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title: "प्रकाश का अदिश प्रतिरूप"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2"
subject: physics
language: hi
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/18-the-scalar-model-of-light
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# अध्याय 18 — प्रकाश का अदिश प्रतिरूप

एक ही दीवार पर दो मशालें डालिए और वह धब्बा बस दुगना चमकीला हो जाता है; उसी पर किसी एक लेज़र की दो पुंजें डालिए और धब्बा चमकीली तथा अँधेरी फ्रिंजों में टूट जाता है। मशालें अपनी तीव्रताएँ जोड़ती हैं, लेज़र की पुंजें अपने आयाम — और आगे के अध्यायों का हर व्यतिकरणमापी, होलोग्राम तथा विवर्तन-जालक इसी पर टिका है कि प्रकाश कब क्या करता है। यह अध्याय औज़ार सजाता है: प्रकाश किसी कला वाली *अदिश* तरंग की तरह, वह *[प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path)* जो उस कला को किसी किरण के अनुदिश नापता है, स्रोत जिस तरह उत्सर्जित करता है — छोटी तरंग-रेलों में, जिनकी *[संसक्ति लंबाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence)* तय करती है कि दो तरंगें व्यतिकरण कर सकती हैं या नहीं — और संसूचक जिस तरह उसे दर्ज करता है: अरबों आवर्तकालों पर कोई ऐसा माध्य जो केवल तीव्रता रख छोड़ता है।

## 18.1 प्रकाश किसी अदिश तरंग की तरह

**परिभाषा 18.1 (अदिश प्रतिरूप; एकवर्णी तरंग).**

तरंग प्रकाशिकी के अधिकांश में प्रकाश की सदिश प्रकृति कोई भूमिका नहीं निभाती (अध्यारोपित तरंगें एक ही ध्रुवण बाँटती हैं, या प्रकाश अध्रुवित है और ध्रुवण माध्य में मिट जाते हैं): तब क्षेत्र की जगह कोई वास्तविक *अदिश कंपन* रख दिया जाता है

$$
s(M, t) = a(M)\cos\bigl(\omega t - \varphi(M)\bigr) ,
$$

जिसमें हर बिंदु पर कोई आयाम $a(M)$ और कोई कला $\varphi(M)$ है, और दोनों तरंगदैर्घ्य के पैमाने पर धीरे-धीरे बदलते हैं। किसी *एकवर्णी* तरंग का एक ही $\omega$ होता है: यह कोई आदर्शीकरण है, क्योंकि कोई असली स्रोत आवृत्तियों की किसी पट्टी भर में उत्सर्जित करता है। दृश्य प्रकाश: निर्वात में $\lambda_0$ $400$ से $750\,\mathrm{nm}$, $\nu = c/\lambda_0$ $7.5 \times 10^{14}$ से $4 \times 10^{14}$ Hz, और आवर्तकाल लगभग $2\,\mathrm{fs}$।

**परिभाषा 18.2 (प्रकाशिक पथ और कला).**

अपवर्तनांक $n$ के किसी माध्यम में तरंग $c/n$ से चलती है और उसका तरंगदैर्घ्य $\lambda_0/n$ होता है। $A$ से $B$ तक किसी वक्र के अनुदिश *प्रकाशिक पथ* है

$$
(AB) = \int_A^Bn\,\dd s ,
$$

और $A$ से $B$ तक किसी किरण के अनुदिश चलती किसी [एकवर्णी तरंग](#def-b2-scalar-light-model-scalar) की जमा हुई कला है

$$
\varphi(B) - \varphi(A) = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,(AB) = \omega\,\tau_{AB} ,
$$

जहाँ $\tau_{AB}$ यात्रा-काल है। कोई *तरंगाग्र* बराबर कला की कोई सतह है; किसी समदैशिक माध्यम में ज्यामितीय प्रकाशिकी की किरणें तरंगाग्रों के लंबवत होती हैं (मालुस–द्यूपैं प्रमेय), और दो तरंगाग्रों के बीच प्रकाशिक पथ हर किरण के अनुदिश वही होता है।

**औचित्य.** कला $2\pi$ बढ़ती है, प्रति स्थानीय तरंगदैर्घ्य $\lambda_0/n$, अर्थात् $2\pi n\,\dd s/\lambda_0$ प्रति अवयव $\dd s$; किरण के अनुदिश जोड़ लीजिए। तरंग $a\cos(\omega t - \varphi)$ तरंग समीकरण का कोई हल है जिसमें ऊर्जा $\operatorname{\vect{grad}}\varphi$ के अनुदिश चलती है, अर्थात् सतहों $\varphi = \text{अचर}$ के लंबवत: वही किरण है, और "दो [तरंगाग्रों](#def-b2-scalar-light-model-path) के बीच [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) वही" वाला कथन [तरंगाग्र](#def-b2-scalar-light-model-path) की परिभाषा को उलटा पढ़ लेना है। पूरा प्रमेय (जो परावर्तनों और अपवर्तनों को झेल जाता है) स्वीकृत है। ∎

**उदाहरण 18.3 (बिंदुकता; लेंस कोई कला-पट्टिका).**

कोई बिंदु स्रोत $A$, जिसका प्रतिबिंब कोई पूर्ण (बिंदुकर) यंत्र $A'$ पर बनाता है: $A$ से $A'$ तक की सारी किरणों का *[प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) वही* होता है — हर किरण के अनुदिश आती तरंगें $A'$ पर एक ही कला में होती हैं, और इसीलिए वे वहाँ किसी चमकीले बिंदु में ढेर हो जाती हैं। फ़ोकस दूरी $f$ के किसी पतले लेंस के लिए यह कला का कोई कथन है: अक्ष के अनुदिश आती कोई समतल तरंग फ़ोकस $F'$ पर अभिसरित होती किसी [गोलीय तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/7-sound-waves-in-fluids#prop-b2-sound-waves-spherical) की तरह निकलनी चाहिए; और चूँकि दूरी $f$ पर केंद्रित कोई [गोलीय तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/7-sound-waves-in-fluids#prop-b2-sound-waves-spherical), अक्ष से दूरी $r$ पर, अपने अक्षीय मान से $2\pi r^2/2\lambda f$ कला आगे रहती है (परअक्षीय सन्निकटन, $\sqrt{f^2 + r^2} \approx f + r^2/2f$), इसलिए लेंस को तरंग $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ जितनी *विलंबित* करनी पड़ती है: वह बीच में ठीक उतना ही मोटा है जितने से $F'$ तक के सारे [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) बराबर हो जाएँ। कोई लेंस कोई कला-पट्टिका है; और कोई होलोग्राम या कोई द्रव-क्रिस्टल पर्दा जो वही कला-मानचित्र थोप दे, कोई लेंस है।

