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title: "लेज़र: उद्दीपित उत्सर्जन और गाउसी पुंजें"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2"
subject: physics
language: hi
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/23-the-laser-stimulated-emission-and-gaussian-beams
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# अध्याय 23 — लेज़र: उद्दीपित उत्सर्जन और गाउसी पुंजें

किसी व्याख्यान-पर्दे पर कोई लाल बिंदु, दुकान की गल्ले पर छड़ी-संकेत पढ़ता यंत्र, वह पुंज जो कोई चक्रिका पढ़ती है, किसी गाड़ी का ढाँचा वेल्ड करती है, महासागरों के नीचे इंटरनेट ले चलती है, किसी स्वच्छपटल को सुधारती है और चंद्रमा तक की दूरी मिलीमीटर तक नापती है: इनमें से हर एक कोई *[लेज़र](#def-b2-laser-cavity)* है, प्रकाश का ऐसा स्रोत जो किसी लौ या दीपक जैसा नहीं। उसका प्रकाश अरब में एक भाग तक एक ही रंग का है, किसी कमरे भर मिलीमीटरों की पुंज में बना रहता है, और कुछ तरंगदैर्घ्य चौड़े किसी धब्बे पर फ़ोकस किया जा सकता है, जहाँ उसकी विकिरण-तीव्रता सूर्य की सतह से दस लाख गुना ऊपर चली जाती है। इसमें से कुछ भी किसी नई तरह के परमाणु से नहीं आता: वह उस प्रक्रिया से आता है जिसे आइंस्टाइन ने 1917 में पहचाना — *[उद्दीपित उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes)*, अर्थात् किसी ऐसे फ़ोटॉन का उत्सर्जन जो पहले से मौजूद किसी फ़ोटॉन जैसा ही हो — और पदार्थ को इस तरह सजाने से कि यह प्रक्रिया [अवशोषण](#def-b2-laser-processes) पर भारी पड़े, और फिर प्रवर्धक को दो दर्पणों के बीच रख देने से कि वह ख़ुद को खिलाता रहे। यह अध्याय [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) को तीन क़दमों में बनाता है: प्रकाश और परमाणुओं की कोई जनसंख्या ऊर्जा कैसे बदलते हैं ([आइंस्टाइन गुणांक](#def-b2-laser-processes)), यह विनिमय कब प्रवर्धन करता है ([जनसंख्या प्रतिलोमन](#prop-b2-laser-gain) और लब्धि), और प्रवर्धक कब दोलक बन जाता है (कोटर, उसकी देहली और उसकी विधाएँ)। और अंत में वह जो पुंज निकलती है उसका रूप, [गाउसी पुंज](#prop-b2-laser-gaussian), जिसकी [कटि](#prop-b2-laser-gaussian) और [अपसरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#def-b2-maxwell-equations-operators) तय करते हैं कि कोई [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) दूरी पर और किसी फ़ोकस पर क्या कर सकता है।

![कोई प्रकाशिक मेज़: लेज़र, दर्पण, लेंस और कोई ऐसी पुंज जो पूरे कमरे भर कोई पतली रेखा बनी रहती है — वही दिशिकता जो कोई दीपक नहीं दे सकता।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/img-ecf1336fd5eb.jpg)

*कोई प्रकाशिक मेज़: [लेज़र](#def-b2-laser-cavity), दर्पण, लेंस और कोई ऐसी पुंज जो पूरे कमरे भर कोई पतली रेखा बनी रहती है — वही दिशिकता जो कोई दीपक नहीं दे सकता।*

## 23.1 प्रकाश और पदार्थ: तीन प्रक्रियाएँ

**परिभाषा 23.1 (अवशोषण, स्वतःस्फूर्त और उद्दीपित उत्सर्जन).**

दो ऊर्जा-स्तरों $E_1 < E_2$, जनसंख्याओं (संख्या घनत्वों) $N_1$, $N_2$ वाले परमाणु लीजिए, और आवृत्ति $\nu$ का प्रकाश जिसमें $h\nu = E_2 - E_1$ और वर्णक्रमी ऊर्जा घनत्व $u(\nu)$ (प्रति एकांक आयतन प्रति एकांक आवृत्ति ऊर्जा)। तीन प्रक्रियाएँ ऊर्जा बदलती हैं:

- *अवशोषण* : $E_1$ में कोई परमाणु कोई फ़ोटॉन सोखकर $E_2$ पर चढ़ जाता है, प्रति एकांक आयतन और समय दर $B_{12}\,u(\nu)\,N_1$ से;
- *स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन* : $E_2$ में कोई परमाणु अपने आप $E_1$ पर गिर जाता है, और किसी यादृच्छिक दिशा में यादृच्छिक कला वाला कोई फ़ोटॉन उत्सर्जित करता है, दर $A_{21}N_2$ से — और $1/A_{21} = \tau$ उस स्तर का जीवनकाल है;
- *उद्दीपित उत्सर्जन* : आवृत्ति $\nu$ का कोई फ़ोटॉन $E_2$ में किसी परमाणु के पास से गुज़रकर उसे गिरने को उकसा देता है, और वह पहले जैसा ही *एक-सा* दूसरा फ़ोटॉन उत्सर्जित करता है (वही आवृत्ति, दिशा, कला और ध्रुवण), दर $B_{21}\,u(\nu)\,N_2$ से।

$A_{21}$, $B_{12}$, $B_{21}$ उस संक्रमण के *आइंस्टाइन गुणांक* हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 23.2 (आइंस्टाइन संबंध).**

अपभ्रष्ट न हुए स्तरों के लिए,

$$
B_{12} = B_{21} \equiv B, \qquad
\frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}.
$$

[उद्दीपित उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes) और [अवशोषण](#def-b2-laser-processes) का गुणांक वही है; और स्वतःस्फूर्त दर उद्दीपित दर के सापेक्ष $\nu^3$ की तरह बढ़ती है।

**उपपत्ति.** परमाणुओं को ताप $T$ पर विकिरण के साथ साम्य में रखिए। दो तथ्य आगे के अध्यायों से उधार लिए गए हैं: साम्य पर दो स्तरों की जनसंख्याएँ $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu/k_BT}$ के अनुपात में होती हैं (बोल्ट्समान गुणक, [अध्याय 29](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/29-the-boltzmann-factor#ch-b2-boltzmann-factor)), और साम्य के विकिरण का प्लांक वर्णक्रमी घनत्व $u(\nu) = (8\pi h\nu^3/c^3)/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ है ([अध्याय 26](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/26-thermal-radiation#ch-b2-thermal-radiation))। साम्य पर स्तरों की जनसंख्याएँ स्थिर रहती हैं: $B_{12}uN_1 = A_{21}N_2 + B_{21}uN_2$, अतः

$$
u = \frac{A_{21}}{B_{12}\,N_1/N_2 - B_{21}}
  = \frac{A_{21}}{B_{12}\eu^{h\nu/k_BT} - B_{21}}.
$$

यह हर $T$ पर प्लांक के व्यंजक के बराबर होना चाहिए: $T \to \infty$ सीमा (जहाँ $u \to \infty$) $B_{12} = B_{21}$ थोप देती है, और फिर तुलना $A_{21}/B_{21} = 8\pi h\nu^3/c^3$ दे देती है। ये गुणांक परमाणु के गुण हैं, अतः ये संबंध साम्य के बाहर भी टिके रहते हैं। ∎

