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title: "अंतरापृष्ठों पर परावर्तन और पारगमन"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2"
subject: physics
language: hi
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/15-reflection-and-transmission-at-interfaces
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# अध्याय 15 — अंतरापृष्ठों पर परावर्तन और पारगमन

प्रतिध्वनि-लेखी करने वाला जाँच-यंत्र और त्वचा के बीच कोई जेल दबा देता है: उसके बिना ध्वनि हवा की झिल्ली से टकराकर लौट जाती और शरीर में कभी न घुसती। किसी कैमरे का लेंस तरंगदैर्घ्य के चौथाई भर मोटी किसी झिल्ली से लेपित होता है, और उसकी सतहें परावर्तित करना छोड़ देती हैं। कोई रेडियो तरंग आयनमंडल से मिलकर लौट पड़ती है; प्रकाश चाँदी के दर्पण से मिलकर लौट पड़ता है; कोई स्पंद किसी केबल के सिरे तक पहुँचती है और, वहाँ जो जुड़ा हो उसके अनुसार, उलटी या सीधी लौट आती है। हर तरंग, माध्यम का बदलना पाकर, किसी परावर्तित और किसी पारगत भाग में बँट जाती है, और एक ही विचार हिस्से तय करता है: अंतरापृष्ठ पर *सांतत्य शर्तें*, जो दोनों माध्यमों की प्रतिबाधाओं के साथ लिखी जाती हैं। यह अध्याय उसे ध्वनि पर, दो परावैद्युतों के बीच के प्रकाश पर, किसी [प्लाज़्मा](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#def-b2-waves-in-media-plasma) पर, किसी धातु पर और किसी केबल पर लगाता है, और उससे परावर्तन तथा अपवर्तन के नियम और वह एक कोण निकालता है जिस पर काँच कुछ भी परावर्तित नहीं करता।

![कोई बहु-लेपित कैमरा लेंस: हलके बैंगनी और हरे परावर्तन उसी का बचा हुआ अंश हैं जो नंगी काँच की हर सतह चार प्रतिशत लौटा देती।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/img-e0299dbc1764.jpg)

*कोई बहु-लेपित कैमरा लेंस: हलके बैंगनी और हरे परावर्तन उसी का बचा हुआ अंश हैं जो नंगी काँच की हर सतह चार प्रतिशत लौटा देती।*

## 15.1 अभिलंब आपतन: प्रतिबाधा-नियम

**प्रमेय 15.1 (अभिलंब आपतन पर परावर्तन और पारगमन).**

कोई समतल तरंग माध्यम 1 में माध्यम 2 के साथ बने समतल अंतरापृष्ठ $x = 0$ की ओर चलती है; हर माध्यम किसी प्रतिबाधा $Z_i$ से पहचाना जाता है (अंतरापृष्ठ पर सतत रहने वाली दो क्षेत्र-राशियों का अनुपात — ध्वनि के लिए दाब और वेग, प्रकाश के लिए $E$ और $H = B/\mu_0$, किसी लाइन के लिए वोल्टता और धारा)। $x = 0$ पर दोनों राशियों का सांतत्य, "बल जैसी" राशि (दाब, $E$, $v$) के लिए, देता है

$$
r = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} , \qquad t = \frac{2Z_2}{Z_2 + Z_1} ,
\qquad R = r^2 , \quad T = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1 + Z_2)^2} , \quad R + T = 1 .
$$

("बहाव जैसी" राशि — वेग, $H$, धारा — के लिए $r$ चिह्न बदल देता है।) $Z_1 = Z_2$ पर कुछ भी परावर्तित नहीं होता (*मिलान वाले* माध्यम); और $Z_2 \gg Z_1$ ($r \to +1$) या $Z_2 \ll Z_1$ ($r \to -1$) पर लगभग सब कुछ।

**उपपत्ति.** आपाती $p_i = A\cos(\omega t - k_1x)$, परावर्तित $p_r = rA\cos(\omega t + k_1x)$, पारगत $p_t = tA\cos(\omega t - k_2x)$, तीनों की आवृत्ति वही। इनसे जुड़ी बहाव-राशियाँ $p/Z_1$, $-p_r/Z_1$ (पीछे जाती कोई तरंग $v = -p/Z$ ले चलती है) और $p_t/Z_2$ हैं। $x = 0$ पर सांतत्य: $1 + r = t$ और $(1 - r)/Z_1
= t/Z_2$; हल कीजिए। ऊर्जाएँ: तीव्रताएँ $p^2/Z$ हैं, अतः $R = r^2$ और $T = t^2Z_1/Z_2$। ∎

**उदाहरण 15.2 (तीन अंतरापृष्ठों पर ध्वनि).**

वायु ($Z = 410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$) से जल ($1.5 \times 10^6$): $r = 0.9995$, $T = 1.1 \times 10^{-3}$ — अर्थात् $99.9\%$ परावर्तित; कोई तैराक ऊपर की दुनिया का लगभग कुछ नहीं सुनता, और पराश्रव्य जाँच-यंत्र को अपना जेल चाहिए। ऊतक ($1.6 \times 10^6$) से अस्थि ($7 \times 10^6$): $r = 0.63$, $T = 0.6$। वसा ($1.38 \times
10^6$) से पेशी ($1.70 \times 10^6$): $r = 0.10$, $R = 1\%$ — वही मंद प्रतिध्वनियाँ जिनसे कोई चित्र बनता है। दीवार से बँधी कोई डोरी ($Z_2 \to \infty$): बल के लिए $r = +1$, वेग के लिए $-1$, और स्पंद उलटी होकर लौटती है ([अध्याय 6](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#ch-b2-waves-on-strings))।

**प्रतिज्ञप्ति 15.3 (अभिलंब आपतन पर प्रकाश; परावर्तन-रोधी लेप).**

$n_1$, $n_2$ अपवर्तनांकों के दो पारदर्शी माध्यमों के बीच के प्रकाश के लिए (किसी परावैद्युत की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}/n$ है, जो $n$ के व्युत्क्रमानुपाती है), विद्युत् क्षेत्र के लिए

$$
r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} , \qquad R = \Bigl(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\Bigr)^2 :
$$

हर वायु–काँच सतह पर $4\%$, जल के लिए $2\%$, हीरे के लिए $17\%$। माध्यमों के बीच $n = \sqrt{n_1n_2}$ अपवर्तनांक और $\lambda/4n$ मोटाई की कोई परत $\lambda$ पर परावर्तन रद्द कर देती है (*चतुर्थांश-तरंग [परावर्तन-रोधी लेप](#prop-b2-wave-interfaces-optics)*): उसकी दोनों सतहों पर परावर्तित तरंगों के आयाम बराबर और कलाएँ उलटी होती हैं। वही परत ऊँचे अपवर्तनांक के साथ, या एकांतर [चतुर्थांश-तरंग परतों](#prop-b2-wave-interfaces-optics) का कोई ढेर, उलटा करता है और कोई ऐसा दर्पण बना देता है जो $99.99\%$ परावर्तित करे — लेज़रों के दर्पण।

**उपपत्ति.** स्पर्शीय $\vect E$ और $\vect B$ का सांतत्य (कोई सतही धारा नहीं): $E_i + E_r = E_t$ और $B_i - B_r = B_t$, जहाँ हर माध्यम में $B = nE/c$, अर्थात् $Z \propto 1/n$ के साथ वही प्रतिबाधा-नियम। लेप: दोनों परावर्तित आयाम $(n_1 - n)/(n_1 + n)$ और $(n - n_2)/(n + n_2)$ हैं, जो $n^2 = n_1n_2$ पर बराबर होते हैं; और परत में एक चक्कर कला $2\times2\pi n(\lambda/4n)/\lambda = \pi$ जोड़ देता है, अतः वे रद्द हो जाते हैं (बहु-परावर्तन, छोटे, [अभ्यास 15.5](#exo-b2-wave-interfaces-5) के यथार्थ निर्वाह में शामिल)। ∎