![बाएँ: कोई पतला लेंस समतल तरंगाग्रों को फ़ोकस पर अभिसरित होते गोलीय तरंगाग्रों में बदल देता है — F' तक के सारे प्रकाशिक पथ बराबर हैं। दाएँ: काँच के भीतर तरंगदैर्घ्य घटकर _0/n रह जाता है और कला तेज़ी से बढ़ती है: प्रकाशिक पथ ज्यामितीय लंबाई को n गुना गिनता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-scalar-light-model/fig-10311ab86f1e.svg)

*बाएँ: कोई पतला लेंस समतल [तरंगाग्रों](#def-b2-scalar-light-model-path) को फ़ोकस पर अभिसरित होते गोलीय [तरंगाग्रों](#def-b2-scalar-light-model-path) में बदल देता है — $F'$ तक के सारे [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) बराबर हैं। दाएँ: काँच के भीतर तरंगदैर्घ्य घटकर $\lambda_0/n$ रह जाता है और कला तेज़ी से बढ़ती है: [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) ज्यामितीय लंबाई को $n$ गुना गिनता है।*

## 18.2 प्रकाश कैसे उत्सर्जित होता है: संसक्ति

**प्रतिज्ञप्ति 18.4 (तरंग-रेलें; संसक्ति काल और लंबाई).**

कोई चिरसम्मत स्रोत (कोई लौ, कोई दीपक, कोई तारा) परमाणुओं का कोई समुच्चय है जिनमें हर एक, यादृच्छिक क्षणों पर और यादृच्छिक कलाओं के साथ, अवधि $\tau_c$ की छोटी *तरंग-रेलें* उत्सर्जित करता है: वह किसी बिंदु पर जो कंपन बनाता है, वह अपनी कला केवल $\tau_c$ भर स्थिर रखता है और फिर छलाँग लगा देता है। अवधि $\tau_c$ की कोई रेल एकवर्णी नहीं है: उसका वर्णक्रम आवृत्ति की किसी पट्टी $\Delta\nu \approx 1/\tau_c$ भर फैला है (कोई फ़ूरिये व्युत्क्रमता, स्वीकृत: कोई परिमित ज्यावक्र एक ही आवृत्ति नहीं रख सकता)। *[संसक्ति काल](#prop-b2-scalar-light-model-coherence)* $\tau_c$ और *[संसक्ति लंबाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence)*

$$
\ell_c = c\,\tau_c \approx \frac c{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}
$$

स्रोत को पहचानते हैं: श्वेत प्रकाश $\Delta\lambda \approx 300\,\mathrm{nm}$, $\ell_c
\approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$; कोई वर्णक्रमी दीपक ($\Delta\lambda \sim 0.01\,\mathrm{nm}$), $\ell_c \sim
3\,\mathrm{cm}$; कोई लेज़र, मीटरों से किलोमीटरों तक। एक ही स्रोत से निकली दो तरंगें तभी व्यतिकरण कर सकती हैं जब उनका पथांतर $\ell_c$ से छोटा हो — उससे परे वे अलग-अलग रेलों की हैं, जिनकी कलाओं में कोई नाता नहीं।

**उपपत्ति.** $\ell_c = c/\Delta\nu$ और $|\Delta\nu/\nu| = |\Delta\lambda/\lambda|$, $\nu = c/\lambda$ के साथ, देते हैं $\ell_c =
\lambda^2/\Delta\lambda$। [वर्णक्रमी चौड़ाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) के अपने भौतिक कारण हैं: प्राकृतिक चौड़ाई (विकिरण अवमंदन, [अध्याय 17](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/17-dipole-radiation-and-scattering#ch-b2-dipole-radiation)), परमाणुओं की तापीय गति से डॉप्लर चौड़ीकरण, टक्करें — हर एक रेल को छोटा कर देती है। ∎

![किसी चिरसम्मत स्रोत का कंपन: अवधि _c की तरंग-रेलों का कोई सिलसिला, जिनके बीच यादृच्छिक कला-छलाँगें हैं; और उसकी दो प्रतियाँ तभी व्यतिकरण कर सकती हैं जब उनका विलंब _c से छोटा हो।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-scalar-light-model/fig-96f0c5384d58.svg)

*किसी चिरसम्मत स्रोत का कंपन: अवधि $\tau_c$ की तरंग-रेलों का कोई सिलसिला, जिनके बीच यादृच्छिक कला-छलाँगें हैं; और उसकी दो प्रतियाँ तभी व्यतिकरण कर सकती हैं जब उनका विलंब $\tau_c$ से छोटा हो।*

**टिप्पणी 18.5 (दो स्रोत, एक स्रोत).**

दो अलग दीपक (या दो अलग परमाणु) स्वतंत्र यादृच्छिक कलाओं वाली रेलें उत्सर्जित करते हैं: उनकी सापेक्ष कला हर $\tau_c
\sim 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}$ पर बदल जाती है, जो किसी भी आँख या कैमरे के उत्तर देने से दस लाख गुना तेज़ है — अतः व्यतिकरण पद माध्य में शून्य हो जाता है और तीव्रताएँ जुड़ जाती हैं। व्यतिकरण को दो ऐसी तरंगें चाहिए जो *वही कला-छलाँगें याद रखें*: अर्थात् किसी एक तरंग की दो प्रतियाँ, जो उसे चीरकर (दो झिर्रियाँ, दो दर्पण, किसी झिल्ली के दो फलक) पाई जाएँ और $\tau_c$ से छोटे विलंब के साथ फिर से जोड़ी जाएँ। कोई लेज़र, जिसकी रेलें माइक्रोसेकंडों या उससे अधिक चलती हैं, इस बंधन को बेहद ढीला कर देता है; हटाता कभी नहीं।

## 18.3 संसूचक और तीव्रता

**प्रतिज्ञप्ति 18.6 (कोई संसूचक क्या नापता है).**

हर प्रकाश-संसूचक — आँख (उत्तर-काल $\sim0.1\,\mathrm{s}$), कोई छायाचित्र फ़िल्म, कोई CCD पिक्सल ($1\,\mathrm{ms}$), कोई प्रकाश-डायोड ($1\,\mathrm{ns}$) — आवर्तकाल ($10^{-15}$ s) की तुलना में लंबे समय पर उत्तर देता है और *तीव्रता* देता है, अर्थात् कंपन के वर्ग का काल-माध्य,

$$
I = K\,\langle s^2\rangle = \tfrac12K\,a^2 ,
$$

($K$ कोई अचर, जिसे अक्सर छोड़ दिया जाता है; $I$ $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ में विकिरण-तीव्रता के समानुपाती है)। निरपेक्ष स्तर केवल एक बात में मायने रखता है: प्रकाश ऊर्जा $h\nu$ के फ़ोटॉनों में आता है, और कोई संसूचक प्रति एकांक क्षेत्रफल और समय माध्य में $I/h\nu$ फ़ोटॉन गिनता है।