**टिप्पणी 23.3 (दीपक प्रवर्धन क्यों नहीं करते).**

$300\,\mathrm{K}$ पर किसी गैस में, किसी दृश्य संक्रमण के लिए ($h\nu \approx
2\,\mathrm{eV}$, $k_BT \approx 0.025\,\mathrm{eV}$), $N_2/N_1 = \eu^{-80} \approx
10^{-35}$: अर्थात् कोई परमाणु उत्तेजित है ही नहीं, और प्रकाश केवल सोखा जाता है। कोई विसर्जन या कोई लौ $E_2$ को भर देती है, पर फिर भी $N_2 < N_1$ के साथ, और हर उत्सर्जित फ़ोटॉन अवशोषणों से गिनती में हार जाता है; इसके अलावा साम्य पर स्वतःस्फूर्त और [उद्दीपित उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes) का अनुपात, $A_{21}/(B_{21}u) = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$, दृश्य में खगोलीय रूप से बड़ा है — अर्थात् किसी दीपक का प्रकाश स्वतःस्फूर्त है: यादृच्छिक कलाएँ, सारी दिशाएँ, और रेखा की पूरी चौड़ाई। केवल रेडियो और सूक्ष्मतरंग आवृत्तियों पर ($h\nu \ll k_BT$) [उद्दीपित उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes) स्वाभाविक रूप से टक्कर लेता है; और इस तरह का पहला यंत्र सचमुच मेसर था, $24\,\mathrm{GHz}$ पर (1954), प्रकाशिक [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) (1960) से पहले।

![दो स्तरों के बीच तीनों प्रक्रियाएँ: अवशोषण कोई फ़ोटॉन ले जाता है; स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन यादृच्छिक कला और दिशा का कोई फ़ोटॉन जोड़ता है; और उद्दीपित उत्सर्जन आपाती वाले जैसा ही कोई फ़ोटॉन जोड़ देता है — अर्थात् कोई प्रति।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/fig-148154f20c72.svg)

*दो स्तरों के बीच तीनों प्रक्रियाएँ: [अवशोषण](#def-b2-laser-processes) कोई फ़ोटॉन ले जाता है; [स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes) यादृच्छिक कला और दिशा का कोई फ़ोटॉन जोड़ता है; और [उद्दीपित उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes) आपाती वाले जैसा ही कोई फ़ोटॉन जोड़ देता है — अर्थात् कोई प्रति।*

## 23.2 प्रवर्धन: जनसंख्या प्रतिलोमन और लब्धि

**प्रतिज्ञप्ति 23.4 (किसी माध्यम की लब्धि).**

तीव्रता $I$ की कोई पुंज, आवृत्ति $\nu$ पर, माध्यम को पार करती हुई [उद्दीपित उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes) से ऊर्जा पाती है और [अवशोषण](#def-b2-laser-processes) से खोती है ([स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes) सारी दिशाओं में जाता है और पुंज में मुश्किल से कुछ जोड़ता है)। लंबाई $\dd z$ भर,

$$
\dd I = \sigma\,(N_2 - N_1)\,I\,\dd z, \qquad
I(z) = I(0)\,\eu^{g z}, \qquad g = \sigma(N_2 - N_1),
$$

जहाँ $\sigma$ (कोई क्षेत्रफल, अर्थात् संक्रमण का *अनुप्रस्थ काट*, $\sigma \propto B\,h\nu/c$) संक्रमण की प्रबलता नापता है। माध्यम *प्रवर्धन* करता है ($g > 0$) तभी जब

$$
N_2 > N_1 :
$$

अर्थात् कोई *जनसंख्या प्रतिलोमन*। उसके बिना ($N_2 < N_1$, अर्थात् साम्य पर हर माध्यम का हाल) पुंज सोख ली जाती है।

**उपपत्ति.** प्रति एकांक आयतन और समय, $B u (N_2 - N_1)$ संक्रमण पुंज में कोई फ़ोटॉन $h\nu$ जोड़ (या हटा) देते हैं; और $u = I/c$ के साथ (प्रति एकांक आवृत्ति, रेखा की चौड़ाई भर), प्रति एकांक आयतन पाई गई शक्ति $B h\nu (N_2 - N_1) I/c$ है, और यही $\dd I/\dd z$ है; $\sigma =
Bh\nu/c$ परिभाषित कीजिए (रेखा-आकृति के गुणक सहित)। ∎

**टिप्पणी 23.5 (दो स्तर प्रतिलोमित क्यों नहीं हो सकते).**

किसी दो-स्तरीय तंत्र को $\nu$ पर प्रकाश से जितना चाहे पंप कीजिए: पंप $N_1 > N_2$ होने पर सोखता है और $N_2 > N_1$ होने पर उत्सर्जन उकसाता है, और जनसंख्याएँ अधिक-से-अधिक बराबरी की ओर जाती हैं, $N_2 = N_1$, जहाँ माध्यम पारदर्शी है पर कुछ भी लब्धि नहीं देता। किसी प्रतिलोमन को कम-से-कम तीन स्तर चाहिए: भू-स्तर से किसी अल्पजीवी स्तर तक पंप कीजिए, जो तेज़ी से ऊपरी [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) स्तर में क्षय हो जाए, और वह *दीर्घजीवी* (अर्ध-स्थायी) है और इसलिए जनसंख्या संचित कर लेता है। किसी *तीन-स्तरीय* योजना (माणिक, पहला [लेज़र](#def-b2-laser-cavity)) में निचला [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) स्तर भू-अवस्था है, अतः प्रतिलोमन से पहले आधे से अधिक परमाणु उठाने पड़ते हैं: पंप निर्मम होता है। किसी *चार-स्तरीय* योजना (हीलियम–नियोन, Nd:YAG, अधिकतर [लेज़र](#def-b2-laser-cavity)) में निचला [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) स्तर कोई उत्तेजित स्तर है जो तेज़ी से भू-अवस्था में ख़ाली हो जाता है; वह हर समय लगभग ख़ाली रहता है, और ऊपरी स्तर में कोई छोटी जनसंख्या भी पहले से कोई प्रतिलोमन है — अतः देहली नीची रहती है।

![पंप करने की योजनाएँ। बाएँ: तीन स्तर — लेज़र संक्रमण भू-स्तर पर ख़त्म होता है, जिसे आधे से अधिक ख़ाली करना पड़ता है। दाएँ: चार स्तर — निचला लेज़र स्तर तुरंत भू-अवस्था में बह जाता है, अतः ऊपर की कोई छोटी जनसंख्या भी पहले से कोई प्रतिलोमन है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/fig-415e93f3cd38.svg)

*पंप करने की योजनाएँ। बाएँ: तीन स्तर — [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) संक्रमण भू-स्तर पर ख़त्म होता है, जिसे आधे से अधिक ख़ाली करना पड़ता है। दाएँ: चार स्तर — निचला [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) स्तर तुरंत भू-अवस्था में बह जाता है, अतः ऊपर की कोई छोटी जनसंख्या भी पहले से कोई प्रतिलोमन है।*

**प्रतिज्ञप्ति 23.6 (लब्धि की संतृप्ति).**

प्रतिलोमन को कोई पंप बनाए रखता है, जो प्रति एकांक आयतन दर $R$ से ऊपरी स्तर को परमाणु देता है, क्षय $1/\tau$ और [उद्दीपित उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes) $\sigma I (N_2 - N_1)/h\nu$ के सामने। किसी चार-स्तरीय माध्यम ($N_1 \approx 0$) में स्थायी अवस्था है

$$
N_2 = \frac{R\tau}{1 + I/I_{\text{संत}}}, \qquad
g = \frac{g_0}{1 + I/I_{\text{संत}}}, \qquad
I_{\text{संत}} = \frac{h\nu}{\sigma\tau} :
$$

अर्थात् *लघु-संकेत लब्धि* $g_0 = \sigma R\tau$ को ख़ुद पुंज ही घटा देती है जब $I$ *संतृप्ति तीव्रता* $I_{\text{संत}}$ के पास पहुँचे — अर्थात् प्रवर्धक अरैखिक है, और यही अरैखिकता [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) की शक्ति तय करेगी।

