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title: "इलेक्ट्रॉनिकी: पुनर्भरण, दोलित्र और संकेत-ग्रहण"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 2"
subject: physics
language: hi
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/9-electronics-feedback-oscillators-and-signal-acquisition
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# अध्याय 9 — इलेक्ट्रॉनिकी: पुनर्भरण, दोलित्र और संकेत-ग्रहण

कोई माइक्रोफ़ोन उस ध्वनिविस्तारक के बहुत पास ले जाइए जिसे वह चलाता है, और भवन किसी चीख़ से भर जाता है: प्रवर्धक स्वयं को सुनने लगता है, और नन्हा-सा रव किसी एक विशेष स्वर पर चीख़ बन जाता है। साध लिया जाए तो वही पाश हर घड़ी, रेडियो और स्वर-संश्लेषक का हृदय है — अर्थात् कोई *दोलित्र*, जो लब्धि और छन्नी के सिवा कुछ भी न लेकर ज्यावक्र बना देता है। वर्ष 1 के खंड ने संक्रियात्मक प्रवर्धक से प्रवर्धक, छन्नियाँ और तुलनित्र बनाए थे; यह अध्याय उनके चारों ओर का पाश बंद करता है, पूछता है कि कोई पाश कब स्थायी रहता है और कब दोलन करता है, दो दोलित्र बनाता है — एक ज्यावक्रीय, एक वर्गाकार — और फिर उन दो संक्रियाओं की ओर मुड़ता है जिनसे कोई नापा गया संकेत संगणक तक पहुँचता है: उसका *प्रतिचयन*, और *[तुल्यकालिक संसूचन](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin)* से उसे रव में से खींच लेना।

![कोई ब्रेडबोर्ड, कोई फलन जनित्र और कोई दोलनदर्शी: वही मेज़ जिस पर पुनर्भरण-पाश बंद किया जाता है — और जिस पर, प्रवर्धक के गाने लगते ही, यह पता चलता है कि वह दोलित्र बन चुका है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/img-d2db359dacd5.jpg)

*कोई ब्रेडबोर्ड, कोई फलन जनित्र और कोई दोलनदर्शी: वही मेज़ जिस पर पुनर्भरण-पाश बंद किया जाता है — और जिस पर, प्रवर्धक के गाने लगते ही, यह पता चलता है कि वह दोलित्र बन चुका है।*

## 9.1 पुनर्भरण और स्थायित्व

**परिभाषा 9.1 (बंद पाश; पाश-लब्धि).**

$\underline A(\jmath\omega)$ अंतरण फलन का कोई प्रवर्धक निवेश $\underline e$ के साथ अंश $\underline\beta(\jmath\omega)\,\underline s$ भी पाता है, जो उसके अपने निर्गम $\underline s$ का है (धनात्मक पुनर्भरण; ऋणात्मक पुनर्भरण के लिए $\beta$ का चिह्न बदल दीजिए)। *बंद-पाश* अंतरण फलन और *पाश-लब्धि* ये हैं:

$$
\underline H = \frac{\underline s}{\underline e} = \frac{\underline A}{1 - \underline A\,\underline\beta} ,
\qquad \underline T = \underline A\,\underline\beta .
$$

**प्रमेय 9.2 (किसी रैखिक पाश का स्थायित्व; दोलन का प्रतिबंध).**

$\jmath\omega$ की जगह सम्मिश्र चर $p$ रखने पर पाश का मुक्त विकास उसके *[अभिलक्षणिक समीकरण](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)* $1 - \underline A(p)\underline\beta(p) = 0$ के मूलों ($\underline H$ के ध्रुवों) से चलता है: हर मूल $p_i$ एक विधा $\eu^{p_it}$ देता है। पाश तब *स्थायी* है जब सब मूलों के वास्तविक भाग ऋणात्मक हों (तब हर विधा मर जाती है); और वह बढ़ते आयाम के साथ *दोलन* करता है जब किसी मूल का वास्तविक भाग धनात्मक हो। सीमा — अर्थात् शुद्ध काल्पनिक मूलों का कोई युग्म $\pm\jmath
\omega_0$, अर्थात् कोई टिकाऊ ज्यावक्र — तब आती है जब

$$
\underline A(\jmath\omega_0)\,\underline\beta(\jmath\omega_0) = 1
$$

हो (*[बार्कहाउज़ेन प्रतिबंध](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)*: $\omega_0$ पर [पाश-लब्धि](#def-b2-feedback-oscillators-loop) का मापांक एक और कला शून्य)। किसी द्वितीय-कोटि हर $ap^2 + bp + c$ के लिए पाश तभी और केवल तभी स्थायी है जब $a$, $b$, $c$ के चिह्न एक हों।

**उपपत्ति.** पाश का अवकल समीकरण $\underline s(1 -
\underline A\underline\beta) = \underline A\underline e$ से मिलता है, यदि $\jmath\omega$ की हर घात को समय-अवकलज पढ़ा जाए; और उसके समांगी हल $\eu^{p_it}$ हैं, जहाँ $p_i$ बहुपद के मूल हैं। बढ़ना या घटना $\operatorname{Re}p_i$ के चिह्न से चलता है; और किसी द्वितीय-कोटि बहुपद के मूलों के वास्तविक भाग ठीक तब ऋणात्मक होते हैं जब गुणांकों का चिह्न एक हो (उनका योग $-b/a$ और गुणनफल $c/a$ है)। बार्कहाउज़ेन का प्रतिबंध $p = \jmath\omega_0$ पर किसी मूल के होने का प्रतिबंध है। ∎

**टिप्पणी 9.3 (कोई दोलित्र कैसे चलता और रुकता है).**

कोई दोलित्र इस तरह बनाया जाता है कि $\omega_0$ पर [पाश-लब्धि](#def-b2-feedback-oscillators-loop) एक से कुछ *अधिक* हो: चालू होते समय जो रव होता है उसमें वह आवृत्ति भी होती है, जो चरघातांकी रूप से बढ़ती है जबकि बाक़ी सब मर जाती हैं। तब रैखिक सिद्धांत अनंत आयाम बताता है; पर वास्तव में कोई *अरैखिकता* — प्रवर्धक की संतृप्ति, या कोई जान-बूझकर लगाया अरैखिक अवयव — आयाम बढ़ते ही प्रभावी लब्धि घटा देती है, जब तक [पाश-लब्धि](#def-b2-feedback-oscillators-loop) का औसत ठीक एक न हो जाए: और तब आयाम ठहर जाता है। इस तरह हर असली दोलित्र आवृत्ति के लिए रैखिक पाश है और आयाम के लिए अरैखिक; और सीमन जितना कोमल, ज्यावक्र उतना ही शुद्ध।

## 9.2 वीन-सेतु दोलित्र

**प्रतिज्ञप्ति 9.4 (वीन-सेतु दोलित्र).**

$K = 1 + R_2/R_1$ लब्धि की अव्युत्क्रमी रचना में लगा कोई संक्रियात्मक प्रवर्धक अपना निर्गम *[वीन जाल](#prop-b2-feedback-oscillators-wien)* से होकर अपने $+$ निवेश पर लौटाता है: अर्थात् $R$ और $C$ श्रेणी में, फिर $R$ और $C$ समांतर में भू से। इस जाल का अंतरण फलन

$$
\underline\beta(\jmath\omega) = \frac1{3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)} ,
$$

है, जो वास्तविक और अधिकतम ($= 1/3$) होता है, $\omega_0 = 1/RC$ पर। [पाश-लब्धि](#def-b2-feedback-oscillators-loop) $K\underline\beta$ $\omega_0$ पर एक के बराबर तब होती है जब $K = 3$: और तब परिपथ इस आवृत्ति पर ज्यावक्र टिकाए रखता है:

$$
f_0 = \frac1{2\pi RC} .
$$

वोल्टता $v$, जो $+$ निवेश पर है, इसका पालन करती है:

$$
\frac{\dd^2v}{\dd t^2} + \frac{3 - K}{RC}\,\frac{\dd v}{\dd t} + \frac{v}{R^2C^2} = 0 :
$$

