---
title: "Persamaan Maxwell"
book: "Fisika Universitas — Tahun 2"
subject: physics
language: id
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/11-persamaan-maxwell
---

# Bab 11 — Persamaan Maxwell

Pada 1865 James Clerk Maxwell menuliskan hukum yang telah ditemukan Coulomb, Ampère dan Faraday satu demi satu, menambahkan pada hukum Ampère sebuah suku yang belum dituntut percobaan mana pun, lalu mendapati bahwa persamaannya menerima gelombang yang berjalan dengan kelajuan yang dapat ia hitung dari tetapan kelistrikan dan kemagnetan — yaitu kelajuan cahaya. Kelistrikan, kemagnetan dan optika menjadi satu pokok. Jilid Tahun ke-1 menyatakan hukumnya sebagai integral atas permukaan dan simpal; bab ini menuliskannya sebagai empat persamaan *lokal* yang sahih di setiap titik dan setiap saat, dengan operator vektor yang membuat penulisan semacam itu mungkin, lalu menarik akibat pertamanya: [arus pergeseran](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), potensialnya, perilaku medannya di sebuah antarmuka, dan hampiran yang membuat rangkaian jilid Tahun ke-1 tepat.

![James Clerk Maxwell (1831–1879), yang menuliskan keempat persamaan bab ini lalu membaca di dalamnya keberadaan gelombang elektromagnetik yang berjalan dengan kelajuan cahaya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/img-ab0c12ec0830.jpg)

*James Clerk Maxwell (1831–1879), yang menuliskan keempat persamaan bab ini lalu membaca di dalamnya keberadaan gelombang elektromagnetik yang berjalan dengan kelajuan cahaya.*

## 11.1 Operator vektor

**Definisi 11.1 (Gradien, divergensi, curl, Laplacian).**

Bagi medan skalar $f$ dan medan vektor $\vect A$, dalam koordinat Kartesius dengan vektor lambang $\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y,
\partial_z)$:

$$
\begin{align*}
\operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\
\operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\
\operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\
\Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f ,
\end{align*}
$$

dan $\Delta\vect A$ adalah Laplacian yang diambil pada tiap komponen Kartesiusnya. Maknanya tak bergantung pada koordinat: $\operatorname{\vect{grad}}f
\cdot\dd\vect l = \dd f$ adalah perubahan $f$ sepanjang $\dd\vect l$; $\operatorname{div}
\vect A$ adalah fluks $\vect A$ yang keluar menembus permukaan sebuah volume kecil, tiap satuan volume; $\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n$ adalah sirkulasi $\vect A$ mengelilingi simpal kecil bernormal $\vect n$, tiap satuan luas.

**Teorema 11.2 (Teorema divergensi dan teorema Stokes).**

Untuk permukaan tertutup $\Sigma$ yang membatasi volume $V$, dan kurva tertutup terorientasi $C$ yang membatasi permukaan $S$ (normalnya $\vect n$ diberikan kaidah tangan kanan),

$$
\iint_\Sigma\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V\operatorname{div}\vect A\,\dd\tau ,
\qquad
\oint_C\vect A\cdot\dd\vect l = \iint_S\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n\,\dd S .
$$

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 11.3 (Apa yang diterima tanpa bukti dan mengapa masuk akal).**

Kedua teoremanya dibuktikan dalam jilid matematika Tahun ke-3; jilid matematika tahun ini berhenti pada versi bidangnya (Green–Riemann) dan pada integral lipat. Isinya, walau begitu, adalah yang kita pakai dalam [Bab 2](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/2-kinematika-fluida#ch-b2-fluid-kinematics): ubinlah volumenya dengan kotak kecil (permukaan simpalnya dengan simpal kecil) — fluks menembus sisi dalamnya (sirkulasi sepanjang rusuk dalamnya) saling meniadakan berpasangan, dan hanya batasnya yang tersisa. Dua kesamaan menyusul dari definisinya dan dipakai terus-menerus: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}f = \vect 0$, $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$, dan $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}
\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A$. Bagi medan yang bersimetri, rumus yang berguna adalah: bagi medan radial $A_r(r)\vect e_r$, $\operatorname{div}
= \frac1{r^2}\partial_r(r^2A_r)$ (bola) atau $\frac1r\partial_r(rA_r)$ (tabung); bagi medan azimut $A_\theta(r)\vect e_\theta$ mengelilingi sebuah sumbu, $(\operatorname{\vect{curl}})_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$; dan bagi $f(r)$, $\Delta f = \frac1{r^2}\partial_r(r^2\partial_rf) = \frac1r\partial_r^2(rf)$ (bola), $\frac1r\partial_r(r\partial_rf)$ (tabung).

![Kedua operator persamaan Maxwell, yang dibaca secara geometris: divergensi mengukur seberapa banyak sebuah medan mengalir keluar dari volume kecil, curl seberapa banyak ia bersirkulasi mengelilingi simpal kecil.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-a89846a29645.svg)

*Kedua operator [persamaan Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), yang dibaca secara geometris: [divergensi](#def-b2-maxwell-equations-operators) mengukur seberapa banyak sebuah medan mengalir keluar dari volume kecil, [curl](#def-b2-maxwell-equations-operators) seberapa banyak ia bersirkulasi mengelilingi simpal kecil.*

## 11.2 Keempat persamaannya

**Teorema 11.4 (Persamaan Maxwell).**

Dalam hampa (dan dalam materi yang dilukiskan [rapat muatan](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/10-muatan-arus-dan-penghantaran#def-b2-charges-currents-conduction-densities) dan [rapat arus](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/10-muatan-arus-dan-penghantaran#def-b2-charges-currents-conduction-densities) totalnya $\rho$ dan $\vect j$), medan listrik dan medan magnetnya menuruti, di setiap titik dan setiap waktu,

$$
\begin{align*}
\operatorname{div}\vect E &= \frac\rho{\varepsilon_0} &&\text{(Maxwell--Gauss)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect E &= -\frac{\partial\vect B}{\partial t} &&\text{(Maxwell--Faraday)} ,\\
\operatorname{div}\vect B &= 0 &&\text{(Maxwell--flux)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect B &= \mu_0\vect j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vect E}{\partial t} &&\text{(Maxwell--Ampère)} ,
\end{align*}
$$

dengan $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, $\mu_0 = 4\pi \times 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ (dan $\varepsilon_0\mu_0 = 1/c^2$). Medannya bekerja pada muatan lewat gaya Lorentz $\vect F = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$. Suku $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ adalah rapat *[arus pergeseran](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)* Maxwell.