![बाएँ: किसी अंतरापृष्ठ पर अभिलंब आपतन — आयाम दोनों क्षेत्र-राशियों के सांतत्य से, प्रतिबाधाओं के रास्ते, निकल आते हैं। दाएँ: चतुर्थांश-तरंग परावर्तन-रोधी परत — दोनों परावर्तित तरंगें रद्द हो जाती हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/fig-349ec1069a4d.svg)

*बाएँ: किसी अंतरापृष्ठ पर अभिलंब आपतन — आयाम दोनों क्षेत्र-राशियों के सांतत्य से, प्रतिबाधाओं के रास्ते, निकल आते हैं। दाएँ: चतुर्थांश-तरंग परावर्तन-रोधी परत — दोनों परावर्तित तरंगें रद्द हो जाती हैं।*

## 15.2 तिरछा आपतन: देकार्त के नियम और ब्रूस्टर कोण

**प्रमेय 15.4 (परावर्तन और अपवर्तन के नियम).**

तरंग-सदिश $\vect k_i$ की कोई समतल तरंग दो माध्यमों के बीच के समतल अंतरापृष्ठ से मिलती है, जिनमें तरंगें $v_1$ और $v_2$ से चलती हैं। सांतत्य शर्तें अंतरापृष्ठ के हर बिंदु पर और हर समय लागू होनी चाहिए: अतः परावर्तित और पारगत तरंगों की आवृत्ति और *स्पर्शीय तरंग-सदिश* आपाती तरंग वाले ही होने चाहिए। इससे तीनों तरंग-सदिश समतलीय होते हैं (आपतन तल), परावर्तन कोण आपतन कोण के बराबर होता है, और

$$
\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} \qquad (n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \text{ प्रकाश के लिए}) .
$$

जब $v_2 > v_1$ और $\sin\theta_1 > v_1/v_2$ हो तो कोई वास्तविक $\theta_2$ नहीं होता: *[पूर्ण आंतरिक परावर्तन](#thm-b2-wave-interfaces-snell)*; तब माध्यम 2 में क्षेत्र कोई *[क्षयी तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex)* है, $\propto\eu^{-x/\ell}\eu^{\iu(\omega t - k_ty)}$, जो अंतरापृष्ठ के अनुदिश चलती है और उससे दूर $\ell = \lambda_2/2\pi
\sqrt{\sin^2\theta_1(v_2/v_1)^2 - 1}$ पर, अर्थात् किसी तरंगदैर्घ्य के अंश भर में, क्षय हो जाती है; वह ऊर्जा दूर नहीं ले जाती — पूर्ण परावर्तन।

**उपपत्ति.** $\vect k = (k_x, k_y, 0)$ और अंतरापृष्ठ $x = 0$ लेने पर, तीनों तरंगों की कलाएँ $\omega t - k_yy$ हर $y$, $t$ के लिए मेल खानी चाहिए: वही $\omega$, वही $k_y = (\omega/v_1)\sin\theta_1 = (\omega/v_1)\sin\theta_r = (\omega/v_2)\sin
\theta_2$। यदि $(\omega/v_2)^2 - k_y^2 < 0$ हो तो $k_{2x}$ काल्पनिक है, $k_{2x} = -\iu/\ell$: अर्थात् क्षयन; और $x$ के अनुदिश उसका पॉयंटिंग सदिश माध्य में शून्य होता है। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 15.5 (ब्रूस्टर कोण; परावर्तन से ध्रुवण).**

किसी परावैद्युत पर पड़ते प्रकाश के लिए परावर्तित आयाम ध्रुवण पर निर्भर करता है (फ्रेनेल के गुणांक, सामान्य रूप में स्वीकृत): आपतन तल *में* पड़े ध्रुवण (p) के लिए वह *[ब्रूस्टर कोण](#prop-b2-wave-interfaces-brewster)* पर लुप्त हो जाता है

$$
\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} ,
$$

जिस पर परावर्तित और अपवर्तित किरणें लंबवत होती हैं; तब $\theta_B$ पर परावर्तित प्रकाश आपतन तल के लंबवत पूरी तरह ध्रुवित होता है (s), और उसके आसपास आंशिक रूप से — वही चौंध जो पानी और सड़कों पर उठती है और ध्रुवक धूप-चश्मे हटा देते हैं। काँच ($n = 1.5$) के लिए $\theta_B = 56{}^{\circ}$, जल के लिए $53{}^{\circ}$।

**उपपत्ति.** परावर्तित तरंग माध्यम 2 के द्विध्रुवों से विकिरित होती है, जिन्हें अपवर्तित तरंग अपने $\vect E$ के अनुदिश दोलित कर देती है, और वह p ध्रुवण के लिए आपतन तल में, अपवर्तित किरण के लंबवत, पड़ता है। कोई द्विध्रुव अपनी ही अक्ष के अनुदिश विकिरित नहीं करता ([अध्याय 17](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/17-dipole-radiation-and-scattering#ch-b2-dipole-radiation)); जब परावर्तित दिशा उस अक्ष के समांतर हो — अर्थात् अपवर्तित किरण के लंबवत, $\theta_1
+ \theta_2 = \pi/2$ — तब कुछ भी परावर्तित नहीं होता। तब $\sin\theta_2 = \cos\theta_1$ और देकार्त देते हैं $\tan\theta_1 = n_2/n_1$। s ध्रुवण का $\vect E$ आपतन तल के लंबवत रहता है, कभी परावर्तित किरण के अनुदिश नहीं: अतः वह सदा कुछ न कुछ परावर्तित होता है। ∎

![बाएँ: अंतरापृष्ठ के अनुदिश कला-मिलान परावर्तन और अपवर्तन के नियम दे देता है। दाएँ: ब्रूस्टर कोण पर दूसरे माध्यम के द्विध्रुवों को, जो p-ध्रुवित अपवर्तित क्षेत्र के अनुदिश चालित हैं, परावर्तित किरण को खिलाने के लिए अपनी ही अक्ष के अनुदिश विकिरित करना पड़ता — वे नहीं कर सकते, और केवल s ध्रुवण परावर्तित होता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/fig-dff3a1a533f7.svg)

*बाएँ: अंतरापृष्ठ के अनुदिश कला-मिलान परावर्तन और अपवर्तन के नियम दे देता है। दाएँ: [ब्रूस्टर कोण](#prop-b2-wave-interfaces-brewster) पर दूसरे माध्यम के द्विध्रुवों को, जो p-ध्रुवित अपवर्तित क्षेत्र के अनुदिश चालित हैं, परावर्तित किरण को खिलाने के लिए अपनी ही अक्ष के अनुदिश विकिरित करना पड़ता — वे नहीं कर सकते, और केवल s ध्रुवण परावर्तित होता है।*

![बाएँ: किसी वायु–काँच सतह (n = 1.5) की दोनों ध्रुवणों के लिए परावर्तकता — R_p ब्रूस्टर कोण पर लुप्त हो जाता है और सर्पण आपतन पर दोनों 1 तक चढ़ जाते हैं। दाएँ: क्रांतिक कोण के परे पारगत क्षेत्र क्षयी है, अंतरापृष्ठ से चिपका हुआ और किसी तरंगदैर्घ्य के भीतर ही मर जाता।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/fig-a59dc7fc53d4.svg)