**उपपत्ति.** $\dd N_2/\dd t = R - N_2/\tau - \sigma I N_2/h\nu = 0$. ∎

## 23.3 दोलक: कोटर, देहली और विधाएँ

**परिभाषा 23.7 (लेज़र कोटर).**

कोई *लेज़र* लंबाई $\ell$ का कोई प्रवर्धक माध्यम है जो दो दर्पणों (परावर्तकताएँ $R_1$, $R_2$) के बीच $L$ दूरी पर रखा हो: अर्थात् कोई फ़ाब्री–पेरो कोटर ([अध्याय 21](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/21-multiple-wave-interference-and-gratings#ch-b2-gratings))। एक दर्पण, *निर्गम युग्मक*, कुछ प्रतिशत तक पारगामी है ($T_2 = 1 - R_2$) और पुंज को बाहर जाने देता है। कोटर का चक्कर लगाता प्रकाश माध्यम से दो बार प्रवर्धित होता है और दर्पणों तथा बाक़ी हानियों (प्रकीर्णन, [अवशोषण](#def-b2-laser-processes), [विवर्तन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#def-b2-diffraction-huygens)) से क्षीण।

**प्रमेय 23.8 (दोलन की शर्त).**

सम्मिश्र आयाम $\underline s$ की कोई तरंग एक चक्कर के बाद ख़ुद को फिर बना लेती है यदि

$$
\underline s\,\cdot\, \eu^{g\ell}\sqrt{R_1}\,\eu^{g\ell}\sqrt{R_2}\,
\eu^{-\alpha\cdot 2L}\,\eu^{2\iu kL} = \underline s
$$

($\alpha$: प्रति एकांक लंबाई बाक़ी हानियाँ)। इससे दो शर्तें।

- *आयाम*: $R_1R_2\,\eu^{2(g\ell - \alpha L)} \ge 1$, अर्थात् लब्धि को *देहली* तक पहुँचना चाहिए $$g_{\text{देहली}} = \frac{1}{\ell}\Big(\alpha L - \tfrac12\ln(R_1R_2)\Big)  \approx \frac{1}{2\ell}\,(T_2 + \text{प्रति चक्कर हानियाँ}) ;$$
- *कला* : $2kL = 2\pi p$ , अर्थात् $\nu_p = p\,c/2L$ — [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) केवल कोटर की *अनुदैर्घ्य विधाओं* पर दोलन करता है, जिनकी दूरी $c/2L$ है, और उनमें भी केवल उन पर जो लब्धि-वक्र के नीचे पड़ें जहाँ $g(\nu) \ge g_{\text{देहली}}$ हो।

**उपपत्ति.** चक्कर के गुणक का आयाम और कला दोनों तुच्छ होने चाहिए; और सन्निकटन $-\ln R \approx 1 - R = T$ काम में लेता है, $T \ll 1$ के लिए। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 23.9 (देहली के ऊपर स्थायी अवस्था).**

किसी एक परमाणु के [स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes) से शुरू होकर, हर वह विधा जिसके लिए $g_0 > g_{\text{देहली}}$ हो, चक्कर-दर-चक्कर चरघातांकी रूप से बढ़ती है; और जैसे-जैसे उसकी तीव्रता बढ़ती है, लब्धि संतृप्त होती जाती है ([प्रतिज्ञप्ति 23.6](#prop-b2-laser-saturation)) जब तक वह ठीक हानियों के बराबर न हो जाए:

$$
g(I) = g_{\text{देहली}} \quad\Longrightarrow\quad
I_{\text{कोटर}} = I_{\text{संत}}\Big(\frac{g_0}{g_{\text{देहली}}} - 1\Big),
\qquad P_{\text{निर्गम}} = T_2\,I_{\text{कोटर}}\,A .
$$

लब्धि देहली के मान पर *जकड़* जाती है; और देहली के ऊपर पंप किया गया हर अतिरिक्त परमाणु कोई निर्गम फ़ोटॉन बन जाता है, अतः निर्गम शक्ति देहली-पंप के ऊपर पंप के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।

**टिप्पणी 23.10 (लेज़र कोई पुनर्भरण दोलक है).**

[अध्याय 9](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/9-electronics-feedback-oscillators-and-signal-acquisition#ch-b2-feedback-oscillators) के वीन-सेतु दोलक से तुलना कीजिए: कोई प्रवर्धक (प्रतिलोमित माध्यम), कोई आवृत्ति-वरणात्मक [पुनर्भरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/9-electronics-feedback-oscillators-and-signal-acquisition#def-b2-feedback-oscillators-loop) (कोटर, जो केवल अपनी विधाएँ जाने देता है), कोई शुरू होने की शर्त ([पाश-लब्धि](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/9-electronics-feedback-oscillators-and-signal-acquisition#def-b2-feedback-oscillators-loop) $> 1$, अर्थात् $g_0 > g_{\text{देहली}}$), रव से शुरुआत (यहाँ [स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes)), और कोई ऐसा आयाम जो प्रवर्धक की अरैखिकता (लब्धि की संतृप्ति) तय करती है। [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) इसी कुल का प्रकाशिक सदस्य है।

![माध्यम का लब्धि-वक्र (चौड़ाई ), हानियों से तय देहली, और c/2L की दूरी पर कोटर की विधाओं की कंघी: केवल वक्र के नीचे और देहली के ऊपर वाली विधाएँ (मोटी) दोलन करती हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/fig-f426da2b9509.svg)

*माध्यम का लब्धि-वक्र (चौड़ाई $\Delta\nu$), हानियों से तय देहली, और $c/2L$ की दूरी पर कोटर की विधाओं की कंघी: केवल वक्र के नीचे और देहली के ऊपर वाली विधाएँ (मोटी) दोलन करती हैं।*

**उदाहरण 23.11 (हीलियम–नियोन लेज़र).**

$30\,\mathrm{cm}$ लंबी, $1\,\mathrm{mm}$ नली-व्यास की कोई काँच की नली, जिसमें हीलियम और नियोन किसी वायुमंडल के हज़ारवें भाग पर भरे हैं, और जिसमें कुछ मिलीऐंपियर का कोई विसर्जन बहता है। इलेक्ट्रॉन हीलियम को $20.6\,\mathrm{eV}$ पर किसी अर्ध-स्थायी स्तर तक उत्तेजित करते हैं, जो टक्कर से अपनी ऊर्जा नियोन के लगभग ठीक उसी ऊँचाई वाले किसी स्तर को सौंप देता है; वहाँ से नियोन किसी निचले स्तर तक (जो तेज़ी से भू-अवस्था में ख़ाली होता है — चार-स्तरीय) $632.8\,\mathrm{nm}$ पर उत्सर्जित करते हुए क्षय होता है। लघु-संकेत लब्धि नन्ही है, प्रति चक्कर कुछ प्रतिशत, अतः दर्पण उत्तम होने चाहिए ($R_1 = 0.999$, $R_2 = 0.99$) और नली साफ़; लब्धि-रेखा डॉप्लर-चौड़ी होकर $\Delta\nu \approx 1.5\,\mathrm{GHz}$ है, विधाएँ $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$ दूर हैं, अतः दो-तीन विधाएँ एक साथ दोलन करती हैं। निर्गम $1\,\mathrm{mW}$, कई वाट के विसर्जन के लिए: दक्षता $10^{-4}$; पर कोई ऐसा तरंगदैर्घ्य जो $10^{-6}$ तक परिभाषित हो और कोई ऐसी पुंज जो प्रयोगशाला भर $1\,\mathrm{mm}$ चौड़ी बनी रहे।

