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title: "समतल विद्युत्चुंबकीय तरंगें और ध्रुवण"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2"
subject: physics
language: hi
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/13-plane-electromagnetic-waves-and-polarization
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# अध्याय 13 — समतल विद्युत्चुंबकीय तरंगें और ध्रुवण

ध्रुवक धूप-चश्मा पहनकर सिर टेढ़ा कीजिए और गीली सड़क की चौंध आती-जाती रहती है; चश्मे को किसी फ़ोन-पर्दे के सामने घुमाइए और पर्दा काला पड़ जाता है। आपकी आँख तक पहुँचता प्रकाश केवल किसी आवृत्ति और तीव्रता की तरंग नहीं है: उसकी एक *कंपन-दिशा* भी है, और हर ध्रुवक, पर्दा, त्रि-विम सिनेमा का लेंस तथा प्रकाशिक तंतु का जोड़ उससे खेलता है। यह अध्याय खाली आकाश में [मैक्सवेल के समीकरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) हल करता है — अर्थात् समतल तरंग, जिसके अनुप्रस्थ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र समकोण पर बँधे हैं — उन तरंगों के फैले वर्णक्रम का सर्वेक्षण करता है, और ध्रुवण का अध्ययन करता है: उसका वर्णन कैसे करें, किसी ध्रुवक से उसे कैसे छाँटें ([मालुस का नियम](#prop-b2-plane-waves-polarization-malus)), और किसी द्विअपवर्ती पट्टिका से उसे कैसे बदलें।

## 13.1 निर्वात में समतल तरंगें

**प्रमेय 13.1 (तरंग-समीकरण; समतल प्रगामी संनादी तरंगें).**

निर्वात में, जहाँ कोई आवेश और धारा न हो, [मैक्सवेल के समीकरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) ये देते हैं:

$$
\Delta\vect E = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect E}{\partial t^2} , \qquad
\Delta\vect B = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect B}{\partial t^2} , \qquad
c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} .
$$

*समतल प्रगामी संनादी तरंग* (PPH तरंग) $\underline{\vect E} =
\underline{\vect E}_0\,\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ तब हल है जब $\omega = ck$ हो (कोई परिक्षेपण नहीं), और तब [मैक्सवेल के समीकरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) यह माँगते हैं:

$$
\vect k\cdot\vect E = 0 , \qquad
\vect B = \frac{\vect k\wedge\vect E}\omega = \frac{\vect u\wedge\vect E}c ,
$$

जहाँ $\vect u = \vect k/k$ संचरण की दिशा है: अर्थात् तरंग *अनुप्रस्थ* है, $(\vect E, \vect B, \vect u)$ कोई दक्षिण-हस्त लांबिक त्रिक है, $\vect E$ और $\vect B$ एक ही कला में हैं तथा $B = E/c$। उसकी तीव्रता $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ है और वह संवेग-अभिवाह $I/c$ ढोती है ([अध्याय 12](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/12-electromagnetic-energy-and-the-poynting-vector#ch-b2-poynting-vector))।

**उपपत्ति.** [तरंग-समीकरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#thm-b2-waves-on-strings-equation) [अभ्यास 11.11](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#exo-b2-maxwell-equations-11) में निकाला गया था। $\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ के लिए $\partial_t \to \iu\omega$ और $\vect\nabla \to
-\iu\vect k$: अतः $\Delta \to -k^2$, इसलिए $k^2 = \omega^2/c^2$; मैक्सवेल–गाउस $-\iu
\vect k\cdot\underline{\vect E} = 0$ देता है, मैक्सवेल–अभिवाह $\vect k\cdot\underline{\vect B} = 0$, मैक्सवेल–फ़ैराडे $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect E} = -\iu\omega\underline{\vect B}$, जिससे $\underline{\vect B} = \vect k\wedge\underline{\vect E}/\omega$, जिसका मापांक $kE/\omega = E/c$ है और जो दोनों के लंबवत है; और मैक्सवेल–ऐंपियर तब अपने आप संतुष्ट हो जाता है। ∎

![किसी एक क्षण पर कोई समतल प्रगामी संनादी तरंग: E और B एक-दूसरे के तथा चलने की दिशा के लंबवत, एक ही कला में, और B = E/c; और पूरी आकृति u के अनुदिश c से सरकती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-402199216cda.svg)

*किसी एक क्षण पर कोई समतल प्रगामी संनादी तरंग: $\vect E$ और $\vect B$ एक-दूसरे के तथा चलने की दिशा के लंबवत, एक ही कला में, और $B = E/c$; और पूरी आकृति $\vect u$ के अनुदिश $c$ से सरकती है।*

**टिप्पणी 13.2 (वर्णक्रम).**

एक ही समीकरण, एक ही चाल, और आवृत्ति की बीस परिमाण-कोटियाँ। रेडियो: $30\,\mathrm{kHz}$–$300\,\mathrm{MHz}$ ($\lambda$ $10\,\mathrm{km}$ से $1\,\mathrm{m}$ तक), ऐंटेना और परिपथ ([अध्याय 17](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/17-dipole-radiation-and-scattering#ch-b2-dipole-radiation))। सूक्ष्मतरंगें: $300\,\mathrm{MHz}$–$300\,\mathrm{GHz}$, रडार, चूल्हे, चलभाष, और ब्रह्मांडीय पृष्ठभूमि। अवरक्त: $400\,\mathrm{THz}$ ($750\,\mathrm{nm}$) तक, अर्थात् चारों ओर की हर वस्तु का ऊष्मीय विकिरण ([अध्याय 26](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/26-thermal-radiation#ch-b2-thermal-radiation))। दृश्य: $400\,\mathrm{THz}$–$750\,\mathrm{THz}$, $750\,\mathrm{nm}$ (लाल) से $400\,\mathrm{nm}$ (बैंगनी) तक — अर्थात् एक ही अष्टक, और $1.6$ से $3.1\,\mathrm{eV}$ के फ़ोटॉन। पराबैंगनी $10\,\mathrm{nm}$ तक; X-किरणें $10\,\mathrm{pm}$ ($100\,\mathrm{keV}$) तक, जो भीतरी परमाणु-कोशों और मंदित होते इलेक्ट्रॉनों से आती हैं; और उससे आगे गामा किरणें, नाभिकों से। केवल स्रोत और संसूचक भिन्न हैं: तरंग वही है।

![लघुगणकीय आवृत्ति-मापनी पर विद्युत्चुंबकीय वर्णक्रम; और दृश्य पट्टी उसमें एक झिरी भर है — बीस दशकों में से एक अष्टक।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-7c80fe580555.svg)