**Kesetaraan dengan hukum integral jilid Tahun ke-1.** Terapkanlah teorema [divergensi](#def-b2-maxwell-equations-operators) pada kedua yang pertama: $\iint_\Sigma\vect E\cdot
\vect n\,\dd S = Q_{\text{dlm}}/\varepsilon_0$ (Gauss) dan fluks $\vect B$ menembus permukaan tertutup mana pun bernilai nol. Terapkanlah Stokes pada kedua yang terakhir: $\oint_C\vect E\cdot\dd\vect l = -\dd\Phi_B/\dd t$ (Faraday, bagi simpal tetap) dan $\oint_C\vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0I_{\text{lingkup}} + \mu_0\varepsilon_0\,\dd\Phi_E/\dd t$ (Ampère, yang telah dilengkapi). Sebaliknya hukum integralnya, yang berlaku bagi setiap volume dan simpal, menyiratkan hukum lokalnya. Persamaan lokalnya karena itu adalah hukum Tahun ke-1 ditambah satu suku baru, yang dibenarkan di bawah; keduanya diambil sebagai postulat elektromagnetisme. ∎

**Proposisi 11.5 (Mengapa arus pergeserannya diperlukan).**

Mengambil [divergensi](#def-b2-maxwell-equations-operators) [persamaan Maxwell–Ampère](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) lalu memakai $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}} = 0$ dan Maxwell–Gauss memberi

$$
0 = \mu_0\operatorname{div}\vect j + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\operatorname{div}\vect E
= \mu_0\Bigl(\operatorname{div}\vect j + \frac{\partial\rho}{\partial t}\Bigr) :
$$

persamaannya memuat kekekalan muatan. Tanpa suku pergeserannya persamaan itu akan menuntut $\operatorname{div}\vect j = 0$ selalu — keliru dalam kapasitor yang sedang diisi, tempat arus hantarannya berhenti di kepingnya. Di sana, di antara kepingnya, $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ mengemban tepat arus yang tiba dalam kawatnya, dan medan magnetnya bersirkulasi mengelilingi celahnya seperti mengelilingi sebuah kawat.

**Bukti.** [Divergensi](#def-b2-maxwell-equations-operators) kedua ruasnya, seperti dinyatakan; bagi kapasitornya, fluks $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ menembus sebuah permukaan di antara kepingnya adalah $\varepsilon_0S\,\dd E/\dd t = \dd Q/\dd t = I$. ∎

**Contoh 11.6 (Medan di dalam kapasitor yang sedang diisi).**

Keping lingkaran berjari-jari $R$, berjarak $d \ll R$, diisi arus $I$: di antaranya $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ seragam dan tumbuh dengan $\dd E/
\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2$. Menurut simetrinya $\vect B = B(r)\vect e_\theta$; Ampère–Maxwell pada lingkaran berjari-jari $r < R$ (tak ada arus hantaran yang menyeberanginya): $2\pi rB
= \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\,\dd E/\dd t$, jadi $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ — yaitu medan arus seragam $I$ yang tersebar pada cakramnya, sinambung di $r = R$ dengan $\mu_0I/2\pi r$ kawatnya di luar. Untuk $I = 1\,\mathrm{A}$, $R = 5\,\mathrm{cm}$: $B(R) =
4\,\text{µ}\mathrm{T}$, terukurkan; suku Maxwell itu nyata.

![Sebuah kapasitor yang sedang diisi: tak ada muatan yang menyeberangi celahnya, tetapi fluks listrik menembus sebuah simpal di sekelilingnya tumbuh; suku Maxwell memberi simpalnya sirkulasi B yang sama seolah-olah kawatnya berlanjut — yaitu arus pergeseran.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-a5cb03976630.svg)

*Sebuah kapasitor yang sedang diisi: tak ada muatan yang menyeberangi celahnya, tetapi fluks listrik menembus sebuah simpal di sekelilingnya tumbuh; suku Maxwell memberi simpalnya sirkulasi $\vect B$ yang sama seolah-olah kawatnya berlanjut — yaitu [arus pergeseran](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell).*

**Catatan 11.7 (Kelinearan; apa yang dikatakan persamaannya).**

Persamaannya linear dalam medannya dan sumbernya: medannya bertumpang. Dua di antaranya (Gauss, Faraday–fluks) tak mengemban sumber dan menyatakan struktur — garis medan listrik bermula dan berakhir pada muatan, garis medan magnet tak pernah berakhir; kedua yang lain mengatakan bagaimana muatan dan arus, serta perubahan tiap medannya, menciptakan medannya. Dibaca bersama-sama, $\vect B$ yang berubah membuat $\vect E$ bersirkulasi dan $\vect E$ yang berubah membuat $\vect B$ bersirkulasi: keduanya dapat saling melangsungkan tanpa muatan di mana pun — itulah gelombang [Bab 13](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/13-gelombang-elektromagnetik-bidang-dan-polarisasi#ch-b2-plane-waves-polarization), dan arus pergeserannyalah yang membuatnya mungkin.

## 11.3 Potensial

**Proposisi 11.8 (Potensial skalar dan potensial vektor).**

Karena $\operatorname{div}\vect B = 0$ dan $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t
\vect B$, medannya diturunkan dari sebuah *[potensial vektor](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $\vect A$ dan sebuah *[potensial skalar](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $V$:

$$
\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A , \qquad
\vect E = -\operatorname{\vect{grad}}V - \frac{\partial\vect A}{\partial t} ,
$$

yang tertentukan sampai sebuah *transformasi tera* $\vect A \to \vect A +
\operatorname{\vect{grad}}\chi$, $V \to V - \partial_t\chi$, yang membiarkan medannya tak berubah. Dalam *[tera Coulomb](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $\operatorname{div}\vect A = 0$, hukum Gauss menjadi *[persamaan Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)*

$$
\Delta V = -\frac\rho{\varepsilon_0} ,
$$

dan dalam rezim tunak hukum Ampère menjadi $\Delta\vect A = -\mu_0\vect j$. Dalam statika $V$ adalah potensial elektrostatik jilid Tahun ke-1.

**Bukti.** Medan yang bebas [divergensi](#def-b2-maxwell-equations-operators) adalah sebuah [curl](#def-b2-maxwell-equations-operators) (diterima tanpa bukti, seperti pernyataan kebalikannya bahwa medan yang bebas [curl](#def-b2-maxwell-equations-operators) adalah sebuah [gradien](#def-b2-maxwell-equations-operators), keduanya dari jilid matematika Tahun ke-2 bagi daerah terhubung sederhana); lalu $\operatorname{\vect{curl}}
(\vect E + \partial_t\vect A) = \vect 0$, jadi $\vect E + \partial_t\vect A$ adalah sebuah [gradien](#def-b2-maxwell-equations-operators). Teranya: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}\chi = \vect 0$ dan suku $\partial_t\operatorname{\vect{grad}}\chi$-nya saling meniadakan dalam $\vect E$. Poisson: $\operatorname{div}
\vect E = -\Delta V - \partial_t\operatorname{div}\vect A$. Statika: $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A
= \mu_0\vect j$. ∎

**Contoh 11.9 (Dua potensial vektor).**

Medan seragam $\vect B_0$ diturunkan dari $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ (periksalah: $\operatorname{\vect{curl}}(\tfrac12\vect B_0\wedge\vect r) = \vect B_0$, dan $\operatorname{div}\vect A = 0$); di dalam solenoida tak hingga ini menjadi $A_\theta =
Br/2$, di luarnya $A_\theta = BR^2/2r$ — sebuah potensial yang tidak lenyap di tempat medannya lenyap, dan yang sirkulasinya sepanjang sebuah simpal adalah fluks $\vect B$ menembusnya: $\oint\vect A\cdot\dd\vect l = \Phi_B$ (Stokes). Hukum Faraday lalu berbunyi $\vect E = -\partial_t\vect A$ bagi medan imbasnya.