![बाएँ: किसी वायु–काँच सतह (n = 1.5) की दोनों ध्रुवणों के लिए परावर्तकता — R_p ब्रूस्टर कोण पर लुप्त हो जाता है और सर्पण आपतन पर दोनों 1 तक चढ़ जाते हैं। दाएँ: क्रांतिक कोण के परे पारगत क्षेत्र क्षयी है, अंतरापृष्ठ से चिपका हुआ और किसी तरंगदैर्घ्य के भीतर ही मर जाता।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/fig-7d104d01609b.svg)

*बाएँ: किसी वायु–काँच सतह ($n = 1.5$) की दोनों ध्रुवणों के लिए परावर्तकता — $R_p$ [ब्रूस्टर कोण](#prop-b2-wave-interfaces-brewster) पर लुप्त हो जाता है और सर्पण आपतन पर दोनों $1$ तक चढ़ जाते हैं। दाएँ: क्रांतिक कोण के परे पारगत क्षेत्र क्षयी है, अंतरापृष्ठ से चिपका हुआ और किसी तरंगदैर्घ्य के भीतर ही मर जाता।*

## 15.3 प्लाज़्मा, धातुएँ और पूर्ण चालक

**प्रतिज्ञप्ति 15.6 (किसी प्लाज़्मा पर और किसी धातु पर परावर्तन).**

(क) किसी [प्लाज़्मा](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#def-b2-waves-in-media-plasma) पर अभिलंब आपतन में $\omega < \omega_p$ की कोई तरंग पूरी तरह परावर्तित होती है: "अपवर्तनांक" $\underline n = -\iu\sqrt{\omega_p^2/\omega^2 - 1}$ काल्पनिक है, $r = (1 - \underline n)/(1 + \underline n)$ का मापांक $1$ है, और क्षेत्र [अध्याय 14](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#ch-b2-waves-in-media) के क्षयी $\eu^{-\kappa x}$ की तरह भीतर घुसता है। (ख) किसी अच्छे चालक का $\underline n = (1 - \iu)c/\omega\delta$ है, जिसका मापांक विशाल है: $r \approx
-1$, और परावर्तकता $R \approx 1 - 2\omega\delta/c = 1 - \sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$ (हागेन–रूबेंस): $10\,\mathrm{GHz}$ पर ताँबे के लिए $0.99999$, दूर अवरक्त में $0.99$। (ग) *[पूर्ण चालक](#prop-b2-wave-interfaces-conductors)* ($\gamma \to \infty$, $\delta \to 0$): ठीक-ठीक $r = -1$ मिलता है $\vect E$ के लिए, सतह पर कुल स्पर्शीय $\vect E$ लुप्त हो जाता है, और आपाती तथा परावर्तित तरंगें [अप्रगामी तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#prop-b2-waves-on-strings-modes) बना देती हैं

$$
\vect E = -2E_0\sin kx\sin\omega t\,\vect e_y , \qquad
\vect B = 2\frac{E_0}c\cos kx\cos\omega t\,\vect e_z ,
$$

जिसमें $\vect E$ की निस्पंदें ($\vect B$ के प्रस्पंद) $x = 0, -\lambda/2, \dots$ पर हैं; क्षेत्र को कोई *सतही धारा* $\vect j_s = \vect n\wedge\vect B/
\mu_0 = (2E_0/\mu_0c)\cos\omega t\,\vect e_y$ ले चलती है, और उस पर लगा लाप्लास बल [विकिरण दाब](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/12-electromagnetic-energy-and-the-poynting-vector#prop-b2-poynting-vector-wave) $2I/c$ है।

**उपपत्ति.** (क) और (ख): $Z \propto 1/\underline n$ के साथ वही प्रतिबाधा-नियम और [अध्याय 14](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#ch-b2-waves-in-media) के [सम्मिश्र अपवर्तनांक](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#prop-b2-waves-in-media-lorentz); (ख) के लिए, $r = (1 - \underline n)/(1 +
\underline n) \approx -1 + 2/\underline n$ और $R = |r|^2 \approx 1 - 4\operatorname{Re}(1/
\underline n) = 1 - 2\omega\delta/c$। (ग) भीतर $\vect E = \vect 0$ लेने पर, सीमा-संबंध $\vect E_{2t} = \vect E_{1t}$ देता है $E_{\text{कुल}}(0) = 0$, अतः $r =
-1$; आपाती $E_0\cos(\omega t - kx)$ और परावर्तित $-E_0\cos(\omega t + kx)$ जोड़ दीजिए; $\vect B$ फ़ैराडे से; सतह पर $\vect B$ की छलाँग $\mu_0\vect j_s
\wedge\vect n$ है; और उस चादर पर प्रति एकांक क्षेत्रफल माध्य बल $\tfrac12\langle j_sB\rangle$ $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$ है ([अध्याय 12](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/12-electromagnetic-energy-and-the-poynting-vector#ch-b2-poynting-vector))। ∎

![किसी पूर्ण चालक पर परावर्तन: विद्युत् क्षेत्र की सतह पर कोई निस्पंद है और अप्रगामी तरंग की निस्पंदें हर आधे तरंगदैर्घ्य पर; चुंबकीय क्षेत्र का वहाँ प्रस्पंद है, जिसे सतही धारा ले चलती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-wave-interfaces/fig-50dc8c0c962c.svg)

*किसी [पूर्ण चालक](#prop-b2-wave-interfaces-conductors) पर परावर्तन: विद्युत् क्षेत्र की सतह पर कोई निस्पंद है और [अप्रगामी तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#prop-b2-waves-on-strings-modes) की निस्पंदें हर आधे तरंगदैर्घ्य पर; चुंबकीय क्षेत्र का वहाँ प्रस्पंद है, जिसे सतही धारा ले चलती है।*

**उदाहरण 15.7 (दर्पण, रडार, सूक्ष्मतरंग भट्ठियाँ).**

कोई धातु का दर्पण इसी क्रियाविधि से परावर्तित करता है: आता हुआ क्षेत्र कुछ नैनोमीटर गहरी किसी त्वचा में धारा चला देता है ($500\,\mathrm{nm}$ पर चाँदी के लिए $23\,\mathrm{nm}$), जो परावर्तित तरंग फिर से विकिरित कर देती है; और जो $5\%$ छूट जाता है वह धातु को तपा देता है — इसीलिए ऊँची शक्ति के किसी लेज़र-दर्पण को ठंडा किया जाता है, और इसीलिए [अध्याय 14](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#ch-b2-waves-in-media) की भट्ठी की दीवार शक्ति का $6\%$ ले लेती है। कोई रडार किसी वायुयान को उस तरंग से देखता है जो उसकी खाल फिर से विकिरित करती है; कोई छिपा वायुयान चपटी धातु की जगह अवशोषक और ऐसी आकृतियाँ रख देता है जो रडार से दूर परावर्तित करें। भट्ठी में [अप्रगामी तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#prop-b2-waves-on-strings-modes) की निस्पंदें, जो $\lambda/2 =
6\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर हैं, ठंडे धब्बे हैं।

## 15.4 किसी केबल का सिरा

**प्रतिज्ञप्ति 15.8 (किसी संचरण लाइन का सिरा).**

अभिलाक्षणिक प्रतिबाधा $Z_c$ की कोई लाइन $x = \ell$ पर प्रतिबाधा $\underline Z_L$ के किसी भार पर ख़त्म होती है: वोल्टता तरंग $\underline r =
(\underline Z_L - Z_c)/(\underline Z_L + Z_c)$ से परावर्तित होती है — किसी *मिलान वाले* भार $Z_L = Z_c$ के लिए कुछ नहीं, किसी लघुपथ के लिए $r = -1$, किसी खुले सिरे के लिए $r = +1$। कोई बेमेल लाइन कोई आंशिक [अप्रगामी तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#prop-b2-waves-on-strings-modes) ले चलती है, जिसमें अधिकतम और न्यूनतम वोल्टता का अनुपात *[अप्रगामी तरंग अनुपात](#prop-b2-wave-interfaces-coax)* $(1 + |r|)/(1 - |r|)$ है। कोई छोटी स्पंद भेजकर प्रतिध्वनि का समय लेना किसी ख़राबी की जगह बता देता है ([काल-क्षेत्र परावर्तनमिति](#prop-b2-wave-interfaces-coax)) और प्रतिध्वनि के चिह्न से उसकी प्रकृति पढ़ लेता है।