अर्थात् $K < 3$ के लिए दोलन मर जाता है, और $K > 3$ के लिए वह $2RC/(K - 3)$ समय-नियतांक के साथ बढ़ता है (ऋणात्मक अवमंदन), जब तक संक्रियात्मक प्रवर्धक की संतृप्ति उसे सीमित न कर दे।

**उपपत्ति.** वोल्टता-विभाजक: श्रेणी शाखा $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$, समांतर शाखा $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$; और $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$, जो दिए गए रूप में सरल हो जाता है। पाश: $\underline v = \underline\beta K\underline v$, अर्थात् $[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]\underline v = K\underline v$; अब $\jmath\omega RC$ से गुणा कीजिए और $\jmath\omega \to \dd/\dd t$ पढ़िए: $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$। इसका अवमंदन-गुणांक $K = 3$ पर चिह्न बदल देता है। ∎

![बाएँ: कोई पुनर्भरण-पाश — निर्गम से होकर प्रवर्धक के निवेश पर लौटाया जाता है। दाएँ: वीन-सेतु दोलित्र — 1 + R_2/R_1 लब्धि का कोई अव्युत्क्रमी प्रवर्धक, जिसका निर्गम उसके + निवेश पर श्रेणी–समांतर RC जाल से होकर लौटता है; और लब्धि के 3 पर पहुँचते ही वह 1/2π RC पर दोलन करने लगता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-99365599f974.svg)

![बाएँ: कोई पुनर्भरण-पाश — निर्गम से होकर प्रवर्धक के निवेश पर लौटाया जाता है। दाएँ: वीन-सेतु दोलित्र — 1 + R_2/R_1 लब्धि का कोई अव्युत्क्रमी प्रवर्धक, जिसका निर्गम उसके + निवेश पर श्रेणी–समांतर RC जाल से होकर लौटता है; और लब्धि के 3 पर पहुँचते ही वह 1/2π RC पर दोलन करने लगता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-5014573f52ee.svg)

*बाएँ: कोई पुनर्भरण-पाश — निर्गम $\underline\beta$ से होकर प्रवर्धक के निवेश पर लौटाया जाता है। दाएँ: [वीन-सेतु दोलित्र](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) — $1 + R_2/R_1$ लब्धि का कोई अव्युत्क्रमी प्रवर्धक, जिसका निर्गम उसके $+$ निवेश पर श्रेणी–समांतर $RC$ जाल से होकर लौटता है; और लब्धि के 3 पर पहुँचते ही वह $1/2\pi RC$ पर दोलन करने लगता है।*

**उदाहरण 9.5 (एक 1 kHz1\,\mathrm{kHz}1kHz स्रोत).**

$R = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$: $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$। $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$ और $R_2 = 21\,\mathrm{k}\Omega$ लेकर $K = 3.1$: तब आयाम चालू होने के रव से $\eu$ गुना बढ़ता है हर $2RC/0.1 = 3.2\,\mathrm{ms}$ में, और कुछ दसियों मिलीसेकंड में संतृप्ति तक पहुँच जाता है; और कटा हुआ ज्यावक्र तब संनादियों से भरा होता है। $R_1$ की जगह कोई छोटा तापदीप्त बल्ब लगाइए, जिसका प्रतिरोध गरम होते ही बढ़ता है, तो वह किसी मध्यम आयाम पर $K$ को ठीक $3$ तक खींच लाता है: और तब $0.1\%$ से कम विरूपण का ज्यावक्र मिलता है — यही पहले प्रयोगशाला-संकेत जनित्रों का परिपथ था।

## 9.3 शैथिल्य वाले तुलनित्र; अस्थायी बहुकंपित्र

**प्रतिज्ञप्ति 9.6 (शैथिल्य तुलनित्र).**

*धनात्मक* [पुनर्भरण](#def-b2-feedback-oscillators-loop) वाला कोई संक्रियात्मक प्रवर्धक — जिसका निर्गम $+$ निवेश पर किसी विभाजक $R_1$, $R_2$ से होकर जाता है (तब $+$ निवेश $\beta s$ पर बैठता है, जहाँ $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$, और संकेत $e$ $-$ निवेश पर लगाया जाता है) — का कोई स्थायी रैखिक व्यवहार नहीं होता: उसका निर्गम $+V_{\text{संतृप्त}}$ या $-V_{\text{संतृप्त}}$ पर बैठता है और इस तरह पलटता है:

$$
\begin{align*}
&\text{निर्गम } +V_{\text{संतृप्त}} \text{ से } -V_{\text{संतृप्त}} \text{ को, जब } e \text{ उस मान से ऊपर जाए जो है } +\beta V_{\text{संतृप्त}} ,\\
&\text{निर्गम } -V_{\text{संतृप्त}} \text{ से } +V_{\text{संतृप्त}} \text{ को, जब } e \text{ उस मान से नीचे जाए जो है } -\beta V_{\text{संतृप्त}} .
\end{align*}
$$

दोनों देहलियाँ भिन्न हैं: *शैथिल्य* $2\beta V_{\text{संतृप्त}}$ तुलनित्र को उससे छोटे रव के प्रति अभेद्य बना देता है, और $(e, s)$ तल में उसका चक्र दक्षिणावर्त चलता कोई आयत है।

**उपपत्ति.** $s = +V_{\text{संतृप्त}}$ पर $+$ निवेश $+\beta V_{\text{संतृप्त}}$ पर होता है; और निर्गम तब तक धनात्मक रहता है जब तक $e < \beta V_{\text{संतृप्त}}$, और $e$ के उसे पार करते ही पलट जाता है — जिसके बाद $+$ निवेश $-\beta V_{\text{संतृप्त}}$ पर होता है, अतः $e$ को उसे वापस पलटाने के लिए उससे नीचे गिरना पड़ता है। (रैखिक व्यवहार में धनात्मक [पुनर्भरण](#def-b2-feedback-oscillators-loop) किसी भी विचलन को बढ़ा देता: वह अस्थायी है।) ∎

**प्रतिज्ञप्ति 9.7 (अस्थायी बहुकंपित्र).**

[शैथिल्य तुलनित्र](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) का निर्गम उसके अपने $-$ निवेश पर किसी $RC$ परिपथ से होकर लौटाइए ($R$ $s$ से $-$ निवेश तक, और $C$ वहाँ से भू तक)। संधारित्र $\pm V_{\text{संतृप्त}}$ की ओर आवेशित होता है और जब भी वह किसी देहली पर पहुँचता है तुलनित्र को पलट देता है: अतः $s$ पर कोई वर्ग-तरंग, और $C$ पर लगभग त्रिभुजाकार तरंग, जिसका आवर्तकाल

$$
T = 2RC\,\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} .
$$

है। $\beta = 1/2$ के लिए $T = 2RC\ln3 \approx 2.2RC$। ऐसे *[शिथिलन दोलित्र](#prop-b2-feedback-oscillators-astable)* सूक्ष्म-नियंत्रकों की घड़ी चलाते हैं, संकेतक टिमटिमाते हैं और फलन जनित्रों की त्रिभुज तथा वर्ग तरंगें बनाते हैं।

**उपपत्ति.** $s = +V_{\text{संतृप्त}}$ पर संधारित्र की वोल्टता $v_C$ $-\beta V_{\text{संतृप्त}}$ से $+V_{\text{संतृप्त}}$ की ओर $v_C = V_{\text{संतृप्त}} - (1 + \beta)
V_{\text{संतृप्त}}\eu^{-t/RC}$ के अनुसार जाती है, और $+\beta V_{\text{संतृप्त}}$ पर $RC\ln[(1 + \beta)
/(1 - \beta)]$ बाद पहुँचती है; तब तुलनित्र पलटता है और सममित अर्ध-चक्र चलता है। ∎

