वासों, क्षेत्रों के लिए विसरण या तरंग समीकरण)। (3) किसी समय-निर्भर समस्या में दशा तय कीजिए: स्थैतिक, अर्ध-स्थायी चुंबकीय या वैद्युत, या पूरा मैक्सवेल। (4) अंतरापृष्ठों पर सीमा-संबंध लीजिए — केवल वहीं पृष्ठ आवेश और धाराएँ आती हैं। (5) $\operatorname{div}\vect B = 0$ और विमाएँ जाँचिए।

## 11.6 अभ्यास

**अभ्यास 11.1 ★.**

इनका [अपसरण](#def-b2-maxwell-equations-operators) और [कर्ल](#def-b2-maxwell-equations-operators) निकालिए: (क) $\vect A = (x, y, z)$; (ख) $\vect A = (-y, x, 0)$; (ग) $\vect A = (yz, zx, xy)$; (घ) $\vect A = \vect r/r^3$ (त्रिज्यीय सूत्र लीजिए, $r \ne 0$); (ङ) $\vect A = (0, 0, x^2)$। इनमें से कौन [प्रवणताएँ](#def-b2-maxwell-equations-operators) हैं, कौन [कर्ल](#def-b2-maxwell-equations-operators), और कौन दोनों में से कुछ नहीं?

**हल — अभ्यास 11.1.**

(क) $\operatorname{div} = 3$, $\operatorname{\vect{curl}} = \vect 0$: अर्थात् $r^2/2$ की [प्रवणता](#def-b2-maxwell-equations-operators)। (ख) $0$ और $(0, 0, 2)$: कोई [कर्ल](#def-b2-maxwell-equations-operators) ($-\tfrac12(x^2 + y^2)\vect e_z$ का), पर कोई [प्रवणता](#def-b2-maxwell-equations-operators) नहीं। (ग) $0$ और $\vect 0$: अर्थात् $xyz$ की [प्रवणता](#def-b2-maxwell-equations-operators) (और कोई [कर्ल](#def-b2-maxwell-equations-operators) भी)। (घ) $\frac1{r^2}\partial_r(r^2/r^2) = 0$, और [कर्ल](#def-b2-maxwell-equations-operators) $\vect 0$: अर्थात् $-1/r$ की [प्रवणता](#def-b2-maxwell-equations-operators)। (ङ) $0$ और $(0, -2x, 0)$: कोई [कर्ल](#def-b2-maxwell-equations-operators), पर कोई [प्रवणता](#def-b2-maxwell-equations-operators) नहीं।

**अभ्यास 11.2 ★.**

(क) मैक्सवेल के चारों समीकरणों के हर पद की विमाएँ जाँचिए। (ख) $1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ निकालिए। (ग) चालन-धारा घनत्व से विस्थापन-धारा घनत्व का अनुपात: ताँबे में $50\,\mathrm{Hz}$ पर, समुद्र के पानी ($\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) में $1\,\mathrm{GHz}$ पर, और काँच ($\gamma =
1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, सरलता के लिए $\varepsilon_0$ लेकर) में $50\,\mathrm{Hz}$ पर: हर एक के लिए “चालक” कौन है?

**हल — अभ्यास 11.2.**

(क) गाउस और फ़ैराडे: दोनों पक्ष $\mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}$ में (कोई [आवेश घनत्व](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/10-charges-currents-and-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) बटा $\varepsilon_0$, कोई क्षेत्र-प्रवणता, कोई क्षेत्र बटा समय); ऐंपियर: दोनों पक्ष $\mathrm{T}/\mathrm{m}$ में। (ख) $1/\sqrt{8.85 \times 10^{-12} \times 1.257 \times 10^{-6}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ग) अनुपात $\varepsilon_0\omega/\gamma$: ताँबा $5 \times 10^{-20}$; $1\,\mathrm{GHz}$ पर समुद्र का पानी $1 \times 10^{-2}$ (बस, अब भी चालक); $50\,\mathrm{Hz}$ पर काँच $3 \times 10^3$: अर्थात् कोई परावैद्युत, जहाँ [विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) भारी पड़ती है।

**अभ्यास 11.3 ★.**

वृत्ताकार प्लेटों ($R = 10\,\mathrm{cm}$, $d = 2\,\mathrm{mm}$) वाला कोई संधारित्र $I = 0.5\,\mathrm{A}$ से आवेशित किया जाता है। $E$ के बदलने की दर; विस्थापन-धारा घनत्व; $B$, $r = 5\,\mathrm{cm}$ पर और $r = 20\,\mathrm{cm}$ पर (प्लेटों के ठीक बीच के तल में); और अंतिम की उसी दूरी पर खिलाते तार के क्षेत्र से तुलना कीजिए।

**हल — अभ्यास 11.3.**

$\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.8 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $j_d = I/\pi R^2 =
16\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $B(5\,\mathrm{cm}) = \mu_0Ir/2\pi R^2 = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$; $B(20\,\mathrm{cm}) =
\mu_0I/2\pi r = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ — अर्थात् ठीक तार का क्षेत्र।