*लघुगणकीय आवृत्ति-मापनी पर [विद्युत्चुंबकीय वर्णक्रम](#rem-b2-plane-waves-polarization-spectrum); और दृश्य पट्टी उसमें एक झिरी भर है — बीस दशकों में से एक अष्टक।*

## 13.2 ध्रुवण

**परिभाषा 13.3 (ध्रुवण की अवस्थाएँ).**

$z$ के अनुदिश किसी PPH तरंग के लिए किसी तल $z = \text{अचर}$ में क्षेत्र

$$
\vect E = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\vect e_y ,
$$

होता है, और $\vect E$ की नोक साधारणतः कोई दीर्घवृत्त खींचती है: अर्थात् *दीर्घवृत्तीय ध्रुवण*। दो विशेष दशाएँ: $\varphi = 0$ या $\pi$, अर्थात् $\arctan(\pm E_{0y}/E_{0x})$ कोण की किसी नियत दिशा के अनुदिश, $x$ से नापकर, *रैखिक* ध्रुवण; और $E_{0x} = E_{0y}$ तथा $\varphi = \pm\pi/2$, अर्थात् *वृत्तीय* ध्रुवण, जिसमें अचर मापांक का $\vect E$ $\omega$ से घूमता है (आती तरंग के सामने देखने पर उसके घूर्णन की दिशा के अनुसार दायाँ या बायाँ)। किसी लैंप या सूर्य का *प्राकृतिक* (अध्रुवित) प्रकाश छोटी तरंग-रेलों की ऐसी शृंखला है जिनके ध्रुवण यादृच्छिक और तेज़ी से बदलते रहते हैं: अतः औसतन कोई दिशा वरीय नहीं। और कोई भी ध्रुवण दो रैखिक (या दो वृत्तीय) घटकों में बँट जाता है।

**उपपत्ति.** $X = E_x/E_{0x}$, $Y = E_y/E_{0y}$ लेकर: $X = \cos\theta$, $Y = \cos(\theta - \varphi)$, अतः $X^2 + Y^2 - 2XY\cos\varphi = \sin^2\varphi$, अर्थात् कोई दीर्घवृत्त, जो रेखाओं $Y = \pm X$ में पतित हो जाता है, $\varphi = 0, \pi$ के लिए, और किसी वृत्त में, $E_{0x} = E_{0y}$, $\varphi = \pm\pi/2$ के लिए। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 13.4 (ध्रुवक और मालुस का नियम).**

कोई *ध्रुवक* $\vect E$ का वह घटक पार जाने देता है जो उसकी पारगमन-अक्ष $\vect p$ के अनुदिश हो, और दूसरा सोख लेता है (यह पंक्तिबद्ध लंबे अणुओं की कोई चादर होती है, जो अपनी लंबाई के अनुदिश चालन करते हैं — अतः पार जाता ध्रुवण अणुओं के लंबवत होता है)। $I_0$ तीव्रता का रैखिक ध्रुवित प्रकाश, जिसकी दिशा $\theta$ कोण बनाती हो $\vect p$ के साथ, $\vect p$ के अनुदिश रैखिक ध्रुवित निकलता है, जिसकी तीव्रता

$$
I = I_0\cos^2\theta \qquad\text{(मालुस)} ;
$$

होती है; और [प्राकृतिक प्रकाश](#def-b2-plane-waves-polarization-states) $I_0/2$ के साथ निकलता है, $\vect p$ के अनुदिश ध्रुवित। दो क्रॉस ध्रुवक कुछ भी पार नहीं जाने देते; और उनके बीच $45{}^{\circ}$ पर रखा कोई तीसरा $I_0/8$ पार जाने देता है।

**उपपत्ति.** पार जाता आयाम $E_0\cos\theta$ है और $I \propto E_0^2$। [प्राकृतिक प्रकाश](#def-b2-plane-waves-polarization-states): $\cos^2\theta$ का औसत, सब $\theta$ पर, $\tfrac12$। तीन ध्रुवक: $\tfrac12\cdot\cos^2 45^\circ\cdot\cos^2 45^\circ = \tfrac18$ — अर्थात् बीच वाला ध्रुवक केवल क्षीण नहीं करता, वह ध्रुवण को *घुमा* देता है। ∎

![बाएँ: 0, 45 और 90 पर तीन ध्रुवकों से होकर प्राकृतिक प्रकाश — बीच वाला उस युग्म में से आठवाँ भाग निकाल देता है, जो अकेला सब कुछ रोक देता। दाएँ: मालुस का नियम।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-27d7acfc3e5a.svg)

*बाएँ: $0^\circ$, $45^\circ$ और $90^\circ$ पर तीन ध्रुवकों से होकर [प्राकृतिक प्रकाश](#def-b2-plane-waves-polarization-states) — बीच वाला उस युग्म में से आठवाँ भाग निकाल देता है, जो अकेला सब कुछ रोक देता। दाएँ: [मालुस का नियम](#prop-b2-plane-waves-polarization-malus)।*

**उदाहरण 13.5 (धूप-चश्मे, पर्दे, छायाचित्र).**

पानी या डामर से तिरछे कोण पर परावर्तित प्रकाश बड़े अंश में क्षैतिज ध्रुवित होता है (ब्रूस्टर कोण, [अध्याय 15](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/15-reflection-and-transmission-at-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)): अतः ऊर्ध्वाधर पारगमन-अक्ष वाले धूप-चश्मे चौंध काट देते हैं और बाक़ी रहने देते हैं। कोई द्रव-क्रिस्टल पर्दा ध्रुवित प्रकाश देता है: और $90{}^{\circ}$ पर रखे किसी ध्रुवक से होकर वह काला पड़ जाता है। किसी छायाचित्रकार की ध्रुवक छन्नी आकाश को गहरा कर देती है (प्रकीर्ण प्रकाश आंशिक रूप से ध्रुवित होता है, [अध्याय 17](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/17-dipole-radiation-and-scattering#ch-b2-dipole-radiation)) और काँच के परावर्तन हटा देती है।

