---
title: "Muatan, Arus dan Penghantaran"
book: "Fisika Universitas — Tahun 2"
subject: physics
language: id
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/10-muatan-arus-dan-penghantaran
---

# Bab 10 — Muatan, Arus dan Penghantaran

Tekanlah sakelarnya dan lampunya menyala seketika; namun elektron dalam kawat tembaganya menghanyut menujunya sepersekian milimeter tiap sekon, dan akan menuntut berjam-jam untuk tiba. Sebuah sambaran petir mengemban tiga puluh ribu ampere menembus saluran selebar sebuah jari; saraf yang menggerakkan jari itu mengemban pikoampere. Jilid Tahun ke-1 memperlakukan arus sebagai bilangan dalam kawat, $I = U/R$; bab ini melukiskannya sebagai sebuah *medan* — sebuah [rapat arus](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) di setiap titik materi — menuliskan hukum bahwa muatan tak pernah diciptakan atau dimusnahkan, lalu menurunkan hukum Ohm dari desak-desakan elektron dalam sebuah logam: gambaran mikroskopik di balik resistor, sekring dan pengindra Hall.

![Tembaga, penghantar dunia kelistrikan: dalam untaian kabel ini sekitar 1029 elektron tiap meter kubik menghanyut sepersekian milimeter tiap sekon.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/img-46708c3f1227.jpg)

*Tembaga, penghantar dunia kelistrikan: dalam untaian kabel ini sekitar $10^{29}$ elektron tiap meter kubik menghanyut sepersekian milimeter tiap sekon.*

## 10.1 Rapat muatan dan rapat arus

**Definisi 10.1 (Rapat muatan; rapat arus).**

Pada [skala mesoskopik](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/2-kinematika-fluida#def-b2-fluid-kinematics-particle), materi mengemban *rapat muatan volume* $\rho(M, t)$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$): muatan $\rho\,\dd\tau$ dalam $\dd\tau$. Sebuah permukaan dapat mengemban *rapat permukaan* $\sigma$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$), sebuah kawat rapat garis $\lambda$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}$). Jika pengemban jenis $i$ (bermuatan $q_i$, berkerapatan jumlah $n_i$) bergerak dengan kecepatan rata-rata $\vect v_i$, *rapat arus*nya adalah

$$
\vect j = \sum_in_iq_i\,\vect v_i \qquad (\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}) ,
$$

dan *kuat arus* menembus permukaan terorientasi $S$ adalah fluks $I = \iint_S\vect j\cdot\vect n\,\dd S$: muatan yang menyeberangi $S$ tiap satuan waktu. Untuk satu jenis saja, $\vect j = \rho_m\vect v$ dengan $\rho_m = nq$ yaitu rapat muatan yang dapat bergerak.

**Bukti.** Dalam $\dd t$ pengemban jenis $i$ yang menyeberangi $\dd S$ adalah yang berada dalam tabung serong beralas $\dd S$ dan bergaris pelukis $\vect v_i\dd t$: jumlahnya $n_i\vect v_i\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$, muatannya $q_i$ kali itu. ∎

**Contoh 10.2 (Betapa lambat elektron menghanyut).**

Tembaga mempunyai satu elektron hantaran tiap atom: $n = \rho_{\text{Cu}}N_A/M =
8900 \times 6.02 \times 10^{23}/0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$. Arus $10\,\mathrm{A}$ dalam kawat $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ berarti $j = 6.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, dan *[kecepatan hanyut](#ex-b2-charges-currents-conduction-drift)*nya adalah $v = j/ne = 6.7 \times 10^6/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times
10^{-19}) = 0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — dua jam tiap meter. Lampunya menyala seketika sebab *medan* yang mendorong elektronnya terbangun sepanjang seluruh kawatnya dalam hitungan nanosekon (ia berjalan hampir dengan kelajuan cahaya, seperti diperlihatkan kabel [Bab 8](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#ch-b2-dispersion-wave-packets)): semua elektronnya berangkat bersama, seperti air dalam selang yang penuh.

![Kiri: sebuah tabung arus — dalam rezim tunak kuat arus yang sama menyeberangi tiap penampangnya. Kanan: sebuah elektron dalam logam berkelok-kelok di antara tumbukan pada sekitar 106 m/s; medannya menambahkan hanyutan lambat, berlawanan dengan E, sepersekian milimeter tiap sekon.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/fig-a56a2537b338.svg)

*Kiri: sebuah tabung arus — dalam rezim tunak kuat arus yang sama menyeberangi tiap penampangnya. Kanan: sebuah elektron dalam logam berkelok-kelok di antara tumbukan pada sekitar $10^6$ m/s; medannya menambahkan hanyutan lambat, berlawanan dengan $\vect E$, sepersekian milimeter tiap sekon.*

**Contoh 10.3 (Orde besar).**

Petir, $30\,\mathrm{kA}$ dalam saluran berjari-jari $1\,\mathrm{cm}$: $j \approx 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$. Kawat rumah tangga: $10^6$–$10^7$. Berkas elektron dalam tabung sinar katode, $1\,\mathrm{mA}$ pada $1\,\mathrm{mm}^{2}$: $10^3$. Serat saraf, $1\,\mathrm{nA}$ menembus $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$: $10^2$. Berkas sebuah pemercepat partikel, $1\,\mathrm{A}$ pada bintik $0.1\,\mathrm{mm}^{2}$: $10^7$ — dalam hampa, tanpa tumbukan sama sekali.

## 10.2 Kekekalan muatan

**Teorema 10.4 (Kekekalan muatan lokal).**

Di setiap titik,

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect j = 0 ;
$$

diintegralkan atas volume tetap $V$ yang dibatasi permukaan tertutup $\Sigma$, $\dd Q_V/\dd t = -I_{\text{luar}}$: muatan di dalamnya hanya berubah sebanyak yang menyeberangi batasnya. Dalam *rezim tunak* ($\partial_t\rho = 0$), $\operatorname{div}\vect j = 0$: fluks $\vect j$ kekal sepanjang sebuah tabung arus, kuat arus yang sama menyeberangi tiap penampang sebuah kawat, dan arus yang memasuki sebuah simpul sama dengan yang meninggalkannya (hukum simpul Kirchhoff).