## 11.4 Medan di sebuah antarmuka

**Proposisi 11.10 (Hubungan batas).**

Menyeberangi permukaan yang mengemban [rapat muatan](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/10-muatan-arus-dan-penghantaran#def-b2-charges-currents-conduction-densities) permukaan $\sigma$ dan rapat [arus permukaan](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) $\vect j_s$ ($\mathrm{A}/\mathrm{m}$), dengan $\vect n_{12}$ yaitu normal satuan dari medium 1 ke medium 2,

$$
\vect E_2 - \vect E_1 = \frac\sigma{\varepsilon_0}\,\vect n_{12} , \qquad
\vect B_2 - \vect B_1 = \mu_0\,\vect j_s\wedge\vect n_{12} :
$$

komponen tangensial $\vect E$ dan komponen normal $\vect B$ sinambung; komponen normal $\vect E$ melompat sebesar $\sigma/\varepsilon_0$, komponen tangensial $\vect B$ sebesar $\mu_0j_s$. Di permukaan sebuah penghantar sempurna ($\vect E = \vect B = \vect 0$ di dalamnya, dalam hal-hal [Bab 15](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/15-pemantulan-dan-penerusan-di-antarmuka#ch-b2-wave-interfaces)), $\vect E$ bersifat normal dan sama dengan $\sigma\vect n/
\varepsilon_0$, $\vect B$ bersifat tangensial dan sama dengan $\mu_0\vect j_s\wedge\vect n$.

**Bukti.** Komponen normalnya: hukum Gauss dan hukum fluks pada kotak pipih datar yang mengangkangi permukaannya, seluas $\dd S$ dan bertinggi lenyap: $(E_{2n}
- E_{1n})\dd S = \sigma\dd S/\varepsilon_0$, $(B_{2n} - B_{1n})\dd S = 0$. Komponen tangensialnya: hukum Faraday dan hukum Ampère pada persegi panjang kecil yang mengangkangi permukaannya, sepanjang $\dd l$ dan bertinggi lenyap: fluks $\partial_t\vect B$ dan $\partial_t\vect E$ menembus persegi panjangnya lenyap bersama luasnya, tetapi sebuah [arus permukaan](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) $j_s\,\dd l$ menyeberanginya: $(E_{2t} - E_{1t})\dd l = 0$, $(B_{2t} - B_{1t})\dd l = \mu_0j_s\dd l$ bagi arah tangensial yang tegak lurus $\vect j_s$. ∎

![Hubungan batasnya datang dari hukum integral yang diterapkan pada sebuah kotak pipih datar dan sebuah simpal tipis yang mengangkangi antarmukanya: muatan permukaan membuat E normalnya melompat, arus permukaan membuat B tangensialnya melompat; komponen lainnya sinambung.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-0e2b0848fed8.svg)

*Hubungan batasnya datang dari hukum integral yang diterapkan pada sebuah kotak pipih datar dan sebuah simpal tipis yang mengangkangi antarmukanya: muatan permukaan membuat $\vect E$ normalnya melompat, [arus permukaan](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) membuat $\vect B$ tangensialnya melompat; komponen lainnya sinambung.*

**Contoh 11.11 (Bidang bermuatan, lembar arus, solenoida).**

Sebuah bidang dengan $\sigma$ sendirian dalam ruang: menurut simetrinya $\vect E = \pm E\vect n$ pada kedua sisinya, dan lompatannya $2E = \sigma/\varepsilon_0$ memberi $E = \sigma/2\varepsilon_0$ — hasil Tahun ke-1 dalam satu baris. Sebuah lembar arus bidang $j_s$: $B =
\mu_0j_s/2$ pada tiap sisinya, berlawanan arah. Sebuah solenoida panjang berlilitan $n$ tiap meter yang mengemban $I$ adalah lembar arus tabung $j_s = nI$: lompatannya $\mu_0nI$ menyeberanginya, dengan $B = 0$ di luar, memberi $B = \mu_0nI$ di dalam.

## 11.5 Rezim kuasi-tunak

**Definisi 11.12 (Hampiran kuasi-tunak).**

Sebuah sistem berukuran $L$ yang digerakkan pada frekuensi $f$ bersifat *kuasi-tunak* apabila $L \ll \lambda = c/f$: waktu $L/c$ yang diperlukan medannya untuk menyeberanginya dapat diabaikan dibandingkan periodenya, dan semua titiknya “melihat” sumbernya pada saat yang sama. Dua limitnya dipakai:

- rezim kuasi-tunak *magnetik* (rangkaian dengan arus, kumparan, transformator, imbasan): [arus pergeserannya](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) dibuang dari hukum Ampère, $\operatorname{\vect{curl}}\vect B  = \mu_0\vect j$ (sehingga $\operatorname{div}\vect j = 0$ dan arusnya mengalir dalam rangkaian tertutup), sementara hukum Faraday disimpan seutuhnya;
- rezim kuasi-tunak *listrik* (sebuah kapasitor yang sedang diisi): suku Faradaynya dibuang, $\vect E$ adalah medan elektrostatik muatan seketikanya, sementara [arus pergeserannya](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) disimpan untuk mencari $\vect B$ .

**Pembenaran.** Dalam rezim magnetiknya, bandingkanlah kedua suku hukum Ampère dalam sebuah penghantar: $\mu_0\varepsilon_0\partial_t E \sim \mu_0\varepsilon_0\omega E$ melawan $\mu_0\gamma E$, dengan nisbah $\varepsilon_0\omega/\gamma = \omega\tau_r \sim 10^{-17}$ pada $50\,\mathrm{Hz}$ dalam tembaga; di luar penghantarnya [arus pergeserannya](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) berorde $\varepsilon_0\omega E$ dengan $E \sim \omega AB$, yakni lebih kecil daripada pengaruh arus hantarannya sebesar $(\omega L/c)^2 = (L/\lambda)^2 \times 4\pi^2$. Dalam rezim listriknya medan imbasnya $\omega BL \sim \omega^2\varepsilon_0\mu_0L^2E$ lebih kecil daripada $E$ sebesar $(L/\lambda)^2$ yang sama. ∎

**Contoh 11.13 (Rangkaian dan antena).**

Sebuah rangkaian jala-jala pada $50\,\mathrm{Hz}$ ($\lambda = 6000\,\mathrm{km}$) bersifat kuasi-tunak sampai ukuran sebuah negara — itulah sebabnya hukum Kirchhoff dan transformator bekerja. Rangkaian $10\,\mathrm{cm}$ bersifat kuasi-tunak sampai sekitar $100\,\mathrm{MHz}$; pada $1\,\mathrm{GHz}$ ($\lambda = 30\,\mathrm{cm}$) kawatnya menjadi antena, arusnya berbeda-beda sepanjang sebuah kawat, dan rangkaiannya memancar: yaitu ranah [Bab 17](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/17-radiasi-dwikutub-dan-hamburan#ch-b2-dipole-radiation) dan ranah rancangan gelombang mikro, tempat sebuah jalur pada papan menjadi sebuah [saluran transmisi](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).