**उपपत्ति.** $\langle\cos^2(\omega t - \varphi)\rangle = \tfrac12$, $2\pi/\omega$ से कहीं लंबे किसी भी अंतराल पर। फ़ोटॉन: वर्ष 1 के खंड का अंतिम अध्याय; यहीं अदिश तरंग क्वांटम से मिलती है। ∎

**उदाहरण 18.7 (कोटियाँ).**

$2\,\mathrm{m}$ पर $3\,\mathrm{W}$ दृश्य प्रकाश विकिरित करता कोई $60\,\mathrm{W}$ का बल्ब: $I = 3/4\pi\cdot4 = 60\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, $I/h\nu = 1.6 \times 10^{17}$ फ़ोटॉन प्रति वर्ग मीटर प्रति सेकंड, और $5\,\mathrm{mm}$ की किसी पुतली से होकर प्रति सेकंड $3 \times 10^{12}$ — अतः आँख के $0.1\,\mathrm{s}$ में दानेदारपन का कोई निशान नहीं। आँख जिस सबसे मंद तारे को देखती है वह पुतली में प्रति सेकंड $\sim 10^3$ फ़ोटॉन भेजता है; और कोई शलाका कोशिका मुट्ठी भर पर ही दग जाती है। धूप: $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$, $3 \times 10^{21}$ फ़ोटॉन प्रति वर्ग मीटर प्रति सेकंड।

![प्रकाशिकी के काल-पैमाने: कंपन का आवर्तकाल, चिरसम्मत तथा लेज़र स्रोतों की तरंग-रेलों की अवधि, और संसूचकों के उत्तर-काल — सारे संसूचक बहुत सारे आवर्तकालों पर माध्य लेते हैं, और किसी दीपक की बहुत सारी रेलों पर।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-scalar-light-model/fig-440dea8f6596.svg)

*प्रकाशिकी के काल-पैमाने: कंपन का आवर्तकाल, चिरसम्मत तथा लेज़र स्रोतों की तरंग-रेलों की अवधि, और संसूचकों के उत्तर-काल — सारे संसूचक बहुत सारे आवर्तकालों पर माध्य लेते हैं, और किसी दीपक की बहुत सारी रेलों पर।*

**टिप्पणी 18.8 (संसक्त और असंसक्त अध्यारोपण).**

किसी बिंदु पर दो कंपन $a_1\cos(\omega t - \varphi_1)$ और $a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$ देते हैं $s = s_1 + s_2$ और

$$
I = \tfrac12K\bigl[a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2\langle\cos(\varphi_1 - \varphi_2)\rangle\bigr] .
$$

यदि संसूचन के दौरान कलांतर स्थिर रहे (*संसक्त* तरंगें): $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\varphi_1 - \varphi_2)$, अर्थात् वही व्यतिकरण पद जिसे अगला अध्याय पढ़ता है। और यदि वह यादृच्छिक रूप से भटके (*असंसक्त* तरंगें): $\langle\cos\rangle = 0$ और $I = I_1 +
I_2$ — अर्थात् मशालें।

**विधि 18.9 (कोई प्रकाशिकी समस्या सजाना).**

(1) हर तरंग को $a\cos(\omega t - \varphi)$ की तरह लिखिए, जिसमें स्रोत से (या किसी साझे [तरंगाग्र](#def-b2-scalar-light-model-path) से) $\varphi = 2\pi(\text{प्रकाशिक
पथ})/\lambda_0$। (2) संसक्ति तय कीजिए: वही स्रोत, पथांतर $< \ell_c$? तब आयाम जोड़िए (सम्मिश्र संकेतन सुविधाजनक है: $\underline s = a\eu^{\iu(\omega t - \varphi)}$, $I =
\tfrac12K|\underline s|^2$); नहीं तो तीव्रताएँ जोड़िए। (3) लेंसों और दर्पणों के लिए संयुग्मी बिंदुओं के बीच बराबर [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) काम में लीजिए, या कला-पट्टिका वाला चित्र। (4) जो नापा जाता है उसमें बदलिए: तीव्रता, विभेद, फ़ोटॉन-गिनती, और संसूचक का काल तथा दिक् में विभेदन जाँचिए।

## 18.4 अभ्यास

**अभ्यास 18.1 ★.**

$600\,\mathrm{nm}$ की कोई पुंज काँच ($n = 1.5$) के $1.0\,\mathrm{cm}$ पार करती है। [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path); भीतर तरंगदैर्घ्यों की संख्या; $1\,\mathrm{cm}$ हवा की तुलना में अतिरिक्त कला और अतिरिक्त विलंब; और काँच की वह मोटाई जो तरंग को हवा के सापेक्ष ठीक एक तरंगदैर्घ्य विलंबित करे।

**हल — अभ्यास 18.1.**

$(AB) = 1.5\,\mathrm{cm}$; $25\,000$ तरंगदैर्घ्य; हवा से $0.5\,\mathrm{cm}$ अधिक, $8300$ तरंगदैर्घ्य, $\Delta\varphi = 2\pi \times 8300$, विलंब $17\,\mathrm{ps}$; और एक तरंगदैर्घ्य के विलंब के लिए $e = \lambda/(n - 1) = 1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$।

**अभ्यास 18.2 ★.**

इनके [संसक्ति काल](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) और लंबाई: श्वेत प्रकाश ($400$–$750\,\mathrm{nm}$); $589\,\mathrm{nm}$ पर $0.02\,\mathrm{nm}$ चौड़ाई की कोई सोडियम दीपक-रेखा; कोई लाल LED ($630\,\mathrm{nm}$, $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$); कोई बहुविधा लेज़र डायोड ($\Delta\nu = 100\,\mathrm{GHz}$); कोई स्थिरीकृत लेज़र ($\Delta\nu = 1\,\mathrm{kHz}$)। कौन-सा $1\,\mathrm{mm}$ के पथांतर पर फ्रिंजें दे सकता है? और $10\,\mathrm{m}$ के?