![बाएँ: किसी शैथिल्य तुलनित्र का चक्र — दो देहलियाँ, और दक्षिणावर्त चलता कोई आयत। दाएँ: अस्थायी बहुकंपित्र — संधारित्र की वोल्टता देहलियों के बीच डोलती है और निर्गम कोई वर्ग-तरंग होता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-4a183f5c8cf0.svg)

![बाएँ: किसी शैथिल्य तुलनित्र का चक्र — दो देहलियाँ, और दक्षिणावर्त चलता कोई आयत। दाएँ: अस्थायी बहुकंपित्र — संधारित्र की वोल्टता देहलियों के बीच डोलती है और निर्गम कोई वर्ग-तरंग होता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-143070ca3f11.svg)

*बाएँ: किसी [शैथिल्य तुलनित्र](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) का चक्र — दो देहलियाँ, और दक्षिणावर्त चलता कोई आयत। दाएँ: [अस्थायी बहुकंपित्र](#prop-b2-feedback-oscillators-astable) — संधारित्र की वोल्टता देहलियों के बीच डोलती है और निर्गम कोई वर्ग-तरंग होता है।*

## 9.4 किसी संकेत का प्रतिचयन

**प्रमेय 9.8 (प्रतिचयन; नाइक्विस्ट–शैनन कसौटी).**

किसी संकेत का *प्रतिचयन* तब होता है जब केवल उसके मान $s(nT_s)$ क्षणों $nT_s$ पर रखे जाएँ, और $f_s = 1/T_s$ *प्रतिचयन दर* हो। प्रतिचयित संकेत का वर्णक्रम $s$ के वर्णक्रम की वह पुनरावृत्ति है जो $f_s$ के हर गुणज के चारों ओर बनती है। जिस संकेत का वर्णक्रम $f_{\max}$ से नीचे सिमटा हो, उसे उसके प्रतिदर्शों से ठीक-ठीक फिर से बनाया जा सकता है, तभी और केवल तभी जब

$$
f_s > 2f_{\max} ;
$$

हो; अन्यथा प्रतियाँ अतिव्यापी हो जाती हैं और $f > f_s/2$ का कोई घटक *छद्म* आवृत्ति $|f - nf_s|$ पर फिर उभर आता है (उस पूर्णांक $n$ के लिए जो उसे $f_s/2$ से नीचे ले आए), जो किसी सच्चे नीची-आवृत्ति के घटक से अभेद्य होता है। इसीलिए हर प्रतिचायक से पहले *[छद्मन-रोधी छन्नी](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon)* रखी जाती है: कोई निम्न-पारक, जो $f_s/2$ से ऊपर का सब कुछ हटा दे।

**उपपत्ति.** प्रतिचयन का अर्थ है $s(t)$ को $T_s$ आवर्तकाल के सँकरे स्पंदों की किसी आवर्ती रेल से गुणा करना, जिसकी फूरिये श्रेणी में सारे संनादी $nf_s$ होते हैं (इस वर्ष का गणित-खंड); और $s$ को $\cos(2\pi nf_st)$ से गुणा करना उसका वर्णक्रम $\pm nf_s$ से खिसका देता है — यहीं से वे प्रतियाँ आती हैं। वे तभी और केवल तभी अतिव्यापी नहीं होतीं जब $f_{\max} < f_s - f_{\max}$; और तब $f_s/2$ कटाव की कोई निम्न-पारक मूल वर्णक्रम ठीक-ठीक वापस दे देती है (स्वीकृत)। छद्मन: $\cos(2\pi ft)$ और $\cos(2\pi(f - nf_s)t)$ के प्रतिदर्श $t = mT_s$ पर मिल जाते हैं, क्योंकि $2\pi nf_smT_s = 2\pi nm$। ∎

**उदाहरण 9.9 (गाड़ी के पहिये, सीडी और दोलनदर्शी).**

प्रति सेकंड $24$ चित्रों की कोई फ़िल्म संसार का प्रतिचयन $24\,\mathrm{Hz}$ पर करती है: तब $12$ तीलियों वाला कोई पहिया, जो प्रति सेकंड $2.1$ चक्कर लगाता हो, प्रति सेकंड $25.2$ बार कोई तीली दिखाता है, अर्थात् $1.2$ ऊपर $f_s$ से — अतः वह धीरे-धीरे आगे घूमता लगता है, और प्रति सेकंड $1.9$ चक्कर से पीछे। कोई कॉम्पैक्ट डिस्क $20\,\mathrm{kHz}$ तक की ध्वनि लौटाने के लिए $44.1\,\mathrm{kHz}$ पर प्रतिचयन करती है, और $20$ तथा $22\,\mathrm{kHz}$ के बीच खड़ी [छद्मन-रोधी छन्नी](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) रखती है। $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ पर लगा कोई अंकीय दोलनदर्शी $999\,\mathrm{kHz}$ के ज्यावक्र को $1\,\mathrm{kHz}$ का दिखाता है — अर्थात् अंकीय मापन का पहला जाल।

![छद्मन: 0.9f_s का कोई ज्यावक्र और 0.1f_s का कोई ज्यावक्र उन्हीं प्रतिदर्शों से गुज़रते हैं; और एक बार प्रतिचयित हो जाने पर उन्हें अलग नहीं किया जा सकता — इसीलिए कसौटी f_s > 2f_।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-8bf6264d6c48.svg)

*छद्मन: $0.9f_s$ का कोई ज्यावक्र और $0.1f_s$ का कोई ज्यावक्र उन्हीं प्रतिदर्शों से गुज़रते हैं; और एक बार प्रतिचयित हो जाने पर उन्हें अलग नहीं किया जा सकता — इसीलिए कसौटी $f_s > 2f_{\max}$।*

**टिप्पणी 9.10 (क्वांटीकरण).**

[अनुरूप-से-अंकीय परिवर्तित्र](#rem-b2-feedback-oscillators-quantization) हर प्रतिदर्श को $2^N$ स्तरों ($N$ बिट) में से एक तक पूर्णांकित भी कर देता है: और यह पूर्णांकन-त्रुटि, जो अधिक से अधिक आधा सोपान है, $\Delta/\sqrt{12}$ वर्ग-माध्य-मूल के किसी रव की तरह काम करती है, जहाँ सोपान $\Delta$ है, तथा गतिक परास (उस रव के सामने सबसे बड़ा ज्यावक्र) लगभग $6N + 2$ dB होता है — अर्थात् किसी सीडी के $16$ बिट के लिए $98\,\mathrm{dB}$, और किसी $12$-बिट दोलनदर्शी के लिए $74\,\mathrm{dB}$। प्रतिचयन दर और विभेदन ही वे दो अंक हैं जो हर अंकीयकारक के लेबल पर लिखे रहते हैं।

## 9.5 तुल्यकालिक संसूचन

**प्रतिज्ञप्ति 9.11 (तुल्यकालिक (लॉक-इन) संसूचन).**

ज्ञात आवृत्ति का कोई संकेत, $s(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi)$, जो कहीं बड़े आयाम के और चौड़ी पट्टी पर फैले किसी रव $n(t)$ में दबा हो, उसी आवृत्ति के किसी संदर्भ $r(t) = \cos\omega_0t$ से गुणा किया जाता है और $f_c \ll f_0$ कटाव की किसी निम्न-पारक छन्नी से गुज़ारा जाता है:

$$
s(t)r(t) = \tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)
\ \xrightarrow{\ \text{निम्न-पारक}\ }\ \tfrac12A\cos\varphi .
$$

निर्गम एक दिष्ट वोल्टता है, जो संकेत के आयाम के (और संदर्भ के सापेक्ष उसकी कला की कोज्या के) समानुपाती है, जबकि रव घटकर उसके वर्णक्रम के उस भाग तक रह जाता है जो $\pm f_c$ के भीतर, $f_0$ के इर्द-गिर्द, पड़ता है — अर्थात् $2f_c$ की पट्टी-चौड़ाई, जिसे मनचाहे सँकरा किया जा सकता है (सेकंडों के छन्नी-समय-नियतांक के लिए हर्ट्ज़ का कोई अंश)। अन्य आवृत्तियों $f$ के घटक $f \pm f_0$ पर खिसक जाते हैं और छन्नी उन्हें रोक देती है।