![Ukuran terhadap frekuensi: di bawah garis L = /10 (putus-putus) sebuah perangkat bersifat kuasi-tunak dan hukum rangkaiannya berlaku; dekat dan di atas L = medannya merambat, dan perangkatnya memancar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-7ba71cfd4709.svg)

*Ukuran terhadap frekuensi: di bawah garis $L = \lambda/10$ (putus-putus) sebuah perangkat bersifat kuasi-tunak dan hukum rangkaiannya berlaku; dekat dan di atas $L = \lambda$ medannya merambat, dan perangkatnya memancar.*

**Metode 11.14 (Memakai persamaan lokalnya).**

(1) Pakailah simetri dan ketakubahan sumbernya untuk menetapkan arah dan variabel medannya (seperti dalam jilid Tahun ke-1). (2) Pilihlah bentuknya: integral (Gauss, Ampère pada permukaan atau simpal yang dipilih baik-baik) ketika simetrinya cukup; lokal ketika Anda memerlukan persamaan diferensial (Poisson bagi $V$, persamaan difusi atau [persamaan gelombang](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/6-gelombang-pada-tali-dan-batang-persamaan-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) bagi medannya). (3) Dalam soal yang bergantung waktu putuskanlah rezimnya: statik, kuasi-tunak magnetik atau listrik, atau Maxwell penuh. (4) Di antarmuka, pakailah hubungan batasnya — di situlah satu-satunya tempat muatan dan [arus permukaan](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) masuk. (5) Periksalah $\operatorname{div}\vect B = 0$ dan dimensinya.

## 11.6 Latihan

**Latihan 11.1 ★.**

Hitunglah [divergensi](#def-b2-maxwell-equations-operators) dan [curl](#def-b2-maxwell-equations-operators) (a) $\vect A = (x, y, z)$; (b) $\vect A = (-y, x, 0)$; (c) $\vect A = (yz, zx, xy)$; (d) $\vect A = \vect r/r^3$ (pakailah rumus radialnya, $r \ne 0$); (e) $\vect A = (0, 0, x^2)$. Mana yang berupa [gradien](#def-b2-maxwell-equations-operators), mana yang berupa [curl](#def-b2-maxwell-equations-operators), mana yang bukan keduanya?

**Solusi Latihan 11.1.**

(a) $\operatorname{div} = 3$, $\operatorname{\vect{curl}} = \vect 0$: yaitu [gradien](#def-b2-maxwell-equations-operators) $r^2/2$. (b) $0$ dan $(0, 0, 2)$: sebuah [curl](#def-b2-maxwell-equations-operators) (dari $-\tfrac12(x^2 + y^2)\vect e_z$), bukan [gradien](#def-b2-maxwell-equations-operators). (c) $0$ dan $\vect 0$: [gradien](#def-b2-maxwell-equations-operators) $xyz$ (dan sebuah [curl](#def-b2-maxwell-equations-operators) pula). (d) $\frac1{r^2}\partial_r(r^2/r^2) = 0$, [curlnya](#def-b2-maxwell-equations-operators) $\vect 0$: [gradien](#def-b2-maxwell-equations-operators) $-1/r$. (e) $0$ dan $(0, -2x, 0)$: sebuah [curl](#def-b2-maxwell-equations-operators), bukan [gradien](#def-b2-maxwell-equations-operators).

**Latihan 11.2 ★.**

(a) Periksalah dimensi tiap suku keempat [persamaan Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell). (b) Hitunglah $1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$. (c) Nisbah rapat [arus pergeseran](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) terhadap [rapat arus](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/10-muatan-arus-dan-penghantaran#def-b2-charges-currents-conduction-densities) hantaran dalam tembaga pada $50\,\mathrm{Hz}$, dalam air laut ($\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) pada $1\,\mathrm{GHz}$, dalam kaca ($\gamma =
1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $\varepsilon_0$ diambil demi kesederhanaan) pada $50\,\mathrm{Hz}$: mana yang “penghantar” bagi masing-masingnya?

**Solusi Latihan 11.2.**

(a) Gauss dan Faraday: kedua ruasnya dalam $\mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}$ ([rapat muatan](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/10-muatan-arus-dan-penghantaran#def-b2-charges-currents-conduction-densities) dibagi $\varepsilon_0$, [gradien](#def-b2-maxwell-equations-operators) medan, medan dibagi waktu); Ampère: kedua ruasnya dalam $\mathrm{T}/\mathrm{m}$. (b) $1/\sqrt{8.85 \times 10^{-12} \times 1.257 \times 10^{-6}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Nisbahnya $\varepsilon_0\omega/\gamma$: tembaga $5 \times 10^{-20}$; air laut pada $1\,\mathrm{GHz}$ $1 \times 10^{-2}$ (masih penghantar, nyaris); kaca pada $50\,\mathrm{Hz}$ $3 \times 10^3$: sebuah dielektrik, [arus pergeserannya](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) menguasai.

**Latihan 11.3 ★.**

Sebuah kapasitor berkeping lingkaran ($R = 10\,\mathrm{cm}$, $d = 2\,\mathrm{mm}$) diisi $I = 0.5\,\mathrm{A}$. Tentukanlah laju perubahan $E$; rapat [arus pergeserannya](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell); $B$ pada $r = 5\,\mathrm{cm}$ dan pada $r = 20\,\mathrm{cm}$ (dalam bidang di tengah-tengah kepingnya); bandingkanlah yang terakhir dengan medan kawat penyuapnya pada jarak yang sama.

**Solusi Latihan 11.3.**

$\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.8 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $j_d = I/\pi R^2 =
16\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $B(5\,\mathrm{cm}) = \mu_0Ir/2\pi R^2 = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$; $B(20\,\mathrm{cm}) =
\mu_0I/2\pi r = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ — tepat medan kawatnya.

**Latihan 11.4 ★.**

(a) $\vect E = kx\,\vect e_x$ mengisi sebuah daerah: [rapat muatan](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/10-muatan-arus-dan-penghantaran#def-b2-charges-currents-conduction-densities) di sana. (b) Di dalam sebuah bola berjari-jari $R$, $\vect E = (\rho_0r/3\varepsilon_0)\vect e_r$: periksalah dengan [divergensi](#def-b2-maxwell-equations-operators) radialnya bahwa $\rho = \rho_0$, lalu dapatkanlah kembali medan di luarnya dari hukum integral Gauss. (c) $\vect B = B_0(y/a)\vect e_x$: mungkinkah ia sebuah medan magnet? [Rapat arus](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/10-muatan-arus-dan-penghantaran#def-b2-charges-currents-conduction-densities) apa yang melangsungkannya?

**Solusi Latihan 11.4.**

(a) $\rho = \varepsilon_0k$. (b) $\frac1{r^2}\partial_r(\rho_0r^3/3\varepsilon_0) = \rho_0/\varepsilon_0$; di luarnya, Gauss: $E = \rho_0R^3/3\varepsilon_0r^2$. (c) $\operatorname{div}\vect B = 0$: ya; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(B_0/a)\vect e_z$: $\vect j = -(B_0/\mu_0a)\vect e_z$, sebuah lembar arus seragam yang tebalnya sepanjang $y$.