## 13.3 द्विअपवर्तन और तरंग-पट्टिकाएँ

**प्रतिज्ञप्ति 13.6 (तरंग-पट्टिकाएँ).**

किसी *द्विअपवर्ती* क्रिस्टल में (कैल्साइट, क्वार्ट्ज़, अभ्रक; और कोई खिंची हुई प्लास्टिक शीट भी) किसी दी गई दिशा में चलती तरंग दो [रैखिक ध्रुवणों](#def-b2-plane-waves-polarization-states) में बँट जाती है, जो पट्टिका की *द्रुत* और *मंद* अक्षों के अनुदिश होते हैं और भिन्न अपवर्तनांकों $n_f <
n_s$ से चलते हैं (स्वीकृत — क्रिस्टल अपनी अक्षों के अनुदिश भिन्न अनुक्रिया देता है)। $e$ मोटाई की कोई पट्टिका मंद घटक को इस कला से पीछे कर देती है:

$$
\delta = \frac{2\pi}\lambda(n_s - n_f)\,e .
$$

कोई *[अर्ध-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates)* ($\delta = \pi$) [द्रुत अक्ष](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) से $\alpha$ कोण के किसी [रैखिक ध्रुवण](#def-b2-plane-waves-polarization-states) को $-\alpha$ पर के [रैखिक ध्रुवण](#def-b2-plane-waves-polarization-states) में बदल देती है: अर्थात् वह उसे $2\alpha$ से घुमा देती है। और कोई *[चतुर्थांश-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates)* ($\delta = \pi/2$) अपनी अक्षों से $45{}^{\circ}$ पर के किसी [रैखिक ध्रुवण](#def-b2-plane-waves-polarization-states) को वृत्तीय प्रकाश में बदल देती है, और वृत्तीय प्रकाश को वापस रैखिक में; और अन्य कोणों पर, पट्टिका की अक्षों के अनुदिश अक्षों वाले दीर्घवृत्तीय प्रकाश में।

**उपपत्ति.** आपतित क्षेत्र $E_0(\cos\alpha\,\vect e_f + \sin\alpha\,\vect e_s)\cos\omega t$ लिखिए; और पट्टिका के बाद $E_0[\cos\alpha\cos\omega t\,\vect e_f + \sin\alpha\cos(\omega t - \delta)
\vect e_s]$। $\delta = \pi$ के लिए $\vect e_s$ वाला घटक चिह्न बदल देता है: अतः दिशा $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$। और $\delta = \pi/2$ तथा $\alpha = 45^\circ$ के लिए: $(E_0/\sqrt2)(\cos
\omega t, \sin\omega t)$, अर्थात् कोई वृत्त। ∎

![किसी समतल तरंग की ध्रुवण-अवस्थाएँ, आते प्रकाश के सामने से देखी गईं, और अपनी द्रुत तथा मंद अक्षों के साथ कोई द्विअपवर्ती पट्टिका।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-a0a02ac5357c.svg)

*किसी समतल तरंग की ध्रुवण-अवस्थाएँ, आते प्रकाश के सामने से देखी गईं, और अपनी द्रुत तथा मंद अक्षों के साथ कोई द्विअपवर्ती पट्टिका।*

**उदाहरण 13.7 (पट्टिकाएँ कहाँ काम आती हैं).**

किसी ध्रुवक और किसी दर्पण के बीच रखी कोई [चतुर्थांश-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) कोई *प्रकाशिक वियोजक* बना देती है: प्रकाश वृत्तीय होकर जाता है, उल्टी हस्तता का वृत्तीय होकर लौटता है, पट्टिका उसे ध्रुवक से $90{}^{\circ}$ पर के रैखिक प्रकाश में बदल देती है और वह सोख लिया जाता है — अतः कोई परावर्तन लेज़र तक नहीं लौटता। किसी त्रि-विम फ़िल्म में दोनों आँखों के चित्र विपरीत [वृत्तीय ध्रुवणों](#def-b2-plane-waves-polarization-states) में प्रक्षेपित किए जाते हैं और चश्मे के चतुर्थांश-तरंग–ध्रुवक सैंडविच उन्हें छाँट देते हैं, जो सिर टेढ़ा करने पर भी चलते रहते हैं (रैखिक ध्रुवक न चलते)। क्रॉस ध्रुवकों के बीच रखी कोई पारदर्शी पट्टी रंगीन फ्रिंज दिखाती है: प्रतिबल प्लास्टिक को द्विअपवर्ती बना देता है, और अभियंता उस आकृति से किसी प्रतिरूप के प्रतिबल पढ़ लेते हैं।

**विधि 13.8 (प्रकाशिकी में किसी ध्रुवण का पीछा करना).**

(1) अक्ष चुनिए; आपतित क्षेत्र को उनकी कला-भिन्नता के साथ दो घटकों में लिखिए। (2) कोई ध्रुवक: उसकी अक्ष पर प्रक्षेप रखिए (आयाम $\times\cos$, तीव्रता $\times\cos^2$; [प्राकृतिक प्रकाश](#def-b2-plane-waves-polarization-states) $\times\tfrac12$)। (3) कोई पट्टिका: उसकी द्रुत और मंद अक्षों पर प्रक्षेपित कीजिए, मंद वाले को $\delta$ से पीछे कीजिए, और फिर जोड़िए। (4) परिणाम पढ़िए: कला $0$ या $\pi$ का अर्थ है रैखिक, और बराबर आयामों के साथ $\pm\pi/2$ का अर्थ वृत्तीय। (5) किसी अज्ञात पुंज को परखने के लिए: कोई ध्रुवक घुमाइए (तीव्रता बदलती है: रैखिक या दीर्घवृत्तीय भाग), फिर कोई [चतुर्थांश-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) जोड़िए (वृत्तीय रैखिक बन जाता है और बुझाया जा सकता है)।

## 13.4 अभ्यास

**अभ्यास 13.1 ★.**

$100\,\mathrm{MHz}$ का कोई FM केंद्र किसी अभिग्राही पर $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ की तीव्रता देता है। तरंगदैर्घ्य, तरंग-संख्या, आवर्तकाल; आयाम $E_0$ और $B_0$; ऊर्जा घनत्व; $\vect E$ के अनुदिश रखे $1\,\mathrm{m}$ के ऐंटेना में प्रेरित विद्युत वाहक बल; और फ़ोटॉन-अभिवाह (प्रति वर्ग मीटर और सेकंड)।

**हल — अभ्यास 13.1.**

$\lambda = 3.0\,\mathrm{m}$, $k = 2.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $T = 10\,\mathrm{ns}$; $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c}
= 27\,\mathrm{mV}/\mathrm{m}$, $B_0 = 9 \times 10^{-11}\,\mathrm{T}$; $u = I/c = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; विद्युत वाहक बल $E_0 \times 1\,\mathrm{m} = 27\,\mathrm{mV}$; और $I/hf = 10^{-6}/6.6 \times 10^{-26} = 1.5 \times 10^{19}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$।