**Bukti.** Kata demi kata sama dengan neraca massa [Teorema 2.8](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/2-kinematika-fluida#thm-b2-fluid-kinematics-continuity) dengan $\rho$ yaitu [rapat muatannya](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) dan $\vect j$ arusnya: keluaran total muatan menembus keenam sisi sebuah kotak tetap, tiap satuan volume, adalah $\operatorname{div}\vect j$, dan tak ada muatan yang diciptakan. Bentuk integralnya menjumlahkan kotaknya (sisi dalamnya saling meniadakan). Untuk sebuah tabung antara dua penampang $S_1$, $S_2$ tanpa fluks menembus sisinya, $I_1 = I_2$; sebuah simpul adalah volume kecil dengan beberapa kawat: $\sum I_{\text{masuk}} = \sum I_{\text{luar}}$. ∎

**Catatan 10.5 (Di mana arusnya berhenti: kapasitor).**

Sebuah kawat yang menyuapi keping kapasitor adalah tabung arus yang berakhir: fluks $\vect j$ ke dalam kepingnya adalah $I = \dd Q/\dd t$, dan muatan menumpuk — $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ di sana, rezimnya tidak tunak. Namun arus $I$ yang sama mengalir dalam kawat di sisi yang lain: sesuatu harus mengemban imbangannya menyeberangi celahnya. [Bab 11](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/11-persamaan-maxwell#ch-b2-maxwell-equations) menamainya — arus pergeseran — lalu menjadikan kekekalan muatan sebagai batu kunci persamaan Maxwell.

## 10.3 Model Drude dan hukum Ohm

**Proposisi 10.6 (Model Drude; hukum Ohm lokal).**

Modelkanlah elektron hantaran sebuah logam sebagai partikel bebas (massa $m$, muatan $-e$, kerapatan $n$) yang merasakan medan $\vect E$ dan, rata-rata, kehilangan momentum hanyutnya karena tumbukan dengan kisinya tiap $\tau$ sekon — yaitu [gaya gesek](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/1-mekanika-benda-tegar#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) $-m\vect v/\tau$ pada kecepatan rata-ratanya:

$$
m\frac{\dd\vect v}{\dd t} = -e\vect E - \frac m\tau\vect v .
$$

Dalam medan tetap hanyutannya menetap, dalam beberapa $\tau$, pada $\vect v = -e\tau
\vect E/m$, dan rapat arusnya adalah

$$
\vect j = \gamma\,\vect E , \qquad \gamma = \frac{ne^2\tau}{m} :
$$

yaitu *hukum Ohm lokal*, dengan $\gamma$ yaitu *konduktivitas* ($\mathrm{S}/\mathrm{m}$; kebalikannya $\rho_e = 1/\gamma$ adalah *[hambatan jenis](#prop-b2-charges-currents-conduction-drude)*, $\Omega\,\mathrm{m}$). Nisbah $\mu = e\tau/m$ antara kelajuan hanyutnya dan medannya adalah *mobilitas* ($\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$). Untuk penghantar sepanjang $L$ dan berpenampang seragam $S$ yang mengemban $\vect j$ seragam, mengintegralkan $E = j/\gamma$ sepanjang panjangnya memberi $U = EL = (L/\gamma S)I$: yaitu hambatan $R = L/\gamma S
= \rho_eL/S$ jilid Tahun ke-1.

**Bukti.** Dengan $\vect v = -e\tau\vect E/m$, $\vect j = -ne\vect v = (ne^2\tau/m)\vect E$. Peralihannya $\vect v(t) = \vect v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ berlangsung $\tau \sim
1 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, seketika pada setiap skala waktu rangkaian. Hambatannya menyusul dari $\int\vect E\cdot\dd\vect l$ antara kedua ujungnya. ∎

**Contoh 10.7 (Tembaga, dari konduktivitas terukurnya).**

Tembaga: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$: $\tau = m\gamma/ne^2 =
9.1 \times 10^{-31} \times 6 \times 10^7/(8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}) = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — dua puluh lima femtosekon di antara tumbukan. Kelajuan acak elektron dalam logam sekitar $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (sebuah gejala kuantum, bukan kelajuan termal $\sqrt{3k_BT/m} \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$), jadi jalan bebas rata-ratanya $\ell
= v\tau \approx 40\,\mathrm{nm}$, yaitu seratus jarak atom: elektronnya tidak bertumbukan dengan atomnya sendiri (kristal yang sempurna tembus pandang bagi mereka) melainkan dengan cacat dan getaran termalnya — itulah sebabnya $\gamma$ turun ketika sebuah logam dipanaskan atau dipaduk. Mobilitasnya $e\tau/m =
4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$: $4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ tiap volt tiap meter.

**Proposisi 10.8 (Hukum Ohm pada frekuensi tinggi).**

Untuk medan sinusoidal $\underline{\vect E}\,\eu^{\iu\omega t}$ persamaan Drude memberi $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$ dengan

$$
\underline\gamma(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + \iu\omega\tau} , \qquad \gamma_0 = \frac{ne^2\tau}{m} :
$$

konduktivitasnya nyata dan sama dengan nilai searahnya selama $\omega\tau
\ll 1$, yakni sampai sekitar $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ bagi tembaga — di sepanjang seluruh jangkauan radio dan gelombang mikro; dalam inframerah dan cahaya tampak ($\omega\tau \gg 1$) ia menjadi khayal, $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$: elektronnya berayun bebas, berbeda fase dengan medannya, dan logamnya berperilaku sebagai plasma [Bab 14](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/14-gelombang-elektromagnetik-dalam-plasma-penghantar-dan-dielektrik#ch-b2-waves-in-media).