**हल — अभ्यास 18.2.**

$\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda$ या $c/\Delta\nu$, $\tau_c = \ell_c/c$: श्वेत $0.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($3\,\mathrm{fs}$); सोडियम $1.7\,\mathrm{cm}$ ($60\,\mathrm{ps}$); LED $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($50\,\mathrm{fs}$); डायोड $3\,\mathrm{mm}$ ($10\,\mathrm{ps}$); स्थिरीकृत $300\,\mathrm{km}$ ($1\,\mathrm{ms}$)। $1\,\mathrm{mm}$: सोडियम दीपक, डायोड और लेज़र; $10\,\mathrm{m}$: केवल स्थिरीकृत लेज़र।

**अभ्यास 18.3 ★.**

$650\,\mathrm{nm}$ पर कोई $1\,\mathrm{mW}$ लेज़र संकेतक: प्रति सेकंड फ़ोटॉन; $3\,\mathrm{m}$ पर कोई $100\,\mathrm{W}$ का बल्ब ($5\,\mathrm{W}$ दृश्य, माध्य $550\,\mathrm{nm}$): $6\,\mathrm{mm}$ की किसी पुतली से होकर प्रति सेकंड फ़ोटॉन; आँख के $0.1\,\mathrm{s}$ के दौरान संख्या; उस संख्या का सापेक्ष उतार-चढ़ाव $1/\sqrt N$ — क्या प्रकाश दानेदार है?

**हल — अभ्यास 18.3.**

प्रति सेकंड $10^{-3}/3.06 \times 10^{-19} = 3.3 \times 10^{15}\,$। बल्ब: $I = 5/4\pi \times 9 =
44\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, पुतली $28\,\mathrm{mm}^{2}$: $1.2\,\text{µ}\mathrm{W}$, प्रति सेकंड $3.5 \times 10^{12}$ फ़ोटॉन, $0.1\,\mathrm{s}$ में $3.5 \times 10^{11}$, उतार-चढ़ाव $2 \times 10^{-6}$: बिलकुल चिकना।

**अभ्यास 18.4 ★.**

किसी पर्दे से $1.0\,\mathrm{m}$ पर कोई बिंदु स्रोत, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$। पर्दे के केंद्र और अक्ष से $1\,\mathrm{cm}$ हटे किसी बिंदु के बीच प्रकाशिक पथांतर (पहले यथार्थ, फिर परअक्षीय सूत्र $r^2/2d$ से); तरंगदैर्घ्यों की संख्या; पर्दे पर [तरंगाग्र](#def-b2-scalar-light-model-path) की त्रिज्या; और अक्ष से किस दूरी पर परअक्षीय सूत्र एक तरंगदैर्घ्य की चूक करता है?

**हल — अभ्यास 18.4.**

यथार्थ $\sqrt{1 + 10^{-4}} - 1 = 49.9988\,\text{µ}\mathrm{m}$, परअक्षीय $50\,\text{µ}\mathrm{m}$: अर्थात् सौ तरंगदैर्घ्य; [तरंगाग्र](#def-b2-scalar-light-model-path) त्रिज्या $1\,\mathrm{m}$ का कोई गोला है; और चतुर्घाती पद $r^4/8d^3$ $\lambda$ तक $r = (8\lambda d^3)^{1/4} = 4.5\,\mathrm{cm}$ पर पहुँचता है।

**अभ्यास 18.5 ★★.**

*लेंस कोई कला-पट्टिका।* (क) अक्ष के अनुदिश आती किसी समतल तरंग की कला किसी पतले लेंस के तल पर एकसमान होती है; लेंस के बाद कला केंद्र के सापेक्ष $\varphi_L(r) = -\pi r^2/\lambda f$ है। दिखाइए कि निकलता [तरंगाग्र](#def-b2-scalar-light-model-path), परअक्षीय सन्निकटन में, त्रिज्या $f$ का कोई ऐसा गोला है जो $F'$ पर केंद्रित है। (ख) लेंस से $d$ दूरी पहले रखा कोई बिंदु स्रोत कोई ऐसी तरंग भेजता है जिसकी कला लेंस-तल पर (केंद्र के सापेक्ष) $+\pi r^2/\lambda d$ है: दिखाइए कि लेंस के बाद तरंग $d'$ पर अभिसरित होती है, जहाँ $1/d' = 1/f - 1/d$, अर्थात् लेंस सूत्र। (ग) फ़ोकस दूरी $10\,\mathrm{cm}$ के किसी समतल-उत्तल काँच के लेंस ($n = 1.5$) का मोटाई-परिच्छेद: $e(r) =
e_0 - r^2/2(n - 1)f$; और $r = 1\,\mathrm{cm}$ पर झोल। (घ) कोई "फ्रेनेल लेंस" परिच्छेद को हर बार तब वापस मोड़ देता है जब वह $\lambda/(n - 1)$ पार कर जाए: वह फिर भी फ़ोकस क्यों करता है, और केवल एक ही रंग को पूरी तरह क्यों?

**हल — अभ्यास 18.5.**

(क) त्रिज्या $f$ का कोई गोला, जो $F'$ पर केंद्रित है, लेंस-तल पर, अक्ष के सापेक्ष, कला $-\pi r^2/\lambda f$ रखता है (परअक्षीय रूप से): ठीक वही जो लेंस की है। (ख) कुल कला $\pi r^2/\lambda\,(1/d - 1/f) = -\pi r^2/\lambda d'$: अर्थात् कोई ऐसी तरंग जो $d'$ पर अभिसरित हो, जहाँ $1/d' = 1/f - 1/d$। (ग) काँच $(n - 1)e(r)
\times2\pi/\lambda$ जोड़ता है: $e(r) = e_0 - r^2/2(n - 1)f$; और झोल $10^{-4}/0.1 = 1\,\mathrm{mm}$। (घ) कोई कला जो $2\pi$ के मापांक में परिभाषित हो, वही कला है — अभिकल्प तरंगदैर्घ्य पर; और दूसरों पर सीढ़ियाँ अब पूरे तरंगदैर्घ्य नहीं रहतीं।

**अभ्यास 18.6 ★★.**

*किसी दर्पण की बिंदुकता।* किसी दर्पण को अपनी अक्ष के अनुदिश आती समतल तरंग को किसी बिंदु $F$ पर भेजना है। (क) यह शर्त लिखिए कि "दर्पण के हर बिंदु के लिए किसी समतल [तरंगाग्र](#def-b2-scalar-light-model-path) से $F$ तक [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) बराबर हों" और दिखाइए कि वह कोई परवलय $y^2 = 4fx$ परिभाषित करती है, जिसकी नाभि पर $F$ है। (ख) कोई गोलीय दर्पण केवल लगभग ही बिंदुकर क्यों है (शीर्ष के पास $y^2 = 4fx$ की तुलना त्रिज्या $2f$ के वृत्त से कीजिए)? (ग) $f = 1\,\mathrm{m}$ के किसी $20\,\mathrm{cm}$ दर्पण के लिए किनारे पर गोले की पथ-त्रुटि, $500\,\mathrm{nm}$ की तरंगदैर्घ्यों में। (घ) रेडियो दूरदर्शी वह गोलपन क्यों झेल लेते हैं जो प्रकाशिक नहीं झेल सकते?