## 23.4 गाउसी पुंज

**प्रतिज्ञप्ति 23.12 (गाउसी पुंज).**

मुड़े दर्पणों वाला कोई स्थायी कोटर जो पुंज उत्सर्जित करता है वह (मूल अनुप्रस्थ विधा में) कोई *गाउसी पुंज* है: दूरी $z$ पर, उसके सबसे सँकरे परिच्छेद (*कटि*, त्रिज्या $w_0$) से, तीव्रता का परिच्छेद है

$$
I(r,z) = \frac{2P}{\pi w(z)^2}\,\exp\Big(-\frac{2r^2}{w(z)^2}\Big),
\qquad
w(z) = w_0\sqrt{1 + \Big(\frac{z}{z_{\text{R}}}\Big)^2},
\qquad
z_{\text{R}} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda},
$$

जहाँ $P$ कुल शक्ति है और $z_{\text{R}}$ *रैले लंबाई*: $\pm z_{\text{R}}$ भर पुंज अपनी [कटि](#prop-b2-laser-gaussian) के $\sqrt2$ के भीतर रहती है, और उससे बहुत परे इस अर्ध-कोण से फैलती है

$$
\theta = \frac{\lambda}{\pi w_0} .
$$

पुंज परअक्षीय सन्निकटन में तरंग समीकरण का कोई हल है; हम उसका रूप स्वीकार करके काम में लेते हैं। उसके [तरंगाग्र](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/18-the-scalar-model-of-light#def-b2-scalar-light-model-path) [कटि](#prop-b2-laser-gaussian) पर समतल और दूर गोलीय होते हैं।

**उपपत्ति.** इस स्तर पर स्वीकृत (गणना गाउसी द्वारक-वितरण का फ़ूरिये-प्रकाशिकी वाला संचरण है); और उसका मुख्य गुण वही है जो [अध्याय 22](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#ch-b2-diffraction) में [विवर्तन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#def-b2-diffraction-huygens) पहले ही दे चुका है: आकार $w_0$ का कोई द्वारक $\lambda/w_0$ भर फैलता है, यहाँ ठीक-ठीक गुणक $1/\pi$ के साथ। ∎

![कोई गाउसी पुंज: त्रिज्या w(z) कोई अतिपरवलय है — रैले लंबाई के भीतर लगभग अचर, और फिर अर्ध-कोण /π w_0 का कोई शंकु। छोटी कटि का अर्थ है छोटी रैले लंबाई और चौड़ा शंकु।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/fig-359344253e85.svg)

*कोई [गाउसी पुंज](#prop-b2-laser-gaussian): त्रिज्या $w(z)$ कोई अतिपरवलय है — [रैले लंबाई](#prop-b2-laser-gaussian) के भीतर लगभग अचर, और फिर अर्ध-कोण $\lambda/\pi w_0$ का कोई शंकु। छोटी [कटि](#prop-b2-laser-gaussian) का अर्थ है छोटी [रैले लंबाई](#prop-b2-laser-gaussian) और चौड़ा शंकु।*

**प्रतिज्ञप्ति 23.13 (किसी पुंज को फ़ोकस और फैलाना).**

त्रिज्या $w$ की कोई [गाउसी पुंज](#prop-b2-laser-gaussian) (जो लेंस पर अपने दूर-क्षेत्र से कहीं बड़ी हो, अर्थात् लगभग संरेखित) फ़ोकस दूरी $f$ के किसी लेंस पर पड़कर फ़ोकस पर इस [कटि](#prop-b2-laser-gaussian) तक फ़ोकस होती है

$$
w_0' = \frac{\lambda f}{\pi w}
$$

जिसकी [रैले लंबाई](#prop-b2-laser-gaussian) $\pi w_0'^2/\lambda$ है। वहाँ शिखर विकिरण-तीव्रता $2P/\pi w_0'^2$ है। और उलटे, आवर्धन $M$ का कोई अफ़ोकल दूरदर्शी त्रिज्या $w$ की किसी पुंज को त्रिज्या $Mw$ की पुंज में बदल देता है, जिसका [अपसरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#def-b2-maxwell-equations-operators) $M$ गुना छोटा है: अर्थात् किसी पुंज को दूर भेजने के लिए पहले उसे चौड़ा कीजिए।

**उपपत्ति.** लेंस समतल [तरंगाग्र](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/18-the-scalar-model-of-light#def-b2-scalar-light-model-path) को $f$ पर अभिसरित होते किसी गोले में बदल देता है; और त्रिज्या $w$ के किसी द्वारक का [विवर्तन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#def-b2-diffraction-huygens) कोणीय फैलाव $\lambda/\pi w$ देता है, अतः फ़ोकस-धब्बा $f\lambda/\pi w$ — जो $\theta = \lambda/\pi w_0'$ को उलटा पढ़ने से मेल खाता है। ∎

**उदाहरण 23.14 (काटना, पढ़ना, ताकना).**

$10.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर कोई $1\,\mathrm{kW}$ कार्बन-डाइऑक्साइड [लेज़र](#def-b2-laser-cavity), पुंज-त्रिज्या $10\,\mathrm{mm}$, $f = 100\,\mathrm{mm}$ से फ़ोकस: $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$, शिखर विकिरण-तीव्रता $2P/\pi w_0'^2 = 5 \times 10^{11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — इस्पात उबल जाता है। कोई $1\,\mathrm{mW}$ संकेतक, $633\,\mathrm{nm}$ पर $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$: $\theta =
0.4\,\mathrm{mrad}$, $50\,\mathrm{m}$ पर $4\,\mathrm{cm}$ का कोई धब्बा, और निर्गम पर $2.5\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ की विकिरण-तीव्रता — धूप से भी ऊपर, और इसीलिए कोई मिलीवाट भी कभी आँख में नहीं जाना चाहिए: आँख का लेंस उसे रेटिना पर $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ के किसी धब्बे पर, लाखों वाट प्रति वर्ग मीटर पर, फ़ोकस कर देता। $650\,\mathrm{nm}$ पर कोई चक्रिका-पाठक [संख्यात्मक द्वारक](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/16-guided-waves-and-cavities#prop-b2-guided-waves-fibre) $0.6$ के किसी लेंस से लगभग $\lambda/2\mathrm{NA} \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर फ़ोकस करता है, अर्थात् किसी गड्ढे जितना।

**टिप्पणी 23.15 (लेज़र-प्रकाश ख़ास क्यों है).**

*दिशिकता*: एक ही अनुप्रस्थ विधा, और [विवर्तन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#def-b2-diffraction-huygens) की सीमा पर [अपसरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#def-b2-maxwell-equations-operators)। *एकवर्णता*: एक या कुछ ही कोटर-विधाएँ, हर एक किसी मेगाहर्ट्ज़ से भी सँकरी — अर्थात् मीटरों से किलोमीटरों की संसक्ति लंबाइयाँ ([अध्याय 18](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/18-the-scalar-model-of-light#ch-b2-scalar-light-model))। *[दैशिक संसक्ति](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/19-two-wave-interference#prop-b2-two-wave-interference-spatial)*: पूरी पुंज एक ही तरंग है, अतः वह कहीं भी अपने साथ व्यतिकरण करती है (होलोग्राफ़ी, व्यतिकरणमिति)। *चमक*: विवर्तन-सीमित किसी पुंज में कोई मिलीवाट प्रति एकांक घन कोण और पट्ट-चौड़ाई सूर्य को मात दे देता है। स्पंदों में *शक्ति*: किसी नैनोसेकंड में कोई जूल कोई गीगावाट है, और किसी फ़ेम्टोसेकंड में कोई पेटावाट। और चूँकि पुंज किसी दोलक का निर्गम है, उसे गीगाहर्ट्ज़ पर माडुलित किया जा सकता है — वही [प्रकाशिक तंतु](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/16-guided-waves-and-cavities#prop-b2-guided-waves-fibre) का वाहक ([अध्याय 16](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/16-guided-waves-and-cavities#ch-b2-guided-waves))।