**अभ्यास 13.2 ★.**

$\lambda = 1\,\mathrm{km}$, $10\,\mathrm{cm}$, $10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $550\,\mathrm{nm}$, $10\,\mathrm{nm}$, $0.1\,\mathrm{nm}$, $1\,\mathrm{pm}$ के लिए आवृत्ति और फ़ोटॉन-ऊर्जा (eV में); हर एक की पट्टी का नाम; और $1\,\mathrm{MeV}$ की किसी गामा किरण तथा $2.7\,\mathrm{K}$ की ब्रह्मांडीय पृष्ठभूमि (शिखर $160\,\mathrm{GHz}$ के पास) की तरंगदैर्घ्य।

**हल — अभ्यास 13.2.**

$300\,\mathrm{kHz}$ ($1.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{eV}$, रेडियो); $3\,\mathrm{GHz}$ ($1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$, सूक्ष्मतरंग); $30\,\mathrm{THz}$ ($0.12\,\mathrm{eV}$, अवरक्त); $545\,\mathrm{THz}$ ($2.25\,\mathrm{eV}$, दृश्य); $3 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ ($124\,\mathrm{eV}$, चरम पराबैंगनी); $3 \times 10^{18}\,\mathrm{Hz}$ ($12\,\mathrm{keV}$, X); $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Hz}$ ($1.2\,\mathrm{MeV}$, गामा)। $1\,\mathrm{MeV}$: $1.2\,\mathrm{pm}$; $160\,\mathrm{GHz}$: $1.9\,\mathrm{mm}$।

**अभ्यास 13.3 ★.**

$I_0$ तीव्रता का रैखिक ध्रुवित प्रकाश $30{}^{\circ}$ पर रखे किसी ध्रुवक पर पड़ता है, फिर पहले से $60{}^{\circ}$ पर रखे दूसरे पर, फिर पहले से $90{}^{\circ}$ पर रखे तीसरे पर: हर एक के बाद तीव्रता। वही [प्राकृतिक प्रकाश](#def-b2-plane-waves-polarization-states) के लिए। बीच वाला हटा दीजिए: क्या बदलता है?

**हल — अभ्यास 13.3.**

$0.75I_0$, $0.56I_0$, $0.42I_0$; प्राकृतिक: $0.375$, $0.28$, $0.21$। बीच वाला हटाने पर: $0.75 \times \cos^260^\circ = 0.19I_0$ (प्राकृतिक $0.125I_0$): अर्थात् मध्यवर्ती ध्रुवक ध्रुवण को घुमाकर *अधिक* पार जाने देता है।

**अभ्यास 13.4 ★.**

जाँचिए कि $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x$, $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t
- kz)\,\vect e_y$ निर्वात में मैक्सवेल के चारों समीकरण संतुष्ट करते हैं, जब $\omega =
kc$ हो। कौन-सा समीकरण $\vect B$ की दिशा तय करता है, और कौन उसका परिमाण? यदि कोई $\vect E$ को $\vect e_z$ के अनुदिश ले तो क्या होता है?

**हल — अभ्यास 13.4.**

$\operatorname{div}\vect E = \partial_xE_x = 0$, $\operatorname{div}\vect B = 0$; $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = E_0k\sin(\omega t - kz)\,\vect e_y = -\partial_t\vect B$ तभी और केवल तभी जब $\omega =
kc$ — अतः फ़ैराडे दिशा ($\vect e_y$) और परिमाण ($E_0/c$) दोनों तय करता है, $\vect B$ के; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(E_0k/c)\sin(\omega t - kz)\,\vect e_x
= \mu_0\varepsilon_0\partial_t\vect E$। $\vect E$ को $\vect e_z$ के अनुदिश लेने पर बिना किसी आवेश के $\operatorname{div}
\vect E \ne 0$ होता: असंभव — अर्थात् तरंग अनुप्रस्थ है।

**अभ्यास 13.5 ★★.**

*वृत्तीय प्रकाश।* (क) $z$ के अनुदिश किसी वृत्तीय ध्रुवित तरंग का क्षेत्र लिखिए और दिखाइए कि $|\vect E|$ अचर है जबकि उसकी दिशा $\omega$ से घूमती है। (ख) दिखाइए कि बराबर आयामों की दाएँ- और बाएँ-वृत्तीय तरंगों का योग रैखिक ध्रुवित होता है, और उसकी दिशा उनकी सापेक्ष कला से तय होती है। (ग) किसी ध्रुवक से होकर वृत्तीय प्रकाश क्या देता है, और क्या तीव्रता ध्रुवक के कोण पर निर्भर करती है? (घ) तब वृत्तीय प्रकाश को [प्राकृतिक प्रकाश](#def-b2-plane-waves-polarization-states) से कैसे पहचाना जाए?

**हल — अभ्यास 13.5.**

(क) $\vect E = E_0(\cos(\omega t - kz), \pm\sin(\omega t - kz), 0)$: मापांक $E_0$, कोण $\pm(\omega t - kz)$। (ख) $(\cos, \sin) + (\cos, -\sin) = (2\cos, 0)$: अर्थात् $x$ के अनुदिश रैखिक; और कोई सापेक्ष कला $\varphi$ दिशा को $\varphi/2$ से घुमा देती है। (ग) हर कोण पर $I_0/2$। (घ) कोई [चतुर्थांश-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) वृत्तीय प्रकाश को रैखिक प्रकाश में बदल देती है, जिसे कोई ध्रुवक फिर बुझा देता है; जबकि [प्राकृतिक प्रकाश](#def-b2-plane-waves-polarization-states) अध्रुवित ही रहता है।

**अभ्यास 13.6 ★★.**

क्वार्ट्ज़ का $589\,\mathrm{nm}$ पर $n_s - n_f = 0.0091$ है। (क) न्यूनतम कोटि की [चतुर्थांश-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) की मोटाई; और [अर्ध-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) की। (ख) $589\,\mathrm{nm}$ के लिए बनी कोई [चतुर्थांश-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) $450\,\mathrm{nm}$ पर काम में ली जाती है: कला-विलंब (अपवर्तनांकों का बदलना छोड़ दीजिए); $45{}^{\circ}$ पर के रैखिक प्रकाश के लिए क्या निकलता है? (ग) “बहु-कोटि” पट्टिकाएँ (मोटाई $e +
m\lambda/(n_s - n_f)$) तरंगदैर्घ्य और ताप के प्रति अधिक संवेदी क्यों होती हैं? (घ) किसी पट्टिका की मोटाई माइक्रोमीटर से भी बेहतर क्यों साधनी पड़ती है?