**उपपत्ति.** $\cos a\cos b = \tfrac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$; और छन्नी संकेत के लिए अंतर वाला पद रखती है, जबकि $2\omega_0$ वाला पद और $f$ पर हर रव-घटक $|f - f_0|$ तथा $f + f_0$ पर खिसक जाते हैं — अतः केवल वही रव $f_c$ से नीचे उतरता है जो आरंभ में $f_0$ के $f_c$ के भीतर था। ∎

![तुल्यकालिक संसूचन: संवेदक का निर्गम, अर्थात् संकेत और उस पर फैला रव, संकेत की अपनी आवृत्ति के किसी संदर्भ से गुणा किया जाता है और निम्न-पारक से छाना जाता है; तब f_0 के चारों ओर सँकरी पट्टी के भीतर का ही रव (छायांकित) बचता है, और संकेत किसी दिष्ट स्तर के रूप में निकलता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-c3557b1c9eda.svg)

![तुल्यकालिक संसूचन: संवेदक का निर्गम, अर्थात् संकेत और उस पर फैला रव, संकेत की अपनी आवृत्ति के किसी संदर्भ से गुणा किया जाता है और निम्न-पारक से छाना जाता है; तब f_0 के चारों ओर सँकरी पट्टी के भीतर का ही रव (छायांकित) बचता है, और संकेत किसी दिष्ट स्तर के रूप में निकलता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-61c788dc92ca.svg)

*[तुल्यकालिक संसूचन](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin): संवेदक का निर्गम, अर्थात् संकेत और उस पर फैला रव, संकेत की अपनी आवृत्ति के किसी संदर्भ से गुणा किया जाता है और निम्न-पारक से छाना जाता है; तब $f_0$ के चारों ओर सँकरी पट्टी के भीतर का ही रव (छायांकित) बचता है, और संकेत किसी दिष्ट स्तर के रूप में निकलता है।*

**उदाहरण 9.12 (एक माइक्रोवोल्ट ढूँढ़ना).**

कोई प्रकाश-डायोड, जब उसका प्रकाश $1\,\mathrm{kHz}$ पर काटा जाता है, $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ का संकेत देता है, और उस पर $100\,\mathrm{kHz}$ भर फैले $50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ का श्वेत रव ($16\,\text{µ}\mathrm{V}$ वर्ग-माध्य-मूल: संकेत से भी अधिक)। समय-नियतांक $\tau = 1\,\mathrm{s}$ की छन्नी से [तुल्यकालिक संसूचन](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) के बाद (रव की पट्टी-चौड़ाई $1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$) रव $50\,\text{nV} \times \sqrt{0.25}
= 25\,\mathrm{nV}$ रह जाता है: अर्थात् $400$ का संकेत-रव अनुपात — और उसकी क़ीमत यह कि हर बिंदु पर कुछ सेकंड रुकना पड़ता है। यही तरकीब, *विमॉडुलन* के नाम से, किसी AM रेडियो-वाहक से संगीत और किसी मोडेम से आँकड़े वापस निकालती है।

**विधि 9.13 (कोई मापन-शृंखला बनाना).**

(1) जिस राशि को नापना है उसे रव से दूर किसी आवृत्ति $f_0$ पर मॉडुलित कीजिए (कर्तक, प्रत्यावर्ती सेतु)। (2) ऐसी पट्टी-चौड़ाई से प्रवर्धित कीजिए जो $f_0$ को ढके। (3) ऐसी छन्नी से [तुल्यकालिक संसूचन](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) कीजिए जिसका समय-नियतांक उतना लंबा हो जितना मापन सह सके: रव $1/\sqrt\tau$ की तरह गिरता है। (4) धीमे निर्गम का प्रतिचयन उसकी पट्टी-चौड़ाई से दुगुनी से ऊपर की दर पर कीजिए, [छद्मन-रोधी छन्नी](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) के बाद, और आवश्यक विभेदन के लिए पर्याप्त बिटों के साथ। (5) शृंखला को किसी ज्ञात संकेत से जाँचिए, और यह भी कि उसमें कुछ दोलन तो नहीं करता: क्योंकि [पुनर्भरण](#def-b2-feedback-oscillators-loop) वाला हर प्रवर्धक संभावित दोलित्र है।

## 9.6 अभ्यास

**अभ्यास 9.1 ★.**

$R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$ वाला कोई [वीन-सेतु दोलित्र](#prop-b2-feedback-oscillators-wien): आवृत्ति; आवश्यक लब्धि; $R_1$, $R_2$ के मान, $K = 3.05$ के लिए, $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$ लेकर; आयाम-वृद्धि का समय-नियतांक। कौन-से अवयव आवृत्ति तय करते हैं, कौन-से चालू होना?

**हल — अभ्यास 9.1.**

$f_0 = 1/2\pi RC = 1.59\,\mathrm{kHz}$; $K = 3$; $R_2 = 2.05R_1 = 20.5\,\mathrm{k}\Omega$; $\tau = 2RC/(K - 3) = 4\,\mathrm{ms}$। आवृत्ति $R$, $C$ तय करते हैं; और $R_1$, $R_2$ चालू होना (तथा आयाम का सीमन)।

**अभ्यास 9.2 ★.**

$V_{\text{संतृप्त}} = \pm 13\,\mathrm{V}$, $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 4.0\,\mathrm{k}\Omega$ वाला [शैथिल्य तुलनित्र](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt): देहलियाँ, शैथिल्य की चौड़ाई। कोई रवयुक्त संकेत $2\,\mathrm{V}$ के रव के साथ शून्य पार करता है: शैथिल्य के साथ और उसके बिना, हर पार पर निर्गम कितनी बार पलटता है?

**हल — अभ्यास 9.2.**

$\beta = 0.2$: देहलियाँ $\pm2.6\,\mathrm{V}$, शैथिल्य $5.2\,\mathrm{V}$। $2\,\mathrm{V}$ का रव $5.2\,\mathrm{V}$ दूर पड़ी किसी देहली को दुबारा पार नहीं कर सकता: अतः हर पार पर एक ही पलटाव; और शैथिल्य के बिना निर्गम कई बार खटखटाता।

**अभ्यास 9.3 ★.**

$R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $\beta = 0.5$ वाला [अस्थायी बहुकंपित्र](#prop-b2-feedback-oscillators-astable): आवर्तकाल और आवृत्ति; $1.0\,\mathrm{kHz}$ के लिए $R$; संधारित्र पर त्रिभुजाकार तरंग का आयाम; और $T$ का क्या होता है यदि $\beta$ को $0.9$ तक बढ़ाया जाए?

**हल — अभ्यास 9.3.**

$T = 2RC\ln3 = 2.2\,\mathrm{ms}$, $455\,\mathrm{Hz}$; $1\,\mathrm{kHz}$ के लिए $R = 4.55\,\mathrm{k}\Omega$; $\pm\beta V_{\text{संतृप्त}}$ के बीच त्रिभुज; और $\beta = 0.9$: $T = 2RC\ln19 = 5.9\,\mathrm{ms}$, अर्थात् $2.7$ गुना लंबा।

**अभ्यास 9.4 ★.**

(क) कोई सीडी $44.1\,\mathrm{kHz}$ पर प्रतिचयन करती है: लौटाई जा सकने वाली अधिकतम आवृत्ति। (ख) कोई $30\,\mathrm{kHz}$ की पराश्रव्य ध्वनि अभिलेख में घुस जाती है: वह किस आवृत्ति पर दिखेगी? (ग) $8$ तीलियों वाला कोई पहिया $25$ चित्र प्रति सेकंड पर फ़िल्माया जाता है और $3.2$ चक्कर प्रति सेकंड घूमता है: आभासी गति। (घ) $10\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ पर लगा कोई दोलनदर्शी साफ़ $100\,\mathrm{kHz}$ ज्यावक्र दिखाता है; असली संकेत और कौन-सी आवृत्तियों का हो सकता है?