**विधि 23.16 (लेज़र के आकलन).**

(1) फ़ोटॉन ऊर्जा $h\nu = hc/\lambda$ और फ़ोटॉन दर $P/h\nu$। (2) देहली: $g_{\text{देहली}}\ell \approx \tfrac12(T_2 + \text{हानियाँ})$; माध्यम की लघु-संकेत लब्धि $g_0\ell$ से तुलना कीजिए। (3) विधाएँ: लब्धि की चौड़ाई के सामने $c/2L$; दोलन करती विधाएँ गिनिए। (4) शक्ति: लब्धि देहली पर जकड़ जाती है; निर्गम $\propto$ (पंप $-$ देहली-पंप)। (5) पुंज: $z_{\text{R}} = \pi w_0^2/\lambda$, $\theta =
\lambda/\pi w_0$, फ़ोकस-धब्बा $\lambda f/\pi w$, शिखर विकिरण-तीव्रता $2P/\pi w_0^2$। (6) सुरक्षा: रेटिना की विकिरण-तीव्रता की सूर्य वाली से तुलना कीजिए।

## 23.5 अभ्यास

**अभ्यास 23.1 ★.**

कोई हीलियम–नियोन [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) $632.8\,\mathrm{nm}$ पर $1\,\mathrm{mW}$ उत्सर्जित करता है। आवृत्ति, फ़ोटॉन ऊर्जा जूल तथा इलेक्ट्रॉनवोल्ट में, और प्रति सेकंड फ़ोटॉन। कोटर $30\,\mathrm{cm}$: विधाओं की दूरी; $1.5\,\mathrm{GHz}$ चौड़े किसी लब्धि-वक्र के नीचे कितनी विधाएँ समाती हैं?

**हल — अभ्यास 23.1.**

$\nu = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $h\nu = 3.14 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$; प्रति सेकंड $3.2 \times 10^{15}\,$ फ़ोटॉन; $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$; और तीन विधाएँ।

**अभ्यास 23.2 ★.**

$300\,\mathrm{K}$ पर $2\,\mathrm{eV}$ की दूरी वाले दो स्तर: अनुपात $N_2/N_1$ ($k_BT = 0.025\,\mathrm{eV}$ लीजिए)। किस ताप पर जनसंख्याएँ बराबर होतीं? दिखाइए कि कोई प्रतिलोमन बोल्ट्समान अनुपात में औपचारिक रूप से किसी *ऋण* ताप के बराबर है। $24\,\mathrm{GHz}$ पर किसी सूक्ष्मतरंग संक्रमण के लिए वही अनुपात।

**हल — अभ्यास 23.2.**

$\eu^{-80} \approx 2 \times 10^{-35}$; बराबरी केवल $T \to \infty$ पर; $N_2 > N_1$ के लिए $\eu^{-h\nu/k_BT} > 1$ चाहिए, अर्थात् औपचारिक रूप से $T < 0$। $24\,\mathrm{GHz}$ पर, $h\nu = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$: $N_2/N_1 = 0.996$।

**अभ्यास 23.3 ★.**

[गाउसी पुंज](#prop-b2-laser-gaussian), $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$: [रैले लंबाई](#prop-b2-laser-gaussian), [अपसरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#def-b2-maxwell-equations-operators), $100\,\mathrm{m}$ के बाद और चंद्रमा पर ($3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$) त्रिज्या। किसी $\times 20$ विस्तारक के बाद वही पुंज।

**हल — अभ्यास 23.3.**

$z_{\text{R}} = 1.24\,\mathrm{m}$; $\theta = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$; $w(100\,\mathrm{m}) =
40\,\mathrm{mm}$; और चंद्रमा पर $150\,\mathrm{km}$। $\times 20$ के बाद: $w_0 = 10\,\mathrm{mm}$, $\theta = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$, $z_{\text{R}} = 500\,\mathrm{m}$, $100\,\mathrm{m}$ पर $10.2\,\mathrm{mm}$, और चंद्रमा पर $7.7\,\mathrm{km}$।

**अभ्यास 23.4 ★.**

$R_1 = 1$, $R_2 = 0.98$ वाला कोटर, माध्यम $20\,\mathrm{cm}$ लंबा, बाक़ी हानियाँ प्रति चक्कर $0.5\%$। देहली-लब्धि गुणांक। माध्यम की लघु-संकेत लब्धि $0.2\,\mathrm{m}^{-1}$ है: क्या वह लेज़ करता है? और $R_2 = 0.90$ के साथ?

**हल — अभ्यास 23.4.**

$g_{\text{देहली}} = (0.005 + 0.0101)/0.2 = 0.076\,\mathrm{m}^{-1} < 0.2$: वह लेज़ करता है। $R_2 = 0.90$ के साथ: $(0.005 + 0.053)/0.2 = 0.29\,\mathrm{m}^{-1}$: वह नहीं करता।

**अभ्यास 23.5 ★★.**

*आइंस्टाइन संबंध।* (क) विकिरण $u(\nu)$ के साथ साम्य में किसी दो-स्तरीय जनसंख्या का संतुलन लिखिए और प्लांक के नियम (दिया गया) से दोनों संबंध निकालिए। (ख) $A_{21}/B_{21}u = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ निकालिए, $300\,\mathrm{K}$ पर, $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ के लिए और $\lambda = 1\,\mathrm{cm}$ के लिए। (ग) मेसर लेज़रों से पहले क्यों बने? (घ) किसी स्तर का जीवनकाल $\tau = 1/A_{21}$ है; यदि $600\,\mathrm{nm}$ पर $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ हो, तो $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर $\tau$ क्या है, उसी $B$ वाले किसी संक्रमण के लिए?

**हल — अभ्यास 23.5.**

(क) [प्रतिज्ञप्ति 23.2](#prop-b2-laser-einstein) देखिए। (ख) $600\,\mathrm{nm}$: $h\nu/k_BT
= 80$, अनुपात $5 \times 10^{34}$; $1\,\mathrm{cm}$: $4.8 \times 10^{-3}$ — [उद्दीपित उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes) हावी। (ग) सूक्ष्मतरंग आवृत्तियों पर [स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes) नगण्य है और कोई छोटा प्रतिलोमन भी पहले से लब्धि दे देता है; और तकनीक (कोटर, तरंग-निर्देशिकाएँ) मौजूद थी। (घ) $A \propto
\nu^3$, अतः $\tau \propto \lambda^3$: $10\,\text{µ}\mathrm{s}$।

**अभ्यास 23.6 ★★.**

*संतृप्ति और निर्गम शक्ति।* चार-स्तरीय माध्यम, $\sigma =
3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$, $\tau = 100\,\mathrm{ns}$, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$। (क) [संतृप्ति तीव्रता](#prop-b2-laser-saturation)। (ख) पंप दर $R$, लघु-संकेत लब्धि $g_0 = 0.1\,\mathrm{m}^{-1}$ के लिए। (ग) कोटर की देहली $g_{\text{देहली}} = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$ है: स्थायी अवस्था में कोटर के भीतर तीव्रता; और $1\,\mathrm{mm}^{2}$ क्षेत्रफल की किसी पुंज से $T_2 = 1\%$ से होकर निर्गम। (घ) दिखाइए कि देहली के ऊपर निर्गम शक्ति $R$ में रैखिक है।

**हल — अभ्यास 23.6.**

(क) $I_{\text{संत}} = h\nu/\sigma\tau = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$। (ख) $R =
g_0/\sigma\tau = 3.3 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$। (ग) $I = I_{\text{संत}}(5 - 1) =
4.2 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $P_{\text{निर्गम}} = 0.01 \times 4.2 \times 10^5 \times
10^{-6} = 4.2\,\mathrm{mW}$। (घ) $I = I_{\text{संत}}(\sigma R\tau/g_{\text{देहली}}
- 1) = (h\nu/g_{\text{देहली}})(R - g_{\text{देहली}}/\sigma\tau)$: अर्थात् $R$ में रैखिक, $R_{\text{देहली}} = g_{\text{देहली}}/\sigma\tau$ के ऊपर।

**अभ्यास 23.7 ★★.**

*विधाएँ और स्थिरता।* (क) $1.5\,\mathrm{GHz}$ के किसी लब्धि-वक्र के नीचे एक-विधा संचालन के लिए कोटर की लंबाई। (ख) कोई $30\,\mathrm{cm}$ कोटर $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ फैल जाता है: किसी विधा की आवृत्ति का खिसकाव, विधाओं की दूरी और लब्धि की चौड़ाई के सामने। (ग) व्यापारिक स्थिरीकृत हीलियम–नियोन [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) नली की लंबाई को गरम करके क्यों जकड़ते हैं? (घ) विधा की अपनी चौड़ाई कुछ किलोहर्ट्ज़ है: [संसक्ति लंबाई](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/18-the-scalar-model-of-light#prop-b2-scalar-light-model-coherence)?