**Bukti.** $\iu\omega m\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E} - m\underline{\vect v}/\tau$, yang darinya $\underline{\vect v} = -e\tau\underline{\vect E}/m(1 + \iu\omega\tau)$ dan $\underline{\vect j}
= -ne\underline{\vect v}$. ∎

![Kiri: konduktivitas Drude terhadap — nyata dan tetap pada frekuensi rendah, khayal di luar 1/. Kanan: efek Hall dalam sebuah pita penghantar — pengembannya terdorong ke samping oleh medannya, memuati tepinya, dan medan Hall melintangnya mengimbangi gaya magnetiknya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/fig-2cfaecd0cb64.svg)

![Kiri: konduktivitas Drude terhadap — nyata dan tetap pada frekuensi rendah, khayal di luar 1/. Kanan: efek Hall dalam sebuah pita penghantar — pengembannya terdorong ke samping oleh medannya, memuati tepinya, dan medan Hall melintangnya mengimbangi gaya magnetiknya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/fig-69463e2c3034.svg)

*Kiri: konduktivitas Drude terhadap $\omega\tau$ — nyata dan tetap pada frekuensi rendah, khayal di luar $1/\tau$. Kanan: efek Hall dalam sebuah pita penghantar — pengembannya terdorong ke samping oleh medannya, memuati tepinya, dan medan Hall melintangnya mengimbangi gaya magnetiknya.*

**Catatan 10.9 (Penghantar, semikonduktor, elektrolit).**

Hukum yang sama $\vect j = \sum n_iq_i\mu_i\vect E$ berlaku bagi setiap penghantar; yang berubah adalah $n$ dan $\mu$. Logam: $n \sim 10^{29}$, $\gamma \sim 10^7$ S/m. Semikonduktor: $n \sim 10^{16}$–$10^{23}$, yang ditetapkan pendopingan dan naik tajam dengan suhu, dengan dua macam pengemban (elektron dan lubang) — dari situlah termistor dan dioda. Elektrolit: ion bertanda dua-duanya, $\mu \sim 10^{-8}$–$10^{-7}$ m$^2$/(V s); air laut $\gamma \approx 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, air keran $10^{-2}$, air murni $10^{-5}$. Isolator (kaca, polimer): $\gamma \lesssim 10^{-12}$ S/m. Efek Hall jilid Tahun ke-1, dalam bentuk lokal $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B/nq$, mengukur $n$ dan tanda $q$: dalam aluminium atau seng pengembannya ternyata positif — lubang — dan tak ada model klasik yang menjelaskannya.

## 10.4 Energi: hukum Joule lokal

**Proposisi 10.10 (Hukum Joule lokal).**

Medan listriknya menyerahkan kepada pengembannya, tiap satuan volume dan waktu, daya $\vect j\cdot\vect E$; dalam penghantar ohmik ini sama dengan

$$
p = \vect j\cdot\vect E = \gamma E^2 = \frac{j^2}\gamma \ \ (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}) ,
$$

seluruhnya berubah menjadi kalor oleh tumbukannya (energi kinetik hanyutnya dapat diabaikan dan tetap). Diintegralkan atas sebuah kawat, $\int j^2/\gamma\,\dd\tau
= (L/\gamma S)I^2 = RI^2$.

**Bukti.** Gaya $q\vect E$ pada tiap pengemban melakukan usaha dengan laju $q\vect E\cdot\vect v$; dijumlahkan atas $n\,\dd\tau$ pengembannya: $nq\vect v\cdot\vect E\,\dd\tau = \vect j\cdot
\vect E\,\dd\tau$ (gaya magnetiknya tak melakukan usaha). Dalam keadaan tunak Drude daya ini sama dengan yang dilesapkan suku gesekannya, yakni dipindahkan ke kisinya. ∎

**Contoh 10.11 (Sebuah kawat yang memanas).**

Kawat $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ pada $10\,\mathrm{A}$: $p = j^2/\gamma = (6.7 \times 10^6)^2/6 \times 10^7 =
7.4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, yakni $1.1\,\mathrm{W}$ tiap meter — mudah dibuang udara di sekelilingnya. Dibiarkan sendiri (tanpa pendinginan), tembaga ($c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, $\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) akan menghangat dengan $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$. Pada $100\,\mathrm{A}$ dalam kawat yang sama lajunya seratus kali lebih besar, $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$: ia mencair dalam semenit — yaitu asas sekring, yang kawat tipisnya dirancang agar mencair lebih dulu.

**Proposisi 10.12 (Relaksasi muatan dalam penghantar).**

Dalam penghantar ohmik [rapat muatan](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) volumenya meluruh sebagai $\rho(t) =
\rho_0\eu^{-t/\tau_r}$ dengan

$$
\tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} :
$$

$1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ bagi tembaga, $2 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ bagi air laut, $10\,\mathrm{s}$ bagi kaca. Sampai frekuensi berorde $1/\tau_r$ sebuah penghantar tak mengemban *muatan volume* sama sekali: kelebihan muatan mana pun berlari ke permukaannya. Kata “penghantar” karena itu bergantung pada skala waktunya: air laut adalah penghantar bagi gelombang radio dan isolator bagi cahaya tampak.

**Bukti.** Kekekalan muatan dengan $\vect j = \gamma\vect E$ dan hukum Gauss dalam bentuk lokal, $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ ([Bab 11](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/11-persamaan-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)): $\partial_t\rho = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$. ∎

**Metode 10.13 (Dari hukum lokal ke hukum integral).**

Untuk mencari hambatan penghantar berbentuk sembarang: (1) pakailah simetrinya untuk menuliskan $\vect j$ (tunak: fluksnya kekal, jadi dalam sebuah tabung $j \times$ penampangnya $= I$); (2) $\vect E = \vect j/\gamma$; (3) integralkanlah $\vect E$ sepanjang sebuah garis dari satu elektrode ke yang lain: $U = \int\vect E\cdot
\dd\vect l$, dan $R = U/I$; (4) periksalah dengan daya Joulenya $\int j^2/\gamma\,
\dd\tau = RI^2$. Langkah yang sama memberi kebocoran sebuah kabel, hambatan tanah di sekeliling sebuah penangkal petir, atau hambatan sebuah sentuhan kerucut.