**हल — अभ्यास 18.6.**

(क) $x = -D$ पर किसी समतल [तरंगाग्र](#def-b2-scalar-light-model-path) से $(x, y)$ तक और फिर $F(f, 0)$ तक: $D + x
+ \sqrt{(x - f)^2 + y^2} = D + f$, अतः $\sqrt{(x - f)^2 + y^2} = f - x$, $y^2 = 4fx$, जिसकी नाभि पर $F$ है। (ख) वृत्त $x = 2f - \sqrt{4f^2 - y^2} \approx y^2/4f +
y^4/64f^3$ केवल दूसरी कोटि तक मेल खाता है। (ग) $y^4/64f^3 = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, और परावर्तन से दुगुना: $3\,\text{µ}\mathrm{m}$, अर्थात् छह तरंगदैर्घ्य — इसीलिए परवलयिक दर्पण। (घ) $\lambda \sim 1\,\mathrm{cm}$ पर वही त्रुटि किसी तरंगदैर्घ्य का हज़ारवाँ भाग है।

**अभ्यास 18.7 ★★.**

*फ़र्मा।* $A$ (माध्यम $n_1$ में) से $B$ ($n_2$ में) तक समतल अंतरापृष्ठ के किसी बिंदु $P$ से होकर [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) $n_1AP + n_2PB$ है। (क) दिखाइए कि वह उस बिंदु $P$ के लिए स्थायी (न्यूनतम) है जो $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ मानता है। (ख) व्याख्या कीजिए: पड़ोसी पथों की कला वही होती है, अतः उनके अनुदिश तरंगें जुड़ जाती हैं — इसीलिए प्रकाश देकार्त वाली किरण "चुन" लेता है। (ग) उसी तरह परावर्तन का नियम निकालिए। (घ) $A$ से उसके प्रतिबिंब $A'$ तक किसी लेंस से होकर पथ हर किरण के अनुदिश वही क्यों है, केवल स्थायी क्यों नहीं?

**हल — अभ्यास 18.7.**

(क) $L(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}$: $L' = n_1\sin\theta_1 -
n_2\sin\theta_2 = 0$। (ख) स्थायी पथ के पास पड़ोसी पथों की कलाएँ बराबर होती हैं और उनकी तरंगें जुड़ जाती हैं; और कहीं वे कट जाती हैं। (ग) $n_1 = n_2$: $\sin\theta_1 = \sin\theta_r$। (घ) बिंदुकता का अर्थ है कि $A$ से $A'$ तक की सारी किरणों के पथ बराबर हैं: अर्थात् स्थायी पथों का कोई पूरा कुल, कोई एक नहीं।

**अभ्यास 18.8 ★★.**

*दो दीपक व्यतिकरण क्यों नहीं करते।* दो सोडियम दीपक किसी पर्दे को जगमगाते हैं; किसी बिंदु पर उनकी तरंगों के आयाम $a$ हैं और कोई सापेक्ष कला $\Delta\varphi$, जो हर $\tau_c = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$ पर यादृच्छिक छलाँग लगाती है। (क) उस बिंदु पर तीव्रता $\Delta\varphi$ के फलन की तरह; उसका अधिकतम और न्यूनतम। (ख) संसूचक $\tau_d = 1\,\mathrm{ms}$ पर माध्य लेता है: $\Delta\varphi$ के कितने स्वतंत्र मान? माध्य तीव्रता; और व्यतिकरण पद के बचे उतार-चढ़ाव का सापेक्ष आकार ($\sim 1/\sqrt N$)। (ग) $\tau_d = 1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ वाला कोई प्रकाश-डायोड: वह क्या देखता? (घ) दो स्वतंत्र लेज़रों के बीच व्यतिकरण दिखाने वाला पहला प्रयोग (1963) यह कर कैसे पाया?

**हल — अभ्यास 18.8.**

(क) $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi)$: $4I_0$ और $0$। (ख) $N = 10^7$: माध्य $2I_0$, और बचा हुआ $\sim 2I_0/\sqrt N = 6 \times 10^{-4}$ गुना। (ग) $10\,\mathrm{ps}$ के दौरान कला जमी रहती है: वह फ्रिंजें देखता, जो हर $0.1\,\mathrm{ns}$ पर छलाँग लगातीं। (घ) ऐसे लेज़र जिनका $\tau_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ हो, और उनसे तेज़ कोई संसूचक: फ्रिंजें किसी माइक्रोसेकंड भर रहीं और उनका छायाचित्र ले लिया गया।

**अभ्यास 18.9 ★★.**

*आभासी गहराई।* गहराई $h$ पर जल ($n = 1.33$) में कोई सिक्का पड़ा है। (क) [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) (या छोटे कोणों पर देकार्त का नियम) काम में लेकर दिखाइए कि ऊपर से देखती कोई आँख उसे गहराई $h/n$ पर देखती है। (ख) $h = 1.2\,\mathrm{m}$: आभासी गहराई; और सिक्के से आँख तक [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) अपनी ज्यामितीय लंबाई से कितना अधिक है? (ग) गहराई $h$ पर कोई मछली सतह से $1\,\mathrm{m}$ ऊपर की किसी मक्खी को किस आभासी ऊँचाई पर देखती है? (घ) तिरछा देखने पर कोई कुंड और भी उथला क्यों दिखता है?

**हल — अभ्यास 18.9.**

(क) छोटे कोण: $\tan i \approx n\tan r$, अतः किरणें $h/n$ से आती दिखती हैं। (ख) $0.90\,\mathrm{m}$; और [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) $n \times 1.2 = 1.6\,\mathrm{m}$ है, अर्थात् $0.4\,\mathrm{m}$ अधिक। (ग) $n \times 1 = 1.33\,\mathrm{m}$। (घ) बड़े कोणों पर अपवर्तन तेज़ है और आभासी गहराई छोटी।

**अभ्यास 18.10 ★★★.**

*विभेद और संसक्ति।* किसी तरंग की दो प्रतियाँ, जिनका पथांतर $\delta$ है, अध्यारोपित हैं; स्रोत का वर्णक्रम $[\nu_0 - \Delta\nu/2, \nu_0 + \Delta\nu/2]$ पर एकसमान फैला है, और हर आवृत्ति केवल अपने साथ व्यतिकरण करती है। (क) एक आवृत्ति से तीव्रता: $2I_0
[1 + \cos(2\pi\nu\delta/c)]$। (ख) पट्टी पर समाकलित कीजिए और दिखाइए कि कुल $2I_0[1 + \operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)\cos(2\pi\nu_0\delta/c)]$ है, जहाँ $\operatorname{sinc}x = \sin x/x$। (ग) फ्रिंजों का विभेद $V = (I_{\max} -
I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ परिभाषित कीजिए, $\delta$ के पास, और दिखाइए $V =
|\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\,\delta/c)|$: वह $\delta = c/\Delta\nu = \ell_c$ पर लुप्त हो जाता है। (घ) किसी LED ($630\,\mathrm{nm}$ पर $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$) के लिए आँकड़े: वह $\delta$ जिस पर विभेद पहली बार लुप्त होता है।