**हल — अभ्यास 13.6.**

(क) $e = \lambda/4(n_s - n_f) = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$; और अर्ध-तरंग $32\,\text{µ}\mathrm{m}$। (ख) $\delta =
(\pi/2)(589/450) = 2.1\,\mathrm{rad}$: अर्थात् दीर्घवृत्तीय प्रकाश। (ग) $\delta \propto e/\lambda$: अतः $m + \tfrac14$ तरंगों की किसी पट्टिका के $\dd\delta/\dd\lambda$ और $\dd\delta/\dd T$ $4m + 1$ गुना बड़े होते हैं। (घ) $\delta \propto e$: और $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर एक माइक्रोमीटर $6\%$ है, $\pi/2$ का।

**अभ्यास 13.7 ★★.**

[अर्ध-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates)। (क) दिखाइए कि [द्रुत अक्ष](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) से $\alpha$ कोण का रैखिक प्रकाश $-\alpha$ पर रैखिक निकलता है। (ख) अतः $\beta$ से घुमाई गई कोई पट्टिका ध्रुवण को $2\beta$ से घुमा देती है: किसी ऊर्ध्वाधर ध्रुवण को क्षैतिज करने के लिए पट्टिका को कितना घुमाना होगा? (ग) कोई [अर्ध-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) वृत्तीय प्रकाश का क्या करती है? (घ) क्रॉस ध्रुवकों के बीच कोई [अर्ध-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) धीरे-धीरे घुमाई जाती है: उसके कोण के सामने पार जाती तीव्रता खींचिए।

**हल — अभ्यास 13.7.**

(क) मंद घटक चिह्न बदल देता है: $(\cos\alpha, \sin\alpha) \to (\cos\alpha,
-\sin\alpha)$। (ख) $\alpha$ कोण का कोई ध्रुवण, $\beta$ पर रखी किसी पट्टिका से, $2\beta - \alpha$ पर निकलता है: अर्थात् घूर्णन $2\beta$; और $45{}^{\circ}$। (ग) वह हस्तता उलट देती है। (घ) $I = I_0\sin^22\beta$: अर्थात् प्रति चक्कर चार अधिकतम और चार बुझाव।

**अभ्यास 13.8 ★★.**

$N$ ध्रुवक एक के बाद एक रखे जाते हैं, और हर एक पिछले से $\pi/2N$ घुमाया गया है, तथा अंतिम पहले से $90{}^{\circ}$ पर है। पहले के अनुदिश रैखिक ध्रुवित प्रकाश का पारगमन $N = 1, 2, 5, 10, 100$ के लिए; और सीमा $N \to \infty$ ($\cos^{2N}(\pi/2N) \approx
1 - \pi^2/4N$ लीजिए)। टिप्पणी: किसी ध्रुवण को $90{}^{\circ}$ बिना किसी हानि के घुमाया जा सकता है — किससे?

**हल — अभ्यास 13.8.**

$\cos^{2N}(\pi/2N)$: $0$, $0.25$, $0.61$, $0.78$, $0.976$, $\to 1$। कोई लगातार ऐंठता माध्यम (प्रकाशिक सक्रियता, कोई द्रव-क्रिस्टल कोष्ठ) ध्रुवण को बिना हानि घुमा देता है।

**अभ्यास 13.9 ★★.**

*आंशिक ध्रुवण।* किसी पुंज के सामने घूमता कोई ध्रुवक अधिकतम तीव्रता $I_{\max}$ और न्यूनतम $I_{\min}$ देता है। (क) पुंज को [प्राकृतिक प्रकाश](#def-b2-plane-waves-polarization-states) $I_n$ और रैखिक ध्रुवित प्रकाश $I_p$ का जोड़ मानकर $I_{\max}$ और $I_{\min}$ लिखिए; और ध्रुवण की मात्रा $p = I_p/(I_n + I_p) =
(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$। (ख) सूर्य से $90{}^{\circ}$ पर नीला आकाश: $I_{\max}/I_{\min} = 5$: $p$। (ग) ब्रूस्टर कोण के पास किसी झील से परावर्तित प्रकाश, $p = 0.9$: ध्रुवक धूप-चश्मे कितना हटा सकते हैं? (घ) क्या अकेला ध्रुवक आंशिक रैखिक ध्रुवित प्रकाश को आंशिक वृत्तीय प्रकाश से अलग पहचान सकता है? इसके लिए क्या चाहिए?

**हल — अभ्यास 13.9.**

(क) $I_{\max} = I_n/2 + I_p$, $I_{\min} = I_n/2$; $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} -
I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$। (ख) $p = 4/6 = 0.67$। (ग) क्रॉस ध्रुवक $I_n/2 = 0.05I$ पार जाने देता है: अर्थात् $95\%$ हटा। (घ) नहीं — दोनों कोई अचर तीव्रता देते हैं; इसके लिए कोई [चतुर्थांश-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) चाहिए।

**अभ्यास 13.10 ★★★.**

*दो तिरछे पुंज।* बराबर आयाम और आवृत्ति की दो PPH तरंगें, जो दोनों $\vect e_y$ के अनुदिश ध्रुवित हैं, $xz$ तल में $\pm\theta$ कोणों पर चलती हैं, $z$ से नापकर। (क) कुल क्षेत्र लिखिए और दिखाइए कि वह $z$ के अनुदिश चलती कोई तरंग है, जिसका आयाम $x$ के अनुदिश $\cos(kx\sin\theta)$ की तरह मॉडुलित है। (ख) अंधेरे तलों का अंतराल (व्यतिकरण फ्रिंज); $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, $\theta = 5{}^{\circ}$ के लिए और $\theta = 90{}^{\circ}$ (विपरीत दिशाओं में) के लिए अंक। (ग) $z$ के अनुदिश आकृति का [कला वेग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-relation); $c$ से तुलना कीजिए; क्या कुछ प्रकाश से तेज़ चल रहा है? (घ) समय-औसत [पॉयनटिंग सदिश](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/12-electromagnetic-energy-and-the-poynting-vector#thm-b2-poynting-vector-poynting) निकालिए और दिखाइए कि उसका $x$ घटक लुप्त हो जाता है: अर्थात् ऊर्जा उजले तलों में $z$ के अनुदिश बहती है।

**हल — अभ्यास 13.10.**

(क) कलाएँ $\omega t - k(z\cos\theta \pm x\sin\theta)$: अतः योग $2E_0\cos(kx\sin\theta)\cos(\omega t
- kz\cos\theta)\,\vect e_y$। (ख) $\Delta x = \lambda/2\sin\theta$: $5{}^{\circ}$ पर $3.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, और $90{}^{\circ}$ पर $\lambda/2 = 316\,\mathrm{nm}$। (ग) $v_\varphi = c/\cos\theta > c$: अर्थात् किसी आकृति की कला; और ऊर्जा $z$ के अनुदिश $c\cos\theta$ से जाती है (तथा हर तरंग $c$ से)। (घ) $B_z = (\sin\theta/c)(E_1 - E_2)$, $E_y = E_1 + E_2$: अतः $\langle\Pi_x\rangle \propto
\langle E_1^2 - E_2^2\rangle = 0$; और $\Pi_z \propto \cos\theta(E_1 + E_2)^2$, जो उजले तलों में अधिकतम है।