## 10.5 Latihan

**Latihan 10.1 ★.**

Sebuah kawat tembaga $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ mengemban $16\,\mathrm{A}$. Tentukanlah rapat arusnya, kelajuan hanyutnya ($n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$), waktu bagi sebuah elektron untuk menempuh $20\,\mathrm{m}$ ke sebuah stopkontak; medan listrik dalam kawatnya ($\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$), jatuh tegangan sepanjang $20\,\mathrm{m}$ dan daya yang hilang.

**Solusi Latihan 10.1.**

$j = 16/2.5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $20\,\mathrm{m}$ dalam $4.3 \times 10^4$ s, dua belas jam. $E = j/\gamma = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $U = 2.1\,\mathrm{V}$; $P = UI = 34\,\mathrm{W}$.

**Latihan 10.2 ★.**

[Rapat arus](#def-b2-charges-currents-conduction-densities): sebuah sambaran petir ($30\,\mathrm{kA}$, jari-jari $1\,\mathrm{cm}$); sebuah berkas elektron ($2\,\mathrm{mA}$, $0.5\,\mathrm{mm}^{2}$); sebuah akson saraf ($1\,\mathrm{nA}$, jari-jari $2\,\text{µ}\mathrm{m}$); arus cincin magnetosfer Bumi ($1\,\mathrm{MA}$ menembus sekitar $1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$). Mana yang melampaui kawat latihan sebelumnya?

**Solusi Latihan 10.2.**

Petir $3 \times 10^4/\pi10^{-4} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; berkasnya $4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; aksonnya $10^{-9}/1.3 \times 10^{-11} = 80\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; arus cincinnya $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$. Hanya petirnya yang melampaui $6 \times 10^6$ kawatnya.

**Latihan 10.3 ★.**

[Hambatan jenis](#prop-b2-charges-currents-conduction-drude) pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$: tembaga $1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$, aluminium $2.8 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$, besi $1.0 \times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}$, nikrom $1.1 \times 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}$. Tentukanlah hambatan $100\,\mathrm{m}$ kawat $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ bagi masing-masingnya; penampang aluminium yang setara dengan $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ tembaga, dan nisbah massanya (massa jenisnya $8900$ dan $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$); panjang kawat nikrom $0.5\,\mathrm{mm}$ bagi sebuah pemanas $1\,\mathrm{kW}$, $230\,\mathrm{V}$.

**Solusi Latihan 10.3.**

$R = \rho_eL/S$: $0.68$, $1.1$, $4.0$, $44\,\Omega$. Aluminium: $2.5 \times 2.8/1.7 =
4.1\,\mathrm{mm}^{2}$, nisbah massanya $(4.1 \times 2700)/(2.5 \times 8900) = 0.50$ — separuh massanya. Pemanas: $R = 230^2/1000 = 53\,\Omega$, $S = 0.196\,\mathrm{mm}^{2}$, $L = RS/\rho_e = 9.4\,\mathrm{m}$.

**Latihan 10.4 ★.**

Drude: tentukanlah $\tau$, mobilitas dan jalan bebas rata-rata (kelajuan acaknya $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) bagi tembaga ($\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$) dan perak ($\gamma = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$); konduktivitas sebuah cuplikan silikon dengan $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ dan $\mu = 0.14\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$; kelajuan hanyut dalam cuplikan itu pada $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$.

**Solusi Latihan 10.4.**

$\tau = m\gamma/ne^2$: tembaga $2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $\mu = e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$, $\ell = 40\,\mathrm{nm}$; perak $3.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $6.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$, $61\,\mathrm{nm}$. Silikon: $\gamma = ne\mu = 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.14 = 220\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$; $v =
\mu E = 140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Latihan 10.5 ★★.**

Sebuah kapasitor berkeping $S$ diisi lewat sebuah kawat oleh $I(t)$. (a) Terapkanlah hukum kekekalan integralnya pada permukaan tertutup yang melingkupi satu keping: kaitkanlah $I$ dan muatan kepingnya $Q$. (b) Mengapa $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ di kepingnya? (c) Sebuah elektrode bola berjari-jari $a$ dalam medium penghantar memancarkan arus radial $I$: tentukanlah $\vect j(r)$; periksalah $\operatorname{div}
\vect j = 0$ untuk $r > a$ (pakailah $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}\partial_r(r^2j_r)$ bagi medan radial). (d) Di manakah, kalau begitu, kekekalan muatannya “patah”?

**Solusi Latihan 10.5.**

(a) Arus masuk, tak ada yang keluar: $\dd Q/\dd t = I$. (b) Muatannya menumpuk: $\partial_t
\rho \ne 0$. (c) $\vect j = (I/4\pi r^2)\vect e_r$: $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}
\partial_r(I/4\pi) = 0$. (d) Hanya di elektrodenya, tempat arusnya disuntikkan dari kawatnya — sebuah sumber fluks.

**Latihan 10.6 ★★.**

*Kebocoran sebuah [kabel koaksial](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).* Isolator di antara kedua penghantarnya (jari-jari $a = 1\,\mathrm{mm}$, $b = 3.5\,\mathrm{mm}$) mempunyai $\gamma = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$; sebuah tegangan $U$ dikenakan di antara keduanya, sebuah arus bocor radial $I$ mengalir tiap panjang $L$. (a) $\vect j(r)$ dan $\vect E(r)$. (b) Tunjukkanlah bahwa hambatan sepanjang $L$ adalah $R = \ln(b/a)/2\pi\gamma L$; nilainya tiap kilometer. (c) Arus bocor dan dayanya tiap kilometer pada $1\,\mathrm{kV}$. (d) Bandingkanlah dengan kapasitansi tiap panjangnya $2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$: tunjukkanlah $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma$ lalu tafsirkanlah dengan waktu relaksasinya.