**हल — अभ्यास 18.10.**

(क) कलांतर $2\pi\nu\delta/c$ वाली दो बराबर तरंगें। (ख) पट्टी पर माध्य:

$$
\frac1{\Delta\nu}\int\cos\frac{2\pi\nu\delta}c\,\dd\nu = \cos\frac{2\pi\nu_0\delta}c\,\operatorname{sinc}\frac{\pi\Delta\nu\,\delta}c .
$$

(ग) $I_{\max, \min} = 2I_0(1 \pm |\operatorname{sinc}|)$: $V = |\operatorname{sinc}(\pi\Delta\nu\delta/c)|$, जो $\delta = c/\Delta\nu$ पर शून्य है। (घ) $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 1.9 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$: $\delta =
16\,\text{µ}\mathrm{m}$।

**अभ्यास 18.11 ★★★.**

*तारे देखना।* आँख कोई कौंध तब भाँपती है जब $0.1\,\mathrm{s}$ के भीतर लगभग $10$ फ़ोटॉन किसी शलाका तक पहुँचें; अँधेरे की अभ्यस्त पुतली $7\,\mathrm{mm}$ की है; $500\,\mathrm{nm}$ लीजिए। (क) आँख पर न्यूनतम [फ़ोटॉन फ्लक्स](#prop-b2-scalar-light-model-intensity) और विकिरण-तीव्रता। (ख) सूर्य $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ देता है; कांतिमान $m$ का कोई तारा उसका $10^{-0.4(m + 26.7)}$ देता है: कांतिमान-6 के किसी तारे (नंगी आँख की सीमा) की विकिरण-तीव्रता और पुतली में फ़ोटॉन दर; क्या यह (क) से मेल खाती है? (ग) $200\,\mathrm{mm}$ द्वारक का कोई दूरदर्शी: फ़ोटॉनों में लाभ, और वह जिस कांतिमान तक पहुँचता है। (घ) खगोलविद किसी मंद प्रतिबिंब के "फ़ोटॉन रव" की बात क्यों करते हैं, और वह उद्भासन-काल के साथ किस तरह बदलता है?

**हल — अभ्यास 18.11.**

(क) $38\,\mathrm{mm}^{2}$ पर प्रति सेकंड $100$ फ़ोटॉन: $2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\times4 \times
10^{-19}$ J: $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$। (ख) $10^{-13.1} \times 1000 = 8 \times 10^{-11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, प्रति वर्ग मीटर प्रति सेकंड $2 \times 10^8$ फ़ोटॉन, और पुतली में प्रति सेकंड $8000$ — अर्थात् (क) से कहीं ऊपर: आँख की असली सीमा पृष्ठभूमि से और बहुत सारी शलाकाओं पर फैलाव से तय होती है। (ग) $(200/7)^2 = 800$, $+7.3$ कांतिमान: $m \approx
13$। (घ) $N$ फ़ोटॉन $\sqrt N$ से डोलते हैं: अतः संकेत-रव अनुपात उद्भासन के वर्गमूल की तरह बढ़ता है।

**अभ्यास 18.12 ★★★.**

*परअक्षीय के परे।* दूरी $d$ पर किसी बिंदु से आती कोई [गोलीय तरंग](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/7-sound-waves-in-fluids#prop-b2-sound-waves-spherical), अनुप्रस्थ दूरी $r$ पर, यथार्थ अतिरिक्त पथ $\sqrt{d^2 +
r^2} - d$ रखती है। (क) चौथी कोटि तक प्रसार कीजिए: $r^2/2d - r^4/8d^3$। (ख) द्विघाती (परअक्षीय) पद रखा जाता है और चतुर्घाती तब छोड़ा जाता है जब वह $\lambda/4$ से नीचे हो: दिखाइए कि इसके लिए $r^4 < 2\lambda d^3$ चाहिए। (ग) आँकड़े: $d = 1\,\mathrm{m}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$: अधिकतम $r$; $d = 1\,\mathrm{cm}$ (कोई सूक्ष्मदर्शी): अधिकतम $r$, और उससे जुड़ा कोण। (घ) टिप्पणी: ज्यामितीय प्रकाशिकी के "विपथन" यही छोड़े गए पद हैं।

**हल — अभ्यास 18.12.**

(क) $d(1 + r^2/2d^2 - r^4/8d^4 + \dots) - d$। (ख) $r^4/8d^3 < \lambda/4$। (ग) $r <
(2\lambda d^3)^{1/4}$: $1\,\mathrm{m}$ के लिए $3.2\,\mathrm{cm}$; $1\,\mathrm{cm}$ के लिए $1\,\mathrm{mm}$, और कोण $0.1\,\mathrm{rad}$। (घ) गोलीय विपथन यही चतुर्घाती पद है; और बाक़ी विपथन उसके अक्ष से हटे चचेरे भाई हैं।

![कुहरे में कम दाब के सोडियम दीपक: कोई एक ही पीली रेखा, और सेंटीमीटरों की कोई संसक्ति लंबाई — प्रकाशिकी प्रयोगशाला का, और पुरानी गलियों का, वही चिरपरिचित स्रोत।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-scalar-light-model/img-9aab3b539316.jpg)

*कुहरे में कम दाब के सोडियम दीपक: कोई एक ही पीली रेखा, और सेंटीमीटरों की कोई [संसक्ति लंबाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) — प्रकाशिकी प्रयोगशाला का, और पुरानी गलियों का, वही चिरपरिचित स्रोत।*

## 18.5 समस्या: कोई सोडियम दीपक और कोई लेज़र संकेतक

**समस्या 18.1.**

सप्ताहांत समस्या — दो प्रकाश-स्रोत खोलकर देखे गए: पुरानी गली का पीला दीपक, व्याख्यान-कक्ष का लाल संकेतक, और वह एक संख्या जो तय करती है कि हर एक फ्रिंजें बना सकता है या नहीं

**भाग I — सोडियम दीपक।** सोडियम अपना पीला युग्मक $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ और $\lambda_2 =
589.6\,\mathrm{nm}$ पर उत्सर्जित करता है। हर रेखा की प्राकृतिक चौड़ाई $\Delta\nu_{\text{प्राकृतिक}} =
10\,\mathrm{MHz}$ है; और दीपक में परमाणु $500\,\mathrm{K}$ पर हैं (सोडियम का द्रव्यमान $23\,\mathrm{u}$, $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $u = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$)।