**अभ्यास 11.4 ★.**

(क) $\vect E = kx\,\vect e_x$ किसी प्रदेश को भरता है: वहाँ [आवेश घनत्व](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/10-charges-currents-and-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities)। (ख) $R$ त्रिज्या के किसी गोले के भीतर $\vect E = (\rho_0r/3\varepsilon_0)\vect e_r$: त्रिज्यीय [अपसरण](#def-b2-maxwell-equations-operators) से जाँचिए कि $\rho = \rho_0$, और गाउस के समाकल नियम से बाहर का क्षेत्र फिर से पाइए। (ग) $\vect B = B_0(y/a)\vect e_x$: क्या यह कोई संभव चुंबकीय क्षेत्र है? उसे कौन-सा [धारा घनत्व](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/10-charges-currents-and-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) थामे रखता है?

**हल — अभ्यास 11.4.**

(क) $\rho = \varepsilon_0k$। (ख) $\frac1{r^2}\partial_r(\rho_0r^3/3\varepsilon_0) = \rho_0/\varepsilon_0$; और बाहर, गाउस से: $E = \rho_0R^3/3\varepsilon_0r^2$। (ग) $\operatorname{div}\vect B = 0$: हाँ; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(B_0/a)\vect e_z$: अतः $\vect j = -(B_0/\mu_0a)\vect e_z$, अर्थात् कोई एकसमान धारा-चादर, जिसकी मोटाई $y$ के अनुदिश है।

**अभ्यास 11.5 ★★.**

*[सदिश विभव](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)।* (क) दिखाइए कि $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ $\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \vect B_0$ और $\operatorname{div}\vect A = 0$ देता है। (ख) वही $\vect A' = B_0x\,\vect e_y$ भी देता है: वह गेज-फलन $\chi$ निकालिए जिसके लिए $\vect A' = \vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$। (ग) $R$ त्रिज्या की परिनालिका, भीतर क्षेत्र $B$: $A_\theta = Br/2$ ($r < R$) और $BR^2/2r$ ($r > R$) जाँचिए, $(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$ से; और $R$ पर संततता। (घ) $\vect A$ का परिचालन, $r > R$ त्रिज्या के किसी वृत्त पर, और $\vect B$ का अभिवाह: इससे किसी ऐसी परिनालिका के बाहर के पाश में प्रेरित विद्युत वाहक बल के बारे में क्या पता चलता है जिसकी धारा बदलती हो?

**हल — अभ्यास 11.5.**

(क) $\vect A = \tfrac12(B_yz - B_zy, B_zx - B_xz, B_xy - B_yx)$: $(\operatorname{\vect{curl}}
\vect A)_x = \tfrac12(B_x + B_x) = B_x$, इत्यादि; और $\operatorname{div}\vect A = 0$। (ख) $\vect A' - \vect A = \tfrac12B_0(y, x, 0) = \operatorname{\vect{grad}}(\tfrac12B_0xy)$। (ग) $\frac1r\partial_r(Br^2/2) = B$; $\frac1r\partial_r(BR^2/2) = 0$; और दोनों $BR/2$ के बराबर, $R$ पर। (घ) $2\pi r\cdot BR^2/2r = \pi R^2B = \Phi$: अर्थात् परिनालिका के बाहर का कोई पाश, जहाँ $\vect B = \vect 0$, फिर भी $e = -\dd\Phi/\dd t$ अनुभव करता है — $\vect E =
-\partial_t\vect A$ से होकर, जो वहाँ लुप्त नहीं होता।

**अभ्यास 11.6 ★★.**

*सीमा-संबंध।* (क) स्थिरवैद्युत साम्य में कोई चालक अपने पृष्ठ पर $\sigma$ ढोता है: ठीक बाहर क्षेत्र (उछाल से, और भीतर $\vect E = \vect 0$ लेकर); $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ के लिए। (ख) $+\sigma$ और $-\sigma$ वाले दो समांतर समतल: उछालों से हर जगह क्षेत्र। (ग) किसी लंबी परिनालिका ($n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$, $I = 5\,\mathrm{A}$) को किसी धारा-चादर मानकर: $j_s$, $B$ का उछाल, और भीतर $B$। (घ) कोई टोरॉइडी कुंडली: उसी उछाल से बाहर $B$ शून्य और भीतर $\mu_0NI/2\pi r$ क्यों है?