**अभ्यास 13.11 ★★★.**

*द्रव-क्रिस्टल पिक्सेल।* क्रॉस ध्रुवकों के बीच कोई ऐंठा-नेमैटिक कोष्ठ कोई वोल्टता न लगने पर प्रकाश के ध्रुवण को $90{}^{\circ}$ घुमा देता है (अणुओं का संरेखण कोष्ठ भर ऐंठा रहता है और ध्रुवण उसी का पीछा करता है — स्वीकृत), और कुछ वोल्ट उन्हें सीधा कर दें तो बिलकुल नहीं। (क) दोनों अवस्थाओं में पारगमन: कौन-सी उजली है? (ख) असली कोष्ठ अभिकल्प-तरंगदैर्घ्य पर $90^\circ \pm 5^\circ$ घुमाते हैं: यदि गहरी अवस्था किसी अवशिष्ट $5{}^{\circ}$ त्रुटि से रिसे तो विषमता अनुपात $I_{\text{उजला}}/I_{\text{गहरा}}$। (ग) $550\,\mathrm{nm}$ के लिए बना कोई कोष्ठ गहरी अवस्था में कुछ नीला और लाल क्यों रिसा देता है (घूर्णन को कई पतले अर्ध-तरंग-जैसे मंदकों का ढेर मानिए)? (घ) कोई रंगीन पिक्सेल छन्नियों के साथ ऐसे तीन कोष्ठ काम में लेता है; किसी कोण पर रखे किसी ध्रुवक से होकर पर्दा काला क्यों पड़ जाता है, और वह कोण आपको क्या बताता है?

**हल — अभ्यास 13.11.**

(क) कोई वोल्टता नहीं: $90{}^{\circ}$ घूमा हुआ, अतः क्रॉस ध्रुवक से पार जाता है: उजला; और वोल्टता के साथ: गहरा। (ख) रिसाव $\sin^25^\circ = 7.6 \times 10^{-3}$: अतः विषमता $130$। (ग) ऐंठन उन मंदकों के ढेर की तरह काम करती है जिनका $\delta \propto 1/\lambda$ है: $550\,\mathrm{nm}$ पर ठीक, पर वर्णक्रम के छोरों पर घूर्णन चूक जाता है, और वे रिस जाते हैं — अतः गहरी अवस्था बैंगनी-सी दिखती है। (घ) तब, जब बाहरी ध्रुवक पर्दे के निर्गम ध्रुवक से क्रॉस हो; और वह कोण पर्दे की ध्रुवण-अक्ष है।

**अभ्यास 13.12 ★★★.**

*प्रकाशिक सक्रियता।* किसी शर्करा-विलयन में दोनों [वृत्तीय ध्रुवण](#def-b2-plane-waves-polarization-states) कुछ भिन्न अपवर्तनांकों $n_L$ और $n_R$ से चलते हैं। (क) किसी [रैखिक ध्रुवण](#def-b2-plane-waves-polarization-states) को वृत्तीय घटकों में बाँटिए और दिखाइए कि $\ell$ लंबाई के बाद ध्रुवण अब भी रैखिक है पर $\theta = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ से घूम चुका है। (ख) $0.10\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ के सुक्रोज़ विलयन की $1\,\mathrm{dm}$ नलिका सोडियम-प्रकाश को $6.65{}^{\circ}$ घुमाती है: $n_L - n_R$। (ग) कोई शर्करामापी $\theta$ को $0.01{}^{\circ}$ तक नापता है: सांद्रता पर परिशुद्धता। (घ) वही प्रभाव काँच में पुंज के अनुदिश किसी चुंबकीय क्षेत्र से भी बनता है (फ़ैराडे प्रभाव, $\theta = VB\ell$, जहाँ $V \approx
4\,\mathrm{rad}\,\mathrm{T}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$): कोई फ़ैराडे घूर्णक, किसी शर्करा-नलिका के विपरीत, प्रकाश को वापस भेजने पर अपना घूर्णन क्यों नहीं काटता, और उससे कोई वियोजक कैसे बनता है?

**हल — अभ्यास 13.12.**

(क) $\vect e_x = \tfrac12[(\vect e_x + \iu\vect e_y) + (\vect e_x - \iu\vect e_y)]$; और $\ell$ के बाद दोनों घटकों की कलाएँ $k_L\ell$ तथा $k_R\ell$ होती हैं, और वे जुड़कर $(k_L - k_R)\ell/2 = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$ कोण पर रैखिक प्रकाश बना देते हैं। (ख) $n_L -
n_R = \theta\lambda/\pi\ell = 0.116 \times 589 \times 10^{-9}/0.314 = 2.2 \times 10^{-7}\,$। (ग) $0.01/6.65 \times 0.1 = 1.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$। (घ) फ़ैराडे घूर्णन $\vect B$ से तय होता है, चलने की दिशा से नहीं: अतः लौटती यात्रा में वह जुड़ जाता है ($45{}^{\circ}$ $+$ $45{}^{\circ}$ $=$ $90{}^{\circ}$), और प्रवेश-ध्रुवक लौटते प्रकाश को रोक देता है — यही वियोजक है।

![किसी झील के सामने रखे ध्रुवक धूप-चश्मे: चौंध, जो ब्रूस्टर कोण के पास परावर्तित होकर क्षैतिज ध्रुवित है, लेंसों की ऊर्ध्वाधर पारगमन-अक्ष से कट जाती है, और झील का तल दिखने लगता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/img-41876249925c.jpg)

*किसी झील के सामने रखे ध्रुवक धूप-चश्मे: चौंध, जो ब्रूस्टर कोण के पास परावर्तित होकर क्षैतिज ध्रुवित है, लेंसों की ऊर्ध्वाधर पारगमन-अक्ष से कट जाती है, और झील का तल दिखने लगता है।*

## 13.5 समस्या: तरंग, पर्दा और पाल

**समस्या 13.1.**

सप्ताहांत समस्या — कोई लेज़र-पुंज अपने क्षेत्रों में खोला गया, कोई पर्दा जो ध्रुवण से चित्र बनाता है, और कोई अंतरिक्ष-यान जो प्रकाश पर पाल तानता है