**Solusi Latihan 10.6.**

(a) $j = I/2\pi rL$, $E = j/\gamma$, radial. (b) $U = \int_a^bE\,\dd r = I\ln(b/a)/
2\pi\gamma L$: $R = \ln3.5/(2\pi \times 10^{-13} \times 10^3) = 2 \times 10^{9}\,\Omega$ tiap kilometer. (c) $0.5\,\text{µ}\mathrm{A}$, $0.5\,\mathrm{mW}$. (d) $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma = 200\,\mathrm{s}$ bagi $\varepsilon_r = 2.3$: kabelnya, yang terisi dan terkucil, melucut lewat isolatornya sendiri dengan waktu relaksasi isolator itu.

**Latihan 10.7 ★★.**

[Konduktivitas kompleks](#prop-b2-charges-currents-conduction-acdrude) tembaga ($\tau = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$). (a) $\omega\tau$ pada $50\,\mathrm{Hz}$, $10\,\mathrm{GHz}$ (gelombang mikro), $30\,\mathrm{THz}$ (inframerah), $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ (cahaya hijau). (b) Modulus dan fase $\underline\gamma/\gamma_0$ dalam tiap halnya. (c) Sampai frekuensi berapa hukum Ohm baik sampai $1\%$? (d) Dalam cahaya tampak, tuliskanlah $\underline\gamma$ lalu tunjukkanlah bahwa $\underline{\vect j}$ berada dalam kuadratur dengan $\underline{\vect E}$: berapa daya Joule reratanya?

**Solusi Latihan 10.7.**

(a) $\omega\tau$: $8 \times 10^{-12}$, $1.6 \times 10^{-3}$, $4.7$, $79$. (b) $|\underline\gamma|/\gamma_0 =
1/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$: $1$, $1$, $0.21$, $0.013$; fasenya $-\arctan\omega\tau$: $0$, $-0.09{}^{\circ}$, $-78{}^{\circ}$, $-89{}^{\circ}$. (c) $\omega\tau \le 0.14$: $f \le
0.9\,\mathrm{THz}$. (d) $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$: $\underline{\vect j}$ tertinggal $90{}^{\circ}$ dari $\underline{\vect E}$, $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$: tak ada pemanasan Joule — elektronnya berayun bebas, seperti dalam sebuah plasma.

**Latihan 10.8 ★★.**

Sebuah kawat sekring tembaga $0.20\,\mathrm{mm}$ (tembaga: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $\rho =
8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, mencair pada $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$, kalor laten $205\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$). (a) [Rapat arus](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) dan daya Joule tiap satuan volume pada $10\,\mathrm{A}$. (b) Waktu untuk mencair dari $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ jika tak ada kalor yang lolos (abaikanlah kenaikan hambatan jenisnya dengan suhu). (c) Hal yang sama pada $30\,\mathrm{A}$. (d) Kenyataannya kawatnya kehilangan kalor ke udara: bagaimana itu menetapkan arus terala sebuah sekring, dan mengapa sekring dikemas dalam selongsong berisi pasir?

**Solusi Latihan 10.8.**

(a) $S = 3.1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$, $j = 3.2 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{9}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$. (b) Energi untuk mencair tiap satuan volume $\rho(c\Delta T + L_f) = 8900(4.1 \times 10^5 + 2.05 \times
10^5) = 5.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: $3.2\,\mathrm{s}$. (c) Sembilan kali lebih cepat: $0.36\,\mathrm{s}$. (d) Arus teralanya adalah arus yang pemanasan Joulenya tepat dibuang udaranya di bawah titik leburnya; pasirnya memadamkan busur api yang jika tidak akan tetap menghantar menyeberangi celahnya sesudah kawatnya mencair.

**Latihan 10.9 ★★.**

*Relaksasi.* (a) Turunkanlah $\partial_t\rho = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$ dari kekekalan muatan, hukum Ohm dan $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$. (b) Tentukanlah $\tau_r$ bagi tembaga, air laut ($\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$), air keran ($5 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$), kaca ($1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$), PTFE ($1 \times 10^{-16}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$). (c) Sampai frekuensi berapa masing-masingnya “penghantar yang baik” (muatannya berelaksasi dalam satu periode)? (d) Sebatang kaca bermuatan menahan muatannya bermenit-menit: selarask ah itu?

**Solusi Latihan 10.9.**

(a) $\partial_t\rho = -\operatorname{div}\vect j = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -\gamma\rho/
\varepsilon_0$. (b) $\varepsilon_0/\gamma$: $1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$, $1.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$, $1.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$, $9\,\mathrm{s}$, $9 \times 10^4$ s. (c) $f \lesssim 1/2\pi\tau_r$: $10^{18}$ Hz ([model Drude](#prop-b2-charges-currents-conduction-drude) gagal jauh sebelum itu), $90\,\mathrm{GHz}$, $0.9\,\mathrm{GHz}$, $0.02\,\mathrm{Hz}$, $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{Hz}$. (d) Sebatang kaca akan kehilangan muatannya dalam semenit lewat volumenya; kaca kering yang sungguhan lebih dekat ke $10^{-14}$ S/m (berjam-jam), dan kelembapan permukaannyalah yang biasanya melucutinya — selaras dalam orde besarnya.