**हल — अभ्यास 23.7.**

(क) $c/2L > 1.5\,\mathrm{GHz}$: $L < 10\,\mathrm{cm}$। (ख) $\delta\nu = \nu\,\delta L/L
= 1.6\,\mathrm{GHz}$: अर्थात् तीन विधा-दूरियाँ, यानी पूरी लब्धि-चौड़ाई — विधा लब्धि-वक्र भर बह जाती है और अपने पड़ोसी को सौंप देती है। (ग) कोई तापक लंबाई को $\lambda$ के किसी छोटे अंश तक थामे रखता है, और दो विधाओं के संतुलन को त्रुटि-संकेत की तरह लेता है। (घ) $c/\delta\nu \approx
100\,\mathrm{km}$।

**अभ्यास 23.8 ★★.**

*फ़ोकस करना।* (क) पुंज $w = 1\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, $f = 50\,\mathrm{mm}$: [कटि](#prop-b2-laser-gaussian), [रैले लंबाई](#prop-b2-laser-gaussian), और $1\,\mathrm{mW}$ के लिए शिखर विकिरण-तीव्रता। (ख) वही पुंज किसी आँख में (फ़ोकस दूरी $17\,\mathrm{mm}$): रेटिना का धब्बा और विकिरण-तीव्रता; सूर्य के प्रतिबिंब से तुलना कीजिए ($3\,\mathrm{mm}$ की किसी पुतली से होकर $0.15\,\mathrm{mm}$ के किसी प्रतिबिंब में $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$)। (ग) कोई $5\,\mathrm{mW}$ हरा संकेतक किसी $100\,\mathrm{W}$ बल्ब से अधिक ख़तरनाक क्यों है? (घ) $50\,\mathrm{mm}$ के लेंस की फ़ोकस-गहराई।

**हल — अभ्यास 23.8.**

(क) $w_0' = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $z_{\text{R}} = 0.5\,\mathrm{mm}$, $I = 2P/\pi
w_0'^2 = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$। (ख) $w_0' = 3.4\,\text{µ}\mathrm{m}$, $I =
5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; और सूर्य का प्रतिबिंब: $10^3 \times (3/0.15)^2 =
4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — अर्थात् संकेतक सौ गुना बुरा है। (ग) बल्ब की शक्ति $4\pi$ भर फैलती है और रेटिना पर उसका प्रतिबिंब विस्तृत है; जबकि संकेतक की पूरी शक्ति कुछ माइक्रोमीटरों में उतरती है, और उसी तरंगदैर्घ्य पर जहाँ संवेदनशीलता सबसे अधिक है। (घ) $2z_{\text{R}} = 1\,\mathrm{mm}$।

**अभ्यास 23.9 ★★.**

*तीन बनाम चार स्तर।* माणिक: $N = 1.6 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ क्रोमियम आयन, ऊपरी स्तर का जीवनकाल $3\,\mathrm{ms}$, $\lambda =
694\,\mathrm{nm}$। (क) आधे आयनों को ऊपरी स्तर में थामे रखने के लिए प्रति एकांक आयतन न्यूनतम पंप शक्ति। (ख) $1\,\mathrm{cm}^{3}$ की किसी छड़ के लिए। (ग) किसी चार-स्तरीय माध्यम को केवल $\Delta N = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ चाहिए, $1064\,\mathrm{nm}$ पर $\tau =
230\,\text{µ}\mathrm{s}$ के साथ: प्रति एकांक आयतन पंप शक्ति। (घ) माणिक [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) के कौंध-दीपक की Nd:YAG के डायोड-पंपन से तुलना पर टिप्पणी कीजिए।

**हल — अभ्यास 23.9.**

(क) $(N/2)\,h\nu/\tau = 7.6 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$। (ख) $760\,\mathrm{W}$ — सतत तो सवाल ही नहीं: कोई कौंध-दीपक। (ग) $10^{22} \times 1.87 \times
10^{-19}/2.3 \times 10^{-4} = 8 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$: अर्थात् प्रति घन सेंटीमीटर $8\,\mathrm{W}$। (घ) सौ गुना कम, और सतत: कुछ वाट डायोड-प्रकाश काफ़ी हैं।

**अभ्यास 23.10 ★★★.**

*[लेज़र](#def-b2-laser-cavity) डायोड।* किसी डायोड [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) का उत्सर्जक इलाक़ा लगभग $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ गुणा $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ है, $\lambda = 780\,\mathrm{nm}$। (क) दोनों दिशाओं में [अपसरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#def-b2-maxwell-equations-operators) के अर्ध-कोण। (ख) कौन-सी दिशा अधिक अपसरित होती है, और पुंज दीर्घवृत्तीय क्यों है? (ग) $f =
5\,\mathrm{mm}$ का कोई लेंस उसे संरेखित करता है: दोनों दिशाओं में पुंज के आकार। (घ) उस दीर्घवृत्त को गोल कैसे किया जा सकता है (दो विचार)?

**हल — अभ्यास 23.10.**

(क) $\lambda/\pi w_0$: $0.17\,\mathrm{rad}$ ($9.5{}^{\circ}$) और $0.5\,\mathrm{rad}$ ($28{}^{\circ}$)। (ख) सँकरी दिशा अधिक अपसरित होती है: अतः दूर-क्षेत्र का दीर्घवृत्त उत्सर्जक के लंबवत है। (ग) $f\theta$: $0.8\,\mathrm{mm}$ और $2.5\,\mathrm{mm}$। (घ) कोई अनाकारिक प्रिज़्म-जोड़ी या कोई बेलनाकार लेंस; या किसी एक-विधा तंतु में युग्मित कर दीजिए।

**अभ्यास 23.11 ★★★.**

*शुरुआत।* (क) प्रति चक्कर शुद्ध लब्धि $G = \eu^{2(g_0 - g_{\text{देहली}})\ell} = 1.04$ और चक्कर-काल $2L/c$ लेकर, $L = 30\,\mathrm{cm}$ के साथ, चक्कर की आयाम-शर्त लिखिए। (ख) किसी एक स्वतःस्फूर्त फ़ोटॉन से कोटर के भीतर $100\,\mathrm{mW}$ की स्थायी अवस्था तक (कोटर में फ़ोटॉनों की संख्या?), कितने चक्कर और कितना समय? (ग) बढ़ोतरी को क्या सीमित करता है, और उस विधा का क्या होता है जिसकी $g_0 < g_{\text{देहली}}$ हो? (घ) किसी बहुविधा [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) में विधाएँ एक ही परमाणुओं के लिए होड़ करती हैं: विधा-छलाँग समझाइए।