**Latihan 11.5 ★★.**

*[Potensial vektor](#prop-b2-maxwell-equations-potentials).* (a) Tunjukkanlah bahwa $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ memberi $\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \vect B_0$ dan $\operatorname{div}\vect A = 0$. (b) Demikian pula $\vect A' = B_0x\,\vect e_y$: carilah fungsi tera $\chi$ dengan $\vect A' = \vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$. (c) Solenoida berjari-jari $R$, bermedan $B$ di dalamnya: periksalah $A_\theta = Br/2$ ($r < R$) dan $BR^2/2r$ ($r > R$) dengan $(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$; kesinambungannya di $R$. (d) Sirkulasi $\vect A$ pada lingkaran berjari-jari $r > R$ dan fluks $\vect B$: apa katanya tentang ggl imbas dalam sebuah simpal di luar sebuah solenoida yang arusnya berubah-ubah?

**Solusi Latihan 11.5.**

(a) $\vect A = \tfrac12(B_yz - B_zy, B_zx - B_xz, B_xy - B_yx)$: $(\operatorname{\vect{curl}}
\vect A)_x = \tfrac12(B_x + B_x) = B_x$, dan seterusnya; $\operatorname{div}\vect A = 0$. (b) $\vect A' - \vect A = \tfrac12B_0(y, x, 0) = \operatorname{\vect{grad}}(\tfrac12B_0xy)$. (c) $\frac1r\partial_r(Br^2/2) = B$; $\frac1r\partial_r(BR^2/2) = 0$; keduanya sama dengan $BR/2$ di $R$. (d) $2\pi r\cdot BR^2/2r = \pi R^2B = \Phi$: sebuah simpal di luar solenoidanya, tempat $\vect B = \vect 0$, tetap merasakan $e = -\dd\Phi/\dd t$ — lewat $\vect E =
-\partial_t\vect A$, yang tidak lenyap di sana.

**Latihan 11.6 ★★.**

*Hubungan batas.* (a) Sebuah penghantar dalam kesetimbangan elektrostatik mengemban $\sigma$ pada permukaannya: medan tepat di luarnya (dari lompatannya, dengan $\vect E = \vect 0$ di dalamnya); untuk $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$. (b) Dua bidang sejajar dengan $+\sigma$ dan $-\sigma$: medannya di mana-mana, lewat lompatannya. (c) Sebuah solenoida panjang ($n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$, $I = 5\,\mathrm{A}$) sebagai lembar arus: $j_s$, lompatan $B$, dan $B$ di dalamnya. (d) Sebuah kumparan toroida: mengapa $B$ nol di luar dan $\mu_0NI/2\pi r$ di dalam, dari lompatan yang sama?

**Solusi Latihan 11.6.**

(a) $E = \sigma/\varepsilon_0 = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, normal. (b) $\sigma/\varepsilon_0$ di antaranya, nol di luarnya (tiap lompatannya menambah $\pm\sigma/\varepsilon_0$). (c) $j_s = nI = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, lompatannya $\mu_0j_s = 12.6\,\mathrm{mT} = B$ di dalamnya. (d) Sebuah simpal di luar torusnya melingkupi arus total nol, jadi $B = 0$ di sana; di dalamnya, Ampère memberi $\mu_0NI/2\pi r$, dan lompatan menyeberangi lilitannya, $\mu_0j_s = \mu_0NI/2\pi r$, selaras.

**Latihan 11.7 ★★.**

*Poisson dalam satu dimensi.* Antara dua elektrode bidang di $x = 0$ ($V = 0$) dan $x = d$ ($V = U$), sebuah [rapat muatan](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/10-muatan-arus-dan-penghantaran#def-b2-charges-currents-conduction-densities) seragam $\rho_0$ mengisi celahnya (sebuah muatan ruang). (a) Selesaikanlah [persamaan Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) bagi $V(x)$. (b) Medannya $E(x)$; di manakah ia nol jika $\rho_0 > 0$ dan besar? (c) Muatan permukaan pada kedua elektrodenya, dari hubungan batasnya. (d) Dengan $\rho_0 = 0$ dapatkanlah kembali kapasitornya; dengan $U = 0$, sketsalah $V$.

**Solusi Latihan 11.7.**

(a) $V'' = -\rho_0/\varepsilon_0$: $V = -\rho_0x^2/2\varepsilon_0 + (U/d + \rho_0d/2\varepsilon_0)x$. (b) $E = \rho_0x/\varepsilon_0 - U/d - \rho_0d/2\varepsilon_0$, nol di $x_0 = d/2 + \varepsilon_0U/\rho_0d$ — dekat tengahnya bagi muatan ruang yang besar. (c) $\sigma(0) = \varepsilon_0E(0^+) =
-\varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$, $\sigma(d) = -\varepsilon_0E(d^-) = \varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$: bersama-sama $-\rho_0d$, yang menetralkan muatan ruangnya. (d) $\rho_0 = 0$: $V$ linear, $E$ seragam; $U = 0$: sebuah parabola yang memuncak di $d/2$.

**Latihan 11.8 ★★.**

*Kuasi-tunak atau tidak.* (a) $\lambda$ pada $50\,\mathrm{Hz}$, $1\,\mathrm{MHz}$, $100\,\mathrm{MHz}$, $2.4\,\mathrm{GHz}$. (b) Sampai frekuensi berapa rangkaian $10\,\mathrm{cm}$ bersifat kuasi-tunak (kriteria $L < \lambda/10$)? Sebuah cip $1\,\mathrm{cm}$? Sebuah jaringan daya $1000\,\mathrm{km}$? (c) Dalam kapasitor berjari-jari $R = 5\,\mathrm{cm}$ pada $1\,\mathrm{MHz}$, perkirakanlah nisbah medan listrik imbasnya (dari $\vect B$ yang berubah pada latihan sebelumnya) terhadap medan utamanya: $(\omega R/c)^2
/4$. (d) Mengapa frekuensi jala-jala sebuah jaringan selebar benua merupakan soal kuasi-tunak walaupun jaringannya selebar $1000\,\mathrm{km}$?

**Solusi Latihan 11.8.**

(a) $6000\,\mathrm{km}$, $300\,\mathrm{m}$, $3\,\mathrm{m}$, $12.5\,\mathrm{cm}$. (b) $f < c/10L$: $300\,\mathrm{MHz}$; $3\,\mathrm{GHz}$; $30\,\mathrm{Hz}$. (c) $(2\pi \times 10^6 \times 0.05/3 \times 10^8)^2/4 =
3 \times 10^{-7}$. (d) Sebenarnya tidak: pada $50\,\mathrm{Hz}$ jaringan $1000\,\mathrm{km}$ adalah seperenam panjang gelombang, fasenya berbeda di sepanjangnya, dan saluran panjang diperlakukan sebagai [saluran transmisi](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) — tiap rangkaian setempatnya, walau begitu, bersifat kuasi-tunak.

**Latihan 11.9 ★★.**

Tunjukkanlah bahwa hukum Ampère tanpa [arus pergeseran](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), $\operatorname{\vect{curl}}
\vect B = \mu_0\vect j$, berlawanan dengan kekekalan muatan setiap kali $\partial_t\rho
\ne 0$. Dalam kapasitor [Latihan 11.3](#exo-b2-maxwell-equations-3), taksirlah $\operatorname{div}\vect j$ yang dirata-ratakan atas sebuah keping setebal $e = 0.1\,\mathrm{mm}$ (tempat arus $I$ berhenti), dan $\partial_t\rho$ yang bersesuaian.