1. दोनों रेखाओं की आवृत्तियाँ और उनका अंतर।
2. किसी एक रेखा की [संसक्ति लंबाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) , यदि केवल उसकी प्राकृतिक चौड़ाई गिनी जाती।
3. डॉप्लर चौड़ीकरण: दृष्टि-रेखा के अनुदिश $v$ से चलता कोई परमाणु $\nu(1 + v/c)$ पर उत्सर्जित करता है; एक अक्ष के अनुदिश तापीय वर्ग-माध्य-मूल चाल $\sqrt{k_BT  /m}$ के साथ $\Delta\nu_D$ आँकिए और प्राकृतिक चौड़ाई से तुलना कीजिए।
4. डॉप्लर-चौड़ी हुई एक रेखा की [संसक्ति लंबाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) ; और किसी असली उच्च-दाब दीपक में टक्करें रेखा को और दस गुना चौड़ा कर देती हैं: तब [संसक्ति लंबाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) ।
5. दोनों रेखाएँ मिलकर: किस पथांतर भर उनकी फ्रिंज-व्यवस्थाएँ संपात से विरोध तक और फिर वापस जाती हैं ("विस्पंद लंबाई" $\lambda^2/\Delta\lambda$ )? वह कितनी फ्रिंजें हुईं?
6. कोई विद्यार्थी उस दीपक से कोई द्वि-पुंज व्यतिकरणमापी बनाता है और पथांतर शून्य से बढ़ाता जाता है: मिले आँकड़ों के साथ दिखते विभेद का वर्णन कीजिए — विस्पंद और अंतिम विलोपन।
7. दीपक $1\,\mathrm{W}$ पीला प्रकाश विकिरित करता है: प्रति सेकंड फ़ोटॉन; eV में एक फ़ोटॉन की ऊर्जा, और प्रकाश पीला क्यों है।
8. अग़ल-बग़ल रखे दो सोडियम दीपक: क्या उनके प्रकाश व्यतिकरण कर सकते हैं? एक ही दीपक की दो रेखाओं के लिए प्रश्न अलग क्यों है?

**भाग II — लेज़र संकेतक।** $650\,\mathrm{nm}$ पर कोई $1\,\mathrm{mW}$ लाल डायोड लेज़र, सस्ता होने पर, $\Delta\lambda = 0.5\,\mathrm{nm}$ भर फैली कई अनुदैर्घ्य विधाएँ उत्सर्जित करता है; और कोई स्थिरीकृत एक-विधा वाला $\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$ रखता है।

9. दोनों संकेतकों की संसक्ति लंबाइयाँ।
10. प्रति सेकंड उत्सर्जित फ़ोटॉन; पुंज के अनुदिश फ़ोटॉनों के बीच माध्य दूरी (मीटरों में); [संसक्ति लंबाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) से तुलना कीजिए — "फ़ोटॉन व्यतिकरण करते हैं" के बारे में वह क्या कहती है?
11. $0.5\,\mathrm{nm}$ के फैलाव को आवृत्ति-चौड़ाई में बदलिए; डायोड का कोटर $n = 3.5$ के साथ $1\,\mathrm{mm}$ लंबा है: उसकी अनुदैर्घ्य विधाओं की दूरी ( $c/2nL$ ) और फैलाव में विधाओं की संख्या।
12. पुंज ( $1\,\mathrm{mm}$ व्यास) किसी ऐसे प्रकाश-डायोड पर पड़ती है जिसका हर फ़ोटॉन कोई इलेक्ट्रॉन देता है: धारा।
13. सस्ता संकेतक $2\,\mathrm{mm}$ पथांतर वाले किसी द्वि-पुंज व्यतिकरणमापी में काम में लिया जाता है: फ्रिंजें या नहीं? और स्थिरीकृत वाला $10\,\mathrm{m}$ के साथ?
14. डायोड का निर्गम असल में $1\,\mathrm{ns}$ की स्पंदों में चालू-बंद होता रहता है: क्या दो लगातार आवर्तों की स्पंदें एक-दूसरे से व्यतिकरण कर सकती हैं? यहाँ संसक्ति क्या तय करती है, स्पंद की लंबाई या रेखा की चौड़ाई?
15. किसी लेज़र का प्रकाश दीवार पर "चित्तीदार" क्यों दिखता है, और दीपक का क्यों नहीं?
16. $650\,\mathrm{nm}$ की किसी लाल LED का $\Delta\lambda = 25\,\mathrm{nm}$ है: [संसक्ति लंबाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) ; कुछ प्रक्षेपक लेज़रों के बजाय LED क्यों पसंद करते हैं?

**भाग III — [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) और संसूचक।**

17. व्यतिकरणमापी की एक भुजा में $2\,\mathrm{mm}$ की कोई काँच की पट्टी ( $n = 1.5$ ) डाल दी जाती है: अतिरिक्त [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) , और किसी निशान के आगे से खिसकती फ्रिंजों की संख्या।
18. पट्टी को $10{}^{\circ}$ झुका दिया जाता है: अतिरिक्त पथ (काँच में लंबाई के लिए $e/\cos r$ लीजिए, और उसमें से वह हवा घटाइए जिसकी वह जगह लेती है, पहली कोटि में $e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r)$ — या बस लंबे ज्यामितीय पथ से आँक लीजिए); और फ्रिंज-खिसकाव की कोटि।
19. संसूचक $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ पिक्सलों वाला कोई कैमरा है; और फ्रिंजें $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ की दूरी पर हैं: प्रति फ्रिंज कितने पिक्सल, और यदि दूरी घटकर $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ रह जाए तो नापे गए विभेद का क्या होता है?
20. किसी पिक्सल पर $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ पर $10\,\mathrm{ms}$ का उद्भासन: प्रति पिक्सल फ़ोटॉन; और सापेक्ष फ़ोटॉन रव।
21. तीव्रता $I_0$ की दो बराबर संसक्त तरंगें पथांतर $\delta$ के साथ मिलती हैं: तीव्रता $I(\delta)$ लिखिए और $\delta$ में फ्रिंजों का आवर्त।
22. फ्रिंजें किसी बिंदु के आगे से $1\,\mathrm{kHz}$ पर खिसकती हैं (कोई कंपित दर्पण): आँख क्या देखती है, प्रकाश-डायोड क्या देखता है?
23. व्यतिकरणमापी की भुजाएँ हवा के $10\,\mathrm{m}$ से होकर जाती हैं ( $n - 1 =  2.9 \times 10^{-4}\,$ ): निर्वात से अधिक [प्रकाशिक पथ](#def-b2-scalar-light-model-path) , फ्रिंजों में; और हवा के दाब में $1\,\%$ का बदलाव आकृति का क्या करता है।
24. दीपक और संकेतक वही $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{cm}^{2}$ देते हैं: कौन प्रति सेकंड अधिक फ़ोटॉन देता है, और फ्रिंजों के लिए वह मायने क्यों नहीं रखता?
25. समेटिए: हर स्रोत के लिए [संसक्ति लंबाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) , उसे क्या सीमित करता है, और वह व्यतिकरणमापी का कितना पथांतर देता है।