**उपपत्ति.** भार पर, $v = Z_Li$ जहाँ $v = v_i + v_r$ और $i = (v_i - v_r)/Z_c$ ([अध्याय 8](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#ch-b2-dispersion-wave-packets)); और वही प्रतिबाधा-नियम एक बार फिर। [अप्रगामी तरंग अनुपात](#prop-b2-wave-interfaces-coax): लाइन के अनुदिश $|v|$ $|v_i|(1 + |r|)$ और $|v_i|(1 -
|r|)$ के बीच बदलता रहता है। ∎

**विधि 15.9 (कोई भी अंतरापृष्ठ).**

(1) वे दोनों राशियाँ पहचानिए जो अंतरापृष्ठ के पार सतत रहती हैं, और हर माध्यम की प्रतिबाधा को किसी प्रगामी तरंग में उनके अनुपात के रूप में। (2) एक ओर आपाती $+$ परावर्तित, दूसरी ओर पारगत लिखिए, बराबर आवृत्तियों और बराबर स्पर्शीय तरंग-सदिशों के साथ (देकार्त)। (3) सांतत्य थोपिए: दो समीकरण, दो अज्ञात $r$, $t$। (4) ऊर्जा: हानिरहित माध्यमों के लिए $R = |r|^2$, $T = 1 - R$। (5) सीमाएँ जाँचिए: बराबर प्रतिबाधाएँ (कोई परावर्तन नहीं), अनंत या शून्य प्रतिबाधा ($|r| = 1$, और $r$ का चिह्न), और परतों के लिए क्रमिक परावर्तनों की कलाएँ।

## 15.5 अभ्यास

**अभ्यास 15.1 ★.**

ध्वनिक प्रतिबाधाएँ: वायु $410\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, जल $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, इस्पात $4.0 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, कोमल ऊतक $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, अस्थि $7 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$। वायु–जल, जल–इस्पात, ऊतक–अस्थि, ऊतक–वायु के लिए [परावर्तन गुणांक](#thm-b2-wave-interfaces-normal) (दाब) और परावर्तित ऊर्जा के अंश। कोई मछली आपको क्यों नहीं सुनती, और कोई गोताखोर नाव का इंजन इतनी अच्छी तरह क्यों सुन लेता है?

**हल — अभ्यास 15.1.**

$r = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$, $R = r^2$: वायु–जल $0.9995$, $99.9\%$; जल–इस्पात $0.93$, $86\%$; ऊतक–अस्थि $0.63$, $40\%$; ऊतक–वायु $-0.9995$, $99.9\%$। हवा में आपकी आवाज़ सतह से परावर्तित हो जाती है; और इंजन नाव के ढाँचे को हिलाता है, जो इस्पात का है और जल के संपर्क में है, अतः अपने कंपन का $14\%$ सीधे भीतर पहुँचा देता है।

**अभ्यास 15.2 ★.**

वायु–जल ($n = 1.33$), वायु–काँच ($1.52$), वायु–हीरा ($2.42$), काँच–जल की अभिलंब आपतन पर परावर्तकता। $10$ वायु–काँच सतहों वाला कोई बिना लेप का कैमरा-लेंस: पारगत प्रकाश का अंश, और वह अंश जो प्रेत-प्रतिबिंब बनकर इधर-उधर उछलता रहता है; और उन लेपों के साथ जो प्रति सतह $0.5\%$ छोड़ते हैं।

**हल — अभ्यास 15.2.**

$R = ((n - 1)/(n + 1))^2$: $2.0\%$, $4.3\%$, $17\%$; काँच–जल $0.44\%$। $0.957^{10} = 0.64$: एक-तिहाई प्रकाश खोया, और उसका बहुत सारा प्रेतों के रूप में; लेप के साथ: $0.995^{10} = 0.95$।

**अभ्यास 15.3 ★.**

वायु–काँच ($1.52$), वायु–जल, जल–काँच (प्रकाश जल से काँच में जाते हुए) के लिए [ब्रूस्टर कोण](#prop-b2-wave-interfaces-brewster)। उस कोण पर परावर्तित प्रकाश का ध्रुवण; क्या पारगत प्रकाश पूरी तरह ध्रुवित है? किसी दुकान की खिड़की को किस कोण पर देखे कोई छायाकार कि उसके परावर्तन मर जाएँ, और ध्रुवक की कौन-सी दिशा के साथ?

**हल — अभ्यास 15.3.**

$\tan\theta_B = n_2/n_1$: $56.7{}^{\circ}$, $53.1{}^{\circ}$, $48.8{}^{\circ}$। परावर्तित प्रकाश आपतन तल के लंबवत ध्रुवित है; पारगत प्रकाश केवल आंशिक रूप से ध्रुवित है (s घटक केवल आंशिक रूप से परावर्तित होता है)। खिड़की को उसके अभिलंब से $57{}^{\circ}$ पर देखिए, ध्रुवक की अक्ष आपतन तल में रखकर (किसी ऊर्ध्वाधर खिड़की को बग़ल से देखते हुए क्षैतिज)।

**अभ्यास 15.4 ★.**

काँच–वायु, जल–वायु, हीरा–वायु के लिए पूर्ण परावर्तन के क्रांतिक कोण; दर्पण की तरह कोई $45{}^{\circ}$ का काँच का प्रिज़्म; काँच–वायु के लिए $45{}^{\circ}$ और $60{}^{\circ}$ आपतन पर [क्षयी तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) की गहराई ($\lambda = 600\,\mathrm{nm}$); और कोई हीरा इतना दमकता क्यों है?

**हल — अभ्यास 15.4.**

$\arcsin(1/n)$: $41.1{}^{\circ}$, $48.8{}^{\circ}$, $24.4{}^{\circ}$; $45^\circ > 41^\circ$: अतः प्रिज़्म पूरी तरह परावर्तित करता है। $\ell = \lambda/2\pi\sqrt{n^2\sin^2\theta - 1}$: $45{}^{\circ}$ पर $270\,\mathrm{nm}$, $60{}^{\circ}$ पर $115\,\mathrm{nm}$। हीरे का छोटा क्रांतिक कोण उसमें घुसे प्रकाश को तब तक फँसाए रखता है जब तक वह ऊपरी फलकों से न निकल जाए — यही दमक है।

**अभ्यास 15.5 ★★.**

*[परावर्तन-रोधी लेप](#prop-b2-wave-interfaces-optics)।* $n_2 = 1.52$ के किसी काँच पर मैग्नीशियम फ्लुओराइड, $n = 1.38$, का लेप है। (क) किसी एकल परत के लिए आदर्श अपवर्तनांक; $550\,\mathrm{nm}$ के लिए मोटाई। (ख) $550\,\mathrm{nm}$ पर MgF$_2$ के साथ बची परावर्तकता: आयाम $r = (r_1 + r_2\eu^{-\iu\varphi})/(1 + r_1r_2
\eu^{-\iu\varphi})$ है, जिसमें $r_1 = (n_1 - n)/(n_1 + n)$, $r_2 = (n - n_2)/(n + n_2)$ और अभिकल्प तरंगदैर्घ्य पर $\varphi = \pi$ (बहु-परावर्तन शामिल): $R$ निकालिए। (ग) $400\,\mathrm{nm}$ और $700\,\mathrm{nm}$ पर $R$ (वही परत): किसी लेपित लेंस के बचे परावर्तन का रंग क्या है? (घ) उत्तम कोटि के लेंस कई परतें क्यों काम में लेते हैं?