**Solusi Latihan 11.9.**

$\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = 0$ akan memaksa $\operatorname{div}\vect j =
0$, yakni $\partial_t\rho = 0$ di mana-mana. Dalam kepingnya (bervolume $\pi R^2e$) arus $I$ masuk dan tak ada yang keluar: $\langle\operatorname{div}\vect j\rangle =
-I/\pi R^2e = -1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{3}$, $\partial_t\rho = +1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Latihan 11.10 ★★★.**

*Betatron.* Sebuah medan magnet seragam $B(t)\vect e_z$ mengisi sebuah tabung berjari-jari $R$, yang tumbuh dengan $\dd B/\dd t = \dot B$. (a) Menurut simetrinya $\vect E = E_\theta(r)\vect e_\theta$: pakailah hukum Faraday integral untuk mencari $E_\theta$ bagi $r < R$ dan $r > R$. (b) Tak ada muatan di mana pun: berilah tanggapan atas sebuah medan listrik yang garisnya tertutup. (c) Sebuah elektron pada lingkaran berjari-jari $r_0 < R$ memperoleh berapa energi tiap putaran? Untuk $\dot B = 10\,\mathrm{T}/\mathrm{s}$, $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$: energinya tiap putaran dalam eV; jumlah putaran yang diperlukan bagi $20\,\mathrm{MeV}$. (d) Agar jari-jari orbitnya tetap, momentumnya $p = eBr_0$ (dari gaya magnetiknya) harus tumbuh sebagaimana dituntut energi yang diperoleh dari medan imbasnya: tunjukkanlah syaratnya $B(r_0) = \tfrac12\langle B\rangle_{\text{cakram}}$ — yaitu syarat betatron.

**Solusi Latihan 11.10.**

(a) $2\pi rE_\theta = -\pi r^2\dot B$: $E_\theta = -r\dot B/2$ di dalamnya, $-R^2\dot B/2r$ di luarnya. (b) Garisnya berupa lingkaran tertutup: ia bukan sebuah [gradien](#def-b2-maxwell-equations-operators), ia menggiring muatan mengelilingi sebuah simpal — sebuah medan gerak listrik. (c) $e\cdot2\pi r_0
|E_\theta| = e\pi r_0^2\dot B$: $\pi \times 0.25 \times 10 = 7.9\,\mathrm{eV}$ tiap putaran; $2.5 \times 10^6$ putaran. (d) $p = eB(r_0)r_0$ memberi $\dot p = er_0\dot B(r_0)$, sementara medan imbasnya memberi $\dot p = e|E_\theta| = e\dot\Phi/2\pi r_0$: $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 =
\tfrac12\langle B\rangle$.

**Latihan 11.11 ★★★.**

*Gelombang Maxwell.* Dalam hampa ($\rho = 0$, $\vect j = \vect 0$): (a) ambillah [curl](#def-b2-maxwell-equations-operators) [persamaan Maxwell–Faraday](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), pakailah $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}} = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div} - \Delta$ dan persamaan lainnya untuk memperoleh $\Delta\vect E = \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t^2\vect E$. (b) Hal yang sama bagi $\vect B$. (c) Ini adalah [persamaan d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/6-gelombang-pada-tali-dan-batang-persamaan-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) dalam tiga dimensi: kelajuannya? Hitunglah dari $\varepsilon_0$ dan $\mu_0$. (d) Mengapa bilangan ini meyakinkan Maxwell bahwa cahaya bersifat elektromagnetik, dan pengukuran Weber serta Kohlrausch yang mana yang dipakainya?

**Solusi Latihan 11.11.**

(a) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\Delta\vect E$ (sebab $\operatorname{div}
\vect E = 0$) $= -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\vect E$. (b) Hal yang sama dengan peran yang dipertukarkan. (c) $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 3.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) Weber dan Kohlrausch telah mengukur nisbah satuan muatan elektrostatik dan satuan muatan elektromagnetik, $3.1 \times 10^8$ m/s; Fizeau telah mengukur cahaya pada $3.15 \times 10^8$ m/s: “kita nyaris tak dapat mengelakkan simpulan bahwa cahaya terdiri atas riakan melintang medium yang sama”.

**Latihan 11.12 ★★★.**

*Medan dalam penghantar pada frekuensi rendah.* Dalam penghantar ohmik ($\vect j = \gamma\vect E$) dalam rezim kuasi-tunak magnetik: (a) ambillah [curl](#def-b2-maxwell-equations-operators) hukum Ampère lalu pakailah hukum Faraday untuk menunjukkan $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\,
\partial_t\vect B$; mengapa ia sebuah persamaan difusi? (b) Waktu ciri bagi $\vect B$ untuk menembus kedalaman $d$: $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$; angkanya bagi keping tembaga $1\,\mathrm{cm}$ dan bagi inti Bumi ($\gamma \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $d \approx 3000\,\mathrm{km}$). (c) Pada frekuensi $f$, kedalaman yang tercapai dalam satu periode: tunjukkanlah ia berorde $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega}$; nilainya bagi tembaga pada $50\,\mathrm{Hz}$ dan $1\,\mathrm{MHz}$ (yaitu [kedalaman kulit](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) [Bab 14](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/14-gelombang-elektromagnetik-dalam-plasma-penghantar-dan-dielektrik#ch-b2-waves-in-media)). (d) Apa sirat (b) bagi perubahan menurut waktu medan magnet Bumi?

**Solusi Latihan 11.12.**

(a) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\Delta\vect B = \mu_0\gamma\operatorname{\vect{curl}}
\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect B$: $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\partial_t\vect B$, yaitu bentuk persamaan kalor dengan difusivitas $1/\mu_0\gamma$. (b) $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$: $7.5\,\mathrm{ms}$ bagi kepingnya; $4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^5 \times 9 \times 10^{12} = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, dua ratus ribu tahun, bagi intinya. (c) $\mu_0\gamma\delta^2 \sim 2/\omega$: $\delta = \sqrt{2/\mu_0
\gamma\omega}$: $9\,\mathrm{mm}$ pada $50\,\mathrm{Hz}$, $65\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada $1\,\mathrm{MHz}$. (d) Medan intinya tak dapat berubah lewat difusi dalam waktu kurang dari $10^5$ tahun: perubahan sekuler dan pembalikan yang teramati menuntut gerak fluida penghantarnya — sebuah dinamo.

## 11.7 Soal: Kapasitor, betatron dan potensialnya

**Soal 11.1.**

Soal akhir pekan — persamaan Maxwell yang bekerja dalam satu kapasitor yang sedang diisi, dalam pemercepat yang berjalan hanya dengan hukum Faraday, dan dalam potensial yang menyelesaikannya

**Bagian I — Kapasitor yang sedang diisi.** Keping lingkaran, berjari-jari $R = 10\,\mathrm{cm}$, berjarak $d = 1.0\,\mathrm{mm}$, berisi udara; sebuah arus $I(t) = I_0\cos\omega t$ dengan $I_0 = 1.0\,\mathrm{A}$, $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$ mengalir dalam kawat penyuap sepanjang sumbunya. Efek tepinya diabaikan.