**हल — समस्या 18.1.**

**1.** $\nu_1 = 5.0934 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $\nu_2 = 5.0882 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$: $\Delta\nu = 5.2 \times 10^{11}\,\mathrm{Hz}$।

**2.** $c/\Delta\nu_{\text{प्राकृतिक}} = 30\,\mathrm{m}$।

**3.** $\sqrt{k_BT/m} = 425\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\Delta\nu_D \approx 2\nu v/c \approx 1.4\,\mathrm{GHz}$, अर्थात् प्राकृतिक चौड़ाई का सौ गुना।

**4.** $c/\Delta\nu_D \approx 20\,\mathrm{cm}$; और टक्करों के साथ, लगभग $2\,\mathrm{cm}$।

**5.** $\lambda^2/\Delta\lambda = 589^2/0.6$ nm $= 0.58\,\mathrm{mm}$: संपात से विरोध हर $0.29\,\mathrm{mm}$ पर; और प्रति विस्पंद लगभग $1000$ फ्रिंजें।

**6.** विभेद पथांतर में $0.58\,\mathrm{mm}$ के आवर्त से दोलन करता है (शून्य $0.29$, $0.87$, $1.45\,\mathrm{mm}$, …पर) किसी ऐसे आवरण के भीतर जो कुछ सेंटीमीटरों में मुरझा जाता है: अर्थात् कोई पचास विस्पंद, फिर कुछ नहीं।

**7.** प्रति सेकंड $3 \times 10^{18}\,$ फ़ोटॉन; $2.1\,\mathrm{eV}$, अर्थात् वर्णक्रम का पीला।

**8.** नहीं: स्वतंत्र परमाणु, यादृच्छिक कलाएँ। एक ही दीपक की दोनों रेखाएँ भी अलग-अलग परमाणुओं से आती हैं और एक-दूसरे से व्यतिकरण नहीं करतीं: विस्पंद दो फ्रिंज-व्यवस्थाओं का *तीव्रता* में जुड़ना हैं।

**9.** $\lambda^2/\Delta\lambda = 0.85\,\mathrm{mm}$; $c/\Delta\nu = 300\,\mathrm{m}$।

**10.** प्रति सेकंड $3.3 \times 10^{15}\,$, पुंज के अनुदिश $c/N = 90\,\mathrm{nm}$ की दूरी पर: अर्थात् किसी [संसक्ति लंबाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) के भीतर दस हज़ार फ़ोटॉन। व्यतिकरण फ़ोटॉनों का मिलना नहीं है: हर फ़ोटॉन अपने साथ व्यतिकरण करता है।

**11.** $\Delta\nu = c\Delta\lambda/\lambda^2 = 360\,\mathrm{GHz}$; विधा-दूरी $c/2nL = 43\,\mathrm{GHz}$: अर्थात् लगभग आठ विधाएँ।

**12.** $e \times 3.3 \times 10^{15} = 0.5\,\mathrm{mA}$।

**13.** $2\,\mathrm{mm}$ $>$ $0.85\,\mathrm{mm}$: कोई फ्रिंज नहीं; $10\,\mathrm{m}$ $<$ $300\,\mathrm{m}$: फ्रिंजें।

**14.** कोई नैनोसेकंड की स्पंद $30\,\mathrm{cm}$ लंबी है, जो $0.85\,\mathrm{mm}$ की [संसक्ति लंबाई](#prop-b2-scalar-light-model-coherence) से कहीं लंबी है: अतः संसक्ति रेखा की चौड़ाई तय करती है, स्पंद नहीं; और लगातार स्पंदें तभी व्यतिकरण करतीं जब लेज़र की कला बंद अवधि झेल जाती — वह नहीं झेलती।

**15.** खुरदरी दीवार से प्रकीर्ण संसक्त प्रकाश रेटिना पर यादृच्छिक पथांतरों के साथ व्यतिकरण करता है: वही चित्ती। और दीपक की माइक्रोमीटर-पैमाने की संसक्ति उस सब को माध्य में मिटा देती है।

**16.** $\lambda^2/\Delta\lambda = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$: किसी खुरदरी दीवार पर चित्ती के लिए कहीं बहुत छोटी — कोई चित्ती नहीं, कोई चिकना प्रतिबिंब।

**17.** $(n - 1)e = 1\,\mathrm{mm}$: $1540$ फ्रिंजें।

**18.** $r = 6.65{}^{\circ}$; अतिरिक्त पथ $\approx e(n/\cos r - \cos(i - r)/\cos r)
= 3.021 - 2.010 = 1.011\,\mathrm{mm}$, अर्थात् बिना झुकाए से $11\,\text{µ}\mathrm{m}$ अधिक: कोई बीस फ्रिंजें अधिक।

**19.** प्रति फ्रिंज पाँच पिक्सल; और प्रति फ्रिंज एक पिक्सल पर पिक्सल पूरा एक आवर्त समाकलित कर लेता है और विभेद ढह जाता है।

**20.** पिक्सल पर $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}$ $\times$ $10\,\mathrm{ms}$ $= 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$: $3 \times 10^4$ फ़ोटॉन, रव $0.6\%$।

**21.** $I = 2I_0[1 + \cos(2\pi\delta/\lambda)]$: अर्थात् पथांतर के प्रति तरंगदैर्घ्य एक फ्रिंज।

**22.** आँख किलोहर्ट्ज़ की गति को माध्य में लेकर कोई एकसमान क्षेत्र बना देती है; प्रकाश-डायोड उसका पीछा करता है।

**23.** $(n - 1) \times 10 = 2.9\,\mathrm{mm}$: $4500$ फ्रिंजें; और दाब में $1\%$ का बदलाव उन्हें $45$ फ्रिंज खिसका देता है — अर्थात् व्यतिकरणमापी कोई वायुदाबमापी है, जब तक उसे निर्वातित न कर दिया जाए।

**24.** लगभग वही फ़ोटॉन दर ($2.1\,\mathrm{eV}$ के सामने $1.9\,\mathrm{eV}$); फ्रिंजें आयामों और कलाओं पर निर्भर हैं, और फ़ोटॉन-गिनती केवल रव पर।

**25.** दीपक: सेंटीमीटर, जिसे डॉप्लर और टक्कर-चौड़ीकरण सीमित करते हैं, और फ्रिंजें लगभग $1\,\mathrm{cm}$ तक; सस्ता संकेतक: $0.85\,\mathrm{mm}$, जिसे उसकी कई विधाएँ सीमित करती हैं; स्थिरीकृत लेज़र: $300\,\mathrm{m}$, जिसे उसकी रेखा की चौड़ाई सीमित करती है।