**हल — अभ्यास 9.4.**

(क) $22.05\,\mathrm{kHz}$। (ख) $|30 - 44.1| = 14.1\,\mathrm{kHz}$। (ग) तीलियाँ $8 \times 3.2 =
25.6\,\mathrm{Hz}$ पर, छद्म $0.6\,\mathrm{Hz}$: अतः पहिया प्रति सेकंड $0.075$ चक्कर से आगे रेंगता लगता है। (घ) $100\,\mathrm{kHz} + n \times 10\,\mathrm{MHz}$, या $n \times 10\,\mathrm{MHz} -
100\,\mathrm{kHz}$: अर्थात् $9.9$, $10.1$, $19.9$, $20.1\,\mathrm{MHz}$, …

**अभ्यास 9.5 ★★.**

इन अभिलक्षणिक बहुपदों वाले पाश: (क) $p^2 + 3p + 2$, (ख) $p^2 - p +
4$, (ग) $p^2 + 4$, (घ) $p^3 + 2p^2 + 2p + 1$, (ङ) $p^3 + p + 1$: मूल निकालिए या उन पर विचार कीजिए; कौन-से पाश स्थायी हैं, कौन-से दोलन करते हैं, कौन-से बढ़ते हैं? (घन बहुपदों के लिए वास्तविक भागों के चिह्न पर तर्क कीजिए: उदाहरणतः दिखाइए कि (ङ) का एक वास्तविक ऋणात्मक मूल है और दो सम्मिश्र मूल, जिनके वास्तविक भाग धनात्मक हैं, और इसके लिए मूलों का गुणनफल तथा योग काम में लीजिए।)

**हल — अभ्यास 9.5.**

(क) $-1$, $-2$: स्थायी। (ख) $(1 \pm \iu\sqrt{15})/2$: बढ़ता दोलन। (ग) $\pm2\iu$: टिकाऊ दोलन। (घ) $(p + 1)(p^2 + p + 1)$: $-1$ और $(-1 \pm \iu\sqrt3)/2$: स्थायी। (ङ) $-0.68$ के पास एक वास्तविक मूल (क्योंकि बहुपद एकदिष्ट है); और तीनों मूलों का योग $0$ है, अतः सम्मिश्र युग्म का वास्तविक भाग $+0.34$ है: अस्थायी।

**अभ्यास 9.6 ★★.**

*[वीन जाल](#prop-b2-feedback-oscillators-wien)।* (क) विभाजक से $\underline\beta(\jmath\omega)$ निकालिए। (ख) उसका मापांक और कला खींचिए (मोटे तौर पर); दिखाइए कि कला केवल $\omega_0$ पर शून्य है और मापांक तब $1/3$। (ग) लब्धि $K$ के लिए पाश का अवकल समीकरण लिखिए और $K < 3$, $K = 3$, $K > 3$ पर विचार कीजिए। (घ) $K = 3.2$ के साथ, $1\,\mathrm{mV}$ के रव से चलकर आयाम को $10\,\mathrm{V}$ तक पहुँचने में कितना समय लगेगा? अंतिम आयाम आरंभिक रव पर निर्भर क्यों नहीं करता?

**हल — अभ्यास 9.6.**

(क) $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$, जहाँ $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$, $Z_p = R/(1 +
\jmath RC\omega)$: अतः $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$। (ख) मापांक $1/\sqrt{9 + (RC\omega - 1/RC\omega)^2}$, अधिकतम $1/3$, $\omega_0$ पर; और कला $-\arctan
[(RC\omega - 1/RC\omega)/3]$, जो केवल $\omega_0$ पर शून्य है। (ग) $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC
\dot v + v = 0$: अवमंदित, टिकाऊ, बढ़ता। (घ) वृद्धि का समय-नियतांक $2RC/0.2 = 10RC = 1.6\,\mathrm{ms}$; और $\ln10^4 = 9.2$ नियतांक: अर्थात् $15\,\mathrm{ms}$। अंतिम आयाम अरैखिकता (संतृप्ति) से तय होता है, बीज से नहीं, जो केवल विलंब तय करता है।

**अभ्यास 9.7 ★★.**

*त्रिभुज जनित्र।* किसी समाकलक (संक्रियात्मक प्रवर्धक, $R$, $C$) को किसी [शैथिल्य तुलनित्र](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) का वर्ग निर्गम $\pm V_{\text{संतृप्त}}$ खिलाया जाता है, और तुलनित्र का निवेश समाकलक का निर्गम है; तुलनित्र की देहलियाँ $\pm V_{\text{संतृप्त}}R_1/R_2$ हैं। (क) दिखाइए कि समाकलक का निर्गम कोई त्रिभुज है; उसका ढाल। (ख) आवर्तकाल $T = 4RCR_1/R_2$। (ग) अंक: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$, $R_1/R_2 = 0.5$। (घ) किसी फलन जनित्र के लिए सादे [अस्थायी बहुकंपित्र](#prop-b2-feedback-oscillators-astable) पर इसका लाभ।

**हल — अभ्यास 9.7.**

(क) समाकलक के निर्गम का ढाल $\mp V_{\text{संतृप्त}}/RC$ है: अर्थात् कोई त्रिभुज। (ख) हर ढलान $2V_{\text{संतृप्त}}R_1/R_2$ को $V_{\text{संतृप्त}}/RC$ ढाल पर तय करती है: अतः $T = 4RCR_1/R_2$। (ग) $4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.2\,\mathrm{ms}$, $5\,\mathrm{kHz}$। (घ) ठीक-ठीक रैखिक त्रिभुज, $1/R$ के समानुपाती आवृत्ति (जिसे बहाना आसान है), और एक ही परिपथ से वर्ग तथा त्रिभुज दोनों निर्गम।

**अभ्यास 9.8 ★★.**

क्वांटीकरण। (क) कोई $16$-बिट परिवर्तित्र $\pm1\,\mathrm{V}$ पर: सोपान, वर्ग-माध्य-मूल क्वांटीकरण रव, dB में गतिक परास। (ख) $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ पर $12$ बिट: बिट-दर; और $1\,\mathrm{GS}/\mathrm{s}$ पर $8$ बिट (कोई तेज़ दोलनदर्शी) के लिए वही। (ग) $16$-बिट परिवर्तित्र पर $1\,\mathrm{mV}$ का संकेत: कितने सोपान? परिवर्तित्र से पहले क्या करना चाहिए? (घ) कोई अच्छा श्रव्य तंत्र क्वांटीकरण से पहले डिदर (थोड़ा रव जोड़ना) क्यों करता है?

**हल — अभ्यास 9.8.**

(क) $\Delta = 2/65536 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, रव $\Delta/\sqrt{12} = 8.8\,\text{µ}\mathrm{V}$, $98\,\mathrm{dB}$। (ख) $12\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$; $8\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$। (ग) $33$ सोपान: अतः पहले $100$ या उससे अधिक गुना प्रवर्धित कीजिए। (घ) डिदर पूर्णांकन-त्रुटि को, जो संकेत से सहसंबंधित है (विरूपण), किसी हानिरहित असहसंबंधित रव में बदल देता है।

**अभ्यास 9.9 ★★.**

किसी संकेत में $1.0\,\mathrm{kHz}$ और $9.0\,\mathrm{kHz}$ के घटक हैं और उसका $10\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ पर प्रतिचयन होता है। (क) हर एक कहाँ दिखता है? (ख) कोई प्रथम-कोटि $RC$ [छद्मन-रोधी छन्नी](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon), जिसका $f_c = 2\,\mathrm{kHz}$ है, जोड़ी जाती है: $9\,\mathrm{kHz}$ पर dB में [क्षीणन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex); $40\,\mathrm{dB}$ चाहिए हो तो क्या यह काफ़ी है? (ग) आवश्यक छन्नी की कोटि ([क्षीणन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) $\approx 20n$ dB प्रति दशक); या, इसके बदले, प्रथम-कोटि छन्नी के साथ आवश्यक प्रतिचयन दर। (घ) आधुनिक परिवर्तित्र अधि-प्रतिचयन करके अंकीय रूप से क्यों छानते हैं?