**हल — अभ्यास 15.5.**

(क) $\sqrt{1.52} = 1.23$; $e = 550/4 \times 1.38 = 100\,\mathrm{nm}$। (ख) $r_1 = -0.160$, $r_2 =
-0.048$, $\varphi = \pi$: $r = (r_1 - r_2)/(1 - r_1r_2) = -0.112$, $R = 1.3\%$ ($4.3\%$ के सामने)। (ग) $400\,\mathrm{nm}$: $\varphi = 1.375\pi$, $R \approx 2.2\%$; $700\,\mathrm{nm}$: $\varphi =
0.79\pi$, $R \approx 1.6\%$: नीला और लाल हरे से अधिक परावर्तित होते हैं — वही बैंगनी-सी झलक जो किसी लेपित लेंस पर दिखती है। (घ) कई परतें $R$ को दृश्य भर में चपटा कर देती हैं।

**अभ्यास 15.6 ★★.**

*पराश्रव्य जाँच-यंत्र।* पारक्रामक की सिरैमिक का $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, ऊतक का $Z_2 = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f = 5\,\mathrm{MHz}$। (क) सीधे पारगत ऊर्जा; बाक़ी सिरैमिक के भीतर गूँजती रहती है — इससे स्पंद की लंबाई का क्या होता है? (ख) किसी चतुर्थांश-तरंग मिलान परत की प्रतिबाधा और मोटाई (परत में [ध्वनि की चाल](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/7-sound-waves-in-fluids#thm-b2-sound-waves-equation) $3000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$)। (ग) जाँच-यंत्र के आगे हवा की $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ की झिल्ली के साथ: पारगत ऊर्जा (दो अंतरापृष्ठ, कोई अनुनाद नहीं) — इसीलिए जेल। (घ) जेल का $Z \approx Z_2$ है: अब जेल–त्वचा अंतरापृष्ठ से कितना अंश पार जाता है?

**हल — अभ्यास 15.6.**

(क) $T = 4 \times 30 \times 1.6/31.6^2 = 19\%$; बाक़ी गूँजती रहती है, और स्पंद घंटी की तरह बजने लगती है। (ख) $Z = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $e = v/4f = 0.15\,\mathrm{mm}$। (ग) $T_1 = 4 \times 30 \times 10^6 \times 410/(30 \times 10^6)^2 = 5.5 \times 10^{-5}$, $T_2 = 4 \times 1.6 \times
10^6 \times 410/(1.6 \times 10^6)^2 = 1.0 \times 10^{-3}$: $5.6 \times 10^{-8}$। (घ) $4 \times 1.5 \times 1.6/
3.1^2 = 0.999$।

**अभ्यास 15.7 ★★.**

*[प्लाज़्मा](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#def-b2-waves-in-media-plasma) दर्पण।* $3\,\mathrm{MHz}$ की कोई तरंग आयनमंडल ($n_e =
1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$) से अभिलंब आपतन में मिलती है। (क) $\underline n$; $r$; $|r| = 1$ जाँचिए और $r$ की कला दीजिए। (ख) प्रवेश गहराई। (ग) परत के नीचे [अप्रगामी तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#prop-b2-waves-on-strings-modes): $\vect E$ की पहली निस्पंद की जगह। (घ) असल में तरंग किसी ऐसी परत पर तिरछी आती है जिसका घनत्व ऊँचाई के साथ बढ़ता है: गुणात्मक रूप से समझाइए कि वह उस स्तर तक पहुँचने से पहले ही क्यों मुड़ जाती है जहाँ $\omega = \omega_p$ हो (घटते अपवर्तनांक के साथ देकार्त लीजिए), और ऊँची आवृत्ति की कोई तरंग क्यों निकल भागती है।

**हल — अभ्यास 15.7.**

(क) $\omega_p/\omega = 3$: $\underline n = -\iu\sqrt8 = -2.83\iu$; $r = (1 + 2.83\iu)/(1 - 2.83
\iu)$, $|r| = 1$, कला $2\arctan2.83 = 141{}^{\circ}$। (ख) $c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}
= 5.6\,\mathrm{m}$। (ग) $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$: पहली निस्पंद $kx = -(\pi + \varphi)/2$ पर, अर्थात् परत के नीचे $x \approx -45\,\mathrm{m}$। (घ) अपवर्तनांक ऊँचाई के साथ गिरता है, अतः देकार्त किरण को ऊर्ध्वाधर से दूर मोड़ देते हैं; वह वहाँ लौट पड़ती है जहाँ $n(z) = \sin\theta_0$, अर्थात् $\omega_p^2 = \omega^2\cos^2\theta_0$, जो $\omega = \omega_p$ स्तर से नीचे है; और वह आवृत्ति जिसका $\omega\cos\theta_0$ परत के अधिकतम $\omega_p$ से बड़ा हो, निकल भागती है।

**अभ्यास 15.8 ★★.**

*धातु के दर्पण।* ताँबा ($\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$): परावर्तकता $1 -
\sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$, $10\,\mathrm{GHz}$ पर, $30\,\mathrm{THz}$ (CO$_2$ लेज़र) पर और, औपचारिक रूप से, $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ पर — वहाँ सूत्र क्यों चूक जाता है ($\omega\tau$ की तुलना कीजिए)? किसी ताँबे के दर्पण पर $1\,\mathrm{kW}$ की CO$_2$ लेज़र-पुंज से सोखी शक्ति; और ऐसे दर्पण जल-शीतित क्यों होते हैं।

**हल — अभ्यास 15.8.**

$\sqrt{8\varepsilon_0\omega/\gamma}$: $2.7 \times 10^{-4}$ ($R = 0.9997$), $1.5 \times 10^{-2}$ ($0.985$), $0.06$ ($0.94$) — पर $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ पर $\omega\tau = 80$: ताँबा कोई [प्लाज़्मा](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#def-b2-waves-in-media-plasma) है, कोई ओमीय चालक नहीं, और लगभग $60\%$ परावर्तित करता है, रंगा हुआ। CO$_2$ पुंज से $15\,\mathrm{W}$ सोखे जाते हैं: किसी छोटे दर्पण पर प्रति मिनट कुछ सौ केल्विन, इसीलिए पानी।

**अभ्यास 15.9 ★★.**

कोई $50\,\Omega$ लाइन $75$, $25$, $0$, $\infty$ और $50\,\Omega$ पर ख़त्म होती है: [परावर्तन गुणांक](#thm-b2-wave-interfaces-normal), [अप्रगामी तरंग अनुपात](#prop-b2-wave-interfaces-coax), और परावर्तित शक्ति का अंश। कोई $100\,\mathrm{W}$ प्रेषक किसी $50\,\Omega$ केबल से होकर $75\,\Omega$ के किसी ऐंटेना को खिलाता है: ऐंटेना तक पहुँचती शक्ति (पहली बार में), और बाक़ी कहाँ जाती है। कोई प्रतिध्वनि $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ बाद सीधी लौटती है ($c_{\text{लाइन}}
= 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): ख़राबी कहाँ है और क्या है?