**Latihan 10.10 ★★★.**

*Pembumian.* Sebuah elektrode setengah bola berjari-jari $a = 0.50\,\mathrm{m}$ terkubur rata dengan permukaan tanah berkonduktivitas $\gamma =
0.010\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$; sebuah arus $I$ memasukinya lalu menyebar secara radial ke separuh ruangnya. (a) $\vect j(r)$, $\vect E(r)$, potensial $V(r)$ dengan $V(\infty) = 0$. (b) Hambatan pembumiannya, $R = 1/2\pi\gamma a$; nilainya. (c) Sebuah sambaran petir $20\,\mathrm{kA}$ menghantam batangnya: potensial batangnya; potensial di $r = 10\,\mathrm{m}$ dan $10.7\,\mathrm{m}$; “tegangan langkah” antara kedua kaki seseorang yang berdiri di sana (kakinya terpisah $0.7\,\mathrm{m}$, secara radial). (d) Mengapa ternak, yang keempat kakinya berjauhan, lebih sering terbunuh sambaran di dekatnya daripada manusia?

**Solusi Latihan 10.10.**

(a) $\vect j = (I/2\pi r^2)\vect e_r$, $E = I/2\pi\gamma r^2$, $V = I/2\pi\gamma r$. (b) $R = V(a)
/I = 1/2\pi\gamma a = 32\,\Omega$. (c) $V_{\text{batang}} = 640\,\mathrm{kV}$; $V(10) = 32\,\mathrm{kV}$, $V(10.7) = 30\,\mathrm{kV}$: $2.1\,\mathrm{kV}$ di antara kedua kakinya. (d) Kaki depan dan belakangnya terpisah $1.5\,\mathrm{m}$ sepanjang jari-jarinya: $4$–$5\,\mathrm{kV}$, dan lintasan arusnya menyeberangi jantungnya.

**Latihan 10.11 ★★★.**

*Pengindra Hall.* Sebuah pita setebal $t$ dan selebar $w$ mengemban $I$ sepanjang $x$ dalam medan $B$ sepanjang $z$. (a) Dari $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B
/nq$, tunjukkanlah bahwa tegangan Hall menyeberangi lebarnya adalah $V_H = IB/nqt$. (b) Pita tembaga, $t = 0.10\,\mathrm{mm}$, $1\,\mathrm{A}$, $1\,\mathrm{T}$: berapa $V_H$? (c) Sebuah semikonduktor terdoping dengan $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$, geometri sama: $V_H$; mengapa pengindra memakai semikonduktor. (d) Sebuah pengindra dengan $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$, $t =
20\,\text{µ}\mathrm{m}$, yang disuapi $1\,\mathrm{mA}$, membaca $10\,\text{µ}\mathrm{V}$: medan yang terukur. Apa yang diberitahukan tanda $V_H$?

**Solusi Latihan 10.11.**

(a) $E_H = jB/nq$ dengan $j = I/wt$: $V_H = E_Hw = IB/nqt$. (b) $1/(8.5 \times 10^{28}
\times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 0.7\,\text{µ}\mathrm{V}$. (c) $6.3\,\mathrm{mV}$: $V_H \propto 1/n$, dan semikonduktor mempunyai pengemban $10^6$ kali lebih sedikit. (d) $B = V_Hnqt/I =
10^{-5} \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-5}/10^{-3} = 0.32\,\mathrm{T}$; tanda $V_H$ memberi tanda pengembannya (bagi $\vect B$ yang diketahui), atau arah $\vect B$ (bagi pengindra yang diketahui).

**Latihan 10.12 ★★★.**

*Elektrolit.* Dalam air, ion Na$^+$ dan Cl$^-$ mempunyai mobilitas $\mu_+ = 5.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ dan $\mu_- = 7.9 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$. (a) Tunjukkanlah bahwa $\gamma = ne(\mu_+ + \mu_-)$ bagi $n$ pasang ion tiap satuan volume. (b) Air laut, $0.5\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ NaCl: berapa $\gamma$? Bandingkanlah dengan $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ yang terukur. (c) Kelajuan hanyutnya pada $10\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; ion mana yang mengemban lebih banyak arusnya? (d) Sebuah kolom air laut, $1\,\mathrm{cm}^{2}$ kali $10\,\mathrm{cm}$, mengemban $1\,\mathrm{A}$: tegangan, daya, dan waktu untuk menghangatkannya $10\,\mathrm{K}$ ($c =
4.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$); mengapa gel elektroforesis didinginkan.

**Solusi Latihan 10.12.**

(a) $\vect j = ne\mu_+\vect E + (-ne)(-\mu_-\vect E)$: kedua jenisnya menghanyut ke arah berlawanan lalu mengemban arus ke arah yang sama. (b) $n =
0.5 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23} = 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$: $\gamma = 3 \times 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19}
\times 1.31 \times 10^{-7} = 6.3\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ (ionnya saling menghalangi pada kepekatan ini: $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ yang terukur). (c) $0.52\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $0.79\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$: Cl$^-$ mengemban $60\%$. (d) $R = L/\gamma S = 200\,\Omega$, $U = 200\,\mathrm{V}$, $P =
200\,\mathrm{W}$ ke dalam $10\,\mathrm{g}$ air: $10\,\mathrm{K}$ dalam $2\,\mathrm{s}$ — dari situlah keping pendingin bejana elektroforesis.

## 10.6 Soal: Kawat tembaga, dari atom sampai jaringan listrik

**Soal 10.1.**

Soal akhir pekan — satu meter kawat rumah tangga yang diperiksa pada empat skala: elektronnya, hukum lokalnya, rangkaiannya, dan saluran dayanya

Tembaga: massa molar $63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, massa jenis $8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, satu elektron hantaran tiap atom, konduktivitas $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, [hambatan jenis](#prop-b2-charges-currents-conduction-drude) yang naik $\rho_e(T) = \rho_e(20)[1 +
\alpha(T - 20)]$ dengan $\alpha = 4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$; $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$. Kawat: penampang $S = 2.5\,\mathrm{mm}^{2}$, panjang $1\,\mathrm{m}$, arus $16\,\mathrm{A}$.