**हल — अभ्यास 9.9.**

(क) दोनों $1\,\mathrm{kHz}$ पर। (ख) $|H| = 1/\sqrt{1 + 4.5^2} = 0.22$, $-13\,\mathrm{dB}$: नहीं। (ग) $13\,\mathrm{dB} \times n \ge 40$: अर्थात् तीसरी या चौथी कोटि; या ऐसी प्रतिचयन दर जिस पर प्रथम-कोटि छन्नी $f_s - 1\,\mathrm{kHz}$ पर $40\,\mathrm{dB}$ दे, अर्थात् $100f_c = 200\,\mathrm{kHz}$ पर: $f_s \approx 400\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$। (घ) अधि-प्रतिचयन छद्म-पट्टी को बहुत ऊपर धकेल देता है, जहाँ कोई कोमल अनुरूप छन्नी काफ़ी है; और तीखी छनाई फिर दशमन से पहले अंकीय रूप से कर ली जाती है।

**अभ्यास 9.10 ★★★.**

*लॉक-इन।* निवेश $A\cos(\omega_0t + \varphi) + n(t)$ को $\cos\omega_0t$ से गुणा किया जाता है और $\tau$ समय-नियतांक की प्रथम-कोटि निम्न-पारक से छाना जाता है। (क) दिष्ट निर्गम। (ख) दिखाइए कि $f = f_0 + \delta f$ का कोई रव-घटक छन्नी के बाद $1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ गुना घटा आयाम देता है; और उससे तुल्य रव-पट्टी-चौड़ाई $B = 1/4\tau$ निकालिए ($\int_0^\infty
\dd x/(1 + x^2) = \pi/2$ स्वीकार कीजिए)। (ग) $10\,\mathrm{kHz}$ भर फैले $1\,\mathrm{mV}$ वर्ग-माध्य-मूल श्वेत रव में $1\,\text{µ}\mathrm{V}$ का संकेत: रव-घनत्व; $\tau$, $10$ के संकेत-रव अनुपात के लिए; और मापन-काल। (घ) $f_0 = 1\,\mathrm{kHz}$ के साथ $1\,\mathrm{mV}$ का कोई $50\,\mathrm{Hz}$ व्यवधान निवेश को दूषित करता है: वह कहाँ जाता है, और $\tau = 1\,\mathrm{s}$ के लिए वह कितना क्षीण होता है?

**हल — अभ्यास 9.10.**

(क) $\tfrac12A\cos\varphi$। (ख) $f_0 + \delta f$ का घटक $\delta f$ पर उतरता है और छन्नी से $|H| = 1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ के साथ गुज़रता है; और शक्ति का पारगमन समाकलित होकर $\int_0^\infty\dd f/(1 + (2\pi f\tau)^2) = 1/4\tau$ देता है। (ग) $e_n = 1\,\text{mV}/\sqrt{10^4} = 10\,\text{µ}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$; और $e_n\sqrt B = 0.1\,\text{µ}\mathrm{V}$ के लिए $B = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz}$, $\tau = 2500\,\mathrm{s}$ चाहिए: अर्थात् प्रति बिंदु एक घंटा। (घ) $950$ और $1050\,\mathrm{Hz}$ पर, और $1/2\pi \times 950 \approx 1.7 \times 10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$) गुना क्षीण।

**अभ्यास 9.11 ★★★.**

*क्वार्ट्ज़।* कोई क्वार्ट्ज़ क्रिस्टल अपने अनुनाद के पास किसी श्रेणी $L$, $C$, $r$ शाखा ($L = 8000\,\mathrm{H}$, $C = 3.0\,\mathrm{fF}$, $r =
30\,\mathrm{k}\Omega$) की तरह बरतता है, जो $C_0 = 1.5\,\mathrm{pF}$ के समांतर है। (क) श्रेणी-अनुनाद आवृत्ति और गुणता गुणक $Q = L\omega_0/r$। (ख) उसके चारों ओर बना कोई दोलित्र अपनी आवृत्ति $10^6$ में एक भाग तक क्यों थामे रखता है, जबकि वीन सेतु प्रतिशतों में खिसक जाता है (अनुनाद के पास पुनर्भरण-जाल की कला-ढाल $\dd\varphi/\dd\omega$ सोचिए, $\sim 2Q/\omega_0$)? (ग) $32\,768\,\mathrm{Hz}$ का कोई घड़ी-क्रिस्टल $2^{15}$ से विभाजित किया जाता है: परिणाम; और उसकी आवृत्ति $-0.04\,\text{पीपीएम}\,(T - 25{}^{\circ}\mathrm{C})^2$ की तरह बदलती है: $5{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर प्रति माह त्रुटि। (घ) $32\,768\,\mathrm{Hz}$ क्यों चुना जाता है और $1\,\mathrm{MHz}$ क्यों नहीं?

**हल — अभ्यास 9.11.**

(क) $f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 32.5\,\mathrm{kHz}$; $Q = L\omega_0/r = 5.4 \times 10^{4}\,$। (ख) अनुनाद के पास [पुनर्भरण](#def-b2-feedback-oscillators-loop) की कला $2Q/\omega_0$ से घूमती है, प्रति एकांक $\omega$: अतः कोई परजीवी कला-विस्थापन $\delta\varphi$ आवृत्ति को $\delta\omega/\omega_0 =
\delta\varphi/2Q$ से खिसका देता है — $10^{-6}$, जब $Q = 10^5$, और प्रतिशतों में, जब $Q = 1/3$। (ग) $1\,\mathrm{Hz}$; $-0.04 \times 400 = -16\,\mathrm{ppm}$: अर्थात् $16 \times 10^{-6} \times 2.6 \times 10^6 = 41\,\mathrm{s}$ प्रति माह धीमी। (घ) कम आवृत्ति का अर्थ है विभाजक तर्क-परिपथ में कम शक्ति, $2^{15}$ से भाग ठीक $1\,\mathrm{Hz}$ देता है, और नन्हा स्वरित्र-द्विभुज क्रिस्टल किसी घड़ी में समा जाता है।

**अभ्यास 9.12 ★★★.**

*ऋणात्मक प्रतिरोध।* किसी संक्रियात्मक प्रवर्धक में $R_2$ निर्गम से $-$ निवेश तक है, $R_1$ $-$ निवेश से भू तक, और $R$ निर्गम से $+$ निवेश तक; और $+$ निवेश तथा भू के बीच दिखते द्विध्रुव का अध्ययन किया जाता है (रैखिक व्यवहार)। (क) दिखाइए कि वह $-RR_1/R_2$ प्रतिरोध की तरह बरतता है। (ख) यह द्विध्रुव किसी समांतर $LC$ परिपथ के दोनों सिरों पर जोड़ा जाता है, जिसका हानि-प्रतिरोध $R_p$ है (समांतर में): वोल्टता का समीकरण लिखिए और टिकाऊ दोलन का प्रतिबंध तथा आवृत्ति निकालिए। (ग) अंक: $L
= 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R_p = 50\,\mathrm{k}\Omega$; $R$ चुनिए, और $R_1 =
R_2$। (घ) आयाम को क्या सीमित करता है, और यह दोलित्र वीन सेतु से कैसा है?