**हल — अभ्यास 11.6.**

(क) $E = \sigma/\varepsilon_0 = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, अभिलंब। (ख) बीच में $\sigma/\varepsilon_0$, और बाहर शून्य (हर उछाल $\pm\sigma/\varepsilon_0$ जोड़ता है)। (ग) $j_s = nI = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, उछाल $\mu_0j_s = 12.6\,\mathrm{mT} = B$ भीतर। (घ) टोरस के बाहर का कोई पाश कोई कुल धारा नहीं घेरता, अतः वहाँ $B = 0$; और भीतर ऐंपियर $\mu_0NI/2\pi r$ देता है, तथा वेष्टन के दोनों ओर का उछाल, $\mu_0j_s = \mu_0NI/2\pi r$, इससे मेल खाता है।

**अभ्यास 11.7 ★★.**

*एक विमा में प्वासों।* $x = 0$ ($V = 0$) और $x = d$ ($V = U$) पर लगे दो समतल इलेक्ट्रोडों के बीच के अंतराल को कोई एकसमान [आवेश घनत्व](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/10-charges-currents-and-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) $\rho_0$ भरता है (कोई आकाश आवेश)। (क) $V(x)$ के लिए [प्वासों समीकरण](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) हल कीजिए। (ख) क्षेत्र $E(x)$; और यदि $\rho_0 > 0$ तथा बड़ा हो तो वह कहाँ शून्य है? (ग) सीमा-संबंध से दोनों इलेक्ट्रोडों पर पृष्ठ आवेश। (घ) $\rho_0 = 0$ लेकर संधारित्र फिर से पाइए; और $U = 0$ लेकर $V$ खींचिए।

**हल — अभ्यास 11.7.**

(क) $V'' = -\rho_0/\varepsilon_0$: $V = -\rho_0x^2/2\varepsilon_0 + (U/d + \rho_0d/2\varepsilon_0)x$। (ख) $E = \rho_0x/\varepsilon_0 - U/d - \rho_0d/2\varepsilon_0$, जो $x_0 = d/2 + \varepsilon_0U/\rho_0d$ पर शून्य है — अर्थात् बड़े आकाश आवेश के लिए लगभग बीच में। (ग) $\sigma(0) = \varepsilon_0E(0^+) =
-\varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$, $\sigma(d) = -\varepsilon_0E(d^-) = \varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$: मिलकर $-\rho_0d$, जो आकाश आवेश को उदासीन कर देते हैं। (घ) $\rho_0 = 0$: रैखिक $V$, एकसमान $E$; और $U = 0$: कोई परवलय, जिसका शिखर $d/2$ पर है।

**अभ्यास 11.8 ★★.**

*अर्ध-स्थायी या नहीं।* (क) $50\,\mathrm{Hz}$, $1\,\mathrm{MHz}$, $100\,\mathrm{MHz}$, $2.4\,\mathrm{GHz}$ पर $\lambda$। (ख) $10\,\mathrm{cm}$ का कोई परिपथ किस आवृत्ति तक अर्ध-स्थायी है (कसौटी $L < \lambda/10$)? कोई $1\,\mathrm{cm}$ की चिप? कोई $1000\,\mathrm{km}$ का विद्युत-ग्रिड? (ग) $1\,\mathrm{MHz}$ पर $R = 5\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या के किसी संधारित्र में मुख्य क्षेत्र से प्रेरित विद्युत क्षेत्र (पिछले अभ्यासों के बदलते $\vect B$ से) का अनुपात आँकिए: $(\omega R/c)^2
/4$। (घ) किसी महाद्वीप-भर के ग्रिड की मुख्य आवृत्ति की समस्या अर्ध-स्थायी क्यों है, जबकि ग्रिड $1000\,\mathrm{km}$ चौड़ा है?

**हल — अभ्यास 11.8.**

(क) $6000\,\mathrm{km}$, $300\,\mathrm{m}$, $3\,\mathrm{m}$, $12.5\,\mathrm{cm}$। (ख) $f < c/10L$: $300\,\mathrm{MHz}$; $3\,\mathrm{GHz}$; $30\,\mathrm{Hz}$। (ग) $(2\pi \times 10^6 \times 0.05/3 \times 10^8)^2/4 =
3 \times 10^{-7}$। (घ) कड़ाई से यह अर्ध-स्थायी नहीं है: $50\,\mathrm{Hz}$ पर $1000\,\mathrm{km}$ का ग्रिड किसी तरंगदैर्घ्य का छठा भाग है, उस पर कलाएँ भिन्न होती हैं, और लंबी लाइनें संचरण-रेखाओं की तरह बरती जाती हैं — यद्यपि उसका हर स्थानीय परिपथ अर्ध-स्थायी है।

**अभ्यास 11.9 ★★.**

दिखाइए कि [विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) के बिना ऐंपियर का नियम, $\operatorname{\vect{curl}}
\vect B = \mu_0\vect j$, जब भी $\partial_t\rho
\ne 0$ हो, आवेश-संरक्षण का खंडन करता है। [अभ्यास 11.3](#exo-b2-maxwell-equations-3) के संधारित्र में $\operatorname{div}\vect j$ आँकिए, $e = 0.1\,\mathrm{mm}$ मोटाई की किसी प्लेट पर औसत लेकर (जहाँ धारा $I$ रुकती है), और उससे मिलता $\partial_t\rho$।