**भाग I — पुंज।** कोई हीलियम–नियोन लेज़र $1.0\,\mathrm{mm}$ व्यास के पुंज में $632.8\,\mathrm{nm}$ पर $10\,\mathrm{mW}$ देता है, जो $x$ के अनुदिश रैखिक ध्रुवित है और $z$ के अनुदिश चलता है।

1. आवृत्ति, तरंग-संख्या, फ़ोटॉन-ऊर्जा; और प्रति सेकंड उत्सर्जित फ़ोटॉन।
2. तीव्रता; आयाम $E_0$ और $B_0$ ; तथा $\vect E(z, t)$ और $\vect B(z, t)$ लिखिए।
3. ऊर्जा घनत्व (माध्य) और पुंज के $1\,\mathrm{m}$ में समाई ऊर्जा; $1\,\mathrm{ns}$ में उत्सर्जित पुंज कितना लंबा है, और उसमें कितनी तरंगदैर्घ्य समाती हैं?
4. [पॉयनटिंग सदिश](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/12-electromagnetic-energy-and-the-poynting-vector#thm-b2-poynting-vector-poynting) : माध्य मान और उसका दोलन; प्रति सेकंड ढोया गया संवेग; और किसी काले लक्ष्य पर तथा किसी दर्पण पर बल।
5. $E_0$ की उस क्षेत्र से तुलना कीजिए जो किसी हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन को बाँधे रखता है ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ), और $B_0$ की पृथ्वी के क्षेत्र ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ) से।
6. किसी काले पुंज-रोधक पर [विकिरण दाब](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/12-electromagnetic-energy-and-the-poynting-vector#prop-b2-poynting-vector-wave) , पास्कल में।
7. पुंज में रखा कोई मुक्त इलेक्ट्रॉन: विद्युत क्षेत्र में उसके वेग के दोलन का आयाम (पहले चुंबकीय बल छोड़ दीजिए); उस पर चुंबकीय और विद्युत बलों का अनुपात — साधारण प्रकाश में पदार्थ के लिए चुंबकीय बल नगण्य क्यों है?
8. उसी पुंज के क्षेत्र लिखिए यदि वह वृत्तीय ध्रुवित होता; तीव्रता में, [पॉयनटिंग सदिश](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/12-electromagnetic-energy-and-the-poynting-vector#thm-b2-poynting-vector-poynting) में और उसकी समय-निर्भरता में क्या बदलता है?
9. पुंज ऐसे ध्रुवक से गुज़रता है जिसकी अक्ष $x$ से $30{}^{\circ}$ बनाती है: पार गई शक्ति; फिर पहले से क्रॉस किसी दूसरे से: शक्ति; और उनके बीच पहले से $45{}^{\circ}$ पर कोई तीसरा रखिए: शक्ति।

**भाग II — पर्दा।** कोई द्रव-क्रिस्टल पर्दा: पश्च-प्रकाश ([प्राकृतिक प्रकाश](#def-b2-plane-waves-polarization-states)), कोई ध्रुवक, कोष्ठ, और कोई क्रॉस ध्रुवक। बिना वोल्टता के कोष्ठ ध्रुवण को $90{}^{\circ}$ घुमा देता है; और वोल्टता के साथ कुछ नहीं करता।

10. उजली अवस्था में पश्च-प्रकाश की तीव्रता का पार जाता अंश (पूर्ण ध्रुवक); और गहरी अवस्था में।
11. कोई मध्यवर्ती वोल्टता कोष्ठ को अपनी अक्षों के बीच $\delta$ कला का कोई मंदक बना देती है, और वे अक्षें ध्रुवकों से $45{}^{\circ}$ पर हैं (कोई घूर्णन नहीं): दिखाइए कि पारगमन $\sin^2(\delta/2)$ है — यही धूसर मापनी है।
12. पर्दे के निर्गम ध्रुवक से $90{}^{\circ}$ पर घुमाए गए किसी ध्रुवक से देखने पर क्या दिखता है? $45{}^{\circ}$ पर?
13. पर्दे पर उसके ध्रुवक से $45{}^{\circ}$ पर चिपकाई गई कोई [चतुर्थांश-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) निर्गम को वृत्तीय कर देती है: ध्रुवक धूप-चश्मे पहने किसी दर्शक के लिए इसका क्या लाभ?
14. पूर्ण ध्रुवक उजली अवस्था में पश्च-प्रकाश का आधा पार जाने देते; पर असली चादरें हर एक आदर्श का $85\%$ पार जाने देती हैं, और किसी पिक्सेल की रंग-छन्नियाँ प्रकाश का एक-तिहाई: सफ़ेद में दर्शक तक पहुँचती पश्च-प्रकाश की शक्ति का अंश; और वे दो जगहें बताइए जहाँ अधिकांश प्रकाश खोता है।
15. असली क्रॉस चादरें प्रकाश का $0.1\%$ रिसा देती हैं: अँधेरे कमरे में पर्दे का विषमता अनुपात (उजला बटा गहरा)।
16. छायाचित्रकारों के “वृत्तीय ध्रुवक” कोई रैखिक ध्रुवक होते हैं और उसके बाद $45{}^{\circ}$ पर कोई [चतुर्थांश-तरंग पट्टिका](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) : कैमरा क्या पाता है, और वह उसके स्वतः-केंद्रण के ध्रुवण-संवेदी पुंज-विभाजक के लिए रैखिक प्रकाश से बेहतर क्यों है?
17. त्रि-विम सिनेमा के चश्मे रैखिक के बदले [वृत्तीय ध्रुवण](#def-b2-plane-waves-polarization-states) क्यों काम में लेते हैं? यदि दर्शक रैखिक चश्मों के साथ सिर $20{}^{\circ}$ टेढ़ा कर ले तो दोनों आँखों के बीच रिसाव का क्या होता है (ग़लत आँख में रिसती तीव्रता)?