**हल — अभ्यास 23.11.**

(क) हर $2\,\mathrm{ns}$ पर तीव्रता $\times 1.04$। (ख) $N = P\,(2L/c)/h\nu =
6.4 \times 10^8$ फ़ोटॉन; $\ln(6.4 \times 10^8)/\ln 1.04 \approx 520$ चक्कर, अर्थात् लगभग $1\,\text{µ}\mathrm{s}$। (ग) लब्धि की संतृप्ति; और देहली से नीचे कोई विधा प्रति चक्कर जितना पाती है उससे अधिक खोती है और स्वतःस्फूर्त स्तर पर पड़ी रहती है। (घ) विधाएँ एक ही प्रतिलोमन बाँटती हैं; सबसे प्रबल उसे संतृप्त कर देती है और बाक़ियों को भूखा रखती है; और लंबाई तथा लब्धि के बहाव विजेता बदल देते हैं — अतः निर्गम विधा-दर-विधा छलाँगें लगाता है।

**अभ्यास 23.12 ★★★.**

*चंद्र-परास।* $532\,\mathrm{nm}$ पर $100\,\mathrm{mJ}$ की स्पंदें, $100\,\mathrm{ps}$ लंबी, $1\,\mathrm{m}$ के किसी दूरदर्शी से भेजी गईं ($w_0 =
0.5\,\mathrm{m}$)। (क) प्रति स्पंद फ़ोटॉन, और शिखर शक्ति। (ख) [विवर्तन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#def-b2-diffraction-huygens) [अपसरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#def-b2-maxwell-equations-operators) और चंद्रमा ($3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$) पर धब्बे की त्रिज्या; और यदि वायुमंडल पुंज को इसके बजाय $1''$ तक फैला दे: धब्बे की त्रिज्या। (ग) चंद्रमा पर $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ की कोई परावर्तक पंक्ति प्रकाश को अपने ही [विवर्तन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#def-b2-diffraction-huygens) के साथ लौटाती है ($\lambda/d$, जहाँ कोने-घन $d = 4\,\mathrm{cm}$ के): पृथ्वी पर धब्बा, दूरदर्शी से पकड़ा गया अंश, और प्रति स्पंद भाँपे गए फ़ोटॉन। (घ) $100\,\mathrm{ps}$ तक समय नापना: प्रति स्पंद दूरी की परिशुद्धता, और $10^4$ स्पंदों के बाद।

**हल — अभ्यास 23.12.**

(क) $2.7 \times 10^{17}$ फ़ोटॉन; और $1\,\mathrm{GW}$। (ख) $\theta = 3.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$, $130\,\mathrm{m}$; और दृश्यता के साथ $1.8\,\mathrm{km}$। (ग) अंश $0.1/\pi(1800)^2 =
10^{-8}$: $2.6 \times 10^9$ फ़ोटॉन; लौटता फैलाव $1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$, त्रिज्या $5\,\mathrm{km}$; और दूरदर्शी $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$ पकड़ता है: अर्थात् लगभग $25$ फ़ोटॉन, और प्रकाशिकी के बाद कुछ ही। (घ) $c \times 100\,\mathrm{ps}/2 = 1.5\,\mathrm{cm}$; $\times 1/\sqrt{10^4}$: $0.15\,\mathrm{mm}$।

![594\, nm पर अपनी पीली रेखा पर उत्सर्जित करती कोई हीलियम–नियोन लेज़र नली: नली के भीतर विसर्जन की चमक, और निर्गम दर्पण से निकलती पुंज। छायाचित्र: टेलिमेंटर, CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/img-d684e8c7f09d.jpg)

*$594\,\mathrm{nm}$ पर अपनी पीली रेखा पर उत्सर्जित करती कोई हीलियम–नियोन [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) नली: नली के भीतर विसर्जन की चमक, और निर्गम दर्पण से निकलती पुंज। छायाचित्र: टेलिमेंटर, CC BY 4.0.*

## 23.6 समस्या: कोई हीलियम–नियोन लेज़र, नली से चंद्रमा तक

**समस्या 23.1.**

सप्ताहांत समस्या — कोई लेज़र बनाया, परखा और काम में लिया गया

मेज़ पर रखा [लेज़र](#def-b2-laser-cavity): काँच की नली $L = 30\,\mathrm{cm}$, नली-व्यास $1\,\mathrm{mm}$, हीलियम–नियोन मिश्रण, $1.5\,\mathrm{kV}$ पर $5\,\mathrm{mA}$ का विसर्जन; दर्पण $R_1 = 0.999$, $R_2 = 0.99$; तरंगदैर्घ्य $632.8\,\mathrm{nm}$; निर्गम $1\,\mathrm{mW}$। आँकड़े: He का अर्ध-स्थायी स्तर $20.61\,\mathrm{eV}$ पर है, Ne का ऊपरी [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) स्तर $20.66\,\mathrm{eV}$ पर जिसका जीवनकाल $100\,\mathrm{ns}$, और निचला [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) स्तर $18.70\,\mathrm{eV}$ पर जिसका जीवनकाल $10\,\mathrm{ns}$; गैस का ताप $400\,\mathrm{K}$; नियोन का मोलर द्रव्यमान $20\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; [अनुप्रस्थ काट](#prop-b2-laser-gain) $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$; $h =
6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, और $400\,\mathrm{K}$ पर $k_BT$ $= 0.0345\,\mathrm{eV}$।

**भाग I — माध्यम।**

1. [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) रेखा की फ़ोटॉन ऊर्जा और आवृत्ति।
2. He और Ne के स्तर $0.05\,\mathrm{eV}$ से भिन्न हैं: $k_BT$ से तुलना कीजिए और समझाइए कि टक्कर से He $\to$ Ne स्थानांतरण क्यों दक्ष है।
3. बिना विसर्जन के $400\,\mathrm{K}$ पर Ne के ऊपरी स्तर का भू-अवस्था से बोल्ट्समान अनुपात: टिप्पणी कीजिए।
4. दोनों जीवनकालों से समझाइए कि ऊपरी स्तर के भरते ही Ne के स्तरों के बीच प्रतिलोमन बनाए रखना आसान क्यों है।
5. रेखा की डॉप्लर चौड़ाई: $400\,\mathrm{K}$ पर नियोन की सबसे संभावित चाल और कोटि में $\Delta\nu \approx \nu\,v/c$ (ठीक-ठीक $\Delta\nu = 2\nu\sqrt{2k_BT\ln2/Mc^2}$ )।
6. $\Delta N = N_2 - N_1 = 3 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ: लघु-संकेत लब्धि गुणांक और $30\,\mathrm{cm}$ भर प्रति चक्कर लब्धि।

**भाग II — कोटर।**

7. देहली-लब्धि गुणांक; और प्रश्न 6 के सापेक्ष गुंजाइश।
8. विधाओं की दूरी; और कितनी विधाएँ दोलन कर सकती हैं।
9. कोटर के भीतर शक्ति और नली में कोटर के भीतर विकिरण-तीव्रता।
10. स्थायी अवस्था में लब्धि को क्या तय करता है, और अतिरिक्त पंप ऊर्जा कहाँ जाती है?
11. भीतर विद्युत् शक्ति और बाहर प्रकाशिक शक्ति: दक्षता; और वह इतनी कम क्यों है, इसके दो कारण।
12. शुरुआत: प्रति चक्कर शुद्ध लब्धि $2(g_0 - g_{\text{देहली}})L$ , स्थायी अवस्था में कोटर में फ़ोटॉनों की संख्या, किसी एक फ़ोटॉन से चक्करों की संख्या, और शुरू होने का समय।
13. नली गरम होकर $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ लंबी हो जाती है: किसी विधा का आवृत्ति-खिसकाव; और किसी एक-विधा [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) के लिए परिणाम।
14. नली [ब्रूस्टर कोण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/15-reflection-and-transmission-at-interfaces#prop-b2-wave-interfaces-brewster) पर रखी खिड़कियों से बंद है: इससे निर्गम के ध्रुवण का क्या होता है, और इससे कोई हानि क्यों नहीं जुड़ती?