**हल — अभ्यास 11.9.**

$\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = 0$ $\operatorname{div}\vect j =
0$ माँगता, अर्थात् हर जगह $\partial_t\rho = 0$। प्लेट (आयतन $\pi R^2e$) में धारा $I$ घुसती है और कुछ निकलता नहीं: $\langle\operatorname{div}\vect j\rangle =
-I/\pi R^2e = -1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{3}$, $\partial_t\rho = +1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$।

**अभ्यास 11.10 ★★★.**

*बीटाट्रॉन।* कोई एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B(t)\vect e_z$ $R$ त्रिज्या के किसी बेलन को भरता है और $\dd B/\dd t = \dot B$ से बढ़ता है। (क) सममिति से $\vect E = E_\theta(r)\vect e_\theta$: समाकल फ़ैराडे नियम से $E_\theta$ निकालिए, $r < R$ और $r > R$ के लिए। (ख) कहीं कोई आवेश नहीं है: बंद रेखाओं वाले किसी विद्युत क्षेत्र पर टिप्पणी दीजिए। (ग) $r_0 < R$ त्रिज्या के वृत्त पर कोई इलेक्ट्रॉन प्रति चक्कर कितनी ऊर्जा पाता है? $\dot B = 10\,\mathrm{T}/\mathrm{s}$, $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ के लिए: प्रति चक्कर ऊर्जा eV में; और $20\,\mathrm{MeV}$ के लिए आवश्यक चक्कर। (घ) कक्षा-त्रिज्या के अचर रहने के लिए संवेग $p = eBr_0$ (चुंबकीय बल से) उतना ही बढ़ना चाहिए जितना प्रेरित क्षेत्र से पाई ऊर्जा माँगती है: प्रतिबंध $B(r_0) = \tfrac12\langle B\rangle_{\text{चक्रिका}}$ दिखाइए — अर्थात् बीटाट्रॉन प्रतिबंध।

**हल — अभ्यास 11.10.**

(क) $2\pi rE_\theta = -\pi r^2\dot B$: अतः भीतर $E_\theta = -r\dot B/2$, बाहर $-R^2\dot B/2r$। (ख) उसकी रेखाएँ बंद वृत्त हैं: वह कोई [प्रवणता](#def-b2-maxwell-equations-operators) नहीं है, वह आवेशों को किसी पाश पर घुमाता है — अर्थात् कोई विद्युत्वाहक क्षेत्र। (ग) $e\cdot2\pi r_0
|E_\theta| = e\pi r_0^2\dot B$: प्रति चक्कर $\pi \times 0.25 \times 10 = 7.9\,\mathrm{eV}$; और $2.5 \times 10^6$ चक्कर। (घ) $p = eB(r_0)r_0$ से $\dot p = er_0\dot B(r_0)$, जबकि प्रेरित क्षेत्र $\dot p = e|E_\theta| = e\dot\Phi/2\pi r_0$ देता है: अतः $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 =
\tfrac12\langle B\rangle$।

**अभ्यास 11.11 ★★★.**

*मैक्सवेल की तरंगें।* निर्वात में ($\rho = 0$, $\vect j = \vect 0$): (क) [मैक्सवेल–फ़ैराडे समीकरण](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) का [कर्ल](#def-b2-maxwell-equations-operators) लीजिए, $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}} = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div} - \Delta$ तथा शेष समीकरण काम में लेकर $\Delta\vect E = \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t^2\vect E$ पाइए। (ख) $\vect B$ के लिए वही। (ग) यह तीन विमाओं में [दालांबेर समीकरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#thm-b2-waves-on-strings-equation) है: चाल? उसे $\varepsilon_0$ और $\mu_0$ से निकालिए। (घ) इस अंक ने मैक्सवेल को क्यों मना लिया कि प्रकाश विद्युत्चुंबकीय है, और उन्होंने वेबर तथा कोलराउश का कौन-सा मापन काम में लिया?

**हल — अभ्यास 11.11.**

(क) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\Delta\vect E$ (क्योंकि $\operatorname{div}
\vect E = 0$) $= -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\vect E$। (ख) वही, भूमिकाएँ बदलकर। (ग) $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 3.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (घ) वेबर और कोलराउश ने आवेश के स्थिरवैद्युत और विद्युत्चुंबकीय मात्रकों का अनुपात नापा था, $3.1 \times 10^8$ m/s; और फ़िज़ो ने प्रकाश $3.15 \times 10^8$ m/s पर नापा था: “हम इस निष्कर्ष से मुश्किल से बच सकते हैं कि प्रकाश उसी माध्यम के अनुप्रस्थ आंदोलनों से बना है”।