**हल — अभ्यास 15.9.**

$r = 0.2$, $-1/3$, $-1$, $+1$, $0$; [अप्रगामी तरंग अनुपात](#prop-b2-wave-interfaces-coax) $1.5$, $2$, $\infty$, $\infty$, $1$; परावर्तित $4\%$, $11\%$, $100\%$, $100\%$, $0$। $96\,\mathrm{W}$ ऐंटेना तक पहुँचते हैं, $4\,\mathrm{W}$ प्रेषक को लौट आते हैं (और आंशिक रूप से फिर परावर्तित हो जाते हैं)। $1.2\,\text{µ}\mathrm{s}$: $120\,\mathrm{m}$; और सीधी प्रतिध्वनि: कोई खुला परिपथ — अर्थात् कटी हुई केबल।

**अभ्यास 15.10 ★★★.**

*s ध्रुवण के लिए फ्रेनेल।* आपतन तल के लंबवत $\vect E$ वाली कोई तरंग अंतरापृष्ठ $n_1 \to n_2$ से $\theta_1$ पर मिलती है। (क) तीनों क्षेत्र $\vect E$ और $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$ के स्पर्शीय घटक लिखिए। (ख) स्पर्शीय $\vect E$ और $\vect B$ का सांतत्य थोपिए और $r_s = \dfrac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2}
{n_1\cos\theta_1 + n_2\cos\theta_2}$ निकालिए। (ग) अभिलंब आपतन की सीमा और सर्पण सीमा जाँचिए। (घ) $45{}^{\circ}$ पर काँच के लिए: $R_s$; उसकी तुलना $R_p
= \bigl(\frac{n_2\cos\theta_1 - n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1 + n_1\cos\theta_2}\bigr)^2$ (स्वीकृत) से और अभिलंब आपतन के $4\%$ से कीजिए।

**हल — अभ्यास 15.10.**

(क) $\vect E = E\vect e_z$; $\vect k\wedge\vect e_z = (k_y, -k_x, 0)$, अतः आपाती और पारगत तरंगों के लिए स्पर्शीय $B_y = -(n/c)\cos\theta\,E$ और परावर्तित के लिए $+(n_1/c)\cos\theta_1E_r$। (ख) $1 + r = t$ और $n_1\cos\theta_1
(1 - r) = n_2\cos\theta_2t$: $r_s$ वही जो बताया गया। (ग) $\theta = 0$: $(n_1 - n_2)/(n_1 +
n_2)$; $\theta_1 \to 90^\circ$: $r_s \to -1$। (घ) $\cos\theta_2 = 0.882$: $r_s = -0.30$, $R_s =
9.2\%$; $R_p = 0.85\%$; अभिलंब आपतन के $4.3\%$ के सामने।

**अभ्यास 15.11 ★★★.**

*बाधित पूर्ण परावर्तन।* काँच ($n = 1.5$) में प्रकाश किसी काँच–वायु फलक पर $45{}^{\circ}$ पर पूरी तरह परावर्तित होता है; हवा में $d$ दूरी पर काँच की कोई दूसरी सतह ले आई जाती है। (क) क्षयी क्षय-लंबाई $\ell$, $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ के लिए। (ख) यह मानकर कि अंतराल से पारगत तीव्रता मोटे तौर पर $\eu^{-2d/\ell}$ है, $d$ निकालिए $50\%$ और $1\%$ पारगमन के लिए। (ग) काँच पर दबी कोई उँगली परावर्तन का क्या कर देती है (अंगुलिचिह्न पाठक)? (घ) यह [अध्याय 31](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/31-potential-wells-barriers-and-tunnelling#ch-b2-potential-wells-tunneling) की सुरंगन का प्रकाशिक समरूप क्यों है?

**हल — अभ्यास 15.11.**

(क) $270\,\mathrm{nm}$। (ख) $d = 0.35\ell = 95\,\mathrm{nm}$; $2.3\ell = 620\,\mathrm{nm}$। (ग) उभार काँच को छू लेते हैं और प्रकाश को त्वचा में निकल जाने देते हैं: संसूचक पर गहरे उभार, उजली घाटियाँ। (घ) [क्षयी तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) वही चरघातांकी रूप से क्षय करता तरंगफलन है जो निषिद्ध क्षेत्र में होता है; और क्षय-लंबाई के भीतर कोई दूसरा माध्यम उसे बटोर लेता है — प्रकाशिक सुरंगन।

**अभ्यास 15.12 ★★★.**

*दो दर्पण।* $x = 0$ और $x =
L$ पर दो समांतर [पूर्ण चालक](#prop-b2-wave-interfaces-conductors) कोई [अप्रगामी तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#prop-b2-waves-on-strings-modes) घेर लेते हैं। (क) दिखाइए कि केवल $L = m\lambda/2$ संभव है: कोटर की विधाएँ, $f_m = mc/2L$। (ख) $L = 15\,\mathrm{cm}$ के लिए पहली तीन विधाएँ; कौन-सी $2.45\,\mathrm{GHz}$ के पास है? (ग) भीतर क्षेत्र-आयाम $E_0 = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ के लिए दोनों दर्पणों पर सतही धाराएँ और हर एक पर बल (भीतर की ओर या बाहर की ओर?)। (घ) अब दर्पण ताँबे के हैं: [अध्याय 14](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#ch-b2-waves-in-media) के सतही प्रतिरोध $R_s = 1/\gamma\delta$ को काम में लेते हुए, $2.45\,\mathrm{GHz}$ पर $H_0 = E_0/\mu_0c$ (चुंबकीय प्रस्पंद) के साथ प्रति एकांक क्षेत्रफल खोई शक्ति, और संचित ऊर्जा (माध्य में प्रति एकांक आयतन $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$, $L$ लंबाई पर) के क्षय होने का समय — अर्थात् गुणता गुणक $Q = 2\pi f\,\times$ संचित ऊर्जा / खोई शक्ति।

**हल — अभ्यास 15.12.**

(क) दोनों दर्पणों पर $\vect E$ की निस्पंदें: $\sin kL = 0$, $L = m\lambda/2$, $f_m = mc/2L$। (ख) $1$, $2$, $3\,\mathrm{GHz}$: $2.45\,\mathrm{GHz}$ पर कोई नहीं — किसी असली भट्ठी की त्रिविम विधाएँ कहीं अधिक सघन होती हैं। (ग) हर एक पर $j_s = H_0 = E_0/\mu_0c = 53\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, और दाब $\mu_0j_s^2/2 = 1.8\,\mathrm{mPa}$ दर्पणों को अलग धकेलता है। (घ) $\delta = 1.3\,\text{µ}\mathrm{m}$, $R_s = 12.5\,\mathrm{m}\Omega$; प्रति दर्पण $\tfrac12R_sH_0^2 =
18\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; माध्य संचित ऊर्जा $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2 \times L = 1.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$; $Q = 2\pi f \times 1.3 \times 10^{-7}/35 \approx 6 \times 10^4$।

## 15.6 समस्या: लेप, जेल और रडार अवशोषक

**समस्या 15.1.**

सप्ताहांत समस्या — अंतरापृष्ठों को ग़ायब करना: लेपित लेंस, मिलान वाला पारक्रामक, रडार सोखता पर्दा, और वह दर्पण जिसे ग़ायब नहीं किया जा सकता

**भाग I — लेपित लेंस।** किसी ज़ूम लेंस में $16$ वायु–काँच सतहें हैं जिनका अपवर्तनांक $1.52$ है; प्रकाश $550\,\mathrm{nm}$ पर।