**भाग III — पाल।** $S = 1000\,\mathrm{m}^{2}$ क्षेत्रफल और कुल द्रव्यमान $m = 50\,\mathrm{kg}$ का कोई सौर पाल, जो पूरा परावर्तक है, सूर्य से $D = 1.0\,\mathrm{au} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ पर ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$; वहाँ सूर्य का गुरुत्व $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$)।

18. जब पाल सूर्य के सामने हो तो विकिरण बल; त्वरण; और सौर गुरुत्व से अनुपात।
19. पाल सूर्य के सामने से $\theta$ झुकाया जाता है: दिखाइए कि बल पाल के अभिलंब है और $\cos^2\theta$ के समानुपाती (रोकी गई शक्ति $\times\cos\theta$ , और अभिलंब के अनुदिश संवेग-परिवर्तन $\times\cos\theta$ )।
20. बाहर की ओर सर्पिल में जाने के लिए पाल अपने कक्षीय वेग के अनुदिश कोई बल-घटक बनाए रखता है: $\theta = 35{}^{\circ}$ के लिए स्पर्शीय त्वरण; प्रति वर्ष पाई गई चाल; और पृथ्वी की कक्षीय चाल ( $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) से तुलना।
21. वही पाल बुध ( $D = 0.39\,\mathrm{au}$ ) के पास $6.6$ गुना बल क्यों पाता है, और गुरुत्व से उसका अनुपात क्यों नहीं बदलता?
22. पाल की झिल्ली $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ की ऐलुमिनियम-लेपित प्लास्टिक है: धूप में उसका ताप, यदि वह $10\%$ सोखे और दोनों फलकों से कृष्णिका की तरह विकिरित करे ( $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ )।
23. सूर्य के सामने रहकर $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पाने में लगा समय; और उसी आकार का कोई सोखता (काला) पाल क्या पाता?
24. फ़ोटॉनों से प्रकाश का संवेग जाँचिए: प्रति सेकंड पाल से टकराते फ़ोटॉनों की संख्या (औसतन $2\,\mathrm{eV}$ ) और हर एक का संवेग $hf/c$ ; और उससे बल फिर से पाइए।
25. सार दीजिए: तरंग द्वारा ढोई गई तीन राशियाँ (ऊर्जा, संवेग, ध्रुवण) और इस समस्या का वह उपकरण जो हर एक का उपयोग करता है।

**हल — समस्या 13.1.**

**1.** $f = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $k = 9.9 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $hf = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} =
1.96\,\mathrm{eV}$; और $3.2 \times 10^{16}$ फ़ोटॉन प्रति सेकंड।

**2.** $I = 0.01/\pi(0.5 \times 10^{-3})^2 = 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $E_0 = 3.1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $B_0 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$; $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\vect e_x$, $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t
- kz)\vect e_y$।

**3.** $u = I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; पुंज के प्रति मीटर $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$; और $30\,\mathrm{cm}$, अर्थात् $4.7 \times 10^5$ तरंगदैर्घ्य।

**4.** $\langle\Pi\rangle = I$, $z$ के अनुदिश, जो $\cos^2$ की तरह $2f$ पर दोलन करता है; और $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ काले पर, $6.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ किसी दर्पण पर।

**5.** $E_0/5 \times 10^{11} = 6 \times 10^{-9}$; और $B_0$ पृथ्वी के क्षेत्र का पाँचवाँ भाग है।

**6.** $I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$।

**7.** $v_0 = eE_0/m\omega = 0.18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $F_m/F_e = v_0B_0/E_0 = v_0/c = 6 \times
10^{-10}$: अर्थात् धीमे आवेशों पर चुंबकीय बल नगण्य है।

**8.** $\vect E = E_0[\cos(\omega t - kz)\vect e_x \pm \sin(\omega t - kz)\vect e_y]$, जहाँ $E_0 = 2.2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ (वही शक्ति), $\vect B = \vect e_z\wedge\vect E/c$: अर्थात् तीव्रता वही रहती है पर $\Pi = \varepsilon_0cE_0^2$ अब समय में *अचर* है — और ऊर्जा-बहाव अब स्पंदित नहीं होता।

**9.** $10\cos^230^\circ = 7.5\,\mathrm{mW}$; $0$; $7.5 \times \cos^445^\circ = 1.9\,\mathrm{mW}$।

**10.** उजला: $\tfrac12$; गहरा: $0$।

**11.** पहले ध्रुवक के बाद अक्षों पर बराबर घटक; मंदक के बाद उनके बीच कला $\delta$; और क्रॉस दिशा पर प्रक्षेप $\propto(1 - \eu^{\iu\delta})/2$: अतः $I \propto \sin^2(\delta/2)$।

**12.** काला; और आधी तीव्रता।

**13.** वृत्तीय निर्गम ध्रुवक धूप-चश्मों से होकर सिर के हर कोण पर बराबर उजला दिखता है।

**14.** $\tfrac12 \times 0.85 \times 0.85 \times \tfrac13 = 12\%$; और पहला ध्रुवक (आधा सोख लिया) तथा रंग-छन्नियाँ (दो-तिहाई)।

**15.** उजला $0.36$, गहरा $\tfrac12 \times 10^{-3}$: अतः विषमता $\approx 700$।

**16.** वृत्तीय प्रकाश, छन्नी चाहे जितनी घुमाई जाए: अतः ध्रुवण-संवेदी विभाजक को वही शक्ति मिलती है, चाहे छन्नी कैसे भी घुमाई जाए।

**17.** सिर टेढ़ा होने पर [वृत्तीय ध्रुवण](#def-b2-plane-waves-polarization-states) अपनी हस्तता बनाए रखता है; जबकि $20{}^{\circ}$ टेढ़े रैखिक चश्मे $\sin^220^\circ = 12\%$ ग़लत आँख में रिसा देते हैं।

**18.** $F = 2IS/c = 9.1\,\mathrm{mN}$; $a = 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; अर्थात् सौर गुरुत्व का $3\%$।

**19.** रोकी गई शक्ति $\propto\cos\theta$, और अभिलंब के अनुदिश परावर्तित संवेग-परिवर्तन $2p\cos\theta$: अतः अभिलंब के अनुदिश $F = (2IS/c)\cos^2\theta$।

**20.** $F = 9.1 \times \cos^235^\circ = 6.1\,\mathrm{mN}$, और स्पर्शीय भाग $F\sin35^\circ
= 3.5\,\mathrm{mN}$: अतः $a_t = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ प्रति वर्ष — अर्थात् कक्षीय चाल का $7\%$।

**21.** $(1/0.39)^2 = 6.6$; और गुरुत्व भी उसी तरह बदलता है।

**22.** $0.1 \times 1360 = 2\sigma T^4$: $T = 190\,\mathrm{K}$ — अर्थात् दर्पण ठंडा ही रहता है।

**23.** $1000/1.8 \times 10^{-4} = 5.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, अर्थात् दो महीने; और कोई काला पाल आधा बल पाता है।

**24.** $1.36 \times 10^6/3.2 \times 10^{-19} = 4.3 \times 10^{21}\,$ फ़ोटॉन प्रति सेकंड, और हर एक का $hf/c = 1.1 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; परावर्तित: $2Np = 9.1\,\mathrm{mN}$।

**25.** ऊर्जा ($u$, $I$): पुंज-रोधक और प्रकाश-डायोड। संवेग ($I/c$): पाल। ध्रुवण (मालुस, पट्टिकाएँ): पर्दा और उसके ध्रुवक।