**अभ्यास 11.12 ★★★.**

*नीची आवृत्ति पर किसी चालक में क्षेत्र।* चुंबकीय अर्ध-स्थायी दशा में किसी ओमी चालक ($\vect j = \gamma\vect E$) में: (क) ऐंपियर के नियम का [कर्ल](#def-b2-maxwell-equations-operators) लीजिए और फ़ैराडे का नियम काम में लेकर दिखाइए कि $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\,
\partial_t\vect B$; यह कोई विसरण समीकरण क्यों है? (ख) $\vect B$ को $d$ गहराई तक घुसने का अभिलक्षणिक समय: $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$; $1\,\mathrm{cm}$ की किसी ताँबे की पट्टी के लिए और पृथ्वी के क्रोड ($\gamma \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $d \approx 3000\,\mathrm{km}$) के लिए अंक। (ग) आवृत्ति $f$ पर, एक आवर्तकाल में पहुँची गहराई: दिखाइए कि वह $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega}$ कोटि की है; और ताँबे के लिए $50\,\mathrm{Hz}$ तथा $1\,\mathrm{MHz}$ पर मान ([अध्याय 14](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#ch-b2-waves-in-media) की [त्वचा गहराई](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex))। (घ) (ख) से पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के समय-परिवर्तनों के बारे में क्या निकलता है?

**हल — अभ्यास 11.12.**

(क) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\Delta\vect B = \mu_0\gamma\operatorname{\vect{curl}}
\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect B$: अतः $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\partial_t\vect B$, अर्थात् ऊष्मा-समीकरण का रूप, जिसकी विसरणशीलता $1/\mu_0\gamma$ है। (ख) $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$: पट्टी के लिए $7.5\,\mathrm{ms}$; और क्रोड के लिए $4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^5 \times 9 \times 10^{12} = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, अर्थात् दो लाख वर्ष। (ग) $\mu_0\gamma\delta^2 \sim 2/\omega$: अतः $\delta = \sqrt{2/\mu_0
\gamma\omega}$: $50\,\mathrm{Hz}$ पर $9\,\mathrm{mm}$, $1\,\mathrm{MHz}$ पर $65\,\text{µ}\mathrm{m}$। (घ) क्रोड का क्षेत्र विसरण से $10^5$ वर्ष से कम में बदल ही नहीं सकता: अतः प्रेक्षित दीर्घकालिक परिवर्तन और उलटाव चालक तरल की गति माँगते हैं — अर्थात् कोई डायनेमो।

## 11.7 समस्या: संधारित्र, बीटाट्रॉन और विभव

**समस्या 11.1.**

सप्ताहांत समस्या — मैक्सवेल के समीकरण काम पर: किसी एक आवेशित होते संधारित्र में, उस त्वरक में जो अकेले फ़ैराडे के नियम से चलता है, और उन विभवों में जो उन्हें हल करते हैं

**भाग I — आवेशित होता संधारित्र।** वृत्ताकार प्लेटें, त्रिज्या $R = 10\,\mathrm{cm}$, अंतराल $d = 1.0\,\mathrm{mm}$, हवा; और अक्ष के अनुदिश खिलाते तार में धारा $I(t) = I_0\cos\omega t$, जहाँ $I_0 = 1.0\,\mathrm{A}$, $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$। किनारे के प्रभाव छोड़ दिए गए हैं।

1. प्लेटों के बीच आवेश $Q(t)$ और क्षेत्र $E(t)$ ; तथा $E$ का आयाम।
2. प्लेटों के बीच विस्थापन-धारा घनत्व; और जाँचिए कि किसी प्लेट से उसका अभिवाह $I(t)$ के बराबर है।
3. प्लेटों के बीच चुंबकीय क्षेत्र $B(r, t)$ , $r < R$ के लिए, समाकल ऐंपियर–मैक्सवेल नियम से; और $r = R$ पर आयाम।
4. $r > R$ के लिए क्षेत्र (अब भी प्लेटों के तलों के बीच): उसी $r$ पर तार के क्षेत्र से तुलना कीजिए; क्या $r = R$ पर कोई असंततता है?
5. बदलता $\vect B$ फ़ैराडे के नियम से विद्युत क्षेत्र में कोई सुधार $\vect E_1$ प्रेरित करता है: $\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1  = -\partial_t\vect B$ से, $\vect E_1 = E_1(r)\vect e_z$ (अक्षीय) लेकर, दिखाइए कि $E_1(r) - E_1(0) = \dfrac{\mu_0\varepsilon_0r^2}4\,\dfrac{\dd^2E}{\dd t^2}$ , और $|E_1(R) - E_1(0)|/|E|$ आँकिए।
6. $1\,\mathrm{MHz}$ पर वैद्युत अर्ध-स्थायी विवेचन की मान्यता पर निष्कर्ष निकालिए; किस आवृत्ति पर यह सुधार $10\%$ तक पहुँच जाएगा? (यथार्थ हल कोई बेसेल फलन है: तब संधारित्र कोई गुहा बन चुका होता है।)
7. ऊर्जा: प्लेटों के बीच संचित विद्युत ऊर्जा $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ का अधिकतम मान; चुंबकीय ऊर्जा $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ , $E = 0$ वाले क्षण पर; और उनका अनुपात तथा प्रश्न 5 के आकलन से उसका संबंध।