**Bagian I — Elektronnya.**

1. Kerapatan jumlah $n$ elektron hantarannya.
2. [Rapat arus](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) dan [kecepatan hanyutnya](#ex-b2-charges-currents-conduction-drift) ; berapa lama sebuah elektron perlu untuk menyeberangi satu meternya.
3. $\tau$ Drude dan mobilitasnya; jalan bebas rata-rata dengan kelajuan acak $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; berapa jarak atom ( $0.26\,\mathrm{nm}$ ) nilai itu, dan apa katanya tentang dengan apa elektronnya bertumbukan?
4. Getaran termalnya tumbuh dengan $T$ , jadi kira-kira $\tau \propto 1/T$ : periksalah terhadap $\alpha$ dekat suhu ruang ( $\dd\rho_e/\rho_e =  \dd T/T$ akan memberi $\alpha = 1/293$ ).
5. Medan listrik dalam kawatnya; tegangan total sepanjang meternya; energi kinetik hanyutnya tiap elektron dibandingkan dengan $k_BT$ — terganggukah gas elektronnya oleh arusnya?
6. Jumlah elektron yang menyeberangi sebuah penampang kawatnya tiap sekon.
7. Muatan elektron hantaran dalam satu meter kawatnya; gaya yang dikerahkan medannya pada semuanya sekaligus; bandingkanlah dengan berat kawatnya. Ke mana gaya itu berakhir (pikirkanlah tumbukannya)?

**Bagian II — Hukum lokalnya.**

8. Daya Joule tiap satuan volume dan tiap meter.
9. Kawatnya, di udara, kehilangan kalor dengan laju $h(T - T_a)$ tiap satuan permukaan dengan $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ (konveksi): kenaikan suhu setimbangnya; periksalah apakah koreksi hambatan jenisnya berarti.
10. Kawat yang sama terkubur dalam penyekat yang hanya melewatkan $h =  2\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ : kenaikan suhu barunya, dengan koreksi hambatan jenisnya disertakan (selesaikanlah neracanya).
11. Dibiarkan tanpa pendinginan apa pun, laju kenaikan suhunya pada $16\,\mathrm{A}$ dan pada $160\,\mathrm{A}$ (sebuah korsleting); waktu untuk mencapai titik leburnya ( $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) dalam hal yang kedua; apa yang melindungi instalasinya?
12. Pada $50\,\mathrm{Hz}$ , $\omega\tau = ?$ Terpengaruhkah hukum Ohmnya? (Efek kulit [Bab 14](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/14-gelombang-elektromagnetik-dalam-plasma-penghantar-dan-dielektrik#ch-b2-waves-in-media) adalah perkara lain.)
13. Tuliskanlah waktu relaksasi $\varepsilon_0/\gamma$ tembaganya; apa siratnya bagi [rapat muatan](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) di dalam kawatnya, dan di manakah muatan yang menghasilkan medan $E$ di dalam kawatnya berada?

**Bagian III — Kekekalan muatan dalam rangkaiannya.** Kawatnya menyuapi sebuah kapasitor $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ lewat sebuah sakelar; arusnya $I(t) = I_0\eu^{-t/\tau_c}$ dengan $I_0 = 16\,\mathrm{A}$, $\tau_c = 1\,\mathrm{ms}$.

14. Muatan yang mencapai kepingnya; tegangan akhirnya.
15. Terapkanlah $\dd Q/\dd t = -I_{\text{luar}}$ pada permukaan tertutup di sekeliling kepingnya: sisi mana yang mengemban arus hantaran, sisi mana yang tidak? Besaran apa karena itu yang harus berubah dalam celahnya?
16. Pada $t = 0.5\,\mathrm{ms}$ , laju perubahan muatan kepingnya; jika kepingnya seluas $1\,\mathrm{cm}^{2}$ dan berjarak $0.1\,\mathrm{mm}$ di udara, laju perubahan medan di antaranya.
17. Tunjukkanlah bahwa $\varepsilon_0\,\dd E/\dd t \times$ luas kepingnya sama dengan arus dalam kawatnya — yaitu besaran yang ditambahkan [Bab 11](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/11-persamaan-maxwell#ch-b2-maxwell-equations) pada hukum Ampère.
18. Kawatnya dipotong dan kedua ujungnya berjarak $1\,\mathrm{mm}$ di udara: arus berapa yang mengalir (udara $\gamma \approx 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )? Pada medan berapa udaranya tembus listrik ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ): tegangan berapa menyeberangi celahnya yang membuat sebuah bunga api?

**Bagian IV — Salurannya.** Sebuah saluran $230\,\mathrm{V}$ dari tembaga $10\,\mathrm{mm}^{2}$, sepanjang $500\,\mathrm{m}$ (pergi dan pulang: $1\,\mathrm{km}$ kawat), menyuapi sebuah peternakan yang menarik $40\,\mathrm{A}$.

19. Hambatan, jatuh tegangan, dan daya yang hilang dalam salurannya; bagian daya yang terserahkan.
20. Daya yang sama pada $20\,\mathrm{kV}$ dengan sebuah transformator di tiap ujungnya: arus, jatuh tegangan dan ruginya; simpulkanlah mengapa penyaluran dilakukan pada tegangan tinggi.
21. Aluminium ( $\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) dipakai pada menara: penampang bagi hambatan yang sama dengan $10\,\mathrm{mm}^{2}$ tembaga; massa tiap kilometer bagi keduanya; mengapa aluminium menang di atas sana dan tembaga menang di dalam dinding.
22. Sebuah pengindra Hall yang dijepitkan mengelilingi salurannya membaca medannya: bagi sebuah tang ampere dengan $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $t = 0.1\,\mathrm{mm}$ , yang disuapi $5\,\mathrm{mA}$ dalam medan $0.1\,\mathrm{T}$ yang dipusatkan sebuah teras besi, berapa tegangan Hallnya.
23. Sesudah beban seharian yang panas kawatnya berada pada $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ : hambatannya ketika itu, dan rugi tambahannya.
24. Petir menghantam salurannya: $20\,\mathrm{kA}$ selama $100\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Energi yang dilesapkan dalam $1\,\mathrm{km}$ kawatnya; kenaikan suhunya jika tak ada yang lolos; rapat arusnya — bandingkanlah dengan Bagian I.
25. Rangkumlah: kelima besaran ( $n$ , $\tau$ , $\gamma$ , $j$ , $E$ ) yang melukiskan kawatnya pada tiap skala, dan hukum yang mengaitkan tiap pasangnya.