1. किसी बिना लेप की सतह की परावर्तकता; पूरे लेंस का पारगमन; और भटकते परावर्तनों के रूप में घूमते प्रकाश का अंश।
2. आदर्श एकल-परत लेप: अपवर्तनांक और मोटाई; उस अपवर्तनांक का कोई आम ठोस उपलब्ध क्यों नहीं है, और MgF $_2$ ( $1.38$ ) के साथ बची परावर्तकता क्या है?
3. $16$ सतहें प्रति सतह $1.3\%$ के साथ: पारगमन; और $0.3\%$ (बहुपरत) पर: पारगमन। पुराने लेंस कम विभेद वाले "चपटे" प्रतिबिंब क्यों देते हैं?
4. लेप $550\,\mathrm{nm}$ के लिए बनाया गया है: दिखाइए कि $440\,\mathrm{nm}$ पर एक चक्कर की कला $\varphi$ $1.25\pi$ है और वहाँ परावर्तकता आँकिए (दो-परावर्तन सूत्र, $R  \approx r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2\cos\varphi$ , जिसमें $r_1 = -0.16$ , $r_2 =  -0.05$ )। परावर्तन का रंग?
5. कोई परावैद्युत दर्पण $1.38$ और $2.35$ की [चतुर्थांश-तरंग परतें](#prop-b2-wave-interfaces-optics) चुनता जाता है: अब क्रमिक अंतरापृष्ठों से परावर्तित आयाम एक ही कला में जुड़ते हैं; किसी एक जोड़े (दो अंतरापृष्ठ) का परावर्तन, और $20$ जोड़े $99.9\%$ तक क्यों पहुँच जाते हैं।
6. लेपित लेंस में परावर्तित तरंग "रद्द" हो जाती है: उसकी ऊर्जा कहाँ चली गई?
7. ऐसा कोई दर्पण तरंगदैर्घ्यों की एक पट्टी परावर्तित करता है और बाक़ी पार जाने देता है: क्यों, और यदि वह हरा परावर्तित करे तो पारगमन में उसका रंग कैसा दिखता है?

**भाग II — जाँच-यंत्र और जेल।** सिरैमिक $Z_1 = 30 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, मिलान परत, जेल, त्वचा $Z =
1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f = 5\,\mathrm{MHz}$।

8. ऊर्जा में सीधा सिरैमिक–ऊतक पारगमन; और $f$ पर आदर्श प्रतिबाधा (मान) की [चतुर्थांश-तरंग परत](#prop-b2-wave-interfaces-optics) के साथ।
9. परत $5\,\mathrm{MHz}$ पर चतुर्थांश तरंग है: $3\,\mathrm{MHz}$ और $7\,\mathrm{MHz}$ पर पारगमन (असली चक्कर-कला के साथ दो-परावर्तन आकलन लीजिए): इससे जाँच-यंत्र की पट्ट-चौड़ाई का क्या होता है, और कोई छोटी स्पंद (गहराई के विभेदन के लिए चाहिए) उससे क्यों टकराती है?
10. जाँच-यंत्र और त्वचा के बीच हवा की $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ की झिल्ली: दोनों अंतरापृष्ठों से आयाम-पारगमन ( $t$ गुणा कीजिए, अनुनाद छोड़ दीजिए); पारगत ऊर्जा; और dB में।
11. जेल ( $Z = 1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) के साथ वही।
12. सिरैमिक की अपनी गूँज: स्पंद सिरैमिक के भीतर उछलती रहती है, ऊतक वाले फलक पर प्रति परावर्तन $r \approx 0.9$ के साथ (और पीछे $\approx 1$ ); आयाम के $1\%$ तक गिरने के लिए चक्करों की संख्या, और सिरैमिक के पीछे कोई अवशोषक क्यों लगाया जाता है।
13. $5\,\mathrm{cm}$ गहराई पर $1\,\mathrm{mm}$ की किसी अस्थि-सतह से प्रतिध्वनि: जाँच-यंत्र तक लौटती ऊर्जा का अंश (अस्थि पर परावर्तन, और $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}/\mathrm{MHz}$ [क्षीणन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) की दो यात्राएँ); अस्थि कोई ध्वनिक छाया क्यों डालती है।

**भाग III — रडार अवशोषक।** $10\,\mathrm{GHz}$ का कोई रडार धातु की किसी पट्टिका पर पड़ता है। उसे छिपाने के लिए सतही प्रतिरोध $R_s$ ($\Omega$ प्रति वर्ग) की कोई पतली प्रतिरोधी चादर पट्टिका के आगे $d$ दूरी पर रख दी जाती है, और बीच में हवा। मुक्त आकाश की प्रतिबाधा $Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 377\,\Omega$ है।

14. नंगी धातु की पट्टिका ( [पूर्ण चालक](#prop-b2-wave-interfaces-conductors) ) की परावर्तकता, और $r$ की कला।
15. हवा के अंतराल को प्रतिबाधा $Z_0$ की किसी संचरण लाइन की तरह लीजिए जिसे पट्टिका ने लघुपथित कर दिया है: दिखाइए कि चादर पर, पट्टिका की ओर देखते हुए, दिखती प्रतिबाधा $\underline Z_{\text{प्रवेश}} = \iu Z_0  \tan(2\pi d/\lambda)$ है (लघुपथ से [अप्रगामी तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#prop-b2-waves-on-strings-modes) $v = v_i(\eu^{-\iu kx} -  \eu^{\iu kx})$ लिखिए और $v/i$ लीजिए $x = -d$ पर); और $d =  \lambda/4$ पर वह अनंत है (कोई खुला परिपथ)।
16. उस खुले परिपथ के समांतर $R_s$ प्रतिरोध की चादर आती हुई तरंग को $R_s$ दिखाती है: [परावर्तन गुणांक](#thm-b2-wave-interfaces-normal) $(R_s - Z_0)/(R_s + Z_0)$ ; निष्कर्ष निकालिए कि $\lambda/4$ पर $377\,\Omega$ प्रति वर्ग की कोई चादर कुछ भी परावर्तित नहीं करती (सैलिसबरी पर्दा)। $10\,\mathrm{GHz}$ पर $d$ का मान।
17. ऊर्जा कहाँ जाती है? चादर में व्यय शक्ति, प्रति एकांक क्षेत्रफल $|v|^2/2R_s$ , को आपाती तीव्रता के सामने रखकर जाँचिए।
18. $8\,\mathrm{GHz}$ और $12\,\mathrm{GHz}$ पर वही पर्दा: $\underline Z_{\text{प्रवेश}}$ , कुल प्रतिबाधा $R_s \parallel \underline Z_{\text{प्रवेश}}$ , और परावर्तकता; और इस चाल की पट्ट-चौड़ाई।
19. अब रडार पर्दे पर अभिलंब से $30{}^{\circ}$ पर पड़ता है: अंतराल से एक चक्कर की कला में क्या बदलता है, और उससे मिलान का क्या होता है?
20. असली छिपाव-लेप एक सैलिसबरी पर्दे के बजाय कई हानिकर परतें और गढ़ी हुई सतहें क्यों काम में लेते हैं?

**भाग IV — वह दर्पण जो टिका रहता है।**

21. $500\,\mathrm{nm}$ पर चाँदी कोई [प्लाज़्मा](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#def-b2-waves-in-media-plasma) जैसी बरतती है ( $\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ): $\underline n$ , $r$ (मापांक और कला), प्रवेश गहराई। कोई चतुर्थांश-तरंग लेप किसी धातु का परावर्तन क्यों नहीं रोक सकता?
22. किसी चाँदी के दर्पण ( $R = 0.97$ ) पर $1\,\mathrm{kW}$ का हरा लेज़र: सोखी शक्ति, और यदि कुछ भी ठंडा न करे तो $10\,\mathrm{g}$ के दर्पण ( $c = 235\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ) की ताप-वृद्धि की दर।
23. चाँदी के आगे [अप्रगामी तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/6-waves-on-strings-and-rods-the-dalembert-equation#prop-b2-waves-on-strings-modes) : $\vect E$ की निस्पंदों की दूरी और पहली की जगह ( $r$ की कला लीजिए); किसी निस्पंद पर बैठे धूल के किसी कण को क्या मिलता है?
24. प्रश्न 22 की पुंज $1\,\mathrm{cm}^{2}$ की है: तीव्रता, क्षेत्र-आयाम, और दर्पण को जो सतही धारा-घनत्व ले चलना पड़ता है (पूर्ण-चालक आकलन $j_s = 2E_0/\mu_0c$ )।
25. इस समस्या के तीनों "दर्पणों" — धातु, [प्लाज़्मा](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#def-b2-waves-in-media-plasma) , परावैद्युत ढेर — की तुलना उस क्रियाविधि से कीजिए जो तरंग को लौटाती है, $r$ की कला से, और उससे जो उनकी परावर्तकता को सीमित करता है।