**भाग II — बीटाट्रॉन।** कोई विद्युत्चुंबक सममित क्षेत्र $\vect B = B(r, t)\vect e_z$ बनाता है, जो $z$ अक्ष के परितः सममित है; और इलेक्ट्रॉन $r_0$ त्रिज्या के किसी निर्वात वलय में घूमते हैं।

8. समाकल रूप में मैक्सवेल–फ़ैराडे से दिखाइए कि कक्षा पर विद्युत क्षेत्र $E_\theta(r_0) = -\dfrac1{2\pi r_0}  \dfrac{\dd\Phi}{\dd t}$ है, जहाँ $\Phi$ कक्षा से होकर अभिवाह है।
9. किसी इलेक्ट्रॉन (आवेश $-e$ ) का स्पर्शीय गति-समीकरण: परिमाण में $\dd p/\dd t = eE_\theta$ ; और प्रति चक्कर पाई गई ऊर्जा $e\,|\dd\Phi/\dd t|$ ।
10. वृत्त पर त्रिज्यीय साम्य: $p = eB(r_0)r_0$ । $r_0$ के अचर रहने के लिए दिखाइए कि $B(r_0, t) = \Phi(t)/2\pi r_0^2$ , अर्थात् कक्षा पर क्षेत्र उसके भीतर के माध्य क्षेत्र का आधा होना चाहिए।
11. किसी एकसमान क्षेत्र से इलेक्ट्रॉन त्वरित क्यों नहीं किए जा सकते? यह प्रतिबंध व्यवहार में कैसे पूरा किया जाता है (ध्रुव-खंडों का आकार)?
12. $r_0 = 0.50\,\mathrm{m}$ , और $B(r_0)$ $5\,\mathrm{ms}$ में $0$ से $0.40\,\mathrm{T}$ तक चढ़ाया गया: अंतिम संवेग; अंतिम ऊर्जा (इन अति-आपेक्षिकीय इलेक्ट्रॉनों के लिए $E = pc$ लीजिए, $1\,\mathrm{MeV} = 1.6 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ ); प्रति चक्कर ऊर्जा और चक्करों की संख्या; और तय की गई दूरी।
13. वृत्त पर त्वरित होने पर इलेक्ट्रॉन विकिरण करते हैं ( [अध्याय 17](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/17-dipole-radiation-and-scattering#ch-b2-dipole-radiation) ): और यही बीटाट्रॉनों को कुछ सौ $\mathrm{MeV}$ तक सीमित रखता है। इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा अंततः कहाँ से आती है, और [मैक्सवेल के समीकरणों](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) के किस पद से होकर?
14. त्वरण के बाद इलेक्ट्रॉन किसी लक्ष्य पर फेंके जाते हैं और X-किरणें बनाते हैं: बीटाट्रॉन 1950 के दशक की विकिरण-चिकित्सा मशीन क्यों था, और उसकी जगह क्या ले आया?

**भाग III — विभव और प्वासों।**

15. $\vect E$ और $\vect B$ को $V$ तथा $\vect A$ के पदों में लिखिए, और जाँचिए कि तब मैक्सवेल–फ़ैराडे तथा मैक्सवेल–अभिवाह अपने आप संतुष्ट हो जाते हैं।
16. $a$ त्रिज्या का कोई गोला एकसमान घनत्व $\rho_0$ ढोता है: गोलीय सममिति में [प्वासों समीकरण](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) लिखिए, उसे भीतर और बाहर हल कीजिए (अनंत पर $V \to 0$ , तथा $V$ और $V'$ $a$ पर संतत), और वर्ष 1 के खंड के क्षेत्र फिर से पाइए।
17. गोले की स्थितिज ऊर्जा, $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau$ : मान $3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$ ; और किसी यूरेनियम नाभिक ( $Q = 92e$ , $a =  7.4\,\mathrm{fm}$ ) के लिए $\mathrm{MeV}$ में — अर्थात् वह ऊर्जा जो उसके टूटने पर निकलती है।
18. वैद्युत अर्ध-स्थायी दशा में भाग I के संधारित्र के लिए प्लेटों के बीच $V$ दीजिए। दिखाइए कि कोई *अक्षीय* [सदिश विभव](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) $A_z(r, t)\,\vect e_z$ , जिसके लिए $(\operatorname{\vect{curl}}  \vect A)_\theta = -\partial_rA_z$ , प्रश्न 3 का क्षेत्र $B_\theta$ फिर से देता है, और $A_z$ निकालिए, $r < R$ के लिए ( $A_z(0) = 0$ लीजिए)।
19. दिखाइए कि प्रश्न 5 का सुधार $\vect E_1$ ठीक-ठीक $-\partial_t\vect A$ है, उस $A_z$ के लिए, किसी अचर तक।
20. गेज: कूलॉम प्रतिबंध $\operatorname{div}\vect A = 0$ आपके $A_z(r)$ के लिए सही उतरता है — क्यों? और कौन-सा दूसरा $\vect A$ वही $\vect B$ देता?