1. Muatan $Q(t)$ dan medan $E(t)$ di antara kepingnya; amplitudo $E$ .
2. Rapat [arus pergeseran](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) di antara kepingnya; periksalah bahwa fluksnya menembus sebuah keping sama dengan $I(t)$ .
3. Medan magnet $B(r, t)$ di antara kepingnya bagi $r < R$ , lewat hukum integral Ampère–Maxwell; amplitudonya di $r = R$ .
4. Medannya bagi $r > R$ (masih di antara bidang kepingnya): bandingkanlah dengan medan kawatnya pada $r$ yang sama; adakah ketakmalaran di $r = R$ ?
5. $\vect B$ yang berubah mengimbaskan, lewat hukum Faraday, sebuah koreksi $\vect E_1$ pada medan listriknya: dengan memakai $\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1  = -\partial_t\vect B$ dengan $\vect E_1 = E_1(r)\vect e_z$ (aksial), tunjukkanlah bahwa $E_1(r) - E_1(0) = \dfrac{\mu_0\varepsilon_0r^2}4\,\dfrac{\dd^2E}{\dd t^2}$ , lalu taksirlah $|E_1(R) - E_1(0)|/|E|$ .
6. Simpulkanlah kesahihan perlakuan kuasi-tunak listriknya pada $1\,\mathrm{MHz}$ ; pada frekuensi berapa koreksinya akan mencapai $10\%$ ? (Penyelesaian eksaknya sebuah fungsi Bessel: kapasitornya telah menjadi sebuah rongga.)
7. Energi: energi listrik $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ yang tersimpan di antara kepingnya, nilai maksimumnya; energi magnetiknya $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ pada saat $E = 0$ ; nisbahnya, dan kaitannya dengan taksiran pertanyaan 5.

**Bagian II — Betatron.** Sebuah elektromagnet menghasilkan medan $\vect B = B(r, t)\vect e_z$ yang setangkup terhadap sumbu $z$; elektronnya beredar dalam cincin hampa berjari-jari $r_0$.

8. Tunjukkanlah, dari Maxwell–Faraday dalam bentuk integral, bahwa medan listrik pada orbitnya adalah $E_\theta(r_0) = -\dfrac1{2\pi r_0}  \dfrac{\dd\Phi}{\dd t}$ , dengan $\Phi$ fluks menembus orbitnya.
9. Persamaan gerak tangensial sebuah elektron (bermuatan $-e$ ): $\dd p/\dd t = eE_\theta$ dalam besarnya; energi yang diperoleh tiap putaran adalah $e\,|\dd\Phi/\dd t|$ .
10. Kesetimbangan radial pada lingkarannya: $p = eB(r_0)r_0$ . Agar $r_0$ tetap, tunjukkanlah bahwa $B(r_0, t) = \Phi(t)/2\pi r_0^2$ , yakni medan pada orbitnya harus separuh medan rerata di dalamnya.
11. Mengapa elektronnya tak dapat dipercepat oleh medan seragam? Bagaimana syaratnya diwujudkan dalam praktik (bentuk potongan kutubnya)?
12. $r_0 = 0.50\,\mathrm{m}$ , $B(r_0)$ dilandaikan dari $0$ sampai $0.40\,\mathrm{T}$ dalam $5\,\mathrm{ms}$ : momentum akhirnya; energi akhirnya (pakailah $E = pc$ bagi elektron ultrarelativistik ini, $1\,\mathrm{MeV} = 1.6 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ ); energinya tiap putaran dan jumlah putarannya; jarak yang ditempuhnya.
13. Elektronnya memancar ketika dipercepat pada lingkaran ( [Bab 17](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/17-radiasi-dwikutub-dan-hamburan#ch-b2-dipole-radiation) ): ini membatasi betatron sampai beberapa ratus MeV. Dari mana akhirnya energi elektronnya datang, dan lewat suku [persamaan Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) yang mana?
14. Sesudah dipercepat elektronnya dilontarkan ke sebuah sasaran lalu menghasilkan sinar-X: mengapa betatron menjadi mesin radioterapi pada dasawarsa 1950, dan apa yang menggantikannya?

**Bagian III — Potensial dan Poisson.**

15. Tuliskanlah $\vect E$ dan $\vect B$ dalam $V$ dan $\vect A$ , lalu periksalah bahwa Maxwell–Faraday dan Maxwell–fluks lalu terpenuhi dengan sendirinya.
16. Sebuah bola berjari-jari $a$ mengemban rapat seragam $\rho_0$ : tuliskanlah [persamaan Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) dalam simetri bola, selesaikanlah di dalam dan di luarnya ( $V \to 0$ di tak hingga, $V$ dan $V'$ sinambung di $a$ ), lalu dapatkanlah kembali medan jilid Tahun ke-1.
17. Energi potensial bolanya, $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau$ : nilainya $3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$ ; bagi sebuah inti uranium ( $Q = 92e$ , $a =  7.4\,\mathrm{fm}$ ), dalam MeV — yaitu energi yang dilepaskan ketika ia membelah.
18. Bagi kapasitor Bagian I dalam rezim kuasi-tunak listriknya, berikanlah $V$ di antara kepingnya. Tunjukkanlah bahwa sebuah [potensial vektor](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) *aksial* $A_z(r, t)\,\vect e_z$ , yang baginya $(\operatorname{\vect{curl}}  \vect A)_\theta = -\partial_rA_z$ , menghasilkan kembali medan $B_\theta$ pertanyaan 3, lalu carilah $A_z$ bagi $r < R$ (ambillah $A_z(0) = 0$ ).
19. Tunjukkanlah bahwa koreksi $\vect E_1$ pertanyaan 5 tepat sama dengan $-\partial_t\vect A$ bagi $A_z$ itu, sampai sebuah tetapan.
20. Tera: syarat Coulomb $\operatorname{div}\vect A = 0$ berlaku bagi $A_z(r)$ Anda — mengapa? $\vect A$ lain apa yang akan memberi $\vect B$ yang sama?

**Bagian IV — Antarmuka dan rezim.**

21. Muatan permukaan pada keping Bagian I pada saat $E$ maksimum; periksalah hubungan batasnya pada muka dalam kepingnya (medannya nol di dalam logamnya).
22. Arusnya menyebar secara radial dalam kepingnya dari sumbunya ke tepinya: rapat [arus permukaan](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) $j_s(r)$ dalam kepingnya; medan magnet tepat di luar muka luar kepingnya, dari hubungan batasnya, dibandingkan dengan medan yang ditemukan pertanyaan 3 di sisi dalamnya.
23. Golongkanlah: kepingnya pada $1\,\mathrm{MHz}$ (kuasi-tunak listrik?), simpal kawat penyuapnya $20\,\mathrm{cm}$ (kuasi-tunak magnetik?), kapasitor yang sama pada $1\,\mathrm{GHz}$ ; benarkanlah dengan $L/\lambda$ .
24. Dalam cincin betatronnya, mengapa [hampiran kuasi-tunak](#def-b2-maxwell-equations-arqs) magnetiknya sangat baik (ukurannya, landaian $100\,\mathrm{Hz}$ ) walaupun medan listrik di sana penting sekali?
25. Rangkumlah, dalam sebuah tabel, [persamaan Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) mana (lokal atau integral) yang menjawab tiap Bagiannya, dan suku mana — [arus pergeseran](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) , Faraday, Gauss, lompatan batas — yang menentukan.