**हल — समस्या 15.1.**

**1.** $R = 4.3\%$; $0.957^{16} = 0.50$; आधा प्रकाश भटक जाता है।

**2.** $n = 1.23$, $e = 112\,\mathrm{nm}$; इतने कम अपवर्तनांक का कोई टिकाऊ ठोस नहीं है (MgF$_2$, $1.38$, सबसे कम है): बचा हुआ $1.3\%$।

**3.** $0.987^{16} = 0.81$; $0.997^{16} = 0.95$। भटकते परावर्तन प्रतिबिंब को धुँधला कर देते हैं: परदा-सी चौंध, कम विभेद।

**4.** $\varphi = \pi \times 550/440 = 1.25\pi$: $R \approx 0.0256 + 0.0025 + 2 \times 0.008 \times
\cos1.25\pi = 1.7\%$ — $550\,\mathrm{nm}$ से अधिक, वैसे ही जैसे लाल छोर पर: अर्थात् कोई मैजेंटा परावर्तन।

**5.** हर अंतरापृष्ठ $|r| = 0.97/3.73 = 0.26$ परावर्तित करता है; चतुर्थांश-तरंग अंतराल क्रमिक परावर्तनों को एक ही कला में ला देता है, अतः आयाम रद्द होने के बजाय जुड़ जाते हैं; और ढेर की परावर्तकता $1 - 4(n_L/n_H)^{2N}
\approx 1 - 10^{-9}$ है, $N = 20$ के लिए।

**6.** एक-कला वाली शर्त केवल अभिकल्प तरंगदैर्घ्य के पास टिकती है (कोई $\pm15\%$ जितनी पट्टी); बाक़ी पार निकल जाता है: अर्थात् कोई हरा दर्पण पारगमन में मैजेंटा दिखता है।

**7.** पारगत तरंग में: व्यतिकरण उसे फिर से बाँट देता है, $R + T = 1$।

**8.** $19\%$; और $Z_m = \sqrt{Z_1Z_2} = 6.9 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ के साथ: $5\,\mathrm{MHz}$ पर $100\%$।

**9.** $r_1 = 0.63$, $r_2 = 0.62$; $3\,\mathrm{MHz}$ पर चक्कर-कला $0.6\pi$ है, $7\,\mathrm{MHz}$ पर $1.4\pi$: दोनों पर $R \approx 0.39 + 0.39 - 0.24 = 0.54$, $T \approx 0.46$: अर्थात् मिलान केवल $5\,\mathrm{MHz}$ के आसपास की किसी पट्टी पर टिकता है, जबकि कोई छोटी स्पंद चौड़ी पट्टी माँगती है — कोई समझौता।

**10.** $t_1 = 2 \times 410/30 \times 10^6 = 2.7 \times 10^{-5}$, $t_2 = 2.0$: $t = 5.5 \times 10^{-5}$, $T = t^2Z_1/Z_3 = 5.6 \times 10^{-8}$: अर्थात् $-72\,\mathrm{dB}$।

**11.** $t = 0.095 \times 1.03 = 0.098$, $T = 0.098^2 \times 30/1.6 = 0.18$: जेल बस हवा हटा देता है।

**12.** $0.9^N = 0.01$: $N = 44$ चक्कर — अर्थात् कोई लंबी गूँज; और पीछे लगा अवशोषक पीछे जाती तरंग सोखकर उसे मार देता है।

**13.** अस्थि पर $R = 0.40$; और $2 \times 5 \times 0.5 \times 5 = 25\,\mathrm{dB}$ का [क्षीणन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex): $0.40 \times 3.2 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{-3}$ ($-29\,\mathrm{dB}$); अस्थि जो परावर्तित नहीं करती वह सोख लेती है: उसके पीछे से कुछ नहीं लौटता।

**14.** $R = 1$, $r = -1$।

**15.** $x = 0$ पर लघुपथ: $v = -2\iu v_i\sin kx$, $i = (2v_i/Z_0)\cos kx$; $x = -d$ पर: $v/i = \iu Z_0\tan kd$; और $d = \lambda/4$ पर अनंत।

**16.** $R_s \parallel \infty = R_s$: $377\,\Omega$ के लिए $r = (R_s - Z_0)/(R_s + Z_0) = 0$; $d = 7.5\,\mathrm{mm}$।

**17.** चादर को पूरा आपाती क्षेत्र दिखता है: $|v|^2/2R_s =
E_0^2/2Z_0$, अर्थात् आपाती तीव्रता — सब सोख ली गई।

**18.** $8\,\mathrm{GHz}$: $kd = 72^\circ$, $Z_{\text{प्रवेश}} = \iu1160\,\Omega$, $R_s \parallel
Z_{\text{प्रवेश}} = (340 + 111\iu)\,\Omega$, $R = |r|^2 = 2.6\%$ ($-16\,\mathrm{dB}$); $12\,\mathrm{GHz}$: $kd = 108^\circ$, वही मापांक: $-16\,\mathrm{dB}$। लगभग $\pm20\%$ पर काम का।

**19.** तिरछा आपतन प्रभावी चतुर्थांश तरंग को छोटा कर देता है ($d\cos\theta$) और कोण के साथ तरंग-प्रतिबाधा बदल देता है: अतः मिलान टूट जाता है।

**20.** एक पर्दा एक ही आवृत्ति और एक ही कोण पर काम करता है; जबकि क्रमिक हानिकर परतें और गढ़ी हुई सतहें किसी चौड़ी पट्टी पर सोखती और मोड़ती हैं।

**21.** $\underline n = -\iu\sqrt{(\omega_p/\omega)^2 - 1} = -3.6\iu$; $|r| = 1$, कला $2\arctan3.6 = 149{}^{\circ}$; गहराई $c/3.6\omega = 22\,\mathrm{nm}$। तरंग धातु में कभी इतना घुसती ही नहीं कि दो तुलनीय परावर्तनों में बँट जाए: अतः किसी [चतुर्थांश-तरंग परत](#prop-b2-wave-interfaces-optics) के पास मापांक-एक वाले परावर्तन को रद्द करने के लिए कुछ है ही नहीं।

**22.** $30\,\mathrm{W}$; $30/(0.01 \times 235) = 13\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$।

**23.** हर $\lambda/2 = 250\,\mathrm{nm}$ पर निस्पंदें; $E \propto \cos(kx + \varphi/2)$ जिसमें $\varphi =
149^\circ$: पहली निस्पंद $x = -(90^\circ + 74.5^\circ)\lambda/360^\circ = -230\,\mathrm{nm}$ पर; और वहाँ बैठा कोई कण अँधेरे में रहता है।

**24.** $I = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 87\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $j_s =
2E_0/\mu_0c = 460\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$।

**25.** धातु: किसी [त्वचा गहराई](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) में सतही धाराएँ, $r \approx -1$, और सीमा उन धाराओं की जूल हानि से। [प्लाज़्मा](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/14-electromagnetic-waves-in-plasmas-conductors-and-dielectrics#def-b2-waves-in-media-plasma): क्षयी प्रवेश, आवृत्ति पर निर्भर कला के साथ $|r| = 1$, और सीमा टक्करों से। परावैद्युत ढेर: एक ही कला में जुड़ते बहुत सारे दुर्बल परावर्तन, किसी पट्टी में $r \to 1$, और सीमा परतों की संख्या तथा पट्ट-चौड़ाई से।