**भाग IV — अंतरापृष्ठ और दशाएँ।**

21. अधिकतम $E$ वाले क्षण पर भाग I की प्लेटों पर पृष्ठ आवेश; और प्लेट के भीतरी फलक पर सीमा-संबंध जाँचिए (धातु के भीतर क्षेत्र शून्य)।
22. धारा प्लेट में अक्ष से किनारे तक त्रिज्यीय रूप से फैलती है: प्लेट में पृष्ठ [धारा घनत्व](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/10-charges-currents-and-conduction#def-b2-charges-currents-conduction-densities) $j_s(r)$ ; और सीमा-संबंध से प्लेट के बाहरी फलक के ठीक बाहर चुंबकीय क्षेत्र, जिसकी तुलना प्रश्न 3 में भीतरी ओर मिले क्षेत्र से कीजिए।
23. वर्गीकृत कीजिए: $1\,\mathrm{MHz}$ पर प्लेटें (वैद्युत अर्ध-स्थायी?), $20\,\mathrm{cm}$ का खिलाता तार-पाश (चुंबकीय अर्ध-स्थायी?), और वही संधारित्र $1\,\mathrm{GHz}$ पर; $L/\lambda$ से उचित ठहराइए।
24. बीटाट्रॉन के वलय में चुंबकीय [अर्ध-स्थायी सन्निकटन](#def-b2-maxwell-equations-arqs) इतना अच्छा क्यों है (आकार, $100\,\mathrm{Hz}$ की चढ़ाई), जबकि वहाँ विद्युत क्षेत्र ही अनिवार्य है?
25. एक सारणी में सार दीजिए कि मैक्सवेल के किस समीकरण (स्थानिक या समाकल) ने हर भाग का उत्तर दिया, और कौन-सा पद — [विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) , फ़ैराडे, गाउस, सीमा-उछाल — निर्णायक रहा।

**हल — समस्या 11.1.**

**1.** $Q = (I_0/\omega)\sin\omega t$, $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$: आयाम $I_0/\omega\varepsilon_0
\pi R^2 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$।

**2.** $j_d = \varepsilon_0\partial_tE = I(t)/\pi R^2 = 32\cos\omega t$ A/m$^2$; और प्लेट से उसका अभिवाह $I(t)$ है।

**3.** $2\pi rB = \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\partial_tE$: $B = \mu_0I(t)r/2\pi R^2$; और $R$ पर: $\mu_0I_0/2\pi R = 2\,\text{µ}\mathrm{T}$।

**4.** $r > R$ के लिए पूरी [विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) घिर जाती है: अतः $B =
\mu_0I/2\pi r$, अर्थात् तार का क्षेत्र; और $R$ पर संतत।

**5.** $(\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1)_\theta = -\partial_rE_1 = -\partial_tB_\theta$, अतः $\partial_rE_1
= \mu_0\varepsilon_0(r/2)\ddot E$ और $E_1(r) - E_1(0) = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$; और $\ddot E = -\omega^2E$ लेकर: $|E_1(R) - E_1(0)|/|E| = (\omega R/c)^2/4 = 1 \times 10^{-6}$।

**6.** उत्तम। $10\%$ के लिए $(\omega R/c)^2 = 0.4$ चाहिए, $f \approx 300\,\mathrm{MHz}$ — अर्थात् कोई गुहा, अब संधारित्र नहीं।

**7.** $W_e = \tfrac12\varepsilon_0E_0^2\pi R^2d = 4.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; $W_m = \int_0^R(\mu_0I_0r/
2\pi R^2)^2/2\mu_0\cdot2\pi rd\,\dd r = \mu_0I_0^2d/16\pi = 2.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$; और अनुपात $6 \times
10^{-7} \approx (\omega R/c)^2/8$: अर्थात् वही छोटा प्राचल।

**8.** $\oint\vect E\cdot\dd\vect l = 2\pi r_0E_\theta = -\dd\Phi/\dd t$।

**9.** $\dd p/\dd t = e|E_\theta| = (e/2\pi r_0)|\dd\Phi/\dd t|$; और प्रति चक्कर, $2\pi r_0\cdot e|E_\theta| = e|\dd\Phi/\dd t|$।

**10.** $p = eB(r_0)r_0$ से $\dot p = er_0\dot B(r_0)$; और 9 के साथ बराबर करने पर: $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 = \tfrac12\langle B\rangle$।