**हल — अभ्यास 9.12.**

(क) $v_- = v_+ = v$, $v_{\text{निर्गम}} = v(1 + R_2/R_1)$; और द्विध्रुव में घुसती धारा $i = (v - v_{\text{निर्गम}})/R = -vR_2/RR_1$: अतः $v/i = -RR_1/R_2$। (ख) $C\dot v +
v(1/R_p - R_2/RR_1) + \frac1L\int v\,\dd t = 0$: अतः $R = R_pR_2/R_1$ पर टिकाऊ, और $\omega = 1/\sqrt{LC}$ पर (छोटे $R$ के लिए बढ़ता)। (ग) $f = 5.0\,\mathrm{kHz}$, $R \lesssim
50\,\mathrm{k}\Omega$ (मान लीजिए $48\,\mathrm{k}\Omega$)। (घ) संतृप्ति; और अनुनादी परिपथ का $Q = R_p
\sqrt{C/L} = 160$ [वीन जाल](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) से कहीं अधिक स्थिर आवृत्ति देता है।

## 9.7 समस्या: एक लॉक-इन मापन-शृंखला

**समस्या 9.1.**

सप्ताहांत समस्या — संदर्भ दोलित्र से अंकीकृत परिणाम तक: एक मिलीवोल्ट रव के नीचे दबे दस माइक्रोवोल्ट के प्रकाश-संकेत को नापना

किसी मंद प्रकाश को प्रकाश-डायोड से नापना है। प्रकाश किसी घूमते चक्र से $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ पर काटा जाता है, ताकि प्रकाश-डायोड का निर्गम (पहले प्रवर्धक के बाद) $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ आयाम का ज्यावक्र हो, $f_0$ पर, जिस पर $100\,\mathrm{kHz}$ की पट्टी-चौड़ाई भर $e_n = 50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ वर्णक्रमी घनत्व का श्वेत रव सवार है, और साथ में $1.0\,\mathrm{mV}$ का कोई $50\,\mathrm{Hz}$ विद्युत-लाइन व्यवधान। कर्तक की अपनी आवृत्ति किसी [वीन-सेतु दोलित्र](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) से तय होती है।

**भाग I — संदर्भ दोलित्र।** वीन सेतु, जिसमें $C = 10\,\mathrm{nF}$ और संक्रियात्मक प्रवर्धक $\pm12\,\mathrm{V}$ पर संतृप्त होता है।

1. $R$ , $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ के लिए।
2. [वीन जाल](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) का अंतरण फलन निकालिए और जाँचिए कि $f_0$ पर उसकी कला लुप्त होती है और मापांक $1/3$ रहता है।
3. लब्धि $K$ के लिए पाश का अवकल समीकरण लिखिए; और $K = 3.15$ के लिए आयाम को $1000$ गुना बढ़ने में लगा समय।
4. आयाम अंत में संतृप्ति से सीमित होता है: तरंग-रूप बताइए, और यह भी कि किसी संदर्भ के लिए उसके संनादी क्यों मायने रखते हैं।
5. $R_1$ की जगह कोई थर्मिस्टर (जिसका प्रतिरोध गरम होने पर गिरता है) या कोई बल्ब (जिसका बढ़ता है): इनमें से कौन लब्धि को 3 पर स्थिर करता है, और कैसे?
6. संधारित्र ताप के साथ $+1\%$ खिसक जाते हैं: नई आवृत्ति। तब भी कर्तक मापन के लिए क्यों चलता रहता है (संदर्भ को क्या करना चाहिए)?
7. [वीन जाल](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) का गुणता गुणक लगभग $1/3$ है: क्वार्ट्ज़ ( $Q \sim 10^5$ ) की तुलना में आवृत्ति की शुद्धता के लिए इसका क्या अर्थ है?

**भाग II — संकेत और रव।**

8. पूरे $100\,\mathrm{kHz}$ पर श्वेत रव का वर्ग-माध्य-मूल मान; और प्रवर्धक-निर्गम पर संकेत-रव अनुपात।
9. $Q = 10$ गुणता गुणक की कोई बैंड-पारक छन्नी, $f_0$ पर केंद्रित (रव-पट्टी-चौड़ाई $\approx f_0/Q$ ), डाली जाती है: रव का वर्ग-माध्य-मूल और संकेत-रव अनुपात। यह किसी सटीक मापन के लिए पर्याप्त क्यों नहीं है (खिसकाव और $50\,\mathrm{Hz}$ सोचिए)?
10. दिष्ट प्रकाश-धारा सीधे नापने के बदले प्रकाश को $1\,\mathrm{kHz}$ पर काटा क्यों जाता है? (प्रवर्धकों में “ $1/f$ ” रव होता है, जो कुछ सौ हर्ट्ज़ से नीचे चढ़ता जाता है।)
11. यदि कर्तक-चक्र ज्यावक्रीय के बदले वर्गाकार मॉडुलन बनाए तो संकेत का आयाम: लॉक-इन कौन-सा संनादी रखता है, और किस आयाम के साथ (एकांक आयाम की वर्ग-तरंग की मूल विधा के लिए फूरिये गुणांक $4/\pi$ )?
12. प्रकाश-डायोड पर $100\,\mathrm{Hz}$ का कमरे का प्रकाश भी पड़ता है (प्रतिदीप्त नलिकाएँ): शृंखला उसका क्या करती है?

**भाग III — [तुल्यकालिक संसूचन](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin)।** प्रवर्धित संकेत संदर्भ $\cos(2\pi f_0t)$ से गुणा किया जाता है और $\tau$ समय-नियतांक की प्रथम-कोटि निम्न-पारक से छाना जाता है।

13. अकेले संकेत के लिए गुणक का निर्गम (संकेत और संदर्भ के बीच कला $\varphi$ ); और दिष्ट पद।
14. छन्नी द्वारा $2f_0$ वाले पद का [क्षीणन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) , $\tau = 1\,\mathrm{s}$ के लिए (dB में)।
15. तुल्य रव-पट्टी-चौड़ाई $1/4\tau$ ; $\tau = 1\,\mathrm{s}$ के लिए निर्गम पर रव का वर्ग-माध्य-मूल और संकेत-रव अनुपात; और $\tau = 10\,\mathrm{s}$ के लिए वही।
16. $50\,\mathrm{Hz}$ का व्यवधान कहाँ जा पहुँचता है, और $\tau = 1\,\mathrm{s}$ के लिए कितने [क्षीणन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) के साथ?
17. कला $\varphi$ अज्ञात है: $\varphi = 60{}^{\circ}$ हो तो क्या खोता है? दो-चैनल (सम-कला और समपाद) लॉक-इन बताइए और यह भी कि वह $A$ कैसे वापस पा लेता है, $\varphi$ चाहे कुछ भी हो।
18. मापन का अनुक्रिया-काल (अंतिम मान का $99\%$ पाने का समय), $\tau = 1\,\mathrm{s}$ के लिए; और वह जो सौदा इससे व्यक्त होता है।
19. संदर्भ खिसककर $1001\,\mathrm{Hz}$ हो जाता है जबकि कर्तक $1000\,\mathrm{Hz}$ पर ही रहता है: लॉक-इन का निर्गम; और संदर्भ कर्तक से ही क्यों लेना चाहिए।

**भाग IV — अंकीकरण।**

20. लॉक-इन का निर्गम किसी संगणक से प्रतिचयित किया जाता है: $\tau = 1\,\mathrm{s}$ के लिए न्यूनतम दर (निर्गम की पट्टी-चौड़ाई $1/2\pi\tau$ लीजिए); और कोई आरामदेह चुनाव।
21. इसके बदले कच्चा $1\,\mathrm{kHz}$ संकेत अंकीकृत करके संसूचन सॉफ़्टवेयर में किया जाता है: न्यूनतम प्रतिचयन दर; और रव $100\,\mathrm{kHz}$ तक फैला है — प्रतिचयन से पहले क्या करना पड़ेगा, और $5\,\mathrm{kHz}$ पर कटी चौथी-कोटि छन्नी के साथ $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ का प्रतिचयन $100\,\mathrm{kHz}$ पर कितना [क्षीणन](https://one-course.com/books/physics/4/hi/chapter/8-dispersion-and-wave-packets#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) देता है ( $80\,\mathrm{dB}$ प्रति दशक)?
22. कोई $16$ -बिट परिवर्तित्र $\pm1\,\mathrm{V}$ पर: सोपान; और $1000$ गुना प्रवर्धित $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ का संकेत: कितने सोपान, और रव मदद करता है या नुक़सान?
23. अंकीय लॉक-इन: संगणक हर प्रतिदर्श को $\cos(2\pi f_0nT_s)$ से गुणा करता है और $N$ प्रतिदर्शों का औसत लेता है। $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ पर $1\,\mathrm{s}$ के औसत के लिए $N$ ; श्वेत रव कितने गुना घटता है, और क्या वह अनुरूप छन्नी वाले जितना ही है?
24. $999\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ पर प्रतिचयित $1\,\mathrm{kHz}$ का संकेत: संगणक क्या देखता है? इसका लॉक-इन के अपने सिद्धांत से क्या संबंध है?
25. शृंखला को एक सारणी में समेटिए: हर चरण, वह संकेत के साथ क्या करता है, और रव के साथ क्या।