**भाग III — पुंज।**

15. कोटर कोई [कटि](#prop-b2-laser-gaussian) $w_0 = 0.3\,\mathrm{mm}$ बनाता है: [रैले लंबाई](#prop-b2-laser-gaussian) , [अपसरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#def-b2-maxwell-equations-operators) , और $10\,\mathrm{m}$ दूर पुंज का व्यास।
16. निर्गम पर शिखर विकिरण-तीव्रता; धूप ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ) से तुलना कीजिए।
17. $f = 50\,\mathrm{mm}$ का कोई लेंस: फ़ोकस पर [कटि](#prop-b2-laser-gaussian) और शिखर विकिरण-तीव्रता।
18. पुंज किसी आँख में घुसती है (फ़ोकस दूरी $17\,\mathrm{mm}$ ): रेटिना का धब्बा और विकिरण-तीव्रता; $1\,\mathrm{mW}$ के लिए कोई पलक झपकना बहुत धीमा क्यों नहीं है, और "श्रेणी 2" का क्या अर्थ है।
19. कोई $\times 10$ पुंज-विस्तारक: नया [अपसरण](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/11-maxwells-equations#def-b2-maxwell-equations-operators) और $1\,\mathrm{km}$ पर धब्बे का व्यास।
20. [संसक्ति लंबाई](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/18-the-scalar-model-of-light#prop-b2-scalar-light-model-coherence) यदि [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) $1\,\mathrm{MHz}$ चौड़ी किसी एक विधा पर चले; और यदि वह $1\,\mathrm{GHz}$ भर फैली तीन विधाओं पर चले।

**भाग IV — चंद्रमा तक।** कोई परास-केंद्र $532\,\mathrm{nm}$ पर $100\,\mathrm{ps}$ की $100\,\mathrm{mJ}$ स्पंदें $1\,\mathrm{m}$ के किसी दूरदर्शी से दाग़ता है; और वायुमंडल बाहर जाती पुंज को $1''$ ($4.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$) तक फैला देता है।

21. प्रति स्पंद फ़ोटॉन और शिखर शक्ति।
22. चंद्रमा ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ) पर धब्बे की त्रिज्या; विवर्तन-सीमित धब्बे से तुलना कीजिए।
23. $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ की कोई परावर्तक पंक्ति स्पंद का कौन-सा अंश रोक लेती है, और कितने फ़ोटॉन?
24. पंक्ति के $4\,\mathrm{cm}$ के कोने-घन प्रकाश को फैलाव $\lambda/d$ के साथ लौटाते हैं: पृथ्वी पर धब्बे की त्रिज्या, दूरदर्शी से पकड़ा गया अंश, और प्रति स्पंद भाँपे गए फ़ोटॉन (कुल प्रकाशिक दक्षता $0.1$ लीजिए)।
25. चक्कर का काल लगभग $2.56\,\mathrm{s}$ है, जो $100\,\mathrm{ps}$ तक नापा जाता है: प्रति स्पंद दूरी की परिशुद्धता; $10^4$ लौटावों के बाद; और चंद्रमा जिस $3.8\,\mathrm{cm}$ प्रति वर्ष से दूर जा रहा है उससे तुलना कीजिए।

**हल — समस्या 23.1.**

**1.** $1.96\,\mathrm{eV}$, $4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$।

**2.** $0.05\,\mathrm{eV} \approx 1.5\,k_BT$: तापीय गति वह छोटी कमी पूरी कर देती है; और स्थानांतरण लगभग अनुनादी है, अतः दक्ष।

**3.** $\eu^{-20.66/0.0345} = \eu^{-600} \approx 10^{-260}$: कोई नहीं; केवल विसर्जन ही उस स्तर को भरता है।

**4.** निचला स्तर ऊपरी के क्षय से दस गुना तेज़ी से ख़ाली होता है: वह सदा लगभग ख़ाली रहता है — अर्थात् कोई चार-स्तरीय योजना।

**5.** $v^* = \sqrt{2k_BT/m} = 580\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\nu v^*/c \approx 0.9\,\mathrm{GHz}$; और यथार्थ सूत्र $1.5\,\mathrm{GHz}$ देता है।

**6.** $g_0 = 0.09\,\mathrm{m}^{-1}$; $\eu^{0.027}$: प्रति चक्कर $2.7\%$।

**7.** $g_{\text{देहली}} = -\ln(0.999 \times 0.99)/0.6 = 0.018\,\mathrm{m}^{-1}$; गुंजाइश $5$।

**8.** $500\,\mathrm{MHz}$; तीन।

**9.** $P_{\text{निवेश}} = 1\,\mathrm{mW}/0.01 = 100\,\mathrm{mW}$; $1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$।

**10.** लब्धि संतृप्त होकर $g_{\text{देहली}}$ पर आ जाती है; और अतिरिक्त निर्गम फ़ोटॉन बन जाता है (तथा [स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन](#def-b2-laser-processes), ऊष्मा)।

**11.** $1\,\mathrm{mW}/7.5\,\mathrm{W} = 1.3 \times 10^{-4}$: इलेक्ट्रॉन की अधिकांश ऊर्जा हीलियम के अर्ध-स्थायी स्तर के अलावा कहीं और जाती है, और फ़ोटॉन लगाए गए $20.66\,\mathrm{eV}$ में से $1.96\,\mathrm{eV}$ ले जाता है।

**12.** $2 \times 0.072 \times 0.3 = 0.043$; $N = 0.1 \times 2 \times 10^{-9}/3.14
\times 10^{-19} = 6.4 \times 10^8$; $20.3/0.043 \approx 470$ चक्कर; $0.9\,\text{µ}\mathrm{s}$।

**13.** $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$: विधा पूरे लब्धि-वक्र को पार कर जाती है — अतः लंबाई स्थिर न की जाए तो [लेज़र](#def-b2-laser-cavity) किसी दूसरी विधा पर छलाँग लगा देता है।

**14.** $p$ ध्रुवण किसी ब्रूस्टर सतह को बिना परावर्तन के पार करता है; जबकि $s$ ध्रुवण प्रति सतह कोई $15\%$ खोता है और कभी देहली तक नहीं पहुँचता: अर्थात् बिना किसी क़ीमत के रैखिक ध्रुवित निर्गम।

**15.** $z_{\text{R}} = 0.45\,\mathrm{m}$; $\theta = 6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$; $w(10\,\mathrm{m})
= 6.7\,\mathrm{mm}$: अर्थात् $13\,\mathrm{mm}$ चौड़ा।

**16.** $2P/\pi w_0^2 = 7\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$: सात सूर्य।

**17.** $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$; $5.6 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$।

**18.** $w_0' = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$; $5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; और रेटिना पलक-प्रतिवर्त के $0.25\,\mathrm{s}$ तक $1\,\mathrm{mW}$ झेल जाती है — श्रेणी 2: दृश्य, $\le 1\,\mathrm{mW}$, और सुरक्षित क्योंकि पलक झपक जाती है।

**19.** $6.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$; $w_0 = 3\,\mathrm{mm}$, $z_{\text{R}} = 45\,\mathrm{m}$, $w(1\,\mathrm{km}) = 67\,\mathrm{mm}$: अर्थात् $13\,\mathrm{cm}$।

**20.** $c/\Delta\nu$: $300\,\mathrm{m}$; $30\,\mathrm{cm}$।

**21.** $2.7 \times 10^{17}$; $1\,\mathrm{GW}$।

**22.** $1.8\,\mathrm{km}$; और अकेला [विवर्तन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/22-fraunhofer-diffraction-and-spatial-filtering#def-b2-diffraction-huygens): $130\,\mathrm{m}$।

**23.** $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$; $2.6 \times 10^9$ फ़ोटॉन।

**24.** $\lambda/d = 1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$, $5\,\mathrm{km}$; $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$: $25$ फ़ोटॉन, और दो-तीन भाँपे गए।

**25.** $1.5\,\mathrm{cm}$; $0.15\,\mathrm{mm}$; और दूर जाना हफ़्तों के भीतर नाप लिया जाता है।