**Solusi Soal 11.1.**

**1.** $Q = (I_0/\omega)\sin\omega t$, $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$: amplitudonya $I_0/\omega\varepsilon_0
\pi R^2 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**2.** $j_d = \varepsilon_0\partial_tE = I(t)/\pi R^2 = 32\cos\omega t$ A/m$^2$; fluksnya menembus kepingnya adalah $I(t)$.

**3.** $2\pi rB = \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\partial_tE$: $B = \mu_0I(t)r/2\pi R^2$; di $R$: $\mu_0I_0/2\pi R = 2\,\text{µ}\mathrm{T}$.

**4.** Bagi $r > R$ seluruh [arus pergeserannya](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) terlingkupi: $B =
\mu_0I/2\pi r$, yaitu medan kawatnya; sinambung di $R$.

**5.** $(\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1)_\theta = -\partial_rE_1 = -\partial_tB_\theta$, jadi $\partial_rE_1
= \mu_0\varepsilon_0(r/2)\ddot E$ dan $E_1(r) - E_1(0) = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$; dengan $\ddot E = -\omega^2E$: $|E_1(R) - E_1(0)|/|E| = (\omega R/c)^2/4 = 1 \times 10^{-6}$.

**6.** Sangat baik. $10\%$ menuntut $(\omega R/c)^2 = 0.4$, $f \approx 300\,\mathrm{MHz}$ — sebuah rongga, bukan lagi sebuah kapasitor.

**7.** $W_e = \tfrac12\varepsilon_0E_0^2\pi R^2d = 4.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; $W_m = \int_0^R(\mu_0I_0r/
2\pi R^2)^2/2\mu_0\cdot2\pi rd\,\dd r = \mu_0I_0^2d/16\pi = 2.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$; nisbahnya $6 \times
10^{-7} \approx (\omega R/c)^2/8$: parameter kecil yang sama.

**8.** $\oint\vect E\cdot\dd\vect l = 2\pi r_0E_\theta = -\dd\Phi/\dd t$.

**9.** $\dd p/\dd t = e|E_\theta| = (e/2\pi r_0)|\dd\Phi/\dd t|$; tiap putaran, $2\pi r_0\cdot e|E_\theta| = e|\dd\Phi/\dd t|$.

**10.** $p = eB(r_0)r_0$ memberi $\dot p = er_0\dot B(r_0)$; disamakan dengan 9: $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 = \tfrac12\langle B\rangle$.

**11.** Medan seragam mempunyai $B(r_0) = \langle B\rangle$, dua kali terlalu besar: gaya magnetiknya tumbuh lebih cepat daripada momentumnya dan orbitnya menyusut. Kutubnya dibentuk sedemikian rupa sehingga medannya kuat dekat sumbunya dan separuhnya pada orbitnya.

**12.** $p = eBr_0 = 3.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $E = pc = 9.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 60\,\mathrm{MeV}$; $\Phi = 2\pi r_0^2B = 0.63\,\mathrm{Wb}$ dalam $5\,\mathrm{ms}$: $126\,\mathrm{eV}$ tiap putaran, $4.8 \times
10^5$ putaran, $1500\,\mathrm{km}$ — pada $c$ dalam $5\,\mathrm{ms}$: selaras.

**13.** Dari catu daya magnetnya, yang diserahkan kepada elektronnya oleh suku Faraday: fluks yang berubah membuat medan pemercepatnya.

**14.** Elektron berpuluh MeV yang direm dalam sasaran berat memberi sinar-X yang menembus; pemercepat linear yang ringkas, dengan laju dosis yang lebih tinggi, menggantikannya.

**15.** $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$; $\operatorname{\vect{curl}}(-\operatorname{\vect{grad}}
V - \partial_t\vect A) = -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect A = -\partial_t\vect B$.

**16.** $\frac1{r^2}(r^2V')' = -\rho_0/\varepsilon_0$: $V = \rho_0(3a^2 - r^2)/6\varepsilon_0$ di dalamnya, $\rho_0a^3/3\varepsilon_0r = Q/4\pi\varepsilon_0r$ di luarnya; $E = \rho_0r/3\varepsilon_0$ dan $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$.

**17.** $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau = 2\pi\rho_0^2(a^5/6 - a^5/30)/\varepsilon_0 = 4\pi\rho_0^2a^5/
15\varepsilon_0 = 3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$; uranium: $1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J}$ $\approx 1000\,\mathrm{MeV}$ (pembelahannya melepaskan $200\,\mathrm{MeV}$ yang membuat dua bola yang lebih kecil lebih murah).

**18.** $V = -E(t)z$ (ditambah sebuah tetapan). Dengan $\vect A = A_z(r, t)\vect e_z$, $B_\theta = -\partial_rA_z = \mu_0Ir/2\pi R^2$ memberi $A_z = -\mu_0I(t)r^2/4\pi R^2$.

**19.** $-\partial_tA_z = \mu_0\dot Ir^2/4\pi R^2 = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$ (sebab $\dot I =
\varepsilon_0\pi R^2\ddot E$): yaitu koreksi pertanyaan 5, sampai sebuah tetapan.

**20.** $\operatorname{div}\vect A = \partial_zA_z = 0$ sebab $A_z$ hanya bergantung pada $r$; sembarang $\vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$.

**21.** $\sigma = \varepsilon_0E_0 = 5\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$; di dalam logamnya $\vect E =
\vect 0$, jadi lompatannya $\sigma/\varepsilon_0$ tepat sama dengan medan celahnya.

**22.** Arus $I(t)$ menyuapi kepingnya dari sumbunya; bagian di luar $r$ yang masih harus diserahkan adalah $I(1 - r^2/R^2)$, jadi $j_s = I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r$. Pada muka luarnya Ampère memberi medan kawatnya $\mu_0I/
2\pi r$; pada muka dalamnya $\mu_0Ir/2\pi R^2$; selisihnya, $\mu_0I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r = \mu_0j_s$, adalah lompatan batasnya.

**23.** Kepingnya: $R/\lambda = 3 \times 10^{-4}$, kuasi-tunak listrik. Simpalnya: $7 \times 10^{-4}$, kuasi-tunak magnetik. Pada $1\,\mathrm{GHz}$: $R/\lambda = 0.3$ — sebuah rongga dan sebuah antena.

**24.** $\lambda = 3000\,\mathrm{km}$ bagi cincin sebesar semeter: [arus pergeserannya](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) benar-benar dapat diabaikan; medan listrik yang penting adalah medan Faraday, yang disimpan seutuhnya oleh kuasi-tunak magnetiknya.

**25.** I: Ampère–Maxwell ([arus pergeseran](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)), Faraday bagi koreksinya, rapat energinya. II: Faraday integral, gaya Lorentz. III: potensialnya, Poisson (Gauss). IV: lompatan batas $\vect E$ dan $\vect B$; nisbah ukuran terhadap panjang gelombang bagi rezimnya.