**हल — समस्या 9.1.**

**1.** $R = 1/2\pi f_0C = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$।

**2.** $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$: वास्तविक, $= 1/3$, $\omega_0 = 1/RC$ पर।

**3.** $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$; समय-नियतांक $2RC/0.15 =
2.1\,\mathrm{ms}$; और $\ln1000 = 6.9$: अर्थात् $15\,\mathrm{ms}$।

**4.** चपटे शिखरों वाला कोई ज्यावक्र: अर्थात् विषम संनादी। संनादियों से भरा कोई संदर्भ संकेत के संनादी (और वहाँ का रव) भी संसूचित कर लेता है: और तब परिणाम अकेली मूल विधा नहीं नापता।

**5.** बल्ब: आयाम चढ़ते ही वह गरम होता है, $R_1$ बढ़ता है और $K = 1 + R_2/R_1$ गिरकर $3$ हो जाता है। $R_1$ की जगह कोई थर्मिस्टर उल्टा करता (उसकी जगह $R_2$ की जगह है)।

**6.** $f \propto 1/C$: $990\,\mathrm{Hz}$। लॉक-इन का संदर्भ कर्तक से ही लिया जाता है (चक्र पर लगा कोई संसूचक), अतः वह उसके साथ चलता है।

**7.** $Q \sim 1/3$: पाश में कहीं भी कोई छोटा कला-विस्थापन आवृत्ति को प्रतिशतों में खिसका देता है; जबकि क्वार्ट्ज़ का $10^5$ उसे $10^{-6}$ तक थामे रखता है।

**8.** $50\,\text{nV} \times \sqrt{10^5} = 16\,\text{µ}\mathrm{V}$ वर्ग-माध्य-मूल: अतः संकेत-रव अनुपात $0.6$।

**9.** $B = 100\,\mathrm{Hz}$: $0.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, अनुपात $20$ — पर छन्नी का केंद्र उसके अवयवों के साथ खिसकता है, और $50\,\mathrm{Hz}$ का व्यवधान केवल $\sim 1/[Q(f_0/f - f/f_0)] = 0.005$ गुना क्षीण होता है: अर्थात् $5\,\text{µ}\mathrm{V}$, संकेत का आधा।

**10.** कुछ सौ हर्ट्ज़ से नीचे प्रवर्धक का $1/f$ रव और खिसकाव हावी रहते हैं; जबकि $1\,\mathrm{kHz}$ पर रव-तल श्वेत और नीचा है, और अपसरण गिने ही नहीं जाते।

**11.** $0$ और $A_0$ के बीच का वर्ग मॉडुलन $A_0/2 + (2A_0/\pi)
\cos\omega_0t + \dots$ है: अतः लॉक-इन मूल विधा रखता है, $0.64A_0$।

**12.** $100\,\mathrm{Hz}$ मिश्रित होकर $900$ और $1100\,\mathrm{Hz}$ पर चला जाता है और निम्न-पारक उसे हटा देती है।

**13.** $\tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)$; दिष्ट पद $\tfrac12A\cos\varphi$।

**14.** $1/2\pi f\tau = 1/2\pi \times 2000 = 8 \times 10^{-5}$: $-82\,\mathrm{dB}$।

**15.** $B = 1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$: $e_n\sqrt B = 25\,\mathrm{nV}$, जबकि $A =
10\,\text{µ}\mathrm{V}$: अतः अनुपात $400$; और $\tau = 10\,\mathrm{s}$: $7.9\,\mathrm{nV}$, अनुपात $1300$।

**16.** $950$ और $1050\,\mathrm{Hz}$ पर: और $1/2\pi \times 950 = 1.7 \times
10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$) गुना क्षीण: अर्थात् $0.17\,\text{µ}\mathrm{V}$ का लहर, संकेत का दसवाँ भाग — फिर भी ऊपर कोई खाँच छन्नी लगाने लायक़।

**17.** $\cos60^\circ = 0.5$: अर्थात् संकेत का आधा। $90{}^{\circ}$ खिसके संदर्भ वाला कोई दूसरा गुणक $Y = \tfrac12A\sin\varphi$ देता है; और $X =
\tfrac12A\cos\varphi$ के साथ, $A = 2\sqrt{X^2 + Y^2}$ तथा $\varphi = \arctan(Y/X)$, $\varphi$ चाहे कुछ भी हो।

**18.** $\tau\ln100 = 4.6\,\mathrm{s}$; रव $1/\sqrt\tau$ की तरह गिरता है, और मापन-काल $\tau$ की तरह बढ़ता है।

**19.** अंतर वाला पद $\tfrac12A\cos(2\pi \times 1\,\text{Hz}\,t + \varphi)$ है, जिसे छन्नी $1/\sqrt{1 + (2\pi)^2} = 0.16$ के साथ गुज़ार देती है: अर्थात् किसी स्तर के बदले कोई धीमा दोलन। संदर्भ को संकेत से *संबद्ध* होना चाहिए: अतः उसे कर्तक से लीजिए।

**20.** पट्टी-चौड़ाई $1/2\pi\tau = 0.16\,\mathrm{Hz}$: अतः $0.32\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ से ऊपर; और $10\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ आरामदेह है।

**21.** कम से कम $2\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$; [छद्मन-रोधी छन्नी](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) अनिवार्य है; और $5\,\mathrm{kHz}$ पर चौथी कोटि: $100\,\mathrm{kHz}$ पर $80\log_{10}(100/5) = 104\,\mathrm{dB}$ (और $19\,\mathrm{kHz}$ पर $46\,\mathrm{dB}$, अर्थात् वह रव जो $1\,\mathrm{kHz}$ पर छद्म बनकर बैठता)।

**22.** सोपान $30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$; $10\,\mathrm{mV}$ $330$ सोपान है; और प्रवर्धित रव ($16\,\mathrm{mV}$ वर्ग-माध्य-मूल) कई सोपानों पर फैला है तथा औसत लेने पर माध्य को एक सोपान से कहीं नीचे तक खोल देता है: अतः वह मदद करता है।

**23.** $N = 20000$; श्वेत रव $\sqrt N = 140$ गुना गिरता है; और किसी $1\,\mathrm{s}$ के बॉक्सकार की रव-पट्टी-चौड़ाई $1/2T = 0.5\,\mathrm{Hz}$ है — अर्थात् अनुरूप $RC$ से दुगुनी, पर तुलनीय।

**24.** प्रतिदर्श ज्यावक्र में से धीरे-धीरे चलते हैं: अर्थात् $1\,\mathrm{Hz}$ का छद्म। लॉक-इन जान-बूझकर यही करता है: संदर्भ की कला पर प्रतिचयन करना ही संदर्भ से गुणा करना है।

**25.** कर्तक: संकेत $1\,\mathrm{kHz}$ पर चला गया, रव वही (पर $1/f$ वाला भाग बच गया)। प्रवर्धक: दोनों $\times$ लब्धि। गुणक: संकेत दिष्ट पर, रव फैला हुआ। निम्न-पारक: संकेत रखा गया, रव $1/4\tau$ तक कटा। प्रतिचायक/परिवर्तित्र: संकेत अंकीकृत, और छद्म तथा क्वांटीकरण छन्नी तथा बिट-संख्या से क़ाबू में।