**Solusi Soal 10.1.**

**1.** $n = \rho N_A/M = 8.4 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**2.** $j = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $35\,\mathrm{min}$ tiap meter.

**3.** $\tau = m\gamma/ne^2 = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $\mu = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$, $\ell =
40\,\mathrm{nm}$, $150$ jarak atom: elektronnya bertumbukan dengan cacat dan getaran termalnya, bukan dengan atomnya.

**4.** $\rho_e \propto T$ memberi $\alpha = 1/293 = 3.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$, dekat dengan $4 \times 10^{-3}$ yang terukur.

**5.** $E = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $U = 0.11\,\mathrm{V}$; $\tfrac12mv^2 = 1 \times 10^{-37}\,\mathrm{J}$ melawan $k_BT = 4 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$: gas elektronnya tak menyadari arusnya.

**6.** $I/e = 1 \times 10^{20}\,$ elektron tiap sekon.

**7.** $Q = neSL = 3.4 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$; $QE = 3.6\,\mathrm{kN}$, melawan berat $0.2\,\mathrm{N}$. Medannya menarik kisi positifnya dengan gaya yang berlawanan; elektronnya menyerahkan momentumnya kepada kisinya lewat tumbukan: kawatnya sebagai keseluruhan tak merasakan apa pun.

**8.** $p = j^2/\gamma = 6.8 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, $1.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$.

**9.** Permukaannya $\pi d = 5.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ tiap meter: $\Delta T = 1.7/(10 \times 5.6 \times
10^{-3}) = 30\,\mathrm{K}$; hambatan jenisnya naik $12\%$, dayanya menjadi $1.9\,\mathrm{W}$: $\Delta T \approx 35\,\mathrm{K}$.

**10.** $\Delta T = 1.7(1 + 0.004\Delta T)/(2 \times 5.6 \times 10^{-3})$: $\Delta T(1 - 0.6) = 150$, $\Delta T \approx 400\,\mathrm{K}$ — dekat pelarian termal: kabel yang terkubur harus diturunkan alanya.

**11.** $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$; pada $160\,\mathrm{A}$, $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$: mencair dalam sekitar semenit (lebih cepat ketika $\rho_e$ naik); pemutus arusnya membuka dalam milisekon.

**12.** $\omega\tau = 8 \times 10^{-12}$: hukum Ohmnya tak tersentuh.

**13.** $\varepsilon_0/\gamma = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$: tak ada muatan di dalamnya; medan dalam kawatnya dibuat muatan pada *permukaan*nya, yang rapatnya berubah sepanjang kawatnya.

**14.** $Q = I_0\tau_c = 16\,\mathrm{mC}$, $V = Q/C = 160\,\mathrm{V}$.

**15.** Sisi kawatnya mengemban $I$, sisi celahnya tak mengemban arus hantaran: muatannya tumbuh, dan bersamanya medan listrik dalam celahnya.

**16.** $I = 16\eu^{-0.5} = 9.7\,\mathrm{A}$; $E = Q/\varepsilon_0A$, $\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0A
= 9.7/(8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4}) = 1.1 \times 10^{16}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**17.** $\varepsilon_0A\,\dd E/\dd t = I$: yaitu arus pergeserannya.

**18.** $j = \gamma E = 10^{-14} \times 2.3 \times 10^5 = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $10^{-14}$ A menembus penampangnya: tak berarti; tembus listriknya pada $3\,\mathrm{kV}$ menyeberangi milimeternya.

**19.** $R = 1000/(6 \times 10^7 \times 10^{-5}) = 1.7\,\Omega$; $\Delta U = 67\,\mathrm{V}$; $P =
2.7\,\mathrm{kW}$, $29\%$ dari $9.2\,\mathrm{kW}$ yang terserahkan.

**20.** $I = 0.46\,\mathrm{A}$, $\Delta U = 0.8\,\mathrm{V}$, $0.35\,\mathrm{W}$: penyaluran pada tegangan tinggi membagi ruginya dengan $(U_2/U_1)^2$.

**21.** $10 \times 6/3.6 = 17\,\mathrm{mm}^{2}$; $89\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ tembaga melawan $45\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ aluminium: lebih ringan dan lebih murah di menara; di dalam dinding penampang tembaga yang lebih kecil muat dalam pipa dan terminalnya.

**22.** $V_H = IB/nqt = 5 \times 10^{-3} \times 0.1/(10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) =
3.1\,\mathrm{mV}$.

**23.** $+24\%$: $2.1\,\Omega$, $3.3\,\mathrm{kW}$ hilang.

**24.** $RI^2t = 1.7 \times 4 \times 10^8 \times 10^{-4} = 67\,\mathrm{kJ}$ ke dalam $89\,\mathrm{kg}$: $2\,\mathrm{K}$. $j = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, tiga ratus kali nilai rumah tangganya.

**25.** $n$ (materinya) dan $\tau$ (tumbukannya) memberi $\gamma = ne^2\tau/m$; $\gamma$ mengaitkan $j$ dan $E$ (Ohm); $j$ terintegralkan menjadi $I$, $E$ menjadi $U$ (rangkaiannya); $j^2/\gamma$ adalah kalornya.