**11.** किसी एकसमान क्षेत्र के लिए $B(r_0) = \langle B\rangle$, अर्थात् दुगुना अधिक: तब चुंबकीय बल संवेग से तेज़ बढ़ता है और कक्षा सिकुड़ जाती है। ध्रुव ऐसे गढ़े जाते हैं कि क्षेत्र अक्ष के पास तेज़ हो और कक्षा पर उसका आधा।

**12.** $p = eBr_0 = 3.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $E = pc = 9.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 60\,\mathrm{MeV}$; $\Phi = 2\pi r_0^2B = 0.63\,\mathrm{Wb}$ $5\,\mathrm{ms}$ में: अतः प्रति चक्कर $126\,\mathrm{eV}$, $4.8 \times
10^5$ चक्कर, $1500\,\mathrm{km}$ — और $c$ पर $5\,\mathrm{ms}$ में: संगत।

**13.** चुंबक की विद्युत-आपूर्ति से, जो फ़ैराडे पद के माध्यम से इलेक्ट्रॉनों को सौंपी जाती है: बदलता अभिवाह ही त्वरक क्षेत्र बनाता है।

**14.** किसी भारी लक्ष्य में मंदित होते दसियों $\mathrm{MeV}$ के इलेक्ट्रॉन भेदक X-किरणें देते हैं; और सघन रैखिक त्वरक, जिसकी मात्रा-दर ऊँची है, उसकी जगह ले आया।

**15.** $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$; $\operatorname{\vect{curl}}(-\operatorname{\vect{grad}}
V - \partial_t\vect A) = -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect A = -\partial_t\vect B$।

**16.** $\frac1{r^2}(r^2V')' = -\rho_0/\varepsilon_0$: भीतर $V = \rho_0(3a^2 - r^2)/6\varepsilon_0$, बाहर $\rho_0a^3/3\varepsilon_0r = Q/4\pi\varepsilon_0r$; और $E = \rho_0r/3\varepsilon_0$ तथा $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$।

**17.** $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau = 2\pi\rho_0^2(a^5/6 - a^5/30)/\varepsilon_0 = 4\pi\rho_0^2a^5/
15\varepsilon_0 = 3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$; यूरेनियम: $1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J}$ $\approx 1000\,\mathrm{MeV}$ (और विखंडन वे $200\,\mathrm{MeV}$ छोड़ता है जिनसे दो छोटे गोले सस्ते पड़ते हैं)।

**18.** $V = -E(t)z$ (और उसमें कोई अचर)। $\vect A = A_z(r, t)\vect e_z$ लेकर, $B_\theta = -\partial_rA_z = \mu_0Ir/2\pi R^2$ से $A_z = -\mu_0I(t)r^2/4\pi R^2$।

**19.** $-\partial_tA_z = \mu_0\dot Ir^2/4\pi R^2 = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$ (क्योंकि $\dot I =
\varepsilon_0\pi R^2\ddot E$): अर्थात् प्रश्न 5 का सुधार, किसी अचर तक।

**20.** $\operatorname{div}\vect A = \partial_zA_z = 0$, क्योंकि $A_z$ केवल $r$ पर निर्भर है; और कोई भी $\vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$।

**21.** $\sigma = \varepsilon_0E_0 = 5\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$; और धातु के भीतर $\vect E =
\vect 0$, अतः उछाल $\sigma/\varepsilon_0$ ठीक अंतराल का क्षेत्र है।

**22.** धारा $I(t)$ प्लेट को अक्ष से खिलाती है; और $r$ से आगे अब तक न पहुँचाया भाग $I(1 - r^2/R^2)$ है, अतः $j_s = I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r$। बाहरी फलक पर ऐंपियर तार का क्षेत्र $\mu_0I/
2\pi r$ देता है; भीतरी फलक पर $\mu_0Ir/2\pi R^2$; और अंतर, $\mu_0I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r = \mu_0j_s$, वही सीमा-उछाल है।

**23.** प्लेटें: $R/\lambda = 3 \times 10^{-4}$, वैद्युत अर्ध-स्थायी। पाश: $7 \times 10^{-4}$, चुंबकीय अर्ध-स्थायी। $1\,\mathrm{GHz}$ पर: $R/\lambda = 0.3$ — अर्थात् कोई गुहा और कोई ऐंटेना।

**24.** किसी मीटर भर के वलय के लिए $\lambda = 3000\,\mathrm{km}$: अतः [विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) नितांत नगण्य है; और यहाँ का अनिवार्य विद्युत क्षेत्र फ़ैराडे का है, जिसे चुंबकीय अर्ध-स्थायी दशा पूरा रखती है।

**25.** I: ऐंपियर–मैक्सवेल ([विस्थापन धारा](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)), सुधार के लिए फ़ैराडे, और ऊर्जा-घनत्व। II: समाकल फ़ैराडे, लोरेंत्ज़ बल। III: विभव, प्वासों (गाउस)। IV: $\vect E$ और $\vect B$ के सीमा-उछाल; और दशा के लिए आकार-से-तरंगदैर्घ्य